第3章 集合的基本概念

A∩B={x|xAxB}
③ A和B的差，或B关于A的相对补是集合，记为
A-B， A-B={x|xAxB}
④若 A 和 B 是集合，且 A∩B= ，则称 A
和B是不相交的。
2.绝对补集、对称差
①集合A的绝对补集是集合 （即相对于全集的补 集），记为 ～ A
～ A =E-A={x|xExA}
| W∪S|＝(|W|+|S|)-|W∩S|＝5+7-3 ＝9
（3） 三个集合的包含排斥原理 对于任意三个集合A1，A2和A3，我们可以推广 上述定理的结果为： |A1∪A2∪A3|＝|A1|+|A2|+|A3|-|A1∩A2|-
|A1∩A3|-|A2∩A3|-|A1∩A2∩A3|
|A1∩A2∩A3|＝|S|-（|A1|+|A2|+|A3|）+
二、集合的表示方法
1. 列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元 素一一列举出来﹐写在花括号内﹐这种表示集合的 方法叫做列举法。{1，2，3，……}
2. 描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公
共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在花括
号内﹐
如：：A={x|0<x<π}
B=
x x Z 3 x 6
={x|xA} 例如:全集U={1，2，3，4，5} ,若A={1，2，5} 那么全集有而A中没有的3，4就是A的补集。 ～A={3，4}。
②任给集合A和B，A和B的对称差是集合， 记为 AB， AB =(A-B)∪(B-A) ={x|(xAxB)(xBxA)}
例如：A={a,b,c}, B={b,d}, 则A B={a,c,d} 对称差运算的另一种定义是： AB=（A∪B）-(A∩B)
F为所有十九世纪的书所组成的书名集 H为所有描写农民生活题材的书所组成的书名集 R为所有长篇小说所组成的书名集 S为所有1979年出版的书所组成的书名集
C为所有中国的书所组成的书名集
K为所有描写文化大革命的书所组成的书名集 读者所要了解之书名用集合描述如下：
(R∩G∩F∩H)∪(S∩C∩～K)
3.3 集合中元素的计数
3. 集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}， 等同于{1，2}。互异性使集合中的元素没有重复，两个相 同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个 元素。 4. 集合中的元素没有次序关系。{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合 5. 集合通常用大写英文字母来标记，集合中的元素用小写 字母表示
定义：没有任何元素的集合，称为空集，记为 ，
它可形式地表为：
={x|P(x)P(x)}
其中P(x)为任何谓词公式。
由定义可知，对任何集合A，有A。这是因为
任意元素x，公式xxA总是为真
注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任
何集合”,空集也被认为是有限集合
注意，与{}是不同的，空集是唯一的 {}是以为元素的集合，而没有任何元素 能用构成集合的无限序列： (1)，{}，{{}}，· · · 该序列除第一项外，每项均以前一项为元素的 集合。 (2)，{}，{，{}}，· · · 该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素 的集合
⑷第二道作业不能访问的内存 区域；
~ (B U C) S U A
例2：某图书馆有藏书100万册，有一读者前 往查阅。他希望了解所有19世纪的以描写农 民生活为题材的长篇小说以及1979年出版的 我国的不是描写文化大革命的长篇小说之书 名。请将此读者所要了解之书名用集合描述。令Βιβλιοθήκη 全集E为所有该图书馆藏书的书名集，
三、集合间的关系
1. 子集、全集与空集 子集描述了一个集合与另一个集合之间的 关系，其定义如下。 定义： 设A和B是任意两个集合，如果集合 A的每个元素，都是集合 B 中的一个元素，则 称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说 B包含A，并记为AB。
本定义也可表成：
AB(x)(xAxB) 这表明，要证明AB，只需对任意元素x，有 下式： xAxB 成立即可。 此外，若集合B不包含集合A，记为A / B。
1. 集合是人们直观上或思想上能够明确区分的一些确定的、 彼此不同的事物或属性所构成的整体。每一个对象都能 确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集 合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集 合。
2. 组成集合的事物被称为集合的元素，同一集合中的元素 之间可以有某种关联，也可以彼此毫无关系。
2．集合的幂集
一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，
即是由这些子集所组成的集合族。
定义： 设A为一集合，A的幂集是一集合族，记
为P(A)，P(A)={B|BA}
由定义可知，P(A)，AP(A)。
注意：n元集合有2n个子集。若A是n元集，则 P(A)有2n个元素
3．集合的基数
表示集合中元素多少或度量集合大小的数，
定义： 设A和B是两个集合，若AB且AB，
则称A是B的真子集，记为AB，也称B真 包含A。该定义也可表为：
AB(ABAB)
定义：设A和B是两个集合，若AB且BA，
则称A和B相等，记为A=B
该定义也可表为：
A=B(ABBA)
由以上定义可知，两个集合相等的充分必要
条件是它们具有相同的元素
3.2 集合运算及其性质
集合运算是指用已知的集合去生成新的 集合。假设所有集合都是全集E的子集，即 这些集合是利用子集公理得到的。常见的 集合运算有：并、交和差运算、绝对补集 、对称差
1．并、交和差运算 定义:设A和B是任意两个集合， ① A和B的并是集合，记为A∪B， A∪B={x|xAxB} ② A和B的交是集合，记为A∩B，
|A1⊕A2|＝|A1|+|A2|-2|A1∩A2|
（2）两个集合的包含排斥原理：
|A1∪A2| ＝(|A1|+|A2|)-|A1∩A2|
|A1∩A2| ＝|S|-(|A1|+|A2|)+|A1∩A2|
∵～A1∩～A2=～(A1∪A2)=S-(A1∪A2)
例题1 假设在10名青年中有5名是工人，7名是学 生，其中兼具有工人与学生双重身份的青年有 3 名，问既不是工人又不是学生的青年有几名? 解: 设工人的集合为W，学生的集合为S，则根 据题设有：|W|＝5，|S|＝7，|W∩S|＝3。则 |～W∩～S|＝10-(|W|+|S|-|W∩S|)＝10(5+7-3) ＝1 所以既不是工人又不是学生的青年有一名。或 者是工人或者是学生的青年有九名。
小 结
1.集合表达式
2.集合间的关系
3.集合的计数
题例分析： P71~73 例3.13~例3.15 作业：P74 3.11（1） P74 3.14 （1）、（2） P75 3.18
（11）排中律 A∪～A =E， （12）矛盾律 A∩～A=。 推论： ① ～ A ～ B=AB ② AB=BA ③ AA=
问题：如何用集合的概念来描述一些现实问题？
例1：设某计算机允许多道工作（设在此处道数 为2），其内存分配如下：系统区，第一道作业 区和公共区，第二道作业区和公共区。试用集合 表示出：⑴第一道作业的内存区域；⑵第二道作 业的内存区域；⑶第一道作业不能访问的内存区
第3章 集合的基本概念和运算
教学要求
1. 2. 3. 4.
掌握子集、空集、全集、包含等基本概念； 掌握集合的表示法； 掌握集合的运算； 掌握集合的计数；
3.1 集合的基本概念
一、集合的概念 集合的概念是数学中的基本概念，故无法 对集合下一个确切的定义，正象在几何中无 法定义点、直线一样。因此，我们只能对它 进行描述。
定义： 如果一个集合包含了所要讨论的每一个 集合，则称该集合为全集，记为U或E。它可形 式地表为：E={x|P(x)P(x)}其中P(x)为任何谓词
公式。
显然，全集E即是第二章中的全总论域。于是，
每个元素x都属于全集E，由定义易知，对任意集
合A，都有AE。全集是个相对性概念，在实际
应用中，常常根据具体问题作出选择。
域；⑷第二道作业不能访问的内存区域；
整个内存组成全集E，系统区为集合S，第一道 作业的专用区为集合A；第二道作业的专用区 为集合B；第一、第二道作业的公共区为集合C； ⑴第一道作业的内存区域； ⑵第二道作业的内存区域；
A∪C
BUC
⑶第一道作业不能访问的内存 ~ ( A U C) S U B 区域；
（|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|）-|A1∩A2∩A3|
例题2 在某工厂装配三十辆汽车，可供选择 的设备是收音机，空气调节器和对讲机。已 知其中15辆汽车有收音机，8辆有空气调节器，
6辆有对讲机，而且其中3辆汽车这三样设备
都有。我们希望知道至少有多少辆汽车没有
提供任何设备。
解 设A1，A2，A3分别表示配有收音机、空气调 节器和对讲机的汽车集合。因此 |A1|＝15，|A2|＝8，|A3|＝6 并且 |A1∩A2∩A3|＝3 故 |A1∪A2∪A3|＝15+8+6-|A1∩A2|-|A1∩A3||A2∩A3|+3 ＝32-|A1∩A2|-|A1∩A3|-|A2∩A3| 因为 |A1∩A2|≥|A1∩A2∩A3| |A1∩A3|≥|A1∩A2∩A3| |A2∩A3|≥|A1∩A2∩A3| 我们得到 |A1∪A2∪A3|≤32-3-3-3＝23 即至多有23辆汽车有一个或几个供选择的设备， 因此，至少有7辆汽车不提供任何可选择的设备。
1.基数：表示集合中所含元素多少的量
记作：或 card A=n
2.有穷集和无穷集
A n
定义：设A为集合，若存在自然数n（0也是 自然数）。使得card A=n ，则称A为有穷集， 否则称A为有无穷集
3.包含排斥原理