第四单元 第5讲(5.2矩形、菱形、正方形)

(第3题图)
4.(2011四川绵阳)下列关于矩形的说法中正确的是( C ) A．对角线相等的四边形是矩形; B．对角线互相平分的四边形是矩形; C．矩形的对角线相等且互相平分; D．矩形的对角线互相垂直且平分.
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【课堂演练】
5.(2011湖北襄阳)顺次连接四边形ABCD各边的中点 所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( B )
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16.已知四边形ABCD是边长为4的正方 形，O为正方形对角线的交点，一动点 A D E以每秒1个单位的速度沿射线BC向右 O 运动，同时动点F以相同速度沿射线CD 向上运动，连结OE，OF，EF. E C (1)试确定△OEF的形状,并证明你的结论; B (2)设E，F的运动时间为x秒，△OEF的面积为y，求y与x 的函数关系式. 解:(1)△OEF是等腰直角三角形,证明如下: ∴OF=OE, ∵四边形ABCD为正方形 ∴OD=OC,∠COD=∠BCD=90º ∠DOF=∠COE. ∴∠DOF+∠DOE ∴∠ODC=∠DCO=45º ,∠DCE=90º=∠COE+∠DOE ∴∠ODF=∠OCE=135º 即∠EOF=∠COD=90º ∴△OEF是等腰直角 ∵DF=CE 三角形. ∴△ODF≌△OCE
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【课堂演练】
1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论 中不正确的是（ D ） A.当AB=BC时,它是菱形; B.当AC⊥BD时,它是菱形 C.当∠ABC=90º 时,它是矩形; D.当AC=BD时,它是正方形
A D A D O
B
C 第1题图
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【知识回顾】
8．正方形的性质： 平行 (1)正方形的对边________且四条边都_______; 相等 直角 (2)正方形的四个角都是_______; (3)正方形的对角线 互相垂直平分,相等且平分一组对角 ; (4)正方形的对称性:正方形既是 轴对称图形 • 又 ， 是 中心对称图形 ．它的对称轴有____条，它的对称 4
B
C E （第2题图）
2.(2012湖南长沙)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知菱形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O, OE∥DC交BC于点E, AD=6cm, 则OE的 长为( C ) A.6cm B.4cm C.3cm D.2cm
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【课堂演练】
3.(2012湖北襄阳)如图，ABCD是正方形，G是BC上 (除端点外)的任意一点,DE⊥AG于点E，BF∥DE，交 AG于点F．下列结论不一定成立的是( D ) A A．△AED≌△BFA D B．DE－BF＝EF E C．△BGF∽△DAE F D．DE－BG＝FG B G C
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1
D
【典例精析 】
例2 如图，已知点E、F分别是正方形ABCD的边BC、EF 的中点， BF的延长线交AD的延长线于P，AE交BF于G， 连结DG． (1)求证：AE=BF，AE⊥BF； (2)找出图中的等腰三角形，并证明你的结论 D A P (1)证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠C=90º 1 F ∵E、F分别是BC、EF的中点
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D
Q
C
结
【课堂演练】
A
(2)四边形MPNQ是菱形, 理由如下: N M 连接MN. Q ∵四边形ABCD是矩形 C D ∴AD=BC, AD∥BC, ∠A=∠ABC=90º ∵M、N分别是AD、BC的中点 1 1 AM AD, BN BC 2 2 ∴AM= BN, AM∥ BN ∴四边形AMNB是平行四边形 ∴MN∥AB ∴∠DMN=∠A=90º ,∠MNB=90º ∵△MAB≌△NDC ∴BM=DN ∵P、Q分别是BM、DN的中点 1 1 ∴MQ=NQ= NP=PM MQ NQ DN , NP PM BM 2 2 ∴四边形MQNP是菱形
第四单元
5.2
图形的认识
第5讲 四边形和多边形
矩形、菱形、正方形
汕头市初中毕业生学业考试备考课题组
【知识回顾】
1.矩形的定义:有一个角是直角 的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质:(1)矩形的对边 平行且相等 ; (2)矩形的四个角都是 直角 ; (3)矩形的对角线 相等且相互平分 ; (4)矩形的对称性:矩形是 轴 对称图形,对称轴有 两 条, 又是中心 对称图形,其对称中心是 对角线的交点 ． 3.矩形的判定：(1)定义; 直角 (2)有三个角是______的四边形是矩形； (3)对角线_______的平行四边形是矩形． 相等 4．菱形的定义: 有一组邻边相等 的平行四边形.
中心是___________． 对角线的交点
9．正方形的判定：
（1）定义;（2）有一个角是______的菱形是正方形 直角 （3）有一组邻边_______的矩形是正方形． 相等.
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【典例精析 】
A
E 3
例1如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5.过 O 对角线AC的中点O作EF⊥AC,交AD于 E,交BC于F,连结AF、CE． 4 2 B (1)求证:四边形AFCE是菱形; F C (2)解:∵四边形AFCE是菱形 (2)求菱形的周长． (1)证明:∵四边形ABCD是矩形∴AF=CF=CE=AE 设AF=CF= x ∴AD∥BC 则BF=BC–CF=5–x ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∵四边形ABCD是矩形 ∵OA=OC ∴∠B=90° ∴△AOE≌△COF． ∴BF2+AB2=AF2 ∴AE=CF ∴(5–x)2＋32= x 2 17 ∴四边形AFCE为平行四边形 解得x ∵EF⊥AC 5 17 68 4x ∴四边形AFCE是菱形． 菱形的周长为： 4 5 5
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P
B
【课堂演练】
C
F
15.(2011福建莆田)如图,在△ABC中,D是 E AB的中点,E是CD的中点,过点C作 CF//AB交AE的延长线于点F,连接BF. A B (1)求证:DB=CF； D (2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结 论. (2)解:四边形BDCF是矩形 (1)证明:∵CF//AB 证明:∵DB=CF，DB//CF ∴∠DAE=∠CFE 又∵DE=CE,∠AED=∠FEC ∴四边形BDCF为平行四边形 ∴△ADE≌△FCE ∵AC=BC，AD=DB ∴DA=CF ∴CD⊥AB ∵DA=DB ∴DB=CF ∴四边形BDCF是矩形

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结
【课堂演练】
14.(2012湖南娄底)如图，在矩形ABCD中，M、N分别 是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点. B A (1)求证：△MBA≌△NDC； P (2)四边形MPNQ是什么样的特殊四 N M 边形？请说明理由
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD, AD=BC, ∠A=∠C=90º ∵M、N分别是AD、BC的中点 1 1 AM AD, CN BC 2 2 ∴AM=CN ∴△MAB≌△NDC(SAS)
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【知识回顾】
5．菱形的性质: (1)菱形的对边 平行 且四条边都 相等 ; (2)菱形的对角线 互相垂直平分 ，并且每条对角线 _______一组对角； 平分 (3)菱形的对角 相等 ； (4)的对称性:菱形是轴对称图形,其对称轴有 两 条,同时 又是中心对称图形,其对称中心是对角线的交点 ; (5)菱形的面积为______ 或 对角线乘积的一半 ． 底×高 6．菱形的判定:(1)定义;(2)四条边_______的四边形是 都相等 菱形;(3)对角线 互相垂直的平行四边形是菱形． 7.正方形的定义:有一组邻边相等 且有一个角是直角 的 平行四边形叫做正方形．
B 2G 3
E
C
∴△ABE≌△BCF ∴AE=BF，∠1=∠3 ∵∠2+∠3=∠ABC=90º ∴∠1+∠2=90º ∴∠AGB=90º ∴AE⊥BF
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1 1 BE BC , CF CD ∴BE=CF 2 2
小
结
【典例精析 】
例2 如图，已知点E、F分别是正方形ABCD的边BC、EF 的中点， BF的延长线交AD的延长线于P，AE交BF于G， 连结DG． (1)求证：AE=BF，AE⊥BF； (2)找出图中的等腰三角形，并证明你的结论 D A P(2)解:△ADG和△DGP是等腰三角形. 证明如下： 1 ∵四边形ABCD是正方形 F 2G ∴AD=BC，AP∥BC 3 C B ∴∠3=∠P，∠C=∠PDF． E ∵CF=DF，∴△BCF≌△PDF． ∴BC=PD．∴AD=PD． ∵AE⊥BF ∴GD为Rt△AGP的斜边上的中线 ∴DG=AD=PD． ∴△ADG和△DGP是等腰三角形．
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F
(2)设E，F的运动时间为x秒，△OEF的 面积为y，求y与x的函数关系式. A D (2)设OE交于M. O ∵∠COD=90º ,∠ODC=∠DCO=45º ∴OD=OC=CDsin∠DCO 4 sin 45 2 2 ∵△ODF≌△OCE E B C ∴S△ODF= S△OCE 依题意,得DF=CE=x ∴CF= CD+ DF=4 +x ∴S△OEF =S△ODF +S△ODM +S△EMF 1 2 =S△OCE +S△ODM +S△EMF 即y x 2 x 4( x 0) 2 = S△OCD +S△ECF 1 1 1