(湖北专用)2020届高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线练习理新人教A版

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数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第九章解析几何双曲线

§9.6 双曲线考纲展示►1。

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3．理解数形结合的思想．考点1 双曲线的定义双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的________等于常数（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做________，两焦点间的距离叫做________．集合P＝{M｜｜｜MF1|－|MF2|｜＝2a｝，｜F1F2｜＝2c，其中a，c为常数且a〉0，c>0。

（1)当________时，P点的轨迹是双曲线；(2）当________时，P点的轨迹是两条射线；(3）当________时，P点不存在．答案：距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距（1)a 〈c (2）a ＝c （3）a >c(1)[教材习题改编]已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2（5,0)．双曲线上一点P 到F 1，F 2距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为________．答案：x 29－y 216＝1 解析：由已知可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，∴b ＝4,故所求方程为错误!－错误!＝1.(2)［教材习题改编］双曲线的方程为x 2－2y 2＝1,则它的右焦点坐标为________．答案：错误!解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－错误!＝1，∴a 2＝1，b 2＝错误!，∴c 2＝a 2＋b 2＝错误!，∴c ＝错误!,故右焦点坐标为错误!。

双曲线的定义：关注定义中的条件．（1）动点P 到两定点A （0,－2),B （0，2）的距离之差的绝对值等于4,则动点P的轨迹是________．答案：两条射线解析:因为｜｜PA|－|PB||＝4＝|AB｜，所以动点P的轨迹是以A,B为端点,且没有交点的两条射线．(2)动点P到点A(－4,0)的距离比到点B（4,0)的距离多6，则动点P的轨迹是________．答案：双曲线的右支，即x29－错误!＝1（x≥3)解析：依题意有｜PA｜－|PB｜＝6<8＝｜AB|，所以动点P的轨迹是双曲线，但由|PA｜－|PB｜＝6知,动点P的轨迹是双曲线的右支，即x29－错误!＝1(x≥3）．［典题1］(1）已知圆C1：（x＋3)2＋y2＝1和圆C2:（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．[答案] x2－错误!＝1(x≤－1)[解析］如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B。

2020高考全国一轮数学理科第九章解析几何

&# 已知点 %$#""%是圆0'$!/&!&-$&!&%"内的一点"那么过点 % 的最短弦所在直线的方程是""""""""(
二解答题
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二解答题 '# 已知点:#$!",%":!$&-".%和!$&#"!%"求过点! 且与点
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高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线课件理

2.等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y2 ＝ 16x的准
线交于A，B两点，|AB|＝4 3，则C的实轴长为
A. 2 B.2 2 C.4 D.8
x2 y2 设 C：a2－a2＝1.
答案
解析
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，
x2 y2 联立a2－a2＝1 和 x＝－4，得 A(－4， 16－a2)， B(－4，－ 16－a2)，
∴|AB|＝2 16－a2＝4 3，
∴a＝2，∴2a＝4.∴C的实轴长为4.
3.(2015· 安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是
答案
2 y A.x2－ 4 ＝1
解析
x2 2 B. 4 －y ＝1
y2 2 C. 4 －x ＝1
2 x D.y2－ 4 ＝1
由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意； C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±1 x，只有C符合， 2 故选C.
c>0.
(1)当时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当 2a＝|F1F2| 时，P点不存在. 2a>|F1F2|
2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程
x2 y2 2－ 2＝1 (a>0，b>0) a b
x2 y2 (a>0，b>0) 2－ 2＝1 a b
图形 x≥a或x≤－a，y∈R 坐标轴对称轴：
性
质
范围对称性
x∈R，y≤－a或y≥a
原点对称中心：
性
质
顶点渐近线离心率
A1(－a,0)，A2(a,0) b y＝± ax (1，＋ e＝， e∈ ∞)

高考数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线试题理(含解析)新人教A版

课时作业48 双曲线一、选择题1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，则动点P 的轨迹是( )． A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．双曲线右边一支 D ．一条射线2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )．A ．x 24－y 2＝1B ．x 22－y 2＝1C ．x 23－y 23＝1D ．x 2－y 22＝13．如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( )．A.3＋1B.3－1C. 3D. 24．已知双曲线x2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个顶点与抛物线y 2＝20x 的焦点重合，该双曲线的离心率为52，则该双曲线的渐近线斜率为( )． A ．±2 B ．±43 C ．±12D ．±345．(2012山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y6．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．67．设圆C 的圆心与双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线l ：x －3y ＝0被圆C 截得的弦长等于2，则a 的值为( )．A. 2B. 3 C ．2 D ．3 二、填空题8．(2012辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点．若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为__________．9．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为__________．10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点分别是A 1，A 2，M 是双曲线上任意一点，若直线MA 1，M A 2的斜率之积等于2，则该双曲线的离心率是__________．三、解答题 11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．12．(2012上海高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1. (1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若|MF |＝22，求点M 的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |＜2)的直线l 交C 于P ，Q 两点，若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .参考答案一、选择题1．C 解析：∵|PM |－|PN |＝3＜4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支．又∵|PM |＞|PN |，∴点P 的轨迹为双曲线的右支．2．B 解析：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为(±3，0)．因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A ，C.又双曲线x 22－y 2＝1经过点(2,1)，所以选B.3．A 解析：令正六边形的边长为m ，则有AD ＝2m ，AB ＝m ，BD ＝3m ，该双曲线的离心率等于|AD |||AB |－|BD ||＝2m3m －m＝3＋1.4．C 解析：由抛物线y 2＝20x 的焦点坐标为(5,0)，可得双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个顶点坐标为(5,0)，即得a ＝5.又由e ＝c a ＝c 5＝52，可解得c ＝552，则b 2＝c 2－a 2＝254，即b ＝52.由此可得双曲线的渐近线的斜率为k ＝±b a ＝±12.5．D 解析：由于e ＝c a＝2，∴c ＝2a ，即c 2＝4a 2.又有c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3a 2，即b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程y ＝±b a x 即为y ＝±3x ，即±3x ＋y ＝0. 又抛物线的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，F 到渐近线的距离为2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋p 22＝2，解得p ＝8. ∴抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 6．B 解析：设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，12PF F S ∆＝12|F 1F 2||y 0|＝2|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又∵x 023－y 02＝1，∴x 02＝3(y 02＋1)＝6，1PF uuu r ·2PF uuu r＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 02＋y 02－4＝3.7．A 解析：由题知圆心C (a 2＋2，0)，双曲线的渐近线方程为2x ±ay ＝0，圆心C到渐近线的距离d ＝2×a 2＋22＋a 2＝2，即圆C 的半径长为 2. 由直线l 被圆C 截得的弦长为2及圆C 的半径长为2，可知圆心C 到直线l 的距离为1，即a 2＋21＋3＝1⇒a ＝ 2.二、填空题8．2 3 解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线的定义及已知条件可得|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝8，故mn ＝2，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(m ＋n )2＝(m －n )2＋4mn ＝4＋4×2＝12，于是|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.9．－2 解析：由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则1PA uuu r ＝(－1－x ，－y )，2PF uuu r ＝(2－x ，－y )，1PA uuu r ·2PF uuu r＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，1PA uuu r ·2PF uuu r取得最小值－2.10. 3 解析：设点M (x 0，y 0)，A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线MA 1的斜率是y 0x 0＋a ，直线MA 2的斜率是y 0x 0－a，直线MA 1，MA 2的斜率之积是y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 02x 02－a 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02a 2－1x 02－a 2＝b 2a2，故b 2a 2＝2，故该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝ 3.三、解答题11．(1)解：因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：由(1)可知a ＝b ＝6，所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．所以1MF k ＝m 3＋23，2MF k ＝m3－23，1MF k ·2MF k ＝m 29－12＝－m 23. 因为点(3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2＝3.故1MF k ·2MF k ＝－1，所以MF 1⊥MF 2.所以1MF uuu r ·2MF uuu u r＝0.(3)解：△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝6.12．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋222，由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，±2. (2)左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为：y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b .因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1.(*) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b22－k2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP uu u r ·OQ uuu r＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝(1＋k 2)(－1－b 2)2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2＝－1＋b 2－k 22－k2. 由(*)知，OP uu u r ·OQ uuu r＝0，所以OP ⊥OQ .。

高考数学一轮复习第九章解析几何 9.6 双曲线课件理

∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2| ＝|PF2|＝2a＝2 2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4 2，则 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2
4 ＝
22×24＋22×222－2 42＝34.
引申探究
1.本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2 的面积是多少？解答
c>0.
(1)当
时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当 2a<|F1F2| 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 2a＝|F1F2| 时，P点不存在.
2a>|F1F2|
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
ax22－by22＝1 (a>0， b>0)
ax22－by22＝1 (a>0， b>0)
图形
性范围质对称
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为 12，离心率为54；解答设双曲线的标准方程为 ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1(a>0，b>0).
由题意知，2b＝12，e＝ac＝54.
∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴双曲线的标准方程为6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.
x≥a或x≤－a，y∈R 坐标轴
x∈R，y≤－a或y≥a 原点
性顶点
质渐近线离心率
A1(－a,0y＝)，±baAx 2(a,0)
(1，＋∞)
A1(A0y2＝，(0±－，abx aa))，
a2＋b2
e＝，e∈
2a
，其中c＝ 2b

【人教版】2020高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.5双曲线及其性质练习理

§9.5双曲线及其性质考纲解读分析解读 1.能根据所给几何条件求双曲线方程,能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.2.理解参数a、b、c、e的关系,渐近线及其几何意义.3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.能灵活运用数形结合的思想方法.5.本节在高考中以双曲线的方程和性质为主,分值约为5分,属中档题.五年高考考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2017课标全国Ⅲ,5,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C 的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 B2.(2017天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 B3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)答案 A4.(2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 D教师用书专用(5—12)5.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 D6.(2015课标Ⅱ,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )A. B.2 C. D.答案 D7.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )A.x2-=1B.-y2=1C.-x2=1D.y2-=1答案 C8.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 C9.(2015福建,3,5分)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )A.11B.9C.5D.3答案 B10.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 A11.(2013广东,7,5分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 B12.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.(1)求C1的方程;(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).由题意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2),由题意知·=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤将①,②,③,④代入⑤式整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.考点二双曲线的几何性质1.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E 的离心率为( )A. B. C. D.2答案 A2.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<1答案 A3.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是( )A. B.C. D.答案 A4.(2017课标全国Ⅰ,15,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.答案5.(2017北京,9,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m= .答案 26.(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=±x7.(2015浙江,9,6分)双曲线-y2=1的焦距是,渐近线方程是.答案2;y=±x教师用书专用(8—22)8.(2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )A.对任意的a,b,e1>e2B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2C.对任意的a,b,e1<e2D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2答案 D9.(2015重庆,10,5分)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-,0)∪(0,)D.(-∞,-)∪(,+∞)答案 A10.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( )A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0答案 A11.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B.3 C.m D.3m答案 A12.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( )A. B. C. D.答案 A13.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.3答案 B14.(2014广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的( )A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等答案 A15.(2013课标全国Ⅰ,4,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案 C16.(2013湖北,5,5分)已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的( )A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等答案 D17.(2013福建,3,5分)双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( )A. B. C. D.答案 C18.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.答案19.(2015北京,10,5分)已知双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a= .答案20.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.答案21.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.答案22.(2013陕西,11,5分)双曲线-=1的离心率为,则m等于.答案9考点三直线与双曲线的位置关系1.(2015四川,5,5分)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )A. B.2 C.6 D.4答案 D2.(2014福建,19,13分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.解析(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e==.(2)解法一:由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为△OAB的面积为8,所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:-=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=.由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得,·=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k2<0,所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又因为m2=4(k2-4),所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.解法二:由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-<m<.由得y1=,同理得y2=.设直线l与x轴相交于点C,则C(t,0).由S△OAB=|OC|·|y1-y2|=8,得|t|·=8,所以t2=4|1-4m2|=4(1-4m2).由得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0.因为4m2-1<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,即4m2a2+t2-a2=0,即4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,即(1-4m2)(a2-4)=0,所以a2=4,因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.解法三:当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得k>2或k<-2.由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=,又因为△OAB的面积为8,所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=,所以·=8,化简得x1x2=4.所以=4,即m2=4(k2-4).由(1)得双曲线E的方程为-=1,由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,所以双曲线E的方程为-=1.当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:-=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.教师用书专用(3)3.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.解析(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,k AB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,则===·.因为P(x0,y0)是C上一点,所以-=1,代入上式得=·=·=,所求定值为==.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一双曲线的定义及其标准方程1.(2018宁夏育才中学月考,5)设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于( )A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对答案 B2.(2018广东广州华南师大附中检测,5)设k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是( )A.长轴在x轴上的椭圆B.长轴在y轴上的椭圆C.实轴在x轴上的双曲线D.实轴在y轴上的双曲线答案 D3.(2017广东汕头模拟,14)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,且该双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为.答案-=14.(人教A选2—1,二,2-3-1,3,变式)若关于x,y的方程(m2-4m-5)x2+(m2+5m-6)y2=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围是.答案(1,5)考点二双曲线的几何性质5.(2018广东茂名模拟,5)已知双曲线-=1的一个焦点在直线x+y=5上,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案 B6.(2017安徽安庆二模,6)已知F1、F2为双曲线的焦点,过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点,BF1交y轴于点C,若AC⊥BF1,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.2答案 B7.(2017河北唐山调研,5)设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,P在双曲线上,且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为( )A.1B.2C.D.答案 A考点三直线与双曲线的位置关系8.(2018山东济南模拟,8)已知双曲线-=1的右焦点为F,若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线的斜率的取值范围是( )A. B.[-,]C. D.(-,)答案 A9.(2017山西临汾一中月考,7)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),直线x=a与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A,O为坐标原点,若△OAF的面积为a2,则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.答案 A10.(2017湖南长沙月考,7)已知F1,F2是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M,N,已知△MF2N是等腰直角三角形,则双曲线的离心率是( )A. B.2C.1+D.2+答案 CB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018福建莆田九中月考,10)已知点P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2的内心,若=+λ成立,则λ的值是( )A. B. C. D.答案 B2.(2018安徽淮南联考,6)已知双曲线-=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为( )A.4+B.4(1+)C.2(+)D.+3答案 B3.(2018山东青岛模拟,8)已知点P是双曲线C:-=1(a>0,b>0)左支上一点,F1、F2是双曲线的左、右焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是( )A. B. C.2 D.答案 D4.(2017福建龙岩二模,11)已知离心率为的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线的实轴长是( )A.32B.16C.84D.4答案 B5.(2016广东茂名二模,11)已知双曲线:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2c,直线y=(x+c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则双曲线的离心率为( )A. B. C.2 D.+1答案 D二、填空题(共5分)6.(2017河南百校联盟质检,16)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为.答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求双曲线的标准方程的方法1.(2018福建莆田月考,7)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(1,2),则此双曲线的标准方程为( )A.-y2=1B.x2-=1C.-y2=1D.x2-=1答案 B2.(2018河北衡水联考,8)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作其渐近线y=x的垂线,垂足为M,若S△OMF=4(O为坐标原点),则双曲线-=1(a>0,b>0)的标准方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 C3.(2016安徽亳州二模,5)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与该双曲线相交于M、N两点,MN 中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 B4.(2017河南部分名校联考,15)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1(a>0,b>0)过点P(1,1),其一条渐近线的方程为y=x,则该双曲线的方程为.答案2x2-y2=1方法2 双曲线的几何性质的应用策略5.(2018广东茂名模拟,9)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F1的直线l与双曲线的左,右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为( )A. B.4 C. D.答案 A6.(2017河北石家庄二模,11)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点,若△PQF2的周长为12,则ab取得最大值时双曲线的离心率为( )A. B. C. D.答案 C7.(2017河南新乡调研,12)已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0),过双曲线Γ的右焦点,且倾斜角为的直线与双曲线Γ交于A,B两点,O是坐标原点,若∠AOB=∠OAB,则双曲线Γ的离心率为( )A. B.C. D.答案 A方法3 解决直线与双曲线位置关系问题的方法8.(2018上海崇明一模,8)直线x=2与双曲线-y2=1的渐近线交于A,B两点,设P为双曲线上任一点,若=a+b(a,b∈R,O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )A.a2+b2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a-b|≥2答案 C9.(2017山西大学附中模拟,11)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2= ( )A.1+2B.4-2C.5-2D.3+2答案 C10.(2016辽宁锦州二模,9)如图,F1、F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的两支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为( )答案 B。

数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理

9。

6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。

这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。

3。

双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。

3。

若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。

2020版高考数学一轮复习第九章解析几何第六节双曲线教案理(含解析)苏教版(2021-2022学年)

第六节双曲线１．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F ２的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F １F 2）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P ＝{M ||MF １－M Ｆ2|＝2a },F １Ｆ2=2ｃ，其中ａ,ｃ为常数且a >0,c ＞０。

(1）当2a ＜F １F ２时,Ｐ点的轨迹是双曲线； (2)当2ａ＝F 1F 2时，P 点的轨迹是两条射线; (3)当2ａ＞F 1F 2时，P 点不存在．２.双曲线的标准方程和几何性质x ≤－a 或ｘ≥a ，y ∈Ｒ y ≤－a 或y ≥a ,x ∈Rﻬ［小题体验]1．双曲线x2-5ｙ2＝１０的焦距为＿_______.解析：∵双曲线的标准方程为错误!－错误!=1，∴a2＝10,b2=2,∴ｃ2=a2+b２=1２,c＝2错误!,故焦距为４错误!．答案：4＼r(3)2.双曲线２ｘ２－y2=8的实轴长为____＿___．解析：双曲线2x2-y2=8的标准方程为错误!－错误!=1，实轴长为2a＝4。

答案:43.已知双曲线错误!未定义书签。

－错误!＝1的右焦点为（3,０)，则该双曲线的离心率等于__＿__＿_＿．解析:∵右焦点为（3，0)，∴ｃ=3。

∴a2＝ｃ２-b２＝9-5=4，∴ａ＝2,∴ｅ=cａ=错误!。

答案:＼f（3,2)1．双曲线的定义中易忽视2ａ<F1F２这一条件．若2a＝Ｆ1F2，则轨迹是以F1，F２为端点的两条射线，若2ａ＞F1Ｆ2,则轨迹不存在.2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0,b>0,易误认为与椭圆标准方程中a，ｂ的要求相同.若a＞b＞０,则双曲线的离心率e∈(1，错误!未定义书签。

）;若a=ｂ>0,则双曲线的离心率ｅ＝2；若０<ａ＜b,则双曲线的离心率e∈(错误!未定义书签。

，＋∞）．３.注意区分双曲线中的a,b,ｃ大小关系与椭圆中的ａ,b，ｃ关系,在椭圆中a2=b２＋ｃ２,而在双曲线中c2＝a2+ｂ2。

2020届高考数学一轮第九单元解析几何第讲双曲线理新人教A版

所以|PC|＝|PA|＋2，
即|PC|－|PA|＝2，
因为0<|PC|－|PA|<|AC|，
所以由双曲线的定义，知点P
的轨迹是以A，C为焦点，2为实轴
长的双曲线的左支，其中a＝1，c＝3，所以b2＝c2－a2＝9－1＝8. 故所求的轨迹方程为x2－y82＝1(x≤－1)．答案：x2－y82＝1(x≤－1)
x2 4
＋
y2 3
＝1的左、右焦点，平面内
一个动点M满足|MF1|－|MF2|＝2，则动点M的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．两条射线
D．一条射线
解：对于椭圆有c2＝a2－b2＝4－3＝1，
所以椭圆的左、右焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，因为|MF1|－|MF2|＝2＝|F1F2|，所以M点的轨迹为一条射线．答案：D
10
2．(2018·浙江卷)双曲线x32－y2＝1 的焦点坐标是( ) A．(－ 2，0)，( 2，0) B．(－2，0)，(2，0) C．(0，－ 2)，(0， 2) D．(0，－2)，(0，2) 解：因为双曲线方程为x32－y2＝1，所以 a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在 x 轴上，所以 c＝ a2＋b2＝ 3＋1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．
A. 5
B．2
C. 3
D. 2
37
解：(方法 1)如图，过点 F1 向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为 P′，连接 P′F2，
由题意可知，四边形 PF1P′F2 为平行四边形，且△PP′F2 是直角三角形．
因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝ 6a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝ 2a＝b，所以 c＝ a2＋b2＝ 3a，所以 e＝ac＝ 3.

2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线练习(含解析)(最新整理)

C。y＝±错误!x
D.y＝±2x
解析因为 2b＝2，所以 b＝1，因为 2c＝2错误!，所以 c＝错误!，所以 a＝错误!＝错误!，所
以双曲线的渐近线方程为 y＝±错误!x＝±错误!x，故选 B.
答案 B
2。（2015·广东卷)已知双曲线 C：xa22－错误!＝1 的离心率 e＝错误!，且其右焦点为 F2（5,0），
A.错误!－错误!＝1
B.错误!－错误!＝1
C.错误!－错误!＝1
D.错误!－错误!＝1
解析由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为 y＝错误!x，因此可得点
A 的坐标为(a，b）。
设右焦点为 F(c，0)，由已知可知 c＝4，且｜AF｜＝4，即（c－a)2＋b2＝16，所以有（c－
（鲁京津琼专用）2020 版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第 6 讲双曲线练习（含解析）
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2020届高考数学总复习第九章解析几何9_6双曲线课时作业文(含解析)新人教A版

9-6 双曲线课时作业A 组——基础对点练1．“m <8”是“方程x 2m －10－y 2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3，1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( ) A.37＋4 B.37－4 C.37－2 5 D.37＋2 5【答案】C 3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【答案】A4．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1 【答案】A 5．(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 2【答案】C6．(2019·枣庄月考)已知双曲线C 1：x 24－y 2＝1，双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( )A ．32B ．16C ．8D ．4【答案】B7．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为__________．【答案】x 2－y 23＝18．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b <0)的右焦点且垂于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若|AB |≥513|CD |，则双曲线离心率的取值范围为______________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫1312，＋∞ 9．如图，已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°.求：(1)双曲线的离心率．(2)双曲线的渐近线方程．10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程．(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.B 组——能力提升练1．(2018·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3C ．2 3D ．4【答案】B2．已知双曲线x 23－y 2＝1的右焦点是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线y ＝kx ＋m 与抛物线交于A ，B 两个不同的点，点M (2，2)是AB 的中点，则△OAB (O 为坐标原点)的面积是( )A ．4 3B ．313 C.14 D ．2 3【答案】D 3．(2019·福建莆田一中月考)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，且PF 1⊥PF 2，e 1，e 2分别是两曲线C 1，C 2的离心率，则9e 21＋e 22的最小值是________．【答案】8 4．已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0且a ≠b )的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．给出下面四个命题：①△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝a 上；②△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝b 上；③△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上；④△PF 1F 2的内切圆必通过点(a ，0)．其中所有真命题的序号是____________．【答案】①④5．(2019·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c ，0)． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程．(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．。

2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线教案理(含解析)新人教A版(最新整理)

第6讲双曲线基础知识整合1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2（|F1F2｜＝2c>0）的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2｜且不等于零)的点的轨迹叫做错误!双曲线．这两个定点叫做双曲线的错误!焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的错误!焦距．集合P＝{M|｜｜MF1|－|MF2｜｜＝2a}，|F1F2｜＝2c,其中a，c为常数且a〉0，c>0:（1）当错误!a〈c时，M点的轨迹是双曲线；(2）当错误!a＝c时，M点的轨迹是两条错误!射线；（3)当错误!a>c时,M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质续表a,b,c的关系，错误!c2＝a2＋b2(c〉a>0,c〉b>0）双曲线中的几个常用结论（1）焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．（3）双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系）．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为错误!.（5)双曲线的离心率公式可表示为e＝错误!。

1．（2018·浙江高考）双曲线错误!－y2＝1的焦点坐标是( ）A．（－错误!，0),(错误!,0) B．（－2，0），（2，0)C．（0，－错误!），(0，错误!）D．（0，－2)，(0，2）答案 B解析因为双曲线方程为错误!－y 2＝1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4,c ＝2,所以焦点坐标为(±2,0）,选B 。

2．(2019·宁夏模拟)设P 是双曲线错误!－错误!＝1上一点,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点，若｜PF 1|＝9，则|PF 2｜等于( ）A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对答案 B解析根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2|｜＝8⇒｜PF 2｜＝1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17，故选B 。

2020版高考数学新增分大一轮新高考第九章 9.6 双曲线 Word版含解析

§双曲线最新考纲了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质．．双曲线定义平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合＝{－＝}，＝，其中，为常数且>，>.()当<时，点的轨迹是双曲线；()当＝时，点的轨迹是两条射线；()当>时，点不存在．．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝(>，>)－＝(>，>)图形性质范围≥或≤－，∈∈，≤－或≥对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点(－)，()(，－)，(，)渐近线＝±＝±离心率＝，∈(，＋∞)，其中＝实虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长＝，线段叫做双曲线的虚轴，它的长＝；叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长，，的关系＝＋ (>>，>>)概念方法微思考．平面内与两定点，的距离之差的绝对值等于常数的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当＝时，动点的轨迹是两条射线；当>时，动点的轨迹不存在；当＝时，动点的轨迹是线段的中垂线．．方程＋＝表示双曲线的充要条件是什么？提示若>，<，表示焦点在轴上的双曲线；若<，>，表示焦点在轴上的双曲线．所以＋＝表示双曲线的充要条件是<.．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，，只限制>，>，二者没有大小要求，若>>，＝><<，双曲线哪些性质受影响？提示离心率受到影响．∵＝＝，故当>>时，<<，当＝>时，＝(亦称等轴双曲线)，当<<时，>.题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()平面内到点()，(，－)距离之差的绝对值等于的点的轨迹是双曲线．(×)()方程－＝(>)表示焦点在轴上的双曲线．(×)。

2020届高考数学一轮总复习第九单元解析几何第64讲双曲线练习理(含解析)新人教A版

第64讲双曲线1．(经典真题)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于(B)A ．11B ．9C ．5D ．3由题意知a ＝3.由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，所以|PF 2|＝9.2．(2018·银川三模)以直线 y ＝±3x 为渐近线的双曲线的离心率为(C) A ．2 B.233C ．2或233D. 3因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以b a ＝3，或a b ＝3，所以c 2＝4a 2，或c 2＝43a 2.所以e ＝2，或e ＝233.3．(经典真题)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是(A)A ．(－33，33) B ．(－36，36) C ．(－223，223) D ．(－233，233)由题意知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝3y 20－1<0，解得－33<y 0<33. 4．(2018·深圳一模)若双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －a)2＝a 29相切，则该双曲线的离心率为(D)A ．3 B. 3 C.322 D.324渐近线方程为ax±by＝0，由条件d ＝baa 2＋b 2＝a 3，即b c ＝13，所以c ＝3b ，所以a 2＝c 2－b 2＝9b 2－b 2＝8b 2，所以a ＝22b. 所以e ＝c a ＝3b 22b ＝324.5．(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝ 2 .不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示．因为四边形OABC 为正方形，|OA |＝2，所以c ＝|OB |＝22，∠AOB ＝π4.因为直线OA 是渐近线，方程为y ＝b ax ，所以b a＝tan ∠AOB ＝1，即a ＝b . 又因为a 2＋b 2＝c 2＝8，所以a ＝2.6．(2018·湖北5月冲刺试题)平面内，线段AB 的长度为10，动点P 满足|PA|＝6＋|PB|，则|PB|的最小值为__2__．以A ，B 所在直线为x 轴，AB 中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，由条件知P 点轨迹是以A ，B 为焦点，2a ＝6，2c ＝10的双曲线的右支(如图)．当P 为双曲线的右顶点时，|PB|取最小值，其最小值为c －a ＝5－3＝2.7．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．(1)由已知c ＝13，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m ，n.则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3，所以b ＝6，n ＝2.所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4，又|F 1F 2|＝213，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－（213）22×10×4＝45.8．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N.若△OMN 为直角三角形，则|MN|＝(B)A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x.设两渐近线夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°. 所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF 中，|OF|＝2，则|ON|＝ 3. 则在Rt△OMN 中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝3·tan 60°＝3.9．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN＝60°，则C 的离心率为3．如图，由题意知点A(a ，0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝bax ，即bx －ay＝0，所以点A 到l 的距离d ＝ab a 2＋b2.又∠MAN＝60°，MA ＝NA ＝b ，所以△MAN 为等边三角形，所以d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，所以a 2＝3b 2，所以e ＝c a ＝ a 2＋b 2a 2＝233. 10．已知双曲线C 的中心在坐标原点O ，对称轴为坐标轴，点(－2,0)是它的一个焦点，并且离心率为233.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知点M (0,1)，设P (x 0，y 0)是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点，求MP →·MQ →的取值范围．(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则c ＝2，又由c a ＝233，得a ＝3，b 2＝c 2－a 2＝1，故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)依题意有：Q (－x 0，－y 0)，所以MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝(－x 0，－y 0－1)，所以MP →·MQ →＝－x 20－y 20＋1，又x 203－y 20＝1，所以MP →·MQ →＝－43x 20＋2，由x 203－y 20＝1可得，x 20≥3，所以MP →·MQ →＝－43x 20＋2≤－2.故MP →·MQ →的取值范围是(－∞，－2]．。

2020届高考数学(理)一轮复习精品特训专题九：解析几何(6)双曲线

解析几何（6）双曲线1、方程22123y x m m +=-+表示双曲线,则实数m 的取值范围是 ( ) A ．32m -<< B ．13m -<< C ．34m -<< D ．30m -<<2、设12F F 、为双曲线221169x y -=的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为M N 、，则1112F N F MF F -的值( )A.54B.52C.45D.253、已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ,右焦点为2F ,P 为双曲线右支上一点,则12PA PF ⋅的最小值为( )A. 2-B. 8116-C. 1D. 04、已知直线2x =与双曲线2214x y -=的渐近线交于,A B 两点,设P 为双曲线上任一点,若(,,OP aOA bOB a b R O =+∈为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )A. 221a b +≥B. 1ab ≥C. 1a b +≥D. 2a b -≥5、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,离心率为53,若点F 到双曲线的一条渐近线的距离为4,则双曲线的方程为( )A. 221916x y -=B. 221169x y -=C. 2212516x y -=D. 221259x y -=6、已知双曲线()22221024x y b b b-=<<-与 x 轴交于,?A B 两点,点()0,C b ,则ABC ∆面积的最大值为( )A.1B.2C.4D.87、以椭圆221139x y +=的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线C ,其左右焦点分别是12,F F ,已知点M 的坐标为(2,1)M ,双曲线C 上的点0000(,)(0,0)P x y x y >>满足11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=,则12PMF PMF S S ∆∆-= ( )A. 2B. 4C. 1D. 1-8、已知直线1y x =+与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,AB 两点,且线段AB 的中点M的横坐标为1,则该双曲线的离心率为( )C. 29、已知双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是双曲线 C 上的任意一点,过点P 作双曲线 C 的两条渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于,?A B 两点,若四边形PAOB ( O 为坐标原点),且120PF PF ⋅>,则点P 的横坐标的取值范围是( )A. ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ⎛ ⎝⎭C. ,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ,33⎛- ⎝⎭10、已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ,抛物线2:8C y ax =的焦点为F ,若在E 的渐近线上存在点P 使得PA FP ⊥,则E 的离心率的取值范围是( )A. ()1,2B. 1,4⎛ ⎝⎦C. ()2,+∞D. ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭11、已知直线1y kx =-和双曲线221x y -=的左右两支各交于一点，则k 的取值范围是．12、已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是____________.13、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为4,过右焦点F 作直线交该双曲线的右支于,M N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于点H ,若10MN =,则HF =__________.14、1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF ∆为等边三角形,则双曲线的离心率为__________15、已知两定点())12,,F F 满足条件222PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ,直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两点 1.求k 的取值范围2.如果AB =且曲线E 上存在点C ,使OA OB mOC +=,求m 的值和ABC ∆的面积S .答案以及解析1答案及解析：答案：A 解析：2答案及解析：答案：C 解析：3答案及解析：答案：A解析：由已知,得()11,0A -,()22,0F .设()(),1P x y x ≥,则()()121,2,PA PF x y x y ⋅=---⋅--245x x =--,则()f x 在1x ≥时,函数()f x 取最小值,即12PA PF ⋅取最小值,最小值为2-.4答案及解析：答案：C解析：由题意,知双曲线渐近线方程为 2xy =±, 联立直线2x =,解得1y =±, 所以不妨设()()()2,1,2,1,,A B P x y -. 因为OP aOA bOB =+, 所以22,x a b y a b =+=-, 因为P 为双曲线 C 上的任意一点,所以()()222214a b a b +--=,所以141,4ab ab ==, 所以()222241a b a b ab ab +=++≥= (a b =时等号成立), 可得1a b +≥, 故选C.5答案及解析：答案：A解析：由题意知534c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,3,4a b ∴==所以双曲线的方程为221916x y -=,故选A.6答案及解析：答案：B解析：由题意,A B两点为()，因此22422ABCb bS∆+-==≤=，当且仅当224b b=-，即b=号成立．故最大值为2，选B．考点：三角形面积公式、基本不等式.7答案及解析：答案：A解析：8答案及解析：答案：B解析：由题意知()1,2M,设()()1122,,,A x yB x y人代人双曲线方程得22112222222211x ya bx ya b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩由①-②得2222121222x x y ya b--=2221222212x xy y ba-=-,,即22AB OMbk ka⋅=而1,2AB OMk k==,∴222ba=,∴e===,故选B.9答案及解析：答案：A解析：由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双曲线C的渐近线OA的方程为0bx y-=,OB的方程为0bx y+=,设点(),P m n,则直线PB的方程为()y n b x m-=-,且点P 到直线OB的距离为d =由()0bx y y n b x m -=+=-⎧⎪⎨⎪⎩,解得22bm n x m bn b y --⎧=⎪⎨=⎪⎪⎪⎩,所以点B 的坐标为,22bm n n bm b --⎛⎫⎪⎝⎭,所以||||OB bm n==-,所以,又因为2221n m b-=,所以2222b m n b -=,所以,又因为,所以b =,双曲线 C 的方程为2218y x -=,所以3c =,所以()13,0F -,()23,0F ,所以()13,PF m n =---,()23,PF m n =--,所以()()212330PF PF m m n ⋅=---+>即2290m n -+>,又因为2318n m -=,所以()229810m m -+->,解得m >m >所以点P 的横坐标m的取值范围是,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选A.10答案及解析：答案：B解析：双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A (),0a ,抛物线2:8C y ax =的焦点为F ()2,0a ,,双曲线的渐近线方程为b y x a =±,可设,b P m m a ⎛⎫⎪⎝⎭,,则有,,2,b b AP m a m FP m a m a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由PA FP ⊥，得0AP FP ⋅=，即()()22220b m a m a m a --+=，整理得22221320b m ma a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由题意可得222294120b a a a ⎛⎫∆=-+⋅≥ ⎪⎝⎭，即有()222288a b c a ≥=-，即2289c a ≤，则c e a =≤1e >，可得1e <≤，故选B 。

(湖北专用)2020届高考数学一轮复习第九章解析几何9.9曲线与方程练习理新人教A版

课时作业51 曲线与方程一、选择题1．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2cos θ＝4的曲线不可能是( )． A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆2．“f (x 0，y 0)＝0”是“点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图所示，已知两点A (－2,0)，B (1,0)，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为坐标原点，则点P 的轨迹方程是( )．A ．(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≠0) B．(x ＋1)2＋y 2＝1(y ≠0)C ．(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0) D．(x －1)2＋y 2＝1(y ≠0)4．有一动圆P 恒过定点F (a,0)(a ＞0)，且与y 轴相交于点A ，B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为( )．A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆5．已知点A (1,0)和圆C ：x 2＋y 2＝4上一点R ，动点P 满足RA →＝2AP →，则点P 的轨迹方程为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝1 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1 D ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝16．设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1的长轴两个端点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )．A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1 C.x 29－y 24＝1D.y 29－x 24＝1 7．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a ＞0)且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是( )．A.16x 2a 2－16y 215a 2＝1(y ≠0)B.16y 2a 2－16x23a 2＝1(x ≠0) C.16x 2a 2－16y 215a 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <－a 4 D.16x 2a 2－16y 23a 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >a 4 二、填空题8．过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，则AB 的中点M 的轨迹方程为________．9．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________．10．已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O ，A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是__________．三、解答题11．如图，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．12．(2012四川高考)如图，动点M 与两定点A (－1,0)，B (2,0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB .设动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝－2x ＋m 与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：∵θ是任意实数， ∴－1≤cos θ≤1.当－1≤cos θ＜0时，方程x 2＋y 2cos θ＝4为双曲线；当cos θ＝0时，x ＝±2为两条直线；当0＜cos θ＜1时，方程x 2＋y 2cos θ＝4为椭圆；当cos θ＝1时，方程x 2＋y 2＝4为圆． 2．C3．C 解析：由∠APO ＝∠BPO ，设P 点坐标为(x ，y )，则|PA |∶|PB |＝|AO |∶|BO |＝2，即|PA |＝2|PB |，∴（x ＋2）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2，整理得(x －2)2＋y 2＝4，且y ≠0.4．B 解析：设圆P 的半径为r ，则点P 到y 轴的距离为32r .设P (x ，y )，则|x |（x －a ）2＋y2＝32，x 2（x －a ）2＋y 2＝34，整理，得（x ＋3a ）212a 2－y 24a2＝1， ∴点P 的轨迹为双曲线．5．A 解析：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则有RA →＝(1－x 0，－y 0)，AP →＝(x －1，y )．又RA →＝2AP →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2（x －1），－y 0＝2y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y . 又R (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴(－2x ＋3)2＋(－2y )2＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1.6．C 解析：设交点为P (x ，y )，A 1(－3，0)，A 2(3，0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)，∵A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.①∵A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.②由①②解得x 0＝9x ，y 0＝3yx，代入x 209＋y 204＝1，化简，得x 29－y 24＝1.7．D 解析：∵sin C －sin B ＝12sin A ，由正弦定理得到|AB |－|AC |＝12|BC |＝12a (定值)．∴A 点轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线右支(不包括点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0)，其中实半轴长为a4，焦距为|BC |＝a .∴虚半轴长为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＝34a .∴动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y 23a 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >a 4. 二、填空题8．x ＋y －1＝0 解析：当直线l 1，l 2的斜率存在时，设l 1斜率为k ，则l 2斜率为－1k.l 1的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx －k ＋1，l 2的方程为y －1＝－1k(x －1)，即x ＋ky －k －1＝0.则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k ＋1k ，设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k －12k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，y ＝k ＋12k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k .消去k ，得x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0.当l 1或l 2的斜率不存在时，也满足上述方程．综上，所求轨迹方程为x ＋y －1＝0.9．x 2＋y 2＝4(x ≠±2) 解析：由圆的定义可知，点P 的轨迹是以原点为圆心、以2为半径的圆除去两个点，即所求轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．10．以O ，A 为焦点，OB 为实轴长的双曲线解析：如图，连接AP ，由于P 是线段AB垂直平分线上一点，故有|PA |＝|PB |，因此||PA |－|PO ||＝||PB |－|PO ||＝|OB |＝R ＝定值，其中R 为⊙O 的半径．又由于点A 在圆外，故||PA |－|PO ||＝|OB |＝R ＜|OA |，故动点P 的轨迹是以O ，A 为焦点，OB 为实轴长的双曲线．三、解答题11．解：设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则点N 的坐标为(2x －x 1，2y －y 1)． ∵N 在直线x ＋y ＝2上， ∴2x －x 1＋2y －y 1＝2.①又∵直线PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， ∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.③又∵点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上， ∴x 21－y 21＝1.④③代入④，得动点P 的轨迹方程是 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.12．解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，显然有x ＞0，且y ≠0. 当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)．当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有tan ∠MBA ＝2tan ∠MAB 1－tan 2∠MAB ，即－|y |x －2＝2|y |x ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫|y |x ＋12. 化简可得，3x 2－y 2－3＝0.而点(2，±3)在曲线3x 2－y 2－3＝0上，综上可知，轨迹C 的方程为3x 2－y 2－3＝0(x ＞1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0消去y ，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0.(*) 由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)内．设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－－4m 2>1，f （1）＝12－4m ＋m 2＋3>0，Δ＝（－4m ）2－4（m 2＋3）>0.解得，m ＞1，且m ≠2.设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，由|PQ |＜|PR |有x R ＝2m ＋3（m 2－1），x Q＝2m －3（m 2－1）.所以|PR ||PQ |＝x R x Q ＝2m ＋3（m 2－1）2m －3（m 2－1）＝2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m22－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＝－1＋42－3⎝⎛⎭⎪⎫1－1m2.由m ＞1，且m ≠2，有1＜－1＋42－3⎝⎛⎭⎪⎫1－1m2＜7＋43，且－1＋42－3⎝⎛⎭⎪⎫1－1m2≠7. 所以|PR ||PQ |的取值范围是(1，7)∪(7，7＋43)．。

2020版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线学案解析版

§9.6双曲线最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系.主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.题型为选择、填空题.1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)概念方法微思考1.平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定.当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线. 2.方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线.所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.3.与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0，0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？提示离心率受到影响.∵e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2，故当a >b >0时，1<e <2，当a ＝b >0时，e ＝2(亦称等轴双曲线)，当0<a <b 时，e > 2. 题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ ) 题组二教材改编2.[P61T1]若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B.5 C. 2 D.2答案 A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y b＝0，即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.3.[P61A 组T3]已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝0答案 A解析椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0. 4.[P62A 组T6]经过点A (4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案x 215－y 215＝1解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝±1(a >0)，把点A (4，1)代入，得a 2＝15(舍负)，故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三易错自纠5.已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3) B.(－1，3) C.(0，3) D.(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，故选A.6.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73B.54C.43D.53答案 D解析由条件知y ＝－b ax 过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.7.(2018·浙江省镇海中学模拟)双曲线C ：y 2－x 24＝1的渐近线方程为__________，设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同的渐近线，则该双曲线的标准方程为________________. 答案 y ＝±x 2 x 212－y 23＝1解析双曲线y 2－x 24＝1的渐近线方程为y ＝±12x ；与y 2－x 24＝1具有相同的渐近线的双曲线方程可设为y 2－x 24＝m (m ≠0)，因为该双曲线经过点(4，1)，所以m ＝12－424＝－3，即该双曲线的方程为y 2－x 24＝－3，即x 212－y 23＝1. 题型一双曲线的定义例1 (1)已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D. 圆答案 B解析如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|MF 2|＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线.(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝________.答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1.本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝2 3.2.本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0， ∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.跟踪训练1 (2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________. 答案 (27，8)解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2<m 2＋42，42<(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7<m <3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27<2m ＋2<8.题型二双曲线的标准方程例2 (1)(2018·浙江省金华东阳中学期中)△ABC 的顶点为A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C解析由条件可得，圆与x 轴的切点为T (3，0)，由相切的性质得|CA |－|CB |＝|TA |－|TB |＝8－2＝6<|AB |＝10，因此点C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， ∵2a ＝6，2c ＝10， ∴a ＝3，b ＝4，故顶点C 的轨迹方程是x 29－y 216＝1(x >3).(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程： ①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M (0，12)；③经过两点P (－3，27)和Q (－62，－7).解 ①设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.②∵双曲线经过点M (0，12)，∴M (0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0).∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华求双曲线标准方程的方法 1.定义法根据双曲线的定义确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有： (1)c 2＝a 2＋b 2；(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a . 2.待定系数法 (1)一般步骤①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程； ③列：根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程或者方程组； ④解：求解得到方程. (2)常见设法①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；②若双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)；④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)；⑤与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ＋y 2b 2－λ＝1(b 2<λ<a 2).跟踪训练2 (1)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________________. 答案x 216－y 29＝1 解析由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知，a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.即x 216－y 29＝1.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.题型三双曲线的几何性质命题点1 与渐近线有关的问题例3 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB ＝120°，则双曲线的渐近线方程为( ) A.y ＝±3x B.y ＝±33x C.y ＝±2x D.y ＝±22x 答案 A解析如图所示，连接OA ，OB ，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c (c >0)，则C (－a ，0)，F (－c ，0).由双曲线和圆的对称性知，点A 与点B 关于x 轴对称，则∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°.因为|OA |＝|OC |＝a ，所以△ACO 为等边三角形，所以∠AOC ＝60°. 因为FA 与圆O 切于点A ，所以OA ⊥FA ，在Rt△AOF 中，∠AFO ＝90°－∠AOF ＝90°－60°＝30°，所以|OF |＝2|OA |，即c ＝2a ，所以b ＝c 2－a 2＝(2a )2－a 2＝3a ，故双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x .命题点2 求离心率的值(或范围)例4 (1)(2018·丽水、衢州、湖州质检)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足∠PF 2F 1＝π2，连接PF 1交y 轴于点Q ，若|QF 2|＝2c ，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.1＋ 2 D.1＋ 3答案 C解析设O 为坐标原点，由题意可得，PF 2⊥x 轴，OQ ∥PF 2，所以Q 为PF 1的中点，易知F 2(c ，0)，因为|QF 2|＝2c ，所以|OQ |＝c ，又|OQ |＝12|PF 2|，所以|PF 2|＝2|OQ |＝2c ，所以|PF 1|＝22c ，根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即22c －2c ＝2a ，所以e ＝c a＝12－1＝2＋1.故选C.(2)(2018·浙江省绍兴市适应性考试)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，A 为虚轴的一个端点.若以A 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点B ，且AB →＝tBF →(t ∈R )，则该双曲线的离心率为( ) A.2 B. 5 C.1＋32D.1＋52答案 D解析由题图知F (－c ，0)，A (0，－b )，渐近线方程为y ＝±b ax .由已知得A ，B ，F 三点共线，且AF ⊥OB .所以点F 到渐近线OB 的距离为d ＝|bc |a 2＋b2＝b ，|AF |＝c 2＋b 2，又由△BOF ∽△OAF ，得|FO |2＝|FB |·|FA |.即c 2＝b c 2＋b 2，即c 4＝b 2(c 2＋b 2)，则c 4＝(c 2－a 2)(2c 2－a 2)，整理得c 4－3a 2c 2＋a 4＝0，即e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＝3－52舍去.所以该双曲线的离心率e ＝3＋52＝6＋254＝5＋12，故选D. 思维升华1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0).2.求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝b a ＝c 2－a 2a ＝c 2a2－1＝e 2－1. 跟踪训练3 (1)已知点F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，|PF 1|≥3|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫102，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，102 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52 答案 C解析由|F 1F 2|＝2|OP |，可得|OP |＝c ，故△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，所以(|PF 2|＋2a )2＋|PF 2|2＝4c 2，整理得(|PF 2|＋a )2＝2c 2－a 2.又|PF 1|≥3|PF 2|，即2a ＋|PF 2|≥3|PF 2|，可得|PF 2|≤a ，所以|PF 2|＋a ≤2a ，即2c 2－a 2≤4a 2，可得c ≤102a . 由e ＝c a，且e >1，可得1<e ≤102.故选C. (2)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.7B.4C.233 D. 3答案 A解析因为△ABF 2为等边三角形，所以不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ，因为A 为双曲线右支上一点，所以|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ，因为B 为双曲线左支上一点，所以|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由余弦定理得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos120°，得c 2＝7a 2，则e 2＝7，又e >1，所以e ＝7.故选A.离心率问题离心率是椭圆、双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.例1已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1答案 A解析设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝4b 5≥45，∴1≤b <2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32，故选A.例2 (2018·浙江省绿色评价联盟高考适应性考试)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的内切圆半径为a2，则该双曲线的离心率为( ) A.6－1B.3＋12C.6＋12D.6＋1答案 C解析由对称性不妨设点P 在第一象限，如图，由题意设△PF 1F 2的内切圆切三边于G ，D ，E 三点，则|PG |＝|PE |，|GF 1|＝|DF 1|，|EF 2|＝|DF 2|.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则|GF 1|－|EF 2|＝|DF 1|－|DF 2|＝2a ，设D (x 0，0)，则x 0＋c －(c －x 0)＝2a ，即x 0＝a ，所以切点D 为双曲线的右顶点，∴|PF 1|＝|GP |＋|GF 1|＝a 2＋|DF 1|＝a2＋c ＋a＝3a 2＋c ，|PF 2|＝|PE |＋|EF 2|＝a 2＋|DF 2|＝a 2＋c －a ＝c －a2，在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a 22＝(2c )2，整理得4c 2－4ac －5a 2＝0，则4e 2－4e －5＝0，解得离心率e ＝6＋12(舍负)，故选C.1.(2018·浙江)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A.(－2，0)，(2，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－2)，(0，2)D.(0，－2)，(0，2)答案 B解析 ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，即该双曲线的焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 故选B.2.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )A.x ±y ＝0B.x ±3y ＝0C.3x ±y ＝0D.2x ±y ＝0答案 C解析 ∵双曲线的方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax . 又∵离心率e ＝c a＝2， ∴c ＝2a ，∴b ＝c 2－a 2＝3a . 由此可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3aax ＝±3x ，即3x ±y ＝0.故选C.3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 答案 D解析不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109， ∴b 2a 2＝32.① 又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D.4.设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A.4B.3C.2D.1 答案 D解析连接PF 2，OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)＝12|PF 1|－3，|MT |＝12·|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－32＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1|－4＝1，故选D. 5.已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1――→的值为( )A.3B.2C.－3D.－2 答案 B解析由题意及正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1――→＝|F 2P →|·|F 2F 1――→|·cos∠PF 2F 1 ＝2×4×14＝2.故选B.6.已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 周长的最小值为( ) A.4＋ 2 B.4(1＋2) C.2(2＋6) D.6＋3 2答案 B解析由题意知F (6，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－6，0)，由题可知△APF 的周长l 为|PA |＋|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三点共线时取得“＝”，故选B.7.已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( ) A.32B.16C.84D.4 答案 B解析由题意知F 2(c ，0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.8.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a 2＝0，若双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，233B.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ C.(1，2) D.(2，＋∞)答案 A解析由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋34a2＝0可化为(x －a )2＋y 2＝14a 2，圆心C 2的坐标为(a ，0)，半径r ＝12a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，得|ab |a 2＋b 2<12a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，即c 2<43a 2，所以e ＝c a <233，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故选A.9.双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为__________，渐近线方程为____________. 答案x 24－y 28＝1 y ＝±2x解析由2a ＝4，c a＝3，得a ＝2，c ＝23，b ＝22，所以双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1，渐近线方程为y ＝±2x .10.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________. 答案 4解析由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2， ∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|. 由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|BA |＝|BF 1|，∵△BAF 1为等腰三角形，∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°， ∴△BAF 1为等腰直角三角形. ∴|BA |＝|BF 1|＝22|AF 1|＝22×4＝22， ∴＝12|BA |·|BF 1|＝12×22×22＝4.11.已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________. 答案 (0，2)解析对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0，2).12.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，求双曲线C 的离心率. 解设左焦点为F 1，由于双曲线和圆都关于x 轴对称，又△APQ 的一个内角为60°，∴∠PAF ＝30°，∠PFA ＝120°，|AF |＝|PF |＝c ＋a ， ∴|PF 1|＝3a ＋c ，在△PFF 1中，由余弦定理得 |PF 1|2＝|PF |2＋|F 1F |2－2|PF ||F 1F |cos∠F 1FP ，即3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，∴e ＝43(舍负).13.(2018·湖州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于A ，B 两点，∠AF 1B ＝90°，△AF 1B 的内切圆的圆心的纵坐标为72a ，则双曲线的离心率为( ) A.2B.3C.5D.52答案 A解析设内切圆的圆心M (x ，y )，圆M 分别切AF 1，BF 1，AB 于S ，T ，Q ，如图，连接MS ，MT ，MF 1，MQ ，则|F 1T |＝|F 1S |，故四边形SF 1TM 是正方形，边长为圆M 的半径.由|AS |＝|AQ |，|BT |＝|BQ |，得|AF 1|－|AQ |＝|SF 1|＝|TF 1|＝|BF 1|－|BQ |，又|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|－|BF 2|， ∴Q 与F 2重合，∴|SF 1|＝|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|MF 2|＝2a ，即(x －c )2＋y 2＝4a 2，① |MF 1|＝22a ，(x ＋c )2＋y 2＝8a 2，②联立①②解得x ＝a 2c ，y 2＝4a 2－b 4c 2，又y ＝72a ，故7a 24＝4a 2－b 4c 2，得e ＝c a＝2. 14.如图，已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线与圆x 2＋y2＝1相切于点T ，与双曲线的左、右两支分别交于A ，B ，若|F 2B |＝|AB |，求b 的值. 解方法一因为|F 2B |＝|AB |，所以结合双曲线的定义，得|AF 1|＝|BF 1|－|AB |＝|BF 1|－|BF 2|＝2，连接OT ，在Rt△OTF 1中，|OT |＝1，|OF 1|＝c ，|TF 1|＝b ，所以cos∠F 2F 1A ＝b c，sin∠F 2F 1A ＝1c，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－c ＋2×b c ，2×1c ，将点A 的坐标代入双曲线得(－c 2＋2b )2c 2－4c 2b 2＝1，化简得b 6－4b 5＋5b 4－4b 3－4＝0，得(b 2－2b －2)(b 4－2b 3＋3b 2－2b ＋2)＝0，而b 4－2b 3＋3b 2－2b ＋2＝b 2(b －1)2＋b 2＋1＋(b －1)2>0，故b 2－2b －2＝0，解得b ＝1±3(负值舍去)，即b ＝1＋ 3. 方法二因为|F 2B |＝|AB |，所以结合双曲线的定义，得|AF 1|＝|BF 1|－|AB |＝|BF 1|－|BF 2|＝2，连接AF 2，则|AF 2|＝2＋|AF 1|＝4.连接OT ，在Rt△OTF 1中，|OT |＝1，|OF 1|＝c ，|TF 1|＝b ，所以cos∠F 2F 1A ＝b c. 在△AF 1F 2中，由余弦定理得cos∠F 2F 1A ＝|F 1F 2|2＋|AF 1|2－|AF 2|22|F 1F 2|·|AF 1|＝c 2－32c ，所以c 2－3＝2b ，又在双曲线中，c 2＝1＋b 2，所以b 2－2b －2＝0，解得b ＝1±3(负值舍去)，即b ＝1＋ 3.15.(2018·浙江省联盟学校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且交双曲线的右支于A ，B 两点，记△AF 1F 2的内切圆半径为r 1，△BF 1F 2的内切圆半径为r 2，若r 1∶r 2＝3∶1，则直线l 的斜率为( ) A.±1B.±2C.±3D.±2 答案 C解析方法一当A 在第一象限时，如图1，设△AF 1F 2的内切圆⊙O 1分别切AF 1，F 1F 2，F 2A 于点Q ，P ，N ，则|AQ |＝|AN |，|F 1Q |＝|F 1P |，|F 2P |＝|F 2N |，又|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即(|AQ |＋|F 1Q |)－(|AN |＋|F 2N |)＝2a ， ∴|F 1Q |－|F 2N |＝2a ，∴|F 1F 2|－|F 2P |－|F 2N |＝2a ，即2c －2|F 2P |＝2a ， ∴|F 2P |＝c －a ， ∴P 为双曲线的右顶点，同理，△BF 1F 2的内切圆⊙O 2也切F 1F 2于双曲线的右顶点，连接O 1P ，O 2P ，则O 1，P ，O 2三点共线，且O 1O 2⊥F 1F 2. 连接O 1F 2，O 2F 2，又O 1F 2平分∠F 1F 2A ，O 2F 2平分∠F 1F 2B ， ∴∠O 1F 2O 2＝90°，∴Rt△O 1F 2P ∽Rt△F 2O 2P ∽Rt△O 1O 2F 2，∴|O 1F 2|2＝|O 1P |·|O 1O 2|，|O 2F 2|2＝|O 2P |·|O 1O 2|， ∴|O 1F 2|2|O 2F 2|2＝|O 1P ||O 2P |＝r 1r 2＝3，则tan∠O 2O 1F 2＝|O 2F 2||O 1F 2|＝33，∴∠O 2O 1F 2＝30°，则∠O 1F 2P ＝60°，∴∠AF 2P ＝120°， ∴k AB ＝ 3.由对称性可得A 在第四象限时，k AB ＝－ 3. 综上，直线l 的斜率为± 3. 方法二当A 在第一象限时，如图2，设△AF 1F 2的内切圆⊙O 1分别切AF 1，F 1F 2，F 2A 于点Q ，P ，N ，则|AQ |＝|AN |，|F 1Q |＝|F 1P |，|F 2P |＝|F 2N |，又|AF 1|－|AF 2|＝2a ，即(|AQ |＋|F 1Q |)－(|AN |＋|F 2N |)＝2a ，∴|F 1Q |－|F 2N |＝2a ，∴|F 1F 2|－|F 2P |－|F 2N |＝2a ，即2c －2|F 2P |＝2a ，∴|F 2P |＝c －a ，∴P 为双曲线的右顶点，同理，△BF 1F 2的内切圆⊙O 2也切F 1F 2于双曲线的右顶点，连接O 1P ，O 2P ，则O 1，P ，O 2三点共线，且O 1O 2⊥F 1F 2.设⊙O 2切BF 2于点H ，连接O 1N ，O 2H ，则在直角梯形O 2HNO 1中，|O 2H |＝r 2，|O 1N |＝r 1＝3r 2，|O 1O 2|＝r 1＋r 2＝4r 2，作O 2T ⊥O 1N 于点T ，则|O 1T |＝r 1－r 2＝2r 2，故在Rt△O 1O 2T 中，∠O 2O 1T ＝60°，∴∠AF 2P ＝120°，∴k AB ＝ 3. 由对称性可得A 在第四象限时，k AB ＝－ 3. 综上，直线l 的斜率为± 3.16.(2018·浙江省杭州地区四校联考)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P (在第一象限)在双曲线的右支上，直线PF 2的倾斜角为120°，△PF 1F 2的面积S ＝32(a 2＋b 2)，求双曲线C 的离心率. 解方法一设P (x 0，y 0)，易知|F 1F 2|＝2c ，c ＝a 2＋b 2，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×2c ×|y 0|＝32c 2，解得|y 0|＝32c . 因为直线PF 2的倾斜角为120°，所以|PF 2|＝|y 0|sin60°＝c .在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－2|PF 2|·|F 1F 2|cos∠PF 2F 1＝c 2＋(2c )2－2×c ×2c ×cos60°＝3c 2，所以|PF 1|＝3c .由双曲线的定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ＝(3－1)c ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝23－1＝3＋1.方法二设P (x 0，y 0)，易知|F 1F 2|＝2c ，c ＝a 2＋b 2，所以△PF 1F 2的面积S ＝12×2c ×|y 0|＝32c 2，解得|y 0|＝32c . 因为直线PF 2的倾斜角为120°，所以x 0＝c －|y 0|tan60°＝c 2，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c .由点P 在双曲线上可得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32c 2b 2＝1，整理得c 4－8c 2a 2＋4a 4＝0，即e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－2 3.因为e >1，所以e 2＝4＋23，所以e ＝4＋23＝3＋1.。

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课时作业48 双曲线一、选择题1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，则动点P 的轨迹是( )． A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．双曲线右边一支 D ．一条射线2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )．A.x 24－y 2＝1B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 3．如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( )．A.3＋1B.3－1C. 3D. 24．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个顶点与抛物线y 2＝20x 的焦点重合，该双曲线的离心率为52，则该双曲线的渐近线斜率为( )． A ．±2 B ．±43 C ．±12D ．±345．(2012山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )．A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y6．设F 1，F 2是双曲线x23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．67．设圆C 的圆心与双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线l ：x －3y ＝0被圆C 截得的弦长等于2，则a 的值为( )．A. 2B. 3 C ．2 D ．3 二、填空题8．(2012辽宁高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点．若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为__________．9．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为__________．10. (2012湖北高考)如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.三、解答题 11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．12.(2012上海高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1. (1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若|MF |＝22，求点M 的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |＜2)的直线l 交C 于P ，Q 两点，若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .参考答案一、选择题1．C 解析：∵|PM |－|PN |＝3＜4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支．又∵|PM |＞|PN |，∴点P 的轨迹为双曲线的右支．2．B 解析：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为(±3，0)．因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A ，C.又双曲线x 22－y 2＝1经过点(2，1)，所以选B.3．A 解析：令正六边形的边长为m ，则有AD ＝2m ，AB ＝m ，BD ＝3m ，该双曲线的离心率等于|AD |||AB |－|BD ||＝2m3m －m＝3＋1.4．C 解析：由抛物线y 2＝20x 的焦点坐标为(5，0)，可得双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个顶点坐标为(5，0)，即得a ＝5.又由e ＝c a ＝c 5＝52，可解得c ＝552，则b 2＝c 2－a 2＝254，即b ＝52.由此可得双曲线的渐近线的斜率为k ＝±b a ＝±12.5．D 解析：由于e ＝c a＝2，∴c ＝2a ，即c 2＝4a 2.又有c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3a 2，即b ＝3a .∴双曲线的渐近线方程y ＝±b a x 即为y ＝±3x ，即±3x ＋y ＝0. 又抛物线的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，F 到渐近线的距离为2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋p 22＝2，解得p ＝8. ∴抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 6．B 解析：设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，12PF F S ∆＝12|F 1F 2||y 0|＝2|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又∵x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，PF 1→·PF 2→＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3.7．A 解析：由题知圆心C (a 2＋2，0)，双曲线的渐近线方程为2x ±ay ＝0，圆心C到渐近线的距离d ＝2×a 2＋22＋a 2＝2，即圆C 的半径长为 2. 由直线l 被圆C 截得的弦长为2及圆C 的半径长为2，可知圆心C 到直线l 的距离为1，即a 2＋21＋3＝1⇒a ＝ 2.二、填空题8．2 3 解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，根据双曲线的定义及已知条件可得|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝8，故mn ＝2，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(m ＋n )2＝(m －n )2＋4mn ＝4＋4×2＝12，于是|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.9．－2 解析：由题可知A 1(－1，0)，F 2(2，0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，PA 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2.10．(1)1＋52 (2)5＋22解析：(1)连接OA .在Rt △B 2OF 2中，∵OA ＝a ，OB 2＝b ，OF 2＝c ，∴B 2F 2＝b 2＋c 2.由等面积法可得bc ＝b 2＋c 2·a ，两边平方可得，b 2c 2＝(b 2＋c 2)a 2.①又由b 2＝c 2－a 2代入①式可得，c 4－3a 2c 2＋a 4＝0.同时除以a 4可得，e 4－3e 2＋1＝0，解得，e 2＝3＋52，故e ＝1＋52.(2)S 1＝1122F B F B S 菱形＝12×2c ×2b ＝2cb ，在Rt △OAF 2中，∵OA ＝a ，OF 2＝c ，∴AF 2＝b . ∴x A ＝ab c.再由△OAB 2∽△F 2AO 得，AB 2AO ＝OA F 2A ，即AB 2＝a 2b ，故y A ＝a 2b ×a b ＝a3b2，因此，S 2＝4x A ·y A ＝4×ab c ×a 3b 2＝4a 4bc ，于是S 1S 2＝2cb 4a 4bc＝b 2c 22a 4＝12·b 2a 2·c 2a 2＝12(e 2－1)·e 2＝5＋22. 三、解答题11．(1)解：因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：由(1)可知a ＝b ＝6，所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．所以k MF 1＝m 3＋23，k M F 2＝m3－23，k MF 1·k MF 2＝m 29－12＝－m 23. 因为点(3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2.所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)解：△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以12F MF S ∆＝6.12．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋222，由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，±2. (2)左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为：y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b .因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1.(*) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b22－k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以 OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝（1＋k 2）（－1－b 2）2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2＝－1＋b 2－k 22－k2. 由(*)知，OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .。