集合与常用逻辑 集合概念,基本关系及运算

a 2 3a 4
，
3 当a＜0时，B=（3a,a），应有3a 2，
得a∈综上.，实数a的取值范围是［4
a 4 ，2］.
3
26
（ 2 ） 要 满 足 A∩B= ， 当 a=0 时 ，
B= ，满足条件；当a＞0时，B=（a,3a）
2 应有a≥4或3a≤2，所以0＜a≤ 3 或a≥4；
当a＜0时，B=（3a,a），应有a≤2或3a≥4，
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（1）集合元素的互异性
对 于 4 {1,a,a2} ， 根 据 元 素 的 互 异 性 有
a≠0,a≠±1.又a≠4,a2≠4，从而可确定a的取值 范围为{a∈R|a≠±1,0,±2,4}.
（2）集合的元素是什么 对 于 A={x2-x=0} ， B={x|x2-x=0} ，
C={x|y=x2-x} ， D={y|y=x2-x},E={ （ x,y ） |y=x2-x}, 分 别 有 A={x2-x=0} ， B={0,1} ， C=R ， D={x|x≥- 1}，E={曲线y=x2-x上的点}.
（3）因为A∩（ U B）=A，所以A U BB
所以A∩B=. ①若B= ，则由（2）知a＜-3;
B={2②}，若不B合≠ 题，意则；由当（a＞2）-3时知，，需当1a=-B3时且，2 B
故
a2 2a 2 0
a
2
4a
3
0
,
即
a a
1 3 1且a
3
.
综上，实数a的取值范围是(－∞，-3)∪ (-
6
3.集合M={x|y= x}，N={y|y=2 x-1},则
集合M∩N=（ C）
A.
B. {（1,1）}
C. {x|x≥0} D. {x|x≥-1}
集合M的元素为x，所以M={x|x≥0} 集合N的元素为y，所以N={y|y≥-1}.因为它们 都是数集，所以M∩N=M，故选C.
7
4.（原创题）
3，-1- 3)∪（-1- ，3 -1）∪（－1，-1+ ）3 ∪（-1+ 3 ，+∞）.
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【评注】解决含参数的集合运算问 题，需要理清题目要求，看清集合间存 在的相互关系，注意分类讨论、数形结 合思想的应用以及空集作为一个特殊集 合与非空集合间的关系，在解题中漏掉 它极易导致错解.
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已 知 集 合 A={x|x2-6x+8 ＜ 0} ， B={x|（x-a）（x-3a）＜0}.
答案：B
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3.（2008·山东卷）满足M {a1,a2,a3,a4}, 且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
M至少含有元素a1、a2，所以含有两 个元素的集合M有1个，含有3个元素的集合M
有1个，即M={a1,a2,a4}，且集合M不可能含有 4个元素.
2
（ 4 ） 集 合 的 三 种 表 列示举法法 ：
描述⑤法 图示法、
、
.
2．集合间的基本关系及运算
（ 1 ） 若 集 合 A 是 集 合 B 的 子 集 ， 则A⑥ B；若集合A是集合B的真子集，则A⑦ B.≠
（2）空集是任何集合的⑧
，是任何
⑨
的真子集.
子集
（3非）空若集全合集为U，且A U，则集合A相对
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3.集合间的基本关系及运算 （1）设A={x|y= 1 },B={y|y=2x+2}， 则A∩B=⑥（2，+∞）；xRA1=⑦ {1} ；（ RB ） ∩A=⑧（－∞，1）∪（1,2］ .
（2）若{x|x<a}∩{x|x>1}= ，则实数a
的取值范围是⑨ （－∞，1］ .
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题型1 集合元素的特征
答案：B
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试题透析 集合内容的高考试题呈现的 背景大致有三种类型，一是根据集合的基本 关系，集合元素的基本特征；二是以不等式、 方程和函数为原形解集合的关系，或依元素 的性质讨论参数的取值范围，这是集合试题 立意的重点；三是定义集合的某种运算，考 查学习数学的基本能力.
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（1）若AB，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B= ，求实数a的取值范围；
（3）若A∩B={x|3＜x＜4}，求实数a的取 值范围.
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A={x|x2-6x+8 ＜ 0}={x|2 ＜ x ＜ 4}
=（2，4）.
（1）若A B，则当a=0时，B= ，不成
立；
得
4
当a＞0时，B=（a,3a），应有 ≤a≤2；
的取值范围.
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A={x|x2-3x+2=0}={1,2}. （1）因为A∩B={2}，所以2∈B， 故a2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3. 当a=-1时，B={-2，2}，满足条件； 当a=-3时，B={2}，满足条件. 综上，a=-1或-3；
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（ 2 ） 对 于 集 合 B ， Δ=4(a+1)2 － 4(a2-5)=
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已知集合A={a+2,（a+1）2, a2+3a+3}.若1∈A，求实数a的值.
若a+2=1，则a=-1; 若（a+1）2=1，则a=-2或0； 若a2+3a+3=1，则a=-2或-1. 当a=-1或-2时，不符合题意，所以a=0.
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题型2 集合间的基本关系 已 知 集 合 M={x|x>1} ， N={x|ax>1}.
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（1）数形结合 认清集合的特征，准确地将其转化为图 形关系，借助于图形的分析，能使问题得到 直观具体的解决，这就是数形结合的思想.
① 数 轴 的 应 用 ： 如 A={x|x>-1}, B={x|x<a}，求A∩B时，利用数轴易知：（ⅰ）
若a≤-1，则A∩B= ；若a>-1，则A∩B=（-
1,a）;
于集合U的补集为⑩
.
UA
3
（4）集合A与集合B的交集的意义
是 11 {x|xA，且xB} .
（5）集合A与集合B的并集的意义
是 12 {x|xA,或xB} .
答案：①确定性、互异性、无序性；
②；③ ；④N、Z、Q、R、C；⑤列举法、
描述法、图示法；⑥ ；⑦； ⑧子集；⑨非
空12 {集x|合x；A⑩,或xUA ；B}
②若a<0，则N={x|x< 1 }，此时不可能
有N M成立.
a
综上，实数a的取值范围为［0，1］.
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【评注】对于以含参不等式的解为元素 的集合，也是不确定的集合，需要对参数进 行分类处理.分类讨论的一般程序为：①依题 目信息确定分类标准；②在这个标准下合理 分类；③逐类讨论；④综合求解.在这类集合 问题中，如果不确定的集合是某集合的子集， 应当先考虑空集的情况，如果不确定的集合 包含一个非空集合，显然不需要考虑空集.本
若N M，求实数a的取值范围.
集合N表示不等式ax>1的解集.由于 a∈R，所以集合N是不确定的集合.
又N M，所以首先应考虑N= 的情况， 然后讨论N≠时，a的取值范围.
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（1）当N= 时，易知a=0；
（2）当N≠时，
①若a>0，则N={x|x> 1 }.
由N M，有1a≥1，解得0a<a≤1；
② {（x,y）|y=x+1} .
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2.集合中的元素的性质 （1）若a∈{1,2,a2}，则a=③ 0、2 .（2） 集 合 {x|-1<log2x<2,x∈Z} 用 列 举 法 表 示 为 ④ {1，2，3} . （ 3 ） 已 知 A={0,1 ， 2 ， 3 ， … ， 10} ， B={y|y=2x,x∈A} ， 则 集 合 B 中 各 元 素 的 和 是 ⑤ 2047 .
题中，若把N M换成N M，则考虑空集就
没有必要了.
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记关于x的不等式 为P，不等式|x-1|≤1的解集为Q.
x x
a1<0的解集
（1）若P Q，求实数a的取值； （2）若Q P，求实数a的取值范围.
（1）集合Q={x|0≤x≤2}.
因为PQ，只有当P为空集时成立，所以a=-1.
（2）当a>-1时，集合P={x|-1<x<a}.
B={x|x＞1}，则A∩ U B =（ ）
A.{x|0≤x＜1}
B.{x|0＜x≤1}
C.{x|x＜0}
D.{x|x＞1}
答案：B
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2.（2009·广东卷）已知全集U=R，则正 确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2+x=0}关 系的韦恩（Venn）图是（ ）
由N={x|x2+x=0}={-1,0},得N M, 故选B.
{
关系的式子中错误的是（ D ）
A.∈{}
C. ≠{}
B. {}D. {} Nhomakorabea}之间
{ }是以 做为元素的单元素
集，把 看成集合，则B、C正确，把 看
成元素，则A正确，D错误，故选D.
8
5.集合A={（x,y）|y≥|x-2|}，B={（x,y）
|y≤-x+b}. 若 A∩B≠ ， 则 b 的 取 值 范 围
由于Q P，所以a>2（等号不成立）；
当a<-1时，集合P={x|a<x<-1}，不合题意.
所以，当Q P时，a∈（2,+∞）.
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题型3 集合的基本运算 设集合A={x|x2-3x+2=0}，
B={x|x2+2（a+1）x+（a2-5）=0}. （1）若A∩B={2}，求实数a的值； （2）若A∪B=A，求实数a的取值范围； （3）若U=R，A∩（ U B ）=A，求实数a