与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第七章 不等式 推理与证明 课时跟踪训练34 Word版含解析
2019届高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 课时跟踪训练34 不等关系与不等式 文
课时跟踪训练(三十四) 不等关系与不等式[基础巩固]一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c ≥b －c B ．ac >bc C.c 2a －b>0D ．(a －b )c 2≥0[解析] 当c ＝0时，B ，C 不成立；当a ＝1，b ＝0，c ＝－2时，A 不成立；因为a －b >0，c 2≥0，所以D 成立．[答案] D2．(2018·陕西商洛商南高中模拟)下列命题为真命题的是( ) A ．若ac >bc ，则a >b B ．若a 2>b 2，则a >b C ．若1a >1b，则a <bD ．若a <b ，则a <b[解析] 由ac >bc ，当c <0时，有a <b ，选项A 错误；若a 2>b 2，不一定有a >b ，如(－3)2>(－2)2，但－3<－2，选项B 错误； 若1a >1b ，不一定有a <b ，如12>－13，但2>－3，选项C 错误； 若a <b ，则(a )2<(b )2，即a <b ，选项D 正确． 故选D. [答案] D3．若m ＝3＋5，n ＝2＋6，则下列结论正确的是( ) A ．m <n B ．n <mC ．n ＝mD ．不能确定m ，n 的大小[解析] ∵m ＝3＋5，∴m 2＝8＋215，∵n ＝2＋6，∴n 2＝8＋212，∴m 2>n 2，∴m >n .[答案] B4．(2018·吉林省吉林一中月考)若a >b ，x >y ，下列不等式不正确的是( ) A ．a ＋x >b ＋y B ．y －a <x －b C ．|a |x >|a |yD ．(a －b )x >(a －b )y[解析] 当a ≠0时，|a |>0，不等式两边同乘一个大于零的数，不等号方向不变． 当a ＝0时，|a |x ＝|a |y ，故|a |x ≥|a |y .故选C. [答案] C5．若a ，b 为实数，则“ab <1”是“0<a <1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由a ，b 为实数，ab <1，可令a ＝－1，b ＝1，则ab ＝－1<1成立，但推不出0<a <1b；由0<a <1b ，可得b >0，∴0<ab <1，可推出ab <1，∴“ab <1”是“0<a <1b”的必要不充分条件．[答案] B6．(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0 D ．(b －1)(b －a )>0[解析][答案] D 二、填空题7．若ab <0，且a >b ，则1a 与1b的大小关系是________．[解析] ∵a >b ，∴b －a <0， 又ab <0，则1a －1b ＝b －a ab >0，即1a >1b.[答案] 1a >1b8．若a ＝ln33，b ＝ln22，则a 与b 的大小关系为________．[解析] ∵a ＝ln33>0，b ＝ln22>0，∴a b ＝ln33·2ln2＝2ln33ln2＝ln9ln8＝log 89>1，∴a >b . [答案] a >b9．若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．[解析] ∵－π2<α<β<π2，∴－π2<α<π2，－π2<β<π2，－π2<－β<π2，而α<β.∴－π<α－β<0，∴2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2三、解答题10．比较下列各组中两个代数式的大小． (1)3m 2－m ＋1与2m 2＋m －3；(2)a 2b ＋b 2a与a ＋b (a >0，b >0)．[解] (1)∵(3m 2－m ＋1)－(2m 2＋m －3)＝m 2－2m ＋4＝(m －1)2＋3>0， ∴3m 2－m ＋1>2m 2＋m －3.(2)∵a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2a －b ＋b 2b －a ab ＝a －b a 2－b 2ab＝a －b2a ＋bab.又∵a >0，b >0， ∴a －b2a ＋bab≥0，故a 2b ＋b 2a≥a ＋b .[能力提升]11．(2018·黑龙江大庆实验中学期末)若x ∈(0,1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ，c ＝2ln x，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >a[解析] 因为x ∈(0,1)，所以a ＝ln x <0，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x >1,0<c ＝2ln x<1，所以b >c >a ，故选C.[答案] C12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9D ．c >9[解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得，－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a－3b ＋c ，消去c 得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，于是0<c －6≤3，即6<c ≤9.故选C.[答案] C13．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．[解析] 矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥21614．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． [解析] ∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． [答案] (－∞，－1)15．已知b >a >0，x >y >0，求证：xx ＋a >yy ＋b.[证明]x x ＋a －yy ＋b ＝x y ＋b －y x ＋a x ＋a y ＋b ＝bx －ayx ＋a y ＋b.∵b >a >0，x >y >0，∴bx >ay ，x ＋a >0，y ＋b >0， ∴bx －ayx ＋a y ＋b >0，∴x x ＋a >yy ＋b.16．(2017·大连模拟)设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．[解] 解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5， 当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10.[延伸拓展](2017·安徽合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)[解析] 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2×c a<4，∴c a的取值范围为(0,2)，故选B. [答案] B。
2019版高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明专题研究2数学归纳法名师课件理科
数学归纳法
专 题 要 点
1．数学归纳法的适证对象 数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法，若 n0 是起始值，则 n0 是使命题成立的最小正整数． 2．数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： (1)当 n＝n0(n0＝N*)时，验证命题成立； (2)假设 n＝k，(k≥n0，k∈N*)时命题成立，推证 n＝k＋1 时 命题也成立，从而推出对所有的 n≥n0，n∈N*命题成立，其中第 一步是归纳基础，第二步是归纳递推二者缺一不可．
题型二
证明不等式
用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式 2n＋1 1 1 1 (1＋3)(1＋5)…(1＋ )＞ 2 成立． 2n－1
1 4 5 【证明】 ①当 n＝2 时，左＝1＋3＝3，右＝ 2 ，左＞右， 1 1 ∴不等式成立． ②假设 n＝k 时， 不等式成立， 即(1＋3)(1＋5)…(1 2k＋1 1 1 1 ＋ ) ＞ 2 ，那么当 n ＝ k ＋ 1 时， (1 ＋ 3 )(1 ＋ 5 )…(1 ＋ 2k－1 1 1 )[1 ＋ ]＞ 2k－1 2（k＋1）－1 4k2＋8k＋4 2 2k＋1 ＞ 2k＋1 2k＋2 2k＋2 · ＝ ＝ 2 2k＋1 2 2k＋1 ＝ 2k＋3· 2k＋1 2· 2k＋1 ＝
专 题 讲 解
题型一
证明恒等式
1 1 1 1 1 1 1 求证：1－2＋3－4＋…＋ － ＝ ＋ ＋… 2n－1 2n n＋1 n＋2 1 ＋2n(n∈N*)．
【解析】 边＝右边． 1 1 1 1 (1)当 n＝1 时，左边＝1－2＝2，右边＝ ＝ .左 1＋1 2
1 1 1 1 1 (2)假设 n＝k 时等式成立，即 1－2＋3－4＋…＋ － ＝ 2k－1 2k 1 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋…＋2k，则当 n＝k＋1 时，1－2＋3－4＋…＋ － k＋1 k＋2 2k－1 1 1 1 1 1 1 1 1 2k＋(2k＋1－2k＋2)＝k＋1＋k＋2＋…＋2k＋(2k＋1－2k＋2) 1 1 1 1 ＝ ＋ ＋…＋ ＋ . k＋2 k＋3 2k＋1 2k＋2 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)，(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立． 【答案】 略
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第七章 不等式 推理与证明 课时跟踪训练38 含解析
课时跟踪训练(三十八)[基础巩固]一、选择题1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13,0.1· 8·＝1899＝211,0.3· 5· 2·＝352999,0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000,据此推测循环小数0.23·可化成分数( )A.2390B.9923C.815D.730[解析] 0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730.选D.[答案] D2．已知数列{a n }为11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依它的前10项的规律,则a 99＋a 100的值为( )A.3724B.76C.1115D.715[解析] 由给出的数列{a n }的前10项得出规律,此数列中,分子与分母的和等于2的有1项,等于3的有2项,等于4的有3项,…,等于n 的有n －1项,且分母由1逐渐增大到n －1,分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2),当n ＝14时即分子与分母的和为14时,数列到91项,当n ＝15即分子与分母的和为15时,数列到104项,所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项,分别为78,69,∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724,选A.[答案] A3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,…,则52018的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125[解析] ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125,…,∴最后四位应为每四个循环,2018＝4×504＋2,∴52018最后四位应为5625.[答案] B4．(2017·安徽合肥一中模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟．”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223,338＝338,4415＝4415,5524＝5524,…,则按照以上规律,若99n ＝99n 具有“穿墙术”,则n ＝( )A ．25B ．48C ．63D ．80[解析] 由223＝223,338＝338,4415＝4415,5524＝5524,…,可得若99n ＝99n 具有“穿墙术”,则n ＝92－1＝80,故选D. [答案] D5．(2017·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中说对了的两人是( )A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙[解析] 如果甲对,则丙、丁都对,与题意不符,故甲错,乙对；如果丙错,则丁错,因此只能是丙对,丁错,故选D.[答案] D6．如图所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4),此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4),若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ,则1×h 1＋2×h 2＋3×h 3＋4×h 4＝2S k .类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4),若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ,则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4值为( )A.4V kB.3V kC.2V kD.V k[解析] ∵V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k .[答案] B二、填空题7．半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )的导数等于该圆的周长的函数．对于半径为R (R >0)的球,类似的结论为________．[解析] 因为半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )＝πx 2,所以f ′(x ) ＝2πx .类似地,半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )＝43πR 3,所以V ′(R )＝4πR 2.故对于半径为R (R >0)的球,类似的结论为半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数．[答案] 半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数8．(2017·河北卓越联盟月考)在平面内,三角形的面积为S ,周长为C ,则它的内切圆的半径r ＝2S C .在空间中,三棱锥的体积为V ,表面积为S ,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R ＝________.[解析] 若三棱锥表面积为S ,体积为V ,则其内切球半径R ＝3V S .理由如下：设三棱锥的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径,所以V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13SR ,所以内切球的半径R ＝3V S .[答案] 3V S9．某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°；二级分形图是在一级分段形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,…,依此规律得到n 级分形图．n 级分形图中共有________条线段．[解析] 分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有3＝(3×2－3)条线段,二级分形图有9＝(3×22－3)条线段,三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段,按此规律n 级分形图中的线段条数a n ＝3×2n －3.[答案] 3×2n －3三、解答题10．(2017·山西运城4月模拟改编)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’(同垛)之,问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束,下一层3束,再下一层6束,……,)成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表示从上往下第二层开始的每层茭草束数,求本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为多少？[解析] 由题意得,从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2,∴1＋3＋6＋…＋n (n ＋1)2＝680,即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680, ∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17,∴n ＝15.故倒数第二层为第14层,该层茭草总束数为14×152＝105.[答案] 105[能力提升]11．(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一．并五关所税,适重一下．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关,第1关收税金12,第2关收税金为剩余的13,第3关收税金为剩余的14,第4关收税金为剩余的15,第5关收税金为剩余的16,5关所收税金之和,恰好重1斤,问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和,恰好重1斤,问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ,按此规律通过第8关”,则第8关所收税金为________x .[解析] 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝x 6＝x 2×3； 第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝x 12＝x 3×4； ……第8关收税金：x 8×9＝x 72. [答案] 17212．(2017·安徽合肥模拟)“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2),解关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0.”给出如下的一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2),得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1,即关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 类比上述解法：若关于x 的不等式b x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1,则关于x 的不等式b x －a －x －b x －c>0的解集为______________________．[解析] 根据题意,由b x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1, 得b －x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c<0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1, 即b x －a －x －b x －c>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 13．(2017·河北唐山三模)数列{a n }的前n 项和为S n .若S n ＋a n ＝4－12n －2(n ∈N *),则a n ＝________. [解析] 解法一：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①,当n ＝1时,S 1＋a 1＝4－121－2＝2,解得a 1＝1.当n ≥2时,用n －1代换n ,得S n －1＋a n －1＝4－12n －3 ②.①－②,得S n －S n －1＋a n －a n －1＝12n －3－12n －2,整理得2a n －a n －1＝12n －2.两边同时乘2n －1,得2n a n －2n －1a n －1＝2.令b n ＝2n a n ,则b n －b n －1＝2.所以数列{b n }是公差为2的等差数列,首项b 1＝21a 1＝2.所以b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ,即2n a n ＝2n .所以a n ＝2n 2n ＝n 2n －1. 解法二：(归纳法)：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①,当n ＝1时,S 1＋a 1＝4－121－2＝2,解得a 1＝1；当n ＝2时,S 2＋a 2＝4－120,即2a 2＋a 1＝3,解得a 2＝1；当n ＝3时,S 3＋a 3＝4－12,即2a 3＋S 2＝72,解得a 3＝34；当n ＝4时,S 4＋a 4＝4－14,即2a 4＋S 3＝154,解得a 4＝12；当n ＝5时,S 5＋a 5＝4－18,即2a 5＋S 4＝318,解得a 5＝516；…,a 1和a 2可以写成分数的形式,显然该数列中每一项的分母都是2的整数幂,分子对应项的序号,即a 1＝120,a 2＝221,a 3＝322,a 4＝423,a 5＝524,…,所以a n ＝n2n －1.[答案] n2n －114．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ,b ∈R ,a ≠b ,都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a ),试证明：f (x )为R 上的单调递增函数．[证明] 设任意x 1,x 2∈R ,取x 1<x 2,由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1),∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0,[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0, ∵x 1<x 2,∴f (x 2)－f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1)．∴y ＝f (x )为R 上的单调递增函数．15．△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .(1)若a ,b ,c 成等差数列,证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值．[解] (1)证明：∵a ,b ,c 成等差数列,∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ),∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12, 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.[延伸拓展]中国古代十进位制的算筹记数法,在世界数学史上是一个伟大的创造．如图所示,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算．算筹的摆放形式有纵、横两种,据《孙子算经》记载,算筹记数法则是：凡算之法,先识其位,一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当．即表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空．例如2017用算筹表示就是,则8227可表示为________．[解析]千位数字8为模式,百位数字2为纵式,十位数字2为横式,个位数字7为纵式,所以8227可表示为.[答案]。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第七章不等式推理与证明课时跟踪训练39含解析
一个不小于 2.故选 C.
[ 答案 ] C
|a|＋|b| 13、已知非零向量 a,b,且 a⊥b,求证： |a＋b| ≤ 2.
[ 证明 ] ∵a⊥b,∴a·b＝0,
|a|＋ |b| 要证 |a＋b| ≤ 2,
只需证 |a|＋ |b|≤ 2|a＋b|,
只需证 |a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2), 只需证 |a|2＋2|a||b|＋ |b|2≤ 2a2＋2b2, 只需证 |a|2＋|b|2－2|a||b|≥0, 即 (|a|－|b|)2≥0,
[ 解析 ] 由题意 2B＝A＋C, 又 A＋B＋C＝π∴，B＝π3,又 b2＝ac, 由余弦定理得 b2＝ a2＋c2－2accosB＝ a2＋ c2－ac,
∴ a2＋c2－2ac＝0,即(a－ c)2＝0,∴a＝c,
∴ A＝C,∴A＝ B＝C＝π3,
∴△ ABC 为等边三角形、
[ 答案 ] 等边三角形
其中能推出：“ a,b 中至少有一个大于 1”的条件是 ( )
A 、②③ B、①②③ C、③ D、③④⑤ 12
[ 解析 ] 若 a＝2,b＝3,则 a＋b>1,
但 a<1,b<1,故①推不出；
若 a＝b＝1,则 a＋b＝2,故②推不出； 若 a＝－ 2,b＝－ 3,则 a2＋b2>2,故④推不出；
若 a＝－ 2,b＝－ 3,则 ab>1,故⑤推不出；
课时跟踪训练 ( 三十九 )
[基础巩固 ]
一、选择题
1、设 a、b∈R,若 a－|b|>0,则下列不等式中正确的是 ( )
A 、b－a>0
B、a3＋ b3<0
C、 a2－ b2<0
高考数学一轮复习第7章不等式、推理与证明第4节归纳与类比教学案理北师大版
第四节归纳与类比[最新考纲] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义.3.掌握演绎推理的基本模式，能运用它们进行一些简单的演绎推理．1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性的推理方式．(2)特点：①是由部分到整体，由个别到一般的推理．②利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理过程．(2)特点：①是两类事物特征之间的推理，是由特殊到特殊的推理．②利用类比推理得出的结论不一定是正确的．3．合情推理(1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．(2)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( )(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( )(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )[答案] (1)×(2)√(3)×二、教材改编1．已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是( )A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1C[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想a n＝n2.]2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( ) A．28 B．76C．123 D．199C[由题意可知，a6＋b6＝7＋11＝18；a7＋b7＝11＋18＝29；a8＋b8＝18＋29＝47；a9＋b9＝29＋47＝76；a10＋b10＝47＋76＝123.]3．如图(1)有面积关系：S△PA′B′S△PAB＝PA′·PB′PA·PB，则由图(2)有体积关系：V P—A′B′C′V P—ABC＝________.(1) (2)PA′·PB′·PC′PA·PB·PC[平面上的面积可类比到空间上的体积．V P—A′B′C′V P—ABC＝13·S△PA′B′·h′13·S△PAB·h＝PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.]4．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N ＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________．b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋) [利用类比推理，借助等比数列的性质，b29＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．]考点1 归纳推理与数字或式子有关的推理(1)与数字有关的数阵(或数表)问题，要观察数字特征，数字与序号间的关系及其变化规律，一般要结合数列知识求解．(2)与式子有关的问题，要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律，归纳推理得出一般结论．(1)(2019·皖南八校月考)将正整数依次排列如下：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ………………由表知第5行第3列的数是13，若第2 020行第2列的数是a ，则a 的各位数字中，数字0的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．2(2)(2019·山东省实验中学等四校联考)观察下列式子，ln 2＞13，ln 3＞13＋15，ln 4＞13＋15＋17，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为________． (1)B (2)ln(n ＋1)＞13＋15＋…＋12n ＋1[(1)由题前n 行中共有1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12个整数，故第2 019行中最后一个数：2 019 2 019＋12＝2 039 190，第2020行中第2列的数为：2 039 190＋2＝2 039 192，故0的个数为1，故选B. (2)根据题意，对于第一个不等式，ln 2＞13，则有ln(1＋1)＞12×1＋1，对于第二个不等式，ln 3＞13＋15，则有ln(2＋1)＞13＋12×2＋1，对于第三个不等式，ln 4＞13＋15＋17，则有ln(3＋1)＞13＋15＋12×3＋1，依此类推：第n 个不等式为：ln(n ＋1)＞13＋15＋…＋12n ＋1.]与数字或式子有关的推理主要考查数列的通项的求法，即从题设信息中发现数式变化规律，运用归纳猜想可解，重视由特殊到一般的数学思想．1.(2019·安庆模拟)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震001 1坎010 2兑011 3以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是( )A．18 B．17C．16 D．15B[由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.] 2．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：22＝1＋3；32＝1＋3＋5；42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，则52＝1＋3＋5＋7＋9，若m3(m∈N＋)的分解中最小的数是73，则m 的值为________．9[根据23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19，从23起，m3的分解规律恰为数列3,5,7,9…中若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首个数为m2－m＋1.因为m3(m∈N＋)的分解中最小的数是73，所以m2－m＋1＝73，解得m＝9.]与图形变化有关的推理与图形变化有关的推理，其解题切入点：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，结构、数值发生了怎样的变化，探求规律．如图所示，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，则第n－2(n≥3)个图形共有________个顶点．①②③④n2＋n[第一个图有3＋3×3＝4×3个顶点；第二个图有4＋4×4＝5×4个顶点；第三个图有5＋5×5＝6×5个顶点；第四个图有6＋6×6＝7×6个顶点；……第n个图有(n＋3)(n＋2)个顶点，第n－2个图形共有n(n＋1)＝n2＋n个顶点．]与图形变化有关的推理常借助特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(2019·呼和浩特模拟)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图像或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为( )n＝1 n＝2 n＝3A．81 B．121C．364 D．1 093C[由题图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝3＋1＝4；n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；n＝6时，a6＝3×121＋1＝364，故选C.]考点2 类比推理类比推理的应用类型及解题方法类比在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求定义 解类比 性质 从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比 方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移(1)(2019·太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x ＝x (x ＞0)求得x ＝5＋12.类比上述方法，则3＋23＋2…＝( ) A ．3 B.13＋12C ．6D ．2 2(2)若点P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过点P 0作该椭圆的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.那么对于双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为________．(1)A (2)x 0x a 2－y 0yb 2＝1 [(1)由题意结合所给的例子类比推理可得3＋2x ＝x (x ≥0)，整理得(x ＋1)(x －3)＝0，则x ＝3，x ＝－1(舍)，即3＋23＋2…＝3，故选A.(2)若点P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)外，过点P 0作该双曲线的两条切线，切点分别为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程为x 0x a 2－y 0yb 2＝1.] 类比推理的关键是找到合适的类比对象，推理的一般步骤为：先找出两类事物之间的相似性或一致性，再用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．[教师备选例题]1．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O －ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面△ABC 的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则下列选项中对于S ，S 1，S 2，S 3满足的关系描述正确的为( )A ．S 2＝S 21＋S 22＋S 23 B ．S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23C ．S ＝S 1＋S 2＋S 3D ．S ＝1S 1＋1S 2＋1S 3A [如图，作OD ⊥BC 于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC ，从而S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD 2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12OC ·OA 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·OD 2＝S 21＋S 22＋S 23.] 2．“求方程⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＝1的解”有如下解题思路：设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45x，则f (x )在R上单调递减，且f (2)＝1，所以原方程有唯一解x ＝2.类比上述解题思路，不等式x 6－(x ＋2)＞(x ＋2)3－x 2的解集是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [不等式x 6－(x ＋2)＞(x ＋2)3－x 2变形为x 6＋x 2＞(x ＋2)3＋(x ＋2)，令u ＝x 2，v ＝x ＋2，则x 6＋x 2＞(x ＋2)3＋(x ＋2)转化为u 3＋u ＞v 3＋v . 设f (x )＝x 3＋x ，知f (x )在R 上为增函数， ∴由f (u )＞f (v )，得u ＞v .不等式x 6＋x 2＞(x ＋2)3＋(x ＋2)可化为x 2＞x ＋2， 解得x ＜－1或x ＞2.∴所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]在平面几何中，若正方形ABCD 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝12，推广到立体几何中，若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.39 [正方形ABCD 的内切圆的半径为r 1，外接圆的半径为r 2，半径比r 1r 2＝12，面积比为半径比的平方，S 1S 2＝12，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内切球的半径为R 1，外接球的半径为R 2，半径比R 1R 2＝13，所以体积比是半径比的立方，V 1V 2＝39.]考点3 生活中的合情推理假设反证法解决逻辑推理问题：先假设题中给出的某种情况是正确的，并以此为起点进行推理．如果推理导致矛盾，则证明此假设是错误的，再重新提出一个假设继续推理，直到得到符合要求的结论为止．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙A [若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲、乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A.]对于逻辑推理问题，求解的关键是以肯定某个事物(某句话等)为基准，推出矛盾，进而得出结论．(2019·东北三省三校一模)甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_____．乙 [假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会；假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意；假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾．故答案是乙．]。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.4 基本不等式 考试要求 1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．( × ) (2)y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ )(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × ) 教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 D解析 ∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －21x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 2．函数y ＝4－x －1x(x <0)( ) A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案 B解析 y ＝4＋(－x )＋1－x ≥4＋2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2； ②ab ≤a 2＋b 22； ③a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；④2ab a ＋b≤ab . 答案 ②③ 解析 当b a为负时，①不成立． 当ab <0时，④不成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为( ) A.94 B ．4 C.92D ．9 答案 C解析 y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝⎛⎭⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号， ∴当x ＝34时，y max ＝92. (2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有( ) A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3解析 ∵x <23， ∴3x －2<0， f (x )＝3x －2＋93x －2＋3＝－⎣⎡⎦⎤2－3x ＋92－3x ＋3≤－22－3x ·92－3x ＋3＝－3.当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”．(3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________．答案 －1解析 因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·1－x 2＋11－x＝－12⎣⎡⎦⎤1－x ＋11－x≤－12·21－x ·11－x ＝－1，当且仅当1－x ＝11－x ，即x ＝0时取“＝”，所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2 常数代换法例2 (2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是() A ．1 B ．2C.94 D.92解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1， 所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋12b ＝12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝⎛⎭⎫2＋52＝94， 当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3 消元法例3 已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案 2解析 方法一 (换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二 (代入消元法)由x ＋y ＋xy ＝3得y ＝3－x x ＋1， ∵x >0，y >0，∴0<x <3，∴x ＋y ＝x ＋3－x x ＋1＝x ＋4x ＋1－1＝x ＋1＋4x ＋1－2≥2x ＋1·4x ＋1－2＝2，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.延伸探究 本例条件不变，求xy 的最大值．解 ∵x ＋y ＋xy ＝3，∴3－xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，令t ＝xy ，则t >0，∴3－t 2≥2t ，即t 2＋2t －3≤0， 即0<t ≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1.教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于() A ．16 B ．6 C ．18 D ．12答案 B解析 因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2xy ＋8yx≥10＋22xy ·8yx ＝10＋2×4＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝6时取等号，所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( ) A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4 答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________． 答案 52解析 ∵2x >1，∴x －12>0， f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12 ≥21x －12·⎝⎛⎭⎫x －12＋12＝2＋12＝52， 当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”． ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案 12解析 令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8，∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝4时等号成立． ∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2，∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是() A ．a ＋b <4aba ＋bB.ab <2aba ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案 D解析 对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2aba ＋b，故选项B 错误；对于选项C ，2a 2＋b 2>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a都是正数，根据基本不等式求最值， a b ＋b a ≥2a b ×b a ＝2，故D 正确． 思维升华 基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则p是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2， ∴a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数，∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32 ≥x 1－x 32＋y 1－y 32.一、利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案 6437 解析 (x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝⎛⎭⎫14＋9，所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437， 当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437. 例2 已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案 3解析 (ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3 函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________． 答案 6 3 解析 y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明 (a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明 根据柯西不等式，有()12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2， 所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 当x <0时，y ＝x ＋2x<0，故A 错误； y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2， 当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2， 即x 2＝－1时取等号，∵x 2≠－1，故B 错误；y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确；当x ∈(0,1)时，y ＝log 3x <0，故D 错误．2．(2022·汉中模拟)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12取得最小值时x 的值为( ) A.15 B.14 C.24 D.13答案 A解析 f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥2＋322x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时等号成立．4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是() A ．1 B ．4C ．7D ．3＋17答案 C解析 ∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3≥2x －2y －1＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是( )A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝xx 2－x ＋4(x >0)，则( )A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13 D ．f (x )有最大值13答案 D解析 f (x )＝xx 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“aba ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab2ab ＝ab2≤162＝2，故必要性成立；当a ＝2，b ＝10，此时aba ＋b ≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立，因此“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件． 8．已知正实数a ，b 满足a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则下列不等式恒成立的有( ) ①2a ＋2b ≥22；②a 2＋b 2<1； ③1a ＋1b<4； ④a ＋1a >2. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②③④答案 C解析 ∵2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝22，当且仅当a ＝b 时取等号，∴①正确； ∵a 2＋b 2<a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴②正确；∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b ＝4， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴③错误；∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴0<a <1，∵a ＋1a ≥2a ·1a＝2，当且仅当a ＝1时取等号， ∴a ＋1a>2，④正确． 9．若0<x <2，则x 4－x 2的最大值为________．答案 2解析 ∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 24－x 2≤x 2＋4－x 22＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案 4解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， 即a ＋b ≤a ＋b 24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________． 答案 27解析 因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x＝1， 所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝⎛⎭⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x＝27， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号， 所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b2＋b 的最小值为________． 答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b·b ＝22， 当且仅当1a ＝a b 2且2b＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋a b2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－233，233 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎣⎡⎦⎤－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－223，223 答案 A解析 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－1≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ， 则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233， 即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号， ∴x ＋y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号)①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b >ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.答案 ①③④解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22， 当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故①正确； 因为a ＋b ≥2ab >0， 所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋b 2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，即a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故③正确； 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥ 2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b＋ab 的最小值为____________． 答案 174解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号， 令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t＋t ，t ∈⎝⎛⎦⎤0，14， 因为函数y ＝1t＋t 在⎝⎛⎦⎤0，14上为减函数，所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174. 16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案 3＋2 2解析 因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得x x －1＋2y y －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝⎛⎭⎫1x －1＋2y －1 ≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22， 当且仅当1x －1＝2y －1， 即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”， 所以x x －1＋2y y －1的最小值为3＋2 2.。
与名师对话 高三文科第一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 第四节 合情推理与演绎推理
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基
名
础
师
知
微
识 回
最新考纲：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比
课 导
顾 等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2. 学
了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，并
核 能运用“三段论”进行一些简单推理；3.了解合情推理和演 课
因为f1(x)＝
－1x－1 ex
，f2(x)＝
－12x－2 ex
，
后 跟 踪 训
破 f3(x)＝－13exx－3，…，所以fn(x)＝－1nexx－n.
练
第20页
第7章 第4节
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角度3：图形的归纳
【例1－3】 如图都是由边长为1的正方体叠成的几何
基
名
基
名
础
师
知
微
识
课
回 顾
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体
导 学
作为类比对象较为合适．( × )
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就
核 心
一定正确．( × )
课 后
考
跟
点
踪
突
训
破
练
第10页
第7章 第4节
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基 础
2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( B )
D．大前提和小前提都错误
核 心 考
课
[解析] 因为当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，
后 跟
与名师对话 高三文科数学第一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 第五节 直接证明与间接证明
基
础
知
识
回
顾
最新考纲：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法
课 后
跟
和综合法；2.了解分析法和综合法的思考过程和特点；3.了
踪 训
核 解反证法的思考过程和特点．
练
心
考
点
突
破
第3页
第7章 第5节
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基
础
知
识
回 顾
基础
核 心 考 点 突 破
第4页
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知识回顾
础
知 识 回 顾
⇒1－1an＋1－1－1 an＝1，
课
∴Tn1＋1－T1n＝1，
后 跟 踪 训
核
又∵T1＝1－a1＝a1，Leabharlann 练心考 点 突
∴a1＝12，∴T11＝1－1 a1＝2，
破
∴数列T1n是以2为首项，公差为1的等差数列．
第20页
第7章 第5节
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第7章 第5节
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基
础
知 识
回 顾
2.间接证明
课
反证法定义：假设原命题不成立 (即在原命题的条件下，
后 跟
踪
结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假
训 练
核 心
设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．
考
点
突
破
第7页
第7章 第5节
突
破
当且仅当3a4＋1＝3a＋1，即a＝13时取“＝”．
第16页
与名师对话 高三文科数学第一轮复习 第七章 不等式、推理与证明专题研究(四) 数列与不等式
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(2)证明：由(1)可知 an＝qn－1.
所以双曲线 x2－ay22n＝1 的离心率
en＝ 1＋an2＝ 1＋q2n－1.
由 e2＝ 1＋q2＝53，解得 q＝43.
课 后 跟 踪
因为 1＋q2(k－1)>q2(k－1)，所以 1＋q2k－1>qk－1(k∈N*)．
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[题型专练]
3．数列{an}满足 an＋1＝2aan＋n 1，a1＝1.
课
(1)证明：数列a1n是等差数列；
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题型三 推理与证明
【典例 3】 (2019·河南郑州百校联盟改编)已知 f(x)＝(x2
－2ax)lnx＋2ax－12x2(a>0)．
课 后 跟
(1)求 f(x)的极值；
踪 训
练
(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)<12
a2＋3a.
Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，③
跟 踪
训
4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－
练
1)×4n＋1，④
第7页
第7章 专题研究4
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③－④，得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－ (3n－1)×4n＋1
第25页
第7章 专题研究4
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当 a＝1 时，f(x)没有极大值也没有极小值；
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第七章 不等式 推理与证明 课时跟踪训练37含解析
课时跟踪训练(三十七)[基础巩固]一、选择题1、若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A 、a 2＋b 2>2ab B 、a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2[解析] ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0,∴A 错误、对于B,C,当a <0,b <0时,明显错误、对于D,∵ab >0,∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.[答案] D2、(2017·福建福州外国语学校期中)在下列各函数中,最小值为2的函数是( ) A 、y ＝x ＋1x (x ≠0) B 、y ＝cos x ＋1cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2 C 、y ＝x 2＋3x 2＋2(x ∈R )D 、y ＝e x＋4e x －2(x ∈R )[解析] 对于A 项,当x <0时,y ＝x ＋1x ≤－2,故A 错；对于B 项,因为0<x <π2,所以0<cos x <1,所以y ＝cos x ＋1cos x ≥2中等号不成立,故B 错；对于C 项,因为x 2＋2≥2,所以y ＝(x 2＋2)＋1x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号也不能取到,故C 错；对于D 项,因为e x>0,所以y ＝e x＋4e x －2≥2e x·4ex －2＝2,当且仅当e x ＝2,即x ＝ln2时等号成立、故选D.[答案] D3、(2017·陕西咸阳质检)已知x ＋y ＝3,则2x ＋2y 的最小值是( ) A 、8 B 、6 C 、3 2 D 、4 2[解析] 因为2x >0,2y >0,x ＋y ＝3,所以由基本不等式得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y＝42,当且仅当2x＝2y,即x ＝y ＝32时等号成立,故选D.[答案] D4、(2017·湖南衡阳四校联考)设x ,y 为正实数,且x ＋2y ＝1,则1x ＋1y 的最小值为( )A 、2＋2 2B 、3＋2 2C 、2D 、3[解析] 因为x ,y 为正实数,且x ＋2y ＝1,所以1x ＋1y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋xy ≥3＋22y x ·x y ＝3＋22,当且仅当x ＝2y ＝2－1时取等号、所以1x ＋1y 的最小值为3＋2 2.故选B.[答案] B5、(2017·江西九江一中期中)已知a >0,b >0,如果不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b 恒成立,那么m 的最大值等于( )A 、10B 、7C 、8D 、9[解析] 不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立,即不等式m ≤(2a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 恒成立,而(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2ba ≥5＋2 2ab ·2ba ＝9,当且仅当a ＝b 时“＝”成立,所以m ≤9,m的最大值等于9,故选D.[答案] D6、(2015·陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ,若p ＝f (ab ),q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2,r ＝12(f (a )＋f (b )),则下列关系式中正确的是( )A 、q ＝r <pB 、p ＝r <qC 、q ＝r >pD 、p ＝r >q[解析] ∵0<a <b ,∴a ＋b2>ab ,又f (x )＝ln x 在(0,＋∞)上单调递增,故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2,即q >p ,∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ,∴p ＝r <q .故选B.[答案] B 二、填空题7、(2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0,b >0)过点(1,2),则2a ＋b 的最小值为________、[解析] ∵直线x a ＋yb ＝1(a >0,b >0)过点(1,2),∴1a ＋2b ＝1,∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝2＋b a ＋2＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8(当且仅当b ＝2a ,即a ＝2,b ＝4时取等号)、[答案] 88、设b >a >0,且a ＋b ＝1,则12,2ab ,a 2＋b 2,b 四个数中最大的是________、 [解析] 根据基本不等式知a 2＋b 2>2ab (b >a >0),因为b >a >0,且a ＋b ＝1,所以b >12>a .因为b －a 2－b 2＝b (a ＋b )－a 2－b 2＝a (b －a )>0,所以12,2ab ,a 2＋b 2,b 四个数中最大的是b .[答案] b9、(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元、要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是________、[解析] 本题考查基本不等式及其应用、设总费用为y 万元,则y ＝600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x ≥240. 当且仅当x ＝900x ,即x ＝30时,等号成立、 [答案] 30 三、解答题10、(1)已知a >0,b >0,c >0,且a ＋b ＋c ＝1, 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.(2)设a 、b 均为正实数,求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2. [证明] (1)∵a >0,b >0,c >0,且a ＋b ＋c ＝1, ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9,当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,取等号、 (2)∵1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ,当且仅当a ＝b 时取等号、又2ab ＋ab ≥22,当且仅当ab ＝2时取等号,∴1a 2＋1b 2＋ab ≥22,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，ab ＝2，即a ＝b ＝42时取等号、[能力提升]11、(2017·河北保定一模)司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析( )A 、甲合适B 、乙合适C 、油价先高后低甲合适D 、油价先低后高甲合适[解析] 设甲每次加m 升油,乙每次加n 元钱的油,第一次加油x 元/升,第二次加油y 元/升、甲的平均单价为mx ＋my 2m ＝x ＋y 2,乙的平均单价为2n n x ＋n y ＝2xy x ＋y ,因为x ≠y ,所以x ＋y 22xy x ＋y＝x 2＋y 2＋2xy 4xy >4xy 4xy ＝1,即乙的两次平均单价低,乙的方式更合适,故选B. [答案] B12、(2018·贵州铜仁一中月考)若两个正实数x ,y 满足1x ＋2y ＝1,且不等式x ＋y2<m 2－3m 有解,则实数m 的取值范围是( )A 、(－1,4)B 、(－4,1)C 、(－∞,－1)∪(4,＋∞)D 、(－∞,－4)∪(1,＋∞)[解析] x ＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝2＋y 2x ＋2xy ≥2＋2y 2x ·2x y ＝4.当且仅当y 2x ＝2xy ,即y ＝2x 时等号成立,所以x ＋y 2最小值为4.因为x ＋y 2<m 2－3m 有解,所以m 2－3m >4.解得m <－1或m >4.故选C.[答案] C13、已知正实数x ,y 满足xy ＋2x ＋y ＝4,则x ＋y 的最小值为________、[解析] 因为xy ＋2x ＋y ＝4,所以x ＝4－y y ＋2.由x ＝4－yy ＋2>0,得－2<y <4,又y >0, 则0<y <4,所以x ＋y ＝4－y y ＋2＋y ＝6y ＋2＋(y ＋2)－3≥26－3,当且仅当6y ＋2＝y ＋2(0<y <4),即y ＝6－2时取等号、[答案] 26－314、(2017·四川资阳期末)已知函数f (x )＝x 3＋3x (x ∈R ),若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立,则实数m 的取值范围是________、[解析] 因为f (x )＝x 3＋3x (x ∈R ),满足f (－x )＝－f (x ),所以f (x )为奇函数且f (x )在R 上单调递增、因为不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立,则2m ＋mt 2<－4t 在t ≥1时恒成立,分离参数得m <－4t t 2＋2＝－4t ＋2t .因为t ＋2t ≥2t ·2t ＝22(当且仅当t ＝2时取等号),所以m <－ 2.[答案] (－∞,－2)15、(2017·河北唐山一模)已知x ,y ∈(0,＋∞),x 2＋y 2＝x ＋y . (1)求1x ＋1y 的最小值、(2)是否存在x ,y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由、[解] (1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xy xy ＝2,当且仅当x ＝y ＝1时,等号成立,所以1x＋1y 的最小值为2.(2)不存在、理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ,所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )、又x ,y ∈(0,＋∞),所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)＋(y ＋1)22≤4,因此不存在x ,y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.16、某品牌电脑体验店预计全年可以销售360台电脑,已知该品牌电脑的进价为3000元/台,为节约资金,经理决定分批购入,若每批都购入x 台(x 为正整数),则每批需付运费300元,储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比,且每批购入20台时,全年需用去运费和保管费7800元、(1)求全年所付运费和保管费之和y 关于x 的函数关系式；(2)若全年只有8000元资金可用于支付运费和保管费,则能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用？如果够用,求出每批进货的数量；如果不够用,最少还需多少？[解] (1)设储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑总价值的比例系数为k ,则y ＝360x ×300＋k (3000×x )＝108000x ＋3000kx .又当x ＝20时,y ＝7800,代入可得k ＝0.04.故所求y 关于x 的函数关系式为y ＝108000x ＋120x (x ∈N *)、(2)由(1)知,y ＝108000x ＋120x (x ∈N *)、根据基本不等式可得,y ＝108000x ＋120x ≥2108000x ×120x ＝2×3600＝7200,当且仅当108000x ＝120x ,即x ＝30时,等号成立、故当每批购入30台时,支付的运费和保管费最低,为7200元,此时资金够用、[延伸拓展](2017·内蒙古包头二模)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5,若存在两项a m ,a n 使得 a m a n ＝4a 1,则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256[解析] 解法一(常数代换法)：设数列{a n }的公比为q (q >0),由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5,可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4,所以q 2－q －2＝0,所以q ＝2.因为a m a n ＝4a 1,所以q m ＋n －2＝16,所以2m ＋n －2＝24,所以m ＋n ＝6,所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16×(5＋4)＝32,当且仅当n m ＝4mn 时,等号成立、所以1m＋4n的最小值为32,故选A.解法二(拼凑法)：由解法一可得m＋n＝6,所以n＝6－m, 又m,n≥1,所以1≤m≤5.故1m＋4n＝1m＋46－m＝6－m＋4mm(6－m)＝3(m＋2)m(6－m)＝3m(6－m)m＋2＝－3[(m＋2)－2][(m＋2)－8]m＋2＝－3(m＋2)＋16m＋2－10.由基本不等式可得(m＋2)＋16m＋2－10≥2(m＋2)×16m＋2－10＝－2(当且仅当m＋2＝16m＋2,即m＝2时等号成立),易知(m＋2)＋16m＋2－10<0,所以1m＋4n≥－3－2＝32.故选A.[答案]A。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.1 等式性质与不等式性质 考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b . (a ，b ∈R )2．等式的性质性质1 对称性：如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 传递性：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 可加(减)性：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 可乘性：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 可除性：如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c. 3．不等式的性质性质1 对称性：a >b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b . 2．若a >b >0，m >0⇒b a <b ＋ma ＋m ； 若b >a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．(√ )(2)若ba >1，则b >a .( × )(3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b ，则b <a .( × )教材改编题1．设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式不正确的是( )A ．12a <12b B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>ab D ．ac 3<bc 3答案 D解析 因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以12a <12b ，A 正确；因为y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b ，B 正确；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2b －ab ＋2b >0，所以a ＋2b ＋2>ab ，C 正确；当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3<b <5，则a ＋2b 的取值范围是______．答案 (－7,12)解析 ∵－3<b <5，∴－6<2b <10，又－1<a <2，∴－7<a ＋2b <12.题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为( ) A ．p <q B ．p ≤q C ．p >q D ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝b 2－a 2b －a ab ＝b －a 2b ＋aab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( ) A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c 答案 B解析 令函数f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， 易知当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .教师备选已知M ＝e 2 021＋1e 2 022＋1，N ＝e 2 022＋1e 2 023＋1，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 方法一 M －N ＝e 2 021＋1e 2 022＋1－e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋1e 2 023＋1－e 2 022＋12e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋e 2 023－2e 2 022e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021e －12e 2 022＋1e 2 023＋1>0. ∴M >N .方法二 令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e e x ＋1＋1＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1， 显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2 021)>f (2 022)，即M >N .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0. ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝21－ab1＋a 1＋b >0，∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－eππ－e ＝⎝⎛⎭⎫eππ－e ，又0<eπ<1,0<π－e<1，∴⎝⎛⎭⎫eππ－e <1，即e π·πee e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ.题型二 不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是() A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a 2<ab <b 2C ．若c >a >b >0，则a c －a <bc －bD ．若a >b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c 答案 D 解析 对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题； 对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a <b <0，但不满足a 2<ab <b 2，故B 选项为假命题；对于C 选项，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，a c －a ＝23－2>b c －b ＝12，故C 选项为假命题； 对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c＝a b ＋c －b a ＋c b b ＋c ＝ac －bc b b ＋c＝a －b c b b ＋c>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题． (2)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是________．(填序号) ①1a ＋b <1ab ； ②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b； ④ln a 2>ln b 2.答案 ①③解析 由1a <1b <0，可知b <a <0. ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b<0， 则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确； ④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域 (0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c | D.a c 2＋1>bc 2＋1答案 D解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >1b ，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，故B 错误；对于C ，若c ＝0，a |c |＝b |c |，故C 错误；对于D ，因为c 2＋1≥1，所以1c 2＋1>0，又a >b ，所以a c 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华 判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则() A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析 因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b <0，B 不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．(2)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是________．(填序号)①1ac>1bc；②ba c>ab c；③(1－c)a<(1－c)b；④log b(a＋c)>log a(b＋c)．答案③④解析由题意知，a>b>1>c>0，所以对于①，ac>bc>0，故1ac<1bc，所以①错误；对于②，取a＝3，b＝2，c＝1 2，则ba c＝23，ab c＝32，所以ba c<ab c，故②错误；对于③，因为0<1－c<1，且a>b，所以(1－c)a<(1－c)b，故③正确；对于④，a＋c>b＋c>1，所以log b(a＋c)>log b(b＋c)>log a(b＋c)，故④正确．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.(2)已知3<a <8,4<b <9，则a b的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，2解析 ∵4<b <9，∴19<1b <14， 又3<a <8，∴19×3<a b <14×8， 即13<a b<2. 延伸探究 若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 教师备选已知0<β<α<π2，则α－β的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0， 又0<α<π2，∴－π2<α－β<π2， 又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<π2. 思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( ) A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13 C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12 答案 A解析 因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a>－3， 将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得c a <－1，所以－3<c a <－1. (2)已知1<a <b <3，则a －b 的取值范围是________，a b的取值范围是________． 答案 (－2,0) ⎝⎛⎭⎫13，1解析 ∵1<b <3，∴－3<－b <－1，又1<a <3，∴－2<a －b <2，又a <b ，∴a －b <0，∴－2<a －b <0，又13<1b <1a ，∴a3<ab <1，又a3>13，∴13<ab <1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为() A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 若a <b <0，则a 2>b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a <b ，则a 2b <ab 2，故B 不成立；若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，b a >a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,3<b <4，则a 2b 的取值范围为( )A ．(1,3) B.⎝⎛⎭⎫43，94C.⎝⎛⎭⎫23，34D.⎝⎛⎭⎫12，1答案 A解析 因为－3<a <－2，所以a 2∈(4,9)，而3<b <4，故a 2b 的取值范围为(1,3)．4．若a >1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是() A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析 由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．已知a ，b ∈R ，则“|a |>|b |”是“a b >1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 不妨令a ＝1，b ＝0，故|a |>|b |不能推出a b >1，若a b >1，故a ，b 同号，若a ，b 都大于0，则a >b >0，从而|a |>|b |；若a ，b 都小于0，则a <b <0，从而|a |>|b |，故a b >1能推出|a |>|b |，从而“|a |>|b |”是“a b >1”成立的必要不充分条件．6．(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式恒成立的是() A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 B解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．设a ，b ，c ，d 为实数，且a >b >0>c >d ，则下列不等式正确的是( )A ．c 2>cdB ．a －c <b －dC ．ac <bdD.c a －d b >0 答案 D解析 因为a >b >0>c >d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 错误；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b， 故c a －d b>0，故选项D 正确． 8．若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a <1B.c －a b －a >c b C ．c a －1<b a －1D ．log c a <log b a答案 D解析 对于A ，∵b >c >1，∴b c>1. ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 错误；对于B ，若c －a b －a >c b， 则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·宜丰模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b>2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析 因为1a <1b<0， 所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立，所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b 解析 方法一 令a ＝13，b ＝23， 则2ab ＝49，a 2＋b 2＝19＋49＝59， 故a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 方法二 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12， 即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12， 即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－3π2，π2 解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2， ∴－3π2<2α－β<3π2. 又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2. 故－3π2<2α－β<π2.13．(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式恒成立的是( )A ．c <bB ．b ≤1C ．b ≤aD ．a <c 答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2， 两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .那么a ，b ，c ，d 的大小关系是________．答案 b >d >c >a解析 由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析 因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包括边界Ax＋By＋C≥0包括边界不等式组各个不等式表示的平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，在异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )教材改编题1．某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”， ∴x ≥95，y >380，z >45.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1<0，x ＋y －3≥0表示的区域(阴影部分)是( )答案 D解析 将点(0,0)代入x －y ＋1<0不成立，则点(0,0)不在不等式x －y ＋1<0所表示的平面区域内， 将点(0,0)代入x ＋y －3≥0不成立，则点(0,0)不在不等式x ＋y －3≥0所表示的平面区域内， 所以表示的平面区域不包括原点，排除A ，C ；x －y ＋1<0不包括边界，用虚线表示，x ＋y －3≥0包括边界，用实线表示，故选D. 3．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 92解析 根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当目标函数z ＝x ＋2y 经过点⎝⎛⎭⎫32，32时，z 取最大值为92.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1 (1)(2022·新乡模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥1，y ＋1≥0表示的平面区域的面积为______．答案 3解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，即B (0，－1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即C (3，－1)， S △ABC ＝12×|3－0|×|1－(－1)|＝3.(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x >m 表示的平面区域为三角形，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，3)解析 根据题意，先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝x ＋1，可得A (3,4)， 要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需m <3， 所以m 的取值范围为(－∞，3)．教师备选已知点A (3,0)，B (－3,2)，若直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，13 B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－13，1 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[1，＋∞) 答案 B解析 因为直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点， 所以点A 和点B 不同在直线的一侧， 所以(3a －0－1)(－3a －2－1)≤0， 解得a ≤－1或a ≥13.即a 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状．(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (2022·西安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≥2，3x ＋y ≤5所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋2分成面积相等的两个部分，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，B (0,5)，因为直线y ＝kx ＋2过定点C (0,2)， 所以C 点在可行域内，要使直线y ＝kx ＋2将可行域分成面积相等的两部分， 则直线y ＝kx ＋2必过线段AB 的中点D .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得⎝⎛⎭⎫32，12，即A ⎝⎛⎭⎫32，12， 所以AB 的中点D ⎝⎛⎭⎫34，114，将D 的坐标代入直线y ＝kx ＋2，得114＝34k ＋2，解得k ＝1.题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例2 (2021·浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －y ≤0，2x ＋3y －1≤0，则z ＝x －12y 的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－12 D.110答案 B解析 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝2x 并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 所以A (－1,1)，z min ＝－1－12＝－32.命题点2 求非线性目标函数的最值例3 (1)如果点P (x ，y )在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，则y ＋1x －2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－13 B.⎣⎡⎦⎤－2，－32 C.⎣⎡⎦⎤－2，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，2 答案 A解析 作出点P (x ，y )所在的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，y ＋1x －2表示动点P 与定点Q (2，－1)连线的斜率． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.于是k QE ＝1＋11－2＝－2，k QF ＝0＋1－1－2＝－13.因此－2≤y ＋1x －2≤－13.(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0，则(x －1)2＋y 2的最小值为( )A ．1 B.45 C.255 D ．2答案 B解析 结合题意作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，而(x －1)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与(1,0)的距离的平方， 又(1,0)到直线2x －y ＝0的距离为25， 故(x －1)2＋y 2的最小值为45.命题点3 求参数值或取值范围例4 已知k >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y －3≤0，y ≥k x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则k 等于( )A ．3B ．5 C.12 D.14答案 A解析 由不等式组知可行域只能是图中△ABC 内部阴影部分(含边界)所示，作直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，只有当l 过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最小值， 易知B (2，－k )， ∴4－k ＝1，解得k ＝3. 教师备选1．(2022·六安模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y －2≥0，x ＋y －5≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 C解析 不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ， 作出直线y ＝－2x ，向上平移过点C 时，z ＝2x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)， 所以z ＝2x ＋y 的最大值为2×3＋2＝8. 2．已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最大值为________．答案 10解析 根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2是指可行域内的动点(x ，y )与定点(0,0)之间的距离的平方， 由图可知，点P 到原点O 的距离的平方最大，又因为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以P (1,3)， 故z max ＝12＋32＝10.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝________.答案 3解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝a ，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，∴A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.①当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，x ＝z 无最小值，不满足题意； ②当a <0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，要使z 最小，则直线y ＝－1a x ＋za 在y 轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；③当a >0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，由图可知，当直线过点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，此时，－1a ≥－1，即a ≥1，此时z ＝a －12＋a ·a ＋12＝a 2＋2a －12＝7.即a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝3或a ＝－5(舍)． 思维升华 常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by . (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.跟踪训练2 (1)已知A (1,2)，点B (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1，则OA →·OB →的取值范围是________． 答案 [1,5]解析 作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝OA →·OB →，则z ＝x ＋2y ， 将z ＝x ＋2y 化为y ＝－12x ＋z 2，由图象可得，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (1,2)时，z 取最大值，最大值为5.当直线y ＝－12x ＋z2过点C (1,0)时，z 取最小值，最小值为1.∴OA →·OB →的取值范围是[1,5]．(2)(2022·平顶山模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，y －2≥0，x －1≥0，则z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值是______． 答案 52解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1，其中k ＝y ＋1x ＋1表示可行域内点P (x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5＝0，y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)， 由图可得k min ＝k CQ ＝2＋13＋1＝34， 所以z min ＝1＋2×34＝52.(3)(2022·金华模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a 的值为________． 答案 －1或2解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作直线l ：y －ax ＝0，在z ＝y －ax 中，y ＝ax ＋z ，a 是斜率，z 是纵截距，直线向上平移，z 增大，因此要使最大值的最优解不唯一，则直线l 与AB 或AC 平行， 所以a ＝－1或a ＝2.题型三 实际生活中的线性规划问题例5 (2022·新乡模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：体积(立方分米/件)重量(千克/件)快递员工资(元/件)甲批快件 20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为( ) A ．150元 B ．170元 C ．180元 D ．200元答案 B解析 设一次派送甲批快件x 件、乙批快件y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤350，10x ＋20y ≤250，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤35，x ＋2y ≤25，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，小马派送完毕获得的工资z ＝8x ＋10y (元)， 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝35，x ＋2y ＝25，解得x ＝15，y ＝5， 所以目标函数在点M (15,5)处取得最大值， 故z max ＝8×15＋10×5＝170(元)．所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元． 教师备选某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( ) A ．180 000元 B ．216 000元 C ．189 000元 D ．256 000元答案 B解析 设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，获利z 元． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y ，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．将z ＝2 100x ＋900y 化为y ＝－73x ＋z900，由图象可得，当直线y ＝－73x ＋z900过点M 时，在y 轴上的截距最大，即z 最大．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.3y ＝90，5x ＋3y ＝600，得M (60,100)，∴z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)， ∴利润最大为216 000元．思维升华 解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解—— 解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案．跟踪训练3 某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售．现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为( ) A ．2 400元 B ．2 560元 C ．2 816元 D ．4 576元答案 B解析 设甲型车x 辆，乙型车y 辆，运送这批水果的费用为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180，x ∈N ，y ∈N目标函数z ＝320x ＋504y ， 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈N ，0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180所表示的平面区域，如图所示的阴影部分(含边界)．作直线320x ＋504y ＝0，并平移，结合实际情况分析可得当直线过整点(8,0)时，z 取得最小值， 即z min ＝8×320＋0×504＝2 560(元)．课时精练1．将不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋y <0表示的平面区域记为F ，则属于F 的点是( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)答案 C解析 将点(1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧1≥0，2>0，故不在区域F 内，将点(－1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧－1<0，0＝0，故不在区域F 内，将点(－1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3≥0，－2<0，故在区域F 内，将点(1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧5≥0，0＝0，故不在区域F 内．2．(2022·合肥质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥0，x －y ≥0围成的封闭图形的面积是( )A ．12B ．6C ．9D ．15 答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，x －y ＝0得A (3,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x ＋y ＝0得B (3，－3)， 所以可行域的面积为12×3×6＝9.3．(2021·全国乙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，x －y ≤2，y ≤3，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．18B ．10C ．6D ．4 答案 C解析 方法一 (数形结合法)作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即点A 的坐标为(1,3)．从而z ＝3x ＋y 的最小值为3×1＋3＝6.方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．易知直线x ＋y ＝4与y ＝3的交点坐标为(1,3)，直线x ＋y ＝4与x －y ＝2的交点坐标为(3,1)，直线x －y ＝2与y ＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z ＝3x ＋y 可得z 的值分别为6,10,18，所以比较可知z min ＝6.方法三 (巧用不等式的性质)因为x ＋y ≥4，所以3x ＋3y ≥12. ① 因为y ≤3，所以－2y ≥－6.②于是，由①＋②可得3x ＋3y ＋(－2y )≥12＋(－6)，即3x ＋y ≥6，当且仅当x ＋y ＝4且y ＝3，即x ＝1，y ＝3时不等式取等号，易知此时不等式x －y ≤2成立． 4．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )答案 C解析 (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，即不等式表示的区域是同时在两直线的上方部分或同时在两直线的下方部分，只有选项C 符合题意．5．(2022·长沙模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1，则z ＝2x －y 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[1,3]C ．[－3,0]D ．[－3，－1]答案 A解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，即B (1，－1)，化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过原点时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，为2×0－0＝0；当直线y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值，为2×1－(－1)＝3， ∴z ＝2x －y 的取值范围是[0,3]．6．一小商贩准备用50元钱在某批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元．该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为( ) A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件 C ．甲4件，乙5件 D ．甲2件，乙6件答案 D解析 设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 件，利润为z 元，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50，x ，y ∈N ，z ＝x ＋1.8y ，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，结合实际情况，显然当y ＝－59x ＋59z 经过整点A (2，6)时，z 最大．7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －6≤0，x ＋y －1≥0，2x －y ＋1≥0，则z ＝y －1x ＋1的最大值是( )A.127 B.12 C ．1 D ．2答案 A解析 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝y －1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1,1)的连线的斜率， 由图可知z ＝y －1x ＋1的最大值在A 点取得，由⎩⎪⎨⎪⎧x －6＝0，2x －y ＋1＝0， 得A (6,13)， 所以z max ＝13－16＋1＝127.8．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是( )A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案 答案 D解析 设获得一等奖和二等奖的人数分别为x ，y (x ，y ∈N *)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤200，3x ≤y ，x ≥2，作出该不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，2≤x ≤4,6≤y ≤16，故x 可取2,3,4，故最多可以购买4份一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品， 购买奖品至少要花费2×20＋6×10＝100(元)，故A ，B ，C 正确； 当x ＝2时，y 可取6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16，共有11种， 当x ＝3时，y 可取9,10,11,12,13,14，共6种， 当x ＝4时，y 可取12，共1种， 故共有11＋6＋1＝18(种)，故D 不正确．9．已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，则实数b 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3)解析 因为点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，所以1＋2＋b <0，解得b <－3. 10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，则2y4x 的最小值为________． 答案 18解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，2y 4x ＝2y －2x，若使2y －2x 最小，需y －2x 最小． 令z ＝y －2x ，则y ＝2x ＋z ， z 表示直线在y 轴上的截距，根据平移知，当x ＝3，y ＝3时，z ＝y －2x 有最小值为－3， 则2y 4x 的最小值为2－3＝18. 11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4≥0，x ＋y －1≥0，x ≤1，若直线y ＝k (x －1)将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为________． 答案 －4解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,6)，B (1,0)，C (－1,2)．由于直线y ＝k (x －1)过定点B (1,0)且将可行域分成面积相等的两部分，所以当直线y ＝k (x －1)过线段AC 的中点D (0,4)时，△ABD 和△BCD 的面积相等， 此时k ＝k BD ＝4－00－1＝－4.12．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边．如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元． 答案 780解析 设每天安排电脑机和普通机各x ，y 台， 则一天可获利z ＝12×8x ＋10×6y ＝96x ＋60y ， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤15，12x ＋10y ≥100，0<x ≤7，0<y ≤5，画出可行域(图略)，可知当目标函数经过(5,5)时，z max ＝780.13．(2022·郑州模拟)已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的平面区域内的任意一点，且M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a ，则a 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．10 答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的可行域，如图中的阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，y ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，即点A (－3,1)，同理可得B (3,1)，C (0，－2)， 且OA ＝OB ＝10，OC ＝2，x 2＋y 2的几何意义为原点O 与可行域内的点M (x ，y )的距离的平方，由图可知，当点M 与点A 或点B 重合时，OM 取最大值，故x 2＋y 2的最大值为10， ∴a ≥10，即a 的最小值为10.14．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ≥a ，x ≤y ，且z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍，则a 等于( ) A.34 B.56 C.65 D.43 答案 B解析 根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线l ：y ＝2x ，平移直线l ，由图可知，当直线经过点D 时，直线在y 轴上的截距最小， 此时z ＝2x －y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝y ，可得D (1,1)， 所以z ＝2x －y 的最大值是1；当直线经过点B 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z ＝2x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝a ，可得B (a ,2－a )， 所以z ＝2x －y 的最小值是3a －2， 因为z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍， 所以6a －4＝1，解得a ＝56.15．实数对(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，且目标函数z ＝kx －y 当且仅当x ＝3，y ＝1时取最大值，则k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，1 D ．(－∞，1]答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,2)，B (4,2)，C (3,1)，由z ＝kx －y ，将直线l ：y ＝kx －z 进行平移可得直线在y 轴上的截距为－z ， 因此直线在y 轴上截距最小时，目标函数z 达到最大值． 因为当且仅当l 经过点C (3,1)时，目标函数z 达到最大值， 所以直线l 的斜率应介于直线AC 的斜率与直线BC 的斜率之间， k AC ＝1－23－1＝－12，k BC ＝2－14－3＝1，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. 16．(2022·宜春模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则2y 2－xy x 2的最小值是________． 答案 －18解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，k ＝yx 的几何意义为可行域内的点到原点的斜率， 由图象可知，OA 的斜率最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，x ＋2y －6＝0得A (2,2)， ∴0≤k ≤1，∴2y 2－xy x 2＝2⎝⎛⎭⎫y x 2－y x＝2k 2－k ＝2⎝⎛⎭⎫k －142－18≥－18⎝⎛⎭⎫当且仅当k ＝14时，取到最小值.。
与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习：第七章 不等式 推理与证明 7-4
七
不等式 推理与证明
章
第四节
基本不等式及其应用
高考概览 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的 最大(小)值问题.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：a，b∈R＋. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b
4．已知 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则( )
A．ab≤12
B．ab≥12
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
[解析] 由 a＋b＝2 得，ab≤a＋2 b2＝1，排除 A. 当 a＝0，b＝2，ab＝0 排除 B. 又a2＋2 b2≥a＋2 b2，可得 a2＋b2≥2. 再由特殊值，排除 D.
角度 2：二元函数的最值问题 (1)(2017·天津卷)若 a，b∈R，ab>0，则a4＋a4bb4＋1
的最小值为________． (2)已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为________． [思路引导] (1)直接用基本不等式． (2)将1a＋1b变形为(a＋b)1a＋1b，展开求最值．
[答案] 1＋2 6
2．(2015·湖南卷)若实数 a，b 满足1a＋2b＝ ab，则 ab 的最小 值为( )
A. 2 B．2 C．2 2 D．4
[解析] 解法一：由已知得1a＋2b＝b＋ab2a＝ ab，且 a>0，b>0， ∴ab ab＝b＋2a≥2 2 ab，当且仅当 a＝4 2，b＝24 2时“＝” 成立．∴ab≥2 2.
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到， 可利用函数单调性求解．
[跟踪演练] (2017·安徽安庆三模)随着社会的发展，汽车逐步成为人们的 代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生， 据调查某段公路在某时段内的车流量 y(千辆/时)与汽车的平均速 度 v(千米/时)之间有函数关系：y＝v2＋89v0＋0v1600(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最 大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数) (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/时，则汽车的平 均速度应控制在什么范围内？
与名师对话 高三文科第一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 第一节 不等式的性质、一元二次不等式
A．a2<－ab
B．|a|<|b|
踪 训
练
核
11
心 考
C.a>b
点
D．12a>12b
突
破
第18页
第7章 第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
[解析] 解法一：当a＝1，b＝－1时，满足a>0>b，此
基 础
时
知 识 回 顾
a2＝－ab，|a|＝|b|，
1 2
a<
1 2
b，∴选项A，B，D不一定
[解析]
(1)对于A，当a为正数，b为负数时，
1 a
>
1 b
，所
顾
以A错误；对于B，当a＝2，b＝12时，1a<1b，所以B错误；对
课 后 跟 踪
于C，因为1>b>－1⇒b2<1，且a>1，所以C正确；对于D，
训 练
核
心 考
当a＝1.1，a2＝1.21，b＝0.8,2b＝1.6时，a2<2b，所以D错
基
础
知
识
回 顾
基础
核 心 考 点 突 破
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高考总复习·课标版·数学(文)
知识回顾
课 后
跟
踪
训
练
第7章 第1节
与名师对话·系列丛书
高考总复习·课标版·数学(文)
基
础
知
识
回
顾
1．两个实数比较大小的方法
课 后
跟
a－b>0⇔a > b，
踪 训
练
核 心
(1)作差法a－b＝0⇔a ＝ ba，b∈R，
近年届高考数学一轮复习第七章不等式及推理与证明层级快练42文(2021学年)
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层级快练(四十二）1.(２018·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2）位于直线x+ｙ-１＝０的同一侧的是（ )Ａ.(0,0) ﻩB．(-1，1）C.(－1,３) ﻩD.（2,-3)答案C解析点（1，2）使x＋y－１〉0,点(-1,3）使ｘ＋y-1〉0，所以此两点位于ｘ＋y－1＝0的同一侧．故选Ｃ.2.不等式（ｘ＋2y＋1）(ｘ－y+４）≤0表示的平面区域为（ )答案B解析方法一:可转化为①错误!或②错误!由于(－2，0)满足②，所以排除Ａ,C，D选项．方法二：原不等式可转化为③错误!或④错误!两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域,故选B.3．（2017·天津,理)设变量x,ｙ满足约束条件错误!则目标函数z=x＋y的最大值为（）Ａ．2３B.1Ｃ。
＼f(3,2) ﻩ D.3答案 D解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=x＋y得ｙ＝-x＋ｚ，作出直线ｙ=-x,平移使之经过可行域,观察可知，最大值在Ｂ(0，３)处取得,故ｚｍaｘ=0+3=3,选项D符合.４．设关于x，ｙ的不等式组错误!表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0－2ｙ0=2,则ｍ的取值范围是( )Ａ．（－∞，＼f(4,3)）ﻩB．（－∞，＼ｆ（1,3）)C.（-∞，-错误!) D．（-∞，－错误!）答案Ｃ解析作出可行域如图．图中阴影部分表示可行域,要求可行域包含y＝错误!ｘ-１的上的点,只需要可行域的边界点（－ｍ，ｍ)在y＝＼f(1,2)x－１下方,也就是m〈－错误!m-1,即ｍ〈－错误!.5．(201６·北京，理）若x,y满足错误!则2ｘ＋ｙ的最大值为（）A.０ﻩＢ.３C.4 ﻩＤ.５答案 C解析不等式组错误!表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界）,由错误!解得错误!故当目标函数z=2x＋y经过点A（１,2)时，z取得最大值,ｚｍaｘ＝2×1+２＝４.故选C。
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课时跟踪训练(三十四)[基础巩固]一、选择题1、若a ,b ,c ∈R ,且a >b ,则下列不等式一定成立的是( ) A 、a ＋c ≥b －c B 、ac >bc C.c 2a －b>0 D 、(a －b )c 2≥0[解析] 当c ＝0时,B,C 不成立；当a ＝1,b ＝0,c ＝－2时,A 不成立；因为a －b >0,c 2≥0,所以D 成立、[答案] D2、(2018·陕西商洛商南高中模拟)下列命题为真命题的是( ) A 、若ac >bc ,则a >b B 、若a 2>b 2,则a >b C 、若1a >1b ,则a <bD 、若a <b ,则a <b[解析] 由ac >bc ,当c <0时,有a <b ,选项A 错误；若a 2>b 2,不一定有a >b ,如(－3)2>(－2)2,但－3<－2,选项B 错误； 若1a >1b ,不一定有a <b ,如12>－13,但2>－3,选项C 错误； 若a <b ,则(a )2<(b )2,即a <b ,选项D 正确、 故选D. [答案] D3、若m ＝3＋5,n ＝2＋6,则下列结论正确的是( ) A 、m <n B 、n <mC 、n ＝mD 、不能确定m ,n 的大小[解析] ∵m ＝3＋5,∴m 2＝8＋215,∵n ＝2＋6,∴n 2＝8＋212,∴m 2>n 2,∴m >n .[答案] B4、(2018·吉林省吉林一中月考)若a >b ,x >y ,下列不等式不正确的是( )A 、a ＋x >b ＋yB 、y －a <x －bC 、|a |x >|a |yD 、(a －b )x >(a －b )y[解析] 当a ≠0时,|a |>0,不等式两边同乘一个大于零的数,不等号方向不变、当a ＝0时,|a |x ＝|a |y ,故|a |x ≥|a |y .故选C. [答案] C5、若a ,b 为实数,则“ab <1”是“0<a <1b ”的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件[解析] 由a ,b 为实数,ab <1,可令a ＝－1,b ＝1,则ab ＝－1<1成立,但推不出0<a <1b ；由0<a <1b ,可得b >0,∴0<ab <1,可推出ab <1,∴“ab <1”是“0<a <1b ”的必要不充分条件、[答案] B6、(2016·浙江卷)已知a ,b >0且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A 、(a －1)(b －1)<0 B 、(a －1)(a －b )>0 C 、(b －1)(b －a )<0 D 、(b －1)(b －a )>0[解析][答案] D 二、填空题7、若ab <0,且a >b ,则1a 与1b 的大小关系是________、 [解析] ∵a >b ,∴b －a <0, 又ab <0,则1a －1b ＝b －a ab >0,即1a >1b . [答案] 1a >1b8、若a ＝ln33,b ＝ln22,则a 与b 的大小关系为________、 [解析] ∵a ＝ln33>0,b ＝ln22>0,∴a b ＝ln33·2ln2＝2ln33ln2＝ln9ln8＝log 89>1,∴a >b . [答案] a >b9、若角α,β满足－π2<α<β<π2,则2α－β的取值范围是________、 [解析] ∵－π2<α<β<π2,∴－π2<α<π2,－π2<β<π2,－π2<－β<π2,而α<β.∴－π<α－β<0,∴2α－β＝(α－β)＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2三、解答题10、比较下列各组中两个代数式的大小、 (1)3m 2－m ＋1与2m 2＋m －3； (2)a 2b ＋b 2a 与a ＋b (a >0,b >0)、[解] (1)∵(3m 2－m ＋1)－(2m 2＋m －3)＝m 2－2m ＋4＝(m －1)2＋3>0,∴3m 2－m ＋1>2m 2＋m －3.(2)∵a 2b ＋b2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )ab ＝(a －b )(a 2－b 2)ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab . 又∵a >0,b >0,∴(a －b )2(a ＋b )ab≥0,故a 2b ＋b 2a ≥a ＋b . [能力提升]11、(2018·黑龙江大庆实验中学期末)若x ∈(0,1),a ＝ln x ,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ,c＝2ln x ,则a ,b ,c 的大小关系是( )A 、a >b >cB 、b >a >cC 、b >c >aD 、c >b >a[解析] 因为x ∈(0,1),所以a ＝ln x <0,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x>1,0<c ＝2ln x <1,所以b >c >a ,故选C.[答案] C12、已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ,且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3,则( )A 、c ≤3B 、3<c ≤6C 、6<c ≤9D 、c >9[解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得,－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ,消去c得⎩⎨⎧3a －b ＝7，5a －b ＝19，解得⎩⎨⎧a ＝6，b ＝11，于是0<c －6≤3,即6<c ≤9.故选C.[答案] C13、用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于216 m 2,靠墙的一边长为x m,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________、[解析] 矩形靠墙的一边长为x m,则另一边长为30－x2 m,即⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2 m,根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.[答案]⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥21614、已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ,则实数b 的取值范围是________、[解析] ∵ab 2>a >ab ,∴a ≠0, 当a >0时,b 2>1>b ,即⎩⎨⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时,b 2<1<b ,即⎩⎨⎧b 2<1，b >1，此式无解、综上可得实数b 的取值范围为(－∞,－1)、 [答案] (－∞,－1)15、已知b >a >0,x >y >0,求证：x x ＋a >yy ＋b.[证明] x x ＋a －yy ＋b ＝x (y ＋b )－y (x ＋a )(x ＋a )(y ＋b )＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b ).∵b >a >0,x >y >0, ∴bx >ay ,x ＋a >0,y ＋b >0, ∴bx －ay(x ＋a )(y ＋b )>0, ∴x x ＋a >y y ＋b. 16、(2017·大连模拟)设f (x )＝ax 2＋bx ,若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4,求f (－2)的取值范围、[解] 解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ,n 为待定系数),则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b ),即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎨⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1，∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)、 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4,∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10,故5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎨⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分,当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时,取得最小值4×32－2×12＝5,当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时, 取得最大值4×3－2×1＝10,∴5≤f (－2)≤10.[延伸拓展](2017·安徽合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且满足b ＋c ≤3a ,则ca 的取值范围为( )A 、(1,＋∞)B 、(0,2)C 、(1,3)D 、(0,3)[解析] 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，1＋b a >c a ，1＋c a >b a，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得,0<2×ca <4,∴ca 的取值范围为(0,2),故选B. [答案] B。