地震第1章 地震数据处理基础

∞ ） 上满足下列条件:
(1) x (t ) dt 存在 (2) 满足狄利克莱(Dirichlet)条件: 以x(t)只有有限个极值点和有限个间断点且在间断点 t 0 处，函数
x( t )=[x( t +0)+( t 0 -0)]，则函数x(t) 傅里叶变换及反变换存在。这 里，函数x(t)的傅里叶变换为：
0 0
X ( w)
~


x(t )e iwt dt

（1-1）
（1-2）
其相应的反变换为
~ 1 x(t ) X ( w)e iwt dw 2 π
式中 —— 傅里叶变换变量； i —— 虚数单位； ~ X ( w) —— 函数x(t)的傅里叶变换。
如果变量t表示时间，x(t)表示地震记录道，由于实际地震记录道通常 是连续的，满足傅里叶变换存在条件，则利用上述(1一1)式可以得到其傅 ~ 里叶变换分X ( w)，其变量 表示圆频率，它与频率 f 之间的关 2 f π 为 X ( w) ，称为地震道x(t)的频谱。 由于傅里叶变换是可逆的，如果已知地震道的频谱 X ( w) ，则利用傅 里叶反变换(1-2)式可以得到原来的地震道函数x(t)。 通常由傅里叶变换(1-l)式得到的频谱为一个复函数，称为复数谱。 它可以写成指数形式
我们知道，在野外地震数据采集中，每一炮在每个检波点所记录的 地震道记录表示在该检波点所观测到的地震波场。在数字地震记录中， 每个地震道是一个按一定时间采样间隔排列的时间序列，如图1-1所示。 t，， , nt排列的振 2 , 图中地震道采样间隔为△t，按采样时刻 t= 幅采样值 x(t ) {x1 , x2 , xn为一个时间序列。 ,}
的傅里叶变换为
~ ‘
‘ ) x( t )e iwt dt x(t ’ e iwt dt
’ i（ w）t

X ( w)




x(t )e
dt X ( w)
‘
~
(1 17)
这表明在时间域函数是翻转的，在频率域其频谱也是翻转的。 其翻转频谱与原来频谱的振幅谱相同，相位谱符号相反。
~
其中 a1 ，a 2 是常数，如果 x1 (t ) 和 x 2 (t ) 的傅里叶变换分别是 X 1 ( w)和 X 2 ( w) 则x(t)的傅里叶变换为
X ( w)
~

~

x(t )e

iwt
[a1 x1 (t ) a 2 x 2 (t )]e iwt dt dt

a1 x1 (t )e iwt dt a 2
~ ~



x 2 (t )e iwt dt
(1 16)
a1 X 1 ( w) a 2 X 2 ( w)
2、翻转 函数x(-t)与x(t)的图形是关于x轴互为翻转的，如果x(t)的傅里叶变换为
X ( w) 则x(-t)
~

X ( w) x(t )e i ( w) t dt
X ( w ) X ( w)
~ ~
(1-23)
由(1一3)式及翻转频谱可知
X ( w) X ( w) e i ( w)
和
X ( w) X ( w) e i ( w)
~ ~
~
~
(1-24)
(1-25)
上面讨论的是当函数x(t)为t的连续函数时的傅里叶变换及其 反变换的情况。现在，我们进一步讨论x(t)为离散函数时的傅里叶 变换及反变换。
假设时间采样间隔为△t ，变量t=n △t ,则数x(t) 的离散形
式为
x(t) =x(n△t) (n=0,±1，±2,·，±N） · · （1-7）
~
另外，频率采样间隔为△f频率 f=m△f, =2πm△f ，则 X ( w) 的离 散形式为
由（1-23)式可以得到
R xx ( w) R xx ( w) e i xx ( w) X ( w) e i ( w) X ( w) e i ( w)
X (w)
~ 2
~
~
~
~
(1-26)
上式表明一个函数的自相关函数的振幅谱是该函数振幅谱的平方，称为 功率谱，而自相关函数的相位谱则为零。
~


y (t )e iwt dt [ h(t ) x( )d ]e iw dt







x( )[ h(t )e iw dt]d

~ ~
由上述时移中（1-19）式，得到
Y ( w)
~ ~
x( )[ H ( w)e iw d H ( w) x( )e iw d
~
rxx ( )
的傅里叶变换为


x(t ) x(t )dt

(1-22)
R xx ( )
~


rxx ( )e

iw


~
x(t )[ x(t )e iw (t ) d ]e i ( w)t dt



d [ x(t ) x(t )dt]e iw d
变，仅其相位谱发生 (w ) 的相位变化。
5、褶积
如有两个函数
x(t) 和 h(t) 的傅里叶变换分别为 X ( w) 和 H ( w) ，

~
~
这两个函数在时间域的褶积
y (t ) h(t ) x(t )
的傅里叶变换为

h(t ) x( )d
(1 20 )
Y ( w)
~
~
i x ( w )
Y ( w) Y ( w) e
~
~
i y ( w )
由（1-28）式可以得到
R xy ( w) R xy ( w) e
~ ~
~
~
i xy ( w )
X ( w) e
~
i ( w )
Y ( w) e
~
i y ( w )
X ( w) Y ( w) e

H ( w) X ( w) 上式表明两个时间函数在时n域褶积的频谱等于两个函数的频谱在频率域的乘 积。这样就可以将函数在时间域复杂的褶积运算通过傅里叶变换变成为其频谱在 频率域的乘积运算。这种转变在地震数据处理过程中是非常方便和有用的。
~
(1-21)
6、相关 如有一函数x(t)的傅里叶变换为 X ( w) ，其自相关函数

iw
d


y (t )[ x(t )e iw (t ) d ]e i ( w)t dt



X ( w) y (t )e

i ( w ) t
dt X ( w) Y ( w)（1-3）式及翻转频谱可知
X ( w) X ( w) e
i[ x ( w ) y ( w )]
(1-29)
上式表明两个函数的互相关函数的振幅谱是这两个函数振幅谱的乘 积，而互相关函数相位谱则为两个函数的相位谱之差。
3. Z变换 由一维傅里叶变换可以得到Z变换。对于一个离散时间序列
x(n△t)
即 或简写成
(n=0,1,2,·，N-1) · ·
（1-13）
和
xi (2 mf ) π (2 mf ) tan π x r (2 mf ) π
1
（1-14）
作为地震记录x(t) 的傅里叶变换得到的振幅谱A( ) 和相位谱 ( ) 的一个实例，图1-2中给出了一个地震子波及其傅里叶变换后 得到的振幅谱和相位谱。 图1-3显示了由图1-2地震子波的振幅谱和相位谱所确定的各个 频率成分，图中的频率采样间隔△f为0.5Hz。图1-3中地震子波各 频率成分的振幅和初始相位与图1-2中地震子波的振幅潜和相位谱 是一致的。 由图1-3中的各个频率成分沿频率相加，即对地震子波的复数 谱进行傅里叶反变换，就可以得到原来的地震子波，示于图1-3的 最左端。
简谐成分 x( )在t=0时的初始相位。 复数谱也可以表示为
X (w) X r (w) iX i (w)
~ 式中 X r (w)和 X i (w)是X ( w)的实部和虚部。
~
（1-4）
于是，得到
A( w)
和
x r2 ( w) xi2 ( w)
1
（1-5） （1-6）
xi ( w) ( w) tan x r ( w)
~
n N
X (2π mf )e
2 imf π
(1-10)
X ( 2 mf ) A(2 mf )e i ( 2π mf ) π π
或
(1-11)
X (2 mf ) X r (2 mf ) iX i (2 mf ) π π π
~
(1-12)
于是，得到
A(2 mf ) π x r2 (2 mf ) xi2 (2 mf ) π π
图1-2 地震子波及其振幅谱和相位谱
一组具有不同频率、振幅和相位延迟的正弦运动，可以重叠以合成 时间波形，如星号所标出的道。 这表明傅里叶变换为线性变换。
2.傅里叶变换的几个基本性质 在傅里叶变换的实际应用中，经常会用到下列一些傅里叶变换 的基本性质。 1、线性 假设 x(t)= a1 x（t）+ a 2 x 2（t） 1 （1-15）
如有两个函数x(t)和y(t)，其傅里叶变换分别为 X ( w)和 Y ( w)，两函数 的互相关函数
~
~
rxy ( )
的傅里叶变换为



y(t ) x(t )dt
iw

(1-27)
R xy ( w)
~

r
~
xy
( )e
d [ y (t ) x(t )dt]e



x(t )e
dt

x(t )e
i ( w ) t
dt X ( w)
~
~
这表明x(t)的共扼复数 x(t ) 的频谱是x(t)的频谱 X ( w) 的复共扼翻转 谱。
4、时移 函数 x(t ) 是将x(t)沿t轴延迟了 得到的。如果x(t)的傅 ~ 里叶变换为 X ( w) ，则 x(t ) 的傅里叶变换为
上述的每一个地震道都可以用一系列具有不同频率和不同振幅、相 位的简谐曲线(正弦曲线或余弦曲线)叠加而成。这些具有不同频率和不 同振幅、相位的简谐曲线可以看做是地震道的组成成分。应用一维傅里 叶正变换可以得到每个地震道的各个简谐成分。相反，应用傅里叶反变 换可以将各个简谐成分合成为原来的地震道。
1、一维傅里叶变换及频谱 如果函数x(t) 在无穷区间(-∞,

X ( w)
~ ‘


x(t )e
iw

iwt
dt
‘ iwt

‘
x(t )e
’
iw（‘ ） ‘ t
dt
e
x(t )e
’
dt e iw X ( w）
iw
~
(1 19)
这表明x(t)在时间延迟

后，其频谱要乘以 e
因子，即其振幅谱不
X ( w) X ( 2 mf ) π
~
~
（m=0，±1，±2，·） (1-8) · ·
1 在 f · t 条件下，离散傅里叶变换为 2N 1
X ( w) t
其相应的反变换为
~
n N
N ~
x(nt )e
N
2 ifnt π
(1-9)
x(t ) f
其离散复数谱为
X ( w) X ( w) e i ( w) A( w)e i ( w)
~ ~
~
~
（1-3）
式中 A( ) 复数的模，称为振幅谱; ( ) 复数的幅角，称为相位谱。
函数x(t)的振幅谱A()或 X ( w)表示,x(t) 的频率为 的
~
简谐成分 x( ) 振幅值，其相位谱 ( ) ，则表示频率为 的
Chapter1
地震数据处理基础
§1.1 一维傅里叶变换及其应用
傅里叶变换是地震数据处理的主要数学基础。它不仅是地震道、地 震记录分析和数字滤波的基础，同时在地震数据处理的各个方面都有着 广泛的应用。例如，在反褶积处理、叠加处理和偏移处理及地震波场的 分析中也都有其重要的应用。
一、一维傅里叶变换及频谱分析
3、共轭 设 x ' (t ) 是 x(t ) 的共扼复数，即 x ' (t )= x(t )，如果 x(t ) 的傅里叶变换 ~ 为 X ( w) ，则 x ' (t ) 的傅里叶变换为
X ( w)
~ ‘


x(t )e iwt dt
iwt


x(t )e iwt dt