专项突破6〓解直角三角形的实际应用
中考总复习--解直角三角形的实际应用
中考总复习解直角三角形的实际应用【复习要点】解直角三角形在中考中一宜占有一左比例，有关题型亮相也比较新颖，着重考查学生的基础知识和基本能力•中考要求及命题趋势：1.理解锐角三角形的三角函数值的槪念：2.会由已知锐角求它的三角函数，由已知三角函数值求它对应的锐角：3.会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.应试对策1•要掌握锐角三角函数的概念，会根据已知条件求一个角的三角函数，会熟练地运用特殊角的三角函数值：2掌握根据已知条件解直角三角形的方法，运用解直角三角形的知识解决实际问题具体做到:①了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念;②将实际问题转化为数学问题，建立数学模型;③涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题.【复习流程】一•自我检测激活旧知1.回忆表格,求AB的长.BA.12B.4^3XC.5馅米D.6馅米二.归纳整理形成网络1. 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角.2. 俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角.3. 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作1= _____________ .4. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a・i = tana ,坡度越大，ci角越大，坡面越陡.5. 方位角：指北或指南方向线与U标方向线所成的小于90°的角叫做方位角. 注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45。
方向.我们一般画图的方位为上北下南，左西右东・三.明确考纲了解中考C等级近儿年都以解答题为主，预测2017年中考，也会延续近五年的趋势，考一个解答题四•讲练结合感受方法1.（2010安徽）如图，若河岸的两边平行，河宽为900m, 一只船山河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是60°,船的速度为5m/s,求船从A处到B 处约需时间儿分（参考数据：）分归解决题的关键是求岀A啲长何过昨河对岸的垂些，在构犀的言角三角形中,很书河岸的竞度即嗣与河岸的夹角’通过解直角三角形求出AB的长r进而根押捐二路程•頤得出结果■ 解答:"•〜〜卜牛•八. 严解：如图「囲B作BC垂亘于河岸f垂足为C .C A在RaACB中r有：_ BC 930 r-A吐拓万正=600^ ••讥=^^=2乐玄4（分）.閲船从A处到B处约需3,4分・点谱.•应用问题尽管题型千变万化’但关键是设法化归为解直甬三角形问题”必要时应添加辅助线,构造出直角三角形•3. （2008-安徽）如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米, 这时测得ZCBD二60°,若牵引底端B离地面米，求此时风筝离地面高度.（计算分析：山题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答.解答：解：在RtABCD 中，CD二BCXsin60° =20X =10乂 DE二AB二，・•・ CE 二CD+DE 二CD+AB 二10+~答：此时风筝离地面的高度约是米.点评：本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用.5类型二构造双直角三角形1 •辅助线在三角形外（母子型）3.如图，河的两岸11与12相互平行，A、B是11上的两点，C、D是12上的两点，某人在点A处测得ZCAB二90° , ZDAB二30°,再沿AB方向前进20米到达点 E （点E在线段AB±）,测得ZDEB二60°,求C、D两点间的距离.【分析】直接利用等腰三角形的判定与性质得出DE二AE二20,进而求出EF的长, 再得出四边形ACDF为矩形，则CD二AF二AE+EF求出答案.【解答】解：过点D作11的垂线，垂足为F,TZDEB二60° , ZDAB二30° ,・•・ ZADE二ZDEB ・ ZDAB二30° ,•••△ADE为等腰三角形，・・・DE二AE二20,在RtADEF 中，EF=DE*cos60° =20X =10 （m）VDF±AF,・・・ZDFB二90° ,・・・AC〃DF,由已知11/712,ACD/7AF,・•・四边形ACDF为矩形，CD二AF二AE+EF二30, 答：C、D两点间的距离为30m・4. （2016临沂）一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A 处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45方向上的B处（参考数据：结果精确到）22. 过点 P 作 PCI AB.交 AB 的SicftTAC龙中.ZXCPS904, ZXPCwfitr, M=20.PC JC • c«6O°^2O^-«IO. ... ........ ......... . BB”C ■刃• sin60%20况・ ............. 4 分(f.Rl^BCP 屮 ZBC? = 90\ ZW-4$G............ZUB s AC ・BC M K)J5・IO*IOX|.?32-IO*73.ft ：轮給向东啟行约7.3 WIH 达位下灯圻P mte?5用方向上的B 处7 i5. （2013安徽）如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD,其中AD 〃BC, a 二60° , 汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角B 二45。
专题训练 解直角三角形的实际应用
题型专项（六）解直角三角形的实际应用历年来解直角三角形的实际应用在云南各地的中考中都有考查，几乎都以解答题的形式出现．解题的一般步骤为：画出平面图形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，即根据条件特征，选用勾股定理或适当的三角函数解直角三角形，得出数学问题的答案，然后作答（回归实际问题）．模型1 单一直角三角形1．（2019·昆明西山区二模）如图是云梯升降车示意图，其点A 位置固定，AC 可伸缩且可绕点A 转动，已知点A 距离地面BD 的高度AH 为3.4米．当AC 长度为9米，张角∠HAC 为119°时，求云梯升降车最高点C 距离地面的高度．（结果保留一位小数，参考数据：sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55）解：过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，易得四边形AHEF 为矩形．∴EF ＝AH ＝3.4 m ，∠HAF ＝90°.∴∠CAF ＝∠CAH －∠HAF ＝119°－90°＝29°.在Rt △ACF 中，∵sin ∠CAF ＝CF AC， ∴CF ＝9×sin29°≈9×0.48＝4.32.∴CE ＝CF ＋EF ＝4.32＋3.4≈7.7（m ）．答：云梯升降车最高点C 距离地面的高度约为7.7 m.模型2 背靠背型及其变式2．（2019·十堰）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，AD ＝3 m ，坝高AE ＝DF ＝6 m ，坡角α＝45°，β＝30°，求BC 的长．解：由题意知四边形AEFD 是矩形．∴AD ＝EF ＝3.∵α＝45°，β＝30°，∴BE ＝AE ＝6，CF ＝3DF ＝6 3.∴BC ＝BE ＋EF ＋CF ＝6＋3＋63＝9＋6 3.答：BC 的长为（9＋63）m.3．（2019·昆明官渡区二模）如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需经B 地绕行，已知B 地位于A 地北偏东67°方向，距A 地390 km ，C 地位于B 地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达公路，求公路AC 的长（结果保留整数）．（参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73）解：过点B 作BD ⊥AC 于点D.在Rt △ABD 中，∠ABD ＝67°，AB ＝390 km ，∴AD ＝AB ·sin67°≈390×1213＝360（km ）， BD ＝AB ·cos67°≈390×513＝150（km ）． 在Rt △BDC 中，∠CBD ＝30°，∴CD ＝BD ·tan30°＝150×33＝503（km ）． ∴AC ＝AD ＋CD ＝360＋503≈447（km ）．答：公路AC 的长约为447 km.4．（2019·新疆）如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处．（1）求海轮从A 处到B 处的途中与灯塔P 之间的最短距离（结果保留根号）；（2）若海轮以每小时30海里的速度从A 处到B 处，试判断海轮能否在5小时内到达B 处？并说明理由．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）解：（1）过点P作PC⊥AB，垂足为C.由题意，得∠APC＝45°，AP＝80.在Rt△APC中，PC＝AP·cos45°＝40 2.∴海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离为402海里．（2）由题意得，∠CPB＝60°.在Rt△PCB中，BC＝PC·tan60°＝40 6.在Rt△APC中，AC＝AP·sin45°＝40 2.∴AB＝AC＋BC＝402＋406≈154.4.∵154.430≈5.15>5，∴海轮不能在5小时内到达B处．模型3 母子型及其变式5．（2019·昆明五华区模拟）如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在A处测得某无名小岛C在北偏东60°方向上，前进2海里到达B点，此时测得无名小岛C在东北方向上．已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）解：过点C作CD⊥AB于点D.根据题意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°.在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan30°＝3CD. 在Rt △BCD 中，BD ＝CD tan45°＝CD. ∵AB ＝AD －BD ，∴3CD －CD ＝2，解得CD ＝3＋1≈2.732＞2.5.答：渔船继续追赶鱼群没有触礁危险．6．（2019·昆明十县区一模）如图，线段AB ，DC 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB ⊥BC 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，从点C 测得A 点的仰角α为60°，从D 点测得A 点的仰角β为30°，已知乙建筑物高DC ＝30 m ，求甲建筑物的高AB.解：过点D 作DE ⊥AB 于点E.由题意得，∠ACB ＝60°，∠ADE ＝30°，DE ＝BC ，BE ＝DC ＝30.在Rt △ACB 中，tan ∠ACB ＝AB BC，则AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝3BC. 同理，AE ＝BC ·tan ∠ADE ＝33BC. 则3BC －33BC ＝30， 解得BC ＝15 3.∴AB ＝3BC ＝45.答：甲建筑物的高AB 为45 m.7．（2019·昆明五华区二模）如图，AB 是长为10 m ，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD 与大楼CE 垂直，且与扶梯AB 的长度相等，在B 处测得大楼顶部C 的仰角为65°，求大楼CE 的高度（结果保留整数，参考数据：sin65°≈0.91，tan65°≈2.14）解：过点B作BF⊥AE于点F，则BF＝DE.在Rt△ABF中，sin∠BAF＝BFAB，则BF＝AB·sin∠BAF＝10×12＝5（m）．在Rt△CDB中，tan∠CBD＝CDBD，则CD＝BD·tan65°≈10×2.14≈21（m）．∴CE＝DE＋CD＝BF＋CD＝5＋21＝26（m）．答：大楼CE的高度大约是26 m.。
【中考数学】2018题型专项(五) 解直角三角形的实际应用
题型专项(五) 解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用历年来在云南各地的中考中都有考查，几乎都以解答题的形式出现，主要有两种类型：一是利用视角测量长度(高度)，二是利用方向角测量距离．解题的一般步骤为：画出平面图形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，即根据条件特征，选用勾股定理或适当的三角函数解直角三角形，得出数学问题的答案，然后作答(回归实际问题)．预计2018年仍会有考查，复习时应加强训练．类型1 利用视角测量长度(高度) 1．(2017·普洱市思茅三中一模)如图所示，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB 的高度，在C 点测得旗杆顶端A 的仰角∠BCA ＝30°，向前走了20米到达D 点，在D 点测得旗杆顶端A 的仰角∠BDA ＝60°，求旗杆AB 的高度．(结果精确到0.1，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：∵∠C ＝30°，∠ADB ＝60°，∴∠DAC ＝30°. ∴AD ＝CD.∵CD ＝20米，∴AD ＝20米． 在Rt △ADB 中， sin ∠ADB ＝AB AD， 则AB ＝20×32＝103≈17.3(米)． 答：旗杆AB 的高度约为17.3米．2．(2017·曲靖市罗平县三模)如图，小颖在教学楼四楼上，每层楼高均为3米，测得目高1.5米，看到校园里的圆形花园最近点的俯角为60°，最远点的俯角为30°，请你帮小颖算出圆形花园的面积是多少平方米？(结果保留1位小数，参考数据：3≈1.7，2≈1.4，π≈3.14)解：∵每层楼高均为3米，测得目高1.5米， ∴CD ＝3×3＋1.5 ＝10.5(米)．∵最远点的俯角为30°，∴∠CAD ＝30°. ∴tan 30°＝CD AD .∴AD ＝33CD ＝3CD. ∵∠CBD ＝60°，∴tan 60°＝CDBD .∴BD ＝13CD ＝33CD.∴AB ＝AD －BD ＝(3－33)×10.5＝73(米)．∴S ＝(732)2π≈115.4(平方米)．答：圆形花园的面积是115.4平方米．3．(2017·昆明市官渡区二模)如图，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED ＝60°，在离电线杆6米的B 处安置测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H.由题意可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH ＝30°， ∴DH ＝AB ＝1.5，AH ＝BD ＝6. 在Rt △ACH 中，tan ∠CAH ＝CH AH， ∴CH ＝AH·tan ∠CAH ＝6tan 30°＝6×33＝2 3. ∵DH ＝1.5，∴CD ＝23＋1.5.在Rt △CDE 中，∵∠CED ＝60°，sin ∠CED ＝CD CE ，∴CE ＝CDsin 60°＝4＋3≈5.7(米)．答：拉线CE 的长约为5.7米．类型2 方位角问题 4．(2017·云南考试说明)如图，A ，B 两城市相距100 km ，现计划在这两座城市之间修建一条高速公路(即线段AB)．经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°，在B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50 km 为半径的圆形区域内．请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？(参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：过点P 作PC ⊥AB ，C 为垂足， 则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°. ∴AC ＝PC·tan 30°，BC ＝PC·tan 45°. ∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan 30°＋PC ·tan 45°＝100. ∴(33＋1)PC ＝100. ∴PC ＝50(3－3)≈63.4>50.∴森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，因此计划修建的这条高速公路不会穿越保护区．5．(2017·乌鲁木齐)一艘渔船位于港口A 的北偏东60°方向，距离港口20海里B 处，它沿北偏西37°方向航行至C 处突然出现故障，在C 处等待救援，B ，C 之间的距离为10海里，救援艇从港口A 出发20分钟到达C 处，求救援艇的航行速度．(sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，3≈1.732，结果取整数)解：作BD ⊥AD ，BE ⊥CE ，CF ⊥AF ， 由题意知，∠FAB ＝60°，∠CBE ＝37°， ∴∠BAD ＝30°. 在Rt △ABD 中， ∵AB ＝20海里， ∴BD ＝10海里．∴AD ＝AB 2－BD 2＝103≈17.32(海里)．在Rt △BCE 中，sin 37°＝CEBC ，∴CE ＝BC·sin 37°≈0.6×10＝6(海里)． ∵cos 37°＝EBBC， ∴EB ＝BC·cos 37°≈0.8×10＝8(海里)． ∴EF ＝AD ＝17.32海里．∴FC ＝EF －CE ＝11.32海里， AF ＝ED ＝EB ＋BD ＝18海里． 在Rt △AFC 中，AC ＝AF 2＋FC 2＝182＋11.322≈21.26(海里)． ∴21.26×3≈64(海里/小时)．(或21.26÷20≈1海里/分钟)． 答：救援艇的航行速度是64海里1小时(1海里1分钟)．类型3 其他实际问题 6．(2017·楚雄州永仁县一模)如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB 的坡角∠BAD ＝60°，坡长AB ＝20 3 m ，为加强水坝强度，将坝底从A 处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡角∠F ＝45°，求AF 的长度．(结果精确到1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：过B 作BE ⊥DF 于E.Rt △ABE 中，AB ＝20 3 m ，∠BAE ＝60°， ∴BE ＝AB·sin 60°＝203×32＝30(m )，AE ＝AB·cos 60°＝203×12＝103(m )．在Rt △BEF 中，BE ＝30，∠F ＝45°， ∴EF ＝BE ＝30 m .∴AF ＝EF －AE ＝30－103≈13 m . 答：AF 的长约为13(m )．7．(2017·昆明市官渡区一模)如图，垂直于地面的灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成45°夹角(∠CDB ＝45°)；为了使灯柱更牢固，在C 点上方2米处再新加固另一条钢线ED ，ED 与地面成53°夹角(∠EDB ＝53°)，求线段ED 的长．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33)解：设BD ＝x 米，则BC ＝x 米，BE ＝(x ＋2)米． 在Rt △BDE 中，tan ∠EDB ＝BE DB ＝x ＋2x， 即x ＋2x≈1.33，解得x ≈6.06. ∴BE ＝8.06. ∵sin ∠EDB ＝BE ED， ∴0.8＝8.06ED ，解得ED ≈10.1.答：钢线ED 的长度约为10.1米．。
解直角三角形的实际应用(含答案)
(五)解直角三角形的实际应用(含答案)1.（2017株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α其中tan α=23，无人机的飞行高度AH 为5003米，桥的长度为1255米．①求点H 到桥左端点P 的距离；②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度A B ．【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米．②设BC ⊥HQ 于C ．在Rt △BCQ 中，∵BC =AH =5003，∠BQC =30°， ∴CQ =tan 30BC︒=1500米，∵PQ =1255米，∴CP =245米，∵HP =250米，∴AB =HC =250﹣245=5米． 答：这架无人机的长度AB 为5米．.考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．2.（2017第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角030=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角060=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7. 求（1）单摆的长度（7.13≈）；（2）从点A 摆动到点B 经过的路径长（1.3≈π）.【答案】（1）单摆的长度约为18.9cm （2）从点A 摆动到点B 经过的路径长为29.295cm则在Rt △AOP 中，OP =OAcos ∠AOP =12x ， 在Rt △BOQ 中，OQ =OBcos ∠BOQ =32x ， 由PQ =OQ ﹣OP 3﹣12x =7，解得：x 318.9（cm ），. 答：单摆的长度约为18.9cm ；（2）由（1）知，∠AOP =60°、∠BOQ =30°，且OA =OB 3 ∴∠AOB =90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为907+73180π⨯（）≈29.295，答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm．考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹 .3.（2017第19题）位于核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【答案】4.2m．考点：解直角三角形的应用．4.（2017第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度B C．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）【答案】水坝原来的高度为12米．.考点：解直角三角形的应用，坡度.5.（2017新疆乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，,B C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C≈≈≈，结果取整数）处，求救援的艇的航行速度.(sin370.6,cos370.8,3 1.732【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．【解析】试题分析：辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求AD，在Rt△BCE中，根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AC，再根据路程÷时间=速度求解即可．试题解析：辅助线如图所示：答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题6.（2017省市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）【答案】（1）38°；（2）20.4m．【解析】试题分析：（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．试题解析：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE•tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD•tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．考点：1．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2．应用题；3．等腰三角形与直角三角形．7.（2016·随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．8.. （2016··7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．9..（2016··8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．10 （2016··10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°在Rt△ADB中，tan64°=，则BD=≈AB，在Rt△ACB中，tan48°=，则CB=≈AB，∴CD=BC﹣BD即6=AB﹣AB解得：AB=≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米．11.（2016·）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．12..（2016··8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．13.（2016··6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设AD =x 米，小明的行走速度是a 米/秒， ∵∠A =45°，CD ⊥AB ， ∴AD =CD =x 米， ∴AC =x ．在Rt △BCD 中， ∵∠B =30°， ∴BC ===2x ，∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C 处，∴=，解得a =1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．14..（2016·江）(9分)如图，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。
中考专题复习拓展题型解直角三角形的实际应用
中考专题复习拓展题型解直角三角形的实际应用例1小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB顶端A的仰角为45°，又测得树AB倾斜角∠1=75°．（1）求AD的长．（2）求树长AB．例2钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）例3一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）例4.如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD 的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．例5.如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）例6.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°（1）求调整后的滑梯AD的长度（2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：≈1.41，，≈2.45）例7海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值）例8为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图2．（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75≈3.7321）拓展练习：1.如图，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB （单位：米）为（ ）A ．50 B ．51 C ．50+1 D ．1011题图 2题图 4题图2.如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC=1200m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α=30°，则飞机A 与指挥台B 的距离为（ ）A ．1200mB ．1200mC ．1200mD ．2400m3.已知：岛P 位于岛Q 的正西方，由岛P ，Q 分别测得船R 位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（ ） A ． B ． C ． D ．4.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm ，∠CBD=40°，则点B 到CD 的距离为 cm （参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm ，可用科学计算器）．5.“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN 限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从观测点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）6.如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 出测得大树顶端B 的仰角是48°．若坡角∠FAE=30°，DA=6．求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）7.如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC ，椅面宽为BE ，椅脚高为ED ，且AC ⊥BE ，AC ⊥CD ，AC ∥ED ．从点A 测得点D 、E 的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm ，求椅子高AC 约为多少？（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）8.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．9.如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点．已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为10米，塔高AB为123米（AB垂直地面BC），在地面C处测得点E的仰角α=45°，从点C沿CB方向前行40米（结果精确到1米，参考数据≈1.4，到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β=60°，求点E离地面的高度EF．≈1.7）10.如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．11.如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音（XRS）的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：≈1.7）。
2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用
2023年中考数学高频考点突破——解直角三角形的实际应用1．在修建某高速公路的线路中需要经过一座小山．如图，施工方计划从小山的一侧C处沿AC方向开挖隧道到小山的另一侧D（A，C，D三点在同一直线上）处．为了计算隧道CD的长，现另取一点B，测得∠CAB＝30°，∠ABD＝105°，AC＝1km，AB＝4km．求隧道CD的长．2．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l．小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝50m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30m，两楼间的距离AC＝24m，现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况．当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？4．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点D到地面的垂直距离DE＝3米．求点B到地面的垂直距离BC．5．如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约高多少米？（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）6．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．7．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB 的高度和小明后退的距离EC．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m）8．给窗户装遮阳棚，其目的为最大限度的遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度的使冬天温暖的阳光射入室内，现请你为我校新建成的高中部教学楼朝南的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，如图，已知窗户AB高度为h＝2米，本地冬至日正午时刻太阳光与地面的最小夹角α＝32°，夏至日正午时刻太阳光与地面的最大夹角β＝79°，请分别计算直角形遮阳篷BCD中BC、CD的长（结果精确到0.1米，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14）9．如图，秋千链子AB的长度为3m，静止时的秋千踏板（厚度忽略不计）距地面DE为0.5m，秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53°，求秋千踏板与地面的最大距离．（sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）10．如图分别是某型号跑步机的实物图和示意图，已知踏板CD长为2米，支架AC长为0.8米，CD与地面的夹角为12°，∠ACD＝80°，（AB∥ED），求手柄的一端A离地的高度h．（精确到0.1米，参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）11．如图，厂房屋顶人字架的跨度BC＝10m．D为BC的中点，上弦AB＝AC，∠B＝36°，求中柱AD和上弦AB的长（结果保留小数点后一位）．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73．12．如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC＝60米，∠BCA＝62°，请你帮小颖算出河宽AB （结果精确到1米）．（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）13．为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度．（参考数据：≈1.41，≈1.73，结果保留整数）14．2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73）15CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17，cos10°＝sin80°＝0.98，sin20°＝cos70°＝0.34，tan70°＝2.75，sin70°＝0.94）16．如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）17．如图1，滨海广场装有风能、太阳能发电的风光互补环保路灯，灯杆顶端装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC垂直于灯杆OF，路灯顶端E距离地面6米，DE＝1.8米，∠CDE＝60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB的倾斜角为43°．AB＝1.5米，CD＝1米，为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，对叶片与太阳能板顶端A的最近距离不得少于0.5米，求灯杆OF至少要多高？（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）18．北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）19．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）20．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米（结果取整数）？（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）参考答案与试题解析1．【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，如图所示：在Rt△ABE中，AB＝4km，∠CAB＝30°，∠AEB＝90°，∴BE＝AB＝2km，AE＝＝＝2km，∠ABE＝180°﹣30°﹣90°＝60°，∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABE＝105°﹣60°＝45°．在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝45°，∴DE＝BE＝2km，∴AD＝AE+DE＝（2+2）km，∴CD＝AD﹣AC＝2+2﹣1＝（2+1）km．答：隧道CD的长为（2+1）km．2．【解答】解：∵∠2＝45°∠3＝90°∴∠4＝45°∴∠2＝∠4即BD＝AD设BD＝AD＝xm，∵AC＝50m∴CD＝（x+50）m，在Pt△ACD中tan C＝，10x＝6x+3004x＝300x≈75.0．答：AD的长度为75.0m．3．【解答】解：过点B作BF交CD于F，过点F作FE⊥AB于点E，∵太阳光与水平线的夹角为30°，∴∠BFE＝30°，∵AC＝EF＝24m，∴BE＝EF•tan30°＝24×＝8（m），∴CD﹣BE＝（30﹣8）m．答：甲楼的影子在乙楼上的高度约为（30﹣8）m．4．【解答】解：在Rt△DAE中，∵∠DAE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE＝3．∴AD2＝AE2+DE2＝（3）2+（3）2＝36，∴AD＝6，即梯子的总长为6米．∴AB＝AD＝6．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝3，∴BC2＝AB2﹣AC2＝62﹣32＝27，∴BC＝＝3m，∴点B到地面的垂直距离BC＝3m．5．【解答】解：由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A＝＝∴CD＝2（m），又AB＝1.6m∴CE＝CD+DE＝CD+AB＝2+1.6≈5.1（m）．答：树的高度约为5.1米．6．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+60解之得：x＝30+30≈81.96．答：河宽约为81.96米．7．【解答】解：设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB＝AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠ADF＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF＝x•sin45°，∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x•°﹣x•sin45°＝1.6，解得：x＝10，∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），EC＝EB﹣CB＝x•cos45°﹣x•cos60°＝10×﹣10×≈2.1（m）答：旗杆AB的高度为8.7m，小明后退的距离为2.1m．8．【解答】解：根据内错角相等可知，∠BDC＝α，∠ADC＝β．在Rt△BCD中，tanα＝．①在Rt△ADC中，tanβ＝．②由①、②可得：．把h＝2，tan32°≈0.62，tan79°≈5.14代入上式，得BC≈0.3（米），CD≈0.4（米）．所以直角遮阳篷BCD中BC与CD的长分别是0.3米和0.4米．9．【解答】解：设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处．过点A，B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．在Rt△ABC中，AB＝3，∠CAB＝53°，∵cos53°＝，∴AC＝3cos53°≈3×0.6＝1.8（），∴CD≈3+0.5﹣1.8＝1.7（m），∴BE＝CD≈1.7（m），答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为1.7m．10．【解答】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF＝∠FCD﹣∠ACD＝∠CGD+∠CDE﹣∠ACD＝90°+12°﹣80°＝22°，∴∠CAF＝68°，在Rt△ACF中，CF＝AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG＝CD•sin∠CDE≈0.42m，∴h＝0.42+0.74＝1.156≈1.2（米），答：手柄的一端A离地的高度h约为1.2m．11．【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝10米，∴DC＝BD＝5米，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC．在Rt△ADB中，∠B＝36°，∴tan36°＝，即AD＝BD•tan36°≈3.7（米）．cos36°＝，即AB＝≈6.2（米）．答：中柱AD（D为底边BC的中点）为3.7米和上弦AB的长为6.2米．12．【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝60米，∠BCA＝62°，可得tan∠BCA＝，即AB＝BC•tan∠BCA＝60×1.88≈113（米），则河宽AB为113米．13．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x米．∵在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴AD＝＝x．同理，在直角△BCD中，BD＝＝x．又∵AB＝30米，∴AD+BD＝30米，即x+x＝10．解得x＝13．答：河的宽度的13米．14．【解答】解：过C作CD⊥，设CD＝x米，∵∠ABE＝45°，∴∠CBD＝45°，∴DB＝CD＝x米，∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝x米，∵AB相距2米，∴x﹣x＝2，解得：x＝+1≈2.73，答：命所在点C与探测面的距离2.73米．15．【解答】解：由题可知：如图，BH⊥HE，AE⊥HE，CD＝2米，BC＝4米，∠BCH＝30°，∠ABC＝80°，∠ACE＝70°∵∠BCH+∠ACB+∠ACE＝180°∴∠ACB＝80°∵∠ABC＝80°∴∠ABC＝∠ACB∴AB＝AC过点A作AM⊥BC于M，∴CM＝BM＝2（米），∵在Rt△ACM中，CM＝2米，∠ACB＝80°∴∠ACB＝cos80°≈0.17∴AC＝＝（米），∵在Rt△ACE中，AC＝米，∠ACE＝70°∴∠ACE＝sin70°≈0.94∴AE＝×0.94＝≈11.1（米），∴AE+CD＝13.1（米），故可得点A到地面的距离为13.1米．16．【解答】解：设BM＝x米．∵∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴CF＝DF＝x米，∴BF＝BC﹣CF＝（4﹣x）米．∴EN＝DM＝BF＝（4﹣x）米．∵AB＝6米，DE＝1米，BM＝DF＝x米，∴AN＝AB﹣MN﹣BM＝（5﹣x）米．在△AEN中，∠ANE＝90°，∠EAN＝31°，∴EN＝AN•tan31°．即4﹣x＝（5﹣x）×0.6，∴x＝2.5，答：DM和BC的水平距离BM的长度为2.5米．17．【解答】解：过E作EG⊥地面于G，过D作DH⊥EG于H，∴DF＝HG，在R t△ABC中，AC＝AB•sin∠B＝1.5×sin43°＝1.5×0.682≈1.023米，∵∠CDE＝60°，∴∠EDH＝30°，∴EH＝DE＝0.9米，∴DF＝GH＝EG﹣EH＝6﹣0.9＝5.1米，∴OF＝OA+AC+CD+DF＝1.5+1.023+1+5.1＝8.623m．答：灯杆OF至少要8.63m．18．【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD＝x米．Rt△ADC中，∠DAC＝25°，所以tan25°＝＝0.5，所以AD＝＝2x．Rt△BDC中，∠DBC＝60°，由tan60°＝＝，解得：x≈3．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．19．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x在Rt△BCE中：∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴x＝x+50解之得：x＝25+25≈68.10．答：河宽为68.30米．20．【解答】解：如图，根据题意OA＝OA′＝80cm，∠AOA′＝35°，作A′B⊥AO于B，∴OB＝OA′•cos35°＝80×0.82≈65.6cm，∴AB＝OA﹣OB＝80﹣65.6＝14.4cm．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米．。
解直角三角形在实际生活中应用
解直角三角形在实际生活中的应用山东 李浩明在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考．一、航空问题例1．（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图1）．求A 、B1.414 1.732==）分析:要求A 、B 两个村庄间的距离,由题意知AB =PB ，在Rt △PBC 中,可求得60PBC ∠=︒，又因为PC =450，所以可通过解直角三角形求得PB.解：根据题意得：30A ∠=︒，60PBC ∠=︒，所以6030APB ∠=︒-︒，所以A P B A ∠=∠，所以AB =PB .在Rt BCP ∆中，90,60C PBC ∠=︒∠=︒，PC =450，所以PB=450sin 60==︒.所以520AB PB ==≈(米) 答：A 、B 两个村庄间的距离为520米． 二、测量问题例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，QB CP A 45060︒30︒图1用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．分析:要求AB 的高,由题意知可知CD=BE ,先在Rt △ADE 中求出AE 的长,再利用AB=BE +AE 求出AB 的长.解：在Rt △ADE 中，tan ∠ADE =DEAE. ∵DE =10，∠ADE =40︒.∴AE =DE tan ∠ADE =10tan 40︒≈100.84⨯=8.4. ∴AB =AE +EB =AE +DC =8.4 1.59.9+=.答：旗杆AB 的高为9.9米． 三、建桥问题例4.（2008年河南）如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．一直BC =11km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形DCBG ，将两条路线路程之差转化为AD DG AG +-，作高线DH ,将△ADG 转化为两个直角三角形，先在在Rt DGH △中求DH 、GH ，再在Rt ADH △中求AD 、AH,此题即可得解.解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，DG CB ∥交AB 于G ．DC AB ∥，∴四边形DCBG 为平行四边形．∴DC GB =，11GD BC ==．∴两条路线路程之差为AD DG AG +-． 在Rt DGH △中，sin37110.60 6.60DH DG =⋅≈⨯=， cos37110.808.80GH DG =⋅⨯≈≈．在Rt ADH △中，1.41 6.609.31AD =⨯≈≈．6.60AH DH =≈．∴(9.3111)(6.608.80)AD DG AG +-=+-+≈即现在从A 地到B 地可比原来少走约4.9km ． 四、图案设计问题例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．分析:要求圆O 的半径r 的值，需在直角三角形ODH 中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH 中，根据条件5CE =、坡面CE 的坡度1:0.75i =求出EH 、CH ，然后在直角三角形ODH 中利用勾股定理列出方程，从而求出r 的值．解：由已知OCDE ⊥，垂足为点H ，则90CHE ∠=．图41:0.75i =，43CH EH ∴=． 在Rt HEC △中，222EH CH EC +=．设4CH k =，3(0)EH k k =>，又5CE =，得222(3)(4)5k k +=，解得1k =．∴3EH =，4CH =．∴7DH DE EH =+=，7OD OA AD r =+=+，4OH OC CH r =+=+． 在Rt ODH △中，222OH DH OD +=，∴222(4)7(7)r r ++=+． 解得83r =．航海中的安全问题船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后通过解直角三角形求出CD 的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.解：由已知，得AB=24×21=12，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，所以∠C=30°，所以∠C=∠CAB ，所以CB=AB=12.在Rt △CBD 中，sin ∠CBD=CB CD ，所以CD=CB ·sin ∠CBD=12×3623=.∵936> 所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．例2 如图2，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向上，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？分析：先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解. 解法一：如图3，过点B 作BM ⊥AH 于M ，则BM//AF.所以∠ABM=∠BAF=30°. 在Rt △BAM 中，AM=21AB=5，BM=35. 过点C 作CN ⊥AH 于点N ，交BD 于K. 在Rt △BCK 中，∠CBK=90°-60°=30°. 设CK=x ，则BK=3x.在Rt △CAN 中，因为∠CAN=90°-45°=45°，所以AN=NC.所以AM+MN=CK+KN. 又NM=BK ，BM=KN ，所以x+35=5+3x.解得x=5. 因为5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.解法二：如图4，过点C 作CE ⊥BD 于E.所以CE//GB//FA. 所以∠BCE=∠GBC=60°，∠BCA=∠FAC=45°. 所以∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°. 又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，D图2图3图4所以∠BCA=∠BAC.所以BC=AB=10.在Rt △BCE 中，CE=BC ·cos ∠BCE=BC ·cos60°=10×21=5. 也5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.实际中的仰角和俯角问题在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.梳理总结：⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题.⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度.例1 (成都)如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30︒，测得乙楼底部B 点的俯角β为60︒，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值.分析:过点C 作CE ⊥AB 于点E, 在Rt △BCE 和Rt △ACE 中, BE 和AE 可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高.解:作CE ⊥AB 于点E,∵CE ∥DB,CD ∥AB,且∠CDB=090,∴四边形BECD 是矩形. ∴CD=BE,CE=BD.图 1 E图2在Rt △BCE 中, ∠β=060,CE=BD=90米. ∵,tan CEBE=β∴BE=CE 39060tan 90tan 0=⨯=⋅β(米). ∴CD=BE=390(米).在Rt △ACE 中, ∠α=030,CE=90米. ∵ ,tan CEAE=α∴AE=CE 330339030tan 90tan 0=⨯=⨯=⋅α(米). ∴AB=AE+BE=3120390330=+(米). 答:甲楼高为390米,乙楼高为3120米.反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法.例2 （乐山）如图3，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ．要求：⑴画出测量示意图；⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）； ⑶根据（2）中的数据计算AB ．分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在Rt △AGF 和 Rt △AEF 中, 利用三角函数可得αtan x HE =,βtan x EF = ,再根据HE-FE=CD=m 建立方程即可. 解：（1）测量图案（示意图）如图4所示（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AHE α=∠;第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C D ，之间的距离CD m =;AB图3AE F HC DB图4第三步：在点D 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AFE β=∠; 第四步：用皮尺测出测角仪的高h . （3）计算： 令AE=x,则,tan HE x =α得αtan x HE =,又,tan EF x =β得βtan xEF =, ∵HE-FE=HF=CD=m, ∴,tan tan m xx =-βα 解得αββαtan tan tan tan -⋅=m x ，∴AB=.tan tan tan tan h m +-⋅αββα反思：在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效.快乐套餐:1.(泰安)如图5，一游人由山脚A 沿坡角为30的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45，则山高CD 等于 （结果用根号表示）2.(安徽)如图6，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45°°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度．(1.73，计算结果保留整数)ABCD图5第19题图EDCB A450600图6参考答案:1. (300 .2. ∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23，在Rt△AED中，∠DAE＝45°,∴DE＝AE＝23.在Rt△BEC中，∠CBE＝60°,∴CE＝BE·tan60°＝CD＝CE－DE＝23≈2.95≈3.即这块广告牌的高度约为3米.。
中考数学 中档题突破 专项训练八 解直角三角形的实际应用
解：过点 N 作 NE⊥CD 于点 N，NF⊥AB 于点 F.则 EF＝AC＝42 m， MN＝CE＝AF＝1.7 m，∠DNE＝45°，∠BNF＝60°， ∵CD＝19.7 m，∴DE＝18(m)， 在 Rt△DEN 中，∠DNE＝45°， ∴△DEN 为等腰直角三角形， ∴NE＝DE＝18 m，∴FN＝24(m)，在 Rt△BFN 中，tan∠BNF＝tan 60°
2．(2022·河池)如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在 小区居民楼 AB 的高度进行测量，从小敏家阳台 C 测得点 A 的仰角为 33 °，测得点 B 的俯角为 45°，已知观测点到地面的高度 CD＝36 m，求居 民楼 AB 的高度．(结果保留整数，参考数据：sin 33°≈0.55，cos 33 °≈0.84，tan 33°≈0.65)
2．(2022·观山湖区模拟)如图，在某信号塔 AB 的正前方有一斜坡 CD 长 为 12 m，坡顶 BC 与水平地面 DK 的距离为 6 m，BC 为 8 m，小明从底端 D 沿斜坡行走 8 m 后到达点 E 处，并在点 E 处测得塔顶的仰角∠AEN＝54°， 且 BC∥NE∥KD，AB⊥BC(点 A，B，C，D，E，K，N 在同一平面内)．(sin 54 °≈0.8，cos 54°≈0.6，tan 54°≈1.4， 3≈1.7)
1 在 Rt△CME 中，CM＝2CE＝2(m)， ME＝ 3CM＝2 3(m)，∴BH＝CM＝2 m，
HE＝HM＋ME＝(8＋2 3)m，在 Rt△AHE 中，∠AEH＝54°， ∴AH＝EH·tan 54°≈(8＋2 3)×1.4 ＝(11.2＋2.8 3)m， ∴AB＝AH－BH＝11.2＋2.8 3－2≈14(m)， ∴信号塔 AB 的高度约为 14 m.
专题(六) 解直角三角形的实际应用
专题(六) 解直角三角形的实际应用
类型 1 视角类解直角三角形的应用 1．(2019·黄冈)如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 40 m，从 A 点测得 D 点的俯角 α 为 45°，测得 C 点的俯角 β 为 60°.求这两座建筑物 AB，CD 的高度．(结果保留小数点后一位， 2≈1.414， 3≈1.732)
解：过点 B 作 BH∥DD′，BG⊥D′D 于点 G，延长 EC，GB 交于点 F， 易得∠ABC＝∠D′AB＋∠FCB，四边形 DEFG 为矩形，
∴∠FCB＝∠ABC－∠D′AB＝35°，DE＝GF＝50，GD＝EF. ∵在 Rt△ABG 中，AB＝25，∠GAB＝37°， ∴GB＝AB·sin37°≈15，GA＝AB·cos37°≈20. ∴BF＝GF－GB＝35.
(2)∵斜坡 CF 的坡度 i＝1∶1.5. ∴Rt△CFG 中，CG＝1.5FG＝2 3×1.5＝3 3. ∴FD＝EG＝CG＋CE＝3 3＋6. 在 Rt△BCE 中，BE＝CE·tan60°＝6 3. 在 Rt△AFD 中，AD＝DF·tan45°＝3 3＋6. ∴AB＝AD＋DE－BE＝3 3＋6＋2 3－6 3＝6－ 3≈4.3. 答：宣传牌的高度 AB 约为 4.3 米．
解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，延长 AD 交地面于点 E. ∵在 Rt△ABD 中，sin∠ABD＝AADB， ∴AD＝AB·sin70°≈86.48. ∵DE＝6，∴AE＝AD＋DE≈92.5. ∴把手 A 离地面的高度约为 92.5 cm.
8．(2019·常德)图 1 是一种淋浴喷头，图 2 是图 1 的示意图，若用支架把喷头固定 在点 A 处，手柄长 AB＝25 cm，AB 与墙壁 DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流 BC 与 AB 形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在 E 处淋浴时，水流正好喷洒 在人体的 C 处，且使 DE＝50 cm，CE＝130 cm.问：安装师傅应将支架固定在离地面多 高的位置？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31， tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)
解直角三角形的实际应用
解直角三角形的实际应用加强数学与实际生活的联系，提高数学的应用意识，培养应用数学的能力是当今数学改革的方向，围绕本章的内容，综观近07年的各地中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐步成为命题的热点，现选取几例加以分析，以期对同学们的学习有所帮助.一、相邻两树间的坡面距离是多少呢?例1 （08聊城）如图1，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）A ．4.5mB ．4.6mC ．6mD ．8m解析:此类问题可由坡度的定义直接解答.由题意可知:5.0=lh,所以245.05.0=⨯==h l m,所以斜坡上相邻两树间的坡面距离是5.420422222≈=+=+l h m,故选A.二.风筝离地面的高度是多少呢?例2 (08安徽)小明站在A 处放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B 离地面1.5米，求此时风筝离地面高度(计算结果精确到0.11.732≈)分析: 本题主要考查解直角三角形. 利用锐角三角函数以及勾股定理和三角形内角和等知识来解.已知直角三角形中一边和一锐角或两边，则此直角三角形可解.本题中由BC 的长和∠CBD=60°，根据正弦求出CD 的长,通过图形知DE=AB ，从而得出CE 的长，即此时风筝离地面高度.解：在Rt △BCD 中，CD=B C ×sin60=20×2图1图2二楼 一楼4mA 4m4mB28°C图3又DE=AB=1.5∴CE=C D ＋DE=CD ＋AB=(米) 答：此时风筝离地面的高度约是18.8米. 三、小敏有碰头的危险吗?例3 （08年甘肃庆阳）如图3，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin28o ≈0.47，tan28o ≈0.53）分析：本题与实际生活联系紧密,考查了数形结合的思想.要判断乘电梯是否会碰头，从图形来看需要计算电梯和天花板之间的最小距离，然后与人的高度比较.解：作CD AC ⊥交AB 于D ，则28CAD =∠，在Rt ACD △中，CAD AC CD ∠⋅=tan 40.53 2.12=⨯=（米）． 所以,小敏不会有碰头危险． 四.小区居民是否需要搬迁?例4 （08自贡）我市准备在相距2千米的A 、B 两工厂间修一条笔直的公路，但在B 地北偏东60°方向、A 地北偏西45°方向的C 处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见图4，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：41.12≈73.13≈）.分析:判断小区居民是否需要搬迁,通常是过小区的中心C 作公路的垂线,利用直角三角形知识求出垂线段的长,再比较垂线段与住宅小区的半径,垂线段CD 大于0.6千米,则不需要搬迁,否则需要搬迁.解：过点C 作CD ⊥AB 于D.图4∴AD ＝CD ·cot45°＝CD,BD ＝CD ·cot30°＝CD 3 ∵BD+AD ＝AB ＝2,即CD 3+ CD ＝2, ∴CD=13132-=+6.073.0173.1>=-≈答：修的公路不会穿越小区，故该小区居民不需搬迁.解直角三角形与方程组携手河北 欧阳庆红解直角三角形非常贴近我们的生活，大多与生产、生活的具体问题相联系，在日常生活中的应用也比较广泛，考题形式多种多样，有时将直角三角形与方程组有机地结合在一起，使我们充分感受到知识综合的“魅力”,现采撷两例予以分析，以飨读者.例1 (08凉山州)，A B C ，，三个粮仓的位置如图1所示，A 粮仓在B 粮仓北偏东26，180千米处；C 粮仓在B 粮仓的正东方，A 粮仓的正南方．已知A B ，两个粮仓原有存粮共450吨，根据灾情需要，现从A 粮仓运出该粮仓存粮的35支援C 粮仓，从B 粮仓运出该粮仓存粮的25支援C 粮仓，这时A B ，两处粮仓的存粮吨数相等． （sin 260.44=，cos 260.90=，tan 260.49=） （1）A B ，两处粮仓原有存粮各多少吨？（2）C 粮仓至少需要支援200吨粮食，问此调拨计划能满足C 粮仓的需求吗？（3）由于气象条件恶劣，从B 处出发到C 处的车队来回都限速以每小时35公里的速度匀速行驶，而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶4小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全的回到B 地？请你说明理由．分析:(1)通过列方程组解决,题中的两个未知量分别为A B ，两处粮仓存粮吨数,两等量关系分别为: A B ，两处粮仓存粮吨数和为450吨, A B ，两处粮仓支援C 粮仓后剩余吨图1北南西东CB A26数相等.然后列方程组即可.(2)分别计算A B ，两处粮仓支援C 的粮食吨数,其和与200比较,来判断调拨计划能否满足C 粮仓的需求.(3)根据题意判断△ABC 为直角三角形,根据∠A 的正弦AB=180,先计算小王邮箱中的油量最多行驶的路程,此路程若大于2BC,说明不需要加油,否则需要中途加油.解:（1）设A B ，两处粮仓原有存粮x y ，吨.根据题意得：450321155x y x y+=⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得：270180x y =⎧⎨=⎩答：A B ，两处粮仓原有存粮分别是270，180吨． （2）A 粮仓支援C 粮仓的粮食是32701625⨯=（吨）B 粮仓支援C 粮仓的粮食是2180725⨯=（吨）A B ，两粮仓合计共支援C 粮仓粮食为16272234+=吨 234200>∴此次调拨能满足C 粮仓需求．（3）根据题意知：26A ∠=，180AB =千米，90ACB ∠=在Rt ABC △中，sin BCBAC AB∠=，sin 1800.4479.2BC AB BAC ∴=∠=⨯= 此车最多可行驶435140⨯=（千米）279.2<⨯∴小王途中须加油才能安全回到B 地．评注:本题以救灾为载体命题,背景鲜活,具有时代特色,能够极大地吸引学生，符合新课标思想.例2 (08泰州)如图2某堤坝的横截面是梯形ABCD ，背水坡AD 的坡度i （即αtan ）为1︰1.2，坝高为5米，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽1米，形成新的背水坡EF ，其坡度为1︰1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少土方？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？分析:(1)是坡度问题,欲求完成该工程需要土方数,需要求出梯形AFEC 的面积,此梯形上底ED=1米,高5米,只需计算下底FA 的长, 作DG ⊥AB 于G ，作EH ⊥AB 于H,于是转化成解直角三角形问题,根据坡度意义,分别计算FH,AG 即可求得AF,于是问题得解;(2)中两个未知数分别为:两个工程队计划每天各完成的土方数,两个等量关系为:两工程队计划每天完成土方数的和与20的积=该工程需要的土方数; 两工程队实际每天完成土方数的和与(20-5)的积=该工程需要的土方数,然后列方程组即可.解:（１）作DG ⊥AB 于G ，作EH ⊥AB 于H. ∵CD ∥AB ，∴EH ＝DG ＝５米,∵2.11=AG DG ，∴AG=6米, ∵4.11=FH EH ，∴FH=7米， ∴FA=FH+GH-AG=7+1-6=2（米） ∴SADEF=21（ED+AF ）·EH=21(1+2)×5=7.5（平方米） V=7.5×4000=30000 (立方米)(2)设甲队原计划每天完成x 立方米土方，乙队原计划每天完成y 立方米土方.图2根据题意，得⎩⎨⎧=+++=+.30000]%)401(%)301[15,3000)(20y x y x化简，得⎩⎨⎧=+=+.20004.13.1,1500y x y x解之，得⎩⎨⎧==.5001000y x答：甲队原计划每天完成1000立方米土方，乙队原计划每天完成500立方米土方. 评注:本题以防洪加固大坝为背景，考查了坡度的有关计算，和方程组有机结合，体现了数学知识间的相互联系.解直角三角形中的转化思想河北 欧阳庆红转化思想是研究和解决数学问题的一种有效的思考方法, 是将复杂的问题转化、分解为简单的问题；或者将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思维方法,下面我们通过例题分析转化的妙用,希望对读者有所启发.例1 （08 天津）如图1,热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒30，看这栋高楼底部的俯角为︒60，热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈）分析:根据仰角、俯角的概念在图2中画出这些角，并从点A 沿水平方向作辅助线，可通过两个直角三角形中线段之间的关系求出楼的高度.解:如图2，过点A 作BC AD ⊥，垂足为D ，根据题意，可得︒=∠30BAD ，︒=∠60CAD ，66=AD ．BCAB图1A DBE图3i =1:3C在Rt△ADB 中，由ADBDBAD =∠tan ， 得322336630tan 66tan =⨯=︒⨯=∠⋅=BAD AD BD ． 在Rt△ADC 中，由ADCDCAD =∠tan ， 得36636660tan 66tan =⨯=︒⨯=∠⋅=CAD AD CD ． ∴2.152388366322≈=+=+=CD BD BC ． 答：这栋楼高约为152.2 m ．评注:处理实际问题要注意两个转化:一是将实际问题转化为数学模型;二是将数学模型转化为解直角三角形问题.此题关键在于搞清仰角、俯角的概念,因而标出仰角和俯角在何处,正确画出图形是解题的前提.例2 (08东莞)如图3，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1=i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结果保留三位有效数字.参考数据：3≈1.732，2≈1.414）分析: 这是利用三角形函数解直角三角形解决实际问题，拦水坝的横断面是梯形，求其面积可通过作高巧妙地将梯形面积问题转化为两个直角三角形和一个矩形的问题， 通过解两个直角三角形达到目的.解：如图4,过点A 作AF ⊥BC ，垂足为点F. 在Rt △ABF 中，∠B=60°,AB=6, ∴sin AF AB B =∠6sin 60=︒=. cos BF AB B =∠6cos 60=︒3=.∵ AD ∥BC,AF ⊥BC,DE⊥BC,∴ 四边形AFED 是矩形， ∴ DE AF ==4FE AD ==.图2B图4在Rt △CDE 中，ED i EC ==，∴ 9EC ==, ∴ 34916BC BF FE EC =++=++=.∴ 1()2ABCD S AD BC DE =+梯形1(416)2=+⨯52.0≈. 答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0面积单位.评注:有关四边形的许多问题都可以通过添加适当地辅助线将其转化三角形的问题，这正体现了数学中的转化思想.。
解直角三角形的实际应用
解直角三角形的实际应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1题型（五） 解直角三角形的实际应用1.（2017湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH 为5003米，桥的长度为1255米． ①求点H 到桥左端点P 的距离；②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度A B ．【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米．②设BC ⊥HQ 于C ．在Rt △BCQ 中，∵BC =AH =5003，∠BQC =30°， ∴CQ =tan 30BC︒=1500米，∵PQ =1255米，∴CP =245米，∵HP =250米，∴AB =HC =250﹣245=5米． 答：这架无人机的长度AB 为5米．.考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．2.（2017内蒙古通辽第22题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA 的位置时俯角030=⊥EOA ，在OB 的位置时俯角060=∠FOB .若EF OC ⊥，点A 比点B 高cm 7. 求（1）单摆的长度（7.13≈）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（1.3≈π）.【答案】（1）单摆的长度约为（2）从点A摆动到点B经过的路径长为则在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=12 x，在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=3 x，由PQ=OQ﹣OP 3﹣12x=7，解得：x3（cm），.答：单摆的长度约为；（2）由（1）知，∠AOP=60°、∠BOQ=30°，且OA=OB3∴∠AOB=90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为907+73π⨯（）≈，答：从点A摆动到点B经过的路径长为．考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、轨迹 .3.（2017湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=米，求像体AD的高度（最后结果精确到米，参考数据：°≈，°≈，°≈）【答案】．考点：解直角三角形的应用．4.（2017海南第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度B C．（参考数据：sin50°≈，cos50°≈，tan50°≈）【答案】水坝原来的高度为12米．.考点：解直角三角形的应用，坡度.5.（2017新疆乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口A的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，,B C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援的艇的航行速度.(sin370.6,cos370.8,3 1.732≈≈≈，结果取整数）【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．【解析】试题分析：辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求AD，在Rt△BCE中，根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AC，再根据路程÷时间=速度求解即可．试题解析：辅助线如图所示：答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题6.（2017浙江省绍兴市）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教学楼的高BD．（结果精确到，参考数据：tan20°≈，tan18°≈）【答案】（1）38°；（2）．【解析】试题分析：（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；（2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．试题解析：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；（2）由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE tan20°≈，在Rt△CDE中，DE=CD tan18°≈，∴教学楼的高BD=BE+DE=+≈，则教学楼的高约为．考点：1．解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2．应用题；3．等腰三角形与直角三角形．7.（2016·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+=3×，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．8.（2016·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=，cos43°=，tan43°=）解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．9.（2016·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到）（参考数据：sin9°≈，cos9°≈，sin18°≈，cos18°≈，可使用科学计算器）解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OBsin9°≈2×10×≈，即所作圆的半径约为；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2ABsin9°≈2××≈，即铅笔芯折断部分的长度是．10.（2016·辽宁丹东·10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°在Rt△ADB中，tan64°=，则BD=≈AB，在Rt△ACB中，tan48°=，则CB=≈AB，∴CD=BC﹣BD即6=AB﹣AB解得：AB=≈（米），∴建筑物的高度约为米．11.（2016·四川宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF ﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．12（2016·湖北黄石·8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（，CF结果精确到米）解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800?sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200?sin45°=100≈，∴CF=CE+EF=+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．13.（2016·湖北荆门·6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设AD =x 米，小明的行走速度是a 米/秒， ∵∠A =45°，CD ⊥AB ， ∴AD =CD =x 米， ∴AC =x ．在Rt △BCD 中， ∵∠B =30°， ∴BC ===2x ，∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C 处，∴=，解得a =1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．14.（2016·四川内江）(9分)如图，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。