高三数学集合的基本概念与运算
高三数学知识点总结(3篇)
高三数学知识点总结第一章：集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性如：世界上的山（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性：如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集：N-或N+整数集：Z有理数集：Q实数集：R1）列举法：{a,b,c……}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图：4、集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合（2）无限集含有无限个元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，;（2）A与B是同一集合。
反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）实即：①任何一个集合是它本身的子集。
AíA②真子集：如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）③如果AíB,BíC,那么AíC④如果AíB同时BíA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
4.子集个数：有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集第二章：基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈-.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）.当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）.由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。
高三数学第一轮复习1.1 集合的概念与运算
B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}
∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}. ∵C={x∈R|-1≤x≤5}, ∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.
B解析-21-关闭 关闭答案第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
≥ <
2������, -1
或
������ + 3 2������ >
≥ 4,
2������,解得
a<-4
或
2<a≤3.
综上可得,实数 a 的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
(-∞,-4)∪(2,+∞)
图(1) 图(2)
关闭
解析 答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-19-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.判定集合间的基本关系有两种方法.方法一:化简集合, 从表达式中寻找集合的关系;方法二:用列举法(或图示法等)表示各 个集合,从元素(或图形)中寻找关系.
2.解决集合间的基本关系的常用技巧:(1)若给定的集合是不等式 的解集,则用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求 解;(3)若给定的集合是抽象集合,则常用Venn图求解.
()
A.A=B
B.A∩B=⌀
C.A⊆B
D.B⊆A
思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间的基本关系
的常用技巧有哪些? 关闭
∵A={x|y=ln(x+3)},∴A={x|x>-3}.
又B={x|x≥2},∴B⊆A.
高三集合复数知识点总结
高三集合复数知识点总结集合与复数是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和理解数学概念中扮演着关键角色。
本文将对高三阶段所涉及的集合与复数的知识点进行总结，以帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、集合的概念及运算集合是由具有某种特定性质的事物或对象组成的整体。
在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，如集合A、集合B等。
集合中的元素可以是数字、字母、图形等。
1. 集合的表示方法集合通常用大括号表示，元素之间用逗号分隔。
例如，集合A = {1, 2, 3} 表示集合A包含元素1、2和3。
2. 集合的分类集合可以分为有限集和无限集。
有限集是元素数量有限的集合，而无限集是元素数量无限的集合。
此外，还有空集，即不包含任何元素的集合。
3. 集合间的关系集合间的关系主要包括子集、真子集、相等和并集等。
子集是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素；真子集是指一个集合不仅是另一个集合的子集，而且还有自己独有的元素；两个集合相等是指它们包含完全相同的元素；并集是指将两个集合的所有元素合并在一起构成的新集合。
4. 集合的运算集合的运算主要包括并集、交集和补集。
并集运算用符号∪表示，交集运算用符号∩表示，补集运算用符号'或{ }^c表示。
例如，集合A 和集合B的并集是A∪B，交集是A∩B，集合A在全集U中的补集是A'或U^c。
二、复数的概念及运算复数是实数的扩展，它由实部和虚部组成，一般形式为a+bi，其中a 和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
1. 复数的表示复数可以在平面上表示为一个点或一个向量。
实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
这种表示方法称为复平面。
2. 复数的分类复数可以根据实部和虚部的符号进行分类，包括实数、纯虚数、正实数、负实数等。
3. 复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
复数的加法和减法运算类似于向量的加法和减法，即将对应的实部和虚部分别相加或相减。
复数的乘法运算需要使用分配律和虚数单位i的幂运算规则。
高一数学集合知识点总结_高三数学知识点总结
高一数学集合知识点总结_高三数学知识点总结一、集合的概念集合是指具有某种特定性质的对象的总体。
一般记为大写英文字母A,B,C…集合中的对象称为元素，记作小写字母a,b,c…。
二、集合的表示方法1. 列举法：将集合中的元素按一定次序一一列举出来。
例如：A={1,2,3,4,5}2. 描述法：给出集合中元素的某种性质的数学表达式。
例如：B={x|x为自然数，且0<x<6}三、集合的基本运算1. 并集定义：设A和B是两个集合，由所有属于集合A或者属于集合B的元素所构成的集合，称为A和B的并集，记作A∪B。
例如：若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}五、集合的基本定理1. 有限集的基本定理对于有限集A，|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B||A|表示集合A的元素个数。
2. 集合的基本性质（1）空集的性质空集是任意集合的子集。
（2）全集的性质全集是任意集合的父集。
六、集合的应用集合的相关知识在数学中有着广泛的应用，例如在概率统计中，集合的运算可以很好地描述事件、样本空间等概念；在数学分析中，集合可以用来表示数轴上的区间、开闭集等概念；在数理逻辑中，集合运算可以用来表示充分条件、必要条件等概念。
在高一数学中，集合的知识虽然只是数学的基础知识之一，但是却是十分重要的内容，能够帮助学生建立起数学基本思维，培养学生的逻辑思维能力，为将来数学的学习打下基础。
高三数学作为学生们数学学习的最后阶段，涉及到的知识点繁多，其中包括了微积分、立体几何、概率统计等内容。
下面就对高三数学的一些重要知识点进行总结。
一、微积分微积分是高三数学中一个重要的知识点，主要包括了导数、微分、积分等内容。
1. 导数导数是函数在某一点处的变化率，通常用函数f(x)关于自变量x的一阶微分dx的商来表示。
例如：若y=f(x)，则y’=f’(x)=lim（Δx→0）（f（x+Δx）-f(x)）/Δx2. 微分微分是导数的一种形式，通常用于刻画变化量小的两点之间的差别。
集合论初步知识和集合运算规律
集合论初步知识和集合运算规律集合论是数学的一个基本分支，它研究了集合以及集合之间的关系和运算。
集合论的主要概念和运算规律如下：1.集合的基本概念：–集合：由明确的、相互区别的对象组成的整体，称为一个集合。
–元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素。
–集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合的所有元素，如{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。
2.集合的类型：–普通集合：包含任意类型的元素的集合。
–子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合称为另一个集合的子集。
–真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合称为另一个集合的真子集。
–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
–无穷集合：包含无限多个元素的集合。
3.集合运算规律：–并集（∪）：两个集合的并集包含两个集合的所有元素，但不重复计算重复的元素。
–交集（∩）：两个集合的交集包含两个集合共有的元素。
–补集：对于一个给定的集合S和 universal set（全体集合），S的补集是全体集合中不属于S的元素组成的集合。
–相对补集：对于两个不相交的集合S和T，S在T中的补集是T中不属于S的元素组成的集合。
–幂集：集合S的所有子集组成的集合称为S的幂集。
4.集合运算的性质和定律：–交换律：对于集合运算，交换集合的位置不改变运算结果。
–结合律：对于集合运算，多个集合进行同一运算时，运算顺序不影响结果。
–分配律：集合运算中，一个集合与多个集合的并集进行运算，等于与每个集合分别进行运算的结果。
–吸收律：集合运算中，一个集合与它自己的并集等于它自己。
–同一律：集合运算中，一个集合与它自己的交集等于它自己。
以上是集合论初步知识和集合运算规律的概述，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：判断下列哪些是集合，哪些不是集合？a){1, 2, 3}b)所有质数c)高三一班的学生d)全体自然数解答：a)、b)、c)、d)都是集合。
高三集合知识点总结
高三集合知识点总结在高三的学习过程中，我们学习了许多关于集合的知识点。
这些知识点是我们理解和应用数学的基础，为我们进一步学习和掌握其他数学概念奠定了重要的基础。
下面是对高三集合知识点的总结。
一、集合的定义和表示方法在数学中，我们将同一性质的对象的整体称为集合。
集合的表示方法有两种常用的方式：列举法和描述法。
列举法是通过把集合中的元素一一列举出来表示，描述法则是使用一个条件来表明集合中元素的特性。
二、集合的运算1. 并集：表示两个或多个集合中的所有元素的集合。
用符号“∪”表示。
例如，集合A和集合B的并集为A∪B。
2. 交集：表示两个或多个集合中共有的元素的集合。
用符号“∩”表示。
例如，集合A和集合B的交集为A∩B。
3. 差集：表示某个集合中除去其他集合中已有的元素所剩下的元素的集合。
用符号“－”表示。
例如，集合A减去集合B的差集为A－B。
4. 互斥：表示两个集合没有共同元素。
如果集合A∩B为空集，则集合A和集合B互斥。
5. 包含关系：表示一个集合是否包含另一个集合。
如果集合A中的所有元素都属于集合B，则集合A包含于集合B。
三、集合的性质1. 子集：表示一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
如果集合A的所有元素都属于集合B，则集合A是集合B的子集。
用符号“A⊆B”表示。
2. 空集：表示没有任何元素的集合。
用符号“∅”表示。
3. 全集：表示包含所有可能元素的集合。
用符号“U”表示。
4. 幂集：表示一个集合的所有子集的集合。
用符号“P(A)”表示，其中A为给定集合。
四、集合的应用1. 排列组合：集合论在排列组合中有着广泛的应用。
通过对所求解的对象进行合理的划分，使用集合论的基本原理，可以更加简便地解决排列组合问题。
2. 数理逻辑：集合论为数理逻辑提供了基础，数学推理中的假设、条件、结论等都可以用集合的交集、并集来表示。
3. 概率论：集合论在概率论中起着关键作用。
通过集合的运算，可以更好地描述和解决概率问题。
专题01 集合的概念与运算 (解析版)
专题01 集合的概念与运算【名师预测】江苏高考对集合知识的考查比较低，以填空题的形式进行考查，主要考查集合与集合、元素与集合间的关系以及集合的交集、并集、补集的运算，同时注重对Venn图、数轴等数形结合思想的考查。
集合的基本运算有时会以集合知识为载体，往往与函数、方程、不等式等知识结合考查，体现出小题目综合化的命题趋势。
集合的学习要有弹性，要有所取舍．比如我们不必在集合间的关系上过于深究，也不必在集合的概念等内容上过于钻研。
【知识精讲】1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4.集合关系与运算的常用结论(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有12n-个，非空子集有12n-个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)C U(A∩B)＝(C U A)∪(C U B)，C U(A∪B)＝(C U A)∩(C U B)．【典例精练】考点一集合的基本概念例1． A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．故答案为9.例2．若－1∈{a－1,2a＋1，a2－1}，则实数a的取值集合是________．【解析】若a－1＝－1，解得a＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a＋1＝－1，解得a＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意；若a2－1＝－1，解得a＝0，不符合题意，综上所述，a＝－1．故答案为{－1}.例3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．①当a＝0时，x＝23，符合题意；②当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98. ∴a 的值为0或98故答案为0或98.例4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________． 【解析】由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1； 若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意． 故m ＝2. 故答案为2.【方法点睛】与集合中元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集； (2)看这些元素满足什么限制条件；(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 考点二 集合间的基本关系例5．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈，则集合B 的子集的个数是 . 【解析】∵集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈ ∴{}(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)B = ∴集合B 的子集个数是4216=. 故答案为16.例6．设集合{}2,4A =，{}2,2B a =，(其中0a <)，若A B =，则实数a =________. 【解析】∵集合{}2,4A =，{}2,2B a =，且A B = ∴24a = 又0a < ∴2a =- 故答案为－2.例7．已知集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆，则正实数a =________.【解析】∵集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆ ∴24a = ∴2a = 故答案为2.例8．已知集合{}15A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若()B A B ⊆，则实数a 的取值范围为________．【解析】∵()B A B ⊆∴B A ⊆①当B =∅时，满足B A ⊆，此时3a a -≥+，即32a ≤-. ②当B ≠∅时，要使B A ⊆，则3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-由①②可知，实数a 的取值范围为(,1]-∞-． 故答案为(,1]-∞-.【方法点睛】判断集合间关系的3种方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系；②结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断； ③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系，运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 考点三 集合的基本运算例9．设全集{}*5,U x x x N =<∈，集合{}1,2A =，{}2,4B =，则()U C AB = .【解析】∵集合{}{}*5,1,2,3,4U x x x N =<∈=，且集合{}1,2A =，{}2,4B = ∴{}1,2,4AB =∴{}()3U C AB =故答案为{}3.例10．已知全集{}22,3,23U a a =+-，{}21,2A a =-，{}5U C A =，则实数a ＝________. 【解析】由题意知，2235a a +-=，解得a ＝－4或a ＝2.① 当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9U ∉，所以a ＝－4不满足题意，舍去； ② 当a ＝2时，|2a －1|＝3，3U ∈，满足题意． 故实数a 的值为2. 故答案为2.例11．设集合{}(,)1A x y y ax ==+，集合{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =，则a b +=____.【解析】∵集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =∴521a =+，且52b =+ ∴2a =，3b = ∴5a b += 故答案为5.例12．设A ，B 是非空集合，定义{}()()A B x x A B x A B ⊗=∈∉且．已知集合{}02A x x =<<，{}0B y y =≥，则A B ⊗=________.【解析】∵{}02A x x =<<，{}0B y y =≥ ∴{}0AB x x =≥，{}02A B x x =<<∴{}02A B x x x ⊗==≥或 故答案为{}02x x x =≥或.【方法点睛】解集合运算问题4个技巧① 看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键； ② 对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明 了、易于解决；③ 数形结合：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图；④新定义型问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.【名校新题】一、填空题1．（2019·江苏徐州第一次质量检测）已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B =_________．【解析】取集合,A B 的公共部分即可，所以，{1,2}A B ⋂= 故答案为：{}1,22．（2019·苏北七市第二次质量检测）已知集合{}13A a =，，，{45}B =，．若A B ={4}，则实数a 的值为____．【解析】∵A B ⋂= {}4，∴a=4 故答案为43．（2019·江苏金陵中学高考第四次模拟）设全集U ＝{}5N x x x *<∈，，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则∁U (A ⋃B)＝_______．【解析】集合U ＝{}5N x x x *<∈，＝{}1,2,3,4，且A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，得A ⋃B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ⋃B)＝｛3｝ 故答案为：｛3｝4．（2019·江苏南通四月质量检测）已知集合 ，B ，则A B _____．【解析】∵由题意可知A∩B 中的元素是2的整数倍，且在(-2,3)内， ∴A∩B ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．5．（2019·江苏徐州高考考前模拟）集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．【解析】A 中仅有1B -∈，故AB 中元素的个数为1，填1 .6．（2019·江苏宿迁调研测试）已知集合[)1,4,(,)A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 。
高三集合的知识点
高三集合的知识点高三数学中的集合是一个重要的知识点，它是其他数学章节的基础和桥梁。
本文将从集合的定义与表示、集合间的关系和运算三个方面进行讨论，帮助同学们全面理解和掌握高三集合的知识。
一、集合的定义与表示在数学中，集合是由一些特定对象组成的整体。
集合的基本定义是指明这个整体中的每个对象，为了表示出这个整体的范围，我们常常使用大括号{}来表示集合。
例如，集合A可以表示为A={a, b, c, ...}，其中a, b, c为集合A中的元素，...表示还有其他元素未列出。
除了列举元素的方式外，还可以通过条件来描述集合。
比如，我们可以表示集合B为B={x | x > 0}，这表示B中的元素满足x大于0的条件。
二、集合间的关系在高三数学中，我们常常需要判断集合之间的关系。
这些关系包括子集、相等集合和互斥集合。
1. 子集：对于集合A和集合B，如果A中的所有元素都属于B，那么我们称A是B的子集，记作A⊆B。
例如，若A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4}，则A是B的子集。
2. 相等集合：对于集合A和集合B，如果A是B的子集，且B 是A的子集，那么我们称A和B是相等集合，记作A=B。
例如，若A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3}，则A和B是相等集合。
3. 互斥集合：对于集合A和集合B，如果A和B没有共同的元素，即A∩B=∅，那么我们称A和B是互斥集合。
例如，若A={1, 2}，B={3, 4}，则A和B是互斥集合。
三、集合间的运算在高三数学中，我们常常需要对集合进行运算，以便获得特定的结果。
这些集合运算包括并集、交集、差集和补集。
1. 并集：对于集合A和集合B，我们定义它们的并集为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
例如，若A={1, 2}，B={2, 3}，则A∪B={1, 2, 3}。
2. 交集：对于集合A和集合B，我们定义它们的交集为同时属于A和B的元素组成的集合，记作A∩B。
高三数学集合知识点总结归纳图片
高三数学集合知识点总结归纳图片在高三数学学习中，集合是一个重要的概念，涉及到集合的定义、运算、性质等方面。
下面通过归纳总结的方式来介绍高三数学集合知识点，并附上相应的图片。
一、集合的基本概念集合是数学中的一个基本概念，可以理解为由确定的事物组成的整体。
记作A、B、C等大写字母。
集合中的元素用小写字母表示，比如a、b、c等。
1. 集合的表示方法集合的表示方法有两种常用方式：枚举法和描述法。
- 枚举法（列举法）：通过列举集合中的元素来表示集合。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示A中的元素是1、2、3、4。
- 描述法：通过描述元素的特征来表示集合。
例如，集合B={x|x是整数，0<x<5}表示B中的元素是介于0和5之间的整数。
2. 集合间的关系在集合中，常常需要研究集合之间的关系，包括子集、相等集合和空集等。
- 子集：如果一个集合A的所有元素都是集合B的元素，那么A是B的子集，记作A⊆B。
例如，集合A={1, 2}是集合B={1, 2, 3, 4}的子集。
- 相等集合：如果两个集合A和B互为子集，则它们是相等的，记作A=B。
- 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。
二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等操作，用于研究集合之间的元素关系。
1. 并集并集表示由两个或多个集合的所有元素组成的集合。
记作A∪B，读作A并B。
并集的元素包含在原来集合的元素中，不重复计算。
2. 交集交集表示两个集合中共有的元素构成的集合。
记作A∩B，读作A交B。
交集的元素只包含同时属于两个集合的元素。
3. 差集差集表示一个集合中除去与另一个集合相同的元素得到的集合。
记作A-B，读作A减B。
差集的元素包括在前一个集合中，但不在后一个集合中。
4. 补集补集表示相对于某个全集而言，除去一个集合中的元素所得到的集合。
记作A'或A^c。
补集的元素属于全集而不属于集合A。
三、集合的性质集合有一些基本的性质，有助于我们理解集合的运算和关系。
高三数学集合的概念及运算知识精讲
高三数学集合的概念及运算【本讲主要内容】集合的概念及运算【知识掌握】 【知识点精析】集合的基本概念及其表示法掌握之后，研究集合的关系，运算是后续基础知识，与第一讲的知识点构成集合的整体；为以后运用集合工具形成集合思想打基础。
1. 集合间的关系是包含与不包含，相等与不相等的关系，集合A 与集合B 之间的关系很直观地用文代图示于：A 是B 的子集⇔A 包含于B （B 包含A ）A 不是B 的子集⇔A 不包含于B （B 不包含A ）A 是B 的子集且B 是A 的子集⇔A 、B 相等客观存在很多如上关系，如数集之间的关系2. 集合的运算，由已知集合中的元素构造出与之相关的新集合，可以写作是已知集合的运算结果，定义运算是人为的，常用的集合运算有：（以两个集合为例）① 交集——由两个集合中的公共元素构成的集合。
② 并集——由两个集合中的所有元素构成的集合。
③ 补集——存在于全集中的某个集合的补集是由非本集合中的全集中其它元素构成的集合。
三. 要认识到以下几点：第一，从运算的角度认识“交集”、“并集”、“补集”运算的对象与结果都是集合。
第二，从相互间的联系认识运算的结果，结果又是集合家族的繁衍。
第三，运用变化的联系的观点认识不同关系下各种运算的结果，有怎样的联系。
第四，定义从两个集合的运算为基础，可扩展到多个集合间的运算。
四. 知识讲解程序： （一）集合间的关系1. 子集：设A 、B 是两个集合，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则称这两个集合有包含关系，且称A 是B 的子集，记作B A ⊆（或A B ⊇）（读作A 包含于B 或B 包含A ）说明：① 两个集合具有包含关系亦即一个集合是另一个集合的子集。
② 符号语言：A 是B 的子集⇔B A ⊆（读作A 包含于B ）⇔A B ⊇（B 包含A ）⇔A x ∈∀，都有B x ∈。
③ 图形语言（Venn 图示）思考：两图是否符合子集定义？2. 相等：如果A 是B 的子集，且B 是A 的子集，则称两个集合相等，记作A=B 。
高三一轮复习集合知识点和题型
第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念知识点1.元素和集合的概念元素：一般地，我们把研究对象统称为元素集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。
知识点2.集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的。
设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．（2）互异性： 给定一个集合，它的任意两个元素是互不相同的。
也就是说集合中的元素是不重复出现的。
集合中相同的元素只能算是一个。
（3）无序性：集合中的元素是不分先后顺序的．知识点3.元素与集合的关系一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。
特别注意：（1）集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的；（2）元素与集合之间不存在大小与相等的关系，只存在属于或不属于的关系。
如2与{}3，只能是{}23∉，不能写成{}23≠。
知识点4.集合的第一种表示方法自然语言和常用数集及记法上面举的例子：中国的直辖市组成的集合。
还比如：地球上的四大洋组成的集合；小于10的所有自然数组成的集合等等我们是可以用自然语言表示一个集合。
数学中有一些常用数集，就是自然语言表示的， 这些常用数集及记法如下： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N 。
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N 。
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z 。
（4）全体有理数数组成的集合称为有理数集，记作Q 。
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。
知识点5.集合的表示方法 （1）自然语言 （2）列举法列举法概念：像这样把集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来表示集合的方法叫做列举法。
高三数学集合
高三数学集合第一章集合与常用逻辑用语第一单元集合考点要求一、集合1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的"属于"关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．【知识网络】第一节集合的概念与相互关系自主学习1．集合的含义与表示（1）一般地，把一些指定的对象组成的总体叫做集合，集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性三大特性；（3）常用的集合表示法：列举法、描述法或图示法（图）；（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作；正整数集，记作或；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作．2．集合间的关系：（1）集合的任何一个元素都是集合的元素，则称是的子集（或B包含），记作．（2）集合相等：构成两个集合的元素完全一样，若且，则称等于，记作．（3）若且，则称是的真子集，或者若，但存在元素且，则称是的真子集，记作．（4）不含任何元素的集合称为空集，记作．规定：空集是任何集合的子集．（5）简单性质：1）；2）；3）若，，则．教材透析1．集合中的元素必须具有：确定性、互异性与无序性。
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合中元素的排列不是固定的；2．集合有三种表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内．具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3．若集合是个元素的集合，则集合有个子集（其中个真子集，个非空真子集）．典例剖析【题型1】集合元素的基本特征【例1】已知集合，试求集合的所有子集.【解析】由题意可知是的正约数，所以可以是；相应的为，即.∴的所有子集为．【点评】本题主要考查集合的基础知识，集合中的元素具有确定性、互异性与无序性三大特性，尤其是互异性在解题中应予以足够重视.【变式与拓展】1.已知集合，,,求的值．【解析】由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因为当时，与题意不符，所以，.【题型2】集合的表示法【例2】已知集合且,求参数的取值范围．【解析】由已知易求得当时,,由知无解；当时,,显然无解；当时, ,由解得．综上知,参数的取值范围是.【点评】本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【变式与拓展】2. (2009广东文)已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（）图是【解析】由，得，则，选B．题型3 集合间的基本关系【例3】已知,集合.若,则的值是( )A.5B.4C.25D.10【解析】，，且及集合中元素的互异性知,即,此时应有．而,从而在集合B中, ．由,得由(2)(3)解得，代入(1)式知，也满足(1)式，【点评】本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键.设集合，则满足的集合B的个数是（）。
集合数学知识点高三
集合数学知识点高三集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的元素所组成的。
在高三的数学学习中，我们将会接触到一些与集合相关的重要知识点。
本文将对高三数学中涉及的集合知识进行详细介绍，包括集合的表示、运算、关系、特殊集合等。
一、集合的基本表示方法在数学中，我们用大写字母A、B、C等表示集合，集合中的元素用小写字母a、b、c等表示。
集合可以通过列举法、描述法和区间法进行表示。
（1）列举法：直接将集合中的元素列举出来，用大括号{}括起来。
例如集合A={1,2,3,4,5}。
（2）描述法：通过给出满足特定条件的元素的描述来表示集合。
例如集合B={x|x是偶数}，表示B中的元素是所有偶数。
（3）区间法：当集合的元素是连续的数字时，可以使用区间法进行表示。
例如集合C=[1,5]，表示C中的元素是1到5之间的所有数字。
二、集合的运算在集合中，我们可以进行交集、并集、差集和补集等运算，用以描述集合之间的关系。
（1）交集：两个集合A和B的交集，表示为A∩B，表示A和B共有的元素构成的集合。
例如集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B={2,3}。
（2）并集：两个集合A和B的并集，表示为A∪B，表示A和B的所有元素组成的集合。
例如集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。
（3）差集：集合A减去集合B，表示为A-B，表示属于A但不属于B的元素组成的集合。
例如集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A-B={1}。
（4）补集：集合A对于全集Ω而言的补集，表示为A'，表示所有不属于A的元素组成的集合。
例如集合A={1,2,3}，全集Ω={1,2,3,4,5}，则A'={4,5}。
三、集合的关系在集合中，我们还可以了解到集合的包含关系、相等关系以及互不相交等关系。
（1）包含关系：如果一个集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，表示为A⊆B。
高三数学第一轮复习知识点
高三数学第一轮复习知识点高三数学第一轮复习集合知识点一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2.集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于属于的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作aA，相反，a不属于集合A记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R|x-32}或{x|x-32}4、集合的分类：1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝二、集合间的基本关系1.包含关系子集注意：有两种可能(1)A是B的`一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.相等关系(55，且55，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}元素相同结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B三、集合的运算1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作A交B)，即AB={x|xA，且xB}.2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。
高三集合知识点总结
高三集合知识点总结一、集合的基本概念集合是由一些特定事物所组成的整体，其中的成员称为元素。
用大写字母A、B、C来表示集合，用小写字母a、b、c来表示元素。
集合中的元素用逗号隔开，用大括号{}括起来，例如：A={a,b,c}表示A集合由元素a、b、c组成。
集合之间的关系有三种：包含关系、相等关系、不相交关系。
二、集合的运算1. 交集设A与B是两个集合，由所有既属于集合A，又属于集合B的元素所组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A与B的交集”。
即A∩B={x|x∈A且x∈B}。
2. 并集设A与B是两个集合，由属于集合A或者属于集合B的元素所组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A与B的并集”。
即A∪B={x|x∈A或者x∈B}。
3. 差集设A与B是两个集合，由属于集合A但不属于集合B的元素所组成的集合叫做A与B的差集，记作A-B，读作“A与B的差集”。
即A-B={x|x∈A且x∉B}。
4. 互补集（补集）设U是给定的集合，则对于集合A，U-A称为A的互补集，记作A'或者A^C。
5. 交换律、结合律、分配律交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)三、集合的性质1. 互斥两个集合没有共同的元素，则称它们是互斥的，即A∩B=φ，则称A与B是互斥的。
2. 包含如果一个集合中的元素都是另一个集合中的元素，则这个集合包含另一个集合。
3. 幂集一个集合的所有子集组成的集合叫做幂集。
4. 定义域和值域函数f的定义域D(f)为x的集合，使f(x)有意义；f的值域R(f)为f(x)的集合。
5. 绝对值不等式|a-b|<ε等价于-a+ε<??b且a+ε>b。
6. 集合的运算律集合A与B的交集与其互补集的并集是全集：A∩A'＝U集合A与B的并集与其互补集的交集是空集：A∪A'＝∅四、集合的应用1. Venn图用来表示集合之间的关系，通常是用圆形、矩形等图形来表示。
高三数学集合知识点归纳总结
高三数学集合知识点归纳总结数学是一门总结归纳的学科，集合论就是数学中重要的一个分支。
在高三数学学习中，集合知识点是必不可少的一部分。
为了帮助同学们更好地掌握集合知识，下面对高三数学集合知识点进行归纳总结。
一、集合的概念与表示方法集合是由确定的、具有某种特定性质的对象组成的整体。
表示方法主要有朴素方法、列举法和描述法。
在表示集合时，需要注意元素的顺序不重要、元素的个数可以是有限个或无限个、元素不重复等特点。
二、集合间的关系与运算1. 集合间的关系包含关系、相等关系、互斥关系等是集合之间的基本关系。
例如，若集合A包含于集合B，则称A为B的子集，记作A⊆B。
2. 集合的运算交集、并集、差集和补集是集合运算的基本操作。
交集表示同时属于两个集合的元素组成的集合，记作$A \cap B$；并集表示两个集合的所有元素组成的集合，记作$A \cup B$；差集表示属于一个集合而不属于另一个集合的元素组成的集合，记作$A - B$；补集表示在全集中不属于某个集合的元素组成的集合，记作$\bar{A}$。
三、集合的性质1. 互补律对于任何集合A，有$A \cup \bar{A} = U$，$A \cap \bar{A} =\emptyset$。
2. 幂集与子集关系集合A的幂集是指A的所有子集组成的集合。
对于元素个数为n的集合A，A的幂集共有$2^n$个元素。
3. 数集与集合数集是由数组成的集合，包括自然数集、整数集、有理数集和实数集等。
数集是集合的一个特殊实例。
四、集合的应用1. Venn图Venn图是以圆或矩形等几何图形来表示集合之间的关系，方便同学们直观地理解和比较集合的运算和关系。
2. 集合的应用问题集合论在实际问题中有着广泛的应用，例如在调查统计中进行数据分析、在概率论中确定事件的集合等等。
五、题目解析与示例1. 题目解析通过解析一些典型题目，帮助同学们更好地理解和掌握集合知识点。
2. 示例（1）已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求$A \cup B$和$A \cap B$。
高三数学一轮复习集合的常用结论与考点归纳
高三数学一轮复习集合的常用结论与考点归纳一、基础知识
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．
(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.
(4)五个特定的集合及其关系图：
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A?B(或B?A)．
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作A B或B A.
二、常用结论
考点一集合的基本概念
考点二集合间的基本关系
考点三集合的基本运算。
高三集合知识点总结
高三集合知识点总结集合是数学中一个基础而重要的概念，尤其在高中数学教学中占有举足轻重的地位。
高三学生在复习集合相关知识时，需要系统地整理和总结集合的基本概念、性质以及运算规则。
本文旨在帮助高三学生回顾和巩固集合的知识点，以便在高考中能够熟练运用集合知识解决问题。
首先，我们需要明确集合的基本定义。
集合是由一些明确的、互不相同的元素所构成的整体。
这些元素可以是数字、字母、人、物体等任何事物。
集合中的元素具有无序性和互异性，即元素在集合中的位置无关紧要，且集合中的元素不会有重复。
接下来，我们来了解集合的表示方法。
通常，集合可以用大写字母表示，如A、B、C等，集合中的元素则用小写字母表示。
集合可以用列举法表示，即将所有元素一一列出，如A = {1, 2, 3}；也可以用描述法表示，即用数学符号和语言描述元素的性质，如B = {x | x 是质数}。
在集合论中，还有一些特殊的集合符号和概念。
例如，空集用符号∅表示，它是不包含任何元素的集合。
全集用符号U表示，它是包含所有可能元素的集合。
子集用符号⊆表示，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。
集合间的运算是集合论的核心内容之一。
最基本的集合运算有并集、交集和补集。
并集用符号∪表示，指的是将两个集合中所有的元素合并在一起组成的新集合。
交集用符号∩表示，指的是两个集合中共有的元素组成的集合。
补集用符号C表示，指的是全集中不属于某个集合的所有元素组成的集合。
除了上述基本运算，还有一些其他的集合运算，如差集、对称差集等。
差集用符号-表示，指的是一个集合中去掉另一个集合的元素后剩下的元素组成的集合。
对称差集用符号Δ表示，指的是两个集合中不相交的部分的并集。
在解决实际问题时，集合的知识往往与其他数学知识点相结合。
例如，在解决函数问题时，我们可能会用到集合的映射概念；在解决概率问题时，我们可能会用到集合的计数原理。
因此，掌握集合知识对于理解其他数学概念和解决综合问题具有重要意义。
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第1讲集合的基本概念与运算
一、高考要求
①理解子集、补集、交集、并集的概念；
②了解空集和全集的意义；
③了解属于、包含、相等关系的意义；
④掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.
二、两点解读
重点：①集合的三大性质；②集合的表示方法；③集合的子、交、并、补等运算.
难点：①新问题情境下集合概念的理解；②点集和数集的区别；③空集的考查.
三、课前训练
1.设集合A= {1,2}, B= {1,2,3}, C= {2,3,4 }则(A^B) J c = ( D )
(A ) {1,2,3} ( B ) {1,2,4} ( C ) {2,3,4} ( D ) {1,2,3,4}
2 .设集合P 二{m-1 ::: m ::: 0} , Q ={m 三Rmx2• 4mx「4 ：：: 0，对任意的实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是(A )
(A)P二Q (B) Q二P (C) P =Q (D)P“Q 二一
3. 已知集合A=(yy=x2}, B={yy=2x}，则 A B 二{y|y>0}
4. 设集合A={5 , log2(a 3)},集合B={ a , b}.若 A B={2}，则A B = {1,2,5}
四、典型例题
例1.设集合M二仪乂二色+丄木己乙} , N ={xx=b +丄，k^Z},贝( A )
2 4 4 2
(A)M=N ( B )N=M (C)M=N (D) M 门N 二一
2 k +1 k +2
解：在M集合中：x二----- ,即4x =2k 1 , k Z ;在N集合中：x=- , k • Z ,
4 4
即4x=k 2 ;由此可见：集合M中元素的4倍是奇数，集合N中的元素的4倍是整数，故选A .
例2.设集合M ={( x, y) x2+y2 =1,x E R,y E R}, N ={( x, y) | x2- y = 1,
x • R,厂R}，则集合M N中元素的个数为(B )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解：选B .如右图，在同一坐标系画出两个点集所
表示的图象•由图象可知，两曲线有两个交点，即
M N有两个元素.
例3.设P、Q为两个非空实数集合，定义集合
若P ={0,2,5}, Q ={1,2,6}，贝U P+Q中元素的个数是—8 ______ 解：因为a • P,b・Q，所以a・{0,2,5}, b {1,2,6}.当a = 0时，b分别取1, 2, 6
可得a - b分别为1, 2, 6 ；当a = 2时，b分别取1, 2, 6可得a - b分别为3, 4, 8 ;当a =5时，b分别取1, 2 , 6可得a b分别为6, 7, 11•综上：
a b {1,2,3,4,6,7,8,11}，故P Q 中有8 个元素
例 4.已知集合M={xx2• x-6 =C} , N ={xmx-1 =0}，若N 5 M，则实数m 的取值构成的集合为_______________________
2
解：方程x・x-6 =0两根分别为：2,-3 ,因此M ={2,-3}.由N5M得N「：■■或
1 1
{2}或{ —3}，所以，实数m的取值构成的集合为r-,0,-}
3 2
例5.已知a - R，二次函数f (x)二ax2-2x-2a .设不等式f (x) • 0的解集为
A，又知集合B={x1 CX£3},若，求a的取值范围.
解：易知 a 丄0，由f (x) = 0得：X1 - 2 —2, X2 =— ' 2 —2，由此
a 11 a2 a Y a2
可得：x1：：0,x20 .
(1)当a >0 时，A ={xx vxj』{xx>X2} , ①的充要条件是x^3 ,
即丄■ . 2 ■ -1? ：：：3，解得 a 6； a a 7
1 -
（2）当 a ：：：0 时，A ={xx i ：：：x ：：：X2} , A 的充要
条件是 x 2 1 ,即
综上所述，使 A B = ：•：丿成立的a 的取值范围为（-：：,-2） （― ^：：）
7
例6.设集合A 中不含有元素-1，0，1,且满足条件：若a A ，则有—• A ，
1 - a
请考虑以下问题：
（I ）已知2 A ，求出A 中其它所有元素;
（H ）自己设计一个实数属于 A ,再求出A 中其它所有元素; （川）根据已知条件和前面（I ）
（n ）你能悟出什么道理来，并证明你的猜想.
1+2
解：（I ）由2三A ，贝U
1-2
1 1
3
=2，A ，所以集合A 二｛2,-3,-丄,丄｝;
,1
2 3
1 --
3
这四个元素互不相等，否则 a ='1或a =0
（川）猜想任意的 a ^H , a#0,a^A ，则集合 A = *
1 +a a,
,
尸
J •
a a +1,
“丄 1 +a
彳1
下面作简要证明：
A , E An 1 —a — 1 -E An 1
二"S 1 —a 1” a a +1
1 —a
a
（n ）任取一常数，女口 3 A ，则同理（I ）可得:
A
二｛3'-2,-3，?｝； ,解得
a ：：： -2 •。