华南理工大学 自动控制原理课件 第五章 根轨迹分析法
自动控制原理根轨迹PPT课件
m
szj
K * j1
1
n
s pi
i 1
（4-11）
m
s
z
j
n
s
pi
2k
1
（4-12）
j 1
j 1
式中 k 0,1,2,
第11页/共102页
复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足上式的模值条件和相角 条件。
从上式可以看出，根轨迹的模值增益条件与根轨迹增益K*有关，而相角条件与K*无关。我们说，相角条 件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件，这就是说，绘制根轨迹时，可用相角条件确定轨迹上的点，用模值 条件确定根轨迹上该点对应的K*值。
式中 K * K 2
是根轨迹增益。
第21页/共102页
令A(s)=s+4,B(s)=(s+1)(s+2)=s2+3s+2,则A’(s)=1,B’(s)=2s+3。代入A’(s)B(s)-A(s)B’(s)=0中， 得s2+8s+10=0 解出上式的根为s1≈-1.55,s2≈-6.45。 根据规则2，根轨迹在实轴上的分布为[-∞,-4]和[-2,-1]，从而可知s1是实轴上的分离点，s2是实轴上的汇合 点。 分离点和汇合点处的根轨迹增益分别为：
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K* d1
B(s) A(s)
(s 1)(s 2) s4
s1.55
0.1
K* d2
B(s) A(s)
(s 1)(s 2) s4
s6.45
9.9
规则6 根轨迹与虚轴的交点。若根轨迹与虚轴相交。则交点上的K*值和ω值可用两 种方法求得。
（1）劳斯判据； （2）令闭环系统特征方程中的s=jω ，并令虚部和实部分别为零而求得。
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
CATALOGUE
根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
CATALOGUE
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理第5章 根轨迹法
图5-2 系统根轨迹图
8
5.1 根轨迹法的基本概念
5.1.2 根轨迹与系统性能
依据根轨迹图（见图5-2），就能分析系 统性能随参数（如 K* ）变化的规律。 1．稳定性 开环增益从零变到无穷大时，图5-2 所示的根轨迹全部落在左半s平面，因此 ，当K>0时，图5-1所示系统是稳定的； 如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s平面 ，则在相应K值下系统是不稳定的；根 轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开 环增益。
2017/6/16
第5章 根轨迹法
16
5.1 根轨迹法的基本概念
5.1.4 根轨迹方程
闭环控制系统一般可用图5-3所示的 结构图来描述。开环传递函数可表示为 m
G( s) H (s) K * (s zi )
i 1
(s p
j 1
n
j
)
系统的闭环传递函数为
G(s) ( s) 1 G( s) H ( s)
第5章 根轨迹法
28
5.3 广义根轨迹
5.3.1 参数根轨迹
除根轨迹增益K* （或开环增益K）以外 的其它参量从零变化到无穷大时绘制的 根轨 迹称为参数根轨迹。 绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨 迹的法则完全相同。只需要在绘制参数 根轨迹之前，引入“等效开环传递函数 ”，将绘制参数根轨迹的问题化为绘制 K*变化时根轨迹的形式来处理。
的解。
2017/6/16
第5章 根轨迹法
24
5.2 绘制根轨迹的基本法则
法则6 ： 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴 相交，意味着闭环特征方程出现纯虚根 。故可在闭环特征方程中令s=jω，然后 分别令方程的实部和虚部均为零，从中 求得交点的坐标值及其相应的K*值。此 外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应 K*值下处于临界稳定状态，故亦可用劳 斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相 应的K*值。此处的根轨迹增益称为临界 根轨迹增益。
自动控制原理第5章 根轨迹分析法
s3 s2 1 12
7 12K 84 12K 1 s 0 7 0 s 12K 0 当劳斯阵s1行等于零时，特征方程可能会出现共轭虚根。
令s1 行等于零，则得KCr＝7。共轭虚根值可由s2行的辅助方程
求得：
7s 12K 0
2
将KCr＝7代入上式解得
s j2 3
5.2.3 闭环零极点与开环零极点的关系
R(s)
如图所示系统的闭环传函为
G(s) (s) 1 G(s)H(s)
G(s) G(s) H(s)
C(s)
(1)
l
一般开环传函可以写成 G(s) K
i 1 G q
(s Zi ) ( s Pi )
i 1 f i 1 q
f
,
H(s) K H
| G(s)H(s) |
j 1 m
(s p j )
i 1 n
( s zi )
m
1 K
n *
幅值条件
G(s)H(s) (s z i ) - (s p j )
i 1 j 1
i - j
i 1 j 1
mห้องสมุดไป่ตู้
n
180 (1 2 ) ( 0,1,2, )
解：可知系统的闭环特征方程为 s 3 7s 2 12s K g 0 同时可知临界根轨迹增益K g 与临界放大系数K cr的关系为K g 12K cr。
* *
（）把s j代入1 G L (s) 0得 1 G （j） 0 1 L 即 即 ( jω) 3 7( jω) 2 12 jω K g K g 7ω 2 j(12ω ω3 )
自动控制原理根轨迹分析法
1
根轨迹与虚轴的交点
令：s jω 带入特征方程得：1 Gk(jω) 0
Re[1 Gk(jω)] 0 Im[1 Gk(jω)] 0
k（* 产生等幅振荡时根轨迹增益的取值） ω（等幅振荡频率）
举例：
Gk ( s)
k* s( s 1 ) ( s
2)
1
问：利用ROUTH判 据求解？
根轨迹的出射角和入射角
s2 2 s k 1 0 ; s a 1 ; s a 1 ;
举
s ( s 1 )
s ( s 1 )
s 1 1 ; s ( T s 1 )
例
2sk s2 1
1
;
a 1 ; s ( s 2 )
a 1 ; s ( s 2 )
0 . 5 T s2 1 ; s 0.5
应用举例
[例1] [例2]
i1
j1
jb
举例：
Gk
(
s
)
s
(
s
K*(s 2) 3)(s2 2s
2)
；
Gk ( s
)
K*(s 2) (s2 2s 5)
开环零极点与闭环极点特性
m
Kg (s zi)
n
n
m
1 Gk ( s ) 1
i1 n
0
(s sj) (spj) Kg (s zi)
(s pj)
j1
j1
i1
j1
n
i1
nm
七、根轨迹与虚轴的交点
倾角：
θ
(
2 l 1 ) π
nm
八、根轨迹的出射角和入射角 九、开环零极点与闭环极点特性
关注：
十、典型开环零极点分布对应的典型根轨迹 绘图法则的来由！
自动控制原理第五章频率特性)
a
c
G( j) a() jb() G( j) e jG( j) c() jd ()
⑧代入
cs (t)
AG(
j) e j jt
2 j
AG( j) e j jt
2j
cs (t) A | G( j) | sin[t G( j)]
时域分析法和根轨迹法的特点
① 时域分析法：时域分析法较为直接，不足之处： 对于高阶或较为复杂的系统难以求解和定量分析； 当系统中某些元器件或环节的数学模型难以求出时，整个系统
的分析将无法进行； 系统的参数变化时，系统性能的变化难以直接判断，而需新求
解系统的时问响应； 系统的性能不满足技术要求时，无法方便地确定应如何伺调整
1
1 A
Uo (s)
Ts
1[Ui (s) Tuo0
]
Ts
[ 1
s
2
2
Tuo0
]
拉氏反变换得
uo
uo0
1
AT T 2
2
t
eT
A sin(t tg1T ) 1 T 2 2
式中第一项，由于T＞0，将随时间增大而趋于零，为输出的 瞬态分量；第二项正弦信号为输出的稳态分量。
2020/7/21
9
uOs
但对于高频噪声问题，难以建立数学模型等问题仍然无能 为力。Βιβλιοθήκη 2020/7/212
频域法不必求解微分方程，能预示系统性能，同时，又能 指出如何调整系统参数来得到系统预期的性能指标。
时域分析法和根轨迹分析法主要是以单位阶跃输入信号来 研究系统的，而频域分析法主要是以正弦输入信号来研究系统 的。
频域分析：给稳定的系统输入一个正弦信号，系统的稳态 输出也是一个正弦信号，其频率与输入信号同频率，其幅值和 相位随输入信号频率的变化而变化。
自动控制原理根轨迹法PPT课件PPT课件
23
第23页/共69页
4.3 绘制根轨迹的基本规则
24
又,渐近线上,对于s =sk → ∞,相当于有-zoi=-poj=sA
m
则
(s zoi )
j
Asymptote Centroid
G(s)H (s) Kg
i 1 n
(s poj )
j 1
s
(
s
Kg
sA
)
nm
(4.16)
由二项式定理
sA s A
－poj : 开环(传函的)极点, j=1,2,..,n.
3
第3页/共69页
4.2 根轨迹的基本概念
于是，特征方程
m
(s zoi )
1 G(s)H (s) 1 Kg
i 1 n
0
(s poj )
j 1
(4.3)
根轨迹法：根据开环传函(开环零点、极点)，找出开环增益 (或别的某个参数)由0→∞变化时，闭环系统特征根的轨迹。 根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s值，必为特征根。
<例4.1>:绘制某二阶系统 的根轨迹图；
特征方程: s2 2s K s2 2n n2 0 特征根: s1, s2 n n 2 1 1 1 K
K由0→1变化时,特征根 s1,s2: K= 0， s1= 0 , s2 = -2；
K= 1， s1 = s2 = -1 ( = 1)； 0<K<1，( >1), s1,s2:为两个实根
对于一阶二阶系统很容易在它的根轨迹上确定对应参数的闭环极点对于三阶以上的高阶系统通常用简单的作图法如作等阻尼比线等求出系统的主导极点如果存在的话将高阶系统近似地简化成由主导极点通常是一对共轭复数极点构成的二阶系统最后求出其各项性能指标
自控原理根轨迹PPT课件
q
h
(S
i 1
Pi
)
(S
j 1
Pj
)
nqh mf l
k kGkH
f
h
(S) KG
(S
i 1
Zi
)
(S
j1
Pj
)
n
m
(S
i 1
Pi
)
K第1j51页( S/共14Z7页j )
C(s)
结论: (1)闭 环 系 统 根 轨 迹 增 益 ,等 于 开 环 系 统 前 向 通根道轨 迹
增 益; 对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 系 统 根 轨 迹 的 增就 益等 于 开 环 系统 根 轨 迹 的 增 益.
于虚轴的
第7页/共147页
[总结]当 kg 从0变化到 时，系统的根
轨迹是连续的。 kg 0 的点称为起点， kg 的点称为终点。本例中有两个分
支，终点都在无穷远处。
这里是用解析法画出的根轨迹，但对于 高阶系统，求根困难，需用图解法画图。
j1
kg
s1
A s
A'
kgB 01 A2 0.5
i 1 n
(s pj )
j 1
式中：kg 传递系数，或称为跟轨迹增益；
zi，p j为开环零极点。
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系统的结构图如下：
R(s)
G(s)
C(s)
闭环传递函数为：(s) G(s)
1 G(s)H (s)
-
H (s)
开环传递函数为：Gk (s) G(s)H(s) m
(s zi )
将Gk (s)写成以下标准型，得：Gk (s) kg
G(S )H (S ) 1 G(S )H是(复S变)量Ｓ的函数，根据上式两边的幅值和相角分别相等的条件，
华南理工大学 自动控制原理课件 第五章 根轨迹分析法
制作:罗家祥审校:胥布工第五章根轨迹分析法版本2.0版本202011年6月主编修改版华南理工大学自动化科学与工程学院制作-罗家祥审校-胥布工第五章根轨迹分析法515.1引言5.2 根轨迹的基本概念5.3 绘制根轨迹的一般方法545.4根轨迹法的扩展应用5.5 开环零、极点对系统根轨迹的影响5.6 利用MATLAB 分析控制系统的根轨迹575.7小结制作-罗家祥审校-胥布工本章知识体系根轨迹方程绘制(10个规则)MATLAB 绘制根轨迹图根轨迹扩展应用根轨迹改变开环零极点开环零、极点对根改变开环零极点，提高系统稳态或轨迹的影响分析动态性能制作-罗家祥审校-胥布工¾系统特征方程的根在复平面上的分布位置与系统的动态性能是密切相关的。
闭环控制系统是否稳定取决于其特征方程的是密切相关的闭环控制系统根是否位于复平面的左半平面内，而闭环控制系统的动态性能取决于系统特征方程的根在复平面左半平面上的分布。
¾对于高阶系统，为了避免解析法求解所有特征根的繁琐性，1948年伊万斯（W.R.Evans）创立了种通过改变系统的个W R Evans）创立了一种通过改变系统的一个参数来分析系统特征方程根的位置变化的方法，并给出了绘制系统特征根变化轨迹的方法，简称为根轨迹法。
¾根轨迹法是一种分析线性控制系统的图解方法，具有直观和简便的优点并是种通用方法可以绘制任意线性多项简便的优点，并且是一种，可以绘制任意线性多项式关于任何参数的根轨迹，这样不需要用解析法求特征方程的根也能够在根轨迹图上分析改变系统的参数对其动态性能的影响。
的影响制作-罗家祥审校-胥布工5.2.1 根轨迹图根轨迹的研究是在一个复平面（简称s平面）上展开的，这时的复平面就叫根平面。
当系统开环传递函数的某参数。
当系统开环传递函数的某一参数从0变化到无穷时，系统的闭环特征根在根平面上变化的轨迹就称为根轨迹。
根平面加上根轨迹就叫根轨迹图。
根轨迹常用于研究开环传递函数增益变化对系统的影响，因此，从0变化到无穷的某个参数通常是指与开环传递函数放大系数K成正比的一个参数Kg，一般称为根轨迹增益。
自动控制原理完整版课件全套ppt教程
1.1 自动控制系统的基本概念
相关概念说明
1. 被控对象 2. 被控量 3. 控制器 4. 控制量
5. 参考输入量 6. 偏差信号
7. 反馈 8. 测量元件 9. 比较元件 10. 定值元件 11. 执行元件 12. 扰动信号
1.1 自动控制系统的基本概念
1.1 自动控制系统的基本概念
1.2 自动控制系统的组成与结构
6. 按照系统输入输出端口关系分类 单入单出控制系统 多入多出控制系统
图1-10 自动控制系统输入输出端口关系示意图
1.4 自动控制系统分析与设计的基本要求
1.4.1 自动控制系统分析与设计的基本要求
1. 稳定性 2. 准确性 3. 快速性
1.4 自动控制系统分析与设计的基本要求
1.4.1 自动控制系统分析与设计的基本要求
的高次幂或乘积项的函数。如 就是非线性函数。
dd 2( 2 y t)tx(t)dd (ty )ty(t)y2(t)x(t)
1.3 自动控制系统的分类
4. 按照系统参数是否随时间变化分类 定常控制系统 时变控制系统
5. 按照系统传输信号的分类
1.5 自动控制理论的内容与发展
自动控制理论根据其发展过程可以分为以下三个阶段：
3. 智能控制理论阶段
20世纪70年代至90年代
智能控制理论的研究以人工智能的研究为主要方 向，引导人们去探讨自然界更为深刻的运动机理。
高等教育 电气工程与自动化系列规划教材
自动控制原理
高等教育教材编审委员会 组编 主编 吴秀华 邹秋滢 郭南吴铠 主审 孟 华
1.2 自动控制系统的组成与结构
1.2 自动控制系统的组成与结构
1.3 自动控制系统的分类
控制系统的根轨迹分析方法 自控原理 教学PPT课件
P3×
分别起始于p1, p2, p3,4，
P2
终止于无穷远。
×
-2
Im(s)
× 0 P1
Re(s)
根据规则四、实轴上存在
根轨迹是从-2到0之间。
P4×
例4-2-6
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
根据规则五、n-m=4条渐近线
与实轴交点： 渐近线相角分别为：
P3×
Im(s)
P2 ×
j5.66
×
-j5.66
例4-2-5 作
的根轨迹。
该系统 n=3 ，m=1。
有三个开环极点：
一个零点：
根据规则一、二、三： 该根轨迹有三个分支,
分别起始于p = 0(两条)和p = -12处，
有一个分支终止于z = -1,
另两个分支趋于无穷远。
× -12 -6 -4
根据规则四：
实轴上存在根轨迹是从-12到-1之间。
s1是分离点，s2是会合点。 ×
-12 -6
作完业整：的A绘-4-出7，根A轨-4-迹11，如图4-9所示。
看书p130，表4-1常规根轨迹。
●× -4 -2
图4-9
例4-2-6
分析：n=4，m=0。
根据规则一、二、三、有四个极点：
p1=0, p2= -2, p3,4= -1±j2
该根轨迹共有四个分支，
例如系统的开环零、极点分布如图。
要判断 和 之间的线段是否存
在根轨迹，取实验点
开环共轭极点和零点提供的相角 相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的 开环零极点决定。 。
×
● ● × ××
﹣5
﹣2 ﹣1 0
处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度 × 均为零， 相角条件由其右边的零极点决定。
自动控制原理胡寿松根轨迹法ppt资料
n阶系统，其闭环特征方程有n个根。当Kg 从0连续
变化时，n个根将绘出有n条轨迹分支。因此根轨迹的条 数或分支数等于其闭环特征根的个数，即系统的阶数。
K j
K= 0
K= 0
0
K Kg
j Kg
0
Kg
j
0
j
0
j
-21
j
1
0
法则4 根轨迹的起点和终点
根轨迹起始于系统开环极点， 终止于系统开环零点。
在s 平面内满足幅角条件的所有s1 点，将这些点连成光滑 曲线，即是闭环系统根轨迹。
在1948年，伊凡思（W.R.Evdns）提出了用图解法 绘制根迹的一些基本法则，可以迅速绘制闭环系统的根 轨迹草图，在根轨迹草图的基础上，必要时可用幅角条 件使其精确化，从而使整个根规迹的绘制过程大为简化。
4-2 绘制系统根轨迹的基本法则
上式说明Kg= 0时，闭环特征方程的根就是开环极点。
将特征方程改写为：
1 n
m
Kg
(s pj ) (s zi ) 0
j 1
i 1
当 Kg 时，有
s = zi
( i =1, 2, … , m)
所以根轨迹必终止于开环零点。
在实际系统中，开环传函中 m n ，有m 条根轨迹终 点为开环零点处，另有nm条根轨迹的终点将在无穷远处， 可以认为有nm 个无穷远处的开环零点。
法则5 根轨迹的渐近线
根据法则4，当开环传递函数中m < n 时，将有n m 条
根轨迹分支沿着与实轴夹角为a ，交点为a 的一组渐近
线趋于无穷远处，且有：
a
(2k 1)
nm
(k = 0,1, … , n m 1)
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制作:罗家祥审校:胥布工
第五章根轨迹分析法
版本2.0
版本20
2011年6月主编修改版
华南理工大学
自动化科学与工程学院
制作-罗家祥审校-胥布工
第五章根轨迹分析法
515.1
引言5.2 根轨迹的基本概念5.3 绘制根轨迹的一般方法545.4
根轨迹法的扩展应用5.5 开环零、极点对系统根轨迹的影响5.6 利用MATLAB 分析控制系统的根轨迹575.7
小结
制作-罗家祥审校-胥布工
本章知识体系
根轨迹方程绘制(10个规则)
MATLAB 绘制根轨迹图
根轨迹扩展应用根轨迹
改变开环零极点开环零、极点对根改变开环零极点，提高系统稳态或
轨迹的影响分析
动态性能
制作-罗家祥
审校-胥布工
¾系统特征方程的根在复平面上的分布位置与系统的动态性能是密切相关的。
闭环控制系统是否稳定取决于其特征方程的是密切相关的闭环控制系统
根是否位于复平面的左半平面内，而闭环控制系统的动态性能取决于系统特征方程的根在复平面左半平面上的分布。
¾对于高阶系统，为了避免解析法求解所有特征根的繁琐性，1948年伊万斯（W.R.Evans）创立了种通过改变系统的个
W R Evans）创立了一种通过改变系统的一个参数来分析系统特征方程根的位置变化的方法，并给出了绘制系统特征根变化轨迹的方法，简称为根轨迹法。
¾根轨迹法是一种分析线性控制系统的图解方法，具有直观和简便的优点并是种通用方法可以绘制任意线性多项简便的优点，并且是一种，可以绘制任意线性多项式关于任何参数的根轨迹，这样不需要用解析法求特征方程的根也能够在根轨迹图上分析改变系统的参数对其动态性能的影响。
的影响
制作-罗家祥
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5.2.1 根轨迹图
根轨迹的研究是在一个复平面（简称s平面）上展开的，这时的复平面就叫根平面。
当系统开环传递函数的某参数。
当系统开环传递函数的某一参数从0变化到无穷时，系统的闭环特征根在根平面上变化的轨迹就称为根轨迹。
根平面加上根轨迹就叫根轨迹图。
根轨迹常用于研究开环传递函数增益变化对系统的影响，因此，从0变化到无穷的某个参数通常是指与开环传递函数
放大系数K成正比的一个参数Kg，一般称为根轨迹增益。
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5.2 根轨迹的基本概念
注意事项：
幅值条件仅是根轨迹应满足的必要条件幅值条件仅是根轨迹应满足的必要条件，因为幅值还取决于K g 的大小。
在根轨迹上的点都满足幅值条件，而s 平面上满足幅值条件的点未必在根轨迹上。
相角条件是根轨迹应满足的充要条件，因为相角大小与K g 的大小无关。
在根轨迹上的点都满足相角条件，而s 平面上满足相角条件的点一定在根轨迹上
平面上满足相角条件的点定在根轨迹上。
由于绘制根轨迹的目的是通过图上向量计算来进行系统的性能分析，因此s 平面的横坐标和纵坐标必须采用相同的比例尺。
通常，直接利用幅值条件和相角条件绘制系统的根轨迹很复杂可以尝试先画出近似的根轨迹曲线进行迹很复杂，可以尝试先画出近似的根轨迹曲线，进行初步分析后，再细化和修正用计算机求解或者绘制出精确的根轨迹。
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ω
j 2
z −1
p −2
1ϕϕ−=21ψψ−=o
180=ψ
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规则10 根轨迹的走向n m 时闭环极点之和始终等于常数1)当n-m ≥2时，闭环极点之和始终等于常数.
根据闭环特征方程可得：
+=Δs N K s D s )
...(...)
()()(011
1011
1+++++++++=−−−−−n
n
n m m m g n n n
L g L b s b s
b s K a s a s
a s 29)-(50)(1
1
1
1
=+++=+=
∏∑∏===l l n l l n l l p s p s p s L 1n n −1m m −011...)(a s a s a s s D n L ++++=−0
11...)(b s b s b s s N m L ++++=−系统闭环极点之和等于常数-a n -1
30)
-(5)(1
1
−=−=−∑n n
l l
a
p 随着K g 的增加，一些根轨迹向左移动时，另一些根轨迹必向右
移动。
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根据上述绘制根轨迹的基本法则，单回路控制系统根
轨迹的绘制一般可按以下七个步骤进行:
轨迹的绘制般可按以下
（1）确定根轨迹的分支数及其起点和终点。
（2）确定实轴上的根轨迹。
（3）确定根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点。
（4）确定根轨迹的分离点和会合点。
）确定根轨迹与虚轴的交点
（5）确定根轨迹与虚轴的交点。
（6）确定根轨迹的出射角和入射角。
（7）确定根轨迹的走向，并绘制根轨迹。
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5.3.2参数根轨迹的绘制
绘制参数根轨迹的一般步骤为：
（1）写出原系统的闭环特征方程。
）写出原系统的闭环特征方程
（2）以特征方程式中不含参数的各项除特征方程，求得等效系统的根轨迹方程，此时，等效系统的根轨迹增益即为原系统的参量。
（3）绘制等效系统的根轨迹，即得原系统的参数根轨迹。
关键等效单回路系统的开环传递函数依照绘制
关键：等效单回路系统的开环传递函数。
依照绘制Kg变化时的根轨迹绘制法则绘制参量根轨迹。