《圆的标准方程》习题
圆的标准方程 练习题
（一） 第四章 4.1 4.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的方程是 ( )A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝102．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P(3,2)满足 ( )A ．是圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外3．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为 ( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，44．(2016·锦州高一检测)若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是 ( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝15．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝ () A ．－43B ．－34C ．3D ．26．若P(2，－1)为圆(x －1)2＋y2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( A )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0二、填空题7．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是.8．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是三、解答题9．圆过点A(1，－2)、B(－1,4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．10．已知圆N 的方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆上，求a 的值；(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围．B 级 素养提升一、选择题1．(2016～2017·宁波高一检测)点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32与圆x2＋y2＝12的位置关系是 ( )A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定2．若点(2a ，a －1)在圆x2＋(y ＋1)2＝5的内部，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，1]B ．(－1,1)C ．(2,5)D ．(1，＋∞)3．若点P(1,1)为圆(x －3)2＋y2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 ( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝04．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为 ( )A ．9B ．8C ．5D ．2二、填空题5．已知圆C 经过A(5,1)、B(1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为____.6．以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为____.C 级 能力拔高1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1,1)在AD 边所在的直线上．求AD 边所在直线的方程.2．求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P(3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.第四章 4.1 4.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．圆x2＋y2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是 ( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)2．(2016～2017·曲靖高一检测)方程x2＋y2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为 ( )A ．－2,4,4B ．－2，－4,4C ．2，－4,4D ．2，－4，－43．(2016～2017·长沙高一检测)已知圆C 过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为 ( )A ．x2＋y2－6x －2y ＋6＝0B ．x2＋y2＋6x －2y ＋6＝0C ．x2＋y2＋6x ＋2y ＋6＝0D ．x2＋y2－2x －6y ＋6＝04．设圆的方程是x2＋y2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是 ( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定5．若圆x2＋y2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为 ( ) A ．－2或2 B ．12或32C ．2或0D ．－2或0 6．圆x2＋y2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是 ( )A ．(x －1)2＋y2＝2B ．(x ＋1)2＋y2＝2C ．(x －1)2＋y2＝4D ．(x ＋1)2＋y2＝4二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为____.8．设圆x2＋y2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是_三、解答题9．判断方程x2＋y2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.10．求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程.B 级 素养提升一、选择题1．若圆x2＋y2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在圆x2＋y2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为 ( )A ．52B ．102C ．152D ．2023．若点(2a ，a －1)在圆x2＋y2－2y －5a2＝0的内部，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，45]B ．(－43，43)C ．(－34，＋∞)D ．(34，＋∞) 4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x2＋y2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )二、填空题5．已知圆C ：x2＋y2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a6．若实数x 、y 满足x2＋y2＋4x －2y －4＝0，则x2＋y2的最大值是___.C 级 能力拔高1．设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0,1)的直线l 交圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.2．已知方程x2＋y2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m2)y ＋16m4＋9＝0表示一个圆.(1)求实数m 的取值范围；(2)求该圆的半径r 的取值范围；(3)求圆心C 的轨迹方程．第四章 4.2 4.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．若直线3x ＋y ＋a ＝0平分圆x2＋y2＋2x －4y ＝0，则a 的值为 ( )A ．－1B ．1C ．3D ．－32．(2016·高台高一检测)已知直线ax ＋by ＋c ＝0(a 、b 、c 都是正数)与圆x2＋y2＝1相切，则以a 、b 、c 为三边长的三角形是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在3．(2016·北京文)圆(x ＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为 ( )A ．1B ．2C ．2D ．22[4．(2016·铜仁高一检测)直线x ＋y ＝m 与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m ＝ ( )A ．12B ．22C ．2D ．25．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x －y －1＝0上截得的弦长为22，那么这个圆的方程为 ( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝166．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．(2016·天津文)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____. 8．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____.三、解答题9．当m 为何值时，直线x －y －m ＝0与圆x2＋y2－4x －2y ＋1＝0有两个公共点？有一个公共点？无公共点10．(2016·潍坊高一检测)已知圆C ：x2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB|＝17时，求m 的值．B 级 素养提升一、选择题1．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x ＋4y ＝0截得的弦最长的直线的方程是 ( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．3x －y －1＝0D ．3x ＋y －5＝02．(2016·泰安二中高一检测)已知2a2＋2b2＝c2，则直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x2＋y2＝4的位置关系是 ( )A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离3．若过点A(4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 ( )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－33，33)D ．[－33，33] 4．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r2(r>0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是 ( )A ．3<r<5B ．4<r<6C ．r>4D ．r>5二、填空题5．(2016～2017·宜昌高一检测)过点P(12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____.6．(2016～2017·福州高一检测)过点(－1，－2)的直线l 被圆x2＋y2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为____.C 级 能力拔高1．求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：(1)经过点P(3，1)；(2)斜率为－1；(3)过点Q(3,0)．2．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程.第四章 4.2 4.2.2A级基础巩固一、选择题1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是 ( )A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝252．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为 ( ) A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝03．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是 ( ) A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝04．(2016～2017·太原高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ( )A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15D．(x＋5)2＋(y－7)2＝255．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝A．5 B．4 C．3 D．226．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为 ( )A．(x－6)2＋(y－4)2＝6B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36D．(x－6)2＋(y±4)2＝36二、填空题7．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是____.8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝____.三、解答题9．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程.10．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0.B 级 素养提升一、选择题1．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为 ( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．22．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 ( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝03．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是 ( )A ．－1B ．2C ．3D ．04．(2016·山东文)已知圆M ：x2＋y2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是 ( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[二、填空题5．若点A(a ，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x －a)2＋y2＝1与圆x2＋(y －b)2＝1的位置关系是____.6．与直线x ＋y －2＝0和圆x2＋y2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的方程是____.C 级 能力拔高1．已知圆M ：x2＋y2－2mx －2ny ＋m2－1＝0与圆N ：x2＋y2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.2．(2016～2017·金华高一检测)已知圆O ：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O 外一点P(a ，b)向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ|＝|PA|成立，如图.(1)求a ，b 间的关系；(2)求|PQ|的最小值．第四章 4.2 4.2.3A 级 基础巩固一、选择题1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过 ( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m2．已知实数x 、y 满足x2＋y2－2x ＋4y －20＝0，则x2＋y2的最小值是 ( )A ．30－105B ．5－5C ．5D ．253．方程y ＝－4－x2对应的曲线是 ( )4．y ＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是 ( )A ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π 5．方程1－x2＝x ＋k 有惟一解，则实数k 的范围是 ( )A ．k ＝－ 2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k<16．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线PA 、PB 分别与圆x2＋y2＝4相切于A 、B 两点，则四边形PAOB(O 为坐标原点)的面积的最小值等于 ( )A ．24B ．16C ．8D ．4二、填空题7．已知实数x 、y 满足x2＋y2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为____ 8．已知M ＝{(x ，y)|y ＝9－x2，y ≠0}，N ＝{(x ，y)|y ＝x ＋b}，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是__]__.三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01 m)1．(2016·葫芦岛高一检测)已知圆C 的方程是x2＋y2＋4x －2y －4＝0，则x2＋y2的最大值为 ( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋652．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l1：ax ＋3y ＋6＝0，l2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x2＋y2＋2x ＝b2－1(b>0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为 ( )A ．(2，322)B ．(0，322) C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞) 3．已知圆的方程为x2＋y2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ( )A ．106B ．206C ．306D ．4064．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为 ( )A ．4π5B ．3π4C ．(6－25)πD ．5π4二、填空题5．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 ____.6．设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，若存在实数t，使得A∩B≠∅，则实数a的取值范围是___.C级能力拔高1.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)。
高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)
高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。
以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。
一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
人教A版必修2圆的标准方程精选课时练习(含答案)8
人教A 版圆的标准方程精选课时练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．()()22 111x y ++-=的圆心在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知点()()4,4,5,3A B 都在圆C 上,且()()6,0,2,6M N 仅有一点在圆C 上,则圆C 的标准方程为A ．2297122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()22125x y -+= C ．()()22525x y -+-= D ．()()22352x y -+-= 3．已知两点()()1,3,3,A B a -,以线段AB 为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为 A ．()()22125x y -+-=B ．()()221240x y -+-= C ．()()22118x y -+-= D ．()()221132x y -+-= 4．若方程22448430x y x y +-+-=表示圆，则其圆心为（ ）A ．1(1,)2-- B ．1(1,)2 C ．1(1,)2- D ．1(1,)2- 5．若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y x =对称,则圆C 的标准方程为 A ．()2211x y -+=B ．()2211y x ++= C ．()2211y x -+= D ．()2211x y ++=6．方程2220x y ax ++-=表示圆心在直线x+y=0上的圆,则该圆的半径为A B ．C D ．6 7．函数y ＝f (x )的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f (x )>f (－x )＋x 的解集为( )A ．25[1,-∪(0,1]B ．[－1,0)∪25C ．25[1,5--∪25(0,5D ．25[1,5--∪5(1]58．圆2cos ,{2sin 2x y θθ==+的圆心坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,-2)D ．(-2,0) 9．已知三点(1,0)A ，3)B ，3)C ，则ABC △外接圆的圆心到原点的距离为（ ）．A ．43B 25C 21D ．5310．圆220x y ax ++=的圆心横坐标为1，则a 等于（ ）．A ．1B ．2C ．1-D ．2- 11．以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝912．已知圆2260x y ax y +++=的圆心在直线10x y --=上，则a 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．813．已知三点()((1,0,3,3A B C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53B 21C 25D ．4314．过点()0,2A 和()1,1B -，且圆心在直线10x y --=上的圆的方程是（ ） A ．()2215x y -+=B ．()2215x y +-=C ．()()22115x y -+-=D ．()()22115x y -++=15．方程x = ）A ．两个半圆B ．两个圆C ．圆D ．半圆 16．圆22240x y x y ++-=的圆心坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(1,2)-- 17．(2018·河南天一大联考段考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝518．(2018·长春二模)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y x 对称的圆的方程是( )A ．(x 2＋(y －1)2＝4B ．(x )2＋(y )2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y 2＝419．若直线10ax by -+=（0a >，0b >）平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为（ ）A ．3+B ．C ．12D ．3+20．圆:C 2220x y x +-=的圆心坐标和半径分别是( )A ．(1,0),2B ．(1,0),1C ．(1,0),2-D ．(1,0),1- 21．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝10B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2522．圆心在直线2x =上的圆C 与y 轴交于两点()0,4A -，()0,2B -，则圆C 的方程为 （ ）A ．()()22235x y -++=B ．()()22228x y -++= C ．()()22329x y -++= D ．()()22215x y -++= 23．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ）A ．23B ．1C ．12D ．3424．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以11A B 为直径的圆C 过点(2,3)M -，则圆C 的方程为( )A ．22(1)(2)2x y ++-=B ．22(1)(1)17x y +++=C ．22(1)(1)5x y ++-=D ．22(1)(2)26x y +++=25．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝4B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝426．以()2,1为圆心且与直线10y +=相切的圆的方程为（ ）A ．()()22214x y -+-=B ．()()22212x y -+-= C ．()()22214x y +++= D ．()()2221x y +++ 27．已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）A ．224250x y x y ++--=B ．224250x y x y +-+-=C ．22420x y x y ++-=D ．22420x y x y +-+=二、填空题28．圆心为()3,0且与直线0x +=相切的圆的方程为________.29．已知圆的圆心在曲线10)xy x =>（上，且与直线4130x y ++=相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．30．圆C 的圆心为点(8,3)-，且经过点(5,1)A ，则圆C 的方程为______________.31．已知圆M 与圆O ：x 2＋y 2＝3＋相内切，且和x 轴的正半轴，y 轴的正半轴都相切，则圆M 的标准方程是________．32．已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且经过(6,2)A ，(4,8)B 两点，则圆C 的标准方程是__________．33．圆22230x y x y ++-=的圆心坐标为__________．34．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于第________象限．35．圆22230x y x y +-+=的圆心坐标为________．36．已知圆C 经过点()0,6A -，()1,5B -，且圆心在直线:10l x y -+=上，则圆C 的标准方程为__________．37．若圆C 过两点(0,4),(4,6)A B ，且圆心C 在直线x －2y －2＝0上，则圆C 的标准方程为_________．三、解答题38．若圆C 经过坐标原点,且圆心在直线23y x =-+上运动,求当圆C 半径最小时圆C 的标准方程.39．已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点 （1）求过点O 、F ，并且与直线:2l x =-相切的圆的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.40．圆C 与直线250x y +-=相切于点()2,1，且与直线2150x y ++=也相切，求圆C 的方程．41．在Rt △ABO 中,∠BOA=90°,|OA|=8,|OB|=6,点P 为它的内切圆C 上任一点,求点P 到顶点A ,B ,O 的距离的平方和的最大值和最小值.42．已知直线l 过点(2,1)和点(5,4)．（1）求直线l 的方程．（2）若圆C 的圆心在直线l 上，且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程． 43．求过P （5，-3）、Q （0，6）两点，并且圆心在直线2x-3y-6=0上的圆的方程. 44．求圆心C 在直线2y x =上，且经过原点及点()3,1M 的圆C 的方程.45．已知过点()()1,3,1,1-且圆心在直线1y x =-上的圆C 与x 轴相交于,A B 两点，曲线Γ上的任意一点P 与,A B 两点连线的斜率之积为34-． （1）求曲线Γ的方程；（2）过原点O 作射线,OM ON ，分别平行于,PA PB ，交曲线Γ于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．46．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为2c ，离心率为12，圆222:O x y c +=，12,A A 是椭圆的左右顶点，AB 是圆O 的任意一条直径，1A AB ∆面积的最大值为2. （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若l 为圆O 的任意一条切线，l 与椭圆E 交于两点,P Q ，求PQ 的取直范围.47．已知抛物线2:2C x y =的焦点为F ，过抛物线上一点M 作抛物线C 的切线l ，l 交y 轴于点N .（1）判断MNF ∆的形状；（2） 若,A B 两点在抛物线C 上，点(1,1)D 满足0AD BD +=u u u v u u u v v，若抛物线C 上存在异于,A B 的点E ，使得经过,,A B E 三点的圆与抛物线在点E 处的有相同的切线，求点E的坐标.48．已知双曲线22:1C x y -=.（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程；（2）若经过点(0,1)P -的直线与双曲线C 的右支交于不同两点M 、N ，求线段MN 的中垂线l 在y 轴上截距t 的取值范围.49．某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设.规划中的轨道交通s 号线线路示意图如图所示.已知,M N 是东西方向主干道边两个景点，,P Q 是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O 均为52km ，线路AB 段上的任意一点到景点N 的距离比到景点M 的距离都多10km ，线路BC 段上的任意一点到O 的距离都相等，线路CD 段上的任意一点到景点Q 的距离比到景点P 的距离都多10km ，以O 为原点建立平面直角坐标系xOy .（1）求轨道交通s 号线线路示意图所在曲线的方程；（2）规划中的线路AB 段上需建一站点G 到景点Q 的距离最近，问如何设置站点G 的位置？50．已知圆C 经过()1,1A 和()2,2B -，且圆C 在直线:3410l x y -+=上， （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线m 垂直于直线l 且与圆C 相切．求直线m 的方程．参考答案1．B2．B3．A4．D5．C6．C7．C8．A9．C10．D11．B12．A13．B14．A15．D16．B17．A18．D19．A20．B21．D22．A23．B24．C25．C26．A27．C28．()2233x y -+=29．221(2)()172x y -+-=30．22(8)(3)25x y -++=31．(x －1)2＋(y －1)2＝132．22(2)(4)20x y -+-=33．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 34．四35．3(1,)2-36．22(3)(2)25x y +++=37．22(4)(1)25x y -+-= 38．22639555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭39．（1）2219()(.24x y ++±=（2）1(,0).2-40．()()222120x y +++=.41．88,7242．（1）1y x =-；（2）22(4)(3)16x y -+-= 43．22323445(19)()39x y -+-=． 44．()()22125x y -+-=.45．（1）()221243x y x +=≠±；（2）7]2.46．(1) 椭圆方程为22143x y +=，圆的方程为221x y += (2)[3,347．(1) MNF ∆为等腰三角形.(2) 点E 的坐标为1(1,)2-.答案第3页，总3页 48．(1) (221x y +=;(2)(2,)+∞.49．(1) 25x x y y +=- (2) 站点G的坐标为⎛ ⎝，可使G 到景点Q 的距离最近50．（1）()()223225x y +++=；（2）43430x y ++=.。
圆的标准方程练习题
圆的标准方程1.已知两直线x-2y=0和x+y-3=0的交点为M,则以点M 为圆心,半径长为1的圆的方程是 ( )A.(x+1)2+(y+2)2=1B.(x-1)2+(y-2)2=1C.(x+2)2+(y+1)2=1D.(x-2)2+(y-1)2=12.圆心在直线2x+y=0上,并且经过点A(1,3)和B(4,2)的圆的半径为 ( )A.3B.4C.5D.63.点(5√a +1,√a )在圆(x-1)2+y 2=26的内部,则a 的取值范围是 ( )A.0<a<1B.0≤a<1C.a>1D.a=14.圆E 经过点A(0,1),B(2,0),且圆心在x 轴的正半轴上,则圆E 的标准方程 为 ( )A.(x -32)2+y 2=254 B.(x +34)2+y 2=2516 C.(x -34)2+y 2=2516 D.(x -34)2+y 2=254 5.若圆心在x 轴上,半径为√的圆C 位于y 轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆C 的方程是____________.6.圆C:(x-1)2+(y+2)2=4,点P(x 0,y 0)在圆C 内部,且d=(x 0-1)2+(y 0+2)2,则d 的取值范围是____________.7.如图,矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0),AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD 边所在的直线上.(1)求AD 边所在直线的方程.(2)求矩形ABCD 外接圆的方程.8.已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P 在圆x 2+y 2=4上运动,求PA 2+PB 2+PC 2的最值.参考答案1.D2.C3.B4.C5. (x+5)2+y2=56. 0≤d<47.【解析】(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-3.又因为点T(-1,1)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.(2)由{x-3y-6=0,3x+y+2=0,解得点A的坐标为(0,-2).因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0),所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.又AM=√(2-0)2+(0+2)2=2√2,从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.8.【解析】设P点坐标为(x,y),则x2+y2=4.PA2+PB2+PC2=(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(x2+y2)-4y+68=80- 4y.因为-2≤y≤2,所以72≤PA2+PB2+PC2≤88.即PA2+PB2+PC2的最大值为88,最小值为72.。
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高二数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为_________．【答案】【解析】设圆心为(a,0),半径为r,由弦长为可得,又圆心在x轴的正半轴上，所以a>1,由已知可知半径、半弦长、弦心距围成一等腰三角形，所以有，答案为.【考点】1.圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系2.已知圆C过原点且与相切，且圆心C在直线上．(1)求圆的方程；(2)过点的直线l与圆C相交于A,B两点, 且, 求直线l的方程．【答案】(1) (2) x=2或4x-3y-2=0．【解析】（1）由题意圆心到直线的距离等于半径, 再利用点到直线的距离公式解出圆心坐标和半径即可．(2)由题知,圆心到直线l的距离为1．分类讨论：当l的斜率不存在时,l:x=2显然成立；若l的斜率存在时, 利用点到直线的距离公式,解得k ；综上,直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0．（1）由题意设圆心 ,则C到直线的距离等于 ,, 解得, ∴其半径∴圆的方程为 (6分)(2)由题知,圆心C到直线l的距离． (8分)当l的斜率不存在时,l:x=2显然成立 (9分)若l的斜率存在时,设,由得,解得,∴． (11分)综上,直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0． (12分)【考点】圆的方程；点到直线的距离公式．3.已知圆,圆内有定点,圆周上有两个动点，，使，则矩形的顶点的轨迹方程为．【答案】【解析】设A（），B（），Q（），又P（1，1），则，，＝()，＝()．由PA⊥PB，得•＝0，即（x1-1）（x2-1）+（y1-1）（y2-1）=0．整理得：x1x2+y1y2-（x1+x2）-（y1+y2）+2=0，即x1x2+y1y2=x+1+y+1-2=x+y①又∵点A、B在圆上，∴x12+y12＝x22+y22＝4②再由|AB|=|PQ|，得(x1−y1)2+(x2−y2)2＝(x−1)2+(y−1)2，整理得：x12+y12+x22+y22−2(x1y1+x2y2)＝(x−1)2+(y−1)2③把①②代入③得：x2+y2=6．∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x2+y2=6．故答案为：x2+y2=6．.【考点】直线与圆．4.（1）求圆心在轴上，且与直线相切于点的圆的方程；（2）已知圆过点，且与圆关于直线对称,求圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意可设圆心，所以圆心和切点的连线与直线垂直，根据斜率相乘等于，可求出圆心坐标，圆心与切点间的距离为半径，即可求出圆的标准方程。
圆的标准方程练习题
圆的标准方程练习题圆的标准方程练习题圆是数学中的一个基本几何形状，它在我们的生活中随处可见。
在解决与圆相关的问题时，掌握圆的标准方程是非常重要的。
本文将通过一些练习题来帮助读者加深对圆的标准方程的理解和应用。
练习题一：求圆的标准方程1. 已知圆心为(2, -3)，半径为5，求圆的标准方程。
解析：圆的标准方程为$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)为圆心坐标，r 为半径。
代入已知条件，得到$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$。
2. 已知圆心为(-1, 4)，过点(3, 2)，求圆的标准方程。
解析：首先求得半径，半径的长度等于圆心到过点的距离。
利用距离公式$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，代入已知条件，得到$d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
然后代入圆心和半径，得到$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 20$。
练习题二：判断给定方程是否为圆的标准方程1. $x^2 + y^2 + 2x - 4y = 0$解析：这个方程可以通过将其进行配方来判断是否为圆的标准方程。
将方程进行配方，得到$(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = 0$，化简后得到$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$。
因此，这个方程是圆的标准方程。
2. $x^2 + y^2 + 3x - 2y + 4 = 0$解析：同样地，将方程进行配方，得到$(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0$，化简后得到$(x + \frac{3}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{9}{4} + 1$。
因此，这个方程不是圆的标准方程。
圆的标准方程
x 2 +y 2 = r2
10
练习1:(口答):求圆的圆心及半径
(1)、x2+y2=4
y X -2 0 +2
(2)、(x+1)2+y2=1
y
X -1 0
C(0、0) r = 2
C(-1、0) r=1
11
练习2：写出下列圆的方程
1、圆心在原点，半径为3。 2、圆心在(3,4),半径为 5 解:
(1) x2+y2=9
6．圆心在 3x－y=0 上与x轴相切并且被直
线 y=x 截得的弦长为2
7
的圆的方程
(x－1)2+(y－3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9 。 是
31
圆的标准方程
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为 x 2 + y 2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此 必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已 知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆 心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。 (3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程 解决实际问题。
2 2
把 M 1 ( 5 , 7 ) 的坐标代入方程( x 2 ) ( y 3 ) 25 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
M 1在这个圆上；
把点 M ( 5 , 1) 的坐标代入此方程，左右两边 不相等，点M 的坐标不适合圆的方程，所以点 M 不 在这个圆上．
9
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
圆的标准方程 练习
一、单选题2．圆心是()3,4C -，半径是5的圆的方程为（ ）A ．()223(4)5x y -++=B ．()223(4)25x y -++=C ．()223(4)5x y ++-=D ．()223(4)25x y ++-= 3．圆心为()1,2-，半径为3的圆的方程是（ ）A ．()()22129x y ++-=B ．()()22123x y -++=C ．()()22123x y ++-=D ．()()22129x y -++= 6．已知圆的一条直径的端点分别是()0,0A ，()2,4B ，则此圆的方程是（ ）A ．()()22125x y -+-=B ．()()221225x y -+-=C ．()2255x y -+=D ．()22525x y -+= 7．圆2221x y y ++=的半径为( )A ．1B C ．2 D ．4 8．已知圆()()22:684,C x y -+-=O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程( )A ．()()2234100x y -++=B ．()()2234100x y ++-=C ．()()223425x y -+-=D ．()()22+3425x y +-= 4．圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为( )A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1y x +-=D ．22(1)1x y ++=1．若圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于原点对称，则圆C 的标准方程为（ ）A ．22(2)(1)1x y -++=B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(2)(2)1x y -++=D ．22(1)(2)1x y ++-= 5．圆()()22141x y +--=关于直线y x =称的圆是（ ）A ．()()22141x y --+=B ．()()22411x y --+=C ．()()22411x y +--=D ．()()22141x y ---= 9．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．22(2)(1)1x y -+-=B ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 10．已知圆C 与圆()2211x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为（ ）A ．()2212x y ++=B ．222x y +=C ．()2211x y ++=D ．()2211x y +-= 11．圆心为()1,2-，且与x 轴相切的圆的标准方程为（ ） A ．()()22122x y -+=+ B ．()()22124x y -++= C ．()()22122x y ++-= D ．()()22124x y ++-= 12．圆心在y 轴上，半径为1，且过点()12，的圆的方程是（ ） A ．()2221x y +-= B ．()2221x y ++= C ．()()22131x y -+-= D ．()2231x y +-= 13．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点坐标分别为()()0,0,4,0,4,(2)(),0,2O A B C ﹣﹣，则矩形OABC 的外接圆方程是（ ）A ．22420x y x y +-+=B ．22420x y x y ++-=C ．22840x y x y +-+=D ．22840x y x y ++-= 14．如图，在直角坐标系xOy 中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD 分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD 的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是（ ）A ．22210x y x y +-++=B ．222210x y x y ++-+=C ．22210x y x y +-+-=D ．222210x y x y +-+-=15．以点()3,2-为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程是（ ）A ．()()22329x y ++-=B ．()()22324x y +++=C ．()()22324x y ++-=D ．()()22329x y -++= 16．以点()1,1A -为圆心且与直线20x y +-=相切的圆的方程为（ ）A ．22(1)(1)1x y -++=B ．22(1)(1)1x y ++-=C ．22(1)(1)2x y -++=D ．22(1)(1)2x y ++-=18．半径为1的圆C 的圆心在第四象限，且与直线y =060y --=均相切，则该圆的标准方程为（ ）A ．22(1)(1x y -+-=B ．22((1)1x y -+-=C ．22(1)(1x y -+=D ．22((1)1x y ++= 17．已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b ∈∈，则方程22()()4x a y b -+-=可表示不同的圆的个数为（ ） A ．7B ．9C ．12D ．16第II 卷（非选择题）二、解答题19．已知圆C 过点()()3153A B ,,,，圆心在直线y x =上，求圆C 的方程.20．求圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，被直线0x y -=截得的弦长的圆的方程21．已知圆过两点()1,4A 、()3,2B，且圆心在直线0y =上.（1）求圆的标准方程；（2）判断点()2,4P 与圆的关系.22．直线l 过点(1,0)-，圆C 的圆心为()2,0C .（1）若圆C 的半径为2，直线l 截圆C 所得的弦长也为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 的斜率为1，且直线l 与圆C 相切，求圆C 的方程.三、填空题23．若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是________24．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是()5,6，()3,4-，则这个圆的方程是____________. 25．以点P （1，1）为圆心，且经过原点的圆的标准方程为____________．26．圆22(2)(1)1x y -+-=关于(1,2)A 对称的圆的方程为________.27．以点()5,4A -为圆心且与y 轴相切的圆的标准方程为______________________；28．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，则实数F ＝________．四、双空题29．直线142x y +=与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB =______；以线段AB 为直径的圆的方程为_________． 30．已知圆C 的圆心在直线230x y -+=，半径为r ，且与直线:40l x y -+=切于点()2,2P -，则圆C 的圆心坐标为______；半径r =______.31．圆C :x 2+y 2-8x -2y =0的圆心坐标是____;关于直线l :y =x -1对称的圆C '的方程为_.10参考答案1．A【详解】圆22(2)(1)1x y ++-=的圆心为()21-，，半径为1. 点()21-，关于原点的对称点为()21C -，， 所以圆C 的方程为22(2)(1)1x y -++=．故选：A2．D【详解】圆心是()3,4C -，半径是5的圆的方程为： ()223(4)25x y ++-=，故选：D3．D因为圆心为()1,2-，半径为3，故圆的方程为：()()22129x y -++=. 故选：D.4．C【解析】设圆方程()2221x y r +-=，直线2y =与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r ，211r ∴=-=，故圆的方程为()2211x y +-=，故选C.5．B圆心()1,4-关于直线y x =的对称点为()41-,，半径不变，∴所求圆的方程为()()22411x y -+-=.故选：B6．A【详解】直径两端点为()()0,0,2,4 ∴圆心坐标为()1,2圆的半径r ==，∴圆的方程为：()()22125x y -+-=.故选：A.7．B试题分析：由题意得，圆2221x y y ++=，可化为22(1)2x y ++=，所以R =B ． 8．C由题得OC 中点坐标为（3,4），，所以圆的方程为()()223425x y -+-=.故选C9．A【解析】试题分析：设圆心坐标为（a ，b ）（a ＞0，b ＞0），由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=4315a br -==，化简得：|4a-3b|=5①，又圆与x 轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-12（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．故选A10．C由题意，圆心为()0,1-，半径1r =，则圆的方程为()2211x y ++=， 故选：C ．11．B解：因为圆心为()1,2-，圆与x 轴相切，所以圆的半径为2，所以圆的标准方程为()()22124x y -++=，故选：B12．A 因为圆心在y 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为()0,b ，则圆的方程为22()1x y b +-=，又点()12，在圆上，所以()2121b +-=，解得2b =.故选：A13．B矩形OABC 的中心为(2,1)-=所以矩形OABC 的外接圆的圆心为(2,1)-所以矩形OABC 的外接圆方程是22(2)(1)5++-=x y ，即22420x y x y ++-=. 故选：B14．B由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1，可得第一象限的的圆心为()1,1，方程为()()22111x y -+-=，即222210x y x y +--+=； 第二象限的的圆心为()1,1-，方程为()()22111x y ++-=，即222210x y x y ++-+=； 第三象限的的圆心为()1,1--，方程为()()22111x y +++=，即222210x y x y ++++=； 第四象限的的圆心为()1,1-，方程为()()22111x y -++=，即222210x y x y +-++=； 故选：B.15．C 由题可以构建图像，观察可知该圆半径为2则以点()3,2-为圆心，2为半径为的圆的标准方程为()()22324x y ++-=. 故选：C16．D【详解】由题意r ==， ∴圆方程为22(1)(1)2x y ++-=．故选：D.17．C【详解】得到圆的方程分两步：第一步：确定a 有3种选法；第二步：确定b 有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12（个）.故选：C.18．D如图，由题意可设圆心坐标为（a ，﹣1），r =1．则1d ==52-=，解得a =3．结合选项可得，所求圆的方程为22((1)1x y ++=．故选：D19．()()22334x y -+-=.解：由题意设圆心为(),C a a ，半径为r ，则圆的标准方程为()222()x a y a r -+-=.由题意得()()222222(3)1(5)3a a r a a r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得32a r =⎧⎨=⎩， 所以圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.20．22(1)(3)9x y +++=或22(1)(3)9x y -+-=由已知设圆心为(,3)a a ,与x 轴相切则3r a =圆心到直线的距离d =,弦长为:224792a a += 解得1a =±圆心为()1,3或()1,3--,3r =圆的方程为22(1)(3)9x y -+-=或22(1)(3)9x y +++=.21．（1）()22120x y ++=；（2）点P 在圆外.（1）圆心在直线0y =上， ∴设圆心坐标为(),0C a ， 则AC BC =，= 即()()2211634a a -+=-+，解得1a =-，即圆心为()1,0-，半径r AC ====则圆的标准方程为()22120x y ++=（2）PC ===5=r > ∴点()2,4P 在圆的外面.22．（1）1)2y x =±+；（2）229(2)2x y -+=. 【分析】（1）根据圆心和半径，可得圆的方程，根据弦长公式，计算圆心到直线的距离，然后通过讨论直线斜率存在与否，可得结果.（2）根据直线与圆的位置关系，可得r d =，计算可得结果.（1）若直线l 斜率不存在，即直线l 方程为1x =-，显然不合题意.若直线l 斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=由直线l 截圆C 所得的弦长也为2，可知圆心(2,0)C 到直线l ==∴2k =±故所求直线的方程是(1)2y x =±+ （2）依题意得：直线l 的方程为1y x =+∵直线l 与圆C 相切∴r d ===故所求圆的方程是229(2)2x y -+=23．()()22211x y -++= 已知圆圆心为(2,1)-，∴(2,1)C -，∴圆C 方程为22(2)(1)1x y -++=．24．()()224126x y -+-=； 由题得圆心的坐标为5364(,)22+-，即(4,1).=所以圆的方程为()()224126x y -+-=.故答案为：()()224126x y -+-=25．()()22112x y -+-=∵P （1，1）为圆心，且经过原点，∴半径r=，∴圆的标准方程为()()22112x y -+-=. 故答案为()()22112x y -+-=．26．22(3)1x y +-=圆22(2)(1)1x y -+-=的圆心为(2,1)，半径为1r =， 又圆心(2,1)关于(1,2)A 对称的点为(,)x y ，则212122x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得0,3x y ==， 故所求圆的方程为22(3)1x y +-=.故答案为：22(3)1x y +-=27．22(5)+(4)25x y +-=∵以点()5,4A -为圆心的圆，且与y 轴相切，∴所求圆的半径为5，∴圆的标准方程为22(5)+(4)25x y +-=，故答案为：22(5)+(4)25x y +-=.圆的标准方程答案第11页，总11页 28．－2方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0可化为（x －1）2＋（y ＋1）2＝2－F ， 因为方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，所以222F -=，所以F ＝－2.故答案为：-229． 22420x y x y +--=令0x =得2y =,令0y =得4x =,所以(4,0),(0,2)A B , 所以AB==所以AB 中点坐标为()2,1所以圆的方程：()222(1)5x y -+-=.故答案为:22420x y x y +--= 30．()1,1-由题联立方程230y x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得圆心为()1,1-，所以r ==所求圆的方程为()()22112x y ++-=，它是以()1,1-为半径的圆.故答案为：()1,1-.31．(4，1) (x -2)2+(y -3)2=17由圆的一般式方程可得圆心坐标(4,1),半径r ==设(4,1)关于直线l 的对称点为(,)x y ,则11414122y x y x -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=-⎪⎩,解得23x y =⎧⎨=⎩, 所以圆C 关于直线l 对称的圆C '的方程为22(2)(3)17x y -+-=. 故答案为：(4,1)；22(2)(3)17x y -+-=.。
圆的标准方程试题(含答案)
（一）选择题1、若直线(m 2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m 取值范围是A 、-1<m ≤21B 、21-≤m ≤1C 、21<m<1D 、21≤m ≤1 2、已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为4π，则m 值为 A 、31-或-3 B 、-3或31 C 、-3或3 D 、31或3 3、点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值是A 、2B 、6C 、22D 、104、过点A （1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有A 、1条B 、2条C 、3条D 、4条5、圆x 2+y 2-4x+2y+C=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=900，则C 的值是A 、-3B 、3C 、22D 、86、若圆(x-3)2+(y+5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r 取值范围是A 、（4，6）B 、[4，6）C 、（4，6]D 、[4，6]7、将直线x+y-1=0绕点（1，0）顺时针旋转2π后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x 2+(y-1)2=R 2相切，则正数R 等于A 、21B 、22C 、1D 、28、方程x 2+y 2+2ax-2ay=0所表示的圆A 、关于x 轴对称B 、关于y 轴对称C 、关于直线x-y=0对称D 、关于直线x+y=0对称（二）填空题9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为（3，-2），则过点（a ，b ），（d ，e ）的直线方程是___________________。
10、已知{(x ，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x ，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。
11、已知x ，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥++010y 5x 206y 3x 5015y 8x 3，则x-y 的最大值为________，最小值为________。
圆的标准方程-练习题
一、选择题1. 圆心是(4, -1),且过点(5.2)的圆的标准方程是( )Λ. α-4)2+(y+l)2=10 B. (A ^+4)2+(y-l)2=10 C. (χ-4)2+(y÷l)2=100D. (%-4)2÷ (y+1)2=√W2. 已知圆的方程是(χ-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)满足() A.是圆心B.在圆上C.在圆内3. 圆(A -+1)2+(7-2)2=4的圆心坐标和半径分别为() Λ. (-1,2), 2B. (1, -2), 2C. (-1,2), 44. (2016 •锦州高一检测)若圆C 与圆(x+2)2÷(y-l)2= 1关于原点对称，则圆C 的方程是()Λ. α-2)2+(y+l)2=l B. (χ-2)2+(y-l)2=l C. U-l)2+(y+2)2=lD. (A ÷1)2÷(7+2)2=15. (2016 •全国卷II)圆√+∕-2χ-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1 =0的距离为1,则日=()6. 若Pa 一1)为圆(χ-l)2+y=25的弦/矽的中点，则直线/矽的方程是(Λ )二、 填空题7. 以点(2, — 1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是8. 圆心既在直线x —y=0上，又在直线x+y —4=0上，且经过原点的圆的方程是三、 解答题9. 圆过点 Atl 9 一2)、B(-l,4).求 (1) 周长最小的圆的方程；⑵圆心在直线2x —y —4 = 0上的圆的方程.10. 已知圆川的标准方程为(%-5)2+(y-6)2=a 2(a>0).Λ.B.C. √3D. 2 D.在圆外D. (h -2), 4A. X —y —3=0B ・ 2x+ y — 3 = 0C ・ x+ y — 1 =0D. 2%—y —5=0(1)若点M6.9)在圆上，求。
的值；(2)已知点A3,3)和点0(5.3),线段図(不含端点)与圆再有且只有一个公共点，求臼的取值范围.B级素养提升一、选择题1. (2016〜2017-宁波高一检测)点与圆√+∕=j的位置关系是Λ.在圆上 B.在圆内 C.在圆外 D.不能确定2.若点(2o, a-l)在圆√÷(y+l)2=5的内部，则&的取值范围是( )Λ. (一8, 1] B. (一1・1) C. (2.5) D・(1, +∞)3.若点P(l, 1)为圆α-3)2+72=9的弦的中点，则弦聽V所在直线方程为( )Λ. 2x+y—3=0 B・X—2y+l=0 C. x+2y—3=0 D・(IX—y—1=04.点"在圆(Λ--5)2+(7-3)2=9上，则点J/到直线3x+4y-2=0的最短距离为( )Λ. 9B・8 C・5 D・2二、填空题5.已知圆C经过力(5∙1). 0(1∙3)两点，圆心在才轴上，则C的方程为6.以玄线2x+y-4 = 0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为C级能力拔高1・如图，矩形力仇0的两条对角线相交于点M2,0), /矽边所在直线的方程为χ-3y-6=0, 边所在的直线上•求力〃边所在直线的方程・2.求圆心在直线4x+y=0上，且与直线才+y—l =0切于点Λ3, 一2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.一、选择题1・圆z÷√-4x+6y= O的圆心坐标是( )Λ. (2.3) B. (-2,3) C. (一2, -3) D. (2, -3)2・(2016〜2017 •曲靖高一检测)方程√+∕÷2^r-Λy÷c= 0表示圆心为67(2,2),半径为2的圆，则血b、C 的值依次为( )Λ. —2,4.4 B. —2, —4,4 C. 2, —4,4 D. 2, —4, —43.(2016〜2017 •长沙高一检测)已知圆C过点J∕(l,l), A r(5,1),且圆心在直线y=x~2上，则圆C的方程为 ( )A・ X ÷y-6A r-2y÷6 = 0 B. x ÷y÷6%-2y÷6=0[C・ x'÷y ÷6x÷2y÷6=0 D・ A r÷y —2χ-6y÷6=04.设圆的方程是Y÷y2+2ax÷2y+(a-l)2=0,若O<X1,则原点与圆的位置关系是( )Λ.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不确定5・若圆√+∕-2χ-4y= 0的圆心到直线AT-y÷5= 0的距离为专，则日的值为( )1 3A. —2 或2B. §或O C・ 2 或0 D. —2 或06.圆Z÷∕-2y-l =O关于直线y=x对称的圆的方程是( )Λ. (X—1)^+y =2 B. (x+l)'+y i=2C. (A-I)2+y =4D. (^+l)2+y=4二、填空题7.圆心是(-3,4),经过点.f∕(5,l)的圆的一般方程为______________________ .8.设圆√+y-4,r+2y-ll= 0的圆心为儿点P在圆上，则刊的中点〃的轨迹方程是一三、解答题9.判断方程X + y -4^+ 2my+ 20/»-20=0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.10.求过点J(-l,0). g(3∙0)和C(0.1)的圆的方程.B级素养提升一、选择题1.若圆x2+y2-2ax÷36y= 0的圆心位于第三象限，那么直线x+ay+b =0—定不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2•在圆√+y2-2-γ-6y =0内，过点F(OJ)的最长弦和最短弦分别为和加,则四边形/处9的面只为( )Λ. 5√2 B. 10√5 C. 15√2D・20√23.若点(2o, a— 1)在圆x2÷y2—(Iy-5a'=0的内部，则日的取值范围是( )4 4 4 Q QΛ. ( — 8, -] B. (―-, ξ) C. (―[, +∞) D. (丁，+∞)4.若直线7：乩γ+by+l=O始终平分圆J/： z+y+4x÷2y÷l=0的周长，则(a-2)2+(Z,-2)2的最小值为)二、填空题5.已知圆C: √+∕+2,γ+ay-3 = 0U为实数)上任意一点关于直线/：χ-y+2=0的对称点都在圆C上，则。
4.1.1 圆的标准方程(练习)(解析版)
4.1.1圆的标准方程（练习）(建议用时：40分钟)一、选择题1．方程|x|－1＝1－(y－1)2所表示的曲线是()A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆【答案】D[由题意，x|－1)2＋(y－1)2＝1，|－1≥0，－1)2＋(y－1)2＝1，≥1＋1)2＋(y－1)2＝1，≤－1，故原方程表示两个半圆．]2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【答案】D[由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.选D.]3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5【答案】A[圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，则圆心关于原点(0,0)对称的点为(2,0)，则所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝5.]4．若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(－∞，5)C．(0,5)D．[0,5]【答案】C[由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2＞m，即m＜5，又易知m＞0，∴0＜m＜5，故选C.]5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为()A ．2B ．1C ．3D ．2【答案】B[x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.]二、填空题6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________.【答案】±2[∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上，∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2，∴m ＝±2.]7．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________．【答案】1＋2[圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.]8．已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是________.∞，－32∪34，＋[y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：A (－1，－3)，B (3,0)，C (－3,0)，则k AB ＝34，k AC ＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.]三、解答题9．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程．【答案】设圆心为(a,0)，则(a －1)2＋16＝(a －2)2＋9，所以a ＝－2.半径r ＝(a －1)2＋16＝5，故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.10．△ABC 的三个顶点为A (－1,2)，B (2,1)，C (3,4)．(1)求△ABC 外接圆的标准方程；(2)求BC 边中线所在直线截其外接圆的弦长．【答案】(1)设其外接圆方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为顶点在圆上，则：1－a )2＋(2－b )2＝r 2，－a )2＋(1－b )2＝r 2，－a )2＋(4－b )2＝r 2⇒a ＝1，b ＝3，r ＝5，所以△ABC 外接圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －3)2＝5.(2)BC 的中点k AD ＝17，所以直线AD 为：x －7y ＋15＝0，圆心(1,3)到直线AD 的距离d ＝22，又因为半径为5，所以半弦长为＝322，所以弦长为3 2.提升篇1．点P x 2＋y 2＝1的位置关系是()A ．点在圆内B ．点在圆外C ．点在圆上D ．与t 有关【答案】C [把点P ＝1＋2t 2＋t 4(1＋t 2)2＝1.所以点P 在圆上．选C.]2．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D [由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限．]3．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．【答案】5＋2[由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为(2－3)2＋(3－4)2＋5＝5＋ 2.]4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．【答案】(x －2)2＋(y －1)2＝1[依题意设圆心坐标为(a,1)，则1＝|4a －3|5，又a ＞0，∴a ＝2.所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.]5．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的方程.【答案】设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2，8×1＋n 2－31＝0，＝4，＝5.所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.。
圆的标准方程(经典练习及答案详解)
2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程1.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P (3,2)( )A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P 在圆内.2.已知点A (-4,-5),B (6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x+1)2+(y-3)2=116 C.(x-1)2+(y+3)2=29D.(x-1)2+(y+3)2=116A (-4,-5),B (6,-1),所以线段AB 的中点为C (1,-3),所求圆的半径r=12|AB|=12√102+42=√29,所以以线段AB 为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29,故选C .3.方程x=√1-y 2表示的图形是( ) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆D.半圆x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D .4.一个动点在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点A (3,0)的连线中点的轨迹方程是( ) A.(x+3)2+y 2=4 B.(x-3)2+y 2=1 C.(2x-3)2+4y 2=1D.x+322+y 2=12M (x 0,y 0)为圆上的动点,则有x 02+y 02=1,设线段MA 的中点为P (x ,y ),则x=x 0+32,y=y 0+02,则x 0=2x-3,y 0=2y ,代入x 02+y 02=1,得(2x-3)2+(2y )2=1,即(2x-3)2+4y 2=1.5.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心是 ,半径是 .-3) √26.圆(x+1)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的标准方程为 .(x+1)2+y 2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x 的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x 2+(y+1)2=5.2+(y+1)2=57.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A ,B ,则以线段AB 为直径的圆的方程是 .解析由题意得A (0,3),B (-4,0),AB 的中点-2,32为圆的圆心,直径AB=5,以线段AB 为直径的圆的标准方程为(x+2)2+y-322=254. 答案(x+2)2+y-322=2548.已知圆M 过A (1,-1),B (-1,1)两点,且圆心M 在直线x+y-2=0上. (1)求圆M 的方程;(2)若圆M 上存在点P ,使|OP|=m (m>0),其中O 为坐标原点,求实数m 的取值范围.设圆M 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0),根据题意得{a +b -2=0,(1-a )2+(-1-b )2=r 2,(-1-a )2+(1-b )2=r 2,解得{a =1,b =1,r =2,所以圆M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)如图,m=|OP|∈[2-√2,2+√2].关键能力提升练9.若直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k ,b 的值分别为( ) A.12,-4B.-12,4C.12,4D.-12,-4y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=12,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.10.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.-∞,-4√33∪4√33,+∞D.(-∞,-4)∪(4,+∞)方法1)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A,B两点的直线方程为y=a4x+a2,即ax-4y+2a=0,令d=√a2+16=1,化简后,得3a2=16,解得a=±4√33.再进一步判断便可得到正确答案为C.(方法2)(数形结合法)如图,设直线AB切圆O于点C在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=4√33,再由图直观判断,故选C.11.(2020四川成都石室中学高二上期中)已知实数x,y满足x2+y2=1,则√3x+y的取值范围是()A.(-2,2)B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-2,+∞)解析因为x2+y2=1,所以设x=sin α,y=cos α,则√3x+y=√3sin α+cos α=2sinα+π6,所以√3x+y的取值范围是[-2,2].故选C.12.(多选题)若经过点P(5m+1,12m)可以作出圆(x-1)2+y2=1的两条切线,则实数m的取值可能是()A.110B.113C.-113D.-12P 可作圆的两条切线,说明点P 在圆的外部,所以(5m+1-1)2+(12m )2>1,解得m>113或m<-113,对照选项知AD 可能.13.(多选题)设有一组圆C k :(x-k )2+(y-k )2=4(k ∈R ),下列命题正确的是( ) A.不论k 如何变化,圆心C 始终在一条直线上 B.所有圆C k 均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C k 有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π(k ,k ),在直线y=x 上,故A 正确;令(3-k )2+(0-k )2=4,化简得2k 2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k 2-6k+5=0无实数根,故B 正确;由(2-k )2+(2-k )2=4,化简得k 2-4k+2=0,∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆C k 有两个,故C 错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D 正确.故选ABD .14.已知点A (8,-6)与圆C :x 2+y 2=25,P 是圆C 上任意一点,则|AP|的最小值是 .82+(-6)2=100>25,故点A 在圆外,从而|AP|的最小值为√82+(-6)2-5=10-5=5.15.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C 的标准方程为 .(a ,0),且a>0,则点(a ,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即√32+42=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C 的标准方程为(x-2)2+y 2=4.x-2)2+y 2=416.矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,1),AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T (-1,0)在AD 边所在直线上. (1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.因为AB 边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD 与AB 垂直,所以直线AD 的斜率为-2.又因为点T (-1,0)在直线AD 上,所以AD 边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.(2)由{x -2y -4=0,2x +y +2=0,解得{x =0,y =-2,所以点A 的坐标为(0,-2),因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,1),所以M 为矩形外接圆的圆心.又|AM|=√(2-0)2+(1+2)2=√13,从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.学科素养创新练17.设A(x A,y A),B(x B,y B)为平面直角坐标系内的两点,其中x A,y A,x B,y B∈Z.令Δx=x B-x A,Δy=y B-y A,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上?若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个.(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x,y).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,√5为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.。
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析
高一数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.圆心为点，且经过原点的圆的方程为【答案】【解析】由于圆过原点，，所以圆的标准方程.【考点】圆的标准方程2.圆的圆心和半径分别（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将圆配方得：，故知圆心为（2，-1），半径为，所以选A【考点】圆的一般方程.3.圆的面积为；【答案】【解析】写成标准方程,所以,那么圆的面积公式等于.【考点】圆的标准方程与圆的一般方程4.圆的方程过点和原点，则圆的方程为；【答案】【解析】设圆的一般方程为,将三点代入得：,解得,所以圆的方程为.【考点】求圆的方程5.已知，则以线段为直径的圆的方程为；【答案】【解析】,,圆心为中点，圆心，所以圆的方程为.【考点】求圆的标准方程6.已知圆方程.（1）若圆与直线相交于M，N两点，且（为坐标原点）求的值；（2）在（1）的条件下，求以为直径的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】首先确定方程表示圆时应满足的条件；设，，利用韦达定理，建设立关于的方程,解方程可得的值.在（1）的条件下,以为直径的圆过原点,利用韦达定理求出的中点,从而也就易于求出半径,得到圆的方程.试题解析：解：（1）由得:2分于是由题意把代入得 3分， 4分∵得出： 5分∴∴ 8分（2）设圆心为.9分半径 12分圆的方程 13分【考点】1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系；3、韦达定理的应用；4、向量垂直的条件．7.已知，则以为直径的圆的方程是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆心为AB的中点，为。
直径为，半径为，所以所求的圆的方程是。
故选A。
【考点】圆的标准方程点评：要得到圆的标准方程，需求出圆的圆心和半径。
8.当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，半径为的圆是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】变形为，令得，定点，所以圆的方程为【考点】直线方程过定点及圆的方程点评：带参数的直线方程一定过定点，求定点时将含有参数的整理到一起，不带参数的整理到一起，化为的形式可求得定点9.求经过三点A，B(), C（0，6）的圆的方程，并指出这个圆的半径和圆心坐标.【答案】，圆心坐标是.【解析】解：设所求圆的方程为 2分点A，B(), C（0，6）的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得 6分解得： 8分于是得所求圆的方程为： 10分圆的半径圆心坐标是. 12分【考点】圆的一般方程点评：此题考查了圆的一般方程，求圆方程的方法为待定系数法，此方法是先设出圆的一般方程，然后把已知的点代入到所设的方程中确定出圆方程中字母的值，从而确定出圆的方程10.已知圆过点 A(1, 1)和B (2, -2),且圆心在直线x - y +1=0上，求圆的方程____.【答案】【解析】根据圆的几何性质可知圆心是AB的垂直平分线与直线x-y+1=0的交点.因为AB的垂直平分线方程为,即.由得,所以圆心坐标为(-3,-2),半径为5,所以所求圆的方程为.11.若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（）A．．B．．C．D．【答案】B【解析】解：因为表示圆，则说明，解得，选B12.( 本小题满分14)已知点A（-4，-5），B（6，-1），求以线段AB为直径的圆的方程。
圆的方程测试题及答案.doc
圆的方程专项测试题一、选择题1.若直线4x-3y -2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y +a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7 B .-6＜a ＜4 C.-7＜a ＜3 D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y -3)2=9上到直线3x+4y -11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y +3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2) C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y =r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B.1C.2D.25．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ B ） A ．21± B ．22± C ．2221-或D ．2221或-6.直线x-y +4=0被圆x 2+y 2+4x-4y +6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.427．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ C ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8.圆(x-3)2+(y +4)2=2关于直线x+y =0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y -4)2=2 B.(x-4)2+(y +3)2=2 C.(x+4)2+(y -3)=2 D.(x-3)2+(y -4)2=29.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( ) A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜131 10.关于x,y 的方程Ax 2+Bx y +C y 2+Dx+E y +F=0表示一个圆的充要条件是( ) A.B=0，且A=C ≠0 B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0 C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0 D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 11.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1)12.若两直线y =x+2k 与y =2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( ) A.-51＜k ＜-1B.-51＜k ＜1C.-31＜k ＜1 D.-2＜k ＜2二、填空题13.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分别是 .14.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y =0，则x-2y 的最大值是 .15.若集合A={(x 、y )｜y =-｜x ｜-2}，B={(x,y )｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A ∩B=ϕ，则实数a 的取值范围是 .16.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题17.求圆心在直线2x-y -3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.18. 过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程.19. 已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若︒=∠90APB .求m 的值．20.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.21.自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2+ y 2 －4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．22.已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线L ，使L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线L 的方程，若不存在说明理由．参考答案：1.B2.C3.B4.D5.B6.C7.C8.B9.D 10.D 11.D 12.B 13.(-2a ,0), 2a 14.10 15.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)16.θ=arccot22 或π-arccot22, 817.(x-2)2+(y -1)2=10 10.3x+4y +1=0或4x+3y -1=0 ；18. 解：设圆(－1)2+(y －1)2=1的圆心为1O ，由题可知,以线段P 1O 为直径的圆与与圆1O 交于AB 两点,线段AB 为两圆公共弦,以P 1O 为直径的圆方程5)20()23(22=-+-y x ①已知圆1O 的方程为(x-1)2+(y -1)2=1 ② ①②作差得x+2y -41=0， 即为所求直线l 的方程。
圆的标准方程-练习题(汇编)
第四章 4.1 4.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．圆心是(4，－1)，且过点(5,2)的圆的标准方程是 ( ) A ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝10 C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝10 2．已知圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝4，则点P (3,2)满足 ( ) A ．是圆心B ．在圆上C ．在圆内D ．在圆外3．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心坐标和半径分别为 ( ) A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，44．(2016·锦州高一检测)若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是 ( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝15．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝ ( ) A ．－43B ．－34C ．3D ．26．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( A ) A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0二、填空题7．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是 .8．圆心既在直线x －y ＝0上，又在直线x ＋y －4＝0上，且经过原点的圆的方程是 三、解答题9．圆过点A (1，－2)、B (－1,4)，求 (1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．10．已知圆N 的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝a 2(a >0). (1)若点M (6,9)在圆上，求a 的值；(2)已知点P (3,3)和点Q (5,3)，线段PQ (不含端点)与圆N 有且只有一个公共点，求a 的取值范围．B 级 素养提升一、选择题1．(2016～2017·宁波高一检测)点⎝⎛⎭⎫12，32与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是 ( )A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定2．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y ＋1)2＝5的内部，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，1]B ．(－1,1)C ．(2,5)D ．(1，＋∞)3．若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 ( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝04．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为 ( ) A ．9 B ．8C ．5D ．2二、填空题5．已知圆C 经过A (5,1)、B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__ __.6．以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为____.C 级 能力拔高1.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在的直线上．求AD 边所在直线的方程.2．求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.第四章 4.1 4.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是 ( ) A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)2．(2016～2017·曲靖高一检测)方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为 ( )A ．－2,4,4B ．－2，－4,4C ．2，－4,4D ．2，－4，－43．(2016～2017·长沙高一检测)已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为 ( ) A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝04．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是 ( ) A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为 ( ) A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或06．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是 ( ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为__ __.8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是_ 三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.10．求过点A (－1,0)、B (3,0)和C (0,1)的圆的方程.B 级 素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为 ( ) A ．52B ．102C ．152D ．20 23．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，45]B ．(－43，43)C ．(－34，＋∞)D ．(34，＋∞)4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 ( ) 二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a 6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是__ _.C 级 能力拔高1．设圆的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (0,1)的直线l 交圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.2．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆. (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程．第四章 4.2 4.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．若直线3x ＋y ＋a ＝0平分圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，则a 的值为 ( ) A ．－1B ．1C ．3D ．－32．(2016·高台高一检测)已知直线ax ＋by ＋c ＝0(a 、b 、c 都是正数)与圆x 2＋y 2＝1相切，则以a 、b 、c 为三边长的三角形是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在3．(2016·北京文)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为 ( ) A ．1B ．2C ．2D ．2 2[4．(2016·铜仁高一检测)直线x ＋y ＝m 与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m ＝ ( ) A ．12B ．22C ．2D ．25．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x －y －1＝0上截得的弦长为22，那么这个圆的方程为 ( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝166．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有 ( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．(2016·天津文)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为__ __. 8．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__ __. 三、解答题9．当m 为何值时，直线x －y －m ＝0与圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0有两个公共点？有一个公共点？无公共点10．(2016·潍坊高一检测)已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝17时，求m 的值．B 级 素养提升一、选择题1．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的弦最长的直线的方程是 ( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0C ．3x －y －1＝0D ．3x ＋y －5＝02．(2016·泰安二中高一检测)已知2a 2＋2b 2＝c 2，则直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝4的位置关系是 ( ) A ．相交但不过圆心 B ．相交且过圆心 C ．相切D ．相离3．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A ．(－3，3) B ．[－3，3]C ．(－33，33) D ．[－33，33] 4．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是 ( )A ．3<r <5B ．4<r <6C ．r >4D ．r >5二、填空题5．(2016～2017·宜昌高一检测)过点P (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为__ __.6．(2016～2017·福州高一检测)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__ __.C 级 能力拔高1．求满足下列条件的圆x 2＋y 2＝4的切线方程： (1)经过点P (3，1)； (2)斜率为－1； (3)过点Q (3,0)．2．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程.第四章 4.2 4.2.2A级基础巩固一、选择题1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝252．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为() A．x＋y－1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0D．x－y＋1＝03．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是() A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝04．(2016～2017·太原高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝255．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝A．5B．4C．3D．2 26．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36二、填空题7．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__ __.8．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝__ __.三、解答题9．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程.10．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0.B级素养提升一、选择题1．已知M是圆C：(x－1)2＋y2＝1上的点，N是圆C′：(x－4)2＋(y－4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为() A．4B．42－1 C．22－2D．22．过圆x2＋y2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为()A．4x－y－4＝0B．4x＋y－4＝0 C．4x＋y＋4＝0D．4x－y＋4＝03．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值是() A．－1B．2 C．3D．04．(2016·山东文)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x －1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离[二、填空题5．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是__ __.6．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是__ __.C 级 能力拔高1．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.2．(2016～2017·金华高一检测)已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a ，b 间的关系； (2)求|PQ |的最小值．第四章 4.2 4.2.3A 级 基础巩固一、选择题1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过 ( )A ．1.4 mB ．3.5 mC ．3.6 mD ．2.0 m2．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ( ) A ．30－105B ．5－5C ．5D ．253．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是 ( )4．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是 ( ) A ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π5．方程1－x 2＝x ＋k 有惟一解，则实数k 的范围是 ( )A ．k ＝－2B ．k ∈(－2，2)C ．k ∈[－1,1)D ．k ＝2或－1≤k <16．点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，直线P A 、PB 分别与圆x 2＋y 2＝4相切于A 、B 两点，则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于 ( )A ．24B ．16C ．8D ．4二、填空题7．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ __8．已知M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是__ ]__. 三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)1．(2016·葫芦岛高一检测)已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为 ( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 52．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为 ( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)3．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD精品文档精品文档 的面积为 ( )A ．106B ．206C ．306D ．40 64．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为 ( )A ．4π5B ．3π4C ．(6－25)πD ．5π4二、填空题5．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于__ __.6．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是__ _.C 级 能力拔高1.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)。
圆的标准方程练习题
圆的标准方程练习题在解决圆的问题时，我们经常使用到的一个重要工具就是圆的标准方程。
通过掌握圆的标准方程的用法，我们可以更方便地进行圆的解析几何运算。
接下来，我将为大家提供一些圆的标准方程练习题，帮助大家加深对这一概念的理解。
练习题一：给定圆心和半径，求标准方程1. 已知圆心为 (2, 3)，半径为 5，求圆的标准方程。
解析：设圆的标准方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中 (a, b) 为圆心坐标，r 为半径。
将已知数据代入方程，得到：(x-2)² + (y-3)² = 5²，即 (x-2)² + (y-3)² = 25。
练习题二：给定标准方程，求圆心和半径1. 已知圆的标准方程为 x² + y² - 6x + 8y + 9 = 0，求圆的圆心和半径。
解析：观察标准方程可得出：(x-3)² + (y+4)² = 16。
由此可知圆的圆心为 (3, -4)，半径为 4。
练习题三：给定圆上一点，求标准方程1. 已知圆上一点为 (5, 2)，圆心为 (3, 4)，求圆的标准方程。
解析：设圆的标准方程为(x-a)²+ (y-b)²= r²。
将已知数据代入方程，可得到：(x-3)² + (y-4)² = r²。
由于圆上一点为 (5, 2)，代入方程得到 (5-3)² + (2-4)² = r²，化简得 4 + 4 = r²，即 8 = r²。
所以圆的标准方程为 (x-3)² + (y-4)² = 8。
通过以上几道练习题，我们对圆的标准方程的应用有了更深入的了解。
掌握了圆的标准方程的求解方法，我们在解决与圆相关的数学问题时，就能更加得心应手。
不过，还需要注意的是，在使用圆的标准方程时，我们需要确保给定的数据准确无误。
圆标准方程精选30题
习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x解 已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=dr ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-即得圆的方程.二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+--(D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距ar a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r .设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A).点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4 (06天津卷理) 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .解 由已知圆4)2()1(22=-+-y x ，即得圆心)2,1(C 和半径2=r .∵线心距112++=a a d，且222)2(r AB d=+，∴22222)3()11(=+++a a ，即1)1(22+=+a a ，解得0=a . 点评：一般在线心距d 、弦长AB 的一半和圆半径r 所组成的直角三角形中处理弦长问题：222)2(r AB d =+.五、夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A)21 (B)53(C)23 (D) 0解 已知圆化为1)1()1(22=-+-y x ，即得圆心)1,1(C 和半径1=r .设由)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ，则在切线长、半径r和PC构成的直角三角形中，522cos=θ，∴5312cos 2cos 2=-=θθ，故选(B). 点评：处理两切线夹角θ问题的方法是：先在切线长、半径r 和PC所构成的直角三角形中求得2θ的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角θ问题.六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k .解 由已知圆4)2(22=+-y x ，即得圆心)0,2(C 和半径2=r .设)2,1(P ，则2-=PC k ；∵⊥PC 直线l 时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l 的斜率221=-=PCk k .点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.七、最值问题例7 (06湖南卷文) 圆0104422=---+y x y x上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C)26(D)25 解 已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .设线心距为d ，则圆上的点到直线014=-+y x 的最大距离为r d +，最小距离为r d -，∴262)()(==--+r r d r d ，故选(C).点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d 与圆半径r 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为r d +，最小距离为r d-.八、综合问题例8 (06湖南卷理) 若圆0104422=---+y x y x上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )(A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π解 已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .∵圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，∴2222222=-≤++=r b a ba d ，即0422≤++b ab a ，由直线l 的斜率b a k -=代入得0142≤+-k k ，解得3232+≤≤-k ，又3212tan-=π，32125tan +=π，∴直线l 的倾斜角的取值范围是]125,12[ππ，故选(B). 点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2E D --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22.3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离； ｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切；｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交； ｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. ●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71 B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2 解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 A.｜a ｜＜1 B.a ＜131 C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131 解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切D .当b <r 时，圆与x 轴相交 解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D●典例剖析【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程. 剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2. 又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则 A.D +E =0B. B.D +F =0 C.E +F =0 D. D +E +F =0解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上.答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________. 解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2.答案：2 4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________. 解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2.再由d －r =2－1=1，知最小距离为1.答案：1 5.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32.由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵·=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）.∴所求的直线方程为y =－x +1.培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值； （3）x 2+y 2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x 2+y 2－4x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设x y=k ，即y =kx ，由圆心（2，0）到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-k k =3，解得k 2=3.所以k max =3，k min =－3.（2）设y －x =b ，则y =x +b ，仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式，得2|02|b +-=3，即b =－2±6，故（y －x ）min =－2－6.（3）x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则（x 2+y 2）max =｜OC ′｜=2+3，（x 2+y 2）min =｜OB ｜=2－3.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3）， 故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －y +1=0.又圆心在直线y =0上，因此圆心坐标是方程组 x －y +1=0，y =0 半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.“求经过两圆04622=-++x y x和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。
圆的方程练习题
圆的方程练习题1．求过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程. 【答案】()()22114x y -+-=.【解析】试题分析：由,A B 的坐标计算可得AB 的垂直平分线方程y x =，进而得到：{20y xx y =+-=，解可得,x y 的值，即可得圆心坐标，而圆的半径22r ==，代入圆的标准方程计算即可得到答案。
解析:由已知得线段AB 的中点坐标为()0,0，所以()11111AB k --==---所以弦AB 的垂直平分线的斜率为1k =， 所以AB 的垂直平分线方程为y x = 又圆心在直线20x y +-=上，所以{ 20y x x y =+-= 解得1{ 1x y == 即圆心为()1,1圆的半径为22r ==所以圆的方程为()()22114x y -+-=.2．若圆过A （2，0），B （4，0），C （0，2）三点，求这个圆的方程． 【答案】x 2+y 2﹣6x ﹣6y+8=0【解析】试题分析：设所求圆的方程为220,x y Dx Ey F ++++=将()2,0A ,()()4,0,0,2B C三点代入，即可求得圆的方程。
解析：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则有4+20{1640 240D F D F E F +=++=++=①②③②﹣①得：12+2D=0，∴D=﹣6 代入①得：4﹣12+F=0，∴F=8代入③得：2E+8+4=0，∴E=﹣6 ∴D=﹣6，E=﹣6，F=8∴圆的方程是x 2+y 2﹣6x ﹣6y+8=03．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线12y x =上。
(1)求圆的方程；(2)求圆上的点到直线34230x y -+=的最小距离。
【答案】（1）()()222116x y -+-=.（2）1【解析】试题分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；（2）结合几何图形，先求出圆心到直线的距离，再减去半径的长度即可。
圆的标准方程最终版
例1.根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）圆心在点 −, ，并且过点 , − 的圆；
（2）以点 , ， , 为直径的两个端点的圆.
练习
1.写出下列圆的圆心坐标和半径：
（1） + = ；（2） − + + = ；
（3） + + = ；（4） − + = .
练习
2.求满足下列条件的圆的标准方程：
（1）圆心为坐标原点，半径为；
（2）圆心为点 −, ，半径为 ；
（3）圆心为点 , ，半径为 ；
（4）圆心为点 , − ，半径为.
练习
3.求满足下列条件的圆的标准方程：
（1）圆心为 −, ，过点 , ；
（2）以点 −, ， , − 为直径的两个端点.
圆的标准方程
圆的标准方程
已知圆的圆心是 , ，半径为，如图9-20所示，
求圆的方程.
设点 , 是一个动点，
点在圆上 ⟺ =
⟺
−
+ −
=
两边平方，得
−
+ −
=
该方程即是以点 , 为圆心，为半径的圆的方程，称为圆的标准方程方程
如果圆心在坐标原点，这时 = ， = ，圆的标准方程为
+ =
例题：求圆心为坐标原点，半径为的圆的标准方程.
+ =
例题：已知圆 −
+ +
= ，试判断点 , ， , − 是否在该圆上.
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《圆的标准方程》
一、选择题
１．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( )
A ．22(2)5x y -+=
B ．22(2)5x y +-=
C ．22(2)(2)5x y +++=
D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）
A. 03=--y x
B. 032=-+y x
C. 01=-+y x
D. 052=--y x
3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）
A ．2
B ．21+
C ．2
21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与
圆22
240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ）
A ．37-或
B ．2-或8
C ．0或10
D ．1或11
5．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x
二、填空题
1．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242
2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________.
2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。
3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 .
4．已知圆()4322=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ⋅的值为________________。
5．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,PA PB 是圆01222
2=+--+y x y x 的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________。
三、解答题
1．点(),P a b 在直线01=++y x 上，求22222+--+b a b a 的最小值。
2．求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程。
3．求过点()1,2A 和()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的方程。
4．已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，
求圆C 的方程
答案
一、选择题
1.A (,)x y 关于原点(0,0)P 得(,)x y --，则得22(2)()5x y -++-=
2.A 设圆心为(1,0)C ，则,1,1,12CP AB AB CP k k y x ⊥=-=+=-
3.B 圆心为max (1,1),1,1C r d ==
4.A 直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位得220x y λ-++=
圆22240x y x y ++-=的圆心为(1,2),3,7C r d λλ-====-=或
5.B 两圆相交，外公切线有两条
6.D
2224x y -+=（）的在点)3,1(P 处的切线方程为(12)(2)4x --= 二、填空题
1.1 点(1,0)P -在圆032422=+-++y x y x 上，即切线为10x y -+=
2.224x y += 2OP =
3. 22(2)(3)5x y -++= 圆心既在线段AB 的垂直平分线即3y =-，又在
270x y --=上，即圆心为(2,3)-，r =
4.5 设切线为OT ，则25OP OQ OT ⋅==
5. 当CP 垂直于已知直线时，四边形PACB 的面积最小
三、解答题
1.(1,1)到直线01=++y x 的距离
而
2d ==，min 2=。
2.解：(1)(5)(2)(6)0x x y y +-+-+=
得2244170x y x y +-+-=
3.解：圆心显然在线段AB 的垂直平分线6y =上，设圆心为(,6)a ，半径为r ，则
222()(6)x a y r -+-=，得222(1)(106)a r -+-=，而r =2
2
(13)(1)16,3,5a a a r --+=== 22(3)(6)20x y ∴-+-=。
4.解：设圆心为(3,),t t 半径为3r t =，令d =
=
而22222,927,1r d t t t =--==± 22(3)(1)9x y ∴-+-=，或22(3)(1)9x y +++=。