11 17-18学年中考总复习四边形精品讲义
12 17-18学年中考总复习 特殊四边形精品讲义
初三讲义（编制时间2017.3.27）学科数学学生课次制作人蒋明桂课题名称特殊四边形上课时间教学目标 1、矩形、菱形、正方形的概念 2、矩形的性质与判定 3、菱形的性质与判定 4、正方形的性质与判定教学重难点重难点：特殊四边形的综合问题。
知识点回顾考点一矩形的性质与判定考点二菱形的性质与判定考点三正方形的性质与判定考点四特殊四边形的综合问题四边形大会一天，四边形族长召开家族会，梯形，平形四边形，长方形，正方形纷纷来到会场，大家七嘴八舌地说得高兴极了。
族长说：“大家静静，一个一个慢慢说。
”梯形昂首挺胸，大声地说我有一组对边平形。
话刚落音，平形四边形高声说：“我有两组对边平行且相等！”这时长方形不慌不慌地说：“我也有两组对边平行对边相等，且四个角都是直角。
”梯形和平行四边行都说：“长方形你真了不起！”长方形得意忘兴地说：“当然，谁能和我比！”族长一声不响，盯着正方形，和蔼然可亲地叫正方形说说自己的特点。
正方形低头沉默一会，红着脸轻声地说：“我具有你们所有的特点，且还有你们都没有的特点：我的四条边都相等。
”梯形，平形四边形，长方形目瞪口呆地看着正方形，异口同声地说：“你正是最棒的！这时族长提高嗓门说：“我们各有各的特点，各有各的长处，我们四边形家族一定要团结努力，为人们服务。
”台下响起了热烈的掌声。
例题精讲考点一矩形的性质与判定【例1】（2011•温州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）A．2条B．4条C．5条D．6条例1【变式1-1】已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
【变式1-2】在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②BF BO =；③CH CA =；④ED BE 3=，正确的有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式1-3】（2015•泰安）如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，E 、F 分别是线段BM 、CM 的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM 的周长为_________________．【变式1-4】（2016•舟山）如图，矩形ABCD 中，AD=2，AB=3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是（ ） A ．B ．C ．1D ．【例2】（2015西湖区一模-20）已知：如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交与BE 的延长线于点F ，且DC AF =，连结CF . （1）求证：D 是BC 的中点；（2）当AB 与AC 有何数量关系时，四边形ADCF 为矩形. 请说明理由.O FABCDHE变式1-2O ABCDE 变式1-1 变式1-3AECBFD例2变式1-4【变式2-1】（2015滨江区一模-19）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC , AB=AC ，BE=CE=AD . （1）求证：四边形ECDA 是矩形；（2）当△ABC 是什么类型的三角形时，四边形ECDA 是正方形？请说明理由.【变式2-2】（2015•北京）在▱ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF=BE ，连接AF ，BF ． （1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF 平分∠DAB ．【变式2-2】（2016•台州-19）如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和G ，H ．（1）求证：△PHC ≌△CFP ；（2）证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【例3】在矩形ABCD 中，BC=10cm 、DC=6cm ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的两个动点，E 从点A 出发以每秒5cm 的速度向B 运动，F 从点B 出发以每秒3cm 的速度向C 运动，设运动时间为t 秒．若∠AFD=∠AED ，则t 的值为（ ） A ．2 −1 B ．0.5C ．32D ．1【变式3-1】（2016上城区一模-22）A DECB变式2-1变式2-2 变式2-2例3如图，矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，动点P 从点A 出发，在AC 上以每秒5cm 的速度向点C 匀速运动，同时动点Q 从点D 出发，在DA 边上以每秒4cm 的速度向点A 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ． （1）若△APQ 与△ADC 相似，求t 的值． （2）连结CQ ，DP ，若CQ ⊥DP ，求t 的值．（3）连结BQ ，PD ，请问BQ 能和PD 平行吗？若能，求出t 的值；若不能，说明理由．【变式3-2】（2016拱墅区一模-16）如图，矩形ABCD 中，BC=3，且BC ＞AB ，E 为AB 边上任意一点（不与A ，B 重合），设BE=t ，将△BCE 沿CE 对折，得到△FCE ，延长EF 交CD 的延长线于点G ，则tan ∠CGE= （用含t 的代数式表示）．【变式3-3】（2015上城区一模-16）已知矩形ABCD ，AB =8,BC =4，将它绕着点B 按顺时针方向旋转α度(0＜α≤180)得到矩形111D BC A ，此时B A 1,11D C 这两边所在的直线分别与CD 边所在的直线相交于点P ，Q .当DP :DQ =1:2时，DP 的长为 ．（5或111 ）【例4】（2016•苏州）矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为（3，4），D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为（ ） A ．（3，1）B ．（3，34） C ．（3，35） D ．（3，2）变式3-1变式3-2变式3-3例4【变式4-1】动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ’处，折痕为PQ ，当点A ’在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ’在BC 边上可移动的最大距离为 .【变式4-2】（2016秋•萧山区月考）如图，矩形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=6cm ，BC=8cm ，动点P 从点C 出发，在线段AC 上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点G 从点B 出发，在BC 边上以每秒4cm 的速度向点C 匀速运动，动点E 从点D 出发，在DA 边上以每秒4cm 的速度向点A 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2）．（1）若△CDE 与△ADC 相似，求t 的值．（2）连接AG ，BP ，CE ，若BP ⊥CE ，求t 的值； （3）当PG 长度取得最小值时，求t 的值．考点二 菱形的性质与判定【例1】菱形具有而平行四边形不具有的特征为（ ）A ．对边平行且相等B ．对角线互相垂直且平分一组对角C ．对角线互相平分D ．是中心对称图形【变式1-1】矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A ．对角相等 B ．对角线相等 C ．对角线垂直 D ．对角线平分对角【变式1-2】（2014杭州中考-5） 下列命题中，正确的是（ ）A ．梯形的对角线相等B ．菱形的对角线不相等C ．矩形的对角线不能相互垂直D ．平行四边形的对角线可以互相垂直【变式1-3】（2015•台州）如图，在菱形ABCD 中，AB=8，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE=AF ，过点E 作EG ∥AD 交CD 于点G ，过点F 作FH ∥AB 交BC 于点H ，EG 与FH 交于点O ．当四边形AEOF 与四边形CGOH 的周长之差为12时，AE 的值为（ ） A ．6.5 B ．6 C ．5.5 D ．5B A DCPQ A ′变式4-1 变式4-2变式1-2【变式1-4】（2016•丽水）如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，延长BD 至G ，使得DG=BD ，连结EG ，FG ，若AE=DE ，则ABEG=________． 【变式1-5】（2015西湖区一模-13）已知：如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，对角线BD= 4，t an 12CBD ∠=. 则AB= ，sin ∠ABE= .【例2】（2016杭州中考-14） 在菱形ABCD 中，∠A =30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE , 则∠EBC 的度数为 .【变式2-1】（2012杭州中考-15）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm ，体积为150cm 3，则这个棱柱的下底面积为 cm 2；若该棱柱侧面 展开图的面积为200cm 2，记底面菱形的顶点依次为A ，B ，C ，D ，AE 是BC 边上的高，则CE的长为 cm ．【变式2-2】（2016•哈尔滨-2017/六月滨江区三模-15）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=120°，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，△BEF 与△GEF 关于直线EF 对称，点B 的对称点是点G ，且点G 在边AD 上．若EG ⊥AC ，AB=26， 则FG 的长为_________．【例3】（2011•黄冈模拟）如图，若菱形OABC 的顶点O 为坐标原点，点C 在x 轴上，直线y=x 经过点A ，菱形面积是2，则经过B 点的反比例函数表达式为（ ）A ．xy 1= B ．x y 2= C ．x y 21+= D ． x y 221+=【变式3-1】（2016•盘龙区一模）变式1-4变式1-5 ABCE D例3变式3-1变式2-2如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（-3，4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数xky（x ＜0）的图象经过顶点B ，则k 的值为____________．【例4】如图，在口ABCD 中，AE ，CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是（ ）A ．AE=AFB ．EF ⊥AC C ．∠B=60°D ．AC 是∠EAF 的平分线【变式4-1】如图，在▱ABCD 中，O 为BD 的中点，过O 作两条互相垂直的直线，分别交四边形ABCD 于E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是菱形．【变式4-2】（2016滨江区一模-22）在Rt △ABC 中，点D 为斜边AB 的中点，P 为AC 边一动点，△BDP 沿着PD 所在的直线对折，点B 的对应点为E ． （1）若BC=5，AC=12，PD ⊥AB ，求AP 的长； （2）当AD=PE 时，求证：四边形BDEP 为菱形；（3）若BC=5，∠A=30°，P 点从C 点运动到A 点，在这个过程中，求E 点所经过的路径长．【变式4-3】（2014•杭州中考-22）例4 变式4-1 变式4-2菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=43，BD=4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP=x．（1）用含x的代数式分别表示S1，S2；（2）若S1=S2，求x的值．变式4-3【变式4-4】（2015拱墅区一模-23）菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，动点P在线段AC上从点A向点C运动，过P作PE∥AD，交AB于点E，过P作PF∥AB，交AD于点F，四边形QHCK与四边形PEAF关于直线BD对称. 设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，AP＝x：（1）对角线AC的长为；S菱形ABCD＝；（2）用含x的代数式表示S1；（3）设点P在移动过程中所得两个四边形PEAF与QHCK的重叠部分面积为S2，当S2＝21S菱形ABCD时，求x的值．变式4-4【变式4-5】（2016西湖区一模-23）设k≠0，若函数y1=（x﹣k）2+2k和y2=﹣（x+k）2﹣2k的图象与y轴依次交于A，B两点，函数y1，y2的图象的顶点分别为C，D．（1）当k=1时，请在同一直角坐标系中，分别画出函数y1，y2的草图，并根据图象．写出y1，y2两图象的位置关系；（2）当﹣2＜k＜0时，求线段AB长的取值范围；（3）A，B，C，D四点构成的图形是否为平行四边形？若是平行四边形，则是否构成菱形或矩形？若能构成菱形或矩第5-1题图形，请直接写出k 的值．【例5】如图所示，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，F 是AC 上一个动点，则EF ＋ BF 的最小值是 。
初三复习四边形讲义
中考四边形辅导讲义教学目标1.会识别平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形；2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念、性质和判定；3.会利用平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的知识解决相关问题重点、难点2010年中考将继续考查多边形的内、外角和公式的应用，其中菱形、矩形、正方形的性质与判别将是考查的重点，关注特殊四边形与函数类问题结合的题型。
将继续考查梯形有关的计算与证明，其中等腰梯形的性质与判别方法的应用是考查的重点。
教学内容12[快乐热身]1、 凸五边形的内角和等于______度，外角和等于______度。
若一凸多边形的内角和等于它的外角和， 则它的边数是_______.2、顺次连结平行四边形的各边中点所得的四边形是 。
顺次连结矩形各边中点所得的四边形是 。
顺次连结菱形的各边中点所得的四边形是 。
顺次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 。
3、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 中点，且BE 平分∠ABC 。
求证：AB ＝AD ＋BC 。
1．四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°.3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形⇒ 4.平行四边形的判定：是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫.5.矩形的性质： 因为ABCD 是矩形⇒6. 矩形的判定： ⎪⎭⎪⎬⎫+边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321⇒四边形ABCD 是矩形. A DECB A BD OCA BD OCA D BC AD B C OA DB CA DBC OA B CD 1234⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（⎪⎩⎪⎨⎧.3;2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（3。
第十八章四边形章节复习辅导讲义
第十八章、四边形章节复习辅导讲义一、四边形知识框架： 1.四边形的知识结构 2.平行四边形的知识结构 二、四边形1. 定义：有不在同一直线上的四条首尾依次连接的线段构成的封闭图形。
2. 四边形的表示：四边形一般由依次的四个大写的字母表示，如四边形ABCD 等。
3. 四边形的分类：（1） 按照四边形的凹凸性将四边形分为凸四边形和凹四边形。
注意：中学阶段学习的四边形都是凸四边形。
（2） 按照四边形对边的平行性将四边形分为： ① 一般四边形：任何对边都不平行的四边形。
② 梯形：只有一组对边平行的四边形； A. 梯形分类： a ．一般的梯形b ．等腰梯形：一组对边平行，另一组对边相等的四边形。
c. 直角梯形：有一个内角为直角的梯形。
（3） 平行四边形：两组对边分别平行的四边形。
① 平行四边形的分类： A. 一般的平行四边形 B. 矩形（长方形）：有一个较为直角的平行四边形。
C. 菱形：邻边相等的平行四边形。
D. 正方形：四条边都相等，四个内角也相等的四边形。
4. 四边形的内角和与外角和： （1） 四边形的内角和为360度 （2） 四边形的外角和为360度。
5. 四边形的性质：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形【基础练习】1. 顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_______四边形． 2．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_________．3. 如图1，已知：在ABCD 中，AB=4cm ，AD=7cm ，∠ABC 的平分线交AD•于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF=______cm ．4. 如图，四边形ABCD 为正方形，△ADE 为等边三角形，AC 为正方形ABCD 的对角线，则∠EAC ＝___度．5. 四边形ABCD 的对角线AC BD ，的长分别为m n ，，可以证明当AC BD ⊥时（如图1），四边形ABCD 的面积12S mn =，那么当AC BD ，所夹的锐角为θ时（如图2），四边形ABCD 的面积S = ．（用含m n θ，，的式子表示）1250°1 2A BC DB F C6.在如图所示的四边形中，若去掉一个50的角得到一个五边形，则12+=∠∠ 度．7.如图，已知AC 平分BAD ∠，12∠=∠，3AB DC ==， 则BC = ． 8.已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．三、平行四边形（一） 平行四边形：1. 定义：两组对边分别平行的四边形。
中考数学一轮复习精品讲义 四边形 人教新课标版
第十九章四边形本章小结小结1 本章概述本章通过学习平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质及判定，了解它们之间的关系，并能灵活运用它们的性质和判定解决一些计算问题和实际问题.同时，本章探索并了解了有关三角形中位线、梯形中位线的相关知识．小结2 本章学习重难点【本章重点】掌握并会灵活运用平行四边形的定义、性质及判定；会灵活应用平行四边形及特殊平行四边形的相关知识解决一些简单的实际问题；掌握梯形及等腰梯形的定义、性质及判定，并会灵活运用；理解并掌握三角形中位线、梯形中位线的定义及性质，会应用它们解决一些计算及实际问题.【本章难点】掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质及判定条件，以及它们之间存在的联系与区别，会应用三角形中位线、梯形中位线解决一些简单问题.【学习本章应注意的问题】通过设立问题情境，主动探索和自觉总结四边形的相关性质，掌握四边形的性质；同时要熟识几种特殊四边形的判定，掌握转化思想在本章中的应用，如将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来解决.小结3 中考透视中考关于四边形的考题大多结合三角形知识进行考查，而平行四边形的性质是证明两条直线平行、线段相等及角相等的依据.另外关于平行四边形的面积及周长、对称性也常出现在中考题中，这类题有填空题、选择题、计算题和证明题，深刻理解和牢记多边形、平行四边形的性质和判定是关键和前提．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质【专题解读】围绕平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质进行命题.例1 下列说法错误的是 ( )A.平行四边形的对角相等B.等腰梯形的对角线相等C.两条对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直的四边形是菱形分析 由平行四边形、矩形、等腰梯形的性质可以发现A ，B ，C 都是正确的.D 不正确，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，还可能是正方形或等腰梯形.答案：D【解题策略】对角线互相垂直的四边形不一定对角线互相平分.例2 如图19-125所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为BC 的中点，设△DEA的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，则1S 与2S 的关系为 .分析 由E 为BC 的中点，延长DE 与AB 的延长线交于点F ，由CD ∥AB ，得C EBF ∠=∠，又因为,,CED BEF CE BE ∠=∠=所以△CED ≌△BEF ，所以DE =EF ，所以S 菱形ABCD= S △DAF .由等底等高的三角形面积相等，得1S = S △AFE =212S ，即1212S S =或122S S =. 答案：1212S S =（或122S S =） 【解题策略】根据三角形面积公式，当同底三角形的高相等式相同时，可以考虑由底的关系确定三角形的面积之间的关系.例3如图19-126所示，ABCD 是正方形，G 是BC 上一点，DE AG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F .（1）求证△ABF ≌△DAE ；（2）求证DE EF FB =+.分析 （1）根据正方形的性质证明全等的条件.（2）由全等和,D E A F A E B F==，则问题可证. 证明：（1）在正方形ABCD 中， ,90AB AD BAD =∠=∴1290∠+∠=.∵,DE AG ⊥∴2390∠+∠=，∴13∠=∠.又∵,BF AG ⊥∴90,AFB DEA ∠=∠=∴△ABF ≌△DAE （AAS ）.（2）由（1）可知△ABF ≌△DAE ，∴,,DE AF BF AE ==∴,DE AF AE EF BF EF ==+=+即DE EF FB =+.专题2 平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质之间的区别与联系【专题解读】 围绕平行四边形（含特殊的平行四边形）的判定与性质综合应用命题.例4 如图19-127所示，将一张矩形纸片ABCD 沿着GF 折叠（F 在BC 边上，不与B ，C 重合），使得C 点落在矩形ABCD 的内部点E 处，FH 平分BFE ∠，则GFH ∠的度数a 满足 （ ）A.90°＜a ＜180°B.a =90°C.0°＜a ＜90°D.a 随关折痕位置的变化而变化分析 利用矩形的性质和三角形全等的性质解答本题.由△GCF ≌△GEF 得GFC EFG ∠=∠，又有EFH BFH ∠=∠，所以118090,2GFH ∠=⨯=所以90a =. 答案：B例5 如果菱形的一条对角线长是12㎝，面积是302cm ，那么这个菱形的另一条对角线长为 ㎝. 分析 由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半表示，故另一条对角线的长为302512⨯=（㎝）. 答案：5例6 如图19-128所示，ABCD 的周长为16㎝，AC ，BD 相交于点O ，OE AC ⊥，交AD 于点E ，则的△DCE 周长为 （ ）A.4㎝B.6㎝C.8㎝D.10㎝分析 因为ABCD 的周长为16㎝，,,AD BC AB CD ==所以11682AD CD +=⨯=（㎝），因为O 为AC 的中点，又因为OE AC ⊥于点O ，所以AE EC =，所以△DCE 的周长为8DC DE CE DC DE AE DC AD ++=++=+=（㎝）. 答案：C二、规律方法专题专题3 构造中位线解决线段的倍分关系【专题解读】 题目中涉及12或2倍关系时，常常考虑构造中位线. 例7 四边形ABCD 为平行四边形，,AD a BE =∥AC ，DE 交AC 的延长线于F 点，交BE 于E 点.（1）求证;DF FE =（2）若2,60,,AC FC ADC AC DC =∠=⊥求BE 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED 的面积.证明：（1）如图19-129所示，延长DC 交BE 于点M ，∵BE ∥AC ，AB ∥DC ，∴四边形ABMC 是平行四边形.∴,CM AB DC ==∴C 为DM 的中点.∵BE ∥AC ，∴CF 是△DME 的中位线，∴DF FE =.解：（2）由（1）得CF 是△DME 的中位线，故2ME CF =.又∵2,AC CF =∴ME AC =.∵四边形ABMC 是平行四边形，∴BM AC =.∴222BE BM ME AC ===.又∵,60AC DC ADC ⊥∠=，∴在Rt △ADC 中，利用勾股定理得AC =.∴BE =. （3）可将四边形ABED 的面积分为梯形ABMD 和三角形DME 两部分.在Rt △ADC 中利用勾股定理得2a DC =. 由CF 为△DME 的中位线得2a CM DC ==. ∴22a a DM OC CM a =+=+=.由四边形ABMC 是平行四边形得,2a AB MC BM AC ====.∴梯形ABMD 的面积为2122a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由AC DC ⊥和BE ∥AC ，得三角形DME 是直角三角形，其面积为12a =∴四边形ABED 2+=. 专题4 构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题【专题解读】 利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段相等、角相等的问题.例8 如图19-130所示，在ABCD 中，2,AB BC M =是DC 的中点，,BE AD ⊥E 是垂足，求证3EMC DEM ∠=∠.分析 添加辅助线MN ，交BE 于F .N 为AB 中点，由已知条件证得DEM EMN ∠=∠.由三角形中位数性质证得,,BF EF MF BE =⊥则1EMF ∠=∠，又由四边形BCMN 是菱形，证得12∠=∠，从而结论得证.证明：取AB 的中点N ，连接MN ，MB .MN 交EB 于F .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB DC .又M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以DM AN ，MC NB ，即四边形ANMD 和四边形MNBC 都是平行四边形.所以DEM EMF ∠=∠.因为N 是AB 中点，NF ∥AE ，所以F 是BE 的中点.又BE AD ⊥，所以,1MF BE EMF ⊥∠=∠，因为MC=BC ，所以BCMN 是菱形，所以12∠=∠，即123EMC EMF DEM ∠=∠+∠+∠=∠.【解题策略】证明角的和、差、倍、分关系时，应依据题目的背景经观察分析后适当添加辅助线，把较大角分割成若干较小角，最终归结到证明两个角相等的途径上以解决问题.本题添加辅助线MN ，MB 后，利用菱形对角线性质及等腰三角形三线合一的性质证明有关角相等，从而解决问题.专题5 有关四边形的性质与判定的开方探索题【专题解读】 这类题分为条件开放、结论开放、条件和结论双开放三种类型.例9 如图19-131所示，在ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于点M ，N .给出下列结论：①△ABM ≌△CDN ；②1;3AM AC =③2;DN NF =④S △AMB 12= S △ABC .其中正确的结论是 . （只填序号）∵E ，F 分析 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD ，∴,BAM DCN ∠=∠又分别是AD ，BC 的中点，∴DE BF ，∴四边表BEDF 是平行四边形，∴,EBF EDF ∠=∠∵,ABC ADC ∠=∠∴,ABE CDF ∠=∠∴△ABM ≌△CDN .∴①正确.由BEDF 可得,BED BFD ∠=∠∴.AEM NFC ∠=∠又∵AD ∥BC ，∴,EAM NCF ∠=∠又,AE CF =∴△AME ≌△CNF ，∴AM CN =.由FN ∥BM ，FC =BF ，得CN =MN ，∴1,.3CM MN AM AM AC ===∴②正确.∵1,3AM AC =∴S △AMB 13= S △ABC .∴④不正确.FN 为△BMC 的中位线，2,BM NF =△ABM ≌△CDN ，则,BM DN =∴2DN NF =.∴③正确.答案：①②③专题6 动手操作题【专题解读】 这类题的特点是根据给出的图形，需要通过裁剪、平移、旋转等方法才能得到题中要求的图形和结论.例10 某市要在一块块形状为平行四边形ABCD 的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是ABCD 面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求其分别在ABCD 的四条边上，请你设计两种方案.方案（一）：如图19-132（1）所示，两个出入口E ，F 已确定，请在图（1）上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法.方案（二）：如图19-132（2）所示，一个出入口M 已确定，请在图（2）上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.解：方案（一） 画法1：①过F 作FH ∥AB ，交AD 于点H .②在DC 上作取一点G ，连接,,,,EF FG GH HE 则四边形EFGH 就是所要画的四边形，如图19-133（1）所示.画法2：①过F 作FH ∥AB ，交AD 于点H .②过E 作EG ∥AD ，交DC 于点G ，连接,,,,EF FG GH HE 则四边形EFGH 就是所要画的四边形，如图19-133（2）所示.画法3：①在AD 上取一点H ，使DH CF =.②在CD 上任取一点G ，连接EF ,,,,FG GH HE 则四边形EFGH 就是所要画的四边形，如图19-133（3）所示.方案（二） 画法：①过M 点作MP ∥AB ，交AD 于点P .②在AB 上取一点Q ，连接PQ .③过M 作MN ∥PQ ，交DC 于点N ，连接QM ，PN ，则四边形QMNP 就是所要画的梯形，如图19-133（4）所示.三、思想方法专题专题7 转化思想【专题解读】 本章中转化思想主要是将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来处理.例11 如图19-134所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90,25,24,C AB BC ∠===将该梯形折叠，点A 恰好与点D 重合，BE 为折痕，那么AD 的长度为 .分析 ∵BD 是AB 沿BE 折叠得到的，∴25,BD AB ==∵90C ∠=，∴7CD ==.过点D 作,DF AB ⊥垂足为F .∵DC ∥AB ，∴24,7,D F B C F B D C ====∵18,AF AB FB =-=∴AD =.答案：30【解题策略】在梯形中求线段的长，常作梯形的高为辅助线，使其转化为矩形和直角三角形，化整为零，化陌生为熟悉，这是处理梯形问题常见的转化方法.专题8 方程思想【专题解读】 本章主要体现在通过方程（组）、不等式（组）恒等变形等式代数方法解决有关图形计算的问题.例12 已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1：3，求它们的边数分别是多少. 分析 先设某一个多边形的边数为x ，由多边表的内角和公式(2)180n -∙列出关于x 的一元一次方程，求解即可.解：设其中边数较少的多边形边数是x ，则另一个多边形边数是3x ，由题意得(2)180(32)1801440x x -∙+-∙=，解得3,39x x ==.答：它们的边数分别为3和9. 2011中考真题精选1. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF=DE ．连接BF 、CD 、AC ．（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；（2）如果DE 2=BE•CE，求证四边形ABFC 是矩形．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）连接BD ，利用等腰梯形的性质得到AC=BD ，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB ，从而得到AC=BF ，然后证得AC ∥BF ，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形．解答：证明：（1）连接BD ，∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∴AC=BD ，∠ACB=∠DBC∵DE ⊥BC ，EF=DE ，∴BD=BF ，∠DBC=∠FBC ，∴AC=BF ，∠ACB=∠CBF∴AC ∥BF ，∴四边形ABFC 是平行四边形；（2）∵DE 2=BE•CE∴ ， ∵∠DEB=∠DEC=90°，∴△BDE ∽△DEC∴∠BDC=∠BFC=90°，∴四边形ABFC 是矩形．点评：本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大．2. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝ 60°，DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ．求证：DE ＝12BE ． ED C B A考点：菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，线段的倍分关系专题：四边形分析：思路一：易知四边形ACED 是平行四边形，则AD ＝CE ＝BC ，从而可知BC ＝12BE ，要说明DE ＝12BE ，只需说明DE ＝BC 即可．思路二：连接BD ，先证∠BDE ＝90°，再证∠DBE ＝30°，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可直接获得结论（自己完成证明过程）．解答：∵ABCD 是菱形，∴AD //BC ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ．又∵∠ABC ＝ 60°，∴BC ＝AC ＝AD ．∵DE ∥AC∴ACED 为平行四边形．∴CE ＝AD ＝BC ，DE ＝AC ．∴DE ＝CE ＝BC ，∴DE ＝12BE ． 点评：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，而平行四边形的对边相等，由此可以得出相等的线段，可实现线段的等量代换（转移），这就为证明线段相等或倍、分关系创造了条件．图53. （2010重庆，24，10分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB =45°，CD =2，BD ⊥CD ．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，点G 为BC 中点，连接EG 、AF ．（1）求EG 的长；（2）求证：CF =AB +AF ．考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理分析：（1）根据BD ⊥CD ，∠DCB =45°，得到∠DBC =∠DCB ，求出BD =CD =2，根据勾股定理求出BC，根据CE ⊥BE ，点G 为BC 的中点即可求出EG ；（2）在线段CF 上截取CH =BA ，连接DH ，根据BD ⊥CD ，BE ⊥CD ，推出∠EBF =∠DCF ，证出△ABD ≌△HCD ，得到AD =BD ，∠ADB =∠HDC ，根据AD ∥BC ，得到∠ADB =∠DBC =45°，推出∠ADB =∠HDB ，证出△ADF ≌△HDF ，即可得到答案． 解答：（1）解：∵BD ⊥CD ，∠DCB =45°，∴∠DBC =45°=∠DCB ，∴BD =CD =2，在Rt △BDC 中BC，∵CE ⊥BE ，点G 为BC 的中点，∴EG =12BC． 答：EG．（2）证明：在线段CF 上截取CH =BA ，连接DH ，∵BD ⊥CD ，BE ⊥CE ，∴∠EBF +∠EFB =90°，∠DFC +∠DCF =90°，∵∠EFB =∠DFC ，∴∠EBF =∠DCF ，∵DB =CD ，BA =CH ，∴△ABD ≌△HCD ，∴AD =DH ，∠ADB =∠HDC ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC =45°，∴∠HDC =45°，∴∠HDB =∠BDC ﹣∠HDC =45°，∴∠ADB =∠HDB ， AB E G CD F24题答图 A B E GC DF24题图∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，∴CF=AB+AF．点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．4.（2011•泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．考点：相似三角形的判定；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质。
中考四边形综合复习课件
例1：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至 E，延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交 E AD于G. G A 求证：∠E=∠F 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 B H F C
D
∴
AB∥ = CD
∵ BE=DF ∴
∠E=∠F
∴ AE∥ = CF
∴ 四边形AFCE是平行四边形
二、选择题 1、能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是( ) A、AB∥CD AD=BC B、∠A=∠B ∠C=∠D C、AB=CD AD=BC D、AB=AD CB=CD 2、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A、对角线互相平分 B、对角线平分一组对角 C、对角线相等 D、对角线互相垂直 3、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形（ ） A.等腰梯形 B.正方形 C..矩形 D.菱形 4、下列命题中，是真命题的是( ) A.有两边相等的平行四边形是菱形 B.有一个角是直角的 四边形是矩形 C.四个角相等的菱形是正方形 D.两条对角线互相垂直且 相等的四边形是正方形
平行四边形
互相平分
平行且相等
矩形
菱形
平行 且四边相等 平行 且四边相等 两底平行 两腰相等
都是直角 对角相等
邻角互补 四个角 都是直角 同一底上
互相平分且相等
互相垂直平分，且每一 条对角线平分一组对角
《四边形中考复习》课件
四边形中考复习PPT课件 导言
• 介绍课程目的和安排 • 简要介绍四边形的概念
矩形
定义与性质
介绍矩形的定义和基本性质
周长和面积公式
探讨矩形的周长和面积计算 方法
角度和对角线
讲解矩形的角度和对角线的 特点 Nhomakorabea平行四边形
1
定义与性质
介绍平行四边形的定义和基本性质
周长和面积公式
2
探讨平行四边形的周长和面积计算方法
3
高度和对角线
讲解平行四边形的高度和对角线的特点
菱形
定义与性质
介绍菱形的定义和基本性质
周长和面积公式
探讨菱形的周长和面积计算方法
对角线和角度
讲解菱形的对角线和角度的特点
梯形
1 定义与性质
介绍梯形的定义和基本性 质
2 周长和面积公式
探讨梯形的周长和面积计 算方法
3 高度和中线
讲解梯形的高度和中线的 特点
总结
1
复习四种四边形的定义、性质和
公式
常见四边形的应用实例
2
加深对四边形知识的理解和掌握
展示四边形在实际问题中的应用
3
准备好中考
提醒学生及时复习巩固知识，为中考做 好准备
演示文稿中考总复习四边形好课件
四边形的概念是建立在三角形的基础上，是知识的扩展 与深化，研究它的性质，常常是将四边形转化成若干三角形( 即三角形奠基法)，通过三角形的性质来研究，或者是运用作辅助线
将四边形转化成三角形和平行四边形来讨论。至于矩形、菱形、正方 形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。它们的判定方法也是在平 行四边形的基础上增加一些特定的条件。平行四边形的有关定理是证 明两线段相等、两角相等、两直线平行或垂直的重要依据。
2.在同一底上的两角相等的梯形
第5页，共18页。
四、其他重要定理
1. 四边形的内角和等于 2. n 边形的内角和等于
360°外. 角和等于
( n – 2 ) . 180°.
360°.
3. 任意多边形的外角和等于
360°.
4. 关于中心对称的两个图形的性质：
（1）是全等形； （2）对称点的连线都经过对称中心并且被对称中心平分。
DM
∴CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm
又∵AC⊥BD， ∴AC⊥AM，
∴AC=
1 2
CM=7cm
∵AH⊥CD，∠ACD=60°
∴AH=AC·sin60°=
7 2
√3(cm)
第16页，共18页。
本节主要复习各种四边形，重点是平行四边形（包括 各种特殊的平行四边形）的有关知识 及其应用。要求同学们在应用有关知识时要注意它们之间 的联系与区别。另外还要特别注意学会分析问题，注重归 纳解题思维方向。
中心对称图形
轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形
轴对称图形
等腰梯形
两底平行
两腰相等
同一底上 的角相等
相等
轴对称图形
中考数学专题《四边形》复习课件(共13张PPT)
一般的平行四边形
菱形
四 边
平行四边形 特 殊 的 平行四边形
一般梯形
矩形 正方形
形梯
形
等腰梯形
特殊梯形 直角梯形
一般四边形
D
C 文字语言叙述
几何符号表述
O
①两组对边互相平行 在 ABCD中
A B ②两组对边分别相等
平 性质 ③一组对边平行且相等
行
④两组对角分别相等
四
⑤对角线互相平分
边
①两组对边分别平行的
又∵AF=CE
∴AE=CF
∴EO=FO
∴四边形BEDF是平行四边形
∴ BE=DF， BE∥DF
典例2 如图1，2所示，将一张长方形的纸片 对折两次后，沿图3中的虚线AB剪下， 将△AOB完全展开． (1)画出展开图形，判断其形状， 并证明你的结论；
(2)若按上述步骤操作，展开图形 是正方形时，请写出△AOB应满足的条件．
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A E
o
F
D
B
C
B
C
证法1：∵四边形ABCD是平行四 边形
∴BC=AD，∠1=∠2 在△BCE与△DAF中
BC=AD
证法2： 连接BD，交AC于点O， 连接DE,BF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=OD, AO=CO
∠1=∠2 CE=AF ∴ △BCE≌△DAF ∴BE=DF， ∠3=∠4 ∴BE∥DF
且MA=NC，问BM和DN存在 怎样的关系？说明理由。 证明：
BM// DN，连接BD 交AC于O，连接BN、DM。
∵AB C// D，∴四边形ABCD是平行四边形 ∴OB=OD，OA=OC， ∵MA=NC
四边形中考复习课件
对于不规则四边形，可以通过测量其所有边的长 度来计算周长。
3
周长与形状关系
四边形的周长与其形状有关，不同形比较
面积与周长的关系
在某些情况下，四边形的面积和周长之间可能存在一定的关系， 例如等腰梯形的面积等于其周长的一半减去一条腰的长度。
比较方法
03
长
四边形的面积计算
面积公式
四边形的面积可以通过其底和高 来计算，公式为面积 = (底 × 高)
÷ 2。
面积计算方法
对于不规则四边形，可以通过分 割成三角形或平行四边形来计算
面积。
面积与形状关系
四边形的面积与其形状有关，但 不同形状的四边形可能具有相同
的面积。
四边形的周长计算
1 2
周长公式
四边形的周长是其所有边的长度之和。公式为周 长 = 边长1 + 边长2 + 边长3 + 边长4。
02
平行四边形的判定
定义法
推论法
两组对边分别平行的四边形是平行四 边形。
对角线互相平分的四边形是平行四边 形。
定理法
一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形。
矩形的判定
定义法
所有角都是直角的四边形是矩形 。
定理法
一组对边平行且相等的四边形是矩 形。
推论法
对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的判定
三角形和四边形在面积和周长的计算上有一些共同点，但也有一些不同之处，例 如三角形的面积公式是基底乘高除以2，而四边形的面积公式则比较复杂，需要 考虑对角线等因素。
四边形与多边形的关系
多边形是由至少三条直线段围成的封闭平面图形，四边形是 多边形的一种特殊情况，即四个内角都小于180度的多边形 。
中考复习课件 四边形总复习
顺次连接菱形各边中点所得的四边形是 矩形 ______ 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是 菱形 ______ 请你说说把具有什么特点的四边形的各 边中点连接起来能得到正方形 正方形呢 边中点连接起来能得到正方形呢？
二、填空题（三） 填空题（ 相 等 1.两条对角线 两条对角线 的平行 四边形是矩形。 四边形是矩形。 2.两条对角线 互相平分且相等 的四边 两条对角线 形是矩形。 形是矩形。 互相垂直 3.两条对角线 两条对角线 的平行 四边形是菱形。 四边形是菱形。 互相垂直平分 的四边 4.两条对角线 两条对角线 形是菱形。 形是菱形。 互相垂直 5.两条对角线 两条对角线 的矩形 是正方形。 是正方形。
平行且相等
平行四边形
互相平分
中心对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形
平行且相等
矩形
互相平分且相等 互相垂直平分， 互相垂直平分，且四边相等 两底平行 两腰相等
正方形
轴对称图形 互相垂直平分且相等， 互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 一条对角线平分一组对角 轴对称图形 相等 轴对称图形
甲 乙 （图一） 乙
甲
（图二）
A
甲
D F
甲 乙 （图四）
B
乙
E
C
（图三）
（二）证明：作AE⊥BC,AF⊥CD 则AE=AF ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠B = ∠D ∴ Rt⊿ABE ≌Rt ⊿ADF ∴ AB=AD ∴ 平行四边形ABCD为菱形。
3、用两个全等的三角形按不同的方法拼 成四边形， 这些拼出的四边形中， 成四边形，在 这些拼出的四边形中， 平行四边形最多有（ 平行四边形最多有（ C ） Ａ．１ Ｂ．２ Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３ Ｄ．４ Ｃ．３个 Ｄ．４个
中考总复习：四边形综合复习--知识讲解(提高)
中考总复习：四边形综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.3.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件.5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.【知识网络】【考点梳理】考点一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°； (2)推论：四边形的外角和是360°.考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2. 平行四边形及特殊的平行四边形的判定【要点诠释】面积公式：S 菱形 =21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）考点三、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底. (2)不平行的两边叫做梯形的腰. (3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等； (2)等腰梯形同一底上的两个底角相等. (3)等腰梯形的对角线相等. 5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； (3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式： S=(a+b)h(a 、b 是梯形的上、下底，h 是梯形的高).【要点诠释】解决四边形问题常用的方法（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决． （3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题. 考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n 种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件： ①n 个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n 个正多边形的边长相等，或其中一个或n 个正多边形的边长是另一个或n 个正多边形的边长的整数倍.【典型例题】类型一、特殊的四边形1.如图所示，已知P 、R 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD上的点，E 、F 分别是PA 、PR 的中点，点P 在BC 上从B 向C 移动，点R 不动，那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定ABCD EF PR【思路点拨】此题的考点是矩形的性质；三角形中位线定理． 【答案】C.【解析】点R 固定不变，点P 在BC 上从B 向C 移动，在这个过程中△APR 的AR 边不变，EF 是△APR 的中位线，EF＝12AR，所以EF的长不变．【总结升华】本题考查矩形的性质及三角形中位线定理，难度适中，根据中位线定理得出EF=12AR是解题的突破口．2.（2015•绵阳模拟）正方形ABCD中，P为AB边上任一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且DE=EF，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．（1）求证：△AEG是等腰直角三角形；（2）求证：AG+CG=；（3）若AB=2，P为AB的中点，求BF的长．【思路点拨】（1）由条件可以得出∠AFD=∠PAE，再由直角三角形的性质两锐角互余及角平分线的性质就可以得出2∠GAP+2∠PAE=90°，从而求出结论；（2）如图2，作CH⊥DP，交DP于H点，可以得出△ADE≌△DCH根据全等三角形的性质就可以得出△GHC是等腰直角三角形，由其性质就可以得出CG=GH，AG=EG，再根据线段转化就看以得出结论；（3）如图3，延长DF，CB交于点K，根据正方形的性质可以得出△ADP≌△BKP，再由勾股定理就可以得出F是KG的中点，由三角形的中位线的性质就可以求出结论．【答案与解析】（1）证明：如图1，∵DE=EF，AE⊥DP，∴AF=AD，∴∠AFD=∠ADF，∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，∴∠AFD=∠PAE，∵AG平分∠BAF，∴∠FAG=∠GAP．∵∠AFD+∠FAE=90°，∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°∴2∠GAP+2∠PAE=90°，即∠GAE=45°，∴△AGE为等腰直角三角形；（2）证明：如图2，作CH⊥DP，交DP于H点，∴∠DHC=90°．∵AE⊥DP，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠DHC．∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，∴∠ADE=∠DCH．∵在△ADE和△DCH中，，∴△ADE≌△DCH（AAS），∴CH=DE，DH=AE=EG．∴EH+EG=EH+HD，即GH=ED，∴GH=CH．∴CG=GH．∵AG=EG，∴AG=DH，∴CG+AG=GH+HD，∴CG+AG=（GH+HD），即CG+AG=DG；（3）如图3，延长DF，CB交于点K，∵P是AB的中点，∴AP=BP=1．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠DAB=∠ABC=∠ABK=90°．∵在△ADP和△BKP中，∴△ADP≌△BKP（ASA），∴AD=KB=BC=2．在Rt△ADP中由勾股定理，得PD=，∴AE=PA•AD，∴AE=，DE=，∴EG=，DF=，∴FG=．在Rt△KCD中，由勾股定理，得KD=2，∴KF=，∴KF=FG，∵KB=BC，∴FB∥CG，BF=CG，∴BF=•CH=DE=．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，三角形的中位线的判定及性质的运用，解答时合理运用全等是重点，运用三角形的中位线的性质求解是难点．举一反三：【变式】如图，E是正方形ABCD外的一点，连接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，点F在DE上，连接AF，BE=DF．（1）求证：△ADF≌△ABE；（2）小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=2AE．请你说明理由．【答案】证明：（1）∵四边形正ABCD是正方形，∴AB=AD，∵在△ADF和△ABE中，AD ABADF EBADF BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△ABE；（2）理由如下：由（1）有△ADF≌△ABE，∴AF=AE，∠1=∠2，在正方形ABCD中，∠BAD=90°，∴∠BAF+∠3=90°，∴∠BAF+∠4=90°，∴∠EAF=90°，∴△EAF是等腰直角三角形，∴EF2=AE2+AF2，∴EF2=2AE2，【高清课堂：四边形综合复习 例2】3．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8，34tan =∠CAD ，CA=CD ，E 、F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC=∠ACB ，设DE=x ，CF=y. （1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式；（3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值.【思路点拨】本题涉及到的考点有相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；直角梯形；锐角三角函数的定义． 【答案与解析】③当CE=CF时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE，此时点F与点A重合，故点E与点D也重合，不合题意，舍去．综上，当△EFC为等腰三角形时，x=2或x=11 3．【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、直角梯形及锐角三角形函数的定义等知识；应用相似的性质，得到比例式，借助比例式解题是很重要的方法，做题时注意应用，对于等腰三角形问题要注意分类讨论也是比较重要的，注意掌握．举一反三：【变式】在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF.⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明.⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积.【答案】（1）平行四边形；（2）△BEF≌△CDF或（△AFB≌△EBC≌△EFC）证明：连接DE，∵AB=2CD，E为AB中点，∴DC=EB，又∵DC∥EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形BCDE为矩形，120DF EF CDF BEF DC BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△BEF ≌△CDF（SAS ）． （3）若CD=2，则AD=4， ∵∠A=60°，类型二、四边形与其他知识的综合运用4. 有矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，AF=23，求DE的长；（2）如果折痕FG分别与CD、DA交于点F、G，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.【高清课堂：四边形综合复习例3】5．（2015•黄岛区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t为何值时，DE∥AB？（2）求四边形BQPC的面积s与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形BQPC的面积与Rt△ABC的面积比为13：15？若存在，求t的值．若不存在，请说明理由；（4）若DE经过点C，试求t的值．【思路点拨】（1）根据DE∥AB，得到△AQP∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，求出t；（2）根据四边形BQPC的面积=△ABC的面积﹣△AQP的面积，列出关于x、y的函数关系式；（3）根据（2）中的函数关系式和面积比，求出t；（4）DE经过点C，作QH⊥BC于H，得到DH∥AC，用t表示出QH、EH，根据垂直平分线的性质和勾股定理列出关系式求出t．【答案与解析】解：（1）当DE∥AB时，∠AQP=90°，则△AQP∽△ACB，=，=，t=；（2）∠C=90°，AC=3，AB=5，根据勾股定理得，BC=4，S△ABC=×3×4=6，作QF⊥BC于F，则QF∥BC，=，即=，QF=t，S△AQP=×（3﹣t）×t=﹣t2+t，S=6﹣（﹣t2+t）=t2﹣t+6；（3）（t2﹣t+6）：6=13：15，整理得，t2﹣3t+2=0解得：t1=1，t2=3（舍去）；当t=1时，四边形BQPC的面积与Rt△ABC的面积比为13：15；（4）如图，DE经过点C，作QH⊥BC于H，∵DH∥AC，∴==，=，QH=，=，BH=，HC=t，∵DE垂直平分PQ，∴PC=CQ，（）2+（t）2=t2，90t=225，t=．【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意方程思想的正确运用．6 .如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转а度得到四边形OAB'C'，此时直线OA’、直线B’C’分别与直线BC相交于点P、Q.（1）四边形OABC的现状是，当а=90°时，BP：PQ的值是；（2）①如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在y轴正半轴时，求BP：BQ的值；②如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在直线BC上时，求△OPB'的面积；（3）在四边形OA’B’C’旋转过程中，当0＜а°≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=0.5BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（1）根据有一个角是直角的平行四边形进行判断当α=90°时，就是长与宽的比；（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；②根据勾股定理求得PB′的长，再根据三角形的面积公式进行计算．【答案与解析】（1）四边形OA′B′C′的形状是矩形；根据题意即是矩形的长与宽的比，即43．（2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，∴△COP∽△A′OB′．∴CPA B''=OCOA'，即6CP=68，∴CP=92，BP=BC-CP=72．同理△B′CQ∽△B′C′O，∴CQC O'=B CB C'''，即6CQ=1068-，∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪'∠=∠=︒⎨⎪''=⎩，（3）举一反三：【变式】如图，直角梯形ABCD 中，BC AD ∥，90BCD ∠=°，且2tan 2CD AD ABC =∠=，，过点D 作AB DE ∥，交BCD∠的平分线于点E ，连接BE ．（1）求证：BC CD =；（2）将BCE △绕点C ，顺时针旋转90°得到DCG △，连接EG.．求证：CD 垂直平分EG. （3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．ADGECB。
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初三讲义（编制时间2017.3.23）学科数学学生课次制作人蒋明桂课题名称四边形上课时间教学目标 1、多边形的有关概念 2、平行四边形的性质 3、平行四边形的判定教学重难点重难点：。
知识点回顾考点一多边形的有关概念考点二平行四边形的性质考点三平行四边形的判定谁的本领大一天，三角形和四边形相遇了。
他们先自我介绍。
一个说：“我是由三条线段围成的。
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，统称为三角形。
”另一个说：“我是由四条线段围成的，正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形，还有各种不规则的四边形，统称为四边形。
”三角形提议说：“我们来比一比谁的本领大？”四边形胸有成竹地回答：“那就比一比吧！”三角形“蹦、蹦”几下跳到一块石头旁边，一下子把几十千克重的大石头顶到头上，稳稳当当地站着。
四边形眼红了。
他扭动着身子走上前说：“让我也来试试。
”只见他举起石块，可慢慢地变了。
由正方形变成没有四个直角的平行四边形。
他把石头摔到地上，叹了口气说：“我输了。
”三角形洋洋得意说：“我是几何图形中的举重能手。
我有一个特点是不变形，可以负担重量。
如房屋上的人字梁、自行车的三角架，人们就是用的这个原理。
”三角形的话提醒了四边形，他说：“我四边形容易变形也有我的好处，商店活动铁门的铁栅由许多菱形联结而成，可以伸缩，便于开关。
”三角形想想这倒也是，但他还不泄气，他对四边形说：“我和你如果是同样周长，看谁的面积大？”四边形说：“好呗！”马上变成一个正方形。
三角形的面积怎么也没有四边形大。
四边形笑着说：“我只是变成正方形的时候，面积才比你大，如果变成长方形、平行四边形、梯形等等，也不一定比你大，有时还小得可怜，甚至接近于零。
”三角形听了以后说：“我们各有各的本领，再不要乱比谁的本领大了。
”例题精讲考点一多边形的有关概念【例1】（2016温州中考-7）六边形的内角和是（）A．540°B．720°C．900°D．1080°已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【变式1-2】一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为1800°，则原多边形边数为【变式1-3】从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的4/9，那么此n边形的内角和．【变式1-4】若一个多边形的每个外角都是锐角，则这个多边形的边数不小于（）A.3B.4C.5D.6【变式1-5】（2016秋•兴隆县期中）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．（1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n，若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．【变式1-6】（2015下城区一模-19）在A，B，C，D四张卡片上分别用一句话描述了一个图形，依次为：108的正多边形；A：内角和等于外角和的一半的正多边形；B：一个内角为36的多边形．C：对角线互相平分且相等的四边形；D：每个外角都是（1）依次说出这四张卡片上描述的图形名称；（2）从这四张卡片中任取两张，描述的图形都既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是多少（利用树状图或列表来求解）？【例2】已知正六边形的外接圆半径为R，那么这个正六边形的边长为（）A．R B．2R C．2R D．3R【变式2-1】已知圆内接正六边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则a：R：r=（）变式2-2A ．1：1：3B ．2：2：3C ．1：2：3D ．1：2：3【变式2-2】（2016•太原一模）如图，已知正五边形ABCDE ，AF ∥CD ，交DB 的延长线于点F ，则∠DFA=_________度．【变式2-3】如图，点M 为正五边形ABCDE 的边BC 上一点，CMBM=2，连结AM ，作∠AMN=108°，MN 交CD 于点N ，则DNCN的值为_____________.【变式2-4】（2015杭州中考-9）如图，已知点A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．考点二 平行四边形的性质【例1】 （2016春•宜宾期末）如图，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD ，己知∠AEB=63°，则∠D 的度数为（ ） A ．63° B ．72° C ．54° D ．60°【变式1-1】（2013杭州中考-3）在□ABCD 中，下列结论一定正确的是 （ ）A. AC ⊥BDB. ∠A+∠B=180°C. AB=ADD. ∠A ≠∠C【变式1-2】（2015•安徽）在四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C ，点E 在边AB 上，∠AED=60°，则一定有（ ） A ．∠ADE=20° B ．∠ADE=30° C ．∠ADE=21∠ADC D ．∠ADE=31∠ADC 【变式1-3】（2012杭州中考-4）已知平行四边形ABCD 中，∠B =4∠A ，则∠C = （ ） A ．18° B ．36° C ．72° D ．144° 【变式1-4】（2015拱墅区二模-10）已知□ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是BC 的中点，作AE ⊥CD ，垂足E 在线段CD 上，连结EF 、AF ，下列结论：①2∠BAF变式2-3例1变式2-4变式1-1＝∠BAD ；②EF ＝AF ；③S △ABF ≤S △AEF ；④∠BFE ＝3∠CEF .中一定成立的是（ ） A ．①②④ B ．①③ C ．②③④ D ．①②③④【变式1-5】（2012•阜新）如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使EF =AD ，那么平行四边形ABCD 应满足的条件是（ ） A ． ∠ABC =60° B ． A B ：BC =1：4C ． A B ：BC =5：2D ． A B ：BC =5：8【变式1-6】已知平行四边形ABCD 中，∠B 与∠C 的平分线分别交直线AD 于E,F ，AB=a,BC=b,则EF=___________________________. 【例2】（2016江干区一模-18）如图，在平行四边形ABCD 中将△ABC 沿AC 对折，使点B 落在B′处，AB′和CD 相交于O ，求证：OD=OB′．【变式2-1】（2015上城区一模-20）如图，在□ABCD 中，F 是BC 的中点. 连结AF 并延长，交DC 的延长线于点E . 连接AC ，BE . （1）求证：AB =CE .（2）若∠ABE =90°，问∠AFC 与∠D 存在怎样的数量关系？请说明 理由.【例3】（2016滨江区一模-16）如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，AD ⊥BC 于点D ，点E 在边AB 上运动，过点E 作EF ∥BC 与边AC 交于点F ，连结FD ，以EF 、FD 为邻边作▱EFDG ，当▱EFDG 与△ABC 重叠部分为△ABC 的面积的时，线段EF 的长变式1-5变式2-1例2为 ．【变式3-1】在▱ABCD 中，M ，N 是AD 边上的三等分点，连接BD ，MC 相交于O 点，则S △MOD ：S △COB =______________．【变式3-2】如图，在▱ABCD 中，对角线AC 、BD 相交成的锐角为α，若AC=a ，BD=b ，则▱ABCD 的面积是（ ）A ．21 absin α B ．absin α C ．abcos α D ．21abcos α【变式3-3】（2016杭州中考-23）在线段AB 的同侧作射线AM 和BN ，若∠MAB 与∠NBA 的平分线分别交射线BN ，AM 于点E ，F ,AE 和BF 交于点P .如图，点点同学发现当射线AM ,BN 交于点C ；且∠ACB =60°时，有一下两个结论： ①∠APB =120°；②AF +BE =AB .那么，当AM 平行BN 时：（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给与证明，若不成立，请求出∠APB 的度数，写出AF ，BE ，AB 长度之间的等量关系，并给与证明；（2）设点Q 为线段AE 上一点，QB =5，若AF +BE =16，四边形ABEF 的面积为323，求AQ 的长.【例4】在▱ABCD 中，若A （-2，0），B （6，8），C （8，0），求D 点的坐标．【变式4-1】（2016衢州中考-14）已知直角坐标系内有四个点O （0，0），A （3，0），B （1，1），C （x ，1），若以O ，A ，B ，C 为顶点的四边形是变式3-2例3 PFE M N CBA 变式3-3平行四边形，则x= ．考点三 平行四边形的判定【例1】（2016春•铜山区期中）已知：如图，在▱ABCD 中，点E 、F 在AC 上，且AE=CF ．求证：四边形EBFD 是平行四边形．【变式1-1】（2016绍兴中考-7）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③【变式1-2】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若PE=PF ，且AP+AE=CP+CF ． （1）求证：PA=PC ．（2）若BD=12，AB=15，∠DBA=45°，求四边形ABCD 的面积．【变式1-3】（2016舟山中考-22） 如图1，已知点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH 是平行四边形：（1）如图2，将图1中的点C 移动至与点E 重合的位置，F ，G ，H 仍是BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形CFGH 是平行四边形；（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A ，C ，B 都在格点上，在格点上画出点D ，使点C 与BC ，CD ，DA 的中点F ，G ，H 组成正方形CFGH ； （3）在（2）条件下求出正方形CFGH 的边长．例1 变式1-1【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 的最小值是（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．5【变式2-1】如图所示，在Rt △ABC 中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8，D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，CA 上的点，则DE+EF+FD 的最小值为______________.【变式2-2】（2015•常州模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点（点E 不与点B 重合），沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 长的最小值是____________．【例3】（2009•台州）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，PH=PJ ，PI=PG ，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．例2变式2-1变式 2-2（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P．求证：点P是四边形ABCD的准内点．（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB=PC+PD或PA+PC=PB+PD．（）课后小结家庭作业教师课后赏识评价（反馈学生在课堂的表现，知识接受程度以及家长所需的配合等）在课上老师最赏识的是：在下次课老师最希望你改正的是：。