轴对称培优练习教案

初中数学辅导练习知能目标：1．理解轴对称的概念．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．2．理解线段垂直平分线的性质及判定．3.利用轴对称的性质作出成轴对称的图形4．了解等腰三角形的概念，等腰三角形的性质，理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论轴对称(一) 典型例题讲解:１２培优专题 等腰三角形等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径．判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等，实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形； 2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形； 3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；4．用“三角形中角一个外角是不相邻内角的2倍关系”构造等腰三角形．例1 如图1-1，△ABC 中，AB=BC ，M 、N 为BC 边上两点，且∠BAM=∠CAN ，MN=AN ，求∠MAC 的度数．分析 AB=AC ，MN=AN 可知△ABC 和△AMN 均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系．解：设∠BAM=∠CAN=α，∠AMN=β， ∵MN=AN ，∴∠AMN=∠MAN=β． 设∠ABC=γ， 在△ABC 中，∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°， 由于∠BCA=∠CAB=2α+β， ∴4α+2β+γ=180°． 在△ABM 中，β=α+γ，∴4α+2β+（β-α）=180°．即3（α+β）=180°．∴α+β=60°，故∠MAC=60°． 练习11．如图1-2，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（ ）．A ．7．5°B ．10°C ．12.5°D ．18°1-2 2．如图1-3，AA ′、BB ′分别是△ABC 的外角∠EAB 和∠CBD 的平分线，且AA ′=AB=B ′B ，A ′、B 、C 在一直线上，则∠ACB 的度数是多少？1-1３1-33．如图1-4，等腰三角形ABC 中，AB=BC ，∠A=20°．D 是AB 边上的点，且AD=BC ，•连结CD ，则∠BDC=________．1-4例2 如图1-5，D 是等边三角形ABC 的AB 边延长线上一点，BD•的垂直平分线HE•交AC 延长线于点E ，那么CE 与AD 相等吗？试说明理由． 分析 要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而达到解决问题的目的． 解：延长AD 到F ，使AF=EF ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠A=60°． ∴△AEF 是等边三角形． ∴EA=EF ，∠AEF=∠A=60°． 又∵EH 垂直平分BD ， ∴EB=ED ，∠EBD=∠EDB ． ∴△EAD ≌△EFB ． ∴AD=BF ． 又∵BF=AF-AB=AE-AC=CE ，∴AD=CE ．练习21．已知如图1-6，在△ABC 中，AB=CD ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC ，E 为垂足，ED•的延长线交CA 的延长线于点F ，判断AD 与AF 相等吗？1-6 1-7 1-82．如图1-7，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D 是△ABC 内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD 与BA 的大小关系是（ ）1-5４A ．BD>BAB ．BD<BAC ．BD=BAD ．无法确定3．已知：如图1-8，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=•AC ，•延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？例3 已知：如图1-9，△ABD 和△BEC 均为等边三角形，M 、N 分别为AE 和DC•的中点，那么△BMN 是等边三角形吗？说明理由．分析 要说明一个三角形是等边三角形，•只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN ，且∠MBN=60°即可．解：在△ABE 和△DBC 中，∵∠ABE=60°+∠DBE ，∠DBC=60°+∠DBE ， ∴∠ABE=∠DBC ． ∵AB=BD ，BE=EC ． ∴△ABE ≌△DBC ．∴AE=DC ，∠MEB=∠NCB ．又∵M 、N 分别是AE 和DC 的中点， ∴ME=NC ，又△BEC 为等边三角形，∴BE=BC ．∴△MBE ≌△NBC ，BM=BN ． ∴∠MBN=∠MBE-∠NBE=∠NBC-∠NBE=60°．∴△BMN 为等边三角形．练习31．已知：如图1-10，在等边三角形ABC 中，BD=CE=AF ，AD 与BE 交于G ，BE 与CF•交于H ，CF 与AD 交于K ，试判断△GHK 的形状．1-102．已知：如图1-11，△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上的任意一点，选择一点D ，•使△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，那么△CMN•是等边三角形吗？为什么？1-9５1-113．已知：如图1-12，等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使AD=AE ，作等边三角形PCD 、QAE 和RAB ，则以P 、Q 、R 为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．1-12例4 已知：如图1-13，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，∠ABC 的平分线交AC 于E ，试比较AE+BE 与BC 的大小？分析 说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，•常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解． 解：在BC 上截取BF=BE ，BD=BA ，连结FE 、DE ，∵AB=AC ，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°，又BE 平分∠ABC ， ∴∠1=∠2=12∠ABC=20°． ∵BF=BE ，∴∠BEF=∠5=80°． 在△BAE 和△BDE 中， BA=BD ，∠1=∠2，BE=BE ． ∴△BAE ≌△BDE ．∴AE=DE ，∠3=∠A=100°． ∴∠4=180°-∠3=180°， ∴∠4=∠5，DE=FE ，AE=FE ．又∠6=∠5-∠C=80°-40°=40°， ∴∠6=∠C ，∴FE=FC ．故AE+BE=FC+BF=BC ．1-13练习41．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，•CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？1-142．已知：如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，•说明CE与AC+CD相等的理由．1-153．已知：如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，•以BD•为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>”或“＝”或“<”）1-16例5已知：如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？分析延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段．解：延长CE到F，使EF=CE，连结BF，CE是AB的中线，∴AE=EB．又∠FEB=∠AEC，∴△EBF≌△EAC，∴∠EBF=∠A．BF=AC=BD．在△FBC和△DBC中，FB=BD，BC=BC．∴∠FBC=∠FBE+∠EBC．=∠A+∠ACB．∠DBC=∠A+∠ACB．６1-17７∴∠FBC=∠DBC ． ∴△BCF ≌△BCD ．∴CF=CD=2CE ，故CE=12CD ．练习51．如图1-18，D 、E 分别是等边三角形ABC 两边BC 、AC 上的点，且AE=CD ，连结BE 、•AD 交于点P ．过B 作BQ ⊥AD 于Q ，请说明BP 是PQ 的2倍．1-182．如图1-19，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE ，那么CE•是BD 的几分之几？1-193．已知：如图1-20，在△ABC 中，AB=AC ，AD 和BE 是高，它们相交于H ，且AE=BE ，•那么AH 是BD 的________倍．1-20８答案: 练习11．解：设∠DEC=x ， ∵AD=AE ，∴∠ADE=∠AED ．∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）-（∠C+x ） ∵AB=AC ，∴∠B=∠C∴2x=30°，x=15°，故选C ． 2．解：∵AB=BB ′，∴∠BAB ′=∠BB ′A ，∠B ′BD=∠BAB ′+∠BB ′A=2∠BAB ′． 又∠CBB ′=∠DBB ′，∴∠ACB=∠CBB ′+∠CB ′B=3∠CAB ．设∠CAB=x ，∴∠ACB=3x ，∠CBD=4x ，又AA ′=AB ， ∴∠A ′=∠ABA ′=∠CBD=4x ． ∵AA ′平分∠EAB ． ∴∠A ′AB=12（180°-x ）． 又∠A ′AB=180°-（∠A ′+∠ABA ′）=180°-8x ∴12（180°-x ）=180°-8x ． ∴x=12°，故∠ACB=36°．3．解：如图，作△AED ≌△BAC ，连结EC ． 则∠AED=∠BAC=20°，∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°．∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°． 又∵AB=AE=AC ，∴△ACE 是正三角形，AE=EC=ED ． ∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°． ∴∠EDC=12（180°-∠DEC ）=70°． ∴∠BDC=180°-（∠ADE+∠EDC ）=30°． 练习21．解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ．∵DE ⊥BC ，∴∠DEB=∠FEC=90°． 在Rt △DEB 与Rt △FEC 中， ∵∠B=∠C ，∴∠BDE=∠F ． ∵∠FDA=∠BDE ，∴∠FDA=∠F ，故AD=AF ．2．解：以AD 为边在△ADB 内作等边△ADE ，连结BE ． 则∠1=∠2=∠3=60°． ∴AE=ED=AD ． ∵∠DAC=15°，∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°． ∴∠DAC=∠EAB ．又∵DA=AE，AB=AC，∴△EAB≌△DAC．∴∠EBA=∠DCA=15°．∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°．∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°．∴∠BEA=∠BED．又∵EB=EB，AE=ED．∴△BEA≌△BED，∴BD=BA．故选择C．3．解：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，∵BD=DC，∠BDG=∠CDA，AD=DG，∴△ADC≌△BDE．∴AC=BG，∠G=∠EAF，又∵BE=AC，∴BE=BG．∴∠G=∠BED，而∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE．练习31．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．又∵BD=AF=CE，∴△ABD≌△BCE≌△CAF．∴∠1=∠2=∠3．∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3．即∠CAK=∠ABG=∠BCH．又∵AB=BC=CA，∴△ABG≌△BCH≌△CAK．∴∠AGB=∠BHC=∠CKA．即∠KGH=∠GHK=∠GKH．故△GKH是等边三角形．2．解：由于△ABC与△CDE均为等边三角形，A、C、E三点共线，得知： CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，故△ACD≌△BCE．∴∠ADC=∠BEC，AD=BE．又DM=12AD，EN=12BE，∴△DCM≌△ECN．∴∠DCM=∠ECN，CM=CN．又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°，∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°．∴△CMN是等边三角形．3．解：连结BP．∵△ABC与△CDP均为等边三角形，９∴AC=BC，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°．∴∠1=∠2，∴△ADC≌△BPC．∴∠CBP=∠DAC=60°．∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°，∴R、B、P三点共线．又∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°，∴R、A、Q三点共线．而AQ=AE=AD=BP，∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP．又∠R=60°，∴△PQR是等边三角形．故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形．练习41．解：∵S△ACB=S△APB+S△APC，即12AB·CF=12AB·PD+12AB·PE．∴CF=PD+PE．2．解：∵AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD，∴△AEC≌△ADB．∴CE=BD．又∵BD=BC+CD=AC+CD．∴CE=AC+CD．3．解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形．∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD，AB=BC，BE=BD．∴△ABE≌△CBD．∴AE=CD．又∵AB=AC，∴AD=AC+CD=AB+AE．练习51．解：∵∠CAB=∠C=60°，AE=CD，AB=AC，∴△ADC≌△BEA，∴∠CAD=∠EBA．又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°，∴在Rt△PQB中，∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．2．解：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1=∠2，∠BEC=∠BEF=90°，BE=BE，∴△BEC≌△BEF．∴BC=BF，CE=EF，∴CE=12 CF．又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∠3=∠4，∴∠2=∠5，且AB=AC．∴Rt△AFC≌Rt△ADB．∴CF=BD．故CE=12 BD．3．解：∵AB=AC，AD⊥BC，１０∴BD=DC，∠DAC+∠C=90°．又∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C=90°．∴∠DAC=∠EBC．在△AEH和△BEC中，∵∠DAC=∠EBC，AE=BE．∠AEH=∠BEC=90°，∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC．又BC=2BD，故AH=2BD．一、基础训练1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．（1）（2）（3）2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，•若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______．3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．4．如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．（4）（5）（6）5．如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）．6．等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P•运动的时间应为________．7．如图6，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A•′的坐标为_______．8．如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20•°，且AE=•AD，则∠CDE=________．（7）（8）（9）9．如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（） A．44° B．68° C．46° D．22°10．如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，•使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）A．L1B．L2C．L3D．L411．如图10，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．•则∠A等于（）A．30° B．36° C．45° D．72°（10）（11）12．同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，•是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，•则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于（）A．25° B．50° C．60° D．130°二、能力提升13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长．14．已知如图△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．• 试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由．15．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，•给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．三、应用与探究16．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、•CA上的点．（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论．（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．17、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD＝BA．18、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．等腰三角形提高测试题一、选择题1．如图1，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD=3cm ，则CD 等于（ ）A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cmD C A BE D ABFEDCABH F（1） (2) (3)2．△ABC 中AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，则图中的等腰三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图2，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作 DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②DE=BD+CE ；•③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和； ④BF=CF ．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．①4．如图3，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ，EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．∠ACD=∠B B ．CH=CE=EFC ．CH=HD D ．AC=AF 二、填空题5．△ABC 中，∠A=65°，∠B=50°，则AB ：BC=_________． 6．已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，要使AD•∥BC ，• 则△ABC 的边一定满足________．7．△ABC 中，∠C=∠B ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，•AE=•2cm ，•且DE ∥BC ，•则AD=________．8．一灯塔P 在小岛A 的北偏西25°，从小岛A 沿正北方向前进30 海里后到达小岛，•此时测得灯塔P 在北偏西50°方向，则P 与小岛 B 相距________． 三、解答题 9．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上，BD 与CE 交于点F ，•且∠ABD=•∠ACE ，求证：BF=CF ．10．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，•E D C A B F求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF11．如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC•交AB 于E ，求证：AE=BE ．EDCABF。