解析几何常用公式

1. AB →，A 为AB →的起点，B 为AB →的终点。

线段AB 的长度称作AB →的长度，记作|AB →
|.数轴上同向且
相等的向量叫做相等的向量．．．．．。

零向量的方向任意。

．．．．．．．．．．在数轴上任意三点A 、B 、C ，向量AB →、BC →
、AC →的坐标都具有关系：AC ＝AB ＋BC . .．
AC →＝AB →＋
2.设 AB → 是数轴上的任一个向量，则AB ＝OB －OA ＝x 2－x 1，d (A ，B )＝|AB |＝|x 2－x 1|. 4.． A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则两点A 、B 的距离公式d (A ，B )＝?x 2－x 1?2＋?y 2－y 1?2
若B 点为原点，则d (A ，B )＝d (O ，A )＝x 21＋y 21；
5. A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M(
x 1＋x 22，
y 1＋y 2
2
).
A (x ，y )关于M (a ，b )的对称点B(2x 0－x ，2y 0－y )．
6. 直线倾斜角：:x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定，与x 轴 平行或重合的直线的倾斜角为0°.
7.直线的位置与斜率、倾斜角的关系
①k ＝0时，倾斜角为0°，直线平行于x 轴或与x 轴重合．
②k >0时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第一、三象限． ③k <0时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也增大，此时直线过第二、四象限． ④垂直于x 轴的直线的斜率不存在，它的倾斜角为90°.
8. 若直线l 上任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
. 9.直线方程的五种形式
（1）点斜式:经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，可分为两类：斜率存在时，直线方程为 y －y 0＝k (x －x 0)；斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.
(2)斜截式：已知点（0，b ）,斜率为k 的直线y ＝kx ＋b 中，截距b 可为正数、零、负数． （3）两点式：
y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2
) (4) 截距式:当直线过(a,0)和(0，b )(a ≠0，b ≠0)时，直线方程可以写为x a ＋y b
＝1，当直线斜率 不 存在(a ＝0)或斜率为0(b ＝0)时或直线过原点时，不能用截距式方程表示直线. (5)一般式:Ax ＋By ＋C ＝0的形式．(220A B +≠)
10. (1)已知两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.那么
①l1与l2相交的条件是：A1B2－A2B1≠0或A
1
A
2
≠
B
1
B
2
(A2B2≠0)．
②l1与l2平行的条件是：A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A
1
A
2
＝
B
1
B
2
≠
C
1
C
2
(A2B2C2≠0)．
③l1与l2重合的条件是：A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或A
1
A
2
＝
B
1
B
2
＝
C
1
C
2
(A2B2C2≠0)．
2)已知两条直线的方程为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.那么
①l1与l2相交的条件为k1≠k2.
②l1与l2平行的条件为k1＝k2且b1≠b2.
③l1与l2重合的条件为k1＝k2且b1＝b2.
11. 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直?________.
直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2垂直?________.
若两直线中有一条斜率不存在时，则另一条的斜率为0，即倾斜角分别为90°和0°，也满足|α－β|＝90°.
12.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可表示为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可表示为Bx－Ay＋m＝0，
14. 点P(x1，y1)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离为d＝|Ax1＋By1＋C|
A2＋B2
应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把直线方程化为一般式，然后再利用公式求解．
15.点到几种特殊直线的距离：
①点P(x1，y1)到x轴的距离d＝|y1| .②点P(x1，y1)到y轴的距离d＝|x1|.
③点P(x1，y1)到直线x＝a的距离为d＝|x1－a|. ④点P(x1，y1)到直线y＝b的距离为d＝|y1－b|.
16．两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，C1≠C2，
则l1与l2的距离为 d＝|C1－C2| A2＋B2
.
两条平行线间的距离公式要求：l1、l2这两条直线的一般式中x的系数相等，y的系数也必须相等；当不相等时，应化成相等的形式，然后求解.
17. 圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；
18.点到圆心的距离为d ，圆的半径为r .则点在圆外?d >r ；点在圆上?d ＝r ；点在圆内?0≤d <r . 20.规律技巧 圆的几何性质：①若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，过切点与切线垂直线的直线过圆心；②若直线与圆相交，圆心、弦的中点及弦的一个端点组成的三角形是直角三角形，弦的垂直平分线经过圆心．
④以A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 21. 形如Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的方程表示圆的等价条件
(1)A ＝C ≠0；x 2
、y 2
的系数相同且不等于零； (2)B ＝0；不含xy 项． (3)(D A )2＋(E A
)2－
4F
A
>0，即D 2＋E 2－4AF >0.
23．圆的一般方程形式为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，配方为 (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2
)2＝
D 2＋
E 2－4F
4
．
(1)当D 2
＋E 2
－4F >0时，它表示以 (－D 2，－E 2)为圆心，
D 2＋
E 2－4F
2
为半径的圆．
(2)当D 2
＋E 2
－4F ＝0时，它表示点 (－D 2，－E
2)． (3)当D 2＋E 2－4F <0时，它不表示任何图形 24.直线与圆的位置关系
(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点． 25．直线与圆位置关系的判定有两种方法
(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来判断．若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离．
(2)几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断：当d <r 时，直线与圆相交；当d ＝r 时，直线与圆相切；当d >r 时，直线与圆相离． 26.直线与圆相切，切线的求法
(1)当点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上时，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；
(2)若点(x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上，切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；
27.若弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则(l
2
)2＋d 2＝r 2.
28.判断两圆的位置关系
设圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0， ① 圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0. ② ①－②得
(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. ③
若圆C 1与C 2相交，则③为过两圆交点的弦所在的直线方程．求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减即可得到. 31.空间直角坐标系中的对称点
点P (x ，y ，z )的对称点的坐标 11112222|P 1P 2|＝?x 2－x 1?2＋?y 2－y 1?2＋?z 2－z 1?2.
到定点(a ，b ，c )距离等于定长R 的点的轨迹方程为
(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝R 2，此即以定点(a ，b ，c )为球心，R 为半径的球面方程． 33.．空间线段的中点坐标公式
在空间直角坐标系中，已知点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为(
x 1＋x 22，
y 1＋y 22，
z 1＋z 2
2
).。