2021届高考数学一轮总复习考点集训(三十八)第38讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
(浙江版)2021年高考数学一轮复习 专题7.3 二元一次不等式(组
（浙江版）2021年高考数学一轮复习专题7.3 二元一次不等式（组（浙江版）2021年高考数学一轮复习专题7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（讲）考点考纲内容五年统计分析预测 2021浙江文15理13；线性目标函数、距离二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 2021浙江文12理13；型、斜率型的目标函数201浙江文14理14 2021浙江文4理3 2021浙江4 最值问题. 备考重点： 1.线性规划基本问题; 2.含参数的目标函数以及与其他知识点的结合. 在平面直角坐标系中，直线l:Ax?By?C?0将平面分成两部分，平面内的点分为三类：①直线l上的点（x，y）的坐标满足：Ax?By?C?0；②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：Ax?By?C?0；③直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：Ax?By?C?0. 即二元一次不等式Ax?By?C?0或Ax?By?C?0在平面直角坐标系中表示直线直线Ax?By?C?0叫做这两个区域的Ax?By?C?0的某一侧所有点组成的平面区域，边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 对点练习在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域?x?2?0?中的点在直线x?y?2?0上的投影构成的线段记为AB，则AB??x?y…0?x?3y?4…0?（）.A.22B.4C.32D.6 【答案】CyQ'QOR'Rxx=2Px-3y+4=0x+y=2x+y=02.目标函数的最值名称约束条件线性约束条件目标函数线性目标函数可行解可行域最优解线性规划问题对点练习意义由变量x，y组成的不等式(组) 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等关于x，y的一次解析式满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合使目标函数取得最大值或最小值的可行解在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ?x?0?【2021浙江4】若x，y满足约束条件?x?y?3?0，则z?x?2y的取值范围是（）?x?2y?0?A．[0，6] D．[4，??)【答案】DB．[0，4]C．[6，??)y x?2y?0 xy?? 2oxx?y?3?0【考点深度剖析】从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题――线性规划问题，命题形式以选择、填空为主，但也有解答题以应用题的形式出现．【重点难点突破】考点1二元一次不等式(组)表示平面区域【1-1】【2021浙江嘉兴第一中学模拟】若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】表示直线的右上方，若构成三角形，点A在的右上方即可。
2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第3 讲二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题、知识梳理2•二元一次不等式（组）的解集满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成的有序数对（x,y）,叫做二元一次不等式（组）的解，所有这样的有序数对（x, y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集1 .利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax+ By+ C>0 或Ax+ By+ C<0,则有⑴当B（Ax + By+ C）＞0时，区域为直线Ax + By + C = 0的上方；（2）当B（Ax + By+ C）＜0时，区域为直线Ax + By + C = 0的下方.2.最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解. 最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.X W 2,（必修5P91练习T1改编）若x , y 满足y 》—1,则y — x 的最小值为 ________4x — 3y + 1 > 0,最大值为 ________ .答案：—31一、思考辨析判断正误（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域. （ ）⑵线性目标函数的最优解可能是不唯一的.（ ）⑶线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上. （）⑷在目标函数 z = ax + by （b 丰0）中，z 的几何意义是直线 距.()答案：(1)X (2) V (3) V (4) X 二、易错纠偏常见误区⑴不明确目标函数的最值与等值线截距的关系; （2）不理解目标函数的几何意义； ⑶平面区域内点满足关系不理解.1.点（一2, t ）在直线2x — 3y + 6= 0的上方，贝U t 的取值范围是 _________、习题改编ax + by — z = 0在y 轴上的截解析：因为直线2x —3y+ 6 = 0的上方区域可以用不等式2x —3y+ 6 v 0表示，所以由点2(—2, t)在直线2x—3y+ 6 = 0 的上方得—4—3t + 6 V 0,解得t>$答案：|,"y+ 2 > 0,2.设x,y满足约束条件x—2w 0, 则z= x+ y的最大值与最小值的比值为 _____________2x—y+ 1> 0.解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示x—2= 0, z= x+ y可化为y=—x+ z,当直线y=—x+ z经过A点时，z最大，联立2x—y+ 1 = 0.x= 2, y + 2 = 0,得故A(2,5)，此时z= 7;当直线y=—x+ z经过B点时,z最小，联立y= 5, 2x—y+ 1 = 0, 3x= —2 3 7得2故B —3, —2 ,此时z= —2,故最大值与最小值的比值为— 2.y=—2,答案：—2x—y+ 5> 0,y —13.已知x, y满足条件x+ y>0, 则z= 的最大值为________x十3x< 3,解析：作出可行域如图，问题转化区域上哪一点与点M(—3, 1)连线斜率最大，观察知55心1_ 2 - 1点 A -5,,使k MA 最大,Z max= k MA = = 3.2 5^—5+3答案：3.兀一次不等式（组）表示的平面区域（典例迁移）面区域的面积等于（）A 》 Ctx > 1 ,⑵设不等式组 x — y < 0,表示的平面区域为 M ,若直线y = kx —2上存在M 内的点，则x + y < 4实数k 的取值范围是（）B . (— 3 1] U [3 ,+s )（1）不等式组x> 0,x + 3y >4,所表示的平3x + y w 4A . [1, 3]D .D . ( — a, 2] U [5 , +8 )【解析】(1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 1 8 4 1), C(0, 4),则厶ABC 的面积为2X 1 x 3 =3.故选C.x > 1 ,(2)作出不等式组x — y w 0,表示的平面区域，如图中阴影部分所示,因为直线I ： y = x + y w 4kx — 2的图象过定点 A(0, — 2),且斜率为k ,由图知，当直线I 过点B(1, 3)时，k 取最大值 3+ 22+ 2=5 ,当直线I 过点C(2 , 2)时，k 取最小值 =2,故实数k 的取值范围是[2 , 5]. 1 — 02— 0C . [2, 5] 4,A 0, 3，B (1，【答案】(1)C (2)C【迁移探究】（变问法）本例（2）中条件不变，求平面区域M的面积，结果如何?解：可知平面区域M为等腰直角三角形，可求出B（1，3）和C（2, 2），所以2, 1所以S=新2X 2= 1.二元一次不等式（组）表示的平面区域的确定方法（1）确定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法是："直线定界，特殊点定域”，即先作直线,再取特殊点并代入不等式（组）.若满足不等式（组），则不等式（组）表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.（2）当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原占八、、♦1 .不等式(x —2y+ 1)(x+ y —3) < 0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )合.故选C.x — y > 0, 2x + y w 2,2.若不等式组 所表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）y > 0,x + y w a B . 0<a w 1 4D . 0<a w 1 或 a >3 x — y >0,解析：选D.不等式组 2x + y w 2，所表示的平面区域如图所示（阴影部分）.y > 0解析:选 C.(x — 2y + 1)(x + y — 3)w 0, x — 2y + 1 > 0,即或x + y — 3w 0x — 2y + 1 w 0,与选项C 符x + y — 3> 0,A 4 A . a >34 C . 1 w a w 3y = 0,得B （1, 0）.若原不等式组表示的平面区域 2x + y = 2,4是一个三角形，则直线x + y = a 中的a 的取值范围是0<a < 1或a >~.3求线性目标函数的最值（范围）（多维探究）角度一求线性目标函数的最值（范围）（2019高考全国卷II ）若变量x , y 满足2x + 3y — 6> 0,约束条件 x + y — 3< 0,贝U z = 3x — y 的最大值是 ___________ .y — 2< 0,y =x ,2 2由 得A 3，3 ；由2x + y = 2, 33【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线3x—y= 0,并平移，当直线经过点（3, 0）时，直线在y轴上的截距最小，此时z= 3x—y取得最大值，且Z max= 9・【答案】9⑴求目标函数的最值a z形如z= ax+ by(b^ 0)的目标函数，可变形为斜截式y= —£x+ £(b丰0).①若b>0,当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时z值最小；②若b<0，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大.(2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解.角度二求非线性目标函数的最值(范围)x—y+ 1 w 0,实数x, y满足x> 0,y w 2.(1) 若z= y，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；x(2) 若z= x2+ y2,求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.x—y+ 1w 0,【解】由x>0, 作出可行域，y w 2,如图中阴影部分所示.(1)z= 丫表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，入因此y的范围为直线0B的斜率到直线OA的斜率(直线0A的斜率不存在，即Z max不存x1 2'x —y +1 = 0, 由 得 B(1 , 2),y = 2,2所以 k OB = ~= 2,即 Z min = 2 ,1 ， 所以z 的取值范围是[2 , +8) •(2)z = x 2 + y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方. 因此x 2 + y 2的最小值为0A 2,最大值为0B 2x —y +1 = 0, 由 得 A(0, 1),x = 0,所以 0A 2= ( 02+ 12)2= 1,0B 2= C .‘12 + 22)2= 5,所以z 的取值范围是[1 , 5].【迁移探究1】(变问法)本例条件不变，求目标函数z = y 一1的取值范围. x — 1y — 1解：z = 可以看作过点P(1, 1)及(x , y)两点的直线的斜率.x — 1 所以z 的取值范围是(一8 , 0].【迁移探究2](变问法)本例条件不变，求目标函数 z = x 2 + y 2— 2x — 2y + 3的最值.解：z = x 2+ y 2— 2x — 2y + 3 =(x — 1)2+ (y — 1)2+ 1,而(x — 1)2+ (y — 1)2表示点P(1, 1)与Q(x , y)的距离的平方 PQ 2 , PQ max = (0 — 1)2+ (2 — 1)2= 2 ,所以 z max = 2 + 1 = 3 , z min = ?+ 1 = ^.PQ min = |1— 1+ 1| 2'.12+(— 1) 2。
高中数学必考知识点二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题
⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式（组）及简单的线性规划问题⾼中数学必考知识点:⼆元⼀次不等式(组)及简单的线性规划问题|附习题对于⾼考来临，同学和家长⾮常关⼼数学如何去复习，⾼考数学考的知识点⾮常多，需要考⽣需要考⽣运⽤⼤量⽅法技巧进⾏解决问题，等等这些都增加⾼考数学的难度。
为了能帮助考⽣各个击破⾼考数学知识点，今天肖⽼师就来讲讲如何利⽤⼆元⼀次不等式(组)及简单的线性规划问题相关知识内容。
⼀、⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域(1)不等式组表⽰的平⾯区域的⾯积为________．(2)若不等式组表⽰的平⾯区域是⼀个三⾓形，则a的取值范围是________．规律⽅法：⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域的确定⽅法(1)确定⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域的⽅法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代⼊不等式(组)．若满⾜不等式(组)，则不等式(组)表⽰的平⾯区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平⾯区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点． ⼆、求线性⽬标函数的最值(范围)线性⽬标函数的最值(范围)问题是每年⾼考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．⾼考对线性⽬标函数最值(范围)问题的考查有以下三个命题⾓度：(1)求线性⽬标函数的最值(范围)；(2)已知线性⽬标函数的最值(范围)求参数值(范围)；(3)求⾮线性⽬标函数的最值(范围)．(1)(2017·⾼考浙江卷)若x，y满⾜约束条件则z＝x＋2y的取值范围是( )A．[0，6] B．[0，4]C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)(2015·⾼考⼭东卷)已知x，y满⾜约束条件若z＝ax＋y的最⼤值为4，则a＝( )A．3 B．2C．－2 D．－3规律⽅法：利⽤线性规划求⽬标函数最值的步骤(1)画出约束条件对应的可⾏域；(2)将⽬标函数视为动直线，并将其平移经过可⾏域，找到最优解对应的点；(3)将最优解代⼊⽬标函数，求出最⼤值或最⼩值．[注意] 对于已知⽬标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代⼊⽬标函数． ⾓度⼀ 求线性⽬标函数的最值(范围)(2017·贵阳市监测考试)已知O是坐标原点，若点M(x，y)为平⾯区域上的⼀个动点，则⽬标函数z＝－x＋2y的最⼤值是( )A．0 B．1C．3 D．4⾓度⼆ 已知线性⽬标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2017·海⼝市调研测试)若x，y满⾜且z＝y－x的最⼩值为－12，则k的值为( )A. B．－C. D．－三、线性规划的实际应⽤(2016·⾼考全国卷⼄)某⾼科技企业⽣产产品A和产品B需要甲、⼄两种新型材料．⽣产⼀件产品A需要甲材料1.5 kg，⼄材料1 kg，⽤5个⼯时；⽣产⼀件产品B需要甲材料0.5 kg，⼄材料0.3 kg，⽤3个⼯时．⽣产⼀件产品A的利润为2 100元，⽣产⼀件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，⼄材料90 kg，则在不超过600个⼯时的条件下，⽣产产品A、产品B的利润之和的最⼤值为________元．四、数形结合思想求解⾮线性规划问题(2015·⾼考全国卷Ⅰ)若x，y满⾜约束条件则的最⼤值为________．好了，今天⽼师就分享到这⾥了，同学们对于⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式(组)都掌握了吗？本⽂章是根据⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式(组)解题讲解，或者需要解题技巧⽅法可以给⽼师留⾔，同时⽼师以后继续给⼤家分享关于章节知识点技巧和⼲货习题和视频。
高二数学 二元一次不等式(组)与平面区域 知识讲解
二元一次不等式（组）与平面区域【要点梳理】要点一：二元一次不等式（组）的定义1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式.2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对(,)x y ，所有这样的有序实数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数. 要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<.即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定 二元一次不等式表示的平面区域由于对在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(,)x y ，把它的坐标(,)x y 代入Ax By C ++，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当0C ≠时，常把原点作为此特殊点）以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法. 不等式组所表示的平面区域由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域.要点诠释： “直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法. 【典型例题】类型一：二元一次不等式表示的平面区域 例1. 画出不等式240x y +->表示的平面区域. 【解析】先画直线240x y +-=（画成虚线）. 取原点(0,0)代入24x y +-得200440⨯+-=-<, ∴原点不在240x y +->表示的平面区域内， 不等式240x y +->表示的区域如图：【总结升华】1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点.2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线 举一反三：【变式1】画出下列不等式所表示的平面区域 （1）4312x y +≤； （2）1≥x 【答案】（1）（2）【变式2】图中阴影（包括直线）表示的区域满足的不等式是（）A．x-y-1≥0 B．x-y+1≥0 C．x-y-1≤0 D．x-y+1≤0【答案】直线对应的方程为x-y-1＝0，对应的区域，在直线的下方，当x＝0，y＝0时，0-0-1＜0，即原点在不等式x-y-1＜0对应的区域内，则阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是x-y-1≥0，故选：A．【变式3】不等式3x+2y－6≤0表示的区域是（）【答案】可判原点适合不等式3x+2y－6≤0，故不等式3x+2y－6≤0所表示的平面区域为直线3x+2y－6=0的左下方，故选D。
2021届高考数学一轮复习二元一次不等式组与简单的线性规划(含解析)人教版B版
考点测试35 二元一次不等式组与简单的线性规划高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决一、基础小题1．以下不等式组表示的平面区域是三角形的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －y ≥0，x ＋2y －6≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －y ≥0，x ＋2y －6≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋2y －6≥0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋2y －6≤0答案 D解析 不等式组表示的平面区域为右图中的△ABC ，只有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋2y －6≤0符合．故选D.2．设点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0，且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的点共有( )A ．12个B ．11个C ．10个D ．9个答案 A解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，满足x∈Z ，y ∈Z 的点有(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．故选A.3．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55答案 D解析 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15的平面区域如下图中阴影部分所示：令z ＝2x ＋3y ，可得y ＝－23x ＋z 3，则z3为直线2x ＋3y －z ＝0在y 轴上的截距，截距越大，z 越大．作直线l ：2x ＋3y ＝0，把直线向上平移可得过点D 时，2x ＋3y 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝15，x ＋y ＝20，可得x ＝5，y ＝15，此时z ＝55.故选D.4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，y －x ≤2，x －2≤0，则yx ＋2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) C ．[0,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 A解析 作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，y －x ≤2，x －2≤0的可行域如图中△ABC ，yx ＋2表示区域内的点与点(－2,0)连线的斜率，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，2x ＋y ＝2，可解得B (2，－2)，同理可得A (2,4)， 当直线经过点B 时，y x ＋2取得最小值－22＋2＝－12， 当直线经过点A 时，yx ＋2取得最大值42＋2＝1. 则yx ＋2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.故选A.5．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，y ≤3，3x ＋4y ≥12，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[0,25]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14425，25C ．[16,25]D ．[9,16]答案 B解析 首先作出如图中阴影部分所示的可行域，设P (x ，y )表示可行域内任意一点，则x 2＋y 2的几何意义就是OP 2，它的最大值就是OA 2＝42＋32＝25，最小值就是原点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|3×0＋4×0－12|32＋422＝14425，故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14425，25.6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1答案 D解析 由题意，作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分所示．将z ＝y －ax 化为y ＝ax ＋z ，则z 为直线y ＝ax ＋z 的纵截距．由题意可得，直线y ＝ax ＋z 与直线y ＝2x ＋2或与直线y ＝2－x 平行，故a ＝2或－1.故选D.7．已知点A (4,0)，B (0,4)，点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y －12≤0，则AP →·BP→的最小值为( )A.254B ．0C ．－19625D ．－8答案 C解析 由题意可得AP →·BP →＝x (x －4)＋y (y －4)＝(x －2)2＋(y －2)2－8，(x －2)2＋(y －2)2即为点P (x ，y )与点(2,2)的距离的平方，结合图形知，最小值即为点(2,2)到直线3x ＋4y －12＝0的距离的平方，d ＝|3×2＋4×2－12|32＋42＝25，故最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫252－8＝－19625，故选C.8．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x ＋y ≤5，1≤2x －y ≤5，且z ＝2x ＋y 的最小值为－1，则a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1答案 B解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x ＋y ≤5，1≤2x －y ≤5，画出可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝2x ＋y 可化为y ＝－2x ＋z ，z 表示在y 轴上的截距，由图象可知，z ＝2x ＋y 在直线x ＋y ＝a与2x －y ＝1的交点处取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，2x －y ＝1解得交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋13，2a －13，则－1＝2×a ＋13＋2a －13，解得a ＝－1.故选B.9．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6，则z ＝|x －2y ＋1|的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5答案 B解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6表示的可行域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，x －2＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0，x －2＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，设m ＝x －2y ＋1，将m ＝x －2y ＋1变形为y ＝12x ＋1－m 2，平移直线y ＝12x ＋1－m 2，由图可知当直线y ＝12x＋1－m2经过点(2，－2)，(2,4)时，直线在y 轴上的截距分别最小与最大，m 分别取得最大值与最小值，最大值m ＝2＋2×2＋1＝7，最小值m ＝2－2×4＋1＝－5，∴－5≤m ≤7,0≤|m |≤7，即z ＝|x －2y ＋1|的最大值为7.故选B.10．已知m >0，设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2≥0，x －2≤0，2x －y ＋m ≥0，且z ＝x ＋y 的最大值与最小值的比值为k ，则( )A ．k 为定值－1B ．k 不是定值，且k <－2C ．k 为定值－2D ．k 不是定值，且－2<k <－1 答案 C解析 画出m ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2≥0，x －2≤0，2x －y ＋m ≥0的可行域如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋y 经过点A (2，m ＋4)时，z 取得最大值m ＋6，当直线经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－m2，－2时，z 取得最小值－m2－3，故k ＝m ＋6－m2－3＝－2为定值．故选C.11．某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6，x ∈N ，y ∈N ，则该学校今年计划最多招聘教师________人．答案 10解析 作出可行域如图中阴影部分内的整点，由图易知，可行域内的整点为(3,1)，(4,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，所以x ＋y ≤5＋5＝10，即学校今年计划最多招聘教师10人．12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝x ＋3y 的最小值为2，则常数k ＝________.答案 －2解析 由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y ＋k ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋3y ，得直线方程y ＝－13x ＋13z ，由图可知，当直线y ＝－13x ＋13z 过可行域内的点A时，z 最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋3y ＝2，得A (2,0)．由A 在直线x ＋y ＋k ＝0上可得，2＋0＋k＝0，解得k ＝－2.二、高考小题13．(2019·浙江高考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12答案 C解析 如图，不等式组表示的平面区域是以A (－1,1)，B (1，－1)，C (2,2)为顶点的△ABC 区域(包含边界)．作出直线y ＝－32x 并平移，知当直线y ＝－32x ＋z2经过C (2,2)时，z 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×2＝10.故选C.14．(2019·北京高考)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( ) A ．－7 B ．1 C ．5 D ．7答案 C解析 由|x |≤1－y ，且y ≥－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.作出可行域如图中阴影部分所示．设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z . 作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移．显然当直线z ＝3x ＋y 过点A (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C. 15．(2019·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，x ≥－1，y ≥－1，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6答案 C解析 由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．∵z ＝－4x ＋y 可化为y ＝4x ＋z ，∴作直线l 0：y ＝4x ，并进行平移，显然当直线z ＝－4x ＋y 过点A (－1，1)时，z 取得最大值，z max ＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.16．(2019·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥－1，4x －3y ＋1≥0，则y －x 的最小值为________，最大值为________．答案 －3 1解析 x ，y 满足的平面区域如图中阴影部分所示．设z ＝y －x ，则y ＝x ＋z .把z 看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z 的几何意义是直线y ＝x ＋z 的纵截距，通过图象可知，当直线y ＝x ＋z 经过点A (2,3)时，z 取得最大值，此时z max ＝3－2＝1.当经过点B (2，－1)时，z 取得最小值，此时z min ＝－1－2＝－3.17．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________．答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9. 三、模拟小题18．(2019·石家庄一模)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，x －2y ＋2≤0，y ≥2，则目标函数z＝x ＋3y 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．3答案 C解析 作出变量x ，y 满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，作出直线x ＋3y ＝0，平移该直线，由图知使目标函数z ＝x ＋3y 取得最小值的最优解为(－2,2)，代入目标函数z ＝x ＋3y 得目标函数z ＝x ＋3y 的最小值为4，故选C.19．(2019·郑州二模)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则目标函数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133x ＋y的最大值为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1311 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫133 C ．3 D ．4答案 C解析 可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133x ＋y ，设u ＝3x ＋y ，欲求z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133x ＋y的最大值，等价于求u ＝3x ＋y 的最小值．u ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋u ，该直线的纵截距为u ，作出直线y ＝－3x 并平移，当直线y ＝－3x ＋u 经过点B (－1,2)时，纵截距u 取得最小值u min＝3×(－1)＋2＝－1，所以z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133x ＋y 的最大值z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3.故选C.20．(2019·柳州市高三毕业班模拟)某公司每月都要把货物从甲地运往乙地，货运车有大型货车和小型货车两种．已知4台大型货车与5台小型货车的运费之和少于22万元，而6台大型货车与3台小型货车的运费之和多于24万元．则2台大型货车的运费与3台小型货车的运费比较( )A ．2台大型货车运费贵B ．3台小型货车运费贵C ．二者运费相同D ．无法确定 答案 A解析 设大型货车每台运费x 万元，小型货车每台运费y 万元，依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y <22，6x ＋3y >24，x >0，y >0，可行域如图中阴影部分所示(不包括线段AB )，令z ＝2x －3y ，由图可知当直线z ＝2x －3y 过C (3,2)时，z 最小．∴z >2×3－3×2＝0，即2x >2y .故选A.21．(2019·衡阳市高三第一次联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≥y ，x ＋y ＋2≥0，则z ＝(x －2)2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．2 3 C ．10 D ．12答案 C解析 如图，依题意，目标函数z ＝(x －2)2＋y 2可视为可行域内的点与点D (2,0)距离的平方，作出可行域(如图中阴影部分所示)，观察计算，|DC |＝|DB |＝10>|DA |＝ 2.故选C.22．(2019·江西五市联考)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4，若点P (2a ＋b,3a－b )在该不等式组所表示的平面区域内，则b ＋2a －1的取值范围是( ) A ．[－12，－7] B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7，－92 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－92D ．[－12，－2]答案 C解析 因为点P (2a ＋b,3a －b )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4所表示的平面区域内，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，3a －b ≥2，2a ＋b ＋3a －b ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，3a －b ≥2，5a ≤4，其表示的平面区域是以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，B ⎝⎛⎭⎪⎫45，25，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15为顶点的三角形区域(包括边界).b ＋2a －1可看作是可行域内的点与点M (1，－2)连线的斜率，所以k MB ≤b ＋2a －1≤k MC ，即－12≤b ＋2a －1≤－92. 23．(2019·东北三校联考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，3x －y ≥0，y ≥0，则|3x －4y －10|的最大值为( )A.494B ．10C ．7D ．12答案 A解析 作出实数x ，y 在约束条件下的平面区域(如图中阴影部分所示)，令z ＝3x －4y －10，则作出直线3x －4y ＝0，并平行移动，当直线经过点A (1,0)时，z max ＝3－10＝－7；当直线经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34时，z min ＝34－3－10＝－494，即－494≤z ＝3x －4y －10≤－7，从而7≤|3x －4y －10|≤494，所求的|3x －4y －10|的最大值为494.24．(2019·广州市高三调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x >0，y >0，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y的最小值为________．答案116解析 不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示(不包括线段OA )：z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＋y ， 当t ＝2x ＋y 经过点B (1,2)时有最大值为4，此时，z 有最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.一、高考大题1．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲 70 5 60 乙60525不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .将z ＝60x ＋25y 变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．二、模拟大题2．(2019·宁德期中)雾霾天气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%，可能的最大亏损率分别为20%和10%，投资人计划投资金额不超过9万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.4万元．(1)若投资人用x 万元投资甲项目，y 万元投资乙项目，试写出x ，y 所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x ，y 范围的图形；(2)根据(1)的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解 (1)由题意，知x ，y 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，0.2x ＋0.1y ≤1.4，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，2x ＋y ≤14，x ≥0，y ≥0，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)． (2)根据第一问的规划和题设条件，依题意可知目标函数为z ＝x ＋0.6y ，在下图中，作直线l 0：x ＋0.6y ＝0，平移直线l 0，当经过直线x ＋y ＝9与2x ＋y ＝14的交点A 时，其纵截距最大，联立x ＋y ＝9与2x ＋y ＝14，解得x ＝5，y ＝4，即A (5,4)，此时z ＝5＋0.6×4＝7.4， 所以当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值7.4，即投资人用5万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大．。
高考数学总复习二元一次不等式(组)与简单PPT课件
提示：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
2．线性目标函数的最优解是唯一的吗？ 提示：不一定，可能有多个．
3．线性目标函数取得最值的点是否一定在可行域的顶点 或边界上？
提示：是．一定在可行域的顶点或边界上．
1．(教材习题改编)不等式 x－2y＋6<0 表示的区域在直
线 x－2y＋6＝0 的( )
∴线段 BC 的中点 D 的坐标为12，52. 因此52＝k×12＋43，k＝73.
1．线性目标函数的最值问题是每年高考的热点，属 必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档 题．
2．高考对线性目标函数最值问题的考查有以下两个 命题角度：
(1)求线性目标函数的最值； (2)已知线性目标函数的最值求参数．
Байду номын сангаас
B．36 000 元
C．36 800 元
D．38 400 元
[自主解答] 设租 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆，租金为 z，
36x＋60y≥900， 则yy－ ＋xx≤≤271，，
x，y∈N，
画出可行域(图中阴影区域中的整数点)，则目标函数 z＝1 600x＋2 400y 在点 N(5,12)处取得最小值 36 800.
线性目标函数最值问题的常见类型及解题策略 (1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一 般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性 规划问题，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标 代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最 值． (2)由目标函数的最值求参数．求解线性规划中含参问 题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性 规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最
二元一次不等式
二元一次不等式在数学中，不等式是我们经常遇到的一种数学表达式。
而二元一次不等式则是指包含两个变量（占位符）以及两个常数的不等关系。
在本篇文章中，我们将深入探讨二元一次不等式及其相关概念以及解法。
一、二元一次不等式的定义二元一次不等式是由两个变量以及系数和常数构成的数学表达式，符号"<"（小于）、">"（大于）、"≤"（小于等于）和"≥"（大于等于）用于比较两边的大小关系。
一般形式为：ax + by < c 或 ax + by > c，其中a、b、c为常数，x、y为变量。
其中，不等式右边的常数c可以是任意实数，而不等式左边的表达式则与c比较大小。
二、二元一次不等式的解法方法要解决二元一次不等式，我们需要重点关注两个变量的关系，找到不等式的解集。
下面详细介绍几种常用的解法方法。
1. 图像法对于二元一次不等式，我们可以将其转化为一个平面上的区域，并绘制出相应的图像。
例如，对于不等式ax + by < c，我们可以将其转化为ax + by = c的直线。
然后，选取一组测试点，判断它们是否满足不等式，从而确定解集的范围。
2. 代入法代入法是求解二元一次不等式的普遍方法之一。
我们先将不等式转化为等式，然后将变量表示为常数和另一个变量的函数形式。
通过选取不同的值代入，判断是否满足不等式，从而推导出解集。
3. 等价变形法利用等价变形法，我们可以将二元一次不等式转化为形式简单的等价不等式，从而解题。
例如，对于ax + by > c，我们可以通过移项、合并同类项等操作，将其转化为一般型的不等式形式。
4. 区间法区间法是一种通过求解一元一次不等式得出二元一次不等式解集的方法。
我们可以将二元一次不等式分解为关于x的不等式和关于y的不等式，然后再求解这两个一元一次不等式，最后通过求解结果的交集得出二元一次不等式的解集。
高考数学一轮总复习 课时作业38 一元二次不等式及其解法(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试题
课时作业38 一元二次不等式及其解法一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B 等于( B ) A ．[－1,4) B ．[0,5)C ．[1,4]D ．[－4，－1)∪[4,5)解析：由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．故选B. 2．不等式1－x2＋x ≥1的解集为( B )A.⎣⎡⎦⎤－2，－12 B.⎝⎛⎦⎤－2，－12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 解析：1－x 2＋x≥1⇔1－x 2＋x－1≥0⇔1－x －2－x 2＋x≥0⇔－2x －12＋x≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.故选B.3．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( C ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析：不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12，由题意，选项中x 的X 围应该是上述解集的真子集，只有C 满足．故选C.4．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求不等式的解集是(－1,3)．5．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}解析：∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12，故选A.6．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值X 围为( A )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0]解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0.7．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值X 围为( B ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13)解析：m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.8．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值X 围是( C )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－1,3]D ．[－2,4]解析：因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅.要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或1>a ≥－1，所以实数a 的取值X 围是a ∈[－1,3]，故选C.二、填空题9．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值X 围是(－1,1)．解析：由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1.10．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a . 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 11．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值X 围为[－5，＋∞)． 解析：由题意，分离参数后得，a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x . 设f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]， 则只要a ≥[f (x )]max 即可．由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递增， 所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.12．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值X 围是(1,5]．解析：设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ， 当Δ＝4(a －2)2－4a <0时，即1<a <4时，f (x )>0对x ∈R 恒成立； 当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意； 当a ＝4时，f (2)＝0，符合题意；当Δ>0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值X 围是(1,5]． 三、解答题13．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，某某数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.14．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值X 围．解：(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1，1]上为减函数， ∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，∴10＋t ≤0，即t ≤－10. ∴t 的取值X 围为(－∞，－10]．15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为9.解析：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. 因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22.又f (x )<c ，所以⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .所以⎩⎨⎧－a2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ②.②－①，得2c ＝6，所以c ＝9.16．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值X 围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值X 围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12， ∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32.。
2021高考数学考点突破——不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题学案
2021高考数学考点突破——不等式二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学案【考点梳理】1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题考点一、二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )A． B． C． D．(2) 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为__________．[答案] (1) C (2) 4[解析] (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意.(2)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－2，∴A (0，2)，B (2，0)，C (8，－2)．直线x ＋2y －4＝0与x 轴的交点D 的坐标为(4，0)． 因此S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×2＋12×2×2＝4.【类题通法】1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法：直线定界，测试点定域.2.求平面区域的面积：(1)第一画出不等式组表示的平面区域，若不能直截了当画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直截了当求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【对点训练】 1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )A ．B ．C ．D ． [答案] B[解析] x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1B ．12C ．13D ．14[答案] D[解析] 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，因此S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.考点二、求目标函数的最值问题【例2】(1)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为_____．(2)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12(3)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8，则z ＝yx －2的取值范畴是______．(4)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 [答案] (1) －5 (2) C (3) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 (4) B[解析] (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知通过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.(3)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋5y ≤8所表示的区域，如图中△ABC 所表示的区域(含边界)，其中点A (1，1)，B (－1，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，115.z ＝y x －2表示△ABC 区域内的点与点M (2，0)的连线的斜率，明显k MA ≤z ≤k MB ，即11－2≤z ≤－1－1－2，化简得－1≤z ≤13.(4)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 通过点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，因此－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，选B.【类题通法】1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率. 3.当目标函数中含有参数时，要依照临界位置确定参数所满足的条件. 【对点训练】1．若设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 依照约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 通过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝3，故选D.2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范畴是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13[解析] 依照已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2能够看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2，3)，因此d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，因此d 2的最小值为45，最大值为13，因此x 2＋y 2的取值范畴是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝yx的最大值为________.[答案] 3[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z ＝y x ＝y －0x －0，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知z max ＝k OA ，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，k OA ＝3212＝3，∴z max ＝3.4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( )A ．－209 B ．1 C ．2 D ．5[答案] B[解析] 作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 通过点A 时，z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B.考点三、线性规划的实际应用【例3】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.[答案] 216 000[解析] 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，依照所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).【类题通法】解线性规划应用问题的一样步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答. 【对点训练】某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．假如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A ．12万元C ．17万元D ．18万元[答案] D[解析] 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 通过点A (2，3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.。
二元一次不等式组的解题方法与技巧
二元一次不等式组的解题方法与技巧二元一次不等式组是由两个二元一次不等式构成的方程组，其解即满足这两个不等式的点集。
解题方法与技巧如下：1.理解二元一次不等式组的几何意义：二元一次不等式组可以表示平面上的一个区域。
其中的每一个解就是这个区域上的一个点。
通过对二元一次不等式组进行分析可以清楚地了解这个区域的形状和范围。
2.解二元一次不等式组的常用方法：常用的解不等式组的方法有图解法和代入法。
图解法是将二元一次不等式组画在平面坐标系上，通过观察两个不等式的交点、平行线、线段等特点，确定解集的范围。
代入法是从一个不等式中解出一个变量，然后将求解结果代入另一个不等式中，进而确定解集的范围。
3.图解法的具体步骤：首先，将二元一次不等式组转化为标准形式，即将不等式的常数项移到方程的右边，并将不等式号换成等号。
然后，将两个方程画在平面直角坐标系上，通过观察两个图形的交点、相离、平行等情况，确定解集的范围。
4.代入法的具体步骤：首先，从一个方程中解出一个变量，例如解出x，得到x=f(y)。
然后，将求解结果代入另一个方程中，得到一个关于y的不等式，例如g(y)≥0。
最后，解这个不等式，得到y的解集。
将y的解带入x=f(y)中，得到x的范围。
这样就得到了二元一次不等式组的解集。
5.注意特殊情况：在解二元一次不等式组时，需要注意考虑特殊情况。
例如，当其中一个不等式为恒等式时，需要考虑这个恒等式所表示的直线与另一个不等式所表示的直线的位置关系，并确定解集的范围。
6.应用数学方法简化计算：对于特殊的二元一次不等式组，可以应用数学方法进行简化计算。
例如，当不等式组中的两个不等式有相同的系数时，可以用消元法将二元一次不等式组简化为一元一次不等式。
7.用图像辅助解题：在解二元一次不等式组时，绘制图像可以帮助我们直观地判断解集的范围。
利用计算机画图工具、数学软件或者图画纸等工具绘制解集图像，可以更加容易地理解二元一次不等式组的解集。
二元一次不等式
二元一次不等式在数学中，不等式是数学中的一种关系，表示两个数或者两个量的大小关系。
“二元一次不等式”是指含有两个未知数的一次不等式。
一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种关系，它与等式类似，不同的是在等式中，等号表示两边的量是相等的，而在不等式中，不等号则表示两边的量的大小关系。
常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）等。
二、二元一次不等式的表示及解法二元一次不等式是指含有两个未知数的一次不等式。
它可以用如下的形式表示：ax + by + c > 0（或< 0、≥ 0、≤ 0）其中，a、b、c为已知实数，且a和b不全为0。
解二元一次不等式的方法与解线性不等式类似。
通常采用以下步骤进行求解：步骤一：化简不等式将不等式中的各项合并，并按照一定的规则进行排序，使不等式的形式尽量简单。
步骤二：绘制坐标系根据不等式中的系数a、b的正负关系，绘制出合适的坐标系。
步骤三：确定不等式的类型根据不等式中的不等号类型（>、<、≥、≤），确定不等式的类型，即是一个开区间还是闭区间。
步骤四：求解不等式根据不等式的类型，在坐标系上标出符号所表示的区域，并找出解集。
要注意的是，解二元一次不等式时需注意区别开闭区间和单根、多根及无解的情况。
三、实例分析例如，解不等式系统：3x + 2y > 10x - y ≤ 5首先，化简不等式，不等式可写成如下形式：(1) 3x + 2y - 10 > 0(2) x - y - 5 ≤ 0其次，绘制坐标系，根据第一个不等式中的系数3和2，我们可以知道直线3x + 2y - 10 = 0斜率为-3/2，所以直线的方向是向下的。
根据第二个不等式中的系数1和-1，我们可以知道直线x - y - 5 = 0斜率为1，所以直线的方向是向上的。
在坐标系中，我们可以画出这两条直线。
然后，确定不等式的类型。
根据不等式的形式，第一个不等式为开区间（>），第二个不等式为闭区间（≤）。
2021人教A版高考数学总复习《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》
答案 B 5.(2018·北京卷)若 x，y 满足 x＋1≤y≤2x，则 2y－不等式组
所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令 z＝2y
x＋1≤y
－x，作出直线 2y－x＝0，平移该直线，当直线过点 A(1，2)时，2y－x 取得最小
值，最小值为 2×2－1＝3.
x＋y－2≥0， 【训练 1】 (2019·深圳二模)已知直线 y＝kx－3 经过不等式组 2x－y≤4， 所表
答案 3 x－y＋5≥0，
6.已知 x，y 满足 x＋y≥0， 若使得 z＝ax＋y 取最大值的点(x，y)有无数个，则 x≤3，
a 的值为________. 解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线 z＝ax ＋y 和直线 AB 重合时，z 取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a ＝－1.
Ax＋By＋C>0 直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有 不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
点组成的平面区域
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.点 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)位于直线 Ax＋By＋C＝0 的两侧的充要条件是(Ax1＋By1 ＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线 Ax＋By＋C＝0 同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋ C)(Ax2＋By2＋C)>0. 3.线性规划的有关概念
[常用结论与微点提醒]
1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常
选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定二元一次不等式表示的区域 (1)若 B(Ax＋By＋C)>0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的上方. (2)若 B(Ax＋By＋C)<0 时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0 的下方.
高中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 知识点+例题 全面
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。
高中数学 第三章 不等式 3.3.1 二元一次不等式(组)与
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域[学习目标] 1.了解二元一次不等式(组)表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．知识点一二元一次不等式(组)表示平面区域1．二元一次不等式(组)的概念含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．2．二元一次不等式与平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0(＜0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0(≤0)表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．3．画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为：第一步：“直线定界”，即画出边界Ax＋By＋C＝0，要注意是虚线还是实线；第二步：“特殊点定域”，取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号就可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域；选择特殊点时，务必注意该点不能在直线上，即C≠0时，可选择(0，0)，当C＝0时，可选择其它特殊点，如(0，1)，(1，0)等．第三步，用阴影表示出平面区域．思考P1(0，0)，P2(1，1)在直线3x＋2y－1＝0的________侧(填“同”、“异”)．答案异解析将(0，0)和(1，1)分别代入3x＋2y－1时，式子的符号相反，故P1，P2在3x＋2y－1＝0的异侧．知识点二二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分．题型一二元一次不等式表示的平面区域例1 画出不等式3x＋2y＋6＞0表示的平面区域．解 (1)画出直线3x ＋2y ＋6＝0，因为这条直线上的点不满足3x ＋2y ＋6＞0，所以画成虚线． (2)取原点(0，0)，代入3x ＋2y ＋6.因为3×0＋2×0＋6＞0，所以原点在不等式3x ＋2y ＋6＞0表示的区域内，所以不等式3x ＋2y ＋6＞0表示的区域如图所示．反思与感悟 应用“以直线定界，以特殊点定域”的方法画平面区域，先画直线Ax ＋By ＋C ＝0，取点代入Ax ＋By ＋C 验证．在取点时，若直线不过原点，一般用“原点定域”；若直线过原点，则可取点(1，0)或(0，1)，这样可以简化运算．画出所求区域，若包括边界，则把边界画成实线；若不包括边界，则把边界画成虚线．跟踪训练1 在平面直角坐标系中，画出满足下列条件的点表示的区域． (1){(x ，y )|x －2＞0，y ∈R }；(2)y ≥x ＋3. 解 (1)不等式表示的平面区域如图(1)所示，(2)①先画出直线y ＝x ＋3，由于直线上的点满足y ≥x ＋3，故将其画成实线．②取原点(0，0)，代入y －x －3中，得0－0－3＜0，所以原点(0，0)不在不等式y ≥x ＋3表示的平面区域内，则不等式表示的平面区域如图(2)所示． 题型二 二元一次不等式组表示的平面区域例2 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＞2y ，y ≥0所表示的平面区域．解 先画出直线2x ＋y －4＝0，由于含有等号，所以画成实线．取直线2x ＋y －4＝0左下方的区域的点(0，0)，由于2×0＋0－4＜0，所以不等式2x ＋y －4≤0表示直线2x ＋y －4＝0及其左下方的区域．同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x ＞2y 表示直线x ＝2y 右下方的区域，不等式y ≥0表示x 轴及其上方的区域．取三个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示．反思与感悟 (1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④标出(阴影)．但要注意是否包括边界．跟踪训练2 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤0表示的平面区域是( )答案 C解析 取特殊点坐标(如：(0，－1)，(－1，0)等)代入不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤0，检验可得C 符合．题型三 不等式组表示平面区域的应用例3 (1)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，2x ＋y －5≤0，y ≤x ＋2所表示的平面区域，并求其面积；解如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，得A (1，3)． 同理得B (－1，1)，C (3，－1)． ∴|AC |＝22＋（－4）2＝25， 而点B 到直线2x ＋y －5＝0的距离为 d ＝|－2＋1－5|5＝65， ∴S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×25×65＝6.(2)求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，|x |≤y≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小．解 可将原不等式组分解成如下两个不等式组：①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，y ≤x ＋1，y ≤2，或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥－x ，y ≤－x ＋1，y ≤2.上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成的面积S ＝12×4×2－12×2×1＝3.反思与感悟 求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积，若画出的图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分为几个规则图形后求解．跟踪训练3 (1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．[7，＋∞)C ．[5，7)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞)(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．答案 (1)C (2)4解析 (1)如图，当直线y ＝a 介于直线y ＝5(含该直线)与直线y ＝7(不含该直线)之间时，符合题意．所以5≤a ＜7，选C.(2)如图所示，阴影部分为不等式组表示的平面区域由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0，得A (8，－2)，所以S ＝12×2×2＋12×2×2＝4.1．以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是( ) A ．x －y ＋12＜0 B ．2x ＋2y －9＞0 C ．2x ＋5y －10≥0 D ．x －y ≤1 答案 D解析 将x ＝0，y ＝0代入验证得D 符合题意． 2．不等式x －2y ≥0表示的平面区域是图中的( )答案 D解析 特殊点(1，0)，验证即可．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －y ＋3＜0表示的平面区域是( )答案 D解析 用特殊点(0，0)验证即可．4．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6 答案 C解析 已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为l 与直线x ＋y ＝0平行．所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0 解得Q (2，－2)．∴|AB |＝|PQ | ＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2.5.图中的阴影部分用不等式表示为________． 答案 5x －2y ＋10＜0解析 易于看出直线的方程为y ＝52x ＋5，又(0，0)不在区域内且边界为虚线，故不等式为y ＞52x ＋5，即5x －2y＋10＜0.6．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x ＋y －3<0表示的平面区域．解 不等式x >0表示直线x ＝0(y 轴)右侧的点的集合(不含边界)．不等式y >0表示直线y ＝0(x 轴)上方的点的集合(不含边界)．不等式x ＋y －3<0表示直线x ＋y －3＝0左下方的点的集合(不含边界)． 所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．1.对于任意的二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，(1)Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；(2)Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题.。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 第三节 二元一次不等
.
答案 (1)B (2)(-∞,-2]∪[0,1) 解析 (1)作出可行域,如图所示.
易知B(-2,0),由
3x得 y 故0, A(1, )x. 1,
3
x 3y 2 0 y 3,
∴S△AOB= 1 ×2×3 =3 .
2
故选B.
x 0,
(2)不等式组
y
x,
所表示的平面区域为图中△AOB及其内部.
1-1 (2016北京顺义一模)在平面直角坐标系中,若不等式组
x y 1 0,
x
1
0,
(a为常数)表示的区域面积为3,则a的值为
ax y 1 0
A.-5 B.-2
(D)
C.2 D.5
x y 1 0,
答案 D 不等式组x 1 0, (a为常数)表示的区域如图所示.由题
4.(2016北京海淀一模)若x,y满足
x y
y 0,
4
0,
则z=
1 2
x+y的最大值为(
C
)
A. 5 B.3 C. 7 D.4
2
2
答案 C 画出不等式组表示的平面区域如图所示.
将目标函数z= 1 x+y变形为y=1- x+z.
2
2
先画出l0:y=- 1 x.将l0向上平移至经过点A时z有最大值,
C.(0,+∞) D.(-∞,-1)
答案 B 画出不等式组表示的平面区域如图所示.
x y 0,
因为点(2,-3)不在不等式组x y 2 0,表示的平面区域内,则点(2,-3)在
ax y 1 0
直线ax-y-1=0的下方,
故-3<2a-1.∴a>-1.
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考点集训(三十八) 第38讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A 组题1．下列二元一次不等式组可表示图中阴影部分平面区域的是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧y≥－1，2x －y ＋2≥0B .⎩⎪⎨⎪⎧y≥－1，2x －y ＋4≤0C .⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥－2，2x －y ＋2≥0D .⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥－2，2x －y ＋4≤0[解析]将原点坐标(0，0)代入2x －y ＋2，得2>0，于是2x －y ＋2≥0所表示的平面区域在直线2x －y ＋2＝0的右下方，结合所给图形可知C 正确．[答案]C2．若x ，y 满足|x|≤1－y ，且y≥－1，则3x ＋y 的最大值为( )A ．－7B ．1C ．5D ．7[解析]由题意⎩⎪⎨⎪⎧－1≤y，y －1≤x≤1－y ，作出可行域如图阴影部分所示．设z ＝3x ＋y ，y ＝z －3x ，当直线l 0：y ＝z －3x 经过点()2，－1时，z 取最大值5.故选C . [答案]C3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x ＋y －3≥0，x －2y≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)[解析]如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2，1)时取最小值4，无最大值，选D .[答案]D4．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析]对于选项A ，当m ＝－2时，可行域如图(1)，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故A 不正确；对于选项B ，当m ＝－1时，mx －y≤0等同于x ＋y≥0，可行域如图(2)，直线y ＝2x －z 的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，当m ＝1时，可行域如图(3)，当直线y ＝2x －z 过点A(2，2)时截距最小，z 最大为2，满足题意，故C 正确；对于选项D ，当m ＝2时，可行域如图(4)，直线y ＝2x －z 与直线OB 平行，截距最小值为0，z 最大为0，不符合题意，故D 不正确．故选C .[答案]C5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－4，2)B ．(－4，1)C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)[解析]如图，z ＝ax ＋2y ，∴y＝－a 2x ＋z2仅在点(1，0)处在y 轴上的截距最小，∴－1<－a2<2，∴－4<a<2.[答案]A6．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y≥0，x －y≥0，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P ()x ，y ，则P 点的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为( )A .π8B .π4C .12＋πD .12＋π[解析]画出⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y≥0，x －y≥0所表示的区域Ω如图中阴影部分所示，易知A ()2，2，B ()2，－2，所以△AOB 的面积为4，满足不等式x 2＋y 2≤2的点，在区域Ω内是一个以原点为圆心，2为半径的14圆面，其面积为π2，由几何概型的公式可得其概率为P ＝π24＝π8，故选A . [答案]A7．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，x ≥12，y≥x 上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________．[解析]依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C(1，1)． 设z ＝OM →·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C(1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3. [答案]38．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？[解析] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y≤600，5x ＋5y≥30，x≤2y，x≥0，y≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y≤60，x ＋y≥6，x －2y≤0，x≥0，y≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y.考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z 25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．B 组题1．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B .⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C .⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D .⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53[解析]由线性约束条件对应的平面区域如右图阴影部分，要使平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，只要点A ()－m ，m 在直线x －2y －2＝0下方，所以－m －2m －2>0，求得m<－23.[答案]C2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，x ＋3y≤4，x≥－2，则z ＝||3x ＋y 的最大值是__________．[解析]由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示： 其中A ()－2，－2，B ()1，1，C ()－2，2， 又z ＝||3x ＋y 10×10，可知z 的几何意义为可行域中的点到直线3x ＋y ＝0距离的10倍，可行域中点到直线3x ＋y ＝0距离最大的点为A ()－2，－2. ∴z max ＝||3×()－2－2＝8. [答案]83．设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ，y≥0，x －y≥－1，x ＋y≤3表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1，1)，n＝(2，1)，若OP →＝λm ＋μn ，则2λ＋μ的最大值为________．[解析]首先根据已知约束条件画出其所在的平面区域，如图阴影部分所示． 设点P (x ，y )，然后由m ＝(1，1)，n ＝(2，1)，且OP →＝λm ＋μn ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝x －y ，λ＝－x ＋2y ， 所以令z ＝2λ＋μ＝(－x ＋2y )×2＋(x －y )＝－x ＋3y ，最后根据图形可得在点B 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，得B (1，2)，即z max ＝(2λ＋μ)max ＝－1＋3×2＝5.[答案]54．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y ＋3≥0，3x ＋y －3≤0，y≥0，则当y ＋1x ＋3取最大值时，x ＋y 的值为________．[解析]作出可行域如图中阴影部分所示，y ＋1x ＋3的几何意义是过定点M(－3，－1)与可行域内的点(x ，y)的直线的斜率，由图可知，当直线过点A(0，3)时，斜率取得最大值，此时x ，y 的值分别为0，3，所以x ＋y ＝ 3.[答案] 35．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，2x ＋y≤2，若ax ＋y≤3恒成立，则实数a 的取值范围是________．[解析]满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，2x ＋y≤2的平面区域如图中阴影部分所示，由于对满足不等式组的任意实数x ，y ，不等式ax ＋y≤3恒成立，根据图形，可得斜率－a≥0或0>－a≥k AB ＝3－00－1＝－3，解得a≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]．[答案] (－∞，3]6．已知点P(x ，y)的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y>x ，y<2x ＋1，则x ＋y x 2＋y 2的取值范围是______．[解析]法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y>x ，y<2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B(－1，－1)，C(0，1)．设A(1，1)，向量OA →，OP →的夹角为θ，∵OA →·OP →＝x ＋y ，|OP →|＝x 2＋y 2，∴cos θ＝OA →·OP →|OA →||OP →|＝x ＋y 2×x 2＋y 2＝22×x ＋y x 2＋y 2， 由图可知∠AOC≤θ<∠AOB，即π4≤θ<π，∴－1<cos θ≤22，即－1<22×x ＋y x 2＋y2≤22， ∴－2<x ＋yx 2＋y 2≤1.法二：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y>x ，y<2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B(－1，－1)，C(0，1)， 设θ＝∠POx， 则xx 2＋y2＝cos θ，y x 2＋y 2＝sin θ.θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，54π， ∴x ＋y x 2＋y 2＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，54π，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，32π， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，22. ∴x ＋yx 2＋y 2∈(－2，1]．[答案] (－2，1]。