级数学物理方法试题

数学物理方法试题A （100分）

2005级光电子专业

一、填空题 （40分）

1. 表示复数 z 的代数式是 ，指数式是

。

2. 设

(),u u x y =,

20u

x y

∂=∂∂

则 (),u

u x y = 满足一个

方程，可解出 u = 。

3. 设

()w f z =，w u iv =+，iy

x z +=。

则方程 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂x v y

u y

v

x u 称为 。 如在

D 区域，

x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、y

v

∂∂ 连续，且上述方程成立，则称复变函数

()f

z 为

D

区域上的 。

4.

11i i i i -+=- ，()()()()

3232i i i i +-=-+ 。

5. 设解析函数

()222f z x y xyi =-+，

其共轭函数

()f z *= ，

其导数

()f z '= 。

6.

42

1

1

2z z dz z iz

=+=-⎰

， 7. 复幂级数 k k k z c ∑∞

=1

的收敛区域通常为 ，

圆的半径称为 。

8. δ

函数的主要定义是：

， 。

9. 周期函数的定义是 ，付里叶级数的常见形式是

。

10. 现有两函数

()1=x f

∞≤≤∞-x

()1=x f b x b ≤≤-

则二者的付里叶变换()F ω分别为

， 。

二、简答题 （20分）

1. 设复变函数

2

w z

=，试将

z 平面上的曲线（以原点为圆心，以

2为半径，位于0y ≥区域的半圆）表示为w 平面上的曲线。

2. 对于复幂级数 k k k z c ∑∞

=1， 收敛半径 R

的取值共有几种情况？分别

列出。

3. 求复幂级数 1k

k z k

∞

=∑、

1

2k k

k z ∞

=∑的收敛半径

R 。

4. 试举出2个常见的数学物理方程，写出数学形式，简述其所代表的物理意义。

三、计算题 （40分）

1. 将

()()

2

f

z z a =- 沿圆心为

z a =，半径为r 的

圆周 C 积分。

2. 试将

()11

21

f z z z =--- 在1z 的区域内分别展开为

复幂级数。

3. 现有函数

()f

x x =

l x l -+

经平移后延拓为一个周期为2l 的锯齿波。试将其展开为付里叶级数。

4. 已知静电场的电势

()z y x u u ,,= 满足拉普拉斯方程

0222222=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u 今设带电体是一个位于Y —Z 平面上的无限大均匀带电平面。当取

0x x = 处为电势零点时，此面的电势为 0u 。 试求 0x +∞

区间的电势分布。

数学物理方法试题B （100分）

2005级光电子专业

一、填空题 （40分）

1. 表示复数 z 的代数式是 ，指数式是

。

2. 在复变函数中，正弦函数的定义是 ，

余弦函数的定义是 。

3. 柯西积分公式的形式是 ，其中

Γ表示 。

4.

11i i i i -+=- ，()()()()

3232i i i i +-=-+ 。 5. 设解析函数

()222f z x y xyi =-+， 其共轭函数

()f

z *

= ，

其导数

()f z '= 。

6.

()

42

2

1z z z

dz z =+=-⎰ 。

7. 复幂级数 k

k k z c ∑∞=1

的收敛区域通常为 ，

圆的半径称为 。

8. δ

函数的主要定义是：

， 。

9. 周期函数的定义是 ，付里叶级数的常见形式是

。

10. 现有两函数

()1=x f

∞≤≤∞-x

()1=x f b x b ≤≤-

则二者的付里叶变换()F ω分别为

， 。

二、简答题（20分）

1. 设复变函数

2

w z

=，试将z平面上的曲线（以原点为圆心，以

2为半径，位于

,0

x y≥

区域的圆弧）表示为w平面上的曲线。

2.波动方程和传导方程是2个常见的数学物理方程，试分别写出数学形式，并

简述其所代表的物理意义。

三、计算题（40分）

1. 将()()

f z z a

=-沿圆心为z a

=，半径为r的圆周C积分。