新人教版高中数学《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》练习题必修四

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人教A版高中数学必修4课后习题第二章 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课后篇巩固探究基础巩固1.下列说法正确的个数为( )①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0. A.1B.2C.3D.4,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选B.2.13[12(2a +8b )-(4a -2b )]等于( )A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b=16(2a+8b)-13(4a-2b)=13a+43b-43a+23b=-a+2b=2b-a.3.在△ABC 中,D 是线段BC 的中点,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AE ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EA⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EA⃗⃗⃗⃗⃗AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ .4.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+5b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2a+8b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),则 ( )A.A,C,D 三点共线B.B,C,D 三点共线C.A,B,C 三点共线D.A,B,D 三点共线BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B, 所以A,B,D 三点共线.5.已知向量a 与b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+mb,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =na+b(m,n ∈R),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的条件是( ) A.m+n=0 B.m-n=0 C.mn+1=0D.mn-1=0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+mb,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =na+b(m,n ∈R)共线,得a+mb=λ(na+b)=λna+λb,∵向量a 与b 不共线,∴{1=λn ,m =λ,即mn-1=0,故选D.6.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-7e,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 的形状是 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-57CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,又知|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 是等腰梯形.7.在四边形ABCD 中,AB ∥CD,AB=3DC,E 为BC 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .128.在△ABC 中,点M 为边AB 的中点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ==12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ ). 又OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴存在实数λ,使OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2OB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x=y=λ2,∴yx=1.9.如图,已知D,E 分别为△ABC 的边AB,AC 的中点,延长CD 到M 使DM=CD,延长BE 至N 使BE=EN,求证:M,A,N 三点共线.D 为MC 的中点,且D 为AB 的中点,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理可证明AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AN ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A. ∴M,A,N 三点共线.10.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求(13a -b)−(a -23b)+(2b-a);(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.原式=13a-b-a+23b+2b-a=(13-1-1)a+(-1+23+2)b=-53a+53b.∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=(-5+103)i+(-103-53)j=-53i-5j.(2)将3x-y=b 两边同乘2,得6x-2y=2b. 与5x+2y=a 相加,得11x=a+2b, ∴x=111a+211b.∴y=3x-b=3(111a +211b)-b=311a-511b.能力提升1.如图,AB 是☉O 的直径,点C,D 是半圆弧AB 的两个三等分点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+bAODC 为菱形,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b.2.已知点P 是△ABC 内的一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),则△ABC 的面积与△PBC 的面积之比为( ) A.2B.3C.32D.6BC 的中点为D,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,如图,过点A 作AE ⊥BC,交BC 于点E,过点P 作PF ⊥BC,交BC 于点F,则|PF ||AE |=|PD ||AD |=13.∴S △ABC S △PBC=12|BC |·|AE |12|BC |·|PF |=3.3.已知OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以23OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是23OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即23AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,故λ=13.4.在平行四边形ABCD 中,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗ ,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中λ,μ∈R,则λ+μ= .,有AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗ )=λ(AD⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ3+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ3+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即{λ3+μ=1,λ+μ2=1,解得{λ=35,μ=45,故λ+μ=75.5.在△ABC 中,点P 是AB 上一点,且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 的中点,AQ 与CP 的交点为M,且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求t 的值.CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴3CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即2CP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴2AP⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即P 为AB 的一个三等分点(靠近点A),如图所示.∵A,M,Q 三点共线,∴设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2CB⃗⃗⃗⃗⃗ +(x-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 又CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x 2-1)AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CP⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x2-1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t (13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴{x 2=t3,x2-1=-t ,解得t=34.6.已知△OBC 中,点A 是线段BC 的中点,点D 是线段OB 的一个三等分点(靠近点B),设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b. (1)用向量a 与b 表示向量OC⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,判断C,D,E 是否共线,并说明理由.∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,点A 是BC 的中点,∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a. ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-a-b. (2)假设存在实数λ,使CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b+35(-b)=a+25b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BO⃗⃗⃗⃗⃗=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2a+13(-a+b)=53a+13b,∴a+25b=λ(53a +13b), ∴{53λ=1,13λ=25,此方程组无解, ∴不存在实数λ,满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ .∴C,D,E 三点不共线.。

高中数学必修4单元配套练习试题2.2.3 向量数乘运算及其几何意义及参考答案解析

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义姓名:___________班级:______________________1.设1e ,2e 是两个不共线的向量,若向量()12k k =-+∈R m e e 与向量212=-n e e 共线,则( )A.0k =B.1k =C.2k =D.12k =2.设a 是任一向量,e 是单位向量,且a e ,则下列表达式中正确的是( ) A.=a e a B.=a a e C.=-a a e D.=±a a e3.已知向量3AB a b =+,53BC a b =+,33CD a b =-+,则( )A.A 、B 、C 三点共线B.A 、B 、D 三点共线C.A 、C 、D 三点共线D.B 、C 、D 三点共线4.设a 是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是( )A.a 的方向a λ的方向相反B.a a -λ≥C.a 与2a λ方向相同D.a a λ=λ5.已知关于x 的方程()3+a x x =,则x =( ) A.32a B.32a - C.23a D.无解 6.如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP mAB AC =+,则实数m 的值为( ) A. 19 B. 13C.1D.37.已知△ABC 的三个顶点A ,B ,C 及平面内一点P ,且PA PB PC AB ++=,则( )A.P 在△ABC 内部B.P 在△ABC 外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上等,0OA =a ,201OA =b ,用a ,b 表示012201...OA OA OA OA ++++,其结果为( )A.()100+a b B.()101+a b C.()201+a b D.()202+a b9.若向量34=-a i j ,54=+b i j ,则()123332⎛⎫-⎛⎫- ++-= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭a b a b b a ________. 10.已知平面内O ,A ,B ,C 四点,其中A ,B ,C 三点共线,且OC xOA yOB =+,则x y +=__________.11.已知点M 是线段AB 上的一点,点P 是任意一点,3255PM PA PB =+, 若AM MB =λ,则λ等于 .12.计算:(1)()()()826222-+-+--+a b c a b c a c ; (2)()()11284232⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦a b a b ; (3)()()()()+--+⋅⋅+m n a b m n a b . 13.已知△OAB 中,点C 是点B 关于点A 的对称点,点D 是线段OB 的一个靠近B 的三等分点,设,AB a AO b ==.(1)用向量a 与b 表示向量OC ,CD ;(2)若45OE OA =,求证:C 、D 、E 三点共线. 14.设P ,Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点.(1)试用向量法证明:PQ AB ; (2)若3AB CD ,求PQ AB的值.参考答案1.D 【解析】当12k =时,1212+=-m e e ,又122=-+n e e ,∴2=n m ,此时m 、n 共线, 故选D.考点:共线定理及其应用.2.D【解析】对于A,当=0a 时,a a没有意义,错误.对于B,C,D,当=0a 时,选项B,C,D 都正确;当≠0a 时,由a e 可知,a 与e 同向或反向,且=a e a ,故B,C 不全面,选D.考点:向量数乘运算的定义.3.B【解析】∵()26232BD BC CD a b a b AB =+=+=+=,∴A 、B 、D 三点共线.故选B. 考点:共线定理及其应用.4.C【解析】对于A,a 与a λ方向相同或相反,因此不正确;对于B,1λ<时,a a -λ<,因此不正确;对于C,因为20λ>,所以a 与2a λ同向,正确;对于D,a λ是实数,a λ是向量,不可能相等.故选C.考点:向量数乘运算的定义.5.B【解析】∵()3+a x x =,∴33a x x +=,∴23x a =-,∴x ＝32a -. 考点:向量数乘运算的定义.6.A【解析】∵点P 在BN 上,则存在实数λ使BP BN λ=.∴()()1AP AB BP AB BN AB AN AB AB AN λλλλ=+=+=+-=-+.∵13AN NC =,∴4AC AN =,∴2899AP mAB AC mAB AN =+=+, ∴1,8,9m λλ-=⎧⎪⎨=⎪⎩解得19m =,故A 正确. 考点:向量的加减法法则,向量数乘运算.7.D【解析】∵PA PB PC AB PB PA ++==-,∴2PC PA =-,∴P 在AC 边上,故选D.考点:共线定理及其应用.8.B【解析】设0201A A 的中点为A ,则A 也是1200100101,A A A A ⋯，的中点, 由向量的中点公式可得02012OA OA OA ++==a b ,同理可得,12002100119019OA OA OA OA OA OA +=++=⋯=+=a b ,故()01220110121...01OA OA OA OA OA =+=+++⨯+a b ,故选B.考点:向量的数乘运算. 9.21633-+i j 【解析】()12111333322233⎛⎫-++-=-⎛--+-=-- ⎪⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a a b a b b a a b ()()4432 345451111163343=--=---+=-++-i j i j i j i j i j . 考点:向量数乘的运算律.10.1【解析】∵A ,B ,C 三点共线,∴存在λ∈R 使AC AB =λ.∴()OC OA OB OA λ-=-,∴()1OC OA OB λλ=-+,∴1x λ=-,y λ=,∴1x y +=.考点:共线定理及其应用. 11.23【解析】∵AM MB =λ,∴()PM PA PB PM PB PM -=λ-=λ-λ,即()1PM PB PA +λ=λ+,∴111PM PB PA λ=++λ+λ, ∵3255PM PA PB =+,∴2,1513,15λ⎧=⎪⎪+λ⎨⎪=⎪+λ⎩解得23λ=. 考点:共线定理及其应用.12.略【解析】(1)原式1688612642=-+-+---a b c a b c a c()()()1664812862--+-++--=a b c64=+a b .(2)原式()()()4113342362-==⎡⎤=+--+-⎣⎦a b a b a b b a . (3)原式()()()()()2=+⋅-+⋅-+⋅-+⋅=-+⋅m n a m n b m n a m n b m n b .考点:向量数乘的运算律.13.见解析【解析】(1)∵,,AB a AO b ==∴OC OA AC a b =+=--,()()11151233333CD CB BD CB BO CB BA AO a a b a b =+=+=++=+-+=+. (2)证明:∵()413.555CE OE OC b a b a b CD =-=-++=+= ∴CE 与CD 平行,又∵CE 与CD 有公共点C ,∴C 、D 、E 三点共线.考点:向量的共线定理.14.(1)见解析(2)13【解析】(1)证明:∵Q 为BD 的中点,∴2CB CD CQ +=,又P 为AC 的中点,∴2CA CP =.∴()222PQ CQ CP CB CD CA CB CD AC AB CD =-=+-=++=+,又向量CD 与AB 共线,∴可设向量CD AB λ=,则()21PQ AB λ=+, ∴12PQ AB λ+=①,又梯形ABCD 中,AB CD ≠,∴1λ≠-, ∴PQ AB ,即PQ AB .(2)∵向量AB 与CD 反向,且3AB CD =,所以3AB CD =-,即13λ=-,代入①式得111323PQ AB AB -==,∴13PQ AB =. 考点:向量的共线定理.。

高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。

£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。

高中数学(人教A版必修4)作业2.2.3向量数乘运算及其几何意义

技能提升作业(十六)1．给出下列四个结论 ①AB →－AC →＝BC →； ②0(a )＝0； ③0(0)＝0；④若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b (k ≠0)，则a ，b 方向相同．其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 ①AB →－AC →＝CB →，∴①错．②0(a )＝0，∴②错． ③0(0)＝0正确．④a 与b 共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错．因此正确的只有③，应选B.答案 B2．下列叙述不正确的是( )A ．若a ，b 共线，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . B. b ＝3a (a 为非零向量)，则a ，b 共线 C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝32a ＋2b ，则m ∥n D ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c解析判断a 与b 共线的方法是：存在实数λ，使a ＝λb .在A 中，若b ＝0时不成立．B 正确．在C 中，m ＝2n ，∴m ∥n ，∴C 正确．D 也正确，所以应选A.答案 A3．下列说法不正确的是( )A ．若AO →＝34OB →，则A ，O ，B 三点共线 B ．若AO →＝34OB →，则AO →∥OB →C ．若|λa |＝|λ||a |(λ∈R )，则λa 与a 方向相同D ．若a ＝4m ＋n ，b ＝m ＋n 则a －b ＝3m 解析 A 、B 、D 正确，C 错．应选C. 答案 C4．若AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →为( )A.43a ＋23b B.23a ＋43b C.23a －23bD ．－23a ＋23b解析如右图所示，设AD 与BE 相交于O ，则AO →＝23AD →，OD →＝13AD →，BO →＝23BE →，OE →＝13BE →.∴BC →＝2BD →＝2(BO →＋OD →)＝2(23BE →＋13AD →)＝43b ＋23a ，应选B. 答案 B5．已知O 是直线AB 外一点，C ，D 是线段AB 的三等分点，且AC ＝CD ＝DB .如果OA →＝3e 1，OB →＝3e 2，那么OD →等于( )A ．e 1＋2e 2 B. 2e 1＋e 2 C.23e 1＋13e 2D.13e 1＋23e 2解析如图所示，OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13OA →＋23OB →＝e 1＋2e 2，应选A.答案 A6．已知|a |＝4，b 与a 的方向相反，且|b |＝2，a ＝m b ，则实数m ＝________.答案－27．若a ，b 为已知向量，且23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，则c ＝________.解析 23(4a －3c )＋3(5c －4b )＝0，83a －2c ＋15c －12b ＝0， ∴13c ＝12b －83a ， ∴c ＝1213b －839a . 答案 1213b －839a 8．有下面四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m ，n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ； ③对于实数m 和向量a ，b ，若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④对于实数m ，n 和非零向量a ，若m a ＝n a ，则m ＝n . 其中真命题有________．解析由实数与向量积的运算知，①、②、④正确．答案 ①②④9．如图所示，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB .DC 与OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.解因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .10．已知：AD →＝3AB →，AE →＝3AC →，且B ，C ，D ，E 不共线．求证：BC ∥DE .证明 ∵AD →＝3AB →，AE →＝3AC →， ∴DE →＝AE →－AD →＝3AC →－3AB → ＝3(AC →－AB →)＝3BC →. ∴BC →与DE →共线．又∵B ，C ，D ，E 不共线． ∴BC ∥DE .教师备课资源1.若5AB →＋3CD →＝0，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形D ．等腰梯形解析由于5AB →＋3CD →＝0知，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴此四边形为梯形．又|AD →|＝|BC →|，∴梯形ABCD 为等腰梯形．答案 D2．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析 ∵CB →＝λP A →＋PB →， ∴CB →－PB →＝λP A →，即CB →＋BP →＝λP A →. ∴CP →＝λP A →.∴C ，P ，A 三点共线． ∴点P 在AC 边所在的直线上．答案 B3．已知向量a ，b 不共线，实数x ，y 满足5x a ＋(8－y )b ＝4x b ＋3(y ＋9)a ，求x ，y .解 ∵a 与b 不共线，根据向量相等得⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＝3y ＋27，8－y ＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－4.∴x ＝3，y ＝－4.4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →解析 ∵2OA →＋OB →＋OC →＝0，而OB →＋OC →＝2OD →，∴2OA →＋2OD →＝0，即OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →.答案 A5．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则表示a ，b ，c 的有向线段能否一定构成三角形？错解在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，再以B 为起点作BC →＝b ，则由向量的三角形法则知，AC →＝a ＋b ，又a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )＝－AC →＝CA →.因此，当a ＋b ＋c ＝0时，表示a ，b ，c 的有向线段一定能构成三角形．错因分析上述解法只考虑了一般情况，而忽视了向量共线的特殊情况．正解 (1)当a ，b 不共线时，即为上述解法，这时表示a ，b ，c 的有向线段一定能构成三角形．(2)当a ，b 共线时，由a ＋b ＋c ＝0知，c ＝－(a ＋b )．显然c 也与a ，b 共线，这时表示a ，b ，c 的有向线段不能构成三角形．综上知，若非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则表示a ，b ，c 的有向线段不一定能构成三角形．。

高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：2.2.3向量数乘运算及其几何意义

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.2.3 向量数乘运算及其几何意义班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．已知和点满足，若存在实数使得成立，则等于 A.2B.3C.4D.52．已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则．3．在△ABC 中，若，，则λ=A.B.C.D.4．已知向量a,b 不共线,c=ka+b(k ∈R),d=a-b.如果c ∥d,那么____.A.k=1且c 与d 同向B.k=1且c 与d 反向C.k=-1且c 与d 同向D.k=-1且c 与d 反向 5．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2； ③ED FE +；④FA ED -2中，等价的有 A.1个B.2个C.3个D.4个6．已知向量且向量向量向量则一定是共线的三点是A.BCDB.ABCC.ABDD.ACD7．已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,若=a,=b,用a,b表示向量,则=.8．如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=.能力提升1．如图,在△ABC中,=,=2,=λ,则实数λ的值为A. B. C. D.2．下列各组向量中a,b共线的有.①a=2e,b=-2e; ②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;③a=4e1-e2,b=e1-e2; ④a=e1+e2,b=2e1-2e2.2.2.3 向量数乘运算及其几何意义详细答案【基础过关】 1．B【解析】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理.由＝知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则＝，所以有＝，故m=3，故选B. 2．【解析】本题考查平面向量共线的条件.因为与共线，所以；解得.3．B【解析】如图所示，()2,,=3212.333CD CA AD AD AB AB CB CA CD CA CB CA CA CB =+=-∴=+-=+，又1=3CD CA CB λ+，23λ∴=.故选B. 4．D【解析】本题主要考查向量平行、向量的加、减法、数乘及平面向量基本定理. ∵c ∥d,∴c=λd,即ka+b=λ(a -b),∴,故选D.5．D【解析】本题考查向量相等和加法法则.设正六边形的中心为O，AC+=++，BC=+=CDECAEBDECEC+2+=2，AC==+，FE=FDEDFEFDAC+EOFOFEBC=DC==+2，因此四个向量相等.ED=-2=+AOFAABACAFAB6．C【解析】本题主要考查向量的共线的判断，，所以ABD为共线的7．2a-b【解析】=-,=-,∵2+=0,∴2(-)+(-)=0,∴=2-=2a-b.8．2【解析】本题主要考查平面向量的运算,意在考查数形结合的思想.+==2,故λ=2.【备注】技巧点拨：利用向量加法的平行四边形法则,数形结合即可解决.【能力提升】1．D【解析】∵=,∴=(+),又∵=2,∴=,∴=λ=(+)=+.∵B,P,N三点共线,∴+=1,得λ=.【备注】本题主要考查平面向量的有关概念及运算.2．①②③【解析】①中,a=-b;②中,b=-2e1+2e2=-2(e1-e2)=-2a;③中,a=4e1-e2=4(e1-e2)=4b; ④中,当e1,e2不共线时,a≠λb.故填①②③.。

高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义课时提升卷新人教A版必修4 (1)

向量数乘运算及其几何意义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分，共30分)1.下列说法中正确的是( )A.λa与a的方向不是相同就是相反B.若a，b共线，则b=λaC.若|b|=2|a|，则b=±2aD.若b=±2a，则|b|=2|a|2.将[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为( )A.2a-bB.2b-aC.a-bD.b-a3.(2013·牡丹江高一检测)已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且=a，=b且满足=，则= ( )A.b-3aB.-a+bC.a+bD.-a-b4.已知e1≠0，λ∈R，a=e1+λe2，b=2e1，则a与b共线的条件是( )A.λ=0B.e2=0C.e1∥e2D.e1∥e2或λ=05.若非零且不共线的向量a，b满足|a-b|=|b|，则( )A.|2b|>|a-2b|B.|2b|<|a-2b|C.|2a|>|2a-b|D.|2a|<|2a-b|二、填空题(每小题8分，共24分)6.已知=，若=λ，则λ等于.7.已知e1，e2是不共线的向量，下列向量a，b共线的有(填序号).①a=e1，b=-2e2；②a=e1-3e2，b=-2e1+6e2；③a=3e1-e2，b=2e1-e2；④a=e1+e2，b=e1-3e2.8.若=t(t∈R)，O为平面上任意一点，则= (用，表示).三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.计算：(1)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).(2)-a+b+a.10.如图在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设=a，=b，试用a，b表示向量，.11.(能力挑战题)设a，b，c为非零向量，其中任意两个向量不共线.已知(a+b)∥c，(b+c)∥a，试判断b与a+c是否共线？证明你的结论.答案解析1.【解析】选D.A.错误.当λ=0时，此说法不正确；B.错误.当a=0，b≠0时，不存在实数λ使b=λa；C.错误.若|b|=2|a|，则b与a未必共线；D.正确.若b=±2a，则|b|=2|a|.2.【解析】选B.[2(2a+8b)-4(4a-2b)]=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=2b-a.【变式备选】已知a=b+c，化简3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)= ( ) A.a B.bC.cD.以上都不对【解析】选D.3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c=a-2(b+c)=a-2a=-a.3.【解析】选B.如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以=-=-a，所以=-=-a-b.因为=，所以==-(a+b).又因为=-=b-a，所以=+=b-a-(a+b)=-a+b.4.【解析】选D.(1)当e1∥e2时，a=e1+λe2.不妨设e1=μe2，μ∈R，所以a=(λ+μ)e2，b=2μe2，故a与b共线.(2)当e1与e2不共线时，设a=μb，μ∈R，则e1+λe2=2μe1，即(1-2μ)e1+λe2=0，所以即所以a与b共线的条件是λ=0，综上知a与b共线的条件是e1∥e2或λ=0.5.【解析】选A.设=a，=b，则=a-b，且OB=AB，再作=b，连接AC，则=a-2b，AB=OB=BC.在△ABC中，由于AB+BC>CA，即|b|+|b|>|a-2b|，所以|2b|>|a-2b|，作=a，连接BD，则=-=2a-b，在△ABD中，由于BA+AD>BD，所以|b|+|a|>|2a-b|.又|a|与|b|的大小不确定，故|2a|与|2a-b|的大小不确定.【误区警示】对向量线性运算的几何意义由于理解不透致误.在进行向量的线性运算时易忽略向量的加、减法的几何意义，不能把向量的线性运算与几何意义相结合.6.【解析】如图所示，因为=，所以点P在线段P1P2上，且=，所以与反向，且=，所以=-，故λ=-.答案：-7.【解析】因为e1，e2是不共线的向量，所以e1，e2都不是零向量.①若a与b共线，由于a=e1≠0，所以存在实数λ，使b=λa，即-2e2=λe1，所以e2=-e1，于是e1，e2共线，这与已知矛盾.所以a与b不共线.②因为b=-2e1+6e2=-2(e1-3e2)=-2a，所以a与b共线.③因为b=2e1-e2=(3e1-e2)=a，所以a与b共线.④若a与b共线，则存在实数λ∈R，使a=λb，即e1+e2=λ(e1-3e2)所以(1-λ)e1+(1+3λ)e2=0.因为e1，e2是不共线向量，所以所以λ不存在，所以a与b不共线.答案：②③8.【解题指南】首先利用向量减法的几何意义将和用，，表示，然后通过“移项”和数乘向量的运算律用，表示出.【解析】=t，-=t(-)，=+t-t=(1-t)+t.答案：(1-t)+t9.【解析】(1)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c=(6-4+4)a+(-6+8)b+(6-4-2)c=6a+2b.(2)原式=a+b-a-b-a-b-a=a+b=a.10.【解析】因为=+=a，=+=b，所以解得：=a-b，=b-a.11.【解题指南】首先引入实数λ，μ把共线向量用等式表示，然后用待定系数法确定λ，μ，确定a+c 与b是否共线.【解析】b与a+c共线.证明如下：因为(a+b)∥c，所以存在实数λ，使a+b=λc(c≠0). ①因为(b+c)∥a，所以存在实数μ，使b+c=μa(a≠0). ②①-②得a-c=λc-μa，所以(1+μ)a=(1+λ)c.又因为a与c不共线，所以1+λ=1+μ=0，所以λ=μ=-1，所以a+b=-c，即a+c=-b，所以b与a+c共线.。

高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义习题1新人教A版必修4

12. 如图， ABCD为一个四边形， E、 F、 G、H分别为 BD、 AB、 AC和 CD
与 CD不平行．又 A→D＝ A→B＋ B→C＋ C→D＝－ 8a－ 2b，显然 A→D＝2B→C. 所以 AD∥ BC. 所以四边形 ABCD
为梯形．故应选 A.
答案： A
10. 如图，在△
ABC中， D，E分别在
AB，AC上，
AD 且AB＝
AE 1 AC＝3，则
D→E
＝______→BC.
AD AE 1 解析：∵ AB＝ AC＝3，∠ A＝∠ A，
3x－ 2y＝a，① (2)
－ 4x＋ 3y＝ b，②
①× 4＋②× 3，得 (12 x－ 8y) ＋ ( － 12x＋ 9y) ＝ 4a＋ 3b，
1
1
即 y＝ 4a＋ 3b，代入①式，得 x＝ ( a＋2y) ＝ ( a＋ 8a＋ 6b)
3
3
＝ 3a＋ 2b，
∴ x＝ 3a＋ 2b， y＝4a＋ 3b.
∴△ ADE∽△ ABC.
DE 1 ∴ BC＝ 3.
又 D→E与 B→C同向，∴
D→E＝ 13B→C.
1 答案： 3 11．已知向量 a，b. (1) 计算： 6a－ [4 a－ b－ 5(2 a－ 3b)] ＋ ( a＋ 7b) ；
3
(2) 把满足 3x－ 2y＝ a，－ 4x＋ 3y＝ b 的向量 x，y 用 a， b 表示出来．解： (1) 原式＝ 6a－ (4 a－b－ 10a＋ 15b) ＋ a＋ 7b ＝ 6a－ ( － 6a＋ 14b) ＋ a＋ 7b ＝ 6a＋ 6a－ 14b＋a＋ 7b＝ 13a－ 7b.
解析： A→P＝ tA→B，
O→P－ O→A＝t ( O→B－ O→A) ， O→P＝ O→A＋tO→B－ tO→A＝ (1 － t ) O→A＋ tO→B. 答案： (1 － t ) →OA＋ t O→B 6．设 a， b 是两个不共线的非零向量，若向量 ________.

高中数学必修四课时作业18：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义基础过关1．将112[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]化简成最简形式为( )A ．2a －bB ．2b －aC ．a －bD ．b －a[解析] 原式＝112(4a ＋16b －16a ＋8b )＝112(24b －12a )＝2b －a ．[答案] B2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．13B ．23C ．12D ．34[解析] ∵A ，B ，D 三点共线， ∴13＋λ＝1，λ＝23． [答案] B3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A ．BC → B ．12AD →C ．AD → D ．12BC →[解析]如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC → ＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →． [答案] C4．如果实数p 和非零向量a 与b 满足p a ＋(p ＋1)b ＝0，则向量a 和b ________(填“共线”或“不共线”)．[解析] 由题知实数p ≠0，则p a ＋(p ＋1)b ＝0可化为a ＝－p ＋1p b ，由向量共线定理可知a ，b 共线．[答案] 共线5．已知在△ABC 中，点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________．[解析] ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3． [答案] 3 6．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b ． (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b － 76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b＝76a ＋12b －76a －12b ＝0． (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c )＝6a ＋2b ．7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，求MN →(用a ，b 表示)．解法一如图所示，在▱ABCD 中，连接AC 交BD 于O 点，则O 平分AC 和BD ． ∵AN →＝3NC →，∴NC →＝14AC →，∴N 为OC 的中点，又M 为BC 的中点，∴MN 綉12BO ，∴MN →＝12BO →＝14BD →＝14(b －a )．法二 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a )．能力提升8．已知△ABC 三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在的直线上D ．P 在线段AC 上[解析] P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →，∴PC →＝－2P A →， ∴P 在AC 边上． [答案] D9．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A ．14a ＋12bB ．13a ＋23bC ．12a ＋14bD ．23a ＋13b[解析] ∵△DEF ∽△BEA ，∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ，∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →．∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ，联立得：AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b ．[答案] D10．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________．[解析] 由题意可知存在实数λ，使k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )，即k a ＋2b ＝8λa ＋kλb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，kλ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4，当k ＝4时，k a ＋2b 与8a ＋k b 方向相同，不合题意，故k ＝－4． [答案] －411．如图所示，设M ，N 为△ABC 内的两点，且AM →＝14AB →＋13AC →，AN →＝25AB →＋12AC →，则△ABM 的面积与△ABN 的面积之比为________．[解析] 如图所示，设AP →＝14AB →，AQ →＝13AC →，则AM →＝AP →＋AQ →．由平行四边形法则知，MQ ∥AB ， ∴S △ABM S △ABC ＝|AQ →||AC →|＝13．同理S △ABN S △ABC ＝12.∴S △ABM S △ABN ＝23．[答案] 2∶312．如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD ．求证：M ，N ，C 三点共线.证明设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量减法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b ．又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ， ∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b＝13a －23b ＝23⎝⎛⎭⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →的公共点为C ，∴C ，M ，N 三点共线．创新突破13．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论．解 b 与a ＋c 共线．证明如下： ∵a ＋b 与c 共线，∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①∵b＋c与a共线，∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.②由①－②得，a－c＝λc－μa．∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c．又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0．∴a＋c＝－b．故a＋c与b共线．。

人教版高中数学必修4练习向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、基础过关1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝122．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、DD ．A 、C 、D3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则 ( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上4．在△ABC 中，点D 在直线CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →＋sAC →，则r －s 等于( )A ．0B.45C.83D ．35．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝_________. 6. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______.(填写正确的序号)①－BC →＋12BA →；②－BC →－12BA →；③BC →－12BA →；④BC →＋12BA →.7. 如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．8. 如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，试用a ，b 表示MN →. 二、能力提升9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．510．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)． 12．两个非零向量a 、b 不共线．(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线．三、探究与拓展13. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD上，且BN ＝13BD .求证：M 、N 、C 三点共线.答案1．D 2.C 3.D 4.C 5.421a －17b ＋17c 6.①7．证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点．∴FG →＝12BC →.同理，EH →＝12BC →.∴FG →＝EH →.∴四边形EFGH 为平行四边形．8. MN →＝14(b －a ) 9.B 10．B 11.12a ＋14b ＋14c12．(1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →，∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线， ∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )． ∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2. 13．证明设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量减法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC→＝12a －b . 又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ， ∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b＝13a －23b ＝23⎝⎛⎭⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN→与CM→的公共点为C，∴C、M、N三点共线．。

2020-2021高中数学必修4作业：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

2.2.3[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b解析：原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b . 答案：D2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( )A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →解析：如图，AC →＝3AB →，所以BC →＝2AB →. 答案：D3．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3C ．－1或4D ．3或4解析：因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m，解得m ＝－1或m ＝3.答案：A 4.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( )A ．a ＋34b∴|λ|＝35，即λ＝±35.答案：±35三、解答题(每小题10分，共20分) 9．计算 (1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a .解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b .(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0.10．已知E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.解析：如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线，所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b . 在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )． [能力提升](20分钟，40分)11．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A.答案：A12．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.解析：直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →)＝AB →＋3AC →－3AD →，AC →＝－12AB →＋32AD →，则m＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2. 答案：－213．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．解析：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍，即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．14．如图所示，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，A ，D ，E 三点共线，求证：存在一个实数λ，使得AE →＝λ(AB →＋AC →)．。

高中数学2.2.3向量数乘运算及其几何意义评估训练新人教A版必修4

高中新课程数学（新课标人教A 版）必修四《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》评估训练双基达标限时20分钟1．下列说法正确的是( )．A ．2a 与a 不能相等B ．|2a |>|a |C ．2a ∥aD ．|2a |≠1 解析若a ＝0，则A ，B 不成立，若|a |＝12，则D 不成立．答案 C2．化简4(a －b )－3(a ＋b )－b ＝( )．A ．a －2bB ．aC ．a －6bD ．a －8b解析 4(a －b )－3(a ＋b )－b ＝(4－3)a －(4＋3＋1)b ＝a －8b .答案 D3．设a 、b 为不共线的非零向量，AB →＝2a ＋3b ，BC →＝－8a －2b ，CD →＝－6a －4b ，那么( )与BC →同向，且|AD →|>|BC →|与BC →同向，且|AD →|<|BC →|与BC →反向，且|AD →|>|BC →|∥BC →解析 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(2a ＋3b )＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ＝32(－8a －2b )＝32BC →.故选A. 答案 A4．若|a |＝3，向量b 与a 反向，且|b |＝2，则a ＝________b .解析 ∵b 与a 反向，∴由共线向量定理知a ＝－32b . 答案－325．已知AD →＝23AB →，AE →＝23AC →，则DE →＝________BC →. 解析 DE →＝DA →＋AE →＝－AD →＋AE →＝－23AB →＋23AC →＝23(AC →－AB →)＝23BC →. 答案 236．已知▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，对角线AC ，BD 交于点O ，用a ，b 表示OA →，BO →.解 OA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )， BO →＝12BD →＝12(AD →－AB →)＝12(b －a )．综合提高限时25分钟7．已知点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →等于( )． BC →BC → C ．－23BC → D ．－32BC → 解析 AC →＝35AB →⇒AB →＝53AC →. ∴AB →＝53AC →＝AC →－BC →，∴AC →＝－32BC →.答案 D8．已知向量a ，b ，若AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则必然共线的三点是( )．A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D解析因为AD →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b ＝3AB →，可见A 、B 、D 三点共线；因为AC →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＝－4a ＋8b ，所以A 、B 、C 三点不共线；因为BD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ，可见B 、C 、D 三点不共线；因为AC →＝－4a ＋8b ，AD →＝3a ＋6b .可见A 、C 、D 三点不共线．故选A.答案 A9．已知a ≠0，λ∈R ，下列叙述正确的序号是________．①λa ∥a ；②λa 与a 方向相同；③a|a |是单位向量；④若|λa |>|a |，则λ>1. 解析 ∵a ≠0，∴必有λa ∥a ，a |a |是单位向量，故①、③正确；对于②，当λ>0时，λa 与a 同向，而λ<0时，λa 与a 反向；对于④，由|λa |>|a |⇒|λ|·|a |>|a |⇒|λ|>1⇒λ>1或λ<－1，故②、④错误．答案 ①③10．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x ＝________. 解析由2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，得 72x －23a ＋12b －12c ＝0， ∴x ＝421a －17b ＋17c .答案 421a －17b ＋17c 11．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解 ∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ，∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2，∴⎩⎨⎧ λk ＝2λ＝－1， ∴⎩⎨⎧k ＝－2λ＝－1，∴k ＝－2. 12．(创新拓展)在△ABC 中，已知CD DA ＝AE EB ＝12，设BC →＝a ，CA →＝b . 求证：DE →＝13(b －a )．证明 ∵CD DA ＝AE EB ＝12，∴DA →＝23CA →＝23b ， AE →＝13AB →＝13(AC →＋CB →)＝13(－a －b ) ＝－13a －13b . ∴DE →＝DA →＋AE →＝23b －13a －13b ＝13b －13a ＝13(b －a )．。

人教A版高中数学必修四 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义测试(学生版)

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义（检测学生版）时间:40分钟总分：60分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．已知λ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．|λa |＝λ|a |B ．|λa |＝|λ|aC ．|λa |＝|λ||a |D ．|λa |>02．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线3．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12BA → 4．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ的值等于( )A.r R B ．－r R C ．－R r D.R r5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AF →＝( )A.13a ＋bB.12a ＋b C ．a ＋13b D ．a ＋12b 6．如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于点F .设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a＋y b ，则(x ，y )为( )A.⎝⎛⎭⎫12，12B.⎝⎛⎭⎫23，23C.⎝⎛⎭⎫13，13D.⎝⎛⎭⎫23，12二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．已知x ，y 是实数，向量a ，b 不共线，若(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0，则x ＝________，y ＝________.8．下面三个命题：①非零向量a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②向量a 与b 共线，则存在唯一实数λ，使a ＝λb ；③若a ＝λb ，则a 与b 共线．正确命题的序号为：________.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．设两个非零向量e 1与e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)．(1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线． 10.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值．。

高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时训练新人教版必修4

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义课时训练新人教版必修4一、选择题1．点C 在线段AB 上，且AC →＝35A B →，则AC →等于( )A.23 B C →B.32 B C → C ．－23B C →D ．－32B C →【解析】 ∵AC →＝35A B →，∴B C →＝－25A B →，∴AC →＝－32B C →.【答案】 D 2．下面四个说法①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m 、n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝m a －n a ； ③对于实数m 和向量a 、b ，若m a ＝m b ，则a ＝b ； ④对于实数m 、n 和向量a ，若m a ＝n a ，则m ＝n . 其中正确的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个【解析】由向量数乘运算律知①②均正确，对于③，若m ＝0，m a ＝m b 成立，此时a ，b 任意，未必有a ＝b ，故③错；对于④，若a ＝0，m a ＝n a 成立，此时m ，n 任意，未必有m＝n ，故④错误．【答案】 C3．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →， ∴BD →与AB →共线，∴A 、B 、D 三点共线．【答案】 A4．(2013·泉州高一检测)点P 满足向量OP →＝2OA →－OB →，则点P 与AB 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 延长线上 C ．点P 在线段AB 反向延长线上 D ．点P 在直线AB 外【解析】 ∵OP →＝2OA →－OB →，∴OP →－OA →＝OA →－OB →， ∴AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 反向延长线上，故应选C. 【答案】 C5．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23 B ．－23C.25D.13【解析】由题意知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，② 且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得3CD →＝CA →＋2CB →. ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.【答案】 A 二、填空题6．已知|a |＝6，b 与a 的方向相反，且|b |＝3，a ＝m b ，则实数m ＝__________. 【解析】|a ||b |＝63＝2， ∴|a |＝2|b |，又a 与b 的方向相反， ∴a ＝－2b ，∴m ＝－2.【答案】－27．(2013·黄冈高一检测)已知点M 是△ABC 的重心，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.【解析】如图，AD →＝32AM →，而AB →＋AC →＝2AD →，故AB →＋AC →＝2×32AM →＝3AM →，∴m ＝3.【答案】 38. 如图所示，O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面内不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA→＋λ(AB→|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．图2－2－19【解析】设AB →|AB →|＝AD →，AC →|AC →|＝AE →，则AD →与AE →分别为单位向量，以它们为邻边作▱ADFE ，则它为菱形．∴AF 在∠BAC 的平分线上．∴AP →＝OP →－OA →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)＝λAF →.∴AP →与AF →共线．∴点P 的轨迹一定过△ABC 的内心．【答案】内三、解答题9．(2013·宁德高一检测)在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，求MN→(用a ，b 表示)．【解】法一如图所示▱ABCD 中，连接AC 交BD 于O 点，则O 平分AC 和BD . ∵AN →＝3NC →， ∴NC →＝14AC →，∴N 为OC 的中点，又M 为BC 的中点， ∴MN 綊12BO ，∴MN →＝12BO →＝14BD →＝14(b －a )．法二 MN →＝AN →－AM →＝34AC →－12(AC →＋AB →)＝14AC →－12AB →＝14(a ＋b )－12a ＝14(b －a )． 10．(2013·绍兴高一检测)设a ，b 是两个不共线的非零向量，记OA →＝a ，OB →＝t b (t ∈R )，OC →＝13(a ＋b )，那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？【解】 ∵OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AB →＝OB →－OA →＝t b －a ， AC →＝OC →－OA →＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a ，∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →，即t b －a ＝λ(13b －23a )．由于a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝13λ，－1＝－23λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，A 、B 、C 三点共线．11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.图2－2－20【证明】 ∵点P 在直线AB 上， ∴AP →∥AB →，设AP →＝xAB →，∵AP →＝OP →－OA →，AB →＝OB →－OA →， ∴OP →－OA →＝x (OB →－OA →)， ∴OP →＝(1－x )OA →＋xOB →. 又OP →＝λOA →＋μOB →， ∴λ＝1－x ，μ＝x ， ∴λ＋μ＝1. 【教师备课资源】1．与三角形的外心、垂心、重心等有关问题的向量解法【典例】如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.【思路探究】作直径BD ，连接DA 、DC ，根据四边形AHCD 是平行四边形求解．【证明】作直径BD ，连接DA 、DC ，则OB →＝－OD →，DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC .∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形． ∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.1．解决本题的关键是作出直径BD ，进而得到四边形AHCD 是平行四边形．2．解决此类问题首先要明确三角形的外心、重心、垂心的含义，其次要注意利用几何图形的性质解题．已知G 为△ABC 内一点，若GA →＋GB →＋GC →＝0，求证：G 是△ABC 的重心．【证明】如图，由GA →＋GB →＋GC →＝0 知GA →＝－(GB →＋GC →)．以GB →，GC →为邻边作▱BGCD ，则GD →＝GB →＋GC →，即GD →＝－GA →.而在▱BGCD 中，BC 与GD 相交于E ，且EC →＝BE →，ED →＝GE →，则AE 是△ABC 中BC 边上的中线．又因为|GA →|＝2|GE →|，所以G 为△ABC 的重心． 2．知识拓展平面上三点共线问题的向量解法方法一：对于平面内任意三点A ，B ，C ，若存在一个实数λ，使得AB →＝λAC →(或AB →＝λBC →或AC →＝λBC →)，则根据共线向量基本定理，可知AB →，AC →共线(或AB →，BC →共线或AC →，BC →共线)，又由于它们具有公共点A (或B 或C )，则可知A ，B ，C 三点共线．方法二：对于平面内任意三点A ，B ，C ，O 为不同于A ，B ，C 的任意一点，若OC →＝λOA →＋μOB →，实数λ，μ满足λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线．证明方法如下：由λ＋μ＝1可得λ＝1－μ，代入OC →＝λOA →＋μOB →中可得OC →＝(1－μ)OA →＋μOB →，即OC →－OA →＝μ(OB →－OA →)，也即AC →＝μAB →，从而A ，B ，C 三点共线.。

高中数学必修四课时作业2：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、基础达标1．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( )A ．k ＝0B ．k ＝1C ．k ＝2D ．k ＝12[答案] D[解析] 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2. ∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线．2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．B 、C 、D B ．A 、B 、C C ．A 、B 、D D ．A 、C 、D[答案] C[解析] ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A 、B 、D 三点共线．3．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB→＋PC →＝AB →，则( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边上或其延长线上D ．P 在AC 边上[答案] D[解析] P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →，∴P 在AC 边上．4．在△ABC 中，如果AD 、BE 分别为BC 、AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC→为 ( )A.23a ＋43bB.23a －23bC.23a －43b D ．－23a ＋43b[答案] A[解析] 由题意，得BC→＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →.解得BC →＝23a ＋43b . 5．向量a 、b 共线的有( )①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2. A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④[答案] A6．(2013·四川理)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________. [答案] 2[解析] 因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，所以AB →＋AD →＝AC →，又O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →，因为AB→＋AD →＝λAO →，所以λ＝2.7．如图，ABCD 为一个四边形，E 、F 、G 、H 分别为BD 、AB 、AC 和CD 的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形．证明 ∵F 、G 分别是AB 、AC 的中点． ∴FG→＝12BC →. 同理，EH→＝12BC →.∴FG→＝EH →. ∴四边形EFGH 为平行四边形．二、能力提升8．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( )①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．①④ B ．①② C ．①③ D ．③④[答案] B[解析] ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误． 9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B[解析] ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB→＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 10．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 [答案] B[解析] AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴点P 在AD→上移动．∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．11．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解 ∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2，λ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，λ＝－1， ∴k ＝－2.12．两个非零向量a 、b 不共线．(1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线．(1)证明 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6AB →，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线， ∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )． ∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝± 2. 三、探究与创新13．已知任意两个非零向量a ，b ，作OA→＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．解因为AB→＝OB →－OA →＝(a ＋2b )－(a ＋b )＝b ，AC→＝OC →－OA →＝(a ＋3b )－(a ＋b )＝2b ，故有AC→＝2AB→.因为AC→∥AB→，且有公共点A，所以A、B、C三点共线．。

人教版高中数学必修四 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义作业

[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．平行于同一向量的两个向量是共线向量B ．单位向量都相等C ．a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a ＝λbD ．与非零向量a 相等的向量有无数个解析：选D.若两个向量都与零向量平行，它们可能不共线，所以选项A 不正确；单位向量只是长度相等，方向不确定，故选项B 不正确；“a ∥b ⇔存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ”需在b ≠0的前提下才成立，故选项C 不正确；平移非零向量a ，所得向量都与a 相等，故与非零向量a 相等的向量有无数个．故选D.2．已知e 1，e 2是平面内不共线的两个向量，a ＝2e 1－3e 2，b ＝λe 1＋6e 2，若a ，b 共线，则λ等于( )A ．－9B ．－4C ．4D ．9解析：选B.由a ，b 共线知a ＝m b ，m ∈R ，于是2e 1－3e 2＝m (λe 1＋6e 2)，即(2－mλ)e 1＝(6m ＋3)e 2.由于e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋3＝0，2－mλ＝0，∴λ＝－4.故选B.3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则( ) A.AO →＝2OD → B.AO →＝OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →解析：选B.∵D 为BC 的中点，∴OB →＋OC →＝2OD →，∴2OA →＋2OD →＝0，∴OA →＝－OD →，∴AO →＝OD →.4．在四边形ABCD 中，若AB →＝3a ，CD →＝－5a ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形解析：选C.由AB →∥DC →且|AB →|≠|DC →|知，四边形ABCD 是梯形．又|AD →|＝|BC →|，知梯形ABCD 是等腰梯形．5．已知向量a 与b 不共线，且AB →＝λa ＋b (λ∈R )，AC →＝a ＋μb (μ∈R )，则点A ，B ，C 三点共线应满足( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D.若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝kAC →(k ∈R )，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，∴λa ＋b ＝k a ＋μk b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝μk ，消去k 得，λμ＝1，故选D. 6．若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )＝________.解析：(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－113a －b ＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝－11i ＋443j －5i －4j＝－16i ＋323j .答案：－16i ＋323j7．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b . 解析：因为|a |＝5，|b |＝7，所以|a ||b |＝57，又方向相反，所以a ＝－57b .答案：－578．设a ，b 是两个不共线的非零向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________.解析：∵向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，∴k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(∵方向相反，∴λ＜0⇒k ＜0)．答案：－49．已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， ∴BD →＝BC →＋CD →＝(6e 1＋23e 2)＋(4e 1－8e 2)＝10e 1＋15e 2.又∵AB →＝2e 1＋3e 2，∴BD →＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B . ∴A ，B ，D 三点共线．10．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →(λ∈R ，λ≠1，λ≠0)． (1)求证：A ，B ，M 三点共线．(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的范围．解：(1)证明：因为OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，所以OM →＝λOB →＋OA →－λOA →， OM →－OA →＝λOB →－λOA →，即AM →＝λAB →，又λ∈R ，λ≠1，λ≠0且AM →，AB →有公共点A ，所以A ，B ，M 三点共线．(2)由(1)知AM →＝λAB →，若点B 在线段AM 上，则AM →，AB →同向且|AM →|＞|AB →|(如图所示)．所以λ＞1.[B.能力提升]1．化简 13⎣⎡⎦⎤12a ＋8b －a －2b 的结果是( )A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B.原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(6b －3a )＝2b －a .2. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A.由题意可知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13，故选A.3．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝12，则AC →＝________AB →.解析：如图，因为AC CB ＝12，且点C 在线段AB 上，则AC →与CB →同向，且|AC →|＝12|CB →|，故AC →＝13AB →.答案：134.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.解析：直接利用共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →)＝AB →＋3AC →－3AD →，AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.答案：－25．已知非零向量e 1，e 2，a ，b 满足a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2. (1)若e 1与e 2不共线，a 与b 共线，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得a 与b 不共线，e 1与e 2共线？若存在，求出k 的值，否则说明理由．解：(1)由a ＝λb ，得2e 1－e 2＝λk e 1＋λe 2，而e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λk ＝2λ＝－1⇒k ＝－2.(2)不存在．若e 1与e 2共线，则e 2＝λe 1，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－λe 1，b ＝k ＋λe 1，因为e 1，e 2，a ，b 为非零向量，所以λ≠2且λ≠－k ，所以12－λa ＝1k ＋λb ，即a ＝2－λk ＋λb ，这时a 与b 共线，所以不存在实数k 满足题意．6．(选做题) 在△ABC 中，点D 和E 分别在BC ，AC 上，且BD →＝13BC →，CE →＝13CA →，AD与BE 交于R ，证明：RD →＝17AD →.证明：连接CR (图略)．由A ，D ，R 三点共线，可得CR →＝λCD →＋(1－λ)CA →＝23λCB →＋(1－λ)CA →.由B ，E ，R 三点共线，可得CR →＝μCB →＋(1－μ)CE →＝μCB →＋13(1－μ)CA →.所以⎩⎨⎧23λ＝μ，1－λ＝13－μ，解得⎩⎨⎧λ＝67，μ＝47，所以CR →＝47CB →＋17CA →.所以AD →＝CD →－CA →＝23CB →－CA →，RD →＝CD →－CR →＝23CB →－(47CB →＋17CA →)＝221CB →－17CA → ＝17(23CB →－CA →)＝17AD →.。

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§2.2.3向量数乘运算及其几何意义
【学习目标、细解考纲】
1、掌握向量数乘运算，并理解其几何意义。

2、了解两个向量共线的含义。

3、理解和应用向量数乘的运算律。

【知识梳理、双基再现】
1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作a λ，它的长度与方向规定如下：
（1）||a λ=___________________________________;
（2）当________________时，a λ的方向与a 的方向相同；当____________时，a λ的方向与a 方向相反，当_____________时，a λ=O 。

2、向量数乘和运算律，设,λμ为实数。

（1）()a λμ=_____________________________________________；
（2）()a λμ+=__________________________________________；
（3）()a b λ+=__________________________________________；
（4）()a λ=____________________=________________________；
（5）()a b λ-=_________________________________________；
3、⎧⎪⎨⎪⎩
向量的加法向量的线性运算向量的减法向量的数乘
对于任意向量a ,b ，任意实数12λμμ、、恒有2a b λμμ1（+）=_________________________。

4、两个向量共线（平行）的等价条件，如果(0)a a b ≠与共线，那么_________________。

【小试身手、轻松过关】
1、(4) 2.5a -⨯=___________。

2、24a ⨯=_____________。

3、5()a b ⋅+=__________。

4、6()a b c ⋅+-=___________。

5、8()7()a c a c c ++--=___________。

6、(92)(2)a b c b c +-++=_________ 。

【基础训练、锋芒初显】
7、11(2)8(42)32a b a b ⎡⎤
+--⎢⎥⎣⎦=（）
A ．2a b -
B ．2b a -
C ．b a -
D ．()b a --
8、设两非零向量12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为（）
A ．1
B ．-1
C ．1±
D ．0
9、点C 在线段AB 上，且3
5AC AB =，则________AC CB =。

【举一反三、能力拓展】
10、如图，MN 是ABC 的中位线，用向量法证明：MN//BC 且1
2MN BC =
§2.2.3向量数乘运算及其几何意义
【小试身手、轻松过关】
1．10a - 2．8a 3．55a b + 4． 666a b c +- 5．15a 6．10a b + 7
．B 【基础训练、锋芒初显】
8．C 9．3/2 10. 略
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谢谢。