甘肃省武威二中届高三第一次月考数学试卷(解析版).doc

甘肃省武威二中2017届高三第一次月考数学试卷(解析版).d o c -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12016-2017学年甘肃省武威二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|0＜x＜4}，B={x|x2+x﹣12≤0}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x≤3} B．{x|3≤x＜4} C．{x|0＜x＜4} D．{x|﹣4≤x＜4}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+4）≤0，解得：﹣4≤x≤3，即B={x|﹣4≤x≤3}，∵A={x|0＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x≤3}，故选：A．2． sinxdx的值为（）A．B．πC．1 D．2【考点】定积分．【分析】直接利用定积分公式求解即可．【解答】解： sinxdx=（﹣cosx）=﹣cosπ+cos0=2．故选：D．3．曲线y=x+e x在点（0，1）处的切线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．x+2y﹣1=0 C．2x﹣y+1=0 D．x﹣2y+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求切线方程．【解答】解：∵y=f（x）=x+e x，∴f'（x）=1+e x，∴在点（0，1）处切线斜率k=f'（0）=1+1=2，∴在点（0，1）处切线方程为y﹣1=2（x﹣0）=2x，即2x﹣y+1=0，故选：C．4．命题“若整数a、b中至少有一个是偶数，则ab是偶数”的逆否命题为（）A．若整数a，b中至多有一个偶数，则ab是偶数B．若整数a，b都不是偶数，则ab不是偶数C．若ab不是偶数，则整数a，b都不是偶数D．若ab不是偶数，则整数a，b不都是偶数【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，即得到原命题的逆否命题．【解答】解：命题“若整数a、b中至少有一个是偶数，则ab是偶数”的逆否命题“若ab不是偶数，则整数a，b都不是偶数“，故选：C5．函数f（x）=2﹣在[0，1]上的最小值为（）A．0 B．C．1 D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，根据x的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：f′（x）=﹣x=，∵x∈[0，1]，∴1﹣x≥0，∴f′（x）≥0，∴f（x）在[0，1]递增，∴f（x）min=f（0）=0，故选：A．6．已知m=log0.58，n=3.2﹣3，p=3.20.3，则实数m，n，p的大小关系为（）A．m＜p＜n B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m【考点】对数值大小的比较．【分析】根据对数以及指数函数的性质判断大小即可．【解答】解：∵m=log0.58＜0，0＜n=3.2﹣3＜1，p=3.20.3＞1，∴m＜n＜p，故选：B．7．“a=1”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣1]上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用二次函数的单调性可得a的取值范围，再利用简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，﹣1]内单调递减，∴a≥﹣1．∴“a=1”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣1]上单调递减的充分不必要条件．故选：A．8．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f（x）﹣f（﹣x）=0，当x＞0时，f（x）=lnx﹣x+1，则函数y=f（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断点的坐标即可得到结果．【解答】解：函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f（x）﹣f（﹣x）=0，可知函数是偶函数，选项A、B错误，当x＞0时，f（x）=lnx﹣x+1，当x=2时，f（2）=ln2﹣2+1＜0，所以C错误，D正确．故选：D．9．下列函数中，既是偶函数，又在（2，4）上单调递增的函数为（）A．f（x）=2x+x B．C．f（x）=﹣x|x| D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】利用偶函数的定义与函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：利用偶函数的定义：在定义域内，满足f（﹣x）=f（x），即为偶函数，只有B，D满足，又在（2，4）上单调递增的函数为D．故选：D．10．已知使关于x的不等式+1≥﹣对任意的x∈（0，+∞）恒成立的实数m的取值集合为A，函数f（x）=的值域为B，则有（）A．B⊆∁R A B．A⊆∁R B C．B⊆A D．A⊆B【考点】函数恒成立问题．【分析】集合A，分离参数求最值；集合B利用被开方数大于等于0求得，即可得出结论．【解答】解：由题意，m≤2lnx+x+．令y=2lnx+x+，则y′=，∴0＜x＜1时，y′＜0，x＞1时，y′＞0，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，y min=4，∴A=（﹣∞，4]；∵函数f（x）=的值域为B=[﹣4，4]，∴B⊆A．故选C．11．已知函数f（x）=（2k﹣1）lnx++2x，有以下命题：①当k=﹣时，函数f（x）在（0，）上单调递增；②当k≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上有极大值；③当﹣＜k＜0时，函数f（x）在（，+∞）上单调递减；④当k＜﹣时，函数f（x）在（0，+∞）上有极大值f（），有极小值f（﹣k）．其中不正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求函数的导数，分别利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=﹣+2===，①当k=﹣时，f′（x）=≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，则在（0，）上单调递增，故①正确；②当k≥0时，由f′（x）＞0得x＞，此时函数为增函数，由f′（x）＜0，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x=时，函数f（x）存在极小值，即可函数f（x）在（0，+∞）上有极大值错误，故②错误；③当﹣＜k＜0时，则0＜﹣k＜，由f′（x）＜0得﹣k＜x＜，由f′（x）＞0得0＜x＜﹣k或x＞，即函数f（x）在（，+∞）上单调递增；故③错误，④当k＜﹣时，﹣k＞，由f′（x）＞0得0＜x＜或x＞﹣k，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得＜x＜﹣k，即函数为减函数，即函数f（x）在（0，+∞）上有极大值f（），有极小值f（﹣k）．故④正确，故不正确命题的序号②③，故选：B12．已知f（x）=，若方程f（x）﹣4ax=a（a≠0）有唯一解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的表达式，画出函数图象，结合图象求出a的范围即可，【解答】解：令﹣1＜x＜0，则0＜x+1＜1，则f（x+1）=x+1，故f（x）=，如图示：由f（x）﹣4ax=a（a≠0），得：f（x）=a（4x+1），函数y=a（4x+1）恒过（﹣，0），故K AB==，若方程f（x）﹣4ax=a（a≠0）有唯一解，则4a≥，解得：a≥，当4ax+a=﹣1即图象相切时，根据△=0，解得：a=﹣1，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13．命题“∃x0∈R，sinx0+2x02＞cosx0”的否定为∀x∈R，sinx+2x2≤cosx．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，sinx0+2x02＞cosx0”的否定为：∀x∈R，sinx+2x2≤cosx．故答案为：∀x∈R，sinx+2x2≤cosx．14．若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在[﹣2，1]上的最大值为4，最小值为b，且函数g （x）=（2﹣7b）x是减函数，则a+b=1．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据指数函数的图象及性质求其在[﹣2，1]的最值关系，再由g（x）=（2﹣7b）x 是减函数，2﹣7b＜0，求出a、b的值即可．【解答】解：由题意，函数g（x）=（2﹣7b）x是减函数；∴2﹣7b＜0，解得b＞；根据指数函数的图象及性质可知：当a＞1时，函数f（x）=a x在[﹣2，1]上是在增函数，则有a﹣2=b，a=4，解得：b=，不满足题意，故a≠4；当1＞a＞0时，函数f（x）=a x在[﹣2，1]上是减函数，则有a﹣2=4，a=b，解得：a=，b=，满足题意，故a+b=1．故答案为：1．15．满足的所有点M（x，y）构成的图形的面积为．【考点】简单线性规划的应用．【分析】画出可行域，求出A，B坐标，利用定积分求解区域的面积即可．【解答】解：满足的所有点M（x，y）构成的图形如图：，可得A（2，3），B（，0）．所求区域的面积为：===．故答案为：．16．已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（1﹣x）=f（1+x），当﹣2＜x≤﹣1时，f （x）=﹣log（2+x），则函数y=2f（x）﹣1在（0，8）内的所有零点之和为12．【考点】抽象函数及其应用．【分析】求出f（x）的对称轴和周期，做出f（x）的函数图象，根据函数的对称性得出答案．【解答】解：∵f（x）是奇函数，f（1﹣x）=f（1+x），∴f（x+1）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），f（x+3）=f（﹣1﹣x）=﹣f（x+1），∴f（x﹣1）=f（x+3），∴f（x）的周期为4，又f（1﹣x）=f（1+x），f（x）是奇函数，∴f（x）关于直线x=1对称，f（x）根与原点对称，做出f（x）的函数图象如图所示：令y=2f（x）﹣1=0得f（x）=，由图象可知f（x）=共有4个解，分别关于x=1和x=5对称，设4个解分别为x1，x2，x3，x4，则x1+x2=2，x3+x4=10，∴x1+x2+x3+x4=12．故答案为12．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知集合A={x|1＜x≤5}，集合B={x|≥0}．（1）求A∩B；（2）若集合C={x|a≤x≤4a﹣3}，且C∪A=A，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可；（2）由C与A的并集为A，得到C为A的子集，分C为空集与不为空集两种情况求出a 的范围即可．【解答】解：（1）由B中不等式变形得：（2x﹣5）（x﹣6）≥0，解得：x≤或x＞6，即B={x|x≤或x＞6}，∵A={x|1＜x≤5}，∴A∩B={x|1＜x≤}；（2）∵C∪A=A，∴C⊆A，①当4a﹣3＜a，即a＜1时，C=∅，满足题意；②当4a﹣3≥a，即a≥1时，要使C⊆A，则有，解得：1＜a≤2，综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]．18．已知函数f（x）=ax3﹣x2（a＞0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．【考点】变化的快慢与变化率；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据导数和函数的最值的关系即可求出，（2）根据导数和函数的单调性即可求求出．【解答】解：（1）依题意，f'（x）=3x2﹣x=x（3x﹣1），当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0，所以当时，函数f（x）有最小值，又，故函数f（x）在[0，1]上的最大值为，最小值为，（2）依题意，f'（x）=3ax2﹣x，因为（3ax2﹣x）′=6ax﹣1＜0，所以f'（x）的递减区间为．当时，f'（x）=3ax2﹣x=x（3ax﹣1）＜0，所以f（x）在f'（x）的递减区间上也递减．19．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）的图象关于原点对称，且函数f（x）在[﹣1，1]上为减函数．（1）证明：当x1+x2≠0时，＜0；（2）若f（m2﹣1）+f（m﹣1）＞0，求实数m的取值范围．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【分析】（1）结合已知中函数的单调性，分x1+x2＞0时和x1+x2＜0时两种情况讨论，可证得当x1+x2≠0时，＜0；（2）若f（m2﹣1）+f（m﹣1）＞0，则f（m2﹣1）＞f（1﹣m），则﹣1≤m2﹣1＜1﹣m ≤1，解得答案．【解答】证明：（1）∵定义在[﹣1，1]上的函数f（x）的图象关于原点对称，且函数f （x）在[﹣1，1]上为减函数．当x1+x2＞0时，x1＞﹣x2，f（x1）＜f（﹣x2）=﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）＜0，此时＜0；当x1+x2＜0时，x1＜﹣x2，f（x1）＞f（﹣x2）=﹣f（x2），即f（x1）+f（x2）＞0，此时＜0；综上可得：当x1+x2≠0时，＜0；解：（2）若f（m2﹣1）+f（m﹣1）＞0，则f（m2﹣1）＞﹣f（m﹣1）=f（1﹣m），故﹣1≤m2﹣1＜1﹣m≤1，解得：m∈（﹣2，1），∴实数m的取值范围为（﹣2，1）．20．已知p：∃x∈（0，+∞），x2﹣2elnx≤m；q：函数y=（）在[2，+∞）上单调递减．（1）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时m的范围，（1）根据p，q都为假，求出m的范围是空集；（2）根据p，q一真一假，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：设f（x）=x2﹣2elnx，（x＞0），若∃x∈（0，+∞），x2﹣2elnx≤m，则只需m≥f（x）min即可，由f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）min=f（）=0，故m≥0，故p：m≥0；若函数y=（）在[2，+∞）上单调递减，则y=2x2﹣mx+2在[2，+∞）递增，则对称轴x=﹣≤2，解得：m≤8，故q：m≤8；（1）若p∨q为假命题，则p假q假，则，无解；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，故或，解得：m＞8或m＜0．21．已知函数f（x）=x3+x2﹣ax+1，且f'（1）=4．（1）求函数f（x）的极值；（2）当0≤x≤a+1时，证明：＞x．【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）令，通过求导得到函数的单调性，通过讨论x的范围证出结论即可．【解答】解：（1）依题意，f'（x）=3x2+2x﹣a，f'（1）=3+2﹣a=4，a=1，故f'（x）=3x2+2x﹣1=（3x﹣1）（x+1），令f'（x）＞0，则x＜﹣1或；令f'（x）＜0，则，故当x=﹣1时，函数f（x）有极大值f（﹣1）=2，当时，函数f（x）有极小值…证明：（2）由（1）知a=1，令，则，可知φ（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，令g（x）=x．①当x∈[0，1]时，φ（x）min=φ（0）=1，g（x）max=1，所以函数φ（x）的图象在g（x）图象的上方．②当x∈[1，2]时，函数φ（x）单调递减，所以其最小值为最大值为2，而，所以函数φ（x）的图象也在g（x）图象的上方．综上可知，当0≤x≤a+1时，…22．某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x），则可得，，；（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为，可得T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x），分类讨论：①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；②当k ≥3时，T2（x）＜T1（x），记，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T （x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间，从而问题得解．【解答】解：（1）设写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x）∴，，其中x，kx，200﹣（1+k）x均为1到200之间的正整数（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为∴T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x）①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{} ∵T1（x），T3（x）为增函数，∴当时，f（x）取得最小值，此时x=∵，，，f（44）＜f（45）∴x=44时，完成订单任务的时间最短，时间最短为②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），记，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{}∵T1（x）为减函数，T（x）为增函数，∴当时，φ（x）取得最小值，此时x=∵，，∴完成订单任务的时间大于③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{}∵T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，∴当时，φ（x）取得最小值，此时x=类似①的讨论，此时完成订单任务的时间为，大于综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68．2016年12月15日。