有效数字的计算法则

有效数字

电阻值只记录到“ 10”。
6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可
疑位。
6
三.有效数字的运算规则
(1)记录测量数据时,一般只保留一位可疑数字. 如滴定管读数32.47ml.
(2) 在运算中舍去多余数字时采用四舍五入法.等于5时,如前一位为奇数,则增加1;如前是偶数则舍去.
(3)加减运算时,计算结果有效数字的末位的位置应与各项中绝对误差最大的那项相同. 即保留各小数点后的数字位数应与最小者相同. 13.75 +0.0084 +1.642应为13.75+0.01+1.64
四舍、六入、五凑偶
16
估计值只有一位，所以也叫欠准数位或可疑数位。
3
有效数字的特点
（1）位数与单位变换或小数点位置无关。 35.76cm = 0.3576m = （2）00.00的0地35位76km
0.0003576 3.005 3.000 都是四位
（3）特大或特小数用科学计数法
3.576 101
3.576 102
h 6.627 10 34 j s
4
二、有效数字的读取
进行直接测量时，由于仪器多种多样，正确读取有效数字的方法大致归纳如下：
1、一般读数应读到最小分度以下再估一位。例如，1/2，1/5，1/4，1/10等。
2、有时读数的估计位，就取在最小分度
位。例如，仪器的最小分度值为0.5，则
21 30 0 333
20 9673
20 967
可见，约简不影响计算结果。在加减法运算中，各量可约简到其中位数最高者的下一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位数最高者对齐。
11
乘、除法

有效数字数值修约及运算法则

费休氏水分测定法（P225）
费休氏试液的标定应取3份以上，3次连续标定结果应在±1%以内，以平均值作为费休氏试液的滴定度
滴定液（P502）
标定工作应由初标者（配制者）和复标者在相同条件下各作平行试验3份，除另有规定外，其相对平均偏差应不得大于0.1%；
初标平均值与复标平均值的相对偏差也不得大于 0.1%；
注意事项
要根据取样的要求，选择相应的量具。（1） “精密称定”系指称取重量应准确到所取
重量的0.1％，可根据称量选用分析天平或半微量分析天平；“精密量取”应选用符合国家标准的移液管；必要时应加校正值。（2）“称定”（或“量取”）系指称取的重量（或量取的容量）应准确至所取重量（或容量）的百分之一。
比如5.28 报告中应该打印数据，应为5.3
有关物质结果的正确书写
超过1%，保留一位小数，比如1.2% 小于1%，保留小数点后两位，比如0.12%
最大杂质峰面积/对照溶液主峰面积 =0.20（0.20%）----百分之一对照
或者=0.20（0.10%）-----两百分之一对照
非水溶液滴定法（P176）
数值修约及其进舍规则
例1 修约间隔为0.1
拟修约数值
修约值
1.050
1.0
0.350
0.4
数值修约及其进舍规则
例2 修约间隔为1000(103)
拟修约数值
修约值
2500
2x103
5500
6x103
例3 将下列数字修约成两位有效位数
拟修约数值修约值
0.0385
0.038
34500
偏差不得过0.5%，如提取洗涤等操作步骤繁复者，相对偏差不得过1.0%。

有效数字及运算法则

★移液管:25.00mL(4);
☆ 量筒(量至1mL或0.1mL):26mL(2), 4.0mL(2)
a) 数字前0不计，数字后计入 : 0.02450
b) 数字后的0含义不清楚时，最好用指数形式表示: 1000 ( 1.0×103，1.00×103 ，1.000 ×103 ) a) 自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分
如，将下列数字修约成4位有效数字： 0.52666 10.2452 10.2350 10.2450 10.245001
→0.5267
→ 10.25 →10.24 →10.24 →10.25
.
有效数字运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最大的数。(与末位数最大的数一致) 50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1 ±0.1 ±0.01 ±0.001 50.1 1.5 + 0.6 52.2
有效数字及运算法则
有效数字(significant figure)
1定义：是在分析工作中实际测量到的数字, 除最后一位是可疑的外,其余的数字都是确定的。它一方面反映了数量的大小,同时也反映了测量的精密程度。
2构成:全部准确数字+最后一位估计的可疑数字
如滴定管读数23.45mL，23.4是准确的，而第四位5可能是4也可能是6，虽然是可疑的，但又是有效的。
,e
数关系)；常数亦可看成具有无限多位数，如
有效数字位数的确定
• • • • 1.0008，43.181 0.1000，10.98% 0.0382，1.98×10- 10 54， 0.0040 5位 4位 3位 2位 1位位数含糊不确定
• 0.05， 2×10-5 • 3600， 100

有效数字及运算法则

————— –– –– 1605– 1926 ————— – –––
3.21 6.5 = 21 – 3.21 – 6.5
–
–
–
20.865
结果为 21
–
例5
N AB / C
其中：
A 3.21 0.01cm , B 6.5 0.2cm , C 21.843 0.004 cm
2 lg100.0 10.0 27.3211 27.31
35
=
100 2.0000 35 0.01
= 2104 35 =
4 210
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本章小结
一.有效数字的概念二.直接测量时有效数字的运算
三.有效数字的运算规则
注意：进行单位换算时，有效数字的位数不变。
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以用科学表达式。
某电阻值为 20000 （欧姆），保留三位有效数字时写成 2.00104 又如数据为 0.0000325m ，使用科学记数法写成3.2510-5m
3.有效数字与仪器的关系
有效数字的位数
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
2.乘除法
3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差，故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数、e等的位数可与参加运算的量中有效数字位数最少的位数相同或多取一位。
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间：可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA

有效数字及其运算规则

有效数字及其运算规则一、测量结果的有效数字1．有效数字的定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位的可疑数字统称为测量结果的有效数字。

有效数字具有以下基本特性：有效数字具有以下基本特性：（1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。

）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。

对于同一被测量量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。

例如用千分尺（最小分度值00.011m m ，0.004m mD =仪）测量某物体的长度读数为84.8334m m 。

其中前三位数字“483”是最小分度值的整数部分，是可靠数字；末位“4”是在最小分度值内估读的数字，为可疑数字；它与千分尺的D 仪在同一数位上，所以该测量值有四位数字。

如果改用最小分度值（游标精度）为00.022m m 的游标卡尺来测量，其读数为84.844m m ，测量值就只有三位有效数字。

游标卡尺没有估读数字，其末位数字“4”为可疑数字，它与游标卡尺的0.02m m D 仪＝也是在同一数位上。

也是在同一数位上。

（2）有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生改变。

2．有效数字与不确定度的关系在我们规定不确定度的有效数字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。

如39(8.922700.0005)/g c m r =±，测量值的末位“7”刚好与不确定度00.0005的“5”对齐。

”对齐。

由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。

测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。

越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。

3．数值的科学表示法二、有效数字的运算规则1．数值的舍入修约原则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以222()()()A B C D +D +D 2222()()0.300.088A C D +D +2222()()0.0402483.751.2R T RTD D æöæöæöæ+´=+´ç÷ç÷ç÷çèøèøèøè2。

有效数字修约规则

有效数字及计算规则有效数字是指能够代表一定的物理量的数字，即所有实际能测得的确定数字再加上一位不定数字。

例如分析天平测得某物重量0.5020g，其中小数点后前三位是准确数字，第四位是估读的，为不定数字。

小数点前的0不是有效数字，只起到定位作用，而小数点后的两个0都是有效数字。

有效位数：对没有小数位且以若干个零结尾的数值，从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数，对其他十进位数，从非零数字最左一位向右数而得到的位数，就是有效位数。

例1:35000，若有两个无效零，则为三位有效位数，应写为350×102；若有三个无效零，则为两位有效位数，应写为35×103。

例2:3.2 , 0.32 , 0.032 , 0.0032均为两位有效位数；0.0320为三位有效位数。

有效数字的修约规则：1.记录测量数据只应保留一位不定数字。

如滴定管可以准确读至小数点后第一位数字，而第二位就是估读值，因此只能保留至第二位小数。

2.“四舍六入五单双”法则（1）所拟舍去的数字中，最左边第一个数字小于5时舍去，大于5时则进一。

例如：只保留一位小数时，14.2423修约为14.2 ，6.4843修约为6.5。

（2）所拟舍去的数字中，最左边第一个数字等于5而其后面数字不全为0时，则进一；全为0时，保留的数字末位如果为奇数则进一，如为偶数则不进（0以偶数论）。

例如：只保留一位小数时，10.0501修约为10.1；10.05修约为10.0；10.15修约为10.2；10.25修约为10.2。

（3）所摄取的数字并非单独一个数字时，不得对该数字连续修约。

例如45.45修65约为整数应为45 ，而不是45.4565—45.456—45.46—45.5—46 。

有效数字及运算法则

指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA
指针正好在82mA上：读为82.0mA
可修改
12
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间：可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
可修改
13
例1
62 .
–5
+
1.
23–4
=
63
.
7–
0.326 9.674 __1_0_.0_0_0_，
100.00 __1_._00_0_0_。
0.326 9.674可修改
28
在表达式 100.00 0.100cm 中的
100.00的有效数字是_4__位;
100.00 0.10cm 中的
100.00的有效数字是__4__ 位;
100.0 0.1cm 中的有效数字
注意：进行单位换算时，
有效数字的位数不变。
可修改
4
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有效数字时写成 2.00104
又如数据为 0.0000325m ，使用科学记数法写成3.2510-5m
可修改
5
3.有效数字与仪器的关系
N 0.96 0.0可3修cm改
18
运算规则：结果的有效数字与其底或被开
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
100=10.0
49 = 7.0
4.02=16
正确
49 = 7
4.02=16.0 错误
可修改
19
(1)对数函数 lgx的尾数与x的位数相同

有效数字与运算法则

• 0.05， 2×10-5
• 3600， 100
5位 4位 3位 2位
1位位数含糊不确定
说明（1）0的不同作用：是有效数字，如1.0008中0；不是有效数字，如0.0382中0，起定位作用；（2）位数不定的，可科学计数，3600，可写为3.6×103， 3.60×103，3.600×103，有效数字分别为2，3，4位。
如，将下列数字修约成4位有效数字： 0.52666 →0.5. 267
10.2452 → 10.25 10.2350 →10.24 10.2450 →10.24 10.245001 →10.25
有效数字运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最大的数。(与末位数最大的数一致)
50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1
±0.1 ±0.01 ±0.001
50.1 1.5 + 0.6 52.2
先修约至安全数字，再运算，后修约至应有的有效数。
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的数相适应 (即与有效数字位数最少的一致)
例1 0.0121 × 25.66 × 1.0578 ＝ 0.328432 (±0.8%) (±0.04%) (±0.01%) (±0.3%)
谢谢观看！ 2020
注意（1）若数据进行乘除运算时, 第一位数字大于
或等于8, 其有效数字位数可多算一位。如9.46可看做是四位有效数字。
（2）乘方或开方，结果有效数字位数不变。例如, 6.542=42.8
（3）对数计算：对数尾数的位数应与真数的有效数字位数相同。
例如：[H ] 6.31011 mol/L
pH 10.20
a) 数字前0不计，数字后计入 : 0.02450

有效数字的运算法则

有效数字的运算法则
有效数字运算规则是：加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。

乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。

乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。

1、加减法：先按小数点后位数最少的数据，保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。

2、乘除法：先按有效数字最少的数据保留其它各数，再进行乘除运算，计算结果仍保留相同有效数字。

3、乘方和开方：对数据进行乘方或开方时，所得结果的有效数字位数保留应与原数据相同。

4、对数计算：所取对数的小数点后的位数（不包括整数部分）应与原数据的有效数字的位数相等。

5、在计算中常遇到分数、倍数等，可视为多位有效数字。

— 1 —
6、在乘除运算过程中，首位数为"8"或"9"的数据，有效数字位数可多取1位。

7、在混合计算中，有效数字的保留以最后一步计算的规则执行。

8、表示分析方法的精密度和准确度时，大多数取1～2位有效数字。

— 2 —。

有效数字修约和计算

练习： ➢ 0.23452、0.28350、0.55278、0.45500001、0.01500
两位有效数字：0.23、0.28、0.55、0.46、0.15 三位有效数字：0.235、0.284、0.553、0.455、0.0150
（3）只进不舍规则在相对标准偏差（RSD）中采取“只进不舍”的规则，如0.162%，0.52%修约时
解析：
计算公式应为乘除运算，其中0.0408的有效数字位数最少，为三位有效数字，以此为准进行进算（在运算过程中暂时多保留一位）。
0.0408÷1.004×100.0%=4.064%
因标准规定的限度为不得过4.0%，故将计算结果4.064%修约为4.1%，大于 4.0%，应判为不符合规定。（切忌不能以最后标准的有效位数为准则进行运算，运算是应先按照运算规则修约计算后将计算结果修约到标准中所规定的有效位数，而后进行判定。）
最后对计算结果进行修约，应只保留至百分位，故： 13.65 + 0.00823 + 1.633 = 13.65 + 0.008 + 1.633 = 15.291，修约为15.29
二、有效数字的运算法则
2、乘除法许多数值相乘除时，所得积或商的相对误差必较任何一个数值的相对误差大，因
此相乘除时应以诸数值中相对误差最大(即有效位数最少)的数值为准，确定其他数值在运算中保留的位数和决定计算结果的有效位数。
3、有效数字的修约规则
在多数情况下，测量数据本身并非最后的要求结果，一般需要经一系列运算后才能获得所需的结果。在计算一组准确度不等（即有效数字位数不同）的数据之前，应先按照确定了的有效数字将多余的数字修约或整化。（1）四舍五入法则
如按照英、美、日药典方法修约时，按照四舍五入进舍即可。（2）四舍六入五成双法则（源自我国科学技术委员会颁布的《数字修约规则》）

有效数字及运算规则

有效数字及运算规则1.4.1 有效数字的基本概念任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。

如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。

另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。

所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。

熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。

测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。

所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。

一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。

例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。

而cm 600.4则有四位有效数字。

实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。

1.4.2 直接测量的读数原则直接测量读数应反映出有效数字，一般应估读到测量器具最小分度值的10/1。

但由于某些仪表的分度较窄、指针较粗或测量基准较不可靠等，可估读5/1或2/1分度。

对于数字式仪表，所显示的数字均为有效数字，无需估读，误差一般出现在最末一位。

例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。

“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。

(完整)实验数据处理之有效数字运算规则

有效数字运算规则间接测量的计算过程即为有效数字的运算过程，存在不确定度的传递问题.严格说来,应根据间接测量的不确定度合成结果来确定运算结果的有效数字。

但是在没有进行不确定度估算时，可根据下列的有效数字运算法则粗略地算出结果。

有效数字运算总的原则是：运算结果只保留一位（最多两位）欠准确数字.1．加减运算根据不确定度合成理论，加减运算结果的不确定度,等于参与运算的各量不确定度平方和的开方，其结果大于参与运算各量中的最大不确定度。

如：y x N +=x y x N U U U U >+=22（或y U )因此，加减运算结果的有效数字的末位应与参与运算的各数据中不确定度最大的末位对齐,或根据有效数字与不确定度的关系,计算结果的欠准确数字与参与运算的各数值中最先出现的欠准确数字对齐。

下面例题中在数字上加一短线的为欠准确数字。

【例3】235.31.32+和652.19.116-的计算结果各应保留几位数字?【解】先观察一下具体计算过程：533.35523.31.32+ 842.115265.19.116-可见，一个数字与一个欠准确数字相加或相减,其结果必然是欠准确数字。

例3中各数值最先出现欠准确数字的位置在小数点后第一位，按照运算结果保留一位欠准确数字的原则3.35235.31.32=+ 2.115652.19.116=-分别为三位有效数字和四位有效数字，2．乘除运算乘除运算结果的相对不确定度，等于参与运算各量的相对不确定度平方和的开方,因此运算结果的相对不确定度大于参与运算各量中的最大相对不确定度。

我们知道，有效数字位数越少,其相对不确定度越大。

所以，乘除运算结果的有效数字位数,与参与运算各量中有效数字位数最少的相同。

【例4】11.11111.1⨯的计算结果应保留几位数字？【解】计算过程如下：因为一个数字与一个欠准确数字相乘，其结果必然是欠准确数字。

所以，由上面的运算过程可见，小数点后面第二位的“3”及其后的数字都是欠准确数字。

第三节有效数字及其运算规则案例

准确数字
可疑数字绝对误差相对误差ห้องสมุดไป่ตู้
0.19% 实际数据范围 51.8 0.1
3. 在0 ～ 9中，只有“ 0 ”既是有效数字，又是无效数字(双重意义)
例： 0.06050 四位有效数字
定位有效位数
例：3600
3600 → 3.6×103
有效数字位数不确定
两位
3600 → 3.60×103
说明: 以有效数字位数最少的数为准把其他数据修约为相同位数
小测
1.一个分析工作者获得3个极接近的平行测定的结果，问可能得出下面什么结论：（1）偶然误差很低（2）系统误差很低（3）所用试剂很纯（4）平均值是准确的
2.若分析结果的精密度很好，准确度很差，可能是下面哪几种原因造成的：（1）操作中未发生机械损失（如溶液溅出）（2）使用为校正的砝码（3）称样量记录有差错（4）使用试剂不纯
3.某试样经分析测得含锰的质量分数（％）为：41.24，41.27，41.23，41.23，求分析结果的平均偏差，标准偏差和变异系数。
4.下列数据包含几位有效数字，若有效数字位数大于两位的请修约为两位（1）0.0251 （2）0.2180 （3）1.8×10-5 （4）pK＝2.55 （5）6910 （6）20.37
51.8
这两个数是一样的吗?
51.80
第三节有效数字及其运算规则
一、有效数字二、有效数字的修约规则三、有效数字的运算法则
一、有效数字：实际可以测量得到的数字 1. 有效数字由其前面的所有准确数字和最后一位可疑数字构成
例：滴定读数 20.30mL ，四位有效数字 , 其中 “20.3”是准确数字,最后一位“0”是可疑的,

有效数字及其运算法则 - 有效数字及其运算法则

0.536 0.001 0.25
14.7 - 0.3674 - 14.064 =（小数1位）
14.7 0.37 14.06
8
2.乘除法各测量值相对误差传递计算结果以有效数字位数最少的为准
若 R=XY R x b
R xb
9
x 0.3210 48.112 (21.25 16.10) 0.28451000 0.3210 48.112 5.15 0.28451000
0.3210 48.11 5.15 (三位） 0.28451000
10
例：6.549， 2.451 一次修约至两位有效数字
6
3、运算过程中可多保留一位 4、修约标准偏差其结果应使准确度降低
S=0.213 两位 S=0.22 表示标准偏差和RSD时，通常取两位有效数字
7
三、运算法则 1、加减法
各测量值绝对误差传递，结果与数据中绝对误差大的数据相当
0.5362 + 0.001 + 0.25 =（小数点后两位）
5．结果首位为8和9时，有效数字可以多计一位。例：90.0%,101.4% 均可示为四位有效数字.
3
6. 记录有效数字时，不可夸大。例：托盘天平：10.3g × 10.3000g,
量筒：10 mL H2O × 10.00mL. 7.常量分析0.000018 2500L （4位） 86（3位） 99.9%（4位） pH=12.26（2位）
2.5430 （5位） Ka=1.8×10-5（2位） 2.50×10-3（3位） 9 （2位） 100.1%（4位）
5
二、数字修约规则
1、四舍六入五留双
四位：14.2442 24.4863 15.0250 15.0150 15.0251

有效数字及运算规则

有效数字及运算规则一、有效数字为了取得准确的分析结果，不仅要准确测量，而且还要正确记录与计算。

所谓正确记录是指记录数字的位数。

因为数字的位数不仅表示数字的大小，也反映测量的准确程度。

所谓有效数字，就是实际能测得的数字。

有效数字保留的位数，应根据分析方法与仪器的准确度来决定，一般使测得的数值中只有最后一位是可疑的。

例如在分析天平上称取试样，这不仅表明试样的质量，还表明称量的误差在±以内。

如将其质量记录成，则表明该试样是在台称上称量的，其称量误差为，故记录数据的位数不能任意增加或减少。

如在上例中，在分析天平上，测得称量瓶的重量为，这个记录说明有6位有效数字，最后一位是可疑的。

因为分析天平只能称准到,即称量瓶的实际重量应为±,无论计量仪器如何精密，其最后一位数总是估计出来的。

因此所谓有效数字就是保留末一位不准确数字，其余数字均为准确数字。

同时从上面的例子也可以看出有效数字是和仪器的准确程度有关,即有效数字不仅表明数量的大小而且也反映测量的准确度.二、有效数字中＂0＂的意义＂0＂在有效数字中有两种意义：一种是作为数字定值，另一种是有效数字．例如在分析天平上称量物质，得到如下质量：物质称量瓶Ｎａ2ＣＯ３H2C2O4·2H2O称量纸质量１０．１４３０２.１０４５有效数字位数６位5位4位3位以上数据中“0”所起的作用是不同的。

在中两个“0”都是有效数字，所以它有6位有效数字。

在中的“0”也是有效数字，所以它有5位有效数字。

在中，小数前面的“0”是定值用的，不是有效数字，而在数据中的“0”是有效数字，所以它有4位有效数字。

在中，“1”前面的两个“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效数字，所以它有3位有效数字。

综上所述，数字中间的“0”和末尾的“0”都是有效数字，而数字前面所有的“0”只起定值作用。

以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不确定。

例如4500这个数，就不会确定是几位有效数字，可能为2位或3位，也可能是4位。

有效数字及运算法则

（2）m=(72.3200±0.4)Kg
m=(72.3±0.4)Kg （3）v=1.23±0.015m／s v=(1.23±0.02)m／s
找出下列正确的数据记录：
(4)用量程为100 mA，刻有100小格的0.1级表测量电流，指针指在80小格上；用量程为100V，刻有50小格的1.0级表测量电压，指针指在40小格上，数据如下：
（4）1.002 = 1.00 （5） 1.00 1.00
（6）1002 = 1.00×104
计算:
100 0.1 4 log1000 ______, 17.3021 7.3021
其中 17.3021 - 7.3021 = 10.0000 __________, 3.0000 Log 1000 = ___________,
2 lg100.0 10.0 27.3211 27.31
35
=
100 2.0000 35 0.01
4 35 2 10 =
=
4 210
试用有效数字计算结果：
（1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000
（3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103
2位有效数
1位有效数
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则：读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度
例1
62 . 5 + 1. 234 = 63 . 7 – 62.5 – + 1.234
————— ––
–
–
–63.734结果为来自63.7–例2
————— ––
63 . 7 - 5. 43 = 58 . 3 – 63. 7 – - 5. 43 58. 27

有效数字及运算法则

有效数字的位数
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字）
20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.不确定度的表达
N N (单位)
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
a 10.0 0.1cm2 b 20.02 0.01cm
100.0035=1.00809611.008
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 2.乘除法 3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差，故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数、e等的位数可与参加运算的量中有效数字位数最少的位数相同或多取一位。
例 9 L=2R 其中R=2.3510-2m
就应取3.14(或3.142)
即L=23.1422.3510-2=0.148(m)
综合运算举例
50.00 ( 18.30 16.3 ) ( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 )
=
50.00 2.0 100 1.00
=
1.0102 100
= 1.0
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31 = 100 2.0000 35
0.01 = 2104 35 = 2104
试用有效数字计算结果：（1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00

有效数字运算法则

1.3 有效数字及其运算法则物理实验中要记录数据并进行运算，记录的数据应取几位，运算后应保留几位，这些要由不确定度来决定，也涉及有效数字的问题。

1.3.1 有效数字的概念任何一个物理量，既然其测量结果都包含有误差，该物理量的数值就不应该无限制地写下去。

例如，cm应写成cm。

因为由不确定度0.02cm可知，该数值在百分位上已有误差，在它以后的数字便没有意义了。

因此，测量结果只写到有误差的那一位数，并且在位数以后按“四舍五入”的法则取舍。

最后一位虽然有误差，但在一定程度上也能反映出被测量的客观大小，也是有效的。

所以我们把能反映出被测量实际大小的全部数字，称为有效数字。

或者说，我们把测量结果中可靠的几位数字加上有误差的一位数字，统称为测量结果的有效数字。

有效数字数字的个数叫做有效数字的位数，如上述的1.37cm称为三位有效数字。

有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。

因此，用以表示小数点位置的0不是有效数字。

当0不是用作表示小数点位置时，0和其它数字具有同等地位，都是有效数字。

显然，在有效数字的位数确定时，第一个不为零的数字左面的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位数。

如0.0135m是三位有效数字，0.0135m 和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不过是分别采用了米、厘米和毫米作为长度的表示单位；1.030m是四位有效数字。

从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而1.030m 是用最小刻度为厘米的尺子测量的。

因此，正确掌握有效数字的概念对物理实验来说是十分必要的。

有效数字的位数多少大致反映相对不确定度的大小。

有效数字位数越多，相对不确定度越小，测量结果的精确度越高。

1.3.2 如何确定有效数字当给出（或求出）不确定度时，测量结果的有效数字由不确定度来确定。

由于不确定度本身只是一个估计值，一般情况下，不确定度的有效数字只取一位（若首位为1、2时，不确定度可取二位）。