3.2 离散信号的频域分析(20180402)

11
例2：已知周期序列如图所示，周期N=6，求该序列的频 谱 X ( k ) 及时域表达式 x(n) 。
2 2 2 2 j k j k j k j 5 k 1 1 6 6 e X (k ) 1 e 6 e 6 1 e 6 6 1 k 1 2cos , k 0,1, 2,3, 4,5 6 3
x(n) x(n mN ), m为任意整数
j 2 kn N
x ( n ) 可以展开为如下傅立叶级数形式， 假设：
x ( n)
k
ae
k

ak 为傅立叶级数的系数。 式中，
问题：1）系数 ak 如何求解？ 2）这样表示是否正确？
2
3.2.1 周期序列的频域分析—DFS

x ( n)
k 0 5 j 2 kn 6
2 n1 j n5 1 j 26 6 (e e ) 2
1 所以， X (k ) 2 0
k 1,5 k 0, 2,3, 4
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例2：已知周期序列如图所示，周期N=6，求该序列的频 谱 X ( k ) 及时域表达式 x(n) 。
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3.2.2 非周期序列的傅立叶变换
X (e j )
n


x(n)e jn
1 j j n x ( n) X ( e ) e d 2 X (e j ) 称为x(n)的离散时间傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform, DTFT）或频谱密度函数，简称频 谱。 x(n)称为 X (e j ) 的离散时间傅立叶反变换(IDTFT)或原 函数。
n


x ( n)
(绝对可和）
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例3：已知 x(n)如下所示，试求其频谱。
1 2 n 2 x ( n) 0 others
解：根据离散时间傅立叶变换的定义，
X (e )
j n
x ( n )e

j n

n 2
e
2
j n
e j 2 (1 e j 5 ) 1 e j

针对问题2：是否正确？ 2 j 对上式两端乘以 e N kl ，并对k在一个周期内求和，
X ( k )e
k 0
N 1
j
2 kl N
2 2 j kn j kl 1 N 1 N N x ( n)e e k 0 N n 0 N 1 j 2 ( l n ) k 1 N 1 x ( n ) e N N n 0 k 0 N 1
针对问题1：求解ak
对等式两边同时乘以 e 内求和，
k
ae
k

j
2 kn N
j 2 mn N
，并对n在一个周期
x(n)e
n 0
N 1
j
2 mn N
2 2 j kn j mn N N ak e e n 0 k N 1
5
3.2.1 周期序列的频域分析—DFS

2 j kn 1 N 1 X ( k ) x ( n )e N N n 0
针对问题2：是否正确？
X ( k )e
k 0
N 1
j
2 kl N
1 N
x (n) e
n0 k 0
N 1
N 1
j
2 (l n ) k N
, 1 N
x ( n) X ( k )e
k 0
N 1
j
2 kn N
x ( n ) N X ( k )e
j
考虑到：N→∞，2 N 0 ,记为 d ; (2 N ) k （由离散量变为连续量），而
1 N d 2 , 同时
k 0 N 1
3
3.2.1 周期序列的频域分析—DFS

x ( n )e
n 0
N 1
j
2 mn N
Nam
针对问题1：求解ak
2 j kn 1 N 1 N 所以，ak x(n)e , k N n 0
注意：由于k和n均取整数，当k或n变化时， e 期为N的周期函数，即
j
3.2 离散信号的频域分析
离散周期信号的频域分析
离散非周期信号的频域分析
离散时间傅立叶变换的性质
离散傅立叶变换 离散傅立叶变换的性质
1
3.2.1 周期序列的频域分析—(Discrete Fourier Serise, DFS)
周期序列的傅立叶级数（DFS） 设 x ( n ) 是以N为周期的周期序列，即
e j 2e j 2.5 (e j 2.5 e j 2.5 ) e j 0.5 (e j 0.5 e j 0.5 )
sin(2.5) | X (e j ) | e j ( ) sin(0.5)
0 sin(2.5) j ( ) 幅频： ； | X (e ) | 相频： sin(0.5) X (e j ) 0 X (e j ) 0
j 也可简记为 X (e j ) DTFT x(n), x(n) IDTFT X ( e )
DTFT j x ( n ) X ( e ) 或
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3.2.2 非周期序列的傅立叶变换
X (e ) 1 x ( n) 2
j n




x(n)e jn X (e j )e jn d
N 1
j
2 kn N
,
2 j kn 1 N 1 N X ( k ) x ( n )e N n0
记为，X (k ) DFS[ x(n)], x(n) IDFS[ X (k )]
或者，x(n) X (k ) 上式表明： 1）周期为N的序列可被分解为N次谐波，第k个谐波频 率为 (2 / N )k ,幅度为 X (k ), k 0,1, , N 1 ； 基波分量(k=1)的频率为 2 / N ，幅度为 X (1) 。 2）周期序列的频谱是一个以N为周期的周期性离散频 谱，各谱线之间的间隔为 2 / N 。
2 kn N
是周
e
j
2 ( k lN ) n N
e
j
2 kn N
,
l取整数
e
j
2 ( n mN ) k N
e
j
2 kn N
,
m取整数
所以，离散傅立叶级数的系数ak也是周期序列，即
ak ak lN
4
3.2.1 周期序列的频域分析—DFS

ak ak lN
2 j kn 1 N 1 x(n)e N N n 0
DFS
7
3.2.1 周期序列的频域分析—DFS
x(n)
N
0
N
2N
n
X (k )
N
0
N
2N
k
8
例1：已知正弦序列 x(n) cos n ，分别求出当 2 和 3 时，傅立叶级数表达式及相应的频谱。
解：连续正弦信号离散化后所形成的正弦序列只有在满足 2 N / m 有理数时，才为周期正弦序列。

2
0
傅立叶变换式
于是，X (e ) lim N X (k )
N
j
x(n) N X (k )e
k 0
N 1
2 j kn N
1 N
n


x(n)e jn
傅立叶反变换式
1 2

2
0
X (e )e
j
jn
1 d 2



X (e j )e jn d
所以，X (0) 1/ 2, X (1) 1/ 3, X (2) 0
X (3) 1/ 6, X (4) 0, X (5) 1/ 3
由IDFS的定义可知，
x ( n ) X ( k )e
k 0 5 j 2 kn 6
1 j 6 n 1 j 6 3n 1 j 6 5 n 1 e e e 3 6 3
k 0
N 1
, n
6
3.2.1 周期序列的频域分析—DFS
所以，
x ( n ) X ( k )e
k 0 N 1 j 2 kn N
2 j kn 1 N 1 X ( k ) x ( n )e N , N n 0
x ( n) X ( k )e
k 0

从物理意义来讨论傅立叶变换 j X (e ) 是一个频谱密度函数的概念；
j X ( e ) 是一个连续谱，各频率分量的频率不成谐波
关系； j X ( e ) 是关于数字频率 的周期函数，周期是 2 ， 包含了从零到 2 的所有频率分量。
非周期序列存在傅立叶变换的充分条件：
1） 2 时， 2 2 / 2 无理数，该序列为非周 期序列，不能展开为傅立叶级数表达式。 2） 3 时， 2 6 有理数，所以是周期序列， 周期为 2 N m 6 (取m=1)

所以，x(n) X (k )e
k 0
5
j
2 kn 6

k
a e
k n0

N 1
j
2 ( k m) n N
由于， e
n 0
N 1 n0
N 1
j
2 ( k m) n N
N = 0


k m =N (k m) km
k

x ( n )e
j
2 mn N
k
a
N (k m) N am
针对问题1：求解ak ~ 令 X (k ) ak ，则
2 j kn 1 N 1 N X ( k ) x ( n)e , N n0
k
X ( k ) 也是一周期为N的周期序列，称为 x(n)的离散傅
里叶级数，用DFS (Discrete Fourier Series)表示。
x(n)
1Hale Waihona Puke Baidu
-5
-1
1
5
n
解：根据离散傅立叶级数的定义，
1 X (k ) N
x ( n )e
n0
N 1
j
2 kn N
2 j kn 1 5 6 x ( n )e 6 n0
2 2 2 2 j k j 5k j k j 5k 1 1 x(0) x(1)e 6 x(5)e 6 1 e 6 e 6 6 6
称X (e j )为频谱密度函数。
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2 j kn 1 N 1 X ( k ) x ( n)e N N n 0
根据周期序列的傅立叶级数定义，有
N X ( k ) x ( n )e
n 0 N 1 k 0 N 1 2 j kn N 2 kn N
2 j kn 1 N 1 X ( k ) x ( n)e N N n 0
由于， e
k 0
N 1 k 0
N 1
j
2 (l n ) k N
N = 0
l n =N (l n) ln

X ( k )e
j
2 kl N
1 N 1 x(n) N (l n) x(l ) N n0
j 2 kn N
x ( n ) X ( k )e
n j n 1 j e 3 e 3 2
2 j n( 1 6) 1 j 26 n1 (e e 6 ) 2
9
例1：已知正弦序列 x(n) cos n ，分别求出当 2 和 3 时，傅立叶级数表达式及相应的频谱。
x ( n ) X ( k )e
2
2
2
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3.2.2 非周期序列的频域分析
x ( n) X ( k )e
k 0
N 1
j
2 kn N
非周期序列的傅立叶变换（DTFT） 非周期序列可看作是周期序列的周期 N→∞ 时的极 限情况； 极限情况下，各谐波之间的间隔 2 N 趋近于无穷 小，从而序列的频谱从离散变为连续； 极限情况下，各谐波分量的幅度 X (k ) 0 ，不过 这些无穷小量之间仍有差别。 为了描述非周期序列的频谱特性，令 X (k ) j X (e ) lim lim N X (k ) (单位频率上的频谱） N 1/ N N