《直线的倾斜角和斜率》课件3 (北师大版必修2)(2)

规定：当直线和x轴平行或重合时， 它的倾斜角为0°
y o
l
y
l
y p o
y

p
p x o
x
x
p o
l x
l
由此我们得到直线倾斜角α的范围为：

o ,180 o ) [0
看看这三条直线，它们倾斜角 的大小关系是什么？
l1 y
想一想
o
l2
l3
x
想一想 你认为下列说法对吗？ 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。
l1
1
O
2
x
例2 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３，试比较斜率的大小
l1 l２ l３
例3、 填空 0 3 （1） 若 60 则k=________ 0 若k 3, 则 ________ 120 0 0 3 (30 ,60 ) ，则 k ____ ； （2） 若 ( , 3)
例题
例1、求经过A(-2,0), B(-5,3)两点的直线的斜率
变式1、在例1基础上加上点C（m，4）也在直线上， 求m。 变式2、在例1基础上加上点D（8，6）,判断点D是否 在直线上。
例2、已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线, 求a 的值.
例3、直线L的倾斜角是连接（3，-5），（0，-9） 两点的直线的倾斜角的两倍，求直线L的斜率。 例4、从M（2，2）射出一条光线，经过X轴反射后过 点N（-8，3），求反射点P的坐标 N(-8,3) M(2,2)
3、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点 P ( x1, y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线的斜率公式：
y2 y1 y1 y2 k (或k ) x2 x1 x1 x2
P2
P1 P1
P2
例1
、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求 直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线 的倾斜角是什么角？ y. 解： B . A 22 . . . . . . . 0 直线AB的斜率 k AB o x 8 4 . 22 4 1
例3 判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ） ②直线的斜率为 t an ，则它的倾斜角为 （ ） ③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有 斜率。 （ ） ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 （ ） ⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
o

x1
x2
x
在RtP2 PQ中 1
0
钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
如图，当α为钝角是， 180 , 且x1 x2 , y1 y2 tan tan( ) 180

Q( x2 , y1 )
P ( x1, y1 ) 1
o

x1
x2
x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
2 3 2x 8 x
解得 x 2
反射点 P ( 2,0)
例5 直 线L的 倾 斜 角 是 连 接 ,5),(0,9)两 点 (3 的 直 线 的 倾 斜 角 的 两， 求 直 线 的 斜 率 倍 L .
解： 设连接 3,5), (0,9)的直线倾斜角为 , 则 (
59 4 tan 30 3
l
y p
o
l
y
p o
y

p x
x
x
p o
l x
l
0°＜ ＜ 90°
= 90°
k不存在
90°＜ 180°
＜

= 0°
k >0
k<0
k=0
想一想
我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。 所以我们的问题是： 如果知道直线上的两点，怎么样 来求直线的斜率(倾斜角)呢？
3、探究：由两点确定的直线的 斜率 k tan
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0

P
小 结：
一、求直线的倾斜角和斜率
二、利用斜率相同判定三点共线
例4 从 M 2 , 2 射出一条光线 , 经过x 轴反射 后过点N( 8 , 3 ) , 求反射点 的坐标 P
解：设 (x,0) N(-8,3) P
因为入射角等于反射角
K MP K PN
M(2,2)

P
0
0
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
k 例如：直线 的倾斜角为 , 则斜率为： tan45 1 l 45
k 直线l的倾斜角为 , 则斜率为： tan120 3 120
应用：
例1：如图，直线 l1 的倾斜角 1 =300，直线 l2⊥l1，求l1，l2 的斜率。
y
l2
3
（3）若k (1,1) 则 的取值范围 0 0 0 [0, 45 _________) (135 ,180 ) 0 0 若 (60 ,150 ),则K的取值范围___
(, 3 ) ( 3, )
3 0 0 (120 ,150 ) 若 k ( 3, ), 则 _____ 3
小结
1、倾斜角的定义及其范围
0 180
0
0
0
2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化
判断：
1、平行于X轴的直线的倾斜角为0或
不存在 90 k 0 tan 90

2、直线的斜率为tan ,则它的倾斜角为
3、直线的倾斜角越大，则它的斜率也越大

y
o
锐角
y
y2
y1
能不能构造 一个直角三 如图，当α为锐角时， 角形去求？ P2 ( x2 , y2 )

P ( x1, y1 ) 1
P2 PQ, 1
Q( x2 , y1 )
且x1 x2 , y1 y2
QP2 y2 y1 k tan tanP2 PQ 1 PQ x2 x1 1
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升高量 坡度（比） 前进量
升 高 量 前进量
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率
定义：倾斜角不是Biblioteka 0°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan ,0 180
y2 y1 k x2 x1
o
x 答：斜率不存在， 因为分母为0。
) 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 )、 B(b1 , b2， 运用上述公式计算直线AB的斜率时，与 A、B的顺序有关吗？
b2 a2 k AB b1 a1

a2 b2 kBA a1 b1
答：与A、B两点的顺序无关。
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
四、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
tan 在RtP2QP中 1 P2Q y2 y1 tan x1 x2 PQ 1
0
思考？
1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
90 , tan90 (不存在)

y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1, y1 ) 1
高一新课标人教版
问题1：如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢？ 两点或一点和方向
y
问题2：如果已知一点还需附加什么条 件，才能确定直线？ 一点和方向
问题3：如何表示方向？
o
x
用角
直线的倾斜角
y
l
α x
o
我们取x轴为 基准，x轴正向 与直线L向上的 方向之间所成的 角α叫做直线L 的倾斜角。
1、直线的倾斜角
于是 直线L的斜率为
2 tan 24 tan2 2 7 1 tan
小结提高
楼梯坡度
平面解 析几何
直线的斜率
核心
知识•方法•思想
斜率定义
几何意义
应用