高中数学(北师大版)必修2阶段质量检测(一)
2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§2知能演练轻松闯关
1．利用斜二测画法，下列叙述正确的是( ) A ．正三角形的直观图是正三角形 B ．平行四边形的直观图是平行四边形 C ．相等的线段在直观图中仍然相等 D ．全等三角形的直观图一定全等解析：选B.斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比，所以平行四边形的直观图是平行四边形．2．下列说法正确的个数是( ) ①三角形的直观图是三角形； ②正方形的直观图是正方形； ③菱形的直观图是菱形．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①正确；但是斜二测画法中平行于y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半，故正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图也不是菱形，所以②③错．3．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是图中的( )解析：选A.在斜二测画法所作出的图形中，O ′M ′＝2，因此在平面直角坐标系中相应的OM ＝22，选项中只有A 满足题意，故选A.4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A.1＋22B.2＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2解析：选D.根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1，依据直观图可求得下底边长为1＋2，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形，再由“竖取半”知，直腰长为2，∴S ＝1＋1＋22×2＝2＋ 2.5．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )解析：选A.由题意应看到正方体的上面、前面、和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知A 正确．6．用斜二测画法画一个水平放置的正五边形的直观图，则得到的图形的各个角__________(填“相等”“不相等”“不全相等”)．解析：通过斜二测画法后，图形的各个角有的变大有的变小，得到的各个角不再全相等． 答案：不全相等7.如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且A ′B ′＝A ′C ′，那么△ABC 是________．解析：因为A ′B ′∥x 轴，A ′C ′∥y ′轴，所以AB ∥x 轴，AC ∥y 轴．所以在直角坐标系中，∠BAC ＝90°.又因为A ′B ′＝A ′C ′，所以AC ＝2AB . 所以△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形8．如图，△ O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积是________．解析：按斜二测画法，将直观图中△O ′A ′B ′还原成原图形，即△OAB (如图)，则△OAB 的面积是S ＝12×6×4＝12.答案：129．画出如图中四边形OABC 的直观图(图中数据已给出)．解：以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，如图所示：作∠C ′O ′B ′＝45°，其中O ′B ′是水平的，O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝135°，使A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，所得四边形即为四边形OABC 的直观图(如图所示)：10．画出底面边长为1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm 的四棱锥的直观图．解：画法如下：(1)画轴，画x 轴、y 轴、z 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°.(2)画底面，以O 为中心在xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD ，使AB ＝1.2 cm. (3)画顶点，在Oz 轴上截取OP ，使OP ＝1.5 cm.(4)成图，连结P A ，PB ，PC ，PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即得四棱锥的直观图．1.(2013·焦作水平测试)如图所示是水平放置的三角形的直观图，D 是△ABC 中BC 边的中点，那么AB ，AD ，AC 三条线段在原图形中( )A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC解析：选C.由直观图易知AD ∥y ′轴，根据斜二测画法规则，在原图中应有AD ⊥BC ，又因为AD 为BC 边上的中线，所以△ABC 为等腰三角形，AD 为BC 边上的高，则有AB ，AC 相等且最长，AD 最短，比较各选项可知C 正确．2．如图，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中梯形的高为__________．解析：∵OA ＝6，CB ＝2， ∴OD ＝2.又∵∠COD ＝45°， ∴CD ＝2.梯形的直观图如图．则C ′D ′＝1，∴梯形的高C ′E ′＝22. 答案：223．画一个上、下底面边长分别为0.8 cm 、1.5 cm ，高为1.5 cm 的正三棱台的直观图． 解：(1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°；(2)画下底面．以O 为中点，在x 轴上截取线段AB ，使AB ＝1.5 cm ，在y 轴上截取线段OC ，使OC ＝383cm ，连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面；(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO ′，使OO ′＝1.5 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，重复(2)的步骤得上底面A ′B ′C ′(取A ′B ′＝0.8 cm ，O ′C ′＝35cm)．(4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．4．已知如图，四边形ABCD 的面积为S ，用斜二测画法作出的直观图为四边形A ′B ′C ′D ′，面积为S ′.求S ∶S ′.解：过D ，C 分别作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，以E 为坐标原点，AB 为x 轴，ED 为y 轴建立坐标系，如图所示：相应的直观图如下图所示：在图1中，四边形ABCD 的面积S ＝S △AOD ＋S 梯形DOFC ＋S △BFC ＝12OA ·OD ＋12(OD ＋CF )·OF＋12BF ·CF ， 在图2中，过D ′，C ′分别作D ′M ⊥A ′B ′，C ′N ⊥A ′B ′，则：D ′M ＝O ′D ′·sin 45°＝22·12OD ＝24OD ，C ′N ＝C ′F ′·sin 45°＝22·12CF ＝24CF ，此时S △A ′O ′D ′＝12A ′O ′·D ′M ′＝12A ′O ′·24OD＝28AO ·OD ， S △C ′F ′B ′＝12B ′F ′·C ′N ＝12BF ·24CF ＝28BF ·CF ，过F ′作F ′G ⊥O ′D ′于G ，则F ′G ＝O ′F ′·sin 45°＝OF ·22＝22OF ，因此：S 梯形D ′O ′F ′C ′＝12(D ′O ′＋C ′F ′)·F ′G ＝12⎝⎛⎭⎫12DO ＋12CF·22OF＝28(DO＋CF)·OF，∴四边形A′B′C′D′的面积S′＝S△A′O′D′＋S梯形D′O′F′C′＋S△C′F′B′＝28AO·OD＋28(DO＋CF)·OF＋28BF·CF＝24S，∴S∶S′＝S24S＝2 2.。
【课堂新坐标】（教师用书）2021学年高中数学 第二章 解析几何初步综合检测 北师大版必修2(1)
第二章 解析几何初步(时刻90分钟，总分值120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(2021·惠州高一检测)过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，那么m 的值是( )A ．－1B ．3C ．1D ．－3【解析】 k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，∴m ＝1. 【答案】 C2．假设两直线ax ＋2y ＝0和x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，那么a 的值是( )A ．－1或2B ．－1C ．2D ．23 【解析】 由a (a －1)－1×2＝0得a ＝－1或2，经查验a ＝－1时，两直线重合．【答案】 C3．(2021·合肥高一检测)若是圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在两个点到原点的距离为2，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．(－3，－1]∪[1,3) 【解析】 数形结合∵(0,0)、(a 、a )所在直线是存在两点的垂直平分线，∴1＜a ＜3或－3＜a ＜－1.【答案】 A4．在空间直角坐标系O—xyz中，点M的坐标是(1,3,5)，那么其关于x轴的对称点的坐标是( ) A．(－1，－3，－5) B．(－1，－3,5)C．(1，－3，－5) D．(1,3，－5)【解析】M(1,3,5)关于x轴对称的点，在x轴上的坐标不变，其他是其相反数，即为(1，－3，－5)．【答案】C5．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝2关于直线y＝0对称的圆的方程是( )A．(x＋3)2＋(y－4)2＝2 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝2C．(x＋4)2＋(y－3)2＝2 D．(x－3)2＋(y－4)2＝2【解析】圆心(3，－4)关于y＝0对称的点为(3,4)，∴圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.【答案】D6．(2021·南宁高一检测)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )A. 3 B．2C. 6 D．23【解析】由题意得直线方程为y＝3x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝23＋1＝1，弦长|AB|＝24－1＝2 3.【答案】D7．(2021·潍坊高一检测)假设直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0相互垂直，那么a的值是( )A．－3 B．1 C．－1 D．1或－3【解析】∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或－3.【答案】D8．假设点P(a，b，c)关于原点的对称点是P′，那么|PP′|＝( )A.a 2＋b 2＋c 2 B ．2a 2＋b 2＋c 2C ．|a ＋3＋c |D ．2|a ＋b ＋c |【解析】 P ′(－a ，－b ，－c )．由两点间距离公式得|PP ′|＝－a －a 2＋－b －b 2＋－c －c 2 ＝2a 2＋b 2＋c 2.【答案】 B9．不论a 为何数，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，6－3x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1，∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．【答案】 D10．使得方程16－x 2－x －m ＝0有实数解，那么实数m 的取值范围是( ) A ．－4≤m ≤42 B ．－42≤m ≤42 C ．－4≤m ≤4D ．4≤m ≤42 【解析】 设f (x )＝16－x 2，g (x )＝x ＋m ，在同一坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图形，如下图．那么m是直线y ＝x ＋m 在y 轴上的截距．由图可知－4≤m ≤42. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与B 的距离相等，那么M 的坐标是________．【解析】 ∵M 在y 轴上，设其坐标为(0，y,0)，由空间两点间的距离公式得 1＋y 2＋4＝1＋y ＋32＋1，得y ＝－1，∴M 的坐标为(0，－1,0)．【答案】 (0，－1,0)12．已知点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 点到直线x －y －1＝0的距离为2，那么P 点坐标为________．【解析】 点P 在直线3x ＋y －5＝0上，设P (x 0，y 0)，即P (x 0,5－3x 0)．由点到直线的距离公式，得|x 0－5－3x 0－1|12＋－12＝2，解得x 0＝2或x 0＝1，因此点P 的坐标为(2，－1) 或(1,2)． 【答案】 (2，－1) 或(1,2)13．两平行直线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：6x ＋ay －5＝0的距离等于__________．【解析】 由3a －24＝0，得a ＝8，∴l 2：3x ＋4y －52＝0. ∴d ＝|－52－－2|32＋42＝110. 【答案】 110 14．(2021·九江高一检测)已知方程x 2＋y 2＋2mx －2my －2＝0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A ，假设点A 又在直线l ：mx ＋ny ＋1＝0上，那么m ＋n ＝________.【解析】 已知方程即x 2＋y 2－2＋2m (x －y )＝0，该曲线系恒通过圆x 2＋y 2－2＝0与直线x －y ＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2＝0x －y ＝0得所过定点为(－1，－1)，(1,1)，∵点A 为第三象限的点，∴A 点的坐标为(－1，－1)，将其代入直线l 的方程得(－1)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，即m ＋n ＝1.【答案】 1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)15．(本小题12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)、C (6，－5)、BC 边所在直线过点P (8，－1)，求：(1)AD 边所在直线的方程；(2)对角线BD 所在直线的方程．【解】 (1)k BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2.∴直线AD 方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0.(2)k AC ＝－65，∵菱形对角线相互垂直， ∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56， 而AC 中点(1,1)，也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0. 图116．(本小题12分)如图1所示，⊙O 的方程为x 2＋y 2＝9，点P 的坐标为(4,0)，求：(1)以点P 为圆心且与⊙O 外切的圆的标准方程；(2)以点P 为圆心且与⊙O 内切的圆的标准方程．【解】 (1)知足条件的圆P 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆．因此圆P 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1.(2)知足条件的圆P 是以(4,0)为圆心，7为半径的圆，因此圆P 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝49.17．(本小题12分)已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)假设此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)假设(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值．【解】 (1)x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，D ＝－2，E ＝－4，F ＝m ，D 2＋E 2－4F ＝20－4m ＞0，m ＜5.(2)将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，∵OM ⊥ON ，得出：x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴5y 1y 2－8(y 1＋y 2)＋16＝0，∴m ＝85. 18．(本小题14分)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点．(1)求四边形PACB 面积的最小值；(2)直线l 上是不是存在点P ，使∠BPA ＝60°？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，说明理由．【解】 (1)如下图，△PAC ≌△PBC ，那么有S PACB ＝2S △PAC .圆心C (1,1)，半径r ＝1.由切线性质得AC ⊥PA ，那么|PA |＝|PC |2－|AC |2，又|AC |＝1，∴S △PAC ＝12|AC |·|PA |＝12|PC |2－1. 又P 在直线l 上，那么|PC |的最小值是C 到直线l 的距离d ＝|3＋4＋8|9＋16＝3. ∴S △PAC 的最小值为1232－1＝ 2.∴四边形PACB 面积的最小值是22. (2)假设直线l 上存在点P 知足题意．∵∠APB ＝60°，∴|AP |＝3|AC |＝3，|PC |＝2.设P (x ，y )，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ x －12＋y －12＝4，3x ＋4y ＋8＝0，整理可得25x 2＋40x ＋96＝0.∵Δ＝402－4×25×96<0，∴如此的点P是不存在的．。
高中数学 第一章立体几何初步 1.3 三视图练习 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题
§3三视图A组1.一个圆柱的三视图中,一定没有的图形是()A.矩形B.圆C.三角形D.正方形解析:一个圆柱,不论怎样放置,三视图均不可能出现三角形.答案:C2.若一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.三棱柱B.圆柱C.三棱锥D.圆锥答案:A3.如图,空心圆柱体的主视图是()答案:C4.导学号62180016若一个几何体的三视图如图所示,则该三视图表示的组合体为()A.圆柱与圆锥B.圆柱与三棱锥C.圆柱与四棱锥D.四棱柱与圆锥答案:C5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()解析:由俯视图易知,只有选项D符合题意.故选D.答案:D6.如图所示的立体图形,都是由相同的小正方体拼成的.(1)图①的主视图与图②的图相同;(2)图③的主视图与图④的主视图.(填“相同”或“不同”)答案:(1)俯视(2)不同7.如图所示是一个圆锥的三视图,则该圆锥的高为 cm.解析:由三视图知,圆锥的母线长为3 cm,底面圆的直径为3 cm,所以圆锥的轴截面是边长为3 cm 的等边三角形,所以圆锥的高为(cm).答案:8.已知某组合体的主视图与左视图相同(如图1所示,其中AB=AC,四边形BCDE为正方形),则该组合体的俯视图可以是如图2所示的.(把你认为正确的图的序号都填上)图1图2解析:由主视图与左视图可得该几何体可以是由正方体与底面边长相同的四棱锥组合而成的,则其俯视图为图①;可以是由正方体与底面直径与底面正方形边长相同的圆锥组合而成的,则其俯视图为图④;可以是由圆柱与底面相同的圆锥组合而成的,则其俯视图为图③;可以是由圆柱与底面正方形边长等于圆柱底面直径的四棱锥组合而成的,则其俯视图为图②.答案:①②③④9.一个几何体的三视图如图所示,请画出它的实物图.解:由三视图可知,该几何体由正方体和四棱柱组成,如图所示.10.导学号62180017如图所示是一个零件的实物图,画出这个几何体的三视图.解:该零件由一个长方体和一个半圆柱拼接而成,并挖去了一个小圆柱(形成圆孔).主视图反映了长方体的侧面和半圆的底面、小圆柱的底面,左视图反映了长方体的侧面、半圆柱的侧面、小圆柱的侧面,俯视图反映了长方体的底面、半圆柱的侧面和小圆柱的侧面投影后的形状.它的三视图如图所示.B组1.如图①②③分别为三个几何体的三视图,根据三视图可以判断这三个几何体依次分别为()图①图②图③A.三棱台、三棱柱、圆锥B.三棱台、三棱锥、圆锥C.三棱柱、正四棱锥、圆锥D.三棱柱、三棱台、圆锥解析:图①②③对应的原几何体分别是三棱柱、正四棱锥、圆锥,故选C.答案:C2.导学号62180018将正方体(如图1-(1)所示)截去两个三棱锥,得到图1-(2)中的几何体,则该几何体的左视图为(如图2所示)()图1图2解析:左侧被截去的三棱锥的底面三条边中,有两条与正方体的棱重合,另一条应为正方形自左上到右下的对角线,是可见的;右侧被截去的三棱锥的底面的三条边中,有两条与正方体的棱重合,另一条应为正方形自右上到左下(从左面看)的对角线,是不可见的.故选B.答案:B3.如图所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,高为3,则其左视图的面积为()A.6B.3C.3D.6解析:由三视图的画法可知,该几何体的左视图是一个矩形,其宽为2sin 60°=,长为3,故面积S=3.答案:C4.已知一几何体的主视图与左视图如图所示,则下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有()A.①②③⑤B.②③④⑤C.①②④⑤D.①②③④解析:可以结合实物想象,对于①,可认为该几何体的最下部为棱柱,上部为两个圆柱;对于②,可认为该几何体的上部为两个棱柱,下部为圆柱;对于③,可认为该几何体的上部为圆柱,下部为两个棱柱;对于④,可认为该几何体的上部是底面为等腰直角三角形的棱柱,中间为一圆柱,底部为四棱柱;对于⑤,由原几何体最下部的两个视图可知,其俯视图不可能是一个三角形.答案:D5.如图所示,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为.解析:根据三视图还原成实物图,即四棱锥P-ABCD,所以最长的一条棱的长为PB=2.答案:26.已知三棱锥的直观图及其俯视图与左视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,左视图是有一直角边长为2的直角三角形,则该三棱锥的主视图面积为.解析:三棱锥的主视图如图所示,故主视图的面积为×2×2=2.答案:27.下图是一个几何体的三视图,试画出其实物图.解:由几何体的三视图容易想到该几何体可以由正方体切割而得到,如图所示.俯视图8.导学号62180019一个棱长均为6的正三棱锥,其俯视图如图所示,求其主视图的面积和左视图的面积.解:作出正三棱锥的直观图如图所示,E为BD的中点,AO为三棱锥的高,由三棱锥的放置方式知,其主视图为三角形,底面边长为BD=6,其高等于AO,其左视图为三角形,底面边长等于CE(中线)的长,其高等于AO.在Rt△BCE中,BC=6,BE=3,得CE=3,CO=×CE=2.在Rt△ACO中,AC=6,CO=2,则AO==2,故主视图面积为×6×2=6,左视图的面积为×3×2=9.。
2020学年高中数学第1章立体几何初步章末检测试卷北师大版必修2
第1章立体几何初步章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有( )A．2对B．3对C．4对D．5对答案 C解析有3对侧面相互平行，上下两底面也相互平行．2．如图，B′C′∥x′轴，A′C′∥y′轴，则下面直观图所表示的平面图形是( )A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形考点平面图形的直观图题点由直观图还原平面图形答案 D解析因为B′C′∥x′轴，A′C′∥y轴，所以直观图中BC∥x轴，AC∥y轴，所以三角形是直角三角形．故选D.3．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( ) A．12对 B．24对 C．36对 D．48对考点题点答案 B解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AB异面的直线有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4对，正方体ABCD－A1B1C1D1有12条棱，排除重复计算的异面直线，∴异面直线共有12×2＝24(对)．4．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与轴所成的角为( ) A．30° B．45°C．60° D．75°考点题点答案 A解析设圆锥的母线长为L，底面圆的半径为r，则由题意得πrL＝2πr2，∴L＝2r，∴圆锥的母线与轴所成的角为30°.5．下列命题：①在平面外的直线与平面不相交必平行；②过平面外一点只有一条直线和这个平面平行；③如果一条直线与另一条直线平行，则它和经过另一条直线的任何平面平行；④若直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行于该平面．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 A解析①正确，②③④错误．6．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A．异面B．相交C．平行D．异面或相交考点题点答案 D解析如图所示，a，b是异面直线，AB，AC都与a，b相交，AB，AC相交；AB，DE都与a，b相交，AB，DE异面．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是( )A．①③ B．①④ C．②③ D．②④考点平行问题的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案 A解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊈平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF 与平面BC1D1相交，故②错误；∵FG∥BC1，FG⊈平面BC1D1，BC1平面BC1D1，FG∥平面BC1D1，故③正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，2，3，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A．3π B．6πC．18π D．24π考点 球的表面积题点 与外接、内切有关球的表面积计算问题 答案 B解析 将三棱锥补成边长分别为1，2，3的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R ＝6，解得R ＝62，故S ＝4πR 2＝6π. 9．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( ) A.316 B.916 C.38 D.932考点 题点 答案 A解析 如图所示，设球的半径为R ，由题意知OO ′＝R2，OF ＝R ，∴r ＝32R . ∴S 截面＝πr 2＝π⎝⎛⎭⎪⎫32R 2＝3π4R 2.又∵S 球＝4πR 2，∴S 截面S 球＝3π4R 24πR 2＝316. 10．已知直线l ⊈平面α，直线m 平面α，下面四个结论：①若l ⊥α，则l ⊥m ；②若l ∥α，则l ∥m ；③若l ⊥m ，则l ⊥α；④若l ∥m ，则l ∥α，其中正确的是( ) A ．①②④ B ．③④ C ．②③D ．①④考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行与垂直的判定 答案 D解析 由直线l ⊈平面α，直线m 平面α知，在①中，若l⊥α，则由线面垂直的性质得l⊥m，故①正确；在②中，若l∥α，则l与m 平行或异面，故②错误；在③中，若l⊥m，则l与α不一定垂直，故③错误；在④中，若l∥m，则由线面平行的判定定理得l∥α，故④正确．故选D.11．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是( )A．AE⊥CE B．BE⊥DEC．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE考点空间中的垂直问题题点空间中的垂直问题答案 C解析由AB是底面圆的直径可知，∠AEB＝90°，即AE⊥EB.∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB.∴BE⊥AD，AD∩AE＝A，因此BE⊥平面ADE.同理可得AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE.可得A，B，D正确．而DE⊥平面CEB不正确．故选C.12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°.侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是( )A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P－BC－A的大小为45°D．BD⊥平面PAC考点空间角问题题点空间角的综合应用答案 D解析对于A，取AD的中点M，连接PM，BM，∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD，又底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥BM，又PM∩BM＝M，∴AD⊥平面PBM，故A正确．对于B，∵AD⊥平面PBM，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确．对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PBM，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P－BC－A的平面角，设AB＝1，则BM＝32，PM＝32，在Rt△PBM中，tan∠PBM＝PMBM＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P－BC－A大小为45°，故C正确．错误的是D，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32倍，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积为(5＋2)π，则旋转体的体积为________．考点题点答案7π3解析如图所示的是旋转体的半轴截面，设直角梯形的上底长为r，则下底长为32r，∠C＝45°，所以DE ＝r2，DC ＝22r ，所以旋转体的表面积为S 表＝π·r 24＋2π·r 2·r ＋π·r 2·22r ＝π4r 2(5＋2)．又因为S 表＝(5＋2)π，所以r 2＝4，所以r ＝2， 所以V ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·r ＋13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22·r 2＝7π3.14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，MN 在平面BCC 1B 1内，MN ⊥BC 于点M ，则MN 与AD 的位置关系是________．考点 平面与平面垂直的性质题点 应用面面垂直的性质定理判定线线垂直 答案 垂直解析 ∵平面BCC 1B 1⊥平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC ，MN 平面BCC 1B 1， ∴MN ⊥平面ABCD .∴MN ⊥AD .15．已知平面α，β和直线m ，给出以下条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m α；④α∥β.要想得到m ⊥β，则所需要的条件是________．(填序号) 考点 直线与平面垂直的判定 题点 判定直线与平面垂直 答案 ②④解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，α∥β⇒m ⊥β.16.如图，已知点O 在二面角α－AB －β的棱上，点P 在α内，且∠POB ＝45°.若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有∠POQ ≥45°，则二面角α－AB －β的大小是________．考点 题点 答案 90°解析因为OP与平面β所成的角大于等于45°，所以OP与平面β所成的角最小为45°，即OP与OP在平面β内的射影所成的角最小是45°.又因为∠POB＝45°，所以AB就是OP 在平面β内的射影，所以α⊥β.所以二面角α－AB－β的大小是90°.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥B1C；(2)求证：AC1∥平面CDB1.考点题点证明(1)∵C1C⊥平面ABC，AC平面ABC，∴C1C⊥AC.∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩C1C＝C，BC，C1C平面BCC1B1，∴AC⊥平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD平面CDB1，AC1⊈平面CDB1.∴AC 1∥平面CDB 1.18．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ，BP ＝BC ＝2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PAD ； (2)求三棱锥E －ABC 的体积V . 考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的证明(1)证明 在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC .∵四边形ABCD 为矩形， ∴BC ∥AD ，∴EF ∥AD .又∵AD 平面PAD ，EF ⊈平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .(2)解 连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G .则EG ⊥平面ABCD ，且EG ＝12PA .在△PAB 中，AP ＝AB ，∠PAB ＝90°，BP ＝2， ∴AP ＝AB ＝2，EG ＝22. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×2＝2，∴V E －ABC ＝13S △ABC ·EG ＝13×2×22＝13.19.(12分)如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面ABCD ，BC ∥AD ，CD ＝1，AD ＝22，∠BAD ＝∠CDA ＝45°.(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明：CD ⊥平面ABF . 考点 直线与平面垂直的判定 题点 直线与平面垂直的证明(1)解 因为四边形ADEF 是正方形，所以FA ∥ED ， 故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角． 因为FA ⊥平面ABCD ，所以FA ⊥CD ，故ED ⊥CD .在Rt△CDE 中，因为CD ＝1，ED ＝22，所以CE ＝CD 2＋ED 2＝3，所以cos∠CED ＝ED CE ＝223.故异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223.(2)证明 如图，过点B 作BG ∥CD 交AD 于点G ，则∠BGA ＝∠CDA ＝45°.由∠BAD ＝45°可得BG ⊥AB ， 从而CD ⊥AB .又因为CD ⊥FA ，FA ∩AB ＝A ， 所以CD ⊥平面ABF .20.(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F ，F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1. 考点 线、面平行、垂直的综合应用 题点 平行、垂直综合问题的证明 证明 (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，又B1F1平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.21．(12分)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；(2)求证：BE⊥D1A.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)取AB的中点G，连接EG，FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG平面EFG，FG平面EFG，D1B∩BC＝B，D1B平面D1BC，BC平面D1BC，∴平面EFG∥平面D1BC.∵EF平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE.平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE.又∵D1A平面D1AE，∴BE⊥D1A.22.(12分)如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行、垂直综合问题的证明(1)证明 ∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，∴DM ∥AP .又∵DM ⊈平面APC ，AP 平面APC ，∴DM ∥平面APC .(2)证明 ∵△PMB 为正三角形，且D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB .又由(1)知，MD ∥AP ，∴AP ⊥PB .又已知AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，PB ，PC 平面PBC ，∴AP ⊥平面PBC ，∴AP ⊥BC .又∵AC ⊥BC ，AC ∩AP ＝A ，AC ，AP 平面ACP ，∴BC ⊥平面APC .又∵BC 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC .(3)解 由(2)知AP ⊥平面PBC ，又MD ∥AP ，∴MD ⊥平面PBC .∵AB ＝20，∴MB ＝10，∴PB ＝10.由(2)可知BC ⊥PC ，又BC ＝4，∴PC ＝100－16＝84＝221.∴S △BDC ＝12S △PBC ＝14PC ·BC ＝14×221×4＝221. 又MD ＝12AP ＝12202－102＝5 3.∴V 三棱锥D －BCM ＝V 三棱锥M －BCD ＝13S △BDC ·DM ＝13×221×53＝107.。
北师大版高中数学必修2同步测试题：第1章 第2节 直观图(斜二测画法)(含答案解析)
《空间几何体的直观图（斜二测画法）》同步测试题1.作出水平放置的正六边形的直观图2.作出水平放置的等边三角形的直观图3.作出水平放置的正五边形的直观图4.作出水平放置的直角梯形的直观图5.（1）作出长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的长方体的直观图；（2）作出底面半径为1cm ，高为3cm 的圆柱和圆锥的直观图6.已知斜二测画法得到的直观图A B C '''∆是正三角形,画出原三角形的图形．同步练习1、关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（ ）A ．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B ．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C ．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D ．斜二测坐标系取的角可能是135°2、下列说法正确的是（ ）A ．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B ．梯形的直观图可能是平行四边形C ．矩形的直观图可能是梯形D ．正方形的直观图可能是平行四边形3、如右图所示，该直观图表示的平面图形为（ ） ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．正三角形 4、下列几种说法正确的个数是（ ）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A ．1B ．2C ．3D ．45、下列结论正确的有①相等的线段在直观图中仍然相等。
②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。
③矩形的直观图是矩形。
④圆的直观图一定是圆。
⑤角的水平放置的直观图一定是角。
6、根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox 、Oy 、Oz 轴画成对应的x O ''、y O ''、z O ''，作y O x '''∠与z O x '''∠的度数分别为（ ）A ． 90,90B ． 90,45C ． 90,135D ． 45或 90,135 7、、一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为 （ ）（第3题图）A ．46B ．43C ．23D ．26 8、水平放置的矩形ABCD 长AB ＝4，宽BC ＝2，以AB 、AD 为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为( )A ．4 2B ．2 2C ．4D ．29、如图，正方形O′A′B′C′的边长为a cm(a>0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC 的周长是( )A ．8a cmB ．6a cmC ．(2a ＋22a) cmD ．4a cm10、已知正△ABC 的边长为a ，以它的一边为x 轴，对应的高线为y 轴，画出它的水平放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′的面积是( ) A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 11、一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m ，四棱锥的高为8m ，若按1:500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )A ．4cm,1cm,2cm,1.6cmB ．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC ．4cm,0.5cm,2cm,1.6cmD ．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm12、如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图形中△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形13、利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．14、一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面四边形的面积等于 ．15、 如图所示的是水平放置的三角形ABC 在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD 的长相等的线段有________条．16、水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．17、在棱长为1的正方体AC 1中，对角线AC 1在六个面上的投影长度总和是________．18、已知等边△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为616，则等边△ABC 的面积是多少？19、一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．① ②。
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册第一章达标检测(带答案)
第二部分阶段测试 第一章达标检测时间：120分钟 分数：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A .ab>0，bc<0 B ．ab>0，bc>0 C ．ab<0，bc>0 D ．ab<0，bc<0 2．已知点M(0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则点N 的坐标是( )A .(－2，－3)B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(－2，－1) 3．若直线l 1：x ＋(1＋m)y ＋m －2＝0和直线l 2：mx ＋2y ＋8＝0平行，则m 的值为( )A .1B ．－2C ．1或－2D ．－234．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A .x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝05．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A .第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．经过点(1，0)且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A .(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C .x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 7．直线y ＝kx ＋1与圆(x －2)2＋(y －1)2＝4相交于P ，Q 两点．若|PQ|≥2 2 ，则k 的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．[－1，1] D ．[－ 3 ， 3 ]8．设有一组圆C k ：(x －1)2＋(y －k)2＝k 4(k∈N ＋)，给出下列四个命题：①存在k ，使圆与x 轴相切；②存在一条直线与所有的圆均相交；③存在一条直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中正确的命题序号是( )A.①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到l 1，l 2的距离，则称(x ，y )为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是( )A.距离坐标为(0，0)的点有1个B.距离坐标为(0，1)的点有2个C.距离坐标为(1，2)的点有4个D.距离坐标为(x ，x )的点在一条直线上10．已知圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )A ．圆M 的圆心在定直线x －y －2＝0上B ．圆M 的面积的最大值为50πC ．圆M 的半径的最小值为1D ．满足条件的所有圆M 的半径之积为1011．已知圆O ：x 2＋y 2＝9和圆M ：x 2＋y 2＋6x －4y ＋9＝0交于P ，Q 两点，下列说法正确的是( )A.两圆有两条公切线B.直线PQ 的方程为3x －2y ＋9＝0C.线段PQ 的长为61313D.所有过点P ，Q 的圆的方程可以记为x 2＋y 2－9＋λ(x 2＋y 2＋6x －4y ＋9)＝0(λ∈R ，λ≠－1)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．过圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是________________.13．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，则直线l 的方程为________________.14．[双空题]已知圆C ：x 2＋y 2＋2(a －1)x －12y ＋2a 2＝0.当圆C 的面积最大时，实数a 的值为________；若此时圆C 关于直线l ：mx ＋ny －6＝0(m >0，n >0)对称，则mn3m ＋n 的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3，2)，B (4，3)，C (－1，－2).(1)求△ABC 中，BC 边上的高线所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．16.(本小题满分15分)已知圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)判断直线l 与圆C 的位置关系； (2)若直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ，且|AB |＝32 ，求直线l 的方程．17．(本小题满分15分)已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上． (1)若动圆C 过点(－5，0)，求圆C 的方程； (2)是否存在正实数r ，使得动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r 的值；若不存在，请说明理由．18．(本小题满分17分)①圆心C在直线l：2x－7y＋8＝0上，且B(1，5)是圆上的点；②圆心C在直线x－2y＝0上，但圆C不经过点(4，2)，并且直线4x－3y＝0与圆C相交所得的弦长为4；③圆C过直线l：2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－16＝0的交点．在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题：平面直角坐标系xOy中，圆C过点A(6，0)，且________．(1)求圆C的标准方程；(2)求过点A的圆C的切线方程．19．(本小题满分17分)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使得∠BPA＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第一章达标检测1．解析：由题意，令x ＝0，得y ＝－cb >0；令y ＝0，得x ＝－c a>0.即bc <0，ac <0，从而ab >0.答案：A2．解析：由点N 在直线x －y ＋1＝0上，排除A ，B.由k MN ＝2，排除D.故选C. 答案：C 3．解析：∵直线l 1：x ＋(m ＋1)y ＋m －2＝0与l 2：mx ＋2y ＋8＝0平行，∴m (m ＋1)＝1×2，解得m ＝1或m ＝－2.当m ＝－2时，直线l 1：x －y －4＝0，l 2：x －y －4＝0，l 1与l 2重合，故舍去；当m ＝1时，l 1∥l 2.∴m ＝1.故选A.答案：A4．解析：将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”，在直线x －2y ＋1＝0上取一点P (3，2)，点P 关于直线x ＝1的对称点P ′(－1，2)必在所求直线上，只有选项D 满足．答案：D5．解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，由于圆心位于第三象限，所以a <0，b >0.直线方程x ＋ay ＋b ＝0可化为y ＝－1a x －b a .因为－1a >0，－ba >0，所以直线不经过第四象限．答案：D6．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝2， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1，1).由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.答案：B7．解析：若|PQ |≥22 ，则圆心(2，1)到直线y ＝kx ＋1的距离d ≤ 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222 ＝2 ，即|2k |1＋k 2≤2 ，解得－1≤k ≤1. 答案：C8．解析：命题①中，当k ＝1时，圆心(1，1)，半径r ＝1，满足与x 轴相切，故①正确；命题②③中，圆心(1，k )恒在直线kx －y ＝0上，该线与圆一定相交，故②正确，只要k 足够大，对任意直线，总有直线与圆相交，故③错误；命题④中，若(0，0)在圆上，则1＋k 2＝k 4，而k ∈N ＋，若k 是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解，若k 是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，故④正确．故选C.答案：C9．解析：对于A ，若距离坐标为(0，0)，即P 到两条直线的距离都为0，P 为两直线的交点，即距离坐标为(0，0)的点只有1个，A 正确；对于B ，若距离坐标为(0，1)，即P 到直线l 1的距离为0，到直线l 2的距离为1，P 在直线l 1上，到直线l 2的距离为1，符合条件的点有2个，B 正确；对于C ，若距离坐标为(1，2)，即P 到直线l 1的距离为1，到直线l 2的距离为2，有4个符合条件的点，即与直线l 1相距为2的两条平行线和与直线l 2相距为1的两条平行线的交点，C 正确；对于D ，若距离坐标为(x ，x )，即P 到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x ，x )的点在2条相互垂直的直线上，D 错误．故选ABC.答案：ABC10．解析：∵圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，∴直线AM 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，∴直线AM 的斜率为1，则点M 在直线y ＝x －2，即x －y －2＝0上，A 正确；设M (a ，a －2)，∴圆M 的半径r ＝|AM |＝a 2＋（a －2＋2）2 ＝2 |a |，∴圆M 被x 轴截得的弦长为2r 2－（a －2）2 ＝2a 2＋4a －4 ＝2，解得a ＝－5或a ＝1，当a ＝－5时，圆M 的面积最大，为πr 2＝50π，B 正确；当a ＝1时，圆M 的半径最小，为2 ，C 错误；满足条件的所有圆M 的半径之积为52 ×2 ＝10，D 正确．故选ABD.答案：ABD11．解析：A ，因为圆O ：x 2＋y 2＝9和圆M ：x 2＋y 2＋6x －4y ＋9＝0相交于P ，Q 两点，所以两圆有两条公切线，故正确；B ，圆O ：x 2＋y 2＝9和圆M ：x 2＋y 2＋6x －4y ＋9＝0的方程相减得3x －2y ＋9＝0，所以直线PQ 的方程为3x －2y ＋9＝0，故正确；C ，圆心O 到直线PQ 的距离为d ＝99＋4＝91313，所以线段PQ 的长|PQ |＝2r 2－d 2＝2 9－8113 ＝121313，故错误；D ，因为λ∈R ，λ≠－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x 2＋y 2＋6x －4y ＋9＝0， 可知该圆恒过P ，Q 两点，方程可化为x 2＋y 2＋6λx 1＋λ －4λy 1＋λ ＋9λ－91＋λ ＝0，而(6λ1＋λ )2＋(4λ1＋λ )2－49λ－91＋λ ＝16λ2＋36（1＋λ）2 >0，所以方程x 2＋y 2－9＋λ(x 2＋y 2＋6x －4y ＋9)＝0(λ∈R ，λ≠－1)表示圆，但不包括圆M ，故错误．故选AB.答案：AB12．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ 代入2x ＋4y －1＝0，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝013．解析：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行． 设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13 ，d 2＝|m ＋13|13 ，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0. 答案：3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝014．解析：圆C 的方程可化为[x ＋(a －1)]2＋(y －6)2＝－a 2－2a ＋37，当a ＝－1时，－a 2－2a ＋37取得最大值38，此时圆C 的半径最大，面积也最大；当a ＝－1时，圆心坐标为(2，6)，圆C 关于直线l ：mx ＋ny －6＝0(m >0，n >0)对称，则点(2，6)在直线上，所以2m＋6n －6＝0，即m ＋3n ＝3，由题得mn 3m ＋n ＝11m ＋3n，所以1m ＋3n ＝13 (m ＋3n )(1m ＋3n )＝13(10＋3n m ＋3m n )≥13(10＋2 3n m ×3m n )＝163 ，当且仅当3n m ＝3m n ，即m ＝n ＝34时取等号，所以mn 3m ＋n ＝11m ＋3n≤316.答案：－131615．解析：(1)∵直线BC 的斜率k BC ＝3＋24＋1 ＝1，∴BC 边上的高线所在直线的斜率k ＝－1.∴BC 边上的高线所在直线的方程为y －2＝－(x ＋3)， 即x ＋y ＋1＝0.(2)∵B (4，3)，C (－1，－2)，∴|BC |＝（－2－3）2＋（－1－4）2＝52 .由B (4，3)，C (－1，－2)，得直线BC 的方程为x －y －1＝0，∴点A 到直线BC 的距离d ＝|－3－2－1|2 ＝32 ，∴S △ABC ＝12×52 ×32 ＝15.16．解析：(1)圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝5，所以圆C 的圆心为C (0，1)，半径r＝5 ，圆心C (0，1)到直线l ：mx －y ＋1－m ＝0的距离d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1 ＝|m |m 2＋1 <1<5 ，因此直线l 与圆C 相交．(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝（5）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝22 .又d ＝|m |m 2＋1 ，|m |m 2＋1＝22，解得m ＝±1，∴直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. 17．解析：(1)依题意，可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25， 其中圆心(a ，b )满足a －b ＋10＝0. 又因为动圆过点(－5，0)，所以(－5－a )2＋(0－b )2＝25，联立⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，（－5－a ）2＋（0－b ）2＝25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝0， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5.故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25.(2)圆O 的圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝52 .当r 满足r ＋5<d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆； 当r 满足r ＋5>d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切； 当r 满足r ＋5＝d ，即r ＝52 －5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切． 故当动圆C 中与圆O 相外切的圆仅有一个时，r ＝52 －5. 18．解析：选①条件．(1)方法一：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（6－a ）2＋（0－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（5－b ）2＝r 2，2a －7b ＋8＝0，解得a ＝3，b ＝2，r 2＝13，∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝13. 方法二：设线段AB 的垂直平分线为m ，则圆心C 在直线m 上且在直线l 上，即C 是m 与l 的交点， 直线AB 的斜率是－1，直线m 的斜率是1，AB 中点为(72 ，52 )，∴直线m ：x －y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －7y ＋8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， ∴圆心C (3，2)且|CA |＝13 ，∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝13.(2)∵A 在圆C 上，k AC ＝－23 ，过点A 的切线斜率为32 ，∴过点A 的切线方程是y ＝32 (x －6)，即3x －2y －18＝0.选②条件．(1)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得a ＝2b ，设圆心C 到直线4x －3y ＝0的距离为d ，r 2＝(a －6)2＋b 2， 由垂径定理可知r 2＝d 2＋22，即(|4a －3b |5 )2＋4＝(a －6)2＋b 2，将a ＝2b 代入得，b 1＝2，b 2＝4， 又∵圆C 不经过点(4，2)，∴a ＝8，b ＝4，r 2＝20，∴所求圆的方程是(x －8)2＋(y －4)2＝20.(2)∵A 在圆C 上，k AC ＝2，过点A 的切线斜率为－12 ，∴过点A 的切线方程是y ＝－12(x －6)，即x ＋2y －6＝0.选③条件．(1)方法一：设所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －4y －16＋λ(2x ＋y ＋4)＝0， 代入点A (6，0)得λ＝－2，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －6y －24＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝34.方法二：设直线l ：2x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －16＝0的交点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －16＝0， 即5x 2＋26x ＋16＝0，解得x 1＝－13＋895 ，x 2＝－13－895，∴E (－13＋895 ，6－2895 )，F (－13－895 ，6＋2895)，设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，将A ，E ，F 代入，得所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝34.(2)∵A 在圆C 上，k AC ＝－35 ，过点A 的切线斜率为53 ，∴过点A 的切线方程是y ＝53(x －6)，即5x －3y －30＝0.19．解析：(1)如图，连接PC ，由点P 在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－2－34x .圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C (1，1)，半径为1.所以S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2×12 ×|AP |×|AC |＝|AP |.因为|AP |2＝|PC |2－|CA |2＝|PC |2－1，所以当|PC |2最小时，|AP |最小．因为|PC |2＝(1－x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋34x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋1 2＋9，所以当x ＝－45 时，|PC |2min ＝9，所以|AP |min ＝9－1 ＝22 ，即四边形PACB 面积的最小值为22 .(2)假设直线上存在点P 满足题意．因为∠BPA ＝60°，|AC |＝1，所以|PC |＝2.设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝4，3x ＋4y ＋8＝0，整理可得25x 2＋40x ＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P 是不存在的．。
北师大版2018-2019学年高中数学必修2全册习题含解析
北师大版高中数学必修二全册同步习题含解析目录第1章立体几何初步 1.1.1习题第1章立体几何初步 1.1.2习题第1章立体几何初步 1.2习题第1章立体几何初步 1.3.1习题第1章立体几何初步 1.3.2习题第1章立体几何初步 1.4.1习题第1章立体几何初步 1.4.2习题第1章立体几何初步 1.5.1.1习题第1章立体几何初步 1.5.1.2习题第1章立体几何初步 1.5.2习题第1章立体几何初步 1.6.1.1习题第1章立体几何初步 1.6.1.2习题第1章立体几何初步 1.6.2习题第1章立体几何初步 1.7.1习题第1章立体几何初步 1.7.2习题第1章立体几何初步 1.7.3习题第1章立体几何初步习题课习题第1章立体几何初步检测习题第2章解析几何初步 2.1.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.1习题第2章解析几何初步 2.1.2.2习题第2章解析几何初步 2.1.3习题第2章解析几何初步 2.1.4习题第2章解析几何初步 2.1.5.1习题第2章解析几何初步 2.1.5.2习题第2章解析几何初步 2.2.1习题第2章解析几何初步 2.2.2习题第2章解析几何初步 2.2.3.1习题第2章解析几何初步 2.2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.1-2.3.2习题第2章解析几何初步 2.3.3习题第2章解析几何初步检测习题模块综合检测习题北师大版2018-2019学年高中数学必修2习题01第一章立体几何初步§1简单几何体1.1简单旋转体1.下列说法正确的是()A.圆锥的母线长等于底面圆直径B.圆柱的母线与轴垂直C.圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心答案:D2.下面左边的几何体是由选项中的哪个图形旋转得到的()解析:选项B中的图形旋转后为两个共底面的圆锥;选项C中的图形旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体;选项D中的图形旋转后为两个圆锥与一个圆柱的组合体.答案:A3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面一定是圆面,则这个几何体是()A.圆锥B.圆柱C.球D.圆台答案:C4.AB为圆柱下底面内任一不过圆心的弦,过AB和上底面圆心作圆柱的一截面,则这个截面是()A.三角形B.矩形C.梯形D.以上都不对解析:如图所示,由于圆柱的上下底面相互平行,故过AB和上底面圆心作圆柱的一截面与上底面的交线CD 必过上底面圆心,且CD∥AB,在圆柱的侧面上,连接A,C(或B,D)两点的线是曲线,不可能是直线.故这个截面是有两条边平行、另两边是曲线的曲边四边形.故选D.答案:D5.以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得的几何体是()A.两个圆锥拼接而成的组合体B.一个圆台C.一个圆锥D.一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析:如图所示.旋转一周后其他两边形成的几何体为在圆锥AO的底部挖去一个同底的圆锥BO.答案:D6.点O1为圆锥高上靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的()A.13B.23C.14D.19解析:如图所示,由题意知SO1∶SO=1∶3,∴O1B∶OA=1∶3,∴S☉O1∶S☉O=1∶9,故选D.答案:D7.下列说法中错误的是.①过圆锥顶点的截面是等腰三角形;②过圆台上底面中心的截面是等腰梯形;③圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个.答案:②8.若过轴的截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r,则其轴截面的面积为.解析:由圆锥的结构特征,可知若过轴的截面为直角三角形,则为等腰直角三角形,其斜边上的高为r,所以S=12×2r2=r2.答案:r29.已知圆锥的母线与旋转轴所成的角为30°,母线的长为2,则其底面面积为.解析:如图所示,过圆锥的旋转轴作截面ABC,设圆锥的底面半径为r,底面圆心为O.∵△ABC为等腰三角形,∴△ABO为直角三角形.又∠BAO=30°,∴BO=r=1AB=2.∴底面圆O的面积为S=πr2=π2.答案:π10.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面的半径比是1∶4,母线长是10 cm,求这个圆锥的母线长.分析:处理有关旋转体的问题时,一般要作出其过轴的截面,在这个截面图形中去寻找各元素之间的关系.解:设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面的半径分别为x cm,4x cm.作圆锥过轴的截面如图所示.在Rt△SOA中,O'A'∥OA,则SA'SA =O'A'OA,即y-10y =x4x,解得y=403.故圆锥的母线长为40cm.11.圆锥的底面半径为r,母线长是底面半径的3倍,在底面圆周上有一点A,求一个动点P自点A出发在侧面上绕一周回到点A的最短路程.解:沿圆锥的母线SA将侧面展开,如图所示.则线段AA1就是所求的最短路程.∵弧A1A的长为2πr,SA=3r,设弧A1A所对的圆心角为α,∴απ·3r=2πr,∴α=120°.∴AA1=SA·cos30°×2=3r×3×2=33r,即所求最短路程是33r.1.2简单多面体1.关于棱柱,下列说法正确的是()A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行,侧棱也互相平行解析:正方体可以有六个面平行,故选项A错误;长方体并不是所有的棱都相等,故选项B错误;三棱柱的底面是三角形,故选项C错误;由棱柱的概念知,两底面平行,侧棱也互相平行,故选项D正确.答案:D2.一个正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是()A.正三棱锥B.正四棱锥C.正五棱锥D.正六棱锥解析:由于正六边形的中心到顶点的距离与边长都相等,故正六棱锥的侧棱长必大于底面边长.答案:D3.棱台不一定具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱都相等D.侧棱延长后都交于一点解析:由棱台的定义可知,棱台是用平行于棱锥底面的平面去截棱锥而得到的,所以A,B,D选项都成立,只有选项C不一定成立.答案:C4.下列图形中,不是三棱柱的展开图的是()解析:根据三棱柱的结构特征知,A,B,D中的展开图都可还原为三棱柱,但是C中展开图还原后的几何体没有下底面,故不是三棱柱的展开图.答案:C5.下列说法正确的个数为()①存在斜四棱柱,其底面为正方形;②存在棱锥,其所有面均为直角三角形;③任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;④矩形绕任意一条直线旋转都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析:①存在斜四棱柱,其底面为正方形,正确.②正确.如图所示.③不正确,圆锥轴截面的顶角小于90°时就不存在.④不正确,矩形绕其对角线所在直线旋转,不能围成圆柱.故答案为B.答案:B6.用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥,截得的棱台上、下底面的面积之比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是()A.12 cmB.9 cmC.6 cmD.3 cm解析:棱台的上、下底面的面积之比为1∶4,则截去的棱锥的高与原棱锥的高的比为1∶2,棱台的高是3cm.答案:D7.有下列四个结论:①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥;②底面是正多边形的棱锥是正棱锥;③三棱锥的所有面可能都是直角三角形;④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形.其中正确的有(填正确结论的序号).答案:③④8.如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.解析:如图所示,假设以AB边固定进行倾斜,则几何体BB2C2C-AA2D2D一定为棱柱.答案:棱柱9.在侧棱长为23的正三棱锥P−ABC中,∠APB=40°,E,F分别是PB,PC上的点,过点A,E,F作截面AEF,则△AEF周长的最小值是.解析:将正三棱锥的三个侧面展开,如图所示.则当E,F为AA1与PB,PC的交点时,△AEF的周长最小,最小值为2AP·cos30°=2×23×3=6.答案:610.把右图中的三棱台ABC-A1B1C1分成三个三棱锥.解:如图所示,分别连接A1B,A1C,BC1,则将三棱台分成了三个三棱锥,即三棱锥A-A1BC,B1-A1BC1,C-A1BC1.(本题答案不唯一)11.试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干,连接后构成以下空间几何体,并且用适当的符号表示出来.(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥.(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.(3)三棱柱.解:(1)如图所示,三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一).(2)如图所示,三棱锥B1-ACD1(答案不唯一).(3)如图所示,三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一).★12.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上的一点,且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线的长为设这条最短路线与CC1的交点为N.求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长;(2)求PC和NC的长.解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,其对角线长为92+42=97.(2)如图所示,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上,则点P旋转到点P1的位置,连接MP1交CC1于点N,则MP1的长等于由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长.设PC=x,则P1C=x.在Rt△MAP1中,由勾股定理,得(3+x)2+22=29,解得x=2,所以PC=P1C=2,又NCMA =P1CP1A=25,所以NC=45.§2直观图1.关于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形解析:根据斜二测画法的规则知,正方形的直观图为平行四边形.答案:B2.水平放置的△ABC,有一条边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析:根据斜二测画法的规则,可知△ABC中有一个角是钝角,所以△ABC是钝角三角形.答案:C3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()答案:C4.对于一条边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角形面积的()A.2倍B.2C.2D.1解析:由于平行于y轴的线段其平行性不变,长度变为原来的一半,又直观图中∠x'O'y'=45°,设原三角形的面积为S,其直观图的面积为S',则S'=1×2S=2S.答案:B5.一个水平放置的三角形的直观图是等腰直角三角形A'B'O',如图所示,若O'B'=1,那么原△ABO的面积是()A.12B.22C.2D.22解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O'A'=22,∴S△AOB=12×1×22= 2.故选C.答案:C6.已知△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图,如图所示,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析:由斜二测画法,可知原图形为直角三角形.AC为斜边,D为BC的中点,故AC>AD,故最长线段为AC.答案:D7.一个平面图形的斜二测直观图是腰长为2的等腰直角三角形,如图,则其平面图形的面积为.答案:48.已知正三角形ABC的边长为a,则水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为.解析:图①、图②分别为实际图形和直观图.由图可知A'B'=AB=a,O'C'=1OC=3a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=2O′C′=6a.所以S△A'B'C'=12A′B′·C'D'=12×a×68a=616a2.答案:616a29.在等腰梯形ABCD中,上底边CD=1,AD=CB=2,下底边AB=3,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的面积为.解析:等腰梯形ABCD的高为1,且直观图A'B'C'D'仍为梯形,其高为1sin45°=2,故面积为1×(1+3)×2= 2.答案:2210.画出如图所示放置的直角三角形的直观图.解:画法:(1)画x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°(如图②所示);(2)在原图中作BD⊥x轴,垂足为D(如图①所示);(3)在x'轴上截取O'A'=OA,O'D'=OD,在y'轴上截取O'C'=12OC,过D'作B'D'∥y'轴,使D'B'=1BD;(4)连线成图(擦去辅助线)(如图③所示).11.用斜二测画法得到一水平放置的Rt△ABC,AC=1,∠ABC=30°,如图所示,试求原三角形的面积.解:如图所示,作AD⊥BC于点D,令x'轴与y'轴的交点为E,则DE=AD,在Rt△ABC中,由∠ABC=30°,AC=1,可知BC=2,AB= 3.由AD⊥BC,AD=DE,可知AD=32,AE=62,由斜二测画法可知,原三角形A'B'C'中,B'C'=BC=2,A'E'=2AE=6,且A'E'⊥B'C',所以S△A'B'C'=1B′C′·A'E'=1×2×6= 6.★12.画水平放置的圆锥的直观图.分析用斜二测画法画水平放置的圆锥的直观图,由于圆锥底面可以看作是水平放置的,因此,只需先画轴,再画底面和高即可.解:(1)画轴,如图所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°;(2)画圆锥的底面,画出底面圆的直观图,与x轴交于A,B两点;(3)画圆锥的顶点,在Oz上截取点P,使得PO等于圆锥的高;(4)连线成图,连接P A,PB,并加以整理(擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),得圆锥的直观图.§3三视图3.1简单组合体的三视图1.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是()解析:截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B.答案:B2.下列各几何体的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④解析:①中正方体的三视图均相同;②中圆锥的主视图和左视图相同;③中三棱台的三视图各不相同;④中正四棱锥的主视图和左视图相同.答案:D3.某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是()解析:D选项的主视图为,故不可能是D选项.答案:D4.如图所示,若△A'B'C'为正三角形,与底面不平行,且CC'>BB'>AA',则多面体的主视图为()解析:因为△A'B'C'为正三角形,面A'B'BA向前,所以主视图不可能是A,B,C三个选项,只能是D.答案:D5.“牟台方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图所示,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是()答案:B6.如图所示,画出四面体AB1CD1三视图中的主视图,若以面AA1D1D为投影面,则得到的主视图为()解析:显然AB1,AC,B1D1,CD1分别投影得到主视图的外轮廓,B1C为可见实线,AD1为不可见虚线.故A正确.答案:A★7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为()设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,且F是棱DD1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的左视图应选C.答案:C8.如图所示,图①②③是图④表示的几何体的三视图,其中图①是,图②是,图③是(填写视图名称).解析:由三视图可知,①为主视图,②为左视图,③为俯视图.答案:主视图左视图俯视图9.如图(a)所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为正方体的中心,则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是图(b)中的(把可能的序号都填上).图(a)图(b)解析:要考虑△P AC在该正方体各个面上的射影,在上、下两个面上的射影是①,在前后左右四个面上的射影是④.答案:①④10.(1)画出如图①所示组合体的三视图;(2)图②所示的是一个零件的直观图,试画出这个几何体的三视图.图①图②解(1)该组合体是由一个四棱柱和一个圆锥拼接而成,其三视图如图所示.(2)作出三视图如图所示.★11.如图是根据某一种型号的滚筒洗衣机抽象出来的几何体,数据如图所示(单位:cm).试画出它的三视图.解这个几何体是由一个长方体挖去一个圆柱体构成的,三视图如图所示.3.2由三视图还原成实物图1.若一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆,则这个几何体可能是()A.圆柱B.圆台C.圆锥D.棱台答案:B2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.棱台B.棱柱C.棱锥D.以上均不对解析:由相似比,可知几何体的侧棱相交于一点.答案:A3.如图所示是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,则该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析:由俯视图排除B,C选项;由主视图、左视图可排除A选项,故选D.答案:D4.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体是()A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台解析:因为主视图和左视图为三角形,可知几何体为锥体.又俯视图为四边形,所以该几何体为四棱锥,故选B.答案:B5.如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱解析:由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,经分析可知该几何体为三棱柱,故选B.答案:B6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于()A.1B.2C.3D.4解析:由三视图画出直观图如图所示,判断这个几何体是底面边长为6,8,10的直角三角形,高为12的躺下的直=2,这就是做成的最大球的半径.三棱柱,直角三角形的内切圆的半径为r=6+8-102答案:B7.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,连接AC,得到三棱锥C-ABD,其主视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示),其左视图的面积为.解析:如图所示,根据两个视图可以推知折起后∠CEA=90°,其侧视图是一个两直角边长为1的等腰直角三.角形,所以左视图的面积为12答案:18.用n个体积为1的正方体搭成一个几何体,其主视图、左视图都是如图所示的图形,则n的最大值与最小值之差是.解析:由主视图、左视图可知,正方体个数最少时,底层有3个小正方体,上面有2个,共5个;个数最多时,底层有9个小正方体,上面有2个,共11个.故n的最大值与最小值之差是6.答案:69.下图是一个几何体的三视图,想象该几何体的几何结构特征,画出该几何体的形状.解由于俯视图中有一个圆和一个四边形,则该几何体是由旋转体和多面体构成的组合体,结合左视图和主视图,可知该几何体是由上面一个圆柱、下面一个四棱柱拼接成的组合体.该几何体的形状如图所示.★10.已知几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.解由三视图可知其几何体是底面边长为2,高为3的正六棱锥,其直观图如图所示.§4空间图形的基本关系与公理第1课时平面性质1.两个平面重合的条件是()A.有四个公共点B.有无数个公共点C.有一条公共直线D.有两条相交公共直线解析:由两条相交直线确定一个平面知D选项正确.答案:D2.与“直线l上两点A,B在平面α内”含义不同的是()A.l⫋αB.直线l在平面α内C.直线l上只有这两个点在平面α内D.直线l上所有的点都在平面α内答案:C3.有下列说法:①梯形的四个顶点在同一平面内;②三条平行直线必共面;③有三个公共点的两个平面必重合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,故①正确;两条平行直线确定1个平面,三条平行直线确定1个或3个平面,故②错误;三个公共点可以同在两个相交平面的交线上,故③错误.答案:B4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()①P∈a,P∈α⇒a⫋α;②a∩b=P,b⫋β⇒a⫋β;③a∥b,a⫋α,P∈b,P∈α⇒b⫋α;④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.A.①②B.②③C.①④D.③④答案:D5.三棱台ABC-A'B'C'的一条侧棱AA'所在直线与平面BCC'B'之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内解析:棱台就是棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥得到的,所以延长棱台各侧棱可以恢复成棱锥的形状,由此可知三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.答案:A6.如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,且C∉l,则平面ABC与平面β的交线是()A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD解析:由题意知,平面ABC与平面β有公共点C,根据公理3,这两平面必定相交,有且只有一条经过C的交线,由于两点确定一条直线,所以只要再找到两平面的另一个公共点即可.显然点D在直线AB上,从而它在平面ABC内,而点D又在直线l上,所以它又在平面β内,所以点D也是平面ABC与平面β的公共点.因此平面ABC 与平面β的交线是直线CD.答案:D7.已知点P在平面α外,点A,B,C在平面α内且不共线,A',B',C'分别在P A,PB,PC上,若A'B',B'C',A'C'与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点()A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析:本题考查三点关系,根据两平面公共点在其交线上,知D,E,F三点共线,故选D.答案:D8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形解析:如图所示,作GR∥PQ交C1D1于G,延长QP与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE.同理延长PQ交CD延长线于点N,连接NG交DD1于F,连接QF.所以截面PQFGRE为六边形.故选D.答案:D9.四条线段首尾相接得到一个四边形,当且仅当它的两条对角线时,能得到一个平面图形.解析:由公理1,2知当两条对角线相交时为平面图形,当两条对角线不共面时为空间四边形.答案:相交10.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面的位置关系是.解析:当三点在另一个平面同侧时,这两个平面平行,当三点不在另一个平面同侧时,这两个平面相交.答案:平行或相交11.过已知直线a外的一点P,与直线a上的四个点A,B,C,D分别画四条直线,求证:这四条直线在同一平面内.证明:如图所示,因为点P在直线a外,所以过直线a及点P可作一平面α,因为A,B,C,D均在a上,所以A,B,C,D均在α内,所以直线P A,PB,PC,PD上各有两个点在α内,由公理2可知,直线P A,PB,PC,PD均在平面α内,故这四条直线在同一平面内.12.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体下底面相交于直线l.试画出直线l的位置,并说明理由.解:如图所示,连接DM并延长,交D1A1的延长线于点P',连接NP',则直线NP'即为所求直线l.理由如下: 如图所示,连接DN,∵P'=DM∩D1A1,且DM⫋平面DMN,D1A1⫋平面A1B1C1D1,∴P'∈平面DMN∩平面A1B1C1D1.又N∈平面DMN∩平面A1B1C1D1,∴由公理3知,直线NP'为平面DMN与平面A1B1C1D1的交线.第2课时 异面直线所成的角1.若直线a ∥b ,b ∩c=A ,则直线a 与c 的位置关系是( ) A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交答案:D2.在三棱锥A-BCD 中,E ,F ,G 分别是AB ,AC ,BD 的中点,如果AD 与BC 所成的角是60°,那么∠FEG 为( ) A .60° B .30°C .120°D .60°或120° 解析:异面直线AD 与BC 所成的角可能等于∠FEG ,也可能等于∠FEG 的补角.答案:D3.若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( ) A .l 1⊥l 4 B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定解析:因为l 2∥l 3,所以l 1⊥l 3,l 3⊥l 4.实质上就是l 1与l 4同垂直于一条直线,所以l 1⊥l 4,l 1∥l 4,l 1与l 4既不垂直也不平行都有可能成立,故l 1与l 4的位置关系不确定. 答案:D4.如图,在某个正方体的表面展开图中,l 1,l 2是两条面对角线,则在正方体中,l 1与l 2( ) A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为60° D.相交且夹角为60°解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B ,C 两点重合.故l 1与l 2相交,连接AD ,△ABD 为正三角形,所以l 1与l 2的夹角为60°. 答案:D5.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若点E ,F 分别在AB ,AC 上,且AE=13AB ,AF=13AC ,则下列说法正确的是( ) A.EF ⊥BB 1 B.EF ∥A 1B 1 C.EF ∥B 1C 1D.EF ∥AA 1解析:∵AE=1AB ,AF=1AC ,∴EF ∥BC.又ABC-A1B1C1为棱柱,∴BC∥B1C1.∴EF∥B1C1.答案:C6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥cD.分别在两个平面内的直线是平行直线解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:90°9.如图所示,在四棱锥C-ABED中,底面ABED是梯形.若AB∥DE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,∵P,F分别是CE,CD的中点,∴PF∥ED,且PF=1ED.2又AB∥ED,且DE=2AB,∴AB∥PF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,∴BP∥AF.答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E是PC上不重合的两点,F,H分别是P A,PB上的点,且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线.证明∵P A∩PC=P,∴P A,PC确定一个平面α.∵E∈PC,F∈P A,∴E∈α,F∈α,∴EF⫋α.∵D∈PC,∴D∈α,且D∉EF.又PB∩α=P,H∈PB,且点H与点P不重合,∴H∉α,DH∩α=D,且DH与EF不相交,于是直线EF和DH是异面直线.★11.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且AE=BF=1,EF=5,求AB和CD所成的角的大小.解如图所示,过点E作EO∥AB,交BD于点O,连接OF,所以AEED =BOOD,所以BOOD=BFFC,所以OF∥CD.所以∠EOF或其补角是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=2AB=2,OF=1CD=1,又EF=5,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.即异面直线AB和CD所成的角为90°.★12.在梯形ABCD中(如图①所示),AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C'D'的位置,G,H分别为AD'和BC'的中点,得到如图②所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.。
【课堂新坐标】高中数学北师大版必修二练习：2.1.1直线的倾斜角和斜率（含答案解析）
学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题一、选择题1．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2的倾斜角为θ，若l 1与l 2关于y 轴对称，则θ的值为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180° 【解析】【解析】 由对称性知θ＝180°－45°＝135°135°.. 【答案】【答案】 C2．直线l 经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．135°或225°D ．0°【解析】【解析】 由k ＝－1－0－1－0＝1，知tan α＝1，α＝45°45°. . 【答案】【答案】 A3．过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则a 等于( ) A ．－8 B ．10 C ．2 D ．4 【解析】【解析】 ∵k ＝4－a a ＋2＝－12，∴a ＝10.【答案】【答案】 B4．已知三点A (2，－3)，B (4,3)及C èæøö5，k 2在同一条直线上，则k 的值是( )A ．7B ．9C ．11D ．12 【解析】【解析】 若A 、B 、C 三点在同一条直线上，则k AB ＝k AC ，即3＋34－2＝k2＋35－2，解得k ＝12. 【答案】【答案】 D5．直线l 过点A (1,2)且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C.ëéûù0，12D.ëéøö0，12 【解析】【解析】 如图，当k ＝0时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限，∴由k OA ＝2－01－0＝2，知k ∈[0,2]． 【答案】【答案】 A 二、填空题二、填空题6．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是________．【解析】【解析】 k ＝2a －＋a 3－－a＝a －12＋a ，因为倾斜角为钝角，，因为倾斜角为钝角， 所以k <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.【答案】【答案】 (－2,1)7．已知点M 的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点N ，若k MN ＝2，则N 点的坐标为________. 【导学号：10690041】【解析】【解析】 设N (x,0)或(0，y )，k MN ＝43－x 或4－y 3，∴43－x ＝2或4－y 3＝2，∴x ＝1或y ＝－2，∴N 点的坐标为(1,0)或(0，－2)．【答案】【答案】 (1,0)或(0，－2)8．已知直线l 的倾斜角为60°，将直线l 绕它与x 轴的交点顺时针旋转80°到l ′，则l ′的倾斜角为________．【解析】【解析】 如图，如图，顺时针旋转顺时针旋转80°，等价于逆时针旋转100°，故l ′的倾斜角为60°＋100°＝160°160°..【答案】【答案】 160° 三、解答题三、解答题9．已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a 、b 的值．的值．【解】【解】 由题意可知k AB ＝5－13－1＝2， k AC ＝7－1a －1＝6a －1， k AD ＝b －1－1－1＝b －1－2， 所以k ＝2＝6a －1＝b －1－2，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k ＝2，a ＝4，b ＝－3.10．已知P (3，－1)，M (5,1)，N (1,1)，直线l 过P 点且与线段MN 相交，求：相交，求： (1)直线l 的倾斜角α的取值范围；的取值范围； (2)直线l 的斜率k 的取值范围．的取值范围． 【解】【解】k PM ＝1＋15－3＝1，∴直线PM 的倾斜角为45°45°.. 又k PN ＝1＋11－3＝－1，∴直线PN 的倾斜角为135°135°.. (1)由图可知，直线l 过P 点且与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.(2)当l 垂直于x 轴时，直线l 的斜率不存在，∴直线l 的斜率k 的取值范围是k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．[能力提升]1．若图2-2-1-1-1-44中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )图2-2-1-1-1-4 4 A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【解析】 由图可知，l 1的倾斜角α1>90°，所以k 1<0，l 2，l 3的倾斜角满足0°0°<<α3<α2<90°，所以k 3<k 2，于是可得k 1<k 3<k 2，故选D.【答案】【答案】 D2．将直线l 向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )A.54B.45 C ．－54 D ．－45【解析】【解析】 设点P (a ，b )是直线l 上的任意一点，当直线l 按题中要求平移后，点P 也做同样的平移，平移后的坐标为(a ＋4，b －5)，由题意知，这两点都在直线l 上，∴直线l 的斜率为k ＝b －5－b a ＋4－a＝－54.【答案】【答案】 C3．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为________． 【解析】【解析】 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1. 若l 的倾斜角为α，则tan α≤1.又∵α∈[0°，180°180°))， 当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan α<0时，90°90°<<α<180°，∴α∈[0°，45°45°]]∪(90°，180°180°))． 【答案】【答案】 [0°，45°45°]]∪(90°，180°180°) ) 4．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．的最大值和最小值．【解】【解】 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于yx 的几何意义是直线OP 的斜率，的斜率， 且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.。
2019-2020学年高中数学北师大版必修2练习：第一章立体几何初步测评-附答案
第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面多面体中,是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.42.如图所示,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是()B.3C.6D.12OAB是直角三角形,其两条直角边的长分别是4和6,则其面积是12.3.若三个球的半径之比是1∶2∶3,则半径最大的球的体积是其余两球的体积和的()A.4倍B.3倍C.2倍D.1倍a,2a,3a,V最大=π(3a)3=36πa3,V1+V2=πa3+π(2a)3=πa3=12πa3,最大=3.4.若一个圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,圆台的侧面积为400π,则该圆台的母线长为()A.10B.20C.12D.24r,则下底面半径、高分别为4r,4r,于是其母线l=-=5r,又侧面积为400π,所以π(r+4r)·5r=400π,解得r=4,于是母线长为20.5.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()根据题意,可得圆柱侧面展开图为矩形,长为2π×1=2π,宽为1,∴S=2π×1=2π.故选A.6.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1,由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得,S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以2+.7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于()B.BDC.A1DD.A1D1AC,由于BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,所以BD⊥平面ACC1A1.又因为CE⫋平面ACC1A1,所以CE⊥BD.8.已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥nA,∵α∩β=l,∴l⫋α,∵m∥α,∴m与l可能平行,也可能异面,故选项A不正确;对于选项B,D,∵α⊥β,m∥α,n⊥β,∴m与n可能平行,可能相交,也可能异面,故选项B,D不正确.对于选项C,∵α∩β=l,∴l⫋β.∵n⊥β,∴n⊥l.故选C.9.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A. B.16π C.9π D.,R2=(4-R)2+2,∴R2=16-8R+R2+2,∴R=,∴S表=4πR2=4π×π,选A.10.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出下列说法:①若l⊥α,α⊥β,则l⫋β②若l∥α,α∥β,则l⫋β③若l⊥α,α∥β,则l⊥β④若l∥α,α⊥β,则l⊥β其中说法正确的个数为()B.2C.3D.0①,若l⊥α,α⊥β,则l∥β或l⫋β,故①错误;对于②,若l∥α,α∥β,则l⫋β或l∥β,故②错误;对于③,若l⊥α,α∥β,则l⊥β,故③正确;对于④,若l∥α,α⊥β,则l⫋β或l∥β或l⊥β或l与β斜交,故④错误.11.(2018全国Ⅰ卷,文9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.2B.2C.3D.2,易知N为的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=CC'=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.在Rt△MCN中,MN==2.12.导学号91134033如图所示,在棱长均相等的三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA 的中点,下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAEPDE⊥平面ABCBC∥DF,易得BC∥平面PDF,A成立;易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点ABC上的射影为△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.6,设六棱锥的高为h,则V=Sh,∴×6h=2,解得h=1.设侧面高为h',则h2+()2=h'2,∴h'=2.∴正六棱锥的侧面积为6××2×2=12.14.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.,四棱柱高h为1,底面为等腰梯形,且底面面积S=×(1+2)×1=,故四棱柱的体积V=S·h=.15.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成60°角;④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是.如图,①取BD的中点E,连接AE,CE,则BD⊥AE,BD⊥CE,而AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC,AC⊂平面AEC,故AC⊥BD.故①正确.②设正方形的边长为a,则AE=CE= a.由①知∠AEC=90°是直二面角A-BD-C的平面角,∴AC=a,∴△ACD是等边三角形,故②正确.③由题意及①知,AE⊥平面BCD,故∠ABE是AB与平面BCD所成的角,而∠ABE=45°,∴③不正确.④分别取BC,AC的中点M,N,连接ME,NE,MN,则MN∥AB,且MN=AB=a,ME∥CD,且EM=CD=a,∴∠EMN是异面直线AB,CD所成的角.在Rt△AEC中,AE=CE=a,AC=a,∴NE=AC=a,∴△MEN是正三角形,∴∠EMN=60°,故④正确.16.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且,则的值是.r1,h1,r2,h2,则2πr1h1=2πr2h2,.又,所以,则.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示,四边形BCC1B1是圆柱的轴截面.AA1是圆柱的一条母线,已知AB=2,AC=2,AA1=3.(1)求证:AC⊥BA1;.AB⊥AC.因为AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AC.又AB∩AA1=A,所以AC⊥平面AA1B1B.因为BA1⫋平面AA1B1B,所以AC⊥BA1.Rt△ABC中,AB=2,AC=2,∠BAC=90°,所以BC=2.S侧=2π×3=6π.18.(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;:四边形EFGH是矩形.,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC.∴四面体体积V=×2×2×1=.BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH.∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形.又AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形.19.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面四边形ABCD为菱形,AB=2,BD=2,M,N分别是线段PA,PC的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD;MN与BC所成角的大小.AC,交BD于点O.因为M,N分别是PA,PC的中点,所以MN∥AC.因为MN⊈平面ABCD,AC⫋平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(1)知MN∥AC,故∠ACB为异面直线MN与BC所成的角.四边形ABCD为菱形,边长AB=2,对角线长BD=2,故△BOC为直角三角形,且sin∠ACB=,故∠ACB=60°.即异面直线MN与BC所成的角为60°.20.(本小题满分12分)(2018全国Ⅰ卷,文18)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB⫋平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.作QE⊥AC,垂足为E,则QE DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-APB的体积为V Q-ABP=×QE×S△ABP=×1××3×2sin 45°=1.21.(本小题满分12分)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.DG,CD,设CD∩GF=M.连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点.又H为BC的中点,所以HM∥BD,又HM⫋平面FGH,BD⊈平面FGH,所以BD∥平面FGH.DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⫋平面ABED,所以BD∥平面FGH.HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CF∥HE,又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⫋平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⫋平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.22.导学号91134034(本小题满分12分)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若AC⊥BC,证明:直线BC⊥平面ACC1A1;(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE∥平面A1MC?请证明你的结论.ABB1A1和ACC1A1都是矩形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC.因为AB,AC为平面ABC内两条相交直线,所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⫋平面ABC,所以AA1⊥BC.又由已知,AC⊥BC,AA1,AC为平面ACC1A1内两条相交直线,所以BC⊥平面ACC1A1.AB的中点M,连接A1M,MC,A1C,AC1,设O为A1C,AC1的交点.由已知,O为AC1的中点.连接MD,OE,则MD,OE分别为△ABC,△ACC1的中位线.所以,MD AC,OE AC,因此MDOE.连接OM,从而四边形MDEO为平行四边形,则DE∥MO.因为直线DE⊈平面A1MC,MO⫋平面A1MC,所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点),使直线DE∥平面A1MC.。
北师大版高中数学选择性必修2第1章1.均变化率与瞬时变化率课件
Δ 2 − 1
=
Δ
2 − 1
用它来刻画函数值在区间[1 ，2 ]上变化的快慢。
对一般的函数y f x来说，怎样表示其平均变化率，有怎样的几何意义
函数的平均变化率的几何意义是函数图象上过
1 ， 1 ， 2 ， 2 两点的直线的斜率(如
求函数 在点 = 0 处的瞬时变化率的步骤：
Δ
Δ
(1)求Δ = 0 + Δ − 0 ；(2)计算 ，并化简，直到当Δ = 0时有意义为止；
(3)将Δ = 0代入化简后的即得瞬时变化率．
函数y＝f(t)，当自变量t由t改变到t+Δt时，y的变化为(
A．f(t+Δt)
对一般的函数 = 来说，当自变量x从1 变为2 时，函数值从 1 变为 2 ，
它在区间[1 ，2 ]的平均变化率=
2 − 1
2 −1
。
通常我们把自变量的变化2 − 1 称作自变量x的改变量，记作Δ，函数值的变化
2 − 1 称作函数值y的改变量，记作Δ．这样，函数的平均变化率就可以表示为函
Δ＝ 1 − 0 ，则该函数的平均变化率为
Δ
Δ
=
1 − 0
1 −0
0 +Δ − 0
Δ
=
，
如果当Δ趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是 在点0 的瞬时变化
率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．
平均变化率与瞬时变化率有什么关系？
( = 2 − 5)/
高度的改变量
平均速度
1
(ℎ = (22 − 52 )/
ℎ
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高中数学：第一章《立体几何初步》单元测试(9)北师大版必修2
立体几何初步—小题型11、空间两直线m l 、在平面βα、上射影分别为1a 、1b 和2a 、2b ，若1a ∥1b ，2a 与2b 交于一点，则l 和m 的位置关系为（A ）一定异面 （B ）一定平行 （C ）异面或相交 （D ）平行或异面2、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，则（A ）∠1+∠2=900（B ）∠1+∠2≥900（C ）∠1+∠2≤900（D ）∠1+∠2＜9003、（A 方案）二面角α―AB ―β的平面角是锐角，C 是面α内的一点（它不在棱AB 上），点D是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任意一点，那么 （A ）∠CEB =∠DEB （B ）∠CEB ＞∠DEB（C ）∠CEB ＜∠DEB （D ）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定 （B 方案）若点A （42+λ，4－μ，1+2γ）关于y 轴的对称点是B （－4λ，9，7－γ），则λ，μ，γ的值依次为（A ）1，－4，9 （B ）2，－5，－8 （C ）－3，－5，8 （D ）2，5，8 4、已知正方形ABCD ，沿对角线AC 将△ADC 折起，设AD 与平面ABC 所成的角为β，当β取最大值时，二面角B ―AC ―D 等于（A ）1200（B ）900（C ）600（D ）4505、有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线 （B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ （C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅ 6、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是 （A ）2F+V=4 （B ）2F －V=4 （C ）2F+V=2 （D ）2F －V=2 7、（A 方案）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B －APQC 的体积为 （A ）2V （B ）3V （C ）4V （D ）5VABCPQA 1B 1C 1（7方案A 图） （7方案B 图）（B 方案）侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 （A ）239 （B ）433 （C ）233 （D ）439（A ） （B ） （C ） （D ）ABC DA 1B 1C 1D 1AB CDA 1B 1C 1D 1F（8题A 方案图） （8题B 方案图）8、（A 方案）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是 （A ）4条 （B ）6条 （C ）8条 （D ）10条（B 方案）正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，则（A ）θ=600（B ）θ=450（C ）52cos =θ （D ）52sin =θABC DA 1B 1C 1D 1OM P（第9题B 方案图）9、（A 方案）已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB=AC=3，BC =2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是 （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）32π（B 方案）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为（A ）4π （B ）3π （C ）2π（D ）与P 点的位置有关 10、（A 方案）如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为（A ）29 （B ）5 （C ）6 （D ）215ACDEFABC DE（第10题A 方案图） （第10题B 方案图）（B 方案）如图所示，四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两互相垂直，且AB=BC =2，E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小是1010arccos，则四面体ABCD 的体积是 （A ）8 （B ）6 （C ）2 （D ）3811、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是（A ）2∶π （B ）1∶2π （C ）1∶π （D ）4∶3πABC D A 1B 1C 1D 1PQ（第12题图）12、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是对角线A 1C 上的点，且PQ =2a，则三棱锥P －BDQ 的体积为（A ）3363a （B ）3183a （C ）3243a （D ）无法确定 13、如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为 （A ）61cm （B ）157cm （C ）1021cm （D ）1037cm14、在空间四边形ABCD 各边上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF 和GH 能相交于点P ，那么（A ）点P 必在直线AC 上 （B ）点P 必在直线BD 上 （C ）点P 必在平面ABC 内 （D ）点P 必在平面上ABC 外 15、已知四棱锥P －ABCD 的底面为平行四边形，设x =2PA 2+2PC 2－AC 2，y =2PB 2+2PD 2－BD 2，则x ，y 之间的关系为（A ）x ＞y （B ）x ＝y （C ）x ＜y （D ）不能确定（B 方案）如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A A 1c ，则下列向量中与M B 1相等的是（A ）21-a +21b +c （B ）21a +21b +c （C ）21a 21-b +c （D ）21-a 21-b +c 16、（A 方案）a 、b 为异面直线，α⊂a ，β⊂b ，又A ∈α，B ∈β，AB =12cm ，AB 与β成60角，则a 、b 间距离为 ． （B 方案）已知向量a 、b 满足| a | = 31，| b | = 6，a 与b 的夹角为3π，则3| a |－2（a ·b ）+4| b | = ．17、正方体的两个面上的两条对角线所成的角为 ．18、如图，在四棱锥P －ABCD 中，E 为CD 上的动点，四边形ABCD 为 时，体积V P －AEB 恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．ABCDEP（第35题图）19、四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出三个结论：（1）四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱；（2）底面ABCD 为菱形；（3）AC 1⊥B 1D 1． 以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，可以得到三个命题，其中正确命题的个数为 ．20、（A 方案）一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 ．（B 方案）已知点A 、B 、C 的坐标分别为（0，1，0），（－1，0，1），（2，1，1），点P 的坐标为（x ，0，z ），若AB PA ⊥，AC PA ⊥，则点P 的坐标为 ．简明参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15答案A CB B D B BC CD C A A A B16、（A 方案）36cm ； （B 方案）23 17、00或600或90018、可有多种答案，如正方形 19、120、（A 方案）3π ； （B 方案）（31，0，32-）。
2019-2020学年高中数学北师大版必修2一课三测：1.5.2 平行关系的性质 含解析
5．2平行关系的性质填一填1.直线与平面平行的性质文字语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．图形语言符号语言a∥α，aβ，α∩β＝b⇒a∥b 2.平面与平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行图形语言符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b判一判1.如果一条直线和一个平面平行,则这条直线只和这个平面内一条直线平行．（×）2．若a∥α，则在α内存在直线与a平行．(√）3．若平面α，β平行，γ∩α＝a，γ∩β＝b，在β中除了b之外还有无数条直线平行于直线a。
（√)4．平面α，β，γ满足γ∩β＝a，γ∩α＝b,则a∥b。
（×)5．若一条直线与平面平行，那么这条直线与这个平面没有公共点．（√)6．若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的直线互相平行．（×）7．若两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．（√)8．已知两个平面平行，想一想1.两个平面平行,那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？提示：不一定．因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点,它们平行或异面．2．两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？提示：平行．因为两个平面平行，则两个平面无公共点,则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点,所以它们平行．3．利用线面平行性质定理解题的步骤是什么？提示：4．应用平面与平面平行性质定理的基本步骤是什么?提示:思考感悟：练一练1.已知直线m，n及平面α，β有下列关系:①m，nβ②nα③m∥α④m∥n。
现把其中一些关系看作条件，另一些看作结论,组成一个真命题是________．答案：①②③⇒④或①②④⇒③2．设有不同的直线a，b和不同的平面α,β，γ,给出下列三个命题，其中正确的命题有（)①若a∥α，b∥α,则a∥b②若a∥α，a∥β,则α∥β③若α∥β，aα，则a∥βA．0个B．1个C．2个D．3个答案：B3．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n,则m,n的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案：A4．如图，在三棱锥S －ABC 中,E ，F 分别是SB ，SC 上的点，且EF ∥平面ABC ,则（ )A ．EF 与BC 相交B ．EF ∥BCC ．EF 与BC 异面D ．以上均有可能 答案：B 5．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三顶点A 1，C 1，B 的平面与底面ABCD 所在的平面的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．答案：平行知识点一 直线与平面平行性质的应用1。
2019年高中数学北师大版必修2习题：第一章立体几何初步检测
第一章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中正确的是()A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形答案:A2.一长方体木料,沿图①所示平面EFGH截长方体,若AB⊥CD,那么图②所示的四个图形中是截面的是()图①图②解析:因为AB,MN两条交线所在平面(侧面)互相平行,故AB,MN无公共点,又AB,MN在平面EFGH内,故AB∥MN,同理易知AN∥BM.又AB⊥CD,∴截面必为矩形.答案:A3.如图所示,△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图,则△OAB的面积是()A.6B.3√2C.6√2D.12解析:△OAB是直角三角形,其两条直角边的长分别是4和6,则其面积是12.答案:D4.若球的表面积为16π,则用与球心距离为√3的平面截球所得的圆的面积为()A.4πB.√3πC.2πD.π解析:如图所示,由球的表面积为16π,可得球的半径R=2.设截面圆的半径为r,球心到截面的距离为h,则R2=h2+r2,∴r2=R2-h2=4-3=1.∴截面圆的面积为S=πr2=π.答案:D5.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90 cm2B.129 cm2C.132 cm2D.138 cm2解析:由题干中的三视图可得原几何体如图所示.故该几何体的表面积S=2×4×6+2×3×4+3×6+3×3+3×4+3×5+2×1×3×4=138(cm2).故选D.2答案:D6.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥βB.若m∥n,m⫋α,n⫋β,则α∥βC.若m∥n,m∥α,则n∥αD.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β解析:满足选项A,B条件的两个平面也可能相交;选项C中n也可能在平面α内;故选D.答案:D7.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为()A.73 m 3 B.92 m 3C.72 m 3D.94 m 3解析:由三视图可知,原几何体如图所示,故V=3×13+12×13=3+12=72(m 3).答案:C8.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,则下列命题中错误的是 ( )A.如果直线a ⫋α,那么直线a 必垂直于平面β内的无数条直线B.如果直线a ⫋α,那么直线a 不可能与平面β平行C.如果直线a ⫋α,a ⊥l ,那么直线a ⊥平面βD.平面α内一定存在无数条直线垂直于平面β内的所有直线解析:A 选项中直线a 必定与平面β内无数条平行直线垂直,故正确;B 选项中如果a ⫋α,a ∥l ,则a ∥β,故错误;由面面垂直的性质定理可知C 选项正确;在平面α内,垂直于交线l 的直线,都垂直于平面β,也就垂直于平面β内的所有直线,故D 选项正确. 答案:B 9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于() A.AC B.BDC.A1DD.A1D1解析:由BD⊥AC,BD⊥AA1易知BD⊥平面A1ACC1,而CE⫋平面A1ACC1,则BD⊥CE.故选B.答案:B10.如图所示是无盖正方体纸盒的展开图,则线段AB,CD在原正方体中的位置关系是()A.平行B.相交且垂直C.异面D.相交成60°角线段AB,CD在原正方体中的位置如图所示,△ABC为等边三角形,所以AB,CD在原正方体中相交成60°角.答案:D11.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,则截面把圆锥母线分为两段的比是() A.1∶3 B.1∶(√3-1)C.1∶9D.√3∶2解析:如图所示,由题意可知,☉O1与☉O2面积之比为1∶3,∴半径O1A1与O2A之比为1∶√3,∴PA1∶PA=1∶√3,∴PA1∶AA1=1∶(√3-1).答案:B12.,则下列结论中错如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=12误的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等解析:由正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1得B 1B ⊥平面AC ,∴AC ⊥B 1B ,又AC ⊥BD ,BD ∩B 1B=B , ∴AC ⊥平面BDD 1B 1,BE ⫋平面BDD 1B 1, ∴AC ⊥BE ,故A 正确.∵B 1D 1∥BD ,B 1D 1⊈平面ABCD ,BD ⫋平面ABCD , ∴B 1D 1∥平面ABCD ,∴EF ∥平面ABCD ,故B 正确.V A-BEF =13×12AC×12BB 1×EF=13×12×12×√22=√224.∴三棱锥A-BEF 的体积为定值,故C 正确.因线段B 1D 1上两个动点E ,F ,且EF=12,当E ,F 移动时,点A 到EF 的距离与点B 到EF 的距离不相等,∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等,故D 不正确. 答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若正三棱柱的所有棱长均为a ,且其体积为16√3,则a= .解析:依题意,12×a×a×√32×a=16√3,解得a=4.答案:414.(2016四川高考)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .解析:由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=12×2√3×1=√3,高为1,所以该几何体的体积为V=13Sh=13×√3×1=√33.答案:√3315.(2015江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 . 解析:设新的底面半径为r ,根据题意得13×π×52×4+π×22×8=13πr 2×4+πr 2×8, 即28r 2=196,解得r=√7. 答案:√716.在空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,对角线AC=BD=2,且AC ⊥BD ,则四边形EFGH 的面积为 .如图所示,由题意易判断EH FG 12BD ,所以EH=FG=1,同样有EF GH 12AC ,EF=GH=1,又BD ⊥AC ,所以EF ⊥EH ,所以四边形EFGH 是边长为1的正方形,其面积S=12=1. 答案:1三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.作出圆台的轴截面如图所示.设O'A'=r,因为一底面周长是另一底面周长的3倍,所以OA=3r,SA'=√2r,SA=3√2r,OO'=2r.由轴截面的面积为1(2r+6r)·2r=392,得r=7.故上底面半径为7,下底面半径为21,高为14,母线长为14√2.218.(12分)如图所示,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A=AB=2.(1)求证:BC⊥平面A1AC;(2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.(1)证明∵C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是圆柱底面圆的直径,∴BC⊥AC.由题意知,AA1⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,∴AA1⊥BC.∵AA1∩AC=A,AA1⫋平面A1AC,AC⫋平面A1AC,∴BC⊥平面A1AC.(2)解设AC=x (0<x<2),在Rt △ABC 中,BC=√AB 2-AC 2=√4-x 2(0<x<2),故V A 1-ABC =13S △ABC ·AA 1=13·12·AC ·BC ·AA 1=13x √4-x 2=13√x 2(4-x 2)=13√-(x 2-2)2+4.∵0<x<2,∴0<x 2<4,∴当x 2=2,即x=√2时,三棱锥A 1-ABC 的体积取得最大值23.19.(12分)(2016全国丙高考)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD ,N 为PC 的中点. (1)求证:MN ∥平面PAB ; (2)求四面体NBCM 的体积.(1)证明 由已知得AM=23AD=2.取BP 的中点T ,连接AT ,TN ,由N 为PC 中点知TN ∥BC ,TN=12BC=2.又AD ∥BC ,故TN AM ,四边形AMNT 为平行四边形, 于是MN ∥AT.因为AT ⫋平面PAB ,MN ⊈平面PAB ,所以MN ∥平面PAB.(2)解 因为PA ⊥平面ABCD ,N 为PC 的中点,所以N 到平面ABCD 的距离为12PA.取BC 的中点E ,连接AE.由AB=AC=3得AE ⊥BC ,AE=√AB 2-BE 2=√5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为√5,故S △BCM =12×4×√5=2√5. 所以四面体N-BCM 的体积V N-BCM =13×S △BCM ×PA 2=4√53.20.(12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱AD ,BC 的平面分别交四面体的棱AB ,BD ,DC ,CA 于点E ,F ,G ,H.(1)求四面体ABCD 的体积;(2)证明:四边形EFGH 是矩形.分析在第(1)问中,由三视图可知,四面体ABCD 中棱DA ,DB ,DC 的位置关系以及这三条棱的长度,然后套用锥体体积公式可求得该四面体的体积;在第(2)问中,应先证四边形EFGH 为平行四边形,这可由线面平行的性质定理证得,然后再证两相邻边垂直,这可由线面垂直的性质证得.(1)解由该四面体的三视图可知,四面体ABCD 如图所示,且BD ⊥DC ,BD ⊥AD ,AD ⊥DC ,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC.∴四面体的体积V=13×12×2×2×1=23.(2)证明∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH.∴FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG.∴四边形EFGH是平行四边形.又AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC.∴EF⊥FG.∴四边形EFGH是矩形.21.(12分)(2016全国乙高考)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)求证:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE.因为PD∩DE=D,所以AB⊥平面PED,故AB⊥PG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)解在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC.因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG ,因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,所以D 是正三角形ABC 的中心.由(1)知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故CD=23CG.由题设可得PC ⊥平面PAB ,DE ⊥平面PAB ,所以DE ∥PC ,因此PE=23PG ,DE=13PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2√2.在等腰直角三角形EFP 中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF 的体积V=13×12×2×2×2=43.22.(12分)如图所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,已知AC=BC=AA 1=a ,∠ACB=90°,D 是A 1B 1的中点.(1)求证:C 1D ⊥平面A 1B 1BA.(2)当点F 在BB 1上什么位置时,会使得AB 1⊥平面C 1DF ?并证明你的结论.(1)证明∵AC=BC ,∴△ABC 和△A 1B 1C 1均为等腰三角形,∵A 1D=DB 1,∴C 1D ⊥A 1B 1.∵AA 1⊥底面A 1B 1C 1,∴AA 1⊥C 1D ,又AA 1∩A 1B 1=A 1,∴C 1D ⊥平面A 1B 1BA.(2)解当点F 与点B 重合时,AB 1⊥平面C 1DF.证明如下:由(1)可得C 1D ⊥AB 1,若要使AB 1⊥平面C 1DF ,只要DF ⊥AB 1即可.∵∠ACB=∠A 1C 1B 1=90°,且AA 1=AC=BC=a ,∴A 1B 1=√2a.∵△DEB 1∽△AA 1B 1∽△DB 1F ,∴DB 1AA 1=B 1FA 1B 1, ∴B 1F=a ,即当点F与点B重合时,AB1⊥平面C1DF.。
北师大版数学必修2课时跟踪检测：(一)简单几何体
课时跟踪检测（一）简单几何体层级一学业水平达标1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选D由棱柱定义知，①③为棱柱．2．下面有关棱台说法中，正确的是()A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．故B正确．3．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长一定等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心解析：选D由圆锥、圆柱、圆台的概念可知A、B、C均不正确，只有D正确．4．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是棱锥C．③是棱锥D．④不是棱柱解析：选C①中互相平行的两个平面四边形不相似，所以侧棱不会相交于一点，不是棱台．②侧面三角形无公共顶点，不是棱锥．③是棱锥，正确．④是棱柱．故选C.6．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．答案：七7．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体，其中说法正确的是________．解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延长一定相交于一点；(4)不正确，夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：(1)(2)8．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱9．观察下列四张图片，结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆，其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫，其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”，其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼，其主体结构是五棱柱．10．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．层级二应试能力达标1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．2．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为() A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，。
北师大版高中数学必修2同步测试题：第2章 第1节 两直线的位置关系(含答案解析)
《两条直线的位置关系》同步测试题1、直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是2、两直线： 0cos sin =-+a y x θθ与0sin cos =--b y x θθ的位置关系是3、直线2x-4y+7=0和直线x-2y+5=0的关系4、 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=5、若直线052=+-y x 与直线062=-+my x 互相垂直，则实数m 的值为6、已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a =7、 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为8、若直线20mx y m +-=与直线(34)10m x y -++=垂直，则m 的值是9、过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是10、过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为11、直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是12、直线l 过点（2,1），且与0132=+-y x 平行的直线方程是13、直线l 过点（2,1），且与0132=+-y x 垂直的直线方程是14、经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程15、直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，则实数m 的值为16、已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k=17、1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝_____ _时1l ⊥2l ；当__________时1l 与2l 相交；当m ＝_______时1l 与2l 重合；18、直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与当k ＝_______时1l ∥2l ；当k ＝_______时1l ⊥2l ；19、要使直线l 1：m y m m x m m 2)()32(22=-+-+与直线l 2：x-y=1平行，求m 的值.20、直线l 1：a x +(1-a)y=3与直线l 2：(a-1)x +(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值21、已知两条直线()1:3453l m x y m ++=-，()2:258l x m y ++=； 求m 为何值时，1l 与2l （1）相交；（2）平行；（3）垂直.。
高中数学 单元综合测试1(含解析)北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题
单元综合测试一(第一章综合测试)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列几何体是柱体的是(B)解析：A中的侧棱不平行，所以A不是柱体，C是圆锥，D是球体，B是棱柱．2．已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(C)A．120°B．150°C．180°D．240°解析：设圆锥底面半径为r，母线为l，则πrl＋πr2＝3πr2，得l＝2r，所以展开图扇形半径为2r，弧长为2πr，所以展开图是半圆，所以扇形的圆心角为180°，故选C.3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体(D) A．由一个圆台、两个圆锥构成B．由两个圆台、一个圆锥构成C．由一个圆柱、一个圆锥构成D．由一个圆柱、两个圆锥构成解析：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可确定所得的几何体．等腰梯形绕着不同的边所在直线旋转一周后，得到的几何体不同，要加以细致地分析．若绕着它的较短的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体应是圆柱两端各挖去一个圆锥；而绕着较长底边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱外加两个圆锥．4．若一个正四棱锥的左视图是一个边长为2的正三角形(如图)，则该正四棱锥的体积是(C)A ．1 B. 3 C.433D ．2 3 解析：如图，据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等腰三角形，斜高为2，棱锥是高为22－12的正四棱锥，故其体积V ＝13×4×22－12＝433.故选C.5．已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⃘α，a ⃘β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则b 和c 的位置关系是( D )A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交、平行或异面解析：由题意，若a ∥l ，则利用线面平行的判定，可知a ∥α，a ∥β，从而a 在α，β内的射影直线b 和c 平行；若a ∩l ＝A ，则a 在α，β内的射影直线b 和c 相交于点A ；若a ∩α＝A ，a ∩β＝B ，且直线a 和l 垂直，则a 在α，β内的射影直线b 和c 相交，否则直线b 和c 异面．综上所述，b 和c 的位置关系是相交、平行或异面，故选D.6．在四面体ABCD 中，下列条件不能得出AB ⊥CD 的是( D ) A ．AB ⊥BC 且AB ⊥BD B ．AD ⊥BC 且AC ⊥BD C ．AC ＝AD 且BC ＝BD D ．AC ⊥BC 且AD ⊥BD解析：①∵AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BD ∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCD ，∵CD 平面BCD ，∴AB ⊥CD ，②设A 在平面BCD 射影为O ，AO ⊥平面BCD ，∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O为△BCD的垂心．连接BO，则BO⊥CD，AO⊥CD，∴CD⊥平面ABO.∵AB平面ABO.∴AB⊥CD，③取CD中点G，连接BG，AG，∵AC＝AD且BC＝BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG，∵BG∩AG＝G，∴CD⊥平面ABG，∵AB平面ABG，∴AB⊥CD，综上选项A，B，C能够得出AB⊥CD，故选D.7．一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为(B)A．4πB．3πC．2πD．π解析：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，如图．底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，可将此四棱锥放到一个棱长为1的正方体内，可知，此正方体与所研究的四棱锥有共同的外接球，∴四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，外接球的直径是AC，根据直角三角形的勾股定理知AC＝1＋1＋1＝3，∴外接球的表面积是4×π×(32)2＝3π，故选B.8．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2πcm ，高为2cm ，AB ，CD 分别是两底面的直径，AD ，BC 是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是( C )A.233 cm B ．2 3 cmC ．2 2 cmD ．4 cm解析：如图，在圆柱侧面展开图中，线段AC 1的长度即为所求．在Rt △AB 1C 1中，AB 1＝π·2π＝2 cm ，B 1C 1＝2 cm ，∴AC 1＝22cm ，故选C.9．已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为( D )A ．2732B ．38C ．3316 D ．932解析：设球的半径为R ，圆锥的高为h ，底面圆的半径为r ，则圆锥的母线长为2r ，结合图形(图略)可得2r ＝2R cos30°＝3R ，所以，r ＝32R ，圆锥的高为h ＝(2r )2－r 2＝3r ＝3×32R ＝32R ，所以，圆锥的体积为13πr 2h ＝13π×⎝⎛⎭⎫32R 2×32R ＝3πR 38，因此，圆锥的体积与球的体积之比为3πR 384πR 33＝38×34＝932. 10．如图，三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ； ④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确的个数是( D ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，故①正确；再根据SB ⊥AC 、SB ⊥AB ，可得SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，故②③正确； 取AB 的中点E ，连接CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离为12a ，④正确，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共100分) 二、填空题(每小题5分，共25分)11．若圆锥的侧面积为3π，底面积为π，则该圆锥的体积为223π.解析：根据题意，圆锥的底面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又12×2πl ＝3π，∴圆锥的母线为3，则圆锥的高32－12＝22，所以圆锥的体积13π×12×22＝223π.故答案为：223π.12．如图，正方形DABC 的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为8 2.解析：根据题意，画出图形，如图所示：把该平面图形的直观图还原为原来的图形，如图所示：∴四边形A ′B ′C ′D ′是平行四边形，且A ′D ′＝AD ＝2，B ′D ′＝2BD ＝42，∴平行四边形A ′B ′C ′D ′的面积是A ′D ′·B ′D ′＝2×42＝8 2.13．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A －CD －B 的余弦值为33. 解析：取AC 的中点E ，取CD 的中点F (图略)，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，结合图形知二面角A －CD －B 的余弦值cos θ＝EF BF ＝33.14．半径为R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，其余四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为4R 2.解析：如图，作出半球沿正方体对角面的轴截面，设正方体的棱长为a ， 则a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝R 2，所以a 2＝23R 2，所以S ＝6×a 2＝4R 2.15．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为32，32.解析：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，所以V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3， V 球＝43πR 3，所以V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32，S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2，所以S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝32. 三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)某几何体的三视图如图，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．解：依题意得侧面的高 h ′＝(2－1)2＋32＝10，S ＝S 上底＋S 下底＋S 侧面＝22＋42＋4×12×(2＋4)×10＝20＋1210，所以几何体的表面积为20＋1210. 体积V ＝13(42＋22＋2×4)×3＝28.17．(本题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ABED 是矩形，四边形ADGC 是梯形，AD ⊥平面DEFG ，EF ∥DG ，∠EDG ＝120°.AB ＝AC ＝FE ＝1，DG ＝2.(1)求证：AE ∥平面BFGC ； (2)求证：FG ⊥平面ADF .证明：(1)如图，连接CF，AE.∵AC∥DG，EF∥DG，∴AC∥EF，又AC＝EF，∴四边形AEFC是平行四边形，∴AE∥FC，又A E⃘平面BFGC，FC平面BFGC，∴AE∥平面BFGC；(2)如图，连接DF，AF，作DG的中点为H，连接EH，∵EF∥DH，EF＝DH＝ED＝1，∴四边形DEFH为菱形，∵EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴FG∥EH，∴FG⊥DF，∵AD⊥平面DEFG，∴AD⊥FG，∵FG⊥DF，AD∩DF＝D，∴FG⊥平面ADF.18．(本题满分12分)一个圆台的母线长为12，两底面面积分别为4π，25π.(1)求这个圆台的高及截得此圆台的圆锥的母线长；(2)求这个圆台的侧面积与体积．解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图)．由已知可得上底半径O 1A ＝2，下底半径OB ＝5.又∵腰长为12，∴高AM ＝122－(5－2)2＝315，∴设截得此圆台的圆锥的母线长为x ， 则由△SAO 1∽△SBO 可得 25＝x －12x，解得x ＝20. 所以截得此圆台的圆锥的母线长为20；(2)大圆锥的底面周长为2×5π＝10π，小圆锥的底面周长为2×2π＝4π，这个圆台的侧面积＝大圆锥侧面积－小圆锥的侧面积＝12×10π×20－12×4π×(20－12)＝84π.所求圆台的体积为13×(4π＋4π×25π＋25π)×315＝3915π.19．(本题满分12分)某机器零件是如图所示的几何体(实心)，零件下面是边长为10 cm 的正方体，上面是底面直径为4 cm ，高为10 cm 的圆柱．(1)求该零件的表面积；(2)若电镀这种零件需要用锌，已知每平方米用锌0.11 kg，问制造1 000个这样的零件，需要锌多少千克？(注：π取3.14)解：(1)零件的表面积S＝6×10×10＋4×3.14×10＝725.6(cm2)＝0.072 56m2.该零件的表面积为0.072 56m2.(2)电镀1 000个这种零件需要用的锌为0.072 56×0.11×1 000＝7.981 6(kg)．所以制造1 000个这样的零件，需要锌7.981 6千克．20．(本题满分13分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．解：(1)证明：如图，因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点，所以AE ⊥BC .因此AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE 平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面B 1BCC 1.(2)如图，设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD .因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB .又三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1，于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．由题设，∠CA 1D ＝45°，所以A 1D ＝CD ＝32AB ＝ 3. 在Rt △AA 1D 中，AA 1＝A 1D 2－AD 2＝3－1＝2，所以FC ＝12AA 1＝22. 故三棱锥F －AEC 的体积V ＝13S △AEC ·FC ＝13×32×22＝612. 21．(本题满分14分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，BC ＝a ，又侧棱P A ⊥底面ABCD .(1)当a 为何值时，BD ⊥平面P AC ？试证明你的结论；(2)当a ＝4时，求证：BC 边上存在一点M ，使得PM ⊥DM ；(3)若在BC 边上至少存在一点M ，使PM ⊥DM ，求a 的取值X 围．解：(1)当a ＝2时，ABCD 为正方形，则BD ⊥AC ，证明如下：又因为P A ⊥底面ABCD ，BD 平面ABCD ，所以BD ⊥P A ，又因为P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .故当a ＝2时，BD ⊥平面P AC .(2)证明：当a ＝4时，取BC 边的中点M ，AD 边的中点N ，连接AM ，DM ，MN ，如图所示．因为四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形，所以∠AMD＝∠AMN＋∠DMN＝45°＋45°＝90°，即DM⊥AM，又因为P A⊥底面ABCD，所以P A⊥DM，又AM∩P A＝A，所以DM⊥平面P AM，得PM⊥DM，故当a＝4时，BC边的中点M使得PM⊥DM.(3)假设BC边上存在点M，使得PM⊥DM，因为P A⊥底面ABCD，所以，M点应是以AD 为直径的圆和BC边的交点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．。
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阶段质量检测（一）（时间：90分钟满分：120分）一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．(陕西高考)将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为()2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．异面B．相交C．相交或异面D．平行或异面3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1D14．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9πB．10π C．11πD．12π5．设a，b是两条直线，α、β是两个平面，则下列命题正确的是()A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．α∥β，a∥α，则a∥βC ．若α⊥β，a ⊥β，则a ⊥αD ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β6．如图，设P 是正方形ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，则平面P AB 与平面PBC 、平面P AD 的位置关系是( )A ．平面P AB 与平面PBC 、平面P AD 都垂直 B ．它们两两垂直C ．平面P AB 与平面PBC 垂直，与平面P AD 不垂直 D ．平面P AB 与平面PBC 、平面P AD 都不垂直7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π8．如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于对棱的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．4∶59．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A.316B.916C.38D.93210．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有________个．12．(安徽高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．13．等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S球________S正方体(填“>”、“<”或“＝”)．14．(湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)三、解答题(本大题共有4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤)15．(本小题满分12分)在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，CD，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上．16.(本小题满分12分)(山东高考)如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE ＝BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE.(1)求证：AE⊥BC；(2)如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE.18．(本小题满分14分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论．答案1. 解析：选B左视图中能够看到线段AD1，画为实线，看不到线段B1C，画为虚线，而且AD1与B1C不平行，投影为相交线．2. 解析：选C如图所示，l1与l2为异面直线，直线AB、CD均与l1、l2相交，则AB 与CD的位置关系为相交或异面．3. 解析：选B∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面AA1C1C.又CE 平面AA1C1C，∴CE⊥BD.4. 解析：选D该几何体下面是一个底面半径为1，母线长为3的圆柱，上面是一个半径为1的球，其表面积是2π×1×3＋2×π×12＋4π×12＝12π.5. 解析：选D A中，b有可能在α内；B中，a有可能在β内；C中，a有可能在α内．6. 解析：选A∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC.又BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面P AB.由AD⊥P A，AD⊥AB，P A∩AB＝A，得AD⊥平面P AB.∵AD 平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB . 由已知不能推出平面PBC 与平面P AD 垂直． 7. 解析：选C 设正四棱柱的底边长为a ，则 V ＝a 2·h ，∴16＝a 2×4，∴a ＝2.由球和正四棱柱的性质可知，球的直径为正四棱柱的对角线． ∴R ＝1222＋22＋42＝6，∴S ＝4πR 2＝24π.8. 解析：选C 设上底面积为S ，则下底面积为4S ，再设台体高为h ， ∴V 台＝13h (S ＋4S ＋S ·4S )＝73Sh ，又∵ VCEF －A 1B 1C 1＝Sh ，∴两部分的比为Sh ∶⎝⎛⎭⎫73Sh －Sh ＝3∶4. 9. 解析：选A 如图所示，设球的半径为R ，由题意，知OO ′＝R 2，OF ＝R ，∴r ＝32R .∴S 截面＝πr 2＝π⎝⎛⎭⎫32R 2＝3π4R 2.又S 球＝4πR 2， ∴S 截面S 球＝3π4R24πR 2＝316. 10. 解析：选A 如图，由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a ，A ′B ＝3a . ∴在Rt △BB ′A ′中得A ′B ′＝a ， ∴AB ∶A ′B ′＝2∶1.11. 解析：由面面垂直的判定知，作过此直线的任一平面都符合题意． 答案：无数12. 解析：根据该几何体的三视图可得其直观图如图所示，是底面为直角梯形的直四棱柱，且侧棱AA 1＝4，底面直角梯形的两底边AB ＝2，CD ＝5，梯形的高AD ＝4，故该几何体的体积V ＝4×⎝⎛⎭⎫2＋52×4＝56.答案：5613. 解析：设球的半径为R ，正方体的棱长为a ， 则43πR 3＝a 3，∴a ＝ 343π·R ， ∴S 正方体＝6a 2＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫343π·R 2＝4·36π2·R 2>4πR 2， 即S 球<S 正方体． 答案：<14. 解析：圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V ＝13πh ·(r 2中＋r 2下＋r 中r 下)＝π3×9×(102＋62＋10×6)＝588π，降雨量为V 142π＝3×196π196π＝3. 答案：315. 证明：因为AB ∥CD ，所以四边形ABCD 是一个平面图形， 即AB ，CD 确定一个平面β，则AB β，AD β， 因为E ∈AB ，所以E ∈β. 因为H ∈AD ，所以H ∈β. 又因为E ∈α，H ∈α， 所以α∩β＝EH .因为DC β，G ∈DC ，所以G ∈β. 又因为G ∈α，所以点G 在α与β的交线EH 上． 同理，点F 在α与β的交线EH 上， 所以E ，F ，G ，H 四点共线．16. 解：(1)如图，取BD 的中点O ，连接CO ，EO .由于CB＝CD，所以CO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)法一：如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形．所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.法二：如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°， 所以∠CBD ＝30°. 因为△ABD 为正三角形， 所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°， 因此∠AFB ＝30°， 所以AB ＝12AF .又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点．连接DM ，由于点M 是线段AE 的中点， 因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面BEC ， 所以DM ∥平面BEC .17. 证明：(1)因为BM ⊥平面ACE ，AE 平面ACE ， 所以BM ⊥AE .因为AE ⊥BE ，且BE ∩BM ＝B ，BE 、BM 平面EBC ，所以AE ⊥平面EBC . 因为BC 平面EBC ， 所以AE ⊥BC .(2)法一：取DE 中点H ，连接MH 、AH .因为BM ⊥平面ACE ，EC 平面ACE ，所以BM ⊥EC . 因为BE ＝BC ， 所以M 为CE 的中点． 所以MH 为△EDC 的中位线， 所以MH12DC . 因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以DC AB . 故MH12AB . 因为N 为AB 的中点，所以MHAN .所以四边形ANMH 为平行四边形，所以MN ∥AH . 因为MN 平面ADE ，AH 平面ADE ， 所以MN ∥平面ADE .法二：如图，取EB 的中点F ，连接MF 、NF .因为BM ⊥平面ACE ，EC 平面ACE ， 所以BM ⊥EC . 因为BE ＝BC ， 所以M 为CE 的中点， 所以MF ∥BC . 因为N 为AB 的中点， 所以NF ∥AE ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AD ∥BC . 所以MF ∥AD .因为NF 、MF 平面ADE ，AD 、AE 平面ADE ， 所以NF ∥平面ADE ，MF ∥平面ADE . 因为MF ∩NF ＝F ，MF 、NF 平面MNF ， 所以平面MNF ∥平面ADE . 因为MN 平面MNF ， 所以MN ∥平面ADE .18. 解：(1)几何体的直观图如图．四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝1，四边形AA 1C 1C 是边长为3的正方形，且垂直于底面BB 1C 1C ，∴其体积V ＝12×1×3×3＝32.(2)证明：∵∠ACB ＝90°， ∴BC ⊥AC .∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴BC ⊥CC 1.∵AC ∩CC 1＝C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C.∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1. ∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1. (3)当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明：如图，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1平面AB1C1，EF平面AB 1C1，∴EF∥平面AB1C1.∵FD∥B1C1，∴FD∥平面AB1C1，又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.。