江苏省南京市2012-2013学年高一数学下学期期中试题苏教版
江苏省南京三中2012-2013学年高一10月阶段性检测数学试题
南京三中2012-2013学年高一10月阶段性检测数学试题说明:1．本试卷满分160分，考试时间120分钟；2．请将所有答案按照题号填涂或填写在答题卡相应的答题处，否则不得分.一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1、下列四个判断正确的个数是 ▲ .①2N ∈；②0Z ∉；③3Q -∈；④R π∈.2、设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B = 则图中阴影部分所表示的集合为 ▲ .3、设集合2{25,4,12}A x x x =--，若3A -∈，则x 的值为 ▲ .4、已知{}1,3A ⊆，且{}{}1,31,3,5A = ，则集合A = ▲ .5、集合6,3xN x N x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭用列举法表示为 ▲ . 6、下列对应关系中，是A 到B 的映射的有 ▲ . ①{1,2,3}A =，{0,1,4,5,9,10}B =，2:f x x →； ②,A R B R ==，:f x x →的倒数； ③*,A N B N ==，:f 2x x →； ④,A Z B Z ==，:f 2-1x x → 7、函数1()11f x x x=++-的定义域是 ▲ .8、已知函数⎩⎨⎧>-≤+=0,20,1)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ▲ .9、函数)(x f 满足3)2(2+=+x x f , 则()f x = ▲ .10、已知二次函数()f x 的图象顶点为(1,16)A ，且图象在x 轴上截得线段长为8，则函数()f x 的解析式为 ▲ .11、若函数2()(2)(1)2f x p x p x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间是 ▲ .12、设奇函数()f x 的定义域为[]6,6-,当[]0,6x ∈时,()f x 的图象如图，则不等式()0f x >的解集是 ▲ .13、已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时,2(),f x x ax x R =+∈，且(2)6f =，则a = ▲ .14、函数[]y x =称为高斯函数，又称取整函数，对任意实数,[]x x 是不超过x 的最大整数，则函数[]1(0.5 2.5)y x x =+-<<的值域为 ▲ .二、解答题（本大题共90分） 15、（本题满分14分）设全集为R ，集合{|3A x x =≤或}6x ≥，{}|29B x x =-<<. （1）求A B ，R A B （）ð；（2）已知{}|1C x a x a =<<+，若C B ⊆,求实数a 的取值范围.16、（本题满分14分） 已知函数()x f x x x=-．（1）作出函数()f x 的图象；（2）写出函数()f x 的单调区间；（3）判断函数()f x 的奇偶性，并用定义证明．17、（本题满分14分）已知集合 22{560},{280},A x x x B x x x =-+==+-=22{190},C x x ax a =-+-=（1）求 A B ；（2）若=A C ，求实数a 的值；（3）若, A C B C ≠∅=∅，求实数a 的值.18、（本题满分16分）某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个. （1）求函数解析式；（1）求销售价为13元时每天的销售利润；（2）如果销售利润为360元，那么销售价上涨了几元？19、 （本题满分16分）已知函数23()2px f x x +=+（其中p 为常数，[2,2]x ∈-）为偶函数.(1) 求p 的值；(2) 用定义证明函数()f x 在(0,2)上是单调减函数； (3) 如果(1)(2)f m f m -<,求实数m 的取值范围.20、（本题满分16分）设二次函数2()f x ax bx c =++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是,M m ，集合{}|()A x f x x ==．（1）若{1,2}A =，且(0)2f =，求M 和m 的值；（2）若{1}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值．南京三中2012—2013学年度第一学期阶段性测试（2012.10）高一数学答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1、22、{}7,83、34、{}1,3,55、{}0,1,26、①④7、{}1,1x x x ≥-≠且8、10-9、742+-x x 10、2()-215f x x x =++11、 -0]∞(， 12、(3,0)(3,6]- 13、5 14、 }{0,1,2,317、（本题满分14分）（1）{2,3},{2,4},{2,3,4}A B A B ==-=- ………………………4分（2）A C = ∴2，3是方程22190x ax a -+-=的两个根由224219093190a a a a ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 得5a =………………………8分（3）由, A C B C ≠∅=∅，得3,2,4C C C ∈∉-∉∴2233190a a -+-= 解得5-2a a ==或当5a =时，{2,3},C =与2C ∉矛盾；当2a =-时，{3,5},C =-符合题意，所以2a =-………………………14分 18、（本题满分16分） 解：（1）设这种商品的销售价每个上涨x 元，则每天销售量为10010x - ………2分∴销售利润为22(108)(10010)10(820)10(4)360(010,)y x x x x x x x N =+--=-++=--+≤≤∈ …………8分 （2）当销售价为13元时，即3,350x y =∴=答：销售价为13元时每天的销售利润350元．…………………12分（2）当360,4y x ==时答: 销售利润为360元，那么销售价上涨了4元．…………………16分19、（本题满分16分）解：(1) ()f x 是偶函数有223322px px x x -++=++即200px p =∴=.…………4分(2)由(1) 23()2f x x =+. 设1202x x <<<, ………………6分则212112222212123()()33()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x -+-=-=++++. ……………………8分1202,x x <<< 21210,0,x x x x ∴->+>2212(2)(2)0x x ++>.12()()0f x f x ∴->()f x ∴在(0,2)上是单调减函数. ……………………10分(3)由(2)得()f x 在[0,2]上为减函数,又()f x 是偶函数,所以()f x 在[2,0]-上为单调增函数. ……………………………………………12分 不等式(1)(2)f m f m -<即2|1||2|m m ≥->,4>22(1)(2)m m ->. 解得113m -<<. 所以实数m 的取值范围是1(1,)3-.…………………16分说明(3)如果是分情况讨论,知道分类给2分.并做对一部分则再给2分.[)()1,g a +∞证明在区间上为单调递增的，…………………15分m in 631().4a g a ∴==当时，=431………16分。
2012-2013高一数学下期中试卷及答案
振阳公学2012—2013学年第二学期期中考试高一数学试题（考试时间：120分钟 试卷分值：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 在ABC ∆中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于（ ）A.1:2:3B.3:2:1C.D.2 2.不等式x 2-2x +3<0的解集是（ ）A.{x |－1＜x ＜3}B.{x |－3＜x ＜1}C.{x |x ＜－3或x ＞1}D.∅ 3．数列{}n a 的通项公式32-=n a n 则=+31a a （ ）A ．0B ．2C ．5D ．－14．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为（ ）A ．1B ．－21C ．1或－21D ．－1或215．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝24，则7a 为( )．A ．6B ．7C ．8D ．96．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为（ ） A ．０ B ．6 C ．9 D ．157．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．30°8．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定 9．设0<<b a ，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．b a 11>B ．ab a 11>- C ．b a -> D ．b a ->- 10．若称na 1＋a 2＋…＋a n为n 个正数a 1＋a 2＋…＋a n 的“均倒数”已知数列{a n }的各项均为正，且其前n 项的“均倒数”为12n －1则数列{a n }的通项公式为( )．A ．2n －1B ．4n －3C ．4n －1D ．4n －5第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上。
江苏省南京市2012-2013学年高三数学上学期期中试卷 文(解析版)苏教版
2012-2013学年江苏省南京市高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题1．（5分）已知U=R，A={x|﹣1≤x＜0}，则∁U A= （﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：找出全集R中不属于A的部分，即可求出A的补集．解答：解：∵U=R，A={x|﹣1≤x＜0}，则∁U A={x|x＜﹣1或x≥0}=（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）“x2=x+2”是“”的充要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：通过“”⇔x2=x+2≥0，利用充要条件判断即可．解答：解：∵“x2=x+2”可得“x2=x+2≥0”⇒“”；“”⇒x2=x+2．“x2=x+2”是“”的充要条件．故答案为：充要．点评：本题考查必条件、充分条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3．（5分）函数的定义域是[0，1）∪（1，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得1﹣x≠0，且x≥0，由此求得x的范围，即为函数的定义域．解解：∵函数，∴1﹣x≠0，且x≥0，答：解得0≤x＜1，或 1＜x，故答案为：[0，1）∪（1，+∞）．点本题主要考查函数的定义域的求法，属于基础题．评：4．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则ω= 2 ．考由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．点：专计算题．题：分依题意，由图象利用其周期可求得ω．析：解解：由函数y=Asin（ωx+φ）的图象得：=﹣=，答：∴T=π，又T=（ω＞0），∴=π，∴ω=2．故答案为：2．本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于中档题．点评：5．（5分）已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则= 2 ．考等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．点：专计算题．题：分由题意可得，解之可得a1=2d≠0，变形可得答案．析：解答：解：由题意可得：，即d（2d﹣a1）=0，因为公差d不为0，故2d﹣a1=0，解得a1=2d≠0，故==2，故答案为：2点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及等比数列的概念，属基础题．6．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ．考点：三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；压轴题．分析：利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．解答：解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．点评：本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．7．（5分）已知实数x，y满足x+y=1，则x2+y2的最小值是．考点：点到直线的距离公式．专题：数形结合．分析：在平面直角坐标系中作出直线x+y=1，由x2+y2=可知x2+y2的最小值是原点到直线x+y=1的距离的平方．解答：解：如图，由题意可知，求x2+y2的最小值是求原点到直线x+y=1的距离的平方，化x+y=1为一般式，即x+y﹣1=0，则（0，0）到x+y﹣1=0的距离为，所以原点到直线x+y=1的距离的平方为．故答案为．点评：本题考查了点到直线的距离公式，考查了数学转化思想和数形结合思想，解答此题的关键是对x2+y2的几何意义的理解，此题是中档题．8．（5分）设P、A、B、C是球O表面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，PA=1，PB=，PC=3，则球O的体积为．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=，PC=3，我们易求出球O的半径，进而求出球O的体积．解答：解：∵P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长又∵PA=1，PB=，PC=3，∴2R=4∴R=2故球O的体积V==故答案为：点本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件计算出球O评：的半径，是解答本题的关键．9．（5分）已知函数是奇函数，且f（a2﹣2a）＞f（3），则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数的性质可知，f（0）=0，代入可求m，然后结合函数f（x）的单调性可得a2﹣2a与3的大小，从而可求a的范围解答：解：由奇函数的性质可知，f（0）=0即∴m=0，f（x）==1﹣在R上单调递增∵f（a2﹣2a）＞f（3）∴a2﹣2a＞3即a2﹣2a﹣3＞0解不等式可得，a＞3或a＜﹣1 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）点评：本题主要考查了奇函数性质的应用及利用函数的单调性求解不等式的应用．10．（5分）（2010•如皋市模拟）已知= ．考点：两角和与差的正弦函数．分析：观察题中角之间的关系，x+与是互补的关系，x+与是互余关系，这是解题的突破口，用诱导公式求出结论中要用的结果，题目得解．解答：解：∵，∴，∴===，故答案为：点评：在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．11．（5分）正项等比数列{a n}中，若1≤a2≤2，2≤a3≤3，则a5的取值范围是[2，27] ．考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；综合题．分析：由1≤a2≤2，2≤a3≤3，求出公比q的范围，继而求出q2的范围，最后采用不等式的可乘积性求出a5的范围．解答：解：设等比数列的公比为q，则，∵1≤a2≤2，∴，又2≤a3≤3，∴，即1≤q≤3，∴1≤q2≤9，又，∴，即a5∈[2，27]．故答案为[2，27]．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查不等式的运算性质，不等式的可乘积性要注意适用范围，此题为中档题．12．（5分）在△ABC中，AB=2，BC=4，∠B=60°，设O是△ABC的内心，若，则= ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由余弦定理算出AC长，从而得到△ABC为以BC为斜边的直角三角形，得内切圆半径r=+1．设圆O与AB、AC的切点分别为E、F，连接OE、OF，则OEAF是正方形，所以=+，根据AB、AC的长度与AE、AF长度之间的关系可得用、的线性表示式，即可得到所求p、q的比值．解答：解：如图，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos60°=12∴AB2+AC2=16=BC2，得△ABC为以BC为斜边的直角三角形由此可得△ABC的内内切圆半径r=（AB+AC﹣BC）=+1设圆O与AB、AC的切点分别为E、F，连接OE、OF，则四边形OEAF是正方形∵=，==，=+∴∵已知∴p=，q=，可得==故答案为：点评：本题给出三角形，求向量线性表示式，着重考查了余弦定理、直角三角形内切圆公式和平面向量基本定理等知识，属于中档题．13．（5分）已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为．考点：基本不等式．专计算题．题：分析：由已知整理可得，，然后利用基本不等式可求S的最小值及满足的条件：ab=1，然后由1=abc（a+b+c）=c（a++c）=c≥c2+2c，从而可得关于c的不等式，解不等式可求c的范围解答：解：∵a＞0，b＞0，c＞0，且abc（a+b+c）=1，∴∴S=（a+c）（b+c）=ab+（a+b）c+c2==2 当且仅当ab=即ab=1时取等号∴S min=2此时1=abc（a+b+c）=c（a++c）=c≥c2+2c∴c2+2c﹣1≤0∵c＞0∴∴c的最大值为故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解答本题的技巧要注意体会掌握14．（5分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，由下表给出：n 1 2 3 4 5a n 1 5 3 1 2b n 1 6 2 x y定义数列{c n}：，并规定数列{a n}，{b n}的“并和”为S ab=a1+a2+…+a5+c5，若S ab=15，则y的最小值为 3 ．考点：数列递推式．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：由已知中，可以得到：x＞3时，c5=y；x≤3时，c5=x+y﹣3，结合S ab=a1+a2+…+a5+c5=15，可得c5=3，进而得到y的最小值．解答：解：∵由a2=5，c1＜a2，故c2=c1﹣a2+b2=0﹣5+6=1；由a3=3，c2＜a3，故c3=c2﹣a3+b3=1﹣3+2=0；由a4=1，c3＜a4，故c4=c3﹣a4+b4=0﹣1+x=x﹣1；由a5=2，若c4＞a5，即x﹣1＞2，即x＞3时，c5=b5=y若c4≤a5，即x﹣1≤2，即x≤3时，c5=c4﹣a5+b5=x﹣1﹣2+y=x+y﹣3 ∵S ab=a1+a2+…+a5+c5=15+c5=12故c5=3若x＞3，即y=3若x≤3，即x+y﹣3=3，此时y=6﹣x≥3综上y的最小值为3故答案为：3点评：本题考查的知识点是数列的递推公式，不等式的基本性质，其中根据得到x＞3时，c5=y；x≤3时，c5=x+y﹣3，是解答的关键．二、解答题15．（14分）在锐角三角形ABC中，，（1）求tanB的值；（2）若，求实数m的值．考点：两角和与差的正切函数；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用sinA．利用同角三角函数基本关系，求得cosA，求得tanA，利用正切的两角和公式求得tanB．（2）通过向量的数量积，以及正弦定理，同角三角函数的基本关系式，即可求出m 的值．解答：解：（1）因为锐角三角形ABC中，，所以cosA=，tanA=，，即解得：；（2）因为，所以bccosA=maccosB，由正弦定理得：sinBcosA=msinAcosB，即tanB=mtanA，即，解得点评：本题主要考查同角三角函数基本关系，正切的两角和公式，及二倍角的余弦．三角函数基本关系多，复杂，平时应注意多积累．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，（1）设点M是棱BB1的中点，求证：平面AMC1⊥平面AA1C1C；（2）设点E是B1C1的中点，过A1E作平面α交平面ADC1于l，求证：A1E∥l．考点：平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱BB1的中点，能够推导出OM⊥平面AA1C1C，由此能够证明平面AMC1⊥平面AA1C1C．（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱BB1的中点，E是B1C1的中点，故AD∥A1E，所以A1E∥平面ADC1，由此能够证明A1E∥l．解答：解：（1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱BB1的中点，∴AB=B1C1，BM=B1M，∠ABM=∠C1B1M，∴AM=C1M．∴△AMC1是等腰三角形．取AC1的中点O，CC1的中点M，连接MO，OP，MP，则MO⊥AC1，OP⊥CC1，MP⊥CC1，∴CC1⊥平面OPM，∵OM⊂平面OPM，∴CC1⊥OM．∵CC1∩AC1=C1，∴OM⊥平面AA1C1C，∵OM⊂平面AMC1，∴平面AMC1⊥平面AA1C1C．（2）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是棱BB1的中点，E是B1C1的中点，∴AD∥A1E，∵AD⊂平面ADC1，A1E⊄平面ADC1，∴A1E∥平面ADC1，∵过A1E作平面α交平面ADC1于l，∴A1E∥l．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与直线平行的证明．解题时要认真审题，仔细解答，合理运用辅助线，化空间问题为平面问题．17．（14分）某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．（Ⅰ）设使用n年该车的总费用（包括购车费用）为f（n），试写出f（n）的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）．考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用；数列的应用．专题：计算题；应用题．分析：（I）由已知中某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增，根据等差数列前n项和公式，即可得到f（n）的表达式；（II）由（I）中使用n年该车的总费用，我们可以得到n年平均费用表达式，根据基本不等式，我们易计算出平均费用最小时的n值，进而得到结论．解答：解：（Ⅰ）依题意f（n）=14.4+（0.2+0.4+0.6+…+0.2n）+0.9n …（3分）=…（5分）=0.1n2+n+14.4…（7分）（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有…（9分）=++1≥2+1=2×1.2+1=3.4仅当，即n=12时，等号成立．…（13分）故：汽车使用12年报废为宜．…（14分）点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，基本不等式在最值问题中的应用，数列的应用，其中（I）的关键是由等差数列前n项和公式，得到f（n）的表达式，（II）的关键是根据基本不等式，得到函数的最小值点．18．（16分）已知函数f（x）=2（x2﹣2ax）lnx﹣x2+4ax+1，（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程（e是自然对数的底数）；（2）求函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）a=0时，f（x）=2x2lnx﹣x2+1，f′（x）=4xlnx，k=f′（e）=4e，f（e）=e2+1，由此能求出曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程．（2）由f（x）=2（x2﹣2ax）lnx﹣x2+4ax+1，知x＞0，f′（x）=（4x﹣4a）lnx+2x ﹣4a﹣2x+4a=（4x﹣4a）lnx，由f′（x）=0，得x=0，或x=1．由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．解答：解：（1）∵f（x）=2（x2﹣2ax）lnx﹣x2+4ax+1，∴a=0时，f（x）=2x2lnx﹣x2+1，∴x＞0，f′（x）=4xlnx，k=f′（e）=4e，f（e）=e2+1，∴曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程y﹣e2﹣1=4e（x﹣e），整理得：y=4ex﹣3e2+1；（2）∵f（x）=2（x2﹣2ax）lnx﹣x2+4ax+1，∴x＞0，f′（x）=（4x﹣4a）lnx+2x﹣4a﹣2x+4a=（4x﹣4a）lnx，由f′（x）=0，得x=0，或x=1．当a≤0时，由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上减，在（1，+∞）上增；当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得x＞1或0x＜a；由f′（x）＜0，得a＜x＜1，∴f（x）在（a，1）上减，在（0，a），（1，+∞）上增；a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无减区间；a＞1时，由f′（x）＞0，得x＞a，或0＜x＜1；由f′（x）＜0，得1＜x＜a，∴f（x）在（0，1），（a，+∞）上增，在（1，a）上减．点评：本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．19．（16分）已知数列{a n}满足，且a2=6．（1）设，求数列{b n}的通项公式；（2）设，c为非零常数，若数列{u n}是等差数列，记，S n=c1+c2+…+c n，求S n．考数列递推式；数列的求和．点：等差数列与等比数列．专题：分析：（1）根据，可将化成，然后利用叠加法可求出数列{b n}的通项公式；（2）根据等差数列是关于n的一次函数，而c为非零常数，可求出c的值，从而求出{c n}的通项，最后利用错位相消法可求出S n．解答：解：（1）∵，∴（n﹣1）a n+1=（n+1）a n﹣（n+1）当n≥2时，而∴b n+1﹣b n=﹣（n≥2）∵a2=6∴b2===3∵b3﹣b2=﹣1b4﹣b3=﹣…b n﹣b n﹣1=（n≥3）将这些式子相加得b n﹣b2=∴b n=（n≥3）b2=3也满足上式，b1=3不满上式∴（2），令n=1得a1=1∵∴a n=2n2﹣n（n≥2）而a1=1也满足上式∴a n=2n2﹣n∵，数列{u n}是等差数列∴是关于n的一次函数，而c为非零常数∴c=﹣，u n=2n∴=，S n=c1+c2+…+c n =2×+4×+…+2n×S n =2×+4×+…+2n×两式作差得S n =2×+2×+…+2×﹣2×∴点评：本题主要考查数列的通项公式，以及数列的递推关系和数列的求和，同时考查了运算求解的能力，是一道综合题．20．（16分）设f（x）=e x﹣a（x+1）．（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（3）是否存在正整数a ．使得对一切正整数n 都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：（1）由f（x）=e x﹣a（x+1），知f′（x）=e x﹣a，故f（x）min=f（lna）=a﹣a（lna+1）=﹣alna，再由f（x）≥0对一切x∈R恒成立，能a max．（2）由f（x）=e x﹣a（x+1），知g（x）=f（x）+=．由a≤﹣1，直线AB的斜率恒大于常数m，知g′（x）=e x ﹣﹣a≥2﹣a=﹣a+2=m，（a≤﹣1），由此能求出实数m的取值范围．（3）设t（x）=e x﹣x﹣1，则t′（x）=e x﹣1，从而得到e x ≥x+1，取，用累加法得到．由此能够推导出存在正整数a=2．使得1n+3n+…+（2n﹣1）n ＜•（a n）n．解答：解：（1）∵f（x）=e x﹣a（x+1），∴f′（x）=e x﹣a，∵a＞0，f′（x）=e x﹣a=0的解为x=lna．∴f（x）min=f（lna）=a﹣a（lna+1）=﹣alna，∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，∴﹣alna≥0，∴alna≤0，∴a max=1．（2）∵f（x）=e x﹣a（x+1），∴g（x）=f（x）+=．∵a≤﹣1，直线AB的斜率恒大于常数m，∴g′（x）=e x ﹣﹣a≥2﹣a=﹣a+2=m，（a≤﹣1），解得m≤3，∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．（3）设t（x）=e x﹣x﹣1，则t′（x）=e x﹣1，令t′（x）=0得：x=0．在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．∴t（x）最小值为f（0）=0，故e x≥x+1，取，得，累加得．∴1n+3n+…+（2n﹣1）n ＜•（2n）n，故存在正整数a=2．使得1n+3n+…+（2n﹣1）n ＜•（a n）n．点评：本题考查满足条件的实数的最大值的求法，考查满足条件地实数的取值范围的求法，探索满足条件的实数的最小值．综合性强，难度大．解题时要认真审题，合理地运算导数性质进行等价转化．。
高一徐州市六校2012-2013学年高一下学期期中联考数学试题
2012-2013学年江苏省徐州市六校联考高一（下）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，满分70分.1．（5分）已知直线的斜率是﹣3，点P（1，2）在直线上，则直线方程的一般式是3x+y ﹣5=0．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：先由点斜式求得直线的方程，再化为一般式．解答：解：已知直线的斜率是﹣3，点P（1，2）在直线上，由点斜式求得直线的方程为y ﹣2=﹣3（x﹣1），化为一般式为3x+y﹣5=0，故答案为3x+y﹣5=0．点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，直线的一般式方程，属于基础题．2．（5分）若直线过点（1，2），（4，2+），则此直线的倾斜角是．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用倾斜角、斜率的计算公式即可得出．解答：解：设直线的倾斜角为α，则tanα==，又∵α∈[0，π]，∴．故答案为．点评：熟练掌握倾斜角、斜率的计算公式是解题的关键．3．（5分）已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，则△ABC的面积为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据三角形内角和，得到∠C=180°﹣∠A﹣∠B=30°，从而∠A=∠C，所以BC=AB=6，最后用正弦定理关于面积的公式，可得△ABC的面积为BC•ABsinB=，得到正确答案．解答：解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=120°，∴∠C=180°﹣30°﹣120°=30°∴∠A=∠C⇒BC=AB=6由面积正弦定理公式，得S△ABC=BC•ABsinB=×6×6sin120°=即△ABC的面积为．故答案为：点评：本题以求三角形的面积为例，着重考查了正弦定理、三角形面积公式和三角形内角和等知识点，属于基础题．4．（5分）在等差数列{a n}中，若a2=3，a3+a7=26，则a8=23．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由a2=3，a3+a7=26，结合等差数列的性质可求a5，然后代入到d=可求公差d，即可求解解答：解：∵{a n}为等差数列，且a2=3，a3+a7=26由等差数列的性质可知，a3+a7=2a5=26∴a5=13d==a8=a5+3d=13=23故答案为：23点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，灵活利用公式是求解问题的关键5．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为﹣．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：由正弦定理化简已知的比例式，得到a，b及c的比值，根据比例设出a，b及c，再利用余弦定理表示出cosC，将表示出的三边长代入，即可求出cosC的值．解答：解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，∴根据正弦定理得：a：b：c=3：2：4，设a=3k，b=2k，c=4k，则由余弦定理得cosC===﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．6．（5分）中a1=3，a2=6，且a n+2=a n+1﹣a n，那么a4=﹣3．考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：已知a1=3，a2=6，令n=1代入可得a3=a2﹣a1，可以求出a3，再令n=2代入a n+2=a n+1﹣a n，即可求出a4；解答：解：∵中a1=3，a2=6，n=1可得，a3=a2﹣a1，即a3=6﹣3=3，n=2，可得a4=a3﹣a2=3﹣6=﹣3，故答案为﹣3；点评：此题主要考查数列的递推公式以及应用，利用特殊值法进行求解，是一道基础题；7．（5分）tan19°+tan26°+tan19°tan26°=1．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由tan45°=tan（19°+26°）=1，利用两角和与差的正切函数公式化简，变形后代入所求式子中化简即可求出值．解答：解：∵tan45°=tan（19°+26°）==1，∴tan19°+tan26°=1﹣tan19°tan26°，则tan19°+tan26°+tan19°tan26°=1﹣tan19°tan26°+tan19°tan26°=1．故答案为：1点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．8．（5分）数列{a n}为等比数列，S n为其前n项和．已知a1=1，q=3，S t=364，则a t=243．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得S t===364，解之可得t=6，代入等比数列的通项公式可得答案．解答：解：由题意可得S t===364，化简可得3t=729，解之可得t=6，故a t=a6=1×35=243故答案为：243点评：本题考查等比数列的前n项和公式，属基础题．9．（5分）（2010•杭州模拟）一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为14．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由题意可得a1+a2+a3+a4=40，a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3=80，两式相加，且由等差数列的性质可求（a1+a n）的值，代入等差数列的前n项和公式，结合已知条件可求n的值．解答：解：由题意可得：前4项之和为a1+a2+a3+a4=40①，后4项之和为a n+a n﹣1+a n﹣2+a n﹣3=80②，根据等差数列的性质①+②可得：4（a1+a n）=120⇒（a1+a n）=30，由等差数列的前n项和公式可得：=210，所以n=14．故答案为：14点评：本题考查等差数列的定义和性质，以及等差数列前n项和公式的应用，根据题意，利用等差数列的性质求出a1+a n的值是解题的难点和关键．10．（5分）化简=﹣2sin40°．考点：二倍角的正弦；三角函数值的符号；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：原式第一项被开方数利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式化简，第二项被开方数提取2，利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用二次根式的化简公式化简，合并即可得到结果．解答：解：∵0＜sin40°＜cos40°，∴原式=2﹣=2|sin40°﹣cos40°|﹣|2cos40°|=2（cos40°﹣sin40°）﹣2cos40°=﹣2sin40°．故答案为：﹣2sin40°点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角函数值的符号，熟练掌握公式是解本题的关键．11．（5分）△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC的形状为钝角三角形．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：把已知的不等式移项后，根据两角和的余弦函数公式化简得到cos（A+B）大于0，然后利用诱导公式得到cosC小于0，根据余弦函数的图象可知C为钝角，所以得到三角形为钝角三角形．解答：解：由sinA•sinB＜cosAcosB得cos（A+B）＞0，即cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）＜0，故角C为钝角．所以△ABC的形状为钝角三角形．故答案为：钝角三角形点评：考查学生灵活运用两角和的余弦函数公式及诱导公式化简求值，会根据三角函数值的正负判断角的范围．12．（5分）两等差数列{a n}、{b n}的前n项和的比，的值是．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的性质，及求和公式，可得===，利用条件，即可求得结论．解答：解：∵===，，∴==故答案为：点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．13．（5分）已知数列{a n}中，，，则a2013=．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由，两边取倒数得，可得数列{}是以为首项，3为公差的等差数列，从而可得结论．解答：解：∵，∴a n≠0．由，两边取倒数得，即．∴数列{}是以为首项，3为公差的等差数列，∴．∵，∴9=，解得a1=．∴，∴∴a2013=故答案为：点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）设y=f（x）是一次函数，f（0）=1，且f（1），f（4），f（13）成等比数列，则f（2）+f（4）+…+f（2n）=3n+2n2．考点：数列与函数的综合．专题：计算题．分析：由已知可以假设一次函数为y=kx+1，在根据f（1），f（4），f（13）成等比数列，得出k=3，利用等差数列的求法求解即可．解答：解：由已知，假设f（x）=kx+b，（k≠0）∵f（0）=1=k×0+b，∴b=1．∵f（1），f（4），f（13）成等比数列，且f（1）=k+1，f（4）=4k+1，f（13）=13k+1．∴k+1，4k+1，13k+1成等比数列，即（4k+1）2=（k+1）（13k+1），16k2+1+8k=13k2+14k+1，从而解得k=0（舍去），k=2，f（2）+f（4）+…+f（2n）=（2×2+1）+（4×2+1）+…+（2n×2+1）=（2+4+…+2n）×2+n=4×+n=2n（n+1）+n=3n+2n2，故答案为3n+2n2．点评：本题考查了等比数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）若三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设三个数分别为a﹣d，a，a+d，由题意可建立关于ad的方程组，解之即可求得三个数．解答：解：由题意设三个数分别为a﹣d，a，a+d，则（a﹣d）+a+（a+d）=15，（a﹣d）2+a2+（a+d）2=83，解得a=5，d=±2．所以这三个数分别为3、5、7；或7、5、3．点评：本题考查等差数列的基本运算，属基础题．16．（14分）已知（1）求tanα的值；（2）求的值．考点：二倍角的正切；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）所求式子利用二倍角的正切函数公式化简，将tan的值代入计算即可求出值；（2）所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，将tan的值代入计算即可求出值．解答：解：（1）∵tan=，∴tanα===；（2）∵tan=，∴tan（α﹣）===．点评：此题考查了二倍角的正切函数公式，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．17．如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？考点：点到直线的距离公式．分析：由条件求得∠ACB=150°，BC=8，过B作AC的垂线垂足为D，在△BCD中，求得BD=4＞3.8，从而得出结论．解答：解：在△ABC中，∵∠BAC=15°，∠ACB=150°，AC=8，可得：∠ABC=15°．∴BC=8，过B作AC的垂线垂足为D，在△BCD中，可得BD=BC•sin30°=4．∵4＞3.8，∴没有危险．点评：本题主要考查解三角形，直角三角形中的边角关系，属于中档题．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若，c=2，求△ABC的面积；（2）若sinA，sinB，sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．考点：余弦定理；三角形的形状判断；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）根据A、B、C成等差数列，结合A+B+C=π算出B=，再由正弦定理得sinC==．根据b＞c得C为锐角，得到C=，从而A=π﹣B﹣C=，△ABC 是直角三角形，由此不难求出它的面积；（2）根据正弦定理，结合题意得b2=ac，根据B=利用余弦定理，得b2=a2+c2﹣ac，从而得到a2+c2﹣ac=ac，整理得得（a﹣c）2=0，由此即可得到△ABC为等边三角形．解答：解：解：∵A、B、C成等差数列，可得2B=A+C．∴结合A+B+C=π，可得B=．（1）∵，c=2，∴由正弦定理，得sinC===．∵b＞c，可得B＞C，∴C为锐角，得C=，从而A=π﹣B﹣C=．因此，△ABC的面积为S==×=．（2）∵sinA、sinB、sinC成等比数列，即sin2B=sinAsinC．∴由正弦定理，得b2=ac又∵根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，∴a2+c2﹣ac=ac，整理得（a﹣c）2=0，可得a=c∵B=，∴A=C=，可得△ABC为等边三角形．点评：本题给出三角形的三个内角成等差数列，在已知两边的情况下求面积，并且在边成等比的情况下判断三角形的形状．着重考查了三角形内角和定理和利用正、余弦定理解三角形的知识，属于中档题．19．（2010•湖北）已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x），g（x）=sin2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）对于求函数f（x）的最小正周期，可以先将函数按照两角和，两角差的余弦公式展开后，再利用降幂公式化成一个角一个函数的形式后，用公式T=周期即可求出．（Ⅱ）对于函数h（x）=f（x）﹣g（x），把f（x）与g（x）解析式代入后，依照两角和余弦公式的逆用化成一个角一个函数为h（x）=cos（2x+），由于定义域为全体实数R，故易知最值为，而此时角2x+应为x轴正半轴的所有角的取值，即2x+=2kπ，k∈Z．由此确定角x的取值几何即可．解答：解：（1）f（x）=cos（+x）cos（﹣x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）=cos2x ﹣=﹣=cos2x﹣，∴f（x）的最小正周期为=π（2）h（x）=f（x）﹣g（x）=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=（cos cox2x ﹣sin sin2x）=cos（2x+）∴当2x+=2kπ，k∈Z，即x=kπ﹣，k∈Z时，h（x）取得最大值，且此时x取值集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}点评：本题主要考查三角函数的周期和最值问题，并兼顾检测了学生对两角和，差的正余弦公式和降幂公式等，属于三角函数的综合性问题．而解决有关复合角三角函数问题的关键还是在于对三角函数性质的掌握，本题难度系数0.620．（16分）设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的n ∈N +，都有8S n =（a n +2）2．（1）写出数列{a n }的前3项；（2）求数列{a n }的通项公式（写出推证过程）； （3）设，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得对所有n ∈N +都成立的最小正整数m 的值．考点：数列与不等式的综合． 专题：综合题． 分析： （1）在8S n =（a n +2）2中，令n=1求a1，令n=2，求a2，l 令n=3，可求a3． （2））根据Sn 与an 的固有关系an=，得a n 2﹣a n ﹣12﹣4a n ﹣4a n ﹣1=0，化简整理可证．（3）把（2）题中a n 的递推关系式代入b n ，根据裂项相消法求得T n ，最后解得使得 对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ．解答： 解：（1）n=1时 8a 1=（a 1+2）2∴a 1=2n=2时 8（a 1+a 2）=（a 2+2）2∴a 2=6 n=3时 8（a 1+a 2+a 3）=（a 3+2）2∴a 3=10（2）∵8S n =（a n +2）2∴8S n ﹣1=（a n ﹣1+2）2（n ＞1）两式相减得：8a n =（a n +2）2﹣（a n ﹣1+2）2即a n 2﹣a n ﹣12﹣4a n ﹣4a n ﹣1=0 也即（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣4）=0∵a n ＞0∴a n ﹣a n ﹣1=4即{a n }是首项为2，公差为4的等差数列 ∴a n =2+（n ﹣1）•4=4n ﹣2 （3）∴=…∵对所有n ∈N +都成立∴即m ≥10故m 的最小值是10．点评：本题主要考查Sn 与an 的固有关系、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力．11。
2012~2013学年度第二学期高一数学期中考试试题
2012---2013学年度第二学期高中一年级数学期中考试试卷高一 姓名： 成绩:一、选择题：(每小题5分,共30分)( )1． 若 0sin >θ, 0cos <θ, 则θ所在的象限是A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限( )2．如果tan α>0，则α必定在A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限C ．第三或第四象限D ．第二或第四象限（ ）3．下列等式恒成立的是 ( )A ．ααcos )cos(-=- B ． ααsin )360sin(=- C ． )tan()2tan(απαπ+=- D ． )cos()cos(απαπ-=+ （ ）4函数y=sinx+3的最大值是A ．2 B.3 C.4 D.6（ ）5．. 下列说法正确的是A.棱锥的各个面都是三角形B.六棱柱是六面体C.圆锥的侧面展开图是一个三角形D.圆柱的母线长等于此圆柱的高( )6．圆柱的底面半径是5cm,高是4cm ,它的体积是A.20cm π2B. 40cm π2C.80cm π2D.100cm π2二、填空题(每小题5分,共30分)7． =315 ______ 弧度 ， π127 = ______度． 8． 36cos 36sin 22+=___________________9．判断奇偶性：函数f(x)=x+sinx 是 函数函数f(x)=x 2cosx 是 函数10．长方体是 面体,11．正方体每个面都是12．圆柱的侧面展开图是 形三、解答题(每小题8分，共40分)13．已知角α终边经过点P （4，-3），求sin α,cos α,tan α的值14.已知sin α=32，并α是第三象限角，求cos α和 tan α的值15．不通过求值,比较大小(1)15sin π︒和13sin π(2)sin430°和sin50°16.已知圆柱的底面半径是3cm,高是5cm,求圆柱的表面积（结果保留）17．已知底面是正方形的棱锥，底面的边长为4cm，高为3cm，求它的体积．。
高一南京市板桥中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题
2012-2013学年江苏省南京市板桥中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：每小题3分1．（3分）不等式x2﹣x﹣2≤0的整数解共有4个．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：先求出一元二次不等式的解集，再求出解集中的整数解．解答：解：x2﹣x﹣2≤0即为（x﹣2）（x+1）≤0所以﹣1≤x≤2所以整数解有﹣1，0，1，2共有4个故答案为：4点评：解一元二次不等式时先求出相应的一元二次方程的根，再写出二次不等式的解集．2．（3分）若集合A={x|x2﹣1＜0}，集合B={x|x＞0}，则A∩B=（0，1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先根据一元二次不等式的解法求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．解答：解：A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}B={x|x＞0}，∴A∩B=（0，1）故答案为：（0，1）点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，以及求两个集合的交集的方法，属于基础题．3．（3分）在△ABC中，如果a：b：c=3：2：4，那么cosC=．考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：可设三边分别为3k，2k，4k，由余弦定理可得16k2=9k2+4k2﹣12k2cosC，解方程求得cosC的值．解答：解：∵a：b：c=3：2：4，故可设三边分别为3k，2k，4k，由余弦定理可得16k2=9k2+4k2﹣12k2cosC，解得cosC=﹣，故答案为﹣．点评：本题考查余弦定理的应用，设出三边的长分别为3k，2k，4k，是解题的关键．4．（3分）在等差数列{a n}中，当a2+a9=2时，它的前10项和S10=10．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据所给的数列的两项之和，做出第一项和第十项的和，把它代入求数列的前10项和的公式，得到结果．解答：解：∵a2+a9=2∴a1+a10=2，∴S10==10故答案为：10点评：本题考查数列的性质，本题解题的关键是看出数列的前10项和要用的两项之和的结果，本题是一个基础题．5．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，已知，则△ABC的形状是直角三角形．考点：三角形的形状判断；正弦定理．专题：计算题．分析：由A的度数，a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，由A和B的度数，由三角形的内角和定理求出C的度数，得到C为直角，故三角形ABC为直角三角形．解答：解：由，根据正弦定理=得：sinB===，由B为三角形的内角，得到B=或，当B=，A=，A+B=＞π，与三角形的内角和定理矛盾，舍去，∴B=，A=，则C=，即△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形点评：此题考查了正弦定理，以及三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时在求角B时注意利用三角形的内角和定理检验，得到满足题意的B的度数．6．（3分）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB的值为．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：由a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a可得，b=，c=2a，结合余弦定理可求解答：解：∵a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2ab2=ac=2a2，b=，c=2a=故答案为：点评：本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题7．（3分）（2012•长春模拟）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=13．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．解答：解：依题意可得，d=2，a1=1∴a7=1+6×2=13故答案为：13点评：本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生对等差数列基础知识的综合运用．8．（3分）（2011•上海）若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5=0，则=﹣7．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出q3的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式，即可求出结果．解答：解：由8a2+a5=0，得到=q3=﹣8===﹣7故答案为：﹣7．点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道基础题．9．（3分）在等比数列{a n}中，若a2=2，a6=32，则a4=8．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据所给的等比数列的两项和等比中项的公式，求出a4的平方，根据条件中所给的三项都是偶数项，端点第四项是一个正数，得到结果．解答：解：∵等比数列{a n}中，a2=2，a6=32，∴a42=a2•a6=2×32=64∴a4=±8∵a4与a2，a6的符号相同，∴a4=8故答案为：8点评：本题考查等比数列的性质，本题解题的关键是判断出第四项的符号与第二项和第六项的符号相同，本题是一个基础题．10．（3分）在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则的值为﹣20．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由余弦定理及已知条件三角形三边长，可求出C角的余弦值，进而代入向量数量积公式，可得答案．解答：解：∵△ABC中，a=5，b=8，c=7，∴cosC===∵C∈（0，π），∴C=因此，=abcos（π﹣C）=5×8×cos=﹣20故答案为：﹣20点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，余弦定理，其中由余弦定理求出C角的余弦值是解答的关键．11．（3分）已知等比数列{a n}满足a n＞0，n=l，2，…，且a5•a2n﹣5=22n（n≥3），则当n≥3时，log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n﹣1=2n2﹣n．考点：等比数列的性质；对数的运算性质．专题：计算题．分析：先根据等比数列的性质化简已知的等式，由a n＞0，开方即可求出a n的值，然后把所求的式子先利用对数的运算性质化简，再把项数之和为2n的两项结合，利用等比数列的性质化简，进而把求出的a n的值代入后，再利用对数的运算法则计算即可求出值．解答：解：由a5•a2n﹣5=a n2=22n，且a n＞0，解得a n=2n，则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n﹣1===2n2﹣n．故答案为：2n2﹣n点评：此题考查了等比数列的性质，以及对数的运算法则．熟练运用等比数列的性质与对数的运算法则是解本题的关键．12．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若，且，则∠C=15°或105°．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：根据余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入化简后得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠A的度数，进而求出sinA的值，又b比a的值，利用正弦定理得到sinB与sinA的比值，进而求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠B的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数．解答：解：因为，所以根据余弦定理得：cosA==，由∠A∈（0，180°），得到∠A=30°，则sinA=，又，根据正弦定理得：==，即sinB=sinA=，由∠B∈（0，180°），得到∠B=45°或135°，则∠C=15°或105°．故答案为：15°或105°点评：此题的突破点是利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值．本题的答案有两解，产生两解的原因是在（0，180°）范围内正弦值对应两个角，学生做题时容易遗漏解．13．（3分）设{a n}是正项数列，它的前n项和S n满足：4S n=（a n﹣1）•（a n+3），则a1005= 2011．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：把数列仿写一个，两式相减，合并同类型，用平方差分解因式，约分后得到数列相邻两项之差为定值，得到数列是等差数列，公差为2，取n=1代入4S n=（a n﹣1）（a n+3）得到首项的值，写出通项公式．从而得到a1005．解答：解：∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），∴4s n﹣1=（a n﹣1﹣1）（a n﹣1+3），两式相减得整理得：2a n+2a n﹣1=a n2﹣a n﹣12，∵{a n}是正项数列，∴a n﹣a n﹣1=2，∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），令n=1得a1=3，∴a n=2n+1，∴a1005=2×1005+1=2011．故答案为：2011．点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意数列通项公式的求解方法，合理地进行等价转化．14．（3分）若正实数x，y满足x+y=1，且．则当t取最大值时x的值为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：结合已知条件可得，=，利用基本不等式可求式子的最大值，以及取得最大值时条件，从而可得x的值．解答：解：∵正实数x，y满足x+y=1，∴=≤3﹣2=2，（当且仅当，即y=时取等号）∴x=1﹣y=故答案为点评：本题主要考查了利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求解最值时要注意检验等号成立的条件是否具备．二、解答题：（第15题8分，16-20题每题10分）15．（8分）（2010•长宁区二模）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）．（1）求a，b的值；（2）若函数f（x）在x∈[m，1]上的最小值为1，求实数m的值．考点：一元二次不等式的应用；函数单调性的性质．分析：由不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）知：﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由韦达定理便可解得a，b的值．由第（1）问求得f（x）的解析式，得知f（x）的开口方向以及对称轴，判断出f（x）在[m，1]上的单调性，然后由最小值等于1列方程，解得m的值．解答：解：（1）由条件得解得：a=﹣1，b=4．（2）f（x）=﹣x2+2x+3函数开口方向向下，对称轴方程为x=1，∴f（x）在x∈[m，1]上单调递增，∴x=m时f（x）min=﹣m2+2m+3=1解得．∵，∴．点评：考查一元二次不等式的解法，以及一元二次函数的单调性．16．（10分）已知．（1）求tan（α+β），tan（α﹣β）；（2）求α+β的值（其中0°＜α＜90°，90°＜β＜180°）．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）所求式子利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值；（2）由α与β的范围求出α+β的范围，根据tan（α+β）的值，利用特殊角的三角函数值即可求出α+β的度数．解答：解：（1）∵tanα=，tanβ=﹣2，∴tan（α+β）===﹣1，tan（α﹣β）===7；（2）∵0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，∴90°＜α+β＜270°，∵tan（α+β）=﹣1，∴α+β=135°．点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．17．（10分）（2010•陕西）在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．考点：余弦定理；正弦定理．分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解答：解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC==，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=．点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用．属基础题．18．（10分）等差数列{a n}中，a4=10且a3，a6，a10成等比数列，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求前20项的和S20．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意可得，，即，把已知代入可求d，进而可求a n．（2）由等差数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，∴∴（10+2d）2=（10﹣d）（10+6d）解可得，d=1∴a n=a4+（n﹣4）d=n+6，（5分）．（2）由等差数列的求和公式可得，=330，（5分）．点评：本题主要考查了等比数列的性质及等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题19．（10分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元，若扣除投资和装修费，则从第几年开始获取纯利润？考点：数列的应用；等差数列的前n项和．专题：应用题．分析：设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元．付出装修费共，付出投资81万元，由此可知利润y=30n﹣（81+n2），由y＞0能求出从第几年开始获取纯利润．解答：解：设第n年获取利润为y万元n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共（2分）因此利润y=30n﹣（81+n2），令y＞0（3分）解得：3＜n＜27，．（4分）所以从第4年开始获取纯利润．（5分）点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．20．（10分）（2010•海淀区二模）在△ABC内，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a，b，c成等差数列，且a=2c．（1）求cosA的值；（2）若，求b的值．考点：余弦定理的应用；等差数列的性质．专题：计算题．分析：（I）根据a，b，c成等差数列及a=2c求得b=c代入余弦定理求得cosA的值．（II）由（I）cosA，求出sinA．根据正弦定理及求得c，进而求出b．解答：解：（I）因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b又a=2c，可得b= c∴cosA==﹣（II）由（I）cosA=，A∈（0，π），∴sinA==因为若，S△ABC=bcsinA，∴S△ABC=bcsinA==得c2=4，即c=2，b=3点评：本题主要考查余弦定理的应用．利用余弦定理，可以判断三角形形状．解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理，故应重点掌握，灵活运用．。
江苏省南通市启东中学2012-2013学年高一数学下学期期中试题(含解析)苏教版
2012-2013学年江苏省南通市启东中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知直线3x+ay﹣5=0经过点A（1，2），则实数a的值为 1 ．2．（5分）在等比数列{a n}中公比q≠1，a2+2a4=3a3，则公比q= ．，q=故答案为：3．（5分）数列{a n}中，，那么此数列的前10项和S10= 140 ．4．（5分）过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程为x﹣2y+7=0 ．5．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为﹣．cosC==．6．（5分）在△ABC中，若A=60°，b=1，，则a= ．bcsinA==故答案为：7．（5分）已知点P（0，﹣1），点Q在直线x﹣y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y﹣5=0，则点Q的坐标是（2，3）．解得8．（5分）不等式的解集是（﹣1，2）．＜9．（5分）已知变量x，y满足，则z=2x+y的最大值为12 ．解：作出不等式组10．（5分）已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为．=3=，当且仅当，的最小值为故答案为11．（5分）在数列a n中，a1=2，当n为奇数时，a n+1=a n+2；当n为偶数时，a n+1=2a n；则a5等于20 ．．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则a n=．=故答案为：13．（5分）已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则n最小值为7 ．）。
【数学】江苏省扬州师大附中2012-2013学年高一下学期期中
江苏省扬州师大附中2012-2013学年高一下学期期中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应的位．．．．．．．置上．．.1．22cos 15sin 15︒-︒= _____________. 2．在ABC ∆中，sin cos A Ba b=，则B ∠= _____________. 3．在数列{}n a 中，1a =1，14n n a a +=+，则100a 的值为_____________. 4．已知不等式210ax bx +->解集为{|34}x x <<，则实数a = ．5．已知sin cos αα0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos sin αα-的值是________． 6．在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，且42S =，86S =，则12S =________． 7．已知正数,x y 满足21x y +=，则11x y+的最小值为________． 8．等差数列{}n a 中，266,2a a ==，则数列{}n a 前n 项和n S 取最大值时的n 的值为________．9．已知等比数列{}n a 中，10a >，且243546225,a a a a a a ++=，则35a a +=_________． 10．某校在体育场举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________． 11．已知1sin()33πα-=,则cos(2)3πα+=________. 12．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若tan 21tan A cB b+=，则角A 的大小为_________．13．不等式220mx x m -+>对任意0x >恒成立，则实数m 的取值范围是________． 14．定义函数[]()f x x x ⎡⎤=⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 如：[]1.5＝1，[]1.3-＝－2．当[)()0,x n n N *∈∈时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的通项公式为_________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题满分14分）设全集为R ,{}2|340A x x x =--≤, (5)0,x a B xx a -+⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭． （1）当2a =-时，求B A ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数()4sin()cos 3f x x x π=-+（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及取得最大、最小值时对应的x 值．17．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且57324,12a a S +==；等比数列{}n b 中，公比0q >，前n 项和为n K 且11b =，37K =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（本小题满分16分）作为扬州市2013年4.18系列活动之一的花卉展在瘦西湖万花园举行．现有一占地1800平方米的矩形地块，中间三个矩形设计为花圃（如图），种植有不同品种的观赏花卉，周围则均是宽为1米的赏花小径，设花圃占地面积为s平方米，矩形一边的长为x米(如图所示) （1）试将s表示为x的函数;（2）问应该如何设计矩形地块的边长，使花圃占地面积s取得最大值．19．（本小题满分16分）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin 2A BC +=，ABC ∆周长为12．（1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值． 20．（本小题满分16分）设等比数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-；数列{}n b 满足26(3)20(,)n n n t b n b t R n N *-++=∈∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）①试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；②在①结论下，若对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c ．设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m ．高一数学期中参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应的位．．．．．．．置上．．.1.22cos 15sin 15︒-︒= _____________. 2.在ABC ∆中，sin cos A B a b =，则B ∠= _____________. 4π3.在数列{}n a 中，1a =1，14n n a a +=+，则100a 的值为_____________.397 4．已知不等式210ax bx +->解集为{|34}x x <<，则实数a = ．112-5.已知sin cos αα0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos sin αα-的值是________6．在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，且42S =，86S =，则12S =______．127.已知正数,x y 满足21x y +=，则11x y+的最小值为________．3+8．等差数列{}n a 中，266,2a a ==，则前n 项和n S 取最大值时的n 的值为________．7或89.已知等比数列{}n a 中，10a >，且243546225,a a a a a a ++=，则35a a +=_________．5 10.某校在体育场举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________．30米 11．已知1sin()33πα-=,则cos(2)3πα+=________. 79- 12．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若tan 21tan A cB b+=，则角A 的大小为_________．3π 13. 不等式220mx x m -+>对任意0x >恒成立，则实数m 的取值范围是________． 1m >14．定义函数[]()f x x x ⎡⎤=⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 如：[]1.5＝1，[]1.3-＝－2．当[)()0,x n n N*∈∈时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的通项公式为_________．n a ＝1＋(1)2n n - 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15. 设全集为R ,{}2|340A x x x =--≤, (5)0,x a B xx a -+⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭． （1）当2a =-时，求B A ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．15．解：由已知得：{}14A x x =-≤≤，{}5B x x a x a =>+<或． (1) [)(]1,23,4AB =-- ; (2) 46a a ><-或.16．已知函数()4sin()cos 3f x x x π=-+⑴求()f x 的最小正周期；⑵求()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值及取得最大最小值时x 的值．解：21()4cos (sin )2sin cos 2f x x x x x x x =+=-+sin 2x x ==2sin(2)3x π-（1） 周期为π；（2） 22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则3x π=12x π=-时最小值-2.17． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且57324,12a a S +==；等比数列{}n b 中，公比0q >，前n 项和为n K 且11b =，37K =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 解:（1）2;n a n =，12n n b -=，(2) (22)22nn T n =-+18.作为扬州市2013年4.18系列活动之一的花卉展在瘦西湖万花园举行．现有一占地1800平方米的矩形地块，中间三个矩形设计为花圃（如图），种植有不同品种的观赏花卉，周围则均是宽为1米的赏花小径，设花圃占地面积为s 平方米,设矩形一边的长为x (如图所示)(1)试将s 表示为x 的函数;(2)问应该如何设计矩形地块的边长，使花圃占地面积s 取得最大值． 解：由题知(2)2(3)(38)s a x a x a x =-+-=-，又180033,a x+=则6001,a x =-所以6004800(1)(38)18083s x x x x=--=--； (2)480016001808318083()180********s x x x x=--=-+≤-=.(当且仅当40x =时取等号)，此时另一边长为45米． 答：当40x =米，另一边长为45米时花圃占地面积s 取得最大值1568平方米．19．已知ABC ∆的周长为12sin 2A BC +=． （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．(1)2sin cos 22222A B C C C Cπ+-===，cos2C =，又0C π<<,26C π=,3C π=. (2) 由余弦定理得222a b ab c +-=，又12a b c ++=则有222(12)a b ab a b +-=--，化简得8848a b a b +-=，8848a b ab +=+≥，可得12≥或4，即144ab ≥或16ab ≤，又144ab ≥时24a b +≥与12a b c ++=矛盾，故16ab ≤．所以1sin 2ABC S ab C ∆==≤即ABC ∆面积的最大值为．20. 设等比数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-；数列{}n b 满足26(3)20(,)n n n t b n b t R n N *-++=∈∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）①试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；②在①结论下，若对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c ．设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m ．20．解： （1）*2()n n a n N =∈（2）当1n =时，得16,b t =-2n =时，得2162b t =-；3n =时，得35437t b -=， 则由1322b b b +=，得4t =．而当4t =时，由26(3)20n n n t b n b -++=得2n b n =． 由12n n b b +-=，知此时数列{}n b 为等差数列．（本题也可用恒成立求解）（3）由题意知，1123425678932,2,4,2,8,c a c c c a c c c c c a ============则当1m =时，12224T c =≠=，不合题意，舍去； 当2m =时，212342T c c c =+==，所以2m =成立；当3m ≥时，若12m c +=，则12m m T c +≠，不合题意，舍去；从而1m c +必是数列{}n a 中的某一项1k a +，则123123422222222k m k b b b b T a a a a a =+++++++++++++++++个个个个23123(2222)2()k k b b b b =+++++++++12(22)2(21)222222k k k kk k ++=-+⨯=++-又1112222k m k c a +++==⨯，所以122222k k k +++-=122k +⨯，即2210kk k --+=，所以221(1)k k k k k +=+=+因为*21()kk N +∈为奇数，而2(1)k k k k +=+为偶数，所以上式无解． 即当3m ≥时，12m m T c +≠ 综上所述，满足题意的正整数仅有2m =．。
2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题及答案
RQPO江苏省靖江市2012-2013学年高一下学期期中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．经过点A(3,2) 、B(4,-2)的直线方程是 .2．一元二次不等式(x -2)(x +2)<5的解集为 .3．在△ABC 中, 如果sinA:sinB:sinC=3:5:7,则△ABC 的最大角的大小是 .4．在等差数列{a n }中，已知S 6=10，S 12=30，则S 18= .5．过点M(3,-4) , 且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为 .6．在△ABC 中,已知a-b=c(cosB-cosA),则△ABC 的形状为 .7．已知数列{a n }中, 21,212,2n nn n m a n m+=-⎧=⎨=⎩, m 为正整数, 前n 项和为n S ，则S 9= .8．已知线段AB 两个端点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l 过点P(1,2)且过线段AB 相交，则l 的 斜率k 的取值范围为 .9．已知等比数列{}n a 中，公比0>q ，且14239,8a a aa +==，则2012013201201a aa a+=+ ．10．设直线l 的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0, 当k 取任意实数时, 这些直线具有的共同特点为 .11．在△ABC 中，A =60,b =1,ABC 外接圆的半径为 . 12. 已知不等式ax 2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2}，则不等式bx 2-5x+a>0的解集为 . 13．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R 点，且∠QOR＝30°， 则tan∠OPQ 的值为 .14．设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,0,01615<>S S 则15152211,,,a S a S a S 中最大的项 为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在等差数列{}n a 中，31=a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，322=b S . （1）求n a 与n b ； （2）设数列{}n c 满足1n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T .16.(本小题满分15分)已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，它们所对的角分别是A 、B 、C ，若a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，试求： ⑴角A 的度数；（2）求cbsinB的值.17.(本小题满分15分) (1)解不等式：124x x ≤+ ; (2)解关于x 的不等式：a xa >--12(a ∈R).18. (本小题满分15分)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,(1)若S 3,S 9,S 6成等差数列,求证:a 2, a 8, a 5成等差数列.(2)设p,r,t,k,m,n ∈N*,且p,r,t 成等差数列,若pS k ,rS m ,tS n 成等差数列, 试判断p a k+1,r a m+1,t a n+1三者关系, 并说明理由.19. (本小题满分16分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处进行该仪器的垂直弹射，观察点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得最高点H 的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒, 保留根式)20.(本小题满分16分)正项数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且21=a ，且)2(2221≥+=-n S a n n . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设128++=n n n a b ，nn b b b T +++= 21，证明725<≤n T . 高一数学参考答案一、填空题：1.4x+y-14=02.{x|-3<x<3} 3．12004.605.3x+4y=0或4x-3y-12=06.等腰三角形或直角三角形7.3958.5-≤k 或1≥k9.4 或4110.(0,2) 11．339 12.{x|x >12或x<13-} 13.32 14. 88S a二、解答题：15. 解:（1）因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126………………2分解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ………………4分 故()3313n a n n =+-= ，13-=n n b . ………………7分 （2）由（1）可知，()332n n n S +=， ………………10分所以()122113331n n c S n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭. ………………12分 故()21111121211322313131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… …………14分 16.解：⑴∵a 、b 、c 成等比数列 ∴ac b =2………………1分∵a 2－c 2＝ac －bc ∴a 2－c 2＝2b －bc∴bc a c b =-+222 ………………3分∴2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A ………………5分 又 ∵)0(π，∈A ∴3π=A ………………7分（2）ac b =2 )sin 2)(sin 2()sin 2(2C R A R B R =∴C A B n sin sin si 2=∴ ………………10分法一：23sin sin sin c bsinB 2===A C B ………………14分 法二：∵ac b =2 ∴b ac b = ∴c bsinB =b B a sin =23sin =A …………14分 17.(1) ∵()()6204x x x +-≥+………………3分∴{x ｜x ≥2或-6≤x<-4} ………………6分(2) 可化为012<--x ax ………………8分 当a ≠0时,两根为1,a2 ………………9分∴当a ＝0时，x>1； ………………10分 当a ＞2时，a2< x<1; ………………11分当0＜a ＜2时,1<x<a2； ………………13分 当a ＝2时，x 为空集； ………………14分 当a ＜0时，x>1或x<a2． ………………15分18. (1)证明：由S n 是等比数列｛a n ｝的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列（已知） 可得2S 9=S 3+S 6, ………………2分 设首项为a 1,公比为q ，当q≠1时,等比数列的求和公式为：S n =a 1(1-q n )/(1-q) =(a 1-a n ×q)/(1-q) (q≠1)则 2(a 1-a 9×q)/(1-q)= (a 1-a 3×q)/(1-q)+ (a 1-a 6×q)/(1-q) ………………4分 两边同乘1-q ，上式可化简为2a 9= a 3+ a 6两边同除以q ，上式可化简为2a 8= a 2+ a 5即：a 2，a 8，a 5成等差数列. ………………6分 当q=1时，a 1=a 2=a 3=a 4=…=a n , 因2S 9=S 3+S 6,a 1=0, 故不满足数列｛a n ｝成等比数列. ………………8分 法二: 当q=1时,因2S 9=S 3+S 6,a 1=0, 故不满足数列｛a n ｝成等比数列. ………………2分 当q≠1时,由S n 是等比数列｛a n ｝的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列（已知） 可得2S 9=S 3+S 6,故()()()qq a q q a q q a --+--=--1111112613191∴2q 6-q 3-1=0 ………………4分∴213-=q , ………………6分∴a 2+a 5=a 1q+a 1q 4=a 1q(1+q 3)=21q a , a 8=a 1q 7=a 1q ·q 6=41q a∴a 2+a 5=2a 8即：a 2，a 8，a 5成等差数列. ………………8分 (2)设等比数列{an}的公比为q.由pS k ,rS m ,tS n 成等差数列,得2rS m =pS k +tS n . 当q=1,则a m+1=a k+1=a n+1=a 1,又2r=p+t,故2ra m+1=pa k+1+ta n+1. ………………10分 当q≠1,由2rSm=pSk+tSn 及等比数列的前n 项和公式得 2ra 1(1--q m )=pa 1(1--q k )+ta 1(1-q n ).由2r=p+s 可得2ra 1q m =pa 1q k +ta 1q n ,即2ra m+1=pa k+1+ta n+1. ………………15分19. 解.由题意，设|AC |＝x ，则|BC |＝x －217×340＝x －40， ………………2分在△ABC 内，由余弦定理：|BC |2＝|BA |2＋|CA |2－2|BA |·|CA |·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10000－100x ， ………………5分 解得x ＝420. ………………7分 在△ACH 中，|AC |＝420，∠CAH ＝30°＋15°＝45°， ∠CHA ＝90°－30°＝60°，由正弦定理：|CH |sin ∠CAH ＝|AC |sin ∠AHC ，………………10分 可得|CH |＝|AC |·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝140 6. ………………15分答：该仪器的垂直弹射高度CH 为1406米. ………16分 20.（1）法一：由)2(2221≥+=-n S a n n得)2(22211≥+=---n S S S n n n ………………2分2111)2(222+=++=∴---n n n n S S S S21+=∴-n n S S ………………4分}{n S ∴是首项为2公差为2的等差数列，n S n 2=∴ ，22n S n =∴， ………………5分)2(242)1(422≥-=+-=∴n n n a n ，对n=1也成立，24-=∴n a n ………………7分法二：平方)2()2(821≥-=-n a S n n ，又21)2(8-=+n n a S ， 相减)2()2()2(8221≥---=+n a a a n n n ， ………………2分 得)2()(4))((111≥+=-++++n a a a a a a n n n n n n ………………4分)2(401≥=-∴>+n a a a n n n ，由622212=+=S a ，412=-∴a a ，41=-∴+n n a a （)*∈N n ， ………………5分 24-=∴n a n ………………7分（2）nn n b 232+=， ……………………………8分 nn n T 232292725321+++++= ………………9分143223221229272521++++++++=n n n n n T ， 两式相减，得nn n T 2727+-= ………………10分 70272<∴>+∴∈∙n n T n N n ………………12分下面证明25≥n T ， 0252292272111>+=+-+=-+++n n nn n n n n T T ， 或0252111>+==-+++n n n n n b T T n n T T >∴+1单调递增}{n T ∴，251=≥∴T T n ，∴725<≤n T ………………16分。
南京2012-2013下七年级数学期中试卷
2012－2013学年度第二学期期中学情分析样题（2）七年级数学注意事项：1．答题前务必将密封线内的项目填写清楚． 2．请用钢笔或圆珠笔(蓝色或黑色)在答卷纸上按照题号顺序，在各题目的答题区域内作答书写，字体工整、笔迹清楚．在草稿纸、试卷上答题无效． 3．考试时间100分钟，试卷总分100分．一、选择题（本大题共8题，每小题2分，共计16分）1．(－2)0的结果是（ ▲ ）A ．―2B ．―1C ．0D ．1 2．下列计算中正确的是 ( ▲ ) A ．936()()x x x -÷-= B ．623a a a =⋅ C ．428a a a =÷ D ．633x x x =+3．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式有是 ( ▲ ) A ．92+-xB .92--xC .92+xD .222y x +4．有两根13cm 、15cm 的木棒，要想以这两根木棒做一个三角形，可以选用第三根木棒的长为 （ ▲ ）A ．2cmB ．11cmC ．28cmD ． 30cm 5. 下列图形中，由AB CD ∥，能得到12∠=∠的是（ ▲ ）6．如图，把一块含45︒角的三角板的直角顶点靠在长尺（两边a ∥b ）的一边b 上，若∠1=30︒，则三角板的斜边与长尺的另一边a 的夹角∠2的度数为（ ▲ ） A ．10°B ．15°C ．30︒D ．35°7．若多项式x 2 + kx + 4是一个完全平方式，则k 的值是（ ▲ ） A ．2B ．4C ．±2D ．±48．若若112842=⨯⨯n n ，则n 等于 ( ▲ )A .7B .4C .2D .6 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分）9．分解因式：x 2y − 4y =______▲_______． 10．计算3x 3·(-2x 2y )的结果是 ▲ ．a b2111． 若=⨯=n n 则,1005.4000405.0 ▲ .12．一个多边形的每个外角都等于45︒，则这个多边形是______▲____边形．13．等腰三角形的两边长分别为2 cm 和 4cm ，这个三角形的周长为 ▲ cm 14．把多项式y x x 234016+-提出一个公因式28x -后，另一个因式是 ▲15．若)()3(m x x ++与的乘积中不含x 的一次项，则m = ▲ 16．若32,152==y x，则y x -2= ▲17．右图是用一张长方形纸条折成的，如果∠1=130°，那么∠2= ▲ 18．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置，AB ＝10，EH ＝7，平移距离是5，则图中阴影部分的面积为_________▲_______．三、解答题（本大题共10小题，共计64分） 19．计算(每题6分,共12分)（1）203211()()(5)(5)219--++-÷-； （2）22)23()23(y x y x +-- . 20．分解因式(每题6分,共12分)（1）241a a -- ； （2）2()16()a x y y x -+- .21．(本题共5分) 化简求值：2(32)(32)5(32)(23)x x x x x +---+-，其中16x =-．22．（本题4分） 如图，在所给的方格纸中，有一个格点四边形ABCD （即四边形的四个顶点都在格点上）（1）在图1给出的方格纸中，画出四边形ABCD 向右平移5格后的四边形A 1B 1C 1D 1(不要求写作法) （2）在图2给出的方格纸中，连结AC ，画出△ABC 中AB 边上的高CE1 2图1图223．(本题5分)解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②①.221,32y x y x24．(本题5分)春天到了，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家进行了实验，研究发现房间空气中每立方米含6310⨯个病菌，已知1毫升该杀菌剂可以杀死5210⨯个这种病菌，问要将长5米，宽4米，高3米的房间内的病菌全部杀死，需多少毫升杀菌剂？25．(本题6分) 如图，已知AB ∥CD ，BE 、CF 分别平分∠ABC 和∠DCB . BE 与CF 有怎样的位置关系？为什么？26．（本题7分）你能很快计算出21995吗？ （1）通过计算，探索规律：()2511100225152++⨯==，()25122100625252++⨯⨯==， ()251331001225352++⨯⨯==，()251441002025452++⨯⨯==， … ==5625752 ▲ ，==7225852 ▲ ，… （2）观察以上结果，归纳、猜想得()=+2510n ▲ .并运用整式运算的知识给予说明. （3）利用上述结论，计算21995ABCD FE27．(本题8分) 问题情景我们知道，多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.如图1所示, ∠CBD 、∠BAF 、∠ACE 是△ABC 的三个外角，下面我们来探究∠CBD 、∠BAF 、∠ACE 和△ABC 三内角之间的数量关系.方法感悟解: 因为在△ABC 中，∠ABC+∠BAC+∠ACB ＝180°， 所以∠BAC+∠ACB ＝180°－∠ABC. 因为∠ABC+∠CBD ＝180°，所以∠CBD ＝180°－∠ABC. 所以∠CBD ＝∠BAC+∠ACB.同理可得：∠BAF ＝∠ABC+∠ACB ，∠ACE ＝∠BAC+∠ABC.因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 解决问题 问题一：已知：如图2，∠FDC 与∠ECD 分别为△ADC 的两个外角，请直接利用上述结论，试探究∠FDC +∠ECD 与∠A 的数量关系．问题二：已知：如图3，在△ADC 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD ，试探究∠P 与∠A 的数量关系．问题三：已知：如图4，在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，试利用上述结论直接写出 ∠P 与∠A +∠B 的数量关系．_________________________________________________图1FECDB AAD CEF 图2A D CP 图3A BDCP图42012/2013学年度第二学期七年级数学期中学情分析样题(二)参考答案一、选择题（本大题共8题，每小题2分，共计16分）1.D2.A3.A4.B5.B6.B7.D8.C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分）9．)2)(2(-+x x y ； 10．y x 56- ；11.4-；12．8；13．10； 14．y x 52-； 15．3-； 16．5 17. 65°； 18. 42.5三、解答题19．(12分) （1）原式=4+1－5…………………(5分)= 0……………(6分)（2）原式=)4129()4129(2222y xy x y xy x ++-+-……………(4分)=)412941292222y xy x y xy x ---+-……………(5分) =xy 24-……………(6分)20．(12分) （1）原式=)41(2+--a a ……………(3分)=2)21(--a ……………(6分)（2）原式=)(16)(2y x y x a ---…………………………(2分)=)16)((2--a y x ………………………………………(4分) =()(4)(4)x y a a -+-……………………………………(6分)；21．(本题共5分)解：原式=2(32)(32)5(32)(32)x x x x x +---+-=[](32)(32)5(32)x x x x -+-+- ································································· 2分 = x (3x − 2) ···································································································· 3分 当16x =-时，原式=1562⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=512·································································· 5分22．(本题共4分)(1) 作图正确1分，标出字母并说明正确1分(2) 作图正确1分，标出字母并说明正确1分23．(本题共5分)解：由①得，x y 23-= ③…………………………(1分)将③代入②得，2)23(21=--x x …………………………(2分) 解之得47=x …………………………(3分)把47=x 代入③得21-=y …………………………(4分) 所以原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2147y x …………………………(5分)24．(本题5分) 60×6310⨯÷（5210⨯）………3分 = 900毫升………………4分；答：需900毫升杀菌剂………………5分. 25．(本题6分)解：BE ∥CF …………………………1分 理由：因为AB ∥CD ，（已知）所以∠ABC=∠DCB ．（两直线平行，内错角相等）………2分因为BE 平分∠ABC ，（已知）所以∠EBC =12∠ABC ．（角的平分线定义）………3分 同理，∠FCB =12∠DCB ………4分所以∠EBC =∠FCB ．（等式性质）………5分所以BE ∥CF ．（内错角相等，两直线平行）……………6分26．（本题7分）解： ①100×7×（7+1）+25………（1分） 100×8×（8+1）+25………（2分） ②25)1(10025100100)510(,25)1(1002++=++=+++n n n n n n n ………（5分）③100×199（199+1）+25=3980025 ………（7分 ）27．(本题8分)解：(1) 因为∠FDC =∠A +∠ACD ，∠ECD =∠A +∠ADC ， ····································· 1分 所以∠FDC +∠ECD =∠A +∠ACD +∠A +∠ADC =180︒+∠A ． ······················ 3分 (2) 因为DP 平分∠ADC ，所以∠PDC =12∠ADC ． ························································ 4分 同理，∠PCD =12∠ACD ．所以∠DPC =180︒−∠PDC −∠PCD =180︒−12(180︒−∠A )=90︒+12∠A ··········· 6分 (3) ∠P =12(∠A +∠B )． ················································································· 8分ABCDFE。
江苏省苏州五中2012-2013学年高一下学期期中考试数学试卷
2013．4注意事项：1．本试卷共4页，满分160分，考试时间120分钟． 2．请将答案和解答写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1. 已知1,,4x --成等比数列，则实数x 的值是 ▲ ． 2. 在△ABC 中，45,105,2A C BC ∠=∠==，则AC 的长度为 ▲ ．3. 在等差数列{a n }中，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ▲ ．4. 不等式13+-x x ≤3的解集为 ▲ ． 5. 在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状为 ▲ ．6. 设实数,x y 满足约束条件02425x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≥≤，则y x z -=2的最大值是 ▲ ．7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为n S ，且S 3=3a 3，则公比q 为 ▲ ．8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝4，a 7a 8a 9＝16，则a 1a 2…a 9＝ ▲ ． 9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋bc ，sin C ＝2sin B ，则A＝▲ ．10. 已知数列{a n }是等差数列，a 1= -10，且S 99-S 77=2，则S 10= ▲ ．11. 设x 、y 为正实数， 且yx 91+=1，则x +y 的最小值为 ▲ ． 12. 若关于x 的不等式24x x m -≥对任意x ∈[0,1]恒成立，则实数m 的取值范围是▲ ．13. 若x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则(a 1＋a 2)2b 1b 2的取值范围是 ▲ ．14. 在数列{a n }中，已知111,(*)2(1)(1)n n n na a a n n na +==∈++N ，则数列{a n }的前2012项的和为 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知6A π=，(12c b +=．(1)求C ；(2)若1CB CA ⋅=a ，b ，c ．16. (本小题满分14分)解关于x 的不等式：(1)()0a x x a -+>．17. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c =2， C =3π．(1)若△ABC ，求a ，b ；(2)若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求△ABC 的面积．18.(本小题满分16分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系式：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求实数k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．。
江苏省徐州市2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题答案
2012～2013学年度第二学期期中考试高一数学参考答案与评分标准1.232. 23. 164. 2125.56 6. 724 7. 3 8. 等腰 9. 72 10. 1 11.31 12. 503724+ 13. 35π 14. 15 15. （本题满分14分）解：(Ⅰ)212cos 1sin 21)(-++=x x x f =)cos (sin 21x x + ……………………3分 =)4sin(22π+x ………………………………………………………………5分 []1,1)4sin(-∈+πx ，∴)4sin(22π+x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈22,22 ∴函数()f x 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22……………………………………………7分 (Ⅱ)由 （1）)4sin(22)(παα+=f ， 即)4sin(22πα+=252，即54)4sin(=+πα…………………………………8分 40πα<<，∴244ππαπ<+<……………………………………………9分∴53)4cos(=+πα……………………………………………………………11分 ∴αsin =4sin)4cos(4cos)4sin()44sin(ππαππαππα+-+=-+……………13分=22532254⋅-⋅=102 ………………………………………………………14分 16. （本题满分14分）解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差d ， 366,0a a =-=∴112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩ ………………………………………2分解得110,2a d =-= ……………………………………4分∴10(1)2212n a n n =-+-⋅=- …………………………………7分(Ⅱ)设等比数列{}n b 的公比为q8,2413212-=-=++=b a a a b ………………………………9分∴824q -=-， 即q =3 ………………………………11分∴{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q -==-- ……………………14分 17. （本题满分14分）解：(Ⅰ)在ABC ∆中，3b B a A cos sin =，由正弦定理sin sin b aB A= 得B A A B cos sin sin sin 3= …………………………………………………3分A 是ABC ∆的内角，∴0sin ≠A ，∴B B cos sin 3= ………………………4分∴ 33tan =B …………………………………………………………………5分 又B 为三角形ABC ∆内角，所以6π=B …………………………………………7分(Ⅱ)在△ABC 中,由正弦定理B b A a sin sin =得bBa A sin sin ==23321.3= ………8分323ππ==∴A A 或 ………………………………………………………………10分当3π=A ，2π=C2333321=⋅⋅=∆ABC S ………………………………………………………12分 当32π=A ，6π=C 4336sin 3321=⋅⋅=∆πABC S …………………………………………………14分18. （本题满分16分）解：(Ⅰ)如图，作E CD AE 于⊥，AB //CD ,,12=CD AB 812==∴ED CE ，,在DAE RT ∆中，AE DAE 8tan =∠，在CA ERT ∆中，AECAE 12tan =∠ …………2分 ∴)tan(tan DAE CAE CAD ∠+∠=∠=DAECAE DAECAE ∠⋅∠-∠+∠tan tan 1tan tan ……………4分 即AEAE AE AE 81218121⋅-+=,096202=--AE AE ,解得424-==AE AE 或(舍）24==AE BC ,∴BC 长24米. …………………………………………6分(Ⅱ)如图，作F CD PF 于⊥,则24==BC PF设x CF =)120≤≤x （，x DF -=20 24tan xPF x CPF ==∠,24x -20-20tan ==∠PF x DPF ……………………8分 )tan(tan DPF CPF CPD ∠+∠=∠=DPFCPF DPFCPF ∠⋅∠-∠+∠tan tan 1tan tan2420241242024x x xx -⋅--+=576204802+-=x x 476)104802+-=x （ ……………………10分 ∴当119120tan 10取到最大值时CPD x ∠= ………………………………12分 120≤≤x ，∴0467)102>+-x （， 0tan >∠CPD ,∴是锐角CPD ∠， …13分 又正切函数在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调增，∴取到最大值时CPD x ∠=10， 又BP CF =,∴当10=BP m 时，∠CPD 最大.…………………………………………………16分E F BA DP19. （本题满分16分）解：(Ⅰ)在ABD ∆中，5=AB ,060=∠BAD ,31=BD由余弦定理，BAD AD AB AD AB BD ∠⋅-+=cos 2222………………………4分211025312⋅-+=AD AD ,0652=--AD AD ………………………………6分 16-==AD AD 或(舍) ∴AD 的长为6 …………………………………………7分 (Ⅱ)在ABD ∆,ADC ∆中分别应用正弦定理,ADBBAD BD ∠=∠sin 5sin ，ADB BD ∠=sin 560sin 0………………………………9分 ADC AC CAD DC ∠=∠sin sin ，ADC AC DC ∠=sin 45sin 0 ………………………………11分 ADB ADC ∠-=∠0180ADB ADB ADC ∠=∠-=∠∴sin )180sin(sin 0又BD CD 4=,两式相比得:AC BD BD 542223=⋅ …………………………………14分 AC 5342=，610=AC ，∴AC 的长为610…………………………………16分 20．（本题满分16分）解：(Ⅰ)证明：由S n ＝2a n －n ，得S n +1＝2a n +1－(n ＋1)∴a n +1＝2a n +1－2a n －1，∴a n +1＝2a n ＋1， ………………………………………2分 ∴a n +1＋1＝2(a n ＋1)，∴2111=+++n n a a ……………………………4分又当n=1时，S 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，211=+a …………5分 所以数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列． ……6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得a n ＋1＝（a 1＋1）2n-1＝2n ， 故a n ＝2n －1 …………8分(Ⅲ)由(Ⅱ)得b n ＝log 22n，即b n ＝n (n ∈N *) …………………………9分数列{c n }中，b k (含b k 项)前的所有项的和是：(1＋2＋3＋…＋k )＋(20＋21＋22＋…＋2k －2)×2＝k (k ＋1)2＋2k－2 …………12分当k ＝10时，其和是55＋210－2＝1077<2 013 当k ＝11时，其和是66＋211－2＝2112>2 013又因为2 013－1 077＝936＝468×2，是2的倍数…………14分所以当m＝10＋(1＋2＋22＋…＋28)＋468＝989时，T m＝2013所以存在m＝989使得T m＝2 013……………16分。
南京市 2012-2013 学年第二学期高一教学调研测试
南京市2012－2013学年第二学期高一教学调研测试数学2013．06注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题卡上指定的位置．3．答题时，必须用黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上指定的位置，在其他位置作答一律无效．4．本卷考试结束后，上交答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∪B ＝▲．2．函数f (x )＝sin x cos x 的最小正周期是▲．3．计算cos7π6的值是▲．4．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，x )，且(a ＋b )⊥a ，则实数x 的值为▲．5．已知直线l ：x ＋my ＋6＝0，若点A (－5，1)到直线l 的距离为2，则实数m 的值为▲．6．若A (1，2)，B (－3，4)，C (2，t )三点共线，则实数t 的值为▲．7．已知圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的体积为▲．8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知C ＝120︒，c ＝23，a cos B ＝b cos A ，则△ABC的面积为▲．9．对于不重合直线a ，b ，不重合平面α，β，γ，下列四个条件中，能推出α∥β的有▲．（填写所有正确的序号）．①γ⊥α，γ⊥β；②α∥γ，β∥γ；③a ∥α，a ∥β；④a ∥b ，a ⊥α，b ⊥β．10．已知函数f (x )＝a ＋14x －1是奇函数，则实数a 的值为▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，线段AB 长为4，且其两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，则△AOB 面积的最大值为▲．12．已知公差不为零的等差数列{a n }的前8项的和为8，且a 12＋a 72＝a 32＋a 92，则{a n }的通项公式为a n ＝▲．13．某地一天6时至20时的温度y (︒C )随时间x (小时)的变化近似满足函数y ＝10sin(π8x ＋3π4)＋20，x ∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20 C 的时间约有▲小时．14．已知函数f (x )－|x －2|，1≤x ≤3，f (x 3)，x ＞3．若将集合A ＝{x ∣f (x )＝t ，0＜t ＜1}中元素由小到大排列，则前六个元素之和为▲．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (3,5)，AB 边所在直线的方程为x -3y +8=0，点N (0,6)在AD 边所在直线上．（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求对角线AC 所在直线的方程．16．（本小题满分为14分）在△ABC 中，已知cos A ＝45，tan(B －A )＝17，AC ＝5．求：（1）B ；（2）AB 边的长．Oxy NCDA M B（第15题图）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知点D为棱BC中点．（1）如果AB＝AC，求证：平面ADC1 平面BB1C1C；（2）求证：A1B∥平面AC1D．18．（本小题满分16分）设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，已知它的前10项和为110，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{1a n a n＋1}的前n项和T n．C1ABCA1B1D（第17题图）如图，某小区进行绿化改造，计划围出一块三角形绿地ABC，其中一边利用现成的围墙BC，长度为a米，另外两边AB，AC使用某种新型材料，∠BAC＝120︒．设AB＝x米，AC＝y米．（1）求x，y满足的关系式；（2）若无论如何设计上述三角形绿地确保此材料都够用，则至少需准备长度为多少的此种新型材料？20．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝ax2－|x－a|．（1）当a＝3时，求不等式f(x)＞7的解集；（2）当a＞0时，求函数f(x)在区间[3，＋∞)上的值域．C（第19题图）南京市2012－2013学年度第二学期期末调研测试卷高一数学参考答案及评分标准2013.06说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{1，2，3，4}．2．π．3．－32．4．－7．5．1．6．32．7．833π．8．3．9．②④．10．12．11．4．12．－2n ＋10．13．8．14．52．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解(1)解法一：因为AB 边所在直线的方程为x －3y ＋8＝0，所以k AB ＝13．……………………2分又因为矩形ABCD 中，AD ⊥AB ，所以k AD ＝－1k AB＝－3．…………………………4分所以由点斜式可得AD 边所在直线的方程为：y －6＝－3(x －0)，即3x ＋y －6＝0．…………………………6分解法二：因为矩形ABCD 中，AD ⊥AB ，所以设AD 边所在直线的方程为：3x ＋y ＋m ＝0．…………………………4分又因为直线AD 过点N (0，6)，所以将点N (0，6)代入上式得3×0＋6＋m ＝0，解得m ＝－6．所以AD 边所在直线的方程为：3x ＋y －6＝0．…………………………6分(2)x －3y ＋8＝0，3x ＋y －6＝0，＝1，＝3，即A (1，3)，…………………………10分所以对角线AC 所在直线的方程：y －35－3＝x －13－1，即x －y ＋2＝0．…………………………14分16．解(1)解法一：在△ABC 中，因为cos A ＝45，所以tan A ＝34，…………………………2分所以tan B ＝tan[(B －A )＋A ]＝tan(B －A )＋tan A 1－tan(B －A )tan A ＝17＋341－17·34＝1．…………………………4分因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4．…………………………6分解法二：在△ABC 中，因为cos A ＝45，所以tan A ＝34，…………………………2分所以tan(B －A )＝tan B －tan A 1＋tan B ·tan A ＝tan B －341＋tan B ·34＝17，解得tan B ＝1．…………………………4分因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4．…………………………6分(2)在△ABC 中，由cos A ＝45，B ＝π4，可得sin A ＝35，sin B ＝cos B ＝22，…………………………9分从而sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝7210．…………………………11分由正弦定理AC sin B ＝ABsin C，代入得522＝AB 7210，从而AB ＝7．…………………………14分解法二：作CD ⊥AB ，垂足为D ，由AC ＝5，cos A ＝45，所以CD ＝3，AD ＝4，…………………………9分又B ＝π4，所以BD ＝CD ＝3，…………………………12分所以AB ＝3＋4＝7．…………………………14分17．证明（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ．因为AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD ．………………………2分因为AB ＝AC ，D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ．…………………4分因为BC ⊂平面BB 1C 1C ，CC 1⊂平面BB 1C 1C ，BC ∩CC 1＝C ，所以AD ⊥平面BB 1C 1C ．…………………………6分因为AD ⊂平面AC 1D ，所以平面AC 1D ⊥平面BB 1C 1C ．……………………………8分（2）连结A 1C ，设A 1C ∩AC 1＝E ，连结DE ．因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 为平行四边形，C 1ABC A 1B 1D（第17题图）E所以E 为A 1C 中点．…………………………10分因为D 为BC 中点，所以DE ∥A 1B ．…………………………12分因为DE ⊂平面AC 1D ，A 1B ⊄平面AC 1D ，所以A 1B ∥平面AC 1D ．…………………………14分18．解（1）设{a n }的前n 项和为S n ，则由S 10＝110，得2a 1＋9d ＝22．①…………………………4分由a 1，a 2，a 4成等比数列，得a 22＝a 1a 4．②…………………………6分1＝2，＝2．所以a n ＝2n ；…………………………8分（2）1a n a n ＋1＝12n (2n +2)＝14(1n －1n ＋1)，…………………………12分所以T n ＝14[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝n4(n +1)．…………………………16分19．解（1）在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝x 2＋y 2－2xy cos120︒，即x 2＋y 2＋xy ＝a 2；…………………………5分（2）由x 2＋y 2＋xy ＝a 2，得(x ＋y )2＝a 2＋xy ，即(x ＋y )2－a 2＝xy ．…………………………8分由xy ≤(x ＋y 2)2，得(x ＋y )2－a 2≤(x ＋y 2)2，…………………………12分解得(x ＋y )2≤43a 2，即x ＋y ≤233a ，…………………………14分当且仅当x ＝y ＝33a 时取等号．答：至少需要准备233a 米材料，才能确保能够围成上述三角形绿地．…………………………16分20．解（1）当a ＝3时，不等式f (x )＞7，即3x 2－|x －3|＞7，①当x ≥3时，原不等式化为3x 2－x －4＞0，解得x ＜－1或x ＞43，此时取x ≥3；…………………………2分②当x ＜3时，原不等式化为3x 2＋x －10＞0，解得x ＜－2或x ＞53，此时取x ＜－2或53＜x ＜3．…………………………4分综上，所求不等式解集为{x ∣x ＜－2或x ＞53}．…………………………6分（2）（Ⅰ）当0＜a ≤3时，f (x )＝ax 2－x ＋a ＝a (x －12a )2＋a －14a．①若12a ＜3，即16＜a ≤3时，f (x )在[3，＋∞)上单调增，值域为[f (3)，＋∞)，即[10a －3，＋∞)；…………………………8分②若12a ≥3，即0＜a ≤16时，值域为[f (12a)，＋∞)，即[a －14a，＋∞)．…………………………10分（Ⅱ）当a ＞3时，f (x )2－x ＋a ，x ≥a ，2＋x －a ，3≤x ＜a ．①当x ≥a 时，f (x )＝ax 2－x ＋a ＝a (x －12a )2＋a －14a ，图象开口向上，对称轴x ＝12a在[a ，＋∞)的左边，则f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )∈[f (a )，＋∞)，即[a 3，＋∞)．…………………………12分②当3≤x ＜a 时，f (x )＝ax 2＋x －a ＝a (x ＋12a )2－a －14a ，图象开口向上，对称轴x ＝－12a 在区间[3，a )的左边，f (x )在[3，a )上为增函数，所以f (x )∈[f (3)，f (a ))，即f (x )∈[8a ＋3，a 3)．…………………………14分所以当a ＞3时，f (x )∈[a 3，＋∞)∪[8a ＋3，a 3)，即f (x )∈[8a ＋3，＋∞)．综上所述，当0＜a ≤16时，f (x )值域为[a －14a，＋∞)；当16<a ≤3时，f (x )值域为[10a －3，＋∞)；当a ＞3时，f (x )值域为[8a ＋3，＋∞)．…………………………16分。
江苏省南菁高级中学2012—2013学年第二学期期中考试高一数学试卷答案
江苏省南菁高级中学2012−2013学年第二学期期中考试高一数学试题参考答案及评分说明一、填空题：1．____________ 2．____________ 3．____________ 4．____________ 5．____________6．____________ 7．____________ 8．____________ 9．____________ 10．___________11．_______________ 12．___________ 13．___________ 14．___________ 二、解答题：15．(本题满分14分)解：(1)∵cos(A + π6) = sin A ，即cos A cos π6 − sin A sin π6 = sin A ，∴32cos A = 32sin A ， ………… 4分 显然cos A ≠ 0，否则由cos A = 0得sin A = 0，与sin 2A + cos 2A = 1矛盾，∴ tan A = 33， ∵0 < A < π， ∴A = π6． ………………………………………………………………………… 7分 (2)∵cos A = 14，4b = c ，根据余弦定理得：a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ·cos A = 15b 2，∴a = 15b …… 10分 ∵cos A = 14，∴sin A = 1 − cos 2A = 154，由正弦定理得：15b sin A = b sin B ，∴sin B = 14．…… 14分 16．(本题满分14分)解：(1)∵直线l 与线段AB 相交；∴[−3a − (−2)+2a +1][2a − (−1)+2a +1]≤0即(a − 3)(2a + 1)≥0， ……………………………………………………………………… 4分∴a ≤− 12或a ≥3； …………………………………………………………………………… 6分 (2) l ：ax − y + 2a + 1 = 0，令x = 0，y = 2a + 1；令y = 0，x = − 2a + 1a， …………………… 8分 ∵a > 0；∴l 与坐标轴围成的三角形S = 12(2a + 1) × 2a + 1a = 12(4a + 1a+ 4) ≥ 4， 当且仅当4a = 1a 即a = 12时等号成立， ……………………………………………………… 13分 ∴ l ：x − 2y + 4 = 0． ………………………………………………………………………… 14分17．(本题满分15分)解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由⎩⎨⎧2a 1 + a 3 = 3a 2a 2 + a 4 = 2(a 3 + 2)得：⎩⎨⎧a 1(2 + q 2) = 3a 1q ①a 1(q + q 3) = 2a 1q 2 + 4 ②………2分 由①得：q 2 − 3q + 2 = 0，解得q = 1或q = 2．…………………………………………………4分 当q = 1时，不合题意，舍去；当q = 2时，代入②得：a 1 = 2，则a n = 2·2n −1 = 2n ．……6分(2)∵b n = a n + log 2 1a n = 2n + log 2 12n = 2n − n ，……………………………………………………8分 ∴S n = b 1 + b 2 + … + b n = 2 − 1 + 22 − 2 + 23 − 3 + … + 2n − n= (2 + 22 + 23 + … + 2n ) − (1 + 2 + 3+ … +n )= 2(1 − 2n )1 − 2 − n (n + 1)2 = 2n +1 − 2 − 12n − 12n 2．……………………………………………11分 2x − 3y = 0 (−1，2) −5 −3 3 a ≤ 4 π3 或 2π3 2510 113 a n = ⎩⎪⎨⎪⎧3，n = 1−62n −1，n ≥2 5·3k − 4 ②③ 3 2 163∵S n − 2n +1 + 47 < 0，∴2n +1 − 2 − 12n − 12n 2 − 2n +1 + 47 < 0 即：n 2 + n − 90 > 0，解得n > 9或n < −10．…………………………………………………………14分 又n ∈N*，故使S n − 2n +1 + 47 < 0成立的正整数n 的最小值为10．………………………………15分18．(本题满分15分)解：(1)设每件定价为x 元，则提高价格后的销售量为8 −x − 251×0.1， 根据销售的总收人不低于原收入有：(8 − x − 251×0.1)x ≥ 25×8， ……………………… 3分解：(1)方程|f (x )| = g (x )，即|x − 1| = a |x − 1|，变形得：|x − 1| (|x + 1| − a ) = 0，显然，x = 1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x + 1| = a 有且仅有一个等于1的解或无解，∴a < 0． …………………………………………………………………………………………… 3分(2)当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，即(x 2 − 1)≥a |x − 1| (*)对x ∈R 恒成立，①当x = 1时，(*)显然成立，此时a ∈R ； ……………………………………………………… 5分②当x ≠ 1时，(*)可变形为：a ≤x 2 − 1|x − 1|， 令Ф(x ) = x 2 − 1|x − 1| = ⎩⎨⎧x + 1，x > 1−(x + 1)，x < 1…………………………………………………………… 7分 ∵当x > 1时，Ф(x ) > 2； 当x < 1时，Ф(x ) > −2，∴Ф(x ) > −2，故此时a ≤−2． ……………………………………………………………… 8分 综合①、②，得所求实数a 的取值范围是：a ≤−2． ………………………………………… 9分(3)h (x ) = |f (x )| + g (x ) = |x 2 − 1| + a |x − 1| = ⎨⎪⎧x 2 + ax − a − 1，x ≥1；−x 2 − ax + a + 1，−1≤x < 1；2 …………………… 10分20．(本题满分16分)解：(1)对于任意的n ∈N*，∵T n = a 1 + 2a 2 + … + 2n +1a n +2 + 2a 1 − a 3 − 2n +2a n +1，①∴2T n = 2a 1 + 22a 2 + … + 2n +2a n +2 + 4a 1 − 2a 3 − 2n +3a n +1，②∵{a n }是等差数列，∴①−②得：−T n = a 3 − a 1 + (2 + 22 + … + 2n +1)(a i +1 − a i ) + 2n +2(a n +1 − a n +2)= 2(a 2 − a 1) + (a 2 − a 1)(2 + 22 + … + 2n +1) − 2n +2(a 2 − a 1)= (a 2 − a 1)(2 + 2 + 22 + … + 2n +1 − 2n +2) = 0∴T n = 0． ………………………………………………………………… 4分(2)∵对于任意的n ∈N*，∵T n = a 1 + 2a 2 + … + 2n +1a n +2 + 2a 1 − a 3 − 2n +2a n +1 = 0，③∴T n +1 = a 1 + 2a 2 + … + 2n +2a n +3 + 2a 1 − a 3 − 2n +3a n +2 = 0，④④−③得：2n +2a n +3 − 2n +3a n +2 + 2n +2a n +1 = 0，即a n +3 − 2a n +2 + a n +1 = 0，∴a n +3 − a n +2 = a n +2 − a n +1， …………………………………………………… 7分又T 1 = a 1 + 2a 2 + 22a 3 + 2a 1 − a 3 − 23a 2 = 0，∴a 3 − a 2 = a 2 − a 1，∴{a n }是等差数列； …… 8分(3)由(2)知数列{a n }是等差数列，其公差是1，∴a n = n − 1，b n = 2n −1，当n ≥2时，S n = 3 + 2 + 4 + … + 2n −1 = 2n + 1，S 1 = 3 = 2 + 1，∴对于任意的n ∈N*，都有S n = 2n + 1．………………………………………………………………10分 假设S n 可以写成a b ，则有a b = 2n + 1，a b − 1 = 2n (a ，b ∈N ，a > 1，b > 1)，∵2n 为偶数，∴a 只能是不小于3的奇数．……………………………………………………………11分 当b 为偶数时，ab − 1 = (12+b a )(12-b a ) = 2n ， ∵12+ba ，12-b a 都是大于1的正偶数，∴存在正整数s ，t 使得：12+b a = 2s ，12-b a = 2t ， 2s − 2t = 2，2t (2s −t − 1) = 2，则2t = 2且2s −t − 1 = 1，∴t = 1，s = 2，相应的n = 3，即有S 3 = 32，S 3为“好和”； …………………………………………………… 15分当b 为奇数时，a b − 1 = (a − 1)(1 + a + a 2 + … + a b −1)，由于1 + a + a 2 + … + a b −1是b 个奇数的和，仍为奇数，又a − 1为正偶数，∴(a − 1)(1 + a + a 2 + … + a b −1) = 2n 不成立，这时没有“好和”． ………………………… 16分。
江苏省海安高级中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题
2012-2013学年第二学期期中考试试题卷高一数学 2013.4本试卷分填空题和解答题两部分．考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试卷上答题无效．本卷满分160分,考试时间为120分钟． 注意事项：1． 答题前，考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题卷规定区域内；2． 填空题和解答题均使用0.5毫米的黑色中性签字笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚，作图可用2B 铅笔；3． 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 在ABC ∆中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若bBa A cos sin =，则角=B ． 2. 在等差数列{}n a 中，若1120,a =则21S = ．3. 已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则a ＝________. 4.已知等比数列{}n a 公比0>q ，若32=a ，21432=++a a a ，则345____.a a a ++= 5. 在△ABC 中，若a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则边c ＝________. 6.“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？”答曰： 盏．7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .8. 设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ,则y x z 25+=的最大值是 ．9. 0a <,0b <,则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 ． 10. 已知正项等比数列{}n a 满足:5672a a a +=,若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =,则nm 41+的最小值为 ．11．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的 形状为_____________．12．已知圆内接四边形ABCD 中，2,6,4,AB BC AD CD ====则四边形ABCD 的面积为________．7第题图13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若nnS S 2)(*∈N n 是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列{}n C 是首项为1C ，公差为d （0≠d ）的等差数列，且数列{}n C 是“和等比数列”，则d 与1C 的关系式为_________________． 14.已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为弧AB 的中点，点D ，E 分别在半径OA ，OB 上．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝269，则OD ＋OE 的最大值是________．二、解答题（本大题共6小题，满分90分） 15. （本题满分14分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0（0a >）.16.（本题满分14分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项． (1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．17.（本题满分15分)对任意函数(),f x x D ∈，可按流程图构造一个数列发生器， 其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端再输出21()x f x =,并且依此规律继续下去.现定义42()1x f x x -=+.(1)若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ，请写出数列{}n x 的所有项；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的 取值范围.18.（本题满分15分）设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝a na n ＋m (m ∈N *)．(1)若b 1，b 2，b 8成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{b n }中存在某项b t 满足b 1，b 4，b t (t ∈N *，t ≥5)成等差数列？ 若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．19．（本题满分16分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。
江苏省南通市通州区20122013学年高一数学上学期期中联考试题苏教版.doc
2012—2013学年第一学期通州区三星级高中期中联考高一数学试题试题总分：160分 考试时间：120分钟一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1. 集合{}1,1-=A 的子集的个数为 ▲ ．2. 已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，满足f (1)＝0，f (2)＝0，则f (－1)= ▲ ． 3. 函数)4lg(2x x y -++=的定义域为 ▲ ． 4. 已知0m >，化简21334(2)m m -÷的结果为 ▲ ．5. 对应:f A B →是集合A 到集合B 的映射，若集合{}1,0A =-，{}1,2B =，则这样的映射有 ▲ 个．6. 已知函数⎩⎨⎧<≥=)0(2)0(2)(x x x x f x 则=-))1((f f ▲ ．7. 计算：12839()log 9log 324-+⨯= ▲ ．8. 已知函数()f x 由下表给出，则满足(())2f f x ≤的x 的值是 ▲ ．9. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则 喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ▲ ． 10. 已知5.02.12.05.1,8.0log ,3.0log ===c b a , 则将c b a ,,按从小到大的顺序排列为 ▲ ．11. 若函数2)21()(1+=-x x f 的图像恒过定点 ▲ ．12. 已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，x x f 21)(+=，则=)8(log 21f ▲ ．13．若,,,2121x x R x x ≠∈则下列性质对函数x x f 2)(=成立的序号是 ▲ ． ①);()()(2121x f x f x x f ⋅=+ ②);()()(2121x f x f x x f +=⋅ ③;0)()]()([2121>-⋅-x x x f x f ④).2(2)()(2121x x f x f x f +>+ 14. 下列说法正确的有 ▲ ．（填序号）①若函数()f x 为奇函数，则(0)0f =；②函数1()1f x x =-在(,1)(1,)-∞+∞U 上是单调减函数；③若函数(21)y f x =+的定义域为[2,3]，则函数()f x 的定义域为1[,1]2；④要得到(21)y f x =-的图象，只需将(2)y f x =的图象向右平移12个单位.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)设全集为R ，集合{}63≥≤=x x x A 或,{}92<<-=x x B .（1）求B A Y ，(∁U A)I B ；（2）已知{}1+<<=a x a x C ，若B C ⊆,求实数a 的取值范围.16. (本小题满分14分)化简与求值 （143342(0,0)()a b a b a b->>⋅；（2）02221log log 12log 42(1)2---.17. (本小题满分14分)已知某皮鞋厂一天的生产成本C （元）与生产数量n （双）之间的函数关系是400050.C n =+ （1）如果某天的生产成本是36000元，问这一天生产了多少双皮鞋？（2）若每双皮鞋的售价是90元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的利润P 关于这一天生产数量n 的函数表达式，并求出每天至少生产多少双皮鞋，才能保证每天的利润不低于8500元？18. (本小题满分16分)函数).(1212)(R x x f x x ∈+-=（1）判断并证明函数)(x f 的单调性； （2）判断并证明函数)(x f 的奇偶性； （3）解不等式.0)32()1(<-+-m f m f19. (本小题满分16分)二次函数)(x f 的图像顶点为),16,1(A 且图像在x 轴上截得线段长为8. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）令),()22()(x f x a x g --=若)(x g 在区间]2,0[上的最大值是5，求实数a 的值.20. (本小题满分16分)已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体：在定义域D 内存在0x ，使得 )1()()1(00f x f x f +=+成立.（1）函数xx f 1)(=是否属于集合M ?说明理由； （2）若函数b kx x f +=)(属于集合M ，试求实数k 和b 的取值范围；（3）设函数1lg )(2+=x ax f 属于集合M ，求实数a 的取值范围．2012—2013学年第一学期通州区三星级高中期中联考高一数学参考答案及评分标准一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1.集合{}1,1-=A 的子集的个数为 ▲ . 42. 已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，满足f (1)＝0，f (2)＝0，则f (－1)= ▲ ． 6 3. 函数)4lg(2x x y -++=的定义域为 ▲ . )4,2[- 4. 已知0m >，化简21334(2)m m -÷的结果为 ▲ ．2m5. 对应:f A B →是集合A 到集合B 的映射，若集合{}1,0A =-，{}1,2B =，则这样的映射有 ▲ 个．46. 已知函数⎩⎨⎧<≥=)0(2)0(2)(x x x x f x则=-))1((f f ▲ . 17. 计算：=⨯+-32log 9log )49(3821▲ . 48. 已知函数()f x 由下表给出，则满足(())2f f x ≤的x 的值是 ▲ . 2，39. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 ▲ . 1210. 已知5.02.12.05.1,8.0log ,3.0log ===c b a , 则将c b a ,,按从小到大的顺序排列为 ▲ .b <a <c11. 若函数2)21()(1+=-x x f 的图像恒过定点 ▲ . （1,3）12. 已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，x x f 21)(+=，则=)8(log 21f ▲ . -913.若,,,2121x x R x x ≠∈则下列性质对函数x x f 2)(=成立的序号是 ▲ .①③④ ①);()()(2121x f x f x x f ⋅=+ ②);()()(2121x f x f x x f +=⋅ ③;0)()]()([2121>-⋅-x x x f x f ④).2(2)()(2121x x f x f x f +>+14. 下列说法正确的有 ▲ ．（填序号）④①若函数()f x 为奇函数，则(0)0f =；②函数1()1f x x =-在(,1)(1,)-∞+∞U 上是单调减函数；③若函数(21)y f x =+的定义域为[2,3]，则函数()f x 的定义域为1[,1]2；④要得到(21)y f x =-的图象，只需将(2)y f x =的图象向右平移12个单位. 二、解答题: 本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本题14分）设全集为R ，集合 {}63≥≤=x x x A 或,{}92<<-=x x B . （1）求B A Y ，(∁U A)I B ；（2）已知{}1+<<=a x a x C ，若B C ⊆,求实数a 的取值范围. 解：（1）A B U =R ………………………3分∁U A =}63{<<x x ，∴ （∁U A ） {}63<<=x x B I …………9分 （2）∵{}|1C x a x a =<<+，且C B ⊆, ∴219a a ≥-⎧⎨+≤⎩…………12分∴所求实数a 的取值范围是82≤≤-a …………14分 16.（本题14分）化简与求值 （143342(0,0)()a b a b a b->>⋅；（2）02221log log 12log 42(1)2---.（1）1ab - …………7分；（2）32-…………7分。
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1
2012-2013学年度第二学期高一数学期中试卷
一、填空题：每小题3分
1．不等式022
≤--x x 的整数解共有 个．
2. 若集合}01|{2
<-=x x A ，集合}0|{>=x x B ，则=⋂B A . 3．在ABC ∆中，如果4:3:2::=c b a ，那么C cos = ． 4．在等差数列}{n a 中，当292=+a a 时，它的前10项和10S = ． 5．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c ，已知1,3,3
===
b a A π
，则
ABC ∆的形状是 ．
6．若△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且c b a ,,成等比数列，a c 2=，则B cos 的值为
7.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = _. 8．若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则
3
6
S S = ． 9.在等比数列{}n a 中，若22a =，632a =，则4a = 10.在ABC ∆中,5,8,7a b c ===, 则BC CA ⋅
的值为 .
11．已知等比数列{}n a 满足0n a >，n =l ，2，…，且()252523n
n a a n -⋅=≥，则当3
n ≥时， 212223221log log log log n a a a a -++++= ．
12．在ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,所对的边分别是,,a b c
，若222
b c a +-=
，且
b
a
=，则C ∠= 或 ． 13．设{}n a 是正项数列，它的前n 项和n S 满足：()()314+⋅-=n n n a a S ，则
=1005a ．
14. 若正实数y x ,满足1=+y x ,且y
x t 41
2-
+=. 则当t 取最大值时x 的值为 . 二、解答题：（第15题8分，16-20题每题10分）
2 15.函数)0(3)2()(2
≠+-+=a x b ax x f ，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若函数)(x f 在]1,[m x ∈上的最小值为1，求实数m 的值．
16．已知1
tan ,tan 2.3
αβ=
=- （１）求tan(),tan()αβαβ+-；
（２）求βα+的值（其中
18090,900<<<<βα）
．
17． 如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求
AB 的长．
18．等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列， (1)求数列{}n a 的通项公式； （2）求前20项的和20S 。
19.某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年维修费为1万元，以后每年增加2
万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元。
（1）n 年利润是多少？第几年该楼年平均利润最大？最大是多少？
20.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B,C 所对的边，a ，b ，c 成等差数列，且a=2c 。
（1）求cosA 的值； （2）若△ABC
，求b 的值
南京市板桥中学2012-2013学年度高一年级期中考试
数 学 参 考 答 案
一、填空题：本大题共14小题,每小题3分,计42分.不需写出解答过程,请把答案写在答题
纸的指定位置上.
C
A
B
D
3
1． 4 2． （0,1） 3．41
-
4．11 5．直角三角形6．34
7．13 8． -7 9．4± 10．-25
11．n （2n-1） 12．0
10515或 13． 2011 14．
1
2
二、解答题：本大题共6小题，计58分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分8分) 解：（Ⅰ）由条件得()()()()⎩⎨
⎧⎩⎨⎧=+-+=+--⇒==-032390
320
30
1b a b a f f ， 3分 解得：4,1=-=b a ． 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得32)(2
++-=x x x f ， 5分
()x f y = 的对称轴方程为1=x ，)(x f ∴在]1,[m x ∈上单调递增， 6分
m x =∴时，()()132,2min =++-∴=m m m f x f ， 7分
解得31±=m ．31,1-=∴<m m ． 8分16、（1）-1,7各给3分。
（2）135°2分
17、求出∠ADC 或∠C 的正弦，5分。
，5分. 18、n a =n+6，5分。
（2）330,5分. 19、列式5分，结果3分答2分 20、（1）14
-。
（2）b=3各5分
南京市板桥中学2012~2013学年第二学期
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。
请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．
. 1. ；2. ；3. ；
4. ；
5. ；
6. ；
7. ；
8. ；
9. ；10. ；11. ；
______________成绩______________
12. ；
13. ；14. ；
二、解答题：本大题共6小题，共58分。
请在答题卡指定区域
．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题8分）
16. （本小题10分）
17. （本小题10分）
4
18．（本小题10分）19．（本小题10分）
C
A
B D
5
20．（本小题10分）6。