常微分方程积分因子问题综述 毕业论文

目录第一章 绪论 (2)第二章 积分因子问题综述..................................................................3 1积分因子的定义..............................................................................3 2积分因子的存在条件........................................................................4 3积分因子的形式 (5)3.1一般教材给出的积分因子形式及其存在的充要条件 (6)3.2其它特殊形式的积分因子 (7)3.3一般结论：方程有特殊形式的积分因子(),x y μϕ=Φ⎡⎤⎣⎦的充要条件...9 4求解积分因子的一般方法 (10)4.1观察法 (10)4.2分组法 (11)4.3一种特殊积分因子的求法.........................................................13 5 四种常见类型的一阶微分方程的积分因子解法 (15)5.1变量分离方程 (15)5.2齐次方程 (15)5.3一阶线性方程 (17)5.4伯努利方程...........................................................................17 参考文献 ....................................................................................18 致 谢 (19)常微分方程积分因子问题综述摘要：采用积分因子方法将一阶微分方程转化为全微分方程是求解微分方程的一个重要手段。

本文首先介绍了积分因子的定义和存在条件等基本概念，使积分因子与求解微分方程之间建立了桥梁关系，也是引入积分因子的原因所在。

鉴于积分因子的不唯一性和求解过程的复杂性，总结出几种特殊形式的积分因子以及其存在的充要条件，并推导证明了一般形式积分因子存在的充要条件。

分析求解微分方程过程中寻找积分因子的多种方法：观察法和分组法，对于一些特殊的微分方程特殊对待，而特殊形式的积分因子可以作为公式法求解积分因子，并通过实例验证这些方法的有效性。

最后运用这些方法推导出四种常见的一阶微分方程的积分因子的一般形式，其形式简单、易行，融汇贯通所学知识。

关键词：恰当方程；积分因子；通解；微分方程ODE integral factor SurveyAbstract：It is an important mean of using the integrating factor method to solve differential equations, which make the first-order differential equations become full-differential equations. In this paper we first introduce the definition and the conditions on existence of the integral factor and some basic concepts. In order to makes a bridge between the solution of the differential equations and integral factor, we introduce the integrating factor. In view of the integral factor is not unique and the complexity of the solving process, we summed up several special forms of the integral factors,and give the necessary and sufficient condition on the existence. Furthermore, we deduced that the necessary and sufficient condition for their existence of the general form. In the process of solving differential equations we find a number of integral factor solving ways: the observation law and the division law, for some special differential equations we treat them specially, and the special forms of the integral factor can be used as formula to solve them, and demonstrate the effectiveness of these methods through examples. Finally we by these methods deduced derived the general forms of the four common first-order differentialequations’ integrating factors, the forms of them is simple, easy, to integrate knowledge through studies.Key word: appropriate equation; integrating factor; ordinary solution; differential equation第一章 绪 论微分方程作为数学的重要组成部分，它的应用已日益渗透到经济学、军事学、生物生态学、环境科学等多个重要领域，它是数学科学联系实际的主要桥梁之一。

在学习实践中，利用积分因子来巧妙的解微分方程，是一种有效的解决方法，值得研究和探讨。

求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作，由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系。

由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题并不是很完善，比如利用解恰当方程的方法求常微分方程的解，是一种好方法，然而积分因子的求法却是不容易，有的甚至根本无法求出。

一阶微分方程总可以表示为对称形式：()(),,0M x y dx N x y dy +=， （＊） 其求解是整个微分方程求解的基础。

该方程为恰当方程的充要条件为：M N y x∂∂=∂∂，而能否将一个非恰当方程化为恰当方程有很大的意义,积分因子就是为了解决这个问题而引进的概念。

本文主要是对积分因子进行一些探讨：1、第一节介绍了积分因子的定义，并由此得出积分因子与通解之间的关系， 便于理解引进积分因子的意义所在。

2、第二节证明了积分因子存在的充要条件，而存在的充要条件有助于发现 特殊形式的积分因子，为其证明奠定了基础，是探讨积分因子形式的前提及证明特殊积分因子存在充要条件的基本思想。

3、第三节在一般教材原有只与x 和只与y 有关的积分因子的形式的基础上 介绍了其它几中特殊的积分因子的形式及其存在的充要条件，并推导出一般形式积分因子存在的充要条件的表达式。

而特殊形式的积分因子成为了求解一些积分因子的好方法，并使更一般的积分因子求解的发现豁然开朗。

4、在前面讨论了积分因子后，而积分因子的求解无固定方法可循，第四节力图通过对全微分方程的探索，通过不同的分类方式，提出了求解积分因子较有效的几种方法，突出每种方法的特点，但有时也可以多种方法混合使用。

5、介绍积分因子归根到底是为了求解微分方程，更好的了微分方程，最后第五节推导出四种常见的一阶微分方程的积分因子的一般形式，其形式简单、易行，让大家了解求解微分方程方法的多样性，通过观察比较学习简易解题。

本文在一阶微分方程的范围内对积分因子作了粗浅的讨论，还需我们今后在学习过程中认真探索，对于积分因子在偏微分方程的应用、在微积分学中的应用等多方面还需我们进一步研究探讨，以更全面的了解积分因子。

第二章 积分因子问题综述1 积分因子的定义当方程()(),,0M x y dx N x y dy +=不是恰当方程时,则M N y x∂∂≠∂∂。

如果存在连续可微的函数错误!未找到引用源。

，使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+=为一恰当方程，即存在函数(),u u x y =,使得()(),,M x y dx N x y dy du μμ+=， （1.1） 则称(),x y μ为方程（＊）的积分因子。

此时(),u x y c =是方程（1.1）的通解，因而也就是方程（＊）的通解。

例如：方程0ydx xdy -=不是全微分方程，但是由于2x ydx xdy d y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可知21y 是一个积分因子。

可以验证21x ，1xy 也是该方程的积分因子。

结论：如果(),x y μ是微分方程（＊）的积分因子，即存在可微函数(),u u x y =使得()(),,M x y dx N x y dy du μμ+=，那么(),x y μ也是方程（＊）的积分因子的充要条件是() (),x y u μμϕ=，这里()u ϕ是u 的可微函数。

证明：（充分性）()()()()()()u Mdx Ndy u Mdx Ndy u du d u μφφμμφ+=+==Φ⎡⎤⎣⎦这里()u Φ是()u φ的一个原函数，这就意味着()()0u Mdx Ndy μφ+=是恰当方程，其通解就是()u c Φ= (c 为任意常数)。

（必要性）因为(),x y μ是方程（＊）的积分因子，所以存在可微函数(),u u x y =使得 Mdx Ndy du μμ+=，两边乘以μ得：()Mdx Ndy du du μμμμμ+==， 所以()du u duμμμϕ==，这里令()du u du ϕ=为u 的可微函数。

2 积分因子的存在条件命题：对于方程（＊），当M N y x∂∂≠∂∂时，(),x y μ是其积分因子的充要条件是()()M N y xμμ∂∂=∂∂， 即 M N N M y x x y μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭， （2.1） 也即 ln ln M N N M x y y xμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂。