河南省商丘、周口、驻马店市部分学校2021届高三开学联考(一)数学(文科)试题
河南省驻马店市2021届新高考一诊数学试题含解析
河南省驻马店市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2 B ．53C ．43D ．32【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中条件和三角形中几何关系求出x ，y ，即可求出23x y +的值. 【详解】如图所示过O 做三角形三边的垂线，垂足分别为D ，E ，F ， 过O 分别做AB ，AC 的平行线NO ，MO ，由题知222294cos 607212AB AC BC BC BC AB AC +-++︒==⇒=⋅⋅则外接圆半径212sin 60BC r ==⋅︒ 因为⊥OD AB ，所以22213193OD AO AD =-=-=， 又因为60DMO ∠=︒，所以2133DM AM =⇒=，43MO AN ==， 由题可知AO xAB y AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以16AM x AB ==，49AN y AC ==，所以5233x y +=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.2．已知集合{}|0A x x =<，{}2|120B x x mx =+-=，若{}2A B =-I ，则m =（ ）A ．4B ．－4C ．8D ．－8【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，{}2A B =-I ，可知2B -∈，代入计算即可求出m . 【详解】由{}2A B =-I ，可知2B -∈， 又因为{}2|120B x x mx =+-=， 所以2x =-时，2(2)2120m ---=， 解得4m =-. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的概念，属于基础题.3．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．C ．-D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程可知：0a <，渐近线方程为：y x=，Q 一条渐近线的倾斜角为56π，5tan 63π==-，解得：3a =-.故选：D . 【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于a 的范围的要求.4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-【答案】C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 5．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】21iz =+，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】 由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 6．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<<I B ．{|e}A B x x =<I C ．{|0e}A B x x =<<U D ．{|1e}A B x x =-<<U【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<，{|ln 1}{|0e}B x x x x =<=<<， 所以{|01}A B x x =<<I ，{|1e}A B x x =-<<U ，故选D ．7．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】解：若{a n }是等比数列，则89891,0S a a S q q -==≠， 若10a >，则898910S a a S q -==>，即98S S >成立， 若98S S >成立，则898910S a a S q -==>，即10a >，故“10a >”是“98S S >”的充要条件， 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键. 8．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，，故，，故，代入双曲线化简得到：，故.故选：. 【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 9．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题. 10．下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A ．2y x =+ B ．y sinx =C ．3y x x =-D ．2x y =【答案】C【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案. 【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除；B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除；C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足；D. 2x y =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除； 故选：C . 【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 11．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．1516【答案】D 【解析】 【分析】由程序框图确定程序功能后可得出结论． 【详解】执行该程序可得12341111150222216S =++++=． 故选：D ． 【点睛】本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．12．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A ．40243B ．70243C ．80243D ．38243【答案】C 【解析】 【分析】先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】从6个球中摸出2个，共有2615C =种结果，两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)∴摸一次中奖的概率是51153=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是13， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33243C ⋅⋅=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届高三第一次大联考数学(文)试题(含答案)
2021届四省名校高三第一次大联考文数本试卷共4页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A＝{x∈N|x2－x－2<0}，集合B＝{x|x>0}，则A∩B＝A.1B.[1，2)C.{1}D.(－1，＋∞)2.已知复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知a＝log52，b＝ln2，c＝log523，则A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a4.曲线f(x)＝xex在点(2，f(2))处的切线方程为A.y＝24ex＋22eB.y＝24ex C.y＝－24ex＋22eD.y＝－24ex5.祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年。
为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值。
正三角形的边长为4，若总豆子数n＝1000，其中落在圆内的豆子数m＝618，则估算圆周率π的值是(为方便计算3取1.70，π的值精确到0.01)A.3.13B.3.14C.3.15D.3.166.已知圆C过点A(0，2)且与直线y＝－2相切，则圆心C的轨迹方程为A.x2＝4yB.x2＝8yC.x2＝－4yD.x2＝－8y7.已知α为锐角，且满足sin α－cos α＝33，则cos2α的值为 A.±53 B.53 C.－2 D.－538.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝23π，b ＝2，且△ABC 的面积为3，则a 的值为A.12B.8C.22D.23 9.在长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点M 在边CD 上运动，则MA MB ⋅的最小值为A.－1B.0C.1D.310.一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为A.8＋2B.12C.16＋2D.12＋211.已知圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0，直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 交于A ，B 两点，当弦长AB 最短时k 的值为A.1 2 C.－1 D.212.已知函数f(x)＝sinxcos2x ，关于函数y ＝f(x)有下列命题：①f(3π)＝3 ②f(x)的图象关于点(2π，0)对称； ③f(x)是周期为π的奇函数； ④f(x)的图象关于直线x ＝2π对称。
2021年高三上学期第一次联考数学文科试题
★2012年9月29日8:00—10:00河南省中原名校xx学年上期高三第一次联考文科数学试题2021年高三上学期第一次联考数学文科试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合中含有的元素个数为A．4 B．6 C．8 D．122．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是A．B．C．D．3．已知平面向量和，||=1，||=2，且与的夹角为，则等于A．2B．4C．D．64．某程序框图如右图所示，则输出的结果是A．46B．45C．44D．435．是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，下图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的中位数较低的是A．甲乙相等B．甲C．乙D．无法确定6．下列有关命题的说法中，正确的是A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．“”是“”的充分不必要条件C．命题“”的否定是“”D．命题“若”的逆命题为真命题7．若递增等比数列的前项和为，则公比等于A．2 B．C．2或D．无法确定8．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，其中正视图、侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体的表面积是A．B．C．D．9．已知函数，若，则的一个单调递增区间可以是A．B．C．D．10．过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为A．B．C．D．（1，2）11．已知函数，有2个不同的零点、，则A．B．C．D．12．设当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围为A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分，把答案填在指定的答题卷上。
河南省商丘、周口、驻马店市部分学校联考2020-2021年度高三开学考试(一)数学(文科)试题及答案
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2021届河南省商丘市、新乡市部分高中高三数学联考(文)试题(解析版)
2021届河南省商丘市、新乡市部分高中高三数学联考（文）试题一、单选题1．已知集合{}24M x x =≤，{}3,1,1,2,3N =--，则MN =（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}1,2,3-C ．{}2,1,1,2--D ．{}1,1-【答案】A【分析】解不等式求得集合M ，由交集定义可得结果.【详解】{}[]242,2M x x =≤=-，{}3,1,1,2,3N =--，{}1,1,2MN ∴=-.故选：A.2．已知复数z 满足()243i z i i +=-，则z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】C【分析】根据复数有模，复数乘除法运算计算可得． 【详解】由()243i z i i +=-，得()()()()435252122222i i i i iz i i i i i i i --====-=++++-． 故选：C ．3．已知1tan 2θ=-，则tan 24tan 4πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2-C ．1-D ．0【答案】D【分析】直接利用正切的和角公式与二倍角公式求解即可【详解】22tan 1tan 44tan 24tan 4041tan 1tan 33πθθθθθθ+⎛⎫++=+⨯=-+= ⎪--⎝⎭ 故选:D4．命题：①若236a b ==，则111a b+=；②若2336a b ==，则1112a b +=；③若23216a b ==，则1113a b +=.类比命题①，②，③，可得命题“若a b m n t ==(m ，n 均为大于1的整数)，则111a b k+=”，其中t =（ ） A ．k m n B ．k mnC ．kmnD ．()k mn【答案】D【分析】根据①②③归纳出其中的关系式可得选项.【详解】对于①，()1623=⨯；对于②，()23623=⨯；对于③，()321623=⨯，类比①②③，可得()kt mn =， 故选:D.5．已知椭圆2222:1(0)3x y C b b b +=>+的左､右焦点分别为F 1､F 2，P 为椭圆C 的上顶点，若123F PF π∠=，则b =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】根据椭圆上顶点的位置可得在12cos 2F PF ba∠=，由23a b =+，带入即可得解. 【详解】根据椭圆的图象性质可得：因为123F PF π∠=，所以21223cos 322F PF b b ∠==+， 所以29b =，又0b >，所以3b =， 故选：C6．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线.具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC ，分别记射线AC ，BA ，CB 为1l ，2l ，3l ，以C 为圆心､CB 为半径作劣弧1BC 交1l 于点1C ；以A 为圆心､1AC 为半径作劣弧11C A 交2l 于点1A ；以B 为圆心､1BA 为半径作劣弧11A B 交3l 于点1B ，…，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线.记劣弧1BC 的长，劣弧11C A 的长，劣弧11A B 的长，…依次为1a ，2a ，3a …，则129a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．30πB ．45πC ．60πD ．65π【答案】A【分析】设第n 个劣弧的半径为n ，由题意可得2233n n a n ππ=⋅=，根据等差数列的前n 和公式即可求解.【详解】由题意，第n 个劣弧的半径为n ，圆心角为23π， 所以第n 个劣弧的弧长2233n n a n ππ=⋅=， 所以()1292291012930332a a a πππ⨯++⋅⋅⋅+=+++=⨯=. 故选：A.7．已知ABC 是边长为4的等边三角形，D 为BC 的中点，E 点在边AC 上，设AD 与BE 交于点P ，则BP BC ⋅=（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】利用向量数量积的几何意义求解. 【详解】如图：由向量数量积的几何意义得：248BP BC BD BC ⋅=⋅=⨯=， 故选：C.8．古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩，称为门墩，亦称门枕石.门墩的作用是固定门框，防止大门前后晃动，另外门墩一般雕刻有传统的吉祥图案，起到装饰作用.如图，粗实线画出的是某门墩的三视图(其中网格纸的小正方形的边长为2dm )，则该门墩的体积为（ ）A ．38(48)dm 3π+ B ．316(48)dm 3π+ C ．332(32)8dm 3π++D ．332(32)16dm 3π++【答案】A【分析】根据三视图准确画出其直观图，再计算这个组合体的体积即可.【详解】该门墩的上部为半径为2的球的四分之一，下部为底面为梯形､高为4的四棱柱，如图所示，其体积为()()33141824244484323dm ππ⨯⨯+⨯⨯+⨯=+.故选：A9．设函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x <时，()ln()f x x =-，若()1.12a f =，()0.45b f =，5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】B【分析】首先根据函数的奇偶性求得0x >时的解析式，再利用单调性比较大小即可得解.【详解】因为当0x <时，()()ln f x x =-， 所以当0x >时，()()ln f x f x x =-=， 所以函数()f x 在()0,∞+单调递增， 1.122>， 又20.4515552=<==，又0ln1ln 1e =<=，所以0.4 1.152<，所以c b a <<. 故选：B10．已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点 ，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为 （ ）A B C ．2D 【答案】D【分析】利用中位线关系求得12EF EF ⊥，再利用双曲线的定义，表示12Rt EF F 的三边，最后根据勾股定理求双曲线的离心率.【详解】连结1EF ，因为点,O H 分别为12F F 和2EF 的中点， 所以1//OH EF ，且12EF EF ⊥设点()2,0F c 到一条渐近线by x a =的距离d b ==，所以 22EF b =，又212EF EF a -=，所以122EF b a =-，12Rt EF F 中，满足()2222244b a b c -+=，整理为：2b a =，双曲线的离心率c e a ===故选：D11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在直线4x y +=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则O 到直线AB 距离的最大值为（ ）A ．1BCD ．2【答案】B【分析】根据相交圆的公共弦所在直线方程的求法，先求以OP 为直径的圆的方程，和圆O 的方程224x y +=的差即为公共弦所在直线方程，利用距离公式即可得解. 【详解】设(),P a b ，则4a b +=，以OP 为直径的圆的方程是()22221224a b x y a b ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与圆O 的方程224x y +=相减，得直线AB 的方程为，即40ax by +-=所以O 到直线AB 的距离为==≤当且仅当2a =时取等号，所以坐标原点到直线AB . 故选：B12．已知函数()*()cos 3f x x πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ，若函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离至少为4π，且在区间3(,)2ππ上存在最大值，则ω的取值个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由题意利用余弦函数的图像和性质，先求出ω的范围，再分类讨论，得到结论. 【详解】该函数的最小正周期为2T πω=.函数()f x 图象的相邻两对称轴之间的距离24T π≥，即4ππω≥,所以4ω≤ 函数()f x 取最大值时，()23x k k Z πωπ+=∈即()23k x k Z ππωω=-∈，由()2332k k Z ππππωω<-<∈ 得()13232k k Z ωω<-<∈ 即()3192612k k Z ωω++<<∈ 因为4ω≤，且*N ω∈ 当1ω=时，211312k <<，无整数解 当2ω=时，7563k <<，无整数解当3ω=时，529312k <<，有整数解2k =当4ω=时，1338612k <<，有整数解3k = 综上可知3,4ω=，即满足条件的ω值有两个 故选:C【点睛】（1）()sin y A ωx φ=+和()cos y A x ωϕ=+的最小正周期为2T πω=；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.二、填空题13．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且25280,5m a a S S -==，则m 的值是__________． 【答案】4【分析】利用等比数列的通项公式及前n 项求和公式求解即可. 【详解】因为2580a a -= 所以4118a q a q =，解得2q又因为25m S S =，所以()()211121251212m a a --=⋅--且10a ≠解得4m = 故答案为：4【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 14．已知函数27(0)y x x=>图象的一条切线l 1与直线2:340l x y -=垂直，则l 1的方程为___________.【答案】43360x y +-=【分析】设切点坐标为()()'000227,0,x y x y x >=-，求得切线1l 的斜率为2027x -，再由两直线垂直的条件解出切点坐标，根据直线的点斜式方程可得答案.【详解】设切点坐标为()()'000227,0,x y x y x >=-，所以切线1l 的斜率为2027x -，又直线2l 的斜率为34，所以由2027314x -⨯=-，得20814x =，又00x >，所以092x =， 所以06y =，所以切点坐标为9,62⎛⎫⎪⎝⎭，故1l 的方程为49632y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1l 的方程为43360x y +-=，故答案为：43360x y +-=.15．已知在正四面体ABCD 中，点E 在棱AC 上，F 为棱AD 的中点.若BE EF +的最小值为42，则该四面体外接球的表面积是___________. 【答案】36π【分析】首先将侧面ABC ､侧面ACD 展成一个平面α，确定在α内当,,B E F 三点共线时BE EF +最小，求得棱长进而即可得解.【详解】设正四面体ABCD 的棱长为a ，将侧面ABC ､侧面ACD 展成一个平面α， 在α内当,,B E F 三点共线时(如图1)，BE EF +最小，此时2211422cos12042a a a a ︒=+-⋅⋅，即224a =，得6a =ABCD 的外接球球心为O .设点A 在平面BCD 上的射影为G (如图2)，则G 为BCD ∆的中心， 2223262,24843GD AG AD GD ===--=，因为BCD ∆为正三角形，故四面体外接球的球心O 在线段AG 上， 设球的半径为R ，则222OD OG GD =+， 即222(4)(22)R R =-+，解得3R =，故正四面体ABCD 的外接球的表面积为2436R ππ=. 故答案为：36π.三、双空题16．下图是某高速公路测速点在2021年2月1日8：00到18：00时测得的过往车辆的速度(单位：km/h )的频率分布直方图，则该频率分布直方图中m =___________，据此图可得在该段时间内过往车辆的平均速度约为___________km/h .【答案】0.04 102【分析】根据频率分布直方图各矩形的面积之和为1求解；算出各组的频率，利用平均数公式求解.【详解】由频率分布直方图得：0.10.3100.21m +++=， 解得0.04m =；各组的频率自左向右依次为0.1,0.3,0.4,0.2，所以平均速度为()850.1950.31050.41150.2102/km h ⨯+⨯+⨯+⨯= 故答案为：0.04；102四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C +=.（1）求角B 的大小；（2）设D 为边AC 上一点，ABD CBD ∠=∠，1BD =，求ABC 面积的最小值. 【答案】（1）23B π=；（23【分析】()1根据正弦定理进行边角互化，再由()sin sin sin cos cos sin ,A B C B C B C =+=+代入可求得1cos 2B =-，由角的范围可得答案；()2由三角形的面积公式化简可得ac a c =+，再由基本不等式，得2ac a c ac =+≥，由此可求得ABC 面积的最小值.【详解】解：()1由正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C +=,由()sin sin sin cos cos sin ,A B C B C B C =+=+得2cos sin sin 0B C C +=， 由0C π<<，得，sin 0C ≠，所以1cos 2B =-，由0B π<<，得23B π=； ()2由()1知23B π=，又ABD CBD ∠=∠，所以3ABD CBD π∠=∠=，所以1211sin1sin 1sin 232323ac a c πππ=⨯⨯+⨯⨯，化简得ac a c =+，由基本不等式，得ac a c =+≥，即4ac ≥(当且仅当2a c ==时取等号)．所以ABC 面积121sin 4232S ac π=≥⨯=当且仅当2a c ==时取等号)，故ABC 18．叶女士在某购物商场的消费金额达到了“贵宾级”水平，春节期间，商场决定对“贵宾级”顾客给予每人一次抽奖机会，按照抽取奖券的价值选取商品.商场中可供选取的有A ，B ，C ，D ，E ，F 六种商品.其中商品A ，B 每件价值3000元､商品C ，D 每件价值2000元､商品E ，F 每件价值1000元.叶女士抽取到一张价值4000元的奖券.（1）若她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件，求她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率；（2）若她从六种商品中任意选取，每种商品可以选取多件，选取的商品总价值为其奖券价值，求她选取的商品件数不超过三件的概率. 【答案】（1）110；（2）1318.【分析】（1）先按照含商品A 时列举，再按不含商品A 时，分含有商品B 时和不含商品B 列举基本事件的总数，从中找出商品总价值为4000元的基本事件数，代入古典概型概率公式求解；（2）价值4000元的基本事件，分选取两件时先从,A B 选一，,E F 选一，再从,C D 中选，选取三件时：,C D 选一､,E F 选二，选四件时，只能在,E F 中选取得到基本事件的总数，再找出不超过3件的基本事件数，代入古典概型概率公式求解. 【详解】（1）含商品A 时，,,,,B C D E F 再选两件，即,,,,,,,,,BC BD BE BF CD CE CF DE DF EF ，此时的基本事件为,,.,,,,,,ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AEF ，共10个； 不含商品A 时，从中,,,,B C D E F 选三件，含有商品B 时，再从,,,C D E F 选两件， 即,,,,,CD CE CF DE DF EF ，此时基本事件为,,,,,BCD BCE BCF BDE BDF BEF ，共6个； 不含商品B 时，从,,,C D E F 选三件，即,,,CDE CDF CEF DEF ，共4个，所以不含商品A 时，共计10个. 于是，基本事件总数为101020+=个，其中商品总价值为元4000的事件有,CEF DEF 共2个， 故所求的概率为212010= （2）价值4000元的基本事件：选取两件时：①,A B 选一，,E F 选一，即,,,AE AF BE BF ，共4个；②从,C D 中选，有,,CC CD DD ，共3个；选取三件时：,C D 选一､,E F 选二， 即,,,,,CEE CEF CFF DEE DEF DFF ，共6个；选四件时，只能在,E F 中选取，即,,,,EEEE EEEF EEFF EFFF FFFF ，共5个， 故基本事件总数为436518+++=， 其中不超过3件的基本事件有43613++=个. 故所求的概率为131819．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，22AC AB AD ==，90ADC ABC ∠=∠=︒.（1）证明：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若F 是PC 的中点，求证：//BF 平面PAD . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证明BD AC ⊥与BD PA ⊥，从而证明BD ⊥平面PAC ，进而得证平面PBD ⊥平面PAC（2）先证明平面//BEF 平面PAD ，从而证明//BF 平面PAD 【详解】证明：()1取AC 的中点E ，连接DE 和BE 则2AC DE =，所以12DE AE AC ==， 又22,AC AB AD ==､ 所以DE AE AD == 同理BE AE AB == 所以DE BE AD AB ===，所以四边形ABED 为菱形， 所以BD AC ⊥；因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ， 所以BD PA ⊥，又,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ， 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAC .()2连接EF ，则// .EF PA又EF ⊄平面,PAD PA ⊂平面PAD ， 所以//EF 平面PAD .由()1知四边形ABED 为菱形， 所以//BE AD ， 同理//BE 平面PAD .又,,EF BE E EF BE ⋂=⊂平面BEF ， 所以平面//BEF 平面PAD . 又BF ⊂平面BEF ， 所以//BF 平面PAD20．已知抛物线22(0)E y px p =>：的焦点为F ，设()0,2G x 为抛物线E 上一点，||2GF =.（1）求抛物线E 的方程：（2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线E 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，线段AB的垂直平分线与x 轴交于Q 点，若||2||AB PQ =，求点P 的坐标. 【答案】（1）24y x =；（2）()1,0. 【分析】（1）根据条件可得042px =，022px +=联立即可得解； （2）设(),0P n 可得直线AB 的方程为x ty n =+，代入24y x =，并整理得2440y ty n --=，设()()1122,,,A x y B x y ，利用韦达定理结合弦长公式即可得解.【详解】()1因为点G 在抛物线E 上，所以042px = 又2GF =，所以022px +=， 所以222pp +=，所以2p =故抛物线E 的方程为24y x =；()2设(),0,P n 直线AB 的方程为x ty n =+，代入24y x =，并整理得2440y ty n --=，由题意，得216160t n ∆=+>，即20t n +> 设()()1122,,,A x y B x y ，则20t n +>所以AB ==设AB 的中点为()00,R x y ， 则2120002,22y y y t x ty n t n +===+=+，即()22,2R t n t +， 所以直线RQ 的方程为()222y t t x t n -=---令0y =，得222x t n =++，所以()222,0Q t n ++.所以()222222121PQ t n n t t =++-=+=+由2AB PQ =，得()2221t =⨯+， 解得1n =，适合216160t n ∆=+≥， 故P 点的坐标为()1,0.21．已知函数()()ln ()f x x a x x a =+-∈R .（1）当0a =时，是否存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()01f x =-？并说明理由. （2）讨论()f x 的极值点的个数.【答案】（1）存在唯一的01x =，使得()01f x =-；（2）当0a ≤时，函数()f x 有一个极值点；当10a e<<时，函数()f x 有两个极值点；当1a e ≥时，函数()f x 无极值点.【分析】()1当0a =时，()()'ln ,ln f x x x x f x x =-=，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性，从而可得出结论；()2求导函数，令()ln h x a x x =+，求导，分析()'h x 的符号，得出函数()h x 的单调性，可得出函数()h x 的最小值()min 1h x a e =-，分1a e ≥时，1a e <时，10a e <<时，判断三种情况中的函数()f x 的单调性，由此可得函数()f x 的极值点的情况.【详解】解：()1()f x 的定义域为()0,∞+,当0a =时，()()'ln ,ln f x x x x f x x =-=，当01x <<时，()'0f x <，当1x >时，()'0f x >，所以()f x 在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增， 所以1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，且()()min 11f x f ==- 故存在唯一的01x =，使得()01f x =-；()()()'1ln 2ln 1a x xf x x a x x x+=+⋅+-=， 令()ln h x a x x =+，则()'ln 1h x x =+，当10x e<<时，()'0h x <，当1x e >时，()'0h x >，所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 11h x h a e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，①当1a e≥时，()min 0h x ≥，所以对任意()0,x ∈+∞，()()min 0h x h x ≥≥，所以对任意()()()'0,,0,x f x f x ∈+∞≥在()0,∞+上单调递增，所以()f x 无极值点；②当1a e <时，()min 10h x a e=-<，若0a ≤，因为10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时ln 0x x <，所以对()10,,0x h x e ⎛⎫∀∈< ⎪⎝⎭，因为()()()1111110a a a a h ea e a a e e-+-+-+-+=+-+=-+>，所以存在()110,a x e e --+∈，使得()00h x =；所以当()00,x x ∈时，()0h x <，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，所以在()00,x 上，()'0f x <，在()0,x +∞上，()'0f x >，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以当0a ≤时，()f x 有一个极小值点，无极大值点； 若10a e <<时，在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上，因0x →时，ln 0x x →，所以()1,h x a a a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，因为()()ln 10a a a ah e a e e a e =+=+>，且()h x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()1,h x a e ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，所以()'f x 在110,,,e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点12,x x ，列表如下：x ()10,x1x()12,x x2x()2,x +∞()'f x+0 -+()f x 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数所以当10a e<<时，()f x 有两个极值点. 综上：当0a ≤时，函数()f x 有一个极值点； 当10a e<<时，函数()f x 有两个极值点； 当1a e≥时，函数()f x 无极值点.【点晴】方法点睛：导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具．本题就是以含参数的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力．借助导数与函数单调性的关系，运用分类整合的数学思想分类求出其单调区间和单调性，从而得出极值使问题得以解决.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为40x y +-=，曲线C 的参数方程为cos 2x t y t=⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数).以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）设射线(0,02)θαραπ=<与直线l 和曲线C 分别交于点M ，N ，求2241||||OM ON +的最小值.【答案】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭243cos2ρθ=+；（2）1【分析】（1）由参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化公式，结合同角三角函数的平方关系，可得所求； （2）求得213cos 24ONα+=，211sin 2370,,21644OMαππαπ+⎛⎫⎡⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎝⎭， 运用辅助角公式，结合正弦函数的最值，计算可得所求最小值． 【详解】()1将cos ,sin x y ρθρθ==代入40x y +-=， 得直线l 的极坐标方程为sin cos 4ρθρθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭由cos x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩消去参数，得曲线C 的普通方程为2212y x +=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入2212y x +=，得曲线C 的极坐标方程为222242cos sin 3cos 2ρθθθ==++，()2由射线()0,02θαραπ=≥≤<与l 交于点M ，得370,,244sin 4OM ππαπα⎫⎡⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭， 即211sin 2370,,21644OMαππαπ+⎛⎫⎡⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎝⎭， 由射线()0,02θαραπ=≥≤<与曲线C 交于点N ，得243cos 2ON α=+，即213cos 24ON α+=， 则22411sin 23cos 244OMONαα+++=+ 237410,,2444a παπππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎡⎫⎛⎫⎝⎭=+∈⎪ ⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎝⎭， 所以当sin214πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，得58πα=时，2241OM ON +取得最小值4144=-.23．已知函数()|1||1|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x x +的解集；（2）记()f x 的最小值为m ，正实数a ，b 满足a b m +=，证明：111ma mb m m++++. 【答案】（1）[﹣2，6]；（2）证明见解析．【分析】（1）由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值m ，再由乘“1”法和基本不等式，即可得证．【详解】()1解：函数()2,12,112,1x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩当1x ≤-时，由26x x -≤+，得2x ≥-， 所以21x -≤≤-当11x -<≤时﹐由26x ≤+得4x ≥-， 所以11x -<≤，当1x >时，由26x x ≤+，得6x ≤， 所以16x <≤综上，不等式()6f x x ≤+的解集为[]2,6-()2证明：由()11112x x x x f x ++-≥+-+=⇒的最小值2m =，所以2a b +=()()11111112222622a b a m b m a b a b ⎛⎫+=+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭122142226226631b a m a b m ⎛++⎛⎫=++≥+=== ⎪ +++⎝⎭⎝ 当且仅当1a b ==时等号成立 所以111ma mb m m+≥+++。
2021-2022学年河南省周口市六校高三(上)联考数学试卷(文科)(12月份)(附答案详解)
2021-2022学年河南省周口市六校高三（上）联考数学试卷（文科）（12月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x ∈Z|1≤x ≤4}，B ={x ∈R|x−4x−1≥0}，则A ∩(∁U B)=( )A. [1,4]B. [2,4)C. {2,3,4}D. {1,2,3}2. 已知复数z 满足(z −i)(2+i)=6−2i ，则|z|=( )A. √3B. 2C. √5D. √63. sin15°cos15°=( )A. 14B. √34C. 12D. √324. 已知命题p ：“∀x ∈N ，x 2<2x ”的否定是“∃x 0∈N ，x 02<2x 0”；命题q ：∃α0∈R ，sinα0+cosα0=1.下列说法不正确的是( )A. (￢p)∧q 为真命题B. p ∨(￢q)为真命题C. p ∨q 为真命题D. ￢q 为假命题5. 已知实数x 、y 满足x 2+y 2≤1，则y ≥x 的概率为( )A. 12B. 1πC. 2πD. 12π6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 1B. 12C. 13D. 147. 下列函数既是奇函数又是减函数的是( )A. f(x)=(12)xB. f(x)=−x 3C. f(x)=1xD. f(x)=−log 3x8. 已知x >0，y >0，且8x +2y =1，则x +y 的最小值是( )A. 10B. 15C. 18D. 239.已知函数(x)=sin(x+π2)(x∈R)，下面结论错误的是()A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数(x)在区间[0,π2]上是增函数C. 函数f(x)的图象关于直线x=0对称D. 函数f(x)是偶函数10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1B，B1D1，A1D，CD1的中点，则异面直线MN与PQ所成角的大小是()A. π6B. π4C. π3D. π211.已知椭圆x216+y27=1的右焦点为F，A是椭圆上一点，点M(0,4)，则△AMF的周长最大值为()A. 18B. 16C. 12+4√2D. 13+√712.若不等式e x+x+ln1x≥mx+lnm对任意x>0恒成立，则正实数m的最大值为()A. 2B. eC. 3D. e2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,−3)，b⃗ =(1,−3)，c⃗=(1,λ)，若(a⃗+2b⃗ )⊥c⃗，则λ=______．14.若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为60°，则它的离心率为______．15.已知实数x，y满足不等式组{3x+2y−6≤0x−3y+3≥0x+3y≥0，则目标函数z=3x+y的最大值为______．16.如图所示，点D在线段AB上，∠CAD=30°，∠CDB=45°.给出下列三组条件(已知线段的长度)：①AC，BC；②AD，DB；③CD，DB．其中，使△ABC唯一确定的条件的所有序号为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某科技公司研发了一项新产品A，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价x(千元)和销售量y(千件)之间的一组数据如表所示：(1)试根据1至5月份的数据，建立y关于x的回归直线方程；月份i 1 2 3 4 5 6 销售单价x i 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量y i111086515(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.65千元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问(1)中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=∑x i ni=1y i −n⋅x −⋅y−∑x i 2n i=1−nx −2． 参考数据：∑x i 5i=1y i =392，∑x i 25i=1=502.5．18. 已知四棱锥P −ABCD 的底面为直角梯形，AB//CD ，∠DAB =90°，PA ⊥AD ，且PA =AB =2AD =2DC =2，PB =√2AB ． (Ⅰ)证明：平面PAC ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求四棱锥P −ABCD 的侧面积．19. 已知等差数列{a n }的前四项和为10，且a 2，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }通项公式；(2)设b n =a n +2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 的右顶点A 在圆O ：x 2+y 2=1上，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1． (1)求双曲线C 的标准方程；(2)动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，问△OMN(O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．21. 已知函数f(x)=1(x−1)2+aln(x +1)(a ∈R)．(1)设g(x)=f(x −1)，若g(x)在区间(1,2)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(−1,1)，f(x)≥1，求实数a 的值．22. 已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =tcosαy =tsinα，其中t 为参数，α∈[0,π)，曲线C 2的参数方程为{x =1+2cosθy =2sinθ，其中θ为参数．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)若α=π3，曲线C 1，C 2交于M ，N 两点，求|OM|⋅|ON|的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|+2|x −1|．(1)当a =2时，解不等式f(x)≤4；(2)若存在x ∈[1,2]，使得不等式f(x)>x 2成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵全集U=R，集合A={x∈Z|1≤x≤4}={1,2,3,4}，B={x∈R|x−4x−1≥0}={x|x<1或x≥4}，∁U B={x|1≤x<4}，∴A∩(∁U B)={1,2,3}．故选：D．求出集合A，B，从而求出∁U B，进而能求出A∩(∁U B)．本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由(z−i)(2+i)=6−2i得z=6−2i2+i+i=2−i，则|z|=√22+(−1)2=√5．故选：C．由已知结合复数的运算先求z，然后结合模长公式可求．本题以复数为背景，考查了复数的运算，复数的模，考查了运算求解能力，考查数学运算的核心素养．3.【答案】A【解析】解：因为sin2α=2sinαcosα，所以sin15°cos15°=12sin30°=14．故选：A．由正弦的倍角公式变形即可解之．本题考查正弦的倍角公式．4.【答案】B【解析】解：根据题意，“∀x∈N，x2<2x”的否定是“∃x0∈N，x02≥2x0”，则命题p是假命题；∃α0=π，sinα0+cosα0=1+0=1，q为真命题；2则(￢p)∧q和p∨q为真命题、￢q为假命题，即ACD正确；而p∨(￢q)为假命题，B不正确；故选：B．根据题意，分析p、q的真假，由复合命题真假的判断方法分析选项，可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及全称、特称命题以及复合命题真假的判断，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：满足x2+y2≤1对应的区域为单位圆部分，面积为π，又y≥x对应的区域为直线y=x的上方，对应区域为半圆，则y≥x的概率为1．2故选：A．作出对应区域，根据几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应区域面积是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】C【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体；如图所示：故：V=13×1×1×1=13．故选：C．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：A.f(x)是奇函数，则R是为非奇非偶函数，不满足条件．B.f(−x)=−f(x)，则f(x)是奇函数，且在R上是减函数，满足条件．C.f(x)是奇函数，但在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上不单调，D.函数的定义域为(0,+∞)为非奇非偶函数，不满足条件．故选：B．根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】C【解析】解：x+y=(x+y)(8x+2y)=8y x+2x y+10≥2√16+10=18，(当且仅当8yx =2xy，即x=12，y=6时，等号成立)故选：C．化简x+y=(x+y)(8x+2y)=8y x+2x y+10，从而利用基本不等式求最值．本题考查了基本不等式的应用，同时考查了整体思想的应用，是基础题．【解析】解：对于函数(x)=sin(x+π2)=cosx(x∈R)，它的最小正周期为2π，故A正确；显然，函数(x)在区间[0,π2]上是减函数，故B错误；由于f(x)为偶函数，故它的图象关于直线x=0对称，故C、D正确，故选：B．由题意利用诱导公式，余弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查诱导公式，余弦函数的图象和性质，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：连接AC，AD1，∵P，Q分别为A1D，CD1的中点，∴PQ//AC//A1C1，∴∠A1NM或其补角为异面直线MN与PQ所成角，设正方体的棱长为2，在△A1MN中，A1M=12A1B=√2，A1N=12A1C1=√2，MN=12BC1=√2，∴△A1MN为等边三角形，∴∠A1NM=π3，∴异面直线MN与PQ所成角的大小为π3．故选：C．连接AC，AD1，易知PQ//AC//A1C1，故∠A1NM或其补角即为所求，再证得△A1MN为等边三角形，得解．本题考查异面直线夹角的求法，利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．设椭圆的左焦点为F′，|MF|=5=|AF′|，|PF|+|PF′|=2a=8，利用|MA|−|MF′|≤|AF′|，即可得出．【解答】解：如图所示设椭圆的左焦点为F′(−3,0)，|MF|=√32+42=5=|MF′|，则|AF|+|AF′|=2a=8，∵|MA|−|AF′|≤|MF′|，∴△AMF的周长=|MF|+|AF|+|AM|=5+|AM|+8−|AF′|≤5+8+5=18，当且仅当三点A，F′，M共线时取等号．∴△AMF的周长最大值为18．故选：A．12.【答案】B【解析】解：由题意得，e x+x≥mx+ln(mx)，即e x+lne x≥mx+ln(mx)，令f(x)=x+lnx，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，从而不等式转化为f(e x)≥f(mx)，则e x≥mx，即e xx≥m，令g(x)=e xx，则g′(x)=e x(x−1)x2，当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以当x=1时，g(x)有最小值，即g(x)min=g(1)=e，则m的最大值为e，故选：B．由题意得，e x+x≥mx+ln(mx)，即e x+lne x≥mx+ln(mx)，令f(x)=x+lnx，进而推出函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，从而不等式转化为f(e x)≥f(mx)，即e xx≥m，令g(x)=e xx，只需m≤g(x)min即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．13.【答案】49【解析】解：∵向量a⃗=(2,−3)，b⃗ =(1,−3)，c⃗=(1,λ)，若(a⃗+2b⃗ )⊥c⃗，则(a⃗+2b⃗ )⋅c⃗=a⃗⋅c⃗+2b⃗ ⋅c⃗=(2−3λ)+2(1−3λ)=0，则λ=49，故答案为：49．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得λ的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14.【答案】2或2√33【解析】解：双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为60°，可得b a =√33或ba=√3，则它的离心率为：e =c a=√a2+b 2a 2=2√33或2． 故答案为：2√33或2． 利用双曲线的渐近线的夹角，推出a 、b 关系，然后求解离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．15.【答案】487【解析】解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当z =3x +y 最大时，y =−3x +z 在y 轴截距最大， 由图象可知：当y =−3x +z 过A 时，在y 轴截距最大，由{x +3y =03x +2y −6=0得：{x =187y =−67，∴A(187,−67)，∴z max =3×187−67=487． 故答案为：487．由约束条件画出可行域，将问题转化为y =−3x +z 在y 轴截距的最大值问题求解，利用数形结合的方式可求得结果．本题考查了简单的线性规划，属于基础题．16.【答案】②③【解析】解：∵∠CAD =30°，∠CDB =45°．∴∠ACD =15°，∠CDA =130°．①在△ABC 中，知道AC ，BC 的长度及角A ，由ACsinB =BCsin30∘，求得sinB ，AC 与BC 的大小不定，角B 不一定唯一，则△ABC 不一定唯一．②在△ADC 中，知道AD 长及各角度，由正弦定理可得出AC 长度．BD 长度已知，CD 长度可求，△ABC 唯一确定．③同②可知，△ADC 中，已知一边及各角度，在△ACB 中，已知一角及其夹边△ABC 唯一确定．故答案为：②③．由已知求得∠ACD =15°，∠CDA =130°.然后利用正弦定理与三角形的解法逐一判断即可．本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)因为x −=15(9+9.5+10+10.5+11)=10，y −=15(11+10+8+6+5)=8，所以b ̂=392−5×10×8502.5−5×102=−3.2，得a ̂=8−(−3.2)×10=40，故y 关于x 的回归直线方程为y ̂=−3.2x +40． (2)当x =8时，y ̂=−3.2×8+40=14.4， 则|y ̂−y|=|14.4−15|=0.6<0.65， 故可以认为所得到的回归直线方程是理想的．【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解． (2)将x =8代入上式的线性回归方程中，求出预测值，再求出残差，即可求解． 本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：由PA =AB =2，PB =√2AB =2√2，∴PA 2+AB 2=PB 2，∴AB ⊥PA ，又PA ⊥AD ，AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AP ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，在直角梯形ABCD 中，由题意得AC =BC =√2， ∴AC 2+CB 2=AB 2，∴BC ⊥CA ，∵AP ∩AC =A ，AP 、AC ⊂平面APC ，∴BC ⊥平面APC ， ∵CB ⊂平面PCB ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．(2)由(1)知PA ⊥平面ABCD ，四棱锥的三个侧面均为直角三角形， 由题意得：S △PAD =12×PA ×AD =1，S △PAB =12×PA ×AB =2， S △PDC =12×PD ×CD =12×√5×1=√52，S △PBC =12×PC ×BC =12×√6×√2=√3，∴四棱锥P −ABCD 的侧面积为S =3+√3+√52．【解析】(1)推导出AB ⊥PA ，PA ⊥AD ，从而AP ⊥平面ABCD ，PA ⊥BC ，再推导出BC ⊥CA ，从而BC ⊥平面APC ，由此能证明平面PAC ⊥平面PBC ．(2)由PA ⊥平面ABCD ，四棱锥的三个侧面均为直角三角形，能求出四棱锥P −ABCD 的侧面积．本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意知{4a 1+6d =10(a 1+2d)2=(a 1+d)(a 1+6d)，解得a 1=−2，d =3，或a 1=52，d =0， 所以a n =3n −5，a n =52，(2)b n =3n −5+2n ，或b n =52+2n ， 当b n =3n −5+2n时，S n =n(−2+3n−5)2+1−2n 1−2=3n 2−7n2+2n −1，当b n =52+2n 时，S n =52n +2n −1．【解析】(1)利用等差数列的通项公式分别表示出前四项和与a 2，a 3，a 7等比数列关系组成方程组求得a 1和d ，最后根据等差数列的通项公式求得a n ．(2)把(1)中求得b n =3n −5+2n ，或b n =52+2n ，进而根据分组求和求得答案． 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了对数列通项公式和求和公式等基本知识的灵活运用．20.【答案】解：(1)不妨设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，因为A(a,0)，从而AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +c,0),AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −c,0)，故由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−c 2=−1，又因为a 2+b 2=c 2，所以b =1，……………………(2分)又因为A(a,0)在圆O ：x 2+y 2=1上，所以a =1，………………(4分) 所以双曲线C 的标准方程为：x 2−y 2=1.………………(5分)(2)由于动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ， 当动直线l 的斜率不存在时，l ：x =±1，MN =2，S △OMN =12×1×2=1，………………(6分)当动直线l 的斜率存在时，且斜率k ≠±ba =±1，不妨设直线1：y =kx +m ， 故由{y =kx +mx 2−y 2=1⇒(1−k 2)x 2−2mkx −m 2−1=0， 从而Δ=(−2mk)2−4(1−k 2)(−m 2−1)=0，化简得k 2=m 2+1，……………………(8分)又因为双曲线C 的渐近线方程为：y =±x ， 故由{y =kx +my =x ⇒{x =m1−ky =m 1−k，从而点M(m 1−k ,m 1−k )，同理可得，N(−m 1+k ,m1+k )，所以|MN|=√(m1−k+m1+k )2+(m1−k −m1+k )2=2|m|√k 2+1|1−k 2|，………………(10分)又因为原点O 到直线l ：kx −y +m =0的距离d =√k 2+1， 所以S △ONN =12|MN|d =m 2|1−k 2|，又由k 2=m 2+1， 所以S △ONN =m 2|1−k 2|=1，………………(12分) 故△OMN 的面积是为定值，定值为1．【解析】(1)设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，通过AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−c 2=−1，求解b ，通过A(a,0)在圆O 上，求解a ，得到双曲线C 的标准方程．(2)当动直线l 的斜率不存在时，求解三角形的面积；当动直线l 的斜率存在时，且斜率k ≠±ba =±1，不妨设直线1：y =kx +m ，联立直线与双曲线方程，求出k 2=m 2+1，然后求解M 、N 的坐标，求解|MN|，结合原点O 到直线l ：kx −y +m =0的距离，求解△OMN 的面积是为定值即可．本题考查双曲线的简单性质以及直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)依题意，g(x)=1(x−2)2+alnx,g′(x)=−2(x−2)3+ax ，∵g(x)在区间(1,2)上单调递增，∴g′(x)≥0，即−2(x−2)3+a x ≥0，即a ≥2x(x−2)3在(1,2)上恒成立， 令ℎ(x)=2x(x−2)3，则ℎ′(x)=2(x−2)3−6x(x−2)2(x−2)6=2(x−2)−6x (x−2)4=−4x−4(x−2)4<0在(1,2)上恒成立，∴ℎ(x)在(1,2)上单调递减，则ℎ(x)<ℎ(1)=−2， ∴a ≥−2，即实数a 的取值范围为[−2,+∞)； (2)f′(x)=−2(x−1)3+a x+1=a(x−1)3−2(x+1)(x+1)(x−1)3，∵x ∈(−1,1)， ∴(x +1)(x −1)3<0，令m(x)=a(x −1)3−2(x +1)，当a ≥0时，由于x ∈(−1,1)，于是m(x)<0，则f′(x)>0，f(x)在(−1,1)单调递增， 又f(0)=1，所以当x ∈(−1,0)时，f(x)<1，不满足题意；当a <0时，m(−1)=−8a ，m(1)=−4，又m′(x)=3a(x −1)2−2<0， ∴m(x)在(−1,1)单调递减，存在x 0∈(−1,1)，使得m(x 0)=0，且当x ∈(−1,x 0)时，m(x)>0，f′(x)<0，当x ∈(x 0,1)时，m(x)<0，f′(x)>0， ∴f(x)在(−1,x 0)单调递减，在(x 0,1)单调递增， ∴f(x)在(−1,1)有唯一的最小值点x 0，又f(0)=1，要使得f(x)≥1恒成立，当且仅当x 0=0，则f′(x 0)=f′(0)=0，即−a −2=0，解得a =−2， 综上，实数a 的值为−2．【解析】(1)求出g(x)的解析式，再对其求导，结合题意可将问题转化为a ≥2x(x−2)3在(1,2)上恒成立，令ℎ(x)=2x(x−2)3，求出ℎ(x)在区间(1,2)上的最大值即可；(2)对函数f(x)求导，然后分a ≥0及a <0讨论，然后利用导数转化求解即可． 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)，曲线C 1的参数方程为{x =tcosαy =tsinα，其中t 为参数，α∈[0,π)，依题意，曲线C 1的普通方程为cosαy −sinαx =0； 即曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)； 曲线C 2的参数方程为{x =1+2cosθy =2sinθ，曲线C 2的普通方程为(x −1)2+y 2=4，即x 2+y 2−2x −3=0，故曲线C 2的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−3=0．(2)将θ=π3代入曲线C 2的极坐标方程ρ2−2cosθ⋅ρ−3=0中， 可得ρ2−ρ−3=0，设上述方程的两根分别是ρ1，ρ2，则ρ1ρ2=−3，故|OM|⋅|ON|=|ρ1|⋅|ρ2|=3．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用极径的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，23.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=|x +2|+2|x −1|，当x ≤−2时，f(x)=−(x +2)−2(x −1)，不等式f(x)≤4化为−3x ≤4，解得x ≥−43，结合x ≤−2，得不等式的解集为⌀；当−2<x ≤1时，f(x)=(x +2)−2(x −1)，不等式f(x)≤4化为−x +4≤4，解得x ≥0，结合−2<x ≤1，得0≤x ≤1；当x >1时，f(x)=(x +2)+2(x −1)，不等式f(x)≤4化为3x ≤4，解得x ≤43，结合x >1，得1<x ≤43；综上知，不等式f(x)≤4的解集为[0,43].(2)当1≤x ≤2时，f(x)=|x +a|+2|x −1|=|x +a|+2x −2， 不等式f(x)>x 2可化为|x +a|>x 2−2x +2，由绝对值的定义知，x +a >x 2−2x +2或x +a <−x 2+2x −2， 即存在x ∈[1,2]，使得a >x 2−3x +2，或a <−x 2+x −2． 即a >(x −32)2−14，或a <−(x −12)2−74， 由x =32时(x −32)2−14取得最小值−14； 由x =1时−(x −12)2−74取得最大值为−2； 所以a >−14，或a <−2，所以实数a 的取值范围是(−∞,−2)∪(−14,+∞)．【解析】(1)a=2时f(x)=|x+2|+2|x−1|，利用分段讨论法求出不等式f(x)≤4的解集．(2)1≤x≤2时f(x)=|x+a|+2x−2，不等式f(x)>x2化为|x+a|>x2−2x+2，由绝对值的定义化为关于a的不等式，从而求得实数a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了使不等式成立的应用问题，是中档题．。
河南省八校2021届高三上学期第一次联考数学文试题WORD版
河南省八校2021高三〔上〕第一次联考数学试卷〔文科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设集合A={x|x2﹣5x+6=0}，B={x|y=log2〔2﹣x〕}，那么A∩〔∁R B〕=〔〕A．{2，3} B．{﹣1，6} C．{3} D．{6}2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，那么z1z2=〔〕A．﹣5 B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．设a，b为实数，那么“a＞b＞0是＜〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圈，尺寸大小如下图，那么该几何体的外表积是〔〕A．πB．3π+4 C．π+4 D．2π+45．向量=〔sin〔α+〕，1〕，=〔4，4cosα﹣〕，假设⊥，那么sin〔α+〕等于〔〕A．﹣B．﹣C．D．6．等差数列{a n}中，S n是前n项和，S1=﹣6，S5﹣S2=6，那么|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|﹣=〔〕A．0 B．6C．12 D．187．某程序框图如图，当输入x=3时，那么输出的y=〔〕A．1 B．2C．4D．88．函数f〔x〕是R上的可导函数，f〔x〕的导数f′〔x〕的图象如图，那么以下结论正确的选项是〔〕A．a，c分别是极大值点和极小值点B．b，c分别是极大值点和极小值点C．f〔x〕在区间〔a，c〕上是增函数D．f〔x〕在区间〔b，c〕上是减函数9．设a=2﹣0.5，b=log3π，c=log42，那么〔〕A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b10．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是y=x，那么双曲线的离心率是〔〕A．B．C．D．211．函数f〔x〕=+ax2+2bx+c的两个极值分别为f〔x1〕和f〔x2〕，假设x1和x2分别在区间〔﹣2，0〕与〔0，2〕内，那么的取值范围为〔〕A．〔﹣2，〕B．[﹣2，]C．〔﹣∞，﹣2〕∪〔，+∞〕D．〔﹣∞，﹣2]∪[，+∞〕12．函数f〔x〕=lnx+x﹣，那么函数的零点所在的区间是〔〕A．〔，〕B．〔，〕C．〔，1〕D．〔1，2〕二、填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13．假设函数y=f〔x〕的值域是[1，3]，那么函数F〔x〕=1﹣2f〔x+3〕的值域是_________．14．数列{a n}中，S n是前n项和，且S n=2a n+1，那么数列的通项a n=_________．15．假设函数f〔x〕=x3+a|x﹣1|在[0，+∞〕上单调递增，那么实数a的取值范围是_________．16．以下5个命题，其中正确的选项是命题_________〔写出所有正确的命题代号〕①函数y=x+，x∈[1，4]的最大值是4；②底面直径和高都是2的圆柱侧面积，等于内切球的外表积；③在抽样过程中，三种抽样方法抽取样本时，每个个体被抽取的可能性不相等；④F1，F2是椭圆+=1〔a＞0〕的两个焦点，过F1点的弦AB，△ABF2的周长是4a；⑤“∀x∈R，|x|＞x〞的否认，“∃x∈R，|x|≤x〞．三、解答题：解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〔共70分〕17．〔12分〕设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3，c=2，S△ABC=．〔Ⅰ〕求角A的值；〔Ⅱ〕当角A钝角时，求BC边上的高．18．〔12分〕抛掷一枚质地不均匀的骰子，出现向上点数为1，2，3，4，5，6的概率依次记为p1，p2，p3，p4，p5，p6，经统计发现，数列{p n}恰好构成等差数列，且p4是p1的3倍．〔Ⅰ〕求数列{p n}的通项公式．〔Ⅱ〕甲、乙两人用这枚骰子玩游戏，并规定：掷一次骰子后，假设向上点数为奇数，那么甲获胜，否那么已获胜，请问这样的规那么对甲、乙二人是否公平？请说明理由；〔Ⅲ〕甲、乙、丙三人用这枚骰子玩游戏，根据掷一次后向上的点数决定胜出者，并制定了公平的游戏方案，试在下面的表格中列举出两种可能的方案〔不必证明〕．方案序号甲胜出对应点数乙胜出对应点数丙胜出对应点数①②19．〔12分〕矩形ABCD，ED⊥平面ABCD，EF∥DC，EF=DE=AD=AB=2，O为BD中点．〔Ⅰ〕求证：EO∥平面BCF；〔Ⅱ〕求几何体ABCDEF的体积．20．〔12分〕抛物线y=x2，过点P〔0，2〕作直功l，交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．〔Ⅰ〕求证：•为定值；〔Ⅱ〕求三角形AOB面积的最小值．21．〔12分〕函数f〔x〕=，其中a∈R〔Ⅰ〕假设a=0，求函数f〔x〕的定义域和极值；〔Ⅱ〕当a=1时，试确定函数g〔x〕=f〔x〕﹣1的零点个数，并证明．四、选考题〔请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分．〕选修4-1：几何证明选讲22．〔10分〕如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x﹣mn=0的两个根．〔Ⅰ〕证明：C，B，D，E四点共圆；〔Ⅱ〕假设∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．五、选考题〔请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分．〕选修4-4：坐标素与参数方程23．圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为〔t为参数，t∈R〕．〔Ⅰ〕求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；〔Ⅱ〕求直线l与圆C相交的弦长．六、选考题〔请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分．〕选修4-5：不等式选讲24．设函数f〔x〕=|2x+1|﹣|x﹣3|〔1〕求函数y=f〔x〕的最小值；〔2〕假设f〔x〕≥ax+恒成立，求实数a的取值范围．高三数学〔文〕试题参考答案一选择题：13.[5,1]--二填空题： 14. 12n n a -=- 15. [3,0]- 16. ②⑤ 三解答题：17. 〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕由题设3,2,ABC b c S ∆===和1sin 2ABC S bc A ∆=得，132sin 2A ⨯⨯=，∴sin A =…………………………4分 ∴60A =或120A =………………….………………6分 〔Ⅱ〕由120A =…………………………………………7分由余弦定理得，29412cos12019a =+-=，∴a =………10分 设BC 边上的高为h ，由三角形面积相等得，h =⇒=12分题号1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 答案 A B A B B C A C A DCC19. 〔本小题总分值12分〕证明：〔Ⅰ〕在矩形ABCD 中，取BC 的中点G ，连接FG ，OG 由O 为BD 中点知，OG ∥DC ，OG =12DC ，又EF ∥DC ，EF = 12AB= 12DC ∴OG ∥EF 且OG=EF ，∴OGFE 是平行四边形，……………4分∴EO ∥FG ，又FG ⊂平面BCF ，∴EO ∥平面BC F ……………………6分解：〔Ⅱ〕连接AC ，AF ，那么几何体ABCDEF 的 体积为A EDCF F ABC V V V --=+………………………7分 由ED ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形得，AD ⊥平面EDCF ， ∴AD 是四棱锥A EDCF -的高，又EF ∥DC ，∴EDCF 是直角梯形，又EF=DE=AD=12AB=2， ∴1162433A EDCF EDCF V S AD -=⨯⨯=⨯⨯=………………………9分在三棱锥F ABC -中，高ED=2，∴11842333F ABC ABC V S ED -∆=⨯⨯=⨯⨯=…………………………11分∴几何体ABCDEF 的体积为820433V =+=…………………………12分20. 〔本小题总分值12分〕证明：〔Ⅰ〕设过点(0,2)P 的直线l ：2y kx =+，由2214y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得，2480x kx --=令1122(,),(,)A x y B x y ，∴12124,8x x kx x +==-………………4分 ∴2212121212116OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+844=-+=-为定值……6分 解：〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，12||||AB x x =-==，原点到直线l 的距离d =……………10分∴1||2AOB S AB d ∆=⨯⨯=≥ 当0k =时，三角形AOB 面的最小，最小值是………………12分A B CDO EFG21．〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕函数()1xe f x x =+的定义域为{|,x x ∈R 且1}x ≠-，………………2分2()(1)xxe f x x '=+．令()0f x '=，得0x =．当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下： x (,1)-∞- (1,0)- 0(0,)+∞ ()f x ' － － 0 ＋ ()f x↘ ↘ 极小 ↗ 所以()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间(0,)+∞．故当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =. ……………… 5分〔Ⅱ〕结论：函数()g x 存在两个零点．证明过程如下：由题意，函数2()11xe g x x x =-++．因为22131()024x x x ++=++>．所以函数()g x 的定义域为R ．求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++，…………………… 7分令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()g x '的变化情况如下： x (,0)-∞ 0(0,1) 1 (1,)+∞ ()g x ' + 0 — 0+ ()g x↗极大 ↘ 极小 ↗故函数()g x 的单调减区间为(0,1)；单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞． 当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =； 当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-. ………………………… 10分 因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠. 因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠.因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e(1)103g =-<，2e (2)107g =->， 所以函数()g x 在(1,)+∞上存在唯一0x ，使得0()0g x =，故函数()g x 存在两个零点〔即0和0x 〕． ……………… 12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，那么按所做的第一题记分。
2021年河南省商丘市、新乡市部分高中高考数学联考试卷(文科)(3月份)
2021年河南省商丘市、新乡市部分高中高考数学联考试卷（文科）（3月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|x 2≤4}，N ={−3,−1,1，2，3}，则M ∩N =( )A. {−1,1，2}B. {−1,2，3}C. {−2,−1,1，2}D. {−1,1}2. 已知复数z 满足(2+i)z =|4−3i|(i 为虚数单位)，则z =( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1−2i 3. 已知tanθ=−12，则tan2θ+4tan(θ+π4)=( )A. 1B. −2C. −1D. 04. 命题：①若2a =3b =6，则1a +1b =1； ②若2a =3b =36，则1a +1b =12； ③若2a =3b =216，则1a +1b =13．类比命题①，②，③，可得命题“若m a =n b =t(m,n 均为于1的整数)，则1a +1b =1k ”其中t =( )A. m k nB. mn kC. kmnD. (mn)k5. 已知椭圆C ：x 2b 2+3+y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 的上顶点，若∠F 1PF 2=π3，则b =( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 26. 数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线.具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC ，分别记射线AC ，BA ，CB 为l 1，l 2，l 3，以C 为圆心、CB 为半径作劣弧BC⏜1交l 1于点C 1；以A 为圆心、AC 1为半径作劣弧C 1A 1⏜ 交l 2于点A 1；以B 为圆心、BA 1为半径作劣弧A 1B 1⏜交l 3于点B 1，…，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线.记劣弧BC ⏜1的长，劣弧C 1A 1⏜的长，劣弧A 1B 1⏜的长，…依次为a 1，a 2，a 3，…，则a 1+a 2+⋯+a 9=( )A. 30πB. 45πC. 60πD. 65π7. 已知△ABC 是边长为4的等边三角形，D 为BC 的中点，E 点在边AC 上，设AD 与BE 交于点P ，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 4B. 6C. 8D. 108. 古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩，称为门墩，亦称门枕石.门墩的作用是固定门框，防止大门前后晃动，另外门墩一般雕刻有传统的吉祥图案，起到装饰作用.如图，粗实线画出的是某门墩的三视图(其中网格纸的小正方形的边长为2dm)，则该门墩的体积为( )A. (48+8π3)dm3B. (48+16π3)dm3C. 32(3+√2)+8π3dm3D. 32(3+√2)+16π3dm39.设函数f(x)为定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)=ln(−x)，若a=f(21.1)，b=f(50.4)，c=f(ln√5)，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<b<aC. b<c<aD. c<a<b10.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P.若T恰好为线段PF2的中点，则E的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √511.在平面直角坐标系xOy中，已知点P在直线x+y=4上，过点P作圆O：x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，则O到直线AB距离的最大值为()A. 1B. √2C. √3D. 212.已知函数f(x)=cos(ωx+π3)(ω∈N∗)，若函数f(x)图象的相邻两对称轴之间的距离至少为π4，且在区间(π,3π2)上存在最大值，则ω的取值个数为()A. 4B. 3C. 2D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图是某高速公路测速点在2021年2月1日8：00到18：00时测得的过往车辆的速度(单位：km/ℎ)的频率分布直方图，则该频率分布直方图中m=______ ，此图可得在该段时间内过往车辆的平均速度约为______ km/ℎ．14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，且8a2−a5=0，S m=5S2，则m的值是______ ．15.已知函数y=27x(x>0)图象的一条切线l1与直线l2：3x−4y=0垂直，则l1的方程为______ ．16.已知在正四面体ABCD中，点E在棱AC上，F为棱AD的中点.若BE+EF的最小值为√42，则该四面体外接球的表面积是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a+c=2bcosC．(1)求角B的大小；(2)设D为边AC上一点，∠ABD=∠CBD，BD=1，求△ABC面积的最小值．18.叶女士在某购物商场的消费金额达到了“贵宾级”水平，春节期间，商场决定对“贵宾级”顾客给予每人一次抽奖机会，按照抽取奖券的价值选取商品，商场中可供选取的有A，B，C，D，E，F六种商品.其中商品A，B每件价值3000元、商品C，D每件价值2000元、商品E，F每件价值1000元.叶女士抽取到一张价值4000元的奖券．(1)若她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件，求她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率；(2)若她从六种商品中任意选取每种商品可以选取多件，选取的商品总价值为其奖券价值，求她选取的商品件数不超过三件的概率．19.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC=2AB=2AD，∠ADC=∠ABC=90°．(1)证明：平面PBD⊥平面PAC；(2)若F是PC的中点，求证：BF//平面PAD．20.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，设G(x0,2)为抛物线E上一点，|GF|=2．(1)求抛物线E的方程；(2)不与坐标轴垂直的直线与抛物线E交于A，B两点，与x轴交于点P，线段AB的垂直平分线与x轴交于Q点，若|AB|=2|PQ|，求点P的坐标．21. 已知函数f(x)=(x +a)lnx −x(a ∈R)．(1)当a =0时，是否存在唯一的x 0∈(0,+∞)，使得f(x 0)=−1？并说明理由． (2)讨论f(x)的极值点的个数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x +y −4=0，曲线C 的参数方程为{x =costy =√2sint(t 为参数).以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设射线θ=α(ρ≥0,0≤α<2π)与直线l 和曲线C 分别交于点M ，N ，求4|OM|2+1|ON|2的最小值．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|x −1|．(1)求不等式f(x)≤x +6的解集；(2)记f(x)的最小值为m ，正实数a ，b 满足a +b =m ，证明：1a+m +1b+m ≥m 1+m ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵M={x|−2≤x≤2}，N={−3,−1,1，2，3}，∴M∩N={−1,1，2}．故选：A．可求出集合M，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由(2+i)z=|4−3i|=√42+(−3)2=5，得z=52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=5(2−i)22+12=2−i，故选：B．先求等式右边的模，变形后再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵tanθ=−12，∴tan2θ+4tan(θ+π4)=2tanθ1−tan2θ+4×tanθ+tanπ41−tanθtanπ4=2×(−1 2 )1−14+4×−12+11+1×12=−43+43=0．故选：D．由已知直接利用倍角公式及两角和的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切，是基础题．4.【答案】D【解析】解：对于①，6=(2×3)1，对于②：36=(2×3)2，对于③：216=(2×3)3，类比①②③，可得t=(mn)k，故选：D．分析出①②③对应的规律，即可类比推理求解．本题考查了类比推理的应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由椭圆的方程可得：c=√b2+3−b2=√3由∠F1PF2=π3，则∠F2PO=π6，所以tan∠F2PO=√33=cb，所以可得b=3，故选：C．由椭圆的方程可得c 的值，再由∠F 1PF 2=π3，可得tan∠F 2PO 的值，进而求出它的正切值，进而求出b 的值． 本题考查椭圆的性质及由角的值求b ，c 的关系，属于中档题． 6.【答案】A【解析】解：由题意可知，第n 个劣弧的半径为n ，圆心角为2π3， 所以第n 个劣弧的弧长a n =2π3⋅n =2nπ3，所以a 1+a 2+⋯+a 9=2π3×(1+2+⋯+9)=2π3×9×102=30π．故选：A ．根据题意分析求出第n 个劣弧的半径为n ，圆心角为2π3，由弧长公式求出第n 个劣弧的弧长，然后利用等差数列求和即可．本题考查额弧长公式的应用，等差数列求和公式的应用，解题的关键是归纳出第n 个劣弧的弧长，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题． 7.【答案】C【解析】解：因为△ABC 是边长为4的等边三角形，D 为BC 的中点， 所以AD ⊥BC ，由数量积的几何意义可知BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠PBC =|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2×4=8．故选：C ．利用向量数量积的几何意义求解即可．本题主要考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题． 8.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由14球和一个棱台组成的组合体；所以V =14×43⋅π⋅23+2×4×4+12×2×4×4=8π3+48，故选：A ．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出组合体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 9.【答案】B【解析】解：因为x <0时，f(x)=ln(−x)， 所以x >0时，−x <0， 所以f(−x)=lnx =f(x)，因为x >0时，f(x)=lnx 单调递增， 因为ln √5<lne =1，50.4>1，则b >c ，因为21.1÷50.4=21110÷5410=√211÷5410=√3.276810>1，故21.1>50.4， 故a >b ．综上a >b >c ． 故选：B ．由已知先求出x >0时函数解析式，然后结合函数的单调性即可比较大小． 本题主要考查了利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题． 10.【答案】D【解析】解：设F 2(c,0)，E 的一条渐近线的方程为y =ba x ，① 过F 2与E 的一条渐近线垂直的直线PF 2的方程为y =−ab (x −c)，② 联立①②可得垂足T(a 2c,abc)，由T 恰好为线段PF 2的中点，可得P(2a 2c−c,2ab c)，将P 的坐标代入双曲线的方程可得，(2a 2−c 2ac)2−4a 2c 2=1，由e =ca ，可得(2e −e)2−4e 2=1， 解得e =√5， 故选：D ．设F 2(c,0)，E 的一条渐近线的方程为y =ba x ，求得过F 2与E 的一条渐近线垂直的直线PF 2的方程，以及垂足T 的坐标，由中点坐标公式可得P 的坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，解方程可得所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 11.【答案】B【解析】解：根据题意，设P(m,n)为直线l ：x +y =4上的一点，则m +n =4，过点P 作圆O ：x 2+y 2=4的切线，切点分别为A 、B ，则有OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A 、B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为(m 2,n2)，半径r =12|OP|=√m2+n 22，则其方程为(x −m 2)2+(y −n2)2=m 2+n 24，变形可得x 2+y 2−mx −ny =0，联立{x 2+y 2=4x 2+y 2−mx −ny =0，可得：mx +ny −4=0，又由m +n =4，则有mx +(4−m)y −4=0，变形可得m(x −y)+4y −4=0， 则有{x −y =04y −4=0，解可得x =y =1，故直线AB 恒过定点(1,1)，设M(1,1)，到OM⊥AB时，O到直线AB的距离最大，其最大值为|OM|=√1+1=√2，故选：B．根据题意，设P(m,n)为直线l：x+y=4上的一点，由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆O的方程联立可得直线AB的方程，将其变形分析可得直线AB恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线过定点问题，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：对于函数f(x)=cos(ωx+π3)(ω∈N∗)，若函数f(x)图象的相邻两对称轴之间的距离至少为12×2πω≤π4，∴ω≤4．∵在区间(π,3π2)上存在最大值，当ω=4时，4x+π3∈(4π+π3,6π+π3)，满足条件；当ω=3时，3x+π3∈(π+π3,9π2π+π3)，满足条件；当ω=2时，2x+π3∈(2π+π3,3π+π3)，不满足条件；当ω=1时，x+π3∈(π+π3,3π2+π3)，不满足条件，则ω的取值个数为2，故选：C．由题意利用余弦函数的图象和性质，先求得ω的范围，再分类讨论，得出结论．本题主要考查余弦函数和性质，属于中档题．13.【答案】0.04102【解析】解：根据频率分布直方图的特点可知，(0.01+0.03+m+0.02)×10=1，解得m=0.04；各组的频率自左向右依次为0.1，0.3，0.4，0.2，故平均速度约为85×0.1+95×0.3+105×0.4+115×0.2=102(km/ℎ)．故答案为：0.04；102．利用频率之和为1，列出关于m的等式，求解即可得到m的值；利用频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可．本题考查了频率分布直方图的理解和应用，解题的关键是正确读取频率分布直方图中的数据信息，考查了频率直方图中品平均数的求解方法，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，由8a2−a5=0可得：q3=a5a2=8，解得：q=2，∵S m=5S2，∴a1(1−2m)1−2=5×a1(1−22)1−2，即1−2m=−15，解得：m=4，故答案为：4．先由题设求得等比数列{a n}的公比q，再利用等比数列的前n项和公式求解出m的值即可．本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．15.【答案】4x+3y−36=0【解析】解：函数y=27x (x>0)的导数为y′=−27x2，设切点为(m,n)，可得切线的斜率为−27m2，又切线l1与直线l2：3x−4y=0垂直，可得−27m2=−43，解得m=92，则n=27m=6，所以切线l1的方程为y−6=−43(x−92)，即为4x+3y−36=0．故答案为：4x+3y−36=0．求得函数y=27x(x>0)的导数，设出切点坐标，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得m，进而得到n，再由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】9π【解析】解：将三角形ABC与三角形ACD展成平面，BE+EF的最小值，即为BF两点之间连线的距离，则BF=√42，设AB=2a，则∠BAD=120°，由余弦定理4a2+a2−422×2a×a =−12，解得a=√6，则正四面体棱长为√6，因为正四面体的外接球半径是棱长的√64倍，(正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：√3，面对角线长度为√2，∴棱长为x的正四面体的外接球半径为√64x)．所以，设外接球半径为R，则R=√64⋅√6=32，则表面积S=4πR2=4π⋅94=9π．故答案为：9π．根据空间的动点问题，从立体转为平面问题，即可求出正四面体的棱长，求出答案．本题考查球的表面积，考查动点问题，以及正四面体外接球问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)由正弦定理知，asinA =bsinB=csinC，∵2a+c=2bcosC，∴2sinA+sinC=2sinBcosC，又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，∴2cosBsinC+sinC=0，∵sinC≠0，∴cosB=−12，∵B∈(0,π)，∴B=2π3．(2)由(1)知，B=2π3，∴∠ABD=∠CBD=π3，在△ABD中，由余弦定理知，AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos∠ABD=c2+1−2c⋅1⋅12=c2−c+1，在△BCD中，由余弦定理知，CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cos∠CBD=a2+1−2a⋅1⋅12=a2−a+1，由角分线定理知，ADCD =ABBC=ca，∴c2−c+1a2−a+1=c2a2，化简得(a−c)(a+c−ac)=0，当a−c=0，即a=c时，△ABC为等腰三角形，其面积为定值；当a+c−ac=0时，有ac=a+c≥2√ac，∴ac≥4，当且仅当a=c=2时，等号成立，∴△ABC的面积S=12ac⋅sinB≥12×4×sin2π3=√3，∴△ABC面积的最小值为√3．【解析】(1)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，即可得解；(2)在△ABD和△BCD中，均使用余弦定理表示出AD2和CD2，再结合角分线定理，推出(a−c)(a+c−ac)= 0，然后分类讨论，并结合基本不等式，得解．本题主要考查解三角形中正弦定理、余弦定理的运用，还涉及基本不等式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)解法一：她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件，基本事件总数n=C63=20，她选取的商品价值恰好为其奖券价值指C或D种商品中选一件，E、F种商品中各选一件，不同的选法有m=C21C22=2，∴她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率P=mn =220=110．解法二：含商品A时，B，C，D，E，F中再选2件，基本事件有：ABC，ABD，ABE，ABF，ACD，ACE，ACF，ADE，ADF，AEF，共10个，不含商品A时，从B，C，D，E，F中选3件，含有B时，再从C，D，E，F中选2件，基本事件有：BCD，BCE，BCF，BDE，BDF，BEF，共6个，不含B时，从C，D，E，F中选3件，基本事件有：CDE，CDF，CEF，DEF，共4个，∴基本事件总数为n=10+6+4=20，其中总价值4000元的事件有：CEF，DEF，共2个，∴她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率P=220=110．(2)价值4000元的基本事件：选取2件时：①A，B选一，即AE，AF，BE，BF，共4个，②从C，D中选，有CC，CD，DD，共3个，选取3件时，C，D选1，E，F选2，即CEE，CEF，CFF，DEF，DEE，DFF，共6个，选4件时，只能在E，F中选，即EEEE，EEEF，EEFF，EFFF，FFFF，共5个，基本事件总数n1=4+3+6+5=18，其中不超过3件的基本事件个数m1=4+3+6=13，∴她选取的商品件数不超过三件的概率为P=m1n1=1318．【解析】(1)法一：她从这六种商品中任选三件，每种商品选一件，基本事件总数n=C63=20，她选取的商品价值恰好为其奖券价值指C或D种商品中选一件，E、F种商品中各选一件，不同的选法有m=C21C22=2，由此能求出她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率．法二：含商品A时，B，C，D，E，F中再选2件，利用列举法求出基本事件有10个，不含商品A时，从B，C，D，E，F中选3件，含有B时，再从C，D，E，F中选2件，利用列举法求出基本事件有6个，不含B时，从C，D，E，F中选3件，利用列举法求出基本事件有4个，其中总价值4000元的事件有2个，由此能求出她选取的商品价值恰好为其奖券价值的概率．(2)价值4000元的基本事件：选取2件时：①A，B选一，②从C，D中选；选取3件时，C，D选1，E，F选2，；选4件时，只能在E，F中选，利用列举法求出基本事件总数和其中不超过3件的基本事件个数，由此能求出她选取的商品件数不超过三件的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力等基础知识，是基础题．19.【答案】证明：(1)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵AC=AC，AB=AD，∠ADC=∠ABC=90°，∴Rt△ABC≌Rt△ADC，可得BC=DC，则AC⊥BD，又PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；(2)设线段AC的中点为O，连接OB，OF，则OF//PA，而PA⊂平面PAD，OF⊄平面PAD，∴OF//平面PAD．∵∠ABC=90°，∴BO=12AC=AD，同理DO=12AC=AB，又∵AB=AD，∴四边形ABOD是平行四边形，∴BO//AD，而AD⊂平面PAD，BO⊄平面PAD，∴BO//平面PAD．又∵OB∩OF=O，OB，OF⊂平面OBF，∴面OBF//面PAD，又∵BF⊂面OBF，∴BF//面PAD．【解析】(1)由已知可得BD⊥PA，再证明BD⊥AC，由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，进一步可得平面PBD⊥平面PAC；(2)设线段AC的中点为O，连接OB，OF，可得OF//平面PAD，推导出四边形ABOD是平行四边形，从而BO//AD，可得BO//平面PAD，进而得面OBF//面PAD，由此能证明BF//面PAD．本题考查平面与平面垂直、直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．20.【答案】解：(1)∵点G在抛物线E上，∴4=2px0，又|GF|=2，∴x0+p2=2，联立可得p=2，故抛物线E的方程为y2=4x；(2)设P(n,0)，直线AB的方程为x=ty+n，代入y2=4x并整理，得y2−4ty−4n=0．由题意得，△=16t2+16n>0，即t2+n>0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4t，y1y2=−4n，∴|AB|=√1+t2⋅√(y1+y2)2−4y1y2=√1+t2⋅√(4t)2−4(−4n)=4√(1+t2)(n+t2)．设AB的中点为R(x0,y0)，则y0=y1+y22=2t，x0=ty0+n，即R(2t2+n,2t)，∴直线RQ的方程为y−2t=−t(x−2t2−n)，令y=0，得x=2t2+n+2，∴Q(2t2+n+2,0)，|PQ|=|2t2+n+2−n|=2|t2+1|=2(t2+1)，由|AB|=2|PQ|，得4√(1+t2)(n+t2)=2×2(1+t2)，解得n=1，适合△=16t2+16n>0．故P点坐标为(1,0)．【解析】(1)由点G在抛物线E上，结合|GF|=2即可求得p，则抛物线E的方程可求；(2)设P(n,0)，直线AB的方程为x=ty+n，与抛物线方程联立，可得关于y的一元二次方程，利用弦长公式求弦长，再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得AB的中点R的坐标，可得直线RQ的方程，求得Q的坐标，求出|PQ|，再由|AB|=2|PQ|列式解得n，验证判别式成立，即可求得P点坐标．本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：f(x)的定义域为(0,+∞)，(1)当a=0时，f(x)=xInx−x，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0．∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，∴x=1是f(x)的极小值点，也是f(x)的最小值点，且f(x)min=f(1)=−1．故存在唯一的x0=1，使得f(x0)=−1．(2)f′(x)=(x+a)⋅1x +Inx−1=a+xInxx．令ℎ(x)=a+xInx，则ℎ′(x)=Inx+1，当0<x<1e 时，ℎ′(x)<0，当x>1e时，ℎ′(x)>0，∴函数ℎ(x)在(0,1e )上单调递减，在(1e ,+∞)， ∴ℎ(x)min =ℎ(1e )=a −1e ．①当a ≥1e 时，ℎ(x)min ≥0，∴对∀x ∈(0,+∞)，ℎ(x)≥ℎ(x)min ≥0，∴对∀x ∈(0,+∞)，f′(x)≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴f(x)无极值点．②当a <1e 时，ℎ(x)min =a −1e <0，若a ≤0，∵x ∈(0,1e )时，xInx <0，∴对∀x ∈(0,1e )，ℎ(x)<0．∵ℎ(e −a+1)=a +e −a+1(−a +1)=a(1−e −a+1)+e −a+1>0，∴∃x 0∈(e −1,e −a+1)，使得ℎ(x 0)=0，∴当x ∈(0,x 0)时，ℎ(x)<0，当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ(x)>0，∴在(0,x 0)上，f′(x)<0，在(x 0,+∞)上，f′(x)>0，∴f(x)在(0,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增，∴当a ≤0时，f(x)有一个极小值点，无极大值点．若0<a <1e 时，在(0,1e )上，因x →0时，xInx →0，∴ℎ(x)∈(a −1e ,a)，在(1e ,+∞)上， ∵ℎ(e a )=a +e a Ine a =a(1+e a )>0，且ℎ(x)在(1e ,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)∈(a −1e ,+∞)，∴f′(x)在(0,1e )，(1e ,+∞)上各有一个零点x 1，x 2.列表如下：∴当0<a <1e 时，f(x)有两个极值点．综上：当a ≤0时，函数f(x)有一个极值点；当0<a <1e 时，函数f(x)有两个极值点；当a ≥1e 时，函数f(x)无极值点．【解析】利用导函数找函数的单调区间，再利用单调区间判断极值点．本题考查利用导函数找单调区间，及找极值点的方法，属于中档题型．22.【答案】解：(1)由x =ρcosθ，y =ρsinθ，x 2+y 2=ρ2，可得直线l 的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−4=0，即有ρ=4cosθ+sinθ；曲线C 的参数方程为{x =cost y =√2sint(t 为参数)， 可得sin 2t +cos 2t =y 22+x 2=1， 则ρ2cos 2θ+12ρ2sin 2θ=1，即为ρ2=22cos 2θ+sin 2θ=21+cos 2θ；(2)设M(ρ1,α)，N(ρ2,α)，其中0≤α<3π4或7π4<α<2π， 则4|OM|2+1|ON|2=(cosα+sinα)24+1+cos 2α2 =1+2sinαcosα4+3+cos2α4=1+sin2α+cos2α4=1+√24sin(2α+π4)， 由sin(2α+π4)=−1即α=5π8或13π8时，4|OM|2+1|ON|2取得最小值1−√24．【解析】(1)由参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化公式，结合同角的平方关系，可得所求；(2)设M(ρ1,α)，N(ρ2,α)，(0≤α<3π4或7π4，2π]，运用三角函数的恒等变换，结合正弦函数的最值，计算可得所求最小值．本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化，以及极坐标方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)|x +1|+|x −1|≤x +6等价为{x ≤−1−x −1+1−x ≤x +6或{−1<x <1x +1+1−x ≤x +6或{x ≥1x +1+x −1≤x +6， 解得−2≤x ≤−1或−1<x <1或1≤x ≤6，所以原不等式的解集为[−2,6]；(2)证明：由f(x)=|x +1|+|x −1|≥|x +1+1−x|=2，当−1≤x ≤1时，取得等号，所以m =2，即有a +b =2，a ，b >0，则1a+2+1b+2=16(a +2+b +2)(1a+2+1b+2)=16(1+1+b+2a+2+a+2b+2)≥16(2+2)=23，当且仅当a +2=b +2，即a =b =1时，取得等号．所以1a+m +1b+m ≥m 1+m ．【解析】(1)由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m ，再由乘“1”法和基本不等式，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用，以及不等式的证明，注意运用均值不等式，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．。
2021届河南省商丘市驻马店市周口市部分学校联考高三10月质量检测数学(文)试题(解析版)
2021届河南省商丘市驻马店市周口市部分学校联考高三10月质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}22A x x =-<≤，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}2,1,1--C ．1,0,1,2D ．{}2,1,1,2--【答案】C【解析】直接利用交集的运算求解. 【详解】因为集合{}22A x x =-<≤，{}2,1,0,1,2B =--， 所以A B =1,0,1,2，故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2．设命题：p ：1x ∀<-，202xx +>，则p ⌝为（ ） A ．01x ∃<-，2002x x +≤ B ．01x ∃≥-，2002x x +≤ C ．1x ∀<-，202x x +≤ D ．1x ∀≥-，202xx +≤ 【答案】A【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得结果. 【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题p 的否定为p ⌝：“01x ∃<-，2002x x +≤”. 故选：A. 【点睛】本题考查了全称命题的否定为特称命题，属于基础题.A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>【答案】D【解析】分析：利用指数函数的性质以及对数函数的性质，分别确定2log 0.2a =，0.22b =，0.2log 0.3c =的范围，从而可得结果.详解：因为0.22log 0.20,21,a b ==0.20log 0.31c <=<，所以b c a >>，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4．函数()3ln x x f x x =-的图象在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则tan α=（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4-【答案】B【解析】求出函数的导函数，导函数在1x =的函数值即是切线的斜率，根据斜率求出倾斜角即可. 【详解】由题意得()2ln 13x f x x '=+-，所以切线斜率()12k f '==-，所以tan 2α.故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的斜率.5．中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是（ ） A ．7点36分 B ．7点38分C ．7点39分D ．7点40分【答案】B【解析】设7点t 分()060t <<时针OA 与分针OB 重合，在7点时，时针、分针所成解方程即可. 【详解】设7点t 分()060t <<时针OA 与分针OB 重合. 在7点时，时针OC 与分针OD 所夹的角为210︒， 时针每分钟转0.5︒，分针每分钟转6︒，则分针从OD 到达OB 需旋转6t ︒，时针从OC 到达OA 需旋转0.5t ︒， 于是60.5210t t ︒=︒+︒，解得2383811t =≈（分），故选：B. 【点睛】本题考查了任意角的表示以及终边相同角的表示，考查了基本运算能力，属于基础题. 6．在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，AE 与BD 交于点F ，若(),BF AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+的值是（ ）A ．23B ．43C ．43-D ．0【答案】D【解析】根据ABF EDF ∆∆∽可知23BF BD =，根据平面向量基本定理可求得2233BF AD AB =-，从而求得λ和μ的值，进而求得结果. 【详解】在正方形ABCD 中，可知ABF EDF ∆∆∽2BF AB FDDE∴== ()22223333BF BD AD AB AD AB ∴==-=- 23λ∴=-，23μ= 0λμ∴+=本题正确选项：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是利用三角形相似得到23BF BD =. 7．函数()2cos sin 1x x f x xx +=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据奇函数图象的对称性排除选项C ，D ；根据当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除B .从而可得答案. 【详解】 因为()2cos sin 1x x f x xx +=+，所以()()()()()22cos sin cos sin 11x x x x x f x xf x x x --+-+-==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数，排除选项C ，D ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，所以排除B .故选：A. 【点睛】本题考查了奇函数图象的对称性，考查了排除法，考查了根据函数解析式选择图象，考查了诱导公式，属于基础题.8．已知函数()23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象的一条对称轴方程为3x π=D ．函数()f x 的图象可以由函数2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到【答案】D【解析】采用整体法，结合正弦型函数周期性、对称性及函数图像平移法则即可求解 【详解】因为()f x 的最小正周期为π，所以A 错误； 令23x k ππ+=（k Z ∈），得62πk πx =-+（k Z ∈），所以函数()f x 图象的对称中心为,062k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（k Z ∈），所以B 错误； 由232x k πππ+=+（k Z ∈），解得122k x ππ=+（k Z ∈），所以C 错误；222y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，向右平移12π单位长度得()221223y x x f x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数基本性质，函数图像的平移法则，属于中档题9．企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过是正的常数).如果在前10h 消除了20%的污染物，则20h 后废气中污染物的含量是未处理前的（ ） A ．40% B ．50% C ．64% D ．81%【答案】C【解析】根据0t =得污染物含量得初始值为0P ，根据10t =得1100.8k e -=，可得1000.8tP P =。
2021年河南省驻马店市出山中学高一数学文联考试卷含解析
2021年河南省驻马店市出山中学高一数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，以下四个命题中正确的序号是（）[来源:学科网ZXXK]①与平行．②与是异面直线．③与成角．④与垂直．A. ①②③B. ③④C. ②④D. ②③④参考答案：B略2. 已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化数据如下表：则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是（）A．B．C. D．参考答案：B故选：B3. 从4名男生和3名女生中选出4人参加数学竞赛，若这4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）(A)140种(B)180种 (C)35种 (D)34种参考答案：D略4. 已知函数f（x）=（a∈R），若f（-1）=1，则a=( )A．B．C．1 D．2参考答案：A【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件代入计算即可．【解答】解：∵f（-1）=1，∴f（-1）=f（2﹣（﹣1））=f（2）=a?22=4a=1∴．故选：A．【点评】本题主要考查了求函数值的问题，关键是分清需要代入到那一个解析式中，属于基础题．5. 当实数k变化时，对于方程（2|x|﹣1）2﹣（2|x|﹣1）﹣k=0的解的判断不正确的是（）A．时，无解B．时，有2个解C．时，有4个解D．k＞0时，有2个解参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】令令t=2|x|﹣1，则t∈[0，+∞），方程即k=t2﹣t∈[﹣，+∞），再利用二次函数的性质判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：令t=2|x|﹣1，则t∈[0，+∞），方程即 t2﹣t﹣k=0，即 k=t2﹣t．由于t2﹣t=（t﹣）2﹣≥﹣，当t=时，取得最小值﹣，当k＜﹣时，方程无解，故A正确；当k=﹣时，方程有两解，且为x=±log2，故B正确；当k＞0时，方程t2﹣t﹣k=0的判别式△=1+4k＞0，两根异号，则方程有两解，故D正确；当k=0时，方程即为t2﹣t=0，求得t=0，或t=1，此时x=0或±1，有三个解，故C不正确．故选C．【点评】本题主要考查方程根的存在性及个数的判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．6. 已知函数和的定义域都是，则它们的图像围成的区域面积是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由可得，所以的图像是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分；再结合图形求解.【详解】由可得，作出两个函数的图像如下：则区域①的面积等于区域②的面积，所以他们的图像围成的区域面积为半圆的面积，即.故选C.【点睛】本题考查函数图形的性质，关键在于的识别.7. 令，，，则三个数的大小顺序是（）A．B． C. D．参考答案：C8. 记,那么A. B. C. D.参考答案：B略9. 已知=（2,3），=（4,x），且∥，则x的值为（）A. 6B.C.D.参考答案：A略10. （5分）（2015秋蒙城县校级期末）使得函数f（x）=lnx+x﹣2有零点的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2，然后根据f（a）f（b）＜0，结合零点判定定理可知函数在（a，b）上存在一个零点，可得结论．【解答】解：由题意可得函数的定义域（0，+∞），令f（x）=lnx+x﹣2∵f（1）=﹣＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0由函数零点的判定定理可知，函数y=f（x）=lnx+x﹣2在（2，3）上有一个零点故选C．【点评】本题主要考查了函数的零点判定定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数f(x)＝cos x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013) ＋f(2 014)＝________。
河南省六市2021届高三第一次联考数学(文科)试题
河南省六市2021届高三第一次联考数学（文科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|24xA x =<，{|B x y ==，则A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)1,+∞C ．()1,2D ．[)1,22．若复数z 在复平面内的对应点为()1,1-，则1iz+的虚部为（ ） A ．i -B ．1-C ．0D ．13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则4S =（ ）A ．15B ．20C ．31D ．324．已知空间中不过同一点的三条直线,,a b l ，则“,,a b l 两两相交”是“,,a b l 共面”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现．该种鸟类的飞行速度v （单位：m/s ）与其耗氧最Q 之间的关系为2log 10Qv a =+（其中a 是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ．其耗氧量至少需要（ ）个单位． A ．70B ．60C ．80D ．756．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则A ．()()P A P M >B ．()()P A P M <C ．()()P A P M =D ．()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关7．已知[x]表示不超过x 的最大整数，比如：[0.4]＝0，[－0.6]＝－1.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2.4，则输出z 的值为( )A ．1.2B ．0.6C ．0.4D ．－0.48．函数()()2cos xx e e x f x x--=的部分图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若P 为直线40x y -+=上一个动点，从点P 引圆C ：2240x y x +-=的两条切线PM ，PN （切点为M ，N ），则MN 的最小值是（ ） A ．43BCD ．610．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．现将函数()f x 图象上的所有点向右平移π4个单位长度后，横坐标再缩短到原来的12倍得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()1π2sin 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()π2sin 44g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()1π2sin 24g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()π2sin 44g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭11．()2,0()ln 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，对于[1,)x ∀∈-+∞，均有()1(1)f x a x -≤+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12．侧棱长为V ABCD -内,有一半球,其大圆面落在正四棱锥底面上,且与正四棱锥的四个侧面相切,当正四棱锥的体积最大时,该半球的半径为（ ） A ．1 BC．2D ．2二、填空题13．已知单位向量1e ，2e 的夹角是23π，向量123a e e λ=+，若2a e ⊥，则实数λ=________.14．已知实数x ，y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为______．15．在数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-．则数列{}n a 的前20项之和为______．三、双空题16．已知直线l：0x -=交双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>于A ，B 两点．（1）已知点P 是双曲线上不同于点A ，B 的任意一点，则PA PB k k ⋅=______（结果用a ，b 表示）（2）过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若60ABC ∠=︒，则双曲线Γ的离心率为______．四、解答题17．如图， DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，90ACB ∠= ，P、Q分别为DE、AB的中点. （1）求证：//PQ平面ACD；（2）求几何体B ADE-的体积.18．在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，ccos sin0B b A-=，（1）求角B的大小；（2）若b=5a c+=，求AC边上的高；19．近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚种植高品质农作物.为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲，乙两同学一起收集6家农户的数据，进行回归分折，得到两个回归摸型：模型①：(1)1. 6528. 57y x=-+，模型②：(2)26.6713. 50yx=+，对以上两个回归方程进行残差分析，得到下表：（1）将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好； （2）视残差i e 的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模型，剔除异常数据后，重新求回归方程.附：()()()121nii i nii xx y yb x x ==--=-∑∑，a y bx =-；222220.270.380.97 1.020.28 2.277++++=20．已知函数2()x f x e ax =-，其中常数a ∈R .（1）当(0,)x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，且[0,)x ∈+∞时，求证：2()414f x x x >+-.21．设点()(),0C x y y ≥为平面直角坐标系xOy 中的一个动点（其中O 为坐标系原点），点C 到直线0y =的距离比到定点()0,1F 的距离小1，动点C 的轨迹方程为E ． （1）求曲线E 的方程；（2）若过点F 的直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点． ①若2AF FB =，求直线l 的方程；②分别过点A 、B 作曲线E 的切线且交于点D ，若以O 为圆心，以OD 为半径的圆与经过点F 且垂直于直线l 的直线l 相交于M ，N 两点，求MN 的取值范围． 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[0,)ϕπ∈），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos()3πρθ=-.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设()1,1P ，若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求||PA PB -的最大值. 23．已知,,a b c 为正数,且2a b c ++=,证明:(1)43 ab bc ac++≤；(2)2228a b cb c a---⋅⋅≥.参考答案1．D 【分析】求出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】{}()24,2x A x =<=-∞，{[)1,B x y ===+∞，因此，[)1,2A B =.故选：D. 【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了对数不等式和函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．B 【分析】由题得1z i =-，化简1izi =-+，即得复数的虚部. 【详解】 由题得1z i =-，所以21(1)21i 1(1)(1)2z i i i i i i i ---====-+++-. 所以1iz+的虚部为1-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查复数的除法运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．A 【分析】求出3a 、5a 的值，进而可求得1a 、q 的值，然后利用等比数列的求和公式可求得4S 的值. 【详解】在等比数列{}n a 中，0n a >，1q >，则{}n a 为递增数列，352664a a a a ==，由已知条件可得3535352064a a a a a a+=⎧⎪=⎨⎪<⎩，解得35416a a =⎧⎨=⎩，2q ∴==，3121a a q ==， 因此，()()4414111215112a q S q-⨯-===--.故选：A. 4．A 【分析】由a ，b ，l ，在同一平面，则a ，b ，l ，相交或a ，b ，l ，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断． 【详解】空间中不过同一点的三条直线a ，b ，l ，若a ，b ，l 在同一平面，则a ，b ，l 相交或a ，b ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以“a ，b ，l 在同一平面”成立，则“a ，b ，l 两两相交”不一定成立； 而若“a ，b ，l 两两相交”，则“a ，b ，l 在同一平面”成立． 故“a ，b ，l 两两相交”是“a ，b ，l 共面”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解. 5．C 【分析】利用该种鸟类在静止的时间其耗氧量为20个单位求出a 的值，再由利用飞行的速度不能低于2/m s 建立不等式，求解得答案． 【详解】解：由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0/m s ，此时耗氧量为20个单位， 故有220log 010a +=，即1a =-． 21log 10Q v ∴=-+， 要使飞行速度不低于2/m s ，则有2v ，即21log 210Q -+，也就是2log 310Q，解得80Q ， 即飞行的速度不低于2/m s ，则其耗氧量至少要80个单位． 故选：C ． 6．C 【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，即可求解. 【详解】由题意，设四分之一圆的半径为R ， 阴影部分A 的面积为212R ，空白部分的面积为221142R R π-，阴影部分M 的面积为：2222111122422R R R R ππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，所以P A P M （）＝（），故选C. 【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．D 【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z 的值，模拟程序的运行过程，即可得到答案. 【详解】由题意，输入 2.4x =，执行循环体 2.4,1y x ==，满足循环体的判断条件， 1.2x =； 执行循环体 1.2,0y x ==，满足循环体的判断条件，0.2x =； 执行循环体0.6,1y x ==-，不满足循环体的判断条件， 则输出0.4z x y =+=-，故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8．A 【分析】根据题意，分析可得函数为奇函数，且在(0,)2π上，()0f x >，据此排除分析可得答案．【详解】解：根据题意，2()cos ()x x e e x f x x--=，其定义域为{|0}x x ≠， 则有2()cos ()()x x e e xf x f x x ---==-，即函数()f x 为奇函数，排除C 、D ；又由当(0,)2x π∈上时，()0x x e e -->，cos 0x >，20x >，则有()0f x >，排除B ；故选：A ． 9．B 【分析】由题可得要使MN 最小，即MCP ∠最小，即PC 最小，求出PC 的最小值，得出cos ∠MCN ，再由余弦定理即可求出.【详解】圆C ：2240x y x +-=化为22(2)4x y -+=，则圆心(2,0)C ，半径2r ，要使MN 最小，则要使MCN ∠最小，即MCP ∠最小，||||tan 2∠PM PM MCP r ==， ∴当PM 最小时，MN 最小，||PM =PC 最小时，MN 最小，min ||PC ==cos ∠MCP ∴==25cos 2cos 19∠∠MCN MCP =-=-∴，min ||MN =∴故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相关的最值问题，解题的关键是将问题转化为当PC 最小时，MN 最小，求出PC 最小值.10．D 【分析】直接利用函数的图象确定函数的A 和ω及ϕ的值，进一步确定函数的解析式，最后利用函数的图象的变换求出结果． 【详解】解：函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示． 则：534884T πππ=-=，2A = 所以：T π=， 解得：2ω=， 当38x π=时， 3()08f π=， 即：32sin(2)08πϕ+=， 解得：34k πϕπ=-，()k ∈Z ， 当1k =时，4πϕ=，故：()2sin(2)4f x x π=+，现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到：2sin(2)4y x π=-，再横坐标再缩短到原来的12倍，得到()2sin(4)4g x x π=-11．A 【分析】对于[1,)x ∀∈-+∞，均有()1(1)f x a x -≤+，在坐标系中，画出()1y f x =-与(1)y a x =+的图象，利用函数的导数求解切线的斜率，即可得到实数a 的取值范围. 【详解】 解：()2,0()ln 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，对于[1,)x ∀∈-+∞，则()21,10()1ln 11,0x x f x x x ⎧--≤≤⎪-=⎨+->⎪⎩. 在坐标系中，画出函数()1y f x =-与()1=+y a x 的图象，如图所示：对于[1,)x ∀∈-+∞，均有()1(1)f x a x -+，就是函数(1)y a x =+的图象都在()1y f x =-图象的上方， 则ln(1)1y x =+-.1(0)1y x x '=>+，设切点坐标(),m n ， 可得111nm m =++，可得1n =，此时ln(1)11m +-=， 解得21m e =-，所以切线的斜率为：221111e e =-+.可得21a e. 故选：A . 【点睛】本题考查导数的几何意义及数形结合思想的应用，属于中档题. 12．B 【分析】设2AD a =,再求出正四棱锥的体积关于a 的表达式,再记()()242912216g t V a a ==-,求导分析当V 取得最大值时a 的值,进而根据VOE 中的线段关系求解半径即可.如图,E 为AD 中点,O 为底面中心,OF VE ⊥交VE 于点F ,连接OA ．根据线面垂直的性质 可知OF ⊥平面VAD ,故半球的半径为OF .设2AD a =,则OA =,VO =正四棱锥的体积21433V AD VO a =⋅=,记()()242912216g t V a a ==-．令2t a =,(a ∈,则()0,6t ∈,()()232122212g t t t t t =-=-+,()()262464g t t t t t =-+'=--,因此当()0,4t ∈时,()0g t '>；当()4,6t ∈时, ()0g t '<,即()g t 在()0,4上单调递增,在()4,6单调递减,故当24t a ==时,体积最大．此时该半球的半径为OV OE OF EV ⋅===故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数分析立体几何中体积的最值问题,需要根据题意设底面边长,再求出体积的表达式,进而换元利用导数分析取得最大值时的底面边长值.属于难题. 13．32【分析】根据题设知122(3)0e e e λ+⋅=，又单位向量1e ，2e 的夹角是23π，即可得方程求λ值 【详解】由向量123a e e λ=+，2a e ⊥，知：122(3)0e e e λ+⋅= ∴212230e e e λ⋅+=，而单位向量1e ，2e 的夹角是23π∴23cos03πλ⨯+=，解得32λ=故答案为：32【点睛】本题考查了利用向量垂直及向量数量积公式求参数值，注意单位向量的模为1，属于简单题 14．7- 【分析】由约束条件得到可行域，将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大问题的求解，利用数形结合的方式可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将3z x y =-化为133z y x =-，则当z 取最小值时，133zy x =-在y 轴截距最大， 由图象可知：当133zy x =-过A 时，直线在y 轴截距最大，由330240x y x y --=⎧⎨-+=⎩得：23x y =⎧⎨=⎩，()2,3A ∴， min 297z ∴=-=-.故答案为：7-. 【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有：①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的距.15．210 【分析】根据递推关系可以得到该数列的性质，最后根据等差数列的前n 项和公式进行求解即可. 【详解】因为()1121nn n a a n ++-=-，所以有：21324354652111,2213,2315,2417,2519,a a a a a a a a a a -=⨯-=+=⨯-=-=⨯-=+=⨯-=-=⨯-=由此可得出：132457682,8,2,24,a a a a a a a a +=+=+=+=，所以从第一项起，依次相邻两奇数项的和为2，从第二项起，依次相邻两偶数项的和组成以8为首项，16为公差的等差数列， 所以数列{}n a 的前20项之和为：125(585416)2102⨯+⨯+⨯⨯⨯=， 故答案为：210 【点睛】关键点睛：通过递推关系得到该数列的性质是解题的关键.16．22b a【分析】（1）设()()()111100,,,,,A x y B x y P x y --，由,,A B P 在双曲线上可得2010120101y y y y b x x x x a-+⋅=-+，即可求出；（2）联立直线与双曲线方程求得,A B 坐标，以及AB，由直角三角形的性质可得|||AC AB =，设出直线AC 的方程，和双曲线联立，运用韦达定理得出C 的横坐标，由弦长公式化简计算可得a b =，进而可求离心率. 【详解】（1）由题可得,A B 关于原点对称，设()()()111100,,,,,A x y B x y P x y --， 则01010101,PA PB y y y yk k x x x x -+==-+，,,A B P 在双曲线上，则2211221x y a b -=，2200221x y a b-=，两式作差可得2010120101y y y y b x x x x a -+⋅=-+，即22PA PB b k k a⋅=； （2）联立直线与双曲线方程可得22222222223,33a b a b x y b a b a==--，可设A ⎫，则||2||AB OA == 又在直角三角形ABC 中，60ABC ∠=︒，则|||AC AB ， 设直线AC的方程为y =，代入双曲线可得()42222222216303a b b a x x a b b a ---=-，则C x =则有22C A a b x x +-==可得22||2a b AC +==整理可得22223a b b a +=-，可得a b =，则c e a ===故答案为：22b a【点睛】思路点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 17．（1）证明见解析；（2）43. 【分析】（1）取BC 的中点M ，连接PM 、QM ，证明出平面//PQM 平面ACD ，由此可得出//PQ 平面ACD ；（2）证明出AC ⊥平面BCDE ，并计算出BDE 的面积，利用锥体的体积公式可计算得出几何体B ADE -的体积. 【详解】（1）如下图所示，取BC 的中点M ，连接PM 、QM ，P 、M 分别为DE 、AE 的中点，则//PM AD ，PM ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，//PM ∴平面ACD ，M 、Q 分别为AE 、AB 的中点，则//MQ BE ，//EB DC ，//MQ DC ∴，MQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD ，//MQ ∴平面ACD ，PM MQ M =，∴平面//PQM 平面ACD ，PQ ⊂平面PQM ，//PQ ∴平面ACD ；（2）DC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC DC ∴⊥，90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且BCDC C =，AC ∴⊥平面BCDE ，2112222BDE S BE BC =⋅=⨯=△， 所以，11422333B ADE A BDE BDE V V S AC --==⋅=⨯⨯=△. 【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平行，同时也考查了利用等体积法计算三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18．（1）3B π=（2）7【分析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，可得tan B 的值，即可求出角B ；（2）根据余弦定理结合已知条件求出ac ，进而求出ABC 的面积，即可求出AC 边上的高. 【详解】（1）在ABC cos sin 0B b A -=，cos sin sin 0A B B A -=，因为0A π<<,sin 0A >sin 0B B -=，所以tan B = 因为()0,B π∈，所以3B π=.（2）设AC 边上的高为h ，因为3B π=，b =5a c +=，所以222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-， 即()273a c ac =+-，所以6ac =，11sin 22ABC S ac B bh ====△，h ∴=，所以AC 边上的高7.【点睛】本题考查正余弦定理、面积公式解三角形，考查运算求解、逻辑推理能力，属于中档题.19．（1）表格答案见解析，模型①拟合效果比较好.（2）28480ˆ1717yx =-+ 【分析】（1）令3x =时，求得(2)y，()23e ，令5x =时，求得(1)y，()15e ，填入表格即可.根据残差平方和公式，分别求得模型①的残差平方和，模型②的残差平方和，再比较下结论. （2）根据视残差i e 的绝对值超过1.5的数据视为异常数据，应剔除第四组数据，分别求得x ，y ，利用公式进而求得b ，a ，写出回归方程.【详解】（1）当3x =时，(2)26.6713. 5022,393y =+=，()232422.39 1.61e =-=， 当5x =时，(1)1. 65528. 5720.32y=-⨯+=，()152220.32 1.68e =-=，完成表格如下：模型①的残差平方和为22222220.270.380.97 1.020.28 1.68 2.277 1.687+++++=+<， 模型②的残差平方和为2222221.84 1.610.83 1.31 2.463,179++++>>， 所以模型①的残差平方和比模型②的残差平方和小， 所以模型①拟合效果比较好.（2）由题意知，应剔除第四组数据，()12347955x =++++=，()12524211614205y =++++=， ()()()()()()()()()()()515222222135441124465628341732124iii ii x x y y b x x ==---⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯--====-+-+-++-∑∑，284802051717a y bx ⎛⎫=-=--⨯= ⎪⎝⎭，∴所求回归方程为28480ˆ1717yx =-+. 【点睛】本题考查回归分析，线性回归方程模型的建立，还考查了数据处理能力和运算求解能力，属于中档题.20．（1）2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析.【分析】（1）问题等价于2x e a x<恒成立，构造函数2()(0)xe h x x x =>，利用导数求其最小值即可得到实数a 的取值范围；（2）不等式等价于证明224140x e x x -+->，设2()2414(0)x g x e x x x =--+≥，只需求出()g x 的最小值，并说明其大于0即可得证.【详解】（1）由题意知当(0,)x ∈+∞时，不等式2(0)x f x e ax =->恒成立，即2x e a x <， 设2()(0)x e h x x x=>，则3(2)()xx e h x x -'=， 当(0,2)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，∴()h x 的最小值为2(2)4e h =， ∴实数a 的取值范围为2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； （2）证明：由题意知，要证2()414f x x x >+-，即证22414x e x x x -+->，即证224140x e x x -+->，设2()2414(0)x g x e x x x =--+≥，则()44x g x e x '=--，设()44x h x e x =--，则()4x h x e '=-，由()0h x '>得2ln 2x >；由()0h x '<得2ln 2x <；所以函数()h x 在[0,2ln 2)单调递减，在(2ln 2,)+∞单调递增；则()()min 2ln 28ln 20h x h ==-<，又(0)30h =-<，2(2)120h e =-<，3(3)160h e =->，所以存在()2,3m ∈，使得()0h m =，即44m e m =+，故当[0,)x m ∈时，()0g x '<，即函数()g x 单调递减；当(,)x m ∈+∞时，()0g x '>，即函数()g x 单调递增；∴22()()2414182m g x g m e m m m ≥=--+=-，由于23m <<，所以()2()290g x m≥->，即2()414f x x x >+-. 【点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法求函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.21．（1）24x y =；（2）440y -+=440y +-=；②[)2,+∞．【分析】（1）由题意知1CF y -=，化简即可得出方程；（2）①设直线l 的方程为1y kx =+，联立直线与抛物线方程，由2AF FB =可得122x x -=，结合韦达定理即可求出斜率；②利用导数求出切线斜率，得出切线方程，联立可求得D 点的坐标，根据距离公式以及几何关系可得MN =21k t +=，[)1,t ∈+∞，利用导数求出最值即可得出结果.【详解】解：（1）设点C 到直线0y =的距离为y ．由题意知1CF y -=，∵0y ≥，1y =，化简得24x y =为所求方程． （2）①由题意知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为1y kx =+，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124x x k +=，124x x ⋅=，又∵2AF FB =，∴122x x -=，∴1x =2x =或1x =-2x =∴k =或k =， ∴直线l440y -+=440y +-=．②∵24x y =，∴214y x =，12y x '=， 过点A 的切线方程为()1112x y x x y =-+即112x y x y =-，① 过点B 的切线方程为()2222x y x x y =-+即222x y x y =-，② 联立①②得()()12122x x x y y -=-，∴()12121222y y x x x x x -+==-，124x x y = ∴D 点的坐标为：1212,24x x x x +⋅⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1D k -，∴OD =1l 的方程为11y x k=-+ 又∵点O 到直线1l的距离为d = ∴()222222101k OD d k +-=>+，∴k ∈R ． 又∵2MN =∴MN == 令21k t +=，[)1,t ∈+∞，()144f t t t=+-， ∴()2140f t t '=->， ∴()f t 在[)1,+∞上单调递增，∴()()11f t f ≥=，∴2MN ≥，∴MN 的取值范围为[)2,+∞．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.22．（1）2220x y x +--=；（2）4.【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C 的直角坐标方程；（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得||PA PB -的最大值.【详解】（1）圆C 的极坐标方程为：4cos()3πρθ=-，则22cos sin ρρθθ=+由极坐标与直角坐标的转化公式得222x y x +=+，所以：2220x y x +--=.（2）将线l 的参数方程为：1cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入2220x y x +--=.所以21)sin 0t t ϕ-⋅-=设点A ，B 所对应的参数为1t 和2t ，则121)sin t t ϕ+=，12t t ⋅=-则12||||PA PB t t -=-==当sin 1ϕ=时，||PA PB -的最大值为4.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题. 23．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）将a +b +c ＝2平方，然后将基本不等式2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥三式相加，进行证明；（2）由2a b c b b b-+=≥22b a c c b a c c a a -+-+=≥=≥，三式相乘进行证明. 【详解】(1)将a +b +c ＝2平方得:2222224a b c ab ab ac +++++=，由基本不等式知:2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，三式相加得:222a b c ab bc ac ++≥++，则2224222333a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++ 所以43ab bc ac ++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立(2)由2a b c b b b -+=≥22b a c c b a c c c a a a-+-+=≥=≥则2228a b c b c a ---⋅⋅≥=， 即2228a b c b c a ---⋅⋅≥当且仅当23a b c ===时等号成立 【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.。
2021届河南省(天一)大联考高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2021届河南省（天一）大联考高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}250,A xx x B =-<=Z ∣，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】化简集合A ，根据交集运算即可求解. 【详解】{}250(0,5),Z A x x x B =-<==∣，{1,2,3,4}A B ∴=∴A B 中元素的个数为4个，故选：B2．若23z z i +=-，则||z =（ ）A ．1BCD ．2【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，∴以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，∴==z ．故选：B ．3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，则袋中球的总个数为（ ） A ．5 B ．8C ．10D ．12【答案】C【分析】设袋中球的总个数为n ，根据已知条件可得出关于n 的等式，由此可求得n 的值.【详解】设袋中球的总个数为n ，由题意可得215n =，解得10n =. 故选：C.4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45︒，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．3B．2C．3D．3【答案】D【分析】由正四棱锥侧棱，高，侧棱在底面上的射影构成的直角三角形求出侧棱与底面边长的关系，从而得面积比值．【详解】塔顶是正四棱锥P ABCD-，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为21S a=，22AO a=，45PAO∠=︒，∴222PA a a=⨯=，PAB△是正三角形，面积为223S a=，所以213SS=．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A ．15B ．29C ．72D ．185【答案】C【分析】根据程序框图依次执行循环即可.【详解】第一次执行循环，2113,3112a b =⨯==⨯-=+，不满足3i ≥，则011i =+=，第二次执行循环，2317,3215a b =⨯==⨯-=+，不满足3i ≥，则112i =+=， 第三次执行循环，27115,35114a b =⨯==⨯-=+，不满足3i ≥，则213i =+=， 第四次执行循环，215131,314141a b =⨯==⨯-=+，满足3i ≥，输出314172a b +=+=.故选：C.6．已知110a b >>，则下列不等式①1b a >；②a b >；③33a b >；④1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．其中正确的是（ ） A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④【答案】D【分析】由已知条件可得出0b a >>，利用不等式的基本性质可判断①②的正误，利用函数的单调性可判断③④的正误.【详解】110a b >>，则0a >，0b >，0ab ab a b∴>>，即0b a >>. 对于①，由不等式的性质可得1b aa a>=，①正确；对于②，0b a >>，则b a >，②错误；对于③，由于函数3y x =在R 上为增函数，所以，33b a >，③错误；对于④，由于函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以，1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，④正确. 故选：D.7．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，点,A B 是曲线()y f x =相邻的两个对称中心，点C 是()f x 的一个最值点，若ABC 的面积为1，则ω=（ ） A ．1 B ．2πC ．2D ．π【答案】D【分析】利用正弦函数性质及ABC 的面积，可得周期，然后求得ω． 【详解】由题意112122ABC C S AB y AB AB =⨯=⨯==△，所以12T=，即周期为2T =，所以22πωπ==． 故选：D ．8．已知函数2()-=+-x x f x e e x ，则不等式(2)(2)f m f m >-的解集为（ ） A ．2(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭B ．2,(2,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,23⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后结合奇偶性和单调性解不等式． 【详解】2()xx f x ee x --=+-()f x =，()f x 是偶函数，()2-=--'x x f x e e x ，设()2x x g x e e x -=--，则()220x x g x e e -'=+-≥=，所以()g x 是增函数，0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，即0x ≥时，()0f x '≥， 所以在[0,)+∞上，()f x 是增函数．又()f x 是偶函数，所以不等式(2)(2)f m f m >-化为(2)(2)f m f m >-，所以22m m >-，解得2m <-或23m >．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式．在确定单调性需利用导数的知识，为了确定()'f x 的正负，还需进行二次求导．9．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,A B C 的大小成等差数列，且7,13b a c =+=，则ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由等差数列得3B π=，再由余弦定理结合已知求得ac ，从而可得三角形面积．【详解】∵,,A B C 等差数列，又A B C π++=，∴3B π=，所以2222222cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-，即227133ac =-，40ac =，∴11sin 40sin 223ABC S ac B π==⨯⨯=△ 故选：C ．10．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积.【详解】设ABC 的外接圆的圆心为D ，半径为r ，在ABC 中，cos4ABC ∠==，sin 4ABC ∴∠=，由正弦定理可得28sin ACr ABC==∠，即4r =，则22543OD =-=，1111421427377332O ABC ABCV SOD -∴=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=+，当01x <<时，()2-=x f x ，则21log 257f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．8-B ．1256-C ．256257D ．256257-【答案】D【分析】由周期性和奇偶性进行计算．【详解】∵(3)(1)f x f x +=+，∴()f x 是周期函数，周期为2T =， 又()f x 是奇函数，221log log 257(9,8)257=-∈--， ∴2257log 2562222211256256257256log log 8log log log 2257257257257256257f f f ff-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==--=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．12．已知点A 在直线360x y +-=上运动，点B 在直线380x y -+=上运动，以线段AB 为直径的圆C 与x 轴相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A ．4π B ．32π C ．94π D ．52π【答案】C【分析】已知两直线垂直，设其交点为M ，则M 在以AB 为直径的圆上，过M 作x 轴垂线MD ，D 为垂足，D 为切点时圆心半径最小，此时MD 即为圆直径．由此易得面积最小值．【详解】设已知两直线交点为M ，由于两直线的斜率分别为3-和13，因此它们垂直，则以AB 为直径的圆过点M ，由360380x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，即(1,3)M ， 过M 作x 轴垂线MD ，D 为垂足，D 为圆与x 轴切点时圆半径最小，此时MD 即为圆直径．所以圆半径为322MD r ==，面积为23924S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭． 故选：C ．二、填空题13．平面向量(2,2),(1,3)a b ==-，若()()a b a b λ-⊥+，则λ=_____________．【答案】32【分析】首先分别求向量a b -和a b λ+的坐标，再利用向量数量积的坐标表示求参数λ的值.【详解】()2,2a =，()1,3b =-，()3,1a b ∴-=-，()21,23a b λλλ+=-+，()()a b a b λ-⊥+，()()321230λλ∴⨯--+=，解得：32λ=. 故答案为：3214．若实数x 、y 满足约束条件23023030x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则x y -的取值范围是_____________．【答案】[]1,1-【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y =-，找到使得直线z x y =-在x 轴上的截距最大和最小时对应的最优解，求出目标函数z x y =-的最大值和最小值，由此可得出结果.【详解】令z x y =-，作出不等式组23023030x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立23030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即点()1,2A ；联立23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即点()2,1C .平移直线z x y =-，当直线z x y =-经过可行域的顶点A 时，该直线在x 轴上的截距最大，此时z 取最小值，即min 121z =-=-；当直线z x y =-经过可行域的顶点C 时，该直线在x 轴上的截距最小，此时z 取最大值，即max 211z =-=.综上所述，x y -的取值范围是[]1,1-. 故答案为：[]1,1-.【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的值域，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．若函数()1xf x e a =--有两个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】(1,)+∞【分析】由题可得10xe a --=有两个解，即1x e a =+或1x e a =-都有解，即可求出. 【详解】函数()1xf x e a =--有两个零点，10x e a -∴-=有两个解，则1x e a =+或1x e a =-都有解，1010a a +>⎧∴⎨->⎩，解得1a >，故a 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞.【点睛】本题考查根据函数零点求参数范围，解题的关键是得出1x e a =+或1x e a =-都有解.16．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点是F ，左、右顶点分别是,A B ，过F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于,P Q 两点，若AP BQ ⊥，则双曲线的离心率为______________．【分析】求出,P Q 坐标，由AP BQ ⊥可得1AP BQ k k ⋅=-，可得4224320c a c a -+=，即42320e e -+=，即可求出.【详解】PQ x ⊥轴，将x c =-代入双曲线可得2by a=±，不妨令22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,，()(),0,,0A a B a -AP BQ ⊥，1AP BQk k ∴⋅=-，即221b b a a c a c a-⋅=--+--， 即4224b a c a =-，即4224320c a c a -+=，42320e e ∴-+=，解得21e =（舍去）或22e =，e ∴=..三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n nS a 和2n a 的等差中项为1． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设41log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）2nn a =；（Ⅱ）22n nT n =+． 【分析】（Ⅰ）利用等差中项的定义得出n S 与n a 的关系，然后由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，求出1a 其为等比数列，从而得通项公式； （Ⅱ）用裂项相消法求和n T ． 【详解】解：（Ⅰ）因为n nS a 和2n a 的等差中项为1， 所以22n n nS a a +=，即22n n S a =-，当2n 时，1122n n S a --=-．两式相减得1122n n n n S S a a ---=-，整理得12n n a a -=． 在22n n S a =-中，令1n =得12a =，所以，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，因此1222n nn a -=⨯=．（Ⅱ）411log 2n n n b a ++==． 则114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n n b b n n n n ． 所以11111111244233412222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在[40,100]内，按照[40,50),[50,60),,[90,100]分组，得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．【答案】（Ⅰ）0.020a =；（Ⅱ）74.5；（Ⅲ）65分．【分析】（1）根据频率和为1，即小矩形面积和为1，求a ；（Ⅱ）利用每组数据中点值乘以本组的频率和，计算平均数；（Ⅲ）首先计算录取比例，根据录取比例求分数线. 【详解】（Ⅰ）由题意(0.0050.0100.0300.015)101a a +++++⨯=， 解得0.020a =．（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为450.05550.1650.2750.3850.2950.1574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x ，根据频率分布直方图可知[60,70)x ∈， 且(70)0.020.30.20.150.75x -⨯+++=， 解得65x =．故估计应该把录取的分数线定为65分．19．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，133,5,cos ,,5AD AB BAD BD DD E ==∠==是1CC 的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE ⊥平面1ADD ； （Ⅱ）求点1C 到平面BDE 的距离． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1313． 【分析】（Ⅰ）由余弦定理求出BD ，可得AD BD ⊥，再由1DD BD ⊥可得BD ⊥平面1ADD ，即得证；（Ⅱ）在平面1BCC 内作1C F BE ⊥，可得1C F ⊥平面BDE ，则1C F 的长就是点1C 到平面BDE 的距离，求出即可.【详解】解析：（Ⅰ）由题意可得2222cos 16BD AD AB AB AD BAD =+-⨯∠=， 所以222AD BD AB +=，因此AD BD ⊥，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD BD ⊥， 又因为1ADDD D =，所以BD ⊥平面1ADD ，因为BD ⊂平面DBE ，所以平面DBE ⊥平面1ADD ．（Ⅱ）如图，在平面1BCC 内作1C F BE ⊥，垂足为F ． 由（Ⅰ）知BD ⊥平面1ADD ，因为平面1//ADD 平面1BCC ， 所以BD ⊥平面1BCC ，所以1BD C F ⊥， 又因为BD BE B ⋂=，所以1C F ⊥平面BDE ．所以线段1C F 的长就是点1C 到平面BDE 的距离．因为114,3CC DD BD BC ====，所以12,13CE C E BE ==．在平面1BCC 内，可知1BCE C FE ∽， 所以1113C FBC C E BE ==，得161313C F =， 所以点1C 到平面BDE 的距离为61313．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点面距离的求解，解题的关键是在平面1BCC 内作1C F BE ⊥，判断出线段1C F 的长就是点1C 到平面BDE 的距离. 20．已知椭圆1C 6，一个焦点坐标为(0,2)，曲线2C 上任一点到点9,04⎛⎫⎪⎝⎭和到直线94x =-的距离相等．（Ⅰ）求椭圆1C 和曲线2C 的标准方程；（Ⅱ）点P 为1C 和2C 的一个交点，过P 作直线l 交2C 于点Q ，交1C 于点R ，且,,Q R P 互不重合，若PQ RP =，求直线l 与x 轴的交点坐标．【答案】（Ⅰ）221412x y +=；29y x =；（Ⅱ）(2,0)-． 【分析】（Ⅰ）根据离心率和焦点求出,a b 可得椭圆方程，可判断曲线2C 为抛物线，即可得出方程；（Ⅱ）联立椭圆与抛物线求出点P 坐标，可得直线l 斜率存在，设:(1)3l y k x =-+，联立直线与抛物线可得93Q k y k -=，联立直线与椭圆可得229363R k k y k--=+，由PQ RP =可得32Q Ry y +=，即可解出k ，得出所求.【详解】（Ⅰ）设22122:1(0)x y C a b b a+=>>，==2212,4a b ==， 所以1C 的标准方程为221412x y +=，曲线2C 是以9,04⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，94x =-为准线的抛物线，故2C 的标准方程为29y x =．（Ⅱ）联立2223129x y y x⎧+=⎨=⎩，解得13x y =⎧⎨=±⎩，不妨取(1,3)P ，若直线l 的斜率不存在，Q 和R 重合，不符合条件． 故可设直线:(1)3l y k x =-+，由题意可知0k ≠．联立239y kx k y x =+-⎧⎨=⎩，可得93Q ky k -=．联立223312y kx k x y =+-⎧⎨+=⎩，可得229363R k k y k --=+． 因为PQ RP =，所以P 是QR 的中点，所以32Q Ry y +=，即229393663k k kk k ---+=+．解得1k =．所以直线l 的方程为2y x =+，其与x 轴的交点坐标为(2,0)-．【点睛】本题考查椭圆和抛物线中的直线方程的求解，解题的关键是联立直线与曲线求出,Q R 坐标，利用P 是QR 的中点求解. 21．已知函数()ln 1ln f x x x x x =+--．（Ⅰ）设函数()y f x =在1x =和x e =处的切线交直线1y =于,M N 两点，求||MN ； （Ⅱ）设()0f x 为函数()y f x =的最小值，求证：()0102f x -<<．【答案】（Ⅰ）2||1e MN e =-；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）求出导函数，得切线方程，然后求得交点,M N 坐标后可得线段长MN ；（Ⅱ）由零点存在定理得()'f x 存在一个零点0(1,2)x ∈，并求出最小值0()f x ，利用0()0f x '=化简0()f x 后根据0(1,2)x ∈可证上得结论．【详解】解：（Ⅰ）函数()f x 的导函数为11()1ln 1ln f x x x x x'=+--=-． 所以1(1)1,()1f f e e''=-=-．又因为(1)0,()0f f e ==， 因此()y f x =在1x =和x e =处的切线方程分别为1y x =-+和1()e y x e e-=-． 令1y =，可得M 和N 的坐标分别为(0,1)和2,11e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故2||1e MN e =-．（Ⅱ）因为1()ln f x x x '=-在(0,)+∞上单调递增，而1(1)10,(2)ln 202f f ''=-<=->，所以必然存在0(1,2)x ∈，满足()00f x '=，且当()00,x x ∈）时()0f x '<，当()0,x x ∈+∞时()0f x '>． 即()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，当0x x =时，()f x 取得最小值()00000ln 1ln f x x x x x =+--． 由()00f x '=可得001ln x x =，所以()00012f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 当0(1,2)x ∈时，00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()0102f x -<<． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．求最值时在极值点0x 不能直接求出时，对极值点（最值点）0x 进行定性分析：确定其取值范围，利用注意0()0f x '=得出0x 满足的性质，代入0()f x 化简表达式后再求解．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为435335x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为33x y s ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（s 为参数）．（1）设1l 与2l 的夹角为α，求tan α；（2）设1l 与x 轴的交点为A ，2l 与x 轴的交点为B ，以A 为圆心，AB 为半径作圆，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A 的极坐标方程． 【答案】（1）913；（2）22cos 8ρρθ-=． 【分析】（1）设直线1l 和2l 的倾斜角分别为β和γ，求出tan β、tan γ的值，利用两角差的正切公式可求得tan α的值；（2）求出点A 、B 的坐标，可求得AB ，进而可求得圆A 的方程，再利用直角坐标方程与极坐标方程之间的转换关系可求得圆A 的极坐标方程. 【详解】（1）设直线1l 和2l 的倾斜角分别为β和γ， 由参数方程知3tan 4β=-，tan 3γ=-，所以，β和γ均为钝角，且βγ>， 则()tan tan 9tan tan 1tan tan 13βγαβγβγ-=-==+；（2）令3305t +=，解得5t =-，所以，4315t --=，所以1,0A ，令3010s +=，解得s =，所以，3210s --=-，所以()2,0B -，123AB ∴=+=，所以圆A 的直角坐标方程为()2219x y -+=，即2228x y x +-=，所以圆A 的极坐标方程为22cos 8ρρθ-=． 23．已知函数()|1||1|f x x ax =-++． （Ⅰ）当2a =时，解不等式()5f x ；（Ⅱ）当1a =时，若存在实数x ，使得21()m f x ->成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）5533xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣；（Ⅱ）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【分析】（Ⅰ）由绝对值定义去掉绝对值符号化为分段函数形式3,1,1()2,1213,,2x x f x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩，然后再分段求解即可.（Ⅱ）若存在x 使不等式21()m f x ->恒成立，即21m -大于等于()f x 的最小值，由绝对值的三角形不等式可得()f x 的最小值为2，从而可得答案.【详解】解：（Ⅰ）当2a =时，3,1,1()1212,1,213,,2x x f x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩当1≥x 时，由35x ≤得513x ≤≤； 当112x -<<时，由25x +≤得112x -<<；当12x ≤-时，由35x -≤得5132x -≤≤-．综上所述，不等式()5f x ≤的解集为5533xx ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭∣． （Ⅱ）当1a =时，()|1||1||11|2f x x x x x =-++≥++-=， 当且仅当11x -≤≤时，等号成立，即()f x 的最小值为2． 因为存在实数x ，使得21()m f x ->成立，所以212m ->． 解得32m >，因此m 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】关键点睛：本题考查解绝对值不等式和含绝对值不等式有解问题，解答本题的关键是根据题意将问题转化为21m -大于等于()f x 的最小值，由()|1||1||11|2f x x x x x =-++≥++-=得出最小值，属于中档题.。
2021年河南省商丘市西城中学高三数学文联考试卷含解析
2021年河南省商丘市西城中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果实数满足条件，那么的最大值为（）A．2 B．1 C．-2 D．-3参考答案：B考点：简单的线性规划．【名师点睛】由线性规划求目标函数最值的步骤：（1）作图：画届约束条件所确定的平面区域，和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线．（2）平移：将平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数直线和可行域边界所在直线的斜率的大小比较．（3）求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．2. 若点P（x，y）满足线性约束条件，点，O为坐标原点，则?的最大值为( )A．0 B．3 C．﹣6 D．6参考答案：D 考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：设z=?，根据数量积的公式计算出z，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解答：解：设z=?，则z=3x+y，即y=﹣x+，作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+=3+3=6，故?的最大值为6，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据数量积的公式将条件化简，以及利用数形结合是解决本题的关键．3. 已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别为A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0），画该三棱锥的三视图中的俯视图时，以xOy平面为投影面，则得到的俯视图可以为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】找出各点在xoy平面内的投影得出俯视图．【解答】解：由题意，A（2，0，2），B（2，1，2），C（0，2，2），D（1，2，0）在xOy平面上投影坐标分别为A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），D（1，2，0）．故选：C．【点评】本题考查了三视图的定义，简单几何体的三视图，属于基础题．4. 如果执行如图的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于A.720B.360C.240D.120参考答案：B考查认识流程图以及判断流程图输出的结果.列出每一次输出的结果：第一次循环：p=1×(6－4+1)=3，再进行循环；第二次循环：k=2，p=3×(6－4+2)=12，再进行循环；第三次循环：k=3，p=12×(6－4+3)=60，再进行循环；第四次循环：k=4，p=60×(6－4+4)=360，结束循环，所以p=360，故选择B.5. 函数y=lnx+x－－2的零点所在的区间是（）A．（，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（e，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】先判断函数y是定义域上的增函数，再利用根的存在性定理，即可得出结论．【解答】解：∵函数（x＞0），∴y′=+1+＞0，∴函数y=lnx+x﹣﹣2在定义域（0，+∞）上是单调增函数；又x=2时，y=ln2+2﹣﹣2=ln2﹣＜0，x=e时，y=lne+e﹣﹣2=+e﹣﹣2＞0，因此函数的零点在（2，e）内．故选：C．6. 已知角的终边与单位圆交于，则（）A. B. C. D.参考答案：A7. 已知函数的导函数为，e为自然对数的底数，对均有成立，且，则不等式的解集是（）A. (－∞, e)B. (e,+∞)C.(－∞,2)D. (2,+∞)参考答案：D【分析】先构造函数，再利用导数研究函数单调性，最后根据单调性解不等式. 【详解】原不等式等价于，令，则恒成立，在上是增函数，又，，原不等式为，解得，故选.【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.8. 已知函数，则不等式f（x）≥x2的解集是( )A．B．C．D．参考答案：A考点：一元二次不等式的解法．分析：已知分段函数f（x）求不等式f（x）≥x2的解集，要分类讨论：①当x≤0时；②当x＞0时，分别代入不等式f（x）≥x2，从而求出其解集．解答：解：①当x≤0时；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；②当x＞0时；f（x）=﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故选A．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，在解答的过程中运用的分类讨论的思想，是一道比较基础的题目．9. （2）已知A=｛x|x+1>0｝，B=｛-2，-1，0，1｝，则（R A）∩B= （）（A）｛-2，-1｝（B）｛-2｝（C）{-2，0，1} （D）{0，1}参考答案：AA：，，，所以答案选A10. 等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式的解集为[0,9]，则使数列{a n}的前项和S n 最大的正整数的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在各项都为正数的等比数列{a n}中，已知a1=2，，则数列{a n}的通项公式a n =．参考答案：【分析】设等比数列{a n }的公比为q ＞0，由a 1=2，，可得+=4，化简解出q ，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ＞0，∵a 1=2，，∴+=4，化为：q 4﹣4q 2+4=0， 解得q 2=2，q ＞0，解得q=．则数列{a n }的通项公式a n ==．故答案为：．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12. 已知圆与圆相交于两点，且满足，则▲ ．参考答案：两圆公共弦所在直线方程为，设其中一圆的圆心为．∵，∴，∴，得．13.关于图中的正方体，下列说法正确的有： ___________________． ①点在线段上运动，棱锥体积不变；②点在线段上运动，二面角不变；③一个平面截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形； ④一个平面截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形； ⑤平面截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面在平面与平面间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。
2021年河南省高考数学(文科)联考试卷-含答案与解析
2021年河南省高考数学（文科）联考试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1（5分）已知集合M＝{x|x2≤4}，N＝{﹣3，﹣1，1，2，3}，则M∩N＝（）A{﹣1，1，2} B{﹣1，2，3} C{﹣2，﹣1，1，2} D{﹣1，1}2（5分）已知复数z满足（2+i）z＝|4﹣3i|（i为虚数单位），则z＝（）A2+i B2﹣i C1+2i D1﹣2i3（5分）已知tanθ＝，则tan2θ+4tan（）＝（）A1 B﹣2 C﹣1 D04（5分）命题：①若2a＝3b＝6，则＝1；②若2a＝3b＝36，则+＝；③若2a＝3b＝216，则＝类比命题①，②，③，可得命题“若m a＝n b＝t（m，n均为于1的整数），则+＝”其中t＝（）A m k nB mn kC kmn D（mn）k5（5分）已知椭圆C：＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C的上顶点，若∠F1PF2＝，则b＝（）A5 B4 C3 D26（5分）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为l1，l2，l3，以C为圆心、CB为半径作劣弧交l1于点C1；以A 为圆心、AC1为半径作劣弧交l2于点A1；以B为圆心、BA1为半径作劣弧交l3于点B1，…，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线记劣弧的长，劣弧的长，劣弧的长，…依次为a1，a2，a3，…，则a1+a2+…+a9＝（）A30πB45πC60πD65π7（5分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，E点在边AC上，设AD与BE交于点P，则＝（）A4 B6 C8 D108（5分）古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩，称为门墩，亦称门枕石门墩的作用是固定门框，防止大门前后晃动，另外门墩一般雕刻有传统的吉祥图案，起到装饰作用如图，粗实线画出的是某门墩的三视图（其中网格纸的小正方形的边长为2dm），则该门墩的体积为（）A（48+）dm3B（48+）dm3C dm3D dm39（5分）设函数f（x）为定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＝ln（﹣x），若a＝f （21.1），b＝f（50.4），c＝f（ln），则a，b，c的大小关系是（）A a＜b＜cB c＜b＜aC b＜c＜aD c＜a＜b10（5分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为T，交E的左支于点P若T恰好为线段PF2的中点，则E的离心率为（）A B C2 D11（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P在直线x+y＝4上，过点P作圆O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则O到直线AB距离的最大值为（）A1 B C D212（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+）（ω∈N*），若函数f（x）图象的相邻两对称轴之间的距离至少为，且在区间（π，）上存在最大值，则ω的取值个数为（）A4 B3 C2 D1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。