解析几何中用几何意义解题的几种常用模式

解析几何中用几何意义解题的几种常用模式

解析几何的实质是用代数的方法研究几何对象，数形结合是解析几何最重要的思想方法，因此，如何赋予某些代数量以几何意义，从而通过它们的几何意义解题是解析几何的重要课题。下面介绍截距、斜率、距离等几种解析几何中常用的解题模式。

一、截距模式

把所求的目标量转化为截距，并借助截距的几何意义解题称为截距模式。 例1． 已知342+-≥x x y ，7≤+y x ，求y x -2之最值。

分析：本题为已知区域的双参数问题，直线求解显然是较困难的，考虑变量代换，令t y x =-2，则t -即为直线02=--t y x 在y 轴上的截距b 。

解：由条件，342

+-≥x x y 及7≤+y x 表示的区域为图一的阴影部分， 由⎩⎨⎧=+-+-=0

2342b y x x x y 消去y 后令0=∆的直线与抛物线相切时

的2L 的位置时b b -=2，此时b y x b t =-=-=max )2(，

又由⎩

⎨⎧=++-=7342y x x x y ⇒)8,1(-A ，)3,4(B . 不难知直线经过)8,1(-A 时（即1L ）截距最大，从而

10)2(min -=-=-=y x b t ，

∴6max =t ，10min -=t .

例2． 求函数t t t f ---=42)(之最值.

解：令x t =-4，y t =，则)0,0(422≥≥=+y x y x ，且

y x t f --=2)(，

∴y x t f b +=-=2)(，即为直线b x y +-=2的截距，不难求得

52)(max -=t f .

点评：运用直线在y 轴的截距解决所求问题，非常直观、简洁。解此类问题往往通过平移来实现，同时还须注意目标量与截距是否同号。

二、斜率模式

用直线的斜率的几何意义解题的模式叫斜率模式。

例3．已知x 、y 满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤+≤0,043222y x x y x y ， （*） （1） 求

4

2-+x y 之最值 （2） 若y ax z +=的最优解有无数多组，求a 之值。

解：（1）考虑到4)2(42---=-+x y x y ，即为满足条件（*）的区域内的任一点),(y x M 与定点)2,4(-P 连成的斜率。

由图三可知，在过P 点的直线L 中L 1与L 2为极端位置，

当L 由L 1绕P 转到L 2时，斜率k 的范围是1≥k 或21-

≤k ，从而4

2-+x y 无最值 （2）要使目标量y ax z +=的最优解有无数多组，当且仅

当直线z ax y +-=与直线（*）

的边界重合（a 存在）， 从而0=a 或2=a 或32-

=a 思考：在本题中，若条件（*）中添加z y x ∈,

例4． 已知R ∈θ,求

θθcos 24sin 3--的范围. 解:令θ

θcos 2sin 3--=k 并设()()3,2,sin ,cos Q P θθ,则P 点坐标满足122=+y x ,即P 为圆122=+y x 上的动点,k 为直线PQ 之斜率.不难求得33

223322+≤≤-k ∴ 331cos 24sin 3331+≤--≤-

θθ 点评:运用斜率模式解题.常用的方法是旋转,同时要特别注意斜率不存在的情况.

三、距离模式

把所求问题转化为距离问题来解题是解析几何中常用的方法.用距离模式来解决所求问题需要先将问题”距离化”

例5．已知R y x ∈, 且满足()125

9422≤+-y x ，求22y x +之最值 解：易知方程表示椭圆及其内部区域（图四）不妨设()()2

22200-+-=+=

y x y x d 即为()y x M ,与原点()0,0O 之距离.

由图形可设12

min =d ,考虑到最大值在区域边界(即椭圆上)取到,故由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+1259422222y x d y x 消去y 得:0917********=++-d x x .令0=∆得:502max =d

从而()1min 22=+y x ,()50max 22=+y x

点评:用距离模式解题常常需要构造同心圆,且当同心圆与区域边界相”切”时,目标量取到最大、小值.

例6．已知y x ,满足142

2

=-y x ,求y x ,使 ()()

()()5512,2222y x y x y x f +-+-+-=达到最小值,并求()y x f , 解:不难发现14

2

2=-y x 为双曲线. ()0,5F 为其右焦点,设()y x P ,为双曲线上任一点,()1,2A ,则()PF PA y x f 5

5,+=.考虑到离心率5=e ,如图五,过P 作PE ⊥右准线L 之垂线,垂足为

E,()AK A P KP PE PA e PF

PA y x f =+≥+=+=00,,

AK 即为A 到双曲线右准线之距离.

∴ ()552,min -=y x f 且此时⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1,250P .即当1,25==y x 时, ()552,min -=y x f

通过上述例子,我们不难发现,将所求的代数目标量赋予一定的几何意义,以形代数,变抽象为几何直观,是解析几何中数形结合思想的又一重要作用.