四川省内江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷

四川省内江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，5}，B={2，3}，则∁u（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．（5分）函数y=的定义域为（）A．（0，1）B．D．3．（5分）下列四个函数y=2x2+1，y=x3，y=（）x，y=2sinx中，奇函数的个数是（）A．4B．3C．2D．14．（5分）已知sinα=﹣，cosα=﹣，则角α终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5分）一个扇形的弧长与面积的数值都是4，这个扇形的中心角的弧度数为（）A．4B．2C．3D．16．（5分）已知函数f（x）=，则f=（）A．9B．﹣C．﹣9 D．7．（5分）当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）A．x3＜3x＜log3x B．3x＜x3＜log3x C．l og3x＜x3＜3x D．log3x＜3x＜x38．（5分）若函数f（x）=（x﹣1）（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣1），则函数f（x）的两个零点分别位于区间（）A．（1，3）和（3，4）内B．（﹣∞，1）和（1，3）内C．（3，4）和（4，+∞）内D．（﹣∞，1）和（4，+∞）内9．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a ﹣x+b的图象是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣6x+1，g（x）=﹣x2﹣2x+7，设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（其中max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p、q 中的较小值）记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．﹣17 B．17 C．﹣16 D．16二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）计算：（）﹣lg5+|lg2﹣1|=．12．（5分）已知α∈（π，），cosα=﹣，则tanα=．13．（5分）已知指数函数y=f（x）和幂函数y=g（x）的图象都过P（，2），如果f（x1）=g （x2）=4，那么x1+x2=．14．（5分）若定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（log2x）＞0的解集为．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，其回旋值为t，给出下列四个命题：①函数f（x）=4为回旋函数，其回旋值t=﹣1；②若y=a x（a＞0，且a≠1）为回旋函数，则回旋值t＞1；③若f（x）=sinωx（ω≠0）为回旋函数，则其最小正周期不大于2；④对任意一个回旋值为t（t≥0）的回旋函数f（x），函数f（x）均有零点．其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜8}，B={x|x≥6}，求A∩B，A∪B，（∁u A）∩B．17．（12分）已知角α顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P（﹣3，4）．（1）求sinα，tanα的值；（2）若f（x）=，求f（α）的值．18．（12分）已知奇函数f（x）=定义域为R，其中a，b为常数．（1）求a，b的值；（2）若函数g（x）=log2（bx2﹣3x+m）（m∈R）的定义域为R，求实数m的取值范围．19．（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20．（13分）已知f（x）=sinx，若将f（x）的图象先沿x轴向左平移个单位，再将所得图象上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4倍，最后将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．（1）求函数g（x）的解析式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）设函数h（x）=g（x）﹣k（∈）的零点个数为m，试求m关于k的函数解析式．21．（14分）设函数f k（x）=x k+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）（1）若b+c=1，且f k（1）=g（），求a的值；（2）记函数f2（x）在上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时b的取值范围；（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈，都有x2∈满足等式g（x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．四川省内江市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，5}，B={2，3}，则∁u（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={1，2，5}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3，5}，则∁u（A∪B）={4}，故选：C．点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．2．（5分）函数y=的定义域为（）A．（0，1）B．D．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项解答：解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为∴角α终边所在的象限是第三象限．故选：C．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，考查角α终边所在的象限的确定，属于基础题．5．（5分）一个扇形的弧长与面积的数值都是4，这个扇形的中心角的弧度数为（）A．4B．2C．3D．1考点：弧度与角度的互化．专题：三角函数的求值．分析：利用弧长公式直接求解．解答：解：∵一个扇形的弧长与面积的数值都是4，∴，解得R=2，∴这个扇形的中心角的弧度数α===2．故选：B．点评：本题考查扇形图心角的求法，是基础题，解题时要注意弧长公式的合理运用．6．（5分）已知函数f（x）=，则f=（）A．9B．﹣C．﹣9 D．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的性质求解．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（）=log2=﹣2，f=3﹣2=．故选：D．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．（5分）当0＜x＜1时，则下列大小关系正确的是（）A．x3＜3x＜log3x B．3x＜x3＜log3x C．l og3x＜x3＜3x D．log3x＜3x＜x3考点：不等关系与不等式；对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：因为0＜x＜1，所以可选取中间数0，1，利用对数函数、幂函数、指数函数的单调性即可比较出其大小．解答：解：∵0＜x＜1，∴log3x＜log31=0，0＜x3＜1，1=30＜3x，∴，故选C．点评：掌握对数函数、指数函数、幂函数的单调性是解题的前提．8．（5分）若函数f（x）=（x﹣1）（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣1），则函数f（x）的两个零点分别位于区间（）A．（1，3）和（3，4）内B．（﹣∞，1）和（1，3）内C．（3，4）和（4，+∞）内D．（﹣∞，1）和（4，+∞）内考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x）=（x﹣1）（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣1）可求f（1）、f（3）、f（4）；从而确定函数的零点的区间．解答：解：∵f（x）=（x﹣1）（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣1），∴f（1）=（﹣2）×（﹣3）=6＞0，f（3）=（3﹣4）（3﹣1）=﹣2＜0，f（4）=（4﹣1）（4﹣3）=3＞0；故f（1）f（3）＜0，f（3）f（4）＜0；故函数f（x）的两个零点分别位于区间（1，3）和（3，4）内；故选A．点评：本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．9．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a ﹣x+b的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象；指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象可得：0＜a＜1，b＜﹣1，进而结合指数函数的图象和性质，可得答案．解答：解：由已知中函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象可得：0＜a＜1，b＜﹣1，∴＞1，1+b＜0∴g（x）=a﹣x+b=（）x+b∴g（x）为增函数，且过定点（0，1+b）故选：B点评：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，其中根据已知分析出0＜a＜1，b＜﹣1，是解答的关键．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣6x+1，g（x）=﹣x2﹣2x+7，设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（其中max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p、q 中的较小值）记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．﹣17 B．17 C．﹣16 D．16考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：化简f（x）﹣g（x）=2x2﹣4x﹣6=2（x﹣3）（x+1）；从而分段写出H1（x），H2（x）；从而求函数的最大值与最小值，从而求函数的最值．解答：解：由题意，f（x）﹣g（x）=2x2﹣4x﹣6=2（x﹣3）（x+1）；故H1（x）=max{f（x），g（x）}=，结合二次函数的性质可得，H1（x）在（﹣∞，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；从而可得A=H1（3）=32﹣6×3+1=﹣8；H2（x）=min{f（x），g（x）}=，H2（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，+∞）上是减函数；从而可得B=H2（﹣1）=1+6+1=8；故A﹣B=﹣16．故选C．点评：本题考查了分段函数的最值的求法及应用，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）计算：（）﹣lg5+|lg2﹣1|=．考点：有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数与对数的运算法则即可得出．解答：解：原式=﹣lg5+1﹣lg2=+1﹣1=．故答案为：．点评：本题考查了指数与对数的运算法则，属于基础题．12．（5分）已知α∈（π，），cosα=﹣，则tanα=．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由α的范围，根据cosα的值，求出sinα的值，即可确定出tanα的值即可．解答：解：∵α∈（π，），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==．故答案为：．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．13．（5分）已知指数函数y=f（x）和幂函数y=g（x）的图象都过P（，2），如果f（x1）=g （x2）=4，那么x1+x2=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：待定系数法；函数的性质及应用．分析：根据题意，用待定系数法求出f（x）与g（x）的函数解析式，再由f（x1）=g（x2）=4，求出x1、x2的值即可．解答：解：设指数函数y=f（x）=a x（a＞0a≠1），幂函数y=g（x）=xα（α），∵图象都过P（，2），∴，解得a=4，α=﹣1，∴f（x）=4x，g（x）=x﹣1；又f（x1）=g（x2）=4，∴，解得x1=1，x2=，∴x1+x2=．故答案为：．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的应用问题，也考查了由函数值求自变量的应用问题，是基础题目．14．（5分）若定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（log2x）＞0的解集为（0，）∪（2，+∞）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，然后解不等式即可．解答：解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，∴f（x）在16．（12分）已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜8}，B={x|x≥6}，求A∩B，A∪B，（∁u A）∩B．考点：交、并、补集的混合运算；并集及其运算；交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵A={x|2＜x＜8}，B={x|x≥6}，∴A∩B={x|6≤x＜8}，A∪B={x|x＞2}，（∁u A）∩B={x|x≥8或x≤2}∩{x|x≥6}={x|x≥8}．点评：本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．17．（12分）已知角α顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P（﹣3，4）．（1）求sinα，tanα的值；（2）若f（x）=，求f（α）的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意，利用任意角的三角函数定义求出sinα与cosα的值，即可确定出tanα的值即可；（2）f（x）利用诱导公式化简，把x=α代入表示出f（α），将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵角α顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P（﹣3，4），∴sinα==，cosα=﹣=﹣，则tanα==﹣；（2）f（x）=，则f（α）===﹣．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握基本关系及诱导公式是解本题的关键．18．（12分）已知奇函数f（x）=定义域为R，其中a，b为常数．（1）求a，b的值；（2）若函数g（x）=log2（bx2﹣3x+m）（m∈R）的定义域为R，求实数m的取值范围．考点：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）为奇函数得f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），解出a，b，再检验f（x）为奇函数即可；（2）由（1）得g（x）=log2（x2﹣3x+m），又知其定义域为R，只要求x2﹣3x+m＞0，恒成立即可，即△＜0即可．解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴即，解得，此时f（x）=，经检验可得f（﹣x）=﹣f（x），故a=2，b=1．（2）由（1）得g（x）=log2（x2﹣3x+m）∵函数g（x）=log2（x2﹣3x+m）的定义域为R，∴x2﹣3x+m＞0，恒成立即可，∴△=9﹣4m＜0，∴m＞，故m取值范围为（，+∞）．点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查奇函数的性质，函数的恒成立的问题，属于基础题．19．（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．考点：函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f=1200，然后在区间上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间在区间上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．点评：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．20．（13分）已知f（x）=sinx，若将f（x）的图象先沿x轴向左平移个单位，再将所得图象上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4倍，最后将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．（1）求函数g（x）的解析式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）设函数h（x）=g（x）﹣k（∈）的零点个数为m，试求m关于k的函数解析式．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．专题：数形结合；三角函数的图像与性质．分析：（1）首先对函数的图象进行平移变换，进一步对函数图象进行伸缩变换，最后求出结果．（2）由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，可解得函数的单调增区间，由+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得函数的单调减区间．（3）由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间上的零点的个数为m，结合函数f（x）的图象可得结论．解答：解：（1）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，所得图象的解析式是y=sin（x+），再将所得图象上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4倍，所得图象的解析式是y=4sin（x+），最后将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，所得图象的解析式是g（x）=4sin（2x+），故函数g（x）的解析式为：g（x）=4sin（2x+）．（2）由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，可解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数y=4sin（2x+）的单调增区间为，k∈Z．由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数y=3sin（2x+）+1的单调减区间为，k∈Z．（3）∵函数h（x）=g（x）﹣k（k∈）的零点的个数为m，即函数y=g（x）的图象和直线y=k在区间上的零点的个数为m，结合函数f（x）的图象可得：当k＞4，或k＜﹣4时，m=0；当k=4，或k=﹣4时，m=1；当﹣4＜k＜﹣2，或﹣2＜k＜4时，m=2；当k=﹣2时，m=3．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，方程根的存在性及个数判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（14分）设函数f k（x）=x k+bx+c（k∈N*，b，c∈R），g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）（1）若b+c=1，且f k（1）=g（），求a的值；（2）记函数f2（x）在上的最大值为M，最小值为m，求M﹣m≤4时b的取值范围；（3）判断是否存在大于1的实数a，使得对任意x1∈，都有x2∈满足等式g（x1）+g（x2）=p，且满足该等式的常数p的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的a的值；若不存在，请说明理由．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得1+b+c=log a=2，从而解得；（2）化简f2（x）=x2+bx+c，由二次函数的性质知，讨论对称轴以确定函数的最值，从而结合M﹣m≤4求b的取值范围；（3）化简g（x1）+g（x2）=p为g（x1）=p﹣g（x2），从而可得⊆，从而由集合的包含关系得，从而解得．解答：解：（1）∵b+c=1，且f（1）=g（），∴1+b+c=log a=2，∴a=；（2）f2（x）=x2+bx+c，当对称轴x=﹣≤﹣1，即b≥2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣1）=1﹣b+c，M﹣m=2b≤4，解得b≤2，∴b=2．当对称轴﹣1＜﹣≤0，即0≤b＜2时，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣）=c﹣，M﹣m=b+1+≤4，解得﹣6≤b≤2，∴0≤b＜2．当对称轴0＜﹣＜1，即﹣2≤b＜0时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（﹣）=c﹣，M﹣m=1﹣b+≤4，解得﹣2≤b≤6，∴﹣2＜b＜0．当对称轴﹣≥1，即b≤﹣2时，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（1）=1+b+c，M﹣m=﹣2b≤4，解得b≥﹣2，∴b=﹣2．综上所述：b的取值范围是．（3）∵g（x1）+g（x2）=p，∴g（x1）=p﹣g（x2），又∵任意实数x1∈，都有x2∈，∴⊆，即⊆，∴，又∵满足该等式的常数p的取值唯一，∴1+log a2=2，解得，a=2．点评：本题考查了二次函数的性质应用及分类讨论的思想应用，同时考查了集合的关系应用，属于中档题．。