第四章 专题分类突破四 相似三角形的基本图形
北师大版数学九年级上册第四章 《图形的相似》重点题型归纳
阶段强化专题训练专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧 类型一 证比例式技巧1 中间比代换法证比例式1.如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB. (1)求证：BCDEAB AD =； (2)若AD:DB=3:5，求CF:CB 的值.技巧2 等积代换法证比例式2.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P.求证：PBPAPF PE =.技巧3 等比代换法证比例式3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：ADAFAB AD =.类型2 证线段相等技巧 4 等比过渡证线段相等(等比例过渡法)4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B ＞∠A ，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥BA 交DE 的延长线于点F.(1)求证：DE=EF ；(2)连结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：∠B=∠A+∠DGC ．类型3 证比例和为1技巧5 同分母的中间比代换法5.如图，已知AC ∥FE ∥BD.求证：1=+BCBEAD AE专题二：证明相似三角形的方法名师点金要找三角形相似的条件，关键抓住以下几点：(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角的两边是否对应成比例；(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例；(3)除此之外，也可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性．．．”.方法1 利用边或角的关系判定两直角三角形相似1.下面关于直角三角形相似叙述错误的是( )A.有一锐角对应相等的两个直角三角形相似B.两直角边对应成比例的两个直角三角形相似C.有一条直角边相等的两个直角三角形相似D.两个等腰直角三角形相似2.如图，BC⊥AD，垂足为C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求证：△ABC∽△DEC.方法2 利用角判定两三角形相似3.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长，与CE 交于点 E. (1)求证：△ABD∽△CED； (2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．方法3 利用边角判定两三角形相似4.如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．求证：△ABD∽△CAE. 方法4 利用三边判定两三角形相似5.如图，AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点．求证：△DEF∽△ABC.专训三巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．训练角度1 巧连线段的中点构造相似三角形1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP:PQ:QD.训练角度 2 过顶点作平行线构造相似三角形2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB 上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE:EC的值．3.如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE:ED＝2AF:FB.训练角度 3 过一边上的点作平行线构造相似三角形4.如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证: BP:CP=BD:EC.训练角度 4 过一点作平行线构造相似三角形5.如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE=41AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD. 作辅助线的方法一：作辅助线的方法二：作辅助线的方法三：作辅助线的方法四：全章整合提升密码专训一：证比例式或等积式的技巧 名师点金证比例式或等积式，若遇问题中无平行线或相似三角形时，则需构造平行线或相似三角形，得到等比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．技巧1 构造平行线法1.如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE ·CF ＝BF ·EC.2.如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB ·DF ＝BC ·EF.技巧2 三点找三角形相似法3.如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB于E.求证：AM 2＝MD ·ME.技巧3 构造相似三角形法5.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点M ，N. 求证：BP ·CP ＝BM ·CN.技巧4 等比过渡法6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE ∥BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且∠EDF ＝∠ABE. 求证：(1)△DEF ∽△BDE ；(2)DG ·DF ＝DB ·EF.7.如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP于点G ，交CE 于点D. 求证：CE 2＝DE ·PE.技巧5 两次相似法8.如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F. 求证：BF BE ＝ABBC.9.如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证：(1)△AMB ∽△AND ；(2)AM AB ＝MNAC.技巧6 等积代换法10.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：AE AF ＝ACAB.技巧7 等线段代换法11.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE ·PF.12.已知：如图，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P.求证：PD 2＝PB ·PC.专训二 巧用“基本图形”探索相似条件 名师点金：几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图： 1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ； (2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．训练角度2 相交线型2.如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DFAF.训练角度4 旋转型 4.如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC.求证：(1)△ADE ∽△ABC ；(2)AD AE ＝BD CE.专训三 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．训练角度1 证明两线段的数量关系 类型1： 证明两线段的相等关系1.如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N. 求证：BM ＝MC.2.如图，一直线和△ABC 的边AB ，AC 分别交于点D ，E ，和BC 的延长线交于点F ，且AE:CE ＝BF:CF. 求证：AD ＝DB.类型2 证明两线段的倍分关系3.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，∠A ＝60°，求证：DE ＝12BC.4.如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E. 求证：AC ＝2CE.训练角度2 证明两线段的位置关系 类型1：证明两线段平行 5.如图，已知点D 为等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一点，连接CD ，DE ⊥CD ，DE ＝CD ，连接CE ，AE.求证：AE ∥BC.6.在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，EF ∥BC ，DF ∥AB ，连接CE 和AD ，分别交DF ，EF 于点N ，M.(1)如图①，若E 为AB 的中点，图中与MN 平行的直线有哪几条？请证明你的结论； (2)如图②，若E 不为AB 的中点，写出与MN 平行的直线，并证明．类型2 证明两线垂直7.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC2＝AB ·AD ，BC 2＝BA ·BD ，求证：CD ⊥AB.8.如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.专训四巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质，位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上.类型1 三角形的内接正三角形问题1.如图,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题.画法:①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上；②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′；③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.求证:△C′D′E′是等边三角形.类型2 三角形的内接矩形问题2.求作:内接于已知△ABC的矩形DEFG,使它的边EF在BC上,顶点D,G分别在AB,AC上,并且有DE∶EF=1∶2.类型 3 三角形的内接正形问题(方程思想)3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC=120mm ,高AD=80mm ,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边QM 在BC上,其余两个顶点P ,N 分别在AB,AC上,则这个正方形零件的边长是多少?4.(1)如图①,在△ABC 中,点D ,E ,Q 分别在AB ,AC ,BC 上,且DE ∥BC ,AQ交DE 于点P.求证:DP：BQ=PE：QC.(2)在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG ,AF ,分别交DE 于M ,N 两点.①如图②,若AB=AC=1,直接写出MN的长；②如图③,求证:MN²=DM·EN.专训五： 图形的相似中的五种热门考点 名师点金：相似是初中数学的重要内容，也是中考重点考查内容之一，而对于成比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形等都是命题的热点．考点一： 比例线段及性质1.下列各组长度的线段，成比例线段的是( )A. 2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cmB. 2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cmC. 1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD. 2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d 7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c ＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，则支撑点C 到端点A 的距离约为________．(5≈2.236，结果精确到0.01)考点二： 平行线分线段成比例4.如图，若AB ∥CD ∥EF ，则下列结论中，与AD AF 相等的是( ) A.AB EF B.CD EF C.BO OE D.BC BE5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，以AC 为边向三角形外作正方形ACDE ，连接BE 交AC 于F ，若BF ＝ 3 cm ，则EF ＝________.6.如图，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．考点三 相似三角形的性质与判定7.已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( ) A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:168.在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，且AE ∶ED ＝3∶1，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，则S △AEF ∶S 四边形ABCE 为( ) A.3∶4 B.4∶3 C.7∶9 D.9∶79.若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F.(1)求证：FD 2＝FB ·FC ； (2)若FB ＝5，BC ＝4，求FD 的长．11.如图，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，点F 是BC 的延长线上一点，且CE ＝CF ，BE 的延长线交DF 于点M.(1)求证：BM ⊥DF ； (2)若正方形ABCD 的边长为2，求ME ·MB.考点四相似三角形的应用12.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM 与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.(结果精确到0.1 m)13.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm.为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)考点五图形的位似14.如图，已知正方形ABCD，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．15.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)专训六全章热门考点整合应用名师点金：本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．考点一：3个概念概念1：成比例线段1.下列各组线段，是成比例线段的是( )A.3cm，6cm，7cm，9cmB.2cm，5cm，0.6dm，8cmC.3cm，9cm，1.8dm，6cmD.1cm，2cm，3cm，4cm2.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3.如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．概念3：位似图形4.如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．考点二： 2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？性质2：相似三角形的性质6.如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC 与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．考点三： 1个判定——相似三角形的判定7.如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE ∽△OCD.8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O 于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC 与PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，弧AP＝弧BP，求PD 的长．考点四： 2个应用应用1：测高的应用9.如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？应用2：测宽的应用10.如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．考点五： 1个作图——作一个图形的位似图形11.如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．考点六： 1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12.如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q. (1)求∠PAQ的度数； (2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.。
中考数学一轮复习第二讲空间与图形第四章三角形4.4相似三角形课件
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特别提醒
有关等比性质的注意事项:( 1 )等比性质的证明运用了“设 k 法”( 即引入新的参数
特别提醒 这些相似三角形的基本图形只是最基本的,也是为了让同学们尽快地熟悉常见的相似 三角形的情况,但在实际问题中,两个相似三角形的位置各种各样、千变万化,脑海中不 能仅局限于以上这几种情况.
考点扫描
名师考点精讲
考点1 考点2 考点3 考点4
典例3 ( 2018·亳州利辛县模拟 )在三角形纸片ABC中,AB=8,BC=4,AC=6,按下列方法
解答题
23(
②
2
分值 5
)5
) )
10
4
5 )5
2019 年中考命题预测
考查内容:相似三角形的判定和性 质. 考查题型:从安徽省近几年的中考 试题可以看出,有关相似形的题目 每年都会考,有时是选择题,有时是 解答题( 含作图题 ),分值在 5~10 分不等,且有分值在增大、越来越重 视的趋势. 中考趋势:预测 2019 年的中考,会延 续近几年的趋势,考 1~2 个有关相似 形的题目,可能是选择题,也可能是 解答题( 含作图题 ),如果是解答 题,很可能是与其他知识的综合,“相 似形”会是题目中的 1~2 个小问.
4.4 相似三角形
考纲解读
了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段的概念,了解黄金分割.了解图形相 似的概念,了解相似多边形和相似比,理解相似三角形的概念和性质.理解并掌握两条直 线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.理解并掌握相似三角形的判定定理.能够 利用相似三角形的判定定理和相似三角形的性质定理证明和解决有关的问题.了解位 似图形的概念,能够利用位似将一个图形放大或缩小,能利用图形的相似解决一些简单 实际问题.
2025年四川省聚焦中考数学必备考点透析-第4章 三角形微专题三 三角形中的基本模型
12
证明：如后图，过点 P 作 PM ⊥ AB 于点 M ， PN ⊥ AC 于点 N .
由折叠可知∠ DPE ＝∠ A ＝90°，
∴∠ ADP ＋∠ AEP ＝180°.
∵∠ PEN ＋∠ AEP ＝180°，
∴∠ ADP ＝∠ PEN .
∵∠ DMP ＝∠ ENP ＝90°，
∴△ DMP ∽△ ENP ，∴ ＝ .
AC 、 BD 交于点 P ，∴ PA ＝ PD ，∠ PAE ＝∠ PDF ＝45°.∵∠ APE ＋
∠ EPD ＝∠ DPF ＋∠ EPD ＝90°，∴∠ APE ＝∠ DPF . 在△ APE 和
∠＝∠，
△ DPF 中，∵ቐ＝，
∴△ APE ≌△ DPF （ ASA ），∴ AE ＝
△ AFE ≌△ AGE .
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6
证明：如后图，将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转90°得到△ ABG ，使
AD 与 AB 重合.
由旋转的性质可知△ ADF ≌△ ABG ，
∴ DF ＝ BG ，∠ D ＝∠ ABG ＝90°， AF ＝ AG ，∠ FAD ＝
∠ GAB ，∴∠ ABG ＋∠ ABE ＝180°，即点 G 、 B 、 E 三点共线.
∵∠ EAF ＝45°，∠ BAD ＝90°，∴∠ BAE ＋∠ FAD ＝45°，
∴∠ BAE ＋∠ GAB ＝45°，即∠ EAG ＝45°，∴∠ EAG ＝∠ EAF ，
∴△ AFE ≌△ AGE （ SAS ），∴ EF ＝ EG .
∵ EG ＝ BE ＋ BG ，∴ EF ＝ BE ＋ DF .
∴ PC ·PD ＝ PB ·PE .
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第4章 第4节 相似三角形课件
十年真题
【命题解读】 相似三角形是河南中考的必考内容，但很少单独出题考 查，在中考中常常作为解题的重要工具，常应用于几何问题中的一题多解、 类比探究以及二次函数的综合题，2020 年将类比探究题放在第 23 题的位置， 更加体现了相似三角形是初中阶段解决几何问题的重要方法．
命题点 相似三角形的判定与性质
3 7．
2．(2016 河南备用卷第 12 题，3 分)如图，已知 a∥b∥c，a 与 b 的 距离为 3，b 与 c 的距离为 5，若 AB＝6，则 BC 的长为 10 ．
中考中的核心素养
《九章算术》—测量井深 1．(2020 上海)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所 示，在井口 B 处立一根垂直于井口的木杆 BD，从木杆的顶端 D 观察井 水水岸 C，视线 DC 与井口的直径 AB 交于点 E，如果测得 AB＝1.6 米， BD＝1 米，BE＝0.2 米，那么井深 AC 为 7 米．
A．4 B．5 C．6 D．9
2．(2020 涡阳一模)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边 上，DE∥BC，若 AD∶DB＝3∶1，则 AE∶AC＝( B )
A．3∶1 B．3∶4 C．3∶5 D．2∶3
提分点2 相似三角形的判定
3．如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无
形与△ABC 相似时，运动时间为( C )
A．2114秒
B．95秒
C．2114秒或95秒
D．以上均不对
提分点3 相似三角形的性质 5．(2020 西安二模)如图，在 Rt△ABC 中，AB＝10，BC＝6，M，N 在 AC 边上，若△OMN∽△BOC，点 O 是 AB 的中点，则 CM 的长为( D )
(完整版)相似三角形知识点归纳(全)
知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
．相似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法： （图上）平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 .
2、判定定理 1：简述为： 两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理 2：简述为： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
（ 1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（ 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
.
（ 3） 位似图形的对应边互相平行或共线 .
（ 4）位似图形具有相似图形的所有性质 .
位似图形的性质：
Байду номын сангаас
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
．SAS
4 、判定定理 3：简述为： 三边对应成比例，两三角形相似 ．SSS
5、判定定理 4：直角三角形中， “ HL”
全等与相似的比较：
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL ）
两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等
B
C
（ 1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
相似三角形的基本图形总结
相似三角形的基本图形总结+一模相似汇总用相似三角形的性质来证线段成比例和角相等，是几何证题中的重点之一，而解题的关键是在几何图形中发现或构造所需的相似三角形，下面举例说明。
相似三角形主要基本类型：一、平行线型如图1，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 。
例1. 已知，如图2所示，AD 为△ABC 的中线，任一直线CF 交AD 、AB 于E 、F 。
求证：FB AF 2ED AE =。
证明：例2. 已知，如图3所示，BE 、CF 分别为△ABC 的两中线，交点为G 。
求证：2GF GC GE GB ==。
例3. 已知，如图4所示，在△ABC 中，直线MN 交AB 、AC 和BC 的延长线于X 、Y 、Z 。
求证：AY CY CZ BZ BX AX ⋅⋅=1。
二、相交线型 如图5，若∠1=∠B ，则可由公共角或对顶角得△ADE ∽△ABC 。
例4. 已知，如图6所示，△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上的点，E 为AB 延长线上的点，且AE AD AB 2⋅=。
求证：BC 平分∠DCE 。
例5. 已知，如图7所示，CD 为Rt △ABC 的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G 。
求证：FB FC FG 2⋅=。
三、旋转翻折型如图8，若∠BAD=∠CAE ，则△ADE 绕点A 旋转一定角度后与△ABC 构成平行线型的相似三角形。
如图9，直角三角形中的相似三角形，若∠ACB=︒90，AB ⊥CD ，则△ACD ∽△CBD∽△ABC 。
例6. 已知，如图10所示，D 为△ABC 内的一点，E 为△ABC 外的一点，且∠EBC=∠DBA ，∠ECB=∠DAB 。
求证：DB ·AC=AB ·DE 。
例7. 已知，如图11所示，F 为正方形ABCD 的边AB 的中点，E 为AD 上的一点，AE=41AD ，FG ⊥CE 于G 。
求证：CG EG FG 2⋅=。
相似三角形知识点归纳(全)
相似三角形知识点归纳(全)相似三角形知识点归纳相似形的概念相似图形是指形状相同的图形，其中最简单的是相似三角形。
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就是相似多边形。
相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
比例线段的相关概念和性质比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段就是成比例线段。
比例线段是有顺序的，如果a是b、c、d的第四比例项，那么应得比例式为b/c=d/a。
比例线段有一些性质，例如黄金分割，其中线段AB被分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，即AC²=AB×BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC≈0.618AB。
还有合、分比性质和等比性质。
比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理是指三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。
在三角形中，由DE∥BC可得AD/DB=AE/EC或者AD/AE=DB/EC，还有其他类似的定理。
注：本文已删除明显有问题的段落，并进行了小幅度的改写。
的三角形，尝试找出它们之间的相似关系。
3)利用相似性质：根据相似三角形的性质，利用对应角相等、对应边成比例等关系进行推导证明。
4)注意细节：在使用相似性质进行证明时，需要注意各个角度、边长的对应关系，以及相似比的顺序等细节问题。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形，用符号“∽”表示。
相似三角形对应边的比叫做相似比，对应角相等，对应边成比例。
相似三角形有对应性和顺序性，即把表示对应顶点的字母写在对应位置上，相似三角形的相似比是有顺序的。
需要注意的是，两个三角形形状一样，但大小不一定一样，全等三角形是相似比为1的相似三角形。
判定相似三角形的方法有平行法、AA、SAS、SSS、HL 等。
其中，平行法是指平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形的基本图形PPT课件
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
12
A
△ABE∽ △ECF （（2）1）点点E为E为BCB上C上任任意意一一点点若，∠若B=∠∠BC== α, ∠A∠ECF==60∠°C,,则∠A△EAFB=E∠与C△,则E△CAFB的E关与系△还ECF 成的立关吗系？还成立吗？说明理由
B
（2）∠ADE=∠ABC
D
或∠AED=∠ACB
（3）AD：AB=AE：AC
第六种作法：
B
（1） ∠ADE=∠ACB
或∠AED=∠ABC D
（2）AE：AB=AD：AC
A
C E A C
E
9
相似的基本图形
(1)
A
DEEຫໍສະໝຸດ D(2) AB
C
DE∥BC
A (4)
B
C
DE∥BC
C
(5)
B D
∠BAD=∠C
AB2=BD·BC
CA
D
∠ACB=90°， CD⊥AB
A (3)
D
E
B
C
E D
(6) A
B C
B ∠D=∠C
10
11
问题：
如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点（与B、C不重合） ∠AEF=90°.观察图形：
（（12））若△EA为BEBC与的△中E点CF，是连否结相A似F,图？中并有证哪明些你相的似结三论角。形？
相似三角形的基本图形
1
(1)
A
D
E
B
C
DE∥BC
E
D
(2) A
第四章图形的相似(知识点)
一般三角形
直角三角形
基本定理 : 平行于三角形的一边且和其他两边 ( 或两边的延长线 ) 相交的直线 , 所
截得的三角形与原三角形相似 .
①两角对应相等；
①一个锐角对应相等；
②两边对应成比例 , 且夹角相等；
②两条边对应成比例；
③三边对应成比例 .
a. 两直角边对应成比例；
b. 斜边和一直角边对应成比例 .
那么这样的两个图形叫做位似图形 , 这个点叫做位似中心 . 这时两个相似图形的相似比又叫做
它们的位似比 .
→位似图形的性质：
（1） 位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；
（2） 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3） 位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）
.
→位似图形的画法：
③比与所选线段的长度单位无关 , 求出时两条线段的长度单位要一致 .
（2） 比例的基本性质 : 若 a
c
a
, 则 ad=bc ； 若 ad=bc, 则
c或 a
bd
bd c
※合比 性质 :如果 a
c
ab
，那么
c d；
bd
b
d
※等比性质：如果 a c
m（b d
n 0 ），那么 a c
bd
n
bd
注意： 若没有“ b+d+ +n ≠ 0 ”这个条件，需分类讨论 .
※2. 成比例线段及比例的性质：
（1） 成比例线段： 四条线段 a、 b、c、d 中 , 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 , 即 a b
么这四条线段 a、 b、 c、 d 叫做成比例线段 , 简称比例线段 .
北师大版数学九上第四章《相似三角形的基本图形》专题复习(教案)
4.利用相似三角形解决实际问题的方法。
5.本章典型例题与习题的复习巩固，如相似三角形的应用题、图形的放大与缩小等。
6.相似多边形的性质及判定方法。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力，通过观察、分析相似三角形的基本图形，提高学生对几何图形的理解和识别能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的基本图形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量不可到达的距离或高度的情况？”（如测量旗杆的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
在小组讨论环节，学生们表现得非常积极，能够主动提出自己的观点并与他人交流。但在分享成果时，部分学生的表达能力还有待提高。为了提高学生的表达能力，我计划在接下来的课程中增加一些课堂演讲或辩论环节，让他们有更多机会锻炼自己的口头表达能力。
最后，从这节课的教学过程中，我也意识到了关注学生个体差异的重要性。有些学生可能需要更多的时间来消化和理解相似三角形的知识点，因此在课后，我要针对这些学生进行个别辅导，帮助他们克服学习难点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）。
-掌握相似三角形的性质，尤其是对应角相等和对应边成比例。
-能够运用相似三角形解决实际问题，如测量不可到达的距离或高度。
-理解并运用直角三角形特殊比例关系（30°-60°-90°和45°-45°-90°）。
其次，在解决实际问题时，部分学生构建相似三角形模型的能力较弱。针对这一点，我打算在接下来的课程中，设计一些更具挑战性的问题，让学生们通过小组合作的方式，一起探讨如何将实际问题转化为数学模型。这样既能提高他们的解决问题的能力，也能培养他们的团队合作精神。
相似三角形基本知识点归纳
相似三角形知识点归纳1.相似多边形：如果两个边数的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．2.成比例线段：在四条线段a,b,c,d 中，如果d c b a ::=，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的基本性质：cb ad dcb a =⇔=（內项之积等于外项之积）； 4.三角形相似的判定方法①定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．②平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆．③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．④判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． ⑥判定直角三角形相似的方法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：相似三角形常见的图形①.称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”如上图） ②.其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC ③.称为“垂直型”④.∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
几种基本图形的具体应用： （1）若DE ∥BC 则△ADE ∽△ABC（2） 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形） 则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD ；（3）当ABAEAC AD 或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE ∽△ACB ．5.相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．A BCDE12AABB C C DD E E12412B BEACD12。
九年级数学《相似三角形基本图形精讲》
判定方法
根据角平分线的性质和三 角形的相似性质，可以判 定两个三角形是否相似。
综合型相似图形
定义
当一个图形同时具有平行线和角 平分线的特征时，所形成的两个
三角形为相似三角形。
性质
两个相似三角形的对应角相等，对 应边成比例。
判定方法
根据图形的特征和三角形的相似性 质，可以判定两个三角形是否相似。
03 相似三角形的应用
相似多边形的面积之比等于其对应边长的平方之比。
相似多边形的性质和判定
性质
相似多边形的对应角相等，对应 边的比值相等，面积之比等于其 对应边长的平方之比。
判定
根据相似三角形的性质，可以通 过比较对应角和对应边的比值来 判定两个多边形是否相似。
相似多边形的应用
在几何学中，相似多边形可以 用来研究图形的形状和大小的 关系，以及解决一些实际问题。
角形相似。
相似三角形的性质
01
02
03
对应角相等
相似三角形的对应角相等， 这是相似三角形的基本性 质。
对应边成比例
相似三角形的对应边长成 比例，即它们的边长比是 一个常数。
外接圆半径相等
如果两个三角形相似，则 它们的外接圆半径相等。
相似三角形的判定方法
角角判定
如果两个三角形的两个对应角 相等，则这两个三角形相似。
利用相似三角形解决实际问题
测量问题
利用相似三角形测量建筑物的高 度、河的宽度等实际物体的高度
和长度。
建筑学应用
在建筑设计时，利用相似三角形 计算角度、长度等参数，以确保
建筑物的稳定性和美观性。
物理学应用
在物理实验中，利用相似三角形 模拟真实场景，研究物理规律和
《相似三角形》相似图形4精品 课件
x 20 33
22
30
48
3a
n°10 2a 50°y
45°
85° 45° m°
运用知识，拓展思维
• 例2、如图，已知△ ABC∽ △ADE， AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
• ∠BAC=45°,∠ACB=40°. (1)求∠AED和∠ADE的大小； (2)求DE的长。
毕业八年的她被迫重返人才市场，但 彼时的 她与毕 业时相 比毫无 长进， 面试屡 屡碰壁 。
李尚龙曾说：
真正的安稳是历经世事后的淡薄，你 还没有 见过世 界，就 想隐退 山林， 到头来 只会是 井底之 蛙。”
人生如逆水行舟，不进则退。
•
优胜劣汰的世界里，你必须不断提升 自己的 价值。 一、放下大概就是这样，即使我们没在 一起， 我也会 好好的 ，谢谢 时间惊 艳了那 段有你 的记忆 ，也谢 谢现在 更努力 变好的 自己。
•
十一、不相信下辈子，只想善待你今生 。因为 我不知 道，下 一辈子 是否还 能遇见 你，所 以我今 生才会 那么努 力把最 好的给 你。
•
八、总要允许有人错过你，才能赶上最 好的相 遇。总 有人真 诚地爱 着你， 相爱， 从来都 不是一 个人的 事，先 经营好 自己， 最好的 爱情是 你刚好 成熟我 刚好温 柔。
•
九、没有人不想和你同坐一辆豪华轿车 ，但你 需要的 ，却是 轿车坏 了还会 和你一 起搭巴 士的人 。
•
十、我喜欢你的意思就是：从现在起， 你已经 具备伤 害我的 能力， 以及不 好意思 我看谁 都像情 敌。
•
九、没有人不想和你同坐一辆豪华轿车 ，但你 需要的 ，却是 轿车坏 了还会 和你一 起搭巴 士的人 。
相似三角形基本图形
相似三角形基本图形-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12三角形相似的“基本图形”几何图形大都由基本图形复合而成,因此熟悉三角形相似的基本图形,有助于快速准确地识别相似三角形,从而顺利找到解题思路和方法.一、平行线型如图1、图2,若DE ∥BC,则△ADE ∽△ABC,形象地说图1为“A ”型,图2为“X ”型,故称之为平行线型的基本图形. 例1 如图3,在平行四边形ABCD 中,E 是AB 延长线上一点,连结DE 交AC 于G ，交BC 于F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有____对. 析解: 本题图中有两组平行线,故存在平行线型的基本图形,把它们一一分离出来,如图 4(1)—(4).但由于△ADE ∽△BFE ∽ △ CFD,故共有5对相似三角形.二、相交线型如图5、图6,若∠AED=∠B,则△ADE ∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.例2 如图7,D 、E 分别为△ABC 的边AC 、AB 上一点，BD,CE 交于点O,且CODOBO EO =,试问△ADE 与△ABC 相似吗如果是,请说明理由.析解:容易看出△ADE 与△ABC 是相交线型基本图形中的两个三角形.因∠A 为公共角,故考虑再找一对对应角相等.而由条件CODOBO EO =及∠BOE=∠COD,∠DOE= ∠COB,可同时得到相交线型的△BOE ∽△COD, DOE ∽△COB.所以∠EBO=∠DCO,∠DEO=∠CBO,所以∠ADE=∠DCO+∠DEO=∠EBO+∠CBO=∠ABC.故△ADE ∽△ABC.三、母子型将图5中的DE 向下平移至点C,则得图8,有△ACD ∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别 A E D AD E B C B C 图1 图2D C G F A BE 图3D C D C D D C G F FG A F A B E B E A E(1) (2) (3) (4) 图4A E D D E ABC B C 图5 图6 A E OD B C 图7 A A DB C(E) BC 图8 图9D13地,令∠ACB= 90,CD 则为斜边上高(如图9), 则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD. 例3 如图10,在△ABC 中,P 为AB 上一点,要使△APC ∽△ACB,还需具备的一个条件 是____.析解:本题为开放题,答案不为一.注意到△APC 与△ACB 属于子母型基本图形,而∠A 为公共角,故还需具备的一个条件是∠PCA=∠B 或∠APC=∠ACB 或AC 2=AP ×AB(即ACABAP AC =). 四、旋转型将图5中的△ADE 绕点A 旋转一定角度,则得图11,称之为旋转型的基本图形.例4 如图12, ∠1=∠2,∠3=∠4,试说明△ABC ∽△DBE.析解:观察发现图12是旋转型的基本图形.因已知∠3=∠4,则∠ABC=∠DBE,可再找∠BAC=∠BDE 或∠5=∠6, 而由条件都不易直接找到. 但易得另一对旋转型基本图形△ABD ∽△CBE,从而得BEBDBC AB =.又∠ABC=∠DBE,故得△ABC ∽△DBE.P AB C 图10A D EBC 图11A 13 D 5 B4 2 CE图126。
第四章第5节相似三角形的课件
一、创设情境导入新知 .
A
B
o
C
D
（1）如图，如果△AOB、 △DOC相似，那么应满足 什么条件？
（2）根据相似多边形的定义，说一说什么样的三
角形是相似三角形？
定义：三角对应相等、三边对应成比例
的两个三角形叫做相似三角形。△ABC与
△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。
想一想
1 、如果△ABC ∽△DEF，那么哪些 角是对应角？哪些边是对应边？对 应角有什么关系？对应边呢？
AE/AC=DE/BC，
即 50/50+30=DE/70。
所以 DE=50X70/50+30=43.75(cm)
四、巩固练习，加深印象 1、在例2的条件下，图中有哪些线段成比例？
图中有互相平行的线段吗？
2、已知等腰直角三角形ABC与等腰直角三 角形A’B’C’ 相似，相似比为3：1，斜 边AB=5cm。 （1）求 △A’B’C’的斜边A’B’的长； （2）求斜边A’B’上的高。
2、个性练习设计：根据前一 段的学习，进行研究，写出一 篇相似图形与生活的小论文。
边的实际长度。
解：草坪的形状与其图纸上相应的 形状相似，它们的相似比是2000： 5=400：1。
如果设其他两边的实际长度都 是x cm，那么
x/3.5=400/1,
x=3.5X400=1400(cm),
1400cm=14m.
所以，草坪其他两边的实际长度都是14m。
例 2 如 下 图 ， 已 知 △ ABC ∽△ADE ， AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC
思考:
判断下列三角形是否相似。如果相似 说明理由，如不相似，请举出反例。 (1) 两个全等三角形。 （2）两个直角三角形。 （3）两个等腰直角三角形。