轴对称培优(一)

合集下载

人教版八年级数学上册第13章轴对称培优综合练习(含答案)

人教版八年级数学上册第13章轴对称培优综合练习（含答案）等腰三角形性质进阶（1）如图，中，AB =AC ，，AD 是BC 边上的中线，且BD =BE ，则ABC V 100BAC ∠=o 的大小为．ADE ∠D ECB A 【答案】20°．（2）如图，在ABC 中，，平分，，，E 、F 为垂V AB AC =AD BAC ∠DE AB ⊥DF AC ⊥足，则下列四个结论：①；②；③平分；④垂直DEF DFE ∠=∠AE AF =AD EDF ∠EF 平分．其中正确的有（）AD A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C（3）如图，已知D 、E 是的底边上两点，且有，，ABC △BC BD AD =CE AE =，则．150BAC DAE ∠+∠=︒BAC ∠=【答案】110°．（4）如图，，点为角内一点，且，点分别在边上运30BAC ∠=︒P 3AP =M N 、AB AC 、动，当运动到何处时，周长最小．作图并求出周长最小值．M N 、PMN △PMN △AC【答案】如图，分别作P 关于AB 、AC 的对称点．连接，交AB 于M ，交AC 于'''P P 、'''P P N ，连接PM 、PN 、MN ，此时PMN 周长最小．V如图，连接，是等边三角形，, 周长'''AP AP AP 、、'''AP P △''''3P P AP AP ===PMN △最小值是3．ACA边高及其夹角问题—分类讨论（1）腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为______________．【答案】6或或（2）一个等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为45°，则它的底角度数是．【答案】或．67.5︒22.5︒（3）已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的BD ABC ∆50ABD ∠=︒ABC ∆度数．【答案】若为钝角三角形时，为顶角时，三内角大小为；ABC ∆A ∠1402020︒︒︒，，若为钝角三角形时，为底角时，三内角大小为；ABC ∆A ∠1004040︒︒︒，，若为锐角三角形时，为顶角，三内角大小为．ABC ∆A ∠407070︒︒︒，，两线证等腰（其中一线是角分线）已知：AO 是顶角的角平分线，交BC 边于点O ．ABC ∆（1）如图1，求证：AB =AC ；（2）如图2，有一点Q 在线段AO 上（不与A 、O 重合），求证：AB =AC ；（3）若点Q 在AO 的延长线上，AB =AC 成立吗？请画图表示．图1图2【答案】（1）如图1作辅助线，易证，∴，．()BOE COF HL ≅△△B C ∠=∠AB AC =（2）如图2作辅助线，易证，∴，()BQE CQF ASA ≅△△QBE QCF ∠=∠∴，∴，∴，．OB OC =OBC OCB ∠=∠B C ∠=∠AB AC = （3）成立，如图3．图1 图2 图3平行线+角分线出等腰如图1，在中，，、分别平分、，过D 点作ABC △AB AC =BD CD ABC ∠ACB ∠，交于点，交于．问：EF BC ∥AB E AC F （1）图中的等腰三角形有．（2）如图2，若将题中的改为不等边三角形，其他条件不变，则图中的等腰三角ABC △形有，请说明线段与、有什么关系？EF BE CF （3）如图3，平分，平分外角，交于点，交于BD ABC ∠CD ACG ∠DE BC ∥AB E AC ．线段与、有什么关系？F EF BE CF图1 图2 图3【答案】（1）等腰三角形：、、、、；ABC △AEF △BCD △BDE △CDF △（2）等腰三角形：、；BDE △CDF △由于ED =BE ，DF =CF ，EF =ED +FD =BE +CF ，故EF =BE +CF （3）图3所示中仍有两个等腰三角形、BED △CDF △从而DE =BE ，CF =DF ，又EF =ED -FD =BE -CF ，故EF =BE -CF ．含30°角的直角三角形的性质（1）在中，分别是的对边，且，则ABC △a b c 、、A B C ∠∠∠、、::1:2:3A B C ∠∠∠=与的数量关系是____________．a c 【答案】．=2c a （2）如图，在中，，，DE 是AB 的垂直平分线，ABC △90C ∠=o 15B ∠=o DE =8，则的度数是______，AC 的长是______，CD 的长是______．A ∠EABDC【答案】75°，4，（3）如图，在Rt 中，，垂足为，求的值．ABC △90,30,C A CD AB ∠=∠=⊥ D DBADDCBA【答案】设，∵，∴，DB k =90,,30C CD AB A ∠=⊥∠= 30DCB ∠= 在中，，∴(所对的直角边等于斜边的一半)．Rt DCB △DB k =2BC k =30 在中，，，∴，∴．Rt ACB △30A ∠= 2BC k =4AB k =3AD AB DB k =-=∴．133DB k AD k ==角分线与面积问题（1）如图，是的角平分线，其中，求证：．AD ABC △90B ∠=︒::ABD ACDS SAB AC =△△【答案】如图作，则有，由三角形的面积即可证明．DE AC ⊥DB DE =（2）如图，若在任意中，平分，请证明：． ABC △AD BAC ∠AB BDAC CD=BA【答案】如图，过点D 分别作，，则有：，DE AB ⊥DF AC ⊥DE DF =此时易得：，又有（等高），∴．ABD ACD S AB S AC ∆∆=ABD ACD S BD S CD ∆∆=AB BDAC CD=BCA腰高和差问题如图，为等腰的底边上的任意一点，于点，于点，P ABC △AB PE AC ⊥E PF ⊥BC F 点，AD BC ⊥D（1）求证：；PE PF AD +=（2）若点为直线上的一点，请直接写出、和的关系．P AB PE PF AD【答案】（1）解法一：过点作于点．P PN AD ⊥N 在和中，，，，APN ∆PAE ∆EPA NAP ∠=∠ANP PEA ∠=∠AP PA =，，ANP PEA ∆∆∴≌PE AN =∴又由四边形为矩形，则．．PFDN PF ND =PE PF AD +=∴解法二：连接．∵，即，CP APC BPC ABC S S S ∆∆∆+=111222AC EP BC PF BC AD ⋅+⋅=⋅而，∴．（推荐解法二）AC BC =PE PF AD +=（3），分两种情况：A 点左边和B 点右边PE PF AD -=（1）知识延伸：如图1，为等腰内任意一点，于点，于点P ABC △PE AC ⊥E PF BC ⊥，于点，点，求证：；F PG AB ⊥G AD BC ⊥D PE PF PG AD ++=（2）活学活用：如图2，若点为等边外一点，请说明、、和之P ABC △PE PF PG AD 间的数量关系．（3）类比推理：如图3，若点为等边的边延长线上一点，请说明、P ABC △BA PE 、和之间的数量关系．PF PG AD图1 图2 图3【答案】（1）连接，根据三角形面积即可证明．PA PB PC 、、ABC ABPACPBCPS S SS=++△△△△（2），证明同上；PE PF PG AD +-=（3），证明同上．PF PE PG AD --=例题1.（1）如图，在中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，若的周长为ABC △BCE △8cm ，AB -BC =2cm ，则BC =________cm ．DABCE【答案】3（2）已知，中，，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于E 、F ，ABC △140BAC ∠=︒的度数是________．EAF ∠第19第第20第CAE DBBEFA C【答案】100°例题2. （1）在ABC ，∠ACB 为直角，∠A =30°，CD ⊥AB 于D ，若BD =2，则AB 的长度是V（）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】B（2）如图，等边的三条角平分线相交于点O ，过点O 作，分别ABC △EF BC P 交AB 于E ，交AC 于F ，则图中的等腰三角形有（）个CBA. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C例题3. 如图，在中，，点D 在BC 上，，在AC 上取一点ABC △B C ∠=∠50BAD ∠=oE ，使得，求的度数．ADE AED ∠=∠EDC∠【答案】由题设知：，，及三角形外角定理，B C ∠=∠ADE AED ∠=∠即，EDC C AED ∠+∠=∠有180218022DAE AED EDC C∠=-∠=-∠-∠o o 而()18025025018022C DAE C EDC C =∠++∠=∠++-∠-∠o o o o 180502EDC =+-∠o o 故，即250EDC ∠=o 25EDC ∠=o例题4. 如图，在等腰中，，，为底边上一动点（不与ABC △5AB BC ==8AB =D AB 点重合），，，垂足分别为，求的长．A B 、DE AC ⊥DF BC ⊥E F 、DE DF +FE ABCD【答案】（利用面积法）245例题5. 在△ABC 中，AD 是外角∠EAC 的角平分线，求证：．AB BDAC CD=【答案】如图做辅助线，根据题意，此时易得，，∴．ABD ACD S BD S CD ∆∆=ABD ACD S AB S AC ∆∆=AB BDACCD=。

轴对称图形重难点题型培优

轴对称图形解答题较难题一、翻折变换题型1 ．（ 1 ）数学课上，老师出了一道题，如图①， Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=½AB，求证：∠ B=30°，请你完成证明过程．（ 2 ）如图②，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片， E 、 F 分别为AB 、 CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，折痕交 AE 于点 G ，请运用（ 1 ）中的结论求∠ ADG 的度数和 AG 的长．（ 3 ）若矩形纸片 ABCD 按如图③所示的方式折叠， B 、 D 两点恰好重合于一点 O （如图④），当 AB=6 ，求 EF 的长．二、特异三角形1.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（ 1 ）如图 1 ，△ ABC 中，∠ B=2 ∠ C ，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证： AE 是△ ABC 的一条特异线；（ 2 ）如图 2 ，若△ ABC 是特异三角形，∠ A=30°，∠ B 为钝角，求出所有可能的∠ B 的度数．5 ．等腰△ ABC 中， CA=CB ，点 D 为边 AB 上一点，沿 CD 折叠△ CAD 得到△ CFD ，边 CF 交边 AB 于点 E ， CD=CE ，连接 BF ．（ 1 ）求证： FD=FB ．（ 2 ）连接 AF 交 CD 的延长线于点 M ，连接 ME 交线段 DF 于点 N ，若EF=4EC ， AB=22 ，求 MN 的长．三、点的运动变化题型8 ．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（ Q 不与 B 重合），过 P 作 PE ⊥ AB 于 E ，连接PQ 交 AB 于 D ．（ 1 ）当∠ BQD=30°时，求 AP 的长；（ 2 ）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由．9 ．某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵黄桷树．如图，要求黄桷树的位置点 P 到边 AB 、 BC 的距离相等，并且点 P 到点 A 、 D 的距离也相等．请用尺规作图作出栽种黄桷树的位置点 P （不写作法，保留作图痕迹）．四、等边三角形题型12 ．已知：在△ AOB 和△ COD 中， OA=OB ， OC=OD ．（ 1 ）如图①，若∠ AOB= ∠ COD=60°，求证：① AC=BD ②∠ APB=60°．（ 2 ）如图②，若∠ AOB= ∠ COD=α，则 AC 与 BD 间的等量关系式为，∠ APB 的大小为（直接写出结果，不证明）。

第13章轴对称(单元测试培优卷)(学生版) 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破

第13章轴对称（单元测试·培优卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图形中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，点A 在直线l 上，△ABC 与AB C '' 关于直线l 对称，连接BB '，分别交AC ，AC '于点D ，D ¢，连接CC '，下列结论不一定正确的是（）A ．BACB AC ∠=∠''B ．CC BB '' C ．BD B D =''D ．AD DD ='3．我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某V 型路口放置如图所示的两个平面镜1l ，2l ，两个平面镜所成的夹角为1∠，位于点D 处的甲同学在平面镜2l 中看到位于点A 处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线AB 经过平面镜1l 反射后，又沿BC 射向平面镜2l ，在点C 处再次反射，反射光线为CD ，已知入射光线2AB l ∥，反射光线1CD l ∥，则1∠等于（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒4．如图，已知a b ∥，直线l 与直线a ，b 分别交于点A ，B ，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 分别交直线a ，b 于点D 、C ，连接AC ，若135∠=︒，则BAD ∠的度数是（）A ．35︒B ．55︒C ．65︒D ．70︒5．如图，在等腰Rt ABC △，90BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为ABC V 的角平分线，过点C 作CE BD ⊥交BD 的延长线与点E ，若2CE =，则BD 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图，90ACB AED ∠=∠=︒，CAE BAD ∠=∠，BC DE =，若BD AC ∥，则ABC ∠与CAE ∠间的数量关系为（）A ．2ABC CAE∠=∠B ．ABC CAE ∠=∠C ．290ABC CAE ∠+∠=︒D ．2180ABC CAE ∠+∠=︒7．某平板电脑支架如图所示，其中AB CD =，EA ED =，为了使用的舒适性，可调整AEC ∠的大小．若AEC ∠增大16︒，则BDE ∠的变化情况是（）A ．增大16︒B ．减小16︒C ．增大8︒D ．减小8︒8．如图，在ABC V 中，80BAC ∠=︒，边A 的垂直平分线交BC 于点E ，边AC 的垂直平分线交AC 于点F ，连接AE ，AG ．则EAG ∠的度数为（）A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．20︒9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AD 是△ABC 的角平分线，若P ，Q 分别是AD 和AC 边上的动点，则PC +PQ 的最小值是（）A ．65B ．2C ．125D ．5210．如图，在ABC V 中，90BAC ∠=︒，A 是高，BE 是中线，C 是角平分线，C 交A 于G ，交BE 于H ，下面说法：①ACF BCF S S = ；②AFG AGF ∠=∠；③2FAG ACF ∠=∠；④BH CH =．其中正确的是()A ．①②③④B ．①③C ．②③D ．①③④二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图，在ABC V 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交AB 于点D ，连接CD ，若ABC V 的周长为24，9BC =，则ADC △的周长为．12．如图，直线m n ∥，点A 是直线m 上一点，点B 是直线n 上一点，AB 与直线m ，n 均不垂直，点P为线段AB 的中点，直线l 分别与m ，n 相交于点C ，D ，若90,CPD CD ∠=︒=m ，n 之间的距离为2，则PC PD ⋅的值为．13．如图，A EGF ∠=∠，F 为BE CG ，的中点，58DB DE ==，，则AD 的长为．14．如图所示，在平面直角坐标系中，ABC V 满足45,90BAC CBA ∠=︒∠=︒，点A ，C 的坐标分别是()()2,0,3,5--，点B 在y 轴上，在坐标平面内存在一点D （不与点C 重合），使ABC ABD △≌△，且AC 与AD 是对应边，请写出点D 的坐标．15．如图，60AOB ∠=︒，C 是BO 延长线上一点，12cm OC =，动点M 从点C 出发沿射线CB 以2cm /s 的速度移动，动点N 从点O 出发沿射线OA 以1cm /s 的速度移动，如果点M 、N 同时出发，设运动的时间为s t ，那么当t =s 时，MON △是等腰三角形．16．如图，锐角ABC 中，30A ∠=︒，72BC =，ABC 的面积是6，D ，E ，F 分别是三边上的动点，则DEF 周长的最小值是．17．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ，…在x 轴正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…在直线()0y x =≥上，若()11,0A ，且112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形，则线段20212022A A 的长度为．18．如图，将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠（折线EF 交AD 于E ，交BC 于F ），点C D 、的对应点分别是1C 、1D ，1ED 交BC 于G ，再将四边形11C D GF 沿FG 折叠，点1C 、1D 的对应点分别是2C 、2D ，2GD 交EF 于H ，给出下列结论：①2EGD EFG∠=∠②2180EFC EGC ∠=∠+︒③若26FEG ∠=︒，则2102EFC ∠=︒④23FHD EFB∠=∠上述正确的结论是．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC BE ==，AD EC ⊥，交EC 延长线于点D ．求证：2CE AD =．20．（8分）如图，点P 是AOB ∠外的一点，点E 与点P 关于OA 对称，点F 与点P 关于OB 对称，直线FE 分别交OA OB 、于C 、D 两点，连接PC PD PE PF 、、、．（1）若20OCP F ∠=∠=︒，求CPD ∠的度数；（2）若求=CP DP ，13CF =，3DE =，求CP 的长．21．（10分）如图，在ABC V 中，AD 平分BAC ∠，点E 为AC 中点，AD 与BE 相交于点F ．（1）若38,82ABC ACB ∠=︒∠=︒，求ADB ∠的度数；（2）过点B 作BH AD ⊥交AD 延长线于点H ，作ABH 关于AH 对称的AGH ，设BFH △，AEF △的面积分别为12,S S ，若6BCG S V =，试求12S S -的值．22．（10分）已知：OP 平分MON ∠，点A ，B 分别在边OM ，ON 上，且180OAP OBP ∠+∠=︒．（1）如图1，当BP OM ∥时，求证：OB PB =．（2）如图2，当90OAP ∠<︒时，作PC OM ⊥于点C ．求证：2OA OB AC -=．23．（10分）已知，在ABC V 中，90CAB ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点E 在线段BD 上，且CD DE =，点F 在线段AB 上，且45BEF ∠=︒（1）如图1，求证：DAE B∠=∠（2）如图1，若2AC =，且2AF BF =，求ABC V 的面积（3）如图2，若点F 是AB 的中点，求AEF ABCS S的值．24．（12分）如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，CDE 是等边三角形，点D 在边AB 上．（1）如图1，当点E 在边BC 上时，求证DE EB=（2）如图2，当点E 在ABC V 内部时，猜想ED 和EB 数量关系，并加以证明；（3）如图3，当点E 在ABC V 外部时，EH AB ⊥于点H ，过点E 作GE AB ，交线段AC 的延长线于点G ，5AG CG =，3BH =，求CG 的长．。

轴对称培优

轴对称专题培优训练1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE垂直平分AC，交BC于D，交AC于E，且DE=2cm，求BC的长．2．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE=2，求CE的长．3．如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．4．如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD=30°，求证：AB=2BC．5．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：∠ACB的大小．6．已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A、E在BC的同侧．（1）如图1，点D在BC上，写出线段AC、CD、CE之间的数量关系，并证明；（2）如图2，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接写出AC、CD、CE之间的数量关系．7．如图，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，BE、CF交于M，连AM．（1）求证：BE=CF；（2）求证：BE⊥CF；（3）求∠AMC的度数．8．如图，点D是△ABC的边BC上一动点，且AB=AC，DA=DE，∠BAC=∠ADE=120°，求∠BCE的度数．9．如图，△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，B（0，2），C（2，﹣2），求点A的坐标．10．如图，四边形ABCE中，AB=BC，AB⊥BC，CE⊥AE，BD⊥AE于D，求证：BD﹣CE=AD．11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC上一点，过D作DE⊥AD，且DE=AD，连BE，求∠DBE的度数．12．如图，OA=OB，OA⊥OB，∠ASO=135°，求证：AS⊥BS．13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC．（1）求证：AE⊥BE；（2）若AD=3，BC=4，求AB的长．14．如图，在△ABC中，∠BAC、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且（ab﹣1）2+（a﹣b）2=0．（l）求证：AC=BC．（2）作△ABC的角平分线AD，若AC+CD=AB，求S△ABC．15．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90゜，D为CB延长线上一点，AE=AD，且AE⊥AD，BE与AC的延长线交于点P．（1）求证：BP=PE；（2）若AC=3PC，求的值．16．如图，△ABC中，∠ABC=45゜，D为BC上一点，CD=2BD，∠ADC=60゜．AE⊥BC 于点E，CF⊥AD于点F，AE、CF相交于点G．（1）求证：△AFG≌△CFD；（2）若BC=3，AF=，求线段EG的长．。

人教版八年级上册数学《轴对称》培优试题

人教版八年级上册数学《轴对称》培优试题一．选择题（共7小题）1．已知，如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝18cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AB于点F，则MN的长为（）A．18cm B．12cm C．6cm D．3cm2．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在P A、PC的中垂线上．若∠ABC＝80°，则∠APC的度数为（）A．120°B．125°C．130°D．135°3．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A．15°或75°B．30°C．150°D．150°或30°4．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝40°，则∠CDE的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AB边上一点，且AD＝CD＝BC，则∠A的度数为（）A．38°B．36°C．32°D．30°6．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝4，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．B．C．6D．37．下列说法正确的个数有（）①有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③三角形的中线把三角形的面积平分；④等腰三角形高所在的直线是对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共9小题）8．如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，∠C＝50°，DE⊥AC，FD⊥AB，则∠EDF＝．9．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，垂足为点D，DE交AC于点E，且AC＝7，△BEC的周长为11，则BC的长为．10．如图，∠AOB＝30°，M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP ＝6cm，则△PMN的周长的最小值为cm．11．如图，已知△ABC与△ABD关于AB所在的直线对称，延长AD交CB的延长线于点E，若AC+BC＝AE，且∠C＝40°，则∠E的度数为．12．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AC边于点E，交BC边于点D，若AE＝3，△ABD的周长为14，则△ABC的周长为．13．若等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成了15cm和18cm两部分，则它的腰长为cm．14．如果等腰三角形的一个内角等于40°，则它两底角的平分线所夹的钝角为．15．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为cm．16．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP，若∠BAC＝50°，则∠BPC＝°．三．解答题（共6小题）17．如图，AB＝AC，AE＝ED＝DB＝BC，求∠A的度数．18．计算：△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于y轴成轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）在y轴上有一点P，使P A+PB的值最小，请在坐标系中标出点P的位置．19．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，点D是BC边上一点，且满足∠B＝∠1，CE平分∠ACB交AD于点E．（1）若∠ADC＝80°，求∠2的度数；（2）过点E作EF∥AB，交BD于点F，请说明∠FEC＝3∠3．20．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，MP垂直平分AB，分别交AB、BC于点M、P，NQ垂直平分AC，分别交AC．BC于点N、Q，连接AP、AQ，求∠P AQ的度数．21．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA 方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）求证：AE＝DF；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．。

人教版八年级数学上册第13章轴对称综合培优训练(含答案)

人教版八年级数学上册第13章轴对称综合培优训练一、选择题（本大题共12道小题）1. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是()A．1，1，2 B．1，1，3C．2，2，1 D．2，2，52. 如图，线段AB与A′B′(AB＝A′B′)不关于直线l成轴对称的是()3. 已知等腰三角形的一个角等于42°，则它的底角为()A．42°B．69°C．69°或84°D．42°或69°4. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B 的度数是()A．70°B．55°C．70°或55°D．70°或55°或40°5. 若点A(2m，2－m)和点B(3＋n，n)关于y轴对称，则m，n的值分别为()A．1，－1 B.5 3，13C．－5，7 D．－13，－736. 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC.若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为()A．4 B．12 C．18 D．307. 一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B 处.灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上.则海岛B到灯塔C的距离是（）A.15海里B.20海里C. 30海里D.60海里8. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两村供水，现有如下四种铺设方案，图中PM，MQ表示铺设的管道，则所需管道最短的是()9. 对于△ABC，嘉淇用尺规进行如下操作：如图，(1)分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点D；(2)作直线AD交BC边于点E.根据嘉淇的操作方法，可知线段AE是()A．△ABC的高线B．△ABC的中线C．边BC的垂直平分线D．△ABC的角平分线10. 如图，以C为圆心，大于点C到AB的距离为半径作弧，交AB于点D，E，再以D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线CF，则()A ．CF 平分∠ACB B ．CF ⊥ABC ．CF 平分ABD ．CF 垂直平分AB11. (2019•广西)如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒12. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，则图中有等腰三角形( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题共12道小题）13. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有________条．14. 如图，∠AOB ＝30°，点P 在OA 上，且OP ＝2，点P 关于直线OB 的对称点是Q ，则PQ ＝________．15. 如图，在△ABC 中，AD 为角平分线，若∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝8，则CD 的长为________．16. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.17. 如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，连接MN交OA于点E，交OB于点F.若△PEF的周长是20 cm，则MN的长是________cm.18. 如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC ＝4，则PD＝________.19. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________．20. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为cm.21. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．22. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).23. 规律探究如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．24. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.三、作图题（本大题共2道小题）25. 如图，在公路l附近有两个小区A，B，某商家计划在公路l旁修建一个大型超市M，要求超市M到A，B两个小区的距离相等，请你借助尺规在图上找出超市M的位置．(不写作法，保留作图痕迹)26. 分析与操作如图，有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．(保留作图痕迹，不写作法)四、解答题（本大题共6道小题）27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于点D，连接BD，求∠ABD的度数.28. （2020·广东）如题20图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．29. 如图①，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.探究一：猜想图①中线段EF与BE，CF间的数量关系，并证明．探究二：设AB＝8，AC＝6，求△AEF的周长．探究三：如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与△ABC的外角平分线CO交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.猜想这时EF与BE，CF间又是什么数量关系，并证明．30. 已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：BE＝CF；(2)若AF＝6，BC＝7，求△ABC的周长．31. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．32. 如图，在直角坐标系中，△ABO的各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(2a，0)，B(0，-a)，线段EF两端点的坐标分别为E(-m，a+1)，F(-m，1)(其中2a>m>a>0)，直线l∥y轴交x轴于点P(a，0)，且线段EF与CD关于y轴对称，线段CD与MN关于直线l对称.(1)求点M，N的坐标(用含m，a的式子表示);(2)△ABO与△MFE能通过平移互相重合吗?若能通过平移互相重合，请你说出一种平移方案(平移的距离用含m，a的式子表示).人教版八年级数学下册第13章轴对称综合培优训练-答案一、选择题（本大题共12道小题）1. 【答案】C2. 【答案】A3. 【答案】D[解析] 在等腰三角形中，当一个锐角在未指明为顶角还是底角时，一定要分类讨论．①42°的角为等腰三角形的底角；②42°的角为等腰三角形的顶角，则底角为(180°－42°)÷2＝69°.所以底角为42°或69°.4. 【答案】D[解析] 由题意得，∠A＝70°，当∠B＝∠A＝70°时，△ABC为等腰三角形；当∠B＝55°时，可得∠C＝55°，∠B＝∠C，△ABC为等腰三角形；当∠B＝40°时，可得∠C＝70°＝∠A，△ABC为等腰三角形．5. 【答案】C[解析] ∵点A(2m，2－m)和点B(3＋n，n)关于y轴对称，∴2m＋3＋n＝0，2－m＝n，解得m＝－5，n＝7.6. 【答案】B[解析] ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°.∴△ADE为等边三角形．∵AB ＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4.∴△ADE的周长为4×3＝12.7. 【答案】C【解析】根据题意画图，如图，∠A=42°，∠DBC=84°，AB=15×2=30(海里),∴∠C=∠DBC-∠A=42°,∴BC=BA=30(海里).8. 【答案】D9. 【答案】A10. 【答案】B11. 【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥，∵AB AC =，∴CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠，∵1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1502BCG ACB ∠=∠=︒．故选C ．12. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ， ∴∠DAB ＝∠CAD ＝36°. ∴∠CAD ＝∠C.∴CD ＝AD ， ∴△ACD 是等腰三角形．∵∠ADB ＝∠CAD ＋∠C ＝72°，∴∠ADB ＝∠B.∴AD ＝AB. ∴△ADB 是等腰三角形．二、填空题（本大题共12道小题）13. 【答案】5[解析] 如图，五角星的对称轴共有5条．14. 【答案】2[解析] 如图，连接OQ.∵点P关于直线OB的对称点是Q，∴OB垂直平分PQ.∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ.∴∠POQ＝60°.∴△POQ为等边三角形．∴PQ＝OP＝2.15. 【答案】4[解析] ∵∠B＝∠C＝60°，∴∠BAC＝60°.∴△ABC为等边三角形．∵AB＝8，∴BC＝AB＝8.∵AD为角平分线，∴BD＝CD.∴CD＝4.16. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.17. 【答案】2018. 【答案】2[解析] 过点P作PE⊥OB于点E.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD.∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°.∵PC∥OA，∴∠BCP＝∠AOB＝30°.∴在Rt△PCE中，PE＝12PC＝12×4＝2.∴PD＝PE＝2.故答案是2.19. 【答案】3[解析] ∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE ＝1.∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠DAB.∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAD＋∠DAB＋∠B＝90°.∴∠B＝30°.∴BD＝2DE＝2.∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.20. 【答案】10[解析] ∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，∴AE=BE，AF=CF.∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm.21. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC.∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.22. 【答案】③23. 【答案】924. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.三、作图题（本大题共2道小题）25. 【答案】解：如图，点M为所作．26. 【答案】如图所示，①作两条公路夹角的平分线OD，OE；②作线段AB的垂直平分线FG，则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2即为所求的位置．四、解答题（本大题共6道小题）27. 【答案】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵BC＝BD，∴∠BDC＝∠BCD＝72°.∴∠DBC＝36°.∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝36°.28. 【答案】证明：在△BFD和△CFE中，∠ABE=∠ACD，∠DFB=∠CFE，BD=CE，∴△BFD≌△CFE（AAS）.∴∠DBF=∠ECF.∵∠ABE=∠ACD∴∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD.∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.【解析】先利用三角形边边角的判定方法证明∠DBF=∠ECF，再根据等式的性质，加上相等角得到∠ABC=∠ACB，等角对等边，得到AB=AC.根据等腰三角形定义得到△ABC是等腰三角形.29. 【答案】解：探究一：猜想：EF＝BE＋CF.证明如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO.∴∠ABO ＝∠EOB.∴BE ＝OE.同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE ＋OF ＝BE ＋CF.探究二：C △AEF ＝AE ＋EF ＋AF ＝AE ＋(OE ＋OF)＋AF ＝(AE ＋BE)＋(AF ＋CF)＝AB ＋AC ＝8＋6＝14.探究三：猜想：EF ＝BE －CF.证明如下：∵BO 平分∠ABC ，∴∠EBO ＝∠CBO.∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠CBO.∴∠EBO ＝∠EOB.∴BE ＝OE.同理：OF ＝CF ，∴EF ＝OE －OF ＝BE －CF.30. 【答案】(1)证明：如图，连接CD.∵点D 在BC 的垂直平分线上，∴BD ＝CD.∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠CFD ＝90°.在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，⎩⎨⎧DE ＝DF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)．∴BE ＝CF.(2)在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，⎩⎨⎧DE ＝DF ，AD ＝AD ，∴Rt △ADE ≌Rt △ADF. ∴AE ＝AF ＝6.∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝(AE ＋BE)＋BC ＋(AF －CF)＝6＋7＋6＝19.31. 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．32. 【答案】解:(1)∵线段EF与CD关于y轴对称，EF两端点的坐标分别为E(-m，a+1)，F(-m，1)，∴C(m，a+1)，D(m，1).∴CD与直线l之间的距离为m-a.∵线段CD与MN关于直线l对称，l与y轴之间的距离为a，∴MN与y轴之间的距离为a-(m-a)=2a-m.∴M(2a-m，a+1)，N(2a-m，1).(2)能.平移方案(不唯一):将△ABO向上平移(a+1)个单位长度后，再向左平移m个单位长度，即可与△MFE重合.。

轴对称培优练习教案初二 - 副本

１(一) 典型例题讲解:培优专题等腰三角形例1 如【例1】如图AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管根．练习11．如图1-2，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ， ∠BAE=30°，则∠DEC 等于（）．A ．7．5°B ．10°C ．12.5°D ．18°2．如图1-4，等腰三角形ABC 中，AB=BC ，∠A=20°．D 是AB 边上的点，且AD=BC ，•连结CD ，则∠BDC=________．２1-4例2 已知如图1-6，在△ABC 中，AB=CD ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC ，E 为垂足，ED•的延长线交CA 的延长线于点F ，判断AD 与AF 相等吗？练习21．如图1-7，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D 是△ABC 内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，判断BD 与BA 的大小关系2．已知：如图1-8，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=•AC ，•延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？例3 已知：如图1-9，△ABD 和△BEC 均为等边三角形，M 、N 分别为AE 和DC•的中点，那么△BMN 是等边三角形吗？说明理由．1-9练习31．已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF•交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．1-10例4已知：如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？1-13练习41．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，•CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？1-14 3．已知：如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，•以BD•为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>”或“＝”或“<”）1-16例51．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、•AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．３４1-18练习5．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、•CA 上的点．若△DEF 是等边三角形，问AD=BE=CF 成立吗？试证明你的结论．作业：1．如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC=_____°．（1）（2）（3）2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，•若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长是_______．3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．4．如图4，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转60°后得到△AB ′C ′，则∠BAC ′等于________．（4）（5）（6）5．如图5，沿AC 方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离D 的距离约为_______米（精确到1米）． 6．等腰△ABC 的底边BC=8cm ，腰长AB=5cm ，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25cm/秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P•运动的时间应为________． 7．如图6，等边△ABC ，B 点在坐标原点，C 点的坐标为（4，0），点A 关于x 轴对称点A•′的坐标为_______．５8．如图7，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=20•°，且AE=•AD ，则∠CDE=________．（7）（8）（9）9．如图8，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于（） A ．44° B ．68° C ．46° D ．22°10．如图9，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，•使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1=5.2m ，L 2=6.2m ，L 3=7.8m ，L 4=10m 的四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（） A ．L 1 B ．L 2 C ．L 3 D ．L 411．如图10，在△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上一点，且BD=BC=AD ．•则∠A 等于（）A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°（10）（11）12．同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，•是一跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，OA=OB ．当跷跷板的一头A 着地时，∠OAC=25°，•则当跷跷板的另一头B 着地时，∠AOA ′等于（）A ．25°B ．50°C ．60°D ．130° 二、能力提升13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm 和15cm 两部分，求它的底边长．14．已知如图△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边上的高，延长BC 到E 使CE=CD ．• 试判断DB 与DE 之间的大小关系，并说明理由．15．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，•给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．三、应用与探究16．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、•CA上的点．（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论．（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．17、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD＝BA．Array 18、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF＝EF．６等腰三角形提高测试题一、选择题1．如图1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）A．3cm B．4cm C．1.5cm D．2cmD CAEDABFEDCBHF（1）(2) (3)2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图2，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；•③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①4．如图3，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD=∠B B．CH=CE=EF C．CH=HD D．AC=AF二、填空题5．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=_________．6．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD•∥BC，•则△ABC的边一定满足________．7．△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，•AE=•2cm，•且DE∥BC，•则AD=________．8．一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30海里后到达小岛，•此时测得灯塔P在北偏西50°方向，则P与小岛７８B 相距________．三、解答题 9．如图，已知AB=AC ，E 、D 分别在AB 、AC 上， BD 与CE 交于点F ，•且∠ABD=•∠ACE ，求证：BF=CF ．10．如图，△ABC 中BA=BC ，点D 是AB 延长线上一点，DF ⊥AC 于F 交BC 于E ，• 求证：△DBE 是等腰三角形．ED CABF11．如图，AF 是△ABC 的角平分线，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，DE ∥AC •交AB 于E ，求证：AE=BE ．EDCABFE D A B F。

轴对称的性质—折叠问题(专项培优训练)2023-2024学年八年级数学上册(人教版)(解析版)

轴对称的性质—折叠问题（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度：较难试卷说明：本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。

一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题2分）（2022秋·天津津南·八年级校考期中）如图，把一张长方形纸片ABCD ，沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B '，AB '与DC 相交于点E ，则下列结论正确的有（）①ABC AB C ≅'；②AE CE =；③ADE CB E ≅'；④B CE EAB ∠'=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由折叠的性质可得ABC AB C ≅',,BAC CAB '∠=∠,AD BC B C =='由平行线的性质和等腰三角形的性质可得 ,ECA EAC AE CE ∠=∠=，由“HL ”可证()Rt ADE Rt CB E HL '≅，可得 ED EB =' ，即可进行判断；【详解】∵矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠，点B 的对应点为 B '∴ABC AB C '≅，故①正确；,BAC CAB '∴∠=∠,AD BC B C =='∵AB CD ∥,BAC ACD ∴∠=∠,ACD CAB ∴∠=∠',ECA EAC ∴∠=∠∴AE CE =，故②正确；,,AE CE AD BC B C ==='在Rt ADE △ 和 Rt CB E '中，AE CE AD CB =⎧⎨=⎩∴()Rt ADE Rt CB E HL '≅故③正确；,DEA B CE '∴∠=∠,DEA EAB ∠≠∠,B CE EAB ∴∠'≠∠故④不正确；∴结论正确的有①②③共3个故选：C【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，证明 AE EC = 是本题的关键.A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】D 【分析】先求出点A ，点B 坐标，由勾股定理可求AB 的长，可判断①；由折叠的性质可得6OB BD ==，OC CD =，90BOC BDC ∠=∠=︒，由勾股定理可求OC 的长，可得点C 坐标，利用待定系数法可求BC 解析式，可判断②；由面积公式可求DH 的长，代入解析式可求点D 坐标，可判断③；分别讨论P 点在C 、B 点的情况，比较AP DP +值的情况，得出当P 点在C 点时，使得AP DP +的值最小可判断④，即可求解．【详解】解：直线3=+64y x −分别与x 、y 轴交于点A 、B ，∴点()8,0A ，点()0,6B ，8OA ∴=，6OB =，10AB ∴=，故①正确；线段OB 沿BC 翻折，点O 落在AB 边上的点D 处，6OB BD ∴==，OC CD =，90BOC BDC ∠=∠=︒，4AD AB BD ∴=−=，222AC AD CD =+，()22816OC OC ∴−=+，3OC ∴=，∴点()3,0C ，设直线BC 解析式为：6y kx =+，036k ∴=+，2k ∴=−，∴直线BC 解析式为：26y x =−+，故②正确；如图，过点D 作DH AC ⊥于H ，3CD OC ==，5CA ∴=，1122ACD S AC DH CD AD =⋅=⋅△， 341255DH ⨯∴==，∴当125y =时，123654x =−+， 245x ∴=，∴点2412,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故③正确；直线BC 上存在一点P ，当P 点在C 点时，()OC DC P =，∴AP DP AC OC OA +=+=，当P 点在B 点时，AP DP AD DB AB +=+=，在Rt OAB 中，AB OA >∴当P 点在C 点时，使得AP DP +的值最小，则点P 的坐标是()3,0，故④正确；综上分析可知，正确的结论为①②③④，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 3．（本题2分）（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，在ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD ，把BDC 沿BD 翻折，得到BDC '，DC '与AB 交于点E ，连接AC '，若2AD AC '==，3BD =，则C 到BD 的距离为（）【答案】B【分析】连接CC '，交BD 于点M ，由翻折知，BDC BDC '≌，BD 垂直平分CC '，证ADC '为等边三角形，利用含30度的直角三角形性质及勾股定理求出1DM =，CM =【详解】解：如图，连接CC '，交BD 于点M ，∵2AD AC ='=，D 是AC 边上的中点，∴2DC AD ==，由翻折知，BDC BDC '≌，BD 垂直平分CC '，∴2DC DC '==，BC BC '=，CM C M '=，∴2AD AC DC ''===，∴ADC '为等边三角形，∴60ADC AC D C AC ∠'=∠'=∠'=︒，∵DC DC ='， ∴160302DCC DC C ∠'=∠'=⨯︒=︒，在Rt CDM △中，30DCC ∠'=︒，2DC =，∴1DM =，CM C M '∴=∴C 到BD故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4．（本题2分）（2020秋·广东广州·八年级校考期中）如图1，长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且30ABE ∠︒=．分别以BE 、CE 为折线，将A 、D 向BC 的方向折过去，如图2，若图2中15AED ∠=︒，则BCE ∠度数为（）A ．30︒B ．32.5︒C ．35︒D ．37.5︒【答案】D 【分析】根据长方形的性质与三角形内角和定理，得到60AEB ∠=︒，再根据折叠的性质，得到A EB AEB '∠=，DEC D EC '∠=∠，由105AED '∠=︒，进而得到37.5DEC ∠=︒，最后根据平行线的性质，即可求出BCE ∠度数．【详解】解：四边形ABCD 是长方形，AD BC ∴∥，90A ∠=︒，30ABE ∠︒=，18060AEB A ABE ∴∠=︒−∠−∠=︒，由折叠的性质可知，60A EB AEB ∠=∠='︒，DEC D EC '∠=∠，15A ED ''∠=︒，606015105AED AEB A EB A ED ''''∴∠=∠+∠−∠=︒+︒−︒=︒，18075DED AED ''∴∠=︒−∠=︒，137.52DEC D EC DED ''∴∠=∠=∠=︒，AD BC ∥，37.5BCE DEC ∴∠=∠=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．5．（本题2分）（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在等腰ABC 中，AB AC =，50BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则CEF ∠的度数是（）A ．55︒B ．50︒C ．45︒D ．40︒【答案】B 【分析】连接OB ，OC ，先求出25BAO ∠=︒，进而求出40OBC ∠=︒，求出40COE OCB ∠=∠=︒，由三角形内角和定理和12CEF OEF CEO ∠=∠=∠即可求得答案．【详解】解：如图，连接OB ，50BAC ∠=︒，AO 为BAC ∠的平分线，11502522BAO BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒．又AB AC =，()1180652ABC ACB BAC ∴∠=∠=︒−∠=︒．DO 是AB 的垂直平分线，OA OB ∴=，25ABO BAO ∴∠=∠=︒，652540OBC ABC ABO ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒．AO 为BAC ∠的平分线，AB AC =，∴直线AO 垂直平分BC ，OB OC ∴=，40OCB OBC ∴∠=∠=︒，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，OE CE ∴=，12CEF OEF CEO ∠=∠=∠，40COE OCB ∴∠=∠=︒；在OCE △中，1801804040100CEO COE OCB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，1502CEF CEO ∴∠=∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关知识来分析、判断．．将AFG 沿AG A ．1B ．32 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得AD AB =，设BF CF a ==，则2CD a =，24DG CD CG a =−=−，由题意知，90ADE ABF ∠=∠=︒，由折叠的性质可得HG EF ⊥，AE AF =，GE GF =，证明()Rt Rt HL ADE ABF ≌，则DE BF a ==，2434GF GE a a a ==+−=−，由勾股定理得222GF CF DG −=，即()222344a a −−=，解得3a =，0a =（舍去），则3CF =，5EG =，9EC =，由勾股定理得EF ，根据1122CEF S EG CF EF HG =⨯=⨯，即115322HG ⨯⨯=⨯，计算求解即可．【详解】解：由正方形的性质可得AD AB =，设BF CF a ==，则2CD a =，24DG CD CG a =−=−，由题意知，90ADE ABF ∠=∠=︒，由折叠的性质可得HG EF ⊥，AE AF =，GE GF =，∵AE AF =，AD AB =，∴()Rt Rt HL ADE ABF ≌，∴DE BF a ==，2434GF GE a a a ==+−=−，由勾股定理得222GF CF CG −=，即()222344a a −−=，解得3a =，0a =（舍去），∴3CF =，5EG =，9EC =，由勾股定理得EF ∵1122GEF S EG CF EF HG =⨯=⨯，∴115322HG ⨯⨯=⨯，解得HG =，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．A ．65︒B ．62.5︒C ．55︒D ．52.5︒【答案】B 【分析】根据折叠得出90OB C B ''∠=∠=︒，求出55OB G '∠=︒，根据平行线的性质得出18055125B OB '∠=︒−︒=︒．根据折叠得出162.52BOG B OB '∠=∠=︒．【详解】解：根据折叠可知，90OB C B ''∠=∠=︒，∵35GB C ''∠=︒，∴55OB G '∠=︒，∵AB CD ∥，∴18055125B OB '∠=︒−︒=︒．由折叠可知，162.52BOG B OB '∠=∠=︒，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补． 8．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）如图，现有一块三角板ABC ，其中90ABC ︒∠=，60CAB ︒∠=，8AB =，将该三角板沿BC 边翻转得到A BC '△，再将A BC '△沿A C '边翻转得到A B C ''△，则A 与B '两点之间的距离为（）【答案】C 【分析】连接AB '，作B D AA ''⊥，交AA '延长线于点D ，在Rt A B D ''中求得B D '、A D '的长度，在Rt AB D '中，即可求得AB '．【详解】解：连接AB '，作B D AA ''⊥，交AA '延长线于点D ，如下图：由折叠的性质可得：8AB A B A B '''===，60CAB CA B CA B '''∠=∠=∠=︒∴60B A D ''∠=︒∵B D AA ''⊥，∴90D Ð=°，∴30A B D ''∠=︒， ∴142A D A B '''==，∴B D '==，20AD =，∴AB '=故选：C【点睛】此题考查了勾股定理，折叠的性质，含30︒直角三角形的性质，解题的关键是熟练利用相关性质进行求解．A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】D 【分析】作FM BC ⊥于M （见详解图），①根据翻折变换的性质和正方形的性质可证ABG AFG △△≌；②设BG GF x ==，在Rt EGC △中，根据勾股定理可证3BG GC ==；③通过tan 2AB AGB BG ∠==，tan 2FM FCM CM ∠==，证明AGB FCM ∠=∠，由平行线的判定定理可得AG CF ∥；④由②得到3GC =，由③得到125FM =，根据12FCG S GC FM =△即可计算面积．【详解】解：作FM BC ⊥于M ，四边形ABCD 是正方形，∴6AB BC CD DA ====，90B D BCD ∠=∠=∠=︒，AFE △是由ADE V 翻折，∴AD AF AB ==，90ADE AFE AFG ∠=∠=∠=︒，在Rt AGF 和Rt AGB 中，AG AG AF AB =⎧⎨=⎩，∴ABG AFG △△≌．故①正确．∴BG GF =，设BG GF x ==，在Rt EGC △中，90ECG ∠=︒，2DE =，6CD =，4EC =，2EG x =+，6GC x =−，∴()()222246x x +=+−，∴3x =，∴3BG GC ==,故②正确．FM BC ⊥，CD BC ⊥∴FM EC ∥ ∴GF FM GM GE ECGC ==，3GF =，5GE =，4EC =，3GC =∴125FM =，95GM =，65CM GC GM =−=， ∴6tan 23AGB ∠==， tan 2FM FCM CM ∠==，∴AGB FCM ∠=∠，∴AG CF ∥，故③正确． ∴112183255FCG S ==△，故④正确．综上，选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换、勾股定理的应用等知识，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．为对称轴将CDE 折叠得到CHE ，使得点 A ．90CEF ∠=︒ B ．CE 【答案】D 【分析】A.由折叠的性质可以知道EF 和CE 分别是AEG ∠和DEG ∠的平分线，同时AED ∠是平角，所以可知90CEF ∠=︒，故选项A 正确；B.由题意和折叠的性质可以知道EF AG ⊥、EF CE ⊥，就可以得到CE AG ∥，选项B 正确；C 和D.过点C 作C M A B ⊥于点M ，120CBA ∠=︒，可得2BM =，CM =BF a =，可以得到4FG AF a ==−，2FM BF BM a =+=+．根据折叠的性质可得4CG CD ==，根据勾股定理，求得2.4a =，即可得到 1.6FG =， 5.6CF =，所以5.6745CF AB ==．故选项C 正确，选项D 错误．【详解】解：A.由折叠可知EF 和CE 分别是AEG ∠和DEG ∠的平分线．又180AED ∠=︒，111809022CEF CEG FEG AED ∴∠=∠+∠=∠=⨯︒=︒，故选项A 正确．B.又点A 与点G 关于EF 对称，∴EF AG ⊥，又EF CE ⊥，∴CE AG ∥，故选项B 正确．C 和D.如答图，过点C 作C M A B ⊥于点M ．120CBA ∠=︒，∴60CBM ∠=︒，4BC =，∴易知2BM =，CM =设BF a =，∴4FG AF a ==−，2FM BF BM a =+=+，点E 是AD 的中点，折叠后点H 落到EG 上，∴点G 与点H 重合，4CG CD ==．易知点C G F ,,共线，∴448CF FG CG a a =+=−+=−．222FM CM CF +=，()(()22228a a ∴+=−+，解得 2.4a =． ∴4 2.4 1.6FG =−=，88 2.4 5.6CF a =−=−=，5.6745CF AB ∴==，故选项C 正确，选项D 错误．综上，故选：D ．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分. 11．（本题2分）（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A 落在长边CD 上的点1A 处，并得到折痕DE ，小宇测得长边6CD =，则四边形1A EBC 的周长为．【答案】12【分析】根据折叠的性质，得到DA DA '=，EA EA '=，结合平行四边形的性质，得到DA DA BC '==，代入计算即可．【详解】根据折叠的性质，得到DA DA '=，EA EA '=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DA DA BC '==，6AB CD ==，∴四边形1A EBC 的周长为1111212BC BE A E AC A D AC AE BE AB CD CD +++=+++=+==．故答案为：12．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．12．（本题2分）（2023春·上海浦东新·八年级统考期末）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，28BC AC ==，点M 在边BC 上，过点M 作MN BC ⊥，垂足为点M ，交边AB 于点N ，将ABC 沿直线MN 翻折，点A 、C 分别与点D 、E 对应，如果四边形ADBE 是平行四边形，那么CM 的长是．【答案】3【分析】当点E 在线段BC 上时，连接DE 交AB 于点O ，过点O 作OH BC ⊥于点H ，则90BHO ∠=︒，求出AB =30ABC ∠=︒，由轴对称可得4DE AC ==，得OB =2OD OE ==，OH =，求出6CE =，由折叠可知，3CM =；假设点E 在线段CB 的延长线上，得到)4AN AF x ==−，与)2AN x =−矛盾，故点E 不可能在线段CB 的延长线上，即可确定CM 的长．【详解】解：当点E 在线段BC 上时，如图，连接DE 交AB 于点O ，过点O 作OH BC ⊥于点H ，则90BHO ∠=︒，∵90BAC ∠=︒，28BC AC ==，∴AB ==30ABC ∠=︒，∵将ABC 沿直线MN 翻折，点A 、C 分别与点D 、E 对应，∴4DE AC ==，∵四边形ADBE 是平行四边形，∴1122OB AB ==⨯=122OD OE DE ===，∴12OH OB ==∴3BH ==，∴1EH ==，∴312BE BH EH =−=−=，∴826CE BC BE =−=−=，由折叠可知，132CM EM CE ===，假设点E 在线段CB 的延长线上，延长MN 交AD 于点F ，则AD FM ⊥，12AF DF AD ==，∵90BAC ∠=︒，28BC AC ==，∴AB ==30ABC ∠=︒，设CM EM x ==，则8BM x =−，∴()828BE x x x AD=−−=−=， ∴142AF DF AD x ===−，在Rt BMN △中，30ABC ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴1MN BN 2=，∴222BM MN BN +=,即22212BM BN BN ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)8BN x ==−，))82AN BN x x ==−==−，在Rt ANF △中，142AF DF AD x ===−，30NAF ABC ∠=∠=︒，90AFN ∠=︒， ∴12FN AN =，∴222AF FN AN +=,即22212AF AN AN ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，)4AN AF x ==−，与)2AN x =−矛盾，故点E 不可能在线段CB 的延长线上，综上可知，3CM =，故答案为：3【点睛】此题考查了勾股定理、平行四边形的性质、含30︒角的直角三角形的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 13．（本题2分）（2023春·北京丰台·八年级统考期末）如图，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，将ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B '重合，AE 为折痕，则BE 的长等于．【答案】1.5【分析】根据折叠得到BE EB '=，AB AB 3'==，设BE EB x '==，则4EC x =−，根据勾股定理求得AC 的值，再由勾股定理可列方程求解即可．【详解】解：根据折叠可得BE EB '=，AB AB 3'==，设BE EB x '==，则4EC x =−，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =5AC ∴=532B C AC AB ''∴=−=−=在Rt B EC '△中，由勾股定理得，()222x 24x +=− 解得 1.5x =故答案为：1.5【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，能熟练运用勾股定理列方程解决问题．14．（本题2分）（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，在ABC 和DCB △中，90A D ∠=∠=︒，AC ，BD 相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若40BED '∠=︒，则BCD '∠的大小为．【答案】15︒/15度【分析】根据全等三角形的判定和性质得出BE CE =，再由等边对等角确定EBC ECB ∠∠=，利用折叠的性质及三角形内角和定理求解即可．【详解】解：在AEB 和DEC 中，90A D AE DE AEB DEC ∠∠∠∠==︒⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴(ASA)AEB DEC ≌，∴BE CE =，∴EBC ECB ∠∠=，∵40BED '∠=︒，CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，∴70D EC DEC ︒'∠=∠=，∴180110BEC DEC ∠=︒−∠=︒，790200DCE ︒−︒=︒∠=，∴180110352EBC ECB ︒−∠︒=∠==︒，20DCE D CE ︒'∠=∠=，∴15BCD ECB D CE ''∠=∠−∠=︒，故答案为：15︒．【点睛】题目主要考查折叠的性质及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及等腰三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）折纸是一项有趣的活动，如图所示，一张长方形纸片()90ABCD A B C ∠=∠=∠=︒，先将纸片沿EF 折叠，再将折叠后的纸片沿GH 折叠，使得GD '与A B ''重合，展开纸片后若62BFE ∠=︒，则DGH ∠= ︒．【答案】17【分析】由平行线的性质得到62GEF BFE ∠=∠=︒，由平角定义得到180118AEF GEF ∠=︒−∠=︒，由轴对称的性质得到：90A A '∠=∠=︒，118A EF AEF '∠=∠=︒，DGH D GH '∠=∠，求出A EG '∠，由直角三角形的性质求出'∠A GE ，由对顶角的性质得到DGD A GE ''∠=∠，即可求出12DGH DGD '∠=．【详解】解：四边形ABCD 是矩形， AD BC ∴∥，90A ∠=︒，62GEF BFE ∴∠=∠=︒，180118AEF GEF ∴∠=︒−∠=︒，由题意得：90A A '∠=∠=︒，118A EF AEF '∠=∠=︒，DGH D GH '∠=∠，1186256A EG A EF GEF ''∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，9034A GE A EG ''∴∠=︒−∠=︒，34DGD A GE ''∴∠=∠=︒，1172DGH DGD '∴∠==︒．故答案为：17．【点睛】本题考查轴对称的性质，平行线的性质，余角的计算，对顶角的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质．16．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC 中，AB AC =，30C ∠=︒，将纸片沿DE 折叠，使点B 落到点A 处，若6BC =，则DE = ．【答案】1【分析】利用等腰三角形的性质得到30B C ∠=∠=︒，则120BAC ∠=︒，再由折叠性质得BD AD =，30BAD B ∠=∠=︒，90AED ∠=︒，进而得到90DAC ∠=︒，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵AB AC =，30C ∠=︒∴30B C ∠=∠=︒，则3018030120BAC ∠=−︒−︒=︒，由折叠性质得BD AD =，30BAD B ∠=∠=︒，90AED ∠=︒，∴1309020DAC ︒−︒=∠=︒，12DE AD =，∴2CD AD =，又6BC =，∴236BC BD CD AD AD AD =+=+==，∴2AD =， ∴112DE AD ==，故答案为：1．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、折叠性质、三角形的内角和定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠性质和直角三角形的性质是解答的关键．上一动点，把CDE 沿直线，若D BC '为等边三角形，【答案】1或4/4或1【分析】依据折叠的性质、菱形的性质以及等边三角形的性质，分两种情况得到DE 的长即可．【详解】解：由折叠及菱形的性质可得CD CD CB '==，故D BC '是以BD '底的等腰三角形，故当60D BC '∠=︒，D BC '为等边三角形，分以下两种情况讨论，1）如图（1），当点D ¢点A 重合时，60D BC '∠=︒，此时点E 为AD 的中点，故1DE =，2）如图（2），当点D ¢与点A 关于直线BC 对称时，D ¢，C ，D 三点共线，EC DC ⊥，故24DE DC ==，综上所述，1DE =或4，故答案为：1或4．【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠问题及等边三角形的性质等知识的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．如图，ABC 中，【答案】108【分析】连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出BAO ∠，根据等腰三角形两底角相等求出ABC ∠，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA OB =，根据等边对等角可得ABO BAO ∠=∠，再求出OBC ∠，证明 OB OC =，再根据等边对等角求出OCB OBC ∠=∠，根据翻折的性质可得OE CE =，然后根据等边对等角求出COE ∠，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．【详解】解：如图，连接OB 、OC ，54BAC ∠=︒Q ，AO 为BAC ∠的平分线，11542722BAO BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒，又AB AC =，11(180)(18054)6322ABC BAC ∴∠=︒−∠=︒−︒=︒， DO 是AB 的垂直平分线，OA OB ∴=，27ABO BAO ∴∠=∠=︒，632736OBC ABC ABO ∴∠=∠−∠=︒−︒=︒， AO 为BAC ∠的平分线，AB AC =，∴点O 在BC 的垂直平分线上，∴OB OC =，36OCB OBC ∴∠=∠=︒，将C ∠沿(EF E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，OE CE ∴=，36COE OCB ∴∠=∠=︒，在OCE △中，1801803636108OEC COE OCB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，故答案为：108．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．19．（本题2分）（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，3AB =，点D 为AC 的中点，点E 是BC 边上一个动点，将CDE ∆沿着DE 翻折，使得点C 落在点F 处，当FE AC ⊥时，EF 的长为．【答案】32或92【分析】根据题意，分两种情况：①当E 在D 的右侧时；②当E 在D 的左侧时，由翻折性质，结合含30︒的直角三角形边的关系列方程求解即可得到答案．【详解】解：在ABC 中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，3AB =，点D 为AC 的中点，AC ∴=12CD AB =，当E 在D 的右侧时，延长FE 交AC 于H ，如图所示：FE AC ⊥，90EHC ∴∠=︒，由翻折的性质知，CD DF ==，30C DFH∠=∠=︒，设EF x =，则CE EF x ==，1122EH EC x ==， 32FH x ∴=，在直角三角形DFH 中，30DFH ∠=︒，则FH =，∴32x =，32x ∴=；当E 在D 的左侧时，如图所示：由翻折性质知，CD DF ==，30C EFD ∠=∠=︒，CE EF x ==，EF AC ⊥，90FHD ∴∠=︒，1122EH EC x ∴==，1122FH x x x =−=，在直角三角形FHD 中，HF =，∴12x =，解得92x =，故答案为：32或92．【点睛】本题考查翻折性质，充分利用翻折性质及含30︒的直角三角形边的关系分情况讨论是解决问题的关键． 20．（本题2分）（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，连接DE ，将BDE 沿DE 翻折得到GDE ，连接CG ．若CG BD ∥，则CEG ∠= ．【答案】60︒/60度【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得出CH DH HB ==,1=2CH DB ，由折叠的性质得DB DG =，∠=∠BDE GDE ，利用辅助线构造矩形并由其性质得出CH GK =，再由等量代换得出12GK DG =，最后由特殊直角三角形的性质得出30GDK ∠=︒，利用折叠的性质及正方形的性质即可求解．【详解】解：如图，过点C 作直线CH DB ⊥于点H ，过点G 作直线GK DB ⊥于点K ，正方形ABCD 中，DC CB =，90452CDB ︒∠==︒，CH DH HB ∴==,1=2CH DB ． GDE △由BDE 沿DE 翻折得到，GDE BDE ∴≌△△， DB DG ∴=，∠=∠BDE GDE ，CH DB ⊥，GK DB ⊥，CG BD ∥，CH GK ∴∥,90CHK ∠=︒，∴四边形CHKG 是矩形．CH GK ∴=， ∴11=22GK CH DB DG ==，90GKD ∠=︒，∴30GDK ∠=︒．11=30=1522BDE GDK ∴∠=∠⨯︒︒．∵正方形ABCD ，∴45DBE ∠=︒，∴1804515120BED ∠=︒−︒−︒=︒，60CED ∠=︒，∵BDE 沿DE 翻折得到GDE ，∴120BED DEG ∠=∠=︒，∴12060CEG DEC ∠=︒−∠=︒，故答案为：60︒．【点睛】本题考查正方形—翻折问题．具体考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质，特殊直角三角形的性质，矩形的判定和性质等的综合运用能力．灵活添加辅助线是解本题的关键．三、解答题：本大题共7小题，21-25题每小题8分，26-27题每小题10分，共60分．若将DAB 沿直线 (1)求点A B 、的坐标．(2)求三角形ACE 的面积．(3)求直线CD 的解析式．【答案】(1)()3,0A ，()0,4B(2)6(3)364y x =−【分析】（1）当0x =，4043y =−⨯+，解得4y =，则()0,4B ，当0y =，4043x =−+，解得3x =，则()3,0A ；（2）由折叠的性质可知AB AC =，OBA ECA ∠=∠，证明()AAS ABO ACE ≌，根据12ACE ABO S S OA OB ==⨯，计算求解即可；（3）由勾股定理得，5AB ，则8OC OA AC =+=，()80C ，，待定系数法求直线CD 的解析式即可．【详解】（1）解：当0x =，4043y =−⨯+，解得4y =，则()0,4B ，当0y =，4043x =−+，解得3x =，则()3,0A ，∴()3,0A ，()0,4B ；（2）解：由折叠的性质可知AB AC =，OBA ECA ∠=∠，∵OBA ECA ∠=∠，OAB EAC ∠=∠，AB AC =，∴()AAS ABO ACE ≌， ∴1134622ACE ABO S S OA OB ==⨯=⨯⨯=，∴三角形ACE 的面积为6；（3）解：由勾股定理得，5AB ==，由（2）可知5AC AB ==，8OC OA AC =+=，∴()80C ，，设直线CD 的解析式为y kx b =+，将()0,6D −，()80C ，，代入y kx b =+得，680b k b =−⎧⎨+=⎩，解得346k b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴直线CD 的解析式为364y x =−．【点睛】本题考查了一次函数的解析式，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象坐标轴的交点．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22．（本题8分）（2023春·吉林长春·八年级统考期末）将边长为2的正方形纸片ABCD 按如下操作：【操作一】如图①，将正方形纸片ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点D 与点C 重合，再将正方形纸片ABCD 展开，得到折痕EF ．则点B 、点F 之间的距离为_____________．【操作二】如图②，G 为正方形ABCD 边BC 上一点，连接AG ，将图①的正方形纸片沿AG 翻折，使点B 的对称点H 落在折痕EF 上．连接BH ．（1）求证：ABH 是等边三角形．（2）求四边形CFGH 的周长．（1）证明见解析；（2）5【分析】操作一：由题知，4BC =，122CF DF CD ===，利用勾股定理可得BF =操作二：（1）由翻折得EF 是AB 的垂直平分线，故BH AH =，又AB AH =，即AB BH AH ==，即得ABH 是等边三角形；（2）由ABH 是等边三角形，可得2AH AB ==，1AE =．HE ==可得2FH EF HE =−=即可得出四边形ABGH 的周长．【详解】解：操作一：如图，连接BF ，由题知2BC CD ==，由翻折，知112CF DF CD ===，由勾股定理，得BF操作二：（1）由翻折知EF 是AB 的垂直平分线，BH AH ∴=，又AB AH =，AB BH AH ∴==，ABH ∴是等边三角形；（2）∵ABH 是等边三角形．∴2AH AB ==，1AE =．∴HE =∴2FH EF HE =−=∴四边形CFHG 的周长CF HF HG CG CF HF CB +++=++122=+5=【点睛】本题主要考查四边形的综合题，涉及勾股定理，等边三角形的判定和性质，正方形的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质与勾股定理的应用是解题的关键． (1)试判断重叠部分BED 的形状，并证明你的结论；(2)若BE 平分ABD ∠，12BC =，求BED 的面积．【答案】(1)BED 是等腰三角形，证明见解析(2)BED 的面积【分析】（1）根据折叠性质得出EBD DBC ∠=∠，进而得出EDB EBD ∠=∠，可得EB ED =，根据等角对等边即可得证；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出DE ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）BED 是等腰三角形，证明：四边形ABCD 是长方形，AD BC ∴∥，EDB DBC ∴∠=∠，由折叠可知：EBD DBC ∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，EB ED ∴=，BED ∴是等腰三角形；（2）四边形ABCD 是长方形，AB DC ∴=，12AD BC ==，90A ABC C ∠=∠=∠=︒， BE 平分ABD ∠，ABE EBD ∴∠=∠，30ABE EBD DBC ∴∠=∠=∠=︒，2,BC CD BC ∴==，DC BC ∴==AB ∴=EB ED =，12AE AD DE DE ∴=−=−，在Rt ABE △中，根据勾股定理，得222AE AB BE +=，222(12)DE DE ∴−+=，解得8DE =，BED ∴的面积11822DE AB =⨯⋅=⨯⨯=【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题的关键． 24．（本题8分）（2023春·山西阳泉·八年级统考期末）综合与实践问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片ABCD 中，E 为CD 边上任意一点，将ADE V 沿AE 折叠，点D 的对应点为D ¢．分析探究：（1）如图1，当点D ¢恰好落在AB 边上时，四边形D BCE '的形状为．问题解决：（2）如图2，当E ，F 为CD 边的三等分点时，连接FD '并延长，交AB 边于点G ．试判断线段AG 与BG 的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当60ABC ∠=︒，45DAE =︒∠时，连接DD '并延长，交BC 边于点H ．若ABCD Y 的面积为24，4=AD ，请直接写出线段D H '的长．【答案】（1）平行四边形；（2）2BG AG =，理由见解析；（3）D H '=【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得ABCD ，AD DE AD '==，可得四边形ADED '是菱形，可知DE AD ='，继而可知BD CE '=，即可求解；（2）利用折叠的性质可得AED AED '∠=∠，ED ED ¢=，结合三等分点可知ED ED EF '==，进而可得ED F EFD ''∠=∠，利用三角形外角性质可得AED ED F ''∠=∠，进而可知AE FG ∥，可得四边形AEFG 是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得AG 与BG 的数量关系；（3）由折叠可知：45DAE D AE '∠=∠=︒，AD AD ='，易知DAD '△为等腰直角三角形，延长AD '交BC 于M ，可知45MD H AD D ''∠=∠=︒，由平行四边形的性质可得，45BHM ADH MD H '∠=∠=︒=∠，AM AD ⊥，进而可知MD MH '=由ABCD Y 的面积为24，4=AD ，得24AD AM ⋅=，求得6AM =，可得2MD AM AD ''=−=，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，AB CD =则D AE AED '∠=∠由折叠可知：AD AD ='，DAE D AE '∠=∠，∴DAE AED ∠=∠，∴AD DE AD '==，∴四边形ADED '是平行四边形，又∵AD AD ='，∴四边形ADED '是菱形，∴DE AD ='，∴BD CE '=，∴四边形D BCE '是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）2BG AG =，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，AB CD =，又∵E ，F 为CD 边的三等分点， ∴13DE EF CF DC ===，由折叠可知：ED ED ¢=，AED AED '∠=∠，则ED ED EF '==，∴ED F EFD ''∠=∠，由三角形外角可知：DED ED F EFD AED AED ''''∠=∠+∠=∠+∠，∴AED ED F ''∠=∠，∴AE FG ∥，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴EF AG =， ∵13EF DC =，AB CD =， ∴13AG AB =，则23BG AB =，∴2BG AG =；（3）由折叠可知：45DAE D AE '∠=∠=︒，AD AD ='，∴90DAD '∠=︒，则DAD '△为等腰直角三角形，∴45ADH AD D '∠=∠=︒，延长AD '交BC 于M ，则45MD H AD D ''∠=∠=︒∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴45DHM ADH MD H ∠=∠=∠'︒=，90AMH DAD '∠=∠=︒，即AM AD ⊥，∴MD MH '=∵ABCD Y 的面积为24，4=AD ，即：24AD AM ⋅=，∴6AM =，则2MD AM AD AM AD ''=−=−=，∴D H '【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．轴的负半轴上，若将DAB 沿直线(1)求线段AB 的长(2)求直线CD 的函数表达式；(3)点P 在直线CD 上，使得2PAC OAB SS =，求点【答案】(1)5AB =(2)364y x =− (3)7224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或824,55⎛⎫− ⎪⎝⎭【分析】（1）先根据点,A B 的坐标可得3,4OA OB ==，再利用勾股定理可得5AB =；（2）设点D 的坐标为()0,D m ，则4,BD m OD m =−=−，先根据折叠的性质可得4CD BD m ==−，再在Rt COD 中，利用勾股定理可得6m =−，从而可得()0,6D −，然后利用待定系数法即可得；（3）设点P 的坐标为3,64P n n ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据2PAC OAB S S =建立方程，解方程可得n 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）解：()3,0A ，()0,4B ， 3,4OA OB ∴==， x 轴y ⊥轴，5AB ∴=．（2）解：设点D 的坐标为()0,D m ，则4,BD m OD m =−=−，由折叠的性质得：4CD BD m ==−，5AC AB ==，8OC OA AC ∴=+=，∴点C 的坐标为()8,0，在Rt COD 中，222OD OC CD +=，即()()22284m m −+=−，解得：6m =−，()0,6D ∴−，设直线CD 的函数表达式为y kx b =+，将点()()8,0,0,6C D −代入得：806k b b +=⎧⎨=−⎩，解得346k b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，则直线CD 的函数表达式为364y x =−．（3）解：由题意，设点P 的坐标为3,64P n n ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 3,4OA OB ==，162OAB S OA OB ∴=⋅=，2PAC OAB S S =，61562342n −∴⨯=⨯，解得725n =或85n =，当725n =时，732364424655n −=−=⨯，即此时7224,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当85n =时，83246534564n =−=−−⨯，即此时824,55P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上，点P 的坐标为7224,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或824,55⎛⎫− ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质、求一次函数的解析式、一次函数的几何应用，熟练掌握折叠的性质和待定系数法是解题关键． 26．（本题10分）（2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图1，四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，8AD =，6BC =，点M 从点D 出发，以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，同时，点N 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向点C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N 作NP AD ⊥于点P ，连接AC 交NP 于点Q ，连接MQ ．设运动时间为t 秒．(1)AM =______，AP =______．（用含t 的代数式表示）(2)当四边形ANCP 为平行四边形时，求t 的值；(3)如图2，将AQM 沿AD 翻折，得AKM ，是否存在某时刻t ，使四边形AQMK 为为菱形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)82t −，2t +(2)2t =(3)存在，1t =【分析】（1）由2DM t =，根据AM AD DM =−即可求出82AM t =−；先证明四边形CNPD 为矩形，得出6DP CN t ==−，则2AP AD DP t =−=+；（2）根据四边形ANCP 为平行四边形时，可得68(6)t t −=−−，解方程即可；（3）由NP AD ⊥，QP PK =，可得当PM PA =时有四边形AQMK 为菱形，列出方程628()6t t t −−=−−，求解即可．【详解】（1）解：如图1．2DM t =，82AM AD DM t ∴=−=−．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，NP AD ⊥于点P ，∴四边形CNPD 为矩形，6DP CN BC BN t ∴==−=−，8(6)2AP AD DP t t ∴=−=−−=+；故答案为：82t −，2t +．（2）四边形ANCP 为平行四边形时，CN AP =，68(6)t t ∴−=−−，解得：2t =；（3）存在时刻1t =，使四边形AQMK 为菱形．理由如下：NP AD ⊥，QP PK =，∴当PM PA =时有四边形AQMK 为菱形，628(6)t t t ∴−−=−−，解得1t =．【点睛】本题主要考查了四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．(1)BQ = ______ (含t 的代数式表示)；(2)如图2，连接AD ，PF ，PQ ，当AD PQ ∥时，求PQF △的面积；(3)如图3，连接PF ，PQ ，D 点关于直线PF 的对称点为D '点，若'D 落在PQB △的内部则t 的取值范围为______.【答案】(1)4(02)t t −<≤(2)PQFS = (3)4453t <<【分析】（1）根据几何动点的速度和时间可得结论；（2）根据四边形BPDQ 是平行四边形，证明四边形APQD 是平行四边形，可得1t =，再证明EFD ≌△CFQ ，最后利用三角形的面积公式可解答；（3）先证明DF FQ =，再计算两个边界点时点t 的值；①如图3，点D '与Q 重合，②如图4，D '在斜边AB 上，由此可得结论.【详解】（1）解：在Rt ABC △中，90830C AB A ∠∠=︒==︒，，，142BC AB AC ∴===，由题意，CQ t =，()402BQ t t ∴=−<≤. 故答案为：()402t t −<≤；（2）如图2中，四边形BPDQ 是平行四边形，∴DQ AB ∥，BP DQ BQ PD ==，，。

《易错题》初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典练习(专题培优)

一、选择题1．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若72BDE ︒∠=，则CDE ∠的度数是（）A ．84︒B ．82︒C ．81︒D ．78︒A解析：A【分析】根据OC=CD=DE ，可得∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC 的度数，进而求出∠CDE 的度数．【详解】解：∵OC=CD=DE ，∴∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，∴∠ODC=24°，∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°，∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．2．下列命题中，是假命题的是（）A ．能够完全重合的两个图形全等B ．两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．三个角都相等的三角形是等边三角形D ．等腰三角形的两底角相等B解析：B【分析】根据全等三角形的定义去判断A ，全等三角形性质去判断B ，等边三角形和等腰三角形性质判断C 、D ，依次分析解答即可．【详解】解：A.由全等三角形的定义得到：能够完全重合的两个图形全等，此命题是真命题；B.两边和一角对应相等且该角是两边的夹角的两个三角形全等，此命题是假命题；C. 三个角都相等的三角形是等边三角形，此命题是真命题；D. 等腰三角形的两底角相等，此命题是真命题；故选B ．【点睛】此题主要考查了命题的真假，关键是掌握相关定义和性质．注意SAS 时，一角必须是两边的夹角．3．如图，已知ABC ∆中，,AB AC =点,D E 是射线AB 上的两个动点(点D 在点E 的右侧)．且,CE DE =连结CD ，若ACE x ∠=，BCD y ∠=．则y 关于x 的函数关系式是（）A ．()900180y x x =-<<︒B ．()101802y x x =<<︒C ．()39001802y x x =-<<︒ D ．()201803y x x =<<︒B 解析：B【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC=x+∠BCE 和∠D=∠DCE=y+∠BCE ，由三角形的外角性质得出∠ABC=∠D+∠BCD ，即x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ，得出y 关于x 的函数关系式．【详解】解：∵AB AC =，ACE x ∠=，∴ ∠ACB=∠ABC=x+∠BCE ，∵CE DE =，BCD y ∠=∴∠D=∠DCE=y+∠BCE ，∵ ∠ABC 是△BCD 的一个外角，∴∠ABC=∠D+∠BCD ，即 x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ， ∴()101802y x x =<<︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的外角等于它不相邻的两个内角和．熟练掌握并运用各性质是解题的关键．4．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（）A ．(2020,13)-B ．(2020,13)---C ．(2019,13)-+D ．(2019,13)-- D 解析：D【分析】先求出点C 坐标，第一次变换，根据轴对称判断出点C 变换后在x 轴下方然后求出点C 纵坐标，再根据平移的距离求出点C 变换后的横坐标，最后写出第一次变换后点C 坐标，同理可以求出第二次变换后点C 坐标，以此类推可求出第n 次变化后点C 坐标．【详解】∵△ABC 是等边三角形AB=3-1=2∴点C 到x 轴的距离为1+3213=+2 ∴C(2，13+由题意可得:第1次变换后点C 的坐标变为(2-1，31)，即(1，13-，第2次变换后点C 的坐标变为(2-231)，即(0，13+第3次变换后点C 的坐标变为(2-3，31)，即(-1，13--第n 次变换后点C 的坐标变为(2-n ，31)(n 为奇数)或(2-n ，13+为偶数)， ∴连续经过2021次变换后，等边ABC 的顶点C 的坐标为(-2019，13-，故选：D ．【点睛】本题考查了利用轴对称变换（即翻折）和平移的特点求解点的坐标，在求解过程中找到规律是关键．5．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（）A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒B 解析：B【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B 的度数，即可得到答案．【详解】当∠A 是顶角时，则∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-80°)÷2=50°，当∠B 是顶角时，则∠A 是底角，∴∠B=180°-80°-80°=20°，当∠C 是顶角时，则∠A 和∠B 都是底角，∴∠B=∠A=80°，综上所述：∠B 的度数为：50°或20°或80°．观察各选项可知∠B 不可能是60°．故选B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．6．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．8C 解析：C【分析】根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是斜边AB 上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC ，在Rt △ABC 中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB ，再用线段的差求AD ．【详解】解：Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，CD 是斜边AB 上的高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=90°-∠B=30°，∴BC=2BD ＝4，同理，AB=2BC=8，AD=AB-BD=8-2=6，故选：C ．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．7．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°A解析：A【分析】根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．【详解】又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠A=∠ABD ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，∵15DBC ∠=︒，∴∠ABC=x+15°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=x+15°，∴2(x+15°)+x=180°，∴x=50°，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．8．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，点D 是AB 中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于点E ，给出下列结论：①∠BAE ＝∠ACD ，②△ADC ≌△BEA ，③AC ＝AF ，④∠BDE ＝∠EDC ，⑤BC ⊥DE ．上述结论正确的序号是（）A ．①②⑤B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③A解析：A【分析】由90BAE FAC ∠+∠=︒，90ACD FAC ，得出BAE ACD ∠=∠，①正确；由ASA 证明ADC BEA ∆≅∆，②正确；由AC AB AF ，得出③不正确；由全等三角形的性质得出AD BE =，由AD BD =，得出BE BD =，45BDE EDC ，④不正确；由等腰直角三角形的三线合一性质得出⑤正确；即可得出结论．【详解】90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，ABC ∴是等腰直角三角形，90BAE FAC ∠+∠=︒，AB AC ∴=，45CBA ACB ，AF CD ⊥，90AHC ∴∠=︒，90ACD FAC ，BAE ACD ∴∠=∠，①正确；//BE AC ，180ABE BAC ，90ABE ∴∠=︒，在ADC ∆和BEA ∆中，90CADABE ACAB ACD BAE()ADCBEA ASA ，②正确； AC AB AF ，∴③不正确； ADC BEA ， AD BE ∴=，点D 是AB 中点，AD BD ∴=，BE BD ∴=，45BDE EDC ，④不正确；90ABE ∠=︒，BE BD =，45CBA ∠=︒，45EBP ，即BP 平分ABE ∠，△BDE 为等腰直角三角形，∴根据“三线合一”可得BC ⊥DE ，⑤正确．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60∠=∠=，EFD EBM∴EFD△是等边三角形，=，DE cm2∴2===，EF FD ED cm∴4=，DM cm△是等边三角形，EBM∴60∠=，EMB∴30∠=，NDM∴2NM cm=，∴4=-=，BN BM NM cm∴28==．BC BN cm故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN的长度是解决问题的关键．=，则有（）10．如图，AC AD=，BC BDA．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分ABC．CD平分ACB∠D．AB垂直平分CD D解析：D【分析】根据线段垂直平分线的判定定理解答．【详解】=，∵AC AD=，BC BD∴AB垂直平分CD，故D正确，A、B错误，OC不平分∠ACB，故C错误，故选：D．【点睛】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．二、填空题11．如图，点CD在线段AB的同侧，CA=6，AB=14，BD=12，M为AB中点，∠CMD=120°．则CD的最大值为____．25【分析】作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B证明△AMB 为等边三角形在根据两点之间线段最短即可解决问题【详解】解：作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B如下图所示：∴∠1=解析：25【分析】作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，证明△A’MB’为等边三角形，在根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】解：作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，如下图所示：∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠CMD=120°，∴∠2+∠3=60°，即∠A’MB’=120°-60°=60°，又M为AB的中点，∴AM=MA’=MB’=MB，∴△A’MB’为等边三角形，∴A’B’=AM=7，由两点之间线段最短可知：CD≤CA’+A’B’+B’D=CA+AM+BD=6+7+12=25，故答案为：25．【点睛】本题主要考查了几何变换之折叠，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．12．如图，∠C=90°，CB=CO，且点B坐标为（-2，0），则点C坐标为_________．(－11)【分析】过点C作CD⊥y轴于点D根据等腰三角形的性质得出OD=CD=1得出结果【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D∵∠ACB=90°CB=CO∴∠CBO=∠COB=45°∵CD⊥y轴∴∠C解析：(－1，1)【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，根据等腰三角形的性质得出OD=CD=1，得出结果．【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠ACB=90°，CB=CO，∴∠CBO=∠COB=45°，∵CD⊥y轴，∴∠CDO=90°，∴∠COD=∠DOC，∴OD=CD，∵CD⊥y轴，CB=CO，∴OD=1OB，2∵点B坐标为（-2，0），∴OB=2，∴OD=CD=1，∴点C坐标为(－1，1)，故答案为(－1，1)．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．13．若点P(x-y，y)与点Q(-1，-5)关于x轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P（x-yy）与点Q（-1-5）关于x轴对称得x-y＝-1y＝5解得x＝4y＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P （x-y ，y ）与点Q （-1，-5）关于x 轴对称，得x-y ＝-1，y ＝5．解得x ＝4，y ＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．如图30AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上一点，//PD OA 交OB 于点D ，PE OA ⊥于E ，6cm OD =，则PE =________．3cm 【分析】过点P 作PF ⊥OB 于F 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF ＝PE 根据角平分线的定义可得∠AOC ＝∠BOC 根据两直线平行内错角相等可得∠AOC ＝∠OPD 两直线平行同位角相等可得∠解析：3cm【分析】过点P 作PF ⊥OB 于F ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF ＝PE ，根据角平分线的定义可得∠AOC ＝∠BOC ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOC ＝∠OPD ，两直线平行，同位角相等可得∠PDF ＝∠AOB ，再求出∠BOC ＝∠OPD ，根据等角对等边可得PD ＝OD ，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PF ＝12PD ，进而即可求解．【详解】如图，过点P 作PF ⊥OB 于F ，∵OC 平分∠AOB ，PE ⊥OA ，∴PE ＝PF ，∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC ＝∠BOC ，∵PD ∥OA ，∴∠AOC ＝∠OPD ，∠PDF ＝∠AOB ＝30°，∴∠BOC ＝∠OPD ，∴PD ＝OD ＝6cm ，∴PF ＝12PD ＝12×6＝3cm ， ∴PE ＝PF ＝3cm ．故答案为：3cm ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．15．如图，在ABC 中，AB AC =，36ABC ∠=︒，DE 是线段AC 的垂直平分线，连接AE ，若BE a =，EC b =，则用含有a ，b 的代数式表示ABC 的周长是______．【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ∠EAD=∠ECD=36°进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA 进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解【详解】∵AB解析：3a b +【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ，∠EAD=∠ECD=36°，进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA ，进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解．【详解】∵AB=AC ，∠ABC=36°，∴∠C=∠ABC=36°，∠BAC ＝108°，∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE=CE ，∴∠EAD=∠ECD=36°，∴∠AEC=108°=∠BAC ，∴∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝108°－36°＝72°∵∠BEA＝180°－∠AEC＝180°－108°＝72°即∠BAE＝∠BEA∴BA＝BE∵BE a=，EC b=，∴BA＝BE＝AC＝a∴△ABC的周长＝AB＋BE＋EC＋AC＝3a＋b故答案为：3a+b．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．16．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的个数是_____．3【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC∠BAE=∠C=60°再利用边角边证明△ABE和△CAD全等然后得到∠1=∠2结合角的关系得到∠APE＝∠C；再结合30°直角三角形的性质得到BP＝2PQ解析：3【分析】根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD 全等．然后得到∠1=∠2，结合角的关系，得到∠APE＝∠C；再结合30°直角三角形的性质，得到BP＝2PQ；再结合边的关系，得到AC=AB；即可得到答案．【详解】证明：如图所示：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAE=∠C=60°，在△ABE 和△CAD 中，60AB AC BAE C AE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CAD （SAS ），∴∠1=∠2，∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，∴∠APE=∠C=60°，故①正确∵BQ ⊥AD ，∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°，∴BP=2PQ ．故③正确，∵AC=BC ．AE=DC ，∴BD=CE ，∴AE+BD=AE+EC=AC=AB ，故④正确，无法判断BQ=AQ ，故②错误，∴正确的有①③④，共3个；故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为___________．25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论不合题意的舍去据此即可求解【详解】解：当腰长为10时三边分别为10105构成三角形周长为10+10+5=25；当腰长为5时三边分别为5510∵5+5=1解析：25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解．【详解】解：当腰长为10时，三边分别为10、10、5，构成三角形，周长为10+10+5=25；当腰长为5时，三边分别为5、5、10，∵5+5=10，无法构成三角形，不合题意．故答案为：25【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键． 18．如图，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，以O 为圆心，OP 长为半径画弧交BC 于点D ，连接PD ，如果PO ＝PD ，那么AP 的长是________．6【分析】连接OD 由题意可知OP ＝DP ＝OD 即△PDO 为等边三角形所以∠OPA ＝∠PDB ＝∠DPA=60°推出△OPA ≌△PDB 根据全等三角形的对应边相等知OA ＝BP ＝3则AP ＝AB−BP ＝6【详解解析：6【分析】连接OD ．由题意可知OP ＝DP ＝OD ，即△PDO 为等边三角形，所以∠OPA ＝∠PDB ＝∠DPA=60°，推出△OPA ≌△PDB ，根据全等三角形的对应边相等知OA ＝BP ＝3，则AP ＝AB−BP ＝6．【详解】解：如图，连接OD ，∵PO ＝PD ，∴OP ＝DP ＝OD ，∴△PDO 为等边三角形，即∠DPO ＝60°，∵等边△ABC ，∴∠A ＝∠B ＝60°，AC ＝AB ＝9，∴∠OPA ＝180°−60°−∠DPA=120°−∠DPA∠PDB ＝180°−∠DPA−60°=120°−∠DPA∴∠OPA=∠PDB ，∴ 在△OPA 和△PDB 中，A B OPA PDB PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OPA ≌△PDB （AAS ），∵AO ＝3，∴AO ＝PB ＝3，∴AP ＝6．故答案是：6．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，关键在于求证△OPA ≌△PDB ．19．含30角的直角三角板与直线1l ，2l 的位置关系如图所示，已知12//l l ，30A ∠=︒，160∠=︒，若6AB =，CD 的长为__________．3【分析】再根据含角的直角三角形的边角关系证得BC=AB=3根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形即可证得CD=BC=3【详解】解析：3【分析】再根据含30角的直角三角形的边角关系证得BC=12AB=3，根据平行线的性质可求得∠BDC=∠1=60°，根据∠CBD=60°和三角形内角和定理可证得△BCD 是等边三角形，即可证得CD=BC=3．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=12AB=3，∠CBD=60°， ∵12//l l ，∴∠BDC=∠1=60°，又∠CBD=60°，∴∠BCD=60°，∴△BCD 为等边三角形，∴CD=BC=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了含30角的直角三角形的边角关系、平行线的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握含30角的直角三角形的边角关系，证得△BCD 为等边三角形是解答的关键．20．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE CF =，BD CE =，如果44A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__．56°【分析】根据AB=AC 可证明又因为∠A=44°可求出∠ABC=∠ACB=68°根据利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：∵BE=CFBD=CE ∴在和中是等腰三角形；∴∠BDE解析：56°【分析】根据AB=AC 可证明DBE CEF ∆≅∆，又因为∠A=44°，可求出∠ABC=∠ACB=68°，根据DBE CEF ∆≅∆，利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，∵BE=CF ，BD=CE ，∴在DBE ∆和CEF ∆中BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DBE CEF SAS ∴∆≅∆，DE EF ∴=，DEF ∴∆是等腰三角形；DBE CEF ∆≅∆，∴∠BDE=∠CEF ，∠DEB=∠CFE ，180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A=44°，1(18044)682B ∴∠=︒-︒=︒ ∴∠BDE+∠DEB=112°∴∠CEF +∠DEB=112°180112=68DEF ∴∠=︒-︒︒，18068562EDF ︒-︒∴∠==︒．故答案为：56︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质的掌握，以及三角形的内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题；三、解答题21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在△ABC 内，BD ＝BC ，∠DBC ＝60°，点E 在△ABC外，∠CBE＝150°，∠ACE＝60°．（1）求∠ADC的度数．（2）判断△ACE的形状并加以证明．（3）连接DE，若DE⊥CD，AD＝1，求DE的长．解析：（1）150°；（2）等边三角形，见解析；（3）2【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC＝60°，DB＝DC，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC即可解决问题；（2）利用ASA证明△ACD≌△ECB得到AC＝CE，结合∠ACE＝60°可得△ACE是等边三角形；（3）首先证明△DEB是含有30度角的直角三角形，求出EB与DE的关系，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，∴△DBC是等边三角形．∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°．在△ADB和△ADC中，∵AC=AB AD=AD DC=DB ⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ADC≌△ADB（SSS）．∴∠ADC＝∠ADB．∴∠ADC＝12（360°﹣60°）＝150°．（2）解：△ACE是等边三角形．理由如下：∵∠ACE＝∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠ECB．∵∠CBE＝150°，∠ADC═150°，∴∠ADC＝∠EBC．在△ACD和△ECB中，∵ACD=ECB CD=CBADC=EBC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，∴△ACD≌△ECB（ASA）．∴AC＝CE．∵∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形．（3）解：连接DE．∵DE⊥CD，∴∠EDC＝90°．∵∠BDC＝60°，∴∠EDB＝30°．∵∠CBE＝150°，∠DBC＝60°，∴∠DBE＝90°．∴EB＝1DE．2∵△ACD≌△ECB，AD＝1，∴EB＝AD＝1，∴DE＝2EB＝2．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．22．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE ＝CF．求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE＝OF．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明；（2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB＝∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论．【详解】证明：（1）∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt △ABF 和Rt △DCE 中∵BF CE AB CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）；（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE （已证），∴∠AFB ＝∠DEC ，∴OE ＝OF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL 判断两个直角三角形全等，是解题的关键．23．在等边ABC 中，D E 、分别为AB AC 、边上的动点，以DE 为一边作等边DEF ．（1）如图1，若等边DEF 的顶点F 恰好在BC 上，求证：ADE CEF ≌；（2）如图2，若2BD AE =，当点D 从点A 向点B 运动（不运动到点B ）时，连接CF ，请判断ECF ∠的大小是否变化并说明理由．解析：（1）见解析；（2）不变，理由见解析．【分析】（1）根据AAS 证明ADE CEF ≌即可；（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，根据等边△ABC 和等边△DEF 的性质证明△ADE HEF ≅∆可得FH CH =，得∠FCH HFC =∠，进一步可得∠30ECF =︒．【详解】解：（1）证明：∵△ABC 和△DEF 是等边三角形∴∠A=∠C=60°，∠DEF=60°，DE=EF∵∠DEF=60°，∴∠DEF+∠FEC=180°-60°=120°∵∠C=60°∴∠CFE+∠FEC=180°-60°=120°∴∠DEA EFC =∠在△ADE 和△CEF 中，A C DEA EFC DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CEF ≌；（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，设,AE CH x ==等边△ABC 的边长为a∵22BD AE x ==∴2AD EH a x ==-∵△ABC 是等边三角形∴∠60A =︒∴∠120ADE DEA +∠=︒∵△DEF 是等边三角形∴∠60,DEF DE EF =︒=∴∠120AED FEC +∠=︒∴∠ADE FEC =∠∴△()ADE HEF SAS ≅∆∴∠60,FHE A FH AE x =∠=︒==∴FH CH =∴∠FCH HFC =∠∵∠60FCH HFC FHE +∠=∠=︒∴260FCH ∠=︒∴∠30FCH =︒即∠30ECF =︒【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．24．已知：如图，MON ∠为锐角，点A 在射线OM 上．求作：射线AC ，使得//AC ON ．小静的作图思路如下：①以点A 为圆心，AO 为半径作弧，交射线ON 于点B ，连接AB ；②作MAB ∠的角平分线AC ．射线AC 即为所求的射线．（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：OA AB =，O ABO ∴∠=∠（__________）．MAB ∠是AOB 的一个外角，MAB ∴∠=∠_________+∠__________．12ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，12BAC MAB ∴∠=∠． ABO BAC ∴∠=∠．//AC ON ∴（__________）．解析：（1）见解析；（2）等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行【分析】（1）按照步骤作图即可；（2）由作法知，OA=AB ，AC 是∠MAB 的平分线，然后根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义说明即可．【详解】解：（1）作图如下：（2）证明：OA AB =，O ABO ∴∠=∠（等边对等角）．MAB ∠是AOB 的一个外角，MAB O ABO ∴∠=∠+∠ 12ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，12BAC MAB ∴∠=∠. ABO BAC ∴∠=∠.//AC ON ∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，作角的角平分线，以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点坐标分别为()3,3A ，()1,1B ，()4,1C -．（1）画出ABC ，并求出ABC 的面积；（2）在图中作出ABC 关于y 轴对称的图形111A B C △，并写出2B 、1C 两点的坐标．解析：（1）画图见解析；5 （2）画图见解析；()11,1B -，()14,1C --【分析】（1）先根据A 、B 、C 三点坐标描点，再顺次连接即可得到ABC ，再运用割补法即可求出ABC 的面积；（2）分别作出A 、B 、C 三点关于y 轴的对称点，再顺次连接即可，根据作图即可写出2B 、1C 两点的坐标．【详解】解：（1）ABC 如图所示： 111341422235222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△；（2）111A B C △如图所示：()11,1B -，()14,1C --．【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质． 26．在直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的位置如图所示．（1）请画出ABC ∆关于y 轴对称的'''A B C ∆（其中',','A B C 分别是,,A B C 的对应点，不写画法）；（2）直接写出',','A B C 三点的坐标'A （），'B （），'C （），（3）求出'''A B C ∆的面积解析：（1）所画图形见解析；（2）3，-3 ；-1，-3；0，4 ；（3）11【分析】（1）分别作出各点关于y 轴的对称点，再顺次连接各点即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；（3）作矩形DB EF '，用矩形的面积减去三个三角形的面积，即可得到A B C S'''．【详解】解：（1）如图所示：（2）由图可知，A '(3，-3)，B '(-1，-3)，C '(0，4)；（3）如图，作矩形DB EF '，则DB EF S S S S S ''''''''''=---△A B C △C DB △C FA △A EB 四边形 1117417316411222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， ∴11A B C S '''=△．【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于y 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 27．如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，点E 在边AC 上，且,,BD CE BAD CDE =∠=∠ADE C ∠=∠．（1）如图1，求证：ADE ∆是等腰三角形，（2）如图2，若DE 平分ADC ∠，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE ∠相等的角（CDE ∠除外）．解析：（1）详见解析；（2）与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C【分析】（1）证明△ABD ≌△DCE ，推出AD=DE ，即可得到结论；（2）根据DE 平分∠ADC ，推出∠ADE=∠CDE=12∠ADC ，利用BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，得到∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，再由ADE C ∠=∠，得到∠C=CDE ∠．【详解】（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD ，∠BAD=∠CDE ，∴∠B=∠ADE ，∵∠ADE=∠C ，∴∠B=∠C ，在△ABD 和△DCE 中，BAD CDE B CBD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△DCE ，∴AD=DE ，∴ADE ∆是等腰三角形；（2）∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE=12∠ADC ， ∵BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，∴∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，∵ADE C ∠=∠，∴∠C=CDE ∠，∴与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C ．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定定理，角平分线的性质，三角形外角性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．28．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，P 是MN 上任一点，连结PA 、PB ．将线段AB 沿直线MN 对折，我们发现PA 与PB 完全重合．由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，MN ⊥AB ，垂足为点C ，AC ＝BC ，点P 是直线MN 上的任意一点求证：PA ＝PB ．分析：图中有两个直角三角形APC 和BPC ，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA ＝PB ．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；（2）如图②，在△ABC 中，直线l ，m ，n 分别是边AB ，BC ，AC 的垂直平分线．求证：直线l 、m 、n 交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）证明：设直线l ，m 相交于点O ．（3）如图③，在△ABC 中，AB ＝BC ，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，边BC 的垂直平分线交AC 于点E ，若∠ABC ＝120°，AC ＝15，则DE 的长为．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）5【分析】（1）证明△PAC ≌△PBC 即可解决问题．（2）如图②中，设直线l 、m 交于点O ，连结AO 、BO 、CO ．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．（3）连接BD ，BE ，证明△BDE 是等边三角形即可．【详解】证明：（1）如图①中，∵MN ⊥AB ，∴∠PCA ＝∠PCB ＝90°．在△PAC 和△PBC 中，AC BC PCA PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PAC ≌△PBC （SAS ），∴PA ＝PB ．（2）如图②中，设直线l 、m 交于点O ，连结AO 、BO 、CO ．∵直线l是边AB的垂直平分线，∴OA＝OB，又∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴OA＝OC，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（3）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15，∴DE＝1AC＝5．3故答案为5．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

轴对称图形培优

【例1】小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，90MON ∠=︒，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，且满足2OB OA >．求作：线段OB 上的一点C ，使AOC △的周长等于线段OB 的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C 已经找到，即AOC △得周长等于OB 的长，那么由OA OC AC OB OC BC ++==+，可以得到OA AC += ．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC 上取一点D ，使得BD AO =，那么就可以得到CA = ．若连接AD ，由．（填推理依据）．可知点C 在线段AD 得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．【变式1.1】．问题探究：如图1，在ABC 中，点D 是BC 的中点，,DE DF DE ⊥交AB 于点,E DF 交AC 于,E F ，连接EF ．（1）BE CF 、与EF 之间的关系为：BE CF +___EF ；（填“>”、“=”或“<”) （2）若90A ∠=︒，探索线段BE CF EF 、、之间的等量关系，并加以证明．（3）问题解决:如图2．在四边形ABDC 中，180,,130B C DB DC BDC ∠+∠==∠=︒ 以D 为顶点作65,EDF EDF ∠=︒∠的两边分别交AB AC 、于EF 、两点，连接EF ，探索线段BE CF EF 、、之间的数量关系，并加以证明．【例2】（2019秋•淮安期末）如图，射线OC 是∠AOB 的角平分线，D 是射线OC 上一点，DP ⊥OA 于点P ，DP ＝5，若点Q 是射线OB 上一点，OQ ＝4，则△ODQ 的面积是（）A ．4B ．5C ．10D ．20【变式1.1】（2019秋•南开区期末）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝3，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C ．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为（）A ．1B ．6C ．3D ．12【变式1.2】（2019秋•裕华区校级期末）如图，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ，且PE ＝3，AP ＝5，点F 在边AB 上运动，当运动到某一位置时△FAP 面积恰好是△EAP 面积的2倍，则此时AF 的长是（）A ．10B ．8C ．6D ．4【变式1.3】[问题]如图①，点D 是ABC ∠的角平分线BP 上一点，连接AD ，CD ，若A ∠与C ∠互补，则线段AD 与CD 有什么数量关系？[探究]探究一：如图②，若90A ∠=︒，则18090C A ∠=︒-∠=︒，即AD AB ⊥，CD BC ⊥，又因为BD 平分ABC ∠，所以AD CD =，理由是：_______．探究二：若90A ∠≠︒，请借助图①，探究AD 与CD 的数量关系并说明理由．[结论]点D 是ABC ∠的角平分线BP 上一点，连接AD ，CD ，若A ∠与C ∠互补，则线段AD 与CD 的数量关系是______．[拓展]已知：如图③，在ABC 中，AB AC =，100A ∠=︒，BD 平分ABC ∠．求证：BC AD BD =+．【变式1.4】．△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，CD 、AE 交于点F ，BD ＝CE ．（1）如图1，求证：∠AFD ＝60°；（2）如图2，FG 为△AFC 的角平分线，点H 在FG 的延长线上，HG ＝CD ，连接HA 、HC ，求证：AC ＝HC ；（3）在（2）的条件下，若AD ＝2BD ，AF +CF ＝12，求AF 长．【变式1.5】．如图，已知∠MON＝90°，点A在射线OM上运动，点B在射线ON上运动，OA＞OB，点P在∠MON的平分线上，P A＝PB．（1）∠APB的大小是否发生变化？请说明理由；（2）连接AB，点E是AB的中点，点F是OP的中点，求证：EF⊥OP．。

人教版八年级上册数学第十三章轴对称单元培优测试卷

人教版八年级上册数学第十三章轴对称单元培优测试卷一.选择题1. 如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F等于( )A．80°B．65°C．45°D．35°2. 东东从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（）A.21：10B.10：21C.10：51D.12：013. 下列条件不能得到等边三角形的是( )A．有两个内角是60°的三角形B．有两个角相等的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形 D．有一个角是60°的等腰三角形4. 如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是(－2,3)，先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是( )A．(－3,2) B．(2，－3) C．(1，－2) D．(3，－1)5. 某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处6. 下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )．A．①②③B．①②④ C．①③D．①②③④7. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C的度数是( )A．30° B．35° C．40° D．50°8. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形( )A．0个B．1个 C．2个D．3个10. 如图图中的阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，若在图中的方格里涂黑两个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有几种（）A. 2种B. 4种C. 5种D. 7种11. 如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A.（）n•75°B.）n﹣1•65°C.（）n﹣1•75°D.（）n•85°12. 已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的任意一点，连接AD并作等边三角形ADE，若DE⊥AB，则BD DC的值是（）A.12B.23C.1D.32二.填空题13. 如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为________．14. 如图所示图案是几种车的标志，在这几个图案中，轴对称图形有________个，其中只有一条对称轴的轴对称图形有________个，对称轴最多的轴对称图形有________条对称轴．15. 如图，∠AOB＝40°，C为OB上的定点，M，N分别为OA，OB上的动点，当CM＋MN的值最小时，∠OCM的度数为________．16.如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于OA，OB的对称点，连接MN交OA于点E，交OB于点F.若△PEF的周长是20 cm，则MN的长是________cm.17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为．18. 在直角坐标系内有两点A（-1，1）、B（2，3），若M为x轴上一点，且MA+MB最小，则M的坐标是________，MA+MB=________．19. 如图所示，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为________．20. 规律探究如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．三、作图题21. 方案设计①②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM，ON的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，以OM，ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：(1)所画的两个四边形均是轴对称图形；(2)所画的两个四边形不全等．四、解答题22. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC为上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数；(2)求证：DC＝AB.23. 如图，在△ABC中，D为BC上的一点，E，F为AD上的两点，若EB＝EC，FB＝FC.求证：AB＝AC.24. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)AD＝FC；(2)AB＝BC＋AD.25. 如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．26. 已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点(点A，D在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD⊥BC；(2)如图①，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；(3)如图②，当点E在线段AB的延长线上时，请直接写出线段DE，AC，BE的数量关系．27. 如图①，P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点．(1)请你在图②中利用作图确定点M和点N的位置，使得△PMN的周长最小(保留作图痕迹)；(2)在图②中，若△PMN周长的最小值是5 cm，则∠AOB的度数是多少？28. 已知：等边△ABC和点P，设点P到△ABC的三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．（1）如图1，若点P在边BC上，证明：h1+h2=h．（2）如图2，当点P在△ABC内时，猜想h1、h2、h3和h有什么关系？并证明你的结论．（3）如图3，当点P在△ABC外时，h1、h2、h3和h有什么关系？（不需要证明）29. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．(1)如①，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC(AB＞BC)，若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC 的一条特异线，则∠BDC＝________度；(2)如图②，在△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E.求证：AE是△ABC 的一条特异线；(3)如图③，已知△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数．。

人教版初中数学八年级上单元试卷第章轴对称【培优卷】(解析版)

第13章轴对称培优一、单选题1. ( 3分) 平面直角坐标系中，点P(﹣2，3)关于x轴对称的点的坐标为（）A. (2，﹣3)B. (﹣2，3)C. (﹣2，﹣3)D. (2，3) 【答案】C【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，﹣3），故答选：C．【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；可得.2. ( 3分) 下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第三个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．故选：B．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．3. ( 3分) 在下列命题中，正确的是（）A. 一组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 有一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】D【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定【解析】【解答】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；故答案为：D.【分析】分别利用矩形的判定方法、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定方法分析得出答案.4. ( 3分) 如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系是（）A. ∠1=2∠2B. 2∠1+∠2=180°C. ∠1+3∠2=180°D. 3∠1-∠2=180°【答案】D【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵AB=AC=BD，∴∠BAD=∠1，∠B=∠C，∴∠B=180°－2∠1=∠C，∵∠C=∠1－∠2，∴180°－2∠1=∠1－∠2，∴3∠1－∠2=180°.故答案为：D.【分析】根据等边对等角可得∠BAD=∠1，∠B=∠C，利用三角形的内角和可得∠B=180°－2∠1=∠C，由三角形外角的性质可得∠C=∠1－∠2，从而可得180°－2∠1=∠1－∠2，据此即得结论.5. ( 3分) 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的图形是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 长方形D. 梯形【答案】C【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；C、长方形是轴对称图形，是中心对称图形；D、梯形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形.故答案为：C.【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形,把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形，据此作出判断即可.6. ( 3分) 在平面直角坐标系中，点P（3，-4）关于x轴对称的点的坐标是( )A. （3，4）B. （3，－4）C. （－3，－4）D. （4，3）【答案】A【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y)，关于x轴的对称点的坐标是（x，-y)，据此即可求得点（3，-4)关于x轴对称的点的坐标．【解答】∵点（3，-4)关于x轴对称；∴对称的点的坐标是（3，4)．故选A．【点评】这一类题目是需要识记的基础题7. ( 3分) 如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A. 8B. 6C. 5D. 3【答案】C【考点】等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：过P作PQ⊥MN，∵PM=PN，∴MQ=NQ=1，在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，∴∠OPQ=30°，OP=6，∴OQ= 12则OM=OQ-QM=6-1=5.故答案为：C.【分析】过P作PQ⊥MN，根据等腰三角形的性质可得MQ=NQ=1，然后在Rt△OPQ中根据含30°角的直角三角形的边之间的关系可求出OQ的值，进而得到OM的值.8. ( 3分) 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【考点】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故选B．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰；然后根据S△ABC=1.5，再确定点C的位置．9. ( 3分) 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC 交射线AC于点N，连结BN。

苏科版八上第二章《轴对称图形》解答题培优训练（一）（有答案）

苏科版⼋上第⼆章《轴对称图形》解答题培优训练（⼀）（有答案）苏科版⼋上第⼆章《轴对称图形》解答题培优训练（⼀）班级：___________姓名：___________得分：___________⼀、解答题1.如图，已知∠AOB内有⼀点P，分别在OA、OB上找点Q、R，使△PQR的周长最⼩。

2.如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．(1)如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；(2)如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；(3)当点D在直线BC上(不与点B、C重合)运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．3.如图，在△ABC中，AB=AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．(1)如图(1)，若∠A=40°，则∠NMB=______度；(2)如图(2)，若∠A=70°，则∠NMB=______度；(3)如图(3)，若∠A=120，则∠NMB=______度；(4)由(1)(2)(3)问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．4.如图，△ABC是等边三⾓形，D、E为AC上两点，且AE=CD，延长BC⾄点F，使CF=CD，连接BD．(1)如图1，当D、E两点重合时，求证：BD=DF；(2)延长BD与EF交于点G．5.△ABC是等边三⾓形，点E在AC边上，点D是BC边上的⼀个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF.(1)如图1，当点D与点B重合时，求证：(2)如图2，当点D运动到如图2的位置时，猜想CE、CF、CD之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在BC延长线上时，直接写出CE、CF、CD之间的数量关系，不证明．6.如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．(1)若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；(2)若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：经过⼏秒后，△CPQ是等腰三⾓形？7.已知AM//CN，点B为平⾯内⼀点，AB⊥BC于B．(2)如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；(3)如图3，在(2)问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．8.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，点D为AC边上⼀点，连接BD，点E为BD点连接CE，∠CED=∠ABD，过点A作AG⊥CE，垂⾜为G，AG交ED于点F．(1)判断AF与AD的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若AC=CE，点D为AC的中点，AB与AC相等吗？为什么？(3)在(2)的条件下，如图3，若DF=5，求△DEC的⾯积．9.如图，在△ABC中，∠ABC为锐⾓，点D为直线BC上⼀动点，以AD为直⾓边且在AD的右侧作等腰直⾓三⾓形ADE，∠DAE=90°，AD=AE．(1)如果AB=AC，∠BAC=90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE，BD的位置关系为________，数量关系为________．②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成⽴，请说明理由．(2)如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB多少度时，CE⊥BC？请说明理由．10.如图，CD是△ABC的⾼，∠A=2∠B，∠ACB的平分线CE交AB于点E，设∠B=α.(1)求∠DCE的度数(⽤含α的代数式表⽰)；答案和解析解：如图所⽰，作出点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连接P1,P2，点Q、R即为所求作的使△PQR的周长最⼩的点．2.解：(1)∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110°，∵∠BAD=80°，∴∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=180°?35°?30°?75°=40°；(2)∵∠ACB=75°，∠CDE=18°，∴∠E=75°?18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°，∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，∴∠BAD=36°；(3)设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°?α，∴{y °=x °+α(1)y °=x °?α+β(2)， (1)?(2)得2α?β=0，∴2α=β；②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC =x°+α，∴{x °=y °+α(1)x °+α=y °+β(2)， (2)?(1)得α=β?α，∴2α=β；， (2)?(1)得2α?β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE =∠BAD ．3. 20 35 60解：(1)如图1中，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB =12(180°?40°)=70°，∵MN ⊥AB ，∴∠MNB =90°，∴∠NMB =20°，故答案为20．(2)如图2中，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB =12(180°?70°)=55°，∵MN ⊥AB ，∴∠MNB =90°，∴∠NMB =35°，故答案为35．(3)如图3中，如图1中，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=12(180°?120°)=30°，∵MN⊥AB，∴∠MNB=90°，∴∠NMB=60°，故答案为60．(3)结论：∠NMB=12∠A．理由：如图1中，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=12(180°?∠A)∵MN⊥AB，∴∠MNB=90°，∴∠NMB=90°?(90°?12∠A．4.2√3(1)证明：如图1中，∵△ABC是等边三⾓形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵AD=DC=CF，∴∠DBC=12∠ABC=30°，∠F=∠CDF，∵∠ACB=∠F+∠CDF=60°，∴∠F=30°，∴∠DBC=∠F，∴BD=DF．(2)①证明：如图2中，作EH//BC交AB于H，连接BE．∵EH//BC，∴∠AHE=∠ABC=60°，∠AEH=∠ACB=60°，∵∠A=60°，∴△AEH是等边三⾓形，∴AE=EH=AH，∵AB=AC，∴BH=CE，∵AE=CF，∴EH=CF，∵∠BHE=∠ECF=120°，∴∠EBH=∠CEF，∵AB=BC，∠A=∠BCD，AE=CD，∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴∠ABE=∠CBD，∴∠CBD=∠DEG，∵∠CDB=∠GDE，∴∠EGD=∠DCB=60°，即∠BGE=60°．②解：如图3中，由题意：∠ABE=∠EBD=∠CBD=30°，∵∠BCE=∠∠BGE=60°，∴B，C，G，E四点共圆，∴∠ECG=∠EBG=30°，∴∠BCG=90°，∴CG=12BG=2，BC=√3CG=2√3，∴S△BCG=12?BC?CG=12×2√3×2=2√3．故答案为2√3．5.证明：(1)∵△ABC与△BEF都为等边三⾓形，∴∠ABC=∠EBF=60°，AB=BC=CD，EB=BF，∴∠ABC?∠EBC=∠EBF?∠EBC，即∠ABE=∠CBF，在△ADE和△CDF中，{AD=CD∠ADE=∠CDF DE=DF，(2)CE=CF+CD；理由为：过D作DG//AB，交AC于点G，连接CF，∵DG//AB，∴∠CGD=∠CDG=60°，△CDG为等边三⾓形，∵△DEF为等边三⾓形，∴∠EDF=∠GDC=60°，ED=FD，GD=CD，∴∠EDF?∠GDF=∠GDC?∠GDF，即∠EDG=∠FDC，在△EDG和△FDC中，{ED=FD∠EDG=∠FDC DG=DC，∴△EDG≌△FDC(SAS)，∴EG=FC，则CE=CG+EG=CG+CF=CF+CD；(3)CF=CE+CD；过E作EG//AB，交BC于点G，∵EG//AB，∴∠CEG=∠EGC=60°，即△EGC为等边三⾓形，∴CE=EG=CG，∠CEG+∠CED=∠CED+∠DEF，即∠DEG=∠CEF，在△DEG和△FEC中，{EF=DE∠DEG=∠CEF CE=EG，∴△DEG≌△FEC(SAS)，∴CF=DG，则CF=DG=CG+CD=CE+CD．当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时，有BP=2×2=4cm，AQ=4×2=8cm，则CP=BC?BP=10?4=6cm，CQ=AC?AQ=12?8=4cm，∵D是AB的中点，∴BD=12AB=12×12=6cm，∴BP=CQ，BD=CP，⼜∵△ABC 中，AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BPD 和△CQP 中，{BP =CQ ∠B =∠C BD =CP，∴△BPD≌△CQP(SAS)．(2)设当P ，Q 两点同时出发运动t 秒时，有BP =2t ，AQ =4t ，∴t 的取值范围为0则CP =10?2t ，CQ =12?4t ，∵△CPQ 的周长为18cm ，∴PQ =18?(10?2t)?( 12?4t)=6t ?4，要使△CPQ 是等腰三⾓形，则可分为三种情况讨论：①当CP =CQ 时，则有10?2t =12?4t ，解得：t =1，②当PQ =PC 时，则有6t ?4=10?2t ，解得：t =74，③当QP =QC 时，则有6t ?4=12?4t ，解得：t =85，三种情况均符合t 的取值范围．综上所述，经过1秒或74秒或85秒时，△CPQ 是等腰三⾓形．7. 解：(1)∠A +∠C =90°；(2)如图2，过点B 作BG//DM ，∵BD ⊥AM ，∴DB ⊥BG ，即∠ABD +∠ABG =90°，∴∠CBG +∠ABG =90°，∴∠ABD =∠CBG ，∵AM//CN ，BG//AM ，∴CN//BG ，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；(3)如图3，过点B作BG//DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由(2)可得∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，②由①②联⽴⽅程组，解得α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．解：(1)如图1，∵AM//CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°，故答案为：∠A+∠C=90°；8.解：(1)结论：AF=AD．理由：如图1中，∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°?∠ABD，∴∠FGE=90°，∴∠EFG=∠AFD=90°?∠CED，∵∠CED=∠ABD，∴∠AFD=∠ADF，∴AF=AD．(2)结论：AB=AC．理由：如图2中，∵∠AFD=90°?∠CED，∠ADB=90°?∠ABD，∠CED=∠ABD，∴∠AFD=∠ADF，∴AF=AD，∠BFA=180°?∠AFD=180°?∠ADF=∠CDE，∵D为AC的中点，∴AD=CD=AF，∴△ABF≌△CED(AAS)，∴AB=CE，∵CE=AC，∴AB=AC．(3)连接AE，过点A作AH⊥AE交BD延长线于点H，连接CH．∵∠BAC=90°，∴∠BAE=∠CAH，设∠ABD=∠CED=α，则∠FAD=2α，∠ACG=90°?2α，∵CA=CE，∴∠AEC=∠EAC=45°+α，∴∠AED=45°，∴∠AHE=45°，∴AE=AH，∵AB=AC，∴△ABE≌△ACH(SAS)，∴∠AEB=∠AHC=135°，∴∠CHD=90°，过点A作AK⊥ED于H，∴∠AKD=∠CHD=90°，∵AD=CD，∠ADK=∠CDH，∴△AKD≌△CHD(AAS)∴DK=DH，∵AK⊥DF，AF=AD，AE=AH，∴FK=DK，EK=HK，∴DH=DK=KF=EF=52，∴DE=152，EH=10，∵△AEH是等腰直⾓三⾓形，AK⊥EH，∴AK=EK=KH=5，∴S△EDC=12?DE?CH=12×152×5=754．9.解：(1)①垂直；相等；②成⽴，理由如下：∵∠EAD=∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD与△CAE中，∵{AD=AE∠BAD=∠CAE AB=AC，∴△BAD≌△CAE，∴CE=BD，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴CE⊥BD；(2)当∠ACB=45°时，CE⊥BD，理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∴△AGC为等腰直⾓三⾓形，∴∠ACB=∠AGC=45°，AC=AG，在△GAD与△CAE中，{AD=AE∠GAD=∠CAE AG=AC，∴△GAD≌△CAE，∴∠ACE=∠AGC=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，即CE⊥BC.解：①等腰直⾓三⾓形ADE中，AD=AE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△DAB与△EAC中，{AD=AE∠BAD=∠CAE AB=AC，∴△DAB≌△EAC，∴CE=BD，∠B=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即CE⊥BD；故答案为：垂直、相等；10.解：(1)如图1所⽰：∵∠B=α，∠A=2∠B，∴∠ACB=180°?∠A?∠B=180?3α，∵CE平分∠ACB，∴∠1=12∠ACB=90°?32α，∴∠2=∠1+∠B=90°?12α，∴在Rt△DCE中，∠3=90?∠2=90°?(90°?12α)=12α．(2)证明：如图2，在AD上截取DH=DE，连接CH，∵CD⊥AB，∴CH=CE，∴∠4=∠2=90°?12α，∠5=∠3=12α，∴∠HCB=∠5+∠3+∠1=12α+12α+90°?32α=90°?12α，。

八年级数学上册轴对称解答题(培优篇)(Word版含解析)

八年级数学上册轴对称解答题（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1.如图1, ZiABC 中，AB=AC・ ZBAC = 905, D、E 分别在BC、AC 边上，连接AD、BE 相交于点F,且ZCAD =丄ZABE.2⑵如图2,连接CF,若EF = EC,求ZCFD的度数：(3)如图3,在⑵的条件下,若AE = 3,求BF的长.【答案】(1)答案见详解：(2)45。

，(3)4.【解析】【分析】(1)设ZCAD二x,则ZABE=2x, ZBAF二90° -x, ZAFB=180° -2x-(90° -x)= 90° -x,进而得到ZBAF二ZAFB,即可得到结论：(2)由ZAEB=90°-2x t进而得到ZEFC= (90°-2x) +2=45。

-x,由BF=AB,可得：ZEFD=ZBFA=90° 根据ZCFD=ZEFD-ZEFC> 即可求解；⑶设EF=EC二x,则AOAE+EC二3+x・可得BE二BF+EF=3+x+x=3+2x,根据勾股左理列出方程，即可求解.【详解】(1)设ZCAD二x,1VZCAD=-ZABE, ZBAC=90S2AZABE=2x, ZBAF=90° -x,V ZABE+ZBAF+ZAFB=180° ,A ZAFB=180° -2x-(90° ・x)= 90° %AZBAF=ZAFB t•••BF = AB；VAB=AC,ABF = AC：(2)由(1)可知：ZCAD二x, ZABE二2x, ZBAC=90^,•••ZAEB=90°-2x,VEF = EC,AZEFC=ZECF,•/ Z EFC+ Z ECF= ZAEB=90°-2x,AZEFC= (90°-2x) -2=45° -x,VBF=AB,AZBFA=ZBAF=(180a -ZABE)-s-2=(180° -2x)-s-2=90° -x,AZEFD=ZBFA=90° ・x,A ZCFD=ZEFD-ZEFC=(90° -x) -(45。

深圳福林学校小学数学六年级上册第五单元(课后培优)(1)

一、选择题1．圆是轴对称图形，它有（）条对称轴。

A. 一B. 两C. 无数D. 四C解析： C【解析】【解答】解：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。

故答案为：C。

【分析】圆的对称轴是圆的直径，圆的直径有无数条，那么它有无数条对称轴。

2．把一个直径10厘米圆分成两个相等的半圆，两个半圆的周长的和是（）A. 31.4B. 62.8C. 41.4D. 51.4D解析： D【解析】【解答】解：3.14×10+10×2＝51.4（厘米），所以两个半圆的周长和是51.4厘米。

故答案为：D。

【分析】两个半圆的周长之和=圆的周长+直径×2，其中圆的周长=πr2。

3．长方形纸长20厘米，宽16厘米，它最多能够剪下（）个半径是3厘米的圆形纸片。

A. 6B. 8C. 11A解析： A【解析】【解答】3×2=6（厘米），20÷6=3（个）……2（厘米），16÷6=2（个）……4（厘米），3×2=6（个），所以最大能剪下6个半径是3厘米的圆形纸片。

故答案为：A。

【分析】先计算出圆的直径即半径×2，再用长方形的长、宽分别除以圆的直径，即可得出长、宽上分别能剪几个圆，最后相乘即可。

4．已知一个圆的半径是R，且R满足3：R=R：4，则这个圆的面积为（）A. 7πB. 7C. 12πD. 无法求出C解析： C【解析】【解答】解：3：R=R：4，那么R2=12，12×π=12π，所以这个圆的面积为12π。

故答案为：C。

【分析】利用比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，可以得到半径的平方，然后再乘π就是这个圆的面积。

5．如图所示圆环的面积是（）cm2．（计算时π取3.14）A. 3.14B. 28.26C. 113.04D. 263.76B解析： B【解析】【解答】10÷2=5（cm）3.14×（5²-4²）=3.14×（25-16）=3.14×9=28.26（cm²）故答案为：B【分析】首先分别计算外面大圆和里面空白部分的圆的面积，圆的面积=πr²。