高中数学:解析几何中求最值的几种方法

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求最值方法 -高考数学复习

求最值方法 -高考数学复习

一问一答--------最值问题方法总论1高中数学求最值有哪些方法答:有9种方法:1)配方法 2)判别式法;3)不等式法;4)换元法;5)函数单调性法;6)三角函数性质法;7)导数法;8)数形结合发 ;9)向量法2 如何将恒成立问题转化为最值问题答:1) ()a f x ≥恒成立,则max ()a f x ≥ 2)()a f x ≤恒成立,则min ()a f x ≤一元整式函数最值1、二次函数开口方向、对称轴、所给区间均确定,如何求最值答:1)确定对称轴与x 轴交点的横坐标是否在所给区间。

2)如果在所给区间,一个最值在顶点处取得,另一个最值在与顶点横坐标较远的端点处取得。

3)若不在所给区间,利用函数的单调性确定其最值。

2、二次函数所给区间确定,对称轴位置变化,如何求最值答:1)移动对称轴,将对称轴平移到定区间的左侧、右侧及区间内讨论,2)在区间内,只考虑对称轴与区间端点的距离即可。

3、二次函数所给区间变化,对称轴位置确定,如何求最值答:分类讨论,分为四种情况:1)对称轴在闭区间左侧;2)对称轴在闭区间右侧3)对称轴在闭区间内且在中点的左侧;4)对称轴在闭区间内且在中点的右侧(或过中点);4、二次函数所给区间、对称轴位置都不确定,如何求最值答:将其中一个看作是“定”的,另一个看作是“动”的,然后如上分四种情况进行讨论。

5、什么情况下运用基本不等式求最值答:当两个变量的和或积为定值时运用,有时需要变形。

即两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,两个正数的和为定值时,它们的积有最大值。

6、对于多项式乘积的最值问题,如何求解答:可以考虑展开后,利用基本不等式求解7、如何求复合型函数的最值答:若函数(),()f x g x 在[.]m n 上单调性相同,则()()()h x f x g x =+在[.]m n 上与(),()f x g x 有相同的单调性,可利用单调性求()h x 在[.]m n 上的最值。

三角函数最值的特征解法

三角函数最值的特征解法

三角函数最值的特征解法三角函数是高中数学中非常重要的内容之一,涉及到三角函数的最值问题是解析几何中非常经典的问题,也是数学中的一个重要研究方向之一、三角函数的最值问题可以用几何方法解决,也可以通过数学分析的方法解决。

几何方法解决三角函数最值问题:一、用三角形的面积求解:对于给定的三角形ABC,若要求最大值或最小值,则把三角形的三个顶点坐标x,y表示成已知直角边x与角度的函数形式(坐标x=af(θ),坐标y=bg(θ)),作直角坐标中的参数方程,然后求它的面积。

一般地,对于三角形的最大或最小面积问题,以到形如y=af(x)与y=bg(x)的直线为直角边的直角三角形的面积最小或最大。

这只是抛物线和双曲线的纵坐标当作已知直角边进行求解的特例。

二、利用三角形的性质求解:对于给定的三角形ABC,已知ΔABC正弦的值,即sinA, sinB, sinC,则根据三角形的面积公式Δ=1/2ABSinc,我们可以求出最大或最小的三角形的面积,进而求出三角形的最值。

通过数学分析的方法解决三角函数最值问题:一、利用函数导数的零点求解:对于给定的三角函数f(x),我们可以通过求f(x)的导数,然后求导数的零点来求解函数的极值点。

对于一个周期函数,我们只需关注一个周期内的导数的零点。

通过求解导数的零点,可以找到函数的极值点。

二、利用函数的变化趋势求解:通过观察函数的图像或者利用函数的性质,可以确定函数的最值点。

例如,对于周期函数,我们只需关注一个周期内的函数变化趋势即可。

通过观察函数的周期、周期内的对称性等特点,可以推测出函数的最值点。

三、利用辅助角的方法求解:对于给定的三角函数f(x),复杂的问题可以通过引入辅助角来简化。

通过引入辅助角,可以将原问题转化为一个更简单的三角函数问题,从而求解函数的最值。

四、利用三角函数的周期性求解:对于三角函数的最值问题,我们可以利用函数的周期性来求解。

通过观察函数的周期,可以确定函数的最值点。

高中数学专题---最值或取值范围问题

高中数学专题---最值或取值范围问题

高中数学专题--- 最值或取值范围问题基本方法:最值或取值范围问题解题策略一般有以下几种:(1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质求解.(2)代数法:在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数(自变量)的取值范围;②利用已知参数(自变量)的范围,求新参数(新自变量)的范围,解这类问题的核心是在两个参数(自变量)之间建立等量关系;③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数(自变量)的取值范围; ④利用基本不等式求出参数(自变量)的取值范围;⑤利用函数的值域的求法,如导数法等,确定参数(自变量)的取值范围. 最值或取值范围问题,是解析几何中的一类常见问题,解决这类问题的关键是构造含参数(自变量)的不等式,通过解不等式求出其范围,韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.一、典型例题1. 已知抛物线2y x =和C :()2211x y ++=,过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥,作C 的两条切线,与y 轴分别相交于A ,B 两点.求ABP ∆面积的最小值.2. 已知椭圆:C 2214y x +=,过点()0,3M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ,B . 设P 为椭圆上一点,且OA OB OP λ+=(O 为坐标原点).求当AB <λ的取值x范围.二、课堂练习1. 已知椭圆C :2214x y +=,过点()4,0M 的直线l 交椭圆于A ,B 两个不同的点,且MA MB λ=⋅,求λ的取值范围.2. 已知A ,B 为椭圆Γ:22142x y +=的左,右顶点,若点()()000,0P x y y ≠为直线4x =上的任意一点,PA ,PB 交椭圆Γ于C ,D 两点,求四边形ACBD 面积的最大值.三、课后作业1. 已知椭圆22:143x y C +=,过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于点,E F (异于椭圆C 的左、右顶点),线段EF 的中点为M .点A 是椭圆C 的右顶点.求直线MA 的斜率k 的取值范围.2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,准线为l ,过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ,()22,B x y 两点,点B 在准线l 上的投影为E ,D 是C 上一点,且AD EF ⊥,求ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程.x3. 已知F 为椭圆2214x y +=的一个焦点,过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求点G 横坐标的取值范围.。

高中数学解题方法系列:函数求极值问题的6种方法

高中数学解题方法系列:函数求极值问题的6种方法

成一个无盖的方盒,问截去多少方能使盒子容积最大?
解:设截的小正方形边长为 x,则做成方盒容积为 y=(x-2a) x(0≤x≤a/2)
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析:本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难,若将函数表达变形为; 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围,最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题,计算量较大。我们仔细分析约束条件,将约束条件可以整理为
,它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x-3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下,直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断:当 x=0,
;当 x=3,
,对此类型问题的
思考:当函数解析式含有较多绝对值符号的时候,如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值,那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢?经过对问题
的分析,我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点,要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点(x、y)到原点的距离的平方,而
动点(x、y)在直线 2x+4y=1 上移动,那么我们就将问题转化为在直线上找一点,
于:能深刻理解函数解析式的内涵,且计算简单。

高中数学解题方法系列:函数求极值问题的6种方法

高中数学解题方法系列:函数求极值问题的6种方法

高中数学解题方法系列:函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式,我们如果能大致作出其对应的函数图像,那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。

因此,只要我们做出了函数图像,那么我们就可以根据图像找到极值点,从而求出函数的极值。

下面,我就从几个方面讨论一下,函数图象在求极值问题中的应用。

一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。

我们给出问题的一般形式,设a≤x≤b,求函数的极值。

很容易判断该函数为分段函数,其对应的图像是折线,因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。

例1设-2≤x≤3,求函数的最值。

解:若将函数示为分段函数形式。

作出函数图像根据图像我们可以判断:当x=0,;当x=3,,对此类型问题的思考:当函数解析式含有较多绝对值符号的时候,如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值,那么过程就非常复杂。

那么是否有更简单的方法呢?经过对问题的分析,我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点,要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点)因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。

经过比较就得出了极值例如上题:f(-2)=7、f(-1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、、=8,据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。

=max {f(bi)、i=1、2、3……n },=min {f(-bi),i=1、2、3……n }.二、将极值问题转化为几何问题。

运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解,挖掘解析式所蕴含的几何意义。

1.转化为求直线斜率的最值。

例2求函数的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。

通过分析我们发现该函数可以看做过点A (3、2)与B (sin 、-cos )两点直线的斜率。

而动点B的轨迹是y xo 3+=x y 3+-=x y 13+-=x y 13-=x y圆x2+y2=1。

因此我们就将问题转化为了求定点(3、2)与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。

求的最大值与最小值

求的最大值与最小值

例2、当点 ( x, y ) 在圆
2 2
x y 25 上时,
2 2
求 k 3x 4xy 6 y 的最大值与最小 值。
三、 用曲线定义或几何性质求最值 此种题型以选择题或填空题为多数,关键 要对曲线定义及曲线几何性质等概念理解透, 用得活。 例3、已知A(4,0),B(2,2)是
圆的方程.
(97年全国高考题)
例9、已知抛物线的对称轴为y轴,顶点
A的坐标是(0,-1),并且抛物线在x 轴上截得的BC(左B)的长为2,在此 抛物线上取两点P(异于B)、Q,若能 使BP⊥PQ,试求点Q存在范围.
(95上海高考题)
n
五、用二次方程根的判别式求最值 若函数式可变形为要求最值的变量作为另 一个变量二次方程的系数时,一般采用判别 式法求最值.
例8、设圆满足:①截y轴所得弦长为 2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比 为3:1,在满足条件①、②的所有圆中, 求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的
x2 y2 1 25 9
椭圆内的两个点,M是椭圆上
MA MB
的动点,求
的最大值和最小值。
x y 例4、已知双曲线 1的右焦点为 9 16
2
2
F,点A(9,2),试在这个双曲线上求
3 一点M,使 MA 5 MF
的值最小,并求出
这个最小值。
Y M N
B
A
F X
例5、已知直线l:x+y=8,点F1 (4,0) ,
四、利用不等式求最值
x2 y2 2 1(m n 0) 2 m n
例7、设椭圆的方程为 过原点且倾斜角为 和 (0 2 ) 的 两条直线分别交椭圆于A、C和B、D 四点。 (1)用θ,m,n表示四边形ABCD的面积S; (2)若m,n为定值,当θ在 0, 上变化 4 时,求S的最大值u; m (3)如果u>mn,求 的取值范围。

浅谈如何有效地解决解析几何中的最值问题

浅谈如何有效地解决解析几何中的最值问题
我们应大胆地 尝试此做法.本题主要考查直 线、圆和椭 圆参数方 程的理解以及 化参数方程为普通方程的方法,椭圆方程 的应用、
由双 曲线的第二定义 知
:, 。
Il d 1 I Nl = ,  ̄
所以I 4 I =I + =I +I I P I P I P I d P I . M F M M

C:{ 2
【 =3i y sn0
( 为参数) 0 .
( ) C,C 的方 程为普通 方程 ,并说 明它们 分别表 示什 1化
么 曲线 ;

半 =, } }则y , 直 径r1设 j 当 ,
线 Y= 与圆 c相切 时 ,卫 取最值 .
所 以
Байду номын сангаас0
( ) C 上的点 P对应 的参数为 £ ,Q为 C 上 的动点 , 2若 = 2
( ) —Y: 2设 m,
均为参数 方程 ,两 问相 互关联 ,可 以化 参数方程 为熟 悉的普通
方 程 ,于是 问题 获 得 如 下 解 法 .
则 , —m与圆 C相切 时 , — , = Y有最值 ,
所 以
、2 /
解 ( C ( 4+ 一) 1C 昔 ・ :1 - ) ( 3=,z ): + : 手 1
分 析 : 本 题 与 例 3有 类 似 之 处 , 利 用 定 义 及 几 何 特 征 可 买
现 问题 的转 化 .
故 (+刚, 手i) 一 4 2 s . 2c n
C 为 直 线 一2 , y一7=0 , 到 G 的距 离 d=T - ・ V3
解 由 曲音一 =知 =,= :双 线 手 1 1b9 6 2,
所 以 c =2 , 5 ) 5 ,0 ,

高中数学函数、数列、不等式、几何求【最值问题】通解法分享!

高中数学函数、数列、不等式、几何求【最值问题】通解法分享!

通解法就是把数列、不等式、解析几何等最值问题通通转化为函数问题,然后根据函数的属性来求最值。

高中数学最值问题
【基础方法介绍】
1、求函数最值常见的方法主要有这7种:
配方法,单调性法,均值不等式法,导数法,判别式法,三角函数有界性,数形结合图象法。

2、求几类重要函数的最值方法;
3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型:直接法,目标函数法 (线性规划,曲函数的最值 )
【各类最值题型通解方法】
【函数求最值常用10法例题解析】
方法1:利用一次函数的单调性
方法2:利用二次函数的性质
方法3:利用二次方程的判别式
方法4:利用一些重要不等式求最值
方法5:利用三角函数的有界性求最值
方法6:利用参数换元求最值
方法7:利用图形对称性求最值
方法8:利用圆锥曲线的切线求最值
方法9:利用复数的性质求最值
方法10:利用数形结合方法求最值
【最值问题练习】。

解析几何中最值问题的常用解法

解析几何中最值问题的常用解法

又P (,2 ,由直线 两点方 程得 : 3 )
, .
Y一2



‘。. x 2 o一 2
0—3
设, P 0交 于 点 (t ),代入上 式 得 轴 ,O

解: ( )过点P Ⅳ I 作P 垂直直线y一 = 三于点N。依题意得
玉兰
X o一3
2x 0—2
最值 时 ,一 定要 关注 等号 成立 的 条件及 等 号是 否 能够取 得 ,而利
用均 值 不等 式求 最值 ,l 必须 关 注三 个条 件 “ 正、 二定 、三 相 轴 所成 夹 ,角 0 作为 一个 参变 量 ,此 时可 考虑 用 曲线 的参 数方 贝 0 一 应
等 ” ,所 谓 一正 , 即正值 ,这 是运 用 此方 法 的前提 条件 ,在 解题 程 来表 达流动 点 。
出章节 专 门讲授 ,可是 它却 与 中学数 学 中众 多 的知识 和方 法 紧密
解:1 .解 ()己 1 知双曲线实半轴。 4 ,虚半轴6 2 ; - √ ,半 =
相 关 。譬如 : 二次 函数 、不 等式 、 函数 的有 界性 等有 关知 识和 方 z 法 的利 用 。所 以 ,这类 最大 值和 最 小值 问题 就在 高考 数学 的考 查 轴6 中 占有 了 比较重 要 的地位 。再有 ,最 大值 和最 小 值 问题 的另一 个 显 著特 点 是它广 泛 的应 用性 和实 用性 。很 多 实 际问题 的解 决可 以 归 结 为一个 数学 上 的最大 值 或最 小值 问题 的求 解 。所 以这 类实 际 问题 的求解 ,将 有利 于 学生 把实 际 问题抽 象成 数 学 问题 的训练 , = , .所求 的椭 圆方 程为 2 ・ . X

高中数学:几何最值问题求法

高中数学:几何最值问题求法

高中数学:几何最值问题求法最值问题是平面解析几何中的一个既典型又综合的问题.求最值常见的方法有两种:代数法和几何法.若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.若题目条件和结论能明显体现某种函数关系,则可先建立目标函数,再求函数的最值,这就是代数法.一、几何法利用平面几何性质求解最值问题,这种解法若运用得当,往往显得非常简洁明快.例1、已知P(x,y)是圆上的一点,求的最大值与最小值。

分析:,于是问题就可以转化为在以A(2,0)为圆心,以为半径的圆上求点P,使它与原点连线的斜率为最大或最小。

由示意图可知,当OP与此圆相切时,其斜率达到最大值或最小值。

由OA=2,AP1=AP2=,且AP1⊥OP1,AP2⊥OP2,OP1=OP2=1,且∠AOP1=∠AOP2=60°,得。

二、代数法用代数法求最值常用的方法有以下几种:1、利用判别式法求最值、利用此法求最值时,必须同时求得变量的范围,因为方程有解,Δ≥0所指的是在()范围内方程有解,这一点应切记.例2、(同例1)分析:设,将y=kx代入圆方程得。

x为实数,方程有解,,解得,故。

即。

2、利用二次函数性质求最值.用此法求最值时,必须注意变量的取值范围.例3、已知椭圆及点P(0,5),求点P到椭圆上点的距离的最大值与最小值.分析:以(0,5)为圆心,若内切于椭圆的圆半径为r1,则r1为点P到椭圆上点的距离的最小值;若外切于椭圆的圆半径为r2,则r2为点P到椭圆上点的距离的最大值.因,故点P(0,5)在椭圆内部.设以(0,5)为圆心的圆方程为,与椭圆方程联立消去x2,得。

当时,,即;当y=7时,,即。

注:这里将距离的最大值、最小值的探求转化为半径r的函数,利用函数的性质求得定义域内的最大值、最小值.值得注意的是因为r的定义域的限制,这里不适合利用判别式法.3、利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时,必须注意应用基本不等式的条件,特别要注意等号的条件以及“和”(或“积”)是不是常数,若连续应用不等式,那么要特别注意同时取等号的条件是否存在.若存在,有最值;若不存在,无最值.例4、过点A(1,4)作一直线,它在两坐标轴上的截距都为正数,且其和为最小,求这条直线的方程.分析:可用截距式设所求直线方程为。

高中数学专题-解析几何中的最值与范围问题以及定点、定值问题

高中数学专题-解析几何中的最值与范围问题以及定点、定值问题

高中专题-解析几何中的最值与范围问题解析几何中的定点、定值问题例1设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=-+=中的一个内切,另一个外切.(1)求C 的圆心轨迹L 的方程;(2)已知点)3545,,55M F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,且P 为L 上动点,求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标.【解】(1)2214x y -=;(2)最大值为2,6525,55P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭例2设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->.(1)设E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点,求使得12EF EF +取最小值时椭圆的方程;(2)已知(0,1)N -,设斜率为(0)k k ≠的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点,A B ,点Q 满足AQ QB = ,且0NQ AB ⋅= ,求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【解】(1)最小值2213x y +=;(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭例3(1)椭圆224()4x y a +-=与抛物线22x y =有公共点,则a 的取值范围是.(2)椭圆2212516x y +=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离的最大值是().A.11B.C.D.9【解】(1)171,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)A例4在直角坐标系中,O 是原点,,A B 是第一象限内的点,并且A 在直线(tan )y x θ=上,其中42OA ππθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭,,,B 是双曲线22=1x y -上使OAB 面积最小的点,求:当θ在42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,中取什么值时,OAB 的面积最大,最大值是多少?【解】2arccos 4θ=,最大值为66专题-解析几何中的定点、定值问题例1已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点(,A B 不是左、右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.【解】(1)22143x y +=;(2)2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭例2已知点(1,1)A 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点,12,F F 是椭圆的两焦点,且满足124AF AF +=.(1)求椭圆的两焦点坐标;(2)设点B 是椭圆上任意一点,如果AB 最大时,求证:,A B 两点关于原点O 不对称;(3)设点,C D 是椭圆上两点,直线,AC AD 的倾斜角互补,试判断直线CD 的斜率是否为定值?若是定值,求出此定值;若不是定值,说明理由.【解】(1)2626,0,,033⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(2)证明略;(3)13例3如图1所示,在平面直角坐标系xOy 中,过定点(0,)C p 作直线与抛物线22(0)x py p =>相交于,A B 两点.(1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点,求ANB 面积的最小值;(2)是否垂直于y 轴的直线l ,使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由.【解】(1)2;(2)2py =例4已知椭圆方程为221169x y +=,过长轴顶点(40)A -,的两条斜率乘积为916-的直线交椭圆于另两点,B C ,问直线BC 是否过定点D ,若存在,求出D 的坐标,若不存在,说明理由.【解】直线12:98()0BC x k k y ++=过原点(0,0)例5如图3所示,设椭圆2221(2)4x y a a +=>的离心率为33,斜率为k 的直线l 过点(01)E ,,且与椭圆相交于,C D 两点.(1)求椭圆方程;(2)若直线l 与x 轴相交于点G ,且GC DE = ,求k 得值;(3)设A 为椭圆的下顶点,,AC AD k k 分别为直线,AC AD 的斜率,证明:对任意k ,恒有=-2AC AD k k ⋅【解】(1)22164x y+=;(2)63k=±;(3)证明略。

高中数学解题方法系列:函数求极值问题的6种方法

高中数学解题方法系列:函数求极值问题的6种方法

高中数学解题方法系列:函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式,我们如果能大致作出其对应的函数图像,那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。

因此,只要我们做出了函数图像,那么我们就可以根据图像找到极值点,从而求出函数的极值。

下面,我就从几个方面讨论一下,函数图象在求极值问题中的应用。

一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。

我们给出问题的一般形式,设a≤x≤b,求函数∑=+=n i bi x ai y 1的极值。

很容易判断该函数为分段函数,其对应的图像是折线,因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。

例1 设-2≤x≤3,求函数12+++-=x x x y 的最值。

解:若将函数示为分段函数形式。

作出函数图像根据图像我们可以判断:当x=0,min y 3=;当x=3,max y 8=,对此类型问题的思考:当函数解析式含有较多绝对值符号的时候,如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值,那么过程就非常复杂。

那么是否有更简单的方法呢?经过对问题的分析,我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点,要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点)因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。

经过比较就得出了极值例如上题:f(-2)=7、f(-1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、3min =y 、max y =8,据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。

max y =max {f(bi)、i=1、2、3……n }, min y =min {f(-bi),i=1、2、3……n }.二、将极值问题转化为几何问题。

运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解,挖掘解析式所蕴含的几何意义。

1. 转化为求直线斜率的最值。

例2 求函数θθsin 3cos 2-+=y 的最值 分析 函数解析式非我们常见的函数模型。

通过分析我们发现该函数可以看做过点A (3、2)与B (sin θ、-cos θ)两点直线的斜率。

高中数学期末备考:解析几何03圆中最值问题含解析

高中数学期末备考:解析几何03圆中最值问题含解析

3.圆最值问题一.重要结论1.圆中与距离最值有关的常见的结论:结论1.圆外一点A 到圆上距离最近为AO r ,最远为AO r ;结论2.过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短的弦为与过该点的直径垂直的弦;结论3.直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r ,最近为d r ;2.圆中与面积有关的最值结论:结论4.圆的内接三角形面积最大当且仅当其为等边三角形;结论5.过圆外一点P 向圆O 引两条切线,切点记为B A ,,则四边形ABPO 面积的最值等价于圆心到点P 的距离最值.3.圆中与角度有关的最值问题.结论6.圆上两点与圆外一点的连线的夹角(圆外一点为顶点)中,以这两条直线为切线时最大.结论7.圆上一点、圆心与圆外一点连线的夹角(圆外一点为顶点)中,以这条直线为切线时最大.结论8.圆上一点、圆外两点连线的夹角(圆外一点为顶点)中,以这条直线为切线时最大.结论9.圆内两点,圆上一点(圆上点为顶点)的最大夹角问题(米勒圆问题).4.其他与圆有关的最值问题结论10.两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.二.强化练习1.已知圆P 的方程为22680x y x y ,过点 1,2M 的直线与圆P 交于A ,B 两点,则弦AB 的最小值为()A.B.10C.D.52.在圆22:230M x y x 中,过点 0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为()A.B.C.D.3.已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y 上的动点,则x y 的最大值为()A.5B.5C.6D.54.已知方程22220x y kx y k 表示的圆中,当圆面积最小时,此时k ()A.-1B.0C.1D.25.直线 1210m x my m 与圆229x y 交于,M N 两点,则弦长MN 的最小值为()A.1B.26.设A 是圆22(1)9x y 上的动点,PA 是圆的切线,且4PA ,则点P 到点 5,8Q 距离的最小值为()A.4B.5C.6D.157.已知P 为抛物线24y x 上一个动点,Q 为圆 22241x y 上一个动点,那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是()A.6B.5C.4D.38.已知点M ,N 分别在圆 221:129C x y 与圆 222:2864C x y 上,则MN 的最大值为()11B.1711D.159.已知P 是半圆C x 上的点,Q 是直线10x y 上的一点,则PQ 的最小值为()1110.(2021新高考1卷).已知点P 在圆 225516x y 上,点 4,0A , 0,2B ,则()A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA 最小时,PBD.当PBA 最大时,PB 参考答案1.已知圆P 的方程为22680x y x y ,过点 1,2M 的直线与圆P 交于A ,B 两点,则弦AB 的最小值为()A.B.10C.D.5【答案】A2.在圆22:230M x y x 中,过点 0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为()A.B.C.D.【答案】B3.已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y 上的动点,则x y 的最大值为()A.5B.5C.6D.5【答案】A4.已知方程22220x y kx y k 表示的圆中,当圆面积最小时,此时k ()A.-1B.0C.1D.2【答案】B5.直线 1210m x my m 与圆229x y 交于,M N 两点,则弦长MN 的最小值为()A.1B.2【答案】D6.设A 是圆22(1)9x y 上的动点,PA 是圆的切线,且4PA ,则点P 到点 5,8Q 距离的最小值为()A.4B.5C.6D.15【答案】B7.已知P 为抛物线24y x 上一个动点,Q 为圆 22241x y 上一个动点,那么点P到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是()A.6B.5C.4D.3【答案】C8.已知点M ,N 分别在圆 221:129C x y 与圆 222:2864C x y 上,则MN的最大值为()11 B.1711D.15【答案】C9.已知P 是半圆C x 上的点,Q 是直线10x y 上的一点,则PQ 的最小值为()2112D.22【答案】D 10.ACD解析:圆 225516x y 的圆心为 5,5M ,半径为4,直线AB 的方程为142x y,即240x y ,圆心M 到直线AB4 ,所以,点P 到直线AB 的距离的最小值为425 ,最大值为4105,A 选项正确,B 选项错误;如下图所示:当PBA 最大或最小时,PB 与圆M 相切,连接MP 、BM ,可知PM PB ,BM4MP ,由勾股定理可得BP CD 选项正确.故选:ACD.多圆最值问题研究一.基本原理1.将军饮马模型:如图,动点C 为直线l 上一点,B A ,为直线l 一侧的两个定点,那么CA CB 的最小值即为做点B 关于l 的对称点'B ,然后连接'BB 后其长度.2.三角不等式:任意两边之和大于等于第三边,任意两边之差小于等于第三边,取等条件当且仅当三点共线.如图动点P 为直线l 上一点,B A ,为直线l 一侧的两个定点,那么P A PB 的最大值当且仅当B A P ,,三点共线.倘若B A ,在l 两侧,则需先利用对称将其搬到一侧再寻找最大值!此时,P A PB 的最小值为0,即P 为AB 中垂线与l 的交点.总结:“和最小,化异侧,差最大,转同侧”二.典例分析1.距离和的最小值(公众号:凌晨讲数学)例1.已知圆221:430C x y y ,圆222:6260C x y x y ,M N ,分别为圆1C 和圆2C 上的动点,P 为直线:1l y x 上的动点,则||MP NP 的最小值为A.3 B.333解析:由圆 221:21C x y ,圆 222314C x y ,可知圆1C 圆心为 0,2 ,半径为1,如图,圆2C 圆心为 3,1 ,半径为2,圆1C 关于直线:1l y x 的对称圆为圆 221':311C x y ,连结12'C C ,交l 于P ,则P 为满足使PM PN 最小的点,此时M 点为1'PC 与圆1'C 的交点关于直线l 对称的点,N 为2PC 与圆2C 的交点,最小值为 12'21C C ,而12'C C ,PM PN 的最小值为3 ,故选A.2.距离差的最大值(公众号:凌晨讲数学)例2.已知圆 221:111C x y ,圆 222:459C x y ,点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点,点P 为x 轴上的动点,则PN PM 的最大值是()A.4B.9C.7D.2解析:圆 221:111C x y 的圆心为 11,1C ,半径为1,圆 222:459C x y 的圆心为 24,5C ,半径为3.max min maxPN PM PN PM ∵,又2max 3PN PC ,1min1PMPC ,2121max314PN PMPC PC PC PC .点 24,5C 关于x 轴的对称点为24,5C ,2121125PC PC PC PC C C,所以,max549PN PM ,故选:B.3.逆用阿波罗尼斯圆1.阿氏圆定义:已知平面上两点B A ,,则所有满足1,|||| PB P A 的动点P 的轨迹是一个以定比为n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.若)0,(),0,(b B a A ,则圆的半径为|||1|2AB ,圆心为)0|,|11(22AB .(公众号:凌晨讲数学)2.结论:已知圆222)()(r b y a x 上任意一点P 和坐标轴上任意两点B A ,,求形如)(PB P A PB P A 的最值问题,可逆用阿氏圆转化为三点共线最值计算.例3.已知圆C 是以点 2,M 和点 6,N 为直径的圆,点P 为圆C 上的动点,若点2,0A ,点 1,1B ,则2PA PB 的最大值为()B.4C.8解析:由题设,知:(4,0)C 且||8MN ,即圆C 的半径为4,∴圆C :22(4)16x y ,如上图,坐标系中(4,0)D 则24OD AC CP OC ,∴12AC PC CP DC ,即△APC △PCD ,故12PA PD ,(亦可逆用阿氏圆,其实就是阿氏圆的几何推导).∴2||||PA PB PD PB ,在△PBD 中||||||PD PB BD ,∴要使||||PD PB 最大,,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD 故选:A例4.在平面直角坐标系xOy 中,点P 在圆22:(8)16C x y -+=上运动,(6,0),(6,1),A B 则2PB PA 的最小值为()B.6C.D.2解析:P 为圆C 上任意一点,圆的圆心 8,0C ,半径4r ,如下图所示,4PC ∵,8OC ,2AC 12AC PC PC OC ,PAC OPC 12PA OP,即2OP PA ,2PB PA PB OP ,又PB OP OB (当且仅当P 为线段OB与圆C 的交点时取等号),2PB PA OB 2PB PA本题正确选项:A三.练习题(公众号:凌晨讲数学)1.已知,P Q 分别是直线:20l x y 和圆22:1C x y 上的动点,圆C 与x 轴正半轴交于点(1,0)A ,则PA PQ 的最小值为2B.251210122.已知P ,Q 分别是圆 22:48C x y ,圆 22:41D x y 上的动点,O 是坐标原点,则22PQ PO的最小值是______.3.平面直角坐标系中,点3,3A 、 3,3B 、23,0C ,动点P 在ABC 的内切圆上,则12PC PA 的最小值为_________.4.在平面直角坐标系xOy 中,若(0,1)A ,点B 是圆:C 22230x y x 上的动点,则2AB BO 的最小值为__________.。

高中数学必备知识点 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法

高中数学必备知识点 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法

2013高中数学必备知识点解析几何中求参数取值范围的5种常用方法一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是()A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q( y024 ,y0)由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a)≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a)≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是()A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0),则直线L的方程为y = k(x+2)由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选(C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B,求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解:由得(k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点,则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域,若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系:若P在曲线上,则f(x0,y0)=0;若P在曲线内,则f(x0,y0)<0;若P在曲线外,则f(x0,y0)>0;可见,平面内曲线与点均满足一定的关系。

圆中最值问题的常见解法

圆中最值问题的常见解法
例2.已知点 点 是圆 上的动点,求 的最大值与最小值,并求此时的点 的坐标.
分析:由于 都不是定值,加之平方式,所以直接用函数、均值不等式、几何法求解,都无能为力.于是考虑先设点 的坐标,先代数化,再看有没有几何意义.
解:设点 ,则
, 表示点 到定点 距离的平方,而
, 的最大
值是 ,此时点 的坐标满足 .
一.利用三角形性质求最值
众所皆知:三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,极端情况下,当三点共线时,两边之和等于第三边,两边之差等于第三边,这正是取得最值的时刻,这就是圆中解决最值问题的常用方法之一.主要模型是:求一定点与圆上动点之间距离的最大值与最小值.即有:设圆心为C,圆的半径为 ,定点为A,圆上动点为P,则 =
的最小值是 ,此时点 的坐标满足
.
评析:在几何方法受阻的情况下,可以先做代数化处理,在构造几何意义,本题的解决,得
益于构造圆外一点到圆上动点距离的最值模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
相关问题:(1)已知圆 ,圆 , 分别是圆 上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为( )A
A. B. C. D.
(2)P为双曲线 的右支上一点,M、N分别是圆 ,
解决圆中最值问题的常见方法
圆问题是高中解析几何中的重点问题,在这类问题中的最值问题又是常见题型,由于在解决过程中所需要的数学素养层次比较高,特别是对学生的直观想象素养、抽象素养、运算素养、逻辑推理素养有较高要求,所以学生在学习中常常感到比较困难.基于此,非常有必要对这类问题的常见解法做一些总结,以供参考.
.
例1.点 在椭圆 上运动,点 在圆 上运动,求 .
分析:由于有两个动点,所以需要分步完成,可以先固定点 ,这样就可以利用三角形性质求得 ,然后再利用函数法求得最终结果.

高中数学求最值的方法

高中数学求最值的方法

高中数学求最值的方法
1、配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。

2、判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x 的二次方程。

由于,∴≥0,求出y的最值,此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。

3、利用函数的单调性:首先明确函数的定义域和单调性,再求最值。

4、利用均值不等式,形如的函数,及≥≤,注意正,定,等的应用条件,即:a,b均为正数,是定值,a=b的等号是否成立。

5、换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t 的函数,注意t的定义域范围,再求关于t的函数的最值。

还有三角换元法,参数换元法。

6、数形结合法形:如将式子左边看成一个函数,右边看成一个函数,在同一坐标系作出它们的图象,观察其位置关系,利用解析几何知识求最值。

求利用直线的斜率公式求形如的最值。

7、利用导数求函数最值:首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(-x)的关系:若f(x)=f(-x),偶函数;若f(x)=-f(-x),奇函数。

解析几何最值问题求解的基本思路探究

解析几何最值问题求解的基本思路探究

解析几何最值问题求解的基本思路探究李莉莉(四川师范大学附属中学㊀610000)摘㊀要:高中阶段的解析几何问题一般是以综合题的类型出现ꎬ考查学生的几何知识ꎬ以及观形㊁设参㊁转化㊁替换等数学思想的能力.解析几何的最值问题的求解方法与代数㊁圆锥曲线㊁目标函数中的最值问题有一定的区别ꎬ同时又存在着某种联系.本文主要通过对一些相关例题的介绍ꎬ帮助同学们总结出一些比较典型的解题方法ꎬ希望同学们能在学习的过程中快速总结解题技巧ꎬ提高个人的解决问题的能力以及数学的应用意识.关键词:高中数学ꎻ课堂教学ꎻ最值问题中图分类号:G632㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1008-0333(2021)10-0016-02收稿日期:2021-01-05作者简介:李莉莉(1979.12-)ꎬ女ꎬ四川省成都人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁联系平面几何知识求解解析几何的最值问题㊀㊀有一类解析几何问题会与平面几何的知识建立密切的联系ꎬ同学们需要借助题目中的已知条件建立坐标系ꎬ并寻找目标函数ꎬ然后将平面图形的解析式与解析几何的解析式放在坐标系中ꎬ寻找两个图象之间的关系ꎬ再利用求解函数最值问题的方式寻找问题的答案.例1㊀假设P点是直线l:x-y+9=0上的一点ꎬ过点P做出与椭圆C:x212+y23=1存在共同焦点的椭圆Dꎬ如果其长轴最短ꎬ试着求出椭圆D的方程.分析㊀题目中给出了椭圆曲线的方程ꎬ同学们需要先找到椭圆的焦点ꎬ然后判断椭圆与直线方程的位置关系ꎬ之后可将问题进行转化ꎬ可将题目中的 椭圆D的长轴最短 这个已知条件通过分析转化为求解在直线l上求点P并使得|PF1|+|PF2|最小ꎬ从而求解题目要求.解㊀由题目已知条件可知椭圆D的焦点为F1(-3ꎬ0)㊁F2(3ꎬ0).设存在点F1(xꎬy)是点F1(-3ꎬ0)关于直线l的对称点ꎬ可以解得F1坐标为(-9ꎬ6).在坐标系上连接F1F2ꎬ则直线F1F2与直线l的交点为Pꎬ如图所示.F1F2的方程求得y=-12x+32ꎬ将该方程与直线l联立可求得P点坐标为P(-5ꎬ4).设椭圆D的方程为:x212+λ+y23+λ=1又因为点P在椭圆D上ꎬ将P点坐标带入可得λ=33因此椭圆D的方程为x45+y236=1㊀㊀二㊁结合圆锥曲线定义及相关性质求解解析几何的最值问题㊀㊀在高中数学中常见的解析几何问题有椭圆㊁双曲线㊁抛物线等等ꎬ相关的性质㊁定义在课堂上都有帮助同学们进行总结ꎬ在日常练习的时候需要同学们准确地把握相关的知识ꎬ灵活的运用解决解析几何的最值问题.而在运用定义和性质解决相关圆锥曲线问题时ꎬ可能会在图线中出现三角形ꎬ同学们要切记可以使用三角形的相关性质解答ꎬ该性质为: 三角形的两边之和大于第三边ꎬ三角形的两边之差小于第三边. 例如下面这道题.例2㊀假设线段AB的长固定不变为3ꎬ假设线段AB的两端都在抛物线y2=x上移动ꎬ如果线段AB的中点为Mꎬ试着求解点M到y轴的最短距离ꎬ并且求出此时点M的坐标具体为多少.分析:题目中给出的抛物线方程式的图象为开口向右的在第一象限和第四象限的图象ꎬ而且题目中的已知条件可得AB在抛物线上移动但AB连接的线段的长是固定不变的.同学们首先需要求出抛物线的焦点Fꎬ然后将图象上的A㊁B㊁F三点连接成一个三角形ꎬ试着将问题进行转化ꎬ从而确定线段AB的位置.解㊀根据题目条件可设抛物线的焦点为Fꎬ准线为lꎬ61分别作AC㊁BD㊁MK垂直于准线交准线l在点C㊁D㊁K上ꎬ如图所示:则根据题目条件可知|MK|=12(|AC|+|BD|)=12(|AF|+|BF|)ȡ12|AB|=32即当线段AB是过F点的弦时ꎬ|AF|+|BF|=|AB|此时可求得|MK|可以取最小值32ꎬ则此时点M到y轴的距离最短.又因为抛物线焦点坐标为F(14ꎬ0)ꎬ准线方程为x=-14ꎬ因此点M到y轴的最短距离为32-14=54ꎬ即xM=54.㊀因此xA+xB=2xM=52ꎬ即y2A+y2B=52ꎬ而y2M=(yA+yB2)2=14(y2A+y2B+2yAyB)又因为AB过点Fꎬ因此yAyB=-14ꎬ故y2M=14 (52-12)=12ꎬ即yM=ʃ22.当M到y轴的距离最短时ꎬ点M的坐标为(54ꎬ22)ꎬ(54ꎬ-22)㊀㊀三㊁建立目标函数求解函数的最值求解圆锥曲线的最值问题可以将题目转化为求解函数的最值问题ꎬ因为圆锥曲线方程本质上来讲也是一种函数的存在形式ꎬ所以同学们可以建立相关的目标函数ꎬ根据题目的要求对题目问题进行转化ꎬ从而简化解题的过程ꎬ提高解题的准确性.例3㊀已知抛物线C的焦点为坐标原点Oꎬ抛物线C的顶点在x轴的负半轴上ꎬ若存在直线l:x+y+m=0(m>0)与抛物线C相交于A㊁B两点ꎬ试求当әAOB面积最大取值为26时直线l的方程.分析㊀这道题目中ꎬ同学们首先应该根据题目中给出的相关条件设出题目中方程的形式ꎬ分别将抛物线的方程和顶点用未知数的方式设出来ꎬ然后根据相关的点求解点到直线的距离ꎬ将问题转化为函数的最值问题ꎬ从而得出抛物线的方程和直线方程.解㊀根据题目可知抛物线C的顶点坐标为(aꎬ0)ꎬ且a<0ꎬ因此抛物线的方程为y2=2(-2a)(x-a)ꎬ即y2=-4a(x-a).将直线l与抛物线C的方程联立可得x+y+m=0y2=-4a(x-a){消去y可得:x2+(2m+4a)x+m2-4a2=0该方程判别式Δ=(2m+4a)2-4(m2-4a2)>0ꎬ解得:㊀m<-2aꎬ从而x1+x2=-2m-4ax1x2=m2-4a2{由弦长公式可得|AB|=2 (x1+x2)2-4x1x2=232a2+16maO到AB的距离为d=m2故әAOB的面积为SәAOB=12 2 32a2+16ma m2=8a2+4ma m=2 (-a)(-4a-2m) m mɤ2 (-a) (-4a3)3=26故a=-32当且仅当-4a-2m=mꎬ即m=2时(适合m<-2a的要求)SәAOB的面积最大.因此抛物线C的方程为y2=6(x+32)ꎬ直线l的方程为x+y+2=0.解析几何中的最值问题的常用方法还有很多ꎬ希望各位同学能在遇到相关题目时注意总结ꎬ注意建立目标函数ꎬ准确地把握解析几何的相关定义和性质ꎬ从而利用函数的相关知识求解最值ꎬ提高学生的解题能力ꎬ让同学们学过的知识都能达到融会贯通的程度.㊀㊀参考文献:[1]姜坤崇.解析几何最值问题的解法[J].中学生数学(高中版)ꎬ2015(6):25-26.[2]蔡玉书.解析几何中的最值问题[J].中等数学ꎬ2015(02):17-22.[责任编辑:李㊀璟]71。

高中数学解题方法系列:函数求极值问题的6种方法

高中数学解题方法系列:函数求极值问题的6种方法

高中数学解题方法系列:函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式,我们如果能大致作出其对应的函数图像,那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。

因此,只要我们做出了函数图像,那么我们就可以根据图像找到极值点,从而求出函数的极值。

下面,我就从几个方面讨论一下,函数图象在求极值问题中的应用。

一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。

我们给出问题的一般形式,设a≤x≤b,求函数∑=+=ni bi x ai y 1的极值。

很容易判断该函数为分段函数,其对应的图像是折线,因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。

例1 设-2≤x≤3,求函数12+++-=x x x y 的最值。

解:若将函数示为分段函数形式。

作出函数图像根据图像我们可以判断:当x=0,min y 3=;当x=3,max y 8=,对此类型问题的思考:当函数解析式含有较多绝对值符号的时候,如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值,那么过程就非常复杂。

那么是否有更简单的方法呢?经过对问题的分析,我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点,要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点)因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。

经过比较就得出了极值例如上题:f(-2)=7、f(-1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、3min =y 、max y =8,据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。

max y =max {f(bi)、i=1、2、3……n }, min y =min {f(-bi),i=1、2、3……n }.二、将极值问题转化为几何问题。

运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解,挖掘解析式所蕴含的几何意义。

1. 转化为求直线斜率的最值。

例2 求函数θθsin 3cos 2-+=y 的最值 分析函数解析式非我们常见的函数模型。

通过分析我们发现该函数可以看做过点A (3、2)与B (sin θ、-cos θ)两点直线的斜率。

高中数学必备知识点 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法

高中数学必备知识点 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法

一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a 的取值范围是()A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q( y024 ,y0)由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a)≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a)≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是()A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0),则直线L的方程为y = k(x+2)由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选(C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B,求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解:由得(k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点,则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域,若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系:若P在曲线上,则f(x0,y0)=0;若P在曲线内,则f(x0,y0)<0;若P在曲线外,则f(x0,y0)>0;可见,平面内曲线与点均满足一定的关系。

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高中数学:解析几何中求最值的几种方法
解析几何中的求最值问题在中学数学中占有一席之地,近几年的高考也经常出现。

最值问题涉及的知识面宽,解题方法较灵活,学生时常感到无从下手。

为了解决这个问题,现举例说明求最值的几种方法,请大家指正。

一、利用定义
圆锥曲线的定义,是曲线上的动点本质属性的反映。

研究圆锥曲线的最值,巧妙地应用定义,可把问题简化,速达目的。

例1、若使双曲线上一点M到定点A(7,)的距离与M到右焦点F的距离之半的和有最小值,求M点的坐标。

解析:如图1所示,由双曲线定义2可知,,所以
|MF|=2|MP|。

令,即。

此问题转化为折线AMP的最短问题。

显然当A、M、P同在一条与x轴平行的直线上时,折线AMP最短,故M点的纵坐标为,代入双曲线方程得M(,)。

图1
二、利用对称
对称思想是研究数学问题常用的思想方法,利用几何图形的对称性去分析思考最值问题,常可获得简捷明快的解法。

例2、已知点A(2,1),在直线和上分别求B点和C点,使△ABC的周长最小。

分析:这里的主要理论依据是:轴对称的几何性质以及两点间的
距离以直线段为最短。

解析:先找A(2,1)关于直线、的对称点分别记为和,如图2所示,若在、上分别任取点和,则△ABC周长=
周长。

故当且仅当、、、四点共线时取等号,直线方程为:,与、的交点分别为B(,)、C(,0)。

图2
三、利用几何
利用参数的几何意义,把它转化为几何图形中某些确定的几何量(如角度、长度、斜率)的最大值、最小值问题,这样可以化难为易,提高解题速度。

例3、椭圆内有两点A(4,0),B(2,2),M是椭圆上一动点,求|MA|+|MB|的最大值与最小值。

分析:若直接利用两点的距离公式,难度较大,本题通过椭圆定义转化后,利用几何性质帮助我们解决问题。

解析:|MA|+|MB|=2a-|MC|+|MB|=10+|MB|-|MC|,根据平面几何性质:||MB|-|MC||,当且仅当M、B、C共线时取等号,故|MA|+|MB|的最大值是
,最小值是。

四、利用代数
将问题里某些变化的几何量(长度、点的坐标、斜率、公比)设为自变量,并将问题里的约束条件和目标表示为自变量的解析式,
然后利用代数性质(如配方法、不等式法、判别式法等)进行解决,使问题简单化。

例4、过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AC、BD,求四边形ABCD面积的最小值。

分析:四边形的形状无法确定,但AC⊥BD,把四边形的面积转化为两三角形的面积之和,进而利用基本不等式求最值。

解析:设AC的直线方程,,由消去x得△=。

故|AC|=
,由AC⊥BD,故BD的斜率为,。


,所以。

图3
五、利用三角
适用适当的角作为自变量,把所求的问题表达成三角函数式,然后利用三角函数的性质去解决问题。

例5、A为椭圆上任一点,B为圆上任一点,求|AB|的最短距离。

分析:|AB|+|BC|,且|BC|=1,故要求|AB|的最小值,只要求|AC|的最小值,而要求|AC|最值,只需利用椭圆的参数方程求解。

图4
解析:设,C(1,0),故
|AC|==,于是,即|AB|
=。

总之,当我们在解析几何问题中求最值时,要深入思考、善于分析,利用最合理、最恰当的方法去解决,这样有利于我们能快速地达到目的,使问题解决的正确率大大提高。

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