(最新版)常微分方程的初等解法_毕业论文
常微分方程的初等解法与求解技巧
师大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicitdifferential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................... 1 2.变量分离方程与变量变换 . (1)2.1变量分离方程的解法 ....................... 1 2.2变量分离方程的举例 ....................... 2 2.3变量分离方程的几种类型 (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 .................... 6 3.2伯努利微分方程 . (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 .......................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dxdy变为dy dx 的形式 (18)6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 .............................. 21 参考文献 ..................... 错误!未定义书签。
常微分方程课程设计论文
常微分方程课程设计论文一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握常微分方程的基本概念、方法和应用。
通过本课程的学习，学生应能理解并熟练运用常微分方程解决实际问题，具备一定的数学建模能力。
具体来说，知识目标包括：1.掌握常微分方程的定义、解的概念和性质；2.熟悉一阶、二阶线性微分方程的求解方法；3.了解常微分方程在自然科学和工程技术中的应用。
技能目标包括：1.能够熟练地求解一阶、二阶线性微分方程；2.能够运用常微分方程进行简单的数学建模；3.能够运用计算机软件辅助求解常微分方程。
情感态度价值观目标包括：1.培养学生的逻辑思维能力和科学精神；2.增强学生对数学应用价值的认识，提高学习兴趣；3.培养学生团队协作和自主学习能力。
二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括：1.常微分方程的基本概念，如解、通解、特解等；2.一阶微分方程的求解方法，如可分离变量法、齐次方程法、伯努利方程法等；3.二阶线性微分方程的求解方法，如常系数方程、变系数方程、线性非齐次方程等；4.常微分方程的应用，如物理、生物学、经济学等领域的问题。
三、教学方法为了达到教学目标，本课程将采用以下教学方法：1.讲授法：系统地传授常微分方程的基本概念、方法和应用；2.讨论法：学生分组讨论，培养学生的思考能力和团队协作精神；3.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生运用常微分方程进行数学建模；4.实验法：利用计算机软件，让学生亲自动手求解实际问题，提高实际操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将准备以下教学资源：1.教材：《常微分方程》；2.参考书：相关领域的学术论文、专著等；3.多媒体资料：教学PPT、视频讲座等；4.实验设备：计算机、数学软件等。
五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业、考试等，以全面客观地评价学生的学习成果。
平时表现主要考察学生的课堂参与、提问、讨论等，占总评的20%；作业包括练习题和数学建模项目，占总评的30%；考试包括期中考试和期末考试，占总评的50%。
(完整版)常微分方程初等解法及其求解技巧毕业论文
目录摘要 (I)关键词 (I)Abstract (I)Key words (I)1.前言 (1)2.常微分方程的求解方法 (1)2.1常微分方程变量可分离类型解法 (1)2.1.1直接可分离变量的微分方程 (3)2.1.2可化为变量分离方程 (3)2.2常数变易法 (7)2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 (7)2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 (8)2.3积分因子法 (12)3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 (14)3.1几个重要的变换技巧及实例 (14)3.1.1变为 (14)3.1.2分项组合法组合原则 (15)3.1.3积分因子选择 (15)参考文献 (16)致谢 (17)常微分方程初等解法及其求解技巧摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.关键词变量分离法常数变易法积分因子变换技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws,and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.Key wordsVariable separation; constant threats; points factor; transform techniques1.前言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律.2.常微分方程的求解方法2.1常微分方程变量可分离类型解法定义1 如果一阶微分方程具有形式，则该方程称为可分离变量微分方程.若设，则可将方程化为.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有的函数与，另一端只含有的函数与.对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。
解析常微分方程的解法和应用
解析常微分方程的解法和应用引言：常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODE）是研究函数和其导数之间关系的方程。
在科学和工程领域中，常微分方程广泛应用于物理、化学、经济学等领域的建模与分析。
本文将深入探讨常微分方程的解法以及它们在实际应用中的重要性。
一、解析解法解析解法是指能够用解析表达式表示的常微分方程解。
下面介绍常见的解析解法：1. 变量可分离的方程变量可分离的方程是指可以将方程分解成两个独立变量的形式，一般表示为dy/dx = f(x)g(y)。
对于这类方程，可以通过对两边同时积分的方式求得解析解。
2. 齐次方程齐次方程是指可以通过变换将方程化为形如dy/dx = f(y/x)的方程。
通过引入新的变量u = y/x，可以将齐次方程转化为变量可分离的方程，从而应用变量可分离的方程的解法来求解。
3. 一阶线性方程一阶线性方程具有形如dy/dx + p(x)y = q(x)的形式，其中p(x)和q(x)为已知函数。
通过引入积分因子，可以将一阶线性方程化为变量可分离的方程，再应用变量可分离的方程的解法求解。
二、数值解法除了解析解法外，常微分方程的求解还可以通过数值方法来实现。
数值解法通过将微分方程转化为对应的差分方程，通过逐步近似的方式求解微分方程的数值解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
这些数值解法基于离散化的思想，通过将函数值在一系列离散的点上进行逼近，从而得到微分方程的数值解。
三、常微分方程的应用常微分方程在实际应用中具有广泛的重要性，以下列举几个常见的应用领域：1. 物理学中的应用常微分方程在物理学中的应用非常广泛。
例如，经典力学中的牛顿第二定律可以通过微分方程形式表示，从而可以研究物体的运动轨迹、速度和加速度等特性。
2. 经济学中的应用经济学中很多经济模型可以通过常微分方程描述。
比如经济增长模型、投资模型和消费模型等。
通过求解这些微分方程可以预测和分析经济系统的发展趋势和稳定性。
线性常微分方程的解法
线性常微分方程的解法一、引言线性常微分方程是数学中非常重要和常见的一类方程，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
本文将介绍线性常微分方程的解法。
二、一阶线性常微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法对于形如dy/dx + P(x)y = 0的齐次线性微分方程，可以使用特征方程的解法。
其中特征方程为dλ/dx + P(x)λ = 0，解得特征方程的解λ(x)，则齐次线性微分方程的通解为y = Cλ(x)，其中C为常数。
2. 非齐次线性微分方程的解法对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的非齐次线性微分方程，可以使用常数变易法来求解。
假设齐次线性微分方程的解为y_1(x)，则通过常数变易法，可以得到非齐次线性微分方程的通解为y = y_1(x) *∫(Q(x)/y_1(x))dx + C，其中C为常数。
三、高阶线性常微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法对于形如d^n(y)/dx^n + a_{n-1}(x)d^{n-1}(y)/dx^{n-1} + ... +a_1(x)dy/dx + a_0(x)y = 0的齐次线性微分方程，可以通过假设y = e^(rx)为方程的解，带入得到特征方程a_n(r) = 0。
解得特征方程的根r_1,r_2, ..., r_k，则齐次线性微分方程的通解为y = C_1e^(r_1x) +C_2e^(r_2x) + ... + C_ke^(r_kx)，其中C_1, C_2, ..., C_k为常数。
2. 非齐次线性微分方程的解法对于形如d^n(y)/dx^n + a_{n-1}(x)d^{n-1}(y)/dx^{n-1} + ... +a_1(x)dy/dx + a_0(x)y = F(x)的非齐次线性微分方程，可以使用待定系数法来求解。
设非齐次线性微分方程的特解为y_p(x)，通过将特解带入原方程，解得特解的形式。
然后将特解与齐次方程的通解相加，即可得到非齐次线性微分方程的通解。
常微分方程解法总结
常微分方程解法总结引言在数学领域中，常微分方程是一类以函数与其导数之间关系为描述对象的方程。
它广泛应用于物理、化学、生物等自然科学的建模和解决问题中。
常微分方程的求解有许多方法，本文将对其中一些常见的解法进行总结和讨论。
一、分离变量法分离变量法是求解常微分方程中常用的一种方法。
它的基本思想是将方程中的变量分离，将含有未知函数的项移到方程的一侧，含有自变量的项移到方程的另一侧，然后对两边同时积分，从而得到最终的解析解。
例如，考虑一阶常微分方程dy/dx = f(x)g(y)，可以将此方程改写为1/g(y)dy = f(x)dx，然后对两边同时积分得到∫1/g(y)dy =∫f(x)dx。
在对两边积分后，通过求解不定积分得到y的解析表达式。
二、常系数线性齐次微分方程常系数线性齐次微分方程是另一类常见的常微分方程。
它具有形如dy/dx + ay = 0的标准形式，其中a为常数。
这类方程的解法基于线性代数中的特征值和特征向量理论。
对于形如dy/dx + ay = 0的一阶常微分方程，可以假设其解具有形式y = e^(rx)，其中r为待定常数。
带入方程，解得a的值为r，于是解的通解即为y = Ce^(rx)，其中C为任意常数。
通过特定的初值条件，可以确定常数C的值，得到方程的特解。
三、变量分离法变量分离法是一种适用于某些特殊形式常微分方程的解法。
其基本思想是将方程中的变量进行适当的变换，从而将方程化为分离变量的形式。
例如，考虑一阶非齐次线性微分方程dy/dx = f(x)/g(y)，其中f(x)和g(y)为已知函数。
通常情况下，变量分离法需要对方程变形，将含有未知函数和自变量的项进行合并处理。
假设存在一个新的变量z(x) = g(y)，则dy/dx = (dy/dz)*(dz/dx) = (1/g'(y))*(dz/dx)。
将dy/dx和f(x)分别代入原方程，进而可以求得dz/dx。
对dz/dx进行积分后，可以得到z(x)的解析表达式。
常微分方程积分因子法的求解 毕业论文
摘要微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。
它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。
人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然。
所以我们必须能够求出它的解。
同时，对于恰当微分方程我们有一个通用的求解公式。
但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是恰当微分方程。
对于这类不是恰当微分方程的一阶常微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。
关键词：微分方程；积分因子；恰当微分方程；一阶微分；Differential expression of natural law is a natural mathematical language. It from the production practice and science and technology generation, but modern science and technology in analyzing and solving problems in a powerful tool..Some people in the law to explore the process of the material world, the general experimental observation is difficult to completely rely on recognizing that the law, but there is a link in accordance with certain laws are often easy to catch us, and such laws expressed in mathematical language, which often results in the formation of a differential equation, and once obtained equation, the law is clearSo we must be able to find its solution.Meanwhile, for the appropriate differential equation we have a general formula to solve. However, as we all know, not all forms of first-order differential equations are appropriate differential equation.For these are not appropriate differential equation differential equation, how it obtained its solution, which we are discussing here need to use the integrating factorKeywords:Differential equation; integral factor; appropriate differential equation; first-order differential第1章绪论 (1)1.1 常微分方程 (1)1.2 恰当微分方程 (1)第2章积分因子的存在性 (2)2.1 各种形式积分因子存在的充要条件 (2)2.2 几种常见类型的微分方程的积分因子 (5)第3章积分因子求法的推广 (7)3.1 满足条件()P Q PQf xy x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)3.2 方程1123422(3)36330m m mm x mx y xy dx y x y x y dy+-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (9)3.3 方程13()30m m mx m x y x dx x dy-⎡⎤+++=⎣⎦积分因子 (11)3.4 方程1(4)4450m m mm x mx y y dx x x y dy-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (12)参考文献 (15)致谢 (16)第1章绪论1.1 常微分方程数学发展的历史告诉我们,300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源。
常微分方程的解法及应用_(常见解法及举实例)---高数论文
华北水利水电学院常微分方程的解法及应用（常见解法及举实例）课程名称：高等数学（2）专业班级：成员组成：联系方式：2012年05月25日摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。
求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。
本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结：先对常微分方程定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程，并且用具体的实例分析常微分方程的应用。
关键词：微分方程降阶法变量代换法齐次型一阶线性英文题目：The solution of ordinary differential equations and its application（Common solution and examples）Abstract:Ordinary differential equation is an important part of calculus, widely used in specific problems in the study. Solving differential problem, often through the variable separation, both sides integral, if is high level, through the appropriate variable substitution, achieve the purpose of the reduced order to solve the problem. This article is to different types of ordinary differential equation of the solution system conclusion: first definition of ordinary differential equation and the general solution do simple paper, then apply variable substitution method of homogeneous solution of differential equation, and the reduced order method for high order ordinary differential equation, discussion special second order differential equations, and use a specific example analysis of the application of ordinary differential equations.Key words:Differential equations、Reduced-order method、Variable substitution method 、Homogeneous、First order linear1、 引言微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问题中，往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系，而是根据具体的问题和所给的条件，建立一个含有未知函数或微分的关系式。
(最新版)常微分方程的初等解法_毕业论文
1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
常微分方程的初等解法与求解技巧
山西师范大学本科毕业论文（设计）常微分方程的初等解法与求解技巧姓名张娟院系数学与计算机科学学院专业信息与计算科学班级12510201学号1251020126指导教师王晓锋答辩日期成绩常微分方程的初等解法与求解技巧内容摘要常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧.【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve.【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques目录1.引论 ............................................................................................................................. 1 2.变量分离方程与变量变换 .. (1)2.1变量分离方程的解法 .............................................................................................. 1 2.2变量分离方程的举例 .............................................................................................. 2 2.3变量分离方程的几种类型 .. (2)3.线性微分方程和常数变易法 (6)3.1线性微分方程与常数变易法 ................................................................................. 6 3.2伯努利微分方程 .. (8)4.恰当微分方程与积分因子 (9)4.1恰当微分方程 ......................................................................................................... 9 4.2积分因子 (11)5.一阶隐式微分方程与参数表示 (13)5.1一阶隐式微分方程的主要类型 (13)6.常微分方程的若干求解技巧 (18)6.1将一阶微分方程dxdy变为dy dx 的形式 (18)6.2分项组合 (19)6.3积分因子的选择 (20)7.总结 ........................................................................................................................... 21 参考文献 ........................................................................................ 错误!未定义书签。
解常微分方程初值问题
解常微分方程初值问题常微分方程初值问题是求解一个确定初始值条件下的常微分方程的解。
解常微分方程的方法有很多种，下面将介绍几种常用的方法和相关参考内容。
1. 变量分离法：将微分方程中的变量分离，然后进行分离变量的积分。
这是解常微分方程最常用的方法之一。
相关参考内容：《普通微分方程教程》（陈英席著）、《普通微分方程》（王永乐著）2. 齐次方程法：对于齐次方程 dy/dx = f(x,y)（其中 f(x,y) 是关于 x 和 y 的函数），通过引入新的变量 u = y/x，将其转化为一个关于 u 的单变量方程。
然后再解这个方程。
相关参考内容：《普通微分方程与应用》（杨万明、杨卓玲著）、《数学物理方程》（尤伯杯著）3. 线性方程法：对于形如 dy/dx + P(x)y = Q(x) 的线性方程，可以使用积分因子法将其转化为一个可解的方程。
相关参考内容：《普通微分方程讲义》（陈方正、李学勤著）、《分析数学基础讲义》（包维楷等著）4. 变换法：通过进行适当的变量变换，将原方程转化为易于求解的形式。
相关参考内容：《常微分方程讲义》（李鼎立著）、《常微分方程教程》（张世忠、赵寿明著）5. 解特殊的微分方程：一些特殊的微分方程有相应的解法，例如 Bernoulli 方程、Riccati 方程等。
相关参考内容：《常微分方程教程》（孙士焜著）、《微分方程教程》（刘川著）此外，常微分方程的初值问题可以利用数值方法进行求解，例如 Euler 方法、Runge-Kutta 方法等。
相关参考内容：《数值分析》（李庆扬、褚国新著）、《常微分方程数值解法》（赵义、余长星著）解常微分方程初值问题需要动用到微积分、线性代数等数学知识，因此具备扎实的数学基础是解题的前提。
上述参考内容对于理解和掌握常微分方程的解法都具有很好的帮助，读者可以根据自己的实际情况选择适合的参考教材进行学习。
此外，还可以通过参考数学相关的学术论文和网络资源来进一步深入了解常微分方程的解法。
常微分方程解法大全
常微分方程解法大全在数学中，常微分方程是研究微积分的一个重要分支，常微分方程解法是数学中常见的问题之一。
通过对常微分方程解法的研究，可以帮助我们更好地理解数学中的微分方程。
在本文中，我们将探讨一些常见的常微分方程解法方法，帮助读者更好地理解和掌握这一领域。
常微分方程的定义在开始讨论常微分方程的解法之前，我们首先来了解一下常微分方程的定义。
常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程，其中未知函数是一个变量，其导数是这个变量的函数。
通常常微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y′,y″,...,y(n))=0其中，y是未知函数，y′是y的一阶导数，y″是y的二阶导数，n是常微分方程的阶数。
常微分方程的解法方法常微分方程的解法方法包括但不限于以下几种常见方法：1. 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法之一。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(x)g(y)时，就可以使用分离变量法。
2. 含参微分法含参微分法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，就可以使用含参微分法。
3. 齐次方程法齐次方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(y/x)时，就可以使用齐次方程法。
4. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，可以使用一阶线性微分方程法。
5. 求解高阶微分方程除了以上几种方法外，还有很多其他方法可以用来求解高阶常微分方程，例如特征方程法、常数变易法等。
结语通过本文的介绍，相信读者对常微分方程的解法有了更深入的了解。
常微分方程解法作为数学中一个重要的研究领域，有着广泛的应用。
希望读者通过学习本文，可以更好地掌握常微分方程的解法方法，提升自己在数学领域的能力。
如果读者对常微分方程解法还有其他疑问或想要了解更多相关知识，可以继续深入学习或咨询数学相关的专业人士。
(完整版)一阶常微分方程初等解法毕业设计46doc
目录• • • 1关键词…… (1)Abstract.................................... . (1)Keywords.................................... ..……… ..10 前..1识 (1)1 预备知识 (1)1. 1 变量分离方程........................................................ .21. 2 恰当微分方程........................................................ .21. 3 积分因子................................................. .... (2)2 基本方法.................................................... ■■ (2)2. 1 一般变量分离……………………………………………………………………… .32. 2 齐次微分方程 (3)2. 2 .1 齐次微分方程类型一………………………………………………………… .32. 2. 2齐次微分方程类型二........................ ........ (4)2. 3 常数变易法.............................. .................... (5)2.3.1常数变易法一 (5)2.3.2常数变易法二……………………… .………………………… ..…………… ..62.4 积分因子求解法....................................... .. (7)2.5 恰当微分方程求解法 (8)3 基本方法的应用 (8)3. 1 一般变量分离方程应用................................. ... . (8)3.1.1应用举例 (9)3.1.2应用举例............................. . (9)3. 2 齐次微分方程应用 (10)3.2.1类型一应用举例 (10)3.2.2类型一应用举例 (11)3.2.3类型二应用举例 (11)3.2.4类型二应用举例 (12)3.3 常数变易法应用 (13)例133.3.1常数变易法应用举0 前言3.3.2伯努利微分方程应用举14例.................3. 4利用积分因子求解............... . .............. ...……........ 1 43. 5 利用恰当微分方程求解……………………………………………. …….. … … 15参考文献…………………………… ...……………… .. …………………16一阶常微分方程初等解法摘要: 本文对一阶微分方程的初等解法进行归纳与总结,同时简要分析了变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法.并且结合例题演示了如何把常微分方程的求解问题化为积分问题,进行求解.关键词: 一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子The Fundamental methods of the first-order ordinary differential equation Abstract: In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation. At the same time, we analysis the various types of fundamental methods such as the separation of variables,integrating factor and the exact differential equation. Combined with examples, we show .Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact differential equation; integrating factor0 前言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌(解)、奇异吸引子及孤立子等.常微分方程的研究还与其他学科或领域的结合而出现各种新的分支, 如控制论、种群分析、种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程等.总之,常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科,其自身也在不断发展中,学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要.因此本文对一阶常微分方程的初等解法进行了简要的分析,同时结合例题,展示了初等解法在解题过程中的应用.1 预备知识1. 1 变量分离方程形如, () 的方程,称为变量分离方程, ,分别是,的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果,我们可将()改写成,这样变量就分离开来了.两边积分,得到,为任意常数.由该式所确定的函数关系式就是常微分方程()的解.1.2恰当微分方程将方程,写成微分的形式，得到,或把，平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程,如果方程的左端恰好是某个二元函数的全微分，即cu cuM x, y dx N x, y dy =du x, y dx dy,x :y则称方程就是恰当微分方程.1.3积分因子如果存在连续可微函数，使得x, y M x, y d^^1 i：x, y N x, y dy = 0为一恰当微分方程，即存在函数，使,则称为方程的积分因子.2基本方法2.1 一般变量分离，的方程，称为变量分离方程，，分别是，的连续函数■这是一类最简单的一阶函数.3如果，我们可将改写成3这样,变量就分离开来了.两边积分,得到这里我们把积分常数明确写出来,而把,分别理解为,的原函数.常数的取值必须保证有意义,如无特别声明,以后也做这样理解.因式不适合情形.但是如果存在使,则直接验证知也是的解.因此,还必须寻求的解,当不包括在方程的通解中时,必须补上特解2.2 齐次微分方程2.2.1 齐次微分方程类型一形如,的方程,称为奇次微分方程,这里是的连续函数.作变量变换5即,于是代入原方程可得整理后,得到因是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量, 即可得到原方程的解2.2.2 齐次微分方程类型二形如的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程，这里,,,,，均为常数.可分为三种情况来讨论：（常数）的情形这时方程可化为3有通解其中为任意常数.的情形.令,这时有屯-a b dy _a b ku Gdx dx u c2是变量分离方程及不全为零的情形因为方程右端分子，分母都是的一次多项式，因此代表平面上两条相交的直线，设交点为，若令则方程可化为从而方程变为因此，求解上述变量分离方程，最后代回原方程，即可得到原方程的解.的情形此时直接变换即可2.3常数变易法2.3.1常数变易法一一阶线性微分方程其中在考虑的区间上是的连续函数，若，方程变为称其为一阶齐次线性微分方程，若称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程，易求得它的通解为这里是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出，是特殊情形，两者既有联系又有差别，因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别，现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解，显然，如果中恒保持为常数，它们不可能是的解■可以设想在中将常数变易为的待定函数，使它满足方程，从而求出为此，令两边同时微分，得到理二牡 e PxdX cxPxe PxdX.dx dx代入原方程，得到哼心 +c(x P(x e 怦九p(x cx e 代沖+Q(x) dx即两边同时积分，得到这里是任意常数，求得到y 二e Pxdx Qxe—Pxdx dx y .就是方程的通解.这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.2.3.2常数变易法二形如，的方程，称为伯努利方程，这里，为的连续函数，，是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程■事实上，对于，用乘的3两边，得到3引入变量变换,从而代入方程，得到亠二(1 一 n)P(x)z (1 - n)Q(x)， dx这是线性微分方程，可按照前面介绍的方法来求出它的通解 ，然后代换原来的变量，便得到方程的通解. 此外，当时，方程还有解.2.4积分因子求解法函数为积分因子的充要条件是3即假设原方程存在只与有关的积分因子，则，则为原方程的积分因子的充要条 件是，即仅是关于的函数■此时可求得原方程的一个积分因子为■同样有只与 有关的积分因子的充要条件是是仅为的函数，此时可求得方程的一个积分 因子为2.5恰当微分方程求解对于一阶微分方程N ——- M-XM —=(一 :y若有,则该方程必为恰当微分方程■33下面讨论如何求得该恰当微分方程的解. 把看作只关于自变量的函数，对它积分可得 由此式可得— M (x, y)dx 丄⑶=N .y ；y dy由此可得3又因为L'\ -Tk IL'\ L 、N—[NM(x,y)dx] [ — .M(x,y)dx] :xy x .x y3故等式右边只含有，积分可得M (x, ydx)]dy ,进而可得u = M (x, y)dx 亠 i[N - ' M (x, y)dx]dy .则恰当微分方程的通解为.M (x, y)dx [ N - 一 M (x, y)dx]dy 二c , 这里是任意常数.3■基本方法的应用 3.1 一般变量分离应用举例 3.1.1应用举例例1求解方程3解将变量分离, 得到两边积分,即得, 因而,通解为■这里是任意正常数,或者解出,写出显函数形式的解■3.1.2 应用举例例2 求解方程,的通解,其中的连续函数解将变量分离, 得到,两边积分,即■这里是任意常数.由对数定义,有,即,令,得到,此外,显然也是方程的解,如果允许中允许则也就包括在中,因而的通解为,其中为任意常数.3.2齐次微分方程应用举例3.2.1 类型一应用举例例3 求解方程解这是齐次微分方程,以代入, 则原方程变为即将上式分离变量,既有两边积分,得到■这里是任意常数,整理后,得到得到此外,方程还有解■如果在中允许,则也就包括在中,这就是说,方程的通解为带回原来的变量,得到方程的通解为3.2.2 类型一应用举例例4 求解方程（）解将方程改写为, 这是齐次微分方程.以代入,则原方程变为分离变量,得到两边积分,得到的通解即当时,这里c 时任意常数.此外,方程还有解注意,此解并不包括在通解中. 代入原来的变量,即得原方程的通解为3.2.3 类型二应用举例例5 求解方程.解令,则有代入所求方程整理可得由变量分离得5故所求方程的解为3.2.4 类型二应用举例例6 求解方程解解方程组得令代入上式方程,则有再令则上式可化为5两边积分，得因此记并带回原变量，得(y 一2)22(x-1)(y-2)-(x-1)2此外容易验证,即也是方程的解，因此方程的通解为,其中为任意的常数.3.3常数变易法应用3.3.1常数变易法应用举例例7求方程的通解解原方程可改写为,即I 首先，求出齐次线性微分方程,的通解为其次，利用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解把看成,将方程两边同时微分得代入,得到,两边同时积分,即可求得■从而,原方程的通解为, 这里是任意常数.3.3.2 伯努利微分方程的求解例8 求方程的通解解这是时的伯努利微分方程.令,算得,这是线性微分方程,求得它的通解为■代入原来的变量,得到,或者, 这就是原方程的通解. 此外,方程还有解3.4利用积分因子求解例9 求解方程.解这里M二y, N二y「X,卫=1,上=_1,方程不是恰当的.cy cX因为只与有关，故方程有只与的积分因子3以乘方程两边，得到3或者写成,因而通解为3.5利用恰当微分方程求解例10 求解方程（cosx - —）dx -（丄 _-^2）dy =0. y y y 解因为，故方程是恰当微分方程.把方程重新分项组合，得到1 1 X(cosx )dx ( - 2 )dy 二 0,y y y丄丄ydx — xdyd sin x d In | y | 2 0,y或者写成于是,方程的通解为,这里是任意常数参考文献[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程（第三版）[M]. 北京:高等教育出版社;. [3] 伍卓群,李勇编,常微分方程（第三版）[M], 北京：高等教育出版社,2004.[4] 杨继明,蔡炯辉;常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式[J]. 宝鸡文理学院学报（自[5] 胡建伟,汤怀民,常微分方程数值解法[M], 北京：科学出版社.1999.[6] 周义仓.常微分方程及其应用.[M] . 北京:高等教育出版社,1985.[7] 尤秉礼.常微分方程补充教程.[M] . 北京:人民教育出版社,1981.。
常微分方程解法总结
常微分方程解法总结常微分方程是描述自变量和其导数之间关系的方程，是数学中重要的研究对象之一。
在工程、物理、生物等领域中，常微分方程都有着广泛的应用。
解常微分方程是数学分析的重要内容之一，下面我们将总结常微分方程的解法。
一、分离变量法。
分离变量法是解常微分方程的一种常用方法。
对于形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，我们可以将变量分离，然后分别对两边积分，最后得到方程的解。
这种方法适用于很多形式的常微分方程，是常微分方程解法中的一种基本方法。
二、齐次方程法。
对于形如dy/dx=f(y/x)的齐次方程，我们可以通过变量代换y=vx来将其转化为可分离变量的形式，然后再用分离变量法解方程。
这种方法适用于一些特殊形式的常微分方程，是解常微分方程的重要方法之一。
三、一阶线性微分方程法。
一阶线性微分方程是形如dy/dx+p(x)y=q(x)的方程，我们可以通过乘以一个合适的积分因子来将其转化为恰当微分方程，然后再用恰当微分方程的解法来求解。
这种方法适用于一阶线性微分方程，是解常微分方程的重要方法之一。
四、常数变易法。
对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)e^(∫p(x)dx)的方程，我们可以通过常数变易法来求解。
这种方法适用于一些特殊形式的常微分方程，是解常微分方程的重要方法之一。
五、特解叠加法。
对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的线性非齐次微分方程，我们可以先求其对应的齐次方程的通解，然后再求出非齐次方程的一个特解，最后将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到原方程的通解。
这种方法适用于线性非齐次微分方程，是解常微分方程的重要方法之一。
总结。
通过以上几种常微分方程的解法，我们可以解决很多常微分方程的问题。
当然，常微分方程的解法还有很多其他方法，如变量分离、恰当微分方程、一阶齐次线性微分方程等。
在实际问题中，我们需要根据具体的方程形式和条件来选择合适的解法，以求得方程的解。
希望本文的总结能够对大家在解常微分方程时有所帮助。
毕业论文开题报告之常微分方程数值解法
毕业论文开题报告之常微分方程数值解法河南理工大学本科毕业设计（论文）开题报告题目名称Crank-Nicolson格式的应用与实践学生姓名何华飞专业班级数学08-2班学号310811010212 一、选题的目的和意义：目的：总结常微分方程的常用解法，提出常微分方程的一些求解技巧，从而以便灵活运用常微分方程建立数学模型来解决实际问题。
意义：求解常微分方程的通解或满足初值条件的特解是很重要的，因为根据实际问题建立微分方程及其相应的初值条件，即建立常微分方程模型，是数学建模的基本内容之一。
因此掌握常微分方程的解法是很有必要的，尤其是掌握了求解常微分方程的技巧有时可以达到事半功倍的效果。
二、国内外研究现状简述：1691年，莱布尼茨用分离变量法解决了形如ydx/dy=f(x)g(y)的方程。
同年，他又解出了一阶齐次方程'y=f(y/x)。
1693年，莱布尼茨给出了线性方程dy/dx=p(x)y+q(x)的通解表达式。
1743年，欧拉定义了通解和特解的概念，同时还给出了恰当方程的解法和常系数线性齐次方程的特征根法。
皮亚拿和比卡，他们先后于1875年和1876年给出了常微分方程的逐次逼近法。
1881年，庞加莱创立了常微分方程的定性理论。
同时，此理论的一系列课题成为动力系统的开端。
1892年，数学家李雅普诺夫开创了微分方程运动稳定性理论研究。
三、毕业设计（论文）所采用的研究方法和手段：1.拟采用变量分离法求解变量分离方程及可化为变量分离方程类型的方程。
2.拟采用常数变易法求解非齐次线性微分方程。
3.拟采用特征根法求解常系数齐次线性微分方程和欧拉方程。
4.拟采用比较系数法及拉普拉斯变换法求解非齐次线性微分方程。
四、主要参考文献与资料获得情况：[1] 王高雄、周之铭等著，常微分方程，第三版，高等教育出版社，2007.[2] 丁同仁、李承治著,常微分方程，高等教育出版社，2001.[3] 博亚尔丘克、戈洛瓦奇、郑元禄著，常微分方程，清华大学出版社，2005.[4] 王怀柔等著，常微分方程讲义人民教育出版社，1963.[5] 祝同江著，积分变换，第二版，高等教育出版社，2007.[6] 同济大学数学系编，高等数学，第六版，高等教育出版社，2007.五、毕业设计（论文）进度安排（按周说明）：5-6周：利用图书馆、网络等资源，查阅相关资料，完成“毕业设计开题报告”。
常微分方程的初等解法共18页文档
1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
常微分方程毕业论文.
安阳师范学院本科学生毕业论文一阶常微分方程初等解法作专年学日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.签名：导师签名：日期：一阶常微分方程初等解法田丰(安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳 100801066)摘要: 文章对一阶常微分方程运用变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法进行了归纳与总结,同时结合例题演示了常微分方程的求解问题。
关键词:一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子1 引言常微分方程在微积分概念出现后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶常微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等. 微分方程里各项的次数，其实说的是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数但是一般接触到的有解析解的微分方程都不会超过1次，所以齐次一般指的就是方程各项中未知函数（y）及其导数（y'，y''，y'''……）的次数为1也就是说方程各项中必须出现且只出现单独的y，y'，y''，y'''……，而不出现它们的平方、n次方，也不出现它们互相相乘，也不出现常数项（次数为0）其中的常见的求解一阶微分2 一阶常微分方程的初等解法2.1 变量分离法2.1.1 一般变量分离法()()dy f x y dxϕ=, )1.2( 的方程,称为变量分离方程,()f x ,()y ϕ分别是x ,y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果()0y ϕ≠,我们可将)1.2(改写成()()dy f x dx y ϕ=, 这样,变量就分离开来了.两边积分,得到 ()()dy f x dx c y ϕ=+⎰⎰. )2.2(这里我们把积分常数c 明确写出来,而把⎰)(y dy ϕ, ⎰dx x f )(分别理解为)(1y ϕ,)(x f 的原函数.常数c 的取值必须保证)2.2(有意义,如无特别声明,以后也做这样理解. 因)2.2(式不适合0)(=y ϕ情形.但是如果存在0y 使0)(0=y ϕ,则直接验证知0y y =也是)1.2(的解.因此,还必须寻求0)(=y ϕ的解0y ,当0y y =不包括在方程的通解)2.2(中时,必须补上特解0y y =例1 求解方程dx dy -=xy 解 将变量分离,得到xdx ydy -=,两边积分,即得22222c x y +-=, 因而,通解为c y x =+22.这里c 是任意正常数,或者解出y ,写出显函数形式的解2x c y -±=.例2 求解方程y x p dxdy )(=, )1.3( 的通解,其中是)(x p x 的连续函数解 将变量分离,得到dx x p y dy )(=, 两边积分,即cdx x p y ~)(||ln +=⎰. 这里c~是任意常数.由对数定义,有 c dx x p ey ~)(||+⎰=, 即dx x p c e e y ⎰⋅±=)(~,令c e c =±~,得到⎰=dx x p ce y )(, )2.3( 此外,0=y 显然也是方程)1.3(的解,如果允许)2.3(中允许0=c 则0=y 也就包括在)2.3(中,因而)1.3(的通解为)2.3(,其中c 为任意常数2.1.2 用变量分离解齐次微分方程2.1.2.1 用变量分离法解齐次微分方程类型一形如)(yx g dx dy =, 的方程,称为齐次微分方程,这里)(u g 是u 的连续函数.作变量变换xy u =, 即ux y =,于是u dxdu x dx dy +=. 代入原方程可得)(u g u dxdu x =+, 整理后,得到x u u g dx du -=)(. )3.2( 因)3.2(是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即可得到原方程的解例3 求解方程x y xy dx dy tan += 解 这是齐次微分方程,以u dxdu x dx dy u x y +==及代入,则原方程变为 ,tan u u u dxdu x +=+ 即xu dx du tan =. )3.3( 将上式分离变量,既有,cot x dx udu = 两边积分,得到cx u ~||ln |sin |ln +=. 这里c~是任意常数,整理后,得到 u sin =,~x e c ⋅±c e=±~得到 cx u =sin . )4.3( 此外,方程)3.3(还有解 0tan =u .如果在)3.3(中允许0=c ,则0tan =u 也就包括在)4.3(中,这就是说,方程)3.3(的通解为)4.3(带回原来的变量,得到方程的通解为.sin cx x y=例4 求解方程y xy dx dyx =+2（0<x ）解 将方程改写为x yx y dx dy +=2,这是齐次微分方程.以u dx dux dx dy u x y+==及代入,则原方程变为 .2u dx dux =)5.3( 分离变量,得到,2x dxu du =两边积分,得到)5.3(的通解.)ln(c x u +-=即当0)ln(>+-c x 时,2])[ln(c x u +-=.这里c 时任意常数.此外,方程)5.3(还有解.0=u注意,此解并不包括在通解)5.3(中.代入原来的变量,即得原方程的通解为.])[ln(2c x x y +-=2.1.2.2用变量分离法解齐次微分方程类型二形如222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=, )4.2( 的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里1a ,1b ,1c ,2a ,2b ,2c 均为常数.可分为三种情况来讨论:()1k c c b b a a ===212121(常数)的情形 这时方程可化为k dxdy =, 有通解c kx y +=,其中c 为任意常数.()2212121c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=,这时有212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=. 是变量分离方程()32121b b a a ≠及21,c c 不全为零的情形 因为方程右端分子,分母都是y x ,的一次多项式,因此⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a 代表Oxy 平面上两条相交的直线,设交点为()βα,,若令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X 则方程可化为⎩⎨⎧=+=+,0,02211y b x a y b x a 从而方程)4.2(变为.2211⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=X Y g Y b X a Y b X a dX dY 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.)4(021==c c 的情形, 此时直接变换xy u =即可. 例5 求解方程111dy dx x y =+-+. 解 令1u x y =-+,则有1y u x -=--,代入所求方程()111d u x dx u---=+, 整理可得1du dx u=-, 由变量分离得22u x c =-+,故所求方程的解为()212x y x c -++=.例6 求解方程 31-++-=y x y x dx dy . 解 解方程组⎩⎨⎧=-+=+-,03,01y x y x 得.2,1==y x 令⎩⎨⎧+=+=,1,1Y y X x 代入上式方程,则有YX YX dX dY +-=. 再令,uX Y XYu ==即则上式可化为 du uu uX dX 2211--+=, 两边积分,得cu u X ~|12|ln ln 22+-+-=, 因此c e u u X ~22)12(±=-+,记,1~c e c=±并带回原变量,得1222c X XY Y =-+,122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-.此外容易验证0122=-+u u ,即2220,Y XY X +-=也是方程的解 ,因此方程的通解为c x y x xy y =---+26222,其中c 为任意的常数. 2.2常数变易法2.2.1常数变易法类型一一阶线性微分方程()(),x Q y x P dxdy+= 其中()()x Q x P ,在考虑的区间上是x 的连续函数,若Q ()0=x ,方程变为(),y x P dxdy= 称其为一阶齐次线性微分方程,若(),0≠x Q 称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为(),⎰=dxx P ce y这里c 是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中c 恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c 变易为x 的待定函数,使它满足方程,从而求出(),x c 为此,令()(),dxx P e x c y ⎰=两边同时微分,得到()()()()().dx x P dxx P e x P x c e dxx dc dx dy ⎰+⎰= 代入原方程,得到()()()()()()()()(),x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x P dx x P dx x P +⎰=⎰+⎰ 即()()(),⎰=-dx x P e x Q dxx dc两边同时积分,得到()()(),1c dx e x Q x c dxx P +⎰=-⎰这里1c 是任意常数,求得到()()().1⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-c dx e x Q e y dx x P dxx P就是方程的通解.这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.例7 求方程22y x y dx dy -=的通解 解 原方程可改写为yy x dy dx 22-=, 即y x ydy dx -=2, )6.3( 首先,求出齐次线性微分方程x ydy dx 2=, 的通解为2cy x =.其次,利用常数变易法求非齐次线性微分方程)6.3(的通解 把c 看成)(y c ,将方程2cy x =两边同时微分得y y c y dyy dc dy dx )(2)(2+=. 代入)6.3(,得到ydy y dc 1)(-=, 两边同时积分,即可求得cy y c ~ln )(+-=. 从而,原方程的通解为)ln ~(2y cy x -=, 这里c~是任意常数.2.2.2常数变易法类型二形如n y x Q y x P dxdy)()(+=, )5.2( 的方程,称为伯努利方程,这里)(x P ,)(x Q 为x 的连续函数,n ≠0,1是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程.事实上,对于0≠y ,用n y -乘)5.2(的两边,得到)()(1x Q x P y dxdyy n n+=--, 引入变量变换n y z -=1,从而dxdyy n dx dz n--=)1(. 代入方程)5.2(,得到)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-+-=, 这是线性微分方程,可按照前面介绍的方法来求出它的通解,然后代换原来的变量,便得到方程的通解.此外,当0>n 时,方程还有解0=y .例8 求方程的26xy xydx dy -=通解 解 这是2=n 时的伯努利微分方程.令1-=y z ,算得x z xdx dz +-=6, 这是线性微分方程,求得它的通解为826x xc z +=.代入原来的变量y ,得到8126x x c y +=, 或者c x y x =-886, 这就是原方程的通解. 此外,方程还有解0=y 2.3 利用恰当微分方程求解法 对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=,若有M Ny x∂∂=∂∂,则该方程必为恰当微分方程. 下面讨论如何求得该恰当微分方程的解. 把(),uM x y x∂=∂看作只关于自变量y 的函数,对它积分可得 ()(),u M x y dx y ϕ=+⎰由此式可得N dyy d dx y x M y y u =+∂∂=∂∂⎰)(),(ϕ, 由此可得dx y x M yN dy y d ⎰∂∂-=),()(ϕ, 又因为]),([]),([⎰⎰∂∂∂∂-∂∂=∂∂-∂∂dx y x M yx x N dx y x M y N x ]),([⎰∂∂∂∂-∂∂=dx y x M x y x N0=∂∂-∂∂=yMx N , 故等式右边只含有y ,积分可得dy ydx x M y N y ⎰⎰∂∂-=]),([)(ϕ, 进而可得dy dx y x M yN dx y x M u ⎰⎰⎰∂∂-+=]),([),(. 则恰当微分方程的通解为c dy dx y x M y N dx y x M =∂∂-+⎰⎰⎰]),([),(, 这里c 是任意常数.例10 求解方程0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x .解 因为221,1yx N y y M -=∂∂-=∂∂,故方程是恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x ,即0||ln sin 2=-++yxdyydx y d x d , 或者写成0)||ln (sin =++yxy x d .于是,方程的通解为c yxy x =++||ln sin , 这里c 是任意常数2.4 利用积分因子求解法函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂, 即()M N NM x y y xμμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂. 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=,则0xμ∂=∂,则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y x μμ∂∂∂=-∂∂∂,即()()M Ny x x Nφ∂∂-∂∂=仅是关于x 的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为()x dxe φμ⎰=.同样有只与y 有关的积分因子的充要条件是()()M N y xy Mϕ∂∂-∂∂=-是仅为y的函数,此时可求得方程的一个积分因子为()y dye ϕμ⎰=例9 求解方程0)(=-+dy x y ydx . 解 这里,1,1,,-=∂∂=∂∂-==XNy M x y N y M 方程不是恰当的. 因为yy M 2-=∂∂只与y 有关,故方程有只与y 的积分因子 2||ln 221ye eu y y==⎰=--, 以21yu =乘方程两边,得到 0112=-+yxdydy y dx y , 或者写成02=+-y dyyxdy ydx , 因而通解为c y yx=+||ln .3 结束语文章详细介绍了一阶常微分方程的初等解法，即把一阶常微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。
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1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
2.1、变量分离方程法形如，（2.1）的方程，称为变量分离方程，这里的，分别是x，y的连续函数。
如果，我们可将（2.1）改写成，这样变量就“分离”开来了。
两边积分得到，（2.2）。
例1：方程就可以用变量分离法求解方程解：变量分离，得到，两边积分，即得，因而，通解为，（c为任意常数）2.2、可化为变量分离方程的类型(1) 形如，（2.3）的方程，称为齐次微分方程，这里是u的连续函数。
作变量变换，（2.4）即，于是，（2.5）.将（2.4），（2.5）代入（2.3），则原方程变为，整理后，得到,(2.6).方程（2.6）是一个变量分离方程，这就所为的可以化为变量分离的方程。
例2方程就是一个可以化为变量分离的方程。
解这是齐次微分方程，以及代入，则原方程变为。
即。
将上式分离变量，既有，两边积分，得到，（为任意常数）整理，得到，令，得到将代入上式，得到方程的通解为(2)形如,(2.7)的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，，，，，，均为常数。
我们分三种情况来讨论：① (常数)情形。
这时方程化为，有通解，其中c 为任意常数。
②情形。
令，这时有212222c u c ku b a dx dy b a dx du +++=+=是变量分离方程。
③情形。
如果方程(2.7)中，不全为零，方程右端分子﹑分母都是x ，y 的一次多项式，因此（2.8）.代表Oxy 平面上两条相交的直线，设交点为。
若令（2.9）。
则（2.8）化为从而（2.7）变为，（2.10）。
因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（2.7）的解。
如果方程（2.7）中，可不必求解（2.8），直接取变换即可。
上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.7）更一般的方程类型。
例3 方程就可以用上述方法来求解。
解 解方程组得x=1，y=2.令代入原方程，则有,再令,即,则上式化为，两边积分，得 ，因此 ，记，并代回原变量，得，把代入上式 得122)1()2)(1(2)2(c x y x y =----+-整理，得 (c 为任意常数)2.3、线性微分方程与常数变易法一阶线性微分方程，（2.9）。
其中P （x ），Q （x ）在考虑的区间上是x 的连续函数。
若Q （x ）=0，（2.9）变为，（2.10），(2.10)称为一阶其次线性微分方程。
若，（2.9）称为一阶非其次线性微分方程。
（2.10）是变量分离方程它的解为，（2.11）这里的c 为任意常数。
现在讨论非奇次线性微分方程（2.9）通解的求法。
不难看出，（2.10）是（2.9）的特殊情形，可以设想（2.11）中将常数c 变易为x的待定函数c(x).令，（2.12）微分之，得到⎰+⎰=dx x p dx x p e x p x c e dx x dc dx dy )()()()()(，（2.13）.将（ 2.12）,(2.13)代入（ 2.9），得到)()()()()()()()()(x Q e x c x P e x P x c e dxx dc dx x p dx x p dx x p +⎰=⎰+⎰。
即，积分后得到，这里的是任意常数。
将上式代入（2.12），得到方程（2.9）的通解⎰+⎰⎰=-))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p ，（2.14）。
这种将常数变易为待定函数的方法，我们通称为常数变易法。
常数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通过变换（2.12）可将方程（2.9）化为变量分离方程。
若方程不能化为（2.9）形式，可将x 看作y 的函数，再看是否为（2.9）形式。
例4 方程（n 为常数）就可以用常数变易法求解。
解 将方程改写为 ，①首先，求齐次线性微分方程的通解从 ，得到齐次线性微分方程的通解其次，应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。
为此，在上式中把c 看成为x 的待定函数c （x ）,即，②微分之，得到 )()1()1()(1x c x n x dxx dc dx dy n n ++++=，③ 把②，③代入①，得到 ，积分之，求得因此，以所求的c （x ）代入②，即得原方程的通解， （为任意常数）2.4、恰当微分方程与积分因子2.4.1恰当微分方程如果方程0﹐y)dy (﹐y)dx (=+x N x M ，的左端恰好是某个二元函数的全微分，即+=则称原式为恰当微分方程。
容易验证恰当微分方程的通解就是,这里的c 为任意常数。
如果方程是恰当微分方程时，函数应该具有以下性质。
和分别对y ，x 求偏导，得到，，由得连续性，可得，故,这就是恰当微分方程的必要条件。
如果是恰当微分方程我们可以利用“分项组合”的办法来求解。
利用公式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-=--=+=-=+==+﹐)(ln 21﹐)(arctan x xdy -ydx ﹐)(ln ﹐)(xdy ydx -﹐)(xdy -ydx ﹐)(222222y x y x d y x xdy ydx y x d y y x d xy xdy ydx x y d x y x d y xy d xdy ydx （2.15） 例5 方程0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 就可以用“分项组合” 方法来求解。
解 把方程重新“分项组合”得到066432232=+++ydy x dx xy dy y dx x即 033222243=+++dy x dx y dy dx或者写成于是，方程的通解为 ，（c 为任意）2.4.2、积分因子如果存在连续可微的函数，使得x+=0为一恰当微分方程，即存在函数，使，则称为方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 的积分因子，而积分因子不是唯一的。
这时是方程的通解，因而也就是0)﹐()﹐(=+dy y x N dx y x M 的通解。
由（2.15）看到，同一方程可以有不同的积分因子，，，。
可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。
因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因子不同从而通解可能具有不同的形式。
根据上述可知，函数为方程的积分因子的充要条件是，即μμμ)(xN y M y M x N ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂。
对于方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M ，如果存在只与x 有关的积分因子，则，这时方程μμμ)(xN y M y M x N ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂变成，即，由此可知，方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 有只与x 有关的积分因子的充要条件是，这里仅为x 的函数。
假如条件成立，则根据方程，可知求得方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 的一个积分因子是。
同样，0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是，这里的仅为y 的函数。
从而求得方程0y)dy ﹐(x )﹐(=+N dx y x M 的一个积分因子。
例6 求解方程解：，，，，方程不是恰当的因为只与y 有关故方程有只与y 有关的积分因子以乘方程两边，得到或者写成因而，通解为 (c 为任意常数)例7 求方程0)(2223=+++ydy x dx y x x 的通解。
解： 经判断，所以该方程不是恰当方程。
分组得0)(2223=+++dx y x ydy x dx x显然前两项具有积分因子，相应的全微分为，要使得)(1)(122222x yx y x x ψϕ+=+ 成立。
只需取，即可，这样就找到了一个积分因子。
原方程两边同乘，可得，所以通解为。
例8 解方程 0)84()2(3423=+++++dy y xy x dx x y x y 。
解： 方程各项重新组合为()()()08243243=+++++dy y dx x dy xy ydx x xdy ydx ， ()()03244332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++y x d dy y dx x xy xy d ， ()03234343=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x d y x xyd xy d ， 此时，可令，上方程化为，解之得，3.常微分方程的多种解法在常微分方程中，每一道题都有多种解法，不同的解法答案是相同的，在社会中的应用大致也是相同的，下面就让我们看看一道常微分方程到底有多少种解法。
例1 求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解。
解: 解法1 不定积分法。
令,，则，所以该方程为恰当方程。
，关于积分，得，32246),()(6y y x y x N y y x yU +=='+=∂∂ϕ， ，，所以通解为C y y x x y x U =++=42233),(。
解法2 公式法利用恰当方程求解方法3中公式得方程通积分为C y x x y dy y dx xy x y x U x y=++=++=⎰⎰22340032234)63(),( 解法3 分组法去括号重新分组可得066432232=+++ydy x dx xy dy y dx x0)(3)(222243=+++dy x dx y y x d积分，得原方程的通解为。