2014-2015学年河南省周口市中英文学校高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

2014-2015学年河南省周口市中英文学校高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{﹣1，2}D．{﹣1，1，2}2．（5分）下列函数中，为奇函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=lnx C．f（x）=2πD．f（x）=sinx3．（5分）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）集合A=，集合B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩∁R B=（）A．[2，3]B．（1，2]C．[3，8]D．（3，8]5．（5分）已知tanα=4，则的值为（）A．4 B．C．4 D．6．（5分）函数y=cos2x的图象可以看作由y=cos2x+sinxcosx的图象（）得到．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移单位长度D．向右平移单位长度7．（5分）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围（）A．（0，1]B．（0，1） C．[1，+∞）D．（0，+∞）8．（5分）若函数f（x）=sinx﹣kx存在极值，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．[0，1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）9．（5分）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，已知b=5c，cosA=，则sinB=（）A．B．C．D．11．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣212．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3，若函数g（x）=f（x）﹣m，在x∈[﹣2，5]上有3个零点，则m的取值范围为（）A．[1，8]B．（﹣24，1]C．[1，8） D．（﹣24，8）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）已知10a=5，b=lg2，则a+b=．15．（5分）若函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象过点（2，﹣1），且函数y=f（x）的图象与函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（10分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的取值范围．18．（12分）在△ABC中，A=60°，3b=2c，S△ABC=．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sinB的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（a﹣b）（sinA﹣sinB）=csinC﹣asinB．（1）求角C的大小；（2）若c=，a＞b，且△ABC的面积为，求的值．20．（12分）如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧．设|PH|=t，△APH的面积为f（t）．（Ⅰ）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：（1）试确定f（x）的解析式；（2）若f（）=，求的值．22．（12分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．2014-2015学年河南省周口市中英文学校高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{﹣1，2}D．{﹣1，1，2}【解答】解：根据交集的定义A∩B={x|x∈A，且x∈B}，∵A={﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={1，2}．故选：B．2．（5分）下列函数中，为奇函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=lnx C．f（x）=2πD．f（x）=sinx【解答】解：对于A、B，定义域分别为[0，+∞）、（0，+∞），定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数；对于C，是非零常函数，是偶函数；f（x）=sinx定义域为（﹣∞，+∞），f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx=﹣f（x）．是奇函数．故选：D．3．（5分）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当时，成立．当α=时，满足，但不成立．故“”是“”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）集合A=，集合B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩∁R B=（）A．[2，3]B．（1，2]C．[3，8]D．（3，8]【解答】解：∵集合A=={x|﹣x2+10x﹣16≥0}={x|2≤x≤8}，∴集合B={y|y=log2x，x∈A}={y|1≤y≤3}，∴C U B={y|y＜1，或y＞3}，∴A∩C R B={x|3＜x≤8}．故选：D．5．（5分）已知tanα=4，则的值为（）A．4 B．C．4 D．【解答】解：======故选：B．6．（5分）函数y=cos2x的图象可以看作由y=cos2x+sinxcosx的图象（）得到．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移单位长度D．向右平移单位长度【解答】解：由于函数y=cos2x+sinxcosx==cos（2x﹣），把它的图象向左平移个单位，可得y=cos[2（x+）﹣]=cos2x的图象，故选：A．7．（5分）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围（）A．（0，1]B．（0，1） C．[1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵当时，y=tanx，单调递增，∴要使f（x）在（﹣）上单调递增，如图的示意图则，即，解得0＜a≤1．故实数a的取值范围是（0，1]．故选：A．8．（5分）若函数f（x）=sinx﹣kx存在极值，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．[0，1） C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：∵函数f（x）=sinx﹣kx，∴f′（x）=cosx﹣k，当k≥1时，f′（x）≤0，∴f（x）是定义域上的减函数，无极值；当k≤﹣1时，f′（x）≥0，∴f（x）是定义域上的增函数，无极值；当﹣1＜k＜1时，令f′（x）=0，得cosx=k，从而确定x的值，使f（x）在定义域内存在极值；∴实数k的取值范围是（﹣1，1）．故选：A．9．（5分）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（）+sinα=sinα++sinα==﹣∴∴sin（）=﹣∵cos（α+）=cos（）=﹣sin（）=故选：D．10．（5分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，已知b=5c，cosA=，则sinB=（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，∵cosA=，∴sinA=．∵b=5c，由正弦定理可得sinB=5sinC．∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=cosB+sinB，把sinB=5sinC代入，整理得cosB=﹣5sinC．再由sin2B+cos2B=1 可得sinC=．∴sinB=5sinC=，故选：D．11．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．12．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+3，若函数g（x）=f（x）﹣m，在x∈[﹣2，5]上有3个零点，则m的取值范围为（）A．[1，8]B．（﹣24，1]C．[1，8） D．（﹣24，8）【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x2﹣2x﹣3）=3（x﹣3）（x+1），令f′（x）=0，解得x=﹣2或3．其单调性如表格：可知：当x=3时，函数f（x）取得极小值，f（3）=33﹣3×32﹣9×3+3=﹣24，又f﹣2）=（﹣2）3﹣3×（﹣2）2﹣9×（﹣2）+3=1，可知最小值为f（3），即﹣24．当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，f（﹣1）=（﹣1）3﹣3×（﹣1）2﹣9×（﹣1）+3=8，又f（5）=53﹣3×52﹣9×5+3=8，可知函数f（x）的最大值为f（5）或f（﹣1），即为8．画出图象y=f（x）与y=m．由图象可知：当m∈（1，8）时，函数y=f（x）与y=m的图象由三个交点．因此当m∈（1，8）时，函数g（x）=f（x）﹣m在x∈[﹣2，5]上有3个零点．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数的定义域是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，则x2+x≥0，解得x≥0或x≤﹣1．即函数的定义域为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．14．（5分）已知10a=5，b=lg2，则a+b=1．【解答】解：∵10a=5，∴a=lg5，∴a+b=lg5+lg2=lg10=1．故答案为：1．15．（5分）若函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象过点（2，﹣1），且函数y=f（x）的图象与函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）x．【解答】解：∵函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象过点（2，﹣1），∴﹣1=log a2，解得a=∵函数y=f（x）的图象与函数y=的图象关于直线y=x对称，∴函数y=f（x）是函数y=的反函数，可得f（x）=（）x，故答案为：（）x16．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（10分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的取值范围．【解答】解：（I）f（x）=cos2x+cos（﹣2x）=cos2x+sin2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴f（x）最小正周期为T=π；（II）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，即﹣≤2sin（2x+）≤2，则f（x）取值范围为[﹣，2]．18．（12分）在△ABC中，A=60°，3b=2c，S△ABC=．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sinB的值．【解答】解：（Ⅰ）由A=60°和可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以bc=6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又3b=2c，所以b=2，c=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为b=2，c=3，A=60°，由余弦定理a2=c2+b2﹣2bccosA可得a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由正弦定理可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以sinB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（a﹣b）（sinA﹣sinB）=csinC﹣asinB．（1）求角C的大小；（2）若c=，a＞b，且△ABC的面积为，求的值．【解答】解：（1）△ABC中，由（a﹣b）（sinA﹣sinB）﹣csinC﹣asinB，利用正弦定理可得（a﹣b）（a﹣b）=c2﹣ab，即a2+b2﹣c2=ab．再利用余弦定理可得，cosC==，∴C=．（2）由（1）可得即a2+b2﹣ab=7 ①，又△ABC的面积为=，∴ab=6 ②．由①②可得=．20．（12分）如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧．设|PH|=t，△APH的面积为f（t）．（Ⅰ）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．【解答】解：（I）由已知可得，所以点P的横坐标为t2﹣1，因为点H在点A的左侧，所以t2﹣1＜11，即．由已知t＞0，所以，所以AH=11﹣（t2﹣1）=12﹣t2，所以△APH的面积为．（II），由f'（t）=0，得t=﹣2（舍），或t=2．函数f（t）与f'（t）在定义域上的情况如右图：所以当t=2时，函数f（t）取得最大值8．21．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：（1）试确定f（x）的解析式；（2）若f（）=，求的值．【解答】解：（1）由图可知，A=2，=﹣=，又ω＞0，∴T==2，∴ω=π；由图可知，f（x）=Asin（ωx+φ）经过（，2），∴ω+φ=，即+φ=，∴φ=，∴f（x）=2sin（πx+）；（2）∵f（）=，∴2sin（+）=，∴sin（+）=cos[﹣（+）]=cos（﹣）=，∴cos（﹣α）=2﹣1=2×﹣1=﹣．22．（12分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，，∴f（1）=1，f'（1）=2，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣1=0；（II）函数f（x）=x+alnx，．当a≥0时，在x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）与f'（x）在定义域上的情况如下：∴f（x）的单调减区间为（0，﹣a），单调增区间为（﹣a，+∞）．∴当a≥0时f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调减区间为（0，﹣a），单调增区间为（﹣a，+∞）．（III）由（II）可知，①当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有，f（1）=1＞0，此时函数有零点，不符合题意；②当a=0时，函数f（x）=x，在定义域（0，+∞）上没零点；③当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，∴当f（﹣a）=a（ln（﹣a）﹣1）＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点．综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．。