二阶变系数线性微分方程的求解问题--本科毕业论文

目录一、论文正文摘要 (1)1引言 (1)2构造系数函数法 (1)2.1第一种构造系数函数法 (1)2.1.1应用举例 (4)2.2第二种构造系数函数法 (5)2.2.1应用举例 (5)3常数变异法 (5)3.1求二阶变系数齐次线性微分方程的通解 (6)3.2求二阶变系数非齐次线性微分方程的解 (6)3.3.1 应用举例 (8)4 总结 (9)致谢 (9)参考文献 (9)二、附录开题报告 (11)中期检查报告 (12)结题报告 (14)答辩报告 (15)答辩过程记录 (16)指导教师：贾化冰二阶变系数线性微分方程的求解问题苏鲜娜 （宝鸡文理学院 数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013 ）摘 要:本文考虑二阶变系数线性微分方程的求解问题.基于系数函数的特点,利用常数变异法,获得二阶变系数线性微分方程的通解，并举例说明。

关键词:二阶变系数线性微分方程；通解；常数变易法1 引言随着科学的发展和社会的不断进步，微分方程的应用也越来越广泛，比如在物理，化学，电子技术，自动控制等领域，它都发挥着及其重要的作用，同时也都提出了许多有关微分方程的问题。

对于有关常系数线性微分方程的问题，已有许多研究者提出了各种不同的求解方法，然而，对于变系数线性微分方程，特别是二阶甚至高阶变系数线性微分方程的求解问题却研究的并不是很多，作为微分理论重要组成部分的二阶变系数线性微分方程，在现代科技、工程等各领域中都具有广泛的应用，可是对于如何来求解二阶变系数线性微分方程, 虽然对其解的结构已有一定研究，但是却仍然没有一种成规的方法.无论是在中国还是在外国现行的《高等数学》[1]中，也只是对于常系数微分方程的求解问题做了比较详细的研究与归纳，即使在《常微分方程》中也没有对二阶变系数微分方程的通解或者特解作出更深一步的研究。

如果()p x ,()q x 为连续且非常数的函数，那么方程()()()y p x y q x y f x '''++=，被称为二阶变系数线性微分方程。

若()0f x ≡，则该方程就被称之为二阶变系数齐次微分方程。

对于一般的二阶常系数线性微分方程，根据《常微分方程》教材[2]，用积分变换法，常数变异法等方法便可以顺利求得其解。

然而对于在实际问题中经常所遇到的变系数线性微分方程，这些求解方法均将失效。

介于这种情况，通过对二阶变系数线性微分方程的有关教材和许多学者的文献的研究，总结了前人的成果，根据方程本身的特点，运用不同方法来构造系数函数,对二阶变系数线性微分方程的求解问题进行讨论，通过某些适当的变换,将二阶变系数微分方程的求解问题转化为求一阶变系数线性微分方程的通解,继而根据已有的知识经验，来求解二阶变系数线性方程。

2 构造系数函数法2.1 第一种构造系数函数法定理1 设二阶变系数线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=， （1）其中()(),(),p x q x f x 均为连续函数，若存在连续函数(),() u x v x ,使得()()()()(()(,),)q x p x v x v x v x u x u x ⎧⎨'=+=+⎩（2） 则方程(1)有通解,为_[p()()]d [()2()]d ()d 12e {e [()e d ]d }x u x x p x u x x u x x y f x x c x c --⎰⎰⎰=++⎰⎰，或者_()d [2()()]d [()()]d 12e {e [()e d ]d }v x x v x p x x p x v x x y f x x c x c --⎰⎰⎰=++⎰⎰.证明 如果二阶变系数线性微分方程中的系数(),()p x q x 分别满足(2)那么方程（1）即可变形为[()()][()()()]()y v x u x y v x v x u x y f x ''''++++=.整理即可得[()]()[()]()y v x y u x y v x y f x ''''+++=,即d(()()[()]()d y v x y u x y v x y f x x'+'++=.令 ()Y y v x y '=+, (3) 则d(()()()d y v x y Y y v x y v x y x'+'''''=++= ,那么原方程（1）便可以转化为 ()()Y u x Y f x '+=, （4）此方程为一阶非齐次线性微分方程.方程（4）所对应的齐次方程为()0Y u x Y '+=, （5）所以有()Y u x Y '=-,两边同时积分得1d ()d Y u x x c Y=-+⎰⎰,即ln ()d Y u x x c =-+⎰,则方程(5)的通解为()d e u x x Y c -⎰=.那么方程(4)的通解为()d ()d 1[()e d ]e u x x u x x Y f x x c -⎰⎰=+⎰, (其中1c 为任意常数) 将方程（4）的通解带入(3)式，方程（1）则可通过上述变换降阶为()d ()d 1()[()]u x x u x x y v x y f x e dx c e -⎰'+=+⎰ . （6） 由于方程（6）是通过方程（1）降阶而转化来的，因此该一阶线性微分方程的通解便是我们所要求解的二阶变系数非齐次线性微分方程的通解。

又因为方程()d ()d 1()[()e d ]e u x x u x x y v x y f x x c -⎰'+=+⎰的解是 _()d ()d ()d ()d 12e {e [()e d ]e d }v x x u x x u x x v x x y f x x c x c -⎰⎰⎰⎰=++⎰⎰,整理得_()d [()()]d ()d 12e {e [()e d ]d }v x x v x u x x u x x y f x x c x c -⎰⎰⎰=++⎰⎰, （7）所以式（7）即为二阶变系数线性微分方程（1）的通解公式。

又因为由（2）式中()()()p x v x u x =+可得()()(),()()(),p x v x u x p x u x v x -=-=⎧⎨⎩所以将其分别代入（7）式，便可以得到方程（1）的另外两种表达形式的通解,即_[p()()]d [()2()]d ()d 12e {e [()e d ]d }x u x x p x u x x u x x yf x x c x c --⎰⎰⎰=++⎰⎰, （8） 或者_()d [2()()]d [()()]d 12e {e [()e d ]d }v x x v x p x x p x v x x y f x x c x c --⎰⎰⎰=++⎰⎰, (9)推论1 当()0f x ≡时,方程（1）就变成了二阶变系数齐次微分程。

此时程（7），（8）,（9）分别为()d [()()]d 12e {e d }v x x v x u x x y c x c --⎰⎰=+⎰， （10）_[p()()]d [()2()]d 12e [e d ]x u x x p x u x x y c x c --⎰⎰=+⎰， （11）_()d [2()()]d 12e [e d ]v x x v x p x x y c x c -⎰⎰=+⎰， （12）方程（10），（11），（12）便成为与之对应的微分方程()()0y p x y q x y '''++=的通解公式。

推论2 形如011[()()][()()()](){()()[()]...[()]}n n n n n n n y v x u x y v x v x u x y f x C y C y v x y C v x y -''''''++++=+++0,1n ≠是常数。

这种类型的方程可以化为伯努利方程进行求解.解 原方程可以转化为 d(()()[()]()[()]d n y v x y u x y v x y f x y v x y x'+''++=+ ,令 ()Y y v x y '=+，当()d e d v x x y c x -⎰≠时，原方程便可化简为 dY ()()d n u x Y f x Y x+=型伯努利方程,利用变量变换法即可将伯努力微分方程转化为线性微分方程，实际上是给方程dY ()()d n u x Y f x Y x+=两边同时乘以n Y -得 1dY ()()d nn Y Y u x f x x--=-+ ， （13） 继续引入变量1n z Y -= ， （14）从而便可得到d d (1)d d n z Y n Y x x-=-， （15） 将方程（13），（14），（15）依次代入到方程()Y y v x y '=+和方程d(()()[()]()[()]d n y v x y u x y v x y f x y v x y x'+''++=+ 中，便可得到原方程011[()()][()()()](){()()[()]...[()]}n n n n n n n y v x u x y v x v x u x y f x C y C y v x y C v x y -''''''++++=+++的通解。

注意 定理中的条件很苛刻,并非任何情况下此结论都成立,那么对于任意(),()p x q x ，()u x 和()v x 是否存在？下面我们来讨论一下（1）先讨论()v x 的存在条件已知(),()p x q x 是关于x 的连续函数,且满足()()()p x v x u x =+，()()()()q x v x v x u x '=+，则有()()()(()())q x v x v x p x v x '=+- ，整理得2()()()()()v x v x v x p x q x '-+=， （16） 方程（16）对应的齐次微分方程为2()()()()0v x v x v x p x '-+=. （17）设已知z 为方程（17）的通解,1v 是方程（16）的一个特解,则方程（16）的通解v 可以表示为1v z v =+，因为z 是方程（17）的通解，所以z 必符合方程（17），将z 代入方程（17）得2z z ()0zp x '-+=，两边同乘以2z -，即可以 得到21()1z z p x z -'--=-，即1d()1()1d z p x x z-=-. 令1Y z=, 则 d ()1d Y p x Y x -=-,即可以得()d ()d 1e (e d )p x x p x x Y x c -⎰⎰=-+⎰,所以()d ()d 11e (e d )p x x p x x x c z -⎰⎰=-+⎰，所以()d ()d 1e (e 1d )p x x p x x Z x c -=⎰⎰-+⎰,因此方程（20）的通解可表示为1v z v =+()d ()d 11e (1e d )p x x p x x x v c -⎰⎰-=++⎰.所以()v x 满足的条件为()d (1)d 11()e (e d )p x x p x x v x v x c -+=⎰-+⎰⎰. （2）讨论()u x 存在条件由()()()u x p x v x =-得,1()d ()d 1()()()()e (e d 1)p x x p x x u x p x v x p x v x c -=-=--⎰⎰-+⎰. 综上所述，只有当(),()u x v x 满足()d (1)d 11()e (e d )p x x p x x v x v x c -+=⎰-+⎰⎰, 1()d ()d 11()()e (e d )p x x p x x u x p x v x c -=--⎰⎰-+⎰ 的时候()()()()()()()p x v x u x q x v x v x u x =+'=+⎧⎨⎩， 成立2.1.1 应用举例例1 解方程224(42)x y xy x xe '''-+-=的通解。