2021届山西省晋城市高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含解析

2021届山西省晋城市高三第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题 1．已知复数z =，则||z =（ ）A ．1B ．2CD【答案】A【解析】根据复数代数形式的除法运算计算化简，再计算其模. 【详解】解：因为12z i ====+，所以||1z ==. 故选：A 【点睛】本题考查复数代数形式的计算以及复数的模，属于基础题. 2．已知集合{|ln 1}A x x =<，{|12}B x x =-<<，则A B =（ ）A ．(0,)eB ．(1,2)-C ．(1,)e -D ．(0,2)【答案】D【解析】解不等式ln 1x <，化简集合A ，根据交集定义即可求解. 【详解】因为{|ln 1}A x x =<{|0}x x e =<<，所以{|02}A B x x ⋂=<<. 故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题.3．经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为2:3:5，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中中年人人数为9，则n =（ ）A ．30B ．40C ．60D ．80【答案】A【解析】根据用分层抽样的方法特点，各层比例相等，即可求出答案. 【详解】老年人、中年人、青年人的比例为2:3:5，用分层抽样的方法 中年人人数为9，所以93,3010n n =∴=. 故选:A 【点睛】本题考查分层抽样，解题关键是各层按比例分配，属于基础题. 4．已知{}n a 是正项等比数列，283716a a a a =-，则5a =（ ） A ．2 B ．2C ．22D ．4【答案】C【解析】根据等比数列的下标和性质解得. 【详解】解：由283716a a a a =-，得228375216a a a a a +==，由{}n a 是正项等比数列,得522a =. 故选：C 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题.5．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ）A ．甲得分的平均数比乙的大B ．乙的成绩更稳定C ．甲得分的中位数比乙的大D ．甲的成绩更稳定【答案】B【解析】根据图形中的数据，可求出甲乙的平均数，中位数，分析数据的离散程度，确定方差大小，即可求解. 【详解】甲、乙得分的平均数均为13，中位数均为13， 甲得分的方差明显比乙大. 故选:B 【点睛】本题考查数据的处理以及数据的分析，属于基础题.6．已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且l α，m β⊥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若αβ∥，则l β∥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l m ⊥，则l β∥D ．若αβ∥，则m α⊥【答案】D【解析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择. 【详解】选项A,C 直线l 可能在β平面内，故不正确；选项B, 若αβ⊥，m β⊥，则，m α或m 在平面α内，而l α，故l 与m 可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项D ：由 m β⊥， αβ∥，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线m α⊥，故为正确. 故选：D 【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属于基础题. 7．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的奇偶性和特殊值可判断. 【详解】解：因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，()02f π±=，()03f π>，()0f π<，故排除B 、C ,故选：D . 【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题. 8．3l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M x y -+=相切，则p =（ ） A ．12 B ．8C ．10D ．6【答案】A【解析】由直线的斜率为33可得倾斜角为30，数形结合分析可得. 【详解】3 所以倾斜角为30，即30MFA ∠=︒结合题意作图，由图可得||2||4MF AM ==，2242pr ∴-==，解得12p =.故选：A 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，以及抛物线的标准方程，属于基础题. 9．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值. 【详解】解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数， 所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈，因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C 【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个顶点分别为1(,0)A a -，2(,0)A a ，,P Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b -，且四边形12A PA Q的面积为，四边形12A PA Q内切圆的周长为3，则C 的方程为（ ）A ．2212x y -=B ．2212y x -=或2212x y -=C ．22142x y -=D ．2212y x -=或22142x y -=【答案】B【解析】根据四边形12A PA Q的面积为得到2ab ，由12A PA Q 内切圆的周长求出内切圆的半径，再次利用四边形12A PA Q 的面积，求出c 的值，得到关于a 、b 的方程，解得. 【详解】解：因为1(,0)A a -，2(,0)A a ，,P Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b -，122A A a ∴=，2PQ b =，1212A P A Q AQ A P c ∴===== 又因为四边形12A PA Q的面积为142a b ⨯⨯⨯=2ab ，记四边形12A PA Q 内切圆半径为r，则23r π=，得3r =，所以2cr =c =又因为2223c a b =+=，得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以C 的方程为2212x y -=或2212y x -=.故选：B 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，四边形及内切圆的相关性质，属于基础题.11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（ ）A ．98πB ．196πC ．784πD ．13723π 【答案】B【解析】先做出BD 与1AC 所成角的角下图中的∠BOE ，设,,CE x OE BE =用x 表示，然后用余弦定理求出x ，求出长方体的对角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案. 【详解】连AC 与BD 交于O 点,则O 为AC 中点， 取1CC 中点E ，连,BE OE ，则1//AC OE EOB ∴∠为异面直线BD 与1AC 所成角,设,CE x =则236BE x =+，8AB =，6AD =，25,25OB OC OE x ===+在OBE ∆中，由余弦定理得2222362cos BE x OB OE OB OE EOB =+=+-⨯⨯∠222362525225x x x +=++-+，解得26x =1246CC x ==，所以长方体的对角线长为36649614++= 所以长方体的外接球的半径为7， 所以长方体外接球的表面积为196π. 故选:B【点睛】本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角，解三角形是解题的关键，属于较难题.12．设函数1()(2)lg3x f x x x --=++，则不等式3(21)()2f x f -≤-的解集是（ ） A ．131(0,][,)482B ．131(1,][,)482- C ．13(,][,)44-∞+∞ D ．31(1,][,0)44---【答案】D【解析】函数()f x 可由1()lg1x g x x x -=⋅-+分析()g x 的奇偶性、单调性，可得()f x 的单调性，利用函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得. 【详解】解：由题意知()f x 的图像是由1()lg1x g x x x -=⋅+()g x 是定义域为(1,1)-的偶函数，因为函数()m x x =与12()lglg(1)11x n x x x+==---在(0,1)上单调递增，且()0m x >，()0n x >，所以1lg()()1xy x m x n x x-=⋅=-+在(0,1)上单调递减，所以()f x 的定义域为(3,1)--，关于2x =-对称，并且在(2,1)--上单调递减，所以3(21)()2f x f -≤-等价于3211x -<-<-且3|212|22x -+≥-+，即103144x x x -<<⎧⎪⎨≤-≥-⎪⎩或，故314x -<≤-或104-≤<x . 故选：D 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，以及函数的平移，属于中档题.二、填空题13．设,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为_______.【答案】6-【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】由约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩作出可行域如图，化目标函数3z x y =-为133z y x =-， 由图可知，当直线133zy x =-过(0,2)A 时，z 有最小值为6-．故答案为：6-． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．已知向量(1,)a m =，22(,22b =-，若a b ⊥，则m =__________． 【答案】1【解析】根据垂直向量的坐标关系，即可求解. 【详解】 由221(022m ⨯+⨯-=，得1m =. 故答案为:1 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.15．函数()3359f x x x =-+的图像在点()()00,x f x 处的切线垂直于直线4120x y +-=，则0x =_______.【答案】±1【解析】先求出()2'95f x x =-，再解方程()20'954o f x x =-=即得解.【详解】因为()2359f x x x =-+.所以()2'95f x x =-.因为()20'954o f x x =-=.所以01x =±. 故答案为：±1 【点睛】本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =_______，数列(2)n n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S =_______.【答案】(3)2n n + 239n n + 【解析】由题意可得11n n a a n --=+，()2n ≥，利用累加法可求数列{}n a 的通项公式，求出数列(2)n nn a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式，利用裂项相消法求其前n 项和. 【详解】解：由题意可知12a =，213a a -=，324a a -=，，11n n a a n --=+，累加可得()(3)23412n n n a n +=+++++=， 2112()(2)(2)(3)23n n n a n n n n ∴==-+++++，1111111122()2()2()2()3445233339n n S n n n n ∴=-+-++-=-=++++.故答案为：(3)2n n +；239n n +.【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.三、解答题17．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos a c b C -=. （1）求B ；（2）若b =ABC △ABC △的周长.【答案】（1）3B π=；（2）3.【解析】（1）利用正弦定理，把条件等式化成角，再用诱导公式与两角和的正弦公式，即可求出cos B ，进而求出B ；（2）面积公式结合余弦定理，求出a c +，就可得到ABC △的周长. 【详解】（1）由22cos a c b C -=，2sin sin 2sin cos A C B C =+，2sin 2sin()2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B C B C B C C B C =+=+=+， 12cos sin sin ,0,sin 0,cos 2B C C C C B π=<<∴>∴=， 0,3B B ππ<<∴=；（2）1sin 22ABC S ac B ac ∆===∴=，由余弦定理得，222222cos ()3()63b a c a c B a c ac a c =+-⨯⨯=+-=+-=，2()9,3,a c a c +=+=ABC ∴周长为3. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，以及诱导公式和两角和的正弦公式，考查计算能力，属于中档题.18．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：（1）求新能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性相关系数r ，并判断y 与x 是否线性相关；（2）请将上述22⨯列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；参考公式：()()niix x y y r --=∑，22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++25≈，若0.9r >，则可判断y 与x 线性相关.附表：【答案】（1）0.94r ≈，y 与x 线性相关（2）填表见解析，有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关【解析】（1）计算出x ，y ，51()()iii x x y y =--∑，521()ii x x =-∑，521()ii yy =-∑再代入相关系数公式计算可得；（2）依题意，完善表格计算出2K 与参数数据比较可得. 【详解】 解：（1）依题意，2014201520162017201820165x ++++==，810132524165y ++++==故51()()(2)(8)(1)(6)192847iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑521()411410ii x x =-=+++=∑，521()643698164254i i y y =-=++++=∑，则5()()0.940.9iix x y y r --===≈>∑故y 与x 线性相关.（2）依题意，完善表格如下：2230(18426)15 3.75 2.70620102464K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关. 【点睛】本题考查利用相关系数判断两个变量的相关程度，以及独立性检验，考查计算能力，属于基础题. 19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，60BAD ∠=，1CD =，2AD =，4AB =，点G 在线段AB 上，3AG GB =，11AA =.（1）证明：1//D G 平面11BB C C ； （2）求点C 到平面1DC G 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）3010【解析】（1）连接1C B ，通过证明11//D G C B 得到1//D G 平面11BB C C ； （2）利用等体积法求点到面的距离. 【详解】（1）证明：连接1C B ，因为底面ABCD 为梯形，//AB CD ，44AB CD ==，3AG GB =， 则11////GB CD D C ，且111GB D C ==，所以四边形11GBC D 为平行四边形，则11//D G C B . 又1C B ⊂平面11BB C C ，1D G ⊄平面11BB C C ， 所以1//D G 平面11BB C C .（2）因为221112DC =+=2223223cos607DG =+-⨯⨯⨯=221215C G =+=1D CG ∆为直角三角形，所以其面积110252S ==设点C 到平面1DC G 的距离为d ，因为11C DGC C DC G V V --=，所以11110131323d ⨯⨯=，解得30d =即点C 到平面1DC G 30. 【点睛】本题考查线面平行的判定，以及点到面的距离的计算，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P Q 两点，点R 的坐标为5(,0)2-，证明：RP RQ 为定值.【答案】（1）22184x y +=（2）证明见解析【解析】（1）依题意，得2c b ==，根据222a b c =+计算可得；（2）对直线l 的斜率存在与否分类讨论，当斜率不存在直接计算可得，当斜率存在设直线l 的方程为(2)y k x =+，联立直线与椭圆方程得到方程组，利用韦达定理计算可得.【详解】解：（1）依题意，得2c b ==， 则222448a b c =+=+=，故椭圆的标准方程为22184x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，代入22184x y +=，得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设(P -，(2,Q -，若5(,0)2R -，则1(2RP =，1(,2RQ =，74RP RQ =-.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =+，代入椭圆C 的方程，可得2222(21)8880k x k x k +++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+，因为115(,)2RP x y =+，225(,)2RQ x y =+， 所以121255()()22RP RQ x x y y =+++212121255()()[2()4]22x x k x x x x =++++++222222258(2)88252(1)421214k k k k k k k +-=+-++++ 2277724214k k --==-+综上所述，RP RQ 为定值74-.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，向量的数量积的坐标表示，属于中档题. 21．已知函数()2ln 21f x a x x =-+（其中a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）对任意0x >，2()2f x a ≤-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[1,)+∞【解析】（1）求出函数的定义域、导函数，对0a >和0a ≤分两种情况讨论可得；（2）由（1）知当0a ≤时，不符合题意；当0a >时，()f x 的最大值为()2ln 21f a a a a =-+要使2()2f x a ≤-恒成立，即是使22ln 212a a a a -+≤-成立，令2()2ln 23(0)g a a a a a a =--+>利用导数分析其单调性，即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2'()2af x x=-， ①当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞上是减函数，()f x 无极值. ②当0a >时，令'()0f x =，得x a =，在(0,)a 上，'()0f x >，()f x 是增函数；在(,)a +∞上，'()0f x <，()f x 是减函数. 所以()f x 有极大值()2ln 21f a a a a =-+，无极小值.（2）由（1）知，①当0a ≤时，()f x 是减函数，令20ax e =，则0(0,1]x ∈，222220()(2)21(2)320a a f x a a e a e --=-+--=->，不符合题意，②当0a >时，()f x 的最大值为()2ln 21f a a a a =-+， 要使得对任意0x >，2()(1)f x a ≤-恒成立， 即要使不等式22ln 212a a a a -+≤-成立， 则22ln 230a a a a --+≤有解.令2()2ln 23(0)g a a a a a a =--+>，所以'()2ln 2g a a a =- 令()'()2ln 2h a g a a a ==-，由22'()0ah a a-==，得1a =.在(0,1)上，'()0h a >，则()'()h a g a =在(0,1)上是增函数； 在(1,)+∞上，'()0h a <，则()'()h a g a =在(1,)+∞上是减函数. 所以max ()(1)20h a h ==-<，即'()0g a <， 故()g a 在(0,)+∞上是减函数，又(1)0g =，要使()0g a ≤成立，则1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，单调性，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()23πρθ+=.（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于,A B两点，若||||PA PB +=线m 的倾斜角.【答案】(1) 226x y +=，40x --= (2)6π或56π. 【解析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数化曲线C 为普通方程，运用cos ,sin x y ρθρθ==，即可化直线l 极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线C 方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）曲线C 的普通方程为226x y +=，因为cos()23πρθ+=，所以cos sin 40ρθθ--=，直线l的直角坐标方程为40x --=. （2）点P 的坐标为(4,0)，设直线m 的参数方程为4cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立直线m 与曲线C 的方程得28cos 100t t θ++=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则121228cos 1064cos 400t t t t θθ+=-⎧⎪=⎨⎪∆=->⎩，所以1212||||||||||8|cos |PA PB t t t t θ+=+=+==，得cos θ=，且满足>0∆， 故直线m 的倾斜角为6π或56π. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.23．已知函数()|31||33|f x x x =-++. （1）求不等式()10f x ≥的解集； （2）正数,a b 满足2a b +=≥.【答案】(1) 4(,2][,)3-∞-+∞ (2)证明见解析【解析】（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；（2）要证不等式两边平方，等价转化证明()fx a b ≥++，即证min ()f x a b ≥++值的不等式求出min ()f x ，运用基本不等式即可证明结论. 【详解】（1）当1x <-时，()13336210f x x x x =---=--≥， 解得2x -≤，所以2x -≤； 当113x -≤≤时，()1333410f x x x =-++=≥，x φ∈； 当13x >时，()31336210f x x x x =-++=+≥， 解得43x ≥，所以43x ≥.综上，不等式()10f x ≥的解集为4(,2][,)3-∞-+∞.（2）证明：因为,a b等价于()f x a b ≥++对任意的x ∈R 恒成立.又因为()|31||33|4f x x x =-++≥，且2a b +=1≤，12a b+≤=，当且仅当1a b ==时等号成立.成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.。