高中数学《2.1.2 类比推理》评估训练 新人教a版选修12

第2课时 类比推理
双基达标
限时20分钟
1．下面使用类比推理恰当的是
( )．
A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”
B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”
C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“
a ＋
b
c ＝a c ＋b
c
(c ≠0)” D ．“(ab )n
＝a n b n
”类推出“(a ＋b )n
＝a n
＋b n
” 解析 由实数运算的知识易得C 项正确． 答案 C
2．下面几种推理是类比推理的是
( )．
A ．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n 边形的内角和是180°×(n －2)
B ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
C ．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员
D ．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能被2整除 答案 B
3．三角形的面积为S ＝1
2(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，
利用类比推理可以得出四面体的体积为
( )．
A ．V ＝13abc
B ．V ＝13
Sh
C ．V ＝1
3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)
D ．V ＝1
3
(ab ＋bc ＋ac )h ，(h 为四面体的高)
解析 △ABC 的内心为O ，连结OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A ­BCD 的内切球球心为O ，
连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝1
3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .
答案 C
4．平面内正三角形有很多性质，如三条边相等，类似地写出空间中正四面体的两个性质．
性质①____________________________________________________； 性质②_______________________________________________________. 答案 六条棱长相等 四个面都全等 5．若数列{a n }(n ∈N *
)是等差数列，则有数列b n ＝
a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n
(n ∈N *
)也是等差数列．类
比上述性质，相应地有，若数列{c n }(n ∈N *
)是等比数列，且c n >0，则数列d n ＝________(n ∈N *
)也是等比数列．
解析 由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性．等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比．由此猜想d n ＝n
c 1c 2c 3…c n . 答案
n
c 1c 2c 3…c n
6．如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2
α＋cos 2
β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解 在长方形ABCD 中，cos 2
α＋cos 2
β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c ＝c
2
c ＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则cos 2
α＋cos 2
β＋cos 2
γ＝1.
证明如下：cos 2
α＋cos 2
β＋cos 2
γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫g l 2＝
m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2
l 2＝1.
综合提高
限时25分钟
7．下列推理正确的是
( )．
A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有：log a (x ＋y )＝log a x ＋log a y
B ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有：sin(x ＋y )＝sin x ＋sin y
C ．把(ab )n
与(a ＋b )n
类比，则有：(x ＋y )n
＝x n
＋y n
D ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有：(xy )z ＝x (yz )
解析 A 错误，因为log a x ＋log a y ＝log a xy (x >0，y >0)；B 错误，因为sin(x ＋y )＝sin x cos
y ＋cos x sin y ；对于C ，则有(x ＋y )n ＝C 0n x n ＋C 1n x
n －1·y ＋…＋C r n ·x n －r ·y r ＋…＋C n n y n ；D 正确，为加乘法的结合律，故选D. 答案 D
8．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1·b 2·b 3·b 4·b 5·b 6·b 7·b 8·b 9＝29
.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为
( )．
A ．a 1a 2a 3…a 9＝29
B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝29
C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9
D ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9 答案 D
9．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010
＝
a 1＋a 2＋…＋a 30
30
，则在等比数列{b n }中，会有
类似的结论________．
解析 由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10
b 11b 12…b 20＝
30
b 1b 2…b 30.
答案 10
b 11b 12…b 20＝30
b 1b 2…b 30
10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8—S 4，S 12—S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16
T 12
成等比数列．
解析 等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16
T 12
成等比数列． 答案
T 8T 4 T 12T 8
11．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有
T 20T 10，T 30T 20，T 40
T 30
也成等比数列，且公比为4100
；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }
的前n 项和．
(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确？并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．
解 (1)数列 S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 该结论是正确的．(证明略) (2)对于k ∈N *
，都有
数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2
d .
12．(创新拓展)如图(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2
＝BD ·BC ；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A ­BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则可以得到什么命题？命题是否是真命题并加以证明．
解 命题是：三棱锥A ­BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有S 2
△ABC ＝S △BCM ·S △BCD 是一个真命题． 证明如下：
在图(2)中，连结DM ，并延长交BC 于E ，连结AE ，则有DE ⊥BC . 因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AE . 又AM ⊥DE ，所以AE 2
＝EM ·ED .
于是S 2
△ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EM ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .。