北师大版必修2数学测试题及答案

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北师大版高中数学必修二同步练习题弧度概念弧度与角度的换算(含答案)

3.1 弧度概念 3.2 弧度与角度的换算必备知识基础练1.在半径为5 cm 的扇形中,圆心角为2,则扇形的面积为( ) A.25 cm 2B.10 cm 2C.15 cm 2D.5 cm 22.角α=-2,则α所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.已知扇形AOB 的周长为10,面积为6,则该扇形的圆心角为( ) A.3B.43或3C.34D.34或34.在半径为3 cm 的圆中,π7的圆心角所对的弧长为( ) A .3π7 cmB .π21 cmC .37 cmD .9π7 cm5.如果一个圆的半径变为原来的一半,弧长变为原来的32倍,则该弧所对的圆心角是原来的倍.关键能力提升练6.若集合P={α|2k π≤α≤(2k+1)π,k ∈Z },Q={α|-4≤α≤4},则P ∩Q=( ) A.⌀B.{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}C.{α|-4≤α≤4}D.{α|0≤α≤π}7.若角α的终边在直线y=-x 上,则角α的集合为( ) A.αα=2k π-π4,k ∈Z B.αα=2k π+3π4,k ∈Z C.αα=k π-3π4,k ∈ZD.αα=k π-π4,k ∈Z8.如图,一把折扇完全打开后,扇面的两条弧AB⏜,CD ⏜的弧长分别是10π和10π3,且AD=10,则图中阴影部分的面积是( )A.200π3B.100πC.400π3D.500π39.一个半径为2的扇形,如果它的周长等于所在圆的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是弧度,扇形的面积是 .学科素养创新练10.已知扇形的圆心角为α,半径为r.(1)若扇形的周长是定值C (C>0),求扇形的最大面积及此时α的值; (2)若扇形的面积是定值S (S>0),求扇形的最小周长及此时α的值. 答案1.A 扇形面积为S=12×2×52=25(cm 2).故选A. 2.C 角α=-2,-2∈(-π,-π2),所以α在第三象限,故选C . 3.B 设扇形AOB 的半径为r ,弧长为l ,由题意可得{2r +l =10,12lr =6,解得{l =6,r =2或{l =4,r =3,则该扇形的圆心角为43或3.故选B .4.A 由题意可得圆心角α=π7,半径r=3 cm,弧长l=αr=π7×3=3π7(cm).故选A .5.3 设圆的半径为r ,弧长为l ,则该弧所对的圆心角为lr .将半径变为原来的一半,弧长变为原来的32倍,则该弧所对的圆心角变为32l 12r =3·lr ,即该弧所对的圆心角变为原来的3倍.6.B 当k=-1,0时,集合P 和Q 的公共元素满足-4≤α≤-π,或0≤α≤π,当k 取其他值时,集合P 和Q 无公共元素,故P ∩Q={α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}.7.D 由图知,角α的取值集合为αα=2k π+3π4,k ∈Z ∪αα=2k π-π4,k ∈Z =αα=(2k+1)π-π4,k ∈Z ∪αα=2k π-π4,k ∈Z =αα=k π-π4,k ∈Z ,故选D.8.A 设OA=R ,OD=r ,圆心角是θ,则r θ=10π3,(r+10)θ=10π,R-r=10,解得R=15,r=5,θ=2π3,所以阴影部分的面积为12(10π×15-10π3×5)=200π3,故选A .9.π-2 2(π-2) 设扇形的弧长为l ,圆心角为α, 故由题得2α+2×2=2π,所以α=π-2, 扇形的面积S=12l ·r=12·(2π-4)·2=2(π-2). 10.解(1)由题意可得2r+αr=C ,则αr=C-2r ,得扇形面积S=12αr 2=12(C-2r )r=-r 2+12Cr=-(r -C 4)2+C 216, 故当r=C4时,S 取得最大值C 216, 此时α=C -2r r =2.(2)由题意可得S=12αr 2,则αr=2Sr , 得扇形周长C=2r+αr=2r+2Sr ≥4√S , 当且仅当2r=2Sr ,即r=√S 时取等号,。

北师大版高中数学必修二同步练习题复数的三角表示式复数乘除运算的几何意义(含答案)

3.1 复数的三角表示式3.2 复数乘除运算的几何意义必备知识基础练1.复数z=√3-i 的三角形式为( )A.2cos 2π3+isin 2π3B.2cos 5π3-isin 5π3C.2cos 7π6-isin 7π6D.2cos11π6+isin 11π6 2.4(cos π+isin π)2(cos π3+isin π3)=( )A.1+√3iB.1-√3iC.-1+√3iD.-1-√3i 3.复数z=sin π6-icos π6,若z n =z (n ∈N ),则n 的最小值是( )A.1B.3C.5D.7 4.8i 2(cos45°+isin45°)= ,其模为 .5.在复平面内,把与复数-2+2i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.关键能力提升练6.(2022江西南昌期中)复数(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)的三角形式是( )A.sin 30°+icos 30°B.cos 160°+isin 160°C.cos 30°+isin 30°D.sin 160°+icos 160°7.设z 1=1-2i,z 2=1+i,z 3=-1+3i,则arg z 1+arg z 2+arg z 3=( )A.π2B.3π2C.5π2D.7π2 8.(多选)设z 1,z 2是复数,arg z 1=α,arg z 2=β,则arg(z 1·z 2)有可能是下列情况中的哪些( )A.α+βB.α+β-2πC.2π-(α+β)D.π+α+β9.若OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别对应复数z 1=1+2√3i,z 2=7+√3i,求∠Z 2OZ 1,并判断△OZ 1Z 2的形状.答案1.D 因为r=2,所以cos θ=√32,与z=√3-i 对应的点在第四象限,所以arg(√3-i)=11π6,所以z=√3-i =2cos 11π6+isin 11π6.2.C 4(cos π+isin π)2(cos π3+isin π3)=2cos π-π3+isin π-π3=2cos 2π3+isin 2π3=-1+√3i .故选C . 3.C z=sin π6-icos π6=cos -π3+isin -π3, z =cos π3+isin π3=cos -π3+isin -π3n =cos -nπ3+isin -nπ3. 又n ∈N ,∴n 的最小值为5.4.2√2+2√2i 4 8i 2(cos45°+isin45°)=8(cos90°+isin90°)2(cos45°+isin45°)=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]=4(cos 45°+isin 45°)=2√2+2√2i,其模为√(2√2)2+(2√2)2=4.5.解所得向量对应的复数为(-2+2i)·(cos 75°+isin 75°)=2√2(cos 135°+isin 135°)·(cos 75°+isin 75°)=2√2[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]=2√2(cos 210°+isin 210°)=2√2-√32−12i=-√6−√2i .6.B (sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)=sin 210°-cos 210°+2sin 10°cos 10°i =-cos 20°+sin 20°i =cos 160°+isin 160°.故选B .7.C arg z 1+arg z 2+arg z 3=arg(z 1z 2z 3)+2k π,k ∈Z .∵z 1z 2z 3=(1-2i)(1+i)(-1+3i)=10i,∴arg(z 1z 2z 3)=π2.又3π2<arg z 1<2π,arg z 2=π4,π2<arg z 3<π,∴arg z 1+arg z 2+arg z 3∈2π+π4,3π+π4,∴arg z 1+arg z 2+arg z 3=52π.8.AB 设z 1=r 1(cos α+isin α),z 2=r 2(cos β+isin β),则z 1z 2=r 1r 2[cos(α+β)+isin(α+β)],∴arg(z 1z 2)=α+β+2k π(k ∈Z )且arg(z 1z 2)∈[0,2π).9.解∵z 1z 2=1+2√3i 7+√3i=(1+2√3i )(7-√3i )(7+√3i )(7-√3i )=1+√3i 4=12cos π3+isin π3, ∴∠Z 2OZ 1=π3.又Z 1(1,2√3),Z 2(7,√3),∴Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-√3),∴OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2√3)·(6,-√3)=1×6+2√3×(-√3)=0,∴OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥Z 1Z 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即∠OZ 1Z 2=π2,。

北师大版高中数学必修2同步测试题：第1章第2节直观图(斜二测画法)(含答案解析)

《空间几何体的直观图（斜二测画法）》同步测试题1.作出水平放置的正六边形的直观图2.作出水平放置的等边三角形的直观图3.作出水平放置的正五边形的直观图4.作出水平放置的直角梯形的直观图5.（1）作出长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的长方体的直观图；（2）作出底面半径为1cm ，高为3cm 的圆柱和圆锥的直观图6.已知斜二测画法得到的直观图A B C '''∆是正三角形,画出原三角形的图形．同步练习1、关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（）A ．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B ．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C ．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D ．斜二测坐标系取的角可能是135°2、下列说法正确的是（）A ．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B ．梯形的直观图可能是平行四边形C ．矩形的直观图可能是梯形D ．正方形的直观图可能是平行四边形3、如右图所示，该直观图表示的平面图形为（））A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．正三角形 4、下列几种说法正确的个数是（）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A ．1B ．2C ．3D ．45、下列结论正确的有①相等的线段在直观图中仍然相等。

②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。

③矩形的直观图是矩形。

④圆的直观图一定是圆。

⑤角的水平放置的直观图一定是角。

6、根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox 、Oy 、Oz 轴画成对应的x O ''、y O ''、z O ''，作y O x '''∠与z O x '''∠的度数分别为（）A ． 90,90B ． 90,45C ． 90,135D ． 45或 90,135 7、、一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为（）（第3题图）A ．46B ．43C ．23D ．26 8、水平放置的矩形ABCD 长AB ＝4，宽BC ＝2，以AB 、AD 为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为( )A ．4 2B ．2 2C ．4D ．29、如图，正方形O′A′B′C′的边长为a cm(a>0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC 的周长是( )A ．8a cmB ．6a cmC ．(2a ＋22a) cmD ．4a cm10、已知正△ABC 的边长为a ，以它的一边为x 轴，对应的高线为y 轴，画出它的水平放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′的面积是( ) A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 11、一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m ，四棱锥的高为8m ，若按1:500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )A ．4cm,1cm,2cm,1.6cmB ．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC ．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD ．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm12、如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图形中△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形13、利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．14、一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于．15、如图所示的是水平放置的三角形ABC 在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD 的长相等的线段有________条．16、水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．17、在棱长为1的正方体AC 1中，对角线AC 1在六个面上的投影长度总和是________．18、已知等边△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为616，则等边△ABC 的面积是多少？19、一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．① ②。

北师大版必修2数学测试题及答案

新课标数学必修2测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（）Ａ．有且只有一个Ｂ．可能有一个也可能不存在Ｃ．有无数多个Ｄ．一定不存在2. 若方程22(62)(352)10a a x a a y a --+-++-=表示平行于y 轴的直线，则a 的值是（）Ａ．23Ｂ．12- Ｃ．1 Ｄ．不存在 3. 若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 的位置关系是（）Ａ．相交、平行或异面Ｂ．相交或平行Ｃ．异面Ｄ．平行或异面4. 满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（）（１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，；（２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点；（３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，．Ａ．（１）（２）Ｂ．（２）（３）Ｃ．（１）（３）Ｄ．（１）（２）（３）5. 坐标平面内一点到两个坐标轴和直线2x y +=的距离都相等，则该点的横坐标为（）1 Ｂ．１Ｃ．12 Ｄ．非上述答案6. 与直线2360x y +-=关于点(11)-，对称的直线方程是（）Ａ．3220x y -+=Ｂ．2370x y ++= Ｃ．32120x y --= Ｄ．2380x y ++=7. 若圆220x y Dx Ey F ++++=与x 轴切于原点，则（）Ａ．0D =，0E =，0F ≠ Ｂ．0F =，0D ≠，0E ≠Ｄ．0D =，0F =，0E ≠ Ｄ．0E =，0F =，0D ≠8. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（）Ａ．第三象限Ｂ．第一象限Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限9. 已知过点(2)A m -，和(4)B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（）Ａ．8- Ｂ．0 Ｃ．2 Ｄ．1010. 直线1l 与2l 关于直线0x y +=对称，1l 的方程为y ax b =+，那么2l 的方程为（）Ａ．x b y a a =- Ｂ．x b y a a=+ Ｃ．1x y a b =+ Ｄ．x y b a=+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．11. 若ABC △面积等于3，且(11)A ，，(36)B ，，则C 所在直线方程为． 12. (13)P -，在直线l 上的射影为(11)Q -，，则直线l 的方程是．13. 在y 轴上截距为3-，且与y 轴成60þ角的直线方程是．14. 经过点(41)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是．三、解答题：本大题共6小题，共30分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．15.(本小题5分) 已知直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=．求（１）交点A ，B 的坐标；（２）AOB △的面积；（３）圆心角AOB 的度数．16.(本小题5分) 已知圆P 与圆2220x y x +-=外切，并且与直线:30l x y +=相切于点(3,3)Q -，求圆P 的方程．17.(本小题5分) 如图，正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，求这个几何体的棱长．18.(本小题5分) 已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线10l kx y k --=：．（１）若1l 与圆交于两个不同点P ，Q ，求实数k 的取值范围；（２）若PQ 的中点为M ，(10)A ，，且1l 与2240l x y ++=：的交点为N ，求证：x y zBAM AN 为定值．19.(本小题5分) 已知点(2,3)P --和以Q 为圆心的圆22(4)(2)9x y -+-=．（１）画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆22(4)(2)9x y -+-=．（２）作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ，B ，直线PA ， PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？（３）求直线AB 的方程．20.(本小题5分) 求经过点(3,1)M -，且与圆22:2650C x y x y ++-+=相切于点(1,2)N 的圆的方程．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 Ｂ6-10 DCCAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． 11. 5230x y -+=或5290x y --=． 12. 230x y --=．13. 3y =-． 14. 40x y -=，或50x y +-= 三、解答题：本大题共6小题，共30分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．15.(本小题5分) 解：（１）解方程组2225050x y x y --=⎧⎨+=⎩，得55x y =-⎧⎨=-⎩或71x y =⎧⎨=⎩，所以，直线:250l x y --=与圆2250x y +=的交点是(5,5)A --，(7,1)B ．（２）过圆心O 作直线l 的垂线，垂足为D ，则圆心O 到直线l 的距离OD ==在直角三角形AOD中，OA =AD ==所以AB = AOB △的面积111522AOB S AB OD ==⨯=△．（３）在AOD △中，cos 0.3162OD AOD OA ∠==≈.用计算器算得，71.57AOD ∠=þ．所以，2143.13AOB AOD ∠=∠=þ．16.(本小题5分) 解：设圆心(,)P a b ，PQ l ⊥∵，1PQ l k k =-g ∴，即(133b a +-=--，即3120a -= ①，又∵圆2220x y x +-=的圆心为(1,0)，半径为１，又由外切1=②，由①、②得4a =，0b =或0a =，b =-．这时半径分别为２，６．∴圆的方程为22(4)4x y-+=或22(36x y ++=．17.(本小题5分) 解：由已知，点E ，F ，P ，M 的坐标是,,22a a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,022a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,,22a a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,22a a N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,22a a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,22a a Q a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．这个几何体是正八面体，棱长2PQ a ==．（１）18.(本小题5分) 解：圆心(34)，到已知直线的距离小于半径４，由点到直线的距离公式得2340k k +>，43k <-∴，或0k >；（２）证明：由2400x y kx y k ++=⎧⎨--=⎩得245()2121k k N k k --++，，再由22(3)(4)16y kx k x y =-⎧⎨-+-=⎩，；得2222(1)(286)890k x k k x k k +-+++++=，21222861k k x x k +++=+∴，22224342()11k k k k M k k +++++∴，， AM AN ∴== 10=为定值．19.(本小题5分)解：（１）因为(2,3)P --，(4,2)Q 是以Q '为圆心的圆的直径的两个端点，所以以Q '为圆心的圆的方程是(2)(4)(3)(2)0x x y y +-++-=．即222140x y x y +-+-=．（２）PA ，PC 是圆22(4)(2)9x y -+-=的切线．因为点A ，B 在圆222140x y x y +-+-=上，且PQ 是直径，所以PA AQ ⊥，PB BQ ⊥．所以，,PA PB 是圆22(4)(2)9x y -+-=的切线．（３）两方程22(4)(2)9x y -+-=，222140x y x y +-+-=相减，得65250x y +-=．这就是直线AB 的方程．20.(本小题5分) 解：把圆C 的方程222650x y x y ++-+=化成标准形式，得22(1)(3)5x y ++-=．圆C 的圆心坐标是(1,3)-AN 的方程为250x y +-=．MN 的中点坐标是1(2,)2，斜率是32-．线段MN 的垂直平分线的方程是12(2)23y x -=-，即4650x y --=．联立250x y +-=与4650x y --=解得207x =，1514y =．这是所求圆的圆心F 的坐标．又因为22201584512714196FN ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，经过点(3,1)M -，且与圆22:2650C x y x y ++-+=相切于点(1,2)N 的圆的方程是222015845714196x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。

2024-2025年北师大版数学必修第二册4.3.1-2二倍角的三角函数公式(带答案)

§3 二倍角的三角函数公式3．1 二倍角公式 3．2 半角公式必备知识基础练知识点一利用二倍角公式化简、求值 1.sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝( ) A ．－12 B ．12C ．32 D ．－322．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝13 ，则sin 2α＝( )A ．－79B ．79C ．±223D ．±793．下列各式：①2sin 67.5°cos 67.5°；②2cos2π12－1； ③1－2sin 215°；④2tan22.5°1－tan 222.5° . 其中值等于32的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3知识点二利用半角公式化简、求值 4．设α∈(π，2π)，则1－cos （π＋α）2＝( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α25．若sin α＝13 ，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝( )A ．23B ．12C ．13D ．0 6．(1)已知sin α＝－817 ，且π<α<3π2 ，求sin α2 ，cos α2 和tan α2 .(2)若32π<α<2π，化简12＋1212＋12cos 2α .知识点三二倍角公式、半角公式的综合应用7．设a ＝(1－3 tan 20°)sin 80°，b ＝sin 40°sin 110°－sin 20°sin 130°，c ＝2tan 15°1－tan 215°，则( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．c >a >b D ．a >c >b8．化简：（1＋sin α＋cos α）⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2 cos α (π<α<2π)．关键能力综合练一、选择题1．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝( )A ．－154B ．±158C ．－158 D ．1582．若cos 2α＝－725 ，0<α<π2 ，则cos α＝( )A ．45B ．－45 C ．35 D ．－353．sin 10°sin 30°·sin 50°sin 70°＝( ) A ．116 B ．－116 C ．316 D ．－3164．(易错题)若3π<x <4π，则1＋cos x2＋ 1－cos x2＝( ) A ．2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 B ．－2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 C ．2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 D ．－2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 5．已知sin (α－π5 )＝34 ，则sin (2α＋π10 )＝( )A ．－716B ．716C ．－18D ．18二、填空题6．已知α是第二象限角，tan (π－2α)＝43 ，则tan α＝________．7．设a ＝12 cos 6°－32 sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝1－cos50°2，将a ，b ，c 用“<”连接起来为________．8．(探究题)已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，且B ＝2A ，则sin Bsin A 的取值范围为________．三、解答题9．已知向量a ＝(2sin x ，cos x )，b ＝(3 cos x ，2cos x )，定义函数f (x )＝a ·b －1.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间．学科素养升级练1.(多选题)关于函数f (x )＝12 sin ωx －cos 2ωx 2 ＋12 (ω>0)，若函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则下列说法正确的有( )A ．函数f (x )的最小正周期有可能为4πB ．函数f (x )在区间(π，2π)内一定不存在对称轴C ．函数f (x )在区间(－π4 ，0)上单调递增D ．ω的最大值是122．(情境命题——生活情境)如图所示，已知扇形POQ 的半径为3 ，圆心角为π3 ，C是弧PQ 上的动点(不与P ，Q 重合)，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，设∠COP ＝x ，矩形ABCD 的面积为f (x ).(1)求函数f (x )的解析式，并写出其定义域；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 的最大值及相应的x 值．§3 二倍角的三角函数公式 3．1 二倍角公式 3．2 半角公式必备知识基础练1．答案：B解析：由题意，根据诱导公式得sin110°sin 20°＝cos 20°sin 20°，根据二倍角公式得cos 2155°－sin 2155°＝cos310°＝sin 40°，则原式可转化为cos 20°sin 20°sin 40° ＝2cos 20°sin 20°2sin 40° ＝12 .故选B.2．答案：B解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝13 ， ∴sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×19－1 ＝79 .故选B.3．答案：C解析：2sin67.5°cos 67.5°＝sin 135°＝22； 2cos2π12 －1＝cos π6 ＝32； 1－2sin 215°＝cos30°＝32； 2tan 22.5°1－tan 222.5° ＝tan45°＝1.故选C. 4．答案：D解析：∵α∈(π，2π)，∴α2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ， ∴ 1－cos （π＋α）2 ＝1＋cos α2＝cos2α2＝－cos α2.故选D.5．答案：C解析：∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22 ＝－12 sin α＋12 ，sin α＝13 ，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝－12 ×13 ＋12 ＝13 .故选C.6．解析：(1)∵sin α＝－817 ，π<α<3π2 ，∴cos α＝－1517 .又∵π<α<3π2 ，∴π2 <α2 <3π4，∴sin α2＝ 1－cos α2 ＝ 1＋15172 ＝41717 ， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－15172 ＝－1717， tan α2＝sin α2cosα2＝－4.(2)∵32 π<α<2π，∴34 π<α2 <π，∴cos α>0，cos α2 <0，∴12＋12 12＋12cos 2α ＝12＋12 12（1＋cos 2α）＝12＋1212×2cos 2α ＝12＋12cos α ＝ 12（1＋cos α）＝cos2α2＝－cos α2.7．答案：C解析：a ＝(1－3 tan 20°)sin 80°＝（cos 20°－3sin 20°）sin （90°－10°）cos 20°＝－（3sin 20°－cos 20°）cos 10°cos 20°＝－2sin （20°－30°）cos 10°cos 20° ＝2sin 10°cos 10°cos 20°＝sin 20°cos 20°＝tan 20°，b ＝sin 40°sin 110°－sin 20°sin 130°＝sin 40°sin (90°＋20°)－sin 20°sin (90°＋40°)＝sin 40°cos 20°－sin 20°cos 40°＝sin (40°－20°)＝sin 20°，c ＝2tan 15°1－tan 215°＝tan30°，因为0<cos 20°<1，则tan 30°>tan 20°＝sin 20°cos 20° >sin 20°，即c >a >b .故选C.8．解析：原式＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ，∵π<α<2π，∴π2 <α2 <π.∴cos α2<0.∴原式＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝－cos α2cos α－cos α2 ＝cos α.关键能力综合练1．答案：C解析：因为cos x ＝－14 ，x 为第二象限角，所以sin x ＝154 ，所以sin 2x ＝2sin xcos x ＝2×154 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 ＝－158 .故选C. 2．答案：C解析：因为cos 2α＝2cos 2α－1＝－725 ，所以cos 2α＝925 ，又0<α<π2 ，则cos α＝35.故选C. 3．答案：A解析：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝12 cos 20°cos 40°cos 80°＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°4sin 20° ＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 80°cos 80°16sin 20° ＝sin 160°16sin 20° ＝116.4．答案：C解析：因为3π<x <4π，所以3π2 <x 2 <2π，sin x 2 <0，cos x2>0.于是 1＋cos x2＋1－cos x 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 2 ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2 ＝cos x 2 －sin x 2 ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x 2－22sin x 2 ＝2 sin (π4 －x2).故选C.5．答案：C解析：令t ＝α－π5 ，所以sin t ＝34 ，α＝t ＋π5 ，所以sin (2α＋π10 )＝sin (2t＋π2 )＝cos 2t ＝1－2sin 2t ＝－18.故选C. 6．答案：－12解析：由tan(π－2α)＝43 ，得tan 2α＝－43 .又tan 2α＝2tan α1－tan 2α ＝－43 ，解得tan α＝－12 或2.又α是第二象限角，所以tan α＝－12.7．答案：a <c <b解析：a ＝12 cos 6°－32sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝tan 26°，c ＝1－cos 50°2＝sin 225° ＝sin25°. ∵tan 26°＝sin 26°cos 26° ，0<cos 26°<1，∴tan 26°>sin 26°.又y ＝sin x 在(0，π2 )上为增函数，∴a <c <b .8．答案：(2 ，3 )解析：由于△ABC 为锐角三角形，故A ，B ，C 都为锐角，从而得⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<B ＝2A <π2，0<C ＝π－3A <π2，解得π6 <A <π4 ，从而sin B sin A ＝sin 2Asin A＝2cos A ∈(2 ，3 ). 9．解析：f (x )＝23 sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3 sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 . (1)最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令π2 ＋2k π≤2x ＋π6 ≤3π2 ＋2k π，k ∈Z ，解得π6 ＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π (k ∈Z ).学科素养升级练1．答案：AC解析：由题知：f (x )＝12 sin ωx －1＋cos ωx 2 ＋12 ＝22 sin (ωx －π4)，因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （π）f （2π）≥0，T 2＝πω≥2π－π ⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin （πω－π4）sin （2πω－π4）≥0，0<ω≤1.对于A ，B ，当ω＝12 时，f (x )＝22 sin (12 x －π4 )，满足题意，最小正周期为4π，x ＝3π2是其一条对称轴，故A 正确，B 错误；对于C ，由于0<ω≤1，所以当x ∈(－π4 ，0)时，－π2 <－ωπ4 －π4 <ωx －π4 <－π4 ，函数单调递增，故C 正确；对于D ，当⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎪⎫πω－π4≥0，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πω－π4≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14≤ω≤2k ＋54，k ＋18≤ω≤k ＋58，k ∈Z ⇒14 ≤ω≤58 ，当⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω－π4≤0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πω－π4≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k －34≤ω≤2k ＋14，k －38≤ω≤k ＋18，k ∈Z ⇒0<ω≤18 ，综上：0<ω≤18 或14 ≤ω≤58，故D 错误．故选AC.2．解析：(1)∵在Rt△COB 中，CB ＝3 sin x ，OB ＝3 cos x ， ∴OA ＝DA tan π6 ＝CB tan π6＝sin x ，AB ＝OB －OA ＝3 cos x －sin x ，∴f (x )＝AB ·CB ＝(3 cos x －sin x )·3 sin x ＝3sin x ·cos x －3 sin 2x ＝32sin2x －32 (1－cos 2x )＝3 sin (2x ＋π6 )－32 ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 .(2)y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －32 ＋3 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6 －32 ＝3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －3 ＝6 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12 －3 . 由0<x <π3 ，0<x ＋π4 <π3 ，得0<x <π12 ，∴5π12 <2x ＋5π12 <7π12， ∴当2x ＋5π12 ＝π2 ，即x ＝π24 时，y max ＝6 －3 .。

(常考题)北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(包含答案解析)

一、选择题1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的外接球的表面积（单位：2cm ）是（）A ．36πB ．54πC ．72πD ．90π 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB BC AA ===，E 是BC 的中点，则直线1ED 与直线BD 所成角的余弦值是（）A ．7B ．7-C ．37D ．37- 3．如图，圆锥的母线长为4，点M 为母线AB 的中点，从点M 处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B 点，这条绳子的长度最短值为25，则此圆锥的表面积为（）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π4．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（） A ．325B ．522C ．326] D ．6，22] 5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法错误的是（）A ．无论点F 在上1BC 怎么移动，都有11A FB D ⊥B ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1BD 相交于一点，记为点E ，且12A E EF = C ．当点F 移动至1BC 中点时，直线1A F 与平面1BDC 所成角最大且为60°D ．无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成角都不可能是30°6．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是（） A ．异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为5 B ．BDM 为等腰直角三角形C ．直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105D ．直线1AC 与平面BDM 相交7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．4B ．8C ．12D ．148．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 9．已知长方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D ，在球O 的表面上，顶点1A ，1B ，1C ，1D ，在过球心O 的一个平面上，若6AB =，8AD =，14AA =，则球O 的表面积为（）A ．169πB ．161πC ．164πD ．265π 10．设m 、n 是两条不同的直线，α是平面，m 、n 不在α内，下列结论中错误的是（）A ．m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．m α⊥，n α⊥，则//m nC ．m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．m n ⊥，//n α，则m α⊥ 11．如图（1），Rt ABC ，1,3,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，沿AD 将ACD △折起到AC D '，使得C '在平面ABD 上的射影H 落在AB 上，如图（2），则以下结论正确的是（）A ．AC BD '⊥B ．AD BC '⊥ C ．BD C D ⊥' D ．AB C D ⊥' 12．已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．14B ．24C ．34D ．12二、填空题13．3ABCD 中，对角线3AC =ABC 沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________．14．已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:3AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__________.15．在正三棱锥P ABC -中，E ，F 分别为棱PA ，AB 上的点，3PE EA =，3BF FA =，且CE EF ⊥.若23PB =，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为_________.16．如图，圆柱的体积为16π，正方形ABCD 为该圆柱的轴截面，F 为AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC ，EF 所成的角的余弦值为______．17．一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为_______.18．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．19．如图，矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）（1）BM 是定值（2）点M 在某个球面上运动（3）存在某个位置，使1DE A C ⊥（4）存在某个位置，使//MB 平面1A DE20．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =，7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题21．如图，ABC 是边长为2的正三角形，ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2CD =.（1）求证：平面ABC ⊥平面ABD ；（2）求二面角A-BC-D 的余弦值.22．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，11,2AB AA ==，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）求异面直线1BD 与1CC 的距离；（2）求直线1BD 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）求点F 到平面BDE 的距离．23．如图，该多面体由底面为正方形ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而成，其中正方形ABCD 的边长为4，H 是线段EF 上（不含端点）的动点，36==FC EB ．（1）证明：//GH 平面ABCD ；（2）求H 到平面AEC 的距离．24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，1AB 与1A B 交于点O ，E ，F 是棱1CC 上的两点，且满足112EF CC =.（1）证明：//OF 平面ABE ；（2）当1CE C F =，且12AA AB =，求直线OF 与平面ABC 所成角的余弦值. 25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．（1）求证：1//AB 平面1BC D ；（2）求三棱锥1D BCC -的体积．26．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面AEB ⊥平面ABCD ，4EBA π∠=，2EB =，F 为CE 上的点，BF CE ⊥.（1）求证：BF ⊥平面ACE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，由题意画出图形，结合图形求出外接球的半径，再计算外接球的表面积．【详解】解：由几何体的三视图知，该几何体是三棱锥P ABC -，底面为等腰ABC ∆，且侧面PAB ⊥底面ABC ，如图所示；设D 为AB 的中点，又3DA DB DC DP ====，且PD ⊥平面ABC ，∴三棱锥P ABC -的外接球的球心O 在PD 上，设OP R =，则OA R =，3OD R =-， 222(3)3R R ∴=-+，解得3R =，∴该几何体外接球的表面积是32436R cm ππ=．故选：A ．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.2．C解析：C【分析】连接11D B 、1D E 、DE ，先证明四边形11BB D D 为平行四边形，得到11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角，由余弦定理可得答案.【详解】连接11D B 、1D E 、DE ，因为棱11//BB DD ，11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，所以11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角11B D E ∠，因为12,3AB AD AA ===,1BE CE ==，所以2211111122B D D C B C =+=213110B E =+=222415ED CE DC +=+==，所以222115914D E ED D D ==+=+，由余弦定理得，从而22211111111137cos 24214B D D E B E B D E B D D E +-∠===⨯⨯. 故选：C【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键点是找到异面直线所成的角，考查空间中线线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．B解析：B【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段25MB =.【详解】设底面圆半径为r ，由母线长4l ，可知侧面展开图扇形的圆心角为22r r l ππα==，将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，最短距离为BM ；如图，在ABM 中，25,2,4MB AM AB ===，所以222AM AB MB +=, 所以2MAB π∠=, 故22rππα==，解得1r =，所以圆锥的表面积为25S rl r πππ=+=,故选：B【点睛】关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为2r lπα=，其次从点M 拉一绳子围绕圆锥侧面转到点B ，绳子的最短距离即为展开图中线段MB 的长，解三角即可求解底面圆半径r ，利用圆锥表面积公式求解.4．A解析：A【分析】分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，可证平面AMN ∥平面BDEF ，得P 点在线段MN 上．由此可判断当P 在MN 的中点时，AP 最小；当P 与M 或N 重合时，AP 最大．然后求解直角三角形得答案．【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ；连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ．又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM 222211215AA A M =+=+=同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN 5=△AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP 最小为222322()22+=，当P 与M 或N 重合时，AP 最大为5．∴线段AP 长度的取值范围是32,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间中点、线、面间的距离问题，其中解答中通过构造平行平面寻找得到点P 的位置是解答的关键，意在考查空间想象能力与运算能力，属于中档试题.5．C解析：C 【分析】A.通过证明线面垂直，证得线线垂直；B.利用相似三角形，求1A EEF的值；C.首先构造直线1A F 与平面1BDC 所成角，再通过数形结合分析最大角，以及最大角的余弦值，判选项；D.将异面直线所成角转化为相交直线所成角，求解判断. 【详解】A.AC BD ⊥，1AC BB ⊥，AC ∴⊥平面1BB D ，1AC B D ∴⊥，11//AC AC ，111B D AC ∴⊥，同理11B D BC ⊥，1111A C BC C ，1B D ∴⊥平面11A BC ，1A F ⊂平面11A BC ，11B D A F ∴⊥，故A 正确；B.连结1A D ，1B C 交1BC 于点F ，11//A B DC ,且11A B DC =，∴四边形11A DCB 是平行四边形，所以11//A D B C ，∴11A DE FB E，得1112A E A DEFB F==，故B 正确；C.1A O ⊥平面1BDC ，1111A B AC A D ==，∴点O1BDC 是等边三角形的中心，11A BC 是等边三角形，111A BC BDC ≅ 当点F 是1BC 的中点时，11A F BC ⊥，此时1A F 是点1A 和1BC 上的点连线的最短距离，设直线1A F 与平面1BDC 所成角为θ，此时11sin A O A F θ=最大，所以此时θ最大，所以111cos 32OF A F θ==<,最大角大于60，故C 不正确；D.11//A B CD ，CD ∴与1A F 所成的角，转化为11B A F ∠的大小，11B A F ∠的最小角是11B A 与平面11A BC 所成的角，即11B A F ∠，此时1111123tan 23FB B A F A B ∠==>，所以11B A F ∠的最小角大于30，故D 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何的综合应用，包含线线，线面角，垂直关系，首先会作图，关键选项是C 和D ，C 选项的关键是1A O ⊥平面1BDC ，点O1BDC 是等边三角形的中心，D 选项的关键是知道先与平面中线所成角中，其中线面角是其中的最小角.6．C解析：C 【分析】A 通过平移，找出异面直线所成角，利用直角三角形求余弦即可. B.求出三角形的三边，通过勾股定理说明是不是直角三角形.C.求出点M 到面11BB D D 的距离，再求直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦.D.可通过线线平行证明线面平行. 【详解】设正方体棱长为2A. 取1BB 的中点为N ，则//BC MN ，则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ，故MN ⊥面11ABB A ，故MN AN ⊥，在Rt ANM △中，5tan AMN ∠=，故2cos 3AMN ∠=B. BDM 中，5BM =，22BD =，5DM =C. AC BD ⊥，1AC BB ⊥，故AC ⊥面11BB D D ，1//CC 面11BB D D ，故M 到面11BB D D 的距离等于C 到面11BB D D 的距离，即为122d AC ==直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ210sin 55d BM θ===直线BM 与平面11BDD B 10D.如图ACBD O =OM 为1ACC △的中位线，有1//OM AC故直线1AC 与平面BDM 平行故选：C 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.7．C解析：C 【分析】根据三视图还原得其几何体为四棱锥，根据题意代入锥体体积公式计算即可. 【详解】解：根据三视图还原得其几何体为四棱锥，图像如下：根据图形可得ABCD 是直角梯形，PA ⊥平面ABCD ，2,4,2,6AB CD PA AD ==== 所以11246212332P ABCD ABCD V S PA -+=⋅=⨯⨯⨯= 故选：C 【点睛】识别三视图的步骤（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；（3）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置.8．D解析：D 【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A ，根据异面直线所成角可判断B ，由余弦定理可判断CD. 【详解】如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11A BCD ,所以1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC D C A P BP A P BP +-=+++-=+>，所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确；设1(022)A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos4224AP x x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，222211111222cos =22AP D P AD x xAP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当2x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.9．C解析：C 【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积. 【详解】如下图所示：把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为6，8，8的长方体，则球O 就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长，所以球O 的半径R 满足2222688164R =++=，所以球O 的表面积24164S R ππ==. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以及球的表面积公式，是解决此类问题的关键.10．D解析：D 【分析】利用线面平行的性质定理和线面垂直的定义可判断A 选项的正误；由线面垂直的性质定理可判断B 选项的正误；根据已知条件判断直线n 与平面α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断直线m 与平面α的位置关系，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A ，//n α，由线面平行的性质定理可知，过直线n 的平面β与平面α的交线l 平行于n ，m α⊥，l α⊂，m l ∴⊥，m n ∴⊥，故A 正确；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由直线与平面垂直的性质，可得//m n ，故B 正确；对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，又n α⊄，//n α∴，故C 正确；对于D ，若m n ⊥，//n α，则//m α或m 与α相交或m α⊂，而m α⊄，则//m α或m 与α相交，故D 错误．故选：D ．【点睛】方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．11．C解析：C 【分析】设AH a =，则BH a =，由线面垂直的性质和勾股定理可求得DH a AH ==，由等腰三角形的性质可证得BD ⊥DH ，再根据线面垂直的判定和性质可得选项. 【详解】设AH a =，则BH a =，因为'C H ⊥面ABD ，AB 面ABD ，DH ⊂面ABD ，所以'C H ⊥AB ，'C H ⊥DH ，'C H ⊥DB ，又Rt ABC ，1,2AC AB BC ===，D 为BC 的中点，所以'1,6C D BD B DAB π==∠=∠=，所以在'Rt AC H 中，'C H ==Rt C HD ’中，()2'222'211DH C D C H a a =-=--=，所以DH a AH ==，所以6ADH DAB π∠=∠=，又23ADB π∠=，所以2HDB π∠=，所以BD ⊥DH ，又'C HDH H =，所以BD ⊥面'C DH ，又'C D ⊂面'C DH ，所以BD ⊥'C D ，故选：C. 【点睛】关键点点睛：在解决折叠问题时，关键在于得出折叠的前后中，线线、线面、面面之间的位置关系的不变和变化，以及其中的边的长度、角度中的不变量和变化的量.12．B解析：B 【分析】作出图形，设2CD =，AD l ⊥，AB =，然后以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，可知BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，异面直线AB 与CD 所成角为BAE∠或其补角，计算出ABE △三边边长，利用余弦定理计算出cos BAE ∠，即可得解. 【详解】如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=cos 452AC CD ==，AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==，ABD ∴为等边三角形，则2BD =，四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ，AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥， AB AD A =，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，DE BD ∴⊥，则222BE BD DE =+=，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==，所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角，在ABE △中，2AB =2AE BE ==，由余弦定理可得2222cos 24AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅. 因此，异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24. 故选：B. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．二、填空题13．；【分析】分析菱形的特点结合其翻折的程度判断其外接球球心的位置放到相应三角形中利用勾股定理求得半径利用球的体积公式求得外接球的体积【详解】根据题意画出图形根据长为的菱形中对角线所以和都是正三角形又因解析：556π；【分析】分析菱形的特点，结合其翻折的程度，判断其外接球球心的位置，放到相应三角形中，利用勾股定理求得半径，利用球的体积公式求得外接球的体积. 【详解】根据题意，画出图形，3的菱形ABCD 中，对角线3AC = 所以ABC 和DBC △都是正三角形，又因为二面角B AC D --的大小为2π，所以分别从两个正三角形的中心做面的垂线，交于O ，则O 是棱锥B ACD -外接球的球心，且11,2GD OG GE ===，所以球的半径2252R GD OG =+=，所以其体积为3344555(3326V R ππ==⋅=，故答案为：556π. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关几何体外接球的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，判断菱形的特征，得到两个三角形的形状；（2）根据直二面角，得到两面垂直，近一倍可以确定其外接球的球心所在的位置；（3）利用勾股定理求得半径；（4）利用球的体积公式求得结果；（5）要熟知常见几何体的外接球的半径的求解方法.14．【分析】求出截面圆的半径设可得出从而可知球的半径为根据勾股定理求出的值可得出球的半径进而可求得球的表面积【详解】如下图所示设可得出则球的直径为球的半径为设截面圆的半径为可得由勾股定理可得即即所以球的解析：163π【分析】求出截面圆H 的半径，设AH x =，可得出3HB x =，从而可知，球O 的半径为2x ，根据勾股定理求出x 的值，可得出球O 的半径，进而可求得球O 的表面积. 【详解】如下图所示，设AH x =，可得出3HB x =，则球O 的直径为4AB x =，球O 的半径为2x ，设截面圆H 的半径为r ，可得2r ππ=，1r ∴=，由勾股定理可得()2222OH r x +=，即()22214x AH x -+=，即2214x x +=，33x ∴=，所以，球O 的半径为232x =，则球O 的表面积为22316433S ππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：163π. 【点睛】方法点睛：在求解有关球的截面圆的问题时，一般利用球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者之间满足勾股定理来求解.15．【分析】证明与垂直得线面垂直从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方求得球半径后可得球体积【详解】∵∴∴又∴取中点连接如图由于是正三棱锥∴而平面∴平面又平解析：36π【分析】证明PB 与,CE AC 垂直得线面垂直，从而得正三棱锥的三条侧棱两两垂直，结合正方体的性质得三条侧棱的平方和为外接球直径的平方，求得球半径后可得球体积．【详解】∵3PE EA =，3BF FA =，∴AE AFAP AB=，∴//EF PB ，又CE EF ⊥，∴PB CE ⊥，取AC 中点D ，连接,PD BD ，如图，由于P ABC -是正三棱锥，∴,PD AC BD AC ⊥⊥，而PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ， ∴AC PB ⊥，∵ACCE C =，,AC CE ⊂平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，而,PA PC ⊂平面PAC ，∴,PB PA PB PC ⊥⊥，同理正三棱锥中，PA PC ⊥．设三棱锥P ABC -外接球半径为R ，则22222(2)3(23)R PA PB PC =++=⨯，3R =，球的体积为343363V ππ=⨯=．故答案为：36π．【点睛】结论点睛：三棱锥的外接球问题，解题关键是找到外接球的球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与该面垂直的直线上．当从同一顶点出发的三条棱两两垂直时，可以把三棱锥补成一个长方体，而长方体的对角线就是三棱锥外接球的直径．16．【分析】由圆柱体积求得底面半径母线长设底面圆心为可得为异面直线与所成的角（或其补角）在对应三角形中求解可得【详解】设圆柱底面半径为则母线长为由得设底面圆心为连接则所以为异面直线所成的角在中所以故答案 6 【分析】由圆柱体积求得底面半径，母线长，设底面圆心为O ，可得OEF ∠为异面直线AC 与EF所成的角（或其补角）．在对应三角形中求解可得．【详解】设圆柱底面半径为r ，则母线长为2r ，由2216r r ππ⋅=得2r．设底面圆心为O ，连接OE ，OF ．则//OE AC ，所以OEF ∠为异面直线AC ，EF 所成的角．在Rt OEF △中，2OF =，22OE =，23EF =．所以6cos OE OEF EF ∠==．故答案为：6．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17．【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC 分别计算其棱长可得答案【详解】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC 可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内如下图所示所以：BC=所以该三棱锥最长棱的长度为故解析：3【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥P -ABC ，分别计算其棱长，可得答案．【详解】由三视图还原几何体得到三棱锥P -ABC ，可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内，如下图所示，所以：2AB =，BC =2,22,23BP AC PC AP ====.所以该三棱锥最长棱的长度为23. 故答案为：23．【点睛】方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．18．【分析】连接延长交于则是中点可得是二面角的平面角求出可得结论【详解】由已知是中心连接延长交于则是中点连接则而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由对称性又由平面平面得∴故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考 3 【分析】连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，可得MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．求出,ME OE 可得结论．【详解】由已知O 是BCD △中心，连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，连接AE ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，而AEDE E =，∴BC ⊥平面AED ，ME ⊂平面AED ，∴BC ME ⊥，∴MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．2BC =，90BMC ︒∠=，由对称性2BM CM ==112ME BC ==，又113323323EO DE ==⨯=由AO ⊥平面BCD ，EO ⊂平面BCD ，得AO EO ⊥，∴3cos 3EO MEO ME ∠==．故答案为：33．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角，解题关键是作出二面角的平面角．这可根据平面角的定义作出（并证明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二证三计算三个步骤．19．（1）（2）（4）【分析】首先取中点连结先判断（4）是否正确再根据平行关系以及等角定理和余弦定理判断（1）再判断（2）假设成立根据直线与平面垂直的性质及判定可得矛盾来判断（3）【详解】取中点连结则平解析：（1）（2）（4）【分析】首先取CD 中点Q ，连结MQ ，BQ ，先判断（4）是否正确，再根据平行关系，以及等角定理和余弦定理判断（1），再判断（2），假设1DE A C ⊥成立,根据直线与平面垂直的性质及判定,可得11DA A E ⊥矛盾来判断（3）. 【详解】取CD 中点Q ，连结MQ ，BQ ，则1//MQ DA ，//BQ DE ，∴平面//MBQ 平面1A DE ，又MB ⊂平面MBQ ，//MB ∴平面1A DE ，故（4）正确；由1A DE MQB ∠=∠，112MQ A D ==定值，QB DE ==定值，由余弦定理可得2222cos MB MQ QB MQ QB MQB =+-⋅⋅∠ 所以MB 是定值，故（1）正确；B 是定点，M ∴是在以B 为球心，MB 为半径的球面上，故（2）正确；145A DE ADE ∠=∠=，45CDE ∠=，且设1AD =，2AB =，则2DE CE ==，若存在某个位置,使1DE A C ⊥,则因为222DE CE CD +=,即CE DE ⊥,因为1AC CE C =,则DE ⊥平面1A CE ,所以1DE A E ⊥,与11DA A E ⊥矛盾，故（3）不正确.故答案为：（1）（2）（4）【点睛】关键点点睛：本题考查线线，线面位置关系时，首先判断（4）是否正确，其他选项就迎刃而解，而判断线面平行时，可根据面面平行证明线面平行.20．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以解析：494π【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC.所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =，所以24944S R ππ==．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取AB 中点O ，连OC ､OD ，即可得到COD ∠是二面角C AB D --的平面角，再由勾股定理逆定理得到222OC OD CD +=，即可得到二面角是直二面角，即可得证；（2）过O 作OM ⊥BC 交BC 于M ，连DM ，即可证明BC ⊥平面DOM ，从而得到ODM ∠为二面角A-BC-D 的平面角，再利用锐角三角函数计算可得；【详解】（1）证明：取AB 中点O ，连OC ､OD ，因为ABC 是边长为2的正三角形，ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，所以OC AB ⊥，⊥OD AB ，所以COD ∠是二面角C AB D --的平面角. 在OCD 中，因为OC =1OD =，2CD =，所以222OC OD CD +=所以90COD ∠=︒. 所以平面ABC ⊥平面ABD .（2）过O 作OM ⊥BC 交BC 于M ，连DM ，由（1）可知DO ⊥面ABC ，又BC ⊂面ABC ，所以BC DO ⊥，由OMDO O =，,OM DO ⊂面DOM所以BC ⊥平面DOM因为DM ⊂面DOM ，所以BC ⊥DM ，则ODM ∠为二面角A-BC-D 的平面角.在Rt OMD 中，1OD =，2OM =，由勾股定理：DM =，∴二面角A-BC-D 的余弦值为cos OM OMD DM ∠==.【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 22．（1）22；（22；（33 【分析】（1）取BD 中点G ，连接GC ，FG ，根据线面垂直的判定定理及性质，先证明EF 为1BD 与1CC 的公垂线，再由题中数据，计算出EF 的长，即可得出结果；（2）连接1ED ，由（1）得到EF ⊥平面1BDD ，设1D 到平面BDE 的距离为d ，根据等体积法，由11E DBD D DBE V V --=求出d ，记直线1BD 与平面BDE 所成角为θ，由1sin dBD θ=即可得出结果；（3）由（2）得到1D 到平面BDE 的距离d ，根据题中条件，得到F 到平面BDE 的距离为2d，即可得出结果. 【详解】（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，取BD 中点G ，连接GC ，FG ， ∵F ，G 分别为1,BD BD 的中点，∴1//FG D D 且112FG D D =，又1//CE D D ，112CE D D =，所以//FG CE 且FG CE =，则四边形EFGC 为平行四边形，又CE ⊥平面ABCD ，CG ⊂平面ABCD ，∴CE CG ⊥，。

高中数学北师大版必修2：综合测试1(含答案)

本册综合测试一本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题：①α内有无数条直线平行于β，则α∥β②平行于同一条直线的两个平面互相平行③经过平面α外两点可以作一个平面与α平行④平行于同一个平面的两平面平行其中正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3[答案] B[解析]①错误，可能α与β相交，α内无数条直线均与交线平行；②错误，可能出现α与β相交，存在直线与交线平行而与两个平面都平行的情况；③错误，若平面α外两点的连线与平面相交，则过两点作不出平面与α平行；④正确．2．经过点A(－1,4)，且斜率为－1的直线方程是()A．x＋y＋3＝0 B．x－y＋3＝0C．x＋y－3＝0 D．x＋y－5＝0[答案] C[解析]直线的方程是y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0.3．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是() A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0[答案] A[解析]由题意知圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，∵k CP＝－1，∴k AB＝1，直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.4．(安徽高考)下列说法中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 [答案] A[解析] 由空间几何中的公理可知，仅有A 不是公理，其余皆为公理． 5．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标为( ) A ．(5，－3) B ．(9,0) C ．(－3,5) D ．(－5,3)[答案] A[解析] 过P (2,1)向此直线引垂线，其垂足即为所求的点，过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，而点P (2,1)在此垂线上，所以4×2＋3×1＋m ＝0.所以m ＝－11.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －27＝0，4x ＋3y －11＝0，联立求解，得所求的点的坐标为(5，－3)．6．(安徽高考)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 6[答案] C[解析] 本题考查了圆的垂径定理．圆心到直线的距离d ＝|1＋2×2－5＋5|12＋22＝1，半弦长＝(5)2－12＝2. ∴弦长＝4.7．底面边长为6，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的体积为( )A ．9πB ．9π2C ．4πD ．3π [答案] B[解析] ∵底面边长为6，∴直角边长为3， ∴2R ＝3，R ＝32，V 球＝43π⎝⎛⎭⎫323＝92π.8．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得劣弧所对的圆心角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] C[解析] 由已知可得直线与圆相交，且圆心到直线的距离d ＝|3×0＋1×0－23|(3)2＋12＝ 3.而圆的半径为2.∴直线与圆的两交点与圆心构成等边三角形． ∴可得劣弧所对的圆心角为π3.9．如图，定圆的半径为a ，圆心为(b ，c )，则直线ax ＋by ＋c ＝0与直线x －y ＋1＝0的交点在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限[答案] B[解析] 由图知，a >0，b <0，c >0，且c <a <|b |.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＋c ＝0，x －y ＋1＝0，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋c a ＋b ，a －c b ＋a .∵b ＋c a ＋b >0，a －cb ＋a<0，∴交点在第三象限． 10．用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其主视图、左视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] 如图①所示，这个几何体体积最大时共有11个小正方体构成，如图②所示，这个几何体最小时有5个小正方体构成，因此，这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．如图，已知a ∥α，B 、C 、D ∈a ，点A 与a 在平面α的异侧，直线AB 、AC 、AD 分别交α于E 、F 、G 三点，若BC ＝5，AD ＝7，DG ＝4，则EF 的长为______．[答案]157[解析] 由题知，EF BC ＝AF AC ＝AG AD ＝AD －DG AD ，∴EF 5＝37，∴EF ＝157.12．(2014·重庆理，13)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.[答案] 4±15[解析] 本题考查了等边三角形的性质点到直线的距离公式．圆心坐标是(1，a )，半径是2，由已知可得 |a ＋a －2|1＋a 2＝4－1，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15，解决本题要充分利用三角形ABC 是等边三角形的性质．13．(2014·山东文，13)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．[答案] 12[解析] 本题考查六棱锥的体积、侧面积的基本运算．如图所示．由体积V ＝13×6×34×4·h ＝2 3求得高h ＝1.取AB 中点G ，连接OG 、PG . ∵OA ＝OB ，∴AB ⊥GO . 又PO ⊥AB ，PO ∩GO ＝O ， ∴AB ⊥面PGO ，∴AB ⊥PG . 又PO ＝1，GO ＝32×2＝3，∴PG ＝2. ∴S 侧＝6×12×AB ·PG ＝3×2×2＝12.14．设X ，Y ，Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是________(填序号)．①X ，Y ，Z 是直线；②X ，Y 是直线，Z 是平面；③Z 是直线，X ，Y 是平面；④X ，Y ，Z 是平面．[答案] ②③[解析] ①不行，反例为直线X ，Y ，Z 位于正方体的三条共点棱时，②，③可以． ④不行，反例为平面X ，Y ，Z 位于正方体的三个共点侧面时．15．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．[答案] 4[解析] 如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，∴OO 1＝5. ∴AC ＝5×255＝2.∴AB ＝2AC ＝4. 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)若直线l 垂直于直线2x ＋5y －1＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积是5，求直线l 的方程．[解析] 直线2x ＋5y －1＝0的斜率是－25，所以直线l 的斜率是52，设直线l 的方程是y＝52x ＋b ，则直线在x 轴，y 轴上的截距分别是－25b ，b ，所以S ＝12·⎪⎪⎪⎪－25b ·|b |＝5，则b 2＝25，所以b ＝±5，所以y ＝52x ±5，即5x －2y ±10＝0，即所求直线l 的方程是5x －2y ±10＝0.17．(本小题满分12分)(天津高考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明：EF ∥平面A 1CD ； (2)证明：平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.[解析] (1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ，又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF ⃘平面A 1CD ，DA 1平面A 1CD ，所以，EF ∥平面A 1CD .(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ，又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD 平面ABC ，所以A 1A ⊥CD ，又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD 平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.18．(本小题满分12分)正三棱锥S －ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 、E 分别是SA 、BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得到的旋转体体积．[解析] 如图，连接AE .在正四面体中，AE ＝SE . ∴DE ⊥SA .又AE ＝SE ＝32a ，AS ＝a ， ∴DE ＝AE 2－(AS 2)2＝22a .过点D 作DF ⊥SE 于点F .有Rt △SDE 中，DF ＝SD ·DE SE ＝66a .当△SDE 绕直线SE 旋转一周时得到两个圆锥，其体积为V 旋转体＝13·πDF 2·SF ＋13·πDF 2·FE＝π3DF 2(SF ＋FE )＝π3DF 2·SE ＝π3(66a )2·32a ＝336πa 3. 即所得旋转体的体积是336πa 3. 19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －20＝0及直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4(m ∈R )．(1)求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程． [解析] (1)证明：把直线l 的方程改写成(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，2x ＋y －7＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3.y ＝1.∴直线l 总过定点(3,1)．圆C 的方程可写成(x －1)2＋(y －2)2＝25.∴圆C 的圆心为(1,2)，半径为5，定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为(3－1)2＋(1－2)2＝5<5.∴点(3,1)在圆C 内．∴过点(3,1)的直线l 总与圆C 相交，即不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交． (2)解：当直线l 过定点M (3,1)且垂直于过点M 的半径时，l 被圆截得的弦长|AB |最短．(如下图)|AB |＝2BC 2－CM 2 ＝225－[(3－1)2＋(1－2)2] ＝220＝4 5. 此时，k AB ＝－1k CM ＝2.∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －3)，即2x －y －5＝0.故直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度为45，此时直线l 的方程为2x －y －5＝0. 20．(本小题满分13分)求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：(1)过原点； (2)有最小面积．[解析] 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋λ(2x ＋y ＋4)＝0，即x 2＋y 2＋2(1＋λ)x ＋(λ－4)y ＋(1＋4λ)＝0. (1)∵圆过原点，∴1＋4λ＝0，λ＝－14.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋32x －174y ＝0.(2)将圆系方程化为标准式，得 (x ＋1＋λ)2＋(y ＋λ－42)2＝54(λ－85)2＋45. 则当λ＝85时，半径取最小值255.此时圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.21．(本小题满分14分)如下图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .[证明] (1)证明：因为AB ⊥平面P AD ，所以PH ⊥AB ，因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD . 因为AB ∩AD ＝A ，所以PH ⊥平面 ABCD .(2)连接BH ，取BH 中点G ，连接EG ，因为E 是PB 的中点，所以 EG ∥PH ，因为PH ⊥平面ABCD ，所以 EG ⊥平面 ABCD ，则 EG ＝12PH ＝12，V E －BCF ＝13S △BCF ·EG ＝13·12·FC ·AD ·EG ＝212.(3)证明：取P A 中点M ，连接MD ，ME ，因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB .因为 DF 綊12AB ，所以 ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形．所以 EF ∥MD ，因为 PD ＝AD, 所以 MD ⊥P A .因为AB⊥平面P AD, 所以MD⊥AB. 因为P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB. 所以EF⊥平面P AB.。

高中数学北师大版必修2：综合测试2(含答案)

本册综合测试二本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1B．1C．3 D．－3[答案] B[解析]该题考查圆的标准方程和一般方程的互化，以及圆与直线的关系，属简单题．圆的圆心为(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，∴－3＋2＋a＝0，∴a＝1.2．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为()A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面[答案] A[解析]a与c可以相交、平行或异面，分别如下图中的(1)，(2)，(3)．3．下列四个结论：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]所有结论都是错误的，故选A.4．分别过点A (1,3)和点B (2,4)的直线l 1和l 2互相平行且有最大距离，则l 1的方程是( ) A ．x －y －4＝0 B ．x ＋y －4＝0 C ．x ＝1 D ．y ＝3[答案] B[解析] 当l 1与l 2之间距离最大时，l 1⊥AB ，故l 1的斜率为－1.5．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或4 [答案] D[解析] 由圆心(a,0)，半径2，弦长l ＝22，得弦心距d ＝r 2－(l2)2＝ 2.即(a,0)到直线x －y ＝2的距离为2，所以|a －0－2|1＋1＝2，解得a ＝0或a ＝4.6．(2014·湖南理)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 本题考查三视图及球的基础知识．由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则r ＝6＋8＋82＋622－82＋62⇒r ＝2，故选B.直角三角形的内切圆半径为周长的一半减去斜边．7．三棱锥P －ABC 中，P A 、PB 、PC 两两互相垂直，且P A ＝1，PB ＝PC ＝2，则点P 到平面ABC 的距离是( )A ．22B ． 2C ．26D ．1[答案] A[解析] 取BC 中点D ，∵PB ⊥PC ，PB ＝PC ＝2， ∴PD ＝DC ＝12BC ＝1，连AD ，则AD ⊥BC ，且AD ＝(3)2－1＝2，∴S △ABC ＝12×2×2＝ 2.由V P －ABC ＝V A －PBC ，∴13·S △ABC ·h ＝13·S △PBC ·P A ，∴13×2h ＝13×12×2，∴h ＝22. 8．从原点O 引圆(x －m )2＋(y －2)2＝m 2＋1的切线y ＝kx ，当m 变化时，切点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝3B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝3D ．x 2＋y 2＝2[答案] A[解析] 设切点P (x ，y )，圆心C (m,2)，则在直角三角形OPC 中，由勾股定理可得m 2＋4＝m 2＋1＋x 2＋y 2，∴切点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3.9．如图所示，在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA 1、BB 1、CC 1的长度分别为10 m 、15 m 、30 m ，则立柱DD 1的长度是( )A ．30 mB ．25 mC ．20 mD ．15 m [答案] B[解析] 由题意知，CC 1－DD 1＝BB 1－AA 1＝5， ∴DD 1＝25 m.10．已知正四棱锥P－ABCD的侧棱长为23a，侧面等腰三角形的顶角为30°，则从点A出发环绕侧面一周后回到点A的最短距离为()A．22a B．4aC．6a D．123a[答案] C[解析]将四棱锥的侧面展开，如图．所求最短距离为AA′，由AP＝A′P＝23a，∠AP A′＝4×30°＝120°，∴AA′＝AP·cos30°×2＝23a×32×2＝6a.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知直线ax＋by＋c＝0与圆：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则∠AOB ＝________.[答案]120°[解析]如图所示，作OD⊥AB，Rt△AOD中，OA＝1，AD＝32，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°.12．两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．[答案](－2，－1)[解析]两圆的圆心分别为O1(－1,1)，O2(2，－2)，直线O1O2的方程为y＝－x.由于两圆的交点为P，Q所以P，Q两点关于直线y＝－x对称．又点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为(－2，－1)．13．若正三棱台的上、下底面的边长为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高是________．[答案]13[解析]如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，则A1O1＝23×32×2＝233，AO＝83 3.连接O1O，则O1O为高．所以O1O＝A1A2－(AO－O1A1)2＝52－(23)2＝13.14．(2014·山东文，14)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x 轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．[答案](x－2)2＋(y－1)2＝4[解析]本题考查圆的标准方程的求法，结合图形．∵圆心在x－2y＝0上，设圆心(2b，b)，由圆与y轴相切，∴r＝2|b|又截x轴弦长23，圆心到x轴距离d＝|b|∴在Rt△ABC中，r2＝4b2＝b2＋(3)2，∴b2＝1又圆C与y轴正半轴相切．故b>0，∴b＝1.∴方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.该题要注意b的正负号．15．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是________．(1)PB⊥AD；(2)平面P AB⊥平面PBC；(3)直线BC∥平面P AE；(4)∠PDA＝45°.[答案](4)[解析]若PB⊥AD，则AD⊥AB，但AD与AB成60°角，(1)错误；过A作AG⊥PB，若平面P AB⊥平面PBC，∴AG⊥BC，又∵P A⊥BC，∴BC⊥平面P AB，∴BC⊥AB，矛盾，(2)错误；BC与AE是相交直线，∴直线BC一定不与平面P AE平行，(3)错误；在Rt△P AD中，由于AD＝2AB＝P A，∴∠PDA＝45°，(4)正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知点A(2，－1)，B(5,3)，若直线l：kx－y＋1＝0与线段AB 相交，求k的取值范围．[解析]解法一：由方程kx－y＋1＝0可知，直线l恒过定点P(0,1)，如图所示，连接P A，PB，解得k P A＝－1，k PB＝25.又∵直线l的斜率为k，∴k 的取值范围为－1≤k ≤25.解法二：由两点式求得直线AB 的方程为4x －3y －11＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －11＝0，kx －y ＋1＝0.解得x ＝－143k －4，满足2≤－143k －4≤5，解得－1≤k ≤25.17．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积． [解析] (1)∵折起前AD 是BC 边上的高． ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB ∩DC ＝D ， ∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD 平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ， ∵DB ＝DA ＝DC ＝1， ∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32，∴表面积S＝12×3＋32＝3＋32.18．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.[解析]思路分析：(1)从线面平行出发，证明面面平行．(2)由线面垂直，直接证明BC⊥SA.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为E F⃘平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，因为BC 平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ，AB 平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA 平面SAB ，所以BC ⊥SA .19．(本小题满分12分)求圆心在⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2上，且与x 轴，直线x ＝－12都相切的圆的方程．[解析] 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫a －322＋b 2＝2，|b |＝r ，⎪⎪⎪⎪a ＋12＝r .即⎩⎨⎧a 2－3a ＋94＋b 2＝2，b 2＝a 2＋a ＋14.解得a ＝12，b ＝±1，r ＝1，故所求圆的方程为：⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝1或⎝⎛⎭⎫x －122＋(y ＋1)2＝1. 20．(本小题满分13分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2.(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．[解析](1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为D E⃘平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰直角三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.。

新北师大版高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(含答案解析)(4)

一、选择题1．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（）A．5B．2 C．3D．22．已知三棱锥A BCD的各棱长都相等，E为BC中点，则异面直线AB与DE所成角的余弦值为（）A．13B．3C．33D．1163．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm）为（）A．43B．2C ．4D ．64．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为43，D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面AP α⊥于E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为（）A ．3B ．23C ．43D ．125．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（）A ．24B ．30C ．47D ．676．如图正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，O 是1AA 中点，P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，则直线OP 与平面ABC 所成角正弦值的最大值为（）A ．2 B ．255C ．32D ．2777．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（）A ．2211B ．2211-C ．77D ．211118．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足214,27AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（） A ．77B ．142C ．714D ．1479．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1CC 的中点．则下列说法正确的是（） A ．异面直线AM 与BC 5B ．BDM 为等腰直角三角形C ．直线BM 与平面11BDD B 10D ．直线1AC 与平面BDM 相交10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将ADE ，EBF △，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以FDE 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（）A ．263+B ．463+C ．4263-D ．2263- 11．在四棱锥P -ABCD 中，//AD BC ，2AD BC =，E 为PD 中点，平面ABE 交PC 于F ，则PFFC=（） A ．1B ．32C ．2D ．312．如图，长、宽、高分别为2、1、1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（）A ．10B ．5C ．22D ．3二、填空题13．如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面,ABC AD PB ⊥，垂足为,D DE PC ⊥，垂足为E ，若23,2PA AC ==，则三棱锥P ADE -体积的最大值是_________．14．如图，点E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的有__________． ①直线AD 与直线1C M 始终是异面直线②存在点M ，使得1B M AE ⊥ ③四面体EMAC 的体积为定值④当12D M MB =时，平面EAC ⊥平面MAC15．正方体1111ABCD A BC D -棱长为点1，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点P 在正方体表面上运动，满足1PE BD ⊥，则动点P 的轨迹的周长为__________． 16．在三棱锥P ABC -中，4PA PB ==，42BC =，8AC =，AB BC ⊥．平面PAB ⊥平面ABC ，若球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的半径为_________．17．在三棱锥P ABC -中，P 在底面ABC 的射影为ABC 的重心，点M 为棱PA 的中点，记二面角P BC M --的平面角为α，则tan α的最大值为___________. 18．在三棱锥D ABC -中，AD ⊥平面ABC ，3AC =，17BC =，1cos 3BAC ∠=，若三棱锥D ABC -的体积为27，则此三棱锥的外接球的表面积为______19．如图，在三棱锥A BCD -，,AB AD BC ⊥⊥平面ABD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD 、BD 上，且EF AD ⊥.则下列结论中：正确结论的序号是______.①//EF 平面ABC ；②AD AC ⊥；③//EF CD20．将底面直径为8，高为23为______.三、解答题21．在所有棱长均为2的直棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，O ，M 分别为1,BD B C 的中点．（Ⅰ）求证：直线//OM 平面11DB C ；（Ⅱ）求二面角1D AC D --的余弦值．22．如图（1）在ABC 中，AC BC =，D ､E ､F 分别是AB ､AC ､BC 边的中点，现将ACD △沿CD 翻折，使得平面ACD ⊥平面BCD .如图（2）（1）求证：//AB 平面DEF ；（2）求证：BD AC ⊥.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，32,3,PB PD PA AD ====点,E F 分别为线段,PD BC 的中点.（1）求证://EF 平面ABP ; （2）求证:平面AEF ⊥平面PCD ;（3）求三棱锥C AEF -的体积24．如图，圆柱的轴截面ABCD 是长方形，点E 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，3AD =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离. 25．如图，在平面四边形A ABC '中，90CAB CA A '∠=∠=，M 在直线AC 上，A A A C ''=，AB AM MC ==，A AC '绕AC 旋转．（1）若A AC '所在平面与ABC 所在平面垂直，求证：A C '⊥平面A AB '．（2）若二面角A AC B '--大小为60，求直线A B '与平面ABM 所成角的正弦值． 26．如图，四边形ABCD 为矩形，且4=AD ，22AB =PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E 为BC 的中点.（1）求证：PC DE ⊥；（2）若M 为PC 的中点，求三棱锥M PAB -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，设底面边长为2x ，表示出2522x AO OE -===1333xOE CE ==，即可求出x ，进而求出腰长. 【详解】根据三视图可得原几何体如图所示正三棱锥A BCD -，取BD 中点E ，连接,AE CE ，则底面中心O 在CE 上，连接AO ，可得AO ⊥平面ABC ，由三视图可知5AB AC AD ===45AEC ∠=，设底面边长为2x ，则DE x =，则25AE x =-则在等腰直角三角形AOE 中，2522xAO OE -===O 是底面中心，则133xOE CE ==，则253 23x x-=，解得3x=，则1AO=，底面边长为23，则正视图（等腰三角形）的腰长为()22312+=.故选：B.【点睛】本题考查根据三视图计算原几何体的相关量，解题的关键是根据正三棱锥中的关系求出底面边长.2．B解析：B【分析】取AC中点F，连接,EF DF，证明FED∠是异面直线AB与DE所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得．【详解】取AC中点F，连接,EF DF，∵E是BC中点，∴//EF AB，12EF AB=，则FED∠是异面直线AB与DE所成角（或其补角），设1AB=，则12EF=，32DE DF==，∴在等腰三角形DEF中，11324cos3EFFEDDE∠===．所以异面直线AB与DE3故选：B．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．3．B解析：B 【分析】根据三视图判断出几何体的结构，利用椎体体积公式计算出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为如图所示四棱锥，该棱锥满足底面是直角梯形，且侧棱ED ⊥平面ABCD ，所以其体积为11(12)22232V =⨯⨯+⨯⨯=，故选：B. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据几何体三视图求几何体体积的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的几何体的三视图还原几何体；（2）结合三视图，分析几何体的结构特征，利用体积公式求得结果.4．C解析：C 【分析】因为P BCE P ABC E ABC V V V ---=-则当E ABC V -取最大值时，三棱锥P BCE -体积有最小值，建立坐标系求得当点E 的高为3时，问题得解. 【详解】以点O 为原点，,,OA OD OB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设点(),0,E x z ，依题意得()6,0,0A ，则()6,0,AE x z =- ，(),0,OE x z = 因为过BC 作截面AP α⊥于E ，所以AE OE ⊥则0AE OE ⋅=，故()2600x x z -++= 所以()6z x x =-3x =时max 3z =又()143P BCE P ABC E ABC ABCV V V S z ---=-=-因为max 3z =所以三棱锥P BCE -体积的最小值()1114343643332P BCE ABC V S-=-=⋅⋅=故选：C 【点睛】关键点点晴：本题的解题关键是将问题转化为求E ABC V -的最大值，通过建系求得三棱锥E ABC -的高的最大值即可.5．D解析：D 【分析】先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解.【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -，由题得22437AD =-=，所以几何体的高为7. 所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅⋅=. 故选：D 【点睛】方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解.6．D解析：D 【分析】先找到与平面11A BC 平行的平面OEFG ,确定点P 在直线FG 上，作出线面角，求出正弦，转化为求AP 的最小值. 【详解】分别取1,,CC BC BA 的中点，连接,,,OE EF FG GO ,并延长FG ，如图，由中位线性质可知11//OE AC , 1//EF BC ,且OEEF E =,故平面11//A BC 平面OGFE ，又P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC 则点P 在直线FG 上，OA ⊥平面ABC ,OPA ∴∠是直线OP 与平面ABC 所成角，sin OAOPA OP∴∠=, OA 为定值，∴当OP 最小时，正弦值最大，而OP所以当AP 最小时，sin OPA ∠最大，故当AP FG ⊥时，sin OPA ∠最大，设棱长为2，则1212AG =⨯=，而30GAP ∠=︒,AP ∴=, 又1212OA =⨯=,sin OAOPA OP∴∠===故选：D 【点睛】关键点点睛：由P 是ABC 所在平面内的一个动点且满足//OP 平面11A BC ，转化为找过O 的平面与平面11A BC 平行，P 在所找平面与平面ABC 的交线上，从而容易确定出线面角，是本题解题的关键所在.7．D解析：D 【分析】在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算．【详解】因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角），又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥．由已知2PA AD ==，所以PB==cos11BCPCBPC∠===，所以异面直线PC与AD所成角的余弦值为11．故选：D．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．A解析：A【分析】利用正弦定理求出ABC的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积.【详解】设ABC的外接圆的圆心为D，半径为r，在ABC中，cos ABC∠==sin4ABC∴∠=，由正弦定理可得28sinACrABC==∠，即4r=，则3OD==，11133324O ABC ABCV S OD-∴=⨯⨯=⨯⨯=故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.9．C解析：C 【分析】A 通过平移，找出异面直线所成角，利用直角三角形求余弦即可. B.求出三角形的三边，通过勾股定理说明是不是直角三角形.C.求出点M 到面11BB D D 的距离，再求直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦.D.可通过线线平行证明线面平行. 【详解】设正方体棱长为2A. 取1BB 的中点为N ，则//BC MN ，则AM 与BC 所成角为AMN ∠ 由BC ⊥面11ABB A ，故MN ⊥面11ABB A ，故MN AN ⊥，在Rt ANM △中，5tan AMN ∠=，故2cos 3AMN ∠=B. BDM 中，5BM =22BD =5DM =C. AC BD ⊥，1AC BB ⊥，故AC ⊥面11BB D D ，1//CC 面11BB D D ，故M 到面11BB D D 的距离等于C 到面11BB D D 的距离，即为122d AC =直线BM 与平面11BDD B 所成角为θ210sin 5d BM θ===直线BM 与平面11BDD B 所成角的正弦值等于105D.如图ACBD O =OM 为1ACC △的中位线，有1//OM AC故直线1AC 与平面BDM 平行故选：C 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.10．A解析：A 【分析】先求出'A FDE -外接球的半径和外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的球心到外接圆的圆心的距离，可得高h 的最大值. 【详解】因为A ，B ，C 三点重合于点A '，原来A B C ∠∠∠、、都是直角，所以折起后三条棱'''A F A D A E 、、互相垂直，所以三棱锥'A FDE -可以看作一个长方体的一个角，它们有相同的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，即为2R==R=，DE DF====EF=在DFE△中，222cos2DE EF DFDEFDE EF+-∠===⨯，所以DEF∠为锐角，所以sin DEF∠==，DEF的外接圆的半径为2sinDFrDEF===∠则球心到DEF23，以FDE为底面的三棱锥G-DEF的高h的最大值为1R OO+23.故选：A.【点睛】本题考查了翻折问题和外接球的问题，关键点翻折前后量的变化及理解外接球和三棱锥的关系，考查了学生的空间想象力和计算能力.11．C解析：C【分析】首先通过延长直线,DC AB，交于点G，平面BAE变为GAE，连结PG，EG交于点F，再根据三角形中线的性质，求PFFC的值.【详解】延长,DC AB，交于点G，连结PG，EG交PC于点F，//AD BC，且2AD BC=，可得点,B C分别是,AG DG的中点，又点E是PD的中点，PC∴和GE是△PGD的中线，∴点F是重心，得2PFFC=故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到PC 与平面BAE 的交点，即将平面BAE 转化为平面GAE 是关键.12．C解析：C 【分析】小虫有两种爬法，一种是从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，另一种是从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将两种情况下的两个面延展为一个面，计算出平面图形的对角线长，比较大小后可得结果. 【详解】由于长方体ACDE FGBH -的长、宽、高分别为2、1、1，则小虫从点A 沿着侧面AEHF 和上底面FHBG 爬行，以及小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，这两条线路的最短路程相等.①若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，将侧面ACGF 和上底面BHFG延展为一个平面，如下图所示：则2AC BC ==，最短路程为2222AB AC BC +=②若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将面ACGF 和侧面BDCG 延展为一个平面，如下图所示：则3AD AC CD =+=，1BD =，最短路程为2210AB AD BD =+因为2210，因此，小虫爬行的最短路程为22 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.二、填空题13．【分析】由已知证明再由三角形相似列比例式可得证明利用基本不等式求得的最大值可得三棱锥体积的最大值【详解】由平面得又平面得又平面得而平面可得在中由得由得则由得又得即（当且仅当时等号成立）三棱锥体积的最解析：34【分析】由已知证明AE PC ⊥，再由三角形相似列比例式可得PE ，证明AD DE ⊥，利用基本不等式求得AD DE ⋅的最大值，可得三棱锥P ADE -体积的最大值．【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB ，得BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=， AD ∴⊥平面PBC ，得AD PC ⊥，而DE PC ⊥，AD DE D ⋂=，PC ∴⊥平面ADE ，可得AE PC ⊥．在Rt PAC △中，由23,2PA AC ==，得4PC =．由Rt PEA Rt PAC ∽，得PE PA PA PC =，则21234PA PE PC ===，由3PE =，23PA =23AE =，又AD DE ⊥，2223AD DE AE ∴+==，得2232AD DE AD DE =+≥⋅，即32AD DE⋅（当且仅当AD DE =时等号成立）， ∴三棱锥P ADE -体积的最大值是1111333323224AD DE PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．故答案为：34．【点睛】方法点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理．14．②③④【分析】取点为线段的中点可判断①建立空间直角坐标系假设存在点使得利用解出的值即可判断②；连接交于点证明线段到平面的距离为定值可判断③；求出点的坐标然后计算平面和平面的法向量即可判断④【详解】对解析：②③④. 【分析】取点M 为线段1BD 的中点可判断①，建立空间直角坐标系假设存在点M ，使得1B M AE ⊥，利用()1110AE B M AE B B BD λ⋅=⋅+=解出λ的值即可判断②；连接AC 、BD 交于点1O ，证明11//EO BD ，线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，可判断③；求出点M 的坐标，然后计算平面AEC 和平面MAC 的法向量，即可判断④. 【详解】对于①：连接1AC 交1BD 于点O ，当点M 在O 点时直线AD 与直线1C M 相交，故①不正确，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，对于②：()2,0,1AE =-，假设存在点M ，使得1B M AE ⊥，()()()1110,0,22,2,22,2,22B M B B BD λλλλλ=+=-+--=---，[]0,1λ∈，所以14220AE B M λλ⋅=+-=，解得13λ=，所以当12D M MB =时1B M AE ⊥，故②正确；对于③：连接AC 、BD 交于点1O ，因为点E 是棱1DD 的中点，此时11//EO BD ，故线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，所以四面体EMAC 的体积为定值，故③正确；对于④：当12D M MB =时，442,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-，设平面AEC 的法向量为()111,,m x y z =，由111120220m AE x z m AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令12z =，可得11x =，11y =，可得()1,1,2m =，设平面MAC 的法向量为()222,,n x y z =，242,,333MA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由222222202420333n AC x y n MA x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩解得:20y =，令 21x =可得22z =，所以1,1,1n ，因为1111120m n ⋅=⨯+⨯-⨯=，m n ⊥所以平面EAC ⊥平面MAC ，故④正确；故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（2）利用性质：//,αββγαγ⊥⇒⊥（客观题常用）；（3）面面垂直的定义（不常用）；（4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于0.15．【分析】根据题意得平面在上取使得连接证得平面平面将空间中的动点轨迹的周长问题转化为求三角形边周长问题又代入计算即可【详解】解：如图正方体中连接：易得平面在上取使得连接易得根据线面平行判定定理证得平面【分析】根据题意得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G使得12,2BF FB AG GB ==连接,,GE EF GF 证得平面1//AB C 平面EFG ，将空间中的动点P 轨迹的周长问题转化为求三角形EFG 边周长问题，又GE EF GF ===，代入计算即可. 【详解】解：如图正方体中连接11,,AC B C B A ：易得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB ==连接,,GE EF GF ，易得1//,//GE AC EF BC根据线面平行判定定理证得平面1//AB C 平面EFG所以1BD ⊥平面EFG所以线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，因为1223GE EF GF ==== 所以动点P 的运动轨迹周长为232GE EF GF ++==2【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直，面面平行的概念，解题的关键是借助图形将空间问题转化为平面问题.本题中根据1BD ⊥平面1ABC 及平面1//ABC 平面EFG 得到线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，代值计算即可.16．4【分析】取中点连接再根据题意依次计算进而得球的球心即为（与重合）【详解】解：因为所以又因为所以所以因为平面平面平面平面平面所以平面取中点连接所以所以平面所以此时所以即球的球心球心即为（与重合）半径解析：4【分析】取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP ，再根据题意依次计算4EA EB EC EP ====，进而得球O 的球心O 即为E （O 与E 重合）【详解】解：因为42BC =8AC =，AB BC ⊥，所以42AB =4PA PB ==，所以222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，AB BC ⊥，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面PAB ，取,AB AC 中点,D E ，连接DE ，DP所以//DE BC ，22DE =，22DP =所以DE ⊥平面PAB ，所以DE PD ⊥，此时，142EB AC EA EC ====， 224EP DP DE =+=，所以4EA EB EC EP ====，即球O 的球心球心O 即为E （O 与E 重合），半径为4EA =.故答案为：4.【点睛】本题解题的关键在于寻找球心，在本题中，,PAB ABC △△均为直角三角形，故易得AC 中点即为球心.考查空间思维能力，运算求解能力，是中档题.17．【分析】取中点为过分别作底面的垂线根据题中条件得到；过分别作的垂线连接由二面角的定义结合线面垂直的判定定理及性质得到为二面角的平面角；为二面角的平面角得出令进而可求出最值【详解】取中点为过分别作底面解析：34【分析】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，根据题中条件，得到AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，由二面角的定义，结合线面垂直的判定定理及性质，得到MHN ∠为二面角M BC A--的平面角；PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，得出tan 4tan PGO MHN ∠=∠，()23tan tan tan 14tan MHN PGO MHN MHNα∠=∠-∠=+∠，令tan 0x MHN =∠>，进而可求出最值.【详解】取BC 中点为E ，过P 、M 分别作底面的垂线PO 、MN ，则O 为ABC 的重心，MN ⊥平面ABC ；PO ⊥平面ABC ；由于点M 为棱PA 的中点，所以有AN NO OE ==，2PO MN =；过O 、N 分别作BC 的垂线OG 、NH ，连接MH ，PG ，因为BC ⊂平面ABC ，所以MN BC ⊥，同理PO BC ⊥；又MN NH N ⋂=，MN ⊂平面MNH ，NH ⊂平面MNH ，所以BC ⊥平面MNH ；因为MH ⊂平面MNH ，所以BC MH ⊥，所以MHN ∠为二面角M BC A --的平面角；同理BC PG ⊥，所以PGO ∠为二面角A BC P --的平面角，所以tan PO PGO OG ∠=，tan MN MHN HN∠=，因为NO OE =，//OG NH ，所以12OG NH =；因此2tan 4tan 12PO MN PGO MHN OG HN ∠===∠，所以()2tan tan 3tan tan tan 1tan tan 14tan PGO MHN MHN PGO MHN PGO MHN MHN α∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠+∠，令tan 0x MHN =∠>，则2333tan 1444x x x x α=≤=+，当且仅当214x =，即12x =时，等号成立. 故答案为：34. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于确定二面角M BC A --、A BC P --以及P BC M --三者之间的关系，由题中条件得出二面角A BC P --是二面角MBC A --的4倍，进而可求得结果. 18．【分析】设出外接球的半径球心的外心半径r 连接过作的平行线交于连接如图所示在中运用正弦定理求得的外接圆的半径r 再利用的关系求得外接球的半径运用球的表面积公式可得答案【详解】设三棱锥外接球的半径为球心为解析：20π【分析】设出外接球的半径R 、球心O ，ABC 的外心1O 、半径 r , 连接1AO ，过O 作的平行线OE 交AD 于 E ，连接OA ，OD ，如图所示，在ABC 中，运用正弦定理求得 ABC 的外接圆的半径r ,再利用1,,R r OO 的关系求得外接球的半径，运用球的表面积公式可得答案.【详解】设三棱锥外接球的半径为R 、球心为O ，ABC 的外心为1O 、外接圆的半径为r ，连接1AO ，过O 作平行线OE 交AD 于E ，连接OA ，OD ，如图所示，则OA OD R ==，1O A r =，OE AD ⊥，所以E 为AD 的中点.在ABC中，由正弦定理得2sin BC r BAC ==∠r =. 在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，可得2117963AB AB =+-⋅⋅，得4AB =.所以11sin 34223ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△因为11333D ABC ABC V S AD AD -=⋅⋅=⨯=△，所以4AD =.连接1OO ，又1//OO AD ，所以四边形1EAOO 为平行四边形，1128EA OO AD ===，所以R ===所以该三棱锥的外接球的表面积()224π4π520πS R ===.故答案为：20π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球，及球的表面积计算公式，解决问题的关键在于利用线面关系求得外接球的球心和球半径，属于中档题.19．①②【分析】采用逐一验证法根据线面平行线面垂直的判定定理以及线面距离判断可得结果【详解】由共面所以因为平面平面所以平面；故①正确；平面平面所以又因为平面平面所以故②正确；若则平面或EF 在平面ACD 内解析：①②【分析】采用逐一验证法，根据线面平行，线面垂直的判定定理，以及线面距离，判断可得结果.【详解】由AB AD ⊥，,,EF AD AD EF AB ⊥，共面，所以//EF AB ,因为EF ⊄平面ABC ，AB 平面ABC ，所以//EF 平面ABC ；故①正确； BC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥，又因为AB AD ⊥，AB BC B ⋂=，AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥，故②正确；若//EF CD ，则//EF 平面ACD ，或EF 在平面ACD 内，如图EF 与平面ACD 相交于点E ，显然不成立，故③不正确，故答案为：①②【点睛】本题主要考查了线线、线面之间的位置关系，考查了线面平行的判断以及由线面垂直证明线线垂直，属于中档题. 20．【分析】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥设圆柱的高为h 底面半径为r 用r 表示h 从而求出圆柱侧面积的最大值【详解】欲使圆柱侧面积最大需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h 底面半径为r 则解得；所以；当时取解析：43π【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，用r 表示h ，从而求出圆柱侧面积的最大值.【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 23423h r -=，解得323h =；所以()23222334S rh r r r πππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧；当2r 时，S 圆柱侧取得最大值为43π 故答案为：43π.【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ5 【分析】（Ⅰ）由中位线定理证明1//OM C D ，即可得线面平行；（Ⅱ）连1D O ，证明1D OD ∠为二面角1D AC D --的平面角，在直角1D DO △中计算可得．【详解】解：（Ⅰ）连1BC ，则M 也为1BC 的中点，又M 为BD 的中点，所以1//OM C D ，因为OM ⊄平面11DB C ，1C D ⊂平面11DC B ，所以直线//OM 平面11DB C ；（Ⅱ）连1D O ，因为ABCD 是菱形，所以DO AC ⊥，又1111ABCD A BC D -为直棱柱，底面为菱形，所以11D A D C =，而O 为AC 中点，所以1D O AC ⊥，所以1D OD ∠为二面角1D AC D --的平面角，因为ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，所以1DO =，又12DD =，由直棱柱知1DD DO ⊥，所以15DO =，所以115cos DO D OD D O ∠==．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查求二面角角，求二面角常用方法：（1）定义法：作出二面角的平面角并证明，然后在三角形中计算可得；（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量夹角的余弦即可得二面角的余弦（注意判断二面角是锐角还是钝角）．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据三角形中位线的性质，得到//EF AB ，利用线面平行的判定定理证得结果；（2）根据面面垂直的性质定理，得到BD ⊥平面ACD ，进而证得BD AC ⊥.【详解】证明：（1）如图（2）：在ABC 中，E ､F 分别是AC ､BC 中点，得//EF AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，//AB ∴平面DEF .（2）∵平面ACD ⊥平面BCD 且交线为CD ，BD CD ⊥，且BD ⊂平面BCD ， ∴BD ⊥平面ACD ，又AC ⊂平面ACD∴BD AC ⊥.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关空间关系的证明问题，解题方法如下：（1）熟练掌握线面平行的判定定理，在解题过程中，一定不要忘记线在面内、线在面外的条件；（2）根据面面垂直的条件，结合线线垂直，利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而证得线线垂直.23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）98. 【分析】（1）取PA 的中点G ，连接,BG EG ，证明四边形EFBG 为平行四边形，得出//EF BG ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）先证明PA ⊥平面ABCD ，从而得出PA CD ⊥，再由等腰三角形的性质得出AE PD ⊥，最后由面面垂直的判定定理证明即可；（3）以AFC △为底，12PA 为高，由棱锥的体积公式得出答案. 【详解】（1）如图，取PA 的中点G ，连接,BG EG .因为点,E G 分别为,PD PA 的中点，所以1//,2EG AD EG AD = 又因为F 是BC 的中点，四边形ABCD 是正方形，所以//BF EG 且BF EG = 故四边形EFBG 为平行四边形，所以//EF BG因为BG ⊂平面,ABP EF 不在平面ABP 内，所以//EF 平面ABP .（2）由条件知32,3PB PD PA AD AB =====，所以PAB △和PAD △都是等腰直角三角形，,PA AB PA AD ⊥⊥又因为,,AB AD A AB AD =⊂平面,ABCD 所以PA ⊥平面ABCD因为CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥又因为,,AD CD PA AD A ⊥⋂=所以CD ⊥平面PAD ，所以CD AE ⊥因为E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥又因为,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ，所以AE ⊥平面PCD因为AE ⊂平面,AEF 所以平面AEF ⊥平面PCD .（3）由图可知C AEF E ACF V V --=，1111319333232228E ACF ACF V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=△，即三棱锥C AEF -的体积为98 【点睛】关键点睛：在证明线线平行时，关键是证明四边形EFBG 为平行四边形，从而得出//EF BG .24．（1）证明见解析；（232211【分析】。

2024-2025年北师大版数学必修第二册全书综合测评卷(带答案)

全书综合测评卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．关于向量a ，b ，下列命题中，正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若a ＝－b ，则a ∥bC ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．若|a |>|b |，则a >b2．已知i 为虚数单位，复数z 1＝1＋2i ，z 2＝2－i ，则( ) A ．z 1的共轭复数为－1＋2i B ．z 1的虚部是2i C ．z 1＋z 2为实数 D ．z 1z 2＝4＋3i3．三个数sin 1.5·sin 2·sin 3.1，cos 4.1·cos 5·cos 6，tan 7·tan 8·tan 9中，值为负数的个数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知函数f (x )＝cos (ωx ＋2π3 )(ω>0)的最小正周期为4π，则下面结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递增B ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递减C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝2π3 对称D ．函数f (x )的图象关于点(2π3 ，0)对称5.宜昌奥林匹克体育中心为了迎接湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形ABCD 区域设计灯带．已知灯带AB ＝CD ＝10米，BC ＝20米，AD ＝102 米，且∠A ＋∠C ＝3π4，则cos ∠BCD ＝( ) A ．35 B ．0 C ．45 D ．2106．已知△ABC 中，3AB → ＋AC → －6AD →＝0，延长BD 交AC 于E ，则AE AC＝( )A ．23B ．12C ．13D ．14 7.如图，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，且CC 1⊥底面ABC ，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角为( )A ．90° B．45° C ．30° D．60°8．当函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 取得最大值时，tan x 的值为( ) A ．1 B ．±1 C．3 D ．－1二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．设z 1，z 2为复数，则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果z 1－z 2>0，那么z 1>z 2B ．如果|z 1|＝|z 2|，那么z 1z － 1＝z 2z －2 C ．如果⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2 >1，那么|z 1|>|z 2|D ．如果z 21 ＋z 22 ＝0，那么z 1＝z 2＝010．已知函数f (x )＝cos (sin x )，g (x )＝sin (cos x )，则下列说法不正确的是( ) A ．f (x )与g (x )的定义域都是[－1，1] B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )的值域为[cos 1，1]，g (x )的值域为[－sin 1，sin 1]D ．f (x )与g (x )都不是周期函数11．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3.给出下列结论，其中不正确的是( )A ．最小正周期为πB ．对称轴为直线x ＝k π(k ∈Z )C ．对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k2π＋π4，0D ．最大值为312.如图，已知四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22 ，A 1B 1＝2 ，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A.该四棱台的高为3 B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．复数z ＝(m 2＋4m ＋3)＋(m ＋3)i ，m ∈R 为纯虚数，则m ＝________．14．已知tan α，tan β是方程2x 2＋3x －5＝0的两个实数根，则tan (α＋β)＝________．15．已知函数f (x )＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0)满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝2，f (π)＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3 上单调，则ω的最大值为________．16．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a －3 c )sin A ＝b sin B －c sin C ，若△ABC 外接圆面积为π，则△ABC 面积的最大值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知复数z ＝m 2－5m ＋6＋(2m 2－3m －2)i ，m ∈R .若z 为纯虚数，求m 的值；(2)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z 满足z ·z －＋i z ＝15＋3i ，求a ，b 的值． 18.(本小题满分12分)函数f (x )＝A cos (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间[0，m ]有5个零点，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E 是AB的中点．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)在棱DD1上是否存在一点P，使得AP∥平面D1EC，若存在，求DPDD1，若不存在，说明理由；(3)求D到平面D1EC的距离．20．(本小题满分12分)在①2cos2B＋cos2B＝0，②b cos A＋a cos B＝3＋1这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，并解决相应问题．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝6，________，求△ABC的面积S的大小．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(本小题满分12分)矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，P 为线段DC 的中点，将△ADP 沿AP 折起，使得平面ADP ⊥平面ABCP .(1)在DC 上是否存在点E 使得AD ∥平面PBE ？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由；(2)求二面角P AD B 的余弦值． 22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(1，cos ωx )，n ＝(sin ωx ，3 )(ω>0)，函数f (x )＝m ·n ，且f (x )图象上的一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2 ，与P 最近的一个最低点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－2 .(1)求函数f (x )的解析式；(2)设a 为常数，判断方程f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的解的个数；(3)在锐角△ABC 中，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝1，求f (A )的取值范围．全书综合测评卷1．答案：B解析：向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同，故A 错误；若a ＝－b ，得a ，b 方向相反，则a ∥b ，故B 正确；当b ＝0，a 与c 不一定平行，故C 错误；尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比较大小的，故D 错误．故选B.2．答案：D解析：z 1＝1＋2i ，z －1＝1－2i ，故A 错误；z 1的虚部是2，故B 错误；z 1＋z 2＝3＋i为虚数，故C 错误；z 1·z 2＝(1＋2i)(2－i)＝2－i ＋4i －2i 2＝4＋3i ，故D 正确．故选D.3．答案：B解析：0<1.5<π，0<2<π，0<3.1<π，∴sin 1.5·sin 2·sin 3.1>0；π<4.1<3π2，cos 4.1<0，3π2 <5<2π，3π2 <6<2π，cos 5>0，cos 6>0，∴cos 4.1·cos 5·cos 6<0；2π<7<5π2 ，5π2 <8<3π，5π2<9<3π，∴tan 7>0，tan 8<0，tan 9<0，tan 7·tan 8·tan9>0；只有一个负数．故选B.4．答案：C解析：由题意知：2πω ＝4π⇒ω＝12 ，∴f (x )＝cos (12 x ＋2π3)A ，B 选项，当x ∈(0，π)时，12 x ＋2π3 ∈(2π3 ，7π6 )，当12 x ＋2π3 ∈(2π3，π)时，f (x )单调递减，12 x ＋2π3 ∈(π，7π6 )时，f (x )单调递增．因此，A 和B 都错误；C 选项，x ＝2π3 时，12 x ＋2π3 ＝π；x ＝π是cos x 的对称轴，则x ＝2π3是f (x )的对称轴．因此，C 正确；D 选项，由C 可知，x ＝2π3是对称轴的位置，则必不是对称中心，D 错误．故选C.5．答案：A 解析：如图，连接BD .在△ABD 中，由余弦定理有：BD 2＝BA 2＋AD 2－2BA ×AD ×cos A ＝300－2002 cos A ①，在△CBD 中，由余弦定理有：BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD ×cos C ＝500－400cos C ②，由①②得：－2 cos A ＝1－2cos C ，又∠A ＋∠C ＝3π4 ，∴－2 cos (3π4－C )＝1－2cos C ，∴－sin C ＝1－3cos C ，又∵sin 2C ＋cos 2C ＝1.∴(3cos C －1)2＋cos 2C ＝1，∴cos C ＝0或cos C ＝35，∵C ∈(0，3π4)，∴sin C >0，若cos C ＝0，则sin C ＝－1(舍)，∴cos C ＝35.故选A.6．答案：C解析：依题意，设AE → ＝λAC → ，BE → ＝μBD → ，则AE → ＝λAC → ＝λ(－3AB → ＋6AD →)＝－3λAB → ＋6λAD → .又AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋μBD → ＝AB → ＋μ·(AD → －AB → )＝(1－μ)AB → ＋μAD → ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝1－μ，6λ＝μ，两式相加得λ＝13 ，即AE →＝13 AC → ，所以AE AC ＝|AE →||AC →|＝13 .故选C.7．答案：A 解析：设棱长为a ，将三棱柱ABC A 1B 1C 1补成正三棱柱A 1B 1C 1 A 2B 2C 2(如图)，使AA 1＝AA 2.平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2(或其补角)即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，A 2B ＝2a ，BM ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22 ＝52 a ，A 2M ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 22 ＝132 a ，∴A 2B 2＋BM 2＝A 2M 2，∴∠MBA 2＝90°.故选A.8．答案：A解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝34 (sin 2x ＋cos 2x )＋14 sin x cosx ＋34sin x cos x ＝34 ＋12 sin 2x .当sin 2x ＝1时，y max ＝3＋24 ，此时2x ＝2k π＋π2 (k ∈Z )，即x ＝k π＋π4(k ∈Z )，∴tan x ＝1.故选A.9．答案：BC解析：取z 1＝3＋i ，z 2＝1＋i 时，z 1－z 2＝2>0，但虚数不能比较大小，故A 项错误；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2.又z 1z － 1＝|z 1|2，z 2z － 2＝|z 2|2，所以z 1z － 1＝z 2z － 2，故B 项正确；因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2 ＝|z 1||z 2|>1，所以|z 1|>|z 2|，故C 项正确；取z 1＝1，z 2＝i ，满足z 21 ＋z 22＝0，但是z 1≠z 2≠0，故D 项错误．故选BC.10．答案：ABD解析：f (x )与g (x )的定义域是R ，故A 错误；f (－x )＝cos (sin (－x ))＝cos (sin x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，故B 错误；∵－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，∴f (x )的值域为[cos 1，1]，g (x )的值域为[－sin 1，sin 1]，故C 正确；f (x ＋2π)＝cos (sin (x ＋2π))＝cos (sin x )＝f (x )，则f (x )是周期函数，故D 错误．故选ABD.11．答案：BCD解析：因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3＝12 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＋3＝12 sin⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＋3＝－12 cos2x ＋3，所以f (x )的最小正周期T ＝π，图象的对称轴为直线x ＝k 2 π，k ∈Z ，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋k 2π，3 ，k ∈Z ，最大值为3＋12 ＝72 ，故只有A 正确．故选BCD.12．答案：AD 解析：给四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1补上一个小四棱锥S A 1B 1C 1D 1即可得到四棱锥S ABCD ，如图．连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接AC ，BD 交于点O ，连接SO .由AB ＝22 ，A 1B 1＝2 ，可知△SA 1B 1与△SAB 的相似比为1∶2，则SA ＝2AA 1＝4.由题意可得AO ＝2，则SO ＝23 ，则OO 1＝3 ，故该四棱台的高为3 ，A 正确；因为SA ＝SC ＝AC ＝4，所以AA 1与CC 1的夹角为60°，B 错误；由题意可得该四棱台侧面的高为22－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝142 ，则四棱台的表面积S ＝S上底＋S下底＋S 侧＝2＋8＋4×2＋222 ×142＝10＋67 ，C 错误；因为四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1的上、下底面都是正方形，所以其外接球的球心在OO 1上．连接OB 1，在平面B 1BOO 1中，由OO 1＝3 ，B 1O 1＝1，得OB 1＝2＝OB ，即点O 到点B 与到点B 1的距离相等，则外接球半径r ＝OB ＝2，所以该四棱台外接球的表面积为4πr 2＝16π，D 正确．故选AD.13．答案：－1解析：因为复数z ＝(m 2＋4m ＋3)＋(m ＋3)i ，m ∈R 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4m ＋3＝0，m ＋3≠0，所以m ＝－1.14．答案：－37解析：∵tan α，tan β是方程2x 2＋3x －5＝0的两个实数根，∴tan α＋tan β＝－32 ，tan αtan β＝－52 ，由tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝－321－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 ＝－37 . 15．答案：343解析：因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 上单调，所以T 2 ≥π3 －π4 ＝π12 ，解得T ≥π6 ，所以2πω ≥π6 ，解得0<ω≤12.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝2，f (π)＝0，所以2k ＋14 T ＝π－π4 ＝3π4 ，k ∈N *，所以T ＝3π2k ＋1 ，所以2πω ＝3π2k ＋1 ，所以ω＝4k ＋23 ，k ∈N *，当ω＝4k ＋23 ≤12时，解得k ≤172 ，k ∈N ，所以ωmax ＝4×8＋23 ＝343.16．答案：2＋34解析：由已知及正弦定理得a 2－3 ac ＝b 2－c 2，所以a 2＋c 2－b 2＝3 ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32 ，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.由△ABC 的外接圆面积为π，得外接圆的半径R ＝1. 由正弦定理得b ＝2R sin B ＝1，所以a 2＋c 2－1＝3 ac ，所以a 2＋c 2＝3 ac ＋1≥2ac ，解得ac ≤2＋3 ，所以△ABC 的面积S ＝12 ac sin B ＝14 ac ≤2＋34，当且仅当a ＝c 时等号成立．17．解析：(1)因为z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋6＝0，2m 2－3m －2≠0，解得m ＝3.(2)设z ＝a ＋b i ，所以z －＝a －b i ， z ·z －＋i z ＝(a ＋b i)(a －b i)＋i(a ＋b i)＝a 2＋b 2－b ＋a i ＝15＋3i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2＋b 2－b ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2. 18．解析：(1)因为A >0，由图象可知A ＝2，且有T 2 ＝πω ＝2π3 －π6 ＝π2，所以ω＝2，因为图象过点(π6 ，2)，所以2cos (2·π6＋φ)＝2，即φ＋π3 ＝2k π，解得φ＝2k π－π3 ，k ∈Z ，因为|φ|<π2 ，所以φ＝－π3 ，故f (x )＝2cos (2x －π3).(2)由(1)知f (x )＝2cos (2x －π3 )，因为x ∈[0，m ]，所以2x －π3 ∈[－π3 ，2m －π3]，由函数f (x )在区间[0，m ]上有5个零点，令2x －π3＝t ，即y ＝2cos t 在区间[－π3 ，2m －π3]有5个零点，由y ＝cos t 的图象知，只需9π2 ≤2m －π3 <11π2即可，解得29π12 ≤m <35π12 ，故m ∈[29π12 ，35π12).19．解析：(1)如图所示，连接AD 1交A 1D 于点O ，则O 为AD 1的中点，由题意可知，四边形ADD 1A 1是正方形，∴A 1D ⊥AD 1. ∵AB ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，∴AB ⊥AD 1. 又∵AB ⊂平面AD 1E ，AD 1⊂平面AD 1E ，AB ∩AD 1＝A ， ∴A 1D ⊥平面AD 1E ，又D 1E ⊂平面AD 1E ，∴A 1D ⊥D 1E ，即D 1E ⊥A 1D .(2)存在一点P 满足DP DD 1 ＝12时，使得AP ∥平面ED 1C ，当点P 满足DP DD 1 ＝12，即P 为DD 1的中点，取CD 1的中点Q ，连接PQ ，EQ ，在△DD 1C 中，P ，Q 为中点，∴PQ ∥DC ，PQ ＝12DC ，∵在长方体AC 1中，E 是AB 的中点，∴AE ∥DC 且AE ＝12DC ，∴AE ∥PQ 且AE ＝PQ ，∴四边形AEQP 为▱AEQP ，∴AP ∥EQ ，又EQ ⊂平面D 1EC ，AP ⊄平面D 1EC ，∴AP ∥平面D 1EC . (3)连接DE ，设D 到平面D 1EC 的距离为h ， ∵在长方体AC 1中，DD 1⊥平面ABCD ， ∵矩形ABCD ，点E 是AB 的中点，∴S △DCE ＝12 S 矩形ABCD ＝12×1×2＝1，∴VD 1－DCE ＝13 S △DCE ·DD 1＝13 ×1×1＝13，在Rt△D 1DC 中，D 1C ＝DD 21＋DC 2＝5 ，在Rt△ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝2 ，∵DD 1⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥DE ，在Rt△D 1DE 中，D 1E ＝DD 21 ＋DE 2＝3 ，在Rt△BCE 中，EC ＝BC 2＋BE 2＝2 ，∴D 1E 2＋EC 2＝CD 21 ，∴ED 1⊥CE ，∴S △D 1CE ＝12 D 1E ×EC ＝12 ×3 ×2 ＝62 ，又VD D 1CE ＝VD 1DCE ，∴13 S △D 1EC ×h ＝13 ，h ＝63 ，∴D 到平面D 1EC 的距离为63. 20．解析：因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，S ＝12bc sin A ，所以2bc sin A ＝2bc cos A ，显然cos A ≠0，所以tan A ＝1，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以A ＝π4 . 若选择①，由2cos 2B ＋cos2B ＝0得， cos 2B ＝14. 又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴B ＝π3 ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2. 又sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22 ×12 ＋22 ×32 ＝6＋24 ，所以S ＝12 ab sin C ＝3＋32. 若选择②，b cos A ＋a cos B ＝3 ＋1，则b cos A ＋a cos B ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b 2＋c 2－a 22c ＋a 2＋c 2－b 22c ＝c ＝3 ＋1，所以S ＝12 bc sin A ＝12 ×6 ×(3 ＋1)×22 ＝3＋32. 21．解析：(1)存在．如图所示：连接AC ，BP ，设AC 交BP 于点F ，∵CP ∥AB ，且CP ＝12AB ， ∴CF CA ＝PF PB ＝13. 取DC 的三等分点E ，使CE CD ＝13，连接EF ，PE ，BE ，则EF ∥AD ，又EF ⊂平面PBE ，AD ⊄平面PBE ，∴AD ∥平面PBE .故存在满足条件的点E ，且E 是线段CD 上靠近点C 的三等分点．(2)在矩形ABCD 中，AP ＝BP ＝2 ，AB ＝2，∴AP 2＋BP 2＝AB 2，∴AP ⊥BP ，又平面ADP ⊥平面ABCP ，BP ⊂平面ABCP ，平面ADP ∩平面ABCP ＝AP ，∴BP ⊥平面ADP ，∴BP ⊥DP ，∴BD 2＝DP 2＋BP 2＝1＋2＝3.在△ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥DB ，又PD ⊥AD ，PD ⊂平面ADP ，BD ⊂平面ADB ，平面ADP ∩平面ADB ＝AD ，∴∠PDB 为二面角P AD B 的平面角，在Rt△PDB 中，cos ∠PDB ＝DP BD ＝13＝33 ，∴二面角P AD B 的余弦值为33. 22．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝sin ωx ＋3 cos ωx ＝2(12 sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3 . ∵f (x )图象上的一个最高点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2 ，与P 最近的一个最低点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2 ， ∴T 2 ＝7π12 －π12 ＝π2，∴T ＝π，又ω>0，∴ω＝2πT＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 . (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 时，π3 ≤2x ＋π3 ≤4π3 ，由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 的图象(图略)可知，当a ∈[3 ，2)时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上有两解；当a ∈[－3 ，3 )或a ＝2时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上有一解；当a <－3 或a >2时，f (x )＝a 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上无解． (3)在锐角△ABC 中，0<B <π2 ，－π6 <π3 －B <π3，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＝1，∴π3 －B ＝0，∴B ＝π3 . 在锐角△ABC 中，0<A <π2 ，A ＋B >π2， ∴π6 <A <π2 ，∴2π3 <2A ＋π3 <4π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 ， ∴f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3 ∈(－3 ，3 ). ∴f (A )的取值范围是(－3 ，3 ).GS －2。

2024-2025年北师大版数学必修第二册2.5.2向量数量积的坐标表示(带答案)

5．2 向量数量积的坐标表示必备知识基础练知识点一数量积的坐标运算1．若a ＝(1，2)，b ＝(x ，3)且a ·b ＝4，则x ＝( )A ．－2B ．－12C ．12D ．102．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2 ，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE → ＝2EC → ，则AE → ·BE →＝________.3．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(2，5)，c ＝(2，1). 求：(1)2a ·(b －a )；(2)(a ＋2b )·c .知识点二向量的模与夹角4．设x ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A ．5 B ．10 C ．25 D ．105．已知向量a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π26．平面直角坐标系xOy 中，A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，D 是AC 上的动点，满足AD → ＝λAC →(λ∈R ).(1)求|2AB → ＋AC →|的值； (2)求cos ∠BAC ；(3)若BD → ⊥BA →，求实数λ的值．知识点三求点到直线的距离7．已知点A (－1，2)，向量m ＝(3 ，1)，过点A 以向量m 为方向向量的直线为l ，求点P (3，－1)到直线l 的距离．关键能力综合练一、选择题1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x ).若a ·b ＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．12．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(－3，5)，若(2a ＋b )⊥c ，则c 的坐标可以是( ) A ．(－2，3) B ．(－2，－3) C ．(4，－4) D ．(4，4)3．已知向量a ＝(1，3 )，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．23B ．3C ．0D ．－34．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5 .若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60° C．120° D ．150°5．(探究题)已知点A (4，3)和点B (1，2)，O 为坐标原点，则|OA → ＋tOB →|(t ∈R )的最小值为( )A ．52B ．5C ．3D ．5 二、填空题6．若a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为________．7．(易错题)已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1).若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围为________．8．在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，BC ＝1，点P 是对角线AC 上一动点，则AP → ·BP →的最小值为________．三、解答题9．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b ＝(－12 ，32).(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若向量3 a ＋b 与a －3 b 的模相等，求角α.学科素养升级练1.(多选题)已知a ＝(1，3 )，b ＝(cos θ，sin θ)，则下列命题正确的有( )A ．若a ⊥b ，则θ＝π3B ．a ·b 的最大值为2C ．存在θ，使|a ＋b |＝|a |＋|b |D ．|a －b |的最大值为32．(学科素养——逻辑推理)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC → ，AD → ·AB →＝－32.(1)求实数λ的值；(2)若M 是线段BC 上的动点，求DM → ·BC →的取值范围．5．2 向量数量积的坐标表示必备知识基础练1．答案：A解析：因为a ＝(1，2)，b ＝(x ，3)且a ·b ＝4，所以a ·b ＝1×x ＋2×3＝x ＋6＝4，所以x ＝－2.故选A.2．答案：329解析：以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则A (0，0)，B (2 ，0)，C (2 ，2)，D (0，2).由DE → ＝2EC →得，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，2 .∴AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，2 ，BE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，2 .∴AE → ·BE →＝223 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23 ＋2×2＝329 .3．解析：方法一 (1)∵2a ＝2(1，3)＝(2，6)， b －a ＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，∴2a ·(b －a )＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.(2)∵a ＋2b ＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)， ∴(a ＋2b )·c ＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.方法二 (1)2a ·(b －a )＝2a ·b －2a 2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14. (2)(a ＋2b )·c ＝a ·c ＋2b ·c＝(1×2＋3×1)＋2(2×2＋5×1)＝23. 4．答案：B解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝0，即x －2＝0，解得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a＋b |＝32＋（－1）2＝10 .故选B.5．答案：B解析：由2a ＋b ＝(4，2)，a ＝(1，1)得，b ＝2a ＋b －2a ＝(2，0)，故a ·b ＝2，|a |＝2 ，|b |＝2.设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b | ＝22 .又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.故选B.6．解析：(1)由题意得AB → ＝(－1，1)，AC → ＝(1，5)，所以2AB → ＋AC → ＝(－1，7)，|2AB →＋AC → |＝（－1）2＋72＝52 .(2)因为cos ∠BAC ＝AB →·AC→|AB →||AC →|，所以cos ∠BAC ＝（－1）×1＋1×5（－1）2＋12×12＋52＝21313. (3)由题意得BD → ＝AD → －AB →＝λ(1，5)－(－1，1)＝(λ＋1，5λ－1)，因为BD → ⊥BA → ，所以BD → ·BA →＝0，又BA →＝(1，－1)，所以(λ＋1)×1＋(5λ－1)×(－1)＝0，解得λ＝12.7．解析：设n ⊥l ，即n ⊥m .设n ＝(x ，y )，由n ⊥m ，得n ·m ＝(x ，y )·(3 ，1)＝0，即3 x ＋y ＝0，令x ＝1，得y ＝－3 ，n ＝(1，－3 ).由A (－1，2)，P (3，－1)，得AP →＝(4，－3). ∴点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（4，－3）·（1，－3）12＋（－3）2 ＝4＋332 . 关键能力综合练1．答案：D解析：a·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1，解得x ＝1.故选D. 2．答案：D解析：因为2a ＋b ＝(－1，1)，所以当c ＝(4，4)时，(2a ＋b )⊥c .故选D. 3．答案：B 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，根据题意可得(1，3 )·(3，m )＝1＋3 ×9＋m 2 ×cos π6 ，即3＋3 m ＝1＋3 ×9＋m 2 ×32，两边平方化简得m ＝3 .故选B. 4．答案：C解析：依题意，得a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5 .设c ＝(x ，y )，a 与c 的夹角为θ，∵(a ＋b )·c ＝52 ，∴x ＋2y ＝－52 .又∵a ·c ＝x ＋2y ，∴cos θ＝a ·c |a ||c | ＝x ＋2y5×5 ＝－525＝－12.∴a 与c 的夹角为120°.故选C.5．答案：D解析：由题意可得OA → ＝(4，3)，OB → ＝(1，2)，则|OA → ＋tOB →|＝|(4，3)＋t (1，2)|＝|(4＋t ，3＋2t )|＝（4＋t ）2＋（3＋2t ）2 ＝5t 2＋20t ＋25 ＝5（t ＋2）2＋5 ，结合二次函数的性质可得，当t ＝－2时，|OA → ＋tOB →|min ＝5 .故选D.6．答案：655解析：设a 与b 的夹角为θ，由题意得a ·b ＝|a ||b |cos θ＝13，∴|a |·cos θ＝a ·b|b |＝655. 7．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：∵a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，∴k a ＋b ＝(k ，1)，a ＋2b ＝(1，2).∵向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，∴(k a ＋b )·(a ＋2b )＝(k ，1)·(1，2)＝k ＋2＞0，解得k ＞－2.又当k ＝12 时，两个向量方向相同，∴k ∈(－2，12 )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ . 8．答案：－45解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，又因为AB ＝2，BC ＝1，所以A (0，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0，1)，则直线AC 的方程为y ＝12x ，所以设P (2m ，m )，且0≤m ≤1，而AP → ＝(2m ，m )，BP → ＝(2m －2，m )，所以AP → ·BP →＝2m (2m －2)＋m 2＝5m 2－4m ，结合二次函数的性质可知，当m ＝25 时，AP → ·BP → 有最小值，且最小值为5×⎝ ⎛⎭⎪⎫25 2－4×25 ＝－45.9．解析：(1)由题意，知a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－12，sin α＋32 ，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋12，sin α－32 .∵(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14 ＋sin 2α－34＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b ).(2)易得|a |＝1，|b |＝1.由题意，知(3 a ＋b )2＝(a －3 b )2，化简得a ·b ＝0，∴－12 cos α＋32 sin α＝0，∴tan α＝33.又0≤α＜2π，∴α＝π6 或α＝7π6.学科素养升级练1．答案：BCD解析：依题意，对于A ：a ⊥b ⇒a ·b ＝0，即a ·b ＝(1，3 )·(cos θ，sin θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋π6 )＝0，所以θ＋π6 ＝k π(k ∈Z )⇒θ＝k π－π6(k ∈Z )，故A 错误；对于B ：由A 知a ·b ＝2sin (θ＋π6 )，所以当θ＋π6 ＝π2＋2k π(k ∈Z )⇒θ＝2k π＋π3(k ∈Z )时，有最大值2，故B 正确；对于C ：当θ＝π3 时，a ＝(1，3 )，b ＝(12 ，32 )，a ＋b ＝(1，3 )＋(12 ，32 )＝(32 ，332)，所以|a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3322＝3，|a |＝1＋（3）2 ＝2，|b |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，故C 正确；对于D ：a －b ＝(1，3 )－(cos θ，sin θ)＝(1－cos θ，3 －sin θ)，所以|a－b |2＝(1－cos θ)2＋(3 －sin θ)2＝5－(23 sin θ＋2cos θ)＝5－4sin (θ＋π6)，当sin (θ＋π6 )＝－1，即θ＋π6 ＝－π2 ＋2k π(k ∈Z )⇒θ＝－2π3＋2k π(k ∈Z )时，|a －b |2取得最大值9，所以|a －b |的最大值为3，故D 正确．故选BCD.2．解析：(1)由于AD → ＝λBC →，所以AD ∥BC ，所以∠BAD ＝120°，AD → ·AB → ＝|AD → |·|AB → |·cos 120°＝－32 |AD → |＝－32，所以|AD →|＝1，所以AD → ＝16 BC →，λ＝16.(2)以B 为原点建立如图所示平面直角坐标系，A (32 ，332 )，D (52 ，332)，C (6，0)，设M (t ，0)，0≤t ≤6，DM → ＝(t －52 ，332 )，BC →＝(6，0)，DM →·BC →＝(t －52 ，332 )·(6，0)＝6(t －52)＝6t －15，由于0≤t ≤6，0≤6t ≤36，－15≤6t －15≤21，所以DM → ·BC →的取值范围是[－15，21].。

北师大版高一数学必修2试卷及答案

A 、(x+8)2+(y-5)2=1B 、(x-7)2+(y+4)2=2C 、(x+3)2+(y-2)2=lD 、(x+4)2+(y+3)2=2 高一数学必修2考试卷十二厂中学屈丽萍一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的几何体的体积为() (A)48(B)64(C)96(D)192 2、已知A (x i ，y i )、B (x 2，y 2)两点的连线平行y 轴， A 、|x-x|B 、|y-y|C 、x-x D 、 121221 3•棱长都是1的三棱锥的表面积为() A.<3B.2朽C.3朽D.4©3 4、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是() A .25兀B .55C .125兀D .都不对 325、已知正方体外接球的体积是3“，那么正方体的棱长等于(D ) 3 (A )2迈(B )叵(C )包(D )痘333 6、若1、m 、n 是互不相同的空间直线，a 、B 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()A.若a //P ,/u a ,n u R ，则l //nB.若a 丄B ,/u a ，则1丄B 等腰三角形•则该则|AB |=() y 2-y 1C.若l 丄a ,l 〃B ，则a 丄BD.若l 丄n,m 丄n ，则 7、如图，在正方体ABCD -ABCD 中，EF ，G ，H 分别为1111 BC 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于() 11 A.45°B.60°C.90°D.120° 8、方程(x-2)2+(y+l )2=l 表示的曲线关于点T (-3,2)的对l //m AA ，AB ，BB ， 11 称曲线方程是：。

北师大版高一数学必修2测试题及答案

高一数学必修2测试题一、选择题（12×5分＝60分）1、下列命题为真命题的是（）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

D.2、下列命题中错误的是：（）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（）A. 300B.450C. 600D. 9004、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB-D 的大小是（）A. 300B.450C. 600D. 9005、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（）A.a=2,b=5;B.a=2,b=5-;C.a=2-,b=5;D.a=2-,b=5-.6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）A (3,-1)B (-1,3)C (-3,-1)D (3,1)7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=08、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（）A BD A ’ B ’D ’ C C ’A.3aπ; B.2aπ; C.a π2; D.a π3.9、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（）A. 2cm;B.cm 34; C.4cm; D.8cm 。

10、圆x 2+y 2-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（）A.(-2,-1);B.(2,1);C.(2,-1);D.(1,-2).11、直线3x+4y-13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（） A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定. 12、圆C 1: 1)2()2(22=-++y x 与圆C 2:16)5()2(22=-+-y x 的位置关系是（）A 、外离B 相交C 内切D 外切二、填空题（5×5=25）13、底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为 cm 2。

北师大版高中数学必修第二册期末质量检测试卷(含答案)

北师大版高中数学必修第二册期末质量检测试卷本试卷共150分，考试时长120分钟一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.2－i 1＋2i＝()A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．已知OA →＝(－1，2)，OB →＝(3，m)，若OA →⊥OB →，则m 的值为()A ．1B ．32C ．2D ．43．现有四个函数：①y ＝x·sin x ；②y ＝x·cos x ；③y ＝x·|cos x|；④y ＝x·2x 的图象(部分)如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是()A .①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4．已知a ，b 为直线，α，β为平面，给出下列四个命题：①若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ；②a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；④若b ∥α，b ∥β，则α∥β.其中真命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．35．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为()A ．32B ．22C ．12D ．－126．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝()A ．14a ＋12bB ．12a ＋14bC ．23a ＋13bD ．13a ＋23b 7．下列命题中正确的是()A ．y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝sin x 的图象B ．y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝cos x 的图象C．当φ<0时，y＝sin x的图象向左平移|φ|个单位长度可得y＝sin(x＋φ)的图象D．y＝sin(2x＋π3)的图象是由y＝sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到的8．在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝3，则该三棱锥外接球的表面积为()A．5πB．2πC．20πD．4π二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．设a，b是两个非零向量，则下列说法不正确的是()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|10．在△ABC中，下列命题正确的是()A．若A>B，则cos A>cos BB．若sin2A＝sin2B，则△ABC一定为等腰三角形C．若a cos B－b cos A＝c，则△ABC一定为直角三角形D．若三角形的三边的比是3∶5∶7，则此三角形的最大角为钝角11．对于函数f(x)x，sin x≤cos x，x，sin x＞cos x，下列四个结论正确的是()A．f(x)是以π为周期的函数B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值－1 C．f(x)图象的对称轴为直线x＝π4＋kπ(k∈Z)D．当且仅当2kπ<x<π2＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤2 212．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱DD1，AB上的点．下列命题中正确的是()A．A1C⊥平面B1EFB．在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线C．△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形D．当E，F为中点时，平面B1EF截该正方体所得的截面图形是五边形三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知tanθ＝2，则cos2θ＝__________，tan＝________．14．已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．15．设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________．16．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点－35，，以角α的终边为始边，逆时针旋转π4得到角β.(1)求tan α的值；(2)求cos (α＋β)的值．18．(12分)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19．(12分)在①函数f为奇函数；②当x ＝π3时，f (x )＝3；③2π3是函数f (x )的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数f (x )＝2sin (ωx＋φ>0，0<φ，f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π，________．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[0，2π]上的单调递增区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．(12分)在①ac＝3，②c sin A＝3，③c＝3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝3sin B，C＝π6，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．(12分)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，F是BB1的中点，M 是线段AC1的中点．(1)求证：直线MF∥平面ABCD；(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.22．(12分)已知四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形．(1)求证：AD∥平面PBC；(2)若PB＝PD，求证：BD⊥平面PAC；(3)下面两问任选一问作答．①E、F分别是AB、PD上的点，若EF∥平面PBC，AE＝2EB，求PFPD的值；②若∠DAB＝60°，平面PAD⊥平面ABCD，PB⊥PD，判断△PAD是不是等腰三角形，并说明理由．参考答案与解析1．解析：解法一：2－i 1＋2i ＝（2－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2－2－5i5＝－i ，选D.解法二：利用i 2＝－1进行替换，则2－i 1＋2i ＝－2×（－1）－i 1＋2i ＝－2i 2－i 1＋2i＝－i （1＋2i ）1＋2i ＝－i ，选D.答案：D2．解析：由OA →⊥OB →，得OA →·OB →＝－3＋2m ＝0，故m ＝32.答案：B 3．解析：①y ＝x ·sin x 为偶函数，y 轴对称，②y ＝x ·cosx 上的值为负数，故第三个图象满足；③y ＝x ·|cos x |为奇函数，当x >0时，f (x )≥0，故第四个图象满足；④y ＝x ·2x ，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，故选A.答案：A4．解析：由“垂直于同一平面的两直线平行”知①是真命题；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②是假命题；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③是真命题；在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，易知A 1B 1∥平面DCC 1D 1，A 1B 1∥平面ABCD ，但以上两平面却相交，故④是假命题．答案：C5．解析：由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab≥12，当且仅当a ＝b 时取“＝”．答案：C6．解析：如图，∵AC →＝a ，BD →＝b ，∴AD →＝AO →＋OD →＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b .∵E 是OD 的中点，∴DE EB ＝13.∴DF ＝13AB ，∴DF →＝1AB →＝13(OB →－OA →)＝13－12→－12AC ＝16AC →－16BD →＝16a －16b ，AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C.答案：C7．解析：y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝cos ＝sin x 的图象，故A 正确；y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝sin ＝－cos x 的图象，故B 错误；y ＝sin x 的图象向左平移|φ|个单位长度得到y ＝sin (x ＋|φ|)＝sin (x －φ)的图象，故C错误；y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到y ＝sin 2＝sin x 的图象，故D 错误．答案：A 8．解析：如图，取PC 的中点O ，连接OA ，OB ，∵PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC .∴PA ⊥AC ，PA ⊥BC .在Rt △PAC 中，∵O 为PC 的中点，∴OA ＝12PC ，又PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ，在Rt △PBC 中，可得OB ＝12PC ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OP ，∴O 是三棱锥P ABC 的外接球的球心，∵Rt △PAC 中，AC ＝2，PA ＝3，∴PC ＝5，∴三棱锥P ABC 的外接球的半径R ＝12PC ＝52，∴该三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝5π.答案：A9．解析：若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 反向共线，且|a |>|b |，即存在实数λ，使得b ＝λa ，故A 不正确，C 正确；若a ⊥b ，显然在以a ，b 对应的线段为邻边的长方形中|a ＋b |＝|a |－|b |不成立，故B 不正确；若λ>0，则a ，b 为同向的共线向量，显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立，故D 不正确．故选ABD.答案：ABD10．解析：在△ABC 中，若A >B ，则a >b ，sin A >sin B ，但cos A >cos B 不正确，A 错误；若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形，B 错误；若a cos B －b cos A ＝c ，则sin A ·cos B －sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，所以sin B cos A ＝0，即cos A ＝0，A ＝π2，所以△ABC 定为直角三角形，C 正确；三角形的三边的比是3∶5∶7，设最大边所对的角为θ，则cos θ＝32＋52－722×3×5＝－12，因为π3<θ<π，所以θ＝2π3，D 正确．故选CD.答案：CD11．解析：函数f (x )x ，sin x ≤cos x ，x ，sin x ＞cos x的最小正周期为2π，画出f (x )在一个周期内的图象，可得当2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 时，f (x )＝cos x ，当2k π＋5π4<x ≤2k π＋9π4，k ∈Z 时，f (x )＝sin x ，可得f (x )的对称轴方程为x ＝π4＋k π，k ∈Z ，当x ＝2k π＋π或x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1；当且仅当2k π<x <π＋2k π(k ∈Z )时，f (x )>0.f (x )的最大值为＝22，可得0<f (x )≤22，综上可得，正确的有CD.答案：CD 12．解析：连接AB 1，B 1D 1，AD 1，由正方体的性质可得A 1C ⊥平面AB 1D 1，而平面AB 1D 1与平面B 1EF 不可能平行，所以显然有A 1C 与平面B 1EF 不垂直，故A 错误；由题图可知，平面A 1B 1C 1D 1与平面B 1EF 相交，则一定有一条交线，所以在平面A 1B 1C 1D 1内一定存在直线与此交线平行，则此直线与平面B 1EF 平行，故B 正确；点F 在侧面BCC 1B 1上的投影为点B ，点E 在侧面BCC 1B 1上的投影在棱CC 1上，所以投影三角形的面积为S ＝12BB 1·BC ＝12，为定值，故C 正确；在D 1C 1上取点M ，使D 1M ＝14D 1C 1，在AD 上取点N ，使AN ＝23AD ，连接B 1M ，EM ，EN ，FN ，则五边形B 1MENF 即为截面，故D 正确，故选BCD.答案：BCD13．解析：解法一：因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，由22θ＝1可知，sin 2θ＝45，cos 2θ＝15，所以cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝15－45＝－35，＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13.解法二：因为tan θ＝2，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13.答案：－351314．解析：解法一：设该圆锥的母线长为l ，因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，其面积为2π，所以12πl 2＝2π，解得l ＝2，所以该半圆的弧长为2π.设该圆锥的底面半径为R ，则2πR ＝2π，解得R ＝1.解法二：设该圆锥的底面半径为R ，则该圆锥侧面展开图中的圆弧的弧长为2πR .因为侧面展开图是一个半圆，设该半圆的半径为r ，则πr ＝2πR ，即r ＝2R ，所以侧面展开图的面积为12·2R ·2πR ＝2πR 2＝2π，解得R ＝1.答案：115．解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3＋i ，∴a ＋c ＝3，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ）＝8－（－4）＝23.答案：2316．解析：依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，由AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos ∠BAD ＝－32|AD →|＝－32，得|AD →|＝1，因此λ＝|AD →||BC →|＝16.取MN 的中点E ，连接DE ，则DM →＋DN→＝2DE →，DM →·DN →＝14[(DM →＋DN →)2－(DM →－DN →)2]＝DE →2－14NM →2＝DE →2－14.注意到线段MN 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离，即AB ·sin ∠B ＝332，因此DE →2－142－14＝132，即DM →·DN →的最小值为132.答案：1613217．解析：(1)∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点－35，，∴tan α＝45－35＝－43.(2)以角α的终边为始边，逆时针旋转π4得到角β，∴β＝α＋π4.由(1)利用任意角的三角函数的定义可得cos α＝－35，sin α＝45.∴sin 2α＝2sin αcos α＝－24，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.∴cos(α＋β)＝cos α＝cos 2αcosπ4－sin 2αsin π4＝22(cos 2α－sin 2α)＝17250.18．解析：方案一：选条件①(1)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b ＝11－a ，c ＝7，得a 2＝(11－a )2＋49－2(11－a )×7，∴a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝437.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝c sin A a ＝7×4378＝32，由(1)知b ＝11－a ＝3，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×3×32＝63.方案二：选条件②(1)∵cos A ＝18，∴A，sin A ＝378.∵cos B ＝916，∴B ，sin B ＝5716.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a378＝11－a 5716，∴a ＝6.(2)sin C ＝sin (π－A －B )＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝74.∵a ＋b ＝11，a ＝6，∴b ＝5.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×5×74＝1574.19．解析：∵函数f (x )的图象相邻对称轴间的距离为π，∴T ＝2πω＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin (x ＋φ).方案一：选条件①∵＝＋φ为奇函数，∴＝2sin ＝0，解得：φ＝π3＋k π，k ∈Z .(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ；(2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z .∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0，2π]上的单调递增区间为[0，π6]，[76π，2π]；方案二：选条件②＝2sin ＝3，∴sin ＝32，∴φ＝2k π，k ∈Z 或φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ；(2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z .∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0，2π]上的单调递增区间为[0，π6]，[76π，2π]；方案三：选条件③∵23π是函数f (x )的一个零点，∴＝2sin ＋＝0.∴φ＝k π－2π，k ∈Z .(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ；(2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z .∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0，2π]上的单调递增区间为[0，π6]，[76π，2π].20．解析：方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b .于是3b 2＋b 2－c 223b2＝32，由此可得b ＝c .由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1.方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b .于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3.由②c sin A ＝3，所以c ＝b ＝23，a ＝6.因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝23.方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b .于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c .由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．21．证明：(1)连接BD ，设AC ，BD 相交于点O ，连接MO ，因为M 是线段AC 1的中点，所以在△ACC 1中，MO 綊12CC 1.又F 是BB 1的中点，所以BF 綊12CC 1，所以BF 綊MO ，故四边形MOBF 是平行四边形，所以MF∥BO.又MF⊄平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以MF∥平面ABCD.(2)由(1)知OB∥MF，在菱形ABCD中，OB⊥AC，所以MF⊥AC.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，所以BO⊥CC1，即MF⊥CC1.又MF⊥AC，CC1∩AC＝C，AC⊂平面ACC1A1，CC1⊂平面ACC1A1，所以MF⊥平面ACC1A1.因为MF⊂平面AFC1，所以平面AFC1⊥平面ACC1A1.22．解析：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC.因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.(2)证明：设AC、BD交于点O，连接PO.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，DO＝OB.因为PB＝PD，所以PO⊥BD.因为AC∩PO＝O，PO，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.(3)①过F作FG∥DC交PC于G，连接BG.在菱形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，所以FG∥AB.所以E，F，G，B共面．因为EF∥平面PBC，平面FEBG∩平面PBC＝BG，所以EF∥BG.所以四边形FEBG为平行四边形，所以EB＝FG.所以AE＝2EB，所以PFPD＝FGDC＝EBAB＝13.②△PAD不是等腰三角形，理由如下：作BQ⊥AD交AD于点Q，连接PQ.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BQ⊂平面ABCD，所以BQ⊥平面PAD.所以BQ⊥PD.因为PD⊥PB，PB∩BQ＝B.所以PD⊥平面PBQ.所以PD⊥PQ.所以AD>PD，AD>PA，QD>PD，∠PQD<90°.所以∠PQA>90°.所以PA>AQ.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD是等边三角形．所以Q为AD的中点．所以AQ＝QD.所以PA>PD.所以△PAD不可能为等腰三角形．。

北师大版高中数学必修2同步测试题：第2章第1节两直线的位置关系(含答案解析)

《两条直线的位置关系》同步测试题1、直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是2、两直线： 0cos sin =-+a y x θθ与0sin cos =--b y x θθ的位置关系是3、直线2x-4y+7=0和直线x-2y+5=0的关系4、如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=5、若直线052=+-y x 与直线062=-+my x 互相垂直，则实数m 的值为6、已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a =7、已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为8、若直线20mx y m +-=与直线(34)10m x y -++=垂直，则m 的值是9、过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是10、过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为11、直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是12、直线l 过点（2,1），且与0132=+-y x 平行的直线方程是13、直线l 过点（2,1），且与0132=+-y x 垂直的直线方程是14、经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程15、直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，则实数m 的值为16、已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k=17、1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝_____ _时1l ⊥2l ；当__________时1l 与2l 相交；当m ＝_______时1l 与2l 重合；18、直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与当k ＝_______时1l ∥2l ；当k ＝_______时1l ⊥2l ；19、要使直线l 1：m y m m x m m 2)()32(22=-+-+与直线l 2：x-y=1平行，求m 的值.20、直线l 1：a x +(1-a)y=3与直线l 2：(a-1)x +(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值21、已知两条直线()1:3453l m x y m ++=-，()2:258l x m y ++=；求m 为何值时，1l 与2l （1）相交；（2）平行；（3）垂直.。

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新课标数学必修2测试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（）
Ａ．有且只有一个
Ｂ．可能有一个也可能不存在
Ｃ．有无数多个
Ｄ．一定不存在
2. 若方程22
(62)(352)10a a x a a y a --+-++-=表示平行于y 轴的直线，则a 的值是（）Ａ．23
Ｂ．12- Ｃ．1 Ｄ．不存在 3. 若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 的位置关系是（）Ａ．相交、平行或异面
Ｂ．相交或平行Ｃ．异面
Ｄ．平行或异面
4. 满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（）
（１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，；
（２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点；（３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，．
Ａ．（１）（２）
Ｂ．（２）（３）Ｃ．（１）（３）Ｄ．（１）（２）（３）
5. 坐标平面内一点到两个坐标轴和直线2x y +=的距离都相等，则该点的横坐标为（）
1 Ｂ．１Ｃ．1
2 Ｄ．非上述答案
6. 与直线2360x y +-=关于点(1
1)-，对称的直线方程是（）Ａ．3220x y -+=
Ｂ．2370x y ++= Ｃ．32120x y --=
Ｄ．2380x y ++= 7. 若圆220x y Dx Ey F ++++=与x 轴切于原点，则（）
Ａ．0D =，0E =，0F ≠ Ｂ．0F =，0D ≠，0E ≠
Ｄ．0D =，0F =，0E ≠ Ｄ．0E =，0F =，0D ≠
8. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（）
Ａ．第三象限
Ｂ．第一象限Ｃ．第四象限
Ｄ．第二象限
9. 已知过点(2)A m -，和(4)B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（）Ａ．8- Ｂ．0 Ｃ．2 Ｄ．10
10. 直线1l 与2l 关于直线0x y +=对称，1l 的方程为y ax b =+，那么2l 的方程为（）Ａ．x b y a a
=- Ｂ．x b y a a =
+ Ｃ．1x y a b =+ Ｄ．x y b a =+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
11. 若ABC △面积等于3，且(11)A ，，(36)B ，，则C 所在直线方程为．
12. (13)P -，在直线l 上的射影为(11)Q -，，则直线l 的方程是．
13. 在y 轴上截距为3-，且与y 轴成60þ角的直线方程是．
14. 经过点(41)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是．
三、解答题：本大题共6小题，共30分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说
明．
15.(本小题5分) 已知直线:250l x y --=与圆22
:50C x y +=．求
（１）交点A ，B 的坐标；
（２） AOB △的面积；
（３）圆心角AOB 的度数．
16.(本小题5分) 已知圆P 与圆2220x y x +-=外切，并且与直线
:0l x +=相切于点(3,Q ，求圆P 的方程．
17.(本小题5分) 如图，正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，求这个几何体的棱长．
18.(本小题5分) 已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线10l kx y k --=：．
（１）若1l 与圆交于两个不同点P ，Q ，求实数k 的取值范围；
（２）若PQ 的中点为M ，(10)A ，，
且1l 与2240l x y ++=：的交点为N ，求证：AM AN 为定值．
19.(本小题5分) 已知点(2,3)P --和以Q 为圆心的圆22(4)(2)9x y -+-=．
（１）画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆22(4)(2)9x y -+-=．
（２）作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ，B ，直线PA ， PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？
（３）求直线AB 的方程．
B
20.(本小题5分) 求经过点(3,1)M -，且与圆22
:2650C x y x y ++-+=相切于点(1,2)N 的圆的方程．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1-5 Ｂ6-10 DCCAB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
11. 5230x y -+=或5290x y --=． 12. 230x y --=．
13. 33
y x =±-． 14. 40x y -=，或50x y +-= 三、解答题：本大题共6小题，共30分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说
明．
15.(本小题5分) 解：（１）解方程组2225050x y x y --=⎧⎨+=⎩
，得55x y =-⎧⎨=-⎩或71
x y =⎧⎨=⎩，
所以，直线:250l x y --=与圆2250x y +=的交点是
(5,5)A --，(7,1)B ．
（２）过圆心O 作直线l 的垂线，垂足为D ，则圆心O 到直
线l 的距离
OD =
=．
在直角三角形AOD 中，
OA =，AD ==
所以AB =
AOB △的面积111522
AOB S AB OD ==⨯=△．
（３）在AOD △中，cos 0.3162OD
AOD OA ∠==≈.
用计算器算得，71.57AOD ∠=þ．
所以，2143.13AOB AOD ∠=∠=þ．
16.(本小题5分) 解：设圆心(,)P a b ，PQ l ⊥∵，1PQ l k k =-∴，即
1=-
，即3120a --= ①，又∵圆22
20x y x +-=的圆心为(1,0)，半径为１，又由外切
1=②，
由①、②得4a =，0b =或0a =
，b =-．
这时半径分别为２，６．
∴圆的方程为22(4)4x y -+=
或22(36x y ++=．
17.(本小题5分) 解：由已知，点E ，F ，P ，M 的坐标是,,22a a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,022a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ,,22a a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,22a a N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,22a a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,22a a Q a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．这个几何体是正八面体，
棱长2
PQ a =
=．（１） 18.(本小题5分) 解：圆心(34)，
到已知直线的距离小于半径４，由点到直线的距离公式得2340k k +>，43
k <-∴，或0k >；（２）证明：由2400
x y kx y k ++=⎧⎨--=⎩得245()2121k k N k k --++，，再由22(3)(4)16y kx k x y =-⎧⎨-+-=⎩，；
得2222
(1)(286)890k x k k x k k +-+++++=， 21222861k k x x k +++=+∴，2222
4342()11k k k k M k k +++++∴，，
AM AN ∴
=24(21k k
--+=10=为定值．
19.(本小题5分)
解：（１）因为(2,3)P --，(4,2)Q 是以Q '为圆心的圆的直径的两个端点，所以以Q '为圆心的圆的方程是(2)(4)(3)(2)0x x y y +-++-=．
即22
2140x y x y +-+-=．
（２）PA ，PC 是圆22(4)(2)9x y -+-=的切线．
因为点A ，B 在圆222140x y x y +-+-=上，且PQ 是直径，
所以PA AQ ⊥，PB BQ ⊥．
所以，,PA PB 是圆22(4)(2)9x y -+-=的切线．
（３）两方程22(4)(2)9x y -+-=，222140x y x y +-+-=相减，得65250x y +-=．
这就是直线AB 的方程．
20.(本小题5分) 解：把圆C 的方程22
2650x y x y ++-+=化成标准形式，得22(1)(3)5x y ++-=．
圆C 的圆心坐标是(1,3)-
AN 的方程为250x y +-=．
MN 的中点坐标是1(2,)2，斜率是32-．线段MN 的垂直平分线的方程是12(2)23
y x -=-，即4650x y --=．联立250x y +-=与4650x y --=解得207
x =，1514y =．这是所求圆的圆心F 的坐标．又因为22
201584512714196FN ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，经过点(3,1)M -，且与圆22:2650C x y x y ++-+=相切于点(1,2)N 的圆的方程是222015845714196x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭．。

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