双流棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学(文)试题
四川省棠湖中学2020届高三第一次高考适应性考试数学(文)试题
绝密★启用前 四川省棠湖中学2020届高三第一次高考适应性考试数学（文）试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若集合{}2|log 3A x x =<，{}2|280B x x x =--≤，则A B =（ ） A ．{}|8x x < B ．{}|24x x -≤≤ C ．{}|28x x -≤< D ．{}|04x x <≤ 2．复数12i z i -+=+的虚部为（ ） A ．35i - B ．35 C ．35i D ．35 3．已知0.250.5log 2,1og 0.2,0.5a b c ===，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b 4．下边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.()modm n N ≡表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如()104mod6≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）装…………○…………订○…………线…………○……※※要※※在※※装※※订※※线※※内 装…………○…………订○…………线…………○…… A ．11 B ．13 C ．14 D ．175．新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（ ）A ．样本容量为240B ．若样本中对平台三满意的人数为40，则40%m =C ．总体中对平台二满意的消费者人数约为300D ．样本中对平台一满意的人数为24人6．设不同直线1:10l x my -+=，()2:1220l m x y ---=，则“2m =”是“12//l l ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图．四边形ABCD 是正方形，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，BEF 是等边三角形，在正方形ABCD 内随机取一点，则该点取自BEF 内的概率为（ ）………线…………○……………线…………○……A ．2B ．13C ．3D 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若62a =，()()21039212a a a a ++=，则5S =（ ） A ．5 B ．3 C ．3- D ．5- 9．已知,a b 是单位向量，且()2,1a b +=-，则a b -=（ ） A ．1 B C D ．2 10．已知圆22240x y x y +-+=关于双曲线()22:1021x y C m m m -=>+的一条渐近线对称，则m =（ ） A ．12 B ．13 C ．15 D ．17 11．已知三棱锥P ABC -，面PAB ⊥面ABC ，4PA PB ==，AB =90ACB ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积（ ） A ．20π B ．32π C ．64π D ．80π 二、多选题 12．已知函数()22log x f x x =+，且实数0a b c >>>，满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x b < D ．0x c < 第II 卷（非选择题）……○…………※※请※※不……○…………评卷人 得分…订…………○…………线____考号：___________…订…………○…………线 （2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 临界值表： 19．如图1，已知菱形AECD 的对角线,AC DE 交于点F ，点E 为线段AB 的中点，2AB =，60BAD ∠=︒，将三角形ADE 沿线段DE 折起到PDE 的位置，PC =，如图2所示．…○…………装…………………线…………○……※※请※※不※※要※※在※※装…○…………装…………………线…………○……（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PCF；（Ⅱ）求三棱锥E PBC-的体积．20．已知函数2()(1)f x a x=+，()xg x xe=.（1）若()g x的切线过(4,0)-，求该切线方程；（2）讨论()f x与()g x图像的交点个数.21．已知圆221:2C x y+=，圆222:4C x y+=，如图，12,C C分别交x轴正半轴于点,E A.射线OD分别交12,C C于点,B D，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点E作直线l交曲线C与点,M N，射线OH l⊥与点H，且交曲线C于点Q.问：211MN OQ+的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为xyφφ⎧=⎪⎨=⎪（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； （2）已知曲线C 3的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，A 、B 均异于原点O ，且||AB =求实数α的值． 23．已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ．（1）解不等式()9f x ≤； （2）若方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解，求实数a 的取值范围．参考答案1．C【解析】【分析】解对数不等式和一元二次不等式确定集合,A B ，然后由并集概念求解．【详解】解：{}|08A x x =<<，{}|24B x x =-≤≤，{}|28A B x x ∴=-≤<， 故选：C .【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质和解一元二次不等式，掌握对数函数性质是解题关键．2．D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵z ()()()()1211322255i i i i i i i -+--+===-+++-， ∴复数z 12i i -+=+的虚部为35． 故选：D【点睛】本题考查的是复数的运算及其概念，较简单.3．B【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.【详解】555log 1log 2log <<，∴102a <<，2221og 1og 54>=，∴2b >，10.200.50.50.5<<，∴112c <<， ∴a c b <<，故选：B.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意中间变量的引入.4．D【解析】【分析】根据程序框图依次执行循环，直至跳出循环，输出结果.【详解】 ()()11,112mod3,113mod4n =≡≡继续执行循环：()12,120mod3,n =≡继续执行循环：()13,131mod3,n =≡继续执行循环：()()14,142mod3,142mod4n =≡≡继续执行循环：()15,150mod3,n =≡继续执行循环：()16,161mod3,n =≡继续执行循环：()()17,172mod3,171mod4n =≡≡跳出循环，输出17n =故选：D【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.5．B【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.求出样本容量为240判断选项A 的正误；求出40m =判断选项B 的正误；计算出总体中对平台二满意的消费者人数约为300判断选项C 的正误；计算出样本中对平台一满意的人数为24人判断选项D 的正误.【详解】选项A ，样本容量为60004%240⨯=，该选项正确；选项B ，根据题意得平台三的满意率4040%25004%=⨯，40m =，不是40%m =，该选项错误；选项C ，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意人数约为150020%300⨯=，该选项正确；选项D ，总体中对平台一满意人数约为20004%30%24⨯⨯=，该选项正确.故选：B ．【点睛】本题主要考查分层抽样，考查用样本估计总体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．C【解析】【分析】根据两条直线平行的条件，求得m 的值，就可以判断是“2m =”是“12//l l ”的什么条件．【详解】当2m =时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立12//l l 时，显然0m ≠，从而有()210m m -+-=，解得2m =或1m =-，但当1m =-时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选:C【点睛】本题考查了两条直线平行的条件和充要条件这两个知识点,属于简单题,在做题时注意使用以下三种方法,对充分、必要条件之间的关系进行判断充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．7．C【解析】【分析】连接BD 交EF 于G ，根据题意，得到15ABE ∠=︒，设等边三角形BEF 的边长为2，分别求出三角形BEF 的面积，以及正方形ABCD 的面积，进而可得所求概率.【详解】连接BD 交EF 于G ，则BD EF ⊥，EG FG =，所以15ABE ∠=︒．设等边三角形BEF 的边长为2，所以2cos15AB =︒，所以正方形ABCD 的面积为()221cos302cos154cos 15422+︒︒=︒=⨯=，等边三角形BEF 的面积为12222⨯⨯⨯=故所求的概率3P ==．【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.8．D【解析】【分析】根据等差数列的项的下标的性质可得31a =-，再根据535S a =计算可得结果.【详解】由题意得()()()()()210396339636322224412a a a a a a a a a a a a ++=++=+=+=， 可得31a =-，所以5355S a ==-，故选：D【点睛】本题考查了等差数列的项的下标的性质，考查了等差数列的前n 项和公式，属于基础题. 9．A【解析】【分析】将已知等式两边平方，结合单位向量可得21a b ⋅=，再根据222a b a a b b -=-⋅+计算可得结果.【详解】因为,a b 是单位向量，()2,1a b +=-，所以2()(2,1)1)a b +=-⋅-，所以22222(1)(1)a b a b ++⋅=⨯+-⨯-， 所以21a b ⋅=所以2221111a b a a b b -=-⋅+=-+=， 故选：A【点睛】本题考查了平面向量的数量积的运算，考查了求平面向量的模，属于基础题.10．D【解析】【分析】将圆心()1,2-的坐标代入渐近线y =可得结果即可. 【详解】因为圆22240x y x y +-+=关于双曲线()22:1021x y C m m m -=>+的一条渐近线对称，则圆心()1,2-在渐近线y =2=，17m =， 故选：D .【点睛】 本题考查了圆的一般方程，考查了圆的对称性，考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题. 11．C【解析】【分析】作出图形，取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，推导出PD ⊥平面ABC ，可知球心O 在直线PD 上，然后在Rt OAD 中由勾股定理可求得外接球的半径R ，则外接球的表面积可求.【详解】如下图所示，取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，4PA PB ==，D 为AB 的中点，PD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，交线为AB ，PD ⊂平面ABC ，PD ∴⊥平面ABC ，90ACB ∠=,D ∴为Rt ABC 外接圆圆心，则球心O 在直线PD 上，设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则2OD R =-，4AB =AD =2PD ==，在Rt OAD 中，由勾股定理得222OA OD AD =+，即()22212R R =-+，解得4R =，因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2464R ππ=.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解答的关键在于找出球心的位置，并通过列等式计算球的半径，考查计算能力，属于中等题.12．ABC【解析】【分析】由题意，确定函数为增函数，进而得知()f a ，()f b ，()f c 中一项为负的，两项为正的，或者三项都是负的，分类讨论分别求得可能成立选项，从而得到答案.【详解】由函数的单调性可得，函数()22log xf x x =+在()0,∞+为增函数， 由()()()0f a f b f c <， 则()()()f a f b f c ，，为负数的个数为奇数，对于选项A B C ，，，选项可能成立对于选项D ，当0x c <时，函数的单调性可得：()()()000f a f b f c >>>，，即不满足()()()0f a f b f c <，故选项不可能成立，故选：ABC【点睛】本题考查了函数的单调性，属于中档题.13．3-【解析】【分析】作出可行域，令z x y =+，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出x y +的最小值.【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示，令z x y =+，所以y x z =-+，显然直线过10x y -+=与20x y -=的交点时，z 最小，1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，此时3x y +=-， 故答案为：3-.【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14．2,13- 【解析】【分析】根据题意列出关于1a 、d 的方程组，即可解出这两个量的值.【详解】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 【点睛】 本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键就是根据题意列出关于首项和公差的方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.15．599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】根据函数的奇偶性作出函数()f x 的图象，利用换元法判断函数()t f x =的根的个数，利用数形结合即可得出结论．【详解】作出函数()f x 的图象如图：则()f x 在(,2)-∞-和(0,2)上递增，在(20)-，和(2)，+∞上递减， 当2x =±时，函数取得极大值54； 当0x =时，取得极小值0，关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦(,a b ∈R )有且仅有6个不同的实数根，设()t f x =，则当0t <，方程()t f x =有0个根，当0t =，方程()t f x =有1个根，当01t <≤或54t =，方程()t f x =有2个根， 当514t <<，方程()t f x =有4个根， 当54t >，方程()t f x =有0个根． 则20t at b ++=必有两个根1t 、2t ，则有两种情况符合题意： ①154t =，且2t ∈514⎛⎫ ⎪⎝⎭，，此时12a t t -=+， 则5924a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，； ②(]101t ∈，，2514t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 此时同理可得914a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，， 综上可得a 的范围是599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查函数与方程，考查函数的表示法以及一次函数和二次函数，考查数形结合思想，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.16．4π 【解析】【分析】利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简()320AB AC BC +⋅=，可得到22255b c a -=，化简2BA tBC -，并利用二次函数求最值，求出2BA tBC -的最小值，且使最小值等于23625a ，可得2285c a =，进而得出2295b a =，最后利用余弦定理即可得解. 【详解】 设ABc =，BC a =，AC b =，()32AB AC BC +⋅()()32AB AC AC AB =+⋅-2223b c AC AB =-+⋅2223cos b c bc BAC =-+∠22222232b c a b c +-=-+ ()320AB AC BC +⋅=，∴222222302b c a b c +--+=，∴22255b c a -=， 2BA tBC -2222cos c t a tac B =+- 22222222a c b c t a t +-=+-⋅ 222245a t a t c =-+ 222224525a t c a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∴BA tBC -的最小值为22425c a -， ∴2224362525c a a -=，解得2285c a =，∴2295b a =，22222298cos 2a a a b c a BAC bc +-+-∠===， 02BAC π<∠<，∴4BAC π∠=. 故答案为：4π. 【点睛】 本题考查了向量的减法运算和数量积，余弦定理以及二次函数求最值问题，考查学生的运算求解能力，属于综合题，难度较大. 利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简()320AB AC BC +⋅=，得出三角形三边的关系是解题的关键.17．（1）60C ∠=°（2）BC =【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及ADB ∠的范围，得出ADB ∠的值，再借助ADB C DAC ∠=∠+∠即可得解；（2）设12BD CD a ==，根据已知条件和勾股定理求出AC =，进而得到cos C ∠的值，再利用余弦定理即可得解.【详解】（1）由正弦定理：sin 30sin BD AB ADB=︒∠，得sin 30sin AB ADB BD ⋅︒∠==， 60180ADB ︒<∠<︒，∴120ADB ∠=︒，∴120C DAC ∠+∠=︒，60=︒∠DAC ，∴60C ∠=°.（2）设12BD CD a ==，=AB ，∴AB =，∴AC =，从而cos AC C BC ∠==由余弦定理222cos2AC DC AD C AC DC +-∠=⋅，即223=，解得a =BC =【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题.平面几何中解三角形问题的求解思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.18．（1）填表见解析，作图见解析（2）能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关【解析】【分析】（1）由题意计算出各组人数后即可完成列联表，进而可补全等高条形图；（2）代入公式计算出2K，与3.841比较即可得出结论.【详解】（1）根据题意填写列联表如下，完善等高条形图，如图所示；（2）计算22 2()1000(42080180320) ()()()()600400740260n ad bcKa b c d a c b d-⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯12.474 3.841≈>，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关. 【点睛】本题考查了独立性检验的应用，考查了计算能力，属于中档题.19．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）1 8【解析】 【分析】（Ⅰ）折叠前，AC ⊥DE ；，从而折叠后，DE ⊥PF ，DE ⊥CF ，由此能证明DE ⊥平面PCF ． 再由DC ∥AE ，DC ＝AE 能得到DC ∥EB ，DC ＝EB ．说明四边形DEBC 为平行四边形．可得CB ∥DE ．由此能证明平面PBC ⊥平面PCF ．（Ⅱ）由题意根据勾股定理运算得到PF CF ⊥，又由（Ⅰ）的结论得到BC ⊥ PF ，可得PF ⊥平面BCDE ，再利用等体积转化有13E PBC P BCE BCE V V S PF --∆==⨯⨯，计算结果.【详解】（Ⅰ）折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC DE ⊥；所以折叠后，DE PF ⊥，DE CF ⊥, 又PF CF F ⋂=，,PF CF ⊂平面PCF ， 所以DE ⊥平面PCF因为四边形AECD 为菱形，所以//,AE DC AE DC =． 又点E 为线段AB 的中点，所以//,EB DC EB DC =． 所以四边形DEBC 为平行四边形． 所以//CB DE ．又DE ⊥平面PCF ，所以BC ⊥平面PCF ． 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF ．（Ⅱ）图1中，由已知得2AF CF ==，1BC BE ==，60CBE ∠=︒所以图2中，PF CF ==，又PC =所以222PF CF PC +=，所以PF CF ⊥ 又BC ⊥平面PCF ，所以BC ⊥ PF 又BC CF C ⋂=，,BC CF ⊂平面BCDE ， 所以PF ⊥平面BCDE ， 所以1113111sin603328E PBC P BCE BCE V V S PF --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=．所以三棱锥E PBC -的体积为18． 【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了三棱锥体积的求法，运用了转化思想，是中档题．20．（1）2(4)y e x -=-+；（2）0a ≥时，只有一个交点；0a <时，有两个交点【解析】 【分析】（1）求()g x 的导数，设切点为()00,x y ，利用斜率相等，求出0x 和k ，即可得出切线方程；（2）设()()()F x g x f x =-，讨论()F x 零点个数，分0a =，0a <和0a >三种情况求导分析函数单调性求出零点，即可得出结论. 【详解】（1）()x g x xe =，则()(1)xg x x e '=+，设切点为()00,x y ，则()()000000014x x x e g x x e x -'==++， 化简得200054x x x =++， 所以02x =-，2k e -=-， 所以切线方程为2(4)y e x -=-+. （2）设()()()F x g x f x =-， 即讨论()F x 零点个数.()()(1)2(1)(1)2x x F x x e a x x e a '=+-+=+-， 0a =时，()F x 只有一个零点；0a <时，()F x 在(,1)-∞-上单调递减，(1,)-+∞单调递增，1(1)0F e-=-<，x →-∞，x →+∞时，()F x 均∞→+，此时，()F x 有两个零点，0a >时，x →-∞时，()F x →-∞，x →+∞时()F x →+∞，由()0F x '=得1x =-，ln(2)x a =， 若12a e=时，()F x 在R 单增，只有一个零点； 若12a e ≠时，1(1)0F e-=-<， 2(ln(2))ln (2)0F a a a a =--<，极大值极小值均小于0，从而也只有一个零点. 综上，0a ≥时，只有一个交点； 0a <时，有两个交点.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的切线方程，利用导数求函数的交点个数.主要考查了学生分析问题和解决问题的能力.属于较难题.21．（1）22142x y +=（2）是定值，为34. 【解析】 【分析】(1) 设BOE α∠=,再根据三角函数的关系可得2cos P x α=,P y α=,进而消参求得轨迹C 的方程即可.(2) 设直线l 的方程为x my =+再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简211MN OQ +,代入韦达定理求解即可. 【详解】解：方法一：（1）如图设BOE α∠=,则)Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =, 由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,也满足.（2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l的方程为x my =+0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由2224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()22220m y ++-=所以122122222y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩,所以()221241m MN m +==+ 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m=+ 222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解以及联立直线与椭圆的方程求解线段弦长与证明定值的问题,属于难题.22．（1）22(3x y +=，22(1)1x y -+=；（2）512πα=或1112πα=． 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1φφ+=可得曲线1C 的普通方程 ，将2cos ρθ=左右两边同时乘以ρ，再化为直角坐标方程；（2）将曲线3C 与曲线12,C C 的极坐标方程分别联立，求出,A B 两点的极径，则||A B AB ρρ=-，可求得实数α的值.【详解】（1）由曲线C 1的参数方程x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），即cos sin φφ==，得曲线C 1的普通方程为22(3x y +=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，由曲线C 2的极坐标方程2cos ρθ=， 得C 2的直角坐标方程为22(1)1x y -+=； （2）曲线C 1化为极坐标方程为ρθ=， 设()()12,,,A B ραρα，则12,2cos ραρα==，∴|||2cos |4sin 6AB πααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由||AB =sin 62πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， ∵5666πππα-<-<，∴64ππα-=或364ππα-=， ∴512πα=或1112πα=． 【点睛】本题考查直线的参数方程与极坐标方程，是高考的重要考点，解题的关键是熟练掌握极坐标与直角坐标的互化，属于中档题．23．（1）[]2,4-（2）19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）根据题意，原问题可以等价函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[]0,2上有交点，结合二次函数的性质分析函数25y x x =-+的值域，即可得答案． 【详解】解：（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，故2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；解得：24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； 不等式的解集为[]2,4-；（2）由题意：()225f x x a a x x =-+⇔=-+，[]0,2x ∈．故方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+，图像在区间[]0,2上有交点当[]0,2x ∈时，2195,74y x x =-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴实数a 的取值范围是19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．。
【一轮复习】四川省成都市双流区棠湖中学2020-2021学年高三(上)开学数学试卷 (文科)(解析版)
2020-2021学年四川省成都市双流区棠湖中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝（）A．{3} B．{2，5} C．{2，3，4} D．{1，2，4，5}2．已知复数z满足z（2+3i）＝13，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如图的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母a代替．已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为（）A．20 20 B．21 20 C．20 21 D．21 214．已知α∈R，则“tanα＝2”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y（）A．有最小值0 B．有最大值C．有最大值0 D．无最小值6．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm2）是（）A．B．C．D．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．9．已知定义在R上的函数f（x）＝3sinx﹣2x+1，则在[﹣5，5]上f（x）的最大值与最小值之和等于（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+a n＝2n（n∈N*），则a7＝（）A．B．C．D．11．已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若FA＝BP，∠AOB＝120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知实数a、b满足log2a＝log3b，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有（）①a b＜b a；②a a＝b b；③a b＞b a；④a b＜a a；⑤b b＜b a．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等比数列{a n}中，a2＝1，a5＝﹣8，则{a n}的前5项和为．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为．15．过P（1，2）的直线l把圆x2+y2﹣4x﹣5＝0分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线l的方程为．16．在三棱锥B﹣ACD中，BA，BC，BD两两垂直，BC＝2，BD＝4，三棱锥B﹣ACD的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求cos2C的值．18．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．（1）求m，n的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替）2×2列联表男女合计消费金额≥300消费金额＜300合计临界值表：P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828，其中n＝a+b+c+d19．如图，四棱锥S﹣ABCD的侧面SAD是正三角形，AB∥CD，且AB⊥AD，AB＝2CD＝4，E是SB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）若平面SAD⊥平面ABCD，且，求多面体SACE的体积．20．已知椭圆Γ＞0）的离心率为，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ截得的弦长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A，B均在椭圆Γ上，点C在抛物线上，若△ABC的重心为坐标原点O，且△ABC的面积为，求点C的坐标．21．已知函数．（1）若点P（x0，y0）为函数f（x）与g（x）图象的唯一公共点，且两曲线存在以点P为切点的公共切线，求a的值：（2）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数，m∈R）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程：（2）已知，点P是曲线C2上一点，点P到曲线C1的最大距离为，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣2|＞2的解集为M．（1）求集合M；（2）已知t为集合M中的最小正整数，若a＞1，b＞1，c＞1，且（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＝t，求证：abc≥8．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝（）A．{3} B．{2，5} C．{2，3，4} D．{1，2，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3}．故选：A．2．已知复数z满足z（2+3i）＝13，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．解：由z（2+3i）＝13，得z＝，∴＝2+3i，∴在复平面内对应的点的坐标为（2，3），位于第一象限．故选：A．3．在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如图的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母a代替．已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为（）A．20 20 B．21 20 C．20 21 D．21 21【分析】甲乙成绩的平均数相同，得a＝4，易得甲乙成绩的中位数．解：甲乙成绩的平均数相同，由在一次模拟测试中两人成绩的茎叶图，知：（16+18+18+a+20+24+28）＝（18+18+20+20+24+28），解得a＝4，甲的中位数为：＝21，乙的中位数为20．故选：B．4．已知α∈R，则“tanα＝2”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由tanα＝2＝，sin2α+cos2α＝1，解得sinα，cosα，反之不成立，即可判断出结论．解：∵tanα＝2＝，sin2α+cos2α＝1，∴sinα＝，cosα＝；sinα＝﹣，cosα＝﹣．∴sin2α＝2sinαcosα＝．反之不成立，由sin2α＝＝，∴＝，即2tan2α﹣5tanα+2＝0，解得tanα＝或2．∴tanα＝2”是“”的充分不必要条件．故选：A．5．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣y（）A．有最小值0 B．有最大值C．有最大值0 D．无最小值【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件约束条件作出可行域如图，易得A（2，3），由可得B（0，2）化目标函数z＝x﹣y为y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最大，⇒B（3，3）z有最小值为3﹣3＝0．没有最大值．故选：A．6．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P＝＝，故选：D．7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm2）是（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由棱长为2的正方体切去一个正三棱锥体A﹣BCD构成的不规则几何体．如图所示：所以：．故选：C．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，求出P到棱C1D1的最大值，代入三角形面积公式求解．解：如图，由正方体性质知，当P位于C点时，D1O⊥OC，当P位于BB1的中点P1时，由已知得，DD1＝2，DO＝BO＝，BP1＝B1P1＝1，，求得，OP1＝，．∴，得OD1⊥OP1．又OP1∩OC＝O，∴D1O⊥平面OP1 C，得到P的轨迹在线段P1C上．由C1P1＝CP1＝，可知∠C1CP1为锐角，而CC1＝2，知P到棱C1D1的最大值为．则△D1C1P面积的最大值为．故选：C．9．已知定义在R上的函数f（x）＝3sinx﹣2x+1，则在[﹣5，5]上f（x）的最大值与最小值之和等于（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据题意，设g（x）＝f（x）﹣1＝3sinx﹣2x，x∈[﹣5，5]，分析可得g（x）为奇函数，由奇函数的性质可得g（x）max+g（x）min＝0，进而可得[f（x）max﹣1]+[g（x）min ﹣1]＝f（x）max+f（x）min﹣2＝0，变形分析可得答案．解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣1＝3sinx﹣2x，x∈[﹣5，5]；有g（﹣x）＝3sin（﹣x）﹣2（﹣x）＝﹣（3sinx﹣2x）＝﹣g（x），即函数g（x）为奇函数，其图象关于原点对称，则g（x）max+g（x）min＝0，则有[f（x）max﹣1]+[g（x）min﹣1]＝f（x）max+f（x）min﹣2＝0，变形可得f（x）max+f（x）min＝2；即f（x）的最大值与最小值之和等于2；故选：C．10．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+a n＝2n（n∈N*），则a7＝（）A．B．C．D．【分析】由已知数列递推式求得首项，且得到2a n﹣a n﹣1＝2（n≥2），构造等比数列得2（a n ﹣2）＝a n﹣1﹣2，进而求得{a n}通项，即可求解．解：由S n+a n＝2n，得a1＝1，当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1＝2（n﹣1），得2a n﹣a n﹣1＝2，∴2（a n﹣2）＝a n﹣1﹣2，故{a n﹣2}是首项为a1﹣2＝﹣1，公比为的等比数列，∴，故．故选：B．11．已知F为双曲线的左焦点，过点F的直线与圆于A，B两点（A在F，B之间），与双曲线E在第一象限的交点为P，O为坐标原点，若FA＝BP，∠AOB＝120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，由圆的方程求得圆的半径，得到圆心到直线的距离，进一步求得P到双曲线右焦点的距离，再由双曲线定义及勾股定理求解．解：如图，由圆O的方程，得圆O的半径为OA＝OB＝．过O作AB的垂线OH，则H为AB的中点，又FA＝BP，∴H为FP的中点，设双曲线的右焦点为F1，连接PF1，则OH为三角形FF1P的中位线，可得OH∥PF1，则PF1⊥PF，由∠AOB＝120°，可得OH＝．∴，则PF＝，在Rt△PFF1中，由勾股定理可得：，整理得：．解得：e＝或e＝（舍）．故选：D．12．已知实数a、b满足log2a＝log3b，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有（）①a b＜b a；②a a＝b b；③a b＞b a；④a b＜a a；⑤b b＜b a．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由log2a＝log3b，知1＜a＜b 或 a＝b＝1 或 0＜b＜a＜1，然后分情况验证个关系式即可．解：由log2a＝log3b，知1＜a＜b 或 a＝b＝1 或 0＜b＜a＜1，当a＝b＝1时，②成立，其他的不成立；当0＜b＜a＜1时，a b＞b a，a b＞a a，b b＞b a，③成立，④⑤不成立；当1＜a＜b时，取a＝2，b＝3，则a b＝23＝8＜9＝32＝b a，①成立，a b＞a a，b b＞b a，④⑤不成立，综上，只有④⑤不可能成立．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等比数列{a n}中，a2＝1，a5＝﹣8，则{a n}的前5项和为﹣．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式可得q3＝＝﹣8，计算可得q与a1的值，由等比数列的前n项和公式计算可得答案．解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若a2＝1，a5＝﹣8，则有q3＝＝﹣8，则q＝﹣2；则a1＝＝﹣则{a n}的前5项和S5＝＝﹣，故答案为：﹣．14．若x，y满足约束条件．则的最大值为 3 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k＝，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），k OA＝＝3，即的最大值为3．故答案为：3．15．过P（1，2）的直线l把圆x2+y2﹣4x﹣5＝0分成两个弓形，当其中劣孤最短时直线l的方程为x﹣2y+3＝0 ．【分析】先把圆方程化为标准方程，就可求出圆心坐标和半径，因为只有当直线l与圆相交所得弦的中点为P点时，两个弓形中较小弓形面积最小，此时直线l与PC垂直，就可求出直线l的斜率．用点斜式写出直线l的方程．解：圆x2+y2﹣4x﹣5＝0可化为（x﹣2）2+y2＝9，∴圆心C的坐标为（2，0），半径为3．设直线l与圆x2+y2﹣4x﹣5＝0交于点A，B，则当P为AB中点时，两个弓形中较小弓形面积最小，此时P点与圆C的连线垂直于直线l，∵k PC＝＝﹣2∴k l＝，∴直线L的方程是y﹣2＝（x﹣1），化为一般式为x﹣2y+3＝0故答案为：x﹣2y+3＝0．16．在三棱锥B﹣ACD中，BA，BC，BD两两垂直，BC＝2，BD＝4，三棱锥B﹣ACD的侧面积为13，则该三棱锥外接球的表面积为29π．【分析】由三棱锥的侧面积及所给的棱长可得AB的值，再由题意将该三棱锥放在长方体中，由长方体的对角线的长度等于其外接球的直径（2R）可得4R2的值，进而求出外接球的表面积．解：三棱锥B﹣ACD的侧面积S＝S△ABD+S△ABC+S BCD＝（AB•BD+AB•BC+BC•CD）＝（4AB+2AB+2×4）＝13，解得：AB＝3，将此三棱锥放在长方体中可得，三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个，且长方体的外接球的直径2R等于长方体的对角线的长度，所以（2R）2＝AB2+BC2+BD2＝32+22+42＝29，即4R2＝29，所以外接球的表面积S表＝4πR2＝29π，故答案为：29π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）若a＝5，，求b的值；（2）若，求cos2C的值．【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解b，（2）由已知结合同角平分关系可求sinA，然后结合诱导公式及和差角公式及二倍角公式可求．解：（1）在△ABC中，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，得，，即b2﹣4b﹣5＝0，解得b＝5或b＝﹣1（舍），所以b＝5；（2）由及0＜A＜π得，，所以，所以cos2C＝2cos2C﹣1＝＝18．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．（1）求m，n的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替）2×2列联表男女合计消费金额≥300消费金额＜300合计临界值表：P（K2≥k0）0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828，其中n＝a+b+c+d【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1，得到m，n（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．（3）由频率分布直方图计算中位数，平均数即可．解：（1）由频率分布直方图可知，m+n＝0.01﹣0.0015×2﹣0.001＝0.006，由中间三组的人数成等差数列可知m+0.0015＝2n，可解得m＝0.0035，n＝0.0025（2）周平均消费不低于300元的频率为（0.0035+0.0015+0.001）×100＝0.6，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为100×0.6＝60人．所以2×2列联表为男性女性总计消费金额≥300 20 40 60消费金额＜300 25 15 40总计45 55 100 K2＝≈8.249＞6.635所以有99%的把握认为消费金额与性别有关．（3）调查对象的周平均消费为0.15×150+0.25×250+0.35×350+0.15×450+0.10×550＝330，由题意330＝﹣5×38+b，∴b＝520，y＝﹣5×25+520＝395．19．如图，四棱锥S﹣ABCD的侧面SAD是正三角形，AB∥CD，且AB⊥AD，AB＝2CD＝4，E是SB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）若平面SAD⊥平面ABCD，且，求多面体SACE的体积．【分析】（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，证明四边形EFDC是平行四边形，得出EC∥FD，CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，证明SG⊥平面ABCD，求出点E到平面ABCD的距离，计算多面体SACE的体积．解：（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，因为E是SB中点，所以EF∥AB，且AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，所以EF∥DC，EF＝DC，即四边形EFDC是平行四边形，所以EC∥FD，又因为EC⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，所以CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，因为SAD是正三角形，所以SG⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以SG⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，所以AB⊥平面SAD，所以AB⊥SA，故，，因为E是SB中点，所以点E到平面ABCD的距离等于，所以多面体SACE的体积为：V SACE＝V S﹣ABCD﹣V S﹣ACD﹣V E﹣ABC＝＝＝．20．已知椭圆Γ＞0）的离心率为，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ截得的弦长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A，B均在椭圆Γ上，点C在抛物线上，若△ABC的重心为坐标原点O，且△ABC的面积为，求点C的坐标．【分析】（1）运用离心率公式和垂直于x轴的弦长公式，以及a，b，c的关系解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）设AB：x＝my+t，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式、三角形的重心坐标，可得C的坐标，代入抛物线方程，结合三角形的面积公式，计算可得C的坐标．解：（1）根据题意得，又因为b2＝a2﹣c2，解得a2＝2，则b2＝1，所以椭圆Γ的方程为：；（2）设AB：x＝my+t，联立椭圆方程x2+2y2＝2，可得（2+m2）y2+2mty+t2﹣2＝0，△＝4m2t2﹣4（2+m2）（t2﹣2）＝8（m2﹣t2+2）＞0①设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2＝﹣，可得y C＝﹣（y1+y2）＝，x C＝﹣（x1+x2）＝﹣[m（y1+y2）+2t]＝﹣，由C在抛物线y2＝x上，可得（）2＝•（﹣），则m2＝﹣②（t＜﹣），由S△ABO＝|OA|•|OB|•sin∠AOB＝＝＝|x1y2﹣x2y1|，则S△ABC＝3S△ABO＝|x1y2﹣x2y1|＝|（my1+t）y2﹣（my2+t）y1|＝|t（y1+y2）|＝||＝，可得||＝③，将②代入③整理可得[t（2t+1）]2﹣4t（2t+1）+3＝0，解得t＝﹣1或﹣，相应的m2＝2或1．所以C（1，±），或C（2，±1）．21．已知函数．（1）若点P（x0，y0）为函数f（x）与g（x）图象的唯一公共点，且两曲线存在以点P为切点的公共切线，求a的值：（2）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）先分别对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解；（2）先对h（x）求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的特征性质，然后结合函数性质及零点判定定理可求出符合要求的a的范围．解：（1）由题意可知，y＝f（x）与y＝g（x）（x＞0）图象的在唯一公共点处的切线相同，又因为f′（x）＝x+a，，所以f（x0）＝g（x0），f′（x0）＝g′（x0），即，由可得x0＝1或x0＝﹣a﹣1，由点P唯一可得﹣a﹣1＝1或﹣a﹣1≤0，即a＝﹣2或a≥﹣1，由可得a＝﹣，综上可得，a＝﹣；（2）由h（x）＝f（x）﹣g（x）＝，x＞0，则＝，（i）若a+1＞0即0＞a＞﹣1时，h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，因为x→0时，h（x）→+∞，且h（2）＝2+2a﹣（a+1）ln2＞2+2a﹣2（a+1）＝0，故要使得h（x）有2个零点，只有h（1）＜0即﹣1＜a＜﹣，当a＝﹣1时，h（x）＝只有一个零点，故﹣1＜a＜﹣（ii）若a+1＜0，即a＜﹣1时，①当a＝﹣2时，h（x）在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；②当﹣2＜a＜﹣1时，h（x）在（0，﹣a﹣1）上单调递增，在（﹣a﹣1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且x→0时，h（x）→﹣∞，且h（1）＝a+＜0，h（e2）＝＞0，故要使得h（x）有2个零点，则h（﹣a﹣1）＝＝0，即，令m（a）＝，﹣2＜a＜﹣1，则＝﹣＞0，故m（a）在（﹣2，﹣1）上单调递增，且m（﹣2）＝＞0，故m（a）＞0在（﹣2，﹣1）上恒成立，不可能有2个零点，③当a＜﹣2时，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，﹣a﹣1）上单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）上单调递增，且h（1）＝a+＜0，故h（x）不可能有2个零点，综上﹣1＜a＜﹣．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数，m∈R）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程：（2）已知，点P是曲线C2上一点，点P到曲线C1的最大距离为，求m的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程为为参数，m∈R）．转换为直角坐标法方程为x+y﹣m＝0．曲线C的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为（0≤y≤1）．（2）设点P（）是曲线C2上一点，则点P到曲线C1的距离d＝＝，由于0≤α≤π，所以，则：[．由点P到曲线C1的最大距离为，所以的最大值为4，由于，所以，则2﹣m＝4，即m＝﹣2，故m＝﹣2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣2|＞2的解集为M．（1）求集合M；（2）已知t为集合M中的最小正整数，若a＞1，b＞1，c＞1，且（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＝t，求证：abc≥8．【分析】（1）由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由（1）可得a＞1，b＞1，c＞1，且（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＝1，再由a＝（a﹣1）+1，b＝（b﹣1）+1，c＝（c﹣1）+1，运用基本不等式和不等式的可乘性，即可得到证明．解：（1）|2x+2|﹣|x﹣2|＞2等价为或或，解得x＜﹣6或＜x＜2或x≥2，则M＝（﹣∞，﹣6）∪（，+∞）；（2）证明：由（1）可得t＝1，a＞1，b＞1，c＞1，且（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＝1，则a＝（a﹣1）+1≥2＞0，（当且仅当a＝2时等号成立），b＝（b﹣1）+1≥2＞0，（当且仅当b＝2时等号成立），c＝（c﹣1）+1≥2＞0（当且仅当c＝2时等号成立），则abc≥8≥8（当且仅当a＝b＝c＝2时等号成立），即abc≥8．21。
四川省棠湖中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学(文)试题含答案
2020年秋四川省棠湖中学高三第一学月考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合2{560},{21}xA x x xB x =-->=>，则(A R)B ⋂＝（ ）A. 0{|}1x x ≤<－B. {}|06x x <≤C. 0(|}2x x ≤<－D. {}|03x x <≤2. 在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3. 若3log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.30.2c =，则（ ） A. a b c << B. b c a << C. a c b <<D. b a c <<4. 已知向量(3,2)a =，(1,1)b =-，若()a b b λ+⊥，则实数λ=（ ） A. 12-B.12C. 1-D. 15. 若函数()()sin xf x e x a =+在区间R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A. )+∞B. ()1,+∞C. [)1,-+∞D.)+∞6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 142π+B.5122π++C.14+D. 4+7. 各项均为正数的等比数列{}n a中，1a {}n a 的前n项和为3,2n S S =+.则7a =（ ）A.B. C. 8D. 148.ABC ∆中，2CM MB =，0AN CN +=，则（ ）A. 2136MN AB AC =+ B. 2736MN AB AC =+ C. 1263MN AC AB =-D. 7263MN AC AB =-9. 已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 79-B.79C.89D. 89-10. 已知点(,)m n m n +-在0022x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域内，则22m n +的最小值为（ ）A.25B.C.49D.2311.函数()f x=部分图象大致为（ ）A. B. C. D.12. 已知函数()21,20ln ,0x x f x x x e⎧--≤≤=⎨<≤⎩，方程()f x a =恰有两个不同的实数根1x 、()212x x x <，则212x x +的最小值与最大值的和（ ）A. 2e +B. 2C. 36e -+D. 34e -+第II 卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某单位有男女职工共600人，现用分层抽样的方法从所有职工中抽取容量为50的样本，已知从女职工中抽取的人数为15，那么该单位的女职工人数为__________．14. 已知直线1l ：30kx y ++=，2l ：30x ky ++=，且12l l //，则k 的值______. 15. 不等式sin 2cos21x x +>在区间[0,2]π上的解集为__________．16. 在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为______．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+.（1）求B 的大小；（2）若2b =，求ABC 面积的最大值. 18. 某保险公司给年龄在2070岁民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[)20,30、[)30,40、[)40,50、[)50,60、[]60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.（1）求频率分布直方图中实数a 的值，并求出该样本年龄的中位数；（2）现分别在年龄段[)20,30、[)30,40、[)40,50、[)50,60、[]60,70中各选出1人共5人进行回访.若从这5人中随机选出2人，求这2人所交保费之和大于200元概率.19. 在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，//EF 平面ABCD ，22EA ED AB EF ====，M 为BC 中点.（1）求证：//FM 平面BDE ；（2）若平面ADE ⊥平面ABCD ，求F 到平面BDE 的距离.20. 己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F 分别是椭圈C 的左、右焦点，椭圆C 的焦点1F 到双曲线2212x y -=渐近线的距离为3.（1）求椭圆C 的方程；的（2）直线():0l y kx m k =+<与椭圆C 交于,A B 两点，以线段,A B 为直径的圆经过点2F ，且原点O 到直线l，求直线l 的方程.21. 已知函数1()ln f x a x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）求()f x 的极值；（2）若方程2()ln 20f x x x -++=有三个解，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 参数方程为cos sin 1x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建极坐标系． （1）求C 的极坐标方程；（2）直线1l ，2l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()3θρπ=∈R ，直线1l 与曲线C 的交点为,O M ，直线2l 与曲线C 的交点为,O N ，求线段MN 的长度． 23. 已知,x y R ∈，且1x y +=． （1）求证：22334x y +≥； （2）当0xy >时，不等式11|2||1|a a x y+≥-++恒成立，求a 的取值范围．的。
四川省棠湖中学2020届高三数学上学期开学考试试题文
四川省棠湖中学2020届高三数学上学期开学考试试题文第I卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）????21?xx?1,0,1,2?，BA? 1.已知集合，则??BA????????0,1,21,0,10,1?1,1? D. B.A. C.＝2.B. ﹣i ﹣1C. 1D. iA.3.甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话，一人说了假话，那么申请去新疆支教的学生是A. 甲B. 乙C. 丙D.不确定 4.的最小正周期为函数 D. 2C. A. B.满足约束条件，则的最小值为，5.已知实数C. A. B.D.rr a=(0,2),b=(3,1)a,b的夹角等于，则6. 设向量?????? D.B.C.A.6336，则“”的， 7.设”是“A.充分不必要条件B.充要条件D. 既不充分也不必要条件必要不充分条件C.) ，则8.若 D.B. C. A.- 1 -，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲设双曲线的离心率为9. 线的方程是 D. C.B. A.的公差则数列，为等差数列的前项和，，已知10.若 B. 3A. 4 D. 1C. 2，则的最大值为，中，11.在 D.A.C.B.ABC 12.，在三棱锥中，，且三棱锥平面的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为，若三棱锥的体积为 B.C.A.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．在点 14.已知函数处的切线方程为，则．，则______．15.角的终边与单位圆相交于16.如图所示，平面BCCB⊥平面ABC，ABC＝120，四边形BCCB为正方形，且AB＝BC＝2，1111则异面直线BC与AC所成角的余弦值为_____．1三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）- 2 -某机构用“10分制”调查了各阶层人士对某次国际马拉松赛事的满意度，现从调查人群中随名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数16以小数点前的一位数字为茎，小数点后机抽取的一位数字为叶：（1）指出这组数据的众数和中位数；）若满意度不低于分，则称该被调查者的满意度为“极满意”，求从这216人中随机选（取3人，至少有2人满意度是“极满意”的概率；18（本大题满分12分），.满足：数列的通项公式；）求（1.的最小正整数项和为）设的前，数列（2，求满足分）1219.（本大题满分，为矩形，，底面在四棱锥平面中，平面.、分别为线段、且，，，上一点，- 3 -）证明：；（1.的体积，并求三棱锥平面（2）证明：分）20.（本大题满分12为自然对数的底数．设函数,其中; 的单调区间求）若（1, :）若（2,求证无零点．分）（本大题满分1221.2Cx?y4C:FMF为曲点，椭圆已知抛物线的中心在原点，为其右焦点，的焦点为215CC?|MF|．和线在第一象限的交点，且212C（的标准方程；）求椭圆12- 4 -y?xCP(3,2)B,ADAB上，上的两个动点，且使得线段在直线为抛物线的中点（2）设1?PAB面积的最大值．为定点，求（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立，直线的极坐标方程为的参极坐标系，曲线分别交于数方程为，直线为参数与曲线. 两点，求的极坐标为的值；1（）若点（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.[选修4-5：不等式选讲]23.（10分）已知，．（1）求的最小值- 5 -）证明：．2（- 6 -2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三开学考试文科数学试题答案1.A2.A3.C4.D5.A6.A7.A8.C9.D 10.B 11.A12.D16.15. 13.6 14.486．，中位数17.由茎叶图可知：这组数据的众数为．人其满意度分别为被调查者的满意度为“极满意”共有4，，，人是“极满意”的概率人中随机选取3人，至少有2．从这16）∵18.（1．a 4n=1时，可得，＝1n≥2．时，．与n，1）+1=2n两式相减可得＝（2﹣.时，也满足，∴∴．n=1）=（2S∴，可得n>9，，又n．为可得最小正整数n10MDAMAD＝319.（1）∵＝，＝3，222ADMDAMADAM⊥+，∴∴＝，ADABCDMADMADABCD＝，平面∩平面∵平面⊥平面，ABCDAM，∴⊥平面BDBDABCDAM?，∴又⊥平面．NDADN）在棱（2上取一点，使得＝1，- 7 -ADNDBCCECE，又＝1，∴，＝∵∥ABENNDABCDEC，又∥∥，∴，∴AMFN∥∵，＝，∴ENFEFNENFMABFNEN平面∥平面∵，又∩，＝?，∴平面MABEF∥平面∴，AMFDMDAMABCD，＝∵＝⊥平面，且，3dFABCD到平面的距离＝∴，VV＝∴1＝．＝ADEDFAEF﹣﹣∴则,．20.（1）若,,,则令,即单调递增时当,,,又, ,∴当单调递减时单调递增．当时,．,的单调递减区间为单调递增区间为∴）当2（时,，显然无零点．当时,当时,，显然无零点．(i)当,，∴时，易证(ii)∴．令，则，令，得，- 8 -时，，；当当时，.，显然故无零点，从而 ,综上无零点．22yx c C0)?1(a?b??）设椭圆．的方程为，半焦距为21.（1222ba(1,0)F1c?．由已知，点，则351|?x?x,y?0)|MFM(x,y)(?x?1x?由已知，设点，则．．，据抛物线定义，得00000002236?4xy?6)M(,从而，所以点．002237??1,0)E(?E?1??6|ME|?．设点，为椭圆的左焦点，则??22??576??|MF|??2a?|ME|3?a．，则据椭圆定义，得2222yxC2221??8c?b?a?从而的标准方式是．，所以椭圆28922)yx,,y)B(A(x)mD(m,x4y??4x,y，则（2）设点，．，221121124?yy21?22)y?y?4(x?xDAB的中点，则．因为两式相减，得，即为线段2121yy?x?x2112m?2y?y．21244???kAB所以直线．的斜率m2my?y2122)x?my??m(0??2x?my?mm2AB从而直线，即的方程为．m2?0?2mmx?my??2?222m?4myy?202?4mmy?2m?y??联立．，得，则212x?4y??2m1222所以．4?m?m?)?4yy1??4m?y(|?||AB?|yy1??y?22112124k2|?mm|6?4?dd PAB到直线的距离为设点．，则24m?1122|??mSm?|?4dAB||?mm?64．所以PAB?22-9 -23ttt?|6t|6?(0?t?2)4?0?m2?S?204m?m?．令．由，，得则t4m?m?PAB?2232t??t366t(0?t?2)?(t)?f(ft)?．设，则22?0t()f?)f(t (2,2](0,2)上是减函数，由在，得．从而上是增函数，在2?t0?222)?)(t?f(f PAB?面积的最大值为．所以，故22max+3代入得到，将）由x=ρcosθ，y=ρsinθ=12,22.（1C，化为直角坐标为（-2，0）=12，所以曲线的直角坐标方程为+3的极坐标为tl的参数方程为：为参数），由直线（Pl），且倾斜角为的直线，-2知直线，是过点 0（C得，把直线的参数方程代入曲线．tPMPNt|＝4．|所以||?|＝|21C）由曲线，的方程为（2C，不妨设曲线上的动点P为顶点的内接矩形周长则以l，l）≤1，则又由sin≤16；（θ因此该内接矩形周长的最大值为16．，，123.（）因为，所以,即．时等号成立，此时取得最小值当且仅当32（）- 10 -．- 11 -。
四川省棠湖中学2020届高三数学一诊模拟考试试题文
四川省棠湖中学2020届高三数学一诊模拟考试试题文 60分）选择题共第I卷 (有只分.在每个小题所给出的四个选项中，一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60 .）一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置=ziz?2?i是虚数单位，则，其中1．复数5315 B． DA C．．．????2,21?,0,1?2,?M0??2?N?xxx?NM，2．设集合，则????????1,0?1??2,,20,11．．．A D B． C ．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为38423．． D B．A． C333 4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a的值是11?21 D． CA．．B ．2?5?B?cosC b= ，，则，5．在△ABC中，c=4634333 C．A．． D B．332b?aa??b?ba,?ba?”是“是非零向量，则“存在实数”的，使得6．设．既不充分也不．充分必要条件 D．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 CA必要条件2C xy8?lA F.两点，与其准线交于点的焦点过抛物线，，与抛物线交于7．已知直线B ACBC F的中点，则线段若点的长为是81663 D．C ．．A． B33n?9Sa?a??{a}Sa则,的前项和为,8．已知等差数列若92103nn271839D．． C． A． B20?1??x x?2(fx)1)(?xf()yfx?R则且上的奇函数9．已知是,,为偶函数时,当,- 1 -7?)f(211?11? C．．． DA． B22CDAABCD?ABCBB OE F为底面在线段上，动点中，动点10．在正方体上，在棱1111111AEF?O yF?x,ABE?ABCD的中心，若的体积，则四面体1yxx,y,都无关A．与 B．与都有关yy xx无关有关，与．与有关，与D无关．与C a1?n)?Nn?a?(aa?}{a满足：，则下列关 11．已知数列，1n?1n a2n}{a于的判断正确的是n2,≥0,?na??a?0,?n≥2,?aa?2a? B 使得．使得 A．1nn?n??)anm?a?a(?a,?N??a0,?m?a?0,??N,m总有总有C ．D．nnnm?m x?21),x?x?(0???2?x)f()(xf R?，若函数是定义在上的偶函数，且满足12．已知函数1?x?1)?(x?x e?mmf(x)?xF()?有6个零点，则实数的取值范围是1??111110,)(0,(?)(?,,0))[0,．．A．． DC B??2e222e16e16e??分）第Ⅱ卷（非选择题共90 分）5分，满分20二、填空题(本大题共4小题，每小题0?1?x?y??yx,0y?x?yx?z?2? .的最大值是．若实数满足，则13?0x??22yxx?2y0)?0,a?b??1( .的一条渐近线方程为14．双曲线，则离心率等于22ba????0, 15．函数．，则值域为的定义域为___________)cosy??cos(xx??42??- 2 -?252BC?AB?2CAC?DAB则四,在同一个球面上,．点,,,,,若球的表面积为164ABCD体积的最大值为面体．题为必考题，21三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~）22、23题为选考题，考生根据要求作答.每个试题考生都必须作答，第分）17.（12?3?A?Bcos ABC?8AC?. 中，已知，，54CDABC?AB. 的面积；（Ⅱ）求（Ⅰ）求的长边上的中线CBA三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城、、分）省环保厅对18．（12个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所180市空气质量为优或良的数据共有示：B城市空气质量为优的数据的概率为已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录0.2. C城30个进行后续分析，求在（I）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取中应抽取的数据的个数；23y?C24z?城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概，求在II）已知，（. 率PADABCD平面分）如图，在四棱锥和中，都是等边三角形，平面．19（12?PBCD?PAD??P ABCD，，且．4?AD?2AB3BC2?DPACD（；I）求证：?CFE- 3 -ABEFPAADBEFPCD时，，上的点，当平面分别是棱//，（II）平面求四棱锥的体积．PEFDC?????1F,F?1,0,0C32的两个焦点分别为（12，长轴长为分）已知椭圆．． 2012C的标准方程及离心率；（Ⅰ）求椭圆??0,1ClAM满足，求（Ⅱ）过点与椭圆，交于的直线两点，若点B0MO??MAMB?1M?y L对称．关于直线构成的曲线证：由点3a?lnx?ax?1)f(x?x. 21．（12分）已知函数a1f[(x)]?（Ⅰ）求证：对任意实数；，都有min1??1) x?2 kkxf?x(2,??)()?(k?a2成立？恒有上，使得在，是否存在整数，若（Ⅱ）2.71828e?k）若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.（如果多做，则按所做的第一分，请考生在第.2322、题中任选一题作答10（二）选考题：共. 题计分 4-422. [选修：坐标系与参数方程10（]分）- 4 -1?x?1?t??cosx??2?:C?tl为参数)．为参数), 曲线已知直线(：(??1?sin?y3??y?t?2?lCABAB|；两点,（Ⅰ）设与求相交于|113C纵坐标压缩为原来的倍,倍（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的,得到曲线122CC lP的距离的最小值．上的一个动点设点,,是曲线求它到直线22f(x)?2x?1?x?m(m?0). 23．已知函数f(x)?12m?的解集；（Ⅰ）当时，求不等式g(x)g(x)?f(2x)?CABCA令，（Ⅱ），，，若三角形的图象与两坐标轴的交点分别为B m12得值，求的面积为.- 5 -棠湖中学高2020届一诊模拟考试文科数学试题参考答案1．A 2．C3．C4．A5．B6．B7．C8．D9．A10．B11．D 12．C21??5,0?． 15． 13．2 1416．??23??3?)(0,B?,?cosB， 17．解：（且1）542??cosBsinB?1．∴5??A?B)?sin(A?sinC?sin(?B)232472???cosAsinB????sinAcosB2525108AB?ACAB4?ABC?，解得．中，由正弦定理得在，即2727AB?sinBsinC5 10112ABC?AB?AC?sinA??7S?2?8??28所以的面积为22227ACD?AD?中，）在（2，所以由余弦定理得21302652772222????2?CD8?8CD?(?)，所以．22222x?0.2x?36. 18.解：（1）由题意得，即180y?z?180?28?32?36?30?54，∴30?54?9C. ∴在城中应抽取的数据个数为180y?z?54y,z?Ny?23z?24，，且）知）由（（21，(y,z)(23,31)(24,30)(25,29)(26,28)(27,27)，，可能的结果有，，，∴满足条件的数对(28,26)(29,25)(30,24)共8，种.，(28,26)(29,25)，其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有，- 6 -(30,24).种共33C. ∴在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为822232BD?2AB?AD?4AD?BD?AB BDAB?（I）因为，，，，所以19．证明：，???90?ADC30??ADBBCDV 3是等边三角形，所以．又分，即．…ADCD?且ABCD?ADABCDABCD?PAD平面平面，平面因为平面平面，IPAD?CD?CD PACD PAD 6分平面．．所以所以……?PDCD EFBEFPCDBF8分．，（II）因为平面////平面……，所以，且//ADBF??DFABD33cos30?21?AE?AF，所以．=又在直角三角形中，31511???sin60??1?1?4?4?sin60?S? 10分所以……．PEFD四边形422151?CD?CDV?SgPAD平面故四棱锥的体积I）知分．…12由（PEFDC?，PEFDV23Pc13??e?1?3,ca?，，所以20．（Ⅰ）由已知，得a33DC222ca?b?，所以又2?b FEBA??????yMB,x,yAxx,y，（Ⅱ）22yx3C1???e，离心率所以椭圆. 的标准方程为233设，，m1122m????x20,?20,l B,A，的坐标分别为①直线与．轴垂直时，点??????y?2?MB?0x,2MA?0?x,??y y?x?,00?MO，，因为，???y0,??MC?3?3xMA?MB．所以mmmmmm uuuruuuruuurrmmx?0,y?0M与原点重合;????22222所以，即点mm xy?kx?1ll，轴不垂直时，设直线②当直线与的方程为22?yx?1???72k?23k?24?0?36?03kx??3k2x6???k1223由，．得??y?kx?1?- 7 -?6k4y?y??0x?x?，所以.，则??????y,???x?x,y?MA?yx?x,y?yxMB?MO，，，因为2112222kk??233??0?0?3y?3x,y?y?MA?MB?MO?x?x?0所以．mm1122mm2112mmmm rrruuuuuuruuu4k2?y3y?y?x?x?3x?x ，，．，所以3mm21120?y?m223k?m22?3k??2200?y2x?3y?y?2k消去．得???yx,M?yM,x?y L的对称点为．对mmmm2202y?2x?3y?M L综上，点的方程为构成的曲线2??1于曲线，它关于直线的任意一点??33??2???yM?x,L的方程的左端：把的坐标代入曲线??3??22244????222220yy??2??2y?2x332x??y?2?y?2x??4y?3y?．????3333????1?M?y LML. 关于直线也在曲线构成的曲线所以点上．所以由点对称3?1x?1)?xln(x)?a(x?fx?ln?a?1f(x)）证明：由已知易得，所以121．解：（?1)??(a0x??1?lnf(x)?aex?令得：?1)a??()fx(x?(0,e)）单调递减；f（x<0时，，函数显然，?1)(a??)x(,x?(e??)f）单调递增（x 时，>0，函数f1)a?1)a??(?()]x[f(e?)?1??f(ea所以min1)a??()]x[f(?t(a)?1?a?e???0?t1(a)，则由得令min?a)(,?1)taa?(??）单调递增；时，，函数>0t（?a)t(a1???11?ta[t()]?(?1)1)??1,(a??，即时，（，函数<0t）单调递减，所以max.结论成立2)?xkxxx?ln?(（）由题设化简可得2- 8 -?(x)?lnx?2?(1?k)x?2ktkt(x)?xlnx?令，所以?(x)?lnx?2?tk k?2e?x由=0得?)(2,??x?0?xt)(2k?S?27ln2k?2?2e?单调时，在，即上，有①若，故函数PCD?递增t(x)?t(2)?2?2ln2?0所以?2?k0)t?(x2?k S?27)x?(2,e2?2?lnk2?e在②若，故函数时，在，即上，有PCD?k?2)x?(2,e上单调递减?k?k?220?xt)(7S?2,e??)(ex?(,??)x?上单调递增故函数上，有.在在PCD?k?2k?2x?(2,??)t(x)?t(e)?2k?e 所以，在上，mink?2k?2x?xlnx?k(x?2)t(x)?t(e)?2k?e?0，只需故欲使即可mink?2k?2k?2???e0k)?2?e)?2m(k)?2k?em?m,?((kk?2?ln2令，由得?(k)?m0m(k)22?lnk?单调递减时，，即所以，??22C1?3?xy x?y?122.（1）4?224?23k?40102?5?ee?2?4??e??8?e??0m(5)?m(4)，又，故max的普通方程为的普通方程为，1?????3113?xy????AB?A11,0?B,C???. ,则解得联立方程组与的交点为,??122221?x?y????1??cosx????312???sin,cosC???,（2）的坐标是的参数方程为).为参数故点从而（?P??2223????siny??2?33??3??sincos22?, 的距离是到直线点??3P?????2sin2????? 442???????6???1?sin??d1?2.取得最小值, 由此当,且最小值为时??4??42x?1?x?2?11?x(f)2m?，23 当(1)．时，不等式可化为- 9 -x?5?0?5?x??11x??；时，不等式化为，解得：①当1?x1??1x?3?1?x?2；，解得：时，不等式化为②当31?????5?xx0x?3?2?x?.③当，解集为，综上，不等式的解集为时，不等式化为3??x?4?mx??1??3x()?x?m?1?x?mg?，(2)由题设得?x?mx?m?m)(xg)mB(0,?4,0)A(?m?,0)(C，，的图象与两坐标轴的交点坐标分别为所以，3212??(m3)S?m ABC于是三角形的面积为，33m?6??m?m3. （舍去）得，或，故- 10 -。
四川省棠湖中学2020届高考数学模拟考试试题 文
四川省棠湖中学2020年高考适应性考试数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足(3)x i i y i +=-，则x yi -=（ ） A ．4 B ．3 C ．8 D ．102.已知集合2{|40}A x N x x =∈-≤，集合2{|20}B x x x a =++=，若{0,1,2,3,4,3}A B =-U ，则A B =I （ ）A ．{1,3}-B ．{1}C ．{3}-D ．φ 3.函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（ ） A ．6π B ．3π C ．4πD ．23π4．若tan 24πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ） A ．3- B ．3 C ．34- D ．345．已知132a -=， 21log 3b =， 131log 4c =，则（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. c b a >>D. c a b >> 6．函数()3ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,3D. ()3,4 7.如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．48π8.已知直线:3l y x m =+与圆22:(3)6C x y +-=相交于A ，B 两点，若120ACB ∠=︒，则实数m 的值为（ ）A．3+或3．3+或3- C.9或3- D ．8或2- 9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．4或510.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ）ABCD11.已知函数()sin f x x x =+，若[2,1]x ∃∈-，使得2()()0f x x f x k ++-=成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[1,3]-B ．[0,3]C ．(,3]-∞D ．[0,)+∞12.已知F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若||2||PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．13 B ．12．2二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x ，y 满足条件2300x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则23x y +的最大值为 ．14．已知{}n a 是等比数列,若)2,(2a =，)3,(3a =,且a r ∥b r ,则2435+a aa a =+ .15.已知3sin()35πα-=，(,)42ππα∈，则tan α= ． 16.已知点1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是这个椭圆上位于x 轴上方的点，点G 是12PF F ∆的外心，若存在实数λ，使得120GF GF GP λ++=u u u r u u u u r u u u r r，则当12PF F ∆的面积为8时，a的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，第22（或23）小题10分，其余每题均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程、计算步骤. 17.(本大题满分12分)已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+.（Ⅰ）求证：数列{1}n a +为等比数列； （Ⅱ）求数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.(本大题满分12分)某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：积极参加班级工作不积极参加班级工作合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性不高6 19 25 合计242650（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取2名学生参加某项活动，问2名学生中有1名男生的概率是多少？（III ）学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.(本大题满分12分)如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，M BC PA AC AD AB BC AD ,4,3,//=====为线段AD 上一点，MD AM 2=，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明：;//PAB MN 平面 （Ⅱ）求四面体BCM N -的体积.20．(本大题满分12分)已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右顶点分别为1A ，2A ，左右焦点为分别为1F ，2F ，焦距为2，离心率为21.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若P 为椭圆上一动点，直线1l 过点1A 且与x 轴垂直，M 为直线P A 2与1l 的交点，N 为直线P A 1与直线2MF 的交点，求证：点N 在一个定圆上. 21.(本大题满分12分)已知函数2()2ln f x x x ax =-+()a R ∈.（Ⅰ）当2a =时，求()f x 的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 有两个不同零点1x ，2x ，且120x x <<，求证：12'()02x x f +<，其中'()f x 是()f x 的导函数.选考题，考生从22、23两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方程用2B 铅笔涂黑，多做按所做的第一题记分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本大题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数）ααα(sin 2cos 22⎩⎨⎧=+=y x ．以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为3sin =θρ．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设1C 和2C 交点的交点为A ，B ，求AOB ∆的面积.23.(本大题满分10分)已知函数2()2f x x =-，()g x x a =-. （Ⅰ）若1a =，解不等式()()3f x g x +≥；（Ⅱ）若不等式()()f x g x >至少有一个负数解，求实数a 的取值范围.四川省棠湖中学2020年高考适应性考试数学试卷（文史类）参考答案一．选择题二．填空题 13.213 14.3215.1132548+- 16.417.解：（1）∵121n n a a +=+，∴112(1)n n a a ++=+. 又11a =，∴1120a +=≠，10n a +≠. ∴{1}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知21nn a =-，∴1122(21)(21)n nnn n n a a ++=--1112121n n +=---, ∴22111212121n T =-+---31111212121n n +-+⋅⋅⋅+---- 11121n +=--. 18.解：（1）由题知，不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生有19人，总人数为50人，所以1950P =． （2）设这7名学生分别为a ，b ，c ，d ，e ，A ，B （大写为男生），则从中抽取两名学生的情况有：(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)a A ，(,)a B ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)b A ，(,)b B ，(,)c d ，(,)c e ，(,)c A ，(,)c B ，(,)d e ，(,)d A ，(,)d B ，(,)e A ，(,)e B ，(,)A B 共21种情况，其中有1名男生的有10种情况，∴1021P =．（3）由题意得，2 250(181967)11.53810.82824262525K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．19.解（1）由已知得232==ADAM，取RP的中点T，连接TNAT,，由N为PC中点知,221,//==BCTNBCTN，即,AMTN=又BCAD//，即,//AMTN故四边形AMNT为平行四边形，于是,//ATMN因为,,PABMNPABAT平面平面⊄⊂所以,//PABMN平面（2）因为⊥PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为,21PA取BC得中点E，连接AE，由3==ACAB得,5,22=-=⊥BEABAEBCAE由BCAM//得M到BC的距离为5，故5421⨯⨯=∆BCMS，所以四面体BCMN-的体积为.354231=⨯⨯=∆-PASVBCMBCMN20．解: （I）Θ21,22==ec3,2==∴baC∴的方程13422=+∴yx（II）设点),(yxNΘ()11,yxP()221<<-x ,则1342121=+yx,即3442121-=-xy,2:1-=x l Θ直线P A 2的方程:()2211--=x x y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴24-,211x y M ,又2111+=x y k P A , ∴直线P A 1的方程为)1()2(211ΛΛΛ++=x x y y ∴)2(34112-=x y k MF∴直线2MF 的方程为)2()1()2(3411ΛΛΛ--=x x y y由(1),(2)得：)1)(2()4(3421212-+-=x x x y y ∴)1)(2(2-+-=x x y 即 0222=-++x y x 所以，点N 在定圆上。
成都市双流区棠湖中学2020届高三一模数学文科试题附答案解析
成都市双流区棠湖中学 2020届高三一模数学文科试题一、单选题1．复数2z i =+，其中i 是虚数单位，则=z ( )A B ．1 C ．3 D ．5 2．设集合{}2,1,0,1,2M =--，{}220N x x x =--<，则MN =（ ）A ．{}2,1-- B ．{}1,0-C ．{}0,1 D ．{}1,23．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．83D 4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是（ ）A ．1-B ．12C ．1D ．25．在△ABC 中，6B π=，c=4，cosC =，则b=（ ）A ．B ．3C ．32D ．436．设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=”是“a b a b +=+”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为（ ) A ．83B ．3C ．163D ．68．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ）A ．3B ．9C ．18D ．279．(附加题）已知()f x 是R 上的奇函数，且()1y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，()22f x x =，则72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=（ ） A ．12B ．12-C ．1D ．﹣110．在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积( )A ．与,x y 都有关B ．与,x y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关11．已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是（ ) A ．0,2,a n ∀>∃≥使得naB ．0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<C ．0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠D ．0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)x xx x f x x x e ⎧-≤<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 A ．211(,)16e-B ．211(,0)(0,)16e-C ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21[0,)e二、填空题13．若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是______．14．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于___.15．函数cos cos()2=+y x x π的定义域为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则值域为___________． 16．点 ， ， ， 在同一球面上， ， ，若球的表面积为，则四面体 体积的最大值为 ．三、解答题17．已知ABC ∆中，4A π=，3cos 5B =，8AC =. （1）求ABC ∆的面积；（2）求AB 边上的中线CD 的长.18．省环保厅对A 、B 、C 三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录B 城市空气质量为优的数据的概率为0.2.（I ）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在C 城中应抽取的数据的个数；（II ）已知23y ≥，24z ≥，求在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.19．如图，在四棱锥-P ABCD 中，PAD ∆和BCD ∆都是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且24==AD AB ，BC =（1）求证：CD ⊥PA ；（2）E ，F 分别是棱PA ，AD 上的点，当平面BEF //平面PCD 时，求四棱锥-C PEFD 的体积．20．已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率； （Ⅱ）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足0MA MB MO ++=，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．21．已知函数()ln 1f x x x ax a =++-. （1）求证：对任意实数a ，都有min [()]1f x ≤；（2）若2a =，是否存在整数k ，使得在(2,)x ∈+∞上，恒有()(1) 2 1f x k x k >+--成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.（ 2.71828e =）22．已知直线l：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数), 曲线1:x cos C y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于AB 两点,求|AB |； (2)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值．23．已知函数()21(0)f x x x m m =+-->.(1)当2m =时，求不等式()1f x ≤的解集；(2)令()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，若三角形ABC 的面积为12，求m 得值.解析成都市双流区棠湖中学 2020届高三一模数学文科试题一、单选题1．复数2z i =+，其中i 是虚数单位，则=z ( )A B ．1 C ．3 D ．5 【答案】A【解析】根据复数模的定义求解. 【详解】=z= A.【点睛】本题考查复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．设集合{}2,1,0,1,2M =--，{}220N x x x =--<，则MN =（ ）A ．{}2,1-- B ．{}1,0-C ．{}0,1 D ．{}1,2【答案】C【解析】先求解集合N 中的不等式，再求交集即可。
四川省成都市双流县双流中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析
四川省成都市双流县双流中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】都存在斜率的两直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1，所以根据这个结论，便容易判断出a=1能得到“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”，而这两直线垂直得不到a=1，所以根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：（1）a=1时，直线x+y+1=0的斜率为﹣1，3x﹣3y﹣2=0的斜率为1；∴这两直线垂直；（2）若直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直，则：；∴解得a=1，或﹣3；∴“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直“不一定得到“a=1“；∴综上得“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的充分不必要条件．故选B．2. 已知函数，若，且，则的取值范围为A．B．C．D．参考答案：C3. 已知函数则=A. B.eC.-D.-1参考答案：D4. 为得到函数y=2cos2x﹣sin2x的图象，只需将函数y=2sin2x+1的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵y=2cos2x﹣sin2x=cos2x﹣sin2x+1=2sin（﹣2x）+1=﹣2sin（2x﹣）+1=2sin（2x+）+1，将函数y=2sin2x+1的图象向左平移个长度单位，可得得到函数y=2sin（2x+）+1的图象，故选：C．5. 点到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么的值是A. B. C. 或 D. 或参考答案：D6. 分别是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点。
2020年四川省成都市双流区棠湖中学高考数学一诊试卷(文科)
2020年四川省成都市双流区棠湖中学高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1. 复数z＝2+i，其中i是虚数单位，则|z|＝（）A.√5B.1C.3D.52. 设集合M＝{−2, −1, 0, 1, 2}，N＝{x|x2−x−2<0}，则M∩N＝（）A.{−2, −1 }B.{−1, 0 }C.{0, 1 }D.{1, 2 }3. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A.2 3B.43C.83D.√34. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a的值是（）A.−1B.12C.1 D.25. 在△ABC中，B=π6，c=4，cos C=√53，则b=()A.3√3B.3C.32D.436. 设a→，b→是非零向量，则“存在实数λ，使得a→=λb→”是“|a→+b→|=|a→|+|b→|”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 已知直线l过抛物线y2＝8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C．若点F是的AC中点，则线段BC的长为（）A.83B.3C.163D.68. 已知等差数列{a n}的前n项和S n，若a2+a3+a10＝9，则S9＝（）A.27B.18C.9D.39. 已知f(x)是R上的奇函数，且y=f(x+1)为偶函数，当−1≤x≤0时，f(x)=2x2，则f(72)=（）A.12B.−12C.1D.−110. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则四面体O−AEF的体积（）A.与x，y都有关B.与x，y都无关C.与x有关，与y无关D.与y有关，与x无关11. 已知数列{a n}满足：a1＝a，a n+1=a n2+1a n(n∈N∗)，则下列关于{a n}的判断正确的是（）A.∀a>0，∃n≥2，使得a n<√2B.∃a>0，∃n≥2，使得a n<a n+1C.∀a>0，∃m∈N∗，总有a m<a nD.∃a>0，∃m∈N∗，总有a m+n＝a n12. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x)={x2−x2(0≤x<1),x−1e x(x≥1)，若函数F(x)＝f(x)−m有6个零点，则实数m的取值范围是（）A.(−116,1e2) B.(−116,0)∪(0,1e2)C.(0,1e2) D.[0,1e2)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）若实数x，y满足{x−y+1≥0x+y≥0x≤0，则z＝2x+y的最小值为________．双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线的方程为y=2x，则双曲线C的离心率为________．函数y=cos x cos(π2+x)的定义域为[0,π4]，则值域为________．点A，B，C，D在同一球面上，AB＝BC=√2，AC＝2，若球的表面积为25π4，则四面体ABCD体积的最大值为________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）已知△ABC中，A=π4，cos B=35，AC＝8．（1）求△ABC的面积；（2）求AB边上的中线CD的长．某环保部门对A，B，C三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如表所示：已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录B城市空气质量为优的数据的概率为0.2．（1）现用分层抽样的方法，从上述180个数据汇总抽取30个进行后续分析，求在C城中应抽取的数据的个数；（2）已知y≥23，z≥24，求在C城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率．如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD和△BCD都是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且AD＝2AB＝4，BC=2√3．(Ⅰ)求证：CD⊥PA；(Ⅱ)E，F分别是棱PA，AD上的点，当平面BEF // 平面PCD时，求四棱锥C−PEFD的体积．已知椭圆C的两个焦点分别为F1(−1, 0)，F2(1, 0)，长轴长为2√3．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程及离心率；(Ⅱ)过点(0, 1)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点M满足MA→+MB→+MO→=0→，求证：由点M构成的曲线L关于直线y=13对称．已知函数f(x)＝x ln x+ax+1−a．（1）求证：对任意实数a，都有[f(x)]min≤1；（2）若a＝2，是否存在整数k，使得在x∈(2, +∞)上，恒有f(x)>(k+1)x−2k−1成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．(e＝2.71828…)（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（共2小题，满分0分）已知直线l:{x =1+12t y =√32t（t 为参数），曲线C 1:{x =cos θy =sin θ （θ为参数）． (Ⅰ)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(Ⅱ)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的√32倍，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．已知函数f(x)＝2|x +1|−|x −m|(m >0)． (Ⅰ)当m ＝2时，求不等式f(x)≤1的解集；(Ⅱ)g(x)＝f(x)−2，g(x)的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，若三角形ABC 的面积为12，求m 的值．参考答案与试题解析2020年四川省成都市双流区棠湖中学高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.【答案】A【考点】复数的模【解析】根据复数模长的定义，计算即可．【解答】复数z＝2+i，其中i是虚数单位，则|z|=√22+12=√5．2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可求出集合N，然后进行交集的运算即可．【解答】N＝{x|−1<x<2}；∴M∩N＝{0, 1}．3.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方形为底面的四棱锥，然后求解几何体的体积即可．【解答】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥，红色线四棱锥A−BCDE为三视图还原后的几何体，CBA和ACD是两个全等的直角三角形：AC＝CD＝BC＝2，几何体的体积为：13×2×2×2=83，4.【答案】D【考点】程序框图【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量a 的值并输出，即可得解．【解答】程序运行过程中，各变量的值如下表示：是否继续循环a i循环前2 1第一圈是12 2第二圈是−1 3第三圈是2 4…第9圈是2 10第10圈否故最后输出的a值为2．5.【答案】B【考点】正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，根据正弦定理即可计算得解b的值．【解答】解：∵B=π6，c=4，cos C=√53，∴sin C=√1−cos2C=23，∴由正弦定理bsin B=csin C可得：b12=423，解得：b=3．故选B.6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若|a→+b→|=|a→|+|b→|，则平方得|a→|2+2a→⋅b→+|b→|2=|a→|2+|b→|2+2|a→|⋅|b→|，即a →⋅b →=|a →|⋅|b →|，即a →⋅b →=|a →||b →|cos <a →,b →>=|a →|⋅|b →|， 则cos <a →,b →>=1， 即<a →,b →>=0，即a →，b →同向共线时，存在实数λ，使得a →=λb →， 反之，当<a →,b →>=π时， 满足a →=λb →，但cos <a →,b →>=1不成立，即“存在实数λ，使得a →=λb →”是“|a →+b →|=|a →|+|b →|”的必要不充分条件. 故选B . 7. 【答案】 C【考点】 抛物线的性质 【解析】由题意画出图形，利用抛物线定义结合已知求得A 的坐标，得到直线AF 的方程，与抛物线联立求得B 的坐标，再由抛物线焦半径公式求解． 【解答】如图，A 在准线上的射影为E ，B 在准线上的射影为H ，由抛物线y 2＝8x ，得焦点F(2, 0)，∵ 点F 是的AC 中点，∴ AE ＝2p ＝8，则AF ＝8， ∴ A点横坐标为6，代入抛物线方程，可得A(6, 4√3)， ∴ k AF =4√36−2=√3，则AF 所在直线方程为y =√3(x −2)． 联立{y =√3(x −2)y 2=8x，得3x 2−20x +12＝0． ∴ 6x B ＝4，得x B =23，则BF ＝BH =23+2=83．故BC ＝CF −BF ＝AF −BF ＝8−83=163．8.【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 【解析】根据通项公式和求和公式即可求出． 【解答】设公差为d ，则3a 1+12d ＝9， ∴ a 1+4d ＝a 5＝3 ∴ S 9＝9a 5＝27， 9.【答案】 A【考点】 函数的求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为f(x)为奇函数， 所以f(−x)=−f(x)．又因为y =f(x +1)为偶函数， 所以f(x +1)=f(−x +1)，所以f(x)=f(x −1+1)=f(−x +2) =−f(x −2)=−f(x −3+1) =−f(−x +4)=f(x −4)， 所以f(x)的周期为4． 则f (72)=f (4−12)=f (−12) =2×(−12)2=12． 故选A ． 10.【答案】 B【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】连接AO ，AE ，AF ，OE ，OF ，EF ，然后利用等积法说明四面体O −AEF 的体积是与x ，y 无关的定值． 【解答】如图，∵BB1 // 平面AA1C1C，∴E到平面AA1C1C的距离为定值，∵AO // A1C1，∴F到直线AO的距离为定值，∴△AOF的面积为定值．∵V O−AEF＝V E−AOF，∴四面体O−AEF的体积是与x，y无关的定值．11.【答案】D【考点】数列递推式【解析】A．∀a1＝a>0，a n+1=a n2+1a n(n∈N∗)，由a n>0．利用基本不等式的性质即可得出a n+1≥√2，即可判断出正误．B．由A可得：n≥2时，a n≥√2，即a n+1<a n，即可判断出正误．C．令f(x)=x2+1x(x≥√2)，利用导数已经其单调性，即可判断出正误．D：由a1＝a>0，a n+1=a n2+1a n(n∈N∗)，a2=a2+1a，令a2+1a=a，解得a，即可判断出正误．【解答】A．∀a1＝a>0，a n+1=a n2+1a n(n∈N∗)，∴a n>0．∴a n+1≥2√a n2×1a n=√2，因此A不正确．B．∵a n+1a n =12+1a n2，由A可得：n≥2时，a n≥√2，∴a n+1a n<1，即a n+1<a n，因此B不正确．C．令f(x)=x2+1x(x≥√2)，则f′(x)=12−1x2≥0，因此函数f(x)在[√2, +∞)上单调递增，因此不存在m∈N∗，总有a m<a n，不正确．D：由a1＝a>0，a n+1=a n2+1a n(n∈N∗)，a2=a2+1a，令a2+1a=a，解得a=√2，则a n=√2，因此结论成立．12.【答案】C【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据函数与方程的关系，结合偶函数的性质，转化为当当x>0时，函数F(x)＝f(x)−m有3个零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】∵f(x)是定义在R上的偶函数，若函数F(x)＝f(x)−m有6个零点，∴等价为当x>0时，函数F(x)＝f(x)−m有3个零点，且0不是函数F(x)＝f(x)−m的零点，即当x>0时，f(x)＝m有3个根，当0≤x<1时，f(x)＝x2−x2=(x−14)2−14，当x≥1时，f(x)=x−1e x，则f′(x)=ex−(x−1)e x(e x)2=2−xe x当x>2时，f′(x)<0，函数为减函数，当1≤x<2时，f′(x)>0，函数为增函数，即当x＝2时，函数f(x)为极大值，极大值为f(2)=1e2，当x≥1时，f(x)≥0，作出f(x)在x≥0时的图象如图，要使y＝m与y＝f(x)在x≥0时有三个交点，则0<m<1e2，即实数m的取值范围是(0, 1e)，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）【答案】−12【考点】简单线性规划【解析】由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．【解答】画出实数x，y满足{x−y+1≥0x+y≥0x≤0的可行域，如图：得在直线x−y+1＝0与直线x+y＝0的交点A(−12, 12)处，目标函数z＝2x+y的最小值为：2×(−12)+12=−12．【答案】√5【考点】双曲线的特性【解析】本题主要考查双曲线的几何性质.【解答】解：由双曲线C:x2a2−y2b2=1得其渐近线方程为y=±bax，所以ba=2，所以e2=c2a2=1+b2a2=5，所以e=√5．故答案为：√5． 【答案】[−12, 0] 【考点】正弦函数的定义域和值域三角函数的恒等变换及化简求值 二倍角的三角函数【解析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得它的值域． 【解答】∵ 函数y =cos x cos (π2+x)=−cos x sin x =−12sin 2x 的定义域为[0,π4]， ∴ 2x ∈[0, π2]，sin 2x ∈[0, 1]，∴ y =−12sin 2x ∈[−12, 0]， 【答案】23【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 球的表面积和体积【解析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积． 【解答】根据题意知，△ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，球的半径为r ， 因为球的表面积为25π4，所以4πr 2=25π4所以r =54，四面体ABCD 的体积的最大值，底面积S △ABC 不变，高最大时体积最大， 就是D 到底面ABC 距离最大值时，ℎ＝r +√r 2−12=2．四面体ABCD 体积的最大值为13×S △ABC ×ℎ=13×12×√2×√2×2=23，三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 【答案】在△ACD 中，AD =7√22， 所以由余弦定理得：CD 2=82+(7√22)2−2×8×7√22×√22=652，所以CD =√1302． 法2：（1）∵ cos B =35，且B ∈(0, π)，∴ sin B =√1−cos 2B =45，∴ sin C ＝sin (π−A −B)＝sin (A +B)=sin A cos B +cos A sin B =√22⋅35+√22⋅45=7√210， 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B=BCsin A，即845=√22，解得BC =5√2，所以，△ABC 的面积为S =12AC ⋅BC ⋅sin C =12⋅8⋅5√2⋅7√210=28，因为cos B =35<√22， ∴ B >π4，∵ A =π4，∴ C 为锐角故cos C =√1−sin 2C =√210（或cos C =cos (π−A −B)=−cos (A +B)=√210） ∵ CA →+CB →=2CD→#/DEL/#∴ 4|CD →|2=(CA →+CB →)2=|CA →|2+2CA →⋅CB →+|CB →|2=64+2⋅8⋅5√2⋅√210+50=130#/DEL/#， 所以CD =√1302． 【考点】 正弦定理 余弦定理【解析】法1：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C ，由正弦定理可求AB 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解；（2）求得AD =7√22，由余弦定理可求CD 的值． 法2：（1）同法1；（2）由cos B =35<√22，可得B >π4，结合A =π4，可求C 为锐角，可求cos C 的值，由CA →+CB →=2CD →，两边平方，利用平面向量数量积的运算即可求得CD 的值． 【解答】在△ACD 中，AD =7√22， 所以由余弦定理得：CD 2=82+(7√22)2−2×8×7√22×√22=652，所以CD =√1302． 法2：（1）∵ cos B =35，且B ∈(0, π)，∴ sin B =√1−cos 2B =45，∴ sin C ＝sin (π−A −B)＝sin (A +B)=sin A cos B +cos A sin B =√22⋅35+√22⋅45=7√210， 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin A ，即845=√22，解得BC =5√2，所以，△ABC 的面积为S =12AC ⋅BC ⋅sin C =12⋅8⋅5√2⋅7√210=28，因为cos B =35<√22， ∴ B >π4，∵ A =π4，∴ C 为锐角故cos C =√1−sin 2C =√210（或cos C =cos (π−A −B)=−cos (A +B)=√210）∵ CA →+CB →=2CD →#/DEL/#∴ 4|CD →|2=(CA →+CB →)2=|CA →|2+2CA →⋅CB →+|CB →|2=64+2⋅8⋅5√2⋅√210+50=130#/DEL/#，所以CD =√1302． 【答案】 由题意x 180=0.2，解得x ＝36，∴ y +z ＝180−28−32−36−30＝54， ∴ 在C 城中应该抽取的数据个数为30180×54=9．由（1）知y +z ＝54，且y ，z ∈N ， ∴ 数对(y, z)可能的结果有如下8种： (23, 31)，(24, 30)，(25, 29)，(26, 28)， (27, 27)，(28, 26)，(29, 25)，(30, 24)，其中，“C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有如下3种： (28, 26)，(29, 25)，(30, 24)，∴ 在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率p =38． 【考点】 分层抽样方法列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】（1）由题意x180=0.2，求出x ，由此能求出在C 城中应该抽取的数据个数．（2）由（1）知y +z ＝54，且y ，z ∈N ，由此利用列举法能求出在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率．【解答】 由题意x180=0.2，解得x ＝36，∴ y +z ＝180−28−32−36−30＝54， ∴ 在C 城中应该抽取的数据个数为30180×54=9．由（1）知y +z ＝54，且y ，z ∈N ，∴ 数对(y, z)可能的结果有如下8种： (23, 31)，(24, 30)，(25, 29)，(26, 28)， (27, 27)，(28, 26)，(29, 25)，(30, 24)，其中，“C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有如下3种： (28, 26)，(29, 25)，(30, 24)，∴ 在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率p =38．【答案】证明：(I)因为AD ＝4，AB ＝2，BD =2√3，所以AB2+BD 2＝AD 2，AB ⊥BD ，且∠ADB ＝30∘．又△BCD 是等边三角形，所以∠ADC ＝90∘，即CD ⊥AD ． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ． 所以CD ⊥PA ． … (II)因为平面BEF // 平面PCD ，所以BF // CD ，EF // PD ，且BF ⊥AD ． …又在直角三角形ABD 中，DF =2√3cos 30=3，所以AE ＝AF ＝1． 所以S PEFD =12×4×4×sin 60−12×1×1×sin 60=15√34． … 由(I)知CD ⊥平面PAD ，故四棱锥C −PEFD 的体积V =13S PEFD ⋅CD =152．【考点】直线与平面垂直棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】（I ）推导出AB ⊥BD ，CD ⊥AD ，从而CD ⊥平面PAD ，由此能证明CD ⊥PA ．(II)由平面BEF // 平面PCD ，得BF // CD ，EF // PD ，且BF ⊥AD ，由此能求出四棱锥C −PEFD 的体积． 【解答】证明：(I)因为AD ＝4，AB ＝2，BD =2√3，所以AB2+BD 2＝AD 2，AB ⊥BD ，且∠ADB ＝30∘．又△BCD 是等边三角形，所以∠ADC ＝90∘，即CD ⊥AD ． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ． 所以CD ⊥PA ． … (II)因为平面BEF // 平面PCD ，所以BF // CD ，EF // PD ，且BF ⊥AD ． …又在直角三角形ABD 中，DF =2√3cos 30=3，所以AE ＝AF ＝1． 所以S PEFD =12×4×4×sin 60−12×1×1×sin 60=15√34． … 由(I)知CD ⊥平面PAD ，故四棱锥C −PEFD 的体积V =13S PEFD ⋅CD =152．【答案】（1）由已知，得a =√3，c ＝1，所以e =ca =√3=√33， 又a 2＝b 2+c 2，所以b =√2 所以椭圆C 的标准方程为x 23+y 22=1，离心率e =√33， 证明：(Ⅱ)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(x m , y m )，①当直线l 与x 轴垂直时，点A ，B 的坐标分别为(0,−√2)，(0,√2)．因为MA →=(0−x m ,−√2−y m )，MB →=(0−x m ,√2−y m )，MO →=(0−x m ,0−y m )， 所以MA →+MB →+MO →=(−3x m ,−3y m )=0．所以x m ＝0，y m ＝0，即点M 与原点重合，②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx +1， 由{x 23+y 22=1,y =kx +1,得(3k 2+2)x 2+6kx −3＝0，△＝36k 2+12(3k 2+2)＝72k 2+24>0． 所以x 1+x 2=−6k3k 2+2， 则y 1+y 2=43k 2+2>0，因为MA →=(x 1−x M , y 1−y M )，MB →=(x 2−x M , y 2−y M )，MO →=(−x m , −y m )， 所以MA →+MB →+MO →=(x 1+x 2+0−3x m ,y 1+y 2+0−3y m )=0． 所以x 1+x 2＝3x m ，y 1+y 2＝3y m ．x m =−2k3k 2+2，y m =433k 2+2>0，消去k 得2x m 2+3y m 2−2y m =0(y m >0)．综上，点M 构成的曲线L 的方程为2x 2+3y 2−2y ＝0对于曲线L 的任意一点M(x, y)，它关于直线y =13的对称点为M ′(x,23−y)．把M ′(x,23−y)的坐标代入曲线L 的方程的左端：2x 2+3(23−y)2−2(23−y)=2x 2+43−4y +3y 2−43+2y =2x 2+3y 2−2y =0．所以点M ′也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线y =13对称 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】(Ⅰ)由已知，得a =√3，c ＝1，所以e =c a =3=√33，由a 2＝b 2+c2，所以b =√2，即可求出椭圆方程，(Ⅱ)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(x m , y m )，分两种情况，借助韦达定理和向量的运算，即可求出点M 构成的曲线L 的方程为2x 2+3y 2−2y ＝0，即可证明 【解答】（1）由已知，得a =√3，c ＝1，所以e =c a=3=√33， 又a 2＝b 2+c 2，所以b =√2 所以椭圆C 的标准方程为x 23+y 22=1，离心率e =√33， 证明：(Ⅱ)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(x m , y m )，①当直线l 与x 轴垂直时，点A ，B 的坐标分别为(0,−√2)，(0,√2)．因为MA →=(0−x m ,−√2−y m )，MB →=(0−x m ,√2−y m )，MO →=(0−x m ,0−y m )， 所以MA →+MB →+MO →=(−3x m ,−3y m )=0．所以x m ＝0，y m ＝0，即点M 与原点重合，②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx +1， 由{x 23+y 22=1,y =kx +1,得(3k 2+2)x 2+6kx −3＝0，△＝36k 2+12(3k 2+2)＝72k 2+24>0． 所以x 1+x 2=−6k3k 2+2， 则y 1+y 2=43k 2+2>0，因为MA →=(x 1−x M , y 1−y M )，MB →=(x 2−x M , y 2−y M )，MO →=(−x m , −y m )， 所以MA →+MB →+MO →=(x 1+x 2+0−3x m ,y 1+y 2+0−3y m )=0． 所以x 1+x 2＝3x m ，y 1+y 2＝3y m ．x m =−2k3k 2+2，y m =433k 2+2>0，消去k 得2x m 2+3y m 2−2y m =0(y m >0)．综上，点M 构成的曲线L 的方程为2x 2+3y 2−2y ＝0对于曲线L 的任意一点M(x, y)，它关于直线y =13的对称点为M ′(x,23−y)．把M ′(x,23−y)的坐标代入曲线L 的方程的左端：2x 2+3(23−y)2−2(23−y)=2x 2+43−4y +3y 2−43+2y =2x 2+3y 2−2y =0．所以点M ′也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线y =13对称【答案】证明：由已知易得f(x)＝a(x −1)+x ln x +1，所以f ′(x)＝a +1+ln x 令f ′(x)＝a +1+ln x ＝0得，x ＝e −（a+1）．显然，x ∈(0, e −（a+1）)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减；x ∈(e −（a+1），+∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增所以[f(x)]min ＝f(e−（a+1）)＝1−a −e−（a+1）．令t(a)＝[f(x)]min ，则由t ′(a)＝−1+e−（a+1）＝0得a ＝−1a ∈(−∞, −1)时，t ′(a)>0，函数t(a)单调递增；a ∈(−1, +∞)时，t ′(a)<0，函数t(a)单调递减所以[t(a)]max ＝t(−1)＝1+1−1＝1，即结论成立． 法1：由题设化简可得k <x+x ln x x−2，令ℎ(x)=x+x ln x x−2，则ℎ(x)=x−4−21nx (x−2)2．令g(x)＝x −4−2ln x ．又g ′(x)=1−2x ，∴ x >2时，g ′(x)>0，即g(x)单调递增，∵ g(8)＝4−2ln 8＝ln e 4−ln 82<0，g(9)＝5−2ln 9＝ln e 5−ln 92>0． 设x −4−2ln x ＝0并记其零点为x 0，故8<x 0<9，且ln x 0=x 0−42．所以当2<x <x 0时，g(x)<0，即ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x >x 0时，g(x)>0即ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， 所以ℎ(x)min ＝ℎ(x 0)=x 0+x 0⋅x 0−42x 0−2=x 02，因此k <x 02，由于k ∈Z 且8<x 0<9，即4<x 02<92，所以k 的最大值为4．法2：由题设化简可得x +x ln x >k(x −2)令t(x)＝x ln x +(1−k)x +2k ，所以t ′(x)＝ln x +2−k 由t ′(x)＝ln x +2−k ＝0得x ＝e k−2①若e k−2≤2，即k ≤2+ln 2时，在x ∈(2, +∞)上，有t ′(x)>0，故函数t(x)单调递增 所以t(x)>t(2)＝2+2ln 2>0 ②若e k−2>2，即k >2+ln 2时，在x ∈(2, e k−2)上，有t ′(x)<0故函数t(x)在x ∈(2, e k−2)上单调递减在x ∈(e k−2, +∞)上，有t ′(x)>0故函数t(x)在x ∈(e k−2, +∞)上单调递增 所以，在x ∈(2, +∞)上，t(x)min =t(e k−2)=2k −e k−2故欲使2k >e k−2，只需t(x)min =t(e k−2)=2k −e k−2>0即可． 令m(k)＝2k −e k−2，∴ m ′(k)＝2−e k−2 故由m ′(k)＝2−e k−2＝0，∴ k ＝2+ln 2．所以，k >2+ln 2时，m ′(k)<0，即m(k)单调递减．又m(4)＝2×4−e 4−2＝8−e 2>8−2.722＝8−7.40>0，m(5)＝2×5−e 5−2＝10−e 3<10−2.73＝10−19.7<0． 故k 的最大值为4． 【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】（1）利用导数可得[f(x)]min ＝f(e −（a+1）)＝1−a −e −（a+1），令t(a)＝[f(x)]min ，则由t ′(a)＝−1+e −（a+1）＝0得[t(a)]max ＝t(−1)＝1+1−1＝1，即结论成立． （2）法1：由题设化简可得k <x+x ln x x−2，令ℎ(x)=x+x ln x x−2，则ℎ(x)=x−4−21nx (x−2)，令g(x)＝x −4−2ln x ．设x −4−2ln x ＝0并记其零点为x 0，故8<x 0<9，且ln x 0=x 0−42．可得ℎ(x)min ＝ℎ(x 0)=x 0+x 0⋅x 0−42x 0−2=x 02，即4<x 02<92，可得k 的最大值为4．法2：由题设化简可得x +x ln x >k(x −2)令t(x)＝x ln x +(1−k)x +2k ，所以t ′(x)＝ln x +2−k 由t ′(x)＝ln x +2−k ＝0得x ＝e k−2．分以下情况讨论： ①若e k−2≤2，②若e k−2>2， 【解答】证明：由已知易得f(x)＝a(x −1)+x ln x +1，所以f ′(x)＝a +1+ln x 令f ′(x)＝a +1+ln x ＝0得，x ＝e −（a+1）．显然，x ∈(0, e −（a+1）)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减；x ∈(e −（a+1），+∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增所以[f(x)]min ＝f(e −（a+1）)＝1−a −e −（a+1）．令t(a)＝[f(x)]min ，则由t ′(a)＝−1+e −（a+1）＝0得a ＝−1a ∈(−∞, −1)时，t ′(a)>0，函数t(a)单调递增；a ∈(−1, +∞)时，t ′(a)<0，函数t(a)单调递减所以[t(a)]max ＝t(−1)＝1+1−1＝1，即结论成立． 法1：由题设化简可得k <x+x ln x x−2，令ℎ(x)=x+x ln x x−2，则ℎ(x)=x−4−21nx (x−2)2．令g(x)＝x −4−2ln x ．又g ′(x)=1−2x ，∴ x >2时，g ′(x)>0，即g(x)单调递增，∵ g(8)＝4−2ln 8＝ln e 4−ln 82<0，g(9)＝5−2ln 9＝ln e 5−ln 92>0． 设x −4−2ln x ＝0并记其零点为x 0，故8<x 0<9，且ln x 0=x 0−42．所以当2<x <x 0时，g(x)<0，即ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减； 当x >x 0时，g(x)>0即ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， 所以ℎ(x)min ＝ℎ(x 0)=x 0+x 0⋅x 0−42x 0−2=x 02，因此k <x 02，由于k ∈Z 且8<x 0<9，即4<x 02<92，所以k 的最大值为4．法2：由题设化简可得x +x ln x >k(x −2)令t(x)＝x ln x +(1−k)x +2k ，所以t ′(x)＝ln x +2−k 由t ′(x)＝ln x +2−k ＝0得x ＝e k−2①若e k−2≤2，即k ≤2+ln 2时，在x ∈(2, +∞)上，有t ′(x)>0，故函数t(x)单调递增 所以t(x)>t(2)＝2+2ln 2>0 ②若e k−2>2，即k >2+ln 2时，在x ∈(2, e k−2)上，有t ′(x)<0故函数t(x)在x ∈(2, e k−2)上单调递减在x ∈(e k−2, +∞)上，有t ′(x)>0故函数t(x)在x ∈(e k−2, +∞)上单调递增 所以，在x ∈(2, +∞)上，t(x)min =t(e k−2)=2k −e k−2故欲使2k >e k−2，只需t(x)min =t(e k−2)=2k −e k−2>0即可． 令m(k)＝2k −e k−2，∴ m ′(k)＝2−e k−2 故由m ′(k)＝2−e k−2＝0，∴ k ＝2+ln 2．所以，k >2+ln 2时，m ′(k)<0，即m(k)单调递减．又m(4)＝2×4−e 4−2＝8−e 2>8−2.722＝8−7.40>0，m(5)＝2×5−e 5−2＝10−e 3<10−2.73＝10−19.7<0． 故k 的最大值为4．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（共2小题，满分0分） 【答案】(I)l 的普通方程为y =√3(x −1)，C 1的普通方程为x 2+y 2＝1， 联立方程组{y =√3(x −1)x 2+y 2=1 ，解得交点坐标为A(1, 0)，B(12, −√32) 所以|AB|=12)√32)=1；(II)曲线C 2:{x =12cos θy =√32sin θ（θ为参数）． 设所求的点为P(12cos θ, √32sin θ)， 则P 到直线l 的距离d =|√32cos θ−√32sin θ−√3|√3+1=√34[√2sin (θ−π4)+2]当sin (θ−π4)＝−1时，d 取得最小值√64(√2−1)．【考点】圆的参数方程函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 直线的参数方程【解析】（I ）将直线l 中的x 与y 代入到直线C 1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|． (II)将直线的参数方程化为普通方程，曲线C 2任意点P 的坐标，利用点到直线的距离公式P 到直线的距离d ，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d 的最小值即可． 【解答】(I)l 的普通方程为y =√3(x −1)，C 1的普通方程为x 2+y 2＝1， 联立方程组{y =√3(x −1)x 2+y 2=1 ，解得交点坐标为A(1, 0)，B(12, −√32) 所以|AB|=12)√32)=1；(II)曲线C 2:{x =12cos θy =√32sin θ （θ为参数）． 设所求的点为P(12cos θ, √32sin θ)， 则P 到直线l 的距离d =|√32cos θ−√32sin θ−√3|√3+1=√34[√2sin (θ−π4)+2]当sin (θ−π4)＝−1时，d 取得最小值√64(√2−1)．【答案】（1）当m ＝2时，不等式f(x)≤1可化为， 2|x +1|−|x −2|≤1，当x <−1时，不等式化为x +5≥0，解得−5≤x <−1， 当−1≤x ≤2时，不等式化为3x ≤1，解得−1≤x ≤13，当x >2时，不等式化为x +3≤0，解得x ∈⌀， 综上，不等式的解集为：{x|−5≤x ≤13}；（2）g(x)＝f(x)−2＝2|x +1|−|x −m|−2={−x −4−m,x <−13x −m,−1≤x ≤m x +m,x >m，∴ g(x)的图象与两坐标轴的交点坐标分别为A(−m −4, 0)，B(0, −m)，C(m3, 0)，∴ 三角形ABC 的面积：S△ABC=12⋅[m3−(−m−4)]⋅|−m|=23m(m+3)，由S△ABC=23m(m+3)=12，得m＝3或m＝−6（舍），∴m＝3．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】(Ⅰ)将m＝2代入不等式中，然后去绝对值即可；(Ⅱ)求出g(x)的图象与坐标轴的交点坐标，然后的到三角形ABC的面积，根据面积为12即可得解．【解答】（1）当m＝2时，不等式f(x)≤1可化为，2|x+1|−|x−2|≤1，当x<−1时，不等式化为x+5≥0，解得−5≤x<−1，当−1≤x≤2时，不等式化为3x≤1，解得−1≤x≤13，当x>2时，不等式化为x+3≤0，解得x∈⌀，综上，不等式的解集为：{x|−5≤x≤13}；（2）g(x)＝f(x)−2＝2|x+1|−|x−m|−2={−x−4−m,x<−13x−m,−1≤x≤mx+m,x>m，∴g(x)的图象与两坐标轴的交点坐标分别为A(−m−4, 0)，B(0, −m)，C(m3, 0)，∴三角形ABC的面积：S△ABC=12⋅[m3−(−m−4)]⋅|−m|=23m(m+3)，由S△ABC=23m(m+3)=12，得m＝3或m＝−6（舍），∴m＝3．。
2020届四川省成都市棠湖中学高三年级上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前四川省成都市棠湖中学2020届高三年级上学期期末教学质量检测数学(文)试题(解析版)2020年1月第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知复数z满足()1z +=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A【解析】 【详解】由()1z+=,得63422z +====+， 所以得在复平面内对应的点的坐标为32⎛ ⎝⎭是第一象限的点,故选A. 2.圆的方程为222100x y x y +++-=,则圆心坐标为（ ）A. (1,1)-B. 1(,1)2-C. (1,2)-D. 1(,1)2-- 【答案】D【解析】分析】将222100x y x y +++-=化为圆的标准方程可看出圆心坐标.【详解】将222100x y x y +++-=配方,化为圆的标准方程可得()2211451110244x y ⎛⎫+++=++= ⎪⎝⎭, 即可看出圆的圆心为1(,1)2--. 故选：D.【点睛】本题考查了圆的一般式方程化为标准方程的运算,属于基础题.3.2019年第十三届女排世界杯共12支队伍参加,中国女排不负众望荣膺十冠王.将12支队伍的积分制成茎叶图如图所示,则这组数据的中位数和平均数分别为（ ）A. 17.5和17B. 17.5和16C. 17和16.5D. 17.5和16.5【答案】D【解析】【分析】 根据茎叶图将这12个数据按照从小到大的顺序排成一列,再根据中位数和平均数的概念可得答案.【详解】根据茎叶图的概念可得这12个数据分别为:2,3,5,13,17,17,18,19,21,23,28,32,再根据中位数的概念可得中位数为17.5,根据平均数的概念可得平均数为23513171718192123283212+++++++++++16.5=. 故选:D【点睛】本题考查了茎叶图的概念,中位数和平均数的定义,将这12个数据按照从。
四川省棠湖中学2020届高三数学上学期开学考试试题文
四川省棠湖中学2020届高三数学上学期开学考试试题 文第I 卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1.已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}1,1-D. {}0,1,22.＝A. ﹣1B. ﹣iC. 1D. i3.甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话，一人说了假话，那么申请去新疆支教的学生是 A. 甲B. 乙C. 丙D.不确定 4.函数的最小正周期为A.B.C.D. 25.已知实数，满足约束条件，则的最小值为 A.B.C.D.6.设向量(0,2),==r ra b ，则,a b 的夹角等于A.3πB.6π C.32π D.65π7.设 ， ，则“”是“”的A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 8.若，则)A. B. C. D.9.设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程是A. B. C. D.10.已知为等差数列的前项和，若，，则数列的公差A. 4B. 3C. 2D. 111.在中，，，则的最大值为A. B. C. D.12.在三棱锥中，平面ABC，，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．14.已知函数在点处的切线方程为，则．15.角的终边与单位圆相交于，则______．16.如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，∠ABC＝120︒，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）某机构用“10分制”调查了各阶层人士对某次国际马拉松赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于分，则称该被调查者的满意度为“极满意”，求从这16人中随机选取3人，至少有2人满意度是“极满意”的概率；18（本大题满分12分）数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.19.（本大题满分12分）在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，、分别为线段、上一点，且，.（1）证明：；（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.20.（本大题满分12分） 设函数,其中为自然对数的底数．（1）若,求的单调区间; （2）若,求证:无零点．21.（本大题满分12分）已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，椭圆2C 的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线1C 和2C 在第一象限的交点，且5||2MF =． （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）设,A B 为抛物线1C 上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y x =上，(3,2)P 为定点，求PAB ∆面积的最大值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与曲线分别交于两点.（1）若点的极坐标为，求的值；（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.23. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知，．（1）求的最小值（2）证明：．2019-2020学年度秋四川省棠湖中学高三开学考试文科数学试题答案1.A2.A3.C4.D5.A6.A7.A8.C9.D 10.B 11.A 12.D13.6 14.4 15.16.17.由茎叶图可知：这组数据的众数为86，中位数．被调查者的满意度为“极满意”共有4人其满意度分别为，，，．从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率．18.（1）∵．n=1时，可得a1＝4，n≥2时，．与．两式相减可得＝（2n﹣1）+1=2n，∴．n=1时，也满足，∴.（2）=∴S n，又，可得n>9，可得最小正整数n为10．19.（1）∵AM＝AD＝3，MD＝3，∴AM2+AD2＝MD2，∴AM⊥AD，∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD＝AD，∴AM⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AM⊥BD．（2）在棱AD上取一点N，使得ND＝1，∵CE＝1，∴CE＝ND，又BC∥AD，∴EC ND，又AB∥CD，∴EN∥AB，∵＝，∴FN∥AM，∵FN∩EN＝N，∴平面ENF∥平面MAB，又EF⊂平面ENF，∴EF∥平面MAB，∵AM⊥平面ABCD，且FD＝MD，AM＝3，∴F到平面ABCD的距离d＝，∴V D﹣AEF＝V F﹣ADE＝＝1．20.（1）若,则,∴．令,则,当时,,即单调递增,又,∴当时,单调递减,当时,单调递增．∴的单调递减区间为,单调递增区间为．（2）当时,，显然无零点．当时,(i)当时,，显然无零点．(ii)当时，易证，∴,∴．令，则，令，得，当时，；当时，，故，从而，显然无零点.综上,无零点．21.（1）设椭圆2C 的方程为22221(0)x y a b a b-=>>，半焦距为c ．由已知，点(1,0)F ，则1c =．设点00(,)M x y 00(,0)x y >，据抛物线定义，得0||1MF x =+．由已知，0512x +=，则032x =．从而0y ==3(2M ．设点E 为椭圆的左焦点，则(1,0)E -，7||2ME ==． 据椭圆定义，得752||||622a ME MF =+=+=，则3a =． 从而2228b a c =-=，所以椭圆2C 的标准方式是22198x y+=．（2）设点(,)D m m ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211224,4y x y x ==．两式相减，得2212124()y y x x -=-，即1212124y y x x y y -=-+．因为D 为线段AB 的中点，则122y y m +=．所以直线AB 的斜率124422k y y m m===+．从而直线AB 的方程为2()y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=． 联立222204x my m m y x⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，得222240y my m m -+-=，则21224y y m m =-．所以12||||AB y y =-==． 设点P 到直线AB 的距离为d，则2d =．所以21|||64|2PAB S AB d m m ∆==-+．由240m m ->，得04m <<．t =，则23|6|622PABt t t t S ∆--==(0t 2)<≤． 设36()2t t f t -=(02)t <≤，则263()2t f t -'=．由()0f t '>，得0t <<()f t 在上是增函数，在上是减函数，所以max ()f t f ==PAB ∆面积的最大值为 22.（1）由，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得到+3=12,所以曲线C 的直角坐标方程为+3=12，的极坐标为，化为直角坐标为（-2，0）由直线l 的参数方程为：（t 为参数），知直线l 是过点P （-2， 0），且倾斜角为的直线， 把直线的参数方程代入曲线C 得，．所以|PM |•|PN |＝|t 1t 2|＝4．（2）由曲线C 的方程为 ，不妨设曲线C 上的动点，则以P 为顶点的内接矩形周长l，又由sin （θ）≤1，则l ≤16；因此该内接矩形周长的最大值为16． 23.（1）因为，，所以,即，当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．（2）．- 11 -。
2020年四川省成都市双流县中学高三数学文模拟试题含解析
2020年四川省成都市双流县中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行右侧的程序框图，当输入的x值时为4时，输入的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为（A）x＞3 (B) x＞4 (C)x≤4 (D)x≤5参考答案：B输入x为4，要想输出y为2，则程序经过，故判断框填，选B.2. 已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有A.0条B.1条C.2条D.无数条参考答案：B略3. 已知向量，，若∥，则m=A．－2 B．C．D．2参考答案：C据已知得：，，所以有，2m=1,m=.【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的平行的运算，属于基础题4. 假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】设送报人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可．【解答】解：设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示∴所求概率P=1﹣=；故选：D．5. 已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是( ) A．4 B．3 C．2 D．无数参考答案：A【考点】虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的幂运算，化简求解即可．【解答】解：复数f（n）=i n（n∈N*），可得f（n）=，k∈Z．集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．故选：A．【点评】本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．6.有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是A．18 B．26 C．29 D．58参考答案：答案：D7. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A）34 （B）55（C）78 （D）89参考答案：B8. 若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为；②四列中至少有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为（）A．48 B．72 C．168 D．312参考答案：C一：恰有两列的上下两数相同，①取这两列，有种，②从1、2、3、4中取2个数排这两列，有种，③排另两列，有种，∴共有=144种；二：恰有三列的上下两数相同，也是恰有四列上下两数相同，有=24种(只要排其中一行即可).故一共有144+24=168种.选C.9. 若，满足，，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：C考点：向量的夹角．10. 已知满足约束条件，若的最小值为，则（）A．B． C. 1 D．2参考答案：A由不等式组知可行域只能是图中内部（含边界），作直线，平移直线，只有当过点时，取得最小值，易知，∴，解得．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知平面内有A（﹣2，1），B（1，4），使=成立的点C坐标为．参考答案：（﹣1，2）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】设C（x，y），由=，列出方程组，能求出C点坐标．【解答】解：平面内有A（﹣2，1），B（1，4），设C（x，y），∵=，∴（x+2，y﹣1）=（，），∴，解得x=﹣1，y=2，∴C（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．12. 设为虚数单位，集合，集合，则．参考答案：略13. 设函数f（x）=若f[f（a）]，则a的取值范围是．参考答案：或a=1【考点】函数的值域．【专题】压轴题；函数的性质及应用．【分析】分a在和两种情况讨论，同时根据f（a）所在的区间不同求f[f（a）]的值，然后由f[f（a）]求解不等式得到a的取值范围．【解答】解：当时，．∵，由，解得：，所以；当，f（a）=2（1﹣a），∵0≤2（1﹣a）≤1，若，则，分析可得a=1．若，即，因为2[1﹣2（1﹣a）]=4a﹣2，由，得：．综上得：或a=1．故答案为：或a=1．【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为中档题．14. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .参考答案：略15. △ABC中，AB=8，AC=6，M为BC的中点，O为△ABC的外心， ?= ．参考答案：25【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，则D，E分别为AB，AC的中点．可得==32， ==18．又=，代入计算即可得出．【解答】解：如图所示，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，则D，E分别为AB，AC的中点．∴==32， ==18．又=，∴?===16+9=25．故答案为：25．【点评】本题考查了三角形外心的性质、垂经定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16. 若曲线在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于参考答案：2略17. 若z l=a+2i，z2=3-4i，且为纯虚数，则实数a的值为参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届四川省棠湖中学高三第一次高考适应性考试数学(文)试题(解析版)
2020届四川省棠湖中学高三第一次高考适应性考试数学（文）试题一、单选题1．若集合{}2|log 3A x x =<，{}2|280B x x x =--≤，则AB =（ ）A ．{}|8x x <B ．{}|24x x -≤≤C ．{}|28x x -≤<D ．{}|04x x <≤【答案】C【解析】解对数不等式和一元二次不等式确定集合,A B ，然后由并集概念求解． 【详解】 解：{}|08A x x =<<，{}|24B x x =-≤≤，{}|28A B x x ∴=-≤<，故选：C . 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查对数函数的性质和解一元二次不等式，掌握对数函数性质是解题关键． 2．复数12iz i-+=+的虚部为（ ） A ．35i - B ．35C ．35iD ．35【答案】D【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 ∵z ()()()()1211322255i i i i i i i -+--+===-+++-， ∴复数z 12i i -+=+的虚部为35． 故选：D 【点睛】本题考查的是复数的运算及其概念，较简单. 3．已知0.250.5log 2,1og 0.2,0.5a b c ===，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b【答案】B【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解.【详解】555log 1log 2log 5<<，∴102a <<，2221og 1og 54>=，∴2b >， 10.200.50.50.5<<，∴112c <<， ∴a c b <<，故选：B. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意中间变量的引入.4．下边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.()modm n N ≡表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如()104mod6≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．11B ．13C ．14D ．17【答案】D【解析】根据程序框图依次执行循环，直至跳出循环，输出结果. 【详解】()()11,112mod3,113mod4n =≡≡继续执行循环：()12,120mod3,n =≡ 继续执行循环：()13,131mod3,n =≡继续执行循环：()()14,142mod3,142mod4n =≡≡继续执行循环：()15,150mod3,n =≡ 继续执行循环：()16,161mod3,n =≡继续执行循环：()()17,172mod3,171mod4n =≡≡ 跳出循环，输出17n = 故选：D 【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.5．新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（ ）A ．样本容量为240B ．若样本中对平台三满意的人数为40，则40%m =C ．总体中对平台二满意的消费者人数约为300D ．样本中对平台一满意的人数为24人 【答案】B【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.求出样本容量为240判断选项A 的正误；求出40m =判断选项B 的正误；计算出总体中对平台二满意的消费者人数约为300判断选项C 的正误；计算出样本中对平台一满意的人数为24人判断选项D 的正误. 【详解】选项A ，样本容量为60004%240⨯=，该选项正确； 选项B ，根据题意得平台三的满意率4040%25004%=⨯，40m =，不是40%m =，该选项错误；选项C ，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意人数约为150020%300⨯=，该选项正确；选项D ，总体中对平台一满意人数约为20004%30%24⨯⨯=，该选项正确. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查分层抽样，考查用样本估计总体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．设不同直线1:10l x my -+=，()2:1220l m x y ---=，则“2m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据两条直线平行的条件，求得m 的值，就可以判断是“2m =”是“12//l l ”的什么条件． 【详解】当2m =时，代入两直线方程中，易知两直线平行， 即充分性成立12//l l 时，显然0m ≠，从而有()210m m -+-=，解得2m =或1m =-， 但当1m =-时，两直线重合，不合要求，故必要性成立． 故选:C 【点睛】本题考查了两条直线平行的条件和充要条件这两个知识点,属于简单题,在做题时注意使用以下三种方法,对充分、必要条件之间的关系进行判断 充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．7．如图．四边形ABCD 是正方形，点E ，F 分别在边AD ，CD 上，BEF 是等边三角形，在正方形ABCD 内随机取一点，则该点取自BEF 内的概率为（ ）A ．23-B ．13C ．233-D ．3 【答案】C【解析】连接BD 交EF 于G ，根据题意，得到15ABE ∠=︒，设等边三角形BEF 的边长为2，分别求出三角形BEF 的面积，以及正方形ABCD 的面积，进而可得所求概率. 【详解】连接BD 交EF 于G ，则BD EF ⊥，EG FG =，所以15ABE ∠=︒． 设等边三角形BEF 的边长为2，所以2cos15AB =︒， 所以正方形ABCD 的面积为()221cos302cos154cos 154232+︒︒=︒=⨯=+， 等边三角形BEF 的面积为132232⨯⨯⨯=， 故所求的概率323323P ==-+．【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若62a =，()()21039212a a a a ++=，则5S =（ ） A ．5 B ．3C ．3-D ．5-【答案】D【解析】根据等差数列的项的下标的性质可得31a =-，再根据535S a =计算可得结果. 【详解】由题意得()()()()()210396339636322224412a a a a a a a a a a a a ++=++=+=+=， 可得31a =-，所以5355S a ==-， 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的项的下标的性质，考查了等差数列的前n 项和公式，属于基础题. 9．已知,a b 是单位向量，且()2,1a b +=-，则a b -=（ ）A ．1BCD ．2【答案】A【解析】将已知等式两边平方，结合单位向量可得21a b ⋅=，再根据222a b a a b b -=-⋅+计算可得结果.【详解】因为,a b 是单位向量，()2,1a b +=-，所以2()(2,1)1)a b +=-⋅-， 所以22222(1)(1)a b a b ++⋅=⨯+-⨯-，所以21a b ⋅= 所以2221111a b a a b b -=-⋅+=-+=，故选：A 【点睛】本题考查了平面向量的数量积的运算，考查了求平面向量的模，属于基础题.10．已知圆22240x y x y +-+=关于双曲线()22:1021x y C m m m -=>+的一条渐近线对称，则m =（ ）A ．12B ．13C ．15D ．17【答案】D【解析】将圆心()1,2-的坐标代入渐近线12m y x m+=-可得结果即可. 【详解】因为圆22240x y x y +-+=关于双曲线()22:1021x y C m m m -=>+的一条渐近线对称，则圆心()1,2-在渐近线12m y x m +=-上，所以122m m+=，17m =，故选：D . 【点睛】本题考查了圆的一般方程，考查了圆的对称性，考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题.11．已知三棱锥P ABC -，面PAB ⊥面ABC ，4PA PB ==，43AB =，90ACB ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积（ ）A ．20πB ．32πC ．64πD ．80π【答案】C【解析】作出图形，取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，推导出PD ⊥平面ABC ，可知球心O 在直线PD 上，然后在Rt OAD 中由勾股定理可求得外接球的半径R ，则外接球的表面积可求. 【详解】如下图所示，取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，4PA PB ==，D 为AB 的中点，PD AB ∴⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，交线为AB ，PD ⊂平面ABC ，PD ∴⊥平面ABC ，90ACB ∠=,D ∴为Rt ABC 外接圆圆心，则球心O 在直线PD 上，设三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则2OD R =-，4AB =AD =2PD ==，在Rt OAD 中，由勾股定理得222OA OD AD =+， 即()22212R R =-+，解得4R =，因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2464R ππ=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解答的关键在于找出球心的位置，并通过列等式计算球的半径，考查计算能力，属于中等题.二、多选题12．已知函数()22log xf x x =+，且实数0a b c >>>，满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x b < D ．0x c <【答案】ABC【解析】由题意，确定函数为增函数，进而得知()f a ，()f b ，()f c 中一项为负的，两项为正的，或者三项都是负的，分类讨论分别求得可能成立选项，从而得到答案. 【详解】由函数的单调性可得，函数()22log xf x x =+在()0,∞+为增函数，由()()()0f a f b f c <， 则()()()f a f b f c ，，为负数的个数为奇数， 对于选项A B C ，，，选项可能成立对于选项D ，当0x c <时，函数的单调性可得：()()()000f a f b f c >>>，， 即不满足()()()0f a f b f c <，故选项不可能成立，故选：ABC 【点睛】本题考查了函数的单调性，属于中档题.三、填空题13．若变量,x y 满足1033020x y x y y x -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则x y +的最小值为______.【答案】3-【解析】作出可行域，令z x y =+，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出x y +的最小值.【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示，令z x y =+，所以y x z =-+，显然直线过10x y -+=与20x y -=的交点时，z 最小，1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，此时3x y +=-， 故答案为：3-. 【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13- 【解析】根据题意列出关于1a 、d 的方程组，即可解出这两个量的值. 【详解】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键就是根据题意列出关于首项和公差的方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.15．已知()y f x =为定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin ,0244()11,22x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦(,a b ∈R )有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______. 【答案】599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】根据函数的奇偶性作出函数()f x 的图象，利用换元法判断函数()t f x =的根的个数，利用数形结合即可得出结论． 【详解】作出函数()f x 的图象如图：则()f x 在(,2)-∞-和(0,2)上递增，在(20)-，和(2)，+∞上递减， 当2x =±时，函数取得极大值54； 当0x =时，取得极小值0，关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦(,a b ∈R )有且仅有6个不同的实数根，设()t f x =，则当0t <，方程()t f x =有0个根，当0t =，方程()t f x =有1个根，当01t <≤或54t =，方程()t f x =有2个根， 当514t <<，方程()t f x =有4个根， 当54t >，方程()t f x =有0个根． 则20t at b ++=必有两个根1t 、2t ， 则有两种情况符合题意： ①154t =，且2t ∈514⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 此时12a t t -=+，则5924a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，； ②(]101t ∈，，2514t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，此时同理可得914a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，， 综上可得a 的范围是599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查函数与方程，考查函数的表示法以及一次函数和二次函数，考查数形结合思想，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.16．ABC 中，(32)0AB AC BC +⋅=，且对于t R ∈，||BA tBC -最小值为6||5BC ，则BAC ∠=_____. 【答案】4π 【解析】利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简()320AB AC BC +⋅=，可得到22255b c a -=，化简2BA tBC -，并利用二次函数求最值，求出2BA tBC -的最小值，且使最小值等于23625a ，可得2285c a =，进而得出2295b a =，最后利用余弦定理即可得解. 【详解】设AB c =，BC a =，AC b =，()32AB AC BC +⋅()()32AB AC AC AB =+⋅-2223b c AC AB =-+⋅2223cos b c bc BAC =-+∠22222232b c a b c +-=-+()320AB AC BC +⋅=，∴222222302b c a b c +--+=，∴22255b c a -=，2BA tBC -2222cos c t a tac B =+-22222222a cbc t a t +-=+-⋅222245a t a t c =-+222224525a t c a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭∴BA tBC -的最小值为22425c a -， ∴2224362525c a a -=，解得2285c a =，∴2295b a =，22222298cos 22a a a b c a BAC bc +-+-∠===，02BAC π<∠<，∴4BAC π∠=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了向量的减法运算和数量积，余弦定理以及二次函数求最值问题，考查学生的运算求解能力，属于综合题，难度较大. 利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简()320AB AC BC +⋅=，得出三角形三边的关系是解题的关键.四、解答题17．ABC 为直角三角形，斜边BC 上一点D ，满足3=AB BD .（1）若30BAD ∠=︒，求C ∠； （2）若12BD CD =，2AD =，求BC . 【答案】（1）60C ∠=°（2）32BC =【解析】（1）利用正弦定理以及ADB ∠的范围，得出ADB ∠的值，再借助ADB C DAC ∠=∠+∠即可得解；（2）设12BD CD a ==，根据已知条件和勾股定理求出6AC a =，进而得到cos C ∠的值，再利用余弦定理即可得解. 【详解】（1）由正弦定理：sin 30sin BD ABADB=︒∠，得sin 303sin AB ADB BD ⋅︒∠==， 60180ADB ︒<∠<︒，∴120ADB ∠=︒，∴120C DAC ∠+∠=︒，60=︒∠DAC ，∴60C ∠=°.（2）设12BD CD a ==， 3=AB BD ，∴3AB a =，∴6AC a =，从而6cos 3AC C BC ∠==， 由余弦定理222cos 2AC DC AD C AC DC +-∠=⋅，即2263262a a=⋅⋅，解得2a=，所以32BC=.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在平面几何中的综合应用，属于中档题.平面几何中解三角形问题的求解思路：（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.18．某省即将实行新高考，不再实行文理分科.某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2018级的1000名学生进行调查，收集到相关数据如下：（1）根据以上提供的信息，完成22⨯列联表，并完善等高条形图；选物理不选物理总计数学成绩优秀数学成绩不优秀260总计6001000（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++临界值表：()2P K k0.100.050.0100.0050.001k 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）填表见解析，作图见解析（2）能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关【解析】（1）由题意计算出各组人数后即可完成列联表，进而可补全等高条形图；（2）代入公式计算出2K，与3.841比较即可得出结论.【详解】（1）根据题意填写列联表如下，选物理不选物理总计数学成绩优秀420 320 740数学成绩不优秀180 80 260总计600 400 1000完善等高条形图，如图所示；（2）计算22 2()1000(42080180320) ()()()()600400740260n ad bcKa b c d a c b d-⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯12.474 3.841≈>，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关. 【点睛】本题考查了独立性检验的应用，考查了计算能力，属于中档题.19．如图1，已知菱形AECD 的对角线,AC DE 交于点F ，点E 为线段AB 的中点，2AB =，60BAD ∠=︒，将三角形ADE 沿线段DE 折起到PDE 的位置，6PC =，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面PBC ⊥平面PCF ； （Ⅱ）求三棱锥E PBC -的体积． 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）18【解析】（Ⅰ）折叠前，AC ⊥DE ；，从而折叠后，DE ⊥PF ，DE ⊥CF ，由此能证明DE ⊥平面PCF ．再由DC ∥AE ，DC ＝AE 能得到DC ∥EB ，DC ＝EB ．说明四边形DEBC 为平行四边形．可得CB ∥DE ．由此能证明平面PBC ⊥平面PCF ．（Ⅱ）由题意根据勾股定理运算得到PF CF ⊥，又由（Ⅰ）的结论得到BC ⊥ PF ，可得PF ⊥平面BCDE ，再利用等体积转化有13E PBC P BCE BCE V V S PF --∆==⨯⨯，计算结果. 【详解】（Ⅰ）折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC DE ⊥；所以折叠后，DE PF ⊥，DE CF ⊥, 又PF CF F ⋂=，,PF CF ⊂平面PCF ， 所以DE ⊥平面PCF因为四边形AECD 为菱形，所以//,AE DC AE DC =． 又点E 为线段AB 的中点，所以//,EB DC EB DC =．所以四边形DEBC 为平行四边形． 所以//CB DE ．又DE ⊥平面PCF ，所以BC ⊥平面PCF ． 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF ． （Ⅱ）图1中，由已知得AF CF ==，1BC BE ==，60CBE ∠=︒ 所以图2中，PF CF ==，又PC =所以222PF CF PC +=，所以PF CF ⊥ 又BC ⊥平面PCF ，所以BC ⊥ PF 又BC CF C ⋂=，,BC CF ⊂平面BCDE ， 所以PF ⊥平面BCDE ， 所以1113111sin603328E PBC P BCE BCE V V S PF --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． 所以三棱锥E PBC -的体积为18． 【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了三棱锥体积的求法，运用了转化思想，是中档题． 20．已知函数2()(1)f x a x =+，()x g x xe =. （1）若()g x 的切线过(4,0)-，求该切线方程； （2）讨论()f x 与()g x 图像的交点个数.【答案】（1）2(4)y e x -=-+（2）0a ≥时，只有一个交点；0a <时，有两个交点【解析】（1）设出切点，根据()()000000014x x x e g x x e x -'==++，求出切点，进而求出直线斜率，从而得解；（2）构造函数()()()F x g x f x =-，求出导函数，通过分类讨论，研究()F x 的单调性，进而判断出()F x 的零点个数，从而得解. 【详解】（1）()x g x xe =，∴()()1xg x x e '=+，设切点为()00,x y ，则()()000000014x x x e g x x e x -'==++， 化简得200054x x x =++，所以02x =-，2k e -=-，所以切线方程为2(4)y e x -=-+.（2）设()()()F x g x f x =-，即讨论()F x 零点个数.()()(1)2(1)(1)2x x F x x e a x x e a '=+-+=+-， 0a =时，()F x 只有一个零点；0a <时，()F x 在(,1)-∞-上单调递减，(1,)-+∞单调递增，1(1)0F e-=-<，x →-∞，x →+∞时，()F x 均∞→+，此时，()F x 有两个零点，0a >时，x →-∞时，()F x →-∞，x →+∞时()F x →+∞，由()0F x '=得1x =-，ln(2)x a =， 若12a e=时，()F x 在R 单增，只有一个零点； 若12a e ≠时，1(1)0F e-=-<，2(ln(2))ln (2)0F a a a a =--<， 极大值极小值均小于0，从而也只有一个零点.综上，0a ≥时，只有一个交点；0a <时，有两个交点. 【点睛】本题考查了函数过某点的切线方程，两个函数图像交点个数的判断，难度较大.求函数的切线方程时，要注意区分“在某点”和“过某点”，这是一个易错点.求解两个函数交点个数的问题时，常用构造函数法，转化为求解零点个数的题型.21．已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）是定值，为34.【解析】(1) 设BOE α∠=,再根据三角函数的关系可得2cos P x α=,2P y α=,进而消参求得轨迹C 的方程即可.(2) 设直线l 的方程为2x my =+再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简211MN OQ +,代入韦达定理求解即可. 【详解】解：方法一：（1）如图设BOE α∠=,则)22Bαα()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,2P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点(0,2也满足.（2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l 的方程为2x my =+0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由2224x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩()22220m y ++-=所以1212222y y y y m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩,所以()221241m MN m +==+ 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m=+ 222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解以及联立直线与椭圆的方程求解线段弦长与证明定值的问题,属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为()0π,R θααρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，A 、B 均异于原点O，且AB =，求实数α的值. 【答案】（1）(223x y +-=，()2211x y -+=；（2）512π或1112π. 【解析】（1）由题意消去参数即可得曲线1C 的普通方程，由极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得2C 的直角坐标方程；（2）由题意结合极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得曲线1C 的极坐标方程，设()1,A ρα，()2,B ρα，由ρ的几何意义可得4sin 6AB πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由特殊角的三角函数值即可得解.【详解】（1）由曲线1C 的参数方程消参可得曲线1C 的普通方程为(223x y +=； 曲线2C 的极坐标方程可变为22cos ρρθ=，∴2C 的直角坐标方程为222x y x +=即()2211x y -+=；（2）曲线1C 化为极坐标方程为ρθ=，设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρα=，22cos ρα=，∴122cos 4sin 6AB πρρααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，由AB =可知sin 62πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭， ∵0απ<<，∴5666πππα-<-<，∴64ππα-=或364ππα-=， ∴512πα=或1112πα=. 【点睛】本题考查了直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的转化，考查了ρ的几何意义的应用及运算求解能力，属于中档题.23．已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ．（1）解不等式()9f x ≤；（2）若方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]2,4-（2）19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）根据题意，原问题可以等价函数y a =和函数25y x x =-+图象在区间[]0,2上有交点，结合二次函数的性质分析函数25y x x =-+的值域，即可得答案．【详解】解：（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，故2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩； 解得：24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-；不等式的解集为[]2,4-；（2）由题意：()225f x x a a x x =-+⇔=-+，[]0,2x ∈． 故方程()2f x x a =-+在区间[]0,2有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+，图像在区间[]0,2上有交点当[]0,2x ∈时，2195,74y x x =-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴实数a 的取值范围是19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．。
【2020年数学高考】四川省棠湖中学2020届高三3月月考 数学(文).doc
2020年春期四川省棠湖中学高三年级第一学月考试数学（文）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,0,12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}|cos ,B y y x x A π==∈，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}1-C ．{}1D ．∅2.已知复数21a ii--为纯虚数（其中i 是虚数单位），则a 的值为（ ） A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12-3.为了得到函数sin(2)4y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度4.如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则表中m 的值为（ ）A ．3B ．3.5C ．4.5D ．2.5 5．“11()()33ab<”是“22log log a b >”的A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 6.已知等差数列}{n a 的前n 项和为,n S ,4,6212129=+=a a a 则数列}1{n S 的前10项和为（ ）A ．1211 B ．1110 C. 109 D ．987.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形 C. 正方形 D ．正六边形8.若1sin()34πα-+=，则cos(2)3πα+=（ ）A ．58B ．78-C ．58-D ．789.如图所示的程序框图，若输入,3,8==n m 则输出的S 值为（ ）A ．56B ．336 C.360 D ．1440 10.在四面体ABC S -中，,2,2,====⊥SC SA BC AB BC AB 平面⊥SAC 平面BAC ，则该四面体外接球的表面积为（） A ．π316 B ．π8 C. π38D ．π4 11.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）AB ．23C.．112.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数1x ，2[0,)x ∈+∞有1212()()0f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式(2ln 3)2(3)(2ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[1,3]x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围（ ）A ．1ln 6[,1]26e + B ．1ln 6[,2]3e + C ．1ln 3[,2]3e + D ．1ln 3[,1]26e + 第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
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双流棠湖中学高2020届一诊模拟考试文科数学试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．复数2z i =+，其中i 是虚数单位，则=zA ．5B ．1C ．3D ．5 2．设集合{}2,1,0,1,2M =--，{}220N x x x =--<，则MN =A ．{}2,1--B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,2 3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 A ．32 B ．34 C ．38D ．3 4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a 的值是 A ．1-B ．12C ．1D ．25．在△ABC 中，6B π=，c=4，53cosC =，则b= A ．33B ．3C ．32 D ．436．设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得a b λ=”是“a b a b +=+”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为A ．83B ．3C ．163D ．68．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若23109a a a ++=,则9S = A ．3 B ．9 C ．18 D ．279．已知()f x 是R 上的奇函数,且(1)y f x =+为偶函数,当10x -≤≤时,2()2f x x =,则7()2f = A ．12 B ．12- C ．1 D ．1- 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积A ．与,x y 都有关B ．与,x y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关 11．已知数列{}n a 满足：1a a =，11()2n n na a n a *+=+∈N ，则下列关于{}n a 的判断正确的是 A ．0,2,a n ∀>∃≥使得2n a <B ．0,2,a n ∃>∃≥使得1n n a a +<C ．0,,a m *∀>∃∈N 总有()m n a a m n <≠D ．0,,a m *∃>∃∈N 总有m n n a a +=12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)x xx x f x x x e ⎧-≤<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是A ．211(,)16e -B ．211(,0)(0,)16e - C ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21[0,)e 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值是 .14．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于 .15．函数cos cos()2=+y x x π的定义域为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则值域为___________． 16．点A ,B ,C ,D 在同一个球面上,2AB BC ==,2AC =,若球的表面积为254π,则四面体ABCD 体积的最大值为 ．三、解答题（共70分.） 17．已知ABC ∆中，4A π=，3cos 5B =，8AC =.（Ⅰ）求ABC ∆的面积；（Ⅱ）求AB 边上的中线CD 的长.18．（12分）省环保厅对A 、B 、C 三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：A 城B 城C 城优（个） 28 xy良（个）3230z已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录B 城市空气质量为优的数据的概率为0.2. （I ）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在C 城中应抽取的数据的个数；（II ）已知23y ≥，24z ≥，求在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.19．（12分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，∆PAD 和∆BCD 都是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且24==AD AB ，23=BC ．（I ）求证：CD ⊥P A ；（II ）E ，F 分别是棱P A ，AD 上的点，当平面BEF //平面PCD 时，求四棱锥-C PEFD 的体积PDAE B CF20．（12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，长轴长为23．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足0MA MB MO ++=，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称．21．（12分）已知函数()ln 1f x x x ax a =++-.（Ⅰ）求证：对任意实数a ，都有min [()]1f x ≤（Ⅱ）若2a =，是否存在整数k ，使得在(2,)x ∈+∞上，恒有()(1) 2 1f x k x k >+--成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由.（ 2.71828e =）22．已知直线l ：11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数), 曲线1:x cos C y sin θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（Ⅰ）设l 与C 1相交于AB两点,求|AB |；（Ⅱ）若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的12倍,纵坐标压缩为原来的32倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值．23．已知函数()21(0)f x x x m m =+-->（Ⅰ）当2m =时，求不等式()1f x ≤的解集； （Ⅱ）令()()2g x f x =-，()g x 的图象与两坐标轴的交点分别为A ，B ，C ，若三角形ABC 的面积为12，求m 得值.棠湖中学高2020届一诊模拟考试文科数学试题参考答案1．A 2．C3．C4．A5．B6．B7．C8．D9．A10．B11．D12．C13．2 14．515．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．32 17．解：（1）3cos ,5B =且(0,)B π∈，∴24sin 1cos 5B B =-=．sin sin()sin()C A B A B π∴=--=+ 232472sin cos cos sin 252510A B A B =+=⋅+⋅=在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin AC ABB C=，即8472510AB=，解得72AB =． 所以ABC ∆的面积为112sin 72828222S AB AC A =⋅⋅=⋅⋅⋅= （2）在ACD ∆中，722AD =， 所以由余弦定理得 22272722658()282222CD =+-⨯⨯⨯=，所以1302CD =． 18.解：（1）由题意得0.2180x=，即36x =. ∴1802832363054y z +=----=， ∴在C 城中应抽取的数据个数为30549180⨯=. （2）由（1）知54y z +=，,y z N ∈且23y ≥，24z ≥，∴满足条件的数对(,)y z 可能的结果有(23,31)，(24,30)，(25,29)，(26,28)，(27,27)，(28,26)，(29,25)，(30,24)共8种.其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有(28,26)，(29,25)，(30,24)共3种.∴在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为38. 19．证明：（I ）因为4=AD ，2=AB ，23=BD ，所以222+=AB BD AD ， AB BD ⊥，且30︒∠=ADB ．又V BCD 是等边三角形，所以90ADC ∠=︒，即⊥CD AD ．…3分因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面I PAD 平面ABCD AD =，⊂CD 平面ABCD 所以CD ⊥平面PAD ． 所以CD ⊥P A ． ……6分 （II ）因为平面BEF //平面PCD ，所以BF //CD ， EF //PD ，且⊥BF AD ． ……8分又在直角三角形ABD 中，DF =23cos303︒=，所以1==AE AF ．所以1115344sin 6011sin 60224=⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒=PEFD S 四边形． ……10分 由（I ）知CD ⊥平面PAD ，故四棱锥-C PEFD 的体积11532==V g PEFD V S CD ．…12分 20．（Ⅰ）由已知，得3,1a c ==，所以1333c e a ===， 又222a b c =+，所以2b =所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=，离心率33e =. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),m m M x y ，①直线l 与x 轴垂直时，点,A B 的坐标分别为()0,2-，()0,2． 因为()0,2m m MA x y =---，()0,2m mMB x y =--，()0,0m mMO x y=--，所以()3,30m m MA MB MC x y ++=--=uuu r uuu r uuu r r ．所以0,0m m x y ==，即点M 与原点重合;②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2232630k x kx ++-=，()22236123272240k k k ∆=++=+>． PDAE BCF所以122632k x x k -+=+.，则1224032y y k +=>+， 因为()11,m m MA x x y y =--，()22,m m MB x x y y =--，(),m m MO x y =--，所以()121203,030m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=uuu r uuu r uuu r r．所以123m x x x +=，123m y y y +=．2232m kx k -=+，243032m y k =>+， 消去k 得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-= 对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭． 把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称. 21．解：（1）证明：由已知易得()(1)ln 1f x a x x x =-++，所以()1ln f x a x '=++令()1ln 0f x a x '=++=得：(1)a x e -+= 显然，(1)(0,)a x e-+∈时，()f x '<0，函数f （x ）单调递减；(1)(,)a x e -+∈+∞时，()f x '>0，函数f （x ）单调递增所以min [()]f x (1)(1)()1a a f ea e -+-+==--令min ()[()]t a f x =，则由(1)()10a t a e-+'=-+=得1a =- (,1)a ∈-∞-时，()t a '>0，函数t （a ）单调递增；(1,)a ∈-+∞时，()t a '<0，函数t （a ）单调递减，所以max [()](1)1111t a t =-=+-=，即结论成立.（2）由题设化简可得ln (2)x x x k x +>-令()ln (1)2t x x x k x k =+-+，所以()ln 2t x x k '=+- 由()ln 2t x x k '=+-=0得2k x e -=①若22k e -≤，即2ln 2k ≤+时，在(2,)x ∈+∞上，有()0t x '>，故函数27PCD S ∆=单调递增 所以()(2)22ln 20t x t >=+>②若22k e ->，即2ln 2k >+时，在2(2,)k x e -∈上，有()0t x '<，故函数27PCD S ∆=在2(2,)k x e -∈上单调递减在2(,)k x e-∈+∞上，有()0t x '>.故函数27PCD S ∆=在2(,)k x e -∈+∞上单调递增所以，在(2,)x ∈+∞上，22min ()()2k k t x t e k e --==-故欲使ln (2)x x x k x +>-，只需22min ()()20k k t x t e k e--==->即可 令22()2,()2k k m k k em k e --'=-∴=-，由2()20k m k e -'=-=得2ln2k =+所以，2ln 2k >+时，()0m k '<，即()m k 单调递减 又422(4)2480m ee -=⨯-=->，423(5)25100m e e -=⨯-=-<，故max 4k =22.（1）的普通方程为()31y x =-，1C 的普通方程为221x y +=联立方程组()22311y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得与1C 的交点为()1,0A ,13,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,则1AB =. （2）2C 的参数方程为1232x cos y sin θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数).故点P 的坐标是13cos ,sin 22θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,从而点P 到直线的距离是33cos sin 32232sin 2244θθπθ--⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 由此当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时, d 取得最小值,且最小值为()6214-.23．(1)当2m =时，不等式()1f x ≤可化为2121x x +--≤， ①当1x <-时，不等式化为50x +≥，解得：51x -≤<-；②当12x -≤≤时，不等式化为31x ≤，解得：113x -≤≤； ③当2x >时，不等式化为30x +≤，解集为φ，综上，不等式的解集为{153x x ⎫-≤≤⎬⎭.(2)由题设得41()31x mx g x x mx m x m x m ---<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪+>⎩， 所以()g x 的图象与两坐标轴的交点坐标分别为(4,0)A m --，(0,)B m -，(,0)3mC ， 于是三角形ABC 的面积为2(3)123S m m =+=， 得3m =，或6m =-（舍去），故3m =.。