压轴题型突破练——解析几何

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高考数学复习历年压轴题归类专题讲解：解析几何小题突破(解析版)

高考数学复习历年压轴题归类专题讲解解析几何小题突破（解析版）1．点M 为抛物线214y x =上任意一点，点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点，若函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点P ，则MP MN +的最小值为（）A ．52B ．114C ．3D ．134【答案】A函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点()1,2-，故()1,2P -.214y x =，即24x y =，焦点为()0,1F ，准线为1y =-， 223204x y y +-+=，即()22114x y +-=. 111532222MP MN MP MF PD +≥+-≥-=-=，当PMD 共线时等号成立. 故选：A .2．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=( )A ．B ．4C ．3D ．1【答案】C连接2PF ,设椭圆的基本量为,,a b c ，()()()()2212121QF QF QO OF QO OF QO QF ⋅=+⋅+=-,()221222222322PF PF QN NO c c a c b ⎛⎫=+-=+-=-== ⎪⎝⎭故答案为：3.3．已知函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ，若存在非零实数t ，使得1()2f t f t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭成立，则224a b +的最小值为（）．A ．165B ．145C ．16D ．4【答案】A因为函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ，所以22111(),,f t t at b f a b t t t ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为存在非零实数t ，1()2f t f t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以存在实数0t ≠，使21120t a t b t t ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，又224a b +的几何意义为坐标原点与点(,2)a b 的距离的平方，记2b m =，1u t t=+，则24u ≥．故21120t a t b t t ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即为20ua m u ++=，表示动点(,)a m 的轨迹，设为直线l ，则原点与点(,)a m 的距离的最小值为原点到直线l 的距离，故222224a b ≥⎛⎫⎫+=，因为h =，在[4,)+∞上是增函数，所以5h =≥，所以226415a b +≥，当2t =时，取等号. 故选：A ．4．设F 是双曲线22221x y a b-=的右焦点，双曲线两渐近线分别为1l ，2l ，过点F 作直线1l 的垂线，分别交1l ，2l 于A ，B 两点，若A ，B 两点均在x 轴上方且3OA =，5OB =，则双曲线的离心率e 为（）A ．B ．2C D【答案】C 如下图所示，从而可知4tan 3θ=，∴242tan 4tan 2tan 231tan 3αααα=-⇒=-⇒=-，即2b a =，∴e ==，故选C. 5．已知点(1,1)A -．若曲线G 上存在B ，C 两点，使ABC 为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：①3(03)y x x =-+≤≤；②0)y x =≤≤；③1(0)y x x=->．其中Γ型曲线的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B对于①，A （-1，1）到直线y =-x +3的距离为，若直线上存在两点B ，C ，使△ABC为正三角形，则|AB |=|AC |=，以A 为圆心，以为半径的圆的方程为（x +1）2+（y -1）2=6，联立解得，或，后者小于0，所以对应的点不在曲线上，所以①不是．对于②，化为()22220x y x +=-≤≤，图形是第二象限内的四分之一圆弧，此时连接A 点与圆弧和两坐标轴交点构成的三角形顶角最小为135°，所以②不是．对于③，根据对称性，若上存在两点B 、C 使ABC 构成正三角形，则两点连线的斜率为1，设BC 所在直线方程为x -y +m =0，由题意知A 到直线距离为直线被所截弦长的倍，列方程解得m =-，所以曲线③是T 型线．6．已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为()3,0，点M 满足1AM =，0PM AM ⋅=，则PM 的最小值是（）A B C ．D ．3【答案】C 【解析】0PM AM PM AM ⋅=∴⊥ ，2222211PM AP AMAM PM AP ，∴=-=∴=-1AM =∴点M 的轨迹为以为以点A 为圆心，1为半径的圆，221PM AP =-，AP 越小，PM 越小，结合图形知，当P 点为椭圆的右顶点时，AP取最小值633a c -=-=， PM ∴= 故选C ．7．已知A 、B 是抛物线()220y px p =>上的两点，直线AB 垂直于x 轴，F 为抛物线的焦点，射线BF 交抛物线的准线于点C ，且AB ，AFC △的面积为2+，则p 的值为（）A B ．1C ．2D ．4【答案】C过点A 做AH 垂直于准线，垂足为H ，做CG 垂直于AB ，垂足为G ，根据抛物线的定义AH=AF ，//CE AB ，因此DE=AH=CG=AF ，由AFCABC AFB SSS =-，12ABCSAB CG AD CG ==，12AFBS AB DF AD DF ==得()()AFCSAD CG AD DF AD CG DF AD DE DF AD EF =-=-=-=又DE AF ==，则1)EF DF =，2AD DF ===，可得2AFCSEF =，又因2AFCS =，所以EF=2，因为EF 正好是焦点到准线的距离，即2p =.故选C.8．过点2,0c A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭作双曲线()2222:10.0x y C a b a b -=>>的一条渐近线的垂线，垂足为P ，点Q 在双曲线C 上，且3AQ QP =，则双曲线C 的离心率是（）A B 1 C D【答案】D解：由题意设点2,0c A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭作双曲线的一条渐近线by x a =即0bx ay -=的垂线，则垂线AP 的斜率为：ab -，且过点2,0c A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以垂线AP 的方程为：2()a c y x b a=--，即：20ax by c +-=，联立方程：200bx ay ax by c -=⎧⎨+-=⎩，解得：x ay b =⎧⎨=⎩，则(,)P a b ，设点(,)Q m n ，则2(,)cAQ m n a=-，(,)QP a m b n =--，且3AQ QP =，所以：23333c m a m an b n⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩，解得：223434a c m an b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2233(,)44a c Q b a + 因为点Q 在双曲线C 上，所以22222233441a c b a a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，化简整理得：426160c c a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：22c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭或28c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍去），所以：ce a== 故选：D.9．已知抛物线22(0)y px p =>过点12A ⎛ ⎝，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB AB λ=，则实数λ为A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】C 【解析】把点1(2A ，代入抛物线方程，得1222p =⨯，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，则(1,0)B -．设2(,)4M M y M y，则3(,2AB =-，2(1,)4MM y MB y =---．由MB AB λ=，得231{42M M y y λ--=--=，解得2λ=或1λ=（舍去），故选C ． 10．已知点()3,0A ，点P 在抛物线24y x =上，过点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，PB PA =，则cos APB ∠的值为（）A ．12B ．13C ．12-D ．13-【答案】D由题(1,0)F ，由于过抛物线24y x =上一点P 的直线与直线1x =-垂直相交于点B ，可得||||PB PF =，又PB PA =，故PF PA =，所以P的坐标为(2,±，由余弦定理可得222222331cos 22333PB PA AB APB PB PA +-+-∠===-⋅⋅⨯⨯.故选：D.11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 分别作两条直线12,l l ，直线1l 与抛物线C 交于,A B 两点，直线2l 与抛物线C 交于,M N 点，若1l 与直线2l 的斜率的乘积为1-，则||||AB MN +的最小值为（）A ．14B ．16C ．18D ．20【答案】B抛物线的焦点坐标为()1,0F ，依题意可知12,l l 斜率存在且不为零，设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k -，所以()()121:1,:1l y k x l y x k =-=--，有()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，有()2222240k x k x k -++=，212222442k x x k k ++==+，故122424AB x x k =++=+，同理可求得244MN k =+.故2248488816AB MN k k +=++≥+=+=，当且仅当2244,1k k k ==±时，等号成立，故最小值为16，故选B. 12．设抛物线22y px = (0p >)的焦点为F ,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 的面积为,则p 的值为( )A B C D 【答案】C过点B 作BM l ∥交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，设点()()1122,,A x y B x y 、，由3AF BF =得12322p p x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即123x x p -=……①，又因为NF AM ∥,所以14NF BF AM AB ==, 所以()1214NF x x =-，所以()212142pOF ON NF x x x =+=+-=……②，由①②可解得123,26p p x x ==，在Rt ABM ∆中，1283AB x x p p =++=， 124=3AM x x p -=，所以3BM p ==，所以1323CDF S P P ∆=⨯=,解得2p =或2p =-（舍去），故选：C13．已知点E 是抛物线2:2(0)C y px p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在EFP ∆中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅∠，则μ的最大值为（）A．B．2CD【答案】C由题意得，准线:2p l x =-，,02p E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH PF =，于是sin sin EFP PE FEP PF μ∠==∠ 11cos cos PE PH EPH PEF===∠∠，cos y x =在()0,π上为减函数，∴当PEF ∠取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而45PEF ∠=︒，max 2μ∴==,故选C.14．已知椭圆的方程为()22211x y a a +=>，上顶点为A ，左顶点为B ，设P 为椭圆上一点，则PAB ∆1.若已知()),M N，点Q 为椭圆上任意一点，则14QN QM+的最小值为（） A ．2 B．3+C ．3D ．94【答案】D在椭圆()22211x y a a+=>中，点()()0,1,,0A B a -，则AB =，1AB k a=，直线AB 的方程为11y x a =+，设与直线AB 平行的椭圆的切线方程为1y x b a=+，由方程组22211y x b ax y a ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2222220x abx a b a ++-=，由()()22222420ab a b a ∆=-⨯-=，得22b =，则b =两平行线间的距离1ad ==，则PAB ∆面积的最大值为1212AB d =+，得2a =， ∴24QM QN a +==，∴()141144QM QN QN QM QN QM ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭1144QM QN QN QM=+++ 19144QN QM ≥++=，当且仅当2QM QN =时取等号.15．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，抛物线C 上动点A ，B 满足4AF FB =，若A ，B 的准线上的射影分别为M ，N 且MFN ∆的面积为5,则AB =（）A ．94B ．134C ．214D ．254【答案】D过点A 作x 轴的垂线垂足于C ，交NB 的延长线于点D ．设221212,,,22y y A y B y p p，则12MN y y .5MFN S 1210y y p ①AFCABD AF ACABAD，即11245y y y124y y ②2212,2222y y AF AM FB BNppp p 22124()2222y y p p pp③联立①②③解得14y =，21y =-，2p =221225224y y AB p p p ∴=++=故选D16．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b -=的左，右焦点，过点2F 的直线与双曲线C的右支交于A ，B 两点，设点(),H H H x y ，(,)G G G x y 分别为12AF F △，12BF F △的内心，若3H G y y =，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．[2,)+∞B ．C ．(1,2]D ．(1,2)【答案】D不妨设直线AB 的斜率大于0．如图:连接HG ．2HF ，2GF ，设12AF F △的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ，则12121212()AF AF AD DF AE EF DF EF F F FF -=+-+=-=-，所以2()H H a c x c x =+--，即H x a =，同理可得G x a =，所以12HG F F ⊥，设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △中，2tan()tan22FG FF c a θθ==-，在2Rt F FH △中，2tan()tan 222FH FF c a πθπθ-⎛⎫==-⋅- ⎪⎝⎭，又3H G y y =，所以3FH FG =，即()tan 3()tan 222c a c a πθθ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得tan 2θ=所以22tan2tan 1tan 2==-θθθAB，由题意，直线AB与双曲线右支交于两点，故ba<所以(1,2)c a =.故选:D17．已知1F ，2F 分别是椭圆22:16432x y C +=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，且MP 交x 轴于点G ，则MGGP的取值范围为（）. A．10,7⎛⎤⎥ ⎝⎦B．10,7⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C．(1⎤⎦ D．()1【答案】D如图所示，点P 在y轴右边，因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1FM MN =，由中位线定理可得212OM F N =. 设点()()0000,0,0P x y x y >>. 由两点间的距离公式，得10PF a ex ====+, 同理可得20PF a ex =-，所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，因为8a =，c =，所以e =0OM x =，所以02x MG OM GP PF == 因为()00,8x ∈x 在()00,8x ∈()01x . 故MGGP的取值范围为()1. 故选:D .18．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：2216432x y +=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则2OM OF 的取值范围为（）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(D ．()0,1【答案】D如图所示，点P 在y 轴右边，因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1FM MN =．由中位线定理可得212OM F N =．设点()00,P x y ()000,0x y >>．由两点间的距离公式，得1PF ==0a ex ==+，同理可得20PF a ex =-，所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，因为8a =，c =，所以e =故02OM x =，所以0028x OM x OF ==．因为()00,8x ∈，所以()010,18x ∈．故2OM OF 的取值范围为()0,1．故选：D ．19．过点()3,0P -作直线()220ax a b y b +++=（,a b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（）A．0,5⎡⎣ B．5⎡⎤⎣⎦C．5,5⎡⎣D．5⎡-⎣【答案】D()220ax a b y b +++=,整理为：(2)(2)0a x y b y +++=得直线恒过点Q （1，-2），画出图象可知90PMQ ∠=或者M 与P,Q之一重合，PQ =故点M 在以PQ 为直径的圆上运动，设该圆的圆心为F ，则线段MN满足的范围为FN MN FN ≤≤+所以：MN 的取值范围是5⎡+⎣ 故选：D20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（）A ．1⎤⎥⎣⎦ B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎣⎦ D ．⎣⎦【答案】A由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b+=联立解得22222()Aa cb x c-=，因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22sin 2sin ()2sin [,]A A a a c a a cAF c e x c x c e e e ααα--=∴-=∴=∈因此222222()()a c b a c c e--≤≤，解得22222222()()()2()a c b a c a c a a c ≤-≤-≤-≤-，，即22,20a a c ac ≤--≥，即21,1201e e e ≤--≥≤≤，选A. 21．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点，过点F 的直线与圆22221:()2O x y a b +=+于A ，B 两点（A 在F ，B 之间），与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，120AOB ∠=︒则双曲线的离心率为（）A B ．3C D ．3【答案】D 解：如图，由圆O 的方程2222211()22x y a b c +=+=，得圆O 的半径为OA OB ==．过O 作AB 的垂线OH ，则H 为AB 的中点，又FA BP =，H ∴为FP 的中点，设双曲线的右焦点为1F ，连接1PF ，则OH 为三角形1FF P 的中位线，可得1//OH PF ，则1PF PF ⊥，由120AOB ∠=︒，可得12OH OA ==．∴1PF =，则2PF a =+，由勾股定理可得：2222))4a c ++=，整理得：2340e --=．解得：e =或e =（舍)．故选：D ．22．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，O 坐标原点，若AOB ∆的面积为AB =（）A ．24B ．8C ．12D ．16【答案】A 【解析】抛物线24y x = 的焦点F 坐标为(10)F ，,过焦点(10)F ，的直线设为1x my =+ ,设1122(,),(,)A x y B x y ,联立214x my y x =+⎧⎨=⎩有2440y my --= ,所以有121244{y y my y +==- ,由1211122AOB S OF y y ∆=⋅⋅-=⋅ ,所以有m =1224AB y ==-== ,选A.23．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点,A B ，若1:3:4AF AB =，且2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（）A ．B C ．52D ．5【答案】B 【解析】若1:3:4AF AB =，则可设13,4AF m AB m ==，因为2F 是AB 的一个四等分点；若214BF AB =,则22,3BF m AF m ==,但此时12330AF AF m m -=-=，再由双曲线的定义，得122AF AF a -=，得到0a =，这与0a >矛盾；若214AF AB =,则22,3AF m BF m ==，由双曲线的定义，得12112122532{{AF AF m a BF am a BF BF BF m a -====-=-=⇒，则此时满足22211AF AB BF +=,所以1ABF ∆ 是直角三角形，且190BAF ∠=︒ ,所以由勾股定理，得2222221212(3)(2)AF AF F F a a c +=⇒+=，得e =, 故选B.24．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:3,(2,)O x y T m +=，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且2AB MT =，则实数m 的取值范围是( )A ．[B ．C ．[D ．(【答案】CM 为AB 的中点，且2AB MT =， TAB ∴为直角三角形，90ATB ∠=︒，若TA ，TB 为切线，且90ATB ∠=︒，则45OTB ∠=︒，在Rt OBT 中，45OTB ∠=︒，90OBT ∠=︒，OB =，则OT =∴过点T 向圆引的两条切线的夹角不小于90︒时，满足题意，则圆心(0,0)O 到(2,)T m ，即6OT =，解得2m .故选：C.25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0).若12θθ=，则动点P 的轨迹为（）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【答案】B 【解析】由线面角的定义及题意可得1112112sin sin AA DD PD PE θθ=⇔=，即12PD PE =，以线段1D E 为x 轴，其中垂线为y 轴，如图，建立平面直角坐标系xOy ，设12,(,)AA P x y =，则11(D E E D =，所以2222(4(4x y x y -+=+，即222333(02x y +++=，则动点P 的轨迹是圆，故应选答案B ． 26．已知O 为坐标原点，A ，B 分别是双曲线22:1169x y C -=的左、右顶点，M 是双曲线C 上不同于A ，B 的动点，直线AM ，BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，则||||OP OQ ⋅=（）A ．16B ．9C ．4D ．3【答案】B设动点0(M x ，0)y ，由双曲线方程可得(4,0)A -，(4,0)B ，则004AM y k x =+，004BM y k x =-，所以直线AM 的方程为00(4)4y y x x =++，直线BM 的方程为00(4)4y y x x =--，由此可得004(0,)4y P x +，004(0,)4y Q x --，所以200020004416··()4416y y y OP OQ x x x =-=+--.因为动点M 在双曲线22:1169x y C -=上，所以22001169x y -=，所以2200169(16)y x =-，则22002200169(16)·91616y x OP OQ x x -===--. 故选：B .27．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆上一点（异于左、右顶点）为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦B．0,3⎛ ⎝⎦C．1,33⎛ ⎝⎦D．3⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A12PF F 的面积关系可得：()11222222p a c c c y +=，∴()p a c c y +=≤，∴()a c +≤， ∴()222a c b +≤，则22023a ac c ≤--，()()30a c a c +-≥，∴3a c ≥，∴103e <≤. 故选：A.28．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F 与短轴的两个端点1B ，2B 都在圆221x y +=上，P 是C 上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的平分线交C 的长轴于点M ，则12MB MB +的取值范围是（）A．⎡⎣ B．⎡⎣C．⎡⎣D．2,⎡⎣【答案】B由椭圆C 的两个焦点1F ，2F 与短轴的两个端点1B ，2B 都在圆221x y +=上，得1b c ==，则2222a b c =+=，所以椭圆C 的方程为2212x y +=，故()10,1B ，()20,1B -，由12F PF ∠的平分线交C 长轴于点M ，显然，1212PFN PF MS F M S F M=△△，又121112221sin 21sin 2PFN PF MPF PM F PM S PF S PF PF PM F PM ∠==∠△△，所以，1122PF F M PF F M =，即121222PF PF F M F MPF F M++=，由122PF PF a +==，1222MF MF c +==，得22PF M =，设()(),011M λλ-<<，则21F M λ=-，而2a c PF a c -<<+，211PF <<)111λ<-<，所以λ<<，所以12MB MB +=，2102λ≤<，所以122MB MB ≤+< 故选：B.29．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．4a ≤B ．46a -≤≤C ．4a ≤或6a ≥D ．6a ≥【答案】D依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去）故选D.30．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ．若1F A =，则该双曲线离心率的取值范围为（）A ．(B ．32⎫⎪⎭C ．D ．32⎛ ⎝【答案】B 解：如图所示：1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，延长2F A 交1PF 于点Q ，PA 是12F PF ∠的角平分线，2PQ PF ∴=，又点P 在双曲线上，122PF PF a ∴-=，112PF PQ QF a -==，又O 是的12F F 中点，A 是2F Q 的中点，OA ∴是12F F Q △的中位线，122QF a OA ∴==，即OA a =，在1FOA △中，OA a =，1F A =，1OF c =，由三角形两边之和大于第三边得：a c +>，两边平方得：()225a c b +>，即()222225a c ac c a ++>-，两边同除以2a 并化简得：2230e e --<，31 / 31 解得：312e -<<，又1e >，312e ∴<<，在1FOA △中，由余弦定理可知，22222111112cos 2AF FO AO AF AF FO O +-∠==⋅，在12F AF中，22211221112cos 2AF FF AF AF AF F F O +-==∠⋅，即222= 又222b c a =-，解得：222273AF a c =-，又22OAF π∠>，2222OA AF OC ∴+<,即222273a a c c +-<， ∴e >综上所述：32e ⎫∈⎪⎭.故选：B.。

压轴大题突破练10(解析几何+函数与导数)-2018版高考理科数学三轮冲刺压轴解答题精品训练含解析

压轴大题突破练10（解析几何+函数与导数）-2018版高考理科数学三轮冲刺压轴解答题精品训练含解析不等式时需要二判定一阶导数的取值情况，这里需要注意一、解析几何大题1．【2018宁夏吴忠高三下学期模拟】如下图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a ba b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -， ()2,0F c ，已知点()1,e 和e ⎛⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设A ， B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行， 2AF 与1BF 交于点P ，（i）若122AFBF -=，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证： 12PF PF +是定值.【答案】（1）2212x y +=；（2）定值2（2）由（1）知()11,0F -， ()21,0F ，又直线1AF 与2BF 平行，所以可设直线1AF 的方程为1x my +=，直线2BF 的方程为1x my -=.设()11,A x y ， ()22,B x y ， 10y >， 20y >，由2211111{ 21x y x my +=+=得()22112210m y my +--=，解得1y =故1AF ==)2212m m ++=+①同理，)22212m BF m +-=+②（i ）由①②得12222AF BF m -=+=解得22m =. 因为0m >，故m =，所以直线1AF的斜率为1m =. （ii ）因为直线1AF 与2BF 平行，所以211BF PB PF AF =，于是12111PB PF BF AF PF AF ++=，故11112AF PF BF AF BF =+.由点B 在椭圆上知12BF BF +=从而1112AF PF AF BF =+()2BF .同理2212BF PF AF BF =+()1AF ，因此11212AF PF PF AF BF +=+()2212BF BF AF BF ++()1AF =12122AF BF AF BF ⋅-+.又由①②知)212212m AF BF m ++=+， 212212m AF BFm +⋅=+.所以12PF PF +==因此12PF PF +是定值.点睛：本题主要考查的是椭圆的定义，标准方程以及几何性质，直线方程，两点间的距离公式等基础知识。

压轴题06 解析几何压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题06解析几何压轴题题型/考向一：直线与圆、直线与圆锥曲线题型/考向二：圆锥曲线的性质综合题型/考向三：圆锥曲线的综合应用一、直线与圆、直线与圆锥曲线热点一直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，＋By＋C＝0，x－a）2＋（y－b）2＝r2，消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.热点二中点弦问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x0，y0)，直线AB 的斜率为k.(1)若椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k＝－b2a2·x0y0；(2)若双曲线E的方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k＝b2a2·x0y0；(3)若抛物线E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝py0.热点三弦长问题已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.热点四圆锥曲线的切线问题1.直线与圆锥曲线相切时，它们的方程组成的方程组消元后所得方程(二次项系数不为零)的判别式为零.2.椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2＋y0yb2＝1；双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)在(x0，y0)处的切线方程为x0xa2－y0yb2＝1；抛物线y2＝2px(p＞0)在(x0，y0)处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).热点五直线与圆锥曲线位置关系的应用直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)联立直线的方程与圆锥曲线的方程.(2)消元得到关于x或y的一元二次方程.(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系.二、圆锥曲线的性质综合热点一圆锥曲线的定义与标准方程1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.热点二椭圆、双曲线的几何性质1.求离心率通常有两种方法(1)椭圆的离心率e＝ca＝1－b2a2(0<e<1)，双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2(e>1).(2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.2.与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0).热点三抛物线的几何性质抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α.(3)1|FA|＋1|FB|＝2p.(4)以线段AB为直径的圆与准线x＝－p2相切.三、圆锥曲线的综合应用求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.○热○点○题○型一直线与圆、直线与圆锥曲线一、单选题1．过圆224x y +=上的动点作圆221x y +=的两条切线，则连接两切点线段的长为（）A ．2B ．1C 32D 3【答案】D【详解】令点P 是圆224x y +=上的动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，如图，则OA PA ⊥，而1||||12OA OP ==，于是260APB OPA ∠=∠= ，又||||3PB PA ==，因此PAB 为正三角形，||||3AB PA ==，所以连接两切点线段的长为3.故选：D2．过抛物线：()的焦点的直线交抛物线于，两点，若2AF BF AB ⋅=，则抛物线C 的标准方程是（）A ．28y x=B ．26y x=C ．24y x=D ．22y x=3．若直线0x y a +-=与曲线A ．[12,12]-+B ．(1C ．[2,12)+D ．(1【答案】B4．已知抛物线22y px =的焦点为4x =A ．4B ．42C ．8D ．【答案】D5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过FC 交于A ，B 两点，D 为AB 的中点，且DM l ⊥于点M ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，四边形DMFN的面积为，则p =（）A．B ．4C．D．因为30DN DF DFN ⊥∠=︒，，故223DF DE p ==，FN6．已知圆22:4C x y +=，直线l经过点3,02P ⎛⎫⎪⎝⎭与圆C 相交于A ，B 两点，且满足关系OM =（O 为坐标原点）的点M 也在圆C 上，则直线l 的斜率为（）A ．1B ．1±C ．D ．±故选：D.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点为B ，斜率为32的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，则椭圆的离心率为（）A ．22BC ．12D8．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y =与C的左、右两支分别交于A ，B 两点，若四边形12AF BF 为矩形，则C 的离心率为（）AB ．3C1D 1+二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()()222:210C x y r r -+-=>，过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则（）A ．当圆C 与y 轴相切，且直线l 的斜率为1时，2AB =B ．当3r =时，存在l ，使得CA CB⊥C ．若存在l ，使得ABC 的面积为4，则r 的最小值为D ．若存在两条不同l ，使得2AB =，则r 的取值范围为()1,3故选：BC10．已知0mn ≠，曲线22122:1x y E m n +=，曲线22222:1x y E m n-=，直线:1x y l m n +=，则下列说法正确的是（）A ．当3n m =时，曲线1E 离心率为3B ．当3n m =时，曲线2E 离心率为103C ．直线l 与曲线2E 有且只有一个公共点D ．存在正数m ，n ，使得曲线1E 截直线l11．已知抛物线:4C x y =，过焦点F 的直线l 与交于1122两点，1与F 关于原点对称，直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,αβ，则（）A ．cos tan 1αβ⋅>B ．AEF BEF∠=∠C ．90AEB ∠>︒D ．π22βα-<【答案】BD【详解】作AD y ⊥轴于D ，作BC y ⊥轴于C ，则,DAF DAEαβ=∠=∠由()()1122,,,A x y B x y ，则()()120,,0,D y C y ，故选：BD.12．已知双曲线22:145x y C -=的左､右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且1AF AB ⊥，则下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为2y x =±B ．若P 是双曲线C 上的动点，则满足25PF =的点P 共有两个C ．12AF =D ．1ABF 2○热○点○题○型二圆锥曲线的性质综合一、单选题1．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若1123AF BF =，且223AF BF =，则该双曲线的离心率为（）A B ．2C D ．32．已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，12F F =P为C 上一点，1PF 的中点为Q ，2PF Q △为等边三角形，则双曲线C 的方程为（）．A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2222133x y -=D ．223318y x -=A ．6B ．3或C ．D ．或4．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的实轴为4，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为(4,)P m ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y x =B ．y =C ．23y x =±D ．4y x =±故选：A5．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0F a -，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P x y 是双纽线C 上一点，有如下说法：①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a a y -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④PO .其中所有正确的说法为（）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④6．如图所示，1F ，2F 是双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与双曲线C 的左支的交点A 平分线段1BF ，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．C D7．已知椭圆1和双曲线2的焦点相同，记左、右焦点分别为1，2，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，设点P 为1C 与2C 在第一象限内的公共点，且满足12PF k PF =，若1211e e k =-，则k 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若从椭圆右焦点2F 发出的光线经过椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB AD ⊥，且3cos 5ABC ∠=，则该椭圆的离心率为（）．A ．12B 22C D则113cos 5AB ABF BF ∠==，sin ABF ∠可设3AB k =，14AF k =，1BF =由1122AB AF BF AF BF AF ++=++二、多选题9．已知曲线E ：221mx ny -=，则（）A ．当0mn >时，E 是双曲线，其渐近线方程为y =B ．当0n m ->>时，E 是椭圆，其离心率为eC ．当0m n =->时，E 是圆，其圆心为()0,0D ．当0m ≠，0n =时，E是两条直线x =10．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图可以近似看成双纽线，在平面直角坐标系中，把到定点()1,0F a -和()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线，已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，则下列说法正确的是（）A ．若12F PF θ∠=，则12F PF △的面积为sin 2aθB ．022a a y -≤≤C ．双纽线C 关于原点O 对称D ．双纽线上C 满足12PF PF =的点P 有三个【答案】BC11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2M在椭圆内部，点N 在椭圆上，椭圆C 的离心率为e ，则以下说法正确的是（）A ．离心率e 的取值范围为0,3⎛ ⎝⎭B ．存在点N ，使得124NF NF =C ．当6e =时，1NF NM +的最大值为62+D ．1211NF NF +的最小值为1如上图示，当且仅当2,,M N F12．已知P ，Q 是双曲线221x y a b-=上关于原点对称的两点，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，MQ 交双曲线于点N ，设直线PQ 的斜率为k ，则下列说法正确的是（）A ．k 的取值范围是b bk a a-<<且0k ≠B ．直线MN 的斜率为2kC ．直线PN 的斜率为222b kaD ．直线PN 与直线QN 的斜率之和的最小值为ba2222PN QNb k b k k ka a +=+≥，当且仅当但PN QN k k ≠，所以等号无法取得，选项○热○点○题○型三圆锥曲线的综合应用1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>2倍，且右焦点为()1,0F ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线():2l y k x =+交椭圆C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为23-．求直线l 的方程．【详解】（1）由椭圆C 的长轴长是短轴长的2倍，可得2a b =．所以()2222bb c =+．又()1,0F ，所以()2221bb =+，解得1b =．所以2a =．所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由()22122x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222218820k x k x k +++-=．则2122821k x x k -+=+，21228221k x x k -=+．因为线段AB 中点的横坐标为23-，所以2122422213x x k k +-==-+．2．已知抛物线：2＝2的焦点为(1，0)，过的直线交抛物线于，两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到其中一条渐近线的距离(1)求双曲线C 的标准方程；(2)(2)过右焦点F 作直线AB 交双曲线于,A B 两点，过点A 作直线1:2l x =的垂线，垂足为M ，求证直线MB 过定点.4．如图，平面直角坐标系中，直线l 与轴的正半轴及轴的负半轴分别相交于两点，与椭圆22:143x y E +=相交于,A M 两点（其中M 在第一象限），且,QP PM N = 与M关于x 轴对称，延长NP 交㮋圆于点B .(1)设直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；(2)求直线AB 的斜率的最小值.5．已知双曲线C ：221a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．。

解析几何压轴大题专题突破

解析几何压轴大题专题突破解析几何压轴大题专题突破已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：双曲线的离心率，若命题，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．3.在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求，的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求的面积．4.已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于不同的，两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线过抛物线的焦点，求的值；（3）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．5.已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．6.在平面直角坐标系中，动点的坐标为，其中．在极坐标系（以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为．（1）判断动点的轨迹的形状；（2）若直线与动点的轨迹有且仅有一个公共点，求实数的值．7.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为．且过点．（1）求椭圆的方徎；（2）动点在直线：上，过作直线交椭圆于，两点，使得，再过作直线，直线是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．8.在平面直角坐标系中，（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线．（1）求的普通方程及的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若，分别为，上的动点，且的最小值为，求的值．9.设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，求，．10.已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为原点．（1）求抛物线的方程；（2）点坐标为，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．11.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上．若右焦点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点，．当时，求的取值范围．双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线．求双曲线的方程．13.已知不过第二象限的直线与圆相切．（1）求直线的方程；（2）若直线过点且与直线平行，直线与直线关于直线对称，求直线的方程．14.在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长．双曲线与椭圆有共同的焦点，，点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程．在抛物线上有一点，若点到直线的距离最短，求该点坐标和最短距离．已知函数（，且）的图象恒过定点，点在直线上，求的最小值．18.已知直线与抛物线交于，两点，（1）若，求的值；（2）若，求的值．19.若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程．20.讨论直线与双曲线的公共点的个数．21.已知：方程有两个不等的正根；：方程表示焦点在轴上的双曲线．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．22.已知双曲线的焦点在轴上，，渐近线方程为，问：过点能否作直线，使与双曲线交于，两点，并且点为线段的中点?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．23.已知点及圆：．（1）设过的直线与圆交于，两点，当时，求以为直径的圆的方程；（2）设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．24.在直角坐标系中，已知直线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，，求的值．25.已知椭圆：，离心率为，两焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）过点作圆的切线交椭圆于，两点，求弦长的最大值．26.已知数列的首项为，为数列的前项和，，其中，，．（1）若，，成等差数列，求的通项公式；（2）设双曲线的离心率为，且，求．27.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．（1）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由；（2）若直线和曲线相交于，两点，且，求直线的斜率．28.已知椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过点?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．29.在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线的极坐标方程为．（1）若直线与曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围．30.椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆有如下命题：是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦，为的中点，则为定值．那么对于双曲线则有命题：是双曲线的不平行于对称轴且不过原点的弦，为的中点，则定值?．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．31.（1）求中心在原点，焦点在轴上，焦距等于，且经过点的椭圆方程；（2）求，并且过点的椭圆的标准方程．32.已知抛物线，焦点为，顶点为，点在抛物线上移动，是的中点，是的中点，求点的轨迹方程．33.已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于，两点，当的面积最大时，求的方程．34.为椭圆上一点，，为左右焦点，若．（1）求的面积；（2）求点的坐标．35.已知双曲线的渐近线方程为：，右顶点为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点为．当时，求的值．36.已知双曲线的两焦点为，．（1）若点在双曲线上，且，求点到轴的距离；（2）若双曲线与已知双曲线有相同焦点，且过点，求双曲线的方程．37.椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过圆的圆心交椭圆于，两点，且，关于点对称，求直线的方程．38.已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．（1）求圆的方程；（2）设直线与圆相交于，两点，求实数的取值范围；（3）在的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．39.已知直线，圆．（1）当时，求与的交点坐标；（2）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．40.已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程．41.如图，直线与抛物线相切于点．（1）求实数的值；（2）求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程．42.在直角坐标系中，圆的方程为．（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）直线的参数方程是（为参数），直线与圆交于，两点，，求的斜率．43.已知双曲线与椭圆有公共焦点，，它们的离心率之和为．（1）求双曲线的标准方程；（2）设是双曲线与椭圆的一个交点，求．44.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线方程．45.已知曲线上任一点到点的距离比它到直线：的距离少．（1）求曲线的方程；（2）过点作两条倾斜角互补的直线与曲线分别交于点，，试问：直线的斜率是否为定值，请说明理由．46.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线过点且倾斜角为．（1）求圆的普通方程及直线的参数方程；（2）设直线与圆交于，两点，求弦的长．47.已知椭圆的一个长轴顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，．（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为时，求的值．48.已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，离心率是，与轴垂直，且．（1）求椭圆的方程；（2）若点在第一象限，过点作直线，与椭圆交于另一点，求面积的最大值．49.已知点在椭圆上，椭圆离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，，在轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案，仅供参考1.若命题：方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题；则，解得，则命题为假命题时，或，若命题：双曲线的离心率为真命题；则，即，即，则命题为假命题时，或，因为命题，中有且只有一个为真命题，当真假时，，当假真时，，综上所述，实数的取值范围是：或．2.（1）（为参数）的直角坐标方程是：，的直角坐标方程：，整理得，，．?（2）设的平行线为，当且和相切时距离最小，联立直线和椭圆方程得，整理得，需要满足，求得，当直线为时，满足题意，此时，此时直线和椭圆交点即是点坐标．3.（1），．?（2），圆的圆心到的距离，，．4.（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，所以，．所以抛物线的标准方程为．?（2）设，与联立，得，设，，所以，，所以（3）假设直线过定点，设，得，设，，所以，．由解得，所以过定点．5.（1）联立方程有，有，由于直线与抛物线相切，得，所以，所以．?（2）假设存在满足条件的点，直线，有，设，，有，，，，，当，满足时，为定值，所以．6.（1）设动点的直角坐标为，则所以动点的轨迹方程为，其轨迹是半径为的圆．?（2）直线的极坐标方程化为直角坐标方程是，由，得或．7.（1）因为椭圆：的离心率为．且过点，所以解得，，所以椭圆的方程为．?（2）因为直线的方程为，设，，当时，设，，由题意知，联立所以，所以，又因为，所以为线段的中点，所以直线的斜率为，又，所以的方程为，即，所以恒过定点．当时，直线为，此时为轴，也过点，综上，恒过定点．8.（1）由可得其普通方程为，它表示过定点，斜率为的直线．由可得其直角坐标方程为，整理得，它表示圆心为，半径为的圆．?（2）因为圆心到直线的距离，故的最小值为，故，得，解得或．9.（1）根据及题设知，，由斜率公式并化简整理易得．将代入，解得或（舍去）．故的离心率为．?（2）由题意，得原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即由得．设，由题意知，则即代入的方程，得将及代入得．解得，，故，．10.（1）将代入，得．其中，设，，则，．所以．由已知，，解得，所以抛物线的方程为．?（2）由（1）知，，．，同理，，所以11.（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点，由题设，解得，故所求椭圆的方程为．?（2）设为弦的中点，由得，由于直线与椭圆有两个交点，所以，即所以，从而，所以，又，所以，则，即把代入得解得，由得，解得．故所求的取值范围是．12.设双曲线方程为，由椭圆，求得两焦点为，，所以对于双曲线：．又为双曲线的一条渐近线，所以，解得，．所以双曲线的方程为．13.（1）因为直线与圆相切，所以，因为直线不过第二象限，所以，所以直线的方程为．?（2）因为直线过点且与直线平行，所以设直线的方程为，因为直线过点，所以，则直线的方程为，因为直线与关于对称，所以直线的斜率为，且过点，所以直线的方程为，即化简得．14.（1）圆的参数方程（为参数）．消去参数可得：．把，代入化简得：，即为此圆的极坐标方程．?（2）如图所示，由直线的极坐标方程是，射线：．可得普通方程：直线：，射线：．联立解得即．联立解得或所以．来自QQ群284110736所以．15.由共同的焦点，，可设椭圆方程为，双曲线方程为，点在椭圆上，，解得，双曲线的过点的渐近线为，故，解得．所以椭圆方程为：；双曲线方程为：．16.设点，点到直线的距离为，则．当时，取得最小值，此时为所求的点，最短距离为．17.当时，所以过定点，因为在直线上，所以，且，所以，即的最小值为．18.（1）设，．，因为，所以．?（2）因为，所以，，．，，或，经检验．19.因为椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，所以，，又焦点到同侧长轴端点距离为，即，即，解得，，所以当焦点在轴时，椭圆的方程为：；当焦点在轴时，椭圆的方程为．20.由方程组消去，得，当，即时，有一个交点．当，即时，．由，即，得，此时有两个交点．由，即，得，此时有一个交点．由，即，得或，此时没有交点．综上知，当时，直线与曲线有两个交点；当时，直线与曲线切于一点；当时，直线与曲线交于一点；当时，直线与曲线没有交点．21.（1）由已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则得得，即：．?（2）若方程有两个不等的正根，则解得，即：．因或为真，所以，至少有一个为真．又且为假，所以，至少有一个为假．因此，，两命题应一真一假，当为真，为假时，解得；当为假，为真时，解得．综上，或．22.根据题意，，，所以，．所以双曲线的方程是：．过点的直线方程为或．①当存在时，联立方程可得．当直线与双曲线相交于两个不同点，可得，，又方程的两个不同的根是两交点，的横坐标，所以．又因为是线段的中点，所以，解得．所以，使但使．因此当时，方程无实数解，故过点与双曲线交于两点，且为线段中点的直线不存在．②当时，直线经过点但不满足条件．综上所述，符合条件的直线不存在．23.（1）由于圆：的圆心，半径为，，而弦心距，所以，所以为的中点，所以所求圆的圆心坐标为，半径为，故以为直径的圆的方程为；?（2）把直线即代入圆的方程，消去，整理得．由于直线交圆于，两点，故，即，解得．则实数的取值范围是．设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．所以的斜率，所以，由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．24.（1）直线，消去参数可得普通方程．曲线，可得，可得直角坐标方程：，即．?（2）把代入中，整理得，设，对应的参数分别为，，所以，点在直线上由的几何意义可知，．25.（1）由题得：，，所以，．又，所以，即椭圆的方程为．?（2）由题意知，．当时，切线的方程，点，的坐标分别为，，此时；当时，同理可得．当时，设切线的方程为，由与圆相切，得，即．得．由得．设，两点的坐标分别为，，则，，．所以因为，所以，且当时，，由于当时，，所以的最大值为．26.（1）当时，得，即从第二项开始，数列为等比数列，公比为，当时，，即，可得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，，因为，，成等差数列，所以，即，解得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；?（2）由（1）可得数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，根据题意，，因为，所以，解得，所以，所以，所以，所以．27.（1）因为曲线的极坐标方程为，所以，所以曲线的直角坐标方程为，即，因为直线过点，且该点到圆心的距离为，所以直线与曲线相交．?（2）当直线的斜率不存在时，直线过圆心，，因此直线必有斜率，设其方程为，即，圆心到直线的距离，解得，所以直线的斜率为．28.（1）直线，坐标原点到直线的距离为，所以，所以，因为椭圆的离心率，所以，所以，所以所求椭圆的方程是．?（2）直线代入椭圆方程，消去可得：，所以，所以或，设，，则有，，因为，，且以为直径的圆过点，所以，所以，所以，所以，解得，所以当时，以为直径的圆过定点．29.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），将参数方程代入，整理得，因为直线与曲线有公共点，所以，所以或，因为，所以的取值范围是．?（2）曲线的方程可化为，其参数方程为（为参数），因为为曲线上任意一点，所以，所以的取值范围是．30.证明：设，，，则有，，两式相减得，即，即．31.（1）设椭圆的方程为．因为椭圆的焦距等于，且经过点，解得所以所求的椭圆方程为．?（2）①当椭圆的焦点在轴上时，因为，，所以，可得．此时椭圆的标准方程为；②当椭圆的焦点在轴上时，因为，，所以，解得．此时椭圆的标准方程为．综上所述，所求椭圆的标准方程为或．32.设，，，易求的焦点的坐标为，因为是的中点，所以又是的中点，所以因为在抛物线上，所以，所以点的轨迹方程为．33.（1）设，由条件知，得．又，所以，，故的方程为．?（2）依题意当轴不合题意，故设直线：，设，，将代入，得，当，即时，．从而，又点到直线的距离，所以的面积，设，则，，当且仅当，等号成立，且满足，所以当的面积最大时，的方程为：或．34.（1）因为，，所以，设，，则，，由得，所以．?（2）设，由得，所以将代入椭圆方程解得，所以或或或．35.（1）双曲线的渐近线方程为：，则由题意得，，，解得，则双曲线的方程为：；?（2）联立直线方程和双曲线方程，得到，消去，得，设，，则判别式，，中点的，，则有．来自QQ群28411073636.（1）如图所示，不妨设在双曲线的右支上，点到轴的距离为，，则，设，，由双曲线定义知，又由得，，．来自QQ群284110736?（2）设所求双曲线的方程为，由于双曲线过点，所以，解得或（舍去）．所求双曲线的方程为．37.（1）点在椭圆上，，．在中，；故椭圆的半焦距，从而，椭圆的方程为．?（2）已知圆的方程为，圆心的坐标为．设，的坐标分别为，．由题意且由得又，关于点对称，，，代入得，即直线的斜率为，直线的方程为，即．故所求的直线方程为．来自QQ群28411073638.（1）设圆心为．由于圆与直线相切，且半径为，所以，即．因为为整数，故．故所求圆的方程为．?（2）把直线，即，代入圆的方程，消去，整理，得，由于直线交圆于，两点，故，即，由于，解得，所以实数的取值范围是．?（3）设符合条件的实数存在，则直线的斜率为，的方程为，即，由于垂直平分弦，故圆心必在上，所以，解得．由于，故存在实数．使得过点的直线垂直平分弦．来自QQ群28411073639.（1）当时，的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为?（2）的普通方程为点坐标为，故当变化时，点轨迹的参数方程为点轨迹的普通方程为故点轨迹是圆心为，半径为的圆．40.设圆心为，半径为，则圆心到直线的距离，由勾股定理及垂径定理得：，即，解得：，所以圆心坐标为，半径为；或圆心坐标为，半径为，则圆的方程为或．41.（1）由得因为直线与抛物线相切，所以，解得．?（2）由（）知，故方程即为，解得，代入，得．故点，因为圆与抛物线的准线相切，所以圆的半径等于圆心到抛物线的准线的距离，即，所以圆的方程为．42.（1）由可得，，整理得即为所求．?（2）令直线的斜率为，可得直线的直角坐标方程为．圆的半径为，圆心到直线的距离，又因为，所以可得，即，解得．43.（1）椭圆的焦点为，离心率为．因为双曲线与椭圆的离心率之和为，所以双曲线的离心率为，所以．因为双曲线与椭圆有公共焦点，，所以，所以，，所以双曲线的方程是．?（2）由题意，，，所以，，因为，所以．44.由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以．设抛物线方程为，因为抛物线过点，所以，所以，故抛物线方程为．又双曲线过点，所以．又，所以．所以或（舍）．所以，故双曲线方程为．45.（1）因为到点的距离比它到直线：的距离少，所以到点的距离与它到直线：的距离相等，所以由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点、以直线：为准线的抛物线，设抛物线方程为，所以，所以曲线的方程为．?（2）直线的斜率为定值，理由如下：设，，则，，因为直线，倾斜角互补，所以，即，，所以，所以．46.（1）圆的参数方程为（为参数），消去参数可得：圆的普通方程为．由题意可得：直线的参数方程为（为参数）．?（2）依题意，直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，所以．47.（1）因为椭圆一个顶点为，离心率为，所以所以，所以椭圆的方程为．?（2）直线与椭圆联立消元可得，设，，则，，所以，因为到直线的距离为，所以的面积，因为的面积为，所以，所以．48.（1）由题意，，，解得，，则椭圆的方程为：．?（2）要使面积最大，则到所在直线距离最远．设与平行的直线方程为．由消去并化简得．由得，不妨取，所以与直线平行，且与椭圆相切的直线方程为：，则到直线的距离等于到直线：的距离，，又，面积的最大值．49.（1）因为点在椭圆上，椭圆离心率为，所以解得，，所以椭圆的方程为．来自QQ群284110736?（2）假设存在点，使得为定值，设，，设直线的方程为，联立得，，，，，所以要使上式为定值，即与无关，应有，解得．所以存在点，使得为定值．。

高中数学解析几何压轴题

专业资料整理分享高中数学解析几何压轴题一．选择题1．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）A．钝角B．直角C．锐角D．都有可能2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则（）A．∠PFR＞∠QFR B ∠PFR=∠QFR C．∠PFR＜∠QFR D．∠PFR与∠AFR的大小不确定3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，则实数λ1+λ2=（）A．B．C．D．4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（）A．B．e2﹣1C．D．e2+15．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5 B．7 C．13 D．156．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）A．B．C．D．8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足（O为坐标原点），且动点P的轨迹方程为（）A．y2=4xB．y2=4x（x≠0）C．y2=﹣4xD．y2=﹣4x（x≠0）9．已知抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆x2+y2=4的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程（）A．+=1（y≠0）B．+=1（y≠0）C．﹣=1（y≠0）D．﹣=1（y≠0）10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）A．22B．20C．18D．1611．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．D．13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=（）A．B．8D．14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）A．B．C．D．15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值为（）A．4B．﹣4C．0或4D．0或﹣41．已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆（a＞b＞0）的右焦点交椭圆于A、B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为（）2．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线为l，一直线交双曲线于P．Q两点，交l于R点．则PN∥MQ，，又由双曲线第二定义可知=，3．设椭圆的一个焦点为F，点P在y轴上，直线PF交椭圆于M、N，，B C D，，，4．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e，直线l与双曲线C1交于A，B两点，线段AB中点M在一2B D，∴M（（的坐标代入，可得5．已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（的焦点分别是两圆（6．过双曲线﹣=0（b＞0，a＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）B C D=（+解：∵若（+）e==7．设椭圆的左焦点为F，在x轴上F的右侧有一点A，以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点，则的值为（）B C D==8．已知定点A（1，0）和定直线l：x=﹣1，在l上有两动点E，F且满足，另有动点P，满足、的坐∥∥22+=1（y≠0）B+=1（y≠0）C﹣=1（y≠0）D﹣=1（y≠0）=2，根据抛物线定义可得（10．如图，已知半圆的直径|AB|=20，l为半圆外一直线，且与BA的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件，则|AM|+|AN|的值为（）11．椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2=（）B C D，，再利用余弦定理，即可求得|=2|=，12．曲线（|x|≤2）与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是（）BD，+∞）解：曲线=，k′=，＜k≤13．设抛物线y2=12x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则|AF|+|BF|=B C=，14．已知双曲线上的一点到其左、右焦点的距离之差为4，若已知抛物线y=ax2上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且，则m的值为（）B C D，=的中点坐标是（）﹣，，m=15．已知双曲线上存在两点M，N关于直线y=x+m对称，且MN的中点在抛物线y2=9x上，则实数m的值根据双曲线上存在两点（﹣，，∴b=，m二．解答题（共15小题）16．已知椭圆C：，F1，F2是其左右焦点，离心率为，且经过点（3，1）（1）求椭圆C的标准方程；（2）若A1，A2分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A1Q斜率为k，且，求直线A2Q斜率的取值范围；（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F1QF2的最小值．）根据椭圆的离心率为kk'==，利用，即可求直，且经过点（的标准方程为…（，及=则有，的最小值为17．已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2﹣=1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤15，求S﹣S的取值范围．S S S S，故．=•≤15，所以（﹣在双曲线上，所以，所以=，﹣==，则S=5．﹣=，﹣﹣的取值范围为18．设椭圆D：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF2．（Ⅰ）若过A、B、F2三点的圆C恰好与直线l：x﹣y﹣3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；（Ⅱ）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t取值范围．，可得：中，，所以，（﹣，（﹣：．，圆的方程为（＜=ty=y=3×[+4×[=＜19．已知F1、F2为椭圆C：的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且•的最大值为1，最小值为﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试判断∠MAN是否为直角，并说明理由．•=并与椭圆联立，利用韦达定理求﹣•=x'2+2b2﹣a2（﹣a≤x≤a），••．，=0，=+=++20．如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．b=，知==，，==，=+4当且仅当21．已知直L1：2x﹣y=0，L2：x﹣2y=0．动圆（圆心为M）被L1L2截得的弦长分别为8，16．（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M；（Ⅱ）设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y2=﹣2x上存在点N使得|NA|=|NB|成立，求k 的取值范围．．所以，得（的中垂线为，由，的中点为，即，得，，∴，④…（根据导数知识易得．22．已知直线l1：ax﹣by+k=0；l2：kx﹣y﹣1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．的大小，求出）由时，轨迹是双曲线，焦点为，离心率时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率时，轨迹是椭圆，焦点为，离心率＞；b≤23．如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：（Ⅰ）．求点M的轨迹方程；（Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1，B1C1，C1D1分别与曲线S切于点P，Q，R．求梯形A1B1C1D1面积的最小值．⇒代入①即得的方程为的坐标为．的方程为，得，得，当且仅当，即，的面积的最小值为24．（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45°角，求圆锥的底面周长．（2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ，①若φ=60°，θ=45°，求点B的轨迹；②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由．则．=．又由sin60°=a，平方整理得＜φ＜分）=．．所以•φ=θ＜φ＜时，θ=φ＜时，点4，则．．＜φ＜）分）= sinφ=aφ=时，点θ=φ＜25．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．的方程为，解得的方程为．故点，的直线方程为得，．，则，同理可得，的斜率的直线方程为，由．，得．此时，的距离为，===．面积的最大值为．26．已知点B（0，1），A，C为椭圆上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．（I）当a=4时，求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．（II）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？）依题意，可知椭圆的方程为：x++，令y=0得x==cosθ（cosθ≠0），利用余弦cosθ的有x+1∴椭圆的方程为：），=﹣=（x++，cosθ（cosθ≠0）≤x=cosθ≤，，﹣得：|AB|=|BC|=|=||==+1≥3（当且仅当，即当时，以＜a≤27．如图，P是抛物线C：x2=2y上一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与抛物线交于另一点Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．（1）若l经过点F，求弦长|PQ|的最小值；（2）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0）与x轴交于点S，与y轴交于点T①求证：②求的取值范围．，消去，|PQ|=，消去可取一切不相等的正数∴）==28．过点F（0，1）作直线l与抛物线x2=4y相交于两点A、B，圆C：x2+（y+1）2=1 （1）若抛物线在点B处的切线恰好与圆C相切，求直线l的方程；（2）过点A、B分别作圆C的切线BD、AE，试求|AB|2﹣|AE|2﹣|BD|2的取值范围．，则过点的切线方程为：相切，坐标为的方程为：29．已知圆C的圆心在抛物线x2=2py（p＞0）上运动，且圆C过A（0，p）点，若MN为圆C在x轴上截得的弦．（1）求弦长MN；（2）设AM=l1，AN=l2，求的取值范围．所以．所以θ=45°时，原式有最大值从而30．已知以动点P为圆心的圆与直线y=﹣相切，且与圆x2+（y﹣）2=外切．（Ⅰ）求动P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若M（m，m1），N（n，n1）是C上不同两点，且 m2+n2=1，m+n≠0，直线L是线段MN的垂直平分线．（1）求直线L斜率k的取值范围；（2）设椭圆E的方程为+=1（0＜a＜2）．已知直线L与抛物线C交于A、B两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，PQ中点为S，若=0，求E离心率的范围．相切，且与圆﹣外切，建立方程，即可求动）求出直线方程代入抛物线和椭圆方程，由，则有的斜率为﹣∴|k|＞∴k＜﹣＞﹣﹣，＞恒成立，方程②的判别式，∴＞）+1=＞＜＜。

高中数学压轴题目突破练——解析几何(共42张PPT)

进而得到 x1＋x2＝－81m8 ，x1·x2＝m21－818.
因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，所以 Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)>0，
化简得 m2<162，解得－9 2<m<9 2.
因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点，所以O→A·O→B＝0，所以 x1x2＋y1y2＝0.
解析
练出高分
A组专项基础训练
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1．已知两条直线 l1：y＝x，l2：ax－y＝0，其中 a 为实数，当这两
条直线的夹角在0，1π2内变动时，a 的取值范围是
(C )
A．(0,1) B. 33， 3 C. 33，1∪(1， 3) D．(1， 3)
是 2 3.
练出高分
A组专项基础训练
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8．(10 分)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，一个长轴顶点为(0,2)，
它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 l 与 y
轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两点 A，B，且 A→P＝2P→B. (1)求椭圆的方程；(2)求 m 的取值范围．
解析
由抛物线定义得以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值．设以 AB 为直径的圆的半径为 r，则|AB|＝2r≥4， r≥2，且圆心到 x 轴的距离是 r－1，所以在 x 轴上所截得的弦长为 2 r2－r－12＝2 2r－1≥2 3，即弦长的最小值
1
2

解析几何解答题(压轴题)

7.3解析几何解答题(压轴题)高考命题规律1.高考必考考题,压轴题.2.解答题,12分,中高档难度.3.全国高考有5种命题角度,分布如下表.命题角度1曲线与轨迹问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅱ·20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016全国Ⅲ·20)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A,B,P-,Q-,R-.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=----=-b=k2.所以AR∥FQ.l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|-,S△PQF=-.由题设可得|b-a|--,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得-(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以所求轨迹方程为y2=x-1.新题演练提能·刷高分1.(2018山西太原二模)已知以点C(0,1)为圆心的动圆C与y轴负半轴交于点A,其弦AB的中点D恰好落在x轴上.(1)求点B的轨迹E的方程;(2)过直线y=-1上一点P作曲线E的两条切线,切点分别为M,N.求证:直线MN过定点.B(x,y),则AB的中点D,y>0.∵C(0,1),则-,在☉C中,∵DC⊥DB,∴=0,∵-+y=0,即x2=4y(y>0).∴点B的轨迹E的方程为x2=4y(y>0).E的方程为x2=4y,设点P(t,-1),M(x1,y1),N(x2,y2).∵y=,∴y'=,∴过点M、N的切线方程分别为y-y1=(x-x1),y-y2=(x-x2).由4y1=,4y2=,上述切线方程可化为2(y+y1)=x1x,2(y+y2)=x2x.∵点P在这两条切线上, ∴2(y1-1)=tx1,2(y2-1)=tx2,即直线MN的方程为2(y-1)=tx,故直线2(y-1)=tx过定点C(0,1).2.(2018广西梧州3月适应性测试)已知A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)设F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,点R是PF2中点,O是坐标原点,记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值.设P(x,y),∵A(-2,0),B(2,0),∴k1=,k2=,-=-,又k1k2=-,∴-∴=1(x≠±2),∴轨迹C的方程为=1(x≠±2).(2)由O,R分别为F1F2,PF2的中点,故OR∥PF1,故△PF1R与△PF1O同底等高,故△△ ,S=△△ =S△PQO,当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=×1×--;当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0;联立解得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,Δ=144(k2+1)>0,--故|PQ|=|x1-x2|=-, 点O到直线PQ的距离d=,S=|PQ|d=6,令u=3+4k2∈(3,+∞),故S=6---,故S的最大值为.3.(2018甘肃兰州一模)已知圆C:(x+1)2+y2=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设过点C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).①设W(x0,y0),证明:<1;②求四边形QRST的面积的最小值.r,由于D在圆内,圆P与圆C内切,则|PC|=2-r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2>|CD|=2, 由椭圆定义可知,点P的轨迹E是椭圆,a=,c=1,b=-=1,E的方程为+y2=1.(2),垂足W在以CD为直径的圆周上,则有=1,又因Q,R,S,T为不同的四个点,<1.l1或l2的斜率不存在,四边形QRST的面积为2.若两条直线的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),解方程组得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则|QS|=2,同理得|RT|=2,∴S QSRT=|QS|·|RT|=,当且仅当2k2+1=k2+2,即k=±1时等号成立.综上所述,当k=±1时,四边形QRST的面积取得最小值.4.(2018福建福州3月质检)设点A为圆C:x2+y2=4上的动点,点A在x轴上的投影为Q,动点M满足2,动点M的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)设E与y轴正半轴的交点为B,过点B的直线l的斜率为k(k≠0),l与E交于另一点P.若以点B为圆心,以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点,求k的取值范围.设点M(x,y),A(x1,y1),则Q(x1,0),因为2,所以2(x1-x,-y)=(0,-y1),所以---解得由于点A在圆C:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4,所以点M的轨迹E的方程为+y2=1.(2)由(1)知,E的方程为+y2=1,因为直线l:y=kx+1(k≠0).由得(1+4k2)x2+8kx=0.设B(x1,y1),P(x2,y2),因此x1=0,x2=-,|BP|=|x1-x2|=,则点P的轨迹方程为x2+(y-1)2=,由-得3y2+2y-5+=0(-1≤y≤1),(*)依题意得,(*)式关于y的方程在(-1,1)有两个不同的实数解,设f(x)=3x2+2x-5+(-1<x<1),因为函数f(x)的对称轴为x=-,要使函数f(x)的图象在(-1,1)与x轴有两个不同的交点,则---整理得--即--所以解得k∈----,所以k的取值范围为----.命题角度2直线与圆锥曲线的位置关系高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅰ·20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=--=1.(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.(2017北京·19)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).---联立--.解得点E的纵坐标y E=---由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.3.(2017天津·20)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA 的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM 与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=-,y=,即点Q的坐标为-.由已知|FQ|=c,有-, 整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立-消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去)或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|=,所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为=1.新题演练提能·刷高分1.(2018河南郑州一模)已知圆C:x2+y2+2x-2y+1=0和抛物线E:y2=2px(p>0),圆心C到抛物线焦点F 的距离为.(1)求抛物线E的方程;(2)不过原点的动直线l交抛物线于A,B两点,且满足OA⊥OB.设点M为圆C上任意一动点,求当动点M到直线l的距离最大时的直线l的方程.C:x2+y2+2x-2y+1=0可化为(x+1)2+(y-1)2=1,则圆心C为(-1,1).∵F,0,∴|CF|=-,解得p=6.∴抛物线的方程为y2=12x.(2)设直线l为x=my+t(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立可得y2-12my-12t=0.∴y1+y2=12m,y1y2=-12t.∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.整理可得t2-12t=0,∵t≠0,∴t=12.∴直线l的方程为x=my+12,故直线l过定点P(12,0).∴当CN⊥l时,即动点M经过圆心C(-1,1)时到动直线l的距离取得最大值.=-,∴m=,k MP=k CP=---此时直线l的方程为x=y+12,即为13x-y-156=0.2.(2018河北唐山一模)已知椭圆Γ:=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,长轴长为2,B为直线l:x=-3上的动点,M(m,0),AM⊥BM.当AB⊥l时,M与F重合.(1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线BM交椭圆Γ于P,Q两点,若AP⊥AQ,求m的值.依题意得A(0,b),F(-c,0),当AB⊥l时,B(-3,b),由AF⊥BF,得k AF·k BF==-1,-又b2+c2=6,解得c=2,b=.所以,椭圆Γ的方程为=1.(2)由(1)得A(0,),依题意,显然m≠0,所以=-,又AM⊥BM,所以k BM=,所以直线BM的方程为y=(x-m),设P(x1,y1),Q(x2,y2).-联立有(2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,x1+x2=,x1x2=-.|PM|·|QM|=|(x1-m)(x2-m)|=|x1x2-m(x1+x2)+m2|=-=-,|AM|2=2+m2,由AP⊥AQ得,|AM|2=|PM|·|QM|,所以-=1,解得m=±1.3.(2018湖北华师附中、黄冈中学等八校第二次联考)在直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点P在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若斜率存在,纵截距为-2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若直线AP,BP的斜率均存在,求证:直线AP,OP,BP的斜率依次成等差数列.由=1知a=2,b=,c=1,故椭圆C的方程为=1.l:y=kx-2,联立-消元得(3+4k2)x2-16kx+4=0.∵Δ>0,∴k2>.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∵k AP+k BP=----=------=--=--=--=3.已知k OP=,∴k AP+k BP=2k OP,即直线AP,OP,BP的斜率依次成等差数列.命题角度3圆锥曲线的最值、范围问题高考真题体验·对方向1.(2017浙江·21)如图,已知抛物线x2=y,点A-,B,抛物线上的点P(x,y)-.过点B 作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.设直线AP的斜率为k,k=-=x-,因为-<x<,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是x Q=-.因为|PA|=(k+1),|PQ|=(x Q-x)=-,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间-上单调递增,上单调递减,因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值.2.(2017山东·21)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2.(1)求椭圆C的方程;(2)动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,☉N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与☉N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.由椭圆的离心率为,得a2=2(a2-b2),又当y=1时,x2=a2-,得a2-=2,所以a2=4,b2=2.因此椭圆方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,由Δ>0得m2<4k2+2.(*)且x1+x2=-,因此y1+y2=,所以D-,又N(0,-m),所以|ND|2=-,整理得|ND|2=,因为|NF|=|m|,所以=1+.令t=8k2+3,t≥3,故2k2+1=,所以=1+=1+.令y=t+,所以y'=1-.当t≥3时,y'>0,从而y=t+在[3,+∞)上单调递增,因此t+,等号当且仅当t=3时成立,此时k=0,所以≤1+3=4,由(*)得-<m<且m≠0.故.设∠EDF=2θ,则sin θ=.所以θ的最小值为,从而∠EDF的最小值为,此时直线l的斜率是0.综上所述,当k=0,m∈(-,0)∪(0,)时,∠EDF取到最小值.3.(2016全国Ⅱ·21)已知A是椭圆E:=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N 在E上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.M(x1,y1),则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×.AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=-得x1=-,故|AM|=|x1+2|.由题设,直线AN的方程为y=-(x+2),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得,即4k3-6k2+3k-8=0.设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.f'(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)单调递增.又f()=15-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)有唯一的零点,且零点k在(,2)内.所以<k<2.新题演练提能·刷高分1.(2018广东深圳第二次调研)直线l经过抛物线C:x2=4y的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,抛物线C在A,B两点处的切线分别与x轴交于点M,N.(1)证明:AM⊥MF;(2)记△AFM和△BFN的面积分别为S1和S2,求S1·S2的最小值.A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1=,y2=.由导数知识可知,抛物线C在A点处的切线l1的斜率k1=,则切线l1的方程为y-y1=(x-x1),令y=0,可得M.∵F(0,1),∴直线MF的斜率k MF=-=-.-∴k1·k MF=-1,∴AM⊥MF.(1)可知S1=AM·MF,其中AM=-,MF=, ∴S1=AM·MF=(y1+1).同理可得S2=(y2+1).∴S1·S2=(y1+1)(y2+1)=(y1y2+y1+y2+1).设直线l的方程为y=kx+1,联立方程可得x2-4kx-4=0,∴x1·x2=-4.∴y1·y2==1.∴S1·S2=(y1+y2+2)≥(2+2)=1,当且仅当y1=y2时,等号成立.∴S1·S2的最小值为1.2.(2018山东济南一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点.(1)若直线OA,OB的斜率之积为-,证明:直线l过定点;(2)若线段AB的中点M在曲线C2:y=4-x2(-2<x<2)上,求的最大值.A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,由得x2-4kx-4m=0,Δ=16(k2+m)>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,k OA·k OB==-,由已知:k OA·k OB=-,所以m=1,所以直线l的方程为y=kx+1,所以直线l过定点(0,1).M(x0,y0),则x0==2k,y0=kx0+m=2k2+m,将M(x0,y0)代入C2:y=4-x2(-2<x<2),得2k2+m=4-(2k)2,∴m=4-3k2.∵-2<x0<2,∴-2<2k<2,∴-<k<.∵Δ=16(k2+m)=16(k2+4-3k2)=32(2-k2)>0,∴-<k<,故k的取值范围是k∈(-).|AB|=-=,将m=4-3k2代入,得|AB|=4-≤4-=6,当且仅当k2+1=2-k2,即k=±时取等号,所以|AB|的最大值为6.3.(2018湖北武汉调研)已知椭圆Γ:=1,过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l1,l2,设l1与椭圆Γ交于A,B两点,l2与椭圆Γ交于C,D两点.(1)若P(1,1)为线段AB的中点,求直线AB的方程;(2)记λ=,求λ的取值范围.设直线AB的斜率为k=tan α,方程为y-1=k(x-1),代入x2+2y2=4中,∴x2+2[kx-(k-1)]2-4=0.∴(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2(k-1)2-4=0.判别式Δ=[4(k-1)k]2-4(2k2+1)[2(k-1)2-4]=8(3k2+2k+1).设A(x1,y1),B(x2,y2),则---∵AB中点为(1,1),∴(x1+x2)=-=1,则k=-.∴直线AB的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.(2)由(1)知|AB|=|x1-x2|=-.设直线CD的方程为y-1=-k(x-1)(k≠0).同理可得|CD|=-.∴λ=-(k≠0).∴λ2=1+-=1+-.令t=3k+,则g(t)=1+-,t∈(-∞,-2]∪[2,+∞).g(t)在(-∞,-2],[2,+∞)上分别单调递减,∴2-≤g(t)<1或1<g(t)≤2+.故2-≤λ2<1或1<λ2≤2+.即λ∈-.4.(2018辽宁大连一模)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点M在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)已知P(-2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点,过点(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,求四边形APBQ面积的最大值.由可得,a=2c,又因为b2=a2-c2,所以b2=3c2.所以椭圆C的方程为=1.因为M在椭圆C上,所以=1.所以c2=1,所以a2=4,b2=3,故椭圆方程为=1.(2)方法一:设l的方程为x=my+1,联立消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),有Δ>0,y1+y2=-,y1y2=-,|y1-y2|=-=---,所以S=×4×.令t=,t≥1,有S=.设函数y=3t+,t∈[1,+∞),y'=3->0,t∈[1,+∞),故函数y=3t+在[1,+∞)上单调递增,故3t+≥4,故S=≤6,当且仅当t=1即m=0时等号成立,四边形APBQ面积的最大值为6.方法二:设l的方程为x=my+1,联立消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),有Δ>0,y1+y2=-,y1y2=-,有|AB|=,点P(-2,0)到直线l的距离为,点Q(2,0)到直线l的距离为,从而四边形APBQ的面积S=.令t=,t≥1,有S=,函数y=3t+,t∈[1,+∞),y'=3->0,t∈[1,+∞),故函数y=3t+在[1,+∞)上单调递增,有3t+≥4,故S=≤6.当且仅当t=1即m=0时等号成立,四边形APBQ面积的最大值为6.命题角度4圆锥曲线的定值、定点问题高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅲ·20)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为--=-,所以不能出现AC⊥BC的情况.(2)BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2-.由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.联立---又+mx2-2=0,可得--所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为--,半径r=.故圆在y轴上截得的弦长为2-=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.2.(2016北京·19)已知椭圆C:=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.又c=-,所以离心率e=.P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.又A(2,0),B(0,1),所以直线PA的方程为y=-(x-2).令x=0,得y M=--,从而|BM|=1-y M=1+-.直线PB的方程为y=-x+1.令y=0,得x N=--,从而|AN|=2-x N=2+-.所以四边形ABNM的面积S=|AN|·|BM|=--=----=----=2.从而四边形ABNM的面积为定值.3.(2015全国Ⅱ·20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM 的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.由题意有-=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为=1.l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故x M=-,y M=k·x M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.新题演练提能·刷高分1.(2018福建厦门第一次质检)设O为坐标原点,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为.直线l:y=kx+m(m>0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P(0,1),=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.F1,则OM为△AFF1的中位线.∴OM=AF1,MF=AF,∴|OM|+|MF|==a=5,∵e=,∴c=2,∴b=,∴椭圆C的方程为=1.A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.∴Δ>0,x1+x2=-,x1x2=-,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=--=-.∵P(0,1),=-4,∴(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,∴--+5=0,整理得3m 2-m-10=0, 解得m=2或m=-(舍去).∴直线l 过定点(0,2).2.(2018河北石家庄一模)已知椭圆C :=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且离心率为,M为椭圆上任意一点,当∠F 1MF 2=90°时,△F 1MF 2的面积为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点,延长直线AF 1,AF 2分别与椭圆交于点B ,D ,设直线BD 的斜率为k 1,直线OA 的斜率为k 2,求证:k 1·k 2为定值.|MF 1|=r 1,|MF 2|=r 2,由题解得a= ,c=1,则b 2=1,∴椭圆C 的方程为+y 2=1.A (x 0,y 0)(x 0·y 0≠0),B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),当直线AF 1的斜率不存在时,设A -,则B - -,直线AF 2的方程为y=-(x-1)代入 +y 2=1,可得5x 2-2x-7=0.∴x 2= ,y 2=- ,则D -.∴直线BD 的斜率为k 1=-- -- - ,直线OA 的斜率为k 2=-, ∴k 1·k 2=-=-. 当直线AF 2的斜率不存在时,同理可得k 1·k 2=-. 当直线AF 1,AF 2的斜率存在时,x 0≠±1.设直线AF 1的方程为y= (x+1),则由消去x 可得:[(x 0+1)2+2 ]x 2+4 x+2-2(x 0+1)2=0.又=1,则2 =2- ,代入上述方程可得(3+2x 0)x 2+2(2- )x-3 -4x 0=0,∴x1·x0=--,∴x1=--,则y1=--=-, ∴B--.设直线AF2的方程为y=-(x-1),同理可得D---.∴直线BD的斜率为k1=-----.∵直线OA的斜率为k2=,∴k1·k2=----=-.∴直线BD与OA的斜率之积为定值-,即k1·k2=-.3.(2018重庆二诊)如图,已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的左、右焦点,B为椭圆C的上顶点,点P在椭圆C上,直线PF1与y轴的交点为M,O为坐标原点,且|PM|=|F2M|,|OM|=.(1)求椭圆C的方程;(2)过点B作两条互相垂直的直线分别与椭圆C交于S,T两点(异于点B),证明:直线ST过定点,并求该定点的坐标.|PM|=|MF2|=|MF1|,∴MO为△F1PF2的中位线,∴MO∥PF2,∴PF2⊥F1F2,∴|PF2|=2|OM|=.又a2=b2+c2,c=1,∴a2=4,b2=3,∴椭圆方程为=1.S(x1,y1),T(x2,y2),直线BS:y=kx+,由消去y整理得(4k2+3)x2+8kx=0, 解得x=-或x=0(舍去).∴x1=-,以-代替上式中的k,可得x2=--.由题意可得,若直线BS关于y轴对称后得到直线B'S',则得到的直线S'T'与ST关于x轴对称, 所以若直线ST经过定点,该定点一定是直线S'T'与ST的交点,故该点必在y轴上.设该点坐标为(0,t),则有----,∴t=--=---,将x1,x2的值代入上式,化简得t=-,∴直线ST经过定点-.4.(2018北京丰台期末)在平面直角坐标系xOy中,动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等,记点P的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点A在曲线C上,x轴上一点B(在点F右侧)满足|AF|=|FB|.平行于AB的直线与曲线C相切于点D,试判断直线AD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.因为动点P到点F(1,0)的距离和它到直线x=-1的距离相等,所以动点P的轨迹是以点F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线.设C的方程为y2=2px,则=1,即p=2.所以C的轨迹方程为y2=4x.(2)设A,m,则B+2,0,所以直线AB的斜率为k=-=-.设与AB平行,且与抛物线C相切的直线为y=-x+b,由-得my2+8y-8b=0,由Δ=64+32mb=0得b=-,所以y D=-,所以点D,-.x-,当,即m≠±2时,直线AD的方程为y-m=-(x-1),所以直线AD过定点(1,0).整理得y=-当,即m=±2时,直线AD的方程为x=1,过定点(1,0).综上所述,直线AD过定点(1,0).命题角度5圆锥曲线的探究、存在性问题高考真题体验·对方向1.(2016全国Ⅰ·20)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.由已知得M(0,t),P.又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.所以N为OH的中点,即=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.2.(2015全国Ⅱ·20)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故x M=-,y M=kx M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.OAPB能为平行四边形.因为直线l过点,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3.由(1)得OM的方程为y=-x.设点P的横坐标为x P.由-得,即x P=.将点的坐标代入l的方程得b=-,因此x M=-.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M.于是=2×-,解得k1=4-,k2=4+.因为k i>0,k i≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4-或4+时,四边形OAPB为平行四边形.新题演练提能·刷高分1.(2018山西太原一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,右焦点为F2(2,0),点B(2,-)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=kx(k≠0)与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,在x轴上,是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有∠MPN为直角?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.依题意,c=2.∵点B(2,-)在C上,∴=1.∵a2=b2+c2,∴a2=8,b2=4,∴椭圆方程为=1.(2)假设存在这样的点P,设P(x0,0),E(x1,y1),则F(-x1,-y1),联立消去y化简得(1+2k2)x2-8=0,解得x1=,y1=.∵A(-2,0),∴AE所在直线方程为y=·(x+2),∴M0,,同理可得N0,-,=-x0,,=-x0,-,由=0,得-4=0.∴x0=2或x0=-2.∴存在点P,使得无论非零实数k怎么变化,总有∠MPN为直角,点P坐标为(2,0)或(-2,0).2.(2018山东菏泽一模)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D 在第四象限.(1)求抛物线E的方程;(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.∵圆F的方程为(x-2)2+y2=1,∴圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.根据题意设抛物线E的方程为y2=2px(p>0),∴=2,解得p=4.∴抛物线E的方程为y2=8x.(2)∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8.∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10r=10.讨论:若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=±4.此时|AD|=8,不满足题意;若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k≠0),此时l的方程为y=k(x-2),由-得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.∵拋物线E的准线方程为x=-2,∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4.∴+4=10,解得k=±2.当k=±2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0.∵(-6)2-4×1×4>0,∴x2-6x+4=0有两个不相等的实数根.∴k=±2满足题意.∴存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.3.(2018新疆第二次适应性检测)已知动点P是圆G:(x+)2+y2=32上的任意一点,点P与点A(,0)的连线段的垂直平分线和GP相交于点Q.(1)求点Q的轨迹C的方程;(2)过坐标原点O的直线l交轨迹C于点E,F两点,直线EF与坐标轴不重合.M是轨迹C上的一点,若△EFM的面积是4,试问直线EF,OM的斜率之积是否为定值,若是,求出此定值,否则,说明理由.由题意,|QP|=|QA|,∵|GQ|+|QP|=|GP|=4,∴|GQ|+|QA|=4>|GA|,∴点Q的轨迹是以G,A为焦点的椭圆,其中a=2,c=,∴椭圆C的方程为=1.(2)设直线l的方程为y=k1x,联立得(4+1)x2=8,∴|EF|=,设OM所在的直线方程为y=k2x,联立椭圆方程得M或M,点M到直线EF的距离d=.S△KFM=×|EF|×d==4.∴4-8k1k2+4=16+4+4+1,即16+8k1k2+1=0,解得k1k2=-,∴直线EF,OM的斜率之积是定值-.4.(2018山西晋城一模)已知直线l1是抛物线C:x2=2py(p>0)的准线,直线l2:3x-4y-6=0,且l2与抛物线C 没有公共点,动点P在抛物线C上,点P到直线l1和l2的距离之和的最小值等于2.(1)求抛物线C的方程;(2)点M在直线l1上运动,过点M作抛物线C的两条切线,切点分别为P1,P2,在平面内是否存在定点N,使得MN⊥P1P2恒成立?若存在,请求出定点N的坐标,若不存在,请说明理由.解(1)作PA,PB分别垂直l1和l2,垂足为A,B,抛物线C的焦点为F0,,由抛物线定义知|PA|=|PF|,所以d1+d2=|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,易知d1+d2的最小值即为点F到直线l2的距离,故d=--=2,∴p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)由(1)知直线l1的方程为y=-1,当点M在特殊位置(0,-1)时,易知两个切点P1,P2关于y轴对称,故要使得MN⊥P1P2,点N必须在y轴上.故设M(m,-1),N(0,n),P1x1,,P2x2,, 抛物线C的方程为y=x2,求导得y'=x,所以切线MP1的斜率k1=x1,直线MP1的方程为y-x1(x-x1),又点M在直线MP1上,所以-1-x1(m-x1),整理得-2mx1-4=0,同理可得-2mx2-4=0,故x1和x2是一元二次方程x2-2mx-4=0的两根,由韦达定理得-=x2-x1,·(-m,n+1)=(x2-x1)[-4m+(n+1)(x2+x1)]=(x2-x1)[-4m+2m(n+1)]=m(x2-x1)(n-1),可见n=1时,=0恒成立,所以存在定点N(0,1),使得MN⊥P1P2恒成立.。

解析几何小题压轴练-高考数学重点专题冲刺演练(学生版)

解析几何小题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)一、单选题1.(2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=60°，PF 2的延长线交双曲线于点Q ，若双曲线的离心率为e =72，则PQ F 1Q=()A.23B.813C.815D.122.(2023·山东潍坊·统考模拟预测)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点F 2与抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，点P 为C 1与C 2的一个交点，若△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，C 2的准线与C 1交于A ，B 两点，且AB =92，则C 1的离心率为()A.94B.54C.95D.743.(2023·江苏南通·海安高级中学校考一模)双曲线C :x 2-y 2=4的左，右焦点分别为F 1,F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ,B 两点，△AF 1F 2,△BF 1F 2,△F 1AB 的内切圆圆心分别为O 1,O 2,O 3，则△O 1O 2O 3的面积是()A.62-8B.62-4C.8-42D.6-424.(2023·湖南永州·统考二模)如图，F 1,F 2为双曲线的左右焦点，过F 2的直线交双曲线于B ,D 两点，且F 2D =3F 2B ，E 为线段DF 1的中点，若对于线段DF 1上的任意点P ，都有PF 1 ⋅PB ≥EF 1 ⋅EB 成立，则双曲线的离心率是()A.2B.3C.2D.55.(2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两焦点为F 1，F 2，x 轴上方两点A ，B 在椭圆上，AF 1与BF 2平行，AF 2交BF 1于P .过P 且倾斜角为αα≠0 的直线从上到下依次交椭圆于S ，T .若PS =βPT ，则“α为定值”是“β为定值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不必要也不充分条件6.(2023·江苏南通·二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为()A.54B.85C.52D.21057.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)如图，已知椭圆C 1和双曲线C 2具有相同的焦点F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，A 、B 、C 、D 是它们的公共点，且都在圆x 2+y 2=c 2上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若椭圆C 1的离心率为155，则k 1⋅k 2的值为()A.2B.52C.3D.4二、多选题1.(2023·广东·统考一模)已知拋物线E :y 2=8x 的焦点为F ，点F 与点C 关于原点对称，过点C 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(点A 和点C 在点B 的两侧)，则下列命题正确的是()A.若BF 为△ACF 的中线，则AF =2BFB.若BF 为∠AFC 的角平分线，则AF =6C.存在直线l ，使得AC =2AFD.对于任意直线l ，都有AF +BF >2CF2.(2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测)已知P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 是椭圆x 24+9y 24=1上两个不同点，且满足x 1x 2+9y 1y 2=-2，则下列说法正确的是()A.2x 1+3y 1-3 +2x 2+3y 2-3 的最大值为6+25B.2x 1+3y 1-3 +2x 2+3y 2-3 的最小值为3-5C.x 1-3y 1+5 +x 2-3y 2+5 的最大值为25+2105D.x 1-3y 1+5 +x 2-3y 2+5 的最小值为10-223.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)设F 1，F 2为椭圆x 24+y 23=1的左，右焦点，直线l过F 1交椭圆于A ，B 两点，则以下说法正确的是()A.△ABF 2的周长为定值8B.△ABF 2的面积最大值为23C.AF 1 2+AF 2 2的最小值为8D.存在直线l 使得△ABF 2的重心为16,144.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，直线l 与C 交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是()A.若直线l 经过焦点F ，且OA ⋅OB=-12，则p =2B.若AF =3FB ，则直线l 的倾斜角为π3C.若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则ABMN的最小值为2D.若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切5.(2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ，斜率为34的直线l 1过点F 交C 于A ，B 两点，且点B 的横坐标为4，直线l 2过点B 交C 于另一点M (异于点A )，交C 的准线于点D ，直线AM 交准线于点E ，准线交y 轴于点N ，则()A.C 的方程为x 2=4yB.AB =254C.BD <AED.ND ⋅NE =46.(2023·山东青岛·统考一模)已知A 、B 是平面直角坐标系xOy 中的两点，若OA =λOB λ∈R ，OA⋅OB=r 2r >0 ，则称B 是A 关于圆x 2+y 2=r 2的对称点．下面说法正确的是()A.点1,1 关于圆x 2+y 2=4的对称点是-2,-2B.圆x 2+y 2=4上的任意一点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点就是A 自身C.圆x 2+y -b 2=b 2b >0 上不同于原点O 的点M 关于圆x 2+y 2=1的对称点N 的轨迹方程是y =12bD.若定点E 不在圆C :x 2+y 2=4上，其关于圆C 的对称点为D ，A 为圆C 上任意一点，则ADAE为定值7.(2023·山东济宁·统考一模)已知F 1，F 2是椭圆C 1：x 2a 12+y 2a 22=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a 22-y 2a 22=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点，e 1，e 2分别是C 1与C 2的离心率，且P 是C 1与C 2的一个公共点，满足PF 1⋅PF 2=0，则下列结论中正确的是()A.a 12+b 12=a 22-b 22 B.1e 21+1e 22=2C.1e 1+3e 2的最大值为22 D.3e 1+1e 2的最大值为228.(2023·山东济南·一模)在平面直角坐标系xOy 中，由直线x =-4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则()A.∠APB 恒为锐角B.当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C.|AP |的最小值为4D.存在点P ，使得(PA +PO )⋅OA=09.(2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测)已知AB ，CD 是经过抛物线y 2=2x 焦点F 的互相垂直的两条弦，若AB 的倾斜角为锐角，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中一定成立的是()A.AB 2+CD 2最小值为32B.设P x ,y 为抛物线上任意一点，则x +x -322+y -2 2的最小值为5C.若直线CD 的斜率为-3，则AF ⋅BF =4D.OA ⋅OB +OC ⋅OD =-3210.(2023·湖南·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =3x ，且F 1到l 的距离为33，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为2,0 ，PQ 为∠F 1PF 2的平分线．则下列正确的是()A.双曲线的方程为x 29-y 227=1B.PF 1=3 PF 2C.OP =36D.点P 到x 轴的距离为315211.(2023·湖南·模拟预测)已知椭圆：Γ:x 2a2+y 23=1(a >3)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，点M 为椭圆Γ上一点，点I 是△MF 1F 2的内心，延长MI 交线段F 1F 2于N ，抛物线y 2=158(a +c )x (其中c为椭圆下的半焦距)与椭圆Γ交于B ，C 两点，若四边形ABF 1C 是菱形，则下列结论正确的是()A.|BC |=352 B.椭圆Γ的离心率是32C.1MF 1 +4MF 2的最小值为94 D.|IN ||MI |的值为12三、填空题1.(2023·广东揭阳·校考模拟预测)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1,F 2，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2=π3.若ΔF 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ,r ，且R =4r ，则双曲线的离心率为.2.(2023·浙江·校联考三模)已知椭圆E :x 24+y 2=1，椭圆的左右焦点分别为F 1,F 2，点A (m ,n )为椭圆上一点且m >0,n >0，过A 作椭圆E 的切线l ，并分别交x =2、x =-2于C 、D 点．连接CF 1、DF 2，CF 1与DF 2交于点E ，并连接AE ．若直线l ，AE 的斜率之和为32，则点A 坐标为．3.(2023·辽宁葫芦岛·统考一模)已知双曲线M :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P为双曲线右支上的一点，Q 为△F 1F 2P 的内心，且2QF 1 +3QF 2 =4PQ，则M 的离心率为．4.(2023·辽宁·校联考一模)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 焦点F 的直线与C 的两条渐近线的交点分分别为M 、N ，当MF +3FN =0时，FN =b .则C 的离心率为.5.(2023·河北邢台·校联考模拟预测)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，经过F 的直线l ，l 与C 的对称轴不垂直，l 交C 于A ，B 两点，点M 在C 的准线上，若△ABM 为等腰直角三角形，则AB =．6.(2023·福建泉州·统考三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,C 的渐近线与圆x 2+y 2=a 2在第一象限的交点为M ，线段MF 2与C 交于点N ，O 为坐标原点．若MF 1⎳ON ，则C 的离心率为．7.(2023·山东枣庄·统考二模)已知点A 1,2 在抛物线y 2=2px 上，过点A 作圆x -2 2+y 2=2的两条切线分别交抛物线于B ，C 两点，则直线BC 的方程为．8.(2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e ≠22，C 的左右焦点分别为F 1,F 2，点A 在椭圆C 上满足∠F 1AF 2=π2．∠F 1AF 2的角平分线交椭圆于另一点B ，交y轴于点D ．已知AB =2BD，则e =．9.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)设F 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，A ，B 分别为双曲线E 的左右顶点，点P 为双曲线E 上异于A ，B 的动点，直线l ：x =t 使得过F 作直线AP 的垂线交直线l 于点Q 时总有B ，P ，Q 三点共线，则ta 的最大值为.10.(2023·湖南株洲·统考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，若PF 1 =43F 1Q ，且PF 2 =F 1F 2，则椭圆C 的离心率为．11.(2023·湖南常德·统考一模)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC =1，点P 为长方体表面上的动点，且PA ⋅PB=0，当CP 最小时，△ABP 的面积为.12.(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测)在平面直角坐标系中，椭圆E 以两坐标轴为对称轴，左，右顶点分别为A ，B ，点P 为第一象限内椭圆上的一点，P 关于x 轴的对称点为Q ，过P 作椭圆的切线l ，若l ⊥AP ，且△APQ 的垂心恰好为坐标原点O ，记椭圆E 的离心率为e ，则e 2的值为.。

高考数学压轴大题解析几何

高考数学压轴大题-解析几何1. 设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.I 求双曲线C 的离心率e 的取值范围：II 设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125PB PA =求a 的值.解：I 由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y 并整理得1－a 2x 2+2a 2x －2a 2=0. ① 双曲线的离心率II 设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A由于x 1+x 2都是方程①的根,且1－a 2≠0,2. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点,P 为C 上任意一点,且向量21PF PF 与向量的夹角余弦的最小值为31.Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,求OMN ∆O 为原点的面积的最大值及相应的直线l 的方程.解：Ⅰ设椭圆的长轴为2a ,a 2=+22==c =2121221242)(PF PF PF PF PF PF ⋅-⋅-+=1244212-⋅-PF PF a又212PF PF ⋅≥∴221a PF PF ≤⋅即31211244cos 222=-=--≥aa a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12322=+y x Ⅱ 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N()1111212OMN F OM F ON S S S OF y y ∆∆∆=+=+=2121y y -即 044)32(22=--+my y m . 由韦达定理得:∴212212214)(y y y y y y -+=-= 3216)32(162222+++m m m =222)32()1(48++m m 令12+=m t , 则1≥t ∴221y y -=41448)12(482++=+tt t t .又令tt t f 14)(+=, 易知)(t f 在1,+∞上是增函数,所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.∴221y y -有最大值316∴OMN S ∆ 的面积有最大值332.直线l 的方程为1-=x .3. 椭圆E 的中心在原点O,焦点在x 轴上,离心率e过点C 1,0的直线l 交椭圆于A 、B 两点,且满足：CA =BC λ 2λ≥．Ⅰ若λ为常数,试用直线l 的斜率kk ≠0表示三角形OAB 的面积． Ⅱ若λ为常数,当三角形OAB 的面积取得最大值时,求椭圆E 的方程．Ⅲ若λ变化,且λ= k 2＋1,试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时,椭圆E 的短半轴长取得最大值并求出此时的椭圆方程．解：设椭圆方程为22221+=x y a ba ＞b ＞0,由e =caa 2=b 2c 2得a 2=3 b 2,故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ① Ⅰ∵直线l ：y = kx ＋1交椭圆于Ax 1,y 1,Bx 2,y 2两点,并且CA =BC λ λ≥2, ∴x 11,y 1 =λ1x 2,y 2, 即12121(1)x x y y λλ+=-+⎧⎨=-⎩ ②把y = kx 1代入椭圆方程,得3k 21x 26k 2x 3k 23b 2= 0, 且 k 2 3b 21b 2＞0 ,∴x 1x 2= 22631k k +, ③x 1x 2=2223331k b k -+, ④∴O A B S ∆=12|y 1y 2| =12|λ1|·| y 2| =|1|2λ+·| k |·| x 21|．联立②、③得x 21=22(1)(31)k λ-+,∴O A B S ∆=11λλ+-·2||31k k + k ≠0．ⅡO AB S ∆=11λλ+-·2||31k k + =11λλ+-·113||||k k + ≤11λλ+-λ≥2．当且仅当3| k | =1||k ,即k=,O AB S ∆取得最大值,此时x 1x 2= 1．又∵x 11= λ x 21,∴x 1=11λ-,x 2= 1λλ-,代入④得3b 2=221(1)λλ+-．此时3b 2≥5,,k b 的值符合故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2=221(1)λλ+-λ≥2．Ⅲ由②、③联立得：x 1=22(1)(31)k λλ--+1, x 2=22(1)(31)k λ-+1,将x 1,x 2代入④,得23b =224(1)(31)k λλ-+1．由k 2=λ1得23b =24(1)(32)λλλ-- 1=432212(1)(1)(32)λλλ⎡⎤+⎢⎥---⎣⎦＋1．易知,当2λ≥时,3b 2是λ的减函数,故当2λ=时,23b 取得最大值3．所以,当2λ=,k =±1符合时,椭圆短半轴长取得最大值, 此时椭圆方程为x 2 3y 2 = 3．4. 已知椭圆的中心为坐标原点O ,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. I 求椭圆的离心率；II 设M 为椭圆上任意一点,且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ,证明22μλ+为定值.解：I 设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入.化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线,得II 证明：由I 知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),(y x M 在椭圆上,即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ①由I 知.21,23,23222221c b c a c x x ===+又222222212133,33b y x b y x =+=+又,代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值,定值为1.5. 已知椭圆2212x y +=的左焦点为F,O 为坐标原点.I 求过点O 、F,并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；II 设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G,求点G 横坐标的取值范围.解：I 222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-圆过点O 、F,∴圆心M 在直线12x =-上;设1(,),2M t -则圆半径由,OM r =3,2=解得t =∴所求圆的方程为2219()(.24x y ++=II 设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠代入221,2x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=直线AB 过椭圆的左焦点F,∴方程有两个不等实根; 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则21224,21k x x k +=-+AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k-=--令0,y =得∴点G 横坐标的取值范围为1(,0).2-6. 已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为 I 证明线段AB 是圆C 的直径;II 当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为5时,求p 的值; I 证明1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅=设Mx,y 是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径证明2:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设x,y 是以线段AB 为直径的圆上则即2112211(,)y y y y x x x x x x x x --⋅=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将1代入得: 故线段AB 是圆C 的直径证明3:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-整理得: 0OA OB ⋅= 12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)以线段AB 为直径的圆的方程为展开并将1代入得: 221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 II 解法1:设圆C 的圆心为Cx,y,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅=所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p 时,d=2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为Cx,y,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅=所以圆心的轨迹方程为222y px p =-设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0则2m =± 因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0将2代入3得222220y py p p -+-= 2244(22)0p p p ∴∆=--= 解法3: 设圆C 的圆心为Cx,y,则圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则又因12120x x y y ⋅+⋅= 1212x x y y ∴⋅=-⋅ 22121224y y y y p ∴-⋅= 当122y y p +=时,d=2p ∴=.11、如图设椭圆中心在坐标原点,(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于E 、F 两点．1若6ED DF =,求k 的值； 2求四边形AEBF 面积的最大值． 11．Ⅰ解：依题设得椭圆的方程为2214xy +=, 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=,(y kx k => 如图,设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，,其中1x < 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=,故21x x =-=．①由6ED DF =知01206()x x x x -=-,得021215(6)77x x x x =+==；由D 在AB 上知0022x kx +=,得0212x k=+．所以212k =+, 化简得2242560k k -+=, 解得23k =或38k =． 6分 Ⅱ解法一：根据点到直线的距离公式和①式知,点E F ，到AB 的距离分别为1h ==,2h ==9分又AB ==,所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+ 14(12525(14k k +=+== ≤ 当21k =,即当12k =时,上式取等号．所以S 的最大值为． 12分解法二：由题设,1BO =,2AO =．设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->, 故四边形AEBF 的面积为 BEF AEF S S S =+△△222x y =+9分===当222x y =时,上式取等号．所以S的最大值为 12分12、已知椭圆(222:13x y E a a +=>的离心率12e =. 直线x t =0t >与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ．1 求椭圆E 的方程；2 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,求ABC ∆的面积的最大值.12、1解：∵椭圆()222:133x y E a a+=>的离心率12e =, 12=. …… 2分解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22143x y +=． …… 4分 2解法1：依题意,圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=. ∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,且圆心C 到y 轴的距离d t =,∴0t <<,即0t <<．∴弦长||AB ===． …… 8分∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分7=. …… 12分=,即7t =时,等号成立. ∴ ABC ∆． …… 14分解法2：依题意,圆心为(,0)(02)C t t <<．由22,1,43x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得221234t y -=.∴ 圆C的半径为2r =． …… 6分 ∴ 圆C 的方程为222123()4t x t y --+=．∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ,且圆心C 到y 轴的距离d t =,∴0t <<,即07t <<．在圆C 的方程222123()4t x t y --+=中,令0x =,得2y =±,∴弦长||AB =． …… 8分 ∴ABC ∆的面积12S =⋅ …… 9分7=. ……12分=,即7t=时,等号成立. ∴ABC∆．15、已知椭圆∑：12222=+byax>>ba的上顶点为)1,0(P,过∑的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆∑上,该菱形对角线BD所在直线的斜率为1-．⑴求椭圆∑的方程；⑵当直线BD过点)0,1(时,求直线AC的方程；⑶本问只作参考．．．．．．,．不计入总分．．．．．当3π=∠ABC时,求菱形ABCD面积的最大值．15、解：⑴依题意,1=b……1分,解12222=+byac……2分,得aby2||=……3分,所以122=ab,2=a……4分,椭圆∑的方程为1422=+yx……5分;⑵直线BD：1)1(1+-=-⨯-=xxy……7分,设AC：bxy+=……8分,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422yxbxy得0)1(24522=-++bbxx……9分,当05)1(454)2(222>-=-⨯⨯-=∆bbb时……10分,),(11yxA、),(22yxC的中点坐标为54221bxx-=+,5222121bbxxyy=++=+……12分,ABCD是菱形,所以AC的中点在BD上,所以1545+=bb……13分,解得35-=b,满足052>-=∆b,所以AC的方程为35-=xy……14分;⑶本小问不计入总分,仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用因为四边形ABCD为菱形,且3π=∠ABC,所以BCACAB==,所以菱形ABCD的面积223ACS⨯=,由⑵可得2122122122122)(2)(2)()(xxxxyyxxAC+=-=-+-=222212532532)1(548)58(28bbbxx⨯-=-⨯⨯--⨯=-,因为5||<b,所以当且仅当0=b时,菱形ABCD的面积取得最大值,最大值为531653223=⨯;。

压轴题经典题-解析几何部分

压轴题经典题——解析几何部分22．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。

如图，已知直线L ：)0(1:12222>>=++=b a by a x C my x 过椭圆的右焦点F ，且交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 直线2:a x G =上的射影依次为点D 、K 、E 。

（1）若抛物线y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程；（2）对于（1）中的椭圆C ，若直线L 交y 轴于点M ，且,,21λλ==当m 变化时，求21λλ+的值；（3）连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

22．解：（1）易知)0,1(,332F b b 又=∴=…………2分41222=+=∴=∴c b a c13422=+∴y x C 的方程为椭圆 …………4分（2）)1,0(mM y l -轴交于与 0)1(144096)43(012431),(),,(222222211>+=∆=-++∴⎩⎨⎧=-++=m my y m y x my x y x B y x A 由设 321121m y y =+∴（*） …………6分1111111111),1()1,(my y x my x --=∴--=+∴=λλλ又由同理2211my --=λ…………8分38322)11(122121-=--=+--=+∴y y m λλ 3821-=+∴λλ…………10分（3）)0,(),0,1(2a k F =先探索，当m=0时，直线L ⊥ox 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 中点N且)0,21(2+a N …………11分猜想：当m 变化时，AE 与BD 相交于定点)0,21(2+a N …………12分证明：设),(),,(),,(),,(12222211y a D y a E y x B y x A 当m 变化时首先AE 过定点N)0)()1()1()2(21)(21(0)21(21)(2121,21)1(0)1(40)1(2)(012222222222222222212121222121222121222222222222222222=+-⋅-=+-⋅-+-⋅-=-+-=----+-=---=---=>>-+=∆=-+++⎩⎨⎧=-++=b m a mb mb a b m a a b m b m a mb a y my y y a my a a y my y y a K K a y K my a y K a b m a b a a b y mb y m b a b a y a x b my x EN AN ENAN 这是而又即∴K AN =K EN ∴A 、N 、E 三点共线同理可得B 、N 、D 三点共线∴AE 与BD 相交于定点)0,21(2+a N …………18分22．（本小题14分）已知椭圆9x 2+2y 2=18上任意一点P ，由P 向x 轴作垂线段PQ ，垂足为Q ，点M 在线段PQ 上，且2=，点M 的轨迹为曲线E.（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G ，H （点G 在点F ，H 之间），且满足λλ求FH =的取值范围.22．解：（I ）设点P （x 0，y 0），是椭圆上一点，则Q （x 0，0），M （x ，y ）由已知得：x 0=x ，y 0=3y 代入椭圆方程得9x 2+18y 2=18即x 2+2y 2=2为曲线E 的方程.……………………………………4分（II ）设G （x 1，y 1），H （x 2，y 2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 的斜率为k则直线GH 的方程为：y=kx+2，……………………………………5分代入x 2+2y 2=2，得：（21+k 2）x 2+4kx+3=0 由△>0，解得：k 2>23…………………………………………6分 y x y x k kx x k k x x λ=-=-=+=⋅+-=+又有分),2,(),2,(7)1(213,2142211221221222122121,)1(xx x x x x x x λλλ=⋅+=+∴=∴λλ2122221)1(x x x x x ⋅==++∴……………………………………（2） ∴将（1）代入（2）整理得：λλ22)1()211(316+=+k………………9分分且即分121,331316214,316)1(411316)211(3164,23222 ≠<<∴<++<<+<∴<+<∴>λλλλλλkk又∵0<λ<1，∴31<λ<1………………13分当直线GH 斜率不存在时，直线GH 的方程为x 31,0== ∴λ=31 ∴所求λ的范围为31≤λ<1…………………………14分 22．（本小题满分14分）已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB 的长；（Ⅱ）若向量OA 与向量OB 互相垂直（其中O 为坐标原点），当椭圆的离心率 ]22,21[∈e 时，求椭圆的长轴长的最大值. 22．解：（Ⅰ）33,22,33===a c c e 即 2,322=-==∴c ab a 则 ∴椭圆的方程为12322=+y x …………………………………………………………2分联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+112322x y y x 消去y 得：03652=--x x 设),(),,(2211y x B y x A 则53,562121-==+x x x x 2122122212214)(])1(1[)()(||x x x x y y x x AB -+-+=-+-=∴538512)56(22=+= ……………………………………………………………6分（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x AOB OA ⊥ 0=⋅∴OB OA ，即02121=+y y x x由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+112222x y b y a x 消去y 得0)1(2)(223222=-+-+b a x a x b a 由0)1)((4)2(222222>-+=-=∆b b a a a 整理得122>+b a ……………8分又22222122221)1(2b a b a x x b a a x x +-=+=+1)()1)(1(21212121++-=+-+-=∴x x x x x x y y由02121=+y y x x 得：01)(22121=++-x x x x012)1(22222222=++-+-∴ba ab a b a 整理得：022222=-+b a b a ……………………………………………………10分222222e a a c a b -=-=∴代入上式得221112e a -+= )111(2122e a -+=∴ …………………………………………12分2221≤≤e21412≤≤∴e 431212≤-≤∴e 211342≤-≤∴e 3111372≤-+≤∴e 23672≤≤∴a 适合条件122>+b a 由此得26642≤≤a 62342≤≤∴a 故长轴长的最大值为6 …………………………………………………………… 14分 22．（本小题满分14分）如图，已知圆O ：422=+y x 与y 轴正半轴交于点P ，A （－1，0），B （1，0），直线l 与圆O 切于点S （l 不垂直于x 轴），抛物线过A 、B 两点且以l 为准线。

解析几何-2024高考压轴小题(原卷版)

解析几何-2024高考压轴小题一．选择题（共14小题） 1．已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，M （2，1）为椭圆内一点，以M 为中点的弦与椭圆交于点A ，B ，与x 轴交于点P ，线段AB 的中垂线与x 轴交于点G ，当△GPM 面积最小时，椭圆的离心率为（） A ．12B ．√22C ．√32D ．√332．已知F 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，A 1，A 2分别是双曲线C 的左右顶点，过F 作双曲线渐近线的垂线与该渐近线在第一象限的交点为M ，直线A 1M 交C 的右支于点P ，若|MP |＝|MA 2|，且k A 2P +k A 2M =0，则C 的离心率为（） A ．√2 B ．√3C ．2D ．√53．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为√6．过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，若H ，G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则|HG |的取值范围为（） A ．[2√2，4]B ．[√3，2)C ．[2，4√33)D ．[2√2，4√63)4．已知双曲线4x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是双曲线右支上一点，满足MF 1→•MF 2→=0，点N 是线段F 1F 2上一点，满足F 1N →=λF 1F 2→．现将△MF 1F 2沿MN 折成直二面角F 1﹣MN ﹣F 2，若使折叠后点F 1，F 2距离最小，则λ＝（） A ．15B ．25C ．35D ．455．已知圆C 1：（x +3）2+y 2＝a 2（a ＞7）和C 2：（x ﹣3）2+y 2＝1，动圆M 与圆C 1，圆C 2均相切，P 是△MC 1C 2的内心，且S △PMC 1+S △PMC 2=3S △PC 1C 2，则a 的值为（） A ．9 B ．11C ．17或19D ．196．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若|AB|≥√3|DF|，则双曲线的离心率取值范围是（） A ．(1，2√33]B ．(1，√3]C ．[√3，+∞)D ．[2√33，+∞)7．点A （x 0，y 0）（x 0＞1，y 0＜0），B ，C 均在抛物线y 2＝4x 上，若直线AB ，AC 分别经过两定点（﹣1，0），M （1，4），则BC 经过定点N ．直线BC ，MN 分别交x 轴于D ，E ，O 为原点，记|OD |＝a ，|DE |＝b ，则a 2a+1+b 2b+3的最小值为（）A ．12B ．14C ．13D ．158．已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1，其左右顶点分别为A 1，A 2，P 在双曲线右支上运动，若∠A 1P A 2的角平分线交x 轴于D 点，A 2关于PD 的对称点为A 3，若仅存在2个P 使直线A 3D 与E 仅有一个交点，则E 离心率的范围为（） A ．(1，√2)B ．(√2，2)C ．(√2，+∞)D ．（2，+∞）9．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在三棱锥C 1﹣BCD 的表面运动，且A 1P =√153，则点P 轨迹的长度是（） A ．√3+2√66π B ．2√3+√66π C ．√3+√66π D ．2√3+√63π10．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点F 与双曲线16x 2﹣2y 2＝1的右焦点重合，斜率为k 的直线l 与C 的两个交点为A ，B ．若|AF |+|BF |＝4，则k 的取值范围是（） A ．(−∞，−√155)∪(√155，+∞) B ．(−√155，0)∪(0，√155) C ．(−∞，−√153)∪(√153，+∞) D ．(−√153，0)∪(0，√153) 11．设双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，M （0，3b ），若直线l 与E 的右支交于A ，B 两点，且F 为△MAB 的重心，则直线l 斜率的取值范围为（） A ．(√133，√3)∪(√3，+∞) B ．(2√139，√3)∪(√3，+∞)C ．(−∞，−√6)∪(−√6，−2√139) D ．(−∞，−√6)∪(−√6，−2√133) 12．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 22−y 26=1的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限）．设点H ，G 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则|HG |的取值范围是（） A ．[2√2，4） B ．[2，4√63） C ．（4√33，2√2] D ．[2√2，4√63） 13．已知双曲线C ：x 24−y 212=1的左焦点为F ，左顶点为A ，T 为左准线上动点，则∠FTA的最大值为（） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π314．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1P＞F2P，线段F1P的垂直平分线过F2.若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则2e1+e22的最小值为（）A．√6B．3C．6D．√3二．多选题（共5小题）（多选）15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B为C上两个相异的动点，分别在点A，B处作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点P，则（）A．若直线AB过焦点F，则点P一定在抛物线C的准线上B．若点P在直线x+y+4＝0上，则直线AB过定点（4，﹣2）C．若直线AB过焦点F，则△ABP面积的最小值为1D．若|AB|＝4，则△ABP面积的最大值为1（多选）16．在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l），给出下列四个命题，正确的是（）A．对任意三点A、B、C，都有d（C，A）+d（C，B）≥d（A，B）B．已知点P（2，1）和直线l：x﹣2y﹣2＝0，则d(P，l)=8 3C．到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形．D．定点F1（﹣c，0）、F2（c，0），动点P（x，y）满足|d（P，F1）﹣d（P，F2）|＝2a （2c＞2a＞0），则点P的轨迹与直线y＝k（k为常数）有且仅有2个公共点．（多选）17．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：x22+y2=1．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l的方程为x+√2y−3=0，M为椭圆C的蒙日圆上一动点，MA，MB分别与椭圆相切于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（）A．椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2＝3B．记点A到直线l的距离为d，则d﹣|AF2|的最小值为4√3 3C．一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最大值为6D ．△AOB 的面积的最小值为23，最大值为√22（多选）18．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M(−32，0)，过点F 作不垂直于x 轴的直线l 与C 交于A ，B 两点．设P 为x 轴上一动点，Q 为AB 的中点，且AB ⊥PQ ，则（） A ．抛物线C 的方程为y 2＝3x B ．|AB |+3|BF |的最小值为272C ．|AB |＞2|PF |D ．|BF |（|MA |+|MB |）＝2|MB ||PF |（多选）19．已知点P （1，a ）（a ＞1）在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上，过P 作圆（x ﹣1）2+y 2＝1的两条切线，分别交C 于A ，B 两点，且直线AB 的斜率为﹣1，若F 为C 的焦点，M （x ，y ）为C 上的动点，N 是C 的准线与坐标轴的交点，则（） A ．p ＝1 B ．p ＝2 C ．|MN||MF|的最大值是√2D ．|MN||MF|的最大值是√32三．填空题（共5小题）20．若直线y ＝kx +m （k ≠0）与圆E ：x 2+y 2=34相切于点P ，且交椭圆M ：x 24+y 2=1于A ，B 两点，O 为坐标原点，射线OP 与椭圆M 交于点Q ，设△OAB 的面积与△QAB 的面积分别为S 1，S 2，S 1的最大值为；当S 1取得最大值时，S 1+S 2S 1的值为．21．已知点A （0，1），C （0，5），动点M 在函数y =14x 2的图像上，动点N 在以C 为圆心半径为2的圆上，则|MN|+12|NA|的最小值为． 22．已知平面上两定点A 、B ，则所有满足|PA||PB|=λ（λ＞0且λ≠1）的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为|λ1−λ2|⋅|AB|的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1表面上动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹长度为．23．已知实数x ，y 满足：（x +2）2+（y ﹣1）2＝1，若|2x ﹣y +a |﹣|1﹣2x +y |的值仅与a 有关，则实数a 的取值范围是． 24．如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与双曲线x 2m 2−y 2n 2=1（m ＞0，n ＞0）有公共焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）（c ＞0），椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，点P 为两曲线的一个公共点，且∠F 1PF 2＝60°，则1e 12+3e 22= ；I 为△F 1PF 2的内心，F 1，I ，G 三点共线，且GP →•IP →=0，轴上点A ，B 满足AI →=λIP →，BG →=μGP →，则λ2+μ2的最小值为．。

高中数学讲练透高考解析几何填空压轴题(学生版)

2:4C x y =,F P C CP PM F M y Q P F PN N y T FQ FP =FT 解析几何填空压轴题1．（山东临沂模拟）如图，抛物线的焦点为为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切(切点为 )且交轴于点，过点作圆的另一条切线 (切点为 )交轴于点．若已知，则的最小值为_____________．2．（湖北武汉高三月考）已知过抛物线22yx =−的焦点F的直线与抛物线交于,A B 两点，则AF BF AB⋅=____________．3．（内蒙古赤峰高三月考（文））过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为A 交另一条渐近线于点B ，若FB AF λ=，34λ≤≤，求C 的离心率的取值范围为___________4．（山东烟台高三一模）已知点A 为直线:3l y x =上一点，且A 位于第一象限，点()10,0B ，以AB 为直径的圆与l 交于点C (异于A )，若60CBA ∠≥，则点A 的横坐标的取值范围为___________．5．（2021中学生标准学术能力3月测试）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，且123F PF π∠=．若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，且4R r =，则双曲线的离心率为__________．6．（山东日照高三一模）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：221412x y−=的左、右焦点，E 为双曲线C 的右顶点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B ，两点（其中点A 在第一象限），设M ，N分别为12AF F △，12BF F △的内心，则ME NE −的取值范围是______．7．（辽宁沈阳高三一模）已知抛物线24x y =，点()(),2,1,1M t t −∈−，过M 作抛物线的两条切线,MA MB ，其中,A B 为切点，直线AB 与y 轴交于点,P 则PA PB的取值范围是_________．8．（湖南长沙雅礼中学高三月考）设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b −=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 直线的l 分别与双曲线左､右两支交于M ，N 两点，且22F M F N ⊥，22F M F N =，则双曲线C 的离心率为___________．9．（湖北B4新高考的研）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左顶点为A ，右焦点为 F ，离心率为e ．若动点B 在双曲线C 的右支上且不与右顶点重合，满足e BAF∠恒成立，则双曲线C 的渐近线的方程为_________．10．（江苏徐州徐州一中高三期末）已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)y xE a b a b−=>>的两个焦点，E上的点P 到原点的距离为b ，且2112sin 3sin PF F PF F ??，则双曲线E 的渐近线方程为__________．11．（沙坪坝区·重庆一中高三月考）抛物线2:8C x y =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，点D 为抛物线C 上的动点，且点D 在l 的右下方，则DAB 面积的最大值为______ 12．（江苏三校联考）平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:11C x y −+=，点P 为直线2y x =+上的动点，以PC 为直径的圆交圆C 于A 、B 两点，点Q 在PC 上且满足AQ PB ⊥，则点Q 的轨迹方程是________．13．（浙江宁波模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的右顶点为A ，且以A 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,B C 两点，若2,33BAC ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________．14．（广西南宁南宁三中（理））已知()3,0A ，若点P 是抛物线28y x =上的任意一点，点Q 是圆()2221x y −+=上任意一点，则2PAPQ最小值是_____15．（三省三校诊断性测试（理））已知双曲线22221x y a b−=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 的直线l 交该双曲线的右支于M ，N 两点(M 点位于第一象限)，12MF F △的内切圆半径为1R ，12NF F △的内切圆半径为2，且满足2R ，则直线l 的斜率为___________．16．（内蒙古赤峰高三月考（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左､右焦点分别为12F F 、，M 是双曲线一条渐近线上位于第二象限的一点，10MF OM =(O 为坐标原点)，若线段1MF 交双曲线于点P ，且213PF PF a +=，则双曲线的离心率为___________．17．（陕西下学期质检）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22221x ya b−=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的右支交于第一象限内的一点P ，若,33b a G ⎛⎫⎪⎝⎭为12F PF △的重心，则该双曲线的离心率为______．18．（华大新高考联盟3月质检（文））已知点M 在抛物线C ：24y x =上运动，圆C '过点()5,0，(，()3,2−，过点M 引直线1l ，2l 与圆C '相切，切点分别为P ，Q ，则PQ 的取值范围为__________．19．（江苏徐州高三二模）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点为P ，右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，2C 的顶点与1C 的中心O 重合．若1C 与2C 相交于点A ，B ，且四边形OAPB 为菱形，则1C 的离心率为___________．20．（山西高三一模（文））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点,02p M ⎛⎫−⎪⎝⎭，过点F 的直线与此抛物线交于,A B 两点，若||24AB =，且tan AMB ∠=，则p =___________．21．（河南高三一模（理））已知直线l ：0x −=交双曲线Γ：()222210,0x y a b a b−=>>于A ，B 两点，过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若60ABC ∠=︒，则双曲线Γ的离心率为______． 22．（内蒙古呼和浩特高三一模（文））古希腊的几何学家用平面去截一个圆锥面，将所截得的不同的截线称为圆锥曲线．某同学用过母线PB 的中点且与底面圆的直径AB 垂直的平面截圆锥，得到了如图所示的一支双曲线．已知圆锥的高2PO =，底面圆的半径为4，则此双曲线的两条渐近线的夹角的正弦值为___________．23．（江西九校联考（理））已知离心率为2的双曲线1C ：()2210,0x ya b a b−=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合，M 是1C 与2C 的公共点，若5MF =，则1C 的标准方程为______．24．（中学生标准学术能力3月测试（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为右支上一点()0P y ≠，在线段1PF 上取“12PF F △的周长中点”M ，满足2112||MP PF MF F F +=+，同理可在线段2PF 上也取“12PF F △的周长中点”N ．若PMN 的面积最大值为1，则b =__________．25．（广东广州高三一模）已知圆22(1)4x y −+=与双曲线2222:1x y C a b−=的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为,,,M N P Q ，且||2||MN PQ =，则C 的离心率为_______．26．（安徽江南十校联考（文））如图，,A F 分别为双曲线()2221016x ya a −=>的右顶点和右焦点，过F 作x 轴的垂线交双曲线于H ，且H 在第一象限，,,A F H 到同一条渐近线的距离分别为123,,d d d ，且1d 是2d 和3d 的等差中项，则C 的离心率为___________·27．（吉林吉林高三三模（理））己知圆()22:116,C x y P ++=是圆C 上任意点，若()1,0A ，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是_______﹔若A 是圆C 所在平面内的一定点，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹是：①一个点②圆③椭圆④双曲线⑤抛物线，其中可能的结果有__________．28．（浙江省宁海中学高三月考）如图，已知1F ，2F 为椭圆C ：221x y a+=(1a >)的两焦点，O 为坐标原点，1H ，2H 分别1F ，2F 在C 的切线l 上的射影，则点1H 的轨迹方程是___________；若有且仅有2条l 使得12OH H 的面积最大，则C 离心率的最大值是___________．29．（安徽黄山高三一模（理））在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>，12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，A ，B 为双曲线虛轴的上､下端点，动点P 满足||2||PB PA =，PAB △面积的最大值为4．点M ，N 在双曲线上，且关于原点O 对称，Q 是双曲线上一点，直线QM 和QN 的斜率满足3QM QN k k ⋅=，则双曲线方程是______________；过2F 的直线与双曲线右支交于C ，D 两点(其中C 点在第一象限)，设点M ､N 分别为12CF F △､12DF F △的内心，则MN 的范围是____________．30．（浙江温州高三二模）已知1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，过1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，若121::2:3:1PF PF QF =，则12cos F PF ∠=________，椭圆的离心率为_________．31．（江苏盐城高三一模）罗默､伯努利家族､莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线22331:x C y +=的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C 围成的图形的面积S _____2（选填“>”､“<”或“=”），曲线C 上的动点到原点的距离的取值范围是________．31．（江苏连云港高三开学考试）焦点为F 的抛物线2ypx p直径的圆过点(0,2)A ，则圆心坐标为________，抛物线的方程为________．32．（江苏南通高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线()220y px p =>与双曲线()222210,0x y a b a b−=>>及其渐近线在第一象限的交点分别为P ，A ，抛物线的焦点F 恰与双曲线的右顶点重合，AF x ⊥轴，则b a =________；若PF =p =________． 33．（江苏启东模拟）已知椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点A ，B ，点M 为AB 的中点，直线MO （O 为原点）的斜率为2，则b a =____________；又OA OB ⊥，则2a b +=____________．34．（山东青岛高三期末）如图所示，在平面直角坐标系中，0,5Q ⎛−⎝⎭，()3,0L −，圆Q 过坐标原点O ，圆L 与圆Q 外切．则（1）圆L 的半径等于__________；（2）已知过点L 和抛物线()220x py p =>焦点的直线与抛物线交于A ，B ，且3OA OB ⋅=−，则p =______．35．（浙江温州高三期末）已知点1、2分别为双曲线21(0)y a a−=>的左、右焦点，点P 是双曲线与以12F F 为直径的圆在第一象限内的交点，直线1F P 与直线0x ay +=交于点H ，且点H 是线段1F P 的中点，则1F H =______，双曲线的离心率为______．。

(浙江专用)高考数学三轮冲刺抢分练压轴大题突破练(四)解析几何

（浙江专用）高考数学三轮冲刺抢分练压轴大题突破练（四）解析几何(四)解析几何1．(2019·杭州外国语学校模拟)抛物线x2＝4y的焦点为F，直线l：y＝－1，若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交直线l于点B，交抛物线于M，N两点．(1)求证：直线AB与抛物线相切；(2)若点A满足AM⊥AN，求此时点A的坐标．(1)证明由题意得焦点F(0,1)，设A(x0，y0)(x0>0，y0>0)，∴直线AF的斜率为y0－1x0，由题意知直线BF斜率存在，则直线BF的方程为y＝x01－y0x＋1，∴点B的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2(y0－1)x0，－1，∴直线AB的斜率为y0＋1x0－2(y0－1)x0＝x0⎝⎛⎭⎪⎫14x20＋1x20－2⎝⎛⎭⎪⎫14x20－1＝x02，根据导数的几何意义得y＝14x2在点A(x0，y0)处的切线斜率为x02，∴直线AB与抛物线相切．(2)解由(1)知A(x0，y0)，直线MN的方程为y＝x01－y0x＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y，y ＝x 01－y 0x ＋1，消去y 整理得x 2－4x 01－y 0x －4＝0，由题意知，Δ>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 01－y 0，x 1x 2＝－4，由题意得直线AM 的斜率为y 1－y 0x 1－x 0＝x 214－x 204x 1－x 0＝x 1＋x 04，同理直线AN 的斜率为x 2＋x 04，∴x 1＋x 04·x 2＋x 04＝－1，整理得y 20－2y 0－3＝0，又因为A (x 0，y 0)在第一象限，解得y 0＝3(舍负)，代入抛物线方程得x 0＝23，所以存在点A (23，3)，使得AM ⊥AN .2.如图，已知直线y ＝－2mx －2m 2＋m 与抛物线C ：x 2＝y 相交于A ，B 两点，定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(1)证明：线段AB 被直线y ＝－x 平分； (2)求△MAB 面积取得最大值时m 的值． (1)证明设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2mx －2m 2＋m ，y ＝x 2，得x 2＋2mx ＋2m 2－m ＝0，Δ＝4m 2－4(2m 2－m )>0，即0<m <1，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－m ，则x 1＋x 22＝－m ，y 1＋y 22＝x 21＋x 222＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22＝m ，∴线段AB 的中点坐标为(－m ，m )， ∴线段AB 被直线y ＝－x 平分． (2)解 ∵|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋4m2－4m 2＋4m (0<m <1)，点M 到直线AB 的距离为d ＝|1＋2m 2－2m |1＋4m 2， ∴△MAB 的面积S ＝12|AB |d＝－m 2＋m |1－2(－m 2＋m )|(0<m <1)，令－m 2＋m ＝t ，则0<t ≤12，∴S ＝t |1－2t 2|＝t －2t 3⎝⎛⎭⎪⎫0<t ≤12，令f (t )＝t －2t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t ≤12，则f ′(t )＝1－6t 2，则f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，66上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤66，12上单调递减，故当t ＝66时，f (t )取得最大值，即△MAB 面积取得最大值，此时有－m 2＋m ＝66，解得m ＝3±36. 3．(2019·湖州中学模拟)如图，A 为椭圆x 22＋y 2＝1的下顶点，过A 的直线l 交抛物线x 2＝2py (p >0)于B ，C 两点，C 是AB 的中点．(1)求证：点C 的纵坐标是定值；(2)过点C 作与直线l 倾斜角互补的直线l ′交椭圆于M ，N 两点，求p 的值，使得△BMN 的面积最大．(1)证明易知A (0，－1)，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 22p ，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2－2p 4p ，把点C 代入抛物线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝2p ·t 2－2p 4p ，得t 2＝4p ， ∴y C ＝4p －2p 4p ＝12为定值．(2)解 ∵点C 是AB 中点，∴S △BMN ＝S △AMN ， ∵直线l 的斜率k ＝12－(－1)t2＝3t，直线l ′的斜率k ′＝－3t，∴直线l ′的方程为y －12＝－3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 2，即y ＝－3t x ＋2，不妨记m ＝－3t，则l ′：y ＝mx ＋2，代入椭圆方程整理得(2m 2＋1)x 2＋8mx ＋6＝0，Δ＝64m 2－24(2m 2＋1)>0，即m 2>32，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 2m 2＋1，x 1x 2＝62m 2＋1，|MN |＝1＋m 2|x 1－x 2| ＝22·1＋m 2·2m 2－32m 2＋1，A 到MN 的距离d ＝3m 2＋1，所以S △BMN ＝S △AMN ＝12·|MN |·d＝32·2m 2－32m 2＋1＝322m 2－3＋42m 2－3≤3224＝324.当且仅当2m 2－3＝42m 2－3，即m 2＝72时，等号成立，此时满足Δ>0，所以t 2＝9m 2＝187，p ＝t 24＝914.4．(2019·余高、缙中、长中模拟)对于椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，有如下性质：若点P (x 0，y 0)是椭圆外一点，PA ，PB 是椭圆的两条切线，则切点A ，B 所在直线的方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.利用此结论解答下列问题：已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1和点P (2，t )(t ∈R )，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是A ，B ，记点A ，B 到直线PO (O 是坐标原点)的距离是d 1，d 2. (1)当t ＝0时，求线段AB 的长； (2)求|AB |d 1＋d 2的最大值．解 (1)因为点P (2，t )，直线AB 的方程是2x ＋2ty ＝2，即x ＋ty ＝1，当t ＝0时，直线AB 的方程是x ＝1，此时|AB |＝ 2.(2)由(1)知直线AB 的方程是x ＋ty ＝1，直线PO 的方程是tx －2y ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋yt ＝1，x 2＋2y 2＝2得(t 2＋2)y 2－2ty －1＝0，Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(tx 1－2y 1)(tx 2－2y 1)<0，所以d 1＋d 2＝|tx 1－2y 1|t 2＋4＋|tx 2－2y 2|t 2＋4＝|(t 2＋2)(y 2－y 1)|t 2＋4，另|AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|，所以|AB |d 1＋d 2＝(1＋t 2)(4＋t 2)2＋t 2；设2＋t 2＝x ，则|AB |d 1＋d 2＝(x －1)(x ＋2)x2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －142＋98，所以，当1x ＝14，即x ＝4，t 2＝2时，|AB |d 1＋d 2有最大值为324. 5．(2019·慈溪中学模拟)如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 过点(0，3)，T 为直线x ＝4上的动点，过点T 作椭圆C 的切线TA ，TB ，A ，B 为切点．(1)求证：A ，F 2，B 三点共线；(2)过点F 2作一条直线与曲线C 交于P ，Q 两点，过P ，Q 作直线x ＝4的垂线，垂足依次为M ，N .求证：直线PN 与MQ 交于定点．证明 (1)由已知得c a ＝12，b ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.设T (4，t )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线TA ，TB 的方程分别为x 1x 4＋y 1y3＝1，x 2x 4＋y 2y3＝1，由于切线TA ，TB 过点T (4，t )，所以x 1＋y 1t3＝1，x 2＋y 2t3＝1，即x 1＋t 3y 1＝1，x 2＋t3y 2＝1，所以直线AB 的方程为x ＋t3y ＝1.易知直线AB 过点F 2(1,0)，所以A ，F 2，B 三点共线．(2)当直线PQ 的斜率存在时，设过点F 2的直线为y ＝k (x －1)(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则Δ＝(－8k 2)2－4(3＋4k 2)(4k 2－12)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，过P ，Q 作直线x ＝4的垂线，垂足依次为M ，N ，则M (4，y 1)，N (4，y 2)，则直线PN ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，令y ＝0，则x ＝x 1y 2－4y 1y 2－y 1＝x 1·k (x 2－1)－4k (x 1－1)k (x 2－x 1)＝x 1x 2－5x 1＋4x 2－x 1，直线MQ ：y －y 1＝y 2－y 1x 2－4(x －4)，令y ＝0，得x ＝4y 2－x 2y 1y 2－y 1＝5x 2－4－x 1x 2x 2－x 1，因为2x 1x 2＋8－5(x 1＋x 2)＝2(4k 2－12)3＋4k 2＋8－40k23＋4k 2＝0，所以x 1x 2－5x 1＋4x 2－x 1＝5x 2－4－x 1x 2x 2－x 1.因此直线PN 与MQ 交于定点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.当PQ ⊥x 轴即直线PQ 的斜率不存在时，可得PN 与MQ 交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0. 故直线PN 与MQ 交于定点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0. 6.如图，过椭圆M ：x 22＋y 2＝1的右焦点F 作直线交椭圆于A ，C 两点．(1)当A ，C 变化时，在x 轴上求定点Q ，使得∠AQF ＝∠CQF ；(2)在(1)的条件下，设直线QA 交椭圆M 的另一个交点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点D ，当四边形ABCD 的面积取得最大值时，求直线AC 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，Q (q ,0)，当A ，C 不在x 轴上时，设直线AC 的方程为x ＝ty ＋1，代入椭圆M 的方程，可得(2＋t 2)y 2＋2ty －1＝0. 由题意知，Δ>0，则y 1＋y 2＝－2t 2＋t 2，y 1y 2＝－12＋t 2，由意题知k AQ ＋k CQ ＝y 1x 1－q ＋y 2x 2－q＝y 1(x 2－q )＋y 2(x 1－q )(x 1－q )(x 2－q )＝y 1(ty 2＋1－q )＋y 2(ty 1＋1－q )(x 1－q )(x 2－q )＝2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)(x 1－q )(x 2－q )＝0，即2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)＝0，整理得－2t －2t (1－q )＝0，由题意知无论t 取何值，上式恒成立，则q ＝2，当A ，C 在x 轴上时，定点Q (2,0)依然可使∠AQF ＝∠CQF 成立，所以点Q 的坐标是(2,0)． (2)由(1)知∠AQF ＝∠CQF ，即∠BQF ＝∠CQF .所以BQ ，CQ 关于x 轴对称，所以BD ，CA 关于x 轴对称，所以B ，C 关于x 轴对称，A ，D 关于x 轴对称，所以四边形ABCD 是一个等腰梯形．则四边形ABCD 的面积S (t )＝|x 1－x 2|·|y 1－y 2|＝|t |·|y 1－y 2|2＝8·(t 2＋1)|t |(t 2＋2)2.由对称性不妨设t >0，求导可得S ′(t )＝－8·t 4－3t 2－2(t 2＋2)3，令S ′(t )＝0，可得t 2＝3＋172，由于S (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 3＋172上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫3＋172，＋∞上单调递减，所以当t 2＝3＋172时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值．此时，直线AC 的方程是x ＝±3＋172y ＋1.。

高考数学压轴题：平面解析几何

高考数学压轴题：平面解析几何一、解答题（共35小题）1．已知直线:1(0)l y kx k =+≠与椭圆223x y a +=相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1k =，且10||AB =，求实数a 的值；（Ⅱ）若2AC CB =，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且1273||,(4OP PF PF O ==为坐标原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由．3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP 为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2，长轴长为等于圆22:(2)4R x y +-=的直径，过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，与圆R 交于两点M ，N （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线RA ，RB 的斜率之和等于零；（Ⅲ）求||||AB MN 的取值范围．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON 的取值范围．6．（2016•太原校级二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足(OA OB tOP O +=为坐标原点），当25||PA PB -<时，求实数t 取值范围． 7．（2016•抚顺一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线1A M 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△1A MN 的外接圆在M 处的切线与椭圆相交所得弦长为57，求椭圆方程．8．（2016•江西模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．9．（2016•石家庄二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，||||MA MB λ=，且当直线l 垂直于x 轴时，||AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）若1[2λ∈，2]，求弦长||AB 的取值范围．10．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．11．（2015•潍坊模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由．．12．（2019•秦淮区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，以椭圆C左顶点T为圆心作圆222:(2)(0)T x y r r++=>，设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求TM TN的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：OR OS为定值．13．（2016•益阳模拟）已知以点(1,2)A-为圆心的圆与直线1:270l x y++=相切．过点(2,0)B-的动直线l与圆A相交于M、N两点，Q是MN的中点，直线l与1l相交于点P．()I求圆A的方程；（Ⅱ）当219MN=l的方程；（Ⅲ）BQ BP是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．14．（2019•上海）已知椭圆22184x y +=，1F ，2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A ，B两点．（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB ∠=︒时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F ABF MNS S=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．15．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．16．（2019•新课标Ⅱ）已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． ()i 证明：PQG ∆是直角三角形； ()ii 求PQG ∆面积的最大值．17．（2019•浙江）如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ∆的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记AFG ∆，CQG ∆的面积分别为1S ，2S ．（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求12SS的最小值及此时点G的坐标．18．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2xC y=，D为直线12y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以5(0,)2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．19．（2018•天津）设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离5A的坐标为(,0)b，且||||62FB AB=（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线:(0)l y kx k=>与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若||52(||4AQAOQ OPQ=∠为原点），求k的值．20．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1(3,)2，焦点1(3F0)，2(3F0)，圆O的直径为12F F．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若OAB∆26，求直线l的方程．21．（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围．22．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1M ，)(0)m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：||FA ，||FP ，||FB 成等差数列，并求该数列的公差．23．（2018•上海）设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)F ，直线:l x t =，曲线2:8(0,0)y x x t y Γ=．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，||2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP ∆的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．24．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．25．（2017•上海）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点．（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；（3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程．26．（2017•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．()I 求椭圆的方程和抛物线的方程；()II 设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点(B B 异于)A ，直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆，求直线AP 的方程．27．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）如图，动直线1:l y k x =-交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上的一点，直线OC的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且||:||2:3MC AB =，M 的半径为||MC ，OS ，OT 是M 的两条切线，切点分别为S ，T ，求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．28．（2017•新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．29．（2017•新课标Ⅰ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(1,)P -，43(1,)P 中恰有三点在椭圆C 上．（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．30．（2016•浙江）如图，设椭圆222:1(1)x C y a a+=>（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）（Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．31．（2016•天津）设椭圆2221(3)3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ．已知113||||||eOF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点(B B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y 轴于点H，若BF HF⊥，且MOA MAO∠∠，求直线l的斜率的取值范围．32．（2016•四川）已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3l y x=-+与椭圆E有且只有一个公共点T．（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l'平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得2||||||PT PA PBλ=，并求λ的值．33．（2016•山东）平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率是3，抛物线2:2E x y=的焦点F是C的一个顶点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．()i求证：点M在定直线上；()ii直线l与y轴交于点G，记PFG∆的面积为1S，PDM∆的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标．34．（2016•新课标Ⅱ）已知椭圆22:13x yEt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为(0)k k>的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA NA⊥．（Ⅰ）当4t=，||||AM AN=时，求AMN∆的面积；（Ⅱ）当2||||AM AN=时，求k的取值范围．35．（2016•新课标Ⅰ）设圆222150x y x++-=的圆心为A，直线l过点(1,0)B且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明||||EA EB+为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．2020年高考数学复习之挑战压轴题（解答题）：平面解析几何综合题（35题）参考答案与试题解析一、解答题（共35小题）1．（2016•南昌校级二模）已知直线:1(0)l y kx k =+≠与椭圆223x y a +=相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若1k =，且||AB =，求实数a 的值；（Ⅱ）若2AC CB =，求AOB ∆面积的最大值，及此时椭圆的方程．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（Ⅰ）若1k =，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及||AB =可求实数a 的值；（Ⅱ）根据2AC CB =关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，（Ⅰ）由2213y x x y a=+⎧⎨+=⎩得24210x x a ++-=，则1212x x +=-，1214ax x -=，则123|||24AB x x a -=-=2a =．（Ⅱ）由2213y kx x y a=+⎧⎨+=⎩，得22(3)210k x kx a +++-=，则12223k x x k +=-+，12213ax x k -=+，由2AC CB =得1(x -，121)2(y x -=，21)y -，解得122x x =-，代入上式得： 122223k x x x k +=-=-+，则2223kx k =+，1222133||3||||||322323||||AOB k S OC x x x k k k ∆=-====++ 当且仅当23k =时取等号，此时2223k x k =+，22122224222(3)3k x x x k =-=-⨯=-+，又1221136a ax x k --==+，则1263a -=-，解得5a =．所以，AOB ∆，此时椭圆的方程为2235x y +=．【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．2．（2017•河南模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点0(P x ，0)y 是坐标平面内一点，且123||(4OP PF PF O =为坐标原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M 的坐标，若不存在，说明理由．【考点】3K ：椭圆的标准方程；4K ：椭圆的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题【分析】（1）设出P 的坐标，利用||OP 的值求得0x 和0y 的关系式，同时利用1234PF PF =求得0x 和0y 的另一关系式，进而求得c ，通过椭圆的离心率求得a ，最后利用a ，b 和c 的关系求得b ，则椭圆的方程可得．（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立消去y ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则可利用韦达定理表示出12x x +和12x x ，假设在y 轴上存在定点(0,)M m ，满足题设，则可表示出MA MB ，利用0MA MB =求得m 的值．【解答】解：（1）设0(P x ，0)y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则由220074OP x y =+=；由1234PF PF =得00003(,)(,)4c x y c x y -----=，即2220034x y c +-=．所以1c =又因为222,1c a b a ===所以．因此所求椭圆的方程为：2212x y +=．（2）动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22416(21)039k x kx +--=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则121222416,3(21)9(21)k x x x x k k +==-++．假设在y 轴上存在定点(0,)M m ，满足题设，则1122(,),(,)MA x y m MB x y m =-=-． 21212121212()()()MA MB x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++ 222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+ 由假设得对于任意的,0k R MA MB ∈=恒成立，即221096150m m m ⎧-=⎨+-=⎩解得1m =．因此，在y 轴上存在定点M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点，点M 的坐标为(0,1)【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和推理的能力．3．（2016•衡阳三模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP 为定值．（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】3K ：椭圆的标准方程；KH ：直线与圆锥曲线的综合【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】（1）由题意知2a =，b c =，22b =，由此可知椭圆方程为22142x y +=．（2）设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ，()()110,,2,OP x y OM y ==则，直线()0001:2,442y y CM y x y x y =+=+即，代入椭圆方程2224x y +=，得222200011(1)40822y x y x y +++-=，然后利用根与系数的关系能够推导出OM OP 为定值．（3）设存在(,0)Q m 满足条件，则MQ DP ⊥．2000220048(2,),(,)88y yMQ m y DP y y =--=-++，再由()220022004802088y y MQ DP m y y ⋅=---=++得，由此可知存在(0,0)Q 满足条件．【解答】解：（1）2a =，b c =，222a b c =+，22b ∴=；∴椭圆方程为22142x y +=（4分）（2）(2,0)C -，(2,0)D ，设0(2,)M y ，1(P x ，1)y ， ()()110,,2,OP x y OM y ==则直线()0001:2,442y y CM y x y x y =+=+即，代入椭圆方程2224x y +=，得222200011(1)40822y x y x y +++-=（6分）21204(8)128y x y -=-+，∴201202(8)8y x y -=-+，∴012088y y y =+，∴20022002(8)8(,)88y y OP y y -=-++（8分） ∴2220002220004(8)84324888y y y OP OM y y y -+=-+==+++（定值）（10分）（3）设存在(,0)Q m 满足条件，则MQ DP ⊥（11分）2000220048(2,),(,)88y yMQ m y DP y y =--=-++（12分）则由()220022004802088y y MQ DP m y y ⋅=---=++得，从而得0m =∴存在(0,0)Q 满足条件（14分）【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．4．（2016•天津一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴长为等于圆22:(2)4R x y +-=的直径，过点(0,1)P 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，与圆R 交于两点M ，N（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求证：直线RA ，RB 的斜率之和等于零；（Ⅲ）求||||AB MN 的取值范围．【考点】1K ：圆锥曲线的实际背景及作用；3K ：椭圆的标准方程【专题】15：综合题；31：数形结合；34：方程思想；4R ：转化法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（Ⅰ）根据椭圆的简单几何性质，求出a 、b 的值即可；（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，求出直线RA 、RB 的斜率之和即可证明结论成立；（Ⅲ）讨论直线l 的斜率是否存在，利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出||||AB MN 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C 长轴长等于圆22:(2)4R xy +-=的直径，所以24a =，2a =； ⋯（1分）2，得22222212c a b e a a -===，所以222142b b a ==，得22b =；⋯（2分）所以椭圆C 的方程为22142x y +=；⋯（3分）（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1y kx =+，与22142x y +=联立，消去y ，得22(12)420k x kx ++-=；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122412k x x k +=-+，122212x x k =-+，⋯（5分）由(0,2)R ，得 121222RA RB y y k k x x --+=+121211kx kx x x --=+12112()k x x =-+ 12122x x k x x +=-2241220212k k k k -+=-=-+．⋯（7分）所以直线RA ，RB 的斜率之和等于零；⋯（8分）（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，||AB =||4MN =，||||8AB MN =；⋯（9分）当直线l的斜率存在时，||AB =12||x x =-12()x x +4(12k k =-+ 22328k += ||MN ==⋯（11分）所以22328||||12k AB MN k+=+⨯241k +=；因为直线l 过点(0,1)P ，所以直线l 与椭圆C 和圆R 均交于两点，令212k t +=，则1t ，所以22(21)(21)1||||4242482t t AB MN t t -+==-<，又2124y t =-在1t 时单调递增，所以1||||446AB MN =，当且仅当1t =，0k =等号成立；⋯（13分）综上，||||AB MN 的取值范围是．⋯（14分）【点评】本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题，考查了计算能力与分析问题、解决问题的能力，是综合性题目．5．（2015•大庆一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON 的取值范围．【考点】3K ：椭圆的标准方程；4K ：椭圆的性质【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）由题意知12c e a ==，能够导出2243a b =．再由b C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4)1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=，再由根与系数的关系证明直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．（Ⅲ）分MN 的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y 在椭圆C 上．由22(1)1.43y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．再由根据判别式和根与系数的关系求解OM ON 的取值范围；当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =，易得M 、N 的坐标，进而可得OM ON 的取值范围，综合可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===．即2243a b =．又因为b =所以24a =，23b =．故椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4)1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=．①设点1(B x ，1)y ，2(E x ，2)y ，则1(A x ，1)y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．（Ⅲ）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y 在椭圆C 上．由22(1)1.43y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．易知△0>．所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+，22943M N m y y m =-+．则2225125334344(43)M N M N m OM ON x x y y m m +=+=-=--++．因为20m ，所以21133044(43)m --<+．所以5[4,)4OM ON ∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得3(1,)2M -，3(1,)2N 或3(1,)2M 、3(1,)2N -．此时54OM ON =-．所以OM ON 的取值范围是5[4,]4--．【点评】本题综合考查椭圆的性质及其应用和直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．6．（2016•太原校级二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足(OA OB tOP O +=为坐标原点），当25||PA PB -<t 取值范围．【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角；KH ：直线与圆锥曲线的综合【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（Ⅰ）由题意知c e a ==所以22222212c a b e a a -===．由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在．设:(2)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)P x y ，由22(2)1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=再由根的判别式和嘏达定理进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意知2c e a ==，所以22222212c a b e a a -===．即222a b =．（2分）又因为1b ==，所以22a =，故椭圆C 的方程为2212x y +=．（4分）（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在．设:(2)AB y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(,)P x y ，由22(2)1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=．△422644(21)(82)0k k k =-+->，212k <．（6分） 2122812k x x k +=+，21228212k x x k-=+12(OA OB tOP x x +=∴+，12)(y y t x +=，)y ， ∴21228(12)x x k x t t k +==+，1212214[()4](12)y y k y k x x k t t t k +-==+-=+ 点P 在椭圆上，∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，22216(12)k t k ∴=+．（8分） 25||PA PB -<，∴12|x x -，∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-< ∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++，22(41)(1413)0k k ∴-+>，∴214k >．（10分） ∴21142k <<，22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-++， ∴2t -<<2t <<，∴实数t 取值范围为26(2,(,2)-．（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法和求实数t 取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用根的判别式和韦达定理进行解题．7．（2016•抚顺一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线1A M 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△1A MN 的外接圆在M处的切线与椭圆相交所得弦长为57，求椭圆方程．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（Ⅰ）首先，得到点M 的坐标，然后，代入，得到212b a ac =+，从而确定其斜率关系；（Ⅱ）首先，得到1(2A c -，30)(,)2cM c ，然后，可以设外接圆圆心设为0(P x ，0)，结合圆的性质建立等式，然后，利用弦长公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意2(,)b M c a-------------（1分）因为1(,0)A a -，所以212b a ac =-------------+（2分）将222b a c =-代入上式并整理得112a c e a -=-=（或2)a c =----------（3分）所以12e =------------（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得2a c =，3b c =（或22221)43x y c c+=------------（5分）所以1(2A c -，30)(,)2cM c ，外接圆圆心设为0(P x ，0)由1||||PA PM =222003(2)()()2c x c x c +-+-----------（6分）解得：08cx =-------------（7分）所以34238PMck c c ==------------+（8分）所以△1A MN 外接圆在M 处切线斜率为34-，设该切线与椭圆另一交点为C则切线MC 方程为33()24c y x c -=--，即3944cy x =-+------------（9分）与椭圆方程2223412x y c +=联立得22718110x cx c -+=------------（10分）解得1211,7cx c x ==------------（11分）由弦长公式12|||MC x x =-115|77c c -=------------（12分）解得1c =------------（13分）所以椭圆方程为22143x y +=------------（14分）【点评】本题重点考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式等知识，属于中档题．8．（2016•江西模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c ，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a ，b ；（Ⅱ）把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D ，可得1AD BD k k =-，即可得出m 与k 的关系，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）左焦点(,0)c -到点(2,1)P∴=，解得1c =．又12c e a ==，解得2a =，2223b a c ∴=-=． ∴所求椭圆C 的方程为：22143x y +=．（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，△22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为2234k m +>．∴122834mkx x k-+=+，21224(3)34m x x k -=+．22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+．以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)D ，1AD BD k k =-，∴1212122y y x x =---，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，∴2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++．化为2271640m mk k ++=，解得12m k =-，227km =-．，且满足22340k m +->．当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7．综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0)7．【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．9．（2016•石家庄二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，||||MA MB λ=，且当直线l 垂直于x 轴时，||AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）若1[2λ∈，2]，求弦长||AB 的取值范围．【考点】4K ：椭圆的性质【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）先由离心率得到a ，b 的关系，再由求出b ，再由直线l 垂直于x 轴时，||AB =求得关于a ，b 的另一方程，联立求得a ，b 的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设AB 的方程(1)y k x =-，将直线的方程代入椭圆的方程，消去x 得到关于y 的一元二次方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB 的斜率的取值范围，从而求得弦长||AB 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，c e a ==，即2212c a =，∴22212a b a -=，则222a b =，①把1x =代入22221x y a b +=，得y =则2212b a a-=，② 联立①②得：22a =，21b =．∴椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）如图，当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(1)y k x =-，联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)20k y ky k ++-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则21212222,1212k k y y y y k k --+==++，③ 由||||MA MB λ=，得AM MB λ=，1(1x ∴-，12)(1y x λ-=-，2)y ，则12y y λ-=，④把④代入③消去2y 得：241212k λλ=+-+，当1[2λ∈，2]时，2412[012k λλ=+-∈+，1]2．解得：272k ． 22221212222221144||1()4(12)12k k k AB y y y y k k k k +=++-=+++2222211922222(1)22(1)(2,]112122k k k k k+==-=-∈+++．∴弦长||AB 的取值范围为92[2,]8．【点评】本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量的运算等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法．10．（2016•河南模拟）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．【考点】JE ：直线和圆的方程的应用【专题】15：综合题【分析】（1）因为直线l 过点(4,0)A ，故可以设出直线l 的点斜式方程，又由直线被圆1C 截得的弦长为圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l 的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P 点的直线1l 与2l 的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k 的方程，解方程求出k 值，代入即得直线1l 与2l 的方程．【解答】解：（1）由于直线4x =与圆1C 不相交；∴直线l 的斜率存在，设l 方程为：(4)y k x =-（1分）圆1C 的圆心到直线l 的距离为d ，l 被1C 截得的弦长为1d ∴==（2分）d =(247)0k k +=即0k =或724k =-∴直线l 的方程为：0y =或724280x y +-=（5分）（2）设点(,)P a b 满足条件，由题意分析可得直线1l 、2l 的斜率均存在且不为0，不妨设直线1l 的方程为()y b k x a -=-，0k ≠ 则直线2l 方程为：1()y b x a k-=--（6分）1C 和2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等， 1C ∴的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等1|5(4)|a b +--=（8分）整理得|13||54|k ak b k a bk ++-=+--13(54)k ak b k a bk ∴++-=±+--即(2)3a b k b a +-=-+或(8)5a b k a b -+=+- 因k 的取值有无穷多个，所以2030a b b a +-=⎧⎨-+=⎩或8050a b a b -+=⎧⎨+-=⎩（10分）解得5212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或32132a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩这样的点只可能是点15(2P ，1)2-或点23(2P -，13)2（12分）【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到一个关于x 的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．11．（2015•潍坊模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q +=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m 使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由．．【考点】4K ：椭圆的性质；KH ：直线与圆锥曲线的综合【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想【分析】（1）设0(Q x ，0)，由2(,0)F c ，(0,)A b 结合向量条件及向量运算得出关于a ，c 的等式，从而求得椭圆的离心率即可；（2）由（1）知a ，c 的一个方程，再利用AQF ∆的外接圆得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；（3）由（Ⅱ）知直线:(1)l y k x =-，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得满足题意的点P 且m 的取值范围．【解答】解：（1）设0(Q x ，0)，由2(,0)F c ，(0,)A b 知20(,),(,)F A c b AQ x b =-=-2F A AQ ⊥，∴22000,b cx b x c--==-，由于12220F F F Q +=即1F 为2F Q 中点．故2222223b c c b c a c c-+=-∴==-，故椭圆的离心率12e =，（3分）（2）由（1）知12c a =，得12c a =于是21(2F a ，30)(,0)2Q a -， AQF ∆的外接圆圆心为1(2a -，0)，半径1||2r FQ a ==所以1|3|22a a --=，解得2a =，1c ∴=，3b 所求椭圆方程为22143x y +=，（6分）。

(解析几何压轴题)(30题)2021高考数学考点必杀500题(新高考) (解析版)

解析几何压轴题（30题）（新高考）1．（2020·江苏苏州市·吴江中学高三其他模拟）(本题满分14分)已知椭圆2221+=+x y mm m 的右焦点为F ,右准线为l ，且直线y x =与l 相交于A 点.（Ⅰ）若⊙C 经过O 、F 、A 三点,求⊙C 的方程；（Ⅱ）当m 变化时, 求证：⊙C 经过除原点O 外的另一个定点B ；（Ⅲ）若5⋅<AF AB 时,求椭圆离心率e 的范围. 【答案】（Ⅰ）22(2)0x y mx m y +--+=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）0e <<. 【详解】（Ⅰ）22222,,a m m b m c m =+=∴=,即c m =,(,0)F m ∴,准线1x m =+,(1,1)A m m ∴++ ……………………………(2分)设⊙C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,将O 、F 、A 三点坐标代入得：200220F m Dm m D E =⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩,解得02F D m E m=⎧⎪=-⎨⎪=--⎩ ……………………(4分) ∴⊙C 的方程为22(2)0xy mx m y +--+= ……………………………(5分)（Ⅱ）设点B 坐标为(,)p q ,则22(2)0p q mp m q +--+=,整理得：222()0p q q m p q +--+=对任意实数m 都成立 ……………………(7分)∴22020p q p q q +=⎧⎨+-=⎩,解得00p q =⎧⎨=⎩或11p q =-⎧⎨=⎩, 故当m 变化时，⊙C 经过除原点O 外的另外一个定点B (1,1)-……………(9分) （Ⅲ）由B (1,1)-、(,0)F m 、(1,1)A m m ++得(1,1)AFm =---,(2,)AB m m =---∴2225AF AB m m ⋅=++<,解得31m -<< ………………………(10分)又200m m m ⎧+>⎨>⎩,∴01m <<又椭圆的离心率e ===（01m <<）…………（12分） ∴椭圆的离心率的范围是02e <<………………………………（14分）2．（2017·四川成都市·成都七中高三一模（文））如图,椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为60︒.（Ⅰ）求该椭圆的离心率;（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ,AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记GFD 的面积为1S ,OED （O 为原点）的面积为2S ,求12S S 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12e =；（Ⅱ）(9,)+∞. 【解析】（Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒1分则tan 603bc︒== 2分将3b c =代入222a b c =+，解得2a c =． 3分所以椭圆的离心率为12c e a ==． 4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143x y c c+=． 5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=得222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． 7分则2122843ck x x k -+=+，121226(2)43ck y y k x x c k +=++=+， 22243(,)4343ck ckG k k -++． 8分因为GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+． 9分因为 △GFD ∽△OED ，所以2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+11分 222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k ++===+>． 13分所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． 14分 3．（2021·江西上饶市·高三三模（理））已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个顶点在直线12x y +=上，直线l 经过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于A 、B两点，点P ⎛ ⎝⎭（P 不在直线l 上）（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与2x =交于点M ，设PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k ．试问：是否存在常数λ使得123k k k λ+=？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，2λ=.【详解】（1）直线12x y +=与坐标轴的交点为，1a b ∴==故椭圆的标准方程为2212x y +=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线:(1)AB y k x =-，则(2,)M k .由22222(1)2(1)2012y k x x k x x y =-⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩，即()222124220k k x k +-+-=， 22121222422,1212k k x x x x k k -∴+==++，()()12121212121122221111y y k x k x k k x x x x --∴+=+=+----()22122212121222422111222222421121211212k x x k k k k k k x x x x x x k k-⎫+-+=-+=-=-⎪----++⎝⎭-+++22221k k -=-⨯=-又32122k kk -==--123222k k k k ⎛⎫∴+=-= ⎪ ⎪⎝⎭故存在常数2λ=使得1232k k k +=4．（2021·湖南高三三模）已知椭圆221169x y +=，A 是椭圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点，直线():0l y kx b k =+>与椭圆交于M 、N 两点，且M 点位于第一象限．（1）若0b =，证明：直线AM 和AN 的斜率之积为定值；（2）若34k =，求四边形AMBN 的面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）【详解】（1）证明：设11(,)M x y ，则11(,)N x y --， ∵(4,0)A ，(0,3)B ，∴114AM y k x =-+，114AN y k x =+，∵11(,)M x y 在椭圆上，∴22119(16)16y x =- ∴22112211169916161616AM ANy x k k x x -⋅==⋅=---为定值．（2）设3:4l y x b =+，依题意：0k >，M 点在第一象限，∴33b -<<．联立：22341169y x b x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：229128720x bx b ++-=， ∴1243bx x +=-，212889x x b ⋅=-，设A 到l 的距离为1d ，B 到l 的距离为2d ，∴1|124|44|3|(3)555b d b b +==⋅+=+，2|124|44|3|(3)555b d b b -+==⋅-=-， ∴12245d d +=．又∵2212121295516||1||()4325216449MN x x x x x x b =+⋅-=+-=-+≤ （当0b =时取等号）， ∴121124||()52122225AMBN S MN d d =⋅+≤⋅⋅=． ∴四边形AMBN 的面积的最大值为1225．（2021·全国高三专题练习（理））如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2A B y y ⋅=-；（2）存在，2λ=.【详解】（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =得2220y my --=，则2A B y y ⋅=-.（2）由（1）同理得2M N y y ⋅=-设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =得2240y ny --=，则4A N y y ⋅=-又122222N A N A N A N A N A y y y y k y y x x y y --===-+-，同理22M B k y y =+则212222A NA N A NB M A Ny y y y y y k k y y y y λ++=====--+-+ ∴存在实数2λ=，使得212k k =成立.6．（2021·云南高三其他模拟（文））已知焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>经过圆()()()222:440D x y r r -+-=>的圆心，点E 是抛物线C 与圆D 在第一象限的一个公共点，且2EF =.（1）分别求p 与r 的值；（2）点M 与点E 关于原点O 对称，点A ，B 是异于点O 的抛物线C 上的两点，且M ，A ，B 三点共线，直线EA ，EB 分别与x 轴交于点P ，Q ，问：PF QF ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.【答案】（1）2p =，r =；（2）为定值，2. 【详解】（1）由已知得抛物线C 过点()44D ,，所以1624p =⨯，所以2p =. 即抛物线C 的方程为24y x =.设点()()000,0E x y y >，则012EF x =+=，所以01x =，于是得02y ==，即()1,2E ，将点E 的坐标代入圆D 的方程，得()()222142413r =-+-=，所以r =.（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由已知得()1,2M --，由题意直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()120y k x k =+-≠，由()24,12,y x y k x ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩得24480ky y k -+-=，由0∆>，得2210k k --<，即11k << 因为A ，B 异于原点O ，所以2k ≠，则124y y k+=，1284y y k =-.因为点A ，B 在抛物线C 上，所以2114y x =，2224y x =，则1111212241214EA y y k x y y --===-+-，2222412EBy k x y -==-+. 因为EF x ⊥轴，所以 ||||4||||||||||EA EB EA EB EF EF PF QF k k k k ⋅=⋅=⋅ ()()()121212|22||24|44y y y y y y +++++==88|44|24k k -++==，所以||||PF QF ⋅的值为定值2.7．（2021·天津高三一模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短半轴长为1，离心率为2. （1）求C 的方程；（2）设C 的上､下顶点分别为B ､D ，动点P (横坐标不为0)在直线2y =上，直线PB 交C 于点M ，记直线DM ，DP 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k ⋅的值. 【答案】（1）2214x y +=（2）34-【详解】（1）依题意可知1b =，c a =2212a a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得24a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）依题意可知(0,1)B ，(0,1)D -，设00(,)M x y ，则001DB y k x -=，直线BD ：0011y y x x -=+，令2y =，得001x x y =-，即00(,2)1x P y -， 0101DMy k k x +==，020003(1)2101DP y k k x x y -+===--，所以00120013(1)y y k k x x +-⋅=⋅2203(1)y x -=20203()344x x ⨯-==-. 8．（2021·全国高三专题练习（文））已知抛物线1C 的顶点为坐标原点O ，焦点为圆222:4C x y +=与圆()223:31C x y +-=的公共点．（1）求1C 的方程；（2）直线1:34l y x =+与1C 交于A ，B 两点，点P 在1C 上，且P 在AOB 这一段曲线上运动（P 异于端点A 与B ），求PAB △面积的取值范围．【答案】（1）28x y =；（2）1250,8⎛⎤⎥⎝⎦. 【详解】（1）联立()22224,31,x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得0,2.x y =⎧⎨=⎩因此1C 的焦点为()0,2，设抛物线()21:20C x py p =>，则22p=，则4p =，故1C 的方程为28x y =．（2）联立28,13,4x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得6,92x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或4,2,x y =-⎧⎨=⎩ 不妨假设96,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,2B -，则()64AB =--=．设()00,P x y ，则046x -<<，P 到直线l的距离d ===因为当46x -<<时，函数()2125y x =--的值域为[)25,0-，所以0<≤111250228PABS d AB <=⨯⨯≤=△，故PAB △面积的取值范围是1250,8⎛⎤⎥⎝⎦． 9．（2021·全国高三专题练习（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，上、下顶点分别是1B ，2B ，离心率12e =，短轴长为23. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，若12MN B F ⊥，试求1F MN △内切圆的面积.【答案】（1）22143x y +=；（2）36169π. 【详解】（1）由题意得12223c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，又222a b c =+，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由()10,3B ，()21,0F ，知12B F 的斜率为3-，因12MN B F ⊥，故MN 的斜率为33，则直线l 的方程为()313y x =-，即31x y =+，联立221,4331,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：2136390y y +-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则126313y y +=-，12913y y =-，则1F MN △的面积()212121224413S c y y y y y y =⋅-=+-=，由1F MN △的周长48L a ==，及12S LR =，得内切圆2613S R L ==，所以1F MN △的内切圆面积为236ππ169R =. 10．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（理））已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x ya b a b+=>>（，短轴长为23，椭圆左顶点到左焦点的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，(6,0).【详解】（1）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意. 所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+. 设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+. 因为APE OPF ∠=∠，所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033m kx x m k x x +-+-= 化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点(6,0).11．（2021·辽宁高三其他模拟（理））已知圆()22:11F x y -+=，动点()(),0M x y x ≥，线段FM 与圆F 交于点I ，MH y ⊥轴，垂足为H ，||||MI MH =，设动点M 形成的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程，并证明斜率为2-的一组平行直线与曲线C 相交形成的弦的中点在一条直线上；（Ⅱ）曲线C 上存在关于直线:230l x y --=对称的相异两点A 和B ，求线段AB 的中点D 的坐标.【答案】（Ⅰ）24y x =，证明见解析；（Ⅱ）()1,1-.【详解】（Ⅰ）||1||||1MI MF MH +==+，∴点M 的轨迹C 为以F 为焦点，1x =-为准线的抛物线，曲线C 的方程为24y x =，设点()()111222,,,A x y A x y 为其中任意一条斜率为2-的直线与曲线C 的两个交点，设线段12 A A 的中点为(),E x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()1212124y y y y x x -+=-，121242A A k y y ∴==-+，1222y y y ∴+=-=， 1y，所以这组斜率为2-的平行直线与曲线C 相交形成的弦的中点在直线1y =-上；（Ⅱ）设点()()3344,,,A x y B x y ，则23324444y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()3434344y y y y x x -+=-，344AB k y y ∴=+，又,A B 关于直线l 对称，2AB k ∴=-，即34 2y y +=-，3412y y +∴=-，又,A B 的中点一定在直线l 上，343423122x x y y ++∴=⨯+=， ∴线段AB 的中点D 坐标为()1,1-．12．（2021·湖南长沙市·长沙一中高三一模）已知抛物线()2:20C y px p =>的准线为l ，过抛物线上一点B 向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C 的焦点F ，且4BF =．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为A ，过x 轴上的一个定点()1,0的直线m 与抛物线C 交于,D E 两点．记直线,AD AE 的斜率分别为12,k k ，若1213k k +=，求直线m 的方程. 【答案】（Ⅰ）28y x =；（Ⅱ）4340x y --=. 【详解】（Ⅰ）由题意,42p B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入22y px =，得216p =，4p =，∴抛物线C 的方程为28y x =.（Ⅱ）当直线m 的斜率不存在时，120k k +=与题意不符，所以直线的斜率一定存在，设直线m 的方程为()1y k x =-代入到28y x =中，()2222280k x k x k -++=，设()11,D x y ，()22,E x y ，则21222122281k x x k k x x k ⎧++=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 12121222y yk k x x +=+++ ()()12121122k x k x x x --=+++()()()1212122422k x x x x x x ++-⎡⎤⎣⎦=++ 2819163k k ==+43k ∴=，所以直线m 的方程为4340x y --=． 13．（2021·全国高三专题练习（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F .设P 是椭圆C 上一点，满足2PF ⊥x 轴，212PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积.【答案】（1）2214x y +=；（2【详解】（1）由条件可知222212c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2a =，1b =，c =所以椭圆C 的标准方程是2214x y +=；（2）设直线:l x y =-()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆方程联立2214x y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得2510y --=，12y y +=1215y y -=，11212AOBSOF y y =⨯⨯-==14．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆Γ：()22211y x a a+=>与抛物线C ：()220x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆于A ，B 两点，且1AB =. （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 交椭圆Γ于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值.【答案】（1）椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C 的方程为：2x =；（2）最大值为1.【详解】（1）因为1AB =，所以不妨设A 的坐标为1(,)22p --，B 的坐标为1(,)22p -，所以有：2222114414p a p a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，∴24a=，p = ∴椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C 的方程为：2x =；（2）由（1）可知：F 的坐标为：，设直线l的方程为：y kx =+O 到MN 的距离为d，则d ==，联立2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩可得：()22410k x ++-=，则()22414k k MN +==+，1OMNS==≤=，当且仅当22k =时取等号，故OMN 面积的最大值为1.15．（2021·广东佛山市·高三一模）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>右焦点为()1,0F ，且过点()2,0A -．（1）求C 的方程；（2）点P 、Q 分别在C 和直线4x =上，//OQ AP ，M 为AP 的中点，求证：直线OM 与直线QF 的交点在某定曲线上．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析．【详解】（1）依题意知()2,0A -为椭圆C 的左顶点，故2a =，又()1,0F 为C 的右焦点，所以221a b -=．于是23b =，b =所以C 的方程为22143x y +=．（2）设00()2),(P x y x ≠±，则002,22x y M -⎛⎫⎪⎝⎭，直线AP 的斜率002y k x =+，又//OQ AP ，所以直线OQ 的方程为002y y x x =+，令4x =得0044,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭， 002,22x y OM -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0043,2y FQ x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，2220000003(2)23(4)4(*)222(2)x y x y OM FQ x x --+⋅=+=++，又P 在C 上，所以2200143x y +=，即22003412x y +=，代入（*）得0OM FQ ⋅=，所以OM QF ⊥．故直线OM 与QF 的交点在以OF 为直径的圆上，且该圆方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．即直线OM 与直线QF 的交点在某定曲线221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭上．16．（2020·福建宁德市·高三其他模拟）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点是(1,0)F ，点P 是椭圆E上一点，且||PF 的最大值为2b ．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右顶点A 的直线l 与椭圆交于B ，与y 轴交于C ．设FAB 和FAC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S ⋅的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）2130,2S S ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭.【详解】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦点为(1,0)F ，所以1c =，又2a c b +=，222a b c =+，所以24a =，23b =，即椭圆方程为22143x y +=．（2）由题可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的解析式为2x my =+，则C 点为2(0,)m-，由221432x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得：22(34)120m y my ++=，解得：21243B my m=-+，故11||||2B S FA y =，21||||2C S FA y =，由此可得：212216||||434B C S S FA y y m ⋅=⋅⋅⋅=+，所以2130,2S S ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭．17．（2021·四川高三三模（理））已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的两个焦点与短轴的两个顶点围成一个正方形，且()2,1P 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）A ，B 是椭圆上异于P 的两点，设直线PA ，PB 斜率分别为1k ，2k ，点()8,3Q 到直线AB 的距离为d ，若121k k +=，求以d 的最大值为直径的圆的面积．【答案】（1）22163x y +=；（2）25π．【详解】（1）由题意知b c =，a =∴设椭圆的方程为222212x y b b+=()0b >∵点()2,1P 在椭圆上， ∴224112b b+=，23b =， ∴椭圆方程为22163x y +=（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()12,A x y ，()22,B x y由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214260k x kmx m +++-=，()22863k m ∆=-+122421km x x k +=-+，21222621m x x k -⋅=+ ∵直线PA 、PB 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k += ∴121211122y y x x --+=--，即()()121212121220y x x y x x y y x x +++-+-= ∴()()()1212211240k x x m k x x m -++-+-=∴()()2222642112402121m kmk m k m k k --⋅-+-⋅-=++ ∴()()3210m k m ++-=， ∴3m =-或12m k =-当12m k =-时，直线AB 的方程为()21y k x =-+恒过()2,1P ，不合题意当3m =-时，由()28660k ∆=->，得1k >或1k <-当直线AB 的斜率不存在，直线AB 过()0,3C-时，不妨设(0,A，(B121k k +=+= ∴当直线AB 恒过定点过()0,3C -，则()8,3Q 到直线AB 的距离为10d QC ≤=，当AB CD ⊥时等号成立，此时，1413CD k k =-=-<- ∴以d 的最大值为直径的圆的面积210π25π2S ⎛⎫== ⎪⎝⎭．18．（2021·四川高三三模（文））已知O 为坐标原点，,A B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点，AOB 的面积为1，椭圆C的离心率为2. （1）求,a b 的值；（2）若与AB 垂直的直线交椭圆C 于,M N 两点，且OM ON ⊥，求AMN 的面积. 【答案】（1）2a =，1b =；（2或17. 【详解】（1）由椭圆方程知：(),0A a ，()0,B b ，112AOBSab ∴==，由222112ab c e a a b c ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩得：2a =，1b =.（2）由（1）知：椭圆C 的方程为2214x y +=，()2,0A ，()0,1B ；101022AB k -==--，2MN k ∴=，可设直线MN 方程为2y x m =+，由22214y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：221716440x mx m ++-=，则()2225668440m m ∆=-->，解得：m <<设()11,M x y ，()22,N x y ，121617m x x ∴+=-，2124417m x x -=，()()()221212121216224217m y y x m x m x x m x x m -∴=++=+++=， OM ON ⊥，12120OM ON x x y y ∴⋅=+=，即22441601717m m --+=，解得：2m =±，此时17MN ==；当2m =时，直线MN ：22y x =+，即220x y -+=，则点A 到直线MN 的距离5d ==，1122AMNSMN d ∴=⋅==；当2m =-时，直线MN ：22y x =-，即220x y --=，则点A 到直线MN 的距离5d ==，1122AMNSMN d ∴=⋅==综上所述：AMN . 19．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，过点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点.（1）若1F PQ 的周长为8，12F PF △C 的标准方程；（2）设,A B 分别为椭圆的左､右顶点，直线PA ，QB 的斜率分别为1221,,k k k k λ=，若()3,4λ∈，求椭圆C 的离心率的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）13,25⎛⎫⎪⎝⎭. 【详解】（1）由椭圆定义得：11||48PF QF PQ a ++==，所以2a =，又当点P 位于短轴端点时，12F PF △的面积最大，此时12122F PF S b c ∆=⨯⨯=bc =又222a b c =+，解得①1b c ==时，椭圆的标准方程为22143x y +=，②1,b c ==2214x y +=.（2）设(,0)A a -，(,0)b a ，()11,P x y ，()22,Q x y 由题意知直线斜率不为0，且过(,0)c ，设:l x my c =+，联立22221x my c x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22222222220b m a y mcb y b c b a +++-=，所以()212222222122222mcb y y b m a b c a y y b m a ⎧-+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩(*)，且121212,y y k k x a x a ==+-，由题知21k k λ=，则有()()()()2121212211212121()()y x a y my c a k my y c a y k y x a y my c a my y c a y λ+++++====-+-+-，将(*)代入整理得：21212221212()()mcb my y c a y b m a my y c a y λ⎛⎫-++- ⎪+⎝⎭==+-()()()222212222221222()2()()mb c a c a mcb c a y b m a mb c a c a y b m a -++--++-+-+()()()2222212222221222()2()()mb c a c a mc c a c a y b m a mb c a c a y b m a⎡⎤-++-⎣⎦-++==-+-+()()222122222212222()()()ca mb mc c a c a y b m amb c a c a y b m a ⎡⎤-++⎣⎦-++-+-+()()()222122222221222()()()ca m a c c a yb m am a c c a c a y b m a-+-++==--+-+()()221221()11()m a c c a y a c a c ea c a c em a c c a y +--+++==---+--所以12111e λλλ-==-++，(3,4)λ∈ 所以13,25e ⎛⎫∈⎪⎝⎭20．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆221:142x y C +=，椭圆2C 与1C 是“相似椭圆”，已知椭圆2C 的短半轴长为b ．（1）写出椭圆2C 的方程（用b 表示）；（2）若椭圆2C 的焦点在x 轴上，且2C 上存在两点M ，N 关于直线21y x =+对称，求实数b 的取值范围．【答案】（1）222212x y b b +=或222212y x b b +=；（2）)+∞．【详解】（1）由椭圆2C 与1C 是相似椭圆，得224221a b ==，∴椭圆2C 的方程为222212x y b b +=或222212y x b b +=．（2）由题设知：椭圆2C 为222212x y b b+=，设()11,M x y ，()22,N x y ，M ，N 的中点为E ，1:2MN l y x m =-+． ∴联立MN l 与椭圆2C 的方程，整理得()2223440x mx m b-+-=，∴0∆>，即2223b m >且12423E mx x x +==， 23E m x ∴=，1223E E my x m =-+=，由22,33m m E ⎛⎫⎪⎝⎭在直线21y x =+，得32m =-，于是222332b m >=，∴b 的取值范围为)+∞． 21．（2021·四川德阳市·高三三模（文））已知平面上的动点(),E x y 及两定点()2,0A -，()2,0B ，直线EA ､EB 的斜率分别为1k ､2k ，且1234k k =-，设动点E 的轨迹为曲线R . （1）求曲线R 的方程；（2）过点()1,0P -的直线l 与曲线R 交于C ､D 两点.记ABD △与ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2【详解】（1）由题意知2x ≠±，且12yk x =+，22y k x =-则3224y y x x ⋅=-+- 整理得，曲线R 的方程为()221043x y y +=≠.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为1x =- 此时ABD △与ABC 面积相等，120S S -=当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()10y k x k =+≠()11,C x y ､()22,D x y 联立方程，得()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得：()22223484120kxk x k +++-=0∆>，且2122834k x x k +=-+，212241234k x x k-=+ 此时()()1221212122211S S y y y y k x k x -=-=+=+++()212122234kk x x k k =++=+因为0k ≠，上式234k k=≤+==当且仅当k =) 所以12S S -22．（2021·天津高三其他模拟）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为e =其左右顶点分别为,A B ，下焦点为F，若ABFS．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上的动点，且在第一象限运动，直线AP 的斜率为k ，且与y 轴交于点M ，过点M 与AP 垂直的直线交x 轴于点N ，若直线PN 的斜率为25k -，求k 值．【详解】（1）由题可知：122ABFSbc =⋅=2bc e ==，22221bc a cb ac a b c⎧=⎧⎪=⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩， ∴椭圆方程为2214y x +=；（2）()1,0,AP A k k -=，设直线():(1),0,AP l y k x M k =+∴，联立方程()222222(1)424014y k x k x k x k y x =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 222224,44A P A P k k x x x x k k --∴+=⋅=++， ()22248,144p p p k kx y k x k k -∴=∴=+=++，22248,44k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭，MN AP ⊥，设直线1:,MN l y x k k=-+令0y =，解得2N x k =，()2,0N k ∴， 2222824454PNk k k k k k k +==---+，即425240k k +-=，解得23k =或28k =-（舍）， P 在第一象限，k ∴=23．（2021·全国高三其他模拟）已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线0l ：0x -=垂直，且双曲线C 的右焦点F 到直线0l 的距离为1．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于M ，N 点，且直线1A M 与直线2A N交于点Q ，求证：1AQ QF =．【详解】（1）由题知双曲线C 的渐近线方程为by x a =±， ∵双曲线的一条渐近线与直线0l：0x -=垂直，∴ba=b =．设(),0F c ，12c==，∴2c =． ∵222c a b =+，∴22244a b a =+=， ∴21a =，23b =，故双曲线C 的标准方程为2213y x -=．（2）由（1）可得()2,0F ，()11,0A -，()21,0A ． ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，结合双曲线C 的方程可得3=±y ，若()2,3M ，()2,3N -，则直线1A M 的方程为1y x =+，直线2A N 的方程为33y x =-+，由直线1A M 与直线2A N 的方程可得13,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭，∴点Q 在直线12x =上，又1A F 的垂直平分线为直线12x =，∴1AQ QF =．若()2,3M -，()2,3N ，则直线1A M 的方程为1y x =--，直线2A N 的方程为33y x =-，由直线1A M 与直线2A N 的方程可得13,22Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴点Q 在直线12x =上，又1A F 的垂直平分线为直线12x =，∴1AQ QF =． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y ，由题可知0k ≠，联立，得()22213y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 可得()222234430k x k x k -+--=，由直线l 与双曲线C 有两个交点，得23k ≠，212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-．∵直线1A M 的方程为()1111y y x x =++，直线2A N 的方程为()2211yy x x =--，∵()()21121111y x x x y x ++=--，两边同时平方得()()2222122121111y x x x y x ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，又221113y x -=，222213y x -=，∴()()()()()()222221212222121231111311x x y x y x x x -++=---()()()()21121111x x x x ++=--()()1212121211x x x x x x x x +++=-++22222222434133434133k k k k k kk k +++--=+-+-- 22222243434343k k k k k k +++-=+-+- 9=，∴2191x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭，解得12x =或2x =．由题易知()()211101y x y x +<-，当2x =时，101x x +>-，矛盾，舍去，故12Q x =，即点Q 在直线12x =上，又1A F 的垂直平分线为直线12x =，∴1AQ QF =． 24．（2021·河南郑州市·高三三模（文））椭圆()222210,0x y a b a b +=＞＞经过点()0,1．若斜率为k的直线l 与椭圆交于不同的两点E 、G ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设()2,0P -，直线PE 与椭圆的另一点交点为M ，直线PG 与椭圆的另一个交点为N ．若M 、N 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k ．【答案】（1）2213x y +=；（2）1k =．【详解】（1）因为椭圆()222210,0x y a b a b +=＞＞经过点()0,1，所以b =1，222213b e a =-= ，即2213b a =，解得a所以椭圆的方程是2213x y +=．（2）设()()11223344,,,,(,),(,)E x y G x y M x y N x y ，则221133x y +=，①222233x y +=，② 又()2,0P -，所以设1112PE y k k x ==+，直线PE 的方程为()12y k x =+，由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，所以13171247x x x --=+，13147y y x =+，即1111712(,)4747x y M x x --++，同理可得2222712(,)4747x y N x x --++，又因为71,44Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，由Q 、M 、N 三点共线，可得121212124747712712471144777444y y x x x x x x --++=----++++，化简得12121y y x x -=-，即1k =. 25．（2021·浙江高三二模）如图，A 点在y 轴正半轴上，抛物线2y x =上有三个不同的点B ，C ，D ，使得四边形ABCD 是菱形，C 点在第四象限.（1）若B 点与坐标原点重合，求菱形ABCD 的面积；（2）求OA 的最小值.【答案】(1)63(51)25++【详解】(1)设点A (0，2a )，因四边形ABCD 是菱形且B 点与坐标原点，则CD ⊥x 轴且|CD |=2a ，由抛物线对称性知C (a 2，-a )，D (a 2，a )，由|AB |=|BC |得2222()a a a =+3a =所以菱形ABCD 的边|AB |=3h =a 2=3，其面积为||333S AB h =⋅==(2)设点B (s 2，s )，D (t 2，t )，则线段BD 中点坐标为22(,)22s t s t++，而线段AC 与BD 有相同中点，点A 在y 轴上，则点2222(,)C s t s t +-+，22(0,)A s t s t ++，因AC ⊥BD ，即0AC BD ⋅=，222222(,2),(,)AC s t s t s t BD t s t s =+---+=--，222222()()(2)()0s t t s s t s t t s +-+---+-=，而t ≠s ，则22222()()s t s t s t s t +++=++令222s t m +=，则221m s t m +=-，而222()2()s t s t +<+，m>0，有12m + 322222||11m m m OA s t s t m m m +=+++=+=--，令32(),(12)1m mf m m m +=>+-，22342222222(31)(1)2()41(25)(25)()(1)(1)m m m m m m m m m f m m m +--+-----+'==-- ()025f m m '=⇒=+1225,()0m f m '+<<+<，25,()0m f m '>+>，所以()f m 在(12,25)++上单调递减，在(25,)++∞上单调递增，25m =+时，()f m 取最小值2(35)25(51)25(51)25(25)512(51)f +++++++===++. 26．（2021·四川广元市·高三三模（理））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ．（1）若点(),1C p 3（2）点(),1C p ，若线段CF 的中垂线交抛物线于A ，B 两点，求三角形ABF 面积的最小值．【答案】（1）2y =；（2）4．【详解】（1）抛物线的准线方程是2p x =-，焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2p p ∴+=0p >，p ∴=∴抛物线的方程为2y =（2）由题意知线段CF 的中点坐标为31,42p M ⎛⎫⎪⎝⎭，1022CF k p p p -==-， 2AB pk ∴=-∴直线AB 的方程为13224p p y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭设()11,A x y ，()22,B x y由2213224y pxp p y x ⎧=⎪⎨⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩，得2234202p y y +--= 124y y ∴+=-，212322y y p =--)2124||p AB y p+∴=-==又||CF ==2411||||228ABFp SAB CF p+∴=⨯⨯==令2(0)t p t =>，则3(4)()t f t t +=，222(4)(2)()t t f t t+-'= ∴当02t <<时，()0f t '<，()f t 递减，当2t >时，()0f t '>，()f t 递增， ∴当2t =即p =ABFS △取得最小值，最小值为84=．27．（2021·河南郑州市·高三三模（理））已知抛物线2:4C x y =和圆()22:11E x y ++=，过抛物线上一点()00,P x y ，作圆E 的两条切线，分别与x 轴交于A ､B 两点.（1）若切线PB 与抛物线C 也相切，求直线PB 的斜率；（2）若02y ≥，求△PAB 面积的最小值. 【答案】（1）3±；（2）最小值为2.【详解】（1）由题意，可设切线PB 的方程为y kx m =+，代入抛物线的方程得2440x kx m --=，由相切的条件得：216160k m ∆=+=，即20k m +=，由直线与圆相切可得圆心到直线距离1d ==，即222k m m =+，∴230m m +=，可得3m =-或0m =，∵当0m =时，有PB 的方程为0y =，此时(0,0)P 与圆E 的有且仅有一条切线， ∴3m =-，舍去0m =，故23k =，即3k =±.（2）设切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，圆心到直线距离1d ==，整理得222000000(1)(22)20k x x y x k y y --+++=，而220004(2)0x y y ∆=++>(02y ≥)，设P A ，PB 斜率分别为12,k k ，则20000012122200222+,,11x y x y y k k k k x x ++=⋅=-- 令y =0，得000012,A B y yx x x x k k =-=-，0000120000121212000|||()()|||||y y y y k k AB x x y y k k k k k k -=---=-=⋅==00011||22PABSAB y y =⋅== 令222(6)(),2(2)y y y f y y y +=≥+，2232(4+18()0(2)y y y f y y +'=>+），则()f y 在[2,)+∞上单调递增，即min ()(2) 4.f y f ==∴PABS的最小值为2.28．（2021·浙江高三三模）如图，已知抛物线C ：214y x =，点()()000,1A x y y ≥为抛物线上一点，过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线，8OM NO =，过点N 的直线l 交抛物线于点E ，F ，直线AE ，AF 的斜率分别为1k ，2k ，满足120k k +=.（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）求点A 到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）焦点坐标()0,1，准线方程1y =-；（2）232416. 【详解】（1）抛物线的标准方程为24x y =，所以其焦点坐标()0,1，准线方程1y =-；（2）已知204x y =，则点A 处的切线方程：20024x x y x =-，因为过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线所以()202222004124x t x t x x x t t t ⎧-⎪⋅=-⎪⎪-⎨⎪⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，化简得：224200030216x t t x x +--=.由0t >得：)242000200042202x x x t y y y t -+==-++> 设()11,E x y ，()22,F x y ，则由120k k +=得：1020044x x x x +++=，即0122x x x -=+，所以021212EF x y y k x x -==--，由8OM NO =得0,8t N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，直线l ：028x ty x =--，则023y d +==23=[)01,y ∈+∞上单调递增所以，当01y =时，min 416d =，此时，直线l 与抛物线相交.29．（2021·宁夏银川市·银川一中高三三模（理））已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1. 直线l 与y 轴交于点()0,P m ，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3AP PB =.（1）求椭圆C 的方程；（2）求m 的取值范围．【答案】（1）22112x y +=；（2）11(1,)(,1)22--. 【详解】（1）设椭圆的方程为2222:1(0)C bb x a a y +>>=，因为椭圆C 的离心率e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-，可得2c e a ==且12a c -=-，解得1,2a c ==，则22212b ac =-=，所以椭圆的方程为22112x y +=. （2）由题意，直线l 的斜率显然存在，设:l y kx m =+，与椭圆C 交点为1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组2221y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=，所以22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∆=-+-=-+>，且212122221,22km m x x x x k k --+==++，因为3AP PB =，所以123x x -=，可得122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩，消去2x 得212123()40x x x x ++=，即2222213()4022km m k k --⨯+⨯=++，整理得22224220k m m k +--=，即222(41)22m k m -=-，当214m =时上式不成立，当214m ≠时，可得2222241m k m -=-，由3AP PB =，可得0k ≠，所以22222041m k m -=>-，解得112m -<<-或112m <<，经验证此时2222k m >-成立，即0∆>成立，所以实数m 的取值范围为11(1,)(,1)22--. 30．（2021·山东济宁市·高三二模）己知抛物线()2:20C x py p =>，过点()0,T p 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 交抛物线C 于A ，B 两点，2l 交抛物线C 于E 、F 两点，当点A 的横坐标为1时，抛物线C 在点A 处的切线斜率为12．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，线段AB 的中点为M ，线段EF 的中点为N ，求OMN 面积的最小值．【答案】（1）2=4x y ；（2）8．【详解】（1）因为()220x py p =>可化为22x y p =，所以x y p '=．因为当A 点的横坐标为1时，抛物线C 在A 点处的切线斜率为12，所以112p =，所以2p =，所以，抛物线C 的标准方程为2=4x y ．（2）由（1）知点T 坐标为()0,2，由题意可知，直线1l 和2l 斜率都存在且均不为0，设直线1l 方程为2y kx =+，由224y kx x y=+⎧⎨=⎩联立消去y 并整理得，2480x kx --=， ()2243216320k k ∆=-+=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +-，128x x ⋅=-，所以，()21212444y y k x x k +=++=+，因为M 为AB 中点，所以()22,22M k k +，因为12l l ⊥，N 为EF 中点，所以222,2N k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以，直线MN 的方程为()()()22222221222222k k y k x k k x k k k k⎛⎫+-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-+=⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭+ 整理得14y k x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，直线MN 恒过定点()0,4．所以OMN面积1211424=4()482S k k k k k k ⎛⎫=⨯⨯--=++≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1kk即1k =±时，OMN 面积取得最小值为8．。

高中数学讲练透高考解析几何选择压轴题(学生版)

解析几何选择压轴题1．（北京海淀区·高三期末）如图所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为1C ，2C ．这两个球都与平面α相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林（G ·Dandelin ）利用这个模型证明了平面α与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两若圆锥的母线与它的轴的夹角为30，1C ，2C 的半径分别为1，4，点M 为2C 上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是（）A ．6B ．8C ．D ．2．（北京高三二模）点P 在函数y ＝e x 的图象上．若满足到直线y ＝x +a 的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（）A ．B ．C ．3D ．43．（北京延庆区·高三模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为(1)3y k x =++，以点(1,1)为圆心且与直线l 相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为（）A ．2B ．C ．4D ．84．（北京延庆区·高三模拟）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若8AB =，则线段AB 的中点M 的横坐标为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．（北京西城区·高三一模）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线24y x =的焦点F 发出的两条光线a ，b 分别经抛物线上的A ，B 两点反射，已知两条入射光线与x 轴所成锐角均为60︒，则两条反射光线a '和b '之间的距离为（）A B ．83 C D 6．（北京海淀区·高三期中）已知点()211,A x x ，()222,B x x ，10,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则“ABC 是等边三角形”是“直线AB 的斜率为0”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（北京东城区·高三一模）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点重合，P 为椭圆1C 与抛物线2C 的公共点，且PF x ⊥轴，那么椭圆1C 的离心率为（）A 1B ．3C ．2D 18．（北京石景山区·高三一模）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点(1,3)B −，点(4,2)C −，且其“欧拉线”与圆222:()(3)M x a y a r −+−+=相切．则圆M 上的点到直线30x y −+=的距离的最小值为（）A ．B ．C ．D ．69．（北京朝阳区高三一模）已知抛物线:4C y x 的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且||5AF =，则||||PA PO +（O 为坐标原点）的最小值为（）A ．8B ．CD ．610．（北京门头沟区·高三一模）在平面直角坐标系中，从点足为M ，则点(2,4)Q 与点M 的距离的最小值是（）A．5−B ．C ．D ．1711．（北京大兴区一模）抛物线2:8=W y x 的焦点为F ．对于W 上一点P ，若W 的准线上只存在一个点Q ，使得FPQ △为等腰三角形，则点P 的横坐标为（）A ．2B ．4C ．5D ．612．（北京海淀区·首都师大二附高三开学考试）曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =−的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②若点(,)P x y 在曲线C 上，则||2y ≤；③若点P 在曲线C 上，则1||4PF ≤≤．其中真命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．313．（北京大兴区一模）已知直线:30+−=l ax by 经过点(),2a b −，则原点到点(),P a b 的距离可以是（）A ．4B ．2C ．2D ．1214．（北京朝阳区高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y mx =（0m >）与曲线3y x =从左至右依次交于A ，B ，C 三点．若直线l ：30kx y −+=（k ∈R ）上存在点P 满足2PA PC +=，则实数k 的取值范围是（）A ．(2,2)−B ．[−C (,2)(2,)−∞−+∞D (,)−∞−⋃+∞15．（北京房山区高三期末）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线():2l y a x =−．给出以下命题：①当0a =时，若直线l 截黑色阴影区域所得两部分面积记为12,S S ()12S S ≥，则12:3:1S S =；②当43a =−时，直线l 与黑色阴影区域有1个公共点；③当(]0,1a ∈时，直线l 与黑色阴影区域有2个公共点．其中所有正确命题的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③16．（北京丰台区·高三期末）在平面直角坐标系中，A ，B 是直线x y m +=上的两点，且10AB =．若对于任意点(cos ,sin )(02)P θθθπ≤<，存在A ，B 使90APB ︒∠=成立，则m 的最大值为（）A ．B ．4C ．D ．8 17．（北京朝阳区高三期末）已知双曲线2222:1x y C a b−=（0a >，0b >）的左焦点为F ，右顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线FD ，D 为垂足．若||||DF DA =，则C 的离心率为（）A ．B ．2C D18．（北京东城区·高三期末）已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则点A 到y 轴的距离为（）A ．5B ．4C ．3D ．219．（北京人大附中高三月考）已知θ∈(0，π)，直线l ：sin cos 1x y θθ⋅+⋅=与圆C ：22(cos )(sin )4x y θθ−+−=的公共点的个数是（）A ．2个B ．1个C ．0个D ．以上都不对20．（北京密云区·高三期中）函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]0,a 上可找到()2,n n n N *≥∈个不同的数1x 、2x 、、n x ，使得()()()1212n n f x f x f x x x x ===，则n 的取值为（）A ．{}2,3,4,5B ．{}2,4,5C ．{}3,4,5D ．{}2,3,421．（北京市第一六一中学高三期中）以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．相离D ．无法确定22．（四川宜宾四中模拟）若双曲线2222:1x y C a b−=()0,0a b >>的一条渐近线被圆()2224xy ++=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A．3 B C D ．223．（北京人大附中模拟）若圆P 的半径为1，且圆心为坐标原点，过圆P 上一点作圆22(4)(3)4x y −+−=的切线，切点为Q ，则PQ的最小值为（）AB ．C ．2D ．424．（北京丰台区·期末）已知点M 在椭圆221189x y +=上运动，点N 在圆22(1)1y x +−=上运动，则||MN 的最大值为A ．1B ．1+C ．5D ．11225．（北京平谷区·期末）已知点P 是圆224240x x y y −++−=上的动点，P 到直线210mx y +−=的距A ．32B ．52C ．3D ．11226．（北京101中学期中）已知1122(,),(,)A x y B x y 是不同的两点，点(cos ,sin )C θθ，且11,33OA OC OB OC ⋅=⋅=，则直线AB 与圆22x y +=A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上三种情况都有可能27．（北京市平谷区第五中学期中）已知焦点在x 轴上的椭圆的方程为222141x y a a +=−，随着a 的增大该椭圆的形状A ．越扁B ．越接近于圆C ．先接近于圆后越扁D ．先越扁后接近于圆 28．（北京市平谷区第五中学期中）设某曲线上一动点M 到点(3,0)F 与到直线3x =−的距离相等，经过点(2,1)P 的直线l 与该曲线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则||||+=AF BF （） A ．6 B ．8 C ．9 D ．1029．（天一大联考）在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足433PA PB +=，则PD 的最大值为（）A ．3B ．3C ．3D ．230．（湖南岳阳市·高三一模）抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PA PF 的最大值是（）A ．2BC ．3D ．231．（河南金太阳3月联考）已知双曲线22:1D x y −=，点M 在双曲线D 上，点N 在直线:l y kx=上，l 的倾斜角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222cos ||1cos ON θθ=+，双曲线D 在点M 处的切线与l 平行，则OMN 的面积的最大值为（）A ．34B ．32-C D。

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压轴题型突破练——解析几何A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)解析直线l 1的倾斜角为π4，依题意l 2的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π4－π12，π4∪⎝⎛⎭⎫π4，π4＋π12，即⎝⎛⎭⎫π6，π4∪⎝⎛⎭⎫π4，π3，从而l 2的斜率a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 2．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是 __________.答案 (－∞，0)∪(10，＋∞)解析将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心坐标为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d ＝|3×1＋4×(－2)＋m |32＋42＝|m －5|5>1，∴m <0或m >10.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若PF ＝5，则双曲线的渐近线方程为____________．答案 y ＝±3x解析设点P (x 0，y 0)．依题意得，焦点F (2,0)， ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2＝5，y 20＝8x 0，于是有x 0＝3，y 20＝24； ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b 2＝1，由此解得a 2＝1，b 2＝3，因此该双曲线的渐近线方程是y ＝±bax ＝±3x .4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．答案 172解析记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172.5．如果x 2k －2＋y 21－k ＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析将原方程化成标准方程为y 2k －1－x 2k －2＝1.由题意知k －1>0且k －2>0，解得k >2.又a 2＝k －1，b 2＝k －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝2k －3>1，所以c >1，故半焦距c 的取值范围是(1，＋∞)．6．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. 答案 2解析设弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2.又∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.7．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是________．答案 2 3解析由抛物线定义得以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值．设以AB 为直径的圆的半径为r ，则AB ＝2r ≥4，r ≥2，且圆心到x 轴的距离是r －1，所以在x 轴上所截得的弦长为2r 2－(r －1)2＝22r －1≥23，即弦长的最小值是2 3. 二、解答题(共27分)8．(13分)已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得 (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0，由根与系数的关系，知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k2，又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，所以－x 1＝2x 2. 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22. 整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时等式不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0. 所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 9．(14分)已知中心在原点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的一个焦点为F 1(0,3)，M (x,4)(x >0)为椭圆C上一点，△MOF 1的面积为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)因为椭圆C 的一个焦点为F 1(0,3)，所以c ＝3，b 2＝a 2＋9，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2＋9＝1，因为x >0，所以S △OMF 1＝12×3×x ＝32，解得x ＝1.故点M 的坐标为(1,4)．因为点M (1,4)在椭圆上，所以1a 2＋16a 2＋9＝1，得a 4－8a 2－9＝0，解得a 2＝9或a 2＝－1(不合题意，舍去)，则b 2＝9＋9＝18，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 218＝1.(2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝4x ＋m (因为直线OM 的斜率k ＝4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋m ，x 29＋y 218＝1，消去y 化简，得18x 2＋8mx ＋m 2－18＝0. 进而得到x 1＋x 2＝－8m18，x 1·x 2＝m 2－1818.因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以Δ＝(8m )2－4×18×(m 2－18)>0，化简得m 2<162，解得－92<m <9 2. 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，所以OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝(4x 1＋m )(4x 2＋m )＝16x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2， x 1x 2＋y 1y 2＝17x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2 ＝17(m 2－18)18－32m 218＋m 2＝0.解得m ＝±102.由于±102∈(－92，92)，所以符合题意的直线l 存在，且所求的直线l 的方程为 y ＝4x ＋102或y ＝4x －102.B 组专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．答案 53解析由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴PF 2PF 1＝2，又PF 1＋PF 2＝2a ，∴PF 1＝2a 3，PF 2＝4a3.根据勾股定理得⎝⎛⎭⎫2a 32＋⎝⎛⎭⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.2．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．答案7解析如图所示，设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，则PQ 即为切线长， MQ 为圆M 的半径，长度为1， PQ ＝PM 2－MQ 2 ＝PM 2－1，要使PQ 最小，即求PM 的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝2 2. 所以PM 的最小值为2 2.所以PQ ＝PM 2－1≥(22)2－1＝7.3．(2011·四川)在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为__________．答案 (－2，－9)解析当x 1＝－4时，y 1＝11－4a ；当x 2＝2时，y 2＝2a －1，所以割线的斜率k ＝11－4a －2a ＋1－4－2＝a －2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋a 得切线斜率为2x 0＋a ，∴2x 0＋a ＝a －2， ∴x 0＝－1.∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a －4)，切线方程为y ＋a ＋4＝(a －2)(x ＋1)，即(a －2)x －y －6＝0.圆5x 2＋5y 2＝36的圆心到切线的距离d ＝6(a －2)2＋1.由题意得6(a －2)2＋1＝65，即(a －2)2＋1＝5.又a ≠0，∴a ＝4，此时，y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9，顶点坐标为(－2，－9)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y轴的交点为B ，若AM ＝MB ，则该椭圆的离心率为________．答案 63解析由题意知A 点的坐标为(－a,0)，设直线的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63.5．已知曲线x 2a －y 2b ＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a－1b 的值为________．答案 2解析将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0. 由题意，知a ≠b .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2aa －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b. OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2) ＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2a a －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.6．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则AF ＋4BF 的最小值为________．答案 92解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得AF ＋4BF ＝x 1＋p 2＋4⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝x 1＋12＋4⎝⎛⎭⎫x 2＋12＝x 1＋4x 2＋52，设直线AB 的方程为ky ＝x －12，联立抛物线方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ky ＝x －12，y 2＝2x消元整理得y 2－2ky －1＝0，由根与系数的关系可得y 1y 2＝－1，又A ，B在抛物线上，代入方程得y 21y 22＝2x 1·2x 2＝4x 1x 2＝1，即x 1x 2＝14，因此根据均值不等式AF ＋4BF ＝x 1＋4x 2＋52≥2x 1×4x 2＋52＝2＋52＝92，当且仅当x 1＝4x 2时取得最小值92.二、解答题(共28分)7．(14分)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，椭圆经过点M (2,1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，l 交椭圆于A ，B 两个不同点． (1)求椭圆的方程；(2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，4a 2＋1b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝2， ∴所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m ，又k OM ＝12，∴l 的方程为y ＝12x ＋m .由⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵直线l 与椭圆交于A ，B 两个不同点， ∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)>0，解得－2<m <2且m ≠0.8．(14分)在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左，右顶点分别为A ，B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足：PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；(2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． (1)解设P (x ，y )，由题知F (2,0)，B (3,0)，A (－3,0)，则PF 2＝(x －2)2＋y 2，PB 2＝(x －3)2＋y 2，由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简，得x ＝92.故点P 的轨迹方程是x ＝92.(2)解将x 1＝2，x 2＝13分别代入椭圆方程，并考虑到y 1>0，y 2<0，得M ⎝⎛⎭⎫2，53，N ⎝⎛⎭⎫13，－209. 则直线MA 的方程为y －053－0＝x ＋32＋3，即x －3y ＋3＝0直线NB 的方程为y －0－209－0＝x －313－3，即5x －6y －15＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，5x －6y －15＝0，解得x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫7，103. (3)证明如图所示，点T 的坐标为(9，m )．直线TA 的方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，直线TB 的方程为y －0m －0＝x －39－3，分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(80－m 2)80＋m 2，40m 80＋m 2， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(m 2－20)20＋m2，－20m 20＋m 2. 直线MN 的方程为y ＋20m20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3(m 2－20)20＋m 23(80－m 2)80＋m 2－3(m 2－20)20＋m 2.令y ＝0，解得x ＝1，所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1,0)．。