直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式
第二节直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式是平面解析几何中非常基础的内容。
它们可以帮助我们确定两条直线的交点坐标以及一个点到直线的距离，是解决许多几何问题的重要工具。
在本篇文章中，我将详细介绍直线的交点坐标与距离公式。
一、直线的交点坐标公式假设有两条直线L1和L2，分别表示为:L1:y=m1x+c1L2:y=m2x+c2其中m1、m2分别是L1和L2的斜率，c1、c2分别是L1和L2的截距。
我们可以通过解以上两个方程组来求解直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
解法一：代入法将L1的方程代入L2的方程中，得到：y=m2x+c2m1x+c1=m2x+c2整理得到：x=(c1-c2)/(m2-m1)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
根据这个方法，我们可以求得两条直线的交点坐标。
解法二：消元法将L1和L2的方程相减，可以消去y，得到：m1x+c1-(m2x+c2)=0整理得到：(m1-m2)x+(c1-c2)=0解方程可以得知：x=(c2-c1)/(m1-m2)将x的值带入L1或L2的方程中，即可得到y的值。
通过以上两种解法，我们可以求得直线L1和L2的交点的坐标(x0,y0)。
二、点到直线的距离公式同时，我们也可以通过公式求解一个点P(x1,y1)到直线L1: y = mx+ c的距离。
有一种基本的方法是绘制垂线。
首先，我们可以找到点P到直线L1的垂线的方程，将其表示为L2、L2的斜率是m的相反数(-1/m)，并且通过点P(x1,y1)。
垂线L2的方程为：L2:y=(-1/m)x+(y1+x1/m)我们可以通过求解L1和L2的交点坐标来确定点P到直线L1的距离。
交点的坐标为(x0,y0)。
距离点P到直线L1的距离利用勾股定理可以得到：d=√((x0-x1)²+(y0-y1)²)将交点的坐标(x0,y0)带入上式即可求得点P到直线L1的距离。
总结：直线的交点坐标与距离公式是解析几何中重要的工具。
直线的交点坐标与距离公式
2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d= C1 - C2 A 2 + B2
=-1时，方程为x+3y-4=0
=0时，方程为3x+4y-2=0 =1时，方程为5x+5y=0
y l1 l3 l2
0
上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
x
发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线束（直线集合）
一题多解
例2：求经过原点且经过以下两条直线的 交点的直线方程: 你能想到哪些 方法？ l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
l2： 3x 3y 10 0 ;
l2： 6x 8y 10 0.
6x 2y 1 0; 3x y 4 0, l2： （2） l1：
对于两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 和 l : A x B yC 0 ,
2 2 2 2
点 C 1 ， 0 到 x y 4 0 的距离 2 1
5 C h . O -1 2 2 2 1 1 1 5 因此 S ABC 2 2 5. 2 2
1 0 4
h
1 2 3Bຫໍສະໝຸດ x两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直 y l1 线间的公垂线段的长. P
例3 已知点 A1 ， 3，B3， 1，C－ 1， 0，求 ABC 的面积． 1 分析：如图，设 AB 边上的高为 h ，则 S ABC AB h . 2
AB
两条直线的交点坐标与距离公式
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【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
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＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .
2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0
d=
A2 + B2
. 返回目录
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
{ {
y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1
解得
3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
解得
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
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【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).
两直线交点的坐标与距离公式
两直线交点的坐标与距离公式 知识点：知识点：1. 两相交直线的交点的坐标两相交直线的交点的坐标2. 如果已知平面上两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2), 3. 点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0(A 、B 不同时为0)的距离为距离为 4．已知两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0, l 2:Ax+By+C 2=0 (C 1=C 2).则l 1与l 2之间的距离为：之间的距离为：对称问题：1． 点关于点的对称点点关于点的对称点2． 点关于直线的对称点点关于直线的对称点若两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上,而且连结P 1,P 2的直线垂直于对称轴l,由方程组: îïíì=++++=--0)2()2(21212121C y y B x x AAB x x y y 其中A ≠0,x 1≠x 2A(x,y) 关于x 轴的对称点A ’ . B(x,y) 关于y 轴的对称点B ’ . 练习:求点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点的坐标. 3. 直线关于点对称的直线直线关于点对称的直线练习:求直线l:y=3x-4关于点M(1,1)对称的直线方程. 4. 关于直线对称的两条直线关于直线对称的两条直线若已知直线l 1与对称轴l 相交,则交点必在与l 1对称的直线l 2上,然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称点P 2,那么经过交点及点P 2的直线就是l 2; 若已知直线l 1与对称轴l 平行,则与l 1对称的直线和l 1到直线l 的距离相等,由平行直线系和两条平行线间的距离,即可求出l 1的对称直线. 练习.求直线l 1:x-y-2=0关于直线l 2:3x-y+3=0的对称直线l ’的方程. 练习. 已知三条直线l 1:2x-y+a=0(a>0),l 2:-4x+2y+1=0, l 3:x+y-1=0,且l 1与l 2的距离是1057. (1) 求a 的值; (2) 求l 1与l 3的交点A 关于l 2的对称点的坐标; (3) 求l 2关于l 3的对称直线方程. 直线过定点问题及应用1由“y-y 0=k(x-x 0)”求定点”求定点把含有参数的直线方程改写成y-y 0=k(x-x 0)的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x 0,y 0）2由“l 1+λl 2=0”求定点”求定点在平面上如果已知两条相交直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,则过l 1、l 2交点的直线系方程是：直线系方程是：A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0 其中λ为参数，并简写为l 1+λl 2=0. 根据这一道理，可知如果能把含有参数的直线方程改写成l 1+λl 2=0的形式，这就证明了它表示的直线必过定点，其定点的求法可由îíì=++=++0222111C y B x A C y B x A 解得。
高中数学-直线的交点坐标与距离公式
解:(1)方程组
2x-y-7=0,
3x+2y-7=0.的解为 x=3,
2
22
即x 2y 2 0
答案:B
12.(上海高考)直线y=x关于直线x=1对称的直线方程是 ___________________.
x+2y-2=0
解析 : 如图所示,Q y 1 x的斜率为 1 ,
2
2
所求直线l的斜率k
1 2
.由y x
1 2
1,
x
得交点(1, 1),该点应在l上,故l的方程为y 1 1 (x 1),
解:∵点P在直线l上, ∴可设P(a,2-4a). 又A(4,-3)､B(2,-1), ∴由|PA|=|PB|可得 (a-4)2+(5-4a)2=(a-2)2+(3-4a)2,
解得a 7 . P(7 , 18). 5 55
易错探究
例4:当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形. 错解:当三条直线两两相交,且过同一点时,不能构成三角形, ∴当l2,l3相交于一点时,由 3x-2y-5=0,
4.已知△ABC的顶点A(2,3)､B(-1,0),C(2,0)则△ABC的周长 是( )
A.2 3 B.3 2 3 C.6 3 2 D.6 10 解析 : AB (1 2)2 (0 3)2 3 2. | BC | 3,| AC | (2 2)2 (0 3)2 3. VABC的周长为6 3 2.
第7讲 直线的交点坐标与距离公式(解析版)
第7讲直线的交点坐标与距离公式新课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
知识梳理一、直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点(l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0)2.两直线的位置关系二、两点间的距离公式三、点到直线的距离1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． 2．公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．四、两平行直线间的距离1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． 2．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．名师导学知识点1 两直线的交点问题【例1-1】（宜昌期末）已知两直线1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=，则1l 与2l 的交点坐标为 ． 【分析】联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得即可．【解答】解：联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩．1l ∴与2l 的交点坐标为(2,2)-．故答案为：(2,2)-．【例1-2】（雅安期末）过直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点，且过原点的直线方程为( ) A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=【分析】联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，求出两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,2)-．利用两点式方程能求出过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程． 【解答】解：联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,1)-．∴过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程为：12y x =-，即20x y +=．【例1-3】（芜湖期末）若三条直线2380x y ++=，10x y --=和0x ky +=交于一点，则k 的值为( ) A ．2-B ．12-C ．2D ．12【分析】通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入0x ky +=，即可求得k 的值． 【解答】解：依题意，238010x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴两直线2380x y ++=和10x y --=的交点坐标为(1,2)--．直线0x ky +=，2380x y ++=和10x y --=交于一点， 120k ∴--=，12k ∴=-．故选：B ．【变式训练1-1】（阎良区期末）直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,1)【分析】联立51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，能求出直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标．【解答】解：联立51y x y x =-+⎧⎨=+⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，∴直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是(2,3)．故选：B ．【变式训练1-2】（安庆期末）直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】联立21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得x ，y ．即可判断出结论．【解答】解：联立21020x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得1x =-，1y =．∴交点(1,1)-在第二象限．【变式训练1-3】（庐江县期中）直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，则k 的值为() A ．24-B ．24C ．6D ．6±【分析】联立230120x y k x ky +-=⎧⎨-+=⎩，由直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，得到24032k y k+==+，由此能求出k ． 【解答】解：联立230120x y k x ky +-=⎧⎨-+=⎩，解得236322432k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上， 24032k y k+∴==+， 解得24k =-． 故选：A ．知识点2 直线过定点问题【例2-1】（宿迁期末）设直线2(3)260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为( ) A ．(3,0)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(2,0)【分析】对于任意实数k ，直线2(3)260x k y k +--+=恒过定点，则与k 的取值无关，则将方程转化为(2)(236)0y k x y -+-+=．让k 的系数和常数项为零即可．【解答】解：解：方程2(3)260x k y k +--+=可化为(2)(236)0y k x y -+-+=， 对于任意实数k ，当202360y x y -=⎧⎨-+=⎩时，直线2(3)260x k y k +--+=恒过定点，由当202360y x y -=⎧⎨-+=⎩，得0x =，2y =．故定点坐标是(0,2)． 故选：B ．【例2-2】（江阴市期中）直线:1(2)l y k x -=+必过定点( ) A ．(2,1)-B ．(0,0)C ．(1,2)-D ．(2,1)--【分析】由已知可得直线l 过两直线20x +=与10y -=的交点，联立求解得答案． 【解答】解：由直线:1(2)l y k x -=+， 得2010x y +=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩．∴直线:1(2)l y k x -=+必过定点(2,1)-．故选：A ．【变式训练2-1】（黄浦区期末）已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，则这个定点的坐标是( ) A ．(2,1)-B ．(1,0)-C ．21(,)77-D ．12(,)77-【分析】先变形解析式得到关于a 的不定方程(321)(2)0a y x x y --++=，由于a 有无数个解，则3210y x --=且20x y +=，然后求出x 和y 的值即可得到定点坐标．【解答】解：由直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=，知(321)(2)0a y x x y --++=． 不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，即a 有无数个解， 3210y x ∴--=且20x y +=， 27x ∴=-，17y =，∴这个定点的坐标是21(,)77-．故选：C ．【变式训练2-2】（慈溪市期末）直线1(y kx k k =++为常数）经过定点( ) A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--【分析】令参数k 的系数等于零，求得x 、y 的值，可得结论．【解答】解：对于直线1(1)1y kx k k x =++=++，令10x +=，可得1y =，可得它经过的定点坐标为(1,1)-， 故选：B ．知识点3 两点间距离公式的应用【例3-1】（南充期末）已知点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||(AB = )A ．2B C ．3D 【分析】根据题意，由点的坐标结合空间两点间距离的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||AB 故选：D ．【例3-2】（临川区校级一模）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【分析】由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是直角三角形．【解答】解：ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，||AB ∴=，||BC ，||AC =，222AC BC AB ∴=+， ABC ∴∆是直角三角形．故选：B ．【变式训练3-1】（琼山区校级期末）已知ABC ∆的顶点坐标为(7,8)A ，(10,4)B ，(2,4)C -，则BC 边上的中线AM 的长为( )A ．8B ．13C ．D 【分析】由中点坐标公式求得BC 中点的坐标，再由两点间的距离公式求得AM 的长． 【解答】解：由(10,4)B ，(2,4)C -，得10262M x +==，4402M y -==， 即M 坐标为(6,0)．又(7,8)A ，||AM ∴= 故选：D ．【变式训练3-2】（雁江区校级月考）如图，已知等腰梯形ABCD ，用坐标法证明：AC BD =．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A、B的坐标，分析可得C、D的坐标，由两点间距离公式计算AC、BD的值，分析可得答案．【解答】证明：根据题意，如图以BC为x的轴建立坐标系，BC的中点为坐标原点建立坐标系，设(,0)B a-，A，(,)b c-，则(,0)C a，(,)D b c，则ACBD，则有AC BD=．知识点4 点到直线的距离【例4-1】（金凤区校级期末）已知点(2,1)P-．（1）若一条直线经过点P，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；（2）求过点P且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？【分析】（1）当l的斜率k不存在时，直接写出直线方程；当l的斜率k存在时，设:1(2)l y k x+=-，即210kx y k---=．由点到直线的距离公式求得k值，则直线方程可求；（2）由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出OP所在直线的斜率，进一步得到直线l的斜率，得到直线l的方程，再由点到直线的距离公式得最大距离．【解答】解：（1）①当l的斜率k不存在时，l的方程为2x=；②当l的斜率k存在时，设:1(2)l y k x+=-，即210kx y k---=．2=，34k⇒=；得:34100l x y--=．故所求l 的方程为：20x -= 或34100x y --=；（2）由题意可得过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线， 由l OP ⊥，得1l OP k k =-，12l OPk k =-=， 由直线方程的点斜式得12(2)y x +=-，即250x y --=．即直线250x y --=是过P 点且与原点O．【例4-2】（韶关期末）已知点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，则直线l 的方程为()A ．410x y ++=或3x =B ．410x y +-=或3x =C ．410x y ++=D ．410x y +-=【分析】先求出直线AB 的斜率，由点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，得到直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,1)-，或直线l 的方程为3x =，由此能求出直线l 的方程． 【解答】解：点(1,3)A 和点(5,2)B ，231514AB k -∴==--， 点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，∴直线l 与直线AB 平行，且直线l 过点(3,1)-，或直线l 的方程为3x =， ∴直线l 的方程为：11(3)4y x +=--，或3x =，整理得：410x y ++=或3x =． 故选：A ．【变式训练4-1】（保山期末）若直线l 过点，倾斜角为120︒，则点(1,到直线l 的距离为( )A B C D 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，点到直线的直线间的距离公式求得结果．【解答】解：直线l 过点，倾斜角为120︒，故直线的斜率为tan120︒=故直线l 的方程为2)y x -=-0y +-．则点(1,到直线l =， 故选：C ．【变式训练4-2】（新课标Ⅲ）点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( )A ．1BCD ．2【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．【解答】解：因为点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离d == 要求距离的最大值，故需0k >；可得212kdk+=1k =时等号成立； 故选：B ．知识点5 两平行线间距离公式及其应用【例5-1】（张家界期末）直线3430x y +-=与直线690x my ++=平行，则它们的距离为( ) A ．65B ．32C ．125D ．2【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得m ，再利用两条平行直线间的距离公式，求得它们的距离． 【解答】解：直线3430x y +-=，即6860x y +-=， 它与直线690x my ++=平行，∴66689m -=≠，求得8m =， 32=， 故选：B ．【例5-2】（广州期末）若两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=，则(m n +=) A ．0B ．1C ．1-D ．2-【分析】两直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行，可得20n --=，解得n ，再利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：两直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行， 20n ∴--=，解得2n =-．又两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=，∴=2m =．0m n ∴+=．故选：A ．【变式训练5-1】（靖远县期末）已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为( ) ABCD【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得m 的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则有224m =⨯=， 则两直线的方程为240x y +-=与直线2470x y ++=，则它们之间的距离d ==； 故选：C ．【变式训练5-2】（连云港期末）两条平行直线6450x y -+=与32y x =的距离是( )ABCD【分析】把已知两直线方程变形，再由两平行线间的距离公式求解． 【解答】解：由6450x y -+=，得53202x y -+=， 由32y x =，得320x y -=，则两条平行直线6450x y -+=与32y x =5|0|-=． 故选：D ．【变式训练5-3】（广东期末）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为( ) A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-【分析】由2(1)40m m +-=，解得m ．经过验证即可得出． 【解答】解：由2(1)40m m +-=，解得1m =或2-． 经过验证可得：2m =-时重合，舍去． 故选：B ．【变式训练5-4】（崇左期末）已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且1l ，2l 之间的距离(m n += )A ．3-或3B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或2【分析】由240m -=，解得m ．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解答】解：由240m -=，解得2m =．满足12//l l ．2l 的方程为220x y +-=，则|2|3n +=， 解得1n =或5-， 故3m n +=±． 故选：A ．知识点6 运用距离公式解决最值问题【例6-1】（北碚区校级期末）已知ABC ∆的三个顶点(1,2)A ，(2,1)B ，(3,3)C ，若ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是( )A B C D【分析】分别过A 、B 、C 三个点，作斜率为1的三条直线，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【解答】解：分别过A 、B 、C 三个点，作斜率为1的三条直线： 1:21l y x -=-，即10x y -+=． 2:12l y x -=-，即10x y --=． 3:33l y x -=-，即0x y -=．显然，ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线1l 和3l 之间，且直线1l 和3l 之间的距离为d =，故选：B ．【例6-2】（鼓楼区校级期中）已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与1l ，2l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为 ．【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出． 【解答】解：由题知，2:4220l x y +-=，两直线间的距离d ==．【变式训练6-1】（闵行区校级模拟）过点(1,2)-且与原点的距离最大的直线方程是 ． 【分析】过点(1,2)P -且与原点的距离最大的直线l 满足：l OP ⊥．则1l OP k k =-，即可得出． 【解答】解：过点(1,2)P -且与原点的距离最大的直线l 满足：l OP ⊥． 1l OP k k ∴=-，12l k ∴=． ∴直线l 的方程 为：12(1)2y x -=+，化为250x y -+=． 故答案为：250x y -+=．【变式训练6-2】（和平区校级期末）已知点(2,5)A 和点(4,7)B ，点P 在y 轴上，若||||PA PB +的值最小，则点P 的坐标为 ．【分析】点(2,5)A 关于y 轴的对称点为(2,5)A '-，直线A B '的方程为得755((2))4(2)y x --=----，令0x =，解得y 即可得出．【解答】解：点(2,5)A 关于y 轴对称的点(2,5)A '-， 连接A B '与y 轴交于点P ，此时||||PA PB +的值最小， 设直线A B '的解析式得755((2))4(2)y x --=----，即11733y x =+，令0x =，得173y =， 所以17(0,)3P ． 故答案为：17(0,)3． 名师导练A 组-[应知应会]1．（辽源期末）点(3,1)到直线3420x y -+=的距离是( ) A ．45B ．75C ．425D ．254【分析】根据题意，由点到直线的距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，点(3,1)到直线3420x y -+=的距离75d ==； 故选：B ．2．（宁波期末）直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离为( ) A ．1B ．3C ．110D ．25【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果． 【解答】解：直线6820x y +-=与6830x y +-=110=， 故选：C ．3．（内江期末）已知点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于( ) A ．34B ．43C ．43-D ．34-【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得1d ==，解可得m 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1， 则有1d =，解可得34m =-；故选：D ．4．（兴庆区校级期末）设有直线(3)1y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点( ) A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)【分析】根据直线恒过定点的求法，直接求出定点． 【解答】解：当3x =时，不论k 为何值，1y =，即过(3,1)， 故选：C ．5．（沙坪坝区校级期中）已知直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，则1l 与2l 的距离为( )A ．15B C ．35D 【分析】直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，即可得到a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，可得12a =-，则由两平行直线的距离公式可得d ，则1l 与2l ， 故选：D ．6．（包头期末）点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是( )A ．1BC ．2D ．【分析】||OP ∴的最小值是点O 到直线20x y +-=的距离，利用点到直线的距离公式能求出||OP 的最小值． 【解答】解：点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点， ||OP ∴的最小值是点O 到直线20x y +-=的距离，∴则||OP 的最小值是d ==故选：B ．7．（河池期末）点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离的最小值为( )A ．4B ．C ．D ．【分析】利用点到直线的距离公式可得：点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离22d ==【解答】解：点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离22632d ==故选：D ．8．（江阴市期中）直线l 过(1,2)P ，且(2,3)A ，(4,5)B -到l 的距离相等，则直线l 的方程是( ) A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．2370x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=【分析】由条件可知直线平行于直线AB 或过线段AB 的中点，当直线//l AB 时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB 的中点(2,3)时，易得所求的直线方程．【解答】解：设所求直线为l ，由条件可知直线l 平行于直线AB 或过线段AB 的中点， （1）AB 的斜率为35424+=--，当直线//l AB 时，直线l 的方程是24(1)y x -=--，即460x y +-=， （2）当直线l 经过线段AB 的中点(3,1)-时，l 的斜率为213132+=--，直线l 的方程是32(1)2y x -=--，即3270x y +-=，故所求直线的方程为3270x y +-=，或460x y +-=． 故选：D ．9．（平顶山期末）已知(1,2)P -，(2,4)Q ，直线:3l y kx =+．若P 点到直线l 的距离等于Q 点到直线l 的距离，则(k = ) A ．2.3或6B ．23C ．.0D ．.0或23【分析】由已知结合点到直线的距离公式即可求解．=，解得0k=或23．故选：D．10．（昆山市期中）已知(2,3)M-，(6,2)N，点P在x轴上，且使得PM PN+取最小值，则点P的坐标为( )A．(2,0)-B．12(5，0)C．14(5，0)D．(6,0)【分析】根据点M、N在x轴的同侧，求出点M关于x轴的对称点M'，得出PM PN+的最小值是||M N'，再利用直线M N'求得点P的坐标．【解答】解：点(2,3)M-，(6,2)N在x轴的同侧，如图所示；则点M关于x轴的对称点M'的坐标为(2,3)--，此时||PM PN M N+='的值最小，此时直线M N'的方程为26 3226y x--=----，令0y=，解得145 x，所以PM PN+取最小值时，点14(5P，0)．故选：C．11．（宝安区校级模拟）已知0x<<，0y<<M M的最小值为( )A ．B ．C ．2D ．【分析】本题要根据M 表达式的特点联系两点间的距离公式，然后运用数形结合法可得到M 取最小的点(,)x y 的情况，即可计算出M 的最小值．【解答】解：根据题意，可知(,)x y 与点A 0)的距离；(,)x y 与点B 的距离；(,)x y 与点C 的距离；(,)x y 与点D 的距离．M 表示点(,)x y 到A 、B 、C 、D 四个点的距离的最小值．则可画图如下：(,)x y 在线段AC 上，(,)x y 在线段BD 上，∴点(,)x y 既在线段AC 上，又在线段BD 上， ∴点(,)x y 即为图中点P ．M ∴的最小值为||||AC BD +=故选：D ．12．（多选）（江阴市期中）若两条平行直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=之间的距离是则m n +的可能值为( ) A ．3B ．17-C ．3-D ．17【分析】利用两条直线平行的性质求出n ，再利用两条平行直线间的距离求出m ，可得m n +的值．【解答】解：直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=平行， 则122n-=，解得4n =-； 所以2:230l x y --=；所以直线1l 与2l 间的距离是d ==所以|3|10m +=， 解得13m =-或7m =；当13m =-时，13417m n +=--=-； 当7m =时，743m n +=-=； 所以m n +的可能值为3或17-． 故选：AB ．13．（多选）（山东模拟）若三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=不能围成三角形，则a 的取值为( ) A ．1a =B ．1a =-C ．2a =-D ．2a =【分析】1l 和3l 平行，或2l 和3l 平行，1l 和2l 平行以及三线交于同一个点，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得m 的值，综合可得结论．【解答】解：由于1l 的斜率a -，3l 的斜率为1-， 则由题意可得1l 和3l 平行，或2l 和3l 平行，1l 和2l 平行． 若1l 和3l 平行，则111a =，求得1a =； 若2l 和3l 平行，则111a=，求得1a =．若1l 和2l 平行，则11a a=，求得1a =±． 当三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=交于同一个点时，2a =-； 综上可得，实数a 所有可能的值为1-，1，2-， 故选：ABC ．14．（田家庵区校级期末）原点(0,0)到直线:20l x y -+=的距离是 ． 【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．【解答】解：原点(0,0)到直线:20l x y -+==15．（尖山区校级期末）两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=之间的距离为 ． 【分析】利用平行线，求解a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=，可得a =-所以2302l y -+=，所以两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=3|1|14-+=．故答案为：14． 16．（嘉兴期末）直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行，则m = ；1l 与2l 之间的距离为 ． 【分析】由题意利用两条直线平行的性质求出m 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【解答】解：直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行， 0m ∴≠，1311m m-=≠--，则1m =．=故答案为：1；17．（金华期末）已知直线:(1)2l x m y m ++=-，则当0m =时，直线l 的倾斜角为 ；当m 变化时，直线l 过定点 ．【分析】取0m =化简直线方程，求得直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求直线的倾斜角；利用直线系方程的逆用求直线所过定点．【解答】解：当0m =时，直线:(1)2l x m y m ++=-化为2x y +=， 直线的斜率1k =-，设倾斜角为(0)θθπ<， 由tan 1θ=-，得34πθ=； 化直线:(1)2l x m y m ++=-为2(1)0x y m y +-++=． 联立2010x y y +-=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩．∴当m 变化时，直线l 过定点(3,1)-．故答案为：34π；(3,1)-． 18．（镇江期末）已知直线1:0l x y a ++=与直线2:0l x y +=a 的值为 ． 【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出．2a =±．故答案为：2±．19．（珠海期末）已知平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-，则直线AB 与直线l 的交点坐标为 ．【分析】先利用两点式方程求出直线AB 的方程，再联立方程组能求出两直线的交点坐标． 【解答】解：平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-， 直线AB 的方程为：040414x y --=--，整理得：34160x y +-=， 联立3134160y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得433x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴直线AB 与直线l 的交点坐标为4(3，3)．故答案为：4(3，3)．20．（苏州期末）已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和5x ay +=上，且线段AB 的中点为(0,5)P ，则||AB = ．【分析】由两直线互相垂直可得2a =，AB 为直角三角形AOB 的斜边，直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB 的一半，且||5PO =，由此能求出||AB ．【解答】解：由已知两直线互相垂直可得：21(1)0a ⨯+-⨯=， 解得2a =，线段AB 中点为(0,5)P ，且AB 为直角三角形AOB 的斜边， 联立2025x y x y -=⎧⎨+=⎩，得(1,2)O ，||OP ∴直角三角形斜边的中线PO 的长为斜边AB的一半，且||PO =||2||AB PO ∴==，故答案为：21．（昆山市期中）在平面直角坐标xOy 中，已知(4,3)A ，(5,2)B ，(1,0)C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为 ．【分析】设出点(,)P x y ，利用两点间的距离公式列方程求出x 、y 的值． 【解答】解：设点(,)P x y ，由PA PB PC ==， 得22222222(4)(3)(5)(2)(4)(3)(1)x y x y x y x y ⎧-+-=-+-⎨-+-=-+⎩， 化简得24x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(3,1)． 故答案为：(3,1)．22．（新余期末）已知直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，其中a Z ∈，则点(1,3)A -到直线l 的距离为 ．【分析】由直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限得到02a <<，又a Z ∈，所以1a =，所以直线l 的方程为：21y x =-，即210x y --=，再利用点到直线距离公式即可求出结果． 【解答】解：直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，∴2020a a >⎧⎨-<⎩，02a ∴<<，又a Z ∈，1a ∴=，∴直线l 的方程为：21y x =-，即210x y --=，∴点(1,3)A -到直线l==． 23．（乐山期末）已知两条直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=． （1）当12//l l 时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，求1l 、2l 间的距离．【分析】（1）根据题意，分析可得240m -=，解可得2m =±，分别验证2m =和2m =-时，两直线是否平行，即可得答案；（2）由（1）的结论，结合平行线间距离公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=．若12//l l ，必有240m -=，解可得2m =±，当2m =时，直线1:210l x y +-=，直线2:210l x y ++=，两直线平行，符合题意，当2m =-时，直线1:210l x y -+=，直线2:210l x y -+=，两直线重合，不符合题意，故2m =；（2）由（1）的结论，直线1:210l x y +-=，直线2:210l x y ++=，直线1l 、2l 间的距离d == 24．（宁德期末）已知直线:260l x y --=与x 轴的交点为A ，且点A 在直线m 上．（1）若m l ⊥，求直线m 的方程；（2）若点(1,1)B 到直线m 的距离等于2，求直线m 的方程．【分析】（1）求出A 的坐标，求出直线m 的斜率，从而求出直线m 的方程即可；（2）通过讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式，求出直线方程即可．【解答】解：（1）依题意得(3,0)A ，2l k =，若m l ⊥，则12m K =-， ∴直线AB 的方程为10(3)2y x -=--， 即230x y +-=（或13)22y x =-+ （2）当直线斜率不存在时，3x =符合题意，当直线斜率存在时，设其方程为(3)y k x =-，点(1,1)B 到直线m 的距离等于2， ∴2=，解得：34k =， 综上，所求直线方程为3490x y --=或3x =．25．（新都区期末）已知ABC ∆的三个顶点坐标为(3,1)A -，(3,3)B -，(1,7)C ．（1）求BC 边的中线所在直线方程的一般式方程；（2）求ABC ∆的面积．【分析】（1）利用中点坐标公式、两点式即可得出．（2）三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）设BC 的中点M 的坐标为(,)x y ， 所以3122x +==，3722y -+==，即点M 的坐标为(2,2)．由两点式得：580x y-+=．所以BC边的中线所在直线方程的一般式方程为：580x y-+=；（2）直线BC的方程为：5120x y+-=．A BCd-==||BC11||2622ABC A BCS BC d∆-==⨯．26．（沭阳县期中）已知直线:(12)(1)720l m x m y m++-++=．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线1l的方程．【分析】（1）根据题意，将直线的方程整理得：(2)(27)0x y m x y-++++=，令20270x yx y-+=⎧⎨++=⎩，解可得x、y的值，即可得直线恒过定点的坐标，分析可得答案；（2）根据题意，设直线1l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，分析可得M为AB的中点，由中点坐标公式分析AB的坐标，进而分析可得答案．【解答】解：（1）证明：直线l整理得：(2)(27)0x y m x y-++++=，令20270x yx y-+=⎧⎨++=⎩解得：31xy=-⎧⎨=-⎩，则无论m为何实数，直线l恒过定点(3,1)--，（2）根据题意，设直线1l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，过定点(3,1)M--作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，即M为AB的中点，则有3212ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解可得6a=-，2b=-，即直线1l过(6,0)-，(0,2)-，则直线1l的方程为123y x=--，即360x y++=．27．（宁城县期末）已知点ABC∆三顶点坐标分别是(1,0)A-，(1,0)B，(0,2)C，（1）求A到BC边的距离d；（2）求证AB边上任意一点P到直线AC，BC的距离之和等于d．【分析】（1）求出直线BC 的方程，利用点到直线的距离公式求出即可；（2）设(,0)P t ，11t -，求出直线AC 的方程，由点到直线的距离公式，证明即可．【解答】解：（1）直线BC 的方程为：12y x +=，即220x y +-=，A 到BC 边的距离d ==， （2）设(,0)P t ，11t -，直线AC 的方程是12y x -+=，即220x y -+=，∴则P 到直线AC 的距离为11)d t ==+，则P 到直线BC 的距离为2)d t -，∴12d d +=故原命题成立．B 组-[素养提升]1．（尖山区校级期末）已知在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC ∆的周长的最小值 ．【分析】设点(4,2)，点A 关于直线:20l x y -+=对称的点为(,)D x y ，则点(,)D a b 与点(4,2)A 的中点在直线20x y -+=上，且直线AD 一定垂直于直线20x y -+=，列方程组求出(0,6)D 根据对称原理，ABC ∆的周长的最小值为：AC BA BC DC CD CA DB BA ++=++=+，即DB BA +的最小值，设点(0,6)D 关于x 轴的对称为点(0,6)E -，直线EA 与x 轴交于一点，当点B 处在这个点时，DB BA +取得最小值此时DB BA EA +=，由此能求出ABC ∆的周长的最小值．【解答】解：在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上， 设点(4,2)，点A 关于直线:20l x y -+=对称的点为(,)D x y则点(,)D a b 与点(4,2)A 的中点在直线20x y -+=上且直线AD 一定垂直于直线20x y -+=，∴422022214a bba++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得0a=，6b=，D∴点坐标为(0,6)D根据对称原理，ABC∆的周长的最小值为：AC BA BC DC CD CA DB BA++=++=+，即DB BA+的最小值，设点(0,6)D关于x轴的对称为点(0,6)E-，直线EA与x轴交于一点，当点B处在这个点时，DB BA+取得最小值此时DB BA EA+=ABC ∴∆的周长的最小值为故答案为：2．（兰州期末）已知点(2,1)P-．（1）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（2）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得1l OPk k=-，即可得出．（2）只需比较“过P点与原点距离最大的直线l中最大距离”与6的大小，即可判断是否存在．【解答】解：（1）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l OP⊥，得11 OPk k=-，所以12 OPk k==．由直线方程的点斜式得12(2)y x+=-，即250x y--=．即直线250x y--=是过P点且与原点O．（2）过P的直线，因此不存在过点P点且到原点距离为6的直线．。
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
要点 两条直线的交点 (1)已知两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，当方程组 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，有唯一解时，l1 与 l2 相交；有无穷多个解时，说明直线 l1 与 l2 重合；当方程组无解 时，l1 与 l2 平行．
②类似地，有 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(4)①设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. ②原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
如何设直线系方程？
答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)；
(2)经过两直线交点的直线系方程：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0)．
(3)已知 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 ①A1B2－A2B1≠0⇔l1 与 l2 相交；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1 ≠0⇔l1∥l2；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1＝0⇔l1 与 l2 重合．
题型三 两点间的距离公式的应用
例 3 求函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的最小值． 【思路分析】 常规方法显然行不通，只有进行转化！根据结 构联想距离．
【 解 析 】 原 式 可 化 为 y ＝ （x－4）2＋（0－2）2 ＋ （x－0）2＋（0－1）2 ，考虑 两点间 的距 离 公式形 式得三点 A(4，2)，B(0，1)，P(x，0)，则上述问题转化为：在 x 轴上求一 点 P(x，0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点 A(4，2)关于 x 轴的对称点 A′(4，－2)，可知|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB| 的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式，得|A′B|＝ 42＋（－2－1）2＝5，所以，函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的 最小值为 5.
直线的交点坐标与距离公式(3课时)
有惟一解，有无数组解，无解，则两直 线的位置关系如何？
知识探究（二）：过交点的直线系
思考1:经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2： 2x+y+2=0的交点可作无数条直线，你能 将这些直线的方程统一表示吗？
y-2=k(x+2)和x=-2 思考2:方程 m(3x 4 y 2) n(2 x y 2) 0 （m，n不同时为0）表示什么图形？
圆内接四边形，试求m的值。
作业：
P109 习题3.3A组：1，3，5. P110 习题3.3B组：1.
3.2.2 两点间的距离
设直线l1、 l2的方程分别为 l1： A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 1. l1 l2 A1A2+B1B2=0 2. l1 // l2
点A的坐标是方程组的解
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
思考2：对于两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 和 l2 : A2 x B2 y C2 0 ,若方程组
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C 2 0
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
设直线l1、 l2的方程分别为 l1： A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
1. 2.
l1 l2 A1A2+B1B2=0 l1 // l2
K 1=K2且b1 ≠b2 (2)当B1=B2=0时,A 1C2=A 2C1
思考3:上述直线l1与直线l2的交点M （-2，2）在这条直线上吗？当m，n为何 值时，方程 m(3x 4 y 2) n(2 x y 2) 0 分别表示直线l1和l2？ 思考4:方程 m(3x 4 y 2) n(2 x y 2) 0 表示经过直线l1和l2的交点的直线系，一 般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0 和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程 可怎样表示？ m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0
直线的交点坐标与距离公式
直线的交点坐标与距离公式在平面几何中，直线是直角坐标系中的基本图形之一、直线的交点坐标和距离公式在解决直线的相关问题时非常有用。
接下来，我将详细介绍直线的交点坐标和距离公式。
1.直线的交点坐标公式：设直线L1的方程为y=k1x+b1，直线L2的方程为y=k2x+b2、若L1和L2有交点，则交点的坐标(x0,y0)满足以下等式：k1x0+b1=k2x0+b2解上述等式可以得到交点的横坐标x0。
将x0带入其中一个直线的方程，可以求得交点的纵坐标y0。
如果两条直线平行，则它们没有交点。
2.直线的距离公式：设点P到直线L的距离为d。
L的一般方程为Ax+By+C=0。
点P的坐标为(x0,y0)。
则点P到直线L的距离d可以由以下公式计算：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)以上就是直线的交点坐标和距离公式的基本内容。
下面我们将通过具体的例子来进一步理解和应用这些公式。
例1：求直线y=2x+3和y=-x+4的交点坐标。
解：将两个方程相等，得到：2x+3=-x+43x=1x=1/3将x=1/3带入其中一个方程，可以求得y的值：y=2*(1/3)+3=7/3因此，这两条直线的交点坐标为(1/3,7/3)。
例2：求点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离。
解：由于A=3，B=-4，C=5，将这些值代入距离公式中，可以得到：d=，3*1-4*(-2)+5，/√(3^2+(-4)^2)=，3+8+5，/√(9+16)=16/√25=16/5因此，点(1,-2)到直线3x-4y+5=0的距离为16/5通过以上两个例子，我们可以看到直线的交点坐标和距离公式在解决直线相关问题时的重要性。
它们能够帮助我们简单、快速地求解直线的交点和距离，为我们的几何计算提供便利。
除了直线的交点坐标和距离公式，还有其他的直线相关的公式和定理，如直线的斜率公式、两直线垂直的判定等等。
通过深入学习和理解这些公式和定理，我们将能够更好地应用它们解决各种几何问题，提高我们的数学能力。
【数学课件】直线的交点坐标与距离公式
【例1】直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0 和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为 P(－1,2)，求直线l的方程．
解 答 ： 解 法 一 ： 设 直 线 l 与 l1 的 交 点 为 A(x0，y0)，由已知条件，则直线l与l2的交 点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足
解法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)， 即kx－y＋k＋2＝0.
则d的取值范围是( )
解析：本题考查数形结合思想，以及分
将直线l的方程变为：x＋y－2＋λ(3x＋2y －5)＝0，它表示过直线l1：x＋y－2＝0，l2： 3x＋2y－5＝0的交点且不包含第二条直线 的所有直线．显然当直线过点P时距离最小
【方法规律】
1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把 几何问题转化为代数问题．
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值 范围．
(2)由(a＋1)x＋y＋2－a＝0得a(x－1)＋(x＋y ＋2)＝0.
无论a取何值，直线l过A(1，－3)点， 则直线l的斜率k≥0，即－(a＋1)≥0.解得a≤－
变式3.点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1 ＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，
2．点到直线距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
为： 3．两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：
1．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y ＝x＋m平行，则|AB|的值为( )
A．6
B.
D．不能确定
C．2
答案：B
3．直线l1经过点A(3,0)，直线l2经过点B(0,4)， 且l1∥l2，用d表示l1，l2间的距离，则( )
【答题模板】
解答：(1)设折叠后A在DC边上对应的点为A′， 则折痕EF所在直线的斜率
直线的交点坐标与距离公式
7 y kx 1 解得x N 由 k2 2 x y 8 0
例1.过点A(0,1)作直线，使其被两直线l1： x-3y+10=0， l2：2x+y-8=0所截得的线段恰好被点A所平分，求此直 线的方程. 7 7 1 点A平分线段 MN , 0，即k 3k 1 k 2 4 1 所求直线方程为y x 1，即x 4 y 4 0 4
当A=0或B=0时,公式仍然成立. 4.两条平行线间的距离公式: 两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2: Ax+By+C2=0的距离是
d
| C1 C2 | A2 B 2
二、例题分析
考点二：距离公式的应用
例 2. 若 直 线 m 被 两 平 行 直 线 l1 : x y 1 0 与
五、布置作业
练习:《状元360》 P437
创新设计习题讲评：
P65 5.～7.
答案： 1. 2.
2
a sin( ) a sin( ) AC sin 180 ( ) sin( )
3.用长度分别为 2、3、4、5、6（单位： cm ）的 5 根细 木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断） ，能 够得到的三角形的最大面积为( ) A． 8 5cm
2 2 2 2 2 2
二、例题分析
考点三：利用坐标法证明简单的几何问题 变式.过等腰三角形ABC的底边BC中点O作OE⊥AC
于E，M是OE的中点，求证：AM ⊥BE. y A 解: 如图，以O为原点建立坐标系 可设A(0,a)，B(-c,0)， C(c,0)，E(2x,2y)，M(x,y) 2y 2y a 由k EA k EC 得 , E 2x c 2x M B O C 即2ax 2cy ac , ①
直线的交点及距离公式
直线的交点坐标与距离公式小华以马路上的电线杆为起点，先向东走了5 m ，然后又向西走了8 m ，那么小华现在的位置离电线杆多远？对于这类问题，我们可以建立一个直线坐标系，确定出正、负方向，用向量的方式来解决．1．两条直线的交点坐标(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．(2)应用：可以利用两直线的__交点个数__判断两直线的位置关系．一般地，将直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0． 当方程组__有唯一__解时，l 1和l 2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组__无__解时，l 1与l 2平行； 当方程组__有无数组__解时，l 1与l 2重合． 2．两点间的距离公式两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝． 3．坐标法(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法． (2)步骤：①建立__坐标系__，用坐标表示有关的量：②进行有关代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系．预习自测1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为( B ) A ．(3,2) B ．(2,3) C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0x ＋3y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3.故选B ．2．已知M (2,1)、N (－1,5)，则|MN |＝__5__. [解析] |MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5．3．求经过两条直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程.[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－35y ＝－75．∵所求直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行∴直线l 的斜率k ＝－3，根据点斜式可得y －(－75)＝－3[x －(－35)]．即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0．4．直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( B )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y ＝0C ．x ＋2y ＝0D ．x －2y ＝0[解析] 解法1：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2∴k l ＝2.∴l 的方程为y ＋2＝2(x ＋1)，即2x －y ＝0． 解法2：设l ：2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0． ∵l 过原点∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴l 方程为2x －y ＝0．命题方向1 ⇨两直线的交点问题典例1 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0．[思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解的个数．[解析] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0 ①2x ＋2y ＋3＝0 ②，①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0 ①2x －2y ＋2＝0 ②，①×2得2x －2y ＋2＝0，因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线．所以两直线重合．『规律方法』 两条直线相交的判定方法：(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交； (2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交． 〔跟踪练习1〕(1)已知直线l 1：3x ＋4y －5＝0与l 2：3x ＋5y －6＝0相交，则它们的交点坐标为( C ) A ．(－1，13)B ．(1，13)C ．(13，1)D ．(－1，－13)(2)若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( C ) A ．6 B ．－24 C ．±6D ．以上都不对[解析] (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝03x ＋5y －6＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝1，故交点为(13，1)．(2)分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为：－12m 和－m3由题意得－12m ＝－m 3解得m ＝±6.命题方向2 ⇨平面上两点间的距离典例2 已知A (a,3)和B (3,3a ＋3)的距离为5，求a 的值. [思路分析] 利用两点间距离公式列方程解得a 的值． [解析] ∵|AB |＝(a －3)2＋(3－3a －3)2＝5 即5a 2－3a －8＝0，∴a ＝－1或a ＝85．『规律方法』 两点间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，利用此公式可以将有关的几何问题转化为代数问题进行研究．我们求线段的长度时，常常使用两点间的距离公式．〔跟踪练习2〕已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为__(－5,0)或(11,0)__．[解析]设点P的坐标为(x,0)，由|P A|＝10得(x－3)2＋(0－6)2＝10解得x＝11或x＝－5．∴点P的坐标为(－5,0)或(11,0)．典例3 已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)、B(－1,3)、C(3,0).(1)判定△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．[解析](1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验证解法一：∵|AB|＝(－1－1)2＋[3－(－1)]2＝20＝2 5|AC|＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝ 5|BC|＝[3－(－1)]2＋(0－3)2＝25＝5∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．解法二：∵k AB＝3－(－1)－1－1＝－2，k AC＝0－(－1)3－1＝12∴k AB·k AC＝－1∴AB⊥AC∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．(2)∵∠A＝90°∴S△ABC＝12|AB|·|AC|＝5．『规律方法』三角形形状的判定方法：(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定思考的方向．(2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑，一是考虑角的特征；二是考虑三角形边的长度特征．〔跟踪练习3〕已知点A (1,2)、B (3,4)、C (5,0)则△ABC 的形状为( C ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形[解析] ∵|AB |＝(4－2)2＋(3－1)2＝2 2 |AC |＝(0－2)2＋(5－1)2＝2 5 |BC |＝(5－3)2＋(0－4)2＝2 5 ∴|AC |＝|BC |．又∵A 、B 、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．典例4 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0共有三个不同的交点，则a 的取值范围为( D )A ．a ≠±1B ．a ≠1且a ≠－2C ．a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[错解] 选A 或选B[错因分析] 在解题过程中，若由①处得a ≠1且a ≠－2，错选B ，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．由②处得a ≠±1，错选A ，只考虑了三条直线斜率不相等的条件，忽视三条直线相交于一点的情况．[解析] 因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2.①(2)若l 1∥l 2，由a ×a －1×1＝0，解a ＝±1，② 当a ＝1时，l 1与l 2重合．(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，解得a ＝1 当a ＝1，l 2与l 3重合．(4)若l 1∥l 3，则a ×1－1×1＝0得a ＝1 当a ＝1时，l 1与l 3重合．综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2； 当a ＝－2时，三条直线交于一点所以要使三条直线共有三个交点，需a ≠±1且a ≠－2．[正解] D 〔跟踪练习4〕若三条直线l 1：4x ＋y ＋4＝0，l 2：mx ＋y ＋1＝0，l 3：x －y ＋1＝0不能围成三角形，求m 的值．[错解] 当三条直线中至少有两条平行时，三条直线不能围成三角形．显然l 1与l 3不平行．当l 1∥l 2时，m ＝4；当l 2∥l 3时，m ＝－1．[错因分析] 错解直接认为只有当存在两条直线平行时，不能构成三角形，而忽略了三线共点时也不能构成三角形，此时只需求出两条直线的交点坐标，同时满足第三条直线即可．[正解] 显然l 1与l 3不平行，当l 1∥l 2或l 2∥l 3时，不能构成三角形，此时对应m 的值分别为m ＝4，m ＝－1；当直线l 1，l 2，l 3经过同一个点时，也不能构成三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，4x ＋y ＋4＝0得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，代入l 2的方程，得－m ＋1＝0，∴m ＝1． 综上可得m ＝4或－1或1．[警示] 解决三条直线不能围成三角形的问题时，除了三条直线中至少有两条平行外，还要注意三线共点这一特殊情况．直经方程的设法技巧与直线系方程直线方程中含有参数时，由于参数的变化，方程表示不同的直线，当参数取遍所有实数时，方程表示一族平行或过定点的直线．(1)已知l ：y ＝kx ＋b ，与l 平行的直线方程设为y ＝kx ＋b 1；与l 垂直的直线方程设为y ＝－1kx ＋b 1(k ≠0)．(2)已知l ：Ax ＋By ＋c ＝0，与l 平行的直线方程设为Ax ＋By ＋C 1＝0，与l 垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋C 2＝0．(3)过定点P (x 0，y 0)的直线方程(斜率存在时)可设为y －y 0＝k (x －x 0)． (4)与x 轴交于点(x 0,0)的直线方程可设为x ＝my ＋x 0．(5)若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1与l 2相交于点P ，则过点P 的直线方程设为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括l 2)．(6)斜率为k 的直线方程设为y ＝kx ＋b ．典例5 已知直线l 1：x －2y ＋3＝0，l 2：2x ＋3y －8＝0.求经过l 1，l 2的交点且与已知直线3x ＋4y －2＝0平行的直线l 的方程.[思路分析] 可先求l 1与l 2的交点，再求过交点与已知直线平行的直线，也可以先写出所求直线的直线系方程，再利用平行条件确定参数的值．[解析] 解法一：解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝02x ＋3y －8＝0，得x ＝1，y ＝2，∴l 1与l 2的交点为(1,2)∵直线l 过点(1,2)且与直线3x ＋4y －2＝0平行 ∴设方程为3x ＋4y ＋c ＝0，把(1,2)代入得：c ＝－11 ∴所求方程为：3x ＋4y －11＝0．解法二：∵l 过l 1与l 2的交点，∴设l 的方程为x －2y ＋3＋λ(2x ＋3y －8)＝0 即(2λ＋1)x ＋(3λ－2)y ＋(3－8λ)＝0 ∵l 与直线3x ＋4y －2＝0平行 ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＋13λ－2＝－348λ－33λ－2≠12，∴λ＝10∴l 的方程为x －2y ＋3＋10(2x ＋3y －8)＝0，即3x ＋4y －11＝0． 〔跟踪练习5〕求过两直线3x ＋4y －2＝0与2x ＋y ＋2＝0的交点且垂直于直线6x －7y －3＝0的直线方程．[解析] 解法一：设过两直线交点的直线方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0． 整理为一般式，得(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y －2＋2λ＝0，其斜率为－3＋2λ4＋λ.而直线6x －7y －3＝0的斜率为67，由垂直条件可得67×(－3＋2λ4＋λ)＝－1，解得λ＝2．故所求直线方程为(3＋2×2)x ＋(4＋2)y －2＋2×2＝0，即7x ＋6y ＋2＝0．解法二：将两直线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(－2,2)．由于所求直线与直线6x －7y －3＝0垂直，故设所求直线的方程为7x ＋6y ＋m ＝0.而此直线过点(－2,2)，所以7×(－2)＋6×2＋m ＝0，所以m ＝2．故所求的直线方程为7x ＋6y ＋2＝0．1．直线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：2x ＋y ＋2＝0相交，则交点是( B ) A ．(2，－2) B ．(－2,2) C ．(－2,1)D ．(－1,2)[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝02x ＋y ＋2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．2．已知点A (2k ，－1)、B (k,1)，且|AB |＝13，则实数k 等于( A ) A ．±3B ．3C ．－3D ．0[解析] 由题意得(2k －k )2＋(－1－1)2＝13 解得k ＝±3．3．△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－4，－4)、B (2,2)、C (4，－2)，则三角形AB 边上的中线长为( A )A ．26B ．65C ．29D ．13[解析] AB 的中点D 的坐标为D (－1，－1)． ∴|CD |＝(－1－4)2＋(－1－(－2))2＝26 故选A ．4．不论λ取何值，直线(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0过定点__(－1，－2)__.[解析] 把直线方程整理为2x ＋y ＋4＋λ(x －2y －3)＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2，所以，不论λ取何值，直线(2＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋4－3λ＝0过定点(－1，－2)．A 级 基础巩固一、选择题1．点M (1,2)关于y 轴的对称点N 到原点的距离为( C ) A ．2 B ．1 C ．5D ．5[解析] N (－1,2)，|ON |＝(－1)2＋22＝ 5.故选C ． 2．已知A (2,1)、B (－1，b )，|AB |＝5，则b 等于( C ) A ．－3 B ．5 C ．－3或5D ．－1或－3[解析] 由两点间的距离公式知|AB |＝(－1－2)2＋(b －1)2＝b 2－2b ＋10 由5＝b 2－2b ＋10 解得b ＝－3或b ＝5．3．经过两点A (－2,5)、B (1，－4)的直线l 与x 轴的交点的坐标是( A ) A ．(－13，0)B ．(－3,0)C ．(13，0)D ．(3,0)[解析] 过点A (－2,5)和B (1，－4)的直线方程为3x ＋y ＋1＝0，故它与x 轴的交点的坐标为(－13，0)．4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( B ) A ．－2 B ．－12C ．2D ．12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝12x ＋3y ＋8＝0，得交点(－1，－2)代入x ＋ky ＝0得k ＝－12，故选B ．5．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标为( A )A ．(－3,1)或(7,1)B ．(2，－2)或(2,7)C ．(－3,1)或(5,1)D ．(2，－3)或(2,5)[解析] ∵AB ∥x 轴，∴设B (a,1)，又|AB |＝5，∴a ＝－3或7．6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( C ) A ．5 B ．4 2 C ．2 5D ．210[解析] 设A (x,0)、B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝(0－4)2＋(－2－0)2＝20＝25．二、填空题7．已知A (1，－1)、B (a,3)、C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝__12__.[解析](a －1)2＋(3＋1)2＝(4－a )2＋(5－3)2解得a ＝12．8．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线(a ＋2)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0不相交，则实数a ＝__－2或－23__.[解析] 由题意，得(a ＋2)(2a ＋3)－(1－a )(a ＋2)＝0，解得a ＝－2或－23．9．(2016～2017·哈尔滨高一检测)求平行于直线2x －y ＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程.[解析] 设所求的直线方程为2x －y ＋c ＝0，令y ＝0，x ＝－c 2，令x ＝0，y ＝c ，所以12⎪⎪⎪⎪c ·⎝⎛⎭⎫－c 2＝9，解得c ＝±6，故所求直线方程为2x －y ±6＝0． 解法2：设所求直线方程为x a ＋yb ＝1．变形得bx ＋ay －ab ＝0．由条件知⎩⎨⎧b 2＝a－1①12|ab |＝9②由①得b ＝－2a 代入②得a 2＝9∴a ＝±3．当a ＝3时，b ＝－6，当a ＝－3时，b ＝6 ∴所求直线方程为2x －y ±6＝0． 三、解答题10．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求实数m 的取值范围.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3m ＝02x －y ＋2m －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝m ＋13y ＝8m －13．∴交点M 的坐标为(m ＋13，8m －13)．∵交点M 在第四象限∴⎩⎨⎧m ＋13>08m －13<0，解得－1<m <18．∴m 的取值范围是(－1，18)．B 级 素养提升一、选择题1．已知点A (2,3)和B (－4,1)，则线段AB 的长及中点坐标分别是( C ) A ．210，(1,2) B ．210，(－1，－2) C ．210，(－1,2)D ．210，(1，－2)[解析] |AB |＝(－4－2)2＋(1－3)2＝210，中点坐标为(2－42，3＋12)，即(－1,2)，故选C ．2．已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于10，则实数m 的范围是( B )A ．－45＜m ＜2B ．m ＜－45或m ＞2C ．m ＜－2或m ＞45D ．－2＜m ＜45[解析] 根据两点间的距离公式|PQ |＝(m －1)2＋(1－2m )2＝5m 2－6m ＋2＞10，∴5m 2－6m －8＞0，∴m ＜－45或m＞2．3．(2016～2017·宿州高一检测)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( B )[解析] l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a由图A 中l 1知，－b >0，与l 2中－b <0矛盾，排除A ；同理排除D ．在图C 中，由l 1知－b <0，与l 2中，－b >0矛盾，排除C ．选B ．4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( B )A ．24B ．20C ．0D ．－4[解析] ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1 ∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2 将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12 ∴m －n ＋p ＝20． 二、填空题5．已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是__－32<a <2__.[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝2a ＋12x ＋3y ＝a，得⎩⎨⎧x ＝2a ＋37y ＝a －27.交点在第四象限，所以⎩⎨⎧2a ＋37>0a －27<0，解得－32<a <2．6．已知点A (5,2a －1)、B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是__12__.[解析] 由题意得|AB |＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2(a －12)2＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．C 级 能力拔高1．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程.[解析] 解法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0－2x 0＋(2－y 0)－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4y 0＝2∴k AP ＝1－20＋4＝－14故所求直线l 的方程为：y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0．解法二：设所求直线l 方程为： y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于M 、N ．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1x －3y ＋10＝0，得N (73k －1，10k －13k －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12x ＋y －8＝0，得M (7k ＋2，8k ＋2k ＋2)．∵M 、N 的中点为P (0,1)则有： 12(73k －1＋7k ＋2)＝0，解得∴k ＝－14． 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0．2．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长.[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m 所以C (5,0)、D (5,3)、A (0,3)． 设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM 所以k AC ·k DM ＝－1 即3－00－5·3－05－x＝－1． 所以x ＝3.2，即|BM |＝3.2即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直． 故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得|DM |＝(5－3.2)2＋(3－0)2＝3345．。
第八章__第三节_直线的交点坐标与距离公式
可得到点P 关于l对称的点 的坐标(x 对称的点P 其中B≠0， 可得到点 1关于 对称的点 2的坐标 2，y2)(其中 其中 ， x1≠x2)． ．
(2)直线关于直线的对称 直线关于直线的对称 此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决， 此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，若已知 直线l 与对称轴l相交 则交点必在与l 对称的直线l 相交， 直线 1与对称轴 相交，则交点必在与 1对称的直线 2上， 然后再求出l 上任一个已知点P 关于对称轴l对称的点 对称的点P 然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2， 那么经过交点及点P 的直线就是l 若已知直线l 那么经过交点及点 2的直线就是 2；若已知直线 1与对称 平行， 的距离相等， 轴l平行，则与 1对称的直线和 1到直线 的距离相等，由 平行 则与l 对称的直线和l 到直线l的距离相等 平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出 平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1的对称 直线． 直线．
1．已知点(a,2)(a＞0)到直线 ：x－y＋3＝0的距离为 ，则a ．已知点 到直线l： － ＋ ＝ 的距离为 的距离为1， ＞ 到直线 等于 A. C. －1 B．2－ ． － D. ＋1 ( )
解析：由 解析： 答案： 答案：C
＝1且a＞0∴a＝－ 且 ＞ ∴ ＝－1. ＝－
2．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同 ．若三条直线 ＝ ， ＋ ＝ ， ＋ ＋ ＝ 相交于同 一点，则点 ， 可能是 一点，则点(m，n)可能是 A．(1，－ ． ，－ ，－3) C．(－ C．(－3,1) 解析： 解析：由得 可能是(1，－ ∴m＋2n＋5＝0，∴点(m，n)可能是 ，－ ． ＋ ＋ ＝ ， ， 可能是 ，－3)． 答案：A 答案： B．(3，－ ． ，－ ，－1) D．(－ D．(－1,3) ( )
《直线的交点坐标与距离公式》课件
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.
2--7 = 0,
= 3,
解:(1)方程组
的解为
(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
---1 = 0,
解方程组
得直线所过定点.
+ 2 = 0,
解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
∵点P(1,0)在直线上, ∴1-2+λ(3+2)=0.
1
∴λ=5.
1
∴所求方程为 x+2y-2+5(3x-2y+2)=0,
1
所以 3 ＝
≠ 4 ，解得 λ＝5，
－2
6 4 18
所以直线 l 的方程为5x－5y＋ 5 ＝0，即 3x－2y＋9＝0.
归纳总结
求过两直线交点的直线方程的方法
1解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线
交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直
线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解.
线和反射光线所在直线的方程.
思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射
光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程
解:设点 A(2,3)关于直线 l 的对称点为 A'(x0,y0),
两条直线的交点坐标与距离公式
两条直线的交点坐标与距离公式一、平面直线的交点坐标计算方法在平面几何中，两条直线的交点即为它们的方程组的解。
假设有两条直线，直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0。
其中a1、b1、c1、a2、b2和c2都是已知的常数。
要求两条直线的交点坐标，可以使用消元法和代入法进行计算。
1.消元法消元法是通过将一个方程乘以适当的系数，使得方程的其中一项系数与另一个方程的对应系数相等，以消去一个未知数。
然后将消去后的方程代入到另一个方程中解得另一个未知数，从而求得交点坐标。
首先选择一个方程，例如直线1的方程a1x+b1y+c1=0作为基准，通过乘以a2和b1使得两个方程的x系数相等，即a1*a2*x+b1*a2*y+c1*a2=a2*a1*x+b2*a1*y+c2*a1，然后再乘以b2和b1使得两个方程的y系数相等，即a1*a2*x*b2+b1*a2*y*b2+c1*a2*b2=a2*a1*x*b2+b2*a1*y*b2+c2*a1*b2、通过将两个方程相减消去x的系数，即得到一个只含有y的方程，然后通过解这个方程来求得y的值。
将求得的y的值代入到任意一个方程中，即可求得x的值。
进而得到交点坐标。
2.代入法代入法是通过将一个方程的未知数表示为另一个方程的函数，再将其代入到另一个方程中，求得另一个方程的解。
从而求得未知数的值。
假设直线1的方程为a1x+b1y+c1=0，直线2的方程为a2x+b2y+c2=0，选择其中一个方程（例如直线1的方程）中未知数x表示为y的函数，即x=(c1-b1y)/a1、将这个式子代入到另一个方程（例如直线2的方程）中，得到一个只含有y的方程。
然后解这个方程可以得到y的值。
将求得的y的值代入到x=(c1-b1y)/a1中，即可求得x的值。
从而得到交点坐标。
以上就是求解两条直线交点坐标的两种方法。
二、两条直线之间的距离公式两条直线之间的距离可以使用点到直线的距离公式进行计算。
3.3直线的交点坐标与距离公式
特别地，点P（x，y）到原点（0，0）的距离为
| OP | x2 y 2
例1 已知点
A(1,2) 和 B(2, 7 ) , 在x轴上
求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.
例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和.
证明：以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系.
则四个顶点坐标为A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c)
y
D (b,c) C (a+b,c) x
建立坐标系， 用坐标表示有 关的量。
A(0,0)
B(a,0)
例2题解
| AB |2 a 2 | AD | b c
2 2
2
| CD | a
2
2
y
D (b,c)
C (a+b,c)
2
| BC |2 b2 c2
2
| AC |2 (a b)2 c2 | BD | (b a) c
2
A (0,0)
B (a,0) x
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 2(a2 b2 c2 )
| AC |2 | BD |2 2(a2 b2 c2 )
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 | AC |2 | BD |2
练习1： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离.
解： 在l2上任取一点，如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
两平行线间的 距离处处相等
d
23 70 8 2 2 ( 7 ) 2
14 14 53 53 53
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互动探究
例3条件不变，求直线l关 于点A(－1，－2)对称的直线 l′的方程．
考点四 直线中的最值问题
例4.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得: (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.
【分析】设B关于l的对称点为B′,AB′与l的交点P满 足（1）;C关于l的对称点为C′,AC′与l 的交点Q满足(2).事 实上,对于(1),若P′是l上异于P的点,则
由 l1⊥MN 知，k1＝－kM1N＝－35， ∴l1 的方程为 y＋2＝－35(x＋2)，即 3x＋5y＋16＝0. l2 的方程为 y－3＝－35(x－1)，即 3x＋5y－18＝0.
练习 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0a 0，直线l2：－4x＋
2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是
∴3－＝2k＝＋－b22.k＋b1， ②
①
由①－②得 b1－b2＝3k－5，
由 d＝|b11－＋bk22|＝|31k＋－k52|两边平方，
整理，得(d2－9)k2＋30k＋d2－25＝0.
③
由 k∈R，得 Δ＝302－4(d2－9)(d2－25)≥0.
又 d>0，故解得 0<d≤ 34.
(2)直线关于点的对称，其主要方法是： 在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求 出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两 点式求出直线方程，或者求出一个对称点， 再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程．
AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00 的解．
2．距离公式
类型
条件
两点间的 距离
两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)
公式 |P1P2|＝
(x2－x1)2＋(y2－y1)2
点到直线 点P0(x0，y0)，直线l： 的距离 Ax＋By＋C＝0
d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|
例3 已知直线l：2x－3y＋1＝0， 点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的
对称直线m′的方程．
【思维总结】 (1)点关于线对称， 不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上” 的问题；
(2)线关于线对称，不能转化为点关 于线的对称问题；线关于点的对称，不 能转化为点关于点的对称问题．
75 10
1 求a的值；
2 能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：
①P是第一象限的点；
②P点到l1的距离是P点到l2的距离的
1 2
；
③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是 2∶5； 若能，求P点坐标；若不能，说明理由．
【解析】1由l2：2x－y－12 ＝0，所以l1与l2的距离
当 l1、l2 平行于 y 轴时，d＝3< 34. ∴当 d＝ 34时，③化为 25k2＋30k＋9＝0，
解得 k＝－35，代入①②得 b1＝－156，b2＝158.
∴l1 x＋5y＋16＝0，l2 x＋5y－18＝0.
解法 2 由几何知识可知，当 l1⊥MN 时，l1 与 l2 的距 离最大，最大值为|MN|＝ 34.
解法 2：因为平行线间的距离 d＝|6－21|＝522， 如图，直线 l 被两平行线截得的线段为 5， 设直线 l 与两平行线的夹角为 θ， 则 sinθ＝ 22，∴θ＝45°. 因为两平行线的斜率是－1， 故所求直线的斜率不存在或零． 又因为直线 l 过点 P(3,1)， 所以直线 l 的方程为 x＝3 或 y＝1.
基础知识梳理
1．直线的交点坐标
(1)点、线关系及代数表示
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线 l
l：Ax＋By＋C＝0
点 A 在直线 l 上
Aa＋Bb＋C＝0
直线 l1 与 l2 的交点是 A
方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00，， 解得xy＝＝ba
2)两直线交点的求法 两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋ B2y＋C2＝0， 则l1与l2的交点坐标就是方程组
| ，即c＝13
或c＝11
5
5
2
6
所以2x0－y0＋123 ＝0或2x0－y0＋161＝0.
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有：
| 2x0 y0 3 |＝ 2 | x0 y0 1|
5
5
2
即| 2x0－y0＋3 |＝| x0＋y0－1| ，所以x0－2y0＋4＝0，
或3x0＋2＝0，由P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能，
77
则P点坐标为(11 , 26 ) .
77
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【评析】 (1)在直线l上求一点P,使P到两定点的距离 之和最小.
①当两定点A,B在直线l异侧时,由两点之间线段最短 及三角形中任意两边之和都大于第三边可知,点P为AB连 线与l的交点;点P到两定点距离之和的最小值为|AB|的长 度,如图.
|P′A|+|P′B|≥|AB|=|PA|+|PB|. 当且仅当A,B,P三点共线时等式成立.
由方程组：2x0－y0＋123
0
x0
3 1 (舍去)，
x0－2y0＋4＝0
y0 2
由2x0－y0＋121 x0－2y0＋4＝0
0
得
x0 y0
1 9 37 18
，所以P(
1 9
，37 18
)，
即为同时满足三个条件的点．
考点三
[分析] 如右图，由点斜式得l方程，分别 与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标 (用k表示)，再利用|AB|＝5可求出k的值， 从而求得l的方程．
• [解析] 解法1：若直线l的斜率不存在， 则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交 点分别为A′(3，－4)、B′(3，－9)，截得 的线段A′B′的长|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符 合题意.
为(a,b),则kBB′ ·kl=-1,即3· a
又由于线段BB′的中点坐标为(
=-1.∴a+3b-12=0 ①
α
,
b - 4),且在直线l上,
2a
∴3× α - b - 4 -1=0.即3a-b-6=0 ②
解①②得2 a=3,ba=3,∴B′(3,3).
于是AB′的方程为 y - 1 x - 4,
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练习 已知点A(3,1)，在直线x－y＝0和 y＝0上分别有点M和N使△AMN的周 长最短，求点M、N的坐标．
规律方法总结
1．中心对称 (1)若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a ， b)对 称 ， 则 由 中 点 坐 标 公 式 得 xy＝＝22ba－－yx11 .
考点二
距离问题
1．点到直线的距离公式和两平行线间的距离公 式是常用的公式，应熟练掌握．
2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|. (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|.
(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝ |y0－a|.
(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝ |x0－b|.
两平行线 间的距离
直线l1：Ax＋By＋ C1＝0，l2：Ax＋By
d＝
|C1－C2| A2＋B2
＋C2＝0
(转化为点到直线的距离)
考点一 求两条直线的交点
例1
△ABC的两条高所在直线的方程 为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的 方程．
跟踪练习1
• 已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直 线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得 的线段之长为5，求直线l的方程．
提醒：点到直线的距离公式当A＝0或B＝0时， 公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来 求距离．
例2 已知点P(2，－1)． (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的
方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的 直线？若存在，求出方程；若不存在，请 说明理由．
对称问题
点的对称是对称问题的本质，也是对称的 基础．只要搞清了点关于点、直线的对称规律， 则曲线关于点、直线的对称规律便不难得 出．解决此类问题，首先应明确对称图形是什 么，其次，确定对称图形与对称轴的关系．常 用到两点：(1)两对称点的中点在对称轴上(利 用中点坐标公式)；(2)两对称点的连线与对称 轴垂直(若二者存在斜率，则斜率之积为－1)．
当||P′B|-|P′A||≤|AB|=|PB|-|PA|,
当P′与P两点重合时,等号成立,最大的值为 |AB|.重合时,等号成立,最大值为|A′B|.
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②当两定点A,B在直线l的异侧时,作点A关于直线l的 对称点A′,连结A′B,交l于点P,如图可知,
||PB|-|PA′||=|A′B|时,达到最大. 在l上任取一点P′,则 ∵||P′B|-|P′A′||≤|A′B|, ∴当P′点与P点重合时, 等号成立,最大值为|A′B|.
| a 1 |
d＝
2
7
5
22 12 10
化 得：| a＋1 | ＝7 ，因 a 0，所以a＝3. 22
2 P(x0，y0 )，若P 足 件 ，P 在与l1，l2
平行的直 系Biblioteka ：2x－y＋c＝0(c 3，且c －1 )上， 2
且2
.| c
3
| ＝|
c
1 2
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②当两定点A,B在直线l的同侧时,作点A关于直线l的对 称点为A′.连结A′B交直线l于点P,则点P到两定点A,B的距离 之和最小.