直线的交点坐标与距离公式(有答案)
两条直线相交及点到直线的距离公式
作业
• 课本96页习题A组第5题 • 课本99页习题A组第1、3题
2、求经过两条直线x 3 y 3 0和3x 2 y 2 0的交点，且 （）与直线l1 : 3x 4 y 12 0平行的直线方程 1
（2）与直线l2 : x 5 y 6 0垂直的直线方程
3、求点p(1,2)到直线l : 2 x y 5 0的距离
两直线相交与 点到直线的距离公式
知识回顾
1、已知直线l1 : A1 x B1 y C1 0、l2 : A2 x B2 y C2 0 那么l1与l2相交的交点坐标求解
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
算得x, y即得交点坐标(x, y)
4、已知点p (a, 1)到直线 x 2 y 8 0的距离 等于 5，求a的值
5、求平行直线l1 : 3x 4 y 12 0和l2 : 3 x 4 y 6 0 之间的距离
课堂小结
• 1、两条相交直线的交点的求法 • 2、点到直线的距离公式
课堂练习课本96页、9ຫໍສະໝຸດ 页 练习2、点到直线的距离公式
已知直线l : Ax By C 0, 直线外一点p( x0 , y0 )
设p到l的距离为d Ax0 By0 C A B
2 2
注：直线方程必须化为一般式才可用公式
例题讲解
1、求两条直线l1 : 2 x 3 y 7 0与l2 : 5 x 2 y 8 0 的交点坐标
两条直线的交点坐标与两点间的距离公式
两条直线的交点坐标与两点间的距离公式1、直线2x+y-7=0与直线x+y=1的交点坐标2、直线2x-3y+10=0与直线3x+4y-2=0的交点坐标为，过该交点垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程为3、直线2x+y-8=0与直线x-2y+1=0的交点坐标为，过该交点平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为4、三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点，a的值5、已知点A(1,2) 、B（2，0）、P（0，3）、Q（-1，1）、M（1，0）、N（-4，0）线段AB=, MN=，PQ=6、两条垂直直线2x+y+2=0与ax+4y-2=0的交点坐标为7、若三条直线y=2x , x+y=3, mx+ny+5=0 相交于同一点，则（m,n）可能是（）A、(1,-3)B、（3，-1）C、（-3，1）D、（-1，3）8、已知点A（0，-1），点B在直线x-y+1=0上，直线AB垂直于直线x+2y-3=0, 则点B点的坐标是（）A、（-2，-3）B、（2，3）C、（2，1）D、（-2，1）9、直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直并且相交于点(1,m)，求a,c,m的值10、点A（-3，5）、B(2,15) 、C（4，3），试在直线l: 3x-4y+4=0上找一点P：+最小，并求其最小值（1）使得PA PC+最小，并求其最小值（2）使得PA PB11、已知三角形ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为250--=，求：x y--=，AC边上的高BH所在直线方程为250x y（1）顶点C的坐标（2）直线BC的方程点到直线的距离公式与两条平行直线间的距离1、点P （-5，7）到直线12x+5y-3=0的距离（ ）A 、28B 、25C 、2513D 、28132、两条平行直线3x-2y-1=0与3x-2y+1=0间的距离是（ ）A 、2B 、213 C 、 13D 、253、直线x+3y-9=0与直线x+3y-c=0C 的值为（ ）A 、1-B 、 19C 、 1-或19D 、无法确定4、已知定点(,6)A A 到直线342x y -=的距离为d:(1) 如d=4 ,则a 的值为(2) 如4d ≥ ，则a 的取值范围是5、两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=间的距离为6、平行于已知直线l: 20x y --= , 且与l 的距离为7、点P （m-n ,-m ）到直线1x y m n+=的距离8、经过点（ 1，3 ）且与原点的距离为1的直线方程为9、已知点A（-3，-4），B（6，3）到直线l: 10ax y++=的距离相等，求a 的值。
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
直线 l1,l2解方程 无 唯 组 穷 一多 解 解 ll11,,ll22重 相合 交
无解
l1,l2平行
举例
例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y －2=0；l2：2x+y+2=0.
解：解方程组
3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
得
x= －2 y=2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
无解
l1,l2平行
3.3.2 两点间的距离
1.平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
P1P2x2x12y2y12
O P x2 y2
作
课本:P104 2；P106. 2
业
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
M1
O
Q
N1
M2 x P1
P 1 P 2x2x12y2y12
练习P106
P1P2x2x12y2y12
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
(2)、C(0，-4),D(0，-1)
பைடு நூலகம்
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
(4)、M(2，1),N(5，-1)
特别地，原点O（0，0）与现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
两条直线的交点坐标与距离公式
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【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .
2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0
d=
A2 + B2
. 返回目录
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
{ {
y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1
解得
3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
解得
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
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【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式
两条直线的交点坐标及两点间的距离公式要求出两条直线的交点坐标，可以将两条直线的方程联立，得到如下方程组：a1x+b1=a2x+b2(1)y=a1x+b1通过对方程组进行求解，可以得到两条直线的交点坐标。
首先，我们可以将方程(1)两边关于x进行整理，得到：(a1-a2)x=b2-b1再将这个结果代入方程y=a1x+b1中，可以求解出y的值。
现在，我们来看一个具体的实例来说明如何通过方程组来计算两条直线的交点坐标。
假设有两条直线分别为y=2x+1和y=-3x+4我们可以将这两条直线的方程联立，得到方程组如下：2x+1=-3x+4(2)y=2x+1将方程(2)两边关于x进行整理，得到：5x=3解方程5x=3，可以得到x=3/5再将这个结果代入方程y=2x+1中，可以求解出y的值。
代入x=3/5，可以得到y=2*(3/5)+1=6/5+1=11/5因此，两条直线的交点坐标为(3/5,11/5)。
接下来，我们来介绍一下两点间的距离公式。
两点间的距离公式可以通过勾股定理推导得到。
假设有平面上的两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则点A和点B之间的距离可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以通过勾股定理的推导得到。
假设有直角三角形ABC，其中角C为直角，AB为斜边，AC为边长为a，BC为边长为b，AB为边长为c。
根据勾股定理可以得到a²=b²+c²。
将直角三角形ABC的顶点A(x1,y1)和B(x2,y2)的坐标代入，可以得到：c²=(x2-x1)²+(y2-y1)²开方后可以得到两点间的距离d，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这就是两点间的距离公式。
通过这个公式，我们可以计算出平面上两个点之间的距离，进而可以用来计算两条直线的距离。
总结起来，要确定两条直线的交点坐标，可以通过解直线方程组来计算。
第7讲 直线的交点坐标与距离公式(解析版)
第7讲直线的交点坐标与距离公式新课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
知识梳理一、直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点(l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0)2.两直线的位置关系二、两点间的距离公式三、点到直线的距离1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． 2．公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．四、两平行直线间的距离1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． 2．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．名师导学知识点1 两直线的交点问题【例1-1】（宜昌期末）已知两直线1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=，则1l 与2l 的交点坐标为 ． 【分析】联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得即可．【解答】解：联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩．1l ∴与2l 的交点坐标为(2,2)-．故答案为：(2,2)-．【例1-2】（雅安期末）过直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点，且过原点的直线方程为( ) A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=【分析】联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，求出两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,2)-．利用两点式方程能求出过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程． 【解答】解：联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,1)-．∴过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程为：12y x =-，即20x y +=．【例1-3】（芜湖期末）若三条直线2380x y ++=，10x y --=和0x ky +=交于一点，则k 的值为( ) A ．2-B ．12-C ．2D ．12【分析】通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入0x ky +=，即可求得k 的值． 【解答】解：依题意，238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴两直线2380x y ++=和10x y --=的交点坐标为(1,2)--．直线0x ky +=，2380x y ++=和10x y --=交于一点， 120k ∴--=，12k ∴=-．故选：B ．【变式训练1-1】（阎良区期末）直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,1)【分析】联立51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，能求出直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标．【解答】解：联立51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，∴直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是(2,3)．故选：B ．【变式训练1-2】（安庆期末）直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】联立21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得x ，y ．即可判断出结论．【解答】解：联立21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得1x =-，1y =．∴交点(1,1)-在第二象限．【变式训练1-3】（庐江县期中）直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，则k 的值为() A ．24-B ．24C ．6D ．6±【分析】联立230120x y k x ky +-=⎧⎨-+=⎩，由直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，得到24032k y k+==+，由此能求出k ． 【解答】解：联立230120x y k x ky +-=⎧⎨-+=⎩，解得236322432k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上， 24032k y k+∴==+， 解得24k =-． 故选：A ．知识点2 直线过定点问题【例2-1】（宿迁期末）设直线2(3)260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为( ) A ．(3,0)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(2,0)【分析】对于任意实数k ，直线2(3)260x k y k +--+=恒过定点，则与k 的取值无关，则将方程转化为(2)(236)0y k x y -+-+=．让k 的系数和常数项为零即可．【解答】解：解：方程2(3)260x k y k +--+=可化为(2)(236)0y k x y -+-+=， 对于任意实数k ，当202360y x y -=⎧⎨-+=⎩时，直线2(3)260x k y k +--+=恒过定点，由当202360y x y -=⎧⎨-+=⎩，得0x =，2y =．故定点坐标是(0,2)． 故选：B ．【例2-2】（江阴市期中）直线:1(2)l y k x -=+必过定点( ) A ．(2,1)-B ．(0,0)C ．(1,2)-D ．(2,1)--【分析】由已知可得直线l 过两直线20x +=与10y -=的交点，联立求解得答案． 【解答】解：由直线:1(2)l y k x -=+， 得2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩．∴直线:1(2)l y k x -=+必过定点(2,1)-．故选：A ．【变式训练2-1】（黄浦区期末）已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，则这个定点的坐标是( ) A ．(2,1)-B ．(1,0)-C ．21(,)77-D ．12(,)77-【分析】先变形解析式得到关于a 的不定方程(321)(2)0a y x x y --++=，由于a 有无数个解，则3210y x --=且20x y +=，然后求出x 和y 的值即可得到定点坐标．【解答】解：由直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=，知(321)(2)0a y x x y --++=． 不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，即a 有无数个解， 3210y x ∴--=且20x y +=， 27x ∴=-，17y =，∴这个定点的坐标是21(,)77-．故选：C ．【变式训练2-2】（慈溪市期末）直线1(y kx k k =++为常数）经过定点( ) A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--【分析】令参数k 的系数等于零，求得x 、y 的值，可得结论．【解答】解：对于直线1(1)1y kx k k x =++=++，令10x +=，可得1y =，可得它经过的定点坐标为(1,1)-， 故选：B ．知识点3 两点间距离公式的应用【例3-1】（南充期末）已知点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||(AB = )A ．2B C ．3D 【分析】根据题意，由点的坐标结合空间两点间距离的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||AB 故选：D ．【例3-2】（临川区校级一模）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【分析】由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是直角三角形．【解答】解：ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，||AB ∴=，||BC ，||AC =，222AC BC AB ∴=+， ABC ∴∆是直角三角形．故选：B ．【变式训练3-1】（琼山区校级期末）已知ABC ∆的顶点坐标为(7,8)A ，(10,4)B ，(2,4)C -，则BC 边上的中线AM 的长为( )A ．8B ．13C ．D 【分析】由中点坐标公式求得BC 中点的坐标，再由两点间的距离公式求得AM 的长． 【解答】解：由(10,4)B ，(2,4)C -，得10262M x +==，4402M y -==， 即M 坐标为(6,0)．又(7,8)A ，||AM ∴= 故选：D ．【变式训练3-2】（雁江区校级月考）如图，已知等腰梯形ABCD ，用坐标法证明：AC BD =．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A、B的坐标，分析可得C、D的坐标，由两点间距离公式计算AC、BD的值，分析可得答案．【解答】证明：根据题意，如图以BC为x的轴建立坐标系，BC的中点为坐标原点建立坐标系，设(,0)B a-，A，(,)b c-，则(,0)C a，(,)D b c，则ACBD，则有AC BD=．知识点4 点到直线的距离【例4-1】（金凤区校级期末）已知点(2,1)P-．（1）若一条直线经过点P，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；（2）求过点P且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？【分析】（1）当l的斜率k不存在时，直接写出直线方程；当l的斜率k存在时，设:1(2)l y k x+=-，即210kx y k---=．由点到直线的距离公式求得k值，则直线方程可求；（2）由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出OP所在直线的斜率，进一步得到直线l的斜率，得到直线l的方程，再由点到直线的距离公式得最大距离．【解答】解：（1）①当l的斜率k不存在时，l的方程为2x=；②当l的斜率k存在时，设:1(2)l y k x+=-，即210kx y k---=．2=，34k⇒=；得:34100l x y--=．故所求l 的方程为：20x -= 或34100x y --=；（2）由题意可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线， 由l OP ⊥，得1l OP k k =-，12l OPk k =-=， 由直线方程的点斜式得12(2)y x +=-，即250x y --=．即直线250x y --=是过P 点且与原点O．【例4-2】（韶关期末）已知点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，则直线l 的方程为()A ．410x y ++=或3x =B ．410x y +-=或3x =C ．410x y ++=D ．410x y +-=【分析】先求出直线AB 的斜率，由点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，得到直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,1)-，或直线l 的方程为3x =，由此能求出直线l 的方程． 【解答】解：点(1,3)A 和点(5,2)B ，231514AB k -∴==--， 点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，∴直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,1)-，或直线l 的方程为3x =， ∴直线l 的方程为：11(3)4y x +=--，或3x =，整理得：410x y ++=或3x =． 故选：A ．【变式训练4-1】（保山期末）若直线l 过点，倾斜角为120︒，则点(1,到直线l 的距离为( )A B C D 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，点到直线的直线间的距离公式求得结果．【解答】解：直线l 过点，倾斜角为120︒，故直线的斜率为tan120︒=故直线l 的方程为2)y x -=-0y +-．则点(1,到直线l =， 故选：C ．【变式训练4-2】（新课标Ⅲ）点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( )A ．1BCD ．2【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．【解答】解：因为点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离d == 要求距离的最大值，故需0k >；可得212kdk+=1k =时等号成立； 故选：B ．知识点5 两平行线间距离公式及其应用【例5-1】（张家界期末）直线3430x y +-=与直线690x my ++=平行，则它们的距离为( ) A ．65B ．32C ．125D ．2【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得m ，再利用两条平行直线间的距离公式，求得它们的距离． 【解答】解：直线3430x y +-=，即6860x y +-=， 它与直线690x my ++=平行，∴66689m -=≠，求得8m =， 32=， 故选：B ．【例5-2】（广州期末）若两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=，则(m n +=) A ．0B ．1C ．1-D ．2-【分析】两直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行，可得20n --=，解得n ，再利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：两直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行， 20n ∴--=，解得2n =-．又两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=，∴=2m =．0m n ∴+=．故选：A ．【变式训练5-1】（靖远县期末）已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为( ) ABCD【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得m 的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则有224m =⨯=， 则两直线的方程为240x y +-=与直线2470x y ++=，则它们之间的距离d ==； 故选：C ．【变式训练5-2】（连云港期末）两条平行直线6450x y -+=与32y x =的距离是( )ABCD【分析】把已知两直线方程变形，再由两平行线间的距离公式求解． 【解答】解：由6450x y -+=，得53202x y -+=， 由32y x =，得320x y -=，则两条平行直线6450x y -+=与32y x =5|0|-=． 故选：D ．【变式训练5-3】（广东期末）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为( ) A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-【分析】由2(1)40m m +-=，解得m ．经过验证即可得出． 【解答】解：由2(1)40m m +-=，解得1m =或2-． 经过验证可得：2m =-时重合，舍去． 故选：B ．【变式训练5-4】（崇左期末）已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且1l ，2l 之间的距离(m n += )A ．3-或3B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或2【分析】由240m -=，解得m ．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解答】解：由240m -=，解得2m =．满足12//l l ．2l 的方程为220x y +-=，则|2|3n +=， 解得1n =或5-， 故3m n +=±． 故选：A ．知识点6 运用距离公式解决最值问题【例6-1】（北碚区校级期末）已知ABC ∆的三个顶点(1,2)A ，(2,1)B ，(3,3)C ，若ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是( )A B C D【分析】分别过A 、B 、C 三个点，作斜率为1的三条直线，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【解答】解：分别过A 、B 、C 三个点，作斜率为1的三条直线： 1:21l y x -=-，即10x y -+=． 2:12l y x -=-，即10x y --=． 3:33l y x -=-，即0x y -=．显然，ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线1l 和3l 之间，且直线1l 和3l 之间的距离为d =，故选：B ．【例6-2】（鼓楼区校级期中）已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与1l ，2l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为 ．【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解答】解：由题知，2:4220l x y +-=，两直线间的距离d ==．【变式训练6-1】（闵行区校级模拟）过点(1,2)-且与原点的距离最大的直线方程是 ． 【分析】过点(1,2)P -且与原点的距离最大的直线l 满足：l OP ⊥．则1l OP k k =-，即可得出． 【解答】解：过点(1,2)P -且与原点的距离最大的直线l 满足：l OP ⊥． 1l OP k k ∴=-，12l k ∴=． ∴直线l 的方程 为：12(1)2y x -=+，化为250x y -+=． 故答案为：250x y -+=．【变式训练6-2】（和平区校级期末）已知点(2,5)A 和点(4,7)B ，点P 在y 轴上，若||||PA PB +的值最小，则点P 的坐标为 ．【分析】点(2,5)A 关于y 轴的对称点为(2,5)A '-，直线A B '的方程为得755((2))4(2)y x --=----，令0x =，解得y 即可得出．【解答】解：点(2,5)A 关于y 轴对称的点(2,5)A '-， 连接A B '与y 轴交于点P ，此时||||PA PB +的值最小， 设直线A B '的解析式得755((2))4(2)y x --=----，即11733y x =+，令0x =，得173y =， 所以17(0,)3P ． 故答案为：17(0,)3． 名师导练A 组-[应知应会]1．（辽源期末）点(3,1)到直线3420x y -+=的距离是( ) A ．45B ．75C ．425D ．254【分析】根据题意，由点到直线的距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，点(3,1)到直线3420x y -+=的距离75d ==； 故选：B ．2．（宁波期末）直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离为( ) A ．1B ．3C ．110D ．25【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果． 【解答】解：直线6820x y +-=与6830x y +-=110=， 故选：C ．3．（内江期末）已知点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得1d ==，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1， 则有1d =，解可得34m =-；故选：D ．4．（兴庆区校级期末）设有直线(3)1y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点( ) A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)【分析】根据直线恒过定点的求法，直接求出定点． 【解答】解：当3x =时，不论k 为何值，1y =，即过(3,1)， 故选：C ．5．（沙坪坝区校级期中）已知直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，则1l 与2l 的距离为( )A ．15B C ．35D 【分析】直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，即可得到a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，可得12a =-，则由两平行直线的距离公式可得d ，则1l 与2l ， 故选：D ．6．（包头期末）点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是( )A ．1BC ．2D ．【分析】||OP ∴的最小值是点O 到直线20x y +-=的距离，利用点到直线的距离公式能求出||OP 的最小值． 【解答】解：点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点， ||OP ∴的最小值是点O 到直线20x y +-=的距离，∴则||OP 的最小值是d ==故选：B ．7．（河池期末）点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离的最小值为( )A ．4B ．C ．D ．【分析】利用点到直线的距离公式可得：点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离22d ==【解答】解：点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离22632d ==故选：D ．8．（江阴市期中）直线l 过(1,2)P ，且(2,3)A ，(4,5)B -到l 的距离相等，则直线l 的方程是( ) A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．2370x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=【分析】由条件可知直线平行于直线AB 或过线段AB 的中点，当直线//l AB 时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB 的中点(2,3)时，易得所求的直线方程．【解答】解：设所求直线为l ，由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点， （1）AB 的斜率为35424+=--，当直线//l AB 时，直线l 的方程是24(1)y x -=--，即460x y +-=， （2）当直线l 经过线段AB 的中点(3,1)-时，l 的斜率为213132+=--，直线l 的方程是32(1)2y x -=--，即3270x y +-=，故所求直线的方程为3270x y +-=，或460x y +-=． 故选：D ．9．（平顶山期末）已知(1,2)P -，(2,4)Q ，直线:3l y kx =+．若P 点到直线l 的距离等于Q 点到直线l 的距离，则(k = ) A ．2.3或6B ．23C ．.0D ．.0或23【分析】由已知结合点到直线的距离公式即可求解．=，解得0k=或23．故选：D．10．（昆山市期中）已知(2,3)M-，(6,2)N，点P在x轴上，且使得PM PN+取最小值，则点P的坐标为( )A．(2,0)-B．12(5，0)C．14(5，0)D．(6,0)【分析】根据点M、N在x轴的同侧，求出点M关于x轴的对称点M'，得出PM PN+的最小值是||M N'，再利用直线M N'求得点P的坐标．【解答】解：点(2,3)M-，(6,2)N在x轴的同侧，如图所示；则点M关于x轴的对称点M'的坐标为(2,3)--，此时||PM PN M N+='的值最小，此时直线M N'的方程为26 3226y x--=----，令0y=，解得145 x，所以PM PN+取最小值时，点14(5P，0)．故选：C．11．（宝安区校级模拟）已知0x<<，0y<<M M的最小值为( )A ．B ．C ．2D ．【分析】本题要根据M 表达式的特点联系两点间的距离公式，然后运用数形结合法可得到M 取最小的点(,)x y 的情况，即可计算出M 的最小值．【解答】解：根据题意，可知(,)x y 与点A 0)的距离；(,)x y 与点B 的距离；(,)x y 与点C 的距离；(,)x y 与点D 的距离．M 表示点(,)x y 到A 、B 、C 、D 四个点的距离的最小值．则可画图如下：(,)x y 在线段AC 上，(,)x y 在线段BD 上，∴点(,)x y 既在线段AC 上，又在线段BD 上， ∴点(,)x y 即为图中点P ．M ∴的最小值为||||AC BD +=故选：D ．12．（多选）（江阴市期中）若两条平行直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=之间的距离是则m n +的可能值为( ) A ．3B ．17-C ．3-D ．17【分析】利用两条直线平行的性质求出n ，再利用两条平行直线间的距离求出m ，可得m n +的值．【解答】解：直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=平行， 则122n-=，解得4n =-； 所以2:230l x y --=；所以直线1l 与2l 间的距离是d ==所以|3|10m +=， 解得13m =-或7m =；当13m =-时，13417m n +=--=-； 当7m =时，743m n +=-=； 所以m n +的可能值为3或17-． 故选：AB ．13．（多选）（山东模拟）若三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=不能围成三角形，则a 的取值为( ) A ．1a =B ．1a =-C ．2a =-D ．2a =【分析】1l 和3l 平行，或2l 和3l 平行，1l 和2l 平行以及三线交于同一个点，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得m 的值，综合可得结论．【解答】解：由于1l 的斜率a -，3l 的斜率为1-， 则由题意可得1l 和3l 平行，或2l 和3l 平行，1l 和2l 平行． 若1l 和3l 平行，则111a =，求得1a =； 若2l 和3l 平行，则111a=，求得1a =．若1l 和2l 平行，则11a a=，求得1a =±． 当三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=交于同一个点时，2a =-； 综上可得，实数a 所有可能的值为1-，1，2-， 故选：ABC ．14．（田家庵区校级期末）原点(0,0)到直线:20l x y -+=的距离是 ． 【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．【解答】解：原点(0,0)到直线:20l x y -+==15．（尖山区校级期末）两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=之间的距离为 ． 【分析】利用平行线，求解a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=，可得a =-所以2302l y -+=，所以两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=3|1|14-+=．故答案为：14． 16．（嘉兴期末）直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行，则m = ；1l 与2l 之间的距离为 ． 【分析】由题意利用两条直线平行的性质求出m 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【解答】解：直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行， 0m ∴≠，1311m m-=≠--，则1m =．=故答案为：1；17．（金华期末）已知直线:(1)2l x m y m ++=-，则当0m =时，直线l 的倾斜角为 ；当m 变化时，直线l 过定点 ．【分析】取0m =化简直线方程，求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求直线的倾斜角；利用直线系方程的逆用求直线所过定点．【解答】解：当0m =时，直线:(1)2l x m y m ++=-化为2x y +=， 直线的斜率1k =-，设倾斜角为(0)θθπ<， 由tan 1θ=-，得34πθ=； 化直线:(1)2l x m y m ++=-为2(1)0x y m y +-++=． 联立2010x y y +-=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩．∴当m 变化时，直线l 过定点(3,1)-．故答案为：34π；(3,1)-． 18．（镇江期末）已知直线1:0l x y a ++=与直线2:0l x y +=a 的值为 ． 【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出．2a =±．故答案为：2±．19．（珠海期末）已知平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-，则直线AB 与直线l 的交点坐标为 ．【分析】先利用两点式方程求出直线AB 的方程，再联立方程组能求出两直线的交点坐标． 【解答】解：平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-， 直线AB 的方程为：040414x y --=--，整理得：34160x y +-=， 联立3134160y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得433x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线AB 与直线l 的交点坐标为4(3，3)．故答案为：4(3，3)．20．（苏州期末）已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和5x ay +=上，且线段AB 的中点为(0,5)P ，则||AB = ．【分析】由两直线互相垂直可得2a =，AB 为直角三角形AOB 的斜边，直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB 的一半，且||5PO =，由此能求出||AB ．【解答】解：由已知两直线互相垂直可得：21(1)0a ⨯+-⨯=， 解得2a =，线段AB 中点为(0,5)P ，且AB 为直角三角形AOB 的斜边， 联立2025x y x y -=⎧⎨+=⎩，得(1,2)O ，||OP ∴直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB的一半，且||PO =||2||AB PO ∴==，故答案为：21．（昆山市期中）在平面直角坐标xOy 中，已知(4,3)A ，(5,2)B ，(1,0)C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为 ．【分析】设出点(,)P x y ，利用两点间的距离公式列方程求出x 、y 的值． 【解答】解：设点(,)P x y ，由PA PB PC ==， 得22222222(4)(3)(5)(2)(4)(3)(1)x y x y x y x y ⎧-+-=-+-⎨-+-=-+⎩， 化简得24x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(3,1)． 故答案为：(3,1)．22．（新余期末）已知直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，其中a Z ∈，则点(1,3)A -到直线l 的距离为 ．【分析】由直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限得到02a <<，又a Z ∈，所以1a =，所以直线l 的方程为：21y x =-，即210x y --=，再利用点到直线距离公式即可求出结果． 【解答】解：直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，∴2020a a >⎧⎨-<⎩，02a ∴<<，又a Z ∈，1a ∴=，∴直线l 的方程为：21y x =-，即210x y --=，∴点(1,3)A -到直线l==． 23．（乐山期末）已知两条直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=． （1）当12//l l 时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，求1l 、2l 间的距离．【分析】（1）根据题意，分析可得240m -=，解可得2m =±，分别验证2m =和2m =-时，两直线是否平行，即可得答案；（2）由（1）的结论，结合平行线间距离公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=．若12//l l ，必有240m -=，解可得2m =±，当2m =时，直线1:210l x y +-=，直线2:210l x y ++=，两直线平行，符合题意，当2m =-时，直线1:210l x y -+=，直线2:210l x y -+=，两直线重合，不符合题意，故2m =；（2）由（1）的结论，直线1:210l x y +-=，直线2:210l x y ++=，直线1l 、2l 间的距离d == 24．（宁德期末）已知直线:260l x y --=与x 轴的交点为A ，且点A 在直线m 上．（1）若m l ⊥，求直线m 的方程；（2）若点(1,1)B 到直线m 的距离等于2，求直线m 的方程．【分析】（1）求出A 的坐标，求出直线m 的斜率，从而求出直线m 的方程即可；（2）通过讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式，求出直线方程即可．【解答】解：（1）依题意得(3,0)A ，2l k =，若m l ⊥，则12m K =-， ∴直线AB 的方程为10(3)2y x -=--， 即230x y +-=（或13)22y x =-+ （2）当直线斜率不存在时，3x =符合题意，当直线斜率存在时，设其方程为(3)y k x =-，点(1,1)B 到直线m 的距离等于2， ∴2=，解得：34k =， 综上，所求直线方程为3490x y --=或3x =．25．（新都区期末）已知ABC ∆的三个顶点坐标为(3,1)A -，(3,3)B -，(1,7)C ．（1）求BC 边的中线所在直线方程的一般式方程；（2）求ABC ∆的面积．【分析】（1）利用中点坐标公式、两点式即可得出．（2）三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）设BC 的中点M 的坐标为(,)x y ， 所以3122x +==，3722y -+==，即点M 的坐标为(2,2)．由两点式得：580x y-+=．所以BC边的中线所在直线方程的一般式方程为：580x y-+=；（2）直线BC的方程为：5120x y+-=．A BCd-==||BC11||2622ABC A BCS BC d∆-==⨯．26．（沭阳县期中）已知直线:(12)(1)720l m x m y m++-++=．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线1l的方程．【分析】（1）根据题意，将直线的方程整理得：(2)(27)0x y m x y-++++=，令20270x yx y-+=⎧⎨++=⎩，解可得x、y的值，即可得直线恒过定点的坐标，分析可得答案；（2）根据题意，设直线1l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，分析可得M为AB的中点，由中点坐标公式分析AB的坐标，进而分析可得答案．【解答】解：（1）证明：直线l整理得：(2)(27)0x y m x y-++++=，令20270x yx y-+=⎧⎨++=⎩解得：31xy=-⎧⎨=-⎩，则无论m为何实数，直线l恒过定点(3,1)--，（2）根据题意，设直线1l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，过定点(3,1)M--作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，即M为AB的中点，则有3212ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解可得6a=-，2b=-，即直线1l过(6,0)-，(0,2)-，则直线1l的方程为123y x=--，即360x y++=．27．（宁城县期末）已知点ABC∆三顶点坐标分别是(1,0)A-，(1,0)B，(0,2)C，（1）求A到BC边的距离d；（2）求证AB边上任意一点P到直线AC，BC的距离之和等于d．【分析】（1）求出直线BC 的方程，利用点到直线的距离公式求出即可；（2）设(,0)P t ，11t -，求出直线AC 的方程，由点到直线的距离公式，证明即可．【解答】解：（1）直线BC 的方程为：12y x +=，即220x y +-=，A 到BC 边的距离d ==， （2）设(,0)P t ，11t -，直线AC 的方程是12y x -+=，即220x y -+=，∴则P 到直线AC 的距离为11)d t ==+，则P 到直线BC 的距离为2)d t -，∴12d d +=故原命题成立．B 组-[素养提升]1．（尖山区校级期末）已知在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC ∆的周长的最小值 ．【分析】设点(4,2)，点A 关于直线:20l x y -+=对称的点为(,)D x y ，则点(,)D a b 与点(4,2)A 的中点在直线20x y -+=上，且直线AD 一定垂直于直线20x y -+=，列方程组求出(0,6)D 根据对称原理，ABC ∆的周长的最小值为：AC BA BC DC CD CA DB BA ++=++=+，即DB BA +的最小值，设点(0,6)D 关于x 轴的对称为点(0,6)E -，直线EA 与x 轴交于一点，当点B 处在这个点时，DB BA +取得最小值此时DB BA EA +=，由此能求出ABC ∆的周长的最小值．【解答】解：在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上， 设点(4,2)，点A 关于直线:20l x y -+=对称的点为(,)D x y则点(,)D a b 与点(4,2)A 的中点在直线20x y -+=上且直线AD 一定垂直于直线20x y -+=，∴422022214a bba++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得0a=，6b=，D∴点坐标为(0,6)D根据对称原理，ABC∆的周长的最小值为：AC BA BC DC CD CA DB BA++=++=+，即DB BA+的最小值，设点(0,6)D关于x轴的对称为点(0,6)E-，直线EA与x轴交于一点，当点B处在这个点时，DB BA+取得最小值此时DB BA EA+=ABC ∴∆的周长的最小值为故答案为：2．（兰州期末）已知点(2,1)P-．（1）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（2）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得1l OPk k=-，即可得出．（2）只需比较“过P点与原点距离最大的直线l中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在．【解答】解：（1）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得11 OPk k=-，所以12 OPk k==．由直线方程的点斜式得12(2)y x+=-，即250x y--=．即直线250x y--=是过P点且与原点O．（2）过P的直线，因此不存在过点P点且到原点距离为6的直线．。
直线的交点坐标与距离公式09264
直线的交点坐标与距离公式一：两条直线的交点坐标：1、设两条直线分别为1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++= 则1l 与2l 是否有交点，只需看方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩是否有唯一解若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； 若方程组有无穷多解，则两直线重合例1、求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程。
经过两直线1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=交点的直线系方程为()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数，在这个方程中，无论λ取什么实数，都得到2220A x B y C ++=，因此，它不能表示直线2l 。
2、对称问题（1）点关于点的对称，点A(a ，b)关于()000,P x y 的对称点B （m ，n ），则由中点坐标公式002,2m x a n y b =-=-，即B （002,2x a y b --） 。
（2）点关于直线的对称，点()00,A x y 关于直线:0l Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）的对称点()'11,Ax y ，则有AA ’的中点在l 上且直线AA ’与已知直线l 垂直。
（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l上，然后再求出1l 上任意不同于交点的已知点1P 关于对称轴对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若直线1l 与对称轴l 平行，则在1l 上任取两不同点1P 、2P ，求其关于对称轴l 的对称点'1P 、'2P ，过'1P 、'2P 的直线就是2l。
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。
接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。
1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。
将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。
如果两条直线平行，则它们没有交点。
2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。
L的一般方程为Ax+By+C=0。
点P的坐标为(x0,y0)。
则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。
下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。
例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。
解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。
例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。
解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。
它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。
除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。
通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。
3.3直线的交点坐标与距离公式
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0的距离
设P（x0,y0)是Ax＋By＋C2＝0上
O
的一点
则 Ax0＋By0＋C2＝0 即 Ax0＋By0＝－ C2
d | Ax0 By0 C1 | | C1 C2 |
A2 B2
A2 B2
l1 l2 x
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0
例 :已知ABC的三个顶点是A(1,0), B(1,0) C( 1 , 3 ), 试判断ABC的形状.
22
用代数方法证明几何问题.
例2:证明平行四边形四条边的平方和等于两条
对角线的平方和. y
D (b,c)
C (a+b,c)
A (0,0)
B (a,0) x
小结:用坐标的方法解决问题的方法叫坐标法 或者解析法.
练习:P110, 7
二、点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C＝0的距离公式
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（1）分子是P点坐标代入直线方程左边. （2）分母是未知量x、y系数平方和的算术根 （类似于勾股定理求斜边的长）
例1 求点P(-1,2)到下列直线的距离：
3.3直线的交点坐标 与距离公式
复习回顾：
直线 L1 :A1x+B1y+C1=0 ,L2 :A2x+B2y+C2=0
的L1位∥置L2关系的A判1B断2 ： A2B1 0 (注意检验重合情况）
L1⊥L2 A1A2 B1B2 0
两条直线的交点坐标
设l1 : A1x+B1y+C1=0, l2 : A2x+B2y+C2=0，则
高二寒假讲义07 直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式（含答案）知识梳理1、两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解.2、距离公式（1）两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为21221221)()(||y y x x P P -+-= 特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. （2）点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. （3）两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.知识典例题型一 交点问题例 1 直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上，则k 的值为（ ） A ．-24 B ．6C ．6±D ．-6【答案】C 【分析】通过直线的交点代入两条直线方程，然后求解k 即可．【详解】解：因为两条直线230x y k +-=和120x ky -+=的交点在y 轴上， 所以设交点为(0,)b ，所以30120b k kb -=⎧⎨-+=⎩，消去b ，可得6k =±．故选：C ．巩固练习当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B 【分析】 解方程组12kx y k ky x k-=-⎧⎨-=⎩得两直线的交点坐标，由102k <<，判断交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论.【详解】解方程组12kx y k ky x k -=-⎧⎨-=⎩,得两直线的交点坐标为21,11k k k k -⎛⎫ ⎪--⎝⎭, 1210,0,0211k k k k k -<<∴--， 所以交点在第二象限，故选B.题型二 两点的距离例 2 已知点()2,1A --，(),3B a ，且5AB =，则a 的值为( ) A ．1 B ．5-C ．1或5-D ．1-或5【答案】C 【分析】利用两点间距离公式构造方程求得结果. 【详解】 由题意知：()()222315AB a =+++=，解得：1a =或5-本题正确结果：C巩固练习（多选）对于225x x ++，下列说法正确的是（ ） A ．可看作点(),0x 与点()1,2的距离 B ．可看作点(),0x 与点()1,2--的距离 C ．可看作点(),0x 与点()1,2-的距离 D ．可看作点(),1x -与点()1,1-的距离 【答案】BCD 【分析】化简225x x ++=()()()()2222102111x x ++±=++--，结合两点间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，可得()222514x x x ++=++=()()()()2222102111x x ++±=++--，可看作点(),0x 与点()1,2--的距离，可看作点(),0x 与点1,2的距离，可看作点(),1x -与点()1,1-的距离，故选项A 不正确， 故答案为：BCD.题型三 点到直线的距离例 3 已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A ．79B ．13-C ．79-或13-D ．79-或13【答案】C 【分析】直接根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解,得到a 的值. 【详解】因为A 和B 到直线l 的距离相等， 由点A 和点B 到直线的距离公式， 2234163111a a a a --+++=++，化简得3364a a +=+|，()3364a a +=±+,解得实数79a =-或13-，故选C.巩固练习（多选）已知直线l 经过点(3,4)，且点(2,2),(4,2)A B --到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ） A ．23180x y +-= B ．220x y --= C ．220x y ++= D ．2360x y -+=【答案】AB 【分析】由题可知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程 【详解】当直线l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为4(3)y k x -=-，即430kx y k -+-=．由已知得2211k k =++，所以2k =或23k =-， 所以直线l 的方程为220x y --=或23180x y +-=． 故选：AB题型四 平行线间的距离例 4 已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．4B ．1313C 51326D 71326【答案】D 【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+12=0， 由两条平行直线间的距离公式可得：d=()2213232--+=7213=713.巩固练习若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为 【答案】823【分析】根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 【详解】由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合； 当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行， 两直线之间的距离为268232-=.题型五 三角形的面积求解例 5 已知直线l 过点()2,3P 且与定直线0:2l y x =在第一象限内交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，记AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，点(),0B a . （1）求实数a 的取值范围；（2）求当S 取得最小值时，直线l 的方程.【答案】（1）12a >（2）33y x =- 【分析】（1）求出直线l 与直线0:2l y x =平行时，直线l 的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数a 的取值范围；（2）当直线l 的斜率不存在时，求出点,A B 坐标，得出4S =；当直线l 的斜率存在时，设出方程，求出斜率的范围，联立直线l 与直线0l 的方程求出点A 坐标，由三角形面积公式结合判别式法，得出S 取得最小值时直线l 的斜率，进而得出直线l 的方程. 【详解】（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，如下图所示322BP k a==-，解得12a =，此时不能形成AOB ，则12a ≠又点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 在第一象限内交于点A12a ∴>（2）当直线l 的斜率不存在时，即(2,0)B ，(2,4)A ，此时12442S =⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)3y k x =-+ 由于斜率存在，则12a >且2a ≠ 又32BP k a=-，2k ∴>或k 0< 由(2)32y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭ 则22123644129222k k k k S k k k k---+=⨯⨯=-- 即2(4)(122)90S k S k ---+=由2(122)36(4)0S S ∆=---≥，整理得(3)0S S -则3S ≥，即S 的最小值为3此时2690k k -+=，解得3k =则直线l 的方程为3(2)333y x x =-+=-巩固练习已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)． 求：(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．【答案】(1) 2x ＋3y ＋7＝0;(2)452. 【分析】（1）先判断A 点不在两条高线上，再利用垂直关系可得AB 、AC 的方程，进而通过联立可得解； （2）分别求|BC |及A 点到BC 边的距离d ，利用S △ABC ＝12×d ×|BC |即可得解. 【详解】(1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－，k AC ＝1． ∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0． 由得B (7，－7)． 由得C (－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程2x ＋3y ＋7＝0． (2)∵|BC |＝，A 点到BC 边的距离d ＝，∴S △ABC ＝×d ×|BC |＝××＝．巩固提升1、直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,2D ．()2,1【答案】B 【分析】联立两直线方程，求出公共解，即可得出两直线的交点坐标. 【详解】联立两直线的方程51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，因此，两直线的交点坐标是()2,3.故选：B.2、两平行直线12,l l 分别过点()()1,3,2,1P Q --，它们分别绕,P Q 旋转，但始终保持平行，则12,l l 之间的距离的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．[]0,5C ．(]0,5D．(【答案】C 【分析】先判断当两直线1l ，2l 与直线PQ 垂直时，两平行直线1l ，2l 间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围. 【详解】5PQ ==当1PQ l ⊥时，1l 与2l 的最大距离为5， 因为两直线平行，则两直线距离不为0， 故选：C.3、“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意知点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为33=，解得5C =或25C =-，所以“5C =”是“点(2,1)到直线340x y C ++=的距离为3”的充分不必要条件，故选B. 4、两直线3x +y -3=0与6x +my +1=0平行，则它们之间的距离为（ ） A．4 BCD 【答案】D 【分析】由两直线平行，可求得m 的值，代入两平行线距离公式，即可求解.【详解】因为两直线平行，所以361m ⨯=⨯，解得m =2， 将6x +2y +1=0化为3x +y +12=0， 由两条平行线间的距离公式得d==， 故选：D .5、直线l 经过原点，且经过另两条直线2380x y ++=，10x y --=的交点，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=【答案】B 【分析】联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可. 【详解】 联立方程238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得：12x y =-⎧⎨=-⎩所以两直线的交点为()1,2--，所以直线的斜率为20210--=--，则直线l 的方程为：2y x =，即20x y -=. 故选：B6、若直线0kx y -=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，则k 的取值范围为__________．【答案】,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得交点坐标为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据交点位置得到0,0,>>解出即可.【详解】由0,2360,kx y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵直线0kx y --=和直线2360x y +-=的交点在第一象限，∴60,230,k ⎧+>⎪⎪+>解得3k >．故答案为3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭. 7、已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 【答案】12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由12l l ⊥得3420a ⨯+=，求出a ，再解方程组求交点坐标． 【详解】因为12l l ⊥，所以3420a ⨯+=，所以6a =-．联立3250,46110,x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,1,2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故直线1l 与直线2l 的交点坐标是12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：12,2⎛⎫-⎪⎝⎭8、点(,6)P m 到直线3420x y --=的距离不大于4，则m 的取值范围是________． 【答案】462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据点到直线的距离公式即可列出不等式，解出即可． 【详解】4≤，解得4623m ≤≤．故答案为：462,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
专题05 直线的交点、距离公式与对称、最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题05直线的交点、距离公式与对称、最值问题【知识梳理】1、直线的交点求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解即可．若有111222A B CA B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．2、两点间的距离公式两点111()P x y ，，222()P x y ，间的距离公式为12PP =．3、点到直线的距离公式点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为d =4、两平行线间的距离直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=的距离为d =．5、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()P x y ，关于点00()Q x y ，的对称点为22()P x y '，，则根据中点坐标公式，有12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩可得对称点22()P x y '，的坐标为0101(22)x x y y --，6、点关于直线对称点11()P x y ，关于直线:0l Ax By C ++=对称的点为22()P x y '，，连接PP '，交l 于M 点，则l 垂直平分PP '，所以PP l '⊥，且M 为PP '中点，又因为M 在直线l 上，故可得12121022l PP k k x x y y AB C '⋅=-⎧⎪⎨++++=⎪⎩，解出22()x y ，即可．7、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．8、直线关于直线对称求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()Q x y '，第三步：利用两点式写出3l 方程9、常见的一些特殊的对称点()x y ，关于x 轴的对称点为()x y -，，关于y 轴的对称点为()x y -，．点()x y ，关于直线y x =的对称点为()y x ，，关于直线y x =-的对称点为()y x --，．点()x y ，关于直线x a =的对称点为(2)a x y -，，关于直线y b =的对称点为(2)x b y -，．点()x y ，关于点()a b ，的对称点为(22)a x b y --，．点()x y ，关于直线x y k +=的对称点为()k y k x --，，关于直线x y =k -的对称点为()k y x k +-，．【专题过关】【考点目录】考点1：两直线的交点问题考点2：两点的距离考点3：点到直线的距离考点4：两平行直线的距离考点5：点线对称考点6：线点对称考点7：线线对称考点8：两线段和与差的最值问题【典型例题】考点1：两直线的交点问题1．（2021·江苏连云港·高二期中）若三条直线280,10x ky x y ++=--=和20x y -=交于一点，则k 的值为（）A ．2-B ．12-C ．3D ．12【答案】C【解析】联立2010x y x y -=⎧⎨--=⎩得12x y =-⎧⎨=-⎩.把12x y =-⎧⎨=-⎩代入280x ky ++=得3k =.故选：C2．（2021·四川·遂宁中学高二期中（理））已知直线ax +y+1=0，x +ay+1=0和x +y+a =0能构成三角形，则a 的取值范围是（）A ．a≠2-B ．a≠±1C ．a≠2-且a≠±1D ．a≠2-且a≠1【答案】C【解析】已知三条直线能构成三角形，首先不平行，若0a =，则三条直线围成三角形，若0a ≠，则11a a ≠，111a ≠，解得1a ≠±，1a ≠±时，由100ax y x y a ++=⎧⎨++=⎩，得1(1)x y a =⎧⎨=-+⎩，代入10x ay ++=得1(1)10a a -++=，1a =或2a =-，因此2a ≠-综上：1a ≠±且2a ≠-．故选：C ．3．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y --=D ．210x y +-=【答案】B【解析】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=，故选：B4．（多选题）（2021·江苏徐州·高二期中）已知a 为实数，若三条直线280,43100ax y x y ++=+-=和2100x y --=不能围成三角形，则a 的值为（）A ．83B ．1C ．1-D ．4-【答案】ACD【解析】当三条直线交于一点时，由431002100x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩，所以交点为(4,2)-，所以4480a -+=，得1a =-，当直线280ax y ++=与43100x y +-=平行时，243a =，得83a =，当直线280ax y ++=与2100x y --=平行时，221a =-，得4a =-，所以当1a =-，或83a =，或4a =-时，三条直线不能围成三角形，故选：ACD5．（2021·全国·高二期中）经过两条直线2310x y ++=和2330x y -+=的交点，并且平行于直线y x =的直线的一般式方程为______．【答案】3340x y -+=【解析】由23102330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故交点坐标为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，由平行于直线y x =可得斜率为1，故方程为113y x -=+，化为一般方程为3340x y -+=.故答案为：3340x y -+=.6．（2021·上海·南洋中学高二期中）关于x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则a 与b 的积是_____.【答案】-35【解析】因为x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，所以直线73x by -=与直线52ax y +=重合，所以7352b a -==，解得1415,32a b ==-，所以35ab =-，故答案为：-357．（2021·云南临沧·高二期中）已知直线l 1：10ax y ++=与l 2：210x by --=相交于点(1,1)M ，则a b +=__．【答案】﹣1【解析】把(1,1)M 分别代入直线l 1和直线l 2的方程，得110,210a b ++=--=，所以2,1a b =-=，所以1a b +=-．故答案为：-1．8．（2021·四川省宜宾市第一中学校高二期中（理））过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：280x y +-=和l 2：3100x y -+=截得的线段恰好被点P 平分，求直线l 的方程.【解析】设l 1与l 的交点为A (a ，8-2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (-a ，2a-6)在l 2上，代入l 2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，∴直线l 的方程为041004y x --=--即x ＋4y-4＝0.9．（2021·江苏·东海县教育局教研室高二期中）已知直线l ：(41)(1)30x y λλ+-++=.(1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 被两平行直线1l ：220x y -+=与2l ：260x y --=所截得的线段AB 的中点恰好在直线260x y ++=上，求λ的值.【解析】(1)由已知：(41)(1)30x y λλ+-++=，即(4)30x y x y λ-+-+=，令4030x y x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：x =1，y =4，∴直线l 恒过定点(1,4).(2)设直线1l ，2l 分别与直线260x y ++=交于C ，D 两点，由260220x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得C 14255⎛⎫-- ⎝⎭,，由260260x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得D 61855⎛⎫-- ⎪⎝⎭,，∴CD 的中点M 的坐标为(－2,－2)，不妨设A 在直线1l 上，B 在直线2l 上，则△AMC ≌△BMD ，即MA =MB ，故M (－2,－2)为AB 的中点，将M 代入直线l 的方程得：(41)(2)(1)(2)30λλ+--+-+=，解得12λ=·10．（2021·安徽省六安中学高二期中（理））已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为_________.【答案】210x y +-=【解析】依题意两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，所以112212210,210,a b a b Q Q +-=+-=，在直线210x y +-=上，所以过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点所在直线方程为210x y +-=.故答案为：210x y +-=考点2：两点的距离11．（2021·福建三明·高二期中）已知直线1l ：220x y --=与直线2l ：380x y +-=的交点为A ，则点A 与点()23B ，间的距离为（）AB ．CD ．1【答案】D【解析】联立方程220380x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2,2x y ==，所以()2,2A ，所以1AB ==故选：D12．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）已知()2,3A -，()5,7B -，则AB =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】因为()2,3A -，()5,7B -，所以5AB ==，故选：C.13．（2021·云南·昆明一中高二期中）已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,6),C(5,2)-，则过A 点的中线长为（）AB ．C ．D ．【答案】B【解析】设过A 点中线长即为线段AD .D 为BC 中点：3562,22D +-+⎛⎫⎪⎝⎭，即D （4，-2）∴||AD ===故选：B.14．（2021·河北唐山·高二期中）已知ABC 三顶点为()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，则ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】B【解析】由已知，(6,6)AB =，(2,2)BC =-，∴6(2)620AB BC ⋅=⨯-+⨯=，即AB BC ⊥，∴ABC 是直角三角形.故选：B.15．（2021·北京·临川学校高二期中（文））已知点(),1M m -，()5,N m ，且MN =实数m 等于（）A ．1B ．3C ．1或3D ．1-或3【答案】C【解析】因为||MN =，=2430m m -+=，解得1m =或3m =，故选：C16．（2021·四川巴中·高二期中（文））当实数k 变化时，直线1:20l kx y k -++=到直线2:30l kx y --=的距离的最大值是______.【解析】由(1)20k x y +-+=可得1l 过定点(1,2)A -，由30kx y --=可得2l 过定点(0,3)B -.又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于AB 时，距离最大，最大值即为AB 两点间的距离d =考点3：点到直线的距离17．（2021·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期中（文））直线2x =与32120x y +-=的交点到直线10x y +-=的距离______．【答案】【解析】由232120x x y =⎧⎨+-=⎩，解得2,3x y ==，即直线2x =与32120x y +-=的交点为()2,3点()2,3到直线10x y +-==.故答案为：18．（2021·辽宁·高二期中）对任意的实数λ，求点()2,2P -到直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）的距离d 的取值范围为______．【答案】0,⎡⎣【解析】由题意，直线()()212320x y λλλ+-+-+=（），即()2640x y x y λ--+--＝，所以26040x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得22x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()2,2Q -，当PQ 垂直直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）时，d 取得最大值=，当直线()()212320x y λλλ+-+-+=（）过点P 时，d 取得最小值0，∴d 的取值范围0,⎡⎣.故答案为：0,⎡⎣．19．（2021·全国·高二期中）已知ABC 的三个顶点的坐标为()3,3A 、()2,2B -、()7,1C -，试求：(1)BC 边上的高所在的直线方程；(2)ABC 的面积．【解析】（1）因为2112(7)3BC k --==---，则BC 边上的高的斜率为3，又经过A 点，故方程为()333y x -=-，化简得360x y --=．（2）BC ==直线BC 方程为12(2)3y x +=--，整理得340x y ++=，则A 到BC=，则ABC 的面积为1242⨯=.20．（2021·全国·高二期中）已知直线l 垂直于直线3490x y +-=，点()2,3A 到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．【解析】因为直线l 垂直于直线3490x y +-=，可设直线l 为430x y c -+=，因为点()2,3A 到直线l 的距离为1，|1|15c -==，解得6c =或4c =-，故所求直线方程为4360x y -+=或4340x y --=.21．（2021·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）已知点(3,4)A --，(6,3)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为_______【答案】13-或79-【解析】因为点(3,4)A --，(6,3)B 到直线:10l ax y ++=的距离相等，解得13a =-或79a =-，故答案为：13-或79-22．（2021·山东威海·高二期中）已知(2,6),(0,4)A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值为________．【答案】0或5-=525a +=，解得0a =或5a =-故答案为：0或5-23．（2021·湖北黄冈·高二期中）过点()1,1P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -到它的距离相等，则该直线的方程是（）A ．450x y +-=B ．450x y +-=C ．20x y +-=或450x y +-=D ．20x y +-=或450x y +-=【答案】C【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，()2,3A ，()4,5B -到它的距离分别为1，3，不合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为1(x 1)y k -=-，即10kx y k --+=，由()2,3A ，()4,5B -到它的距离相等=1k =-或4-，即直线方程为20x y +-=或450x y +-=.故选：C.考点4：两平行直线的距离24．（2021·10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是（）A ．1B ．54C ．3D ．4【答案】B10y +-=与直线30my ++=平行，可得0=，解之得2m =10y +-=与直线230y ++=54=故选：B25．（2021·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为_________.【答案】4【解析】因为直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：平行,而直线22210l x y +-=：可化为2102l x y +-=：，故直线120l x y ++=：与直线22210l x y +-=：之间的距离为1|2()|24d --==，故答案为：426．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线1:3460l x y -+=与2:340l x y C -+=间的距离为3，则C =_______.【答案】9-或21【解析】由题，可知12//l l ，所以两平行线间距离为3d =，解得9C =-或21，故答案为：9-或21考点5：点线对称27．（2021·吉林油田高级中学高二期中）已知点P 与点()1,2Q -关于直线10x y +-=对称，则点P 的坐标为_______.【答案】()3,0【解析】由题可知该直线是线段PQ 的垂直平分线，设(),P m n ，则1210,2221,1m n n m +-⎧+-=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩解得3,0.m n =⎧⎨=⎩故答案为：(3，0).28．（2021·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二期中）已知ABC 的顶点(4,1),A AB 边上的高所在直线平行于直线3510x y +-=，角B 的平分线所在直线方程为250x y --=，则BC 边所在直线方程___________.【答案】2711450x y --=.【解析】由题意，AB 边上的高所在直线的斜率为35-，则AB 的斜率53k =，所以()5:14531703AB l y x x y -=-⇒--=，与直线250x y --=联立解得29x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,9B --.设(),C a b ，则线段AC 的中点坐标为41,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，14AC b k a -=-，所以1241250522119425a b a b b a ++⎧⎧=⋅--=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨-⎪⎪=-=⎪⎪-⎩⎩，即129,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以99275121125BCk +==+，所以BC 边所在直线方程为：()2792271145011y x x y +=+⇒--=.故答案为：2711450x y --=.29．（2021·浙江·宁波咸祥中学高二期中）求(3,5)A -关于直线:3440l x y -+=对称的点的坐标___________.【答案】()3,3-【解析】设对称点为(,)B x y ，则5313435344022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=-⎩，所以对称点坐标为(3,3)-，故答案为：(3,3)-．30．（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）光线沿直线730x y --=入射到直线220x y -+=后反射，则反射光线所在直线的方程为________．【答案】3y x =+【解析】由730220x y x y --=⎧⎨-+=⎩得14x y =⎧⎨=⎩即直线730x y --=与直线220x y -+=交点为(1,4)N 在直线730x y --=上取点(0,3)H -设点(0,3)H -关于220x y -+=的对称点为'(,)H m n 则03220223210m n n m +-⎧⨯-+=⎪⎪⎨+⎪⨯=-⎪-⎩41m n =-⎧⎨=-⎩即'(4,1)H --'41114NH k +==+则反射光线所在直线的方程为143y x x =-+=+故答案为：3y x =+31．（2021·安徽宿州·高二期中）已知点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，则点B 的坐标为（）A ．()3,3B ．()2,2C ．53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,2【答案】B【解析】设点()00,B x y ，因为点()1,3A 与点B 关于直线:10l x y -+=对称，所以0000131022311x y y x ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，解得002x y ==，所以()2,2B 故选：B32．（2021·江苏南京·高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，点()3,1关于直线10x y -+=的对称点为（）A ．()4,0B ．()0,4C ．()2,1-D ．()1,2-【答案】B【解析】设对称点为(),m n ，由题意可得1113311022n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04m n =⎧⎨=⎩，即对称点为()0,4，故选：B.33．（2021·江苏·40y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（）A50y ++=B．40x +=C．50x +=D．0x =【答案】C40y --=，令0x =，解得4y =-，设()0,4A -，关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n ，则4141022n mm n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，即()5,1B ，40y --=，令x =1y =-，设)1C-，关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ，则111022a b =-⎪+-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,1D，11253BD k ==-，直线BD：)15y x -=-，即50x =。
高一数学直线的交点坐标与距离公式试题答案及解析
高一数学直线的交点坐标与距离公式试题答案及解析1.若直线与，若的交点在轴上，则的值为（）A．4B．－4C．4或－4D．与的取值有关【答案】B【解析】两条直线的纵截距相等，,所以,故选B.【考点】两条直线的交点2.两平行直线y=kx＋b1与y=kx+b2之间的距离是（）A．b1－b2B．C．D．【答案】B【解析】在直线上任取一点则点P到直线的距离为即为平行线间的距离。
故选B3.已知正方形的中心为直线x-y＋1=0和2x＋y＋2=0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y －2=0，求其它三边方程。
【答案】其它三边所在直线方程为x+3y+4=0，3x-y=0，3x-y+6=0【解析】解：由将正方形的中心化为p(-1,0),由已知可设正方形相邻两边方程为x+3y+m=0和3x-y+n=0 ，∵p点到各边的距离相等，∴和，∴ m=4或m=-2和n=6或n=0∴其它三边所在直线方程为x+3y+4=0，3x-y=0，3x-y+6=04.两平行直线L1,L2分别过A(1,0) 与 B(0,5)点，若L1与L2之间的距离为5，求这两直线的方程【答案】两直线方程为L1:y=0,L2y=5或L1:5x－12y－5=0 L2:5x－12y+60=0【解析】解：设L1:y=k(x－1)即kx－y－k=0则点B到L1的距离为=5∴k=0或k=L 1的方程为y=0或5x－12y－5=0 L2的方程为y=5或y=∴两直线方程为L1:y=0,L2y=5或L1:5x－12y－5=0 L2:5x－12y+60=05.与直线2x+y+1=0的距离为的直线方程是（）A．2x+y=0B．2x+y-2=0C．2x+y=0或2x+y-2=0D．2x+y=0或2x+y+2=0【答案】D【解析】根据条件设所求直线方程为则由平行线间距离公式得:解得故选D6.已知直线L：Ax+By+C=0，（A，B不同时为0）。
若点（1，1）到L的距离为1，则A，B，C应满足的关系式是。
两条直线的交点坐标与距离公式
两条直线的交点坐标与距离公式一、平面直线的交点坐标计算方法在平面几何中，两条直线的交点即为它们的方程组的解。
假设有两条直线，直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0。
其中a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。
要求两条直线的交点坐标，可以使用消元法和代入法进行计算。
1.消元法消元法是通过将一个方程乘以适当的系数，使得方程的其中一项系数与另一个方程的对应系数相等，以消去一个未知数。
然后将消去后的方程代入到另一个方程中解得另一个未知数，从而求得交点坐标。
首先选择一个方程，例如直线1的方程a1x+b1y+c1=0作为基准，通过乘以a2和b1使得两个方程的x系数相等，即a1*a2*x+b1*a2*y+c1*a2=a2*a1*x+b2*a1*y+c2*a1，然后再乘以b2和b1使得两个方程的y系数相等，即a1*a2*x*b2+b1*a2*y*b2+c1*a2*b2=a2*a1*x*b2+b2*a1*y*b2+c2*a1*b2、通过将两个方程相减消去x的系数，即得到一个只含有y的方程，然后通过解这个方程来求得y的值。
将求得的y的值代入到任意一个方程中，即可求得x的值。
进而得到交点坐标。
2.代入法代入法是通过将一个方程的未知数表示为另一个方程的函数，再将其代入到另一个方程中，求得另一个方程的解。
从而求得未知数的值。
假设直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0，选择其中一个方程（例如直线1的方程）中未知数x表示为y的函数，即x=(c1-b1y)/a1、将这个式子代入到另一个方程（例如直线2的方程）中，得到一个只含有y的方程。
然后解这个方程可以得到y的值。
将求得的y的值代入到x=(c1-b1y)/a1中，即可求得x的值。
从而得到交点坐标。
以上就是求解两条直线交点坐标的两种方法。
二、两条直线之间的距离公式两条直线之间的距离可以使用点到直线的距离公式进行计算。
3.3直线的交点坐标与距离公式(2)
答案 : 1, 4
A
A’
四.直线关于直线对称问题 例4.已知直线l1 : 2 x y 4 0, 求l1关于直线 l : 3 x 4 y 1 0 对称的直线l2方程.
答案 : 2 x 11 y 16 0
L2 A’ L M L1 A O
方法总结 : 转化为点的对称问题
(3)A’在L2上
(4)由O,A’求出直线L2
几种常用的特殊对称 : (1) A(a , b)关于x轴的对称点为A(a , b); ( 2) B(a , b)关于y轴的对称点为B( a , b ); (3)C (a , b)关于直线y x的对称点为C (b, a ); ( 4) D(a , b)关于直线y x的对称点为D( b, a ); (5) P (a , b)关于直线x m的对称点为P ( 2m a , b ); (6)Q(a , b)关于直线y n的对称点为Q (a , 2n b );
答案 : y 2 x 4; y 2 x 4;
2 19 答案 : , 5 5
练习4 : 作业本P 45, T 10 如图, 射线OA, OB分别与x轴正半轴成 45 和30 的角, 过点P (1, 0)作直线AB分别交OA, OB于点A, B ,当AB的中点C 恰好落在直线 1 y x上时, 求直线AB的方程. 2
练习3 : 作业本P 45, T11 已知ABC的一个顶点为A （3， 1），B 被y轴平分，C 被直线y x平分, 求直线BC 的方程。
答案 : y 2 x 5
A''
y
B
O
A'
xAΒιβλιοθήκη C两直线的交点坐标
(2)
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1．直线 与直线 之间的距离是
2．直角坐标系中第一象限内的点 到 轴， 轴及直线 的距离
都相等，则 值是．
3．直线 与 距离为．
4．直线 过点 ， 过点 ， // 且 与 间距离等于 ，求 与 的方程．
解设点P的坐标为(x,0)，
则根据点到直线的距离公式可得 ＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．
四、直线与直线的距离
例1、求下列两条平行直线之间的距离：
（1） 与 （2） 与
例2、求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
解∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
例2、求经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程．
例条件？
课堂练习：
1．与直线 相交的直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若三条直线 和 相交于一点，则 的值为_______．
3．（1）两条直线 和 的交点，且与直线 平行的直线方程为_______________．
即 解得 ∴P′
法二设点P′(x，y)，PP′⊥l于M，∵PP′的方程为(x＋4)＋2(y－2)＝0，即x＋2y＝0，(3分)
∴解方程组 得PP′与l的交点M ，由中点坐标公式得
得 (9分)故P′ .(12分)
三、点到直线的距离
例1、求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝ x＋ ；(2)y＝6；(3)x＝4.
例3、已知△ABC的三个顶点是A(－1,0)，B(1,0)，C ，试判断△ABC的形状．
解因为|BC|＝ ＝ ＝1，|AB|＝2，|AC|＝ ＝ ，
所以有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以△ABC是直角三角形．
例3、已知直线 ： ，求：直线 关于点 对称的直线的方程
课堂练习：
1．已知点 ，则点 与 中点间的距离为______________．
2．已知两点 之间的距离是 ，则实数 的值为_______________．
3．已知两点 ，点 到点 的距离相等，则实数 满足的条件是__________．
4、求点P(－4,2)关于直线l：2x－y＋1＝0的对称点P′的坐标．
[规范解答]法一 设点P′(x，y)，由PP′⊥l及PP′的中点在l上得方程组
姓 名
年级
性 别
学 校
学 科
教师
上课日期
上课时间
课题
3直线的交点坐标与距离公式
1、设两条直线的方程分别是 ：
2、两点间距离公式：已知 ，则两点之间距离为
3、点与直线间的距离：已知 ,点到直线的距离为
4、一般地，已知两条平行直线 ， ( )之间的距离为 ．
一、直线交点
例1、已知两条直线 ： ： ，
当 为何值时， 与 ：（1）相交；（2）平行；（3）垂直．
根据两平行直线间距离公式得 ＝3，
解之得c＝45或c＝－33，
所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.
例3、直线 到两条平行直线 与 的距离相等，求直线 的方程．
例4、两条平行直线 ， 分别过点 与 ．
（1）若 与 的距离为 ，求两条直线的方程；（2）设直线 与 的距离为 ，求 的取值范围．
（2）过直线 与直线 的交点，且与直线 垂直的直线方程是_______________．
4．求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
二、点与点的距离
例1、求 中点的坐标： （1） ； （2） ．
例2、已知 两点间的距离是 ，则实数 的值为_______________．
解(1)把方程y＝ x＋ 写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝ ＝ .
(2)法一把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝ ＝8.
法二因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.
例2、点P为x轴上一点，点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，求点P的坐标．