第2章 时域离散信号和系统的频域分析

2. DTFT的线性
设
X 1 (e
那么
j
) FT [ x1 (n)]
X 2 (e j ) FT [ x2 (n)]
FT [ax1 (n) bx2 (n)] aX 1 (e j ) bX 2 (e j )
式中a和b为常数。 —— 满足比例叠加性
3. DTFT 的时移和频移特性
和的条件，即满足式：

n


x(n)e jn
FT[x(n)]存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可
n
| x(n) |
序列x(n)的傅里叶变换- X(ejω)是 x(n)的频谱函数。 可以用FT(Fourier Transform)缩写字母表示。 频谱函数可用下式表示：
在时间域中，时域
离散信号(序列)x(n)是
序数n的函数，这里n 可看成时间参量。时
域离散系统的单位脉
冲响应是系统在时间
域的描述，线性常系
数差分方程是时域离 散系统输入输出之间
关系的描述
2.2 序列的傅立叶变换(DTFT)的定义及性质 2.2.1 序列的傅立叶变换的定义
正变换 FT或DTFT:
X (e j ) FT[ x(n)]
[例 ] 已知x(n)=δ(n)，利用傅立叶变换求它的频谱 函数。 X (e j ) (n)e jn 解 按照频谱函数式 n 因为只有在n=0时，δ(n)=1，而对其他的n，δ(n)=0，因此
将n=0带入上式中，可得到 X (e j )
n
(n)e jn n0 1
y(n)=jejωn，取共轭则得到y*(n)=-je-jωn。 对称：
序列x(n)如果服从公式: 一个对称序列 x(n)=x(-n)，则称x(n)是
2）共轭对称序列与共轭反对称序列 （1）定义
如果序列满足
xe (n)
xe (n)
为共轭对称序列——用xe(n) 表示。
如果序列满足
xo (n) xo (n)
X (e ) | X (e ) | e
j
j
j arg[ X ( e j )]
反变换IFT（Inverse Fourier Transform):
1 π j j n x(n) IFT[ X (e )] π X (e )e d 2π 推导：
j
用e jωn乘FT式两边， 并在-π~π内对ω进行积分



X (e )e
j
j m
d [ x(n)e j n ]e j m d
n


式中
n


x (n )


e j ( m n ) d



e j ( m n ) d 2 (n m)



X (e j )e j n d 2 x(n)
% 计算离散序列的 Fourier变换，并画 出幅频特性和相频 特性图 % 调用格 式:[X,magX,angX] = FourierTran(n,x) % 其中 % n -- x(n)的序号 向量 % x --时域序列x(n) % definiton -- 图像 分辨率(默认值每周 期600点) % X --x(n)的 Fourier变换X(ejw) % magX -- X(ejw) 的模 % angX -- X(ejw)的 幅角
设 那么
X (e
j
) FT [ x (n)]
j n0
FT [ x (n n0 )] e FT [e
j n0
X (e ) )
j
x (n)] X (e
j ( 0 )
傅立叶变换的时移性: 如果信号延时n0，那么它的傅立叶变换相应地增加相位移 -ωn0； 傅立叶变换的频移性: 如果信号的傅立叶变换在频率轴上位移ω0，那么时间域信号相应 地增加相角ω0n。
j n
1 e e (e e ) j / 2 j / 2 j / 2 j 1 e e (e e ) j ( N 1) / 2 sin( N / 2) e sin / 2
j N
j N / 2
j N / 2
j N / 2
x(n)=RN(n) X (e ) e
j
ห้องสมุดไป่ตู้
j n0
X (e )
j
4. DTFT 的对称性
1）概念 共轭:
复数x=a+jb， 式中a、 b是实常数，如果取它的共轭， 则得到x*= a-jb 。 复序列x(n)=ejωn=cos(ωn)+jsin (ωn)，取它的共轭，则 得到x*(n)=e -jωn=cos (ωn)-j sin (ωn)。

说明: δ(n)的频谱函数在整个频率轴上保持一个常数1。 所有的频率分量均相等，相位函数在整个频率轴上为0。
X(ej)
δ(n)的幅度特性:
0

2

例 2.2.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT
解：
N 1 n 0
X (e )
j
n
R
N
(n)e
j n
e
为共轭反对称序列——用xo(n) 表示。
（2）性质 A 共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数
证明：将xe(n)用实部和虚部表示：
xe (n) xer (n) jxei (n)
将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到：
xe (n) xer (n) jx ei (n)
对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：
RN (n n0 )e jn

令 n′=n-n0, 即 n=n′+n0 则 Y (e j ) R (n ')e j ( n 'n )
n '

0
N
n '


RN (n ')e jn 'e jn0
按照傅立叶变换的基本定义，可以得到:
Y (e ) e
2M
X (e j )
n
时域的离散导致频 域的周期延拓
x(n)e jn

n
x(n)e j ( 2M ) n

因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数， 周期是2π。 X(ejω)可以展成傅里叶级数， x(n)是其傅里叶级数系数。 由于FT的周期性，一般只分析之间或0~2 之间的FT
j
j ( N 1) / 2
sin( N / 2) sin / 2
N=4时， 幅度与相位随ω变化曲线:
X (e ) e
j
j 3/ 2
sin(2 ) sin( / 2)
图 2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线
序列Fourier变换的MATLAB实现
function [X,magX,angX] = FourierTran(n,x,definition) if nargin<3 definition = 600; end k = -definition:definition; w = (pi/definition)*k; X = x*(exp(-j).^(n'*w)); magX = abs(X); angX =angle(X); figure(1) subplot(211) plot(w/pi,magX,'r','LineWidth',2) xlabel('频率（单位π ）'); ylabel('|X(e^{ j\omega})|') title('幅频特性') subplot(212) plot(w/pi,angX/pi,'r','LineWidth',2) xlabel('频率（单位π ）'); ylabel('弧度/π ') title('相频特性')
1 x ( n) 2



X (e j )e j n d
x(n)和X(ej)是一对傅立叶变换对
X (e j )
1 x ( n) 2

n
x(n)e jn



X (e j )e j n d
FT存在的充分必要条件是：

x(n)
如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列， 其傅立叶变换可用冲激函数的形式表示出来，如 周期序列。
jx oi (n)
对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：
xo (n) xo (n)
xor (n) xor (n) xoi (n) xoi (n)
例 2.2.2 试分析x(n)=ejωn的对称性。
解 这是一个复序列。先分析是否具有对称性， 将x(n)的n用-n代替，得到: x(-n)=e-jωn 由于x(n)≠x(-n)，因此它不具有对称性。 但对上式再取共轭，得到: x*(-n)=ejωn 将上式和原信号对比，得到x(n)=x*(-n)， 因此该信号具有共轭对称性。 将信号用欧拉公式展开，则得到： x(n)=ejωn=cos (ωn)+j sin (ωn)
co s n
cos n
2π M
1 „ －1 0 1 2 3 4 „ n 1 „ －1 0
(2 M 1)π
„ 1 2 3 4 5 6 n
=2M， M为整数，序列 的直流分量
(a )
=（2M+1） ，一个时间波形变化 (b ) 愈快，意味着它包含的频率愈高， 对于序列变化最快的波形
2.2.2 序列的傅立叶变换的性质
1、FT的周期性