解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性3学时

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微分动力系统课程教学大纲

《微分动力系统》课程教学大纲
学时数：48 学分数：3
一、课程的性质、任务和作用
微分动力系统是非线性系统大范围分析这一综合性数学分支的一个重要组成部分。

它以确定的随时间演变的系统的大范围动力学性态为其研究内容，又在物理、力学、化学、生物和经济等许多学科分支中得到广泛的应用。

本课程为数学与应用数学专业本科生、研究生的专业选修课。

二、课程基本内容及学时分配
1．理论讲授
2．教学环节的安排及学时分配
3. 教材及参考书
ＧｅｒａｌｄＴｅｓｃｈｌ著. 常微分方程与动力系统. 机械工业出版社
三、大纲说明
1．本课程各章重点、难点
第一章重点：解的存在性唯一性以及解的延拓问题
第二章重点：线性系统的概念及解的存在唯一性第三章重点：平面自治系统的一些基本概念
第四章重点：平面自治系统的一些基本概念
第五章重点：动力系统的基本概念和性质
2．本课程与其它课程的联系
先修课程：常微分方程、数学分析、线性代数。

教学大纲_微分方程

《微分方程》教学大纲课程编号：121362B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课√专业选修课□学科基础课总学时：32讲课学时：24实验（上机）学时：8学分：2适用对象：金融工程专业先修课程：微积分、线性代数一、教学目标《微分方程》是为金融工程专业本科生而开设的专业选修课。

微分方程有着悠久的发展历史和极其丰富的内容，作为基本数学工具，微分方程在数学及其他学科领域，诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程等学科都有广泛的应用，甚至在经济管理相关学科中，微分方程的理论和方法也有其重要的作用。

现代科学技术的发展，特别是计算机技术的发展，为微分方程的应用开辟了更广阔的前景，因此，学习和(掌握)微分方程的基本理论和方法，对于学生运用数学方法解决经济学相关问题具有极大帮助。

课程教学以常微分方程为主，学生在学完本课程后，在思想、知识和能力等方面应达到以下目标：目标1：了解常微分方程基本理论及方法目标2：系统理解各类常微分方程求解方法目标3：通过本课程的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法。

目标4：培养学生分析和解决问题的能力，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些线性、非线性问题，初步具备运用微分方程方法解决系列问题的能力，为后续课程打下基础。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系教学内容讲授上的要求：本课程系统介绍求解各类微分方程的方法、常微分方程的基本理论与方法等；采用“少而精”的原则，通过循序渐进的方法，使学生对常微分方程的基本理论与方法具有较为系统的概略认识；贯彻理论与实际相结合的原则，培养学生分析问题和解决问题的能力。

对拟实现的教学目标所采取的教学方法、教学手段：本课程以教师讲授为主，采用传统与现代教学方法、手段相结合，辅以课堂讨论及课后学生自主学习等。

重视师生的互动，做到课上课下有交流，注意培养学生的自主性学习能力和创造性思维。

对实践教学环节的要求：要求理论方法密切联系实际，掌握运用微分方程分析和解决实际问题的能力。

解对初值的连续性和可微性定理

§3.3 解对初值的连续性和可微性定理在初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后再去讨论方程),(y x f dxdy =经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量,还依赖于初值00(,)x y .例如：y y x f =),(时,方程y y ='的解是x ce y =,将初始条件00)(y x y =带入,可得00x x e y y -=.很显然它是自变量和初始条件00(,)x y 的函数.因此将对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 的解记为),,(00y x x y ϕ=,它满足0000(,,)y x x y ϕ=.当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ϕ=,则在此关系式中,(,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式00(,,)y x x y ϕ=证明在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点,显然1100(,,)y x x y ϕ=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积分曲线,即此解也可写为11(,,)y x x y ϕ=并且,有0011(,,)y x x y ϕ=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式00(,,)y x x y ϕ=对该积分曲线上的任意点均成立.2、解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数(,)f x y 于某域内连续，且关于满足Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为），则对方程（3.1）的任意两个解()x ϕ及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式0||00|()()||()()|L x x x x x x e ϕψϕψ--≤- （3.17）其中为所考虑区域内的某一值.证明设()x ϕ,()x ψ于区间a x b ≤≤上均有定义,令2()[()()],V x x x a x b ϕψ=-≤≤则()2[()()][(,)(,)]V x x x f x f x ϕψϕψ'=--于是 ()|()|2|()()||(,)(,)|2()V x V x x x f x f x LV x ϕψϕψ''≤=--≤22()2()0Lx Lx V x e LV x e --'-≤从而 2(())0Lx d V x e dx-≤ 所以,对0[,]x a b ∀∈,有02()00()(),L x x V x V x e x x b -≤≤≤对于区间0a x x ≤≤,令x t -≤,并记00x t -≤,则方程(3.1)变为(,)dy f t y dx=-- 而且已知它有解()y t ϕ=-和()y t ψ=-.类似可得02()00()(),L x x V x V x e a x x -≤≤≤因此, 02||00()(),,L x x V x V x e a x b a x b -≤≤≤≤≤两边开平方即得(3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理假设),(y x f 在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件，如果00(,)x y G ∈，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 有解00(,,)y x x y ϕ=，它于区间b x a ≤≤上有定义(0a x b ≤≤),则对任意0>ε，(,,)0a b δδε∃=>，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,方程(3.1)满足条件00()y x y =的解00(,,)y x x y ϕ=在区间b x a ≤≤上也有定义，并且有0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕε-<≤≤.证明记积分曲线段00:(,,)(),S y x x y x a x b ϕϕ=≡≤≤是平面上一个有界闭集.第一步:找区域,使S D ⊂,而且(,)f x y 在上关于满足Lipschitz 条件.由已知条件,对(,)x y S ∀∈,存在以它为中心的开圆,C C G ⊂,使(,)f x y 在其内关于满足Lipschitz 条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆(1,2,,)i C i N =(不同的,其半径和Lipschitz 常数的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段,令1Ni i G C ==,则S G G ⊂⊂,对0ε∀>,记1(,),min(,2),max(,)N d G S L L L ρηερ=∂==,则以上的点为中心,以为半径的圆的全体及其边界构成包含的有界闭域D G G ⊂⊂,且(,)f x y 在上关于满足Lipschitz 条件,Lipschitz 常数为.第二步:证明(,,)0(a b δδεδη∃=><，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,解00()(,,)y x x x y ψϕ==在区间a x b ≤≤上也有定义.由于是一个有界闭域,且(,)f x y 在其内关于满足Lipschitz 条件,由解的延拓定理可知,解00()(,,)y x x x y ψϕ==必能延拓到区域的边界上.设它在的边界上的点为(,())c c ψ和(,())d d ψ,c d <,这时必有,c a d b ≤≥.否则设,c a d b ><,由引理有0||00|()()||()()|,L x x x x x x e c x d ϕψϕψ--≤-≤≤利用()x ϕ的连续性,对()112L b a e δη--=,必有20δ>存在,使当02||x x δ-≤时有01|()()|x x ϕϕδ-<,取12min(,)δδδ=,则当2220000()()x x y y δ-+-≤时就有0002||22002||200002||2200002101|()()||()()|2(|()()||()()|) 2(|()()||()()|) 2(|L x x L x x L x x x x x x e x x x x e x x x x e y ϕψϕψϕϕϕψϕϕϕψδ----≤-≤-+-≤-+-<+-22()022()21|) 4 ()L b a L b a y e e c x d δη--≤=≤≤ (3.18) 于是对一切[,],|()()|x c d x x ϕψη∈-<成立,特别地有|()()|c c ϕψη-<,|()()|d d ϕψη-<即点(,())c c ψ和(,())d d ψ均落在域的内部,这与假设矛盾,故解()y x ψ=在区间[,]a b 上有定义.第三步证明|()()|,x x a x b ϕψε-<≤≤.在不等式（3.18）中将区间[,]c d 换成[,]a b ，可知当2220000()()x x y y δ-+-≤时，就有0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ϕϕηε-<≤≤≤.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若函数),(y x f 在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件,则方程(3.1) 的解00(,,)y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续的.证明对00(,)x y G ∀∈,方程(3.1)过00(,)x y 的饱和解00(,,)y x x y ϕ=定义于0000(,)(,)x y x x y αβ≤≤上,令00000000{(,,)|(,)(,),(,)}V x x y x y x x y x y G αβ=≤≤∈下证00(,,)y x x y ϕ=在上连续. 对00(,,)x x y V ∀∈,[,]a b ∃,使解00(,,)y x x y ϕ=在[,]a b 上有定义,其中0,[,]x x a b ∈. 对10,0εδ∀>∃>,使得当22200001()()x x y y δ-+-≤时,0000(,,)(,,),2x x y x x y a x b εϕϕ-<≤≤ 又00(,,)y x x y ϕ=在[,]x a b ∈上对连续,故20δ∃>,使得当2||x x δ-≤时有0000(,,)(,,),,[,]2x x y x x y x x a b εϕϕ-<∈ 取12min(,)δδδ=,则只要22220000()()()x x x x y y δ-+-+-≤就有000000000000(,,)(,,)|(,,)(,,)||(,,)(,,)|22x x y x x y x x y x x y x x y x x y ϕϕϕϕϕϕεεε-≤-+-<+=从而得知00(,,)y x x y ϕ=在上连续.4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数的微分方程(,,)dy f x y dxλ:(,),G x y G λαλβ∈<< (3.19) 如果对(,,)x y G λλ∀∈，都存在以(,,)x y λ为中心的球C G λ⊂，使得对任何12(,,),(,,)x y x y C λλ∈，成立不等式1212|(,,)(,,)|||f x y f x y L y y λλ-≤-其中是与无关的正数，称函数(,,)f x y λ在内关于一致地满足局部的李普希兹条件.由解的唯一性，对每一0(,)λαβ∈，方程（3.19）通过点00(,)x y G ∈的解是唯一确定的，记这个解为000(,,,)y x x y ϕλ=.设(,,)f x y λ在内连续,且在内关于一致地满足局部的李普希兹条件,000000(,,),(,,,)x y G y x x y λλϕλ∈=是方程(3.19)通过00(,)x y 的解,在区间a x b ≤≤上有定义,其中0a x b ≤≤,则对0,(,,)0a b εδδε∀>∃=>,使得当222200000()()()x x y y λλδ-+-+-≤时,方程(3.19)通过点00(,)x y 的解00(,,,)y x x y ϕλ=在区间a x b ≤≤上也有定义,并且 00000(,,,)(,,,),[,]x x y x x y x a b ϕλϕλε-<∈5、解对初值和参数的连续性定理设函数(,,)f x y λ在区域内连续，且在关于一致地满足局部李普希兹条件,则方程(3.19) 的解00(,,,)y x x y ϕλ=作为00,,,x x y λ的函数在它的存在范围内是连续的.6、解对初值的可微性定理如果函数),(y x f 以及y y x f ∂∂),(都在区域内连续，则对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==)(),(00x y y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=作为00,,x x y 的函数，在它有定义的范围内有连续可微的.证明由yy x f ∂∂),(在区域内连续，可知),(y x f 在内关于满足局部Lipschitz 条件，根据解对初值的连续性定理，),,(00y x x y ϕ=在它的存在范围内关于00,,x x y 是连续的.下面证明函数00(,,)y x x y ϕ=在它的存在范围内的任一点偏导数00,,x x y ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂存在且连续. (,),f x xϕϕ∂=∂显然存在且连续.x ϕ∂∂先证存在且连续. 00000(,)(,)x y x x y +∆由初值和所确定的解分别为 00(,,),y x x y ϕϕ=≡000(,,),y x x x y ϕψ=+∆≡ 即 00(,),xx y f x dx ϕϕ≡+⎰000(,),x x x y f x dx ψψ+∆≡+⎰ 于是 000(,)(,)x xx x x f x dx f x dx ψϕψϕ+∆-≡-⎰⎰000(,)x x x f x dx ψ+∆=-⎰0(,())()x x f x dx y ϕθψϕψϕ∂+-+-∂⎰ 01,,,f yθϕψ∂<<∂其中注意到及的连续性有 (,())f x y ϕθψϕ∂+-=∂1(,)f x r yϕ∂+∂ 010100,00.x r x r ∆→→∆==这里当时,且时,类似有 00000201(,)(,)x x x f x dx f x y r x ψ+∆-=-+∆⎰120,0r r x ∆≠其中与具有相同性质因此对有 0002100(,)()[(,)][]x x f x f x y r r dx x y x ψϕϕψϕ-∂-≡-+++∆∂∆⎰ 即 0z x ψϕ-=∆是初值问题100020(,)[]()(,)dz f x r z dxy z x f x y r z ϕ∂⎧=+⎪∂⎨⎪=-+≡⎩ 的解，00,x ∆=显然当时上述初值问题仍然有解.根据解对初值和参数的连续性定理0000,,,,z x x z x x ψϕ-=∆∆知是的连续函数从而存在0000lim x x x ψϕϕ∆→-∂≡∆∂x ϕ∂∂而是初值问题 000(,)()(,)dz f x z dx y z x f x y ϕ∂⎧=⎪∂⎨⎪=-⎩ 的解,容易得到0000(,)(,)exp()x x f x f x y dx x yϕϕ∂∂=-∂∂⎰ 00,,x x y 显然它是的连续函数.y ϕ∂∂同样可证存在且连续. 00000(,)(,)x y x y y +∆设由初值和所确定的解分别为00(,,),y x x y ϕϕ=≡000(,,),y x x y y ϕψ=+∆≡ 类似上述方法可证0z y ψϕ-=∆是初值问题30(,)[]()1dz f x r z dx y z x ϕ∂⎧=+⎪∂⎨⎪=⎩ 的解.因而030(,)exp([])x x f x r dx y yψϕϕ-∂=+∆∂⎰ 其中具有性质:030300,00.y r y r ∆→→∆==当时,且时,所以有00000(,)lim exp()x x y f x dx y y yϕψϕϕ∆→∂-∂==∂∆∂⎰ 00,,x x y 显然它是的连续函数. 故00(,(,,))f x x x y xϕϕ∂=∂ 0000(,)(,)exp()x x f x f x y dx x yϕϕ∂∂=-∂∂⎰ 00(,)exp()x x f x dx y yϕϕ∂∂=∂∂⎰例1已知方程为)sin(xy dx dy =试求00000==∂∂y x y ϕ，00000==∂∂y x x ϕ. 解：方程右端函数(,)sin()f x y xy =在平面内连续，且)cos('xy x f y =也在平面内连续，且其满足0)0(=y 的解为0y =. 于是20210cos 000),,(x ds s e e y y x x y x =⎰=∂∂，00sin ),,(00cos 000=⎰-=∂∂x ds s e x y x x y .。

常微分方程第二章

第二章基本定理我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville ）证明了里卡蒂（Riccati ）方程)0)(()()()(2≠++=x p x r y x q y x p dydx 除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程22y x dxdy +=就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题. 本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.2.1 解的存在唯一性定理对于一般的常微分方程),(y x f dxdy = （2.1）如果给出了初始条件00)(y x y =，我们就得到了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy （2.2）这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.2.1.1 存在唯一性定理的叙述定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数),(y x f 在闭矩形区域b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-00002,:上满足如下条件：（1）在2R 上连续；（2）在2R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数N ，使对于2R 上的任何一对点),(y x 和),(x 有不等式：y y N y x f y x f -≤-),(),(则初值问题（2.2）在区间],[0000h x h x +-上存在唯一解00)(),(y x x y ==ϕϕ 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==. 在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明：1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数N 难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如果函数),(y x f 在闭矩形区域2R 关于y 的偏导数),(y x f y '存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为),(y x f y '有界，故设N y x f y ≤'),(，对2),(),,(R x y x ∈∀，由拉格朗日中值定理得：y y N y y x f y x f y x f y -≤-'=-),(),(),(ξ我们验证),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上连续.由闭区域上连续函数的性质知：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式：),(y x f y '在2R 上连续⇒),(y x f y '在2R 上存在且有界⇒李普希兹条件2、在定理2.1的结论中，解)(x y ϕ=的存在区间为],[0000h x h x +-，其中 ),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.为什么解的存在区间不是],[00a x a x +-呢？这是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域2R ，方程的解)(x y ϕ=不能超出2R 的范围，又因为),(max ),(y x f M Ry x ∈=，所以M y x f M ≤≤-),( 即 M dxdy M ≤≤- 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)(y x y M dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==00)(y x y M dx dy 得：001)()(y x x M x y +--=，002)()(y x x M x y +-= 因此)()()(21x y x y x y ≤=≤ϕ，即)(x y ϕ=夹在)(1x y 与)(2x y 之间.又，)(1x y 与)(2x y 在2R 上的存在区间为],[0000h x h x +-，故)(x y ϕ=的存在区间也是],[0000h x h x +-.2.1.2 存在性的证明首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解)(x y ϕ=，等价于求解积分方程⎰+=xx d y f y y 0))(,(0ξξξ （2.3）事实上，如果)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解，即有))(,()(x x f x ϕϕ='且00)(y x =ϕ从0x 到x 积分得：⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 即)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解.反过来，如果)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解，即有⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 则00)(y x =ϕ且))(,()(x x f x ϕϕ='即)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解.经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解.下面用皮卡（Picard ）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤：1、构造近似函数列{})(x n ϕ任取一个满足初值条件00)(y x y =的函数)(0x y ϕ=作为首项（初始项），并要求在2R 上的存在区间为：],[0000h x h x +-，简单起见，取00)(y x =ϕ，将它代入方程（2.3）的右端，所得到的函数用)(1x ϕ表示，并称为一次近似，即⎰+=xx d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ 再将)(1x ϕ代入方程（2.3）的右端就得到二次近似⎰+=xx d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ 序行此法，可以得到n 次近似⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有2))(,(R x x n ∈ϕ，即当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ 下面用数学归纳法证明b y x n ≤-0)(ϕ.显然，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y y y x ≤=-=-0)(0000ϕ假设，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y x n ≤--01)(ϕ，那么，对于)(x n ϕ有⎰-=-xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 从而有b Mb M Mh x x M d f y x xx n n =≤≤-≤≤-⎰-00100))(,()(ξξϕξϕ 由数学归纳法知，当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ这样，我们就可以得到一个近似函数列{})(x n ϕ.2、证明近似函数列{})(x n ϕ在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.由于无法得到{})(x n ϕ的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列{})(x n ϕ的收敛性比较困难，为此我们构造函数项级数+-++-+-)]()([)]()([)(1010x x x x x n n ϕϕϕϕϕ （2.4）它的部分和是)()]()([)]()([)()(10101x x x x x x x S n n n n ϕϕϕϕϕϕ=-++-+=-+因此，证明{})(x n ϕ的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级数（2.4）在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.首先研究级数（2.4）的通项)(x n μ⎰=-xx d f x x 0))(,()()(001ξξϕξϕϕ 即⎰=-xx d y f y x 0),()(001ξξϕ 所以00010),()(x x M d y f y x x x -≤≤-⎰ξξϕ 因为⎰+=x x d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ，⎰+=x x d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ，所以 ⎰-≤-x x d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ由李普希兹条件，得 !2)()()()(200011200x x MN d x MN d N x x x x x x -=-≤-≤-⎰⎰ξξξξϕξϕϕϕ 下面用数学归纳法证明!)()(011n x x MN x x nn n n -≤---ϕϕ 显然，2,1=n 的时候，不等式成立（上面已经给出），假设!)()(011n x x MN x x n n n n -≤---ϕϕ成立，那么对于1+n 的情形有 )!1(!)()())(,())(,()()(100111000+-=-≤-≤-≤-+--+⎰⎰⎰n x x MN d n x MN d N d f f x x n n x x n n xx n n x x n n n n ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕ由数学归纳法知，对一切自然数n ，均有!)()(011n x x MNx x nn n n -≤---ϕϕ 又00h x x ≤-，所以级数（2.4）的通项满足： !)(011n h MN v x n n n n -+=≤μ （ ,2,1=n ）利用比式判别法，可知以n v 为通项的级数收敛，从而以)(x n μ为通项的级数(2.4)绝对收敛且一致收敛.又，每一个)(x n μ是连续的，所以级数（2.4）的和函数也是连续的，记为)(x ϕ，其存在区间也是],[0000h x h x +-.因此函数列{})(x n ϕ就收敛于)(x ϕ.3、证明)(lim )(x x n n ϕϕ∞→=是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.在⎰-+=x x n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ两端取极限，得到 ⎰-∞→∞→+=xx n n n n d f y x 0))(,(lim )(lim 10ξξϕξϕ 即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 所以)(x ϕ是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.2.1.3 唯一性的证明下面我们证明解的唯一性.在证明唯一性之前，先介绍一个重要的不等式，即贝尔曼（Bellman ）不等式.贝尔曼引理设)(x y 为区间],[b a 上的非负连续函数，b x a ≤≤0.若存在,0≥δ 0≥k ，使得)(x y 满足不等式],[,)()(0b a x d y k x y xx ∈+≤⎰ττδ （2.5）则有],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ证明仅证明0x x ≥的情形，0x x ≤的情形类似.令)(x y 的原函数为⎰=xx d y x R 0)()(ττ，代入（2.5）得 δ≤-')()(x kR x R两边同时乘以积分因子)(0x x k e --，得)()(00)]()([x x k x x k e x kR x R e ----≤-'δ从0x 到x 积分得)()(00)(x x k x x k e e x kR -----≤δδ即)(0)(x x k e x kR -≤+δδ 由（2.5）知，)()(x kR x y +≤δ，所以],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ下面证明积分问题（2.3）的解的唯一性.假设积分问题(2.3)有两个解)(1x y 和)(2x y ，我们只需要证明：)(1x y )(2x y ≡，],[0000h x h x x +-∈事实上，因为⎰+=x x d y f y x y 0))(,()(101ξξξ，⎰+=xx d y f y x y 0))(,()(202ξξξ 所以有⎰-≤-xx d y f y f x y x y 0))(,())(,()()(2121ξξξξξ由李普希兹条件知⎰-≤-xx d y y N x y x y 0)()()()(2121ξξξ 令N k x y x y x y ==-=,0,)()()(21δ，由贝尔曼引理可知，0)(=x y ，即)(1x y )(2x y ≡. 这样，我们就完成了解的存在性与唯一性的证明.2.1.4 三点说明为了更好的理解和掌握解的存在唯一性定理，我们对该定理再做三点说明.1、在存在性的证明过程中，我们利用逐次逼近法构造了近似函数列{})(x n ϕ，其中首项为：00)(y x =ϕ，递推关系式为：⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ.该方法实际上给出了我们一种求初值问题（2.2）的近似解的方法，当用n 次近似解逼近精确解时，需要给出它的误差估计.事实上，有∑∑∞+=∞=+-≤-≤-101!)()()()(n k k k nk k k n k x x N N M x x x x ϕϕϕϕ 0)!1()(!)!1()(!10001010Nh n k k k n n k k k e n Nh N M k h N n Nh N M k h N N M +=+<≤+∞=+∞+=∑∑ 2、如果方程（2.1）是线性方程，即)()(x q y x p dxdy +-= 其中)(x p 和)(x q 在区间],[b a 上连续，这时，初值问题（2.2）在带型区域+∞<<-∞≤≤y b x a R ,:2满足定理2.1的条件.事实上，)()(),(x q y x p y x f +-=在2R 上连续，而且)(),(x p y x f y -='在2R 上也连续，所以),(y x f 关于变量y 满足李普希兹条件.这时，初值问题（2.2）的解存在且唯一，存在区间为],[b a .3、定理2.1中的李普希兹条件是保证解唯一的充分条件，那么这个条件是不是必要条件呢？回答是否定的，即李普希兹条件是解唯一的充分非必要条件.下面我们给出一个例子来说明李普希兹条件是解唯一的非必要条件，也就是说，即使李普希兹条件不成立，初值问题（2.2）的解也可能是唯一的.例1 试证方程0,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 经过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.证明由00,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 可得：0=y 或x Ce e y ±=. 任给xOy 平面上的一个点),(00y x ，只会对应0=y 或xCe e y ±=中的一个解，也就是说，过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.但是，我们有0ln ln )0,(),(-==-y y y y x f y x f 因为+∞=→y y ln lim 0，所以找不到0>N ，使得 0)0,(),(-≤-y N x f y x f从而方程右端函数在0=y 的任何邻域上不满足李普希兹条件，但是初值问题（2.2）的解却是唯一的，这说明李普希兹条件是非必要条件.习题 2.11.试判断方程y x dx dy tan =在区域（1）π≤≤≤≤-y x R 0,11:1；（2）44,11:2ππ≤≤-≤≤-y x R上是否满足定理2.1的条件？2.讨论方程3123y dx dy =在怎样的区域中满足定理2.1的条件.并求通过)0,0(的一切解.3.试用逐次逼近法求方程2y x dxdy -=满足初值条件0)0(=y 的近似解： )(),(),(),(3210x x x x ϕϕϕϕ并在闭矩形区域11,11:2≤≤-≤≤-y x R 给出三次近似的误差估计.4.利用逐次逼近法求方程22x y dxdy -=适合初值条件1)0(=y 的近似解： )(),(),(210x x x ϕϕϕ并在闭矩形区域111,11:2≤-≤-≤≤-y x R 给出二次近似的误差估计.5.试证明定理2.1中的n 次近似解)(x n ϕ与精确解)(x ϕ有如下的误差估计式：10)!1()()(+-+≤-n n n x x n MN x x ϕϕ 6.在条形区域+∞<≤≤y b x a ,内，假设方程（2.1）的所有解都唯一，对其中任意两个解)(),(21x y x y ，如果有)()(0201x y x y <，则必有b x x x y x y ≤≤<021),()(.7.讨论方程323y dx dy = 解的唯一性.2.2 延展定理和比较定理由解的存在唯一性定理，我们知道，初值问题（2.2）的解在满足一定条件的情况下存在且唯一，但是解的存在区间不是],[00a x a x +-，而是],[0000h x h x +- 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.如果M 比较大的话，则解的存在区间就非常小，这对我们研究解的性质产生了很大的局限性，只能在很小的范围内有解，当x 超出这个范围时，解的情况就不清楚了.为了解决这个问题，我们有下面的延展定理.2.2.1 延展定理定理2.2（延展定理）如果方程（2.1）的右端函数在区域R R D ⨯⊂上连续，且关于变量y 满足局部的李普希兹条件，即对于D 内的任一闭矩形区域都满足李普希兹条件，则对任何一点D y x ∈),(00，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=可以向左右无限延展，直到))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界.在给出定理的证明之前，先对“))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界”进行说明.当区域D 有界时，积分曲线向左右延展可以任意接近；当区域D 无界时，积分曲线向左、右延展，或者任意接近区域D 的边界（边界存在的话），或者无限远离坐标原点.证明首先证明区域D 有界的情形.设区域D 的边界为D D L -=（D 为D 的闭包）.对于任意给定的正数ε，记L 的ε邻域为εU ，记L 的2ε邻域为2εU ，记L 的4ε邻域为4εU .则集合22εεU D D -=为闭集，且D D ⊂2ε，所以2εD 有界. 只要证明积分曲线可以到达2εD 的边界2εL ，由ε的任意性知，积分曲线就可以任意接近区域D 的边界L .事实上，以2εD 中的任意一点为中心，以4ε为半径的闭圆区域均包含在区域D 的内部.且在闭区域44εεU D D -=之内.从而，以2εD 中的任意一点为中心，以4221ε=a 为边长的正方形也在闭区域4εD 之内.记 ),(max 4),(1y x f M D y x ε∈= 则过2εD 的任意一点),(**y x 的积分曲线，必至少可在区间],[**h x h x +-上存在，其中)82,82min(),min(1111M M a a h εε==. 于是，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=每向左或向右延展一次，其存在区间就伸长一个确定的正数h ，由于2εD 有界，)(x y ϕ=经过有限次延展后一定可以达到2εD的边界2εL .于是也就可以任意接近区域D 的边界L .其次考虑区域D 为无界的情形.这时，我们可以用闭圆区域,2,1},),{(222=≤+=n n y x y x S n与区域D 取交集，令n n S D D =，则 ∞==1n n D D .由于n D 为有界的区域，根据前面的证明，我们可知，过n D 内任一点的积分曲线能够任意接近n D 的边界.因此，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=可以无限接近区域D 的边界.延展定理的证明，关键是第一步证明，也就是区域D 有界的时候，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=向左向右延展的时候，一定要做等速延展，即延展步幅h 是不变的. 例1 试讨论方程2y dxdy=通过点)1,1(的解和通过点)1,3(-的解的存在区间. 解该题目中研究问题的区域D 为整个坐标平面xOy .方程右端函数满足延展定理的条件.由2y dxdy=可以解得方程的通解为 xC y -=1代入1)1(=y 得：2=C .故通过点)1,1(的解为xy -=21 它可以向左无限延展，而当-→2x 时，+∞→y ，所以通过点)1,1(的解xy -=21的存在区间为)2,(-∞.代入1)3(-=y 得：2=C .故通过点)1,3(-的解为xy -=21它可以向右无限延展，而当+→2x 时，-∞→y ，所以通过点)1,3(-的解xy -=21的存在区间为),2(+∞.这个例子说明，尽管),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，解上的点))(,(x x ϕ也能无限接近区域D 的边界，但是延展的方向却不一定是无限向右和向左，可能是向上或向下，从而导致解的存在区间不是),(+∞-∞. 例2 试证明：对任意的0x 及满足条件100<<y 的0y ，方程221)1(y x y y dx dy ++-=的满足条件00)(y x y =的解)(x y y =在),(+∞-∞上存在.证明：令221)1(),(y x y y y x f ++-=，则222222)1(122),(y x x y y x y y x f y ++--++=' 显然),(),,(y x f y x f y '在xOy 平面上连续，满足解的存在唯一性条件及延展定理的条件，而1,0==y y 是),(y x f dxdy=的解，因此，满足00)(y x y =，100<<y 的解存在，而且可以无限延展到xOy 平面的边界，且不能穿过1,0==y y ，故只能向左右无限延展，所以，)(x y y =在),(+∞-∞上存在.该例题说明，),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，当方程的解不能穿过1,0==y y 时，它就不能向上向下无限延展了，只能向左、向右延展，所以解的存在区间就是),(+∞-∞.在这里，1,0==y y 控制了解的延展方向，使它按照我们的要求进行延展，因此就有了下面的比较定理. 2.2.2 比较定理我们在使用延展定理的时候，通常会和比较定理配合使用，从而起到控制延展方向的作用.下面介绍一下比较定理.我们在考察方程（2.1）),(y x f dxdy=时，通常将右端函数),(y x f 进行放缩的处理，比如),(),(),(21y x F y x f y x F <<这时，我们可以同时考察),(1y x F dx dy =和),(2y x F dxdy = 我们有如下的比较定理：定理2.3 （第一比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F <<设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ<<Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ>>Φϕ证明仅证当0x x >时，)()(2x x Φ<ϕ，其它的情形相类似. 由比较定理的条件（1），初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解在0x 的某一邻域内存在且唯一，分别记为)(x y ϕ=和)(2x y Φ=，它们满足0020)()(y x x =Φ=ϕ令)()()(2x x x h ϕ-Φ=，则0)()()(0020=-Φ=x x x h ϕ且0))(,())(,()()()(0002020020>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ所以函数)(x h 在0x 的某一右邻域内是严格单调增加的.如果在0x x >时，0)(>x h 不是总成立，则至少存在一点01x x >，使得0)(1=x h ，且当10x x x <<时，0)(>x h ，因此在点1x 的左导数0)0(1≤-'x h ，这与0))(,())(,()()()(1112121121>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ矛盾.因此当0x x >时，0)(>x h 总成立，即)()(2x x Φ<ϕ.比较定理的应用，关键是),(1y x F 和),(2y x F 的选取，因为初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解)(x y ϕ=的存在区间的延展，受到)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的控制，即)(x y ϕ=夹在)(1x y Φ=和)(2x y Φ=之间.因此，我们必须能确定出)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的存在区间，这就是我们选取),(1y x F 和),(2y x F 的标准，即⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解)(1x y Φ=和)(2x y Φ=必须能够求得. 下面我们给出第二比较定理.定理2.4 （第二比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F ≤≤设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ≤≤Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ≥≥Φϕ习题 2.21．设方程为),()(22y x f a y dxdy-= 假设),(y x f 及),(y x f y '在xOy 平面上连续，试证明：对于任意的0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.2.指出方程2)1(2xy e y dxdy -=的每一个解的最大存在区间，以及当x 趋于这个区间的右端点时解的极限.3.讨论方程xx dx dy 1cos 12-= 解的存在区间.4.设),(y x f 在整个平面上连续有界，对y 有连续偏导数，试证明方程),(y x f dxdy=的任一解)(x y ϕ=在区间+∞<<∞-x 上有定义. 5.讨论方程212-=y dx dy 的通过点)0,0(的解，以及通过点)3,2(ln -的解的存在区间.6.在方程)(y f dxdy=中，如果)(y f 在),(+∞-∞上连续可微，且 )0(0)(≠<y y yf ，求证方程满足00)(y x y =的解)(x y 在区间),[0+∞x 上存在，且有0)(lim =+∞→x y x .2.3 解对初值的连续依赖性定理和解对初值的可微性定理通过前两节的存在唯一性定理和延展定理，加上比较定理，我们知道了初值问题（2.2）在什么样的条件下，解是存在的，是唯一的，而且存在区间比较小的时候，通过延展定理和比较定理可以将解的存在区间变大，从而在实际问题中可以达到我们的要求.但是，在实际问题中，还有一个问题需要解决，那就是误差问题.我们的初始条件00)(y x y =如果产生了微小的偏差，这个偏差对我们的初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=会有什么影响呢？下面我们来解决这个问题. 我们在研究初值问题（2.2）的时候，习惯上把0x 和0y 当作常数来看待，这样初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=被看作x 的函数.实际上，如果0x ，0y 变化，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=也会发生变化.例如方程xydx dy = 经过点),(00y x 的解为x x y y 0=，可以看作00,,y x x 的函数.对于一般的情形，初值问题（2.2）的解也可以看作00,,y x x 的函数，记为),,(00y x x y ϕ=，代入00)(y x y = 得：0000),,(y y x x =ϕ.如果我们的初始条件00)(y x y =发生了微小的误差，变为了**0)(y x y =，初值问题（2.2）的解也变化不大的话，称解连续依赖于初值.下面我们给出连续依赖性的严格定义.定义2.1 设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==**0)(),(y x y y x f dxdy的解),,(*0*0y x x y ϕ=在区间],[b a 上存在，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ (δ的选取与,ε**0,y x 有关)，使得对于满足δδ<-<-*00*00,y y x x （2.2）的解),,(00y x x y ϕ=都在],[b a 上存在，且有],,[,),,(),,(*0*000b a x y x x y x x ∈<-εϕϕ则称初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在点),(*0*0y x 连续依赖于初值,0x 0y .定理2.4 （解对初值的连续依赖性定理）设),(y x f 在区域D 内连续，且关于变量y 满足李普希兹条件.如果D y x ∈),(*0*0，初值问题（2.2）有解),,(*0*0y x x y ϕ=,且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，则对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x证明对于任意给定的正数ε，取εδ<<10，使得闭区域}),,(,),{(1*0*0δϕ≤-≤≤=y x x y b x a y x U整个含在区域D 内，这是可以做到的，因为区域D 是开区域，且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，所以，只要1δ的选取足够小，以曲线),,(*0*0y x x y ϕ=为中线，宽度为12δ的带形开区域U 就整个包含在区域D 内，选取δ满足)(110a b N e M--+<<δδ其中N 为李普希兹常数，),(max ),(y x f M Uy x ∈=，同时还要求δ的选取，必须保证闭正方形δδ≤-≤-*0*02,:y y x x R含于带形开区域U 内.由存在唯一性定理知，对于任一200),(R y x ∈，初值问题（2.2）在0x 的某邻域上存在唯一解),,(00y x x y ϕ=，而且),,(00y x x y ϕ=在0x 的该邻域上可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(000000⎰+=而),,(*0*0y x x y ϕ=可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(*0*0*0*0*0*⎰+=对上述两式做差得：ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx x x )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*⎰⎰-+-=-ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx xx )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*0⎰⎰-+-≤-ττϕτττϕττϕτd y x f d y x f y x f y y x x xx |)),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000*0*0*00**0⎰⎰+-+-≤δττϕττϕτδM d y x f y x f xx +-+≤⎰|)),,(,()),,(,(|00*0*0*0ττϕτϕδd y x y x N M xx |),,(),,(|)1(00*0*0*0-++≤⎰由贝尔曼引理，得εδδδϕϕ<<+≤+≤---1)(*0*000)1()1(),,(),,(*a b N x x N e M e M y x x y x x因此，只要在),,(00y x x y ϕ=有定义的区间上，就有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .下面我们证明：),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.事实上，因为εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x即解),,(00y x x y ϕ=夹在εϕ+=),,(*0*0y x x y 和εϕ-=),,(*0*0y x x y 之间，而且，初值问题（2.2）满足延展定理的条件，所以，解),,(00y x x y ϕ=可以向左向右无限延展，直到无限接近区域D 的边界，于是，它在延展的时候，必须由直线a x =和直线b x =穿出区域U ，从而),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.解对初值的连续依赖性说明，初值),(00y x 无法准确得到，但是我们能得到测量数据),(*0*0y x ，只要误差比较小，即δδ<-<-*00*00,y y x x .我们就可以用),(*0*0y x 代替),(00y x 去计算，得到初值问题的解),,(*0*0y x x y ϕ=，这个解可以非常接近真实解),,(00y x x y ϕ=，即εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .同理，如果方程的右端函数),(y x f 不能准确得到，只能得到),(y x f 的近似函数),(~y x f ，即)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ我们就可以用),(~y x f 代替),(y x f 去计算，得到初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=，那么),,(00~y x x y ϕ=能否代替),,(00y x x y ϕ=呢？我们有下面的解的连续依赖性定理.定理2.5 （解对被积函数的连续依赖性定理）在区域D 上，),(y x f 和),(~y x f 都连续，而且关于变量y 满足李普希兹条件，若初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 在b x a ≤≤上有解),,(00~y x x y ϕ=，则对任意给定的正数ε，存在0>δ，只要),(y x f 满足)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ则初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(00~00y x x y x x .证明由解的存在唯一性定理知，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=存在，设其存在区间为],[b a ，且有⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00~~000~ξξϕξϕ而初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也存在，且可以表示为⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00000ξξϕξϕ则⎰⎰-=-xx xx d y x f d y x f y x x y x x 0))],,(,([))],,(,([),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξξϕξϕϕ从而有⎰-≤-xx d y x f y x f y x x y x x 0|)),,(,()),,(,(|),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξϕξϕϕ⎰-+-=xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,()),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ ⎰-+-≤xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ⎰+-≤xx d y x y x N 0)|),,(),,((|0000~ξδξϕξϕ ⎰-+-≤xx d y x y x N a b 0|),,(),,(|)(0000~ξξϕξϕδ由贝尔曼引理，得)(0000~)(),,(),,(a b N e a b y x x y x x --≤-δϕϕ取)(a b N e ab ---<εδ，则εϕϕ<-),,(),,(0000~y x x y x x .且解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在. 例1 考虑方程,ln ,0≠=⎩⎨⎧-=y y y y dx dy 解的情况.解显然1,1,0-===y y y 是方程的解，当1,1,0-≠≠≠y y y 时，有y y dxdyln -= 这时解得上半平面的通解为x Ce e y -=，下半平面的通解为xCe e y --=.可以看到，对于Ox 轴上的初值)0,(0x ，在任意有限闭区间上解对初值连续依赖，但是，在),0[+∞上，无论),(00y x ，00≠y 如何接近)0,(0x ，只要x 充分大，过),(00y x 的积分曲线就不能与过)0,(0x 的积分曲线（即0=y ）任意接近了.这个例子说明，解在有限闭区间上对初值连续依赖，不能推广到无限区间，即，在无限区间上解对初值的连续依赖定理就不成立了.我们有时不仅要求解对初值连续依赖，而且还要知道解),,(00y x x y ϕ=对初值00,y x 的偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ是否存在.下面给出解对初值的可微性定理. 定理2.6 （解对初值的可微性定理）如果函数),(y x f 以及),(y x f y '在区域D 内连续，则初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=在它有定义的区间上有连续偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ.并且有 ⎰-=∂∂'x x y d y x f e y x f x y x x 000)),,(,(00000),(),,(ττϕτϕ 及⎰=∂∂'xx y d y x f e y y x x 000)),,(,(000),,(ττϕτϕ 习题 2.31.若函数),(y x f ，),(y x R 在区域D 内连续且满足李普希兹条件，设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=*0*0)(),(),(y x y y x R y x f dx dy 的解为),,(*0*0~y x x y ϕ=，存在区间为],[b a .对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满足)),((,),(D y x y x R ∈<δ的),(y x R ，以及满足δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*0~00y x x y x x 2.已知方程)sin(xy dxdy = 试求0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x x y x x y 和0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x y y x x y 3.设),,(00y x x ϕ是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解，试证明0),(),,(),,(00000000=∂∂+∂∂y x f y y x x x y x x ϕϕ 2.4 欧拉折线法在第一章，我们介绍了方程的初等解法，即用微积分的知识求得常微分方程的函数解.但是绝大多数的方程不能用初等方法求解，在第二章的前三节中，我们给出了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在什么样的条件下，解存在且唯一；在什么条件下，解的存在区间可以延展；在什么条件下连续依赖于初值；在什么条件下，解对初值是可微的.有了这些准备，我们就可以研究柯西初值问题的近似解.下面我们介绍求近似解的方法，欧拉折线法.假定函数),(y x f 在区域：+∞<<-∞≤≤y b x a ,上连续，且关于变量y 满足李普希兹条件，求柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在区间],[0b x 上的近似解，我们采用的方法是：（1）等分区间],[0b x ，分点为n k kh x x k ,,1,0,0 =+=；小区间长度nx b h 0-=，（2）第一个小区间上用切线段逼近曲线：))(,(0000x x y x f y y -+=，（3）求出1x 所对应的纵坐标))(,(010001x x y x f y y -+=，（4）依次重复（2），（3）得到每个小区间上的线段，从而得到欧拉折线. 这样，我们就用欧拉折线作为柯西初值问题在区间],[0b x 近似解.欧拉折线法的前提是：柯西初值问题的解存在且唯一，而且解的存在区间是],[0b x .例1试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)1(22y y x dx dy 的解在4.1=x 时的近似值.解令22),(y x y x f +=，2)1,1(=f ，这时12-=x y ，代入1.11=x 得：2.11=y ，65.2)2.1,1.1(=f ，这时2.1)1.1(65.2+-=x y ，代入2.12=x 得：465.12=y ，586225.3)465.1,2.1(=f ，这时465.1)2.1(586225.3+-=x y ，代入3.13=x 得：8236225.13=y ，0155990225.5)8236225.1,3.1(=f ，这时8236225.1)3.1(0155990225.5+-=x y ，代入4.14=x 得：53251824022.24=y 习题 2.41. 试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(22y y x dx dy 的解在5.1=x 时的近似值.2．试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=2)1(22y y x dx dy 在区间]4.1,1[上的近似解.。

《常微分方程》课程大纲

《常微分方程》课程大纲一、课程简介课程名称：常微分方程学时/学分：3/54先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。

面向对象：本科二年级或以上学生教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。

二、教学内容和要求常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。

(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数)第一章基本概念（2，0）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方向场），定解问题等基本概念。

本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。

（二）教学内容：1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。

2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。

3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。

4．常微分方程所讨论的基本问题。

第二章初等积分法（4，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。

本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。

并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。

（二）教学内容：１. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法３. 一阶线性微分方程（常数变易法）４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程）5．应用举例第三章常微分方程基本定理（10，2）（一）本章教学目的与要求：要求学生正确掌握存在和唯一性定理及解的延伸的含义，熟记初值问题的解存在唯一性条件，正确理解解对初值和参数的连续依赖性和可微性的几何含意。

《常微分方程》课程教学大纲

《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。

通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。

1．学好基础知识。

理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。

2．掌握基本技能。

能够根据法则、公式正确地进行运算。

能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。

3．培养思维能力。

能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。

能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。

能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。

4．提高解决实际问题的能力。

对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。

能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。

三、教学学时分配《常微分方程》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。

四、教学内容和教学要求第一章绪论（4学时）（一）教学要求1．了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型；2. 掌握由简单的物理、几何等问题建立简单微分方程；3. 理解微分方程的基本概念；4. 掌握如何由通解求特解。

（二）教学重点与难点教学重点：微分方程的基本概念；教学难点：建立微分方程模型的思想、方法和例子。

（三）教学内容第一节常微分方程模型第二节基本概念和常微分方程的发展历史1．常微分方程基本概念本章习题要点：微分方程基本概念题；建立微分方程的题。

第二章一阶微分方程的初等解法（14学时）（一）教学要求1. 掌握变量可分离方程、一阶线性方程以及恰当微分方程的求解方法； 2．掌握齐次方程、Bernoulli 方程的求解； 3. 掌握用变量代换的方法求解微分方程；4. 掌握从积分因子满足的充分必要条件导出某些特殊形式积分因子存在的条件及计算公式,并用于解相应的微分方程；5. 掌握已解出y 或x 的微分方程)',(),',(y y f x y x f y ==的计算方法；6. 了解微分方程0)',(,0)',(==y y F y x F 的求解；7. 掌握一阶微分方程的应用方法,能建立一些简单的模型进行简单分析。

解对初值的连续性和可微性

( , a, b) 使得当
( x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 ( 0 )2 2
时，方程满足条件 y( x0 ) y0 的解 y ( x, x0 , y0 , ) 在区间
a x b 也有定义，并且
( x, x0 , y0 , ) ( x, x0 , y0 , 0 ) , a x b
2 L x x0
, a x b, a x0 b
0
两边取平方根，得
( x) ( x) ( x0 ) ( x0 ) e L x x
§3.3 Continuity & differentiability
解对初值的连续依赖性定理的证明（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域因为，积分曲线段 S : y ( x, x0 , y0 ) ( x), a x b 是 x y 平面上一个有界闭集，又按假定对S上每一点(x,y) 必存在一个以它为中心的开圆 C : C G, 使在其内函数 f(x , y) 关于 y 满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆径，表示 Li f(x,y) 于
§3.3 解对初值的连续性和可微性
/Continuous and differentiable dependence of the solutions/
§3.3 Continuity & differentiability
内容提要
解对初值的连续性

解对初值的可微性
本节要求： 1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理；
的解的函数在
§3.3 Continuity & differentiability

33解对初值的连续可微性理

那么，对任意给定的 0 ，必能找到正数 ( , a,b)，使得当
(x0 x0 )2 ( y0 y0 )2 ( 0 )2 2
时，方程 (3.1) 通过点 (x0 , y0 ) 的解 y (x, x0 , y0 , ) 在区间
a x b 上也有定义，并且 (x, x0, y0,) (x, x0, y0,) , a x b
作为 x, x0 , y0 的函数在它的存在范围内是连续的。
内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作
4、解对初值和参数的连续依赖定理
（1）含有参数的微分方程
dy f (x, y, )
dx （2）条件
(3.1)
函数f (x, y, ) 在 G 内连续且在内一致地关于
y满足局部Lipschitz条件 .
内江师范学院数学与信息科学学院吴开腾制作
即

z x0
是初值问题
dz

dx

[ f
(x,)
y

r1 ]z
z(x0 ) f (x0 , y0 ) r2 z0
的解。

根据解对初值和参数的连续性定理，从而存在 lim
。
而

是初值问题
的一切 (x0 , y0 ) ，相应初值问题（3.1）的解 y (x, x0 , y0 )
都在 [a,b] 上存在，且有
(x, x0, y0 ) (x, x0*, y0*) , x [a,b]
则称初值问题（3.1）的解 y (x, x0 , y0 ) 在点 (x0*, y0*) 连续
3.3 解对初值的连续和可微性定理
主要内容

《常微分方程》课程教学大纲

《常微分方程》课程教学大纲（Ordinary Differential Equation）一、课程说明课程编码：07100090、课程总学时（理论总学时/实践总学时）60（45/15）、周学时（理论学时/实践学时）4（3/1）、学分4、开课学期四。

1．课程性质：学科公共必修课2．适用专业与学时分配：适用于数学与应用数学专业。

教学内容与时间安排表3．课程教学目的与要求：本课程是数学类专业一门学科专业必修课，授课对象为数学专业二年级本科生。

通过常微分方程的教学，要求学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和基本方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解。

开设此课程的目的是在学生学习与掌握常微分方程的基本理论与方法的基础上，培养学生逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，为学生学习数学的其它课程和物理学等有关课程打下基础，从而有助于学生胜任中学数学教学，为实施素质教育提供建模思想方面的训练和准备。

4．本门课程与其它课程关系：先修课程为数学分析，高等代数。

学生应掌握数学分析，高等代数的基本理论和方法；并为数学物理方法奠定基础。

5．推荐教材及参考书：[1]东北师范大学微分方程教研室编，常微分方程。

北京，高等教育出版社，2005[2]周义仓等编，《常微分方程及其应用》，科学出版社，2003年。

[3]张晓梅等编，《常微分方程》，复旦大学出版社，2010年6．课程教学方法与手段：传统教学与现代多媒体技术相结合。

7．课程考试方法与要求：平时成绩与期末成绩相结合。

总成绩=平时成绩*20%+期末考试（闭卷）试卷成绩*80%。

平时成绩满分100（出勤60%+平时作业20%+平时测验20%）8．实践教学内容安排：学生分组讨论解决相关的课程内容及习题。

二、教学内容纲要第一章初等积分法（20学时）1.教学目的与要求熟练掌握变量分离方程、齐次方程及可化为齐次方程的方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程、几种特殊类型的一阶隐方程和可降阶的高阶方程的求解方法。

解对初值的连续依赖性

解对初值的连续依赖性
解对初值的连续依赖性
初值依赖性是指在数学建模系统中，当初值改变时，其随后的行为结果也会改变。

它可以指出，同样的系统可能会有不同的输出。

这个概念是物理和社会系统常用的模型，可以帮助解释复杂的系统结构和演变，而且也被用于一些算法中，如求解线性方程组。

首先，我们来看看初值依赖性能有什么具体的表现。

首先，当系统的初值发生改变时，此系统的行为几乎会发生重大改变，甚至有可能轨迹的方向都发生变化。

此外，在相同的范围内，此系统的收敛速度也会发生变化。

例如，在试验中使用相同的算法，但初始点的位置不同，则收敛的迭代步数以及收敛误差可能会有很大的不同。

其次，初值依赖性在实际工程中的应用。

常见的用例包括反演算法，用于对问题中所包含的参数进行求解，可能会由于起始点的差异而产生不同的求解结果。

此外，决策树和聚类，中的参数优化算法，也可能因为初始点的变化而产生不同的收敛和分割结果。

最后，为了更好地理解和利用初值依赖性，有必要对其原理，方法和模型有充分的了解。

对于实际问题，需要有效地设计可以有效收敛到最优结果的初始点，以及最大程度地利用算法和模型给出的参数和初值，以此获得最接近实际结果的模拟和估计。

可以进一步开发一些针对性的算法来实现更佳的初值依赖性模型，以改善算法的精度和可靠性，并从而发挥更大的作用。

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第四讲解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性（3学时）
教学目的：讨论解对初值的连续依赖性与可微性定理，了解对参数的连续性定理教学要求：理解解对初值的连续依赖性与可微性定理，解对参数的连续性定理及其成立的条
件。

教学重点：解对初值的连续依赖性与可微性定理. 教学难点：解对参数的连续依赖性定理的证明思想
教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

教学过程：
直到现在,我们都是把初值),(00y x 看成固定的值,然后再研究初值问题
2200
()dy x y dx y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩ (4.1)
的解.当(,)f x y 满足解的存在唯一定理和延拓定理时, (4.1)存在唯一解)(x y ϕ=,这个解是自变量x 的函数，从几何上说，通过点(00,y x )的微分曲线有且一条，当初值0x 和0y 变更时，对应解一般来说也要跟着变,所以(4.1)的解也应是0x ,0y 的函数，方程
00
()dy y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的解为0
0x x e y y -=，它虽然是所有变量00,,y x x 的函数，也即(4.1)的解不仅依赖于自变量
x ，而且也依赖于初值(00,y x )，因此，考虑初值变化，解可以看作三个变量00,,y x x 的函
数.记为
),,(00y x x y ϕ=
它满足),,(0000y x x y ϕ=.
现在提出一个应用上很重要问题。

当初值发生变化时，对应解是怎样变化的？应用上需要，当初值00,y x 变化不大时，相应解也变化不大，这就是解对初值的连续性，其确定义为
定义2.5 设初值问题
00
(,)
()dy
f x y dx
y x y **⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的解00(,,)y x x y φ**
=在区间[,]a b 上存在，如果对0>∀ε，00(,,,)0x x y δε**∃>,使得对于满足0000,,x x y y δδ**
-<-<的一切00(,)x y ,初值问题
00
(,)
()dy
f x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （2.2）
的解00(,,)y x x y φ=都在[,]a b 上存在,并且
0000|(,,)(,,)|,
[,]x x y x x y x a b φφε**
-≤∈
则称初值问题（2.2）的解00(,,)y x x y φ=在点00(,)x y **
连续依赖于初值00(,)x y .
定理2.8 (解对初值的连续依赖定理) 设(,)f x y 于在区域D 内连续，且关于变量y 满
足局部Lipchitz 条件. 如果00(,)x y D **∈，初值问题（2.2）有解00(,,)y x x y φ**=，且当a x b ≤≤时，00(,(,,))x x x y D φ**∈，则对0ε∀>，存在0δ>，使对于满足
0000,,x x y y δδ**
-≤-≤
的任意00(,)x y ，初值问题（2.2）有解00(,,)y x x y φ=也在区间[,]a b 上有定义，且有
0000|(,,)(,,)|.x x y x x y φφε**-<
证明（略）对给定0ε>，选取 10δε<<，使得闭区域
U ：a x b ≤≤, 0
01(,,)y x x y φδ**
-≤ 整个含在区域D 内，这是能够做到的，因为区域D 是开的，且当 a x b ≤≤时，
00(,(,,))x x x y D φ**∈，所以，只要1δ选取足够小，以曲线00(,,)y x x y φ**
=为中线，
宽为12δ的带开域U 就整个包含在区域D 内，如图2-17所示.
图 2-17
选取δ满足
()1
01N b a e M
δδ--<<
+
其中N 为李普希兹常数，(,)max (,)x y U
M f x y ∈=，另外，还要保证闭正方形
0000:,,R x x y y δδ**
-≤-≤
含于带形区域U 的内部。

由存在唯一性定理可知，对于任一00(,)x y R ∈，在0x 的某领域上存在唯一解
00(,,)y x x y φ=，且在00(,,)x x y φ尚有定义的区间上，有
00000(,,)(,(,,))x
x x x y y f x y d φτφττ=+⎰ (2.20）
另外，还有
00000(,,)(,(,,))x
x x x y y f x y d φτφττ*
*****
=+⎰
对上述两式作差并估值：
0000(,,)(,,)x x y x x y φφ**
-
000000(,(,,))(,(,,))x
x
x x y y f x y d f x y d τφτττφττ*
*
**
≤-+
-⎰
⎰
000
0000(,(,,))(,(,,))(,(,,))x
x x x y y f x y f x y d f x y d τφττφτττφττ*
****≤-+-+⎰
⎰
0000(1)(,,)(,,)x
x M N
x y x y d δφτφττ***
≤++-⎰
由贝尔曼不等式，则有
0000
(,,)(,,)(1)N x x x x y x x y M e φφδ*
-*
*-≤+
()1(1)N b a M e δδε-≤+≤< (2.21)
因此，只要在00(,,)x x y φ尚有定义的区间上，就有(2.21)式成立.下面我们要证明：
00(,,)x x y φ在区间[,]a b 上有定义，只证00(,,)x x y φ在区间0[,]x b 上有定义，对区间
0[,]a x 可类似证明.
因为解00(,,)y x x y φ=不能越过曲线00(,,)y x x y φε**=+及00(,,)y x x y φε**
=-，但
是，由解的延展定理，解00(,,)y x x y φ=可以延展到无限接近区域D 的边界，于是，它在向右延展时必须由x b =穿出区域U ，从而00(,,)y x x y φ=必须在0[,]x b 上有定义，定理证毕.
例1 考虑与2.2节例1类似的方程
易知0y =为解，1y =±为解，上半平面通解为x
ce y e -=,下半平面通解为x
ce y e -=-. 积分曲线大致如图2-18。

图 2-18
可以看到，对于Ox 轴上的初值，在任意有限的闭区间上解对初值连续依赖，但是，在[0,)+∞上，无论000(,),0x y y ≠，如何接近()0,0x ，当x 充分大时，过00(,)x y 的积分曲线就不能与过()0,0x 的积分曲线任意接近了。

这个例子说明，解在有限闭区间上对初值的连续依赖性不能推出解在无限区间上对初值的连续依赖性，讨论后一问题属于稳定性理论，我们将在第五章作简略的介绍.
定理2.9 (解对初值的可微性定理) 若函数(,)f x y 以及
(,)
f x y y
∂∂在区域D 内连续,则初值问题（2.2）的解00(,,)y x x y φ=作为00,,x x y 的函数,在它有定义的范围内有连续偏导数
00
,,x x y φφφ∂∂∂∂∂∂.并且有
000(,(,,))000
(,,)
x
y x f s s x y ds x x y e
x ϕϕ'⎰∂=∂ 及
000(,(,,))00000
(,,)
(,)x
y x f s s x y ds x x y f x y e
y ϕϕ'⎰∂=-∂ 证明（略）。