高考数学艺术生百日冲刺专题19考前模拟卷

专题19考前模拟卷
一.选择题
1．设集合M={x|x2﹣x＞0}，N={x|＜1}，则（）
A．M∩N=∅B．M∪N=∅C．M=N D．M∪N=R
【答案】C
【解析】：M={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，N={x|＜1}={x|x＞1或x＜0}，
则M=N，故选：C．
2.已知是虚数单位,,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，
，即，故选A.
3.在区间[0，2]上随机取一个数x，使的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】：∵0≤x≤2，∴0≤≤π，∵sin≥，
∴≤≤，即≤x≤，∴P==．故选：A．
4.（2018•威海二模）已知命题p：“∀a＞b，|a|＞|b|”，命题q：“”，则下列为真命题的是（）
A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∨q D．p∨￢q
【答案】C
【解析】：∵命题p：“∀a＞b，|a|＞|b|”是假命题，命题q：“”是真命题，∴p ∨q是真命题．故选：C．
5.如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是
A. 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件
B. 2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高
C. 从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D. 从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长
【答案】D
6.（2019•泉州期中）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S n的最大值是S8”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】：等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S n的最大值是S8”⇔a8＞0，a9＜0．
则“”⇔．
∴S n的最大值是S8”是“”的充要条件．
故选：C．
7.已知点P（2，1）是抛物线C：x2=my上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，A，B在x轴上的射影分别为A1，B1，若直线PA与直线PB的斜率之差为1，D是圆（x﹣1）2+（y+4）2=1上一动点，则△A1B1D的面积的最大值为（）
（2）若b，a，c成等差数列，△ABC的面积为2，求a．
【解析】：（1）∵asinB=bsin（A+）．
∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+）．
∵sinB≠0，
∴sinA=sin（A+）．
∵A∈（0，π），可得：A+A+=π，
∴A=．…………6分
（2）∵b，a，c成等差数列，
∴b+c=，
∵△ABC的面积为2，可得：S△ABC=bcsinA=2，
∴=2，解得bc=8，
∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=（a）2﹣24，
∴解得：a=2．………………12分
18.如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，点E在棱CS上，且CE＝λCS．
（1）若，证明：BE⊥CD；
（2）若，求点E到平面SBD的距离．
【解析】（1）因为，所以，在线段CD上取一点F使，连接EF，BF，则EF∥SD且DF ＝1．
因为AB＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°，
所以四边形ABFD为矩形，所以CD⊥BF．
又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，
所以SA⊥CD，AD⊥CD．
因为AD∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD，
所以CD⊥SD，从而CD⊥EF．
因为BF∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF．
又BE平面BEF，所以CD⊥BE．…………5分
（2）解：
由题设得，，
又因为，，，
所以，
设点C到平面SBD的距离为h，则由V S—BCD＝V C—SBD得，
因为，所以点E到平面SBD的距离为．…………12分
19..2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；
（2）（ⅰ）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；
（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．
【解析】
（1）平均数．
前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，
则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．…………5分
（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．
则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：
（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，
故所求概率．…………9分
（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，
故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．……12分
20.已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（），其上顶点B（0，b）与左右焦点F1，F2构成等腰三角形，且∠F1BF2=120°．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）以点B（0，b）为焦点的抛物线C：x2=2py（p＞0）上的一动点P（m，y p），抛物线C在点P处的切线l与椭圆E交于P1P2两点，线段P1P2的中点为D，直线OD（O为坐标原点）与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，问：当0＜m≤b时，△POM面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在说明理由．【解析】：（Ⅰ）由已知得：a=2b，+=1，
解得b2=1，a2=4．
故椭圆E的方程为：+y2=1．………………4分
（Ⅱ）抛物线C的焦点B（0，1），则其方程为x2=4y．y′=x．
于是抛物线上点P（m，），则在点P处的切线l的斜率为k=y′|x=m=，
故切线l的方程为：y﹣=（x﹣m），即y=x﹣．…………6分
由方程组，消去y，整理后得（m2+1）x2﹣m3x+﹣4=0．
由已知直线l与椭圆交于两点，则△=m6﹣4（m2+1）（﹣4）＞0．
解得0≤m2＜8+4，其中m=0是不合题意的．
∴﹣＜m＜0，或0＜m＜．
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x D==．…………8分
代入l的方程得y D=．
故直线OD的方程为：x，即y=﹣x．
当x=m时，y=﹣，即点M．
△POM面积S=|PM|•m=m=+m．
∵S′=m2+＞0，
故S关于m单调递增．
∵0＜m≤1，∴当m=1时，△POM面积最大值为．…………12分
21已知函数．
（1）若函数f（x）在[1，＋∞）上是单调递减函数，求a的取值范围；
（2）当－2＜a＜0时，证明：对任意x∈（0，＋∞），．
【解析】 (1)解：由题意得.
即在上恒成立，
所以.…………3分
(2)证明：由(1)可知，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以，
所以，即，
即，
所以.…………12分
22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已
知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．
23. 设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．
（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值．
【解析】：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|=，
画出图象如图，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=﹣时，函数f（x）取得最大值为m=．
∵a2+2c2+3b2=m==（a2+b2）+2（c2+b2）≥2ab+4bc，
∴ab+2bc≤，当且仅当a=b=c=1时，取等号，
故ab+2bc的最大值为．。