湖南师大附中2019届高三第四次月考数学理科试卷及解析

湖南师大附中2019届高三第四次月考
数学理科试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.已知集合A ={x ∈R|x 2−x −2<0}，B ={x ∈Z|x =2t +1,t ∈A}，则A ∩B =（）A.{−1,0,1}
B.{−1,0}
C.{0,1}
D.{0}
2.已知复数z =2
1−i ，给出下列四个结论：①z =2；②z 2=2i ；③z 的共轭复数z =−1+i ；④z 的虚部为i .其中正确结论的个数是（）A.0
B.1
C.2
D.3
3.若向量a 与b 满足(a +b)⊥a ，且a =1，b =2，则向量a 在b 方向上的投影为（）A.
3
B.−1
2
C.-1
D.
33
4.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把k 进制数a （共有N 位）化为十进制数b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的k ，a ，n 分别为5，1203，4，则输出的b =（）
A.178
B.386
C.890
D.14303
5.若1−x 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5=（）
A.0
B.1
C.32
D.-1
6.若实数x ，y 满足2x −y ≥0
y ≥x y ≥−x +b
且z =2x +y 的最小值为3，则实数b 的值为（）
A.1
B.
2
C.
94
D.
52
7.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于220C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A.①②③
B.①③
C.②③
D.①
8.平面α过正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的顶点A ，平面α平面A 1BD ，平面α∩平面ABCD =1，则直线l 与直线A 1C 1所成的角为（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
9.对于数列{a n }，定义H n =
a 1+2a 2+...+2n−1a n
n
为{a n }的“优值”，现已知某数列的“优值”H n =2n ，记数列{a n }
的前n 项和为S n ，则S
2019
=（）A.2022 B.1011 C.2020 D.1010
10.在锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若cos B b
+cos C c
=23sin A 3sin C
，cos B +3sin B =2，则a +c
的取值范围是()
A.
32
,3
B.3
2,3
C.
32
,3
D.3
2,3
11.已知函数f(x)=log 2(2−x),0≤x <k,
x 3−3x 2+3,k ≤x ≤a,
若存在实数k ，使得函数f(x)的值域为[-1,1]，则实数a 的取值范
围是A.[3
2,1+3]
B.[2,1+3]
C.[1,3]
D.[2,3]
12.设A ，B 是抛物线y =x 2上的两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB ，则以下结论恒成立的结论个数为
（）
①OA⋅OB≥2；②直线AB过定点(1,0)；③O到直线AB的距离不大于1.
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知函数f(x)=sin2ωx−π
3(x∈R,ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π
2
，则ω=____．
14.已知函数f(x)=x+1(−1≤x≤0)
1−x2(0<x≤1)则−11
f(x)dx
的值为____．
15.已知双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一
象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN.若∠MPO=120°，∠MNQ=150°，则该双曲线的渐近线方程为____.
16.某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为3的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4=2a4−2，S3=2a3−2.
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）记b n=log2a n−1⋅a n，数列b n a
n 的前n项和为T n，求使T n>177−2n
60
成立的正整数n的最小值．
18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，∠ADP=90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．
（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF//平面PCE，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角D−FC−B的余弦值为2
时，求直线PB与平面ABCD所成的角．
4
19.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量
月用水量范围(单位：立方米)[0,10)[10,15)[15,+∞)
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k的值．
20.已知点F是椭圆x2
1+a2
+y2=1(a>0)的右焦点，点M(m,0)，N(0,n)分别是x轴，y轴上的动点，且满足MN⋅NF=0.若点P满足OM=2ON+PO（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线OA，OB与直线x=−a分别交于点S，T，试判断以线段ST为直径的圆是否经过点F？请说明理由．
21.已知函数f(x)=a(x−1)，g(x)=(ax−1)e x，a∈R.
（Ⅰ）若直线y=f(x)与曲线y=g(x)相切于点P(x0,y0)，证明：0<x0<1；
（Ⅱ）若不等式f(x)>g(x)有且仅有两个整数解，求a的取值范围．
22.选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C
1：
x=a+a cosϕ
y=a sinϕ(φ为参数，实数a＞0)，曲线C2：
x=bcosϕ
y=b+b sinϕ(φ
为参数，实数b＞0)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=αρ≥0,0≤α≤π2
与C
1交于O，A两点，与C
2
交于O，B两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝π
2
时，|OB|＝4.
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．
23.选修4－5：不等式选讲
|（a≠0)
已知函数fx=2|x+a|+|x−1
a
(Ⅰ)当a＝1时，解不等式f(x)＜4；
(Ⅱ)求函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的最小值．
【解析卷】
湖南师大附中2019届高三第四次月考
数学理科试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.已知集合A={x∈R|x2−x−2<0}，B={x∈Z|x=2t+1,t∈A}，则A∩B=（）
A.{−1,0,1}
B.{−1,0}
C.{0,1}
D.{0}
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，先求得集合A，进而得到集合B，再根据集合的交集的运算，即可求解.
【详解】由题意，可知A={x∈R|x2−x−2<0}={x|−1<x<2}，
则x=2t+1∈(−1,5)，所以B={0,1,2,3,4}，
所以A∩B={0,1}，故选C.
【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合A,B，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2.已知复数z=2
，给出下列四个结论：①z=2；②z2=2i；③z的共轭复数z=−1+i；④z的虚部为i.
1−i
其中正确结论的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，根据复数z=1+i，利用模的公式和复数的运算、及共轭复数的概念等，即可逐一判定，得到答案.
【详解】由已知z=1+i，则z=2，z2=2i，z=1−i，z的虚部为1.所以仅结论②正确，
故选B.
【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，复数的模、共轭复数的概念及复数的运算法则，其中熟记复数的相关概念和复数的运算法则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
3.若向量a与b满足(a+b)⊥a，且a=1，b=2，则向量a在b方向上的投影为（）
A.3
B.−1
2C.-1 D.3
3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量垂直的充要条件求得a⋅b=−1，再由向量a在b方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.
【详解】利用向量垂直的充要条件有：(a+b)⋅a=a2+a⋅b=0，∴a⋅b=−1，
则向量a在b方向上的投影为a⋅b
b =−1
2
,故选B.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
4.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把k进制数a（共有N位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为5，1203，4，则输出的b=（）
A.178
B.386
C.890
D.14303
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题设的程序框图，得到该程序的计算功能，即可求解，得到答案.
【详解】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b=3⋅50+0⋅51+2⋅52+1⋅53= 178.故选A.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，得到该程序框图的计算功能是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
5.若1−x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0−a1+a2−a3+a4−a5=（）
A.0
B.1
C.32
D.-1
【答案】A
【解析】
由二项展开式的通项公式T r+1=C5r(−x)r=C5r(−1)r x r，可知a1,a3,a5都小于0．则|a0|−|a1|+|a2|−|a3|+ |a4|−|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5．在原二项展开式中令x=1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0．故本题答案选A．
6.若实数x，y满足2x−y≥0 y≥x
y≥−x+b
且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为（）
A.1
B.2
C.9
4D.5
2
【答案】C
【解析】【分析】
由题意，画出约束条件所表示的平面区域，判定目标函数z =2x +y 过点B 时取得最小值，即可求解，得到答案.
【详解】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数z =2x +y 过点B 时取得最小值，由y =−x +b
2x −y =0得B b 3,2b
3，则2×b
3+
2b 3
=3，解得b =9
4.故选C.
【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问
题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．
7.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于220C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A.①②③ B.①③ C.②③ D.①
【答案】B 【解析】
试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22
∘
C ，故不符合题意，③丙地：5
个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．若由有某一天的气温低于22∘
C 则总
体方差就大于10.8，故满足题意，选C
考点：统计初步
8.平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α平面A1BD，平面α∩平面ABCD=1，则直线l与直线A1C1所成的角为（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α/平面A1BD，
平面α∩平面ABCD=AF，得到BD//AF，在根据正方形的性质，即可求解.
【详解】如图所示，平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α平面A1BD，
平面α∩平面ABCD=1=AF，平面A1BD∩平面ABCD=BD，∴BD//AF，
又∵A1C1//AC，则直线l与直线A1C1所成的角即为直线BD与直线AC所成的角，
即直线l与直线A1C1所成的角为为90°.故选D.
【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解问题，其中解答中，着重考查了.
9.对于数列{a n}，定义H n=a1+2a2+...+2n−1a n
为{a n}的“优值”，现已知某数列的“优值”H n=2n，记数列{a n}
n
=（）
的前n项和为S n，则S2019
2019
A.2022
B.1011
C.2020
D.1010
【答案】B
【解析】
【分析】
=2n，得到a1+2a2+...+2n−1a n=n⋅2n，进而求得a1+2a2+...+由题意，根据H n=a1+2a2+...+2n−1a n
n
2n−2a n−1=(n−1)⋅2n−1，作差即可求解.
【详解】由H n=a1+2a2+...+2n−1a n
n
=2n，
得a1+2a2+...+2n−1a n=n⋅2n，①
a1+2a2+...+2n−2a n−1=(n−1)⋅2n−1，②
①-②得2n−1a n=n⋅2n−(n−1)⋅2n−1=(n+1)⋅2n−1，即a n=n+1，S n=n(n+3)2，
所以S2019
2019
=1011.故选B.
【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得a1+2a2+...+2n−1a n=n⋅2n，进而得a1+2a2+...+2n−2a n−1=(n−1)⋅2n−1，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
10.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cos B
b +cos C
c
=23sin A
3sin C
，cos B+3sin B=2，则a+c
的取值范围是()
A.3
2,3 B.32,3 C.3
2
,3 D.32,3
【答案】B 【解析】
∵cos B
b +cos C
c
=23sin A
3sin C
∴c sin B+b sin C=23bc sin A
3sin C
=23ab∴sin(B+C)=23b sin A
3
∴b=3
2
∵cos B+
3sin B=2∴B=π
3∴2R=b
sin B
=1∴a+c=2R(sin A+sin C)=1×[sin A+sin(2π
3
−A)]=3
2
sin A+
3 2cos A=3sin(A+π
6
)∵0<A<π
2
∴π
6
<A+π
6
<2π
3
∴3
2
<3sin(A+π
6
)≤3∴3
2
<a+c≤3。

故选B。

点睛：解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．
11.已知函数f(x)=log2(2−x),0≤x<k,
x3−3x2+3,k≤x≤a,若存在实数k，使得函数f(x)的值域为[-1,1]，则实数a的取值范围是
A.[3
2
,1+3] B.[2,1+3] C.[1,3] D.[2,3]
【解析】
试题分析：由于在上是单调递减函数，当时，，当时，，所以，令，则，解得或，当时，
函数取得极小值-1，当时，解得：，，舍，所以
，故选B.
考点：1.分段函数；2.导数的应用；3.函数图像.
【思路点睛】本题考察了分段函数的值域，综合了导数与函数图像的问题，属于综合性较强的难题，分段函数的值域是，那么两段函数的值域是的子集，而且并集是，根据复合函数的单调性可知是减函数，易得，根据导数分析第二段函数的单调性和极值，以及时的值，再结合函数的图像，可得区间需包含2，但不能大于，这样可得的取值范围是.
12.设A，B是抛物线y=x2上的两点，O是坐标原点，若OA⊥OB，则以下结论恒成立的结论个数为（）
①OA⋅OB≥2；②直线AB过定点(1,0)；③O到直线AB的距离不大于1.
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】C
【分析】
由题意，根向量的运算，求得OA ⋅OB =x 1x 2(1+x 1x 2)=0，得到x 2=−1
x 1，再根据向量的模的计算公式，
化简得到①正确；直线AB 的斜率求得直线方程，可判定直线不一定过点(0,1)，②错误；利用点到直线的距离公式，可判定③正确，即可得到答案.
【详解】设A(x
1,x 12)，B(x 2,x 22)，OA ⋅OB =x 1x 2(1+x 1x 2)=0，x 2=−1x 1，OA ⋅OB ==
≥2，①正确；
直线AB 的斜率x 2
2−x 12
x 2−x 1
=x 2+x 1=x 1−1x 1
，方程为y −x 12
=x 1−1
x 1
(x −x 1)，过定点(0,1)，②错误；
原点到直线AB ：x 1−1
x
1
x −y +1=0的距离
d =
1
≤1
，③正确．故选C.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积和向量模的运算，以直线的方程及点到直线的距离公式的应用，其中解答中认真审题，合理利用向量的运算公式和直线方程的相关知识求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知函数f(x)=sin 2ωx −π
3(x ∈R,ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π
2，则ω=____．【答案】1【解析】【分析】
由题意可知，函数fx 的图象相邻的两条对称轴之间的距离为π
2，可得T
2=π
2，可求解函数的周期，进而得到答案.
【详解】由题意可知，函数fx 的图象相邻的两条对称轴之间的距离为π
2，可得T
2=π
2，又由T =2π
2ω，可得ω=1.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，属于基础题型.14.已知函数f(x)=x +1(−1≤x ≤0)1−x 2(0<x ≤1)
则−11f(x)dx 的值为____．
【答案】1
2+π4
【分析】
由函数f(x)的解析式，得到−11f(x)dx =−10(x +1)dx +011−x 2dx ，即可求解.
【详解】由题意，根据函数f(x)=
x +1(−1≤x ≤0)
1−x 2(0<x ≤1)
，
可得−11f(x)dx =−10(x +1)dx +011−x 2dx =1
2x 2+x π
4=12+π
4
.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定
理，得到−11f(x)dx ，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于
基础题.
15.已知双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)，过x 轴上点P 的直线与双曲线的右支交于M ，N 两点（M 在第一
象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN .若∠MPO =120°，∠MNQ =150°，则该双曲线的渐近线方程为____.【答案】y =±x 【解析】【分析】
由题意可知：M ，Q 关于原点对称，得到k MN ⋅k QN =b 2
a 2，分别求出相应的斜率，再根据离心率公式，
即可求解.
【详解】由题意可知：M ，Q 关于原点对称，∴k MN ⋅k QN =b 2
a 2，
又由∠MPO =120°，∠MNQ =150°，则k MN =3，k QN =3
3
，∴b 2
a 2=1，
渐近线方程为y =±x .
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据双曲线的对称性，得到M,Q 关于原点对称，得到k MN ⋅k QN =b 2
a 2，分别求出相应的斜率，求得
b 2
a 2的值是解答的关键，
重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
16.某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为3的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__________．
【答案】36
4
【解析】
分析：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，由此求出该几何体的外接球的半径，进而求出高h，即可求出它的体积．
详解：根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积
为36π，即4
3πR3=36π,∴R=3,则球心O到底面等边△ABC得中心O′的距离OO′=R2−3
3
×32=
22,故三棱锥的高h=3
2
OO′=32,故三棱锥的体积
V=1
3×3
4
×32×32=36
4
.
即答案为36
4
.
点睛：本题考查了三棱锥的三视图、椎体的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，满足S4=2a4−2，S3=2a3−2.
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）记b n=log2a n−1⋅a n，数列b n a
n 的前n项和为T n，求使T n>177−2n
60
成立的正整数n的最小值．
【答案】（1）a n=2n（2）6
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设{a n}的公比为q，由题设条件，求得等比数列的首项和公比，即可得到数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=2n−1，所以b n a
n =2n−1
2n
，利用乘公比错位相减法，求得T n=3−2n+32n，再根据题设，
列出不等式，即可求解.
【详解】（Ⅰ）设{a n}的公比为q，由S4−S3=a4得，2a4−2a3=a4，所以a4a
3
=2，所以q=2.又因为S3=2a3−2，所以a1+2a1+4a1=8a1−2，所以a1=2.
所以a n=2n.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=log2(a n−1⋅a n)=log2(2n−1×2n)=2n−1，所以b n a
n =2n−1
2n
，
T n=1
21+3
22
+5
23
+...+2n−1
2n
，则1
2
T n=1
22
+3
23
+5
24
+...+2n−3
2n
+2n−1
2n+1
，
T n−1
2T n=1
2
T n=1
2
+1
21
+1
22
+1
23
+...+1
2n−1
−2n−1
2n+1
=1
2
+1−1
2n−1
−2n−1
2n+1
=3
2
−2n+3
2n+1
，
所以T n=3−2n+32n，
由T n=3−2n+32n>177−2n
60，得2n+3
2n
<3−177−2n
60
=2n+3
60
，即2n>60，则n≥6，
所以n的最小值是6.
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，∠ADP=90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．
（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF//平面PCE，并说明理由；
时，求直线PB与平面ABCD所成的角．
（Ⅱ）当二面角D−FC−B的余弦值为2
4
【答案】（1）见解析（2）60°
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取PC的中点Q，连结EQ、FQ，得到故AE//FQ且AE=FQ，进而得到AF//EQ，利用线面平行的判定定理，即可证得AF//平面PEC.
（Ⅱ）以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD=a，求得平面FBC的法向量为m，和平面DFC 的法向量n，利用向量的夹角公式，求得a=3，进而得到∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，即可求解.
【详解】（Ⅰ）在棱AB上存在点E，使得AF//平面PCE，点E为棱AB的中点．
CD，
理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ//DC且FQ=1
2
CD，故AE//FQ且AE=FQ.所以，四边形AEQF为平行四边形.
AE//CD且AE=1
2
所以，AF//EQ，又EQ⊥平面PEC，AF⊥平面PEC，所以，AF//平面PEC.
（Ⅱ）由题意知ΔABD为正三角形，所以ED⊥AB，亦即ED⊥CD，
又∠ADP=90°，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD=AD，
所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
设FD =a ，则由题意知D 0,0,0，F 0,0,a ，C 0,2,0，B(3,1,0)，
FC =0,2,−a ，CB =3,−1,0，
设平面FBC 的法向量为m =(x,y,z)，
则由m ⋅FC =0m ⋅CB =0
得2y −az =03x −y =0，令x =1，则y =3，z =
23a
，
所以取m =1,3,23a ，显然可取平面DFC 的法向量n =(1,0,0)，由题意：2
4
=cos <m,n >=
11+3+12
a
2
，所以a =3.
由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ，所以∠PBD 为直线PB 与平面ABCD 所成的角，
易知在RtΔPBD 中，tan ∠PBD =PD
BD =a =3，从而∠PBD =60°，所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60°.
【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
19.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别
第一阶梯水量
第二阶梯水量
第三阶梯水量
月用水量范围(单位：立方米)
[0,10)
[10,15)
[15,+∞)
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为一阶的可能性最大，求k的值．
【答案】（1）见解析（2）k=3
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由茎叶图计算，可得第二阶段水量的户数X的可能取值为0,1,2,3，求解随机变量取每个值对应的概率，列出随机变量的分布列，利用公式，求解数学期望；
（Ⅱ）设Y为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得Y∼B10,3
10
，根据概率公式，列出不等式组，求得实数k的范围，即可求解k的值，得到答案.
【详解】（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数X的可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=C50C53
C103=1
12
，P(X=1)=
C51C52
C103
=5
12
，
P(X=2)=C52C51
C103=5
12
，P(X=3)=
C53C50
C103
=1
12
，
所以X的分布列为
X0123
P1
125
12
5
12
1
12
X的数学期望E(X)=0×1
12+1×5
12
+2×5
12
+3×1
12
=3
2
.
（Ⅱ）设Y为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得Y∼B10,3
10
，
P(X =k)=C 10
k
310k 710
10−k
(k =0,1,2,3,...,10)，
由
C 10
k 310k 71010−k
≥C 10k+1
310k+1710
9−k
C 10k
310k 710
10−k ≥
C 10k−1310k−1710
11−k ，解得2310
≤k ≤
3310
，又k ∈N ∗，所以当k =3时概率最大．
即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，以及二项分布的应用，其中解答中认真审题，得到随机变量X 的取值，利用排列组合的知识得到随机变量取每个值对应的概率，合理利用公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.20.已知点F 是椭圆
x 21+a 2
+y 2=1(a >0)的右焦点，点M(m,0)，N(0,n)分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足
MN ⋅NF =0.若点P 满足OM =2ON +PO （O 为坐标原点）．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A ，B 两点，直线OA ，OB 与直线x =−a 分别交于点S ，
T ，试判断以线段ST 为直径的圆是否经过点F ？请说明理由．
【答案】（1）y 2=4ax （2）经过【解析】【分析】
（Ⅰ）由椭圆的方程，得到右焦点F (a,0)的坐标，根据向量的数量积的运算公式，求得n 2+am =0和
m =−x
n =y
2
，代入即可求解抛物线的标准方程；
（Ⅱ）解法一：设直线AB 的方程为x =ty +a ，得到l OA ，l OB ，联立方程组，求得S,T ，利用向量的数量积的运算FS ⋅FT =0，即可得到证明；
解法二：①当AB ⊥x 时，利用向量的数量积得到FS ⋅FT =0；②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y =k(x −a)(k ≠0)，联立方程组，求解y 1y 2=−4a 2，进而证得FS ⋅FT =0，即可得到证明.【详解】（Ⅰ）∵椭圆
x 21+a 2
+y 2=1(a >0)右焦点F 的坐标为(a,0)，
∴NF =(a,−n).∵MN =(−m,n)，∴由MN ⋅NF =0，得n 2+am =0.
设点P 的坐标为(x,y)，由OM =2ON +PO ，有(m,0)=2(0,n)+(−x,−y)，
m =−x
n =y
2
，代入n 2+am =0，得y 2=4ax .
即点P 的轨迹C 的方程为y 2=4ax .
（Ⅱ）解法一：设直线AB 的方程为x =ty +a ，A y 124a ,y 1，B y 224a
,y 2，则l OA ：y =
4a y 1x ，l OB ：y =4a y 2x .由y =4a y 1x x =−a
得S −a,−4a 2y 1，同理得T −a,−4a 2y 2.∴FS =−2a,−4a 2
y 1，FT =−2a,−4a 2y 2，则FS ⋅FT =4a 2+16a 4
y 1y 2.由x =ty +a y 2=4ax
得y 2−4aty −4a 2=0，∴y 1y 2=−4a 2.则FS ⋅FT =4a 2+16a 4
(−4a 2)=4a 2−4a 2=0.
因此，以线段ST 为直径的圆经过点F .
解法二：①当AB ⊥x 时，A(a,2a)，B(a,−2a)，则l OA ：y =2x ，l OB ：y =−2x .
由
y =2x x =−a ，得点S 的坐标为S(−a,−2a)，则FS =(−2a,−2a)，由y =−2x x =−a
，得点T 的坐标为T(−a,2a)，则FT =(−2a,2a).∴FS ⋅FT =(−2a)×(−2a)+(−2a)×2a =0.
②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y =k(x −a)(k ≠0)，A y 124a ,y 1，B y 224a
,y 2，同解法一，得FS ⋅FT =4a 2+16a 4
y 1y 2.由y =k(x −a)y 2=4ax
，得ky 2−4ay −4ka 2=0，∴y 1y 2=−4a 2.则FS ⋅FT =4a 2+16a 4(−4a 2)=4a 2−4a 2=0.
因此，以线段ST 为直径的圆经过点F .
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和抛物线的标准方程、以及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，合理应用韦达定理求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
21.已知函数f(x)=a(x −1)，g(x)=(ax −1)e x ，a ∈R .
（Ⅰ）若直线y =f(x)与曲线y =g(x)相切于点P(x 0,y 0)，证明：0<x 0<1；
（Ⅱ）若不等式f(x)>g(x)有且仅有两个整数解，求a 的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）a ∈
e 22e 2−1,1【解析】
【分析】
（Ⅰ）求得函数的导数g'(x)，由导数的几何意义和直线y =f(x)的图象过定点(1,0)，得到ex 0+x 0−2=0，设ϕ(x)=e x +x −2，利用导数得到函数的单调性，根据零点的存在定理，即可求解.
（Ⅱ）由f(x)>g(x)得a x −x−1
e x <1，令h(x)=x −x−1
e x ，利用导数和由（1）知ϕ(x)在R 上单调递增，求
得h(x)min ，通过分类讨论a 的范围，即可满足条件a 的范围.
【详解】（Ⅰ）g'(x)=(ax +a −1)e x ，
由导数的几何意义可知，(ax 0+a −1)ex 0=a ，①
又直线y =f(x)的图象过定点(1,0)，因此
(ax 0−1)ex 0x 0−1=a ，即(ax 0−1)ex 0=a(x 0−1)，②
联立①②消去a 有ex 0+x 0−2=0.
设ϕ(x)=e x +x −2，则ϕ'(x)=e x +1>0，所以ϕ(x)在R 上单调递增．
而ϕ(0)=−1<0，ϕ(1)=e −1>0，ϕ(0)ϕ(1)<0，
由函数零点存在性定理知0<x 0<1.
（Ⅱ）由f(x)>g(x)得a x −
x−1e x <1，令h(x)=x −x−1e x ，则h'(x)=1+x−2
e x =e x +x−2
e x ，
由（Ⅰ）知ϕ(x)=e x +x −2在R 上单调递增，
且x ∈(−∞,x 0)时，ϕ(x 0)<0；在x ∈(x 0,+∞)，ϕ(x 0)>0，
故h(x)在(−∞,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增．
∴h(x)min =h(x 0)=x 0−x 0−1
ex 0=x 0ex 0−x 0+1ex 0.
易证e x ≥x +1，∴h(x 0)=x 0ex 0−x 0+1
ex 0>x 02+1ex 0
>0，当x ≤0时，h(x)≥h(0)=1>0；当x ≥1时，h(x)≥h(1)=1.
（1）若a ≤0，则ah(x)≤0<1，
此时ah(x)<1有无穷多个整数解，不合题意；
（2）若a ≥1，即1a ≤1，因为h(x)在(−∞,0]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，
所以x ∈Z ，h(x)≥min {h(0),h(1)}=1≥1a ，
所以h(x)<1a 无整数解，不合题意；
（3）若0<a <1，即1a >1，此时h(0)=h(1)=1<1a ，故0，1是h(x)<1a 的两个整数解，又h(x)<1a 只有两个整数解，因此
h(−1)≥1a h(2)≥1a ，解得a ≥e 22e 2−1，所以a ∈e 2
2e 2−1
,1.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明、函数的有解问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
22.选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x =a +a cos ϕy =a sin ϕ(φ为参数，实数a＞0)，曲线C 2：x =bcos ϕy =b +b sin ϕ
(φ为参数，实数b＞0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=αρ≥0,0≤α≤π2
与C 1交于O，A 两点，与C 2交于O，B 两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝π2时，|OB|＝4.(Ⅰ)求a，b 的值；
(Ⅱ)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．
【答案】（1）a =1，b =2（2）42+4
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由曲线C 1,C 2消去参数，得到曲线C 1,C 2的普通方程，再由极坐标方程与直角的互化公式，得到曲线的极坐标方程ρ=2a cos θ，由题意可得当θ=0时，得a =1，当θ=π2时，b =2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得C 1，C 2的极坐标方程，进而得到2OA 2+OA ⋅OB 的表达式，利用三角函数的性质，
【详解】（Ⅰ）由曲线C 1：x =a +acos ϕy =asin ϕ
（ϕ为参数，实数a >0），化为普通方程为(x −a)2+y 2=a 2，展开为：x 2+y 2−2ax =0，
其极坐标方程为ρ2=2aρcos θ，即ρ=2a cos θ，由题意可得当θ=0时，OA =ρ=2，∴a =1.曲线C 2：x =bcos ϕy =b +bsin ϕ
（ϕ为参数，实数b >0），化为普通方程为x 2+(y −b)2=b 2，展开可得极坐标方程为ρ=2b sin θ，
由题意可得当θ=π2时，OB =ρ=4，∴b =2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ=2cos θ，ρ=4sin θ.
∴2OA 2+OA ⋅OB =8cos 2θ+8sin θcos θ=4sin 2θ+4cos 2θ+4
=42sin 2θ+π4
+4，∵2θ+π4∈π4,5π4，∴42sin 2θ+π4+4的最大值为42+4，当2θ+π4=π2，θ=π8时取到最大值.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及曲线的极坐标方程的应用，其中解答中熟记参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，合理应用曲线的极坐标方程的转化是解答本题的关键，着重考查了转化思想和推理与运算能力.
23.选修4－5：不等式选讲
已知函数fx =2|x +a|+|x −1a |（a ≠0)
(Ⅰ)当a＝1时，解不等式f(x)＜4；
(Ⅱ)求函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的最小值．
【答案】（1）(−53,1)；（2）42
【解析】
试题分析：
(1)零点分段可得原不等式的解集为(−53,1).
(2)利用绝对值不等式的性质结合均值不等式的结论可得最小值为42.。