高中数学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1_3.3.2学案无答案新人教A版必修22
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》310PPT课件
两条平行直线间的距离
已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C1－C2| ＋C2＝0(C1≠C2)，则 l1 与 l2 之间的距离为 d A2＋B2
＝
.
3．l1与l2之间的距离公式是如何推导的？ 提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－ C1.点P到直线l2的距离为d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C2|＝ |CA1－2＋CB2|2.
6－－3
故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－ 3(x＋3)，即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法， 根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我 们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而 求出两条平行直线间的距离的范围．
4
2 .
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d ＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d ＝|x0－a|.
【解】 方法1：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)， 点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 d＝|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－3 6|. 由题意，得|C1－3 6|＝2. ∴C＝32或C＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式课件(7)
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【微思考】 当A,B两点在坐标轴上时,利用两点间的距离公式求|AB|距离还 适用吗? 提示:适用,因为两点间的距离公式适用于平面内任意两点.
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【即时练】 求下列两点间的距离. (1)A(-2,5),B(-2,-5). (2)A(3,4),B(2,-1). (3)A(0,0),B(3,4).
1 实数k的取值范围是 ( ) 2
A.－6k－2 C.－5k1
22
B.－1k0 6
D. k1 2
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(2)过l1:3x-5y-10=0和l2:x+y+1=0的交点,且平行于l3:x+2y-5=0
的直线方程为
.
(3)求经过点(2,3)且经过l1:x+3y-4=0与l2:5x+2y+6=0的交点的 直线方程.
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【解析】(1)正确.若点A(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则一定 有Aa+Bb+C=0. (2)正确.交点在两条直线上,所以交点坐标同时满足两条直线的 方程,故一定是这两条直线方程组成的二元一次方程组的解,这 种说法正确. (3)错误.两点间距离公式对求任意两点间的距离都适用. 答案:(1)√ (2)√ (3)×
(2)结论:|P1P2|=__P _1_P 2 __ ___x _2 _ __x1 __2_ __y _2_ _y _1_2 ____.
(3)特例:点P(x,y)到原点O(0,0)的距离|OP|=__________.
x2 y2
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1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若点A(a,b)在直线l:Ax+By+C=0上,则点A的坐标一定适合直 线l的方程. ( ) (2)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元 一次方程组的解. ( ) (3)当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公 式不适用. ( )
高中数学：第三章 直线与方程 (11)
(2)直线 5x＋4y－2m－1＝0 与直线 2x＋3y－m＝0 的交点在 第四象限，求 m 的取值范围．
【解析】 由方程组52xx＋ ＋43yy－ －2mm＝－01，＝0，
∴yx＝＝m2m－77＋23. ，
∴交点坐标为(2m7＋3，m－73＜＞00. ，
(2)A，B 分别位于 l 的两侧，设 B 关于 l 的对称点为 B′，则|AB′| 为||AQ|－|BQ||的最大值．
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【解析】 (1)如图 1，设 C 关于 l 的对称点 为 C′(a，b)，
则ba－－20＝－13，且 3·a＋2 2－b＋2 0－1＝0，解 得 C′(－1，1)．
∴AC′所在直线的方程为 y＝1. 由y3＝x－1，y－1＝0，得 AC′与 l 的交点 P(23，1)． 此时，|AP|＋|CP|的值最小且为 5.
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(2)如图 2，设 B 关于 l 的对称点为 B′(m，n)， 则mn－－40＝－13且 3·m＋2 0－n＋2 4－1＝0，解得 B′(3， 3)．
∴AB′所在直线的方程为 2x＋y－9＝0. 由23xx＋－yy－－91＝＝00，， 得 AB′与 l 的交点 Q(2，5)． 此时||AQ|－|BQ||的值最大且为 5.
方法二：∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴设 l 方程为 3x＋y＋d＝0. 又知，直线 l 过点(－35，－75)， ∴3×(－35)－75＋d＝0，∴d＝156. ∴直线 l 的方程为 3x＋y＋156＝0， 即 15x＋5y＋16＝0.
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方法三：∵直线 l 过直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交 点，
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如何设直线系方程？ 答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)； (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0； (3)过直线 A1x＋B1y＋C1＝0 与 A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线系 方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其不含直线 A2x＋B2y ＋C2＝0.
高中数学 第3章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标教材梳
3.3.1 两条直线的交点坐标疱丁巧解牛知识·巧学一、两条直线的交点如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.把两条直线的方程组成方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.要点提示直线相交的问题转化为求方程组的解的问题,且解的个数决定两条直线的位置关系.两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解.二、直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程.方程的特点是除含坐标变量x 、y 以外，还含有待定系数(也称参变量).(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线方程为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0，其中λ是待定系数.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x+B 2y+C 2=0，因此它不能表示直线l 2.(2)平行直线系：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C)，λ是参变量.(3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+λ=0.(4)特殊平行线与过定点(x 0，y 0)的直线系：当斜率k 一定而m 变动时，y=kx+m 表示斜率为k 的平行线系，y-y 0=k(x-x 0)表示过定点(x 0，y 0)的直线系(不含直线x=x 0).要点提示 如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.直线系是直线和方程的理论发展,是数学符号语言中一种有用的工具,是一种很有用的解题技巧,应注意掌握和应用.问题·探究问题1 设两条直线的方程为l 1:A 1x+B 1y+C 1=0和l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，如果这两条直线相交，你能分析它们的系数满足什么关系吗？探究:我们可以先解由两直线方程联立的方程组⎩⎨⎧=++=++).2( 0C y B x A ),1( 0C y B x A 222111 ①×B 2-②×B 1,得(A 1B 2-A 2B 1)x+B 2C 1-B 1C 2=0.当A 1B 2-A 2B 1≠0时，得x=12211121B A B A B C C B --；再由①×A 2-②×A 1，当A 1B 2-A 2B 1≠0时，可得y=12212112B A B A C A C A --.因此，当A 1B 2-A 2B 1≠0时，方程组有唯一一组解x 、y. 这时两条直线相交，交点的坐标就是(x ，y).因此这两条直线相交时，系数满足的关系为A 1B 2-A 2B 1≠0.问题2 请你探究一下三条直线l 1:ax+y+1=0,l 2:x+ay+1=0,l 3:x+y+a=0构成三角形的条件是什么？探究:三直线构成三角形，则需任意两条直线都相交，且不能相交于一点.注意不要忽略三线交于同一点的情况.所以可以从正反两个方向来思考.解法一:任两条直线都相交，则a a 11≠,111≠a ,故a≠±1.又有三条直线不交于同一点， 故其中两条直线⎩⎨⎧=++=++0a y x 0,1ay x 的交点(-1-a,1)不在直线ax+y+1=0上，即a(-1-a)+1+1≠0,a 2+a-2≠0，(a+2)(a-1)≠0,∴a≠-2,a≠1.综合上述结果，三条直线构成三角形的条件是a≠±1,a≠-2.解法二:因为三条直线能构成三角形,所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.可以把不能构成三角形的情况排除掉.若三条直线交于同一点，则其中两条直线⎩⎨⎧=++=++0a y x 0,1ay x 的交点(-1-a,1)在直线ax+y+1=0上，∴a(-a-1)+1+1=0,∴a=1或a=-2.若l 1∥l 2，则有11-=-a ,a=1；若l 1∥l 3，则有11-=-a,a=1；若l 2∥l 3，则有a a-=-1,a=±1. 所以若三条直线构成三角形，则需a≠±1,a≠-2.典题·热题例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)l 1：2x-y=7和l 2：3x+2y-7=0;(2)l 1：2x-6y+4=0和l 2：4x-12y+8=0;(3)l 1：4x+2y+4=0和l 2：y=-2x+3.思路解析：判定两直线的位置关系，可以转化为讨论方程组解的情况.若两直线方程组成的方程组有且仅有一组解时，说明两直线相交；若方程组无解，说明两直线平行；若方程组有无数多组解，则说明两直线重合.解：(1)方程组⎩⎨⎧=+=07-2y 3x 0,7-y -2x 的解为⎩⎨⎧==-1,y 3,x 因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，-1).(2)方程组⎩⎨⎧=+=+0812y -4x 0,46y -2x 有无数组解，这表明直线l 1和l 2重合. (3)方程组⎩⎨⎧=+=++03-y 2x 0,42y 4x 无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.深化升华 根据两直线方程判断两直线的位置关系时，当已知形式是直线的斜截式方程时，利用斜率以及纵截距来判定两直线是否相交、平行或重合更方便.当已知直线的一般式方程时，若系数中含有字母，因为直线斜率是否存在不清楚，若再使用斜率判定，则要进行分类讨论，但用一般式的系数关系来判断则不用讨论，显得较为简单易行.例2 已知两直线l 1：x+my+6=0，l 2：(m-2)x+3y+2m=0，当m 为何值时，直线l 1与l 2(1)平行;(2)重合;(3)相交？思路解析：对于平行及重合的判断，可以通过斜率与截距来分析.而对于l 1与l 2相交的情况，只能通过解方程组来寻求规律.解：当m=0时，l 1：x+6=0，l 2：2x-3y=0，此时l 1与l 2相交.当m≠0时，l 1：y=m x m 61--，l 2：y=m x m 3232---. (1)若l 1∥l 2，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≠--=-,326,321m m m m 解得m=-1(m=3舍去). (2)若l 1与l 2重合，则62312m m m ==-， 解得m=3.故m=-1时,l 1∥l 2;m=3时,l 1与l 2重合.(3)由l 1的方程得x=-my-6，代入l 2的方程得(m-2)(-my-6)+3y+2m=0，即(m 2-2m-3)y=12-4m.显然，m 2-2m-3=0时无解，只有当m 2-2m-3≠0，即m≠-1且m≠3时，方程才有解，且是唯一解，故只有当m≠-1且m≠3时两直线相交.深化升华 具体的两条直线的位置关系的判断方法：实际上，对于两条直线平行，可以将两直线的方程分别化为斜截式，通过斜率相等，纵截距不相等来判断；对于两条直线重合的情况，实际上是两条直线的方程完全相同，只是化简的程度不同，此时，可通过对应项的系数的比值相等来判断.例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解：(方法一)由方程组⎩⎨⎧=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.57,53y x ∵直线l 和直线3x+y-1=0平行，∴直线l 的斜率k=-3.∴根据点斜式有y-(57-)=-3［x-(53-)］， 即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.∵直线l 与直线3x+y-1=0平行， ∴1321332--≠-=+λλλ.解得λ=211. 从而所求直线方程为15x+5y+16=0.拓展延伸 直线系是指具有某一共同特征的直线的集合.表示直线系的方程叫做直线系方程.除了本题的共点直线系外，还有过定点的直线系、平行直线系和垂直直线系等.对于求与已知直线有着一定联系的直线的方程时，可以通过特定的直线系方程利用待定系数法来求解.注意要根据题中条件灵活地选择方程进行求解.变式：求与直线2x+3y+1=0垂直，且过点P(1，-1)的直线l 的方程.思路解析：本题可以先求得直线的斜率，应用直线的点斜式方程求得.也可以由垂直直线系方程设出直线的方程求待定的系数.解：设与直线2x+3y+1=0垂直的直线l 方程为3x-2y+c=0.因为点P(1，-1)在直线l 上，所以3×1-2×(-1)+c=0，解之,得c=-5.所以所求直线方程为3x-2y-5=0.例4 求证：不论m 取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.思路解析：题目所给的直线方程的系数含有字母m ，给m 任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m 为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m 的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点.另一个思路是：由于方程对任意的m 都成立，那么就以m 为未知数，整理为关于m 的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标.解：解法一：对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解方程组⎩⎨⎧=++=0,104y x 0,11-3y -x 得两条直线的交点为(2，-3).将点(2，-3)代入已知直线方程左边，得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点(2，-3).解法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.由于m 的取值的任意性，有⎩⎨⎧=++=+0.113y x -0,1-y 2x 解得⎩⎨⎧==-3.y 2,x所以所给直线不论m 取什么实数，均经过定点(2，-3).深化升华 含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点.。
高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.3直线的交点坐标与距离公式1)》教师版
3.3直线的交点坐标与距离公式3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离第一课时两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)[导入新知]1．两直线的交点坐标2．两直线的位置关系[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2，B2≠0)．(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.[导入新知]两点间的距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．[化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝x2＋y2.[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1，直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．[活学活用]3．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．解：设所求点P(x,0)，于是由|P A|＝|PB|得(x＋1)2＋(0－2)2＝(x－2)2＋(0－7)2，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P点坐标为(1,0)，|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．[成功破障](2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12 B ．－12C.23D ．－23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，即直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)，代入y ＝ax －2，解得a ＝23.[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．1－或5解析：选C ∵|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5， ∴a ＝－5或a ＝1.3．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．解析：由题意设P (a,0)，则|PQ |＝(a －1)2＋(0－3)2＝5，解得a －1＝±4，即a ＝5或－3.故点P 的坐标是(5,0)或(－3,0)．答案：(5,0)或(－3,0)4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________． 解析：因为p ＝2q ＋1代入整理：(2x ＋1)q ＋3y ＋x ＝0对q 为一切实数恒成立，即2x ＋1＝0，且3y ＋x ＝0，所以x ＝－12，y ＝16.答案：⎝⎛⎭⎫－12，16 5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2， ∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1) 即：2x －y －1＝0. (2)若直线与l 2垂直， ∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴y －1＝－23(x －1)即：2x ＋3y －5＝0.3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1±2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________． 解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝155＝3.答案：3[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． [活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．解析：因为两直线平行，所以m ＝2.法一：在直线3x ＋y －3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d ＝|6×0＋2×3－1|62＋22＝104. 法二：将6x ＋2y －1＝0化为3x ＋y －12＝0，由两条平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－3＋1232＋12＝104. 答案：104[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程． [解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．[活学活用]4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －4＝0，4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－23，即直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫2，－23. ①当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ， 则l 的方程为y ＋23＝k (x －2)，即kx －y －2k －23＝0，由点A 到l 的距离为5，得⎪⎪⎪⎪－3k －1－2k －23k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43，所以l 的方程为43x －y －83－23＝0，即4x －3y －10＝0.综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.9.漏掉直线斜率不存在的情况[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．[解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |(－1)2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1，l 2的斜率不存在①，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．解析：当过点A 的直线垂直于x 轴时，原点到此直线的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x －1＝0.当过点A 的直线不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.由|－k ＋2|k 2＋1＝1得k ＝34，故其方程为3x －4y ＋5＝0.故所求的直线方程为x －1＝0，或3x －4y ＋5＝0. 答案：x ＝1或3x －4y ＋5＝0[随堂即时演练]1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|5＝ 5.2．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.3．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：124．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1735．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y 2－0＝x ＋31＋3， 即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455， 所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.[课时达标检测]一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．3 2 B.22C ．3D.322解析：选D 点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离 d ＝|1－1×(－1)＋1|12＋(－1)2＝322.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：选D 根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0.因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2.所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0. 4．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线， ∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3， 由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：选A 由题意，结合图形可知点M 必然在直线x ＋y －6＝0上，故M 到原点的最小距离为|－6|2＝3 2.二、填空题6．直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是________________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0， 则|C －4|12＋22＝|C |12＋22，解得C ＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0. 答案：x －2y ＋2＝07．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4,5)到l 的距离相等，则l 的方程为________________．解析：显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1； 设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即 kx －y －k ＝0.∵点A ，B 到l 的距离相等， ∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1.∴|1－3k |＝|3k －5|，∴k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0. 综上，l 的方程为x ＝1，或x －y －1＝0. 答案：x ＝1或x －y －1＝08．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是____________________．解析：法一：由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c －(－1)|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1， 则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.法二：由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 则c ＝3＋(－1)2＝1.则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 三、解答题9．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为 3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为 3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得 |3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29， 故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．解：(1)点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝310. ∵l AB ∥l CD ，∴可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ， 则|m ＋16|10＝310， 又∵m ≠－13，∴m ＝－19，即l AB ：x ＋3y －19＝0. ∵l AD ⊥l CD ，∴可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，则P (1,5)到l AD 的距离等于P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310， |n －2|10＝310，n ＝5，或n ＝－1， 则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以，正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0.直线与方程一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·嘉兴高一检测)点A (2，－3)关于点B (－1,0)的对称点A ′的坐标是( ) A ．(－4,3) B ．(5，－6) C ．(3，－3)D.⎝⎛⎭⎫12，－32 解析：选A 设A ′(x ′，y ′)，由题意得⎩⎨⎧2＋x ′2＝－1，－3＋y ′2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4，y ′＝3. 2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．135°解析：选D 由题意知k ＝－1，故倾斜角为135°.3．(2012·潍坊高一期末检测)点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1B ．2C.22D. 2解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22.4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选B 设P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.a ＝－5.5．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：选A ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得－3n ＝－3，－mn ＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.7．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.8．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9D ．－9解析：选D 由题意知k AB ＝k BC即b －1－2－3＝11－b8＋2，解得b ＝－9. 9．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( ) A ．(4，－2) B ．(4，－3) C.⎝⎛⎭⎫3，32 D ．(3，－1)解析：选A 由已知知以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y ＝2x ，则(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点即为所求点．设所求点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋4＝－12，y 0＋22＝2·x 0－42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4，y 0＝－2. 10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34，或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对解析：选A 由题意知k AP ＝－3－12－1＝－4， k BP ＝－2－1－3－1＝34.由斜率的特点并结合图形可知k ≥34，或k ≤－4.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为⎝⎛⎭⎫－2＋02，3＋12即(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10.答案：1012．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________． 解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，此时直线方程为x ＋y －2＝0.答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝013．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．解析：如右图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，则k l ＝－2，所以方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.答案：2x ＋y －5＝014．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即y ＝x －5.设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32，解得x ＝1或x ＝277.即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2012·绍兴高二检测)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．16．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．17．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得顶点A (－1,0)．又AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)．已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x ＋1)，y －2＝－2(x －1).得顶点C 的坐标为(5，－6)．所以点A 的坐标为(－1,0)，点C 的坐标为(5，－6)．。
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式习题3.3》612PPT课件
求得．
(2)常用对称的特例有：
①A(a，b)关于x轴的对称点称点为B′(－a，b)；
③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；
④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；
⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b).
跟踪训练 4．一条光线从点A(3,2)出发，经x轴反射，通过点B(－1,6)，求入射光线
和反射光线所在的直线方程．
解析：∵点 A(3,2)关于 x 轴的对称点 A′(3，－2)， ∴由两点式可得直线 A′B 的方程为－y－ 2－66＝3x＋ ＋11， 即 2x＋y－4＝0. 同理，点 B 关于 x 的轴对称点 B′(－1，－6)． 由两点式可得直线 AB′的方程为－y－ 6－22＝－x－ 1－33， 即 2x－y－4＝0. ∴入射光线所在直线方程为 2x－y－4＝0； 反射光线所在直线方程为 2x＋y－4＝0.
腰三角形．
两点间的距离公式及解法 已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0），求证：△ABC为等
证明： AB (4 2)2 (3 1)2 2 2 AC (0 2)2 (5 1)2 2 5 BC (5 3)2 (0 4)2 2 5 AC BC 又 A、B、C三点不共线 ABC为等腰三角形
此方程对任意实数m都成立，则必有
x＋2y－1＝0，
x＋y－5＝0.
解得
x＝9，
y＝－4.
∴无论m取何实数时，此直线恒过定点(9，－4)．
点评：法二的解法即方程ax＋b＝0对x∈R恒成立时成立的条件：a＝b＝0.
跟踪训练:2．不论m怎样变化，直线(m－2)x－(2m＋1)y－(3m＋4)＝0恒 过定点________．
ba·－43＝－1 8×a2＋6×2b＝25
人教A高中数学必修二课时分层训练：第三章 直线与方程 33 331 332 含解析
第三章 3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3．1 两条直线的交点坐标3．3．2 两点间的距离课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.2．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2D ．不能确定解析：选B 由k AB ＝1，得b －a1＝1， ∴b －a ＝1. ∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝1＋1＝ 2.3．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：选A (a －1)x －y ＋2a ＋1＝0可化为－x －y ＋1＋a (x ＋2)＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.4．点P (a ，b )关于直线l ：x ＋y ＋1＝0的对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．0解析：选B ∵点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，∴点P (a ，b )在直线l 上，∴a ＋b ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.5．到A (1,3)，B (－5,1)两点的距离相等的动点P 的轨迹方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝0解析：选B 解法一：设P (x ，y )， 则(x －1)2＋(y －3)2＝(x ＋5)2＋(y －1)2，即3x ＋y ＋4＝0.解法二：到A 、B 两点距离相等的点P 的轨迹就是线段AB 的垂直平分线，AB 中点为M (－2,2)，k AB ＝13，∴k l ＝－3，l ：y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.6．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是 ． 解析：设对称点坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b ＋52＝1.解得a ＝－4，b＝－1，即所求对称点坐标是(－4，－1)．答案：(－4，－1)7．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程为 ．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.又所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直，故k ＝13， ∴直线方程为y ＋75＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即5x －15y －18＝0. 答案：5x －15y －18＝08．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为 ．解析：设P 点的坐标是(a ，a ＋4)， 由题意可知|PM |＝|PN |， 即(a ＋2)2＋(a ＋4＋4)2＝(a －4)2＋(a ＋4－6)2，解得a ＝－32，故P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，529．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.10．已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，满足下列条件：(1)l 1与l 2相交于一点P (m,1)； (2)l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)； (3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)把P (m,1)的坐标分别代入l 1，l 2的方程得m 2＋8＋n ＝0,2m ＋m －1＝0，解得m ＝13，n ＝－739.(2)显然m ≠0.∵l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 8＝－2m ，3m －8＋n ＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝4，n ＝－4或⎩⎨⎧m ＝－4，n ＝20.(3)由l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.当m ＝0时，l 1的方程为8y ＋n ＝0，l 2的方程为2x －1＝0.∴－8＋n ＝0，解得n ＝8.∴m ＝0，n ＝8.而m ≠0时，直线l 1与l 2不垂直． 综上可知，m ＝0，n ＝8.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．直线l ：x ＋2y －1＝0关于点(1，－1)对称的直线l ′的方程为( ) A ．2x －y －5＝0 B ．x ＋2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选C 由题意得l ′∥l ，故设l ′：x ＋2y ＋c ＝0，在l 上取点A (1,0)，则点A (1,0)关于点(1，－1)的对称点是A ′(1，－2)，所以1＋2×(－2)＋c ＝0，即c ＝3，故直线l ′的方程为x ＋2y ＋3＝0，故选C.2．已知平面上两点A (x ，2－x )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，则|AB |的最小值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：选D ∵|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋(2－x )2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3242＋14≥12，当且仅当x ＝324时等号成立，∴|AB |min ＝12.3．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则该定点为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(3,1)D ．(3，－1)解析：选D 直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，此直线过直线2x ＋y －5＝0和直线x －y －4＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此所求定点为(3，－1)．故选D.4．已知点A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使|P A |＋|PB |取最小值，则P 点坐标是( )A ．(1，－1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135 D ．(－2,2)解析：选C 点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，直线A ′B 的方程为y ＝14x －134，与x ＋y ＝0联立方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝135，y ＝－135，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135. 5．若两直线(m ＋2)x －y －m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴围成三角形，则实数m 的取值范围是 ．解析：当直线(m ＋2)x －y －m ＝0，x ＋y ＝0及x 轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形．当m ＝－2时，(m ＋2)x －y －m ＝0与x 轴平行；当m ＝－3时，(m ＋2)x －y －m ＝0与x ＋y ＝0平行；当m ＝0时，三条直线都过原点，所以m 的取值范围为{m |m ≠－3，且m ≠－2，且m ≠0}．答案：{m |m ≠－3，且m ≠－2，且m ≠0}6．已知A (2,1)，B (1,2)，若直线y ＝ax 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是 ．解析：如图，直线y ＝ax 的斜率为a 且经过原点O ，∵直线y ＝ax 与线段AB 相交，∴实数a 的最小值为OA 的斜率，最大值为OB 的斜率，OA 的斜率为12，OB 的斜率为2，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，27．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 ．解析：解法一：由题意知直线l 过定点P (0，－3)， 直线2x ＋3y －6＝0与x ，y 轴的交点分别为A (3,0)，B (0,2)，如图所示，要使两直线的交点在第一象限， 则直线l 在直线AP 与BP 之间， 而k AP ＝－3－00－3＝33，∴k >33. 解法二：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋63k ＋2，y ＝6k －233k ＋2.由题意知x ＝33＋63k ＋2>0且y ＝6k －233k ＋2>0.由33＋63k ＋2>0可得3k ＋2>0，∴6k －23>0，解得k >33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞8．已知△ABC 的一个顶点A (2，－4)，且∠B ，∠C 的角平分线所在直线的方程依次是x ＋y －2＝0，x －3y －6＝0，求△ABC 的三边所在直线的方程．解：如图，BE ，CF 分别为∠ABC ，∠ACB 的角平分线，由角平分线的性质，知点A 关于直线BE ，CF 的对称点A ′，A ″均在直线BC 上．∵直线BE 的方程为x ＋y －2＝0， ∴A ′(6,0)．∵直线CF 的方程为x －3y －6＝0，∴A ″⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.∴直线A ′A ″的方程是y ＝0－456－25(x －6)，即x ＋7y －6＝0，这也是BC 所在直线的方程． 由⎩⎨⎧ x ＋7y －6＝0，x ＋y －2＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，由⎩⎨⎧x ＋7y －6＝0，x －3y －6＝0，得C (6,0)， ∴AB 所在直线的方程是7x ＋y －10＝0，AC 所在直线方程是x －y －6＝0.。
高二数学必修2第三章3.3 直线的交点坐标与距离公式
第三章 直线与方程3．3 直线的交点坐标与距离公式 3．3.1 两条直线的交点坐标1．直线2x －3y ＋10＝0与2x ＋3y －2＝0的交点是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,2) C ．(2，－1) D ．(2，－2)2．已知集合M ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}，P ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}，则M ∩P ＝( ) A ．(1,2) B ．{1}∪{2} C ．{1,2} D ．{(1,2)}3．直线l 1：x ＋ay ＋4＝0和直线l 2：(a －2)x ＋3y ＋a ＝0互相平行，则a 的值为( ) A ．－1或3 B ．－3或1 C ．－1 D ．－34．若直线5x ＋4y ＝2m ＋1与直线2x ＋3y ＝m 的交点在第四象限，则m 的取值范围是( )A ．m ＜2B ．m ＞32C ．m ＜－32D ．－32＜m ＜25．三条直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝7,2x －y ＝1相交于一点，则a 的值是( ) A ．－2 B ．－10 C ．10 D ．26．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )A ．x －3y ＋7＝0B ．x －3y ＋13＝0C ．2x －y ＋7＝0D ．3x －y －5＝07．直线ax ＋by ＋16＝0与x －2y ＝0平行，且过直线4x ＋3y －10＝0和2x －y －10＝0的交点，则a ＝________，b ＝________.8．已知直线方程为(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0. 求证：不论λ取何实数值，此直线必过定点．9．已知三条直线l 1：4x ＋7y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x ＋3my －4＝0，当m 为何值时，三条直线不能围成三角形．3.3.2 两点间的距离1．两点A (1,4)，B (4,6)之间的距离为( ) A ．2 3 B.13 C.11 D ．32．以点A (－3,0)，B (3，－2)，C (－1,2)为顶点的三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不是 3．点P 在x 轴上，点Q 在y 轴上，线段PQ 的中点R 的坐标是(3,4)，则|PQ |的长为( ) A ．5 B ．10 C ．17 D ．254．已知A ，B 的坐标分别为(1,1)，(4,3)，点P 在x 轴上，则|P A |＋|PB |的最小值为( ) A ．20 B ．12 C ．5 D ．4 5．已知A (1,5)，B (5，－2)，在x 轴上存在一点M ，使|MA |＝|MB |，则点M 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫83，0B.⎝⎛⎭⎫38，0C.⎝⎛⎭⎫－83，0D.⎝⎛⎭⎫－38，0 6．点P 在直角坐标系第一、三象限的角平分线上，它到原点的距离等于它到点Q (4 3，0)的距离，则点P 的坐标是__________．7．已知点A (3,6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标．8．在坐标轴上，与两点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是________________． 9．在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5.10．已知点M (1,0)，N (－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点．求PM 2＋PN 2的最小值及取最小值时点P 的坐标．3．3.3 点到直线的距离、两条平行直线间的距离1．原点到直线3x ＋4y －10＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 52．点P (－3,2)到y 轴的距离是( ) A ．3 B.13 C ．2 D ．13．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且到直线x －y －1＝0的距离等于2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)4．在以A (2,1)，B (4,2)，C (8,5)为顶点的三角形中，BC 边上的高等于( ) A.25 B.45 C.65 D ．2 5．倾斜角是45°，并且与原点的距离是5 2的直线的方程为( ) A ．x －y －10＝0 B ．x －y －10＝0或x －y ＋10＝0C ．x －y ＋5 2＝0D ．x －y ＋5 2＝0或x －y －5 2＝0 6．动点P 在直线3x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值为( ) A.10 B ．2 2 C. 6 D ．27．两平行线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝________.8．已知x ＋y ＋1＝0，那么(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为__________．9．(2014年四川成都模拟)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，求k 的值．10．在△ABC 中，已知顶点A (1,1)，B (3,6)且△ABC 的面积等于3，求顶点C 的轨迹方程．。
高中数学 第三章 直线与方程 3.3 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离学案
3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离目标定位 1.会求两条直线的交点坐标.2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.3.掌握平面上两点间的距离公式并会应用.自 主 预 习1.两条直线的交点已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行.若方程组有无穷多个解，则两条直线重合. 2.过定点的直线系方程已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交于点P (x 0，y 0)，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0表示过点P 的直线系，不包括直线l 2. 3.两点间的距离平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式 |P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.两点间距离的特殊情况(1)原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. (3)当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.即 时 自 测1.判断题(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.(√)(2)两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的充要条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.(√) (3)方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，表示经过直线l 1：∴A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的所有直线.(×)(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(√)提示 (3)无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2. 2.直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是( )A.(1，2)B.(2，1)C.(1，1)D.(2，2)答案 A3.已知M (2，1)，N (－1，5)，则|MN |等于( ) A.5B.37C.13D.4解析 |MN |＝（2＋1）2＋（1－5）2＝5. 答案 A4.已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________.解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.答案 a ≠2类型一 两直线的交点问题【例1】 求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程.解 法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2，2).∵直线过坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1. 故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.法二 ∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直线l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.规律方法 (1)方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0，0)不能在直线2x ＋y ＋2＝0上.否则，会出现λ的取值不确定的情形.(2)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ2(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0可表示过l 1、l 2交点的所有直线； ②A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0不能表示直线l 2.【训练1】 求经过直线l 1：x ＋3y －3＝0，l 2：x －y ＋1＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程.解 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴直线l 1与l 2的交点坐标为(0，1)，再设平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 把(0，1)代入所求的直线方程，得C ＝－1， 故所求的直线方程为2x ＋y －1＝0. 法二 设过直线l 1、l 2交点的直线方程为x ＋3y －3＋λ(x －y ＋1)＝0(λ∈R )，即(λ＋1)x ＋(3－λ)y ＋λ－3＝0，由题意可知，λ＋1λ－3＝－2，解得λ＝53， 所以所求直线方程为83x ＋43y －43＝0，即2x ＋y －1＝0.类型二 两点间距离公式的应用(互动探究)【例2】 已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)、B (3，－3)、C (1，7)，试判断△ABC 的形状. [思路探究]探究点一 如何判断三角形的形状？提示 判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.探究点二 从哪几个方面分析三角形的形状？提示 在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理. 解 法一 ∵|AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， |AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， 又|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 是等腰直角三角形.法二 ∵k AC ＝7－11－（－3）＝32，k AB ＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB .又|AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， |AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形.规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.【训练2】已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.解设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，得（x－3）2＋（0－6）2＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).类型三坐标法的应用【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2).所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.规律方法坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.【训练3】已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).∴|AC |＝（b －0）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2，|BD |＝（a －b －a ）2＋（c －0）2＝b 2＋c 2.故|AC |＝|BD |. [课堂小结]1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.1.直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A.(4，1)B.(1，4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.答案 C2.经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0解析 首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 答案 A3.已知点A (－2，－1)，B (a ，3)，且|AB |＝5，则a 的值为________. 解析 由题意得（a ＋2）2＋（3＋1）2＝5，解得a ＝1或a ＝－5.答案 1或－54.求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程.解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.基 础 过 关1.已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12C.3D.2解析 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42，|CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.答案 D2.两直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值为( ) A.－24 B.6 C.±6 D.24解析 在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0得y ＝k3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫0，k 3代入x －ky ＋12＝0，解得k ＝±6.答案 C3.以A (5，5)，B (1，4)，C (4，1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 ∵|AB |＝17，|AC |＝17，|BC |＝32， ∴三角形为等腰三角形.故选B.答案 B4.设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________. 解析 设A (x ，0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2， 即A (4，0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案 2 55.若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________.解析 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋62＋3k ，y ＝6k －232＋3k .由于交点在第一象限，故x >0，y >0，解得k >33.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 6.在直线l ：3x －y ＋1＝0上求一点P ，使点P 到两点A (1，－1)，B (2，0)的距离相等. 解 法一 设P 点坐标为(x ，y )，由P 在l 上和点P 到A ，B 的距离相等建立方程组⎩⎨⎧3x －y ＋1＝0，（x －1）2＋（y ＋1）2＝（x －2）2＋y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以P 点坐标为(0，1).法二 设P (x ，y )，两点A (1，－1)、B (2，0)连线所得线段的中垂线方程为x ＋y －1＝0.① 又3x －y ＋1＝0，②解由①②组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以所求的点为P (0，1).7.求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.证明 法一 对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入直线方程，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).能 力 提 升8.已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互为垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( ) A.24B.20C.0D.－4解析 由垂直性质可得2m －20＝0，m ＝10.由垂足可得⎩⎪⎨⎪⎧10＋4p －2＝0，2－5p ＋n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－2，n ＝－12.∴m －n＋p ＝20. 答案 B9.两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895B.175C.135D.115解析 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135.答案 C10.过点P (3，0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是________.解析 法一 显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，将此方程分别与l 1，l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），2x －y －2＝0和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3），x ＋y ＋3＝0. 解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3k ＋1，∵P (3，0)是线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝6，即3k －2k －2＋3k －3k ＋1＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二 设l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3，0)是线段AB 的中点， ∴l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0，（6－x 1）＋（－y 1）＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝113，y 1＝163.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫113，163，由两点式可得l 的方程为8x －y －24＝0.答案 8x －y －24＝011.已知直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2). (1)求l 1，l 2的交点D 的坐标； (2)已知点M (－2，2)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，72，若直线l 3过点D 且与线段MN 相交，求直线l 3的斜率k 的取值范围.解 (1)∵直线l 1过点A (2，1)，B (0，3)，∴直线l 1的方程为y －13－1＝x －20－2，即y ＝－x ＋3.∵直线l 2的斜率为－3且过点C (4，2)， ∴直线l 2的方程为y －2＝－3(x －4)，即y ＝－3x ＋14.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋14，y ＝－x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112，y ＝－52，即l 1，l 2的交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫112，－52. (2)由题设知k MD ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－2－112＝－35.k ND ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52152－112＝3.因为过点D 的直线与线段MN 相交，故直线l 3的斜率k 的取值范围为：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－35∪[3，＋∞).探 究 创 新12.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|PA |＋|PB |为多少？解 如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值.设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3，6). 所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3811，y ＝3611.所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611. 故供水站应建在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3811，3611处， 此时|PA |＋|PB |＝|A ′B |＝（3－4）2＋（6－0）2＝37.。
2021_2022年高中数学第三章直线与方程3
第三章 直线与方程
3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.3点到直线的距离 3.3.4两条平行直线间的距离
课前自主预习
一、阅读教材P106～109回答 1．点P(x0，y0)与直线l：Ax＋By＋C＝0的位置关系： Ax0＋By0＋C＝0 ⇔点P在直线l上； Ax0＋By0＋C≠0 ⇔ 点P不在直线l上． 点P不在直线l上时，点P(x0，y0)到直线l的距离d＝
(8)点(x，y)关于y＝－x＋b对称点为(－y＋b，－x＋b)； 曲线f(x，y)关于y＝－x＋b轴对称曲线方程为f(－y＋b，－x ＋b)＝0；
这么多条，记忆起来是不是很麻烦，应用起来特别易 混．不用担心，记忆方法很简单，只有两条：
①关于坐标轴对称的：关于x轴将y变－y，关于y轴将x 变－x即可；关于直线x＝a对称将x换作2a－x；关于直线y ＝b对称将y换作2b－y.
解法 2：(1)由图形可知，当两平行线均与线段 AB 垂
直时，距离 d＝|AB|＝3 10最大，当两直线都过 A、B 点
时距离 d＝0 最小，但平行线不能重合．
∴0<d≤3 10. (2)两直线方程分别是
3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
[点评] 上面我们用两种思路作了解答，不难发现解法2比解法 1简捷的多，这足以显示数形结合的威力，在学习解析几何过程 中，一定要有意识的往形上联系，以促进数形结合能力的提高 和思维能力的发展．
3．关于轴对称问题要牢记两点：一是对称的两点连线 与轴垂直．通过直线斜率来体现；二是对称的两点的中点 在轴上，由中点坐标代入轴的方程来表达．另外一些特殊 的轴对称问题也应注意．
当特殊直线为对称轴时经过用基本方法推导可得如下 结论(不是下述特殊直线的用基本方法)
2021_2022年高中数学第三章直线与方程3
2．两条平行直线间的距离
(1)定义：夹在两条平行直线间_公__垂__线__段___的长叫做这两 条平行直线间的距离．
(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一 条直线上任取一点，这点点到到另直一线条直线的距离就是这两条平行 直线间的距离．
探索延拓
探究方向三：距离公式的应用
两互相平行的直线分别过A(6,2)、B(－3，－1)，并且各自绕 着A、B旋转，如果两条平行线间的距离为d， (1)求d的变化范围； (2)求当d取得最大值时的两条直线方程．
[解析] 解法 1：(1)设两条直线方程分别为 y＝kx＋b1 和 y＝kx＋b2， 则2－＝16＝k＋－b31k，＋b2， 即bb12＝＝23－k－61k，， 而 d＝|b21－＋bk12|＝|91k－＋3k2|，两边平方整理得 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0， 由于 k∈R， 所以 Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0， 整理得 4d2(d2－90)≤0，∴0<d≤3 10.
[解析] (1)用数形结合法容易得到，当直线 l⊥AB 时，d 取最大值，当 l 经过 A、B 时，d 取最小值，
∴0≤d≤5. (2)当 d＝5 时，kl＝－k1AB， kAB＝1－4－－13＝34， ∴l 方程 y－1＝－43(x＋3)，即：4x＋3y＋9＝0.
(3)设 l：y－1＝k(x＋3)，即：kx－y＋3k＋1＝0， 由 A(1,4)到 l 距离为 4 知 |k－41＋＋3kk2＋1|＝4，∴k＝－274， 故所求直线方程为：7x＋24y－3＝0.
－2＝34(x－1)，即 3x－4y＋5＝0. 综上所述，所求直线 l 的方程为 x＝1 或 3x－4y＋5＝0. [总结] 当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率
高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修
2
3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
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1
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
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2
2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
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探究一
探究二
探究三
探究四
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探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
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探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
高中数学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1-3.3.2两点间的距离优化练习
3.3.1-3.3.2 两点间的距离[课时作业][A 组 基础巩固]1．已知A (0,10)，B (a ，－5)两点间的距离是17，则实数a 的值是( )A ．8B ．－8C ．±8D ．18解析：由两点间距离公式得a 2＋152＝172，∴a 2＝64，∴a ＝±8.答案：C2．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：因为线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0.所以线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，0在直线x ＋2y －2＝0上，解得m ＝3. 答案：C3．直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0(k ∈R)所经过的定点是( )A ．(5,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3 D ．(5,9) 解析：由(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0，得k (2x －y －1)－x －3y ＋11＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，－x －3y ＋11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴直线过定点(2,3)． 答案：B4．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( )A ．6 B. 2 C ．2 D ．不确定 解析：由题意得k AB ＝b －a 5－4＝1，即b －a ＝1， 所以|AB |＝5－42＋b －a 2＝ 2.答案：B 5．已知A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上．若使|PA |＋|PB |取最小值，则P 点的坐标为( )A ．(1，－1)B ．(－1,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135 D ．(－2,2) 解析：点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，连接A ′B ，则A ′B 与直线x ＋y ＝0的交点即为所求的点，直线A ′B 的方程为y ＋3＝－2＋35－1(x －1)，即y ＝14x －134，与x ＋y ＝0联立，解得x ＝135，y ＝－135，故P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135. 答案：C6．若△ABC 的三个顶点分别为A (－2,2)，B (3,2)，C (4,0)，则AC 边的中线BD 的长为________． 解析：由题知AC 中点D 的坐标为(1,1)，则由距离公式得|BD |＝3－12＋2－12＝5.答案： 57．已知点A (－2,2)，B (2,23)，在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |，此时|PA |的值为________． 解析：设所求点P (x,0)，由|PA |＝|PB |得，x ＋22＋0－22＝x －22＋0－232，化简得8x ＝8，解得x ＝1，所以所求点P (1,0)，所以|PA |＝1＋22＋0－22＝13.答案：13 8．若三条直线x ＋y ＋1＝0,2x －y ＋8＝0和ax ＋3y －5＝0共有三个不同的交点，则a 的取值范围为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝2，即两直线的交点坐标为(－3,2)，故实数a 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ×－3＋3×2－5≠0，－a 3≠－1，－a 3≠2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠13，a ≠3，a ≠－6，即实数a 满足的条件为a ∈R 且a ≠13，a ≠3，a ≠－6. 答案：a ∈R 且a ≠13，a ≠3，a ≠－6 9．在直线2x －y ＝0上求一点P ，使它到点M (5,8)的距离为5，并求直线PM 的方程． 解析：∵点P 在直线2x －y ＝0上，∴可设P (a,2a )．根据两点的距离公式得|PM |2＝(a －5)2＋(2a －8)2＝52，即5a 2－42a ＋64＝0，解得a ＝2或a ＝325， ∴P (2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫325，645. ∴直线PM 的方程为y －84－8＝x －52－5或y －8645－8＝x －5325－5， 即4x －3y ＋4＝0或24x －7y －64＝0.10．求过两条直线x －2y ＋4＝0和x ＋y －2＝0的交点P ，且满足下列条件的直线方程．(1)过点Q (2，－1)；(2)与直线3x －4y ＋5＝0垂直． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴P (0,2)． (1)∵k PQ ＝－32. ∴直线PQ ：y －2＝－32x ， 即3x ＋2y －4＝0.(2)直线3x －4y ＋5＝0的斜率为34， ∴所求直线的斜率为－43，其直线方程为：y －2＝－43x ， 即4x ＋3y －6＝0.[B 组 能力提升]1．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5 解析：根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离，易求得A ′(－3，－5)．所以|A ′B |＝2＋32＋10＋52＝510. 答案：C 2．函数y ＝x 2－2x ＋2＋ x 2－6x ＋13的最小值是( ) A. 5 B.7 C.11 D.13 解析：y ＝x 2－2x ＋2＋ x 2－6x ＋13 ＝ x －12＋0－12＋ x －32＋0－22，∴y 表示x 轴上的点P (x,0)到A (1,1)，B (3,2)两点的距离之和．如图，点B 关于x 轴的对称点B ′(3，－2)，∴|BP |＝|B ′P |.又∵两点之间线段最短，∴y 的最小值为|AB ′|＝3－12＋－2－12＝13. 答案：D3．两直线l 1：3ax －y －2＝0和l 2：(2a －1)x ＋5ay －1＝0，分别过定点A 、B ，则|AB |＝________.解析：直线l 1：y ＝3ax －2过定点A (0，－2)，直线l 2：a (2x ＋5y )－(x ＋1)＝0，过定点⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝0x ＋1＝0， 即B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间距离公式得∴|AB |＝135. 答案：1354．已知△ABC 的一个顶点A (2，－4)，且∠B ，∠C 的角平分线所在直线的方程依次是x ＋y －2＝0，x －3y －6＝0，求△ABC 的三边所在直线的方程．解析：如图，BE ，CF 分别为∠B ，∠C 的角平分线，由角平分线的性质，知点A 关于直线BE ，CF 的对称点A ′，A ″均在直线BC 上．∵直线BE 的方程为x ＋y －2＝0，∴A ′(6,0)．∵直线CF 的方程为x －3y －6＝0，∴A ″⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45. ∴直线A ′A ″的方程是y ＝0－456－25(x －6)， 即x ＋7y －6＝0，这也是BC 所在直线的方程．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －6＝0，x ＋y －2＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋7y －6＝0，x －3y －6＝0，得C (6,0)， ∴AB 所在直线的方程是7x ＋y －10＝0，AC 所在直线方程是x －y －6＝0.5．已知两直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4(0<a <2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值？并求最小值． 解析：两直线l 1：a (x －2)＝2(y －2)，l 2：2(x －2)＝－a 2(y －2)，都过点(2,2)，如图：设两直线l 1，l 2的交点为C ，且它们的斜率分别为k 1和k 2，则k 1＝a2∈(0,1)，k 2＝－2a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. ∵直线l 1与y 轴的交点A 的坐标为(0,2－a )，直线l 2与x 轴的交点B 的坐标为(2＋a 2,0)．∴S OACB ＝S △OAC ＋S △OCB ＝12(2－a )·2＋12·(2＋a 2)·2＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154. ∴当a ＝12时，四边形OACB 的面积最小，其值为154.。
高中数学 第3章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.
3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离学 习 目 标核 心 素 养1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点)1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学学科素养．2. 通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学学科素养．1．两条直线的交点坐标 几何元素及关系代数表示点A A (a ，b ) 直线l l ：Ax ＋By ＋C ＝0 点A 在直线l 上 Aa ＋Bb ＋C ＝0直线l 1与l 2的交点是A 方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b 法一：代数法直线l 1，l 2联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧唯一解无穷多解无解⇔⎩⎪⎨⎪⎧l 1，l 2相交，l 1，l 2重合，l 1，l 2平行．(代数问题) (几何问题)法二：几何法(前提条件：系数均不为零)方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0⎩⎪⎨⎪⎧唯一解⇔A 1A 2≠B 1B 2⇔l 1，l 2相交，无穷多解⇔A 1A 2＝B 1B 2＝C1C 2⇔l 1，l2重合，无解⇔A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C2⇔l 1，l 2平行． 3．两点间的距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2．(2)两点间距离的特殊情况①原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2． ②当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|． ③当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|．思考：两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式是否可以写成|P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2的形式？[提示] 可以，原因是（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2，也就是说公式中P 1，P 2两点的位置没有先后之分．1．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( )A ．(2，2)B ．(1，1)C ．(1，2)D ．(2，1)C [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2得交点坐标为(1，2)，故选C.]2．已知A (3，7)，B (2，5)，则A ，B 两点间的距离为( ) A ．5 B ． 5 C ．3 D ．29B [由平面内两点间的距离公式可知|AB |＝（3－2）2＋（7－5）2＝ 5.] 3．已知△ABC 的顶点A (2，3)，B (－1，0)，C (2，0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．3＋2 3 C ．6＋3 2D ．6＋10C [|AB |＝（2＋1）2＋32＝32，|BC |＝（2＋1）2＋0＝3，|AC |＝（2－2）2＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.]4．已知点A (－2，－1)，B (a ，3)，且|AB |＝5，则a 的值为________． 1或－5 [由两点间距离公式得（a ＋2）2＋（3＋1）2＝5，解得a ＝1或－5.]两直线的交点问题【例1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0；(3)l 1：4x ＋2y ＋4＝0和l 2：y ＝－2x ＋3.[解] (1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －7＝0，3x ＋2y －7＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1. 因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(3，－1).(2)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋4＝0，4x －12y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y ＋4＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2.两条直线相交的判定方法 方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二 两直线斜率都存在且斜率不等方法三 两直线的斜率一个存在，另一个不存在[跟进训练]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， 所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1).(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.两点间距离公式的应用【例2】 已知△ABC 三顶点坐标A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，试判断△ABC 的形状．[解] 法一：∵|AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， |AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， 又|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：∵k AC ＝7－11－（－3）＝32，k AB ＝－3－13－（－3）＝－23，则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB .又|AC |＝（1＋3）2＋（7－1）2＝213， |AB |＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝213， ∴|AC |＝|AB |.∴△ABC 是等腰直角三角形．1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．[跟进训练]2．若等腰三角形ABC 的顶点A (3，0)，底边BC 的长为4，BC 边的中点为D (5，4)，求等腰△ABC 的腰长．[解] 因为|BD|=12|BC|=2，因为|AD |＝（5－3）2＋（4－0）2＝2 5.在Rt △ABD 中，由勾股定理得 |AB |＝|AD |2＋|BD |2＝20＋4＝2 6. 所以等腰△ABC 的腰长为2 6.经过两条直线交点的直线方程[探究问题]1. 如何求两条直线的交点坐标？[提示] 求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可． 2．已知直线过一定点如何求其方程？[提示] 已知直线过定点求其方程，若斜率存在只需求出斜率即可． 3．怎样表示过两条直线交点的直线系方程？[提示] 过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2的方程).【例3】 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．思路探究：求直线方程→待定系数法求方程→条件确定系数[解] 法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75.又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即15x ＋5y ＋16＝0. 法二：设所求直线方程为 (2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧（2＋λ）×1－（λ－3）×3＝0， （2＋λ）×（－1）－（2λ－3）×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×112－3＝0，即15x ＋5y ＋16＝0.1．本例中将“3x ＋y －1＝0”改为“x ＋3y －1＝0”，则如何求解？[解] 由例题知直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75，直线l 与x＋3y －1＝0平行，故斜率为－13，所以直线l 的方程为y ＋75＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即5x ＋15y ＋24＝0.2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ [解] 设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34，所以所求直线方程为5x －15y －18＝0.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．[跟进训练]3．直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y ＝0C ．x ＋2y ＝0D ．x －2y ＝0B [设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0，即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0，因为l 过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x －y ＝0.]1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2).2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．3．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．1．已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13D ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13 B [由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x ＋5y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝1.]2．已知点M (－1，3)，N (5，1)，P (x ，y )到M ，N 的距离相等，则x ，y 满足的条件是( ) A.x ＋3y －8＝0 B ．x －3y ＋8＝0 C ．x －3y ＋9＝0 D ．3x －y －4＝0D [由两点间距离公式得（x ＋1）2＋（y －3）2＝（x －5）2＋（y －1）2， 整理得3x －y －4＝0.]3．直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和直线2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为________．－1 [由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，2x －y ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.把x ＝4，y ＝－2代入ax ＋2y ＋8＝0得4a －4＋8＝0，解得a ＝－1.] 4．已知A (－1，0)，B (5，6)，C (3，4)，则|AC ||CB |＝________．2 [由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－（－1）]2＋（4－0）2＝42， |CB |＝（3－5）2＋（4－6）2＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.]5．已知点A (－1，2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |，并求|PA |的值．[解] 设所求点P(x，0)，于是由|PA|＝|PB|得（x＋1）2＋（0－2）2＝（x－2）2＋（0－7）2，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P点坐标为(1，0)，|PA|＝（1＋1）2＋（0－2）2＝2 2.。
高中数学 第三章 直线与方程 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标教案
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两条直线的交点坐标课题3。
3。
1两条直线的交点坐标课型新授课教学目标1。
掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系,并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点。
2。
当两条直线相交时，会求交点坐标。
培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练。
3。
学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.4.以“特殊”到“一般”，培养学生探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点。
重点难点教学重点：根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点。
教学难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解。
教具准备多媒体、三角板课时安排1课时教学过程与教学内容教学方法、教学手段与学法、学情导入新课思路1。
作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系?你能求出它们的交点坐标吗?说说你启发引导式的看法.思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.推进新课新知探究提出问题①已知两直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？②如果两条直线相交,怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？③解下列方程组（由学生完成）:(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ； （ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ;(ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x 。
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》212PPT课件
解: （法二）在直线 2x -7y +4=0 上取 Q( -2, 0), 则 Q( -2, 0)到直线 2x -7y -8 =0 的距离就是两平行线间 的距离。
| 2(-2) 7 0 - 8 | 12 12 53
d
22 (-7)2
53 53
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距
22 (-7)2
53 53
解: （法二）在直线 2x -7y +4=0 上取 Q( -2, 0), 则 Q( -2, 0)到直线 2x -7y -8 =0 的距离就是两平行线间 的距离。
d
d|2
|(4-2-)(-87)| 0- 8 222 2(-(7-7)2)2
1|523
1521325351325353
分根据别直平求线行出l1直与它线x们轴距的离交斜公点式率A。（4，0）
d
dA2择到、恰直 在2线当4一l的(2的条1点)距直，离线最：2上3好选选23 53 择6坐624标(2为121整0)21数3的52点33 。2135953
o
A
l1: 2x-7y-8=0
x
d
62 (21)2 3 53 159
3、利用点到直线的距离公式求解。
探 究
（1）直线 l1 Pl2 ，如何求 l1与 l2 之间的距离？
y
l2
P
l1
Q
o
x
将平行直线间的距离转化为点到直线的距离. 在一条直线上任意取一点P, 并过P作另一条直线 的垂线段PQ 。
（2）如何取点，可使计算简单？
y
高中数学：第三章 直线与方程 (23)
3-2:与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( ) (A)3x-2y+2=0 (B)2x+3y+7=0 (C)3x-2y-12=0 (D)2x+3y+8=0
解析:由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x+3y-6=0平行,则可 设所求直线方程为2x+3y+C=0.在直线2x+3y-6=0上任取一点(3,0), 关于点(1,-1)对称点为(-1,-2),则点(-1,-2)必在所求直线上,所以2×(1)+3 ×(-2)+C=0,C=8.所以所求直线方程为2x+3y+8=0.故选D.
③直线l上任意一点M到P,P′的距离相等,即|MP|=|MP'|.
(2)常见的点关于直线的对称点:
①点P(x0,y0)关于x轴的对称点P′(x0,-y0); ②点P(x0,y0)关于y轴的对称点P′(-x0,y0); ③点P(x0,y0)关于直线y=x的对称点P′(y0,x0); ④点P(x0,y0)关于直线y=-x的对称点P′(-y0,-x0); ⑤点P(x0,y0)关于直线x=m(m≠0)的对称点P′(2m-x0,y0); ⑥点P(x0,y0)关于直线y=n(n≠0)的对称点P′(x0,2n-y0).
1 (3) 2
3 (3) 3
则 kAC·kAB=-1,所以 AC⊥AB.
又|AC|= (1 3)2 (7 1)2 =2 13 ,
|AB|= (3 3)2 (3 1)2 =2 13 ,
所以|AC|=|AB|. 所以△ABC 是等腰直角三角形.
题型三 对称问题 【例3】已知直线l:y=3x+3,求: (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标;
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3.3.1两条直线的交点坐标 3.3.2两点间的距离
学习目标: 会求两直线交点坐标,理解二元一次方程组的解与两直线的位置关系;掌握两点间的距离公式并会应用
自主学习：学习教材P102-103内容
归纳小结一:
(1)两直线交点坐标的求法:____________________
(2)方程组的解的个数与两直线的位置关系:
________________________________________
________________________________________
例1.判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标;
(1)0723:72:21=-+=-y x l y x l 和;
(2) 08124:0462:21=+-=+-y x l y x l 和
(3) 32:0524:21+-==++x y l y x l 和
自主学习:学习教材P104-105内容
小结二:两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式
__________________________________
特别地,原点O(0,0)与P(x ,y )距离____________
例2. 已知点A(-1,2), B(3,-2),在y 轴上求一点P, 使|PA|=|PB|, 并求 |PA| 的值.
变式1:已知A(a ,3)和B(3,3a +3)的距离为5,求a 的值.
思考探究:
当λ变化时,方程0)22(243=+++-+y x λy x 表示什么图形?图形有何特点? 小结三: 经过两条直线0:1111=++C y B x A l 与0:2222=++C y B x A l 交点的直线系方程为 ________________________________________
例3.求经过两条直线02:042:21=-+=+-y x l y x l 和的交点P,且与直线0543:3=+-y x l 垂直的直线l 的方程
变式2: 求经过点P(2,3)且经过043:1=-+y x l 与0625:2=++y x l 的交点的直线方程.
例4.证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
变式3:若直线12++=k x y 与直线221+-=x y 的交点位于第一象限,求实数k 的取值范围。