高考一轮总复习数学(理)考点突破课件10-5 第5课时 二项分布及其应用(理)
高考数学一轮复习 108二项分布及其应用课件 理 新人教
也是不合格品”，则P(A)＝
C41C61＋C24 C120
＝
2 3
，P(AB)＝
C42 C120
＝
2 15
，∴
P(B|A)＝PPAAB＝0.2.
答案 A
4．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至
少发生一次的概率为
65 81
，则事件A在1次试验中出现的概率为
__________．
听 课 记 录 记A表示“第二次摸到红球”，B表示“第一次 摸到红球”，则A|B表示“第一次摸到红球，第二次又摸到红 球”．
方法1：直接利用A|B的含义求解． 由题意，事件B发生后，袋中还有9个球，其中5个红球，4个 白球，则A发生的概率为59，即P(A|B)＝59.
方法2：用公式求解．
P(B)＝
变式思考 1 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取
到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，
则P(B|A)等于( )
1
1
A.8
B.4
2
1
C.5
D.2
解析
P(A)＝C32＋ C25C22＝
4 10
＝25，P(A∩B)＝CC5222
＝
110，由条件概
1 率计算公式，得P(B|A)＝PPA∩AB＝140＝14.
一次的概率为8801，则此射手的命中率为( )
1
2
A.3
B.3
1
2
C.4
D.5
解析 设此射手射击目标命中的概率为P， 由已知1－(1－P)4＝8801，解得P＝23.
答案 B
2．小王通过英语听力测试的概率是
1 3
，他连续测试3次，那
高考数学(理)一轮复习配套讲义： 二项分布与正态分布
第5讲二项分布与正态分布[最新考纲]1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3．能解决一些简单的实际问题.知识梳理1．条件概率及其性质设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与B，A与B，A与B都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝bφμ，σ(x)d x，则称随⎠⎛a机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)．函数φμ，σ(x )＝，x ∈R 的图象(正态曲线)关于直线x＝μ对称，在x ＝μ处达到峰值1σ2π. (2)正态总体三个基本概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6. ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4. ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.辨 析 感 悟1．条件概率与相互独立事件的概率(1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．(√)(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．(×)(3)(教材习题改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(√) 2．二项分布与正态分布(4)在正态分布函数φμ，σ(x )＝中，μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差．(√)(5)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生次数的概率分布．(√)(6)(2014·扬州调研改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.(×) [感悟·提升]1．古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝n (AB )n (A )，其中，在实际应用中P (B |A )＝n (AB )n (A )是一种重要的求条件概率的方法． 2．P (A ·B )＝P (A )·P (B )只有在事件A 、B 相互独立时，公式才成立，此时P (B )＝P (B |A )，如(1)，(2)．3．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：一是是否为n 次独立重复试验．在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p . 二是随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．且P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k 表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.考点一 条件概率【例1】 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.12(2)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”， 则P (B |A )＝________.解析 (1)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110410＝14.(2)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π. 事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P(AB)＝S△EOHS圆O＝12×12π×12＝12π.故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝12π2π＝14.答案(1)B(2)1 4规律方法(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则P(B|A)＝P(AB) P(A).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝n(AB)n(A).【训练1】已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()．A.1127B.11 24C.827D.9 24解析设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)＝42＋4＝23，P(B|A)＝3＋18＋1＝49，∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝23×49＝827，所以两次都取到红球的概率为827.答案 C考点二相互独立事件同时发生的概率【例2】(2013·陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X ≥2”的事件概率． 审题路线 (1)甲选择3号和乙没选择3号是相互独立事件，利用相互独立事件概率乘法可求；(2)“X ≥2”表示事件“X ＝2”与“X ＝3”的和事件，根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算．解 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，A 与B 相互独立．则A ·B 表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”． ∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415， (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24C 35＝35，依题意，A ，B ，C 相互独立，A ，B ，C 相互独立，且AB C ，A B C ，A BC ，ABC 彼此互斥．又P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝1725.规律方法 (1)解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来，从而把所求事件表示为几个事件的和事件．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【训练2】 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解 (1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B . 由题意得：P (B )P (B )＝116， 于是P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)． 故p ＝1－P (B )＝34. 所以乙投球的命中率为34.(2)法一 由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12. 故甲投球2次，至少命中1次的概率为 1－P (A ·A )＝1－P (A )P (A )＝34. 法二 由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12. 故甲投球2次，至少命中1次的概率为 C 12P (A )P (A )＋P (A )P (A )＝34. 考点三 正态分布下的概率【例3】 已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.8，则P (0<X <2)＝( )．A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2 解析 由P (X <4)＝0.8，得P(X≥4)＝0.2，由题意知正态曲线的对称轴为直线x＝2，P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.2，∴P(0<X<4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.6，∴P(0＜X＜2)＝12P(0<X<4)＝0.3.答案 C规律方法(1)求解本题关键是明确正态曲线关于x＝2对称，且区间[0,4]也关于x ＝2对称．(2)关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.【训练3】若在本例中，条件改为“已知随机变量X～N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，”求P(X>4)的值．解∵随机变量X～N(3,1)，∴正态曲线关于直线x＝3对称，由P(2≤X≤4)＝0.682 6，得P(X>4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7.考点四独立重复试验与二项分布【例4】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数X的分布列．审题路线(1)甲、乙、丙各购买一瓶饮料是否中奖，相互独立，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式，第(1)问可求；(2)依题意随机变量X服从二项分布，不难求出分布列．解 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A ，B ，C ，且相互独立，那么A ，B ，C 相互独立．又P (A )＝P (B )＝P (C )＝16，∴P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝25216， 即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216. (2)X 的可能取值为0,1,2,3，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，16，∴P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ⎝ ⎛⎭⎪⎫563－k(k ＝0,1,2,3)． 则P (X ＝0)＝C 03·5363＝125216，P (X ＝1)＝C 13·5263＝2572， P (X ＝2)＝C 23·563＝572， P (X ＝3)＝C 3363＝1216，所以中奖人数X 的分布列为规律方法 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率．【训练4】 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )．解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15. (2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000，P (X ＝2)＝C 23×110×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为X 0 1 2 3 P11 000271 0002431 0007291 000E (X )＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.1．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．2．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次可看做是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k 个A 事件与(n －k )个A 事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k (1－p )n －k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k. 3．若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.易错辨析11——对二项分布理解不准致误【典例】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的， 故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13.所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫236－k，k ＝0,1,2,3,4,5,6. (2)由于Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y 是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y ＝k }(k ＝0,1,2,3,4,5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算． P (Y ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·13(k ＝0,1,2,3,4,5)，而{Y ＝6}表示一路没有遇上红灯． 故其概率为P (Y ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫236，因此Y 的分布列为：[易错警示]由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y ”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成13”．[防范措施] 独立重复试验中的概率公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k表示的是n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率，p 与(1－p )的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A 有k 次不发生的概率了． 【自主体验】(2013·辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252· 45＝28125；P (X ＝2)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·15＋C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·45＝36125. 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.基础巩固题组一、选择题1．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)的值是( )．A.316B.516C.716D.58 答案 B2．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)．若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝( )．A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977 答案 C3．(2014·湖州调研)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )． A.5960 B.35 C.12 D.160 答案 B4．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )． A ．0.45 B ．0.6 C ．0.65 D ．0.75 答案 D5．(2013·湖北卷改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.则p 0的值为( )．(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.) A ．0.954 4 B ．0.682 6 C ．0.997 4 D ．0.977 2 答案 D 二、填空题6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 答案 357．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________． 答案 0.1288．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 答案 0.72 三、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．10．某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：(1)(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．设随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点的概率是12，则μ＝( )．A ．1B ．4C ．2D ．不能确定解析 根据题意函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点时，Δ＝16－4X <0，即X >4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点的概率是12时，μ＝4. 答案 B2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )． A ．C 57⎝⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235 B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235 解析 S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13.故所求概率为P ＝C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫135. 答案 B 二、填空题3．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知 小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．解析 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案 34 三、解答题4．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望． 解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝16 27，又P(X＝1)＝P(A3)＝4 27，P(X＝2)＝P(A4)＝4 27，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝3 27，∴X的分布列为∴E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.。
新人教版高中数学一轮复习二项分布、超几何分布、正态分布培优课件
( √ )
(3)n 重伯努利试验中各次试验的结果相互独立.
( √ )
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的.
( √ )
10
目录
2.(2022 年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(2<X≤2.5)=0.36,则
P(X>2.5)= 0.14
.
[解析] 由题意可知,P(X>2)=0.5,故 P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-
A 发生的次数,则 X 的分布列为 P(X=k)=③
C pk(1-p)n-k
,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量 X 服从二项分布,记作
④
X~B(n,p)
.
5
目录
二、两点分布与二项分布的均值、方差
1.若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=⑤
(k=0,1,2,3),
9 9
X 的分布列为
0
64
729
X
P
5
9
1
80
243
2
100
243
3
125
729
5
3
所以 E(X)=3× = .
25
目录
【讲练互动】
例3
考点二 超几何分布
(2023·芜湖模拟)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组
队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 5 名,其中种子
独立的;(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率.
高考数学统考一轮复习第10章 第5节离散型随机变量及其分布列教师用书教案理新人教版
离散型随机变量及其分布列[考试要求] 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n此表称为离散型随机变量P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．(2)分布列的性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；②∑ni ＝1p i ＝1.3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为，其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率．(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X＝k )＝C k M C n －k N －MC nN，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝mi n {M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称随机变量X 服从超几何分布．X 01… mP C 0M C n －0N －M C n N C 1M C n －1N －M C n N… C m M C n －m N －M C nN [常用结论]1．随机变量的线性关系若X 是随机变量，Y ＝aX ＋b ，a ，b 是常数，则Y 也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1. ( ) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的． ( ) (3)如果随机变量X 的分布列由下表给出，则它服从两点分布．( )X25P 0.3 0.7(4)从4名男演员和3X 服从超几何分布．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．设随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 4 5P112 16 13 16p 则p 为( )A ．16B ．13C ．14D ．112C [由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝1－34＝14.]2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )A ．15B ．25C ．35D ．45D [P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.]3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是 ．0,1,2,3 [因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X 的可能取值为0,1,2,3.]4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的分布列为 ．X 012P0.1 0.6 0.3[因为X 的所有可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3，所以X 的分布列为X12P 0.1 0.6 0.3]考点一 离散型随机变量的分布列的性质分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．X －1 0 1 Pab c其中a ，b ，c 成等差数列，则P ＝ ，公差d 的取值范围是 ． 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 [因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.]2．设随机变量X 的分布列为P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．则：(1)a ＝ ； (2)P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝ ； (3)P ⎝⎛⎭⎫110＜X ≤710＝ . (1)115 (2)45 (3)25[(1)由分布列的性质，得P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，所以a ＝115.(2)P ⎝⎛⎭⎫X ≥35＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45. (3)P ⎝⎛⎭⎫110＜X ≤710＝P ⎝⎛⎭⎫X ＝15＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝25＋P ⎝⎛⎭⎫X ＝35＝115＋215＋315＝615＝25.] 3．设离散型随机变量X 的分布列为(1)求随机变量Y ＝2X ＋1(2)求随机变量η＝|X －1|的分布列； (3)求随机变量ξ＝X 2的分布列． [解] (1)由分布列的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 首先列表为：从而Y ＝2X ＋1的分布列为(2)列表为∴P (η＝0)＝P (X ＝1)＝0.1，P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为η0123P 0.10.30.30.3(3)首先列表为X 01234X2014916从而ξ＝X2的分布列为ξ014916P 0.20.10.10.30.3点评：由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验．考点二求离散型随机变量的分布列离散型随机变量分布列的求解步骤[典例1]某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元．若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．(1)若该商场某周初购进20台空调器，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量n(单位：台，n∈N)的函数解析式f(n)；(2)该商场记录了去年夏天(共10周)的空调器周需求量n(单位：台，n∈N)，整理得下表．周需求量n 181920212220台空调器，X 表示当周的利润(单位：元)，求X 的分布列．[解] (1)当n ≥20且n ∈N 时，f (n )＝500×20＋200×(n －20)＝200n ＋6 000， 当n ≤19且n ∈N 时，f (n )＝500×n －100×(20－n )＝600n －2 000，所以f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧200n ＋6 000(n ≥20)，600n －2 000(n ≤19)(n ∈N )．(2)由(1)得f (18)＝8 800，f (19)＝9 400，f (20)＝10 000，f (21)＝10 200，f (22)＝10 400， 所以当周的利润X 的所有可能取值分别为8 800,9 400,10 000,10 200,10 400，易知P (X ＝8 800)＝0.1，P (X ＝9 400)＝0.2，P (X ＝10 000)＝0.3，P (X ＝10 200)＝0.3，P (X ＝10 400)＝0.1.所以X 的分布列为点评：求离散型随机变量分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时要注意应用计数原理、古典概型等知识．[跟进训练]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝610＝35.故X的分布列为X 200300400P 11031035考点三超几何分布超几何分布的实际应用问题，主要是指与两类不同元素的抽取问题的概率计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题．解题的关键如下：①定型：根据已知建立相应的概率模型，并确定离散型随机变量服从的分布的类型，特别要区分超几何分布与二项分布．②定参：确定超几何分布中的三个参数N，M，n.即确定试验中包含的元素的个数、特殊元素的个数及要抽取的元素个数．③列表：根据离散型随机变量的取值及其对应的概率列出分布列．④求值：根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数值求值．从该县城的10个乡镇中随机抽取居民进行调查，知晓率为90%及以上记为合格，否则记为不合格．已知该县城的10个乡镇中，有7个乡镇的居民的知晓率可达90%，其余的均在90%以下．(1)现从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，求抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率；(2)若记从该县城随机抽取的3个乡镇中不合格的乡镇的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．[解](1)从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，基本事件总数为C310＝120(个)．抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的基本事件数为C23C17＝21(个)．那么从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率P＝21120＝7 40.(2)由题可知，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝C37C310＝35120＝724，P(ξ＝1)＝C13C27C310＝63120＝2140，P(ξ＝2)＝C23C17C310＝21120＝740，P(ξ＝3)＝C33C310＝1 120.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.点评：超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．[跟进训练]端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列； (3)设Y 表示取到粽子的种类，求Y 的分布列． [解] (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为(3)由题意知Y 的所有可能值为1,2,3，且P (Y ＝1)＝C 33＋C 35C 310＝1＋10120＝11120，P (Y ＝3)＝C 12C 13C 15C 310＝30120＝14，P (Y ＝2)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝1－11120－30120＝79120.综上可知，Y 的分布列为。
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第10章 §10.7 二项分布、超几何分布与正态分布
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布§10.7 二项分布、超几何分布与正态分布考试要求1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.二项分布(1)伯努利试验只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为 .两个n 重伯努利试验(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，X～B(n，p)记作____________.(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝___，D (X )＝________.②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝___，D (X )＝_________.p p (1－p )np (1－p )np2.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.知识梳理3.正态分布(1)定义若随机变量X 的概率分布密度函数为f (x )＝ ，x ∈R ，其中μ∈R ，σ>0为参数，则称随机变量X 服从正态分布，记为____________.(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线______对称；②曲线在_____处达到峰值 ；③当|x |无限增大时，曲线无限接近x 轴.2221·e 2x μσσ()π－－X ～N (μ，σ2)x ＝μx ＝μ(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.(4)正态分布的均值与方差μσ2若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝___，D(X)＝___.常用结论1.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两点分布是二项分布当n ＝1时的特殊情形.( )(2)若X 表示n 次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X 服从二项分布.( )(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X 服从超几何分布.( )(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”.( )×√√×1.如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是√因为数学成绩近似地服从正态分布N (80,102)，所以P (|x －80|≤10)≈0.682 7.根据正态密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，2.某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N (80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是A.32B.16C.8D.20√3.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝______.第二部分例1 (1)(2023·海口模拟)某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面.小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立.若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均值是A.10分钟B.5分钟√C.4分钟D.2分钟设他在直播屏幕上出现的轮次为X，设甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间为Y(单位：分钟)，则E(Y)＝E(5X)＝5×0.8＝4(分钟).(2)(2022·衡阳模拟)某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策.已知创业项目甲成功的概率为项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为P0(0<P0<1)，项目成功后可获得政府奖金30万元.项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励.①大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他由已知得，张某创业成功的概率为李某创业成功的概率为P0，且两人是否创业成功互不影响，记“这2人累计获得的奖金X≤30”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝50”，②若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为X1，都选择创业项目乙且创业成功的次数为X2，则这两人选择项目甲累计获得的奖金的均值为E(20X1)，选择项目乙累计获得的奖金的均值为E(30X2)，E(30X2)＝30E(X2)＝60P0，思维升华二项分布问题的解题关键(1)定型：①在每一次试验中，事件发生的概率相同.②各次试验中的事件是相互独立的.③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.√因为随机变量X～B(n，p)，所以P(X≥2)＝1－P(X＝1)－P(X＝0)(2)某中学面向全校所有学生开展一项有关每天睡眠时间的问卷调查，调查结果显示，每天睡眠时间少于7小时的学生占40%，而每天睡眠时间不少于8小时的学生只有30%.现从所有问卷中随机抽取4份问卷进行回访(视频率为概率).①求抽取到的问卷中至少有2份调查结果为睡眠时间不少于7小时的概率；所以4份问卷中至少有2份结果为睡眠时间不少于7小时的概率为②记抽取到的问卷中调查结果为睡眠时间少于7小时的问卷份数为X，求X的分布列及均值E(X).所以X的分布列为例2 2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，航天员顺利出舱，神舟十四号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2 000名学生进行了航天知识竞赛(满分：100分)并进行记录，根据得分将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，绘制出如图所示的频率分布直方图.(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；每名学生得分低于70分的概率为1－(0.04＋0.02)×10＝0.4，不低于80分的概率为0.02×10＝0.2.的分层随机抽样的方法选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人中竞赛得分不低于70分的人数X的分布列及均值.由频率分布直方图可得，8人中分数在[60,70)的有2人，[70,90]的有6人，所以X～H(3,6,8)，X的所有可能取值为1,2,3，故X的分布列为思维升华(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.跟踪训练2 为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用.第一阶梯：年用电量在2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯：年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度)，超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯：年用电量在4 200度以上，超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度.某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下：用户12345678910编号年用电1 000 1 2601 4001 8242 1802 4232 8153 3254 4114 600量/度(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元，第三档电价比第一档电价每度多0.3元，编号为10的用户一年的用电量是4 600度，所以该户该年应交电费4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元).用户编号12345678910年用电量/度 1 0001 2601 4001 8242 1802 4232 8153 3254 4114 600(2)现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列.用户编号12345678910年用电量/度 1 000 1 2601 4001 8242 1802 4232 8153 3254 4114 600用户12345678910编号年用电1 0001 2601 4001 8242 1802 4232 8153 3254 4114 600量/度设取到第二阶梯的户数为X，0,1,2,3,4.易知第二阶梯有4户，则X的所有可能取值为用户编号12345678910年用电量/度 1 0001 2601 4001 8242 1802 4232 8153 3254 4114 600故X的分布列为例3 (1)(多选)(2023·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X ，Y ，已知X ，Y 均服从正态分布，X ～ 其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是A.甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性√√结合正态密度函数的图象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误.(2)(2022·合肥模拟)某市高三年级共有14 000人参加教学质量检测，学生的数学成绩ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为√A.2 800B.4 200C.5 600D.7 000∵ξ近似服从正态分布N(90，σ2)(试卷满分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，∴估计这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数约为14 000×0.2＝2 800.。
2012年高考数学一轮复习,二项分布及其应用精品课件
1 6 7 6 1 6 C ( ) + C6 ( ) = ＜0.3, 2 2 64
5 6
10.6
二项分布及其应用
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1.条件概率
一般地,设A，B为两个事件，且P（A）>0，称P P(A ∩B) （B|A）= 为在事件A发生的条件下，事件B P(A) 发生的条件概率.P（B|A）读 A发生的条件下B发生的概率 作 . 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率 都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.
＊对应演练＊
(湛江市实验中学2011届高三第四次月考)
4 某地区气象台统计，该地区下雨的概率为 15 ，刮风
的概率为
2 1 ，既刮风又下雨的概率为 ，设A为下 15 10
雨，B为刮风，求(1)P(A|B);(2)P(B|A).
根据题意知
2 1 4 P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= . 15 10 15
2 11 解得P(C)= 或 (舍去). 3 9 2 1 1 将P(C)= 分别代入③②可得P(A)= ,P(B)= . 3 4 3
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的
1 1 2 概率分别是 , , . 3 4 3
(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检 验,至少有一个一等品的事件. 则P(D)=1-P(D) =1-［1-P(A)］［1-P(B)］［1-P(C)］
【解析】（1）解法一：记“有r人同时上网”为
高考数学一轮总复习 9.8 二项分布及其应用课件 理
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1．了解(liǎojiě)条件概率和两个事件相互独立的 概念．
2．理解n次独立重复(chóngfù)试验的模型及二 项分布．
3．能解决一些简单(jiǎndān)的实际问题．
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基础知识梳理
聚焦考向透析 学科能力提升
第三页，共42页。
微课助学
基础知识梳理 梳理一 条件(tiáojiàn)概率
健康、低碳成为现代人的生活理念， 租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点 的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时 免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)．有甲、乙两人相 互独立来该租车点租车骑游(各租一车一 次)．设甲，乙不超过两小时还车的概率分别为 11 4，2；两小时以上且不超过三小时还车的概率
D.12
解析： P(A)＝C32＋C52 C22＝140＝25，P(A∩B)＝CC2225＝110.
1
由条件概率计算公式，得
P(B|A)＝P
P
A∩B A
10 1 ＝ 4 ＝4.
10
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聚焦考向透析考 向 二 相互(xiānghù)独立事件的概率
例题(lìtí)精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
11 分别为2，4；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过 四小时还车的概率；
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率．
甲、乙两人租车费用分别 为0、2、4，分六类情况， 利用(lìyòng)独立事件和 互斥事件求和．
第十七页，共42页。
聚焦考向透考析 向 二 相互(xiānghù)独立事件的概率
高考数学一轮总复习 10.8二项分布及其应用课件
高频考点
考点一
条件概率
【例 1】 (2014·新课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表
明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概
率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为
优良的概率是( )
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
听 课 记 录 设某天空气质量为优良为事件 A，随后一天空 气质量为优良为事件 B，由已知得 P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，所求 事件的概率为 P(B|A)＝PPAAB＝00..765＝0.8，故选 A.
3.一射手对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次
的概率为8801，则此射手的命中率为( )
1
2
A.3
B.3
1பைடு நூலகம்
2
C.4
D.5
解析 设此射手射击目标命中的概率为 P， 由已知 1－(1－P)4＝8801，解得 P＝23.
答案 B
4．有 1 道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙 能解决的概率为13，两人试图独立地在半小时内解决它．则两人都 未解决的概率为__________，问题得到解决的概率为__________．
解析 设“半小时内甲独立解决该问题”为事件 A，“半小 时内乙独立解决该问题”为事件 B，那么两人都未解决该问题就
是事件 A B ，
∴P( A B )＝P( A )·P( B )
＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝1－12×1－13＝13. 问题得到解决是问题没得到解决的对立事件，
知识点三
独立重复试验与二项分布
1.独立重复试验 在 相同 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．
高考数学一轮复习 10.6 二项分布及其应用精品课件 理 新人教A版
即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
【评析】在解决条件概率问题时，要灵活掌握
P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之间的关系，即
P(AB)
P(AB)
P(B|A)= P(A) ,P(A|B)= P(B)
6
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少 有一个一等品的概率为 5 .
6
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12
【评析】 (1)对照互斥事件、对立事件的定义进行判 断，哪些是互斥事件，哪些是对立事件，是解好题目的 关键.“正难则反”，一个事件的正面包含基本事件个数 较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少，则用公 式P（A）=1-P（A）计算.
(2)审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发 生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”等.
(3)复杂问题可考虑拆分为等价的几个事件的概率问 题，同时结合对立事件的概率求法进行求解.
(4)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:
①利用相互独立事件的概率乘法公式;
②正面计算较繁或难以入手时，可以从对立事件入
10.6 二项分布及其 应用
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1
考点分析
1.条件概率
一般地,设A，B为两个事件，且P（A）>0，称P P(A ∩B )
（B|A）= P(A) 为在事件A发生的条件下，事件B
发生的条件概率.P（B|A）读
作
A发生的条件下B发生的概率
.
条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都 在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.
一个一等品的概率.
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9
高考数学大一轮复习 12.5 二项分布及其应用课件 理
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1) × (2) × (3) × (4) × A
B 0.128
1 8
解析
题型分类·深度剖析
题型一
条件概率
【例 1】 在 100 件产品中有 95 件合
思维启迪 解析 答案 思维升华
格品，5 件不合格品．现从中不放
回地取两次，每次任取一件，则
在第一次取到不合格品后，第二
次再取到不合格品的概率为
________．
题型分类·深度剖析
题型一
条件概率
【例 1】 在 100 件产品中有 95 件合
思维启迪 解析 答案 思维升华
格品，5 件不合格品．现从中不放 直接利用条件概率公式进行 回地取两次，每次任取一件，则 计算或利用古典概型． 在第一次取到不合格品后，第二
次再取到不合格品的概率为
________．
题型分类·深度剖析
题型一
条件概率
【例 1】 在 100 件产品中有 95 件合 格品，5 件不合格品．现从中不放
思维启迪 解析 答案 思维升华
方法一 设 A＝{第一次取到 不合格品}，
回地取两次，每次任取一件，则 在第一次取到不合格品后，第二 次再取到不合格品的概率为 ________．
回地取两次，每次任取一件，则 格品后还剩余 99 件产品，
在第一次取到不合格品后，第二 次再取到不合格品的概率为 ________．
其中有 4 件不合格品，故
第二次取到不合格品的概 率为949.
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题型一
条件概率
【例 1】 在 100 件产品中有 95 件合
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典例重点突破
试题深度研析
课时专项训练
高考总复习 数学
解析：记事件 A：最后从 2 号箱中取出的是红球；事件 B：从 1 号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为 1， 可知： 4 2 2 1 P(B)＝ ＝ ，P( B )＝1－ ＝ ； 3 3 2＋4 3 3＋1 4 3 3 P(A|B)＝ ＝ ，P(A| B )＝ ＝ . 8＋1 9 8＋1 9 11 从而 P(A)＝P(AB)＋P(A B )＝P(A|B)· P(B)＋P(A| B )· P( B )＝27，选 A. 答案：A
P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ．
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对点演练 3 3 已知 P(AB)＝ ，P(A)＝ ，则 P(B|A)＝________. 20 5
3 PAB 20 1 解析：P(B|A)＝ ＝ 3 ＝4. PA 5 1 答案：4
2．计算条件概率有两种方法 PAB (1)利用定义 P(B|A)＝ ； PA (2)若 n(C)表示试验中事件 C 包含的基本事件的个数，则 nAB P(B|A) ＝ . nA
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题型一 条件概率
(1)10件产品中有2件次品，不放回地抽取2次，每次
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法二：设“甲投一次球命中”为事件 A，“乙投一次球命中”为 事件 B. 1 由题意得：P( B )P( B )＝16， 1 1 于是 P( B )＝ 或 P( B )＝－ (舍去)． 4 4 3 故 p＝1－P( B )＝ . 4 3 所以乙投球的命中率为4.
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2 2 2 C3 ＋C2 2 C2 1 解析：P(A)＝ ＝ ，P(AB)＝ 2＝ ， C2 5 C5 10 5
PAB 1 P(B|A)＝ ＝ . PA 4 答案：B
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1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系
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题型三
独立重复试验与二项分布 (2014· 梅州模拟)甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击
1 2 中目标的概率为2，乙每次击中目标的概率为3. 求(1)甲恰好击中目标 2 次的概率； (2)乙至少击中目标 2 次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标 2 次的概率．
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对点演练 1 1 国庆节放假，甲去北京的概率为3，乙、丙去北京的概率分别为4、
1 那么这段时间内三人都去北 5.假定三人的行动相互之间没有影响， 京的概率为 ( 59 A.60 1 C. 10 1 B.60 1 D. 5 )
基础知识整合
(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关 系． (2)“互斥”强调 不可能同时 发生，“相互独立”强调 一个事件的发生是否对另一个事件发生的 概率没有影
响．
(3)“互斥”的两个事件可以独立，“独立”的两个事件 也可以互斥．
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2．相互独立事件 (1)对于事件 A、B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称
A、B是相互独立事件 ．
(2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝ P(B) ， P(AB)＝P(B|A)· P(A)＝ P(A)·P(B) ． (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 也都相 互独立． (4)若 P(AB)＝P(A)P(B)，则 A与B相互独立 ．
(二)命题趋势
1．从考查内容看，高考对本节的考查主要是求条件概率、 相互独立事件及n次独立重复试验的概率，且常与分布列、 期望与方差结合在一起命题． 2．从考查形式看，三种题型都可能出现，属中档题．
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1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下， 事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号 P(B|A)来表示，其 PAB 公式为 P(B|A)＝ (P(A)＞0)． PA
2 品中不放回抽取 2 次”共包含 A10 ＝90 个基本事件．事件 A 包含
72 4 8×9＝72 个基本事件．所以 P(A)＝90＝5，事件 AB，即“从 10 件产品中依次抽 2 件，第一次抽到的是正品，第二次抽到的是次 品”包含 8×2＝16 的基本事件．
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【归纳提升】 (1)相互独立事件是试验中，两事件发生的概 率互不影响；相互互斥事件是指试验中，两个事件不会同时
发生；
(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概 率往往比较简单．
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1 概率分别为 C1 2P(A)P( A )C2P(B)P( B )＝
3 ， 16
1 P(A)P(A)P( B )P( B )＝64，
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9 P( A )P( A )P(B)P(B)＝ . 64 所以甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次的概率为 3 1 9 11 ＋ ＋ ＝ . 16 64 64 32
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【解】 (1)法一：设“甲投一次球命中”为事件 A，“乙投一次 球命中”为事件 B. 1 由题意得(1－P(B)) ＝(1－p) ＝16，
2 2
3 5 解得 p＝4或 p＝4(舍去)， 3 所以乙投球的命中率为4.
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(2)记 A＝{甲厂产品}，B＝{乙厂产品}，C＝{合格产品}，则 C＝AC＋BC，所以 P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)· P(C|A)＋ P(B)· P(C|B)＝70%×95%＋30%×80%＝0.905＝90.5%. 2 【答案】 (1) (2)90.5% 9
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在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 nAB P(B|A)＝ . nA
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(2)条件概率具有的性质： ① 0≤P(B|A)≤1 .
②如果B和C是两个互斥事件，则
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8×2 8 ∴P(AB)＝ 90 ＝45， ∴已知第一次抽到的是正品，第二次抽到次品的概率 PAB 8 4 2 P(B|A)＝ ＝ ÷＝ . PA 45 5 9 法二： 因为已知第一次抽到的是正品， 所以相当于“从 9 件产品(有 2 件次品)，任取一件，求这件是次品的概率”．由古典概型知其 2 概率为 . 9
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针对训练 2．(2014· 江苏盐城二模)如图所示的电路有 a，b，c 三个开关，每 1 个开关开或关的概率都是 ，且是相互独立的，则灯泡甲亮的 2 概率为________．
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解析：理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件 A，“b 闭合” 为事件 B，“c 闭合”为事件 C，则灯亮应为事件 AC B 且 A，C，B 1 之间彼此独立，且 P(A)＝P( B )＝P(C)＝ . 2 1 所以 P(A B C)＝P(A)P( B )P(C)＝ . 8 1 答案： 8
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第5课时
二项分布及其应用(理科)
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(一)考纲点击 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独
立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实
际问题．
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抽1件．已知第一次抽到的是正品，则第二次抽到次品的 概率为________． (2)市场上供应的灯泡中，甲厂占70%，乙厂占30%，甲 厂是产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，
则市场上灯泡的合格率是________．
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【解析ห้องสมุดไป่ตู้ (1)法一：从 10 件产品中不放回抽取 2 次，记“第一次 抽到正品”为事件 A， “第二次抽到次品”为事件 B.“从 10 件产
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(2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次
k n k 试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X＝k)＝Ck (k＝ np (1－p)