函数作图
函数作图的基本步骤与方法(精)
(5)根据以上讨论, 列表、描点并作出函数 y = ƒ(x)的 图形.
2
例32 作函数 f ( x )
1 2
e
x2 2
的图形.
解 (1)定义域 D (, ) (2)因ƒ(–x) = ƒ(x), 则ƒ(x)为偶函数, 其图形关于 y 轴对 称, 从而只讨论 ƒ(x) 在 [0, ) 的情形
令f ( x) 0, 得x 0.列表讨论如下 :
x
f ( x) f ( x)
0 0 拐点
(0, 1) – –
1
(1, 2) – +
2 0 极小值
y 4 3 2 1 –2 –1 o
(2, )
+ +
ƒ(x)
间断
由对称性知, 点(0, 0)为拐点.
(5)由以上讨论, 结合ƒ(x)的奇偶 性, 就可画出函数的完整图形. 作业: 讨论函数 性及拐点.
(3)
2 y 0是曲线的一条水平渐近线
x
当x 时, lim
x2 令 2
1
e
x2 2
0
(4) f ( x )
x 2
e
0, 得唯一驻点 x 0
x2 令 2
f ( x )
( x 1)( x 1) 2
e
0, 得 x 1.
3
用点 x 1将区间 [0， )分成两个子区间 (0,1)与 (1, ), 并列表如下：
1
(3)求 f ( x) 0 和 f ( x) 0 在函数定义域内的全部 实根及 f ( x) 和 f ( x) 不存在的点, 并用这些根和点
把函数的定义域分成几个子区间, 以确定函数的单
函数的凹凸性与作图
6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
机动
(拐点)
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x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
y
A
1 2
lim y 0
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
y
C M
y f ( x)
y kxb
L
PN
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
无渐近线 .
o
y
x
x
o
机动
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结束
1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
4[1].6函数作图
![4[1].6函数作图](https://img.taocdn.com/s3/m/2a85901ffc4ffe473368abeb.png)
y′ = 2 xe
x2
y′′ = 2e
x2
(2 x 1)
2
驻点: 令 y′ = 0 驻点:x = 0
令 y′′ = 0
1 x=± 2
1 1 1 1 1 1 x ( ∞, ) ( ,0) 0 ( 0 , ) ( ,+∞ ) 2 2 2 2 2 2
y′ y′′
+ +
+
0
0 +
x
y′ y′′
曲线
( ∞ ,1) 1
+
极大值
4 3
0 +
0
拐点
2 (0, ) 3
( 1 ,0 )
0
(0,1)
1
(1,+∞ )
0
+
0
+ +
极小值
y
4 (4) 取辅助点: 2,),2, ); 取辅助点: 0 ( ( 3
显然,函数无水平渐近线和垂直渐近线. 显然,函数无水平渐近线和垂直渐近线. 曲线图象如下图: 曲线图象如下图:
+
0
极 大
y
下凸
1 e
上凸
1
上凸
1 e
下凸
y
2 2
o
2 2
x
例9
1 3 2 的图形. 作函数 y = x x + 的图形. 3 3
解 (1) 函数的定义域为 R, 该函数为非奇非偶函数 ; ( 2) y′ = x 2 1, y′′ = 2 x;
令 y′ = 0, 得 x = ±1; 令 y′′ = 0, 得 x=0; 确定函数的单 ( 3) 列表讨论 y′, y′′ 的符号, 的符号, 调区间和极值,凹凸区间和拐点. 调区间和极值,凹凸区间和拐点.
高一数学函数的图像与作图北师大版知识精讲
高一数学函数的图像与作图北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：函数的图像与作图二、学习目标1、了解函数图像是描述函数关系的重要形式；2、掌握描点作图、平移变换作图、伸缩变换作图及对称变换作图等常用的作图方法；3、会结合函数的图像研究函数的性质；4、会借助函数的图像、利用数形结合的方法解决一些简单的问题三、知识要点（一）函数的图像函数的图像是函数的一种直观表示形式，它从“形”的方面刻画了函数变量之间的对应关系；通过观察函数的图像，可以形象而直观地了解到函数的有关性质和变化规律；借助函数的图像，既有助于记忆函数的有关性质和变化规律，又有助于研究函数的性质，以及利用数形结合的方法去解决某些问题；高考中有关函数的图像主要考查基本初等函数及简单的三次函数的图像。
（二）函数的作图1、描点作图：对一般函数的作图常采用描点作图，一般步骤是：①确定函数的定义域；②列表；③描点；④连线成图。
2、特征值作图：对基本初等函数的作图常采用特征值描点作图，常常采用的特征值有：最值，零点，对称轴等。
3、对称变换作图：对对称函数的作图，可以先作出部分图像，然后利用对称性作出对称部分的图像。
基本处理思路是将函数图像的对称性转化为点的对称性来处理。
设函数y=f（x），则有：①关于点（a，b）对称的函数为：2b－y=f（2a－x）即y=2b－f（2a－x）；特别地，关于原点对称的函数为y=－f（－x）；②关于直线x=a对称的函数为：y=f（2a－x）；特别地，关于y轴对称的函数为y=f（－x）；③关于直线y=b对称的函数为：2b－y=f（x）即y=2b－f（x）；特别地，关于x轴对称的函数为y=－f（x）；4、平移变换作图：对由基本初等函数平移得到的函数的作图，可以先作出基本初等函数的图像，然后再经水平或竖直方向上的平移得到所求函数的图像。
平移的规律：向坐标轴的正向平移m（>0）时，将对应的坐标减去m；向坐标轴的负向平移n（>0）时，将对应的坐标加上n。
高等数学第30讲 函数作图法.
第三十讲函数作图法作函数的图形时，仅知道函数的单调性和极值还不能全面反映函数图形的特征．同是在区间上单调增加的函数，其图形的弯曲方向也可能不同；如图3—6中与同是上升曲线，但弯曲方向不同，前者是凸的，后者是凹的．本节将用导数研究曲线的凸凹及拐点，从而比较准确地作出函数的图形．一、函数的凸凹与拐点如图 3 — 6 可以看出，曲线是向上弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线的上方；曲线是向下弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线下方，从而我们有如下定义．定义１如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的上方，则称曲线在此区间内是凸的；如果在某区间内，曲线上每一点处的切线都位于曲线的下方，则称曲线在此区间内是凹的．从图3—6还可以进一步看出，当曲线凸时，其切线斜率是单调减少的，因而；当曲线凹时，其切线斜率是单调增加的，因而，这说明曲线的凸凹性可由函数的二阶导数的符号确定．定理１设在上连续，在内具有二阶导数，则：（1）若在内，,则曲线在上是凹的．（2）若在内，,则曲线在上是凸的．定义２曲线上，凸与凹的分界点称为该曲线的拐点．由拐点的定义和定理１知，使的点及不存在的点可能是拐点．这些点是不是拐点要用下面的定理来判定．定理２设在内有二阶导数，则（1）若在与内异号，则点为曲线的拐点．（2）若在与内同号，则点不是曲线的拐点．例１求函数的凸凹区间及拐点．解，．令得；而为不存在的点．用将定义区间分成三个部分区间（见下表）．由表可知，曲线的凸区间是，凹区间是,；点是拐点．—不存在凸拐点凹不是拐点凹例２讨论函数的凸凹性及拐点．解函数的定义域为，对函数求导得，；由得，，．用这两点把定义域分成三个部分区间(见下表．由下表可知，曲线的凸区间是，凹区间是和，点和点是拐点．—凹拐点凸拐点凹二、曲线的渐近线有些函数的定义域与值域都是有限区间，此时函数的图形局限于一定的范围之内，如圆，椭圆等．而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷远处延伸，如双曲线，抛物线等．有些向无穷远延伸的曲线，呈现出越来越接近某一直线的形态，这种直线就是曲线的渐近线．定义 2若曲线上一点沿曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．（一）水平渐近线若函数的定义域是无限区间，且有（或，），则直线称为曲线的水平渐近线．例３对于曲线，由于，，所以直线与是曲线的水平渐近线．（二）垂直渐近线若是函数的间断点，且（或，），则直线称为曲线的垂直渐近线．例４求的垂直渐近线．解因为，所以，是曲线的一条垂直渐近线．（三）斜渐近线若曲线的定义域为无限区间，且有，，则直线称为曲线的斜渐近线．例５求曲线的渐近线．解因为，所以直线是曲线的垂直渐近线，又，；所以为曲线的斜渐近线．三、函数图形的作法前面几节讨论的函数的各种性态，可应用于函数的作图．描绘函数的图形可按下面的步骤．第一步确定函数的定义域及函数的某些特性（如奇偶性，周期性等）．第二步求出方程和在函数定义域内的全部实根和，不存在的点；用这些点把定义域划分成部分区间．第三步确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数的升降、凸凹、极值点和拐点．第四步确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势．第五步为了把图形描得准确，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，连结这些点作出函数的图形．例６描绘函数的图形．解（1）函数的定义域为，且，故图形在上半平面内．图３—7（ 2 ）是偶函数，图形关于轴对称．（3）曲线与轴的交点为．（4）因，故是一条水平渐近线．（5），令得驻点．（6），令得．列表如下：—————极大值凸拐点凹由上面分析画出草图（图3—7）．。
[整理]Mathematica函数作图.
![[整理]Mathematica函数作图.](https://img.taocdn.com/s3/m/a07c9e3516fc700abb68fc7b.png)
图1
为平面图形加刻度框。程序如下：
Plot[ Sin[ x ], { x, 0, 2Pi }, Frame ->True ]
得到结果：
图2
为图形加背景颜色。例如绿色，程序如下：
Plot[ Sin[ x ],{ x, 0, 2Pi }, Background ->RGBColor[0, 1, 1] ]
ParametricPlot[{2r(1–Cos[x])Cos[x], 2r(1–Cos[x])Sin[x]},
{x,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]
图形如下：
图10
图11
（2）用极坐标作图法画心脏线的图形，程序如下：
第一步打开子程序软件包<<Graphics`Graphics`
得到结果：
图7
参数函数图形
例6平面参数函数图形。画圆：
ParametricPlot[{Cos[x],Sin[x]},{x,0,2Pi}]
得到结果（图形按1：0.618的比例显示）：
图8
若要屏幕显示实际比例的图形，输入以下程序：
ParametricPlot[{Cos[x],Sin[x]},{x,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]
得到结果：
图3
例2平面函数图形。例如，在区间[-10，10 ]中画 的图像。命令及格式如下：Plot[ , { x, -10, 10 } ]
得到结果：
图4
例3平面函数图形。例如，在区间[-10，10 ]中画Sin[x]/x的图像。命令及格式如下：Plot[Sin[x]/x,{x,-10,10}]
得到结果：
程序运行后，得到结果：
《函数作图》课件
极坐标系
以极点和极轴为基准，表 示平面上的点。
参数坐标系
通过参数方程表示平面上 的点。
函数表达式
一元函数
表示一个变量与另一个变 量的关系，如y=f(x)。
多元函数
表示多个变量之间的关系 ，如z=f(x,y)。
分段函数
表示在不同区间上函数值 不同的函数。
函数图像的绘制
描点法
根据函数表达式在坐标系上选取 合适的点，并连接这些点形成图
像。
解析法
通过解析函数表达式，直接计算出 每个点的坐标，并连接这些点形成 图像。
图象变换法
通过平移、伸缩、对称等变换，将 已知函数图像绘制成新的函数图像 。
函数图像的调整
坐标轴比例调整
图像平滑处理
调整x轴和y轴的比例，使图像更符合 实际情况。
通过平滑算法对图像进行优化，减少 噪声和失真。
坐标轴范围调整
05
函数作图的应用实例
利用函数图像解决实际问题
物理问题
利用函数图像解决物理问题，如 速度、加速度、力的关系等。
经济学问题
通过函数图像分析商品价格与需 求量之间的关系，预测市场变化
。
生物医学问题
利用函数图像研究生物体内生理 参数的变化，如心电图、脑电图
等。
利用函数图像进行数据分析
趋势分析
通过函数图像分析数据的变化趋势，预测未来的 走势。
详细描述
极值点是函数值发生变化的转折点，通过对极值点的分析，可以确定 函数图像的拐点、开口方向和大小等关键信息。
总结词
利用极值点分析可以加深对函数性质的理解，有助于解决与极值相关 的问题。
详细描述
在解决实际问题时，极值点分析可以帮助我们找到最优解或临界点， 为决策提供依据。
常用函数作图画板
2.5 类，方法，属性的功能描述 2.5.1 抛物线画法类 Parabola Parabola 类成员方法 : draw() 画抛物线； setA()设置 A； getA()得到 A；setB() 设置 B； getB()得到 B； setC（)设置 C； getC()得到 C； setP()设置 P； getP() 得到 P； 点击相应的按钮显示参数面板输入参数点击 Draw 按钮获取参数构造 Shape将 该 Shape 对象加入画布 Canvas 对象中的成员 LinkedList<Shape>调用画布对象的 repaint（）方法重画。
沈阳大学
课程设计说明书
NO.5
图 2 主程序界面
在程序主界面是使用 JFrame 来作为主窗口。在主窗口中，定义了一个继承 JPanel 的子类 MainPanel.java 来作为主窗口 JFrame 的 ContenPane。MainPanel 使用了 BorderLayout()的布局，在 CENTER 中是画板，在 WEST 中是工具面板（ToolBox.java）， 在 SOUTH 中是属性面板（AttributePanel.java）。
setC()设置 C;setD()设置 D ; getA()得到 A;getB()得到 B； getC()得到 C;getD()得到 D ;
沈阳大学
课程设计说明书
新建画图板 选择所要画的函数
输入参数
N 取用默认值
是还对线条 进行设置
Y 取用输入值
NO.4
将用户输入的数据 进行保存
显示用户所要画的 图象
NO.1
常用函数作图画板
1.课程设计目的
函数的微分法作图
渐近线和函数作图
一、曲线的渐近线
1.水平渐近线 (平行于x轴的渐近线)
如果
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b (b 为常数)
x
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线 . y 例如 y arctan x,
有两条水平渐近线: y , y . 2 2
13
5.设某产品的需求函数为
P 10 0.2Q,
成本函数为
C 50 2Q,
求产量为多少时利润最大?
14
6.某商店每周购进一批商品, 进价 为每件 6 元 , 如零售价定为每件 10元, 可售出120件; 当售价降低 0.5元时,销量增加 20件, 问售价 定为多少和每周进货多少时利 润最大,其值为何？
x2 2
,
( x )
( x 1)( x 1) 2
e
x2 2
.
令 ( x ) 0, 得驻点 x 0,
令 ( x ) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
1 lim ( x ) lim e x x 2
x2 2
0, 得水平渐近线 y 0.
间和拐点；
第四步 讨论渐近线方程；
第五步 讨论一些特殊点(与坐标轴的交点等).
3
4( x 1) 2 的图形. 例2 作函数 f ( x ) 2 x
解
D : x 0, 非奇非偶函数.
4( x 2) f ( x) , 3 x
列 表
8( x 3) f ( x ) . 4 x
6
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x ( ,1) 1 ( 1,0) 0
函数描点法作图
1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换()11101a a a ay f x ><<−−−−−−−−−−−−−→，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变①＝y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． 【知识拓展】1．函数对称的重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．。
函数的作图
y 2xe , . y 2e
x2
x2
(2x 1)
2
(0,
y
2 ) 2
2 2
(
2 ,) 2
yyLeabharlann 0 拐点 1 2 2 ( ,e ) 2
+
极大值
1
（4） 因为 lim e
x
x2
0 ，所以y=0是水平渐近线。
（5）作图 由以上讨论可作出曲 线在[0，+）内的图形，
再由对称性可得全图. 该曲线在概率论中也称为 正态分布曲 线或高斯曲线。 y
2 ( , e ) 是拐点 2 x 例6 绘 y 2 的图形 (1 x) 解： 定义域 ( ,1) (1,)
1 2
2 2
O
2 2
x
1 x 2x 1 x (1 x ) 2 2 x(1 x ) y 3 3 4 (1 x ) (1 x ) (1 x )
1 ( ,0 ) 0 5 不 + 无 有拐点 拐点
1 5 0
(0,)
+
1 1 上是凸弧，在 [ , )是凹弧； 于是，曲线在 ( , ] 5 5
拐点为
1 63 1 ( , ) 5 5 25
二、渐近线 动点M到 定义3 若曲线上一动点M无限远离原点时， 某一固定直线L的距离趋近于零，则称该直线L 渐近线有以下三种： 为曲线的渐近线。 （i）水平渐近线： 如果 lim f ( x) A 或 lim f ( x) A （A为常数）， x x 则称直线 y =A为曲线 y f ( x) 水平的渐近线。 （ii）垂直渐近线 lim f ( x) 如果 lim f ( x) 或 x x0 0 x x0 0 则称直线x = x0为曲线 y = f (x)的垂直渐近线。 a 0 时， 称该渐近线为曲线y = f (x)的斜渐近线。 斜渐近线 a lim
常见函数图像作图
底数越小. 即图高底小 y
y ? loyg?al4oxga1 x
01
y ? loga2 x
x
y ? loga5 x y ? loga6 x
法2：做直线y=1 ，观察与各图像交点横坐标即可知道底数大小。
13
y ? x3
y ? x2
y? x
1
y ? x2
y ? x?1
14
幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并 且图象都通过点(1,1);
17
学习案
2.作出下列函数的图象
y
4
(1)y ? x? 2(x? Z,且 x ? 2)
3
2
1
-2 -1 o 1 2 3 x
18
(2) y ? 4 ( x ? 4 且 x ? 0) x
19
补充练习：求下列各式中 x的值。
log2 (log5 x ) = 1
log [log 4
3 (log1 x )] = 0
当x>1时， y<0
当x=1时， y=0
当0<x<1 时，y>0
10
f (x ) ? log1 x f (x ) ? log3 x
3
(3)根据对称性（关于x轴对称）已知
的图象，你能画出 y
的图象吗？
1
x
o
1
(4)当 0<a<1 时与a>1时的图象又怎么画呢?
11
图 形
补充 性质 一 补充 性质 二
?? ? 2 x ? 8, x ? 1
(1)求 f
( 3 ), 2
f
(
1
?
),
1.5 几种常用的函数作图法
5分钟
2分钟
55分钟
图像具有直观性，有利于学生的接受和理解。
复习：正弦型曲线
的特性及图像间的转化
注意：乘积型的函数的画法，要找出边界线。
14分钟
3分钟
1分钟
一、复习：
1、函数的几种性质
2、函数的性质的运用
二、新授：
1、函数常用的作图法
2、通过图像能找出函数之间的联系
3、图像之间的相互转换
三、练习:
P16、31、32、33ห้องสมุดไป่ตู้34、35、36、37
四、小结：
如何通过图像能找出函数之间的联系，作出图像之间的相互转换
五、作业：P16-40、41
P17-44、45、46、47
备注：当 时（n=0，1，2…）， ；当 时（n=0，1，2…）， ，此时函数 的对应值与 或 相同。由此可见函数 的图形总在 与 之间来回摆动。且摆动的幅度越往右越接近于0（见图1.27）
图1.27
四、练习：P16-31、32、33、34、35、36、37
五、小结：
1、函数图像的几种做法
2、特殊函数图像的做法
三、新授：
（1）叠加法：
作 的图形时，只要将 与 的图形中，相应的纵坐标作出代数和。
例1：作 的图形
将直线y=x的纵坐标加上（代数和）y=sinx的图形中相应点的纵坐标(图1.23)
例2：作 的图形
在 图形上加（代数和） 的图形中相应点的纵坐标（图1.24）
图1.23 图1.24
（2）由 的图形作 的图形：
例3：作 的图形
在 处的纵坐标，相当于 在 处的纵坐标，由此可知将 的图形向左移动 ，即得 （图1.25）
matlab 函数作图
03 函数作图1 平面图形（1）竖直条形图调用格式为：bar(x,y)（2）用描点法绘制函数y f ( x) 随x 从a 到b 间的图形．调用格式为：x=a：h：b ;y=f(x) ;plot(x,y)（3）在同一坐标系下绘制多个函数图形．调用格式为：x=a：h：b ;plot(x,y1,x,y2,…)（4）绘制函数y=f(x)随x 从a 到b 间的图形．调用格式为：explo t(‘f(x)’, [a,b])（5）x 从xa 到xb和y 从ya到yb间隐函数 f ( x, y) 0 的图形．调用格式为：ezplo t(‘x’,’y’,[xa, x b , y a , y b ])（6）绘制t 从ta 到tb间参数方程x x(t )，y y(t )的函数图形．调用格式为：ezplo t(‘x’,’y’,[ta, t b ])（7）在一坐标系下可以绘制一个或多个显函数图形，对变化剧烈的函数，用此命令来进行较精确的绘画．调用格式为：fplot（’fun(x)’,[a,b]）fplo t (‘[f1(x),f2(x),…]’,[a,b])其中fun(x)可以是自定义函数，[f1(x),f2(x),…]是函数组．（8）绘制散点图．调用格式为：ｓｃａｔｔｅｒ（ｘ，ｙ）2 空间图形（1）空间曲线．调用格式为：plot3(x,y,z)（2）产生一个以向量x 为行，向量y 为列的矩阵．调用格式为：ｍｅｓｈｇｒｉｄ(x,y)（3）空间曲面．调用格式为：ｓｕｒｆ(x,y,z)（4）网格曲面．调用格式为：ｍｅｓｈ(x,y,z)例 1 一次考试成绩0~10 分有0 人，10~20 分有0 人，20~30 分1 人，30~40 分有1 人，50~60 分有2 人，60~70 分有18 人，70~80 分有20 人，80~90 分有9 人，90~100 分有6 人．绘出成绩分析竖直条形图．【matlab 命令】>> x=0:10:90;>> y=[0,0,1,1,0,2,18,20,9,6];>> bar(x,y)【输出结果】20002图１例１输出图像例 2 绘制显函数图形．x（１）设 y 1x 3 2x ， y2000 cos2sin x请分别作出这两个函数在区间 x[20,40] 的图像，然后将它们的图像在一个平面直角坐标系中，并判断方程 y 1x 3 2 x 1500cos x2sin x 有几个实数解．（2）在 x[0,4] 上画出分段函数方法一：【matlab 命令】>> x=-20:0.1:40;>> y1=x.^3-35*x.^2+100*x+1500; >> y2=2000*(cos(x/2)-sin(x)); >> figure(1)>> plot(x,y1,'b-'); >> figure(2) >> plot(x,y2,'k');f ( x )32 x 2x 20 x 2 x 2的图像>> figure(3)>> plot(x,y1,'b-',x,y2,'k')【输出结果】图２例2（1）函数y1图３ 例 2（1）函数 y 2 输出图像图４例 2（1）函数 y 1 和 y 2 输出图像 从图中知：有 7 个交点，也就是有 7 个实数根．说明：绘制图形着色时，g 表示绿色，r 表示红色，b 表示蓝色，k 表示黑色．方法二：【matlab 命令２】％自定义函数Ｍ文件ｆｘ１ function y1=fx1(x)y1=x^3-35*x.^2+100*x+1500％自定义函数Ｍ文件ｆｘ２ function y2=fx2(x)y2=2000*(cos(x/2)-sin(x));Ｍａｔｌａｂ命令窗口输入以下命令： >> figure(1)>> fplot('fx1(x)',[-20,40]); >> figure(2)>> fplot('fx2(x)',[-20,40]); >> figure(３)>> fplot('[fx1(x) , fx2(x)] ', [-20,40]); 【输出结果２】结果同上．【matlab 命令３】>> x=0:0.01:2;>> y=(2*x-x.^2).^(1/3);>> plot(x,y,'k','linewidth',2)>> hold on>> x=2:0.01:4;>> y=x-2;>> plot(x,y,'k','linewidth',2)【输出结果３】图５例２（２）函数ｆ（ｘ）的输出图像例３绘制隐函数和参数方程所确定函数的图形．（１）在x [3,3] 上画隐函数x 2 2 9 的图像．（２）在t [0,2] 上画参数方程x cos3 t ，y sin 3 t 的图像．【matlab 命令１】>> ezplot('x^2+y^2-9',[-3,3])>> axis equal【输出结果１】图６例３（１）输出图像说明：axis on 显示坐标轴，axis off 取消坐标轴，grid on 表示加网格线，grid off 表示不加网格线，clf 清楚图形窗口中的图形．也可以通过编辑图像的方法改变或增加设置，比如在图形窗口中，菜单栏Ｔｏｏｌｓ中鼠标选中Ｅｄｉｔ－Ｐｌｏｔ，可改变图像的颜色．【matlab 命令２】>> ezplot('cos(t)^3','sin(t)^3',[0,2*pi])【输出结果２】图７例３（２）输出图像例４将图４，５，６，７在同一个图形窗口表现出来．【matlab 命令】clfsubplot(2,2,1)x=-20:0.1:40;y1=x.^3-35*x.^2+100*x+1500;y2=2000*(cos(x/2)-sin(x));plot(x,y1,'b-',x,y2,'k');subplot(2,2,2)x=0:0.01:2;y=(2*x-x.^2).^(1/3);plot(x,y) holdon x=2:0.01:4;y=x-2;plot(x,y)subplot(2,2,3)ezplot('x^2+y^2-9',[-3,3])axis equal subplot(2,2,4)ezplot('cos(t)^3','sin(t)^3',[0,2*pi])【输出结果】图８ 例４输出图像例５已知平面内８个散点的坐标（1,15,2,20（3,27（4,36（5,49，（6,65（7,87（8,117，在直角坐标系中绘制点图．【matlab 命令】 clf x=1:8; y=[15.3,20.5,27.4,36.6,49.1,65.6,87.8,117.6]; scatter(x,y,'ko') 【输出结果】图9例6 在区间[0,10] 上画出参数曲线x sin t, y cos t, z t ．【matlab 命令】clft=0:pi/50:10*pi;plot3(sin(t),cos(t),t)【输出结果】图１０例７画函数Z ( X Y) 2 的图形．【matlab 命令】clfx=-3:0.1:3; y=1:0.1:5;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=(X+Y).^2;surf(X,Y,Z)shading flat【输出结果】图１１例８画出马鞍曲面Z X 2 Y2 在不同视角的网格图．【matlab 命令】clfx=-3:0.1:3; y=1:0.1:5;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=X.^2-Y.^2;mesh(X,Y,Z)【输出结果】图１２3 习题１．某城市一年１２个月的日平均气温（单位： 0C ）分别为：－１０，－６，５，１０，２０，２５，３０，２４，２２，１９，１０，６，试画出条形图． ２．作出函数 f ( x )cos(e x ) e x / 2) 在区间 x [4,4] 的图形３．作隐函数 sin( xy ) 0 在 [6,6] 内的图形．cos x 2 x 2 ４．已知分段函数 y x x 1 ，作出 15 x 15 的函数图形． 2 sin( x 1) 1x 1５．在同一直角坐标系中，作出函数 y5 的图形和函数 x 3 的图形．６．已知sin( x 2 2 )７．绘制空间图形：（墨西哥帽子）．x 2 2。
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将
角 与 终xx点的轴A余的作弦 正x轴线 半的“ 轴垂竖 成线立4，”角它[的把与直坐前线标面，轴所又向作过下的余平直弦移线线，交O过于1OAA1的′作，
那么 O1 A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就 把余弦线 O1 A“竖立”起来成为AA′，用同样的方 法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们 平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是 余弦函数图象上的点．]
解：按五个关键点列表
利用正弦函数的特征描点画图：
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【变形训练】
1、作出 y cos x, x 0, 2 的简图
解：按五个关键点列表
x
0
2
π
3
2π
2
cosx 1
0
-1
0
1
-cosx -1
0
1曲线连接起来.
y=cosx的图象. 正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象 分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
-6 -5 -6 -5
-4 -3 -4 -3
-2 -
-2
-
y y=sinx
1
o
-1
y y=cosx
1
正弦函数、余弦函数的图像及五点法作图
【余弦函数y=cosx的图象】
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把
角置诱x=x，导si的n则公x余的式O弦1图cM线o象s1与Ox向1OM左1sM按i平n长(逆移x度时 2相2针)单等方,还位，向可即方旋以得向转把余相2正弦同到弦函.O）函数1M根数1据位
函数图像变换法作图
关于原点对称 关于y = x对称
y = f ( x) ← → y = f ( x)
−1
课后做业
1 (1)将函数y = 3 x 2 + 1的图像先向左平移2个单位， 再向下平移5个单位所得图像的函数为
3 3 ( 2)为了得到函数 y = + 2的图像只需将 y = 的图像 x −1 x 就可得到. 2 (3)将函数y = log3 x的图像先向下平移平移 个单位， 3 再向右平移1个单位所得图像的函数为 .
解 函数图像如图所示
y = ( x + 2)2 + 1
3 2 1
结论5 结论5
-4
-3
-2
-1 0 -1 -2 -3
1
2
3
4
x
关于原点对称 y = ( x + 2) 2 + 1 ← → y = −[( − x + 2) 2 + 1]
y = −(− x + 2)2 −1
例4 在同一坐标系中画出函数 的图像，并观察两个函数图像的关系.
( 4)为了得到函数 y = 2 x +1 - 3的图像只需将 y = 2 x 的图像 就可以得到 .
第一章 1.2.2(2)简单函数作图
1.2.2 第2课时
探究点一 ：函数图象的作法
例1 画出函数 y＝|x|的图象．
解 由绝对值的概念， 有
x， x≥0， y＝ －x，x<0.
所以，函数 y＝|x|的图象如图所示．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.2.2 第2课时
探究点一 ：函数图象的作法
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
1.2.2 第2课时 （4） y
1 f ( x) x x
2
1
0
1 2
x
明目标、所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.2.2 第2课时
探究点一 ：函数图象的作法
跟踪训练 1 作出下列函数的图象： 1 (2)y＝x； (1)y＝1－x，x∈Z； (3)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
1 y x （4） x
解 (1)因为 x∈Z，所以图象为一条直线上的孤立点，如图 1 所示；
明目标、知重点
第一章 集合与函数概念
§1.2 函数及其表示 1.2.2 函数的表示法
第2课时 分段函数及映射
探要点、究所然
1.2.2 第2课时
探究点一 ：函数图象的作法
思考 作函数的图象通常分为哪几步？
答 通常分为三步，即列表、描点、连线．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
反思与感悟
(1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域． (2)要标出关键
点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心 还是虚心．(3)要掌握常见函数图象的特征．(4)函数图象既可以是连续的曲 线，也可以是直线、折线、离散的点等等．
Mathematica教程06函数作图
提示:字符串要用双引号括起来，内容可以是Mathematic■ 能够显示的任何表达式.
Ticks 用于给坐标轴加上刻度或给坐标轴上的点加标记。 常用的选项值为:
Automatic 由Mathematica自动加刻度(默认值)
Plot Exp x , x, 1, 1 , Background RGBColor 1, 1, 1
PlotLabel用于在图形上方居中加注释。它的值为; None没有注释(默认值)。 “字符串”用双引号括起来的字符串。
DisplayFunction指定如何显示图形(或声音ica的显示函数(默认值) Identity只生成但不显示图形。
二维图形
函数作图 一元函数的图形 在平面直角坐标系中绘制函数y=f(x)的图形的函数是Plot，
其调用格式如下: Plot[f(x),{x,a,b}] 绘制函数f(x)在区间[a,b]范围内的图形。 Plot[{f1(x),f2(x),...},{x,a,b}]同时绘制多个函数的图形。 这出个函绘数图值函yi=数f(x的i)，自再动将化点程(度xi,很yi)高连，接能起自来动得选到取曲若线干。个且x能i,求
AxesOrigin用于指定两个坐标轴的交点位置。它有两种选择: Automatic由Mathematica自动选择,但可能不在(0,0)点(默认 值)。 {x,y}给出交点坐标
AxesLabel用于给坐标轴加上标记(说明性字符串)。它有 三个值: None没有标记(默认值)。 "字符串"给y(三维为z)轴加上标记。 {“字符串1”,“字符串2”} 分别给出x, y(三维加z)轴的标记。
Plot[Sin[x^2], {x, 0, 3}, Frame -> True] GridLinese用于加网格线。它的值为:
函数的凹凸性与作图.ppt
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例5：证明不等式
例5.4 例5.5
1 (xn yn ) ( x y )n (x 0, y 0, x y, n 1)
2
2
证明：设 f (t) tn (t 0,n 1) 则
f (t) ntn1, f (t) n(n 1)tn2,
当 t 0,n 1 时，有 f (t) 0
x x x k lim f (x)
x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
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例2. 求曲线
的渐近线 .
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
即上述 f（t）为下凸函数，于是对任意 x 0, y 0 有：
1 (xn yn) ( x y)n
2
2
二、 曲线的渐近线
定义3 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M y k x b
例如, 双曲线
L PN
o
x
有渐近线
x y0
y
ab
但抛物线
无渐近线 .
ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
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如果
x x0
lim f ( x ) 或 lim f ( x )
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线 .
1 , 例如 y ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
x 3.
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
X=0为垂直渐近线
lnx ( 3) y x
解 : D(y) (0,)
1)
ln x lim , x 0 x
x 0为垂直渐近线
1 f ( x) ln x lim 2 lim x 0 2) a lim x x x x x 2x ln x 1 lim 0 b lim (f ( x) ax ) lim x x x x x
渐近线为 y 0
( 4) y e
1 x
解 : D(y) ( ,0) (0,)
lim e
x 0
1 x
1 x
x 0为e 的垂直渐近线
1 x
e t lim te 0 a lim t 0 x x
b lim(f ( x) ax ) lim f ( x) 1
0
极小值
拐点
1 16 ( , ) 3 27
0
B (0,1)
3 5 C( , ) 2 8
A ( 1,0) 1 1 3
o
1 3
1
x
y x3 x2 x 1
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察. y 凸的
单增
y f ( x)
凹的 最 小 值
x x
y 1 为水平渐近线
(5) y x arctanx
解 : D(y) (-,)
f ( x) arctan x a1 lim lim (1 ) =1 x x x x f ( x) arctan x a 2 lim lim (1 ) =1 x x x x
如果
x
lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b (b 为常数)
x
那么 y b 就是 y f ( x ) 的一条水平渐近线 .
例如
y arctan x,
有水平渐近线两条: y , 2
y . 2
3.斜渐近线
如果
x x
sin x y x
练习题ห้องสมุดไป่ตู้
一、填空题： 1 、曲线 y e 的水平渐近线为_______________. 1 2 、曲线 y 的水平渐近线为______________ ， x 1 铅直渐近线为______________. 二、描出下列函数的图形： 1 2 1、 y x ； x 2 2 2 、 y x ( x 1) ； y ln sin x 3、 . 1 三、求曲线 y x 的渐近线并画图 . x
D : ( , ), 无奇偶性及周期性.
f ( x ) 2( 3 x 1).
f ( x ) ( 3 x 1)( x 1),
令 f ( x ) 0, 令 f ( x ) 0,
1 得驻点 x , 3
x 1.
1 得特殊点 x . 3
补充点 :
(1) y x 2 1
1 0 b1 lim (f ( x) a1x) lim ( x 1 x) xlim 2 x 1 x x x 1 2 0 b2 lim (f ( x) a2x) lim ( x 1 x) xlim 2 x 1 x x x
2
斜渐近线为 y x, y x
( 2) y (x 2)e
1 x
f ( x) ( x 2) 解 : a lim lim e x x x x
1 x
=1
1 x
2 1 (1 )e 1 x b lim(f ( x) ax ) lim(( x 2)e x x) lim x x x 1 (1 2t )et 1 x lim =3 t 0 t 斜渐近线为 y x 3
令 f ( x ) 0,
x 3.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
( 0, )
0
拐点
( 3, 26 ) 9
0
极值点
3
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 得水平渐近线 y 2; 2 x x x
b1 lim (f ( x) a1x)
x
lim arctan x x 2 lim arctan x x 2
b2 lim (f ( x) a2x)
x
y x
2
,y x
2
为斜渐近线
二、图形描绘的步骤
第一步 第二步
求 y f ( x ) 的定义域 求 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 或在定义域中的导
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] , 2 x 0 x 0 x 得铅直渐近线 x 0.
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
A ( 1,2), B (1,6), y C ( 2,1).
作图
6 B
1
C
1 2
3 2 1
o
x
2
A
拐 点 极 大 值
单减
最 大 值
极 小 值
a
o
b
x
思考题
两坐标轴 x 0 ， y 0 是否都是
sin x 函数 f ( x ) 的渐近线？ x
思考题解答
sin x lim 0 x x y 0 是其图象的渐近线. sin x lim 1 x 0 x x 0 不是其图象的渐近线.
A ( 1,0),
B (0,1),
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
1 ( , ) 3
1 3
1 1 ( , ) 3 3
0
极大值
32 27
y
1 3
1 ( ,1) 3
1
(1, )
x ( ,1) 1 ( 1,0) 0
( x ) ( x )
( x )
( 0,1)
1
(1, )
0
拐点
1 ( 1, ) 2e
0
极大值
1 2
(1,
0
拐点
1 ) 2e
y
1 2
1
o
1
x
1 ( x ) e 2
x2 2
例4 作函数 f ( x ) x 3 x 2 x 1 的图形. 解
1 x
练习题答案
一、1、 y 1 ； 2、 y 0, x 1 .
例1 求下列函数的渐近线
1 x 1 2 2 f ( x) x 1 x lim 解 : a1 lim lim =1 x x x x x x 1 x 1 2 2 f ( x) x 1 x lim a 2 lim lim =-1 x x x x x x
x e 2
x2 2
, ( x ) ( x 1)( x 1) e 2
.
得驻点 x 0,
得特殊点 x 1, x 1.
x2 2
1 lim ( x ) lim e x x 2
0, 得水平渐近线 y 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
3
4( x 1) f ( x) 2 2 x
1 例2 作函数 ( x ) e 2
解
D : ( , ),
x2 2
的图形.
1 W : 0 ( x ) 0.4. 2
x2 2
偶函数, 图形关于y轴对称.
( x )
令 ( x ) 0, 令 ( x ) 0,
七、函数作图
• (一)曲线的渐近线
• (二)函数作图
一、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x ) 上的一动点 P 沿着曲线
移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x ) 的 一条渐近线.
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
注意:
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线 .
lim [ f ( x ) (ax b )] 0
或 lim [ f ( x ) (ax b )] 0 (a , b 为常数) 那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
斜渐近线求法:
f ( x) lim a, x x
lim[ f ( x ) ax] b.
数不存在的点把函数的定义域划分成几个区间.