金版教程2017高考数学文二轮复习第二编专题整合突破专题二函数及导数第四讲导数综合应用2-2-4

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金版教程高考数学文二轮复习讲义：第二编专题整合突破专题二函数与导数第二讲函数与方程及函数的应用含解析

第二讲函数与方程及函数的应用必记公式]几种常见的函数模型(1)一次函数模型：y ＝ax ＋b (a ≠0)． (2)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (3)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (b >0且b ≠1)． (4)对数函数模型：y ＝b log a x ＋c (a >0且a ≠1，x >0)．(5)分段函数模型：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )(x ∈D 1)，h (x )(x ∈D 2)(D 1∩D 2＝∅)．重要性质]1．函数的零点及函数的零点与方程根的关系对于函数f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点，函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．2．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.这个c 也就是方程f (x )＝0的一个根．失分警示]1．函数的零点不是点的坐标，而是函数值等于零的点的横坐标． 2．函数零点存在性定理要求函数图象是连续不断的．并且有f (a )·f (b )<0这两个条件同时成立．3．满足零点存在性定理的条件时得出函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，但零点个数不确定；反之函数在a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0.4．求实际问题中的函数解析式时易忽略定义域．考点函数的零点典例示法题型1判断函数零点的存在区间典例12014·北京高考]已知函数f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)解析]∵f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝64－log24＝32－2<0，∴包含f(x)零点的区间是(2,4)，故选C. 答案] C题型2函数零点的个数问题典例22015·湖北高考]函数f(x)＝4cos2x2·cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－x－2sin x－|ln (x＋1)|的零点个数为________．解析]f(x)＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln (x＋1)|＝sin2x－|ln (x＋1)|，x>－1，函数f(x)的零点个数即为函数y＝sin2x与y＝|ln (x＋1)|(x>－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．答案] 2题型3 利用零点个数或存在区间求参数的取值范围典例3 2015·湖南高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．解析] 令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案] (－∞，0)∪(1，＋∞)1．判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数． (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．利用函数零点求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．考点函数与方程的综合应用典例示法典例4 (1)2015·江苏高考]已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤1，|x 2－4|－2，x >1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实数根的个数为________．解析]f (x )＋g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1<x <2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1<x <2时，f ′(x )＋g ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x<0故当1<x <2时，f (x )＋g (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|f (x )＋g (x )|及y ＝1的图象，如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4. 答案] 4(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤0，f (x －1)，x >0，则方程f (x )＝log 12(x ＋1)的根的个数为________．解析] 先求x >0时，f (x )的解析式．当0<x ≤1时，x －1≤0，则f (x )＝f (x －1)＝2x －1－1.当1<x ≤2时，x －2≤0，则f (x )＝f (x －1)＝f (x －2)＝2x －2－1， …，由此得，n －1<x ≤n 时，f (x )＝2x －n －1(n ∈N *)，由此得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤0，2x －n －1，n －1<x ≤n (n ∈N *)，方程f (x )＝log 12(x ＋1)的根的个数，即是函数y ＝f (x )与y ＝log 12(x ＋1)的图象的交点个数，画图象如图所示：由图象得知，f (x )＝log 12(x ＋1)的根有两个．答案] 2应用函数思想确定方程解的个数的两种方法(1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解．(2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解．针对训练1．2014·山东高考]已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2，＋∞)答案 B解析画出f (x )＝|x －2|＋1的图象如图所示.由数形结合知识，可知若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则函数g (x )与f (x )的图象应有两个不同的交点．所以函数g (x )＝kx 的图象应介于直线y ＝12x 和y ＝x 之间，所以k的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 2．2016·沈阳质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(x ≥2)，2(1≤x <2)，若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1 解析如图，当直线y ＝ax ＋1过点B (2,2)时，a ＝12，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1与f (x )＝2x －1(x ≥2)的图象相切时，a ＝－1＋52，满足方程有两个解；当直线y ＝ax ＋1过点A (1,2)时，a ＝1，满足方程恰有一个解．故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－1＋52，1.考点函数的实际应用典例示法典例5 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20<x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)解] (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20<x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎨⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20<x ≤200.(2)依题意及(1)可得f (x )＝⎩⎨⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，f (x )取得最大值，其最大值为60×20＝1200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(200－x )22＝100003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间0,200]上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.(2)应用函数模型解决实际问题的一般程序(3)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.针对训练2015·山东实验中学月考]候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．全国卷高考真题调研]1．2014·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)答案 C解析当a ＝0时，显然f (x )有2个零点，不符合题意；当a >0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，易知函数f (x )在(－∞，0)上单调递增．又f (0)＝1，当x →－∞时，f (x )＝x 2(ax －3)＋1→－∞，故不适合题意；当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0就满足题意．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，得8a 2－12a 2＋1>0，解得a <－2或a >2(舍去)，故a <－2.其它省市高考题借鉴]2．2016·天津高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 答案 C解析当x <0时，f (x )单调递减，必须满足－4a －32≥0，故0<a ≤34，此时函数f (x )在0，＋∞)上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，还需3a ≥1，即a ≥13，所以13≤a ≤34.结合函数图象，当x ≥0时，函数y ＝|f (x )|的图象和直线y ＝2－x 有且只有一个公共点，即当x ≥0时，方程|f (x )|＝2－x 只有一个实数解．因此，只需当x <0时，方程|f (x )|＝2－x 恰有一个实数解．根据已知条件可得，当x <0时，f (x )>0，即只需方程f (x )＝2－x 恰有一个实数解，即x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x ，即x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0在(－∞，0)上恰有唯一的实数解．判别式Δ＝4(2a －1)2－4(3a －2)＝4(4a 2－7a ＋3)＝4(a －1)(4a －3)，因为13≤a ≤34，所以Δ≥0.当3a －2<0，即a <23时，方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0有一个正实根、一个负实根，满足要求；当3a －2＝0，即a ＝23时，方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0的一个根为0，一个根为－23，满足要求；当3a －2>0，即23<a <34时，因为－(2a －1)<0，此时方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0有两个负实根，不满足要求；当a ＝34时，方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0有两个相等的负实根，满足要求．综上可知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.3．2015·天津高考]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 答案 D解析函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2. 4．2015·四川高考]某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e22k ＋b ＝48，即⎩⎨⎧e b＝192，e 11k ＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b＝(e11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．一、选择题1．2016·山东莱芜模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12 D ．0答案 D解析当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.2．2016·北京昌平三模]已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析函数f (x )的导数为f ′(x )＝1x ，所以g (x )＝f (x )－f ′(x )＝ln x －1x .因为g (1)＝ln 1－1＝－1<0，g (2)＝ln 2－12>0，所以函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间为(1,2)，故选B.3．2016·郑州质检]已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可以看到其在0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在0,2π]上的零点个数为3，故选C.4．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个答案 A解析在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝|lg x|的图象，如图．又lg 10＝1，由图象知选A.5．2015·北京高考]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误．对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误．对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．6．2016·郑州质量预测(一)]设函数f(x)＝e x＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则()A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0答案 A解析依题意，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0<a<1.g(1)＝－3<0，g(2)＝ln 2＋3>0，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1<b<2，于是有f(b)>f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)<g(1)<0，g(a)<0<f(b)，选A.7．2016·湖北宜昌模拟]某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10：00 B．中午12：00C．下午4：00 D．下午6：00答案 C解析当x∈0,4]时，设y＝k1x，把(4,320)代入，得k1＝80，∴y＝80x.当x∈4,20]时，设y＝k2x＋b.把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400，∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ， 0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240.解得3≤x ≤4或4<x ≤8，∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00，故选C. 二、填空题8．2016·云南昆明模拟]已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n ＝________.答案－1解析 a ＝log 23>1,0<b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x ＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x 和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示，由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点，所以n ＝－1.9．2016·河北唐山模拟]已知f (x )＝⎩⎨⎧12＋x 2＋2x ，x <0，f (x －1)，x ≥0，且函数y＝f (x )＋ax 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析当x <0时，f (x )＝(x ＋1)2－12，把函数f (x )在－1,0)上的图象向右平移一个单位，即得函数y ＝f (x )在0,1)上的图象，继续右移可得函数f (x )在0，＋∞)上的图象．如果函数y ＝f (x )＋ax 恰有3个不同的零点，即函数y ＝f (x )，y ＝－ax 的图象有三个不同的公共点，实数a 应满足－a <－12，即a >12或14<－a <12，即－12<a <－14.10．2015·四川高考]已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．答案 ①④解析因为f (x )＝2x 在R 上是单调递增的，所以对于不相等的实数x 1，x 2，m ＝2x 1－2x 2x 1－x 2>0恒成立，①正确；因为g (x )＝x 2＋ax ，所以n ＝x 21＋ax 1－(x 22＋ax 2)x 1－x 2＝x 1＋x 2＋a ，正负不定，②错误；由m ＝n ，整理得f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)．令函数p (x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 2－ax ，则p ′(x )＝2x ln 2－2x －a ，令t (x )＝p ′(x )，则t ′(x )＝2x (ln 2)2－2，又t ′(1)＝2(ln 2)2－2<0，t ′(3)＝8(ln 2)2－2>0，从而存在x 0∈(1,3)，使得t ′(x 0)＝2x 0(ln 2)2－2＝0，于是p ′(x )有极小值p ′(x 0)＝2x 0ln 2－2x 0－a ＝2ln 2－2log 22(ln 2)2－a ，所以存在a ＝－2log 22(ln 2)2，使得p ′(x 0)＝2ln 2>0，此时p (x )在R 上单调递增，故不存在不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不满足题意，③错误；由m ＝－n ，得f ′(x )＝－g ′(x )，即－a ＝2x ln 2＋2x .设h (x )＝2x ln 2＋2x ，则h ′(x )＝2x (ln 2)2＋2>0，所以h (x )在R 上是单调递增的，且当x →＋∞时，h (x )→＋∞；当x →－∞时，h (x )→－∞，所以对于任意的a ，y ＝－a 与y ＝h (x )的图象一定有交点，④正确．三、解答题11．2016·湖南浏阳一中段考]已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.∵a >0，f (x )＝a (x －1)2－4]≥－4，又f (1)＝－4a ，∴f (x )min ＝－4a ＝－4，∴a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)，g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2. ∴x ，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：g (x )在(3，＋∞)上单调递增， g (3)＝－4ln 3<0，取x ＝e 5>3， g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g (x )只有1个零点，且零点x 0∈(3，e 5)．12．2016·山东菏泽期中]已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 2(0<x ≤10)，108x －10003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－10003x －2.7x .∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－10(0<x ≤10)，98－10003x －2.7x (x >10).(2)①当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，可知当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10]时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取极大值，即最大值，且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6. ②当x >10时，W ＝98－⎝ ⎛⎭⎪⎫10003x ＋2.7x ≤98－210003x ·2.7x ＝38，当且仅当10003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38(当1000x 取整数时，W 一定小于38)．综合①②知，当x ＝9时，W 取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．。

金版教程高考数学文二轮复习讲义：第二编专题整合突破专题二函数与导数第三讲导数的简单应用含解析

第三讲导数的简单应用必记公式]1．基本初等函数的八个导数公式(1)f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．重要概念]1．切线的斜率函数f (x )在x 0处的导数是曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，因此曲线f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0(f ′(x )<0)，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增(单调递减)．3．函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x，都有f(x)<f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点都有f(x)>f(x0)，那么f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．4．函数的最值将函数y＝f(x)在a，b]内的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．失分警示]1．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立．2．混淆在点P处的切线和过点P的切线：前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先设出切点坐标．3．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域．考点导数的几何意义典例示法典例1(1)2016·山东高考]若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x3解析]设函数y＝f(x)图象上两点的横坐标为x1，x2.由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1(x1≠x2)即可．y＝f(x)＝sin x的导函数为f′(x)＝cos x，f′(0)·f′(π)＝－1，故A满足；y＝f(x)＝ln x的导函数为f′(x)＝1x，f′(x1)·f′(x2)＝1x1x2>0，故B不满足；y＝f(x)＝e x的导函数为f′(x)＝e x，f′(x1)·f′(x2)＝e x1＋x2>0，故C不满足；y＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，f′(x1)·f′(x2)＝9x21x22≥0，故D不满足．故选A.答案] A(2)2015·陕西高考]设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析] y ′＝e x ，则y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率k 切＝1，又曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线与y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，所以y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为－1，设P (a ，b )，则曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线的斜率为y ′|x ＝a ＝－a －2＝－1，可得a ＝1，又P (a ，b )在y ＝1x 上，所以b ＝1，故P (1,1)．答案] (1,1)1．求曲线y ＝f (x )的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P (x 0，y 0)，求y ＝f (x )过点P 的切线方程：求出切线的斜率f ′(x 0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f (x )的切线方程：设切点P (x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y ＝f (x )的切线方程：设切点P (x 0，y 0)，利用导数求得切线斜率f ′(x 0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x 0，再由点斜式或两点式写出方程．2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数已知过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．提醒：求曲线的切线方程时，务必分清在点P 处的切线还是过点P 的切线，前者点P 为切点，后者点P 不一定为切点，求解时应先求出切点坐标．针对训练1．2016·重庆巴蜀中学模拟]已知曲线y ＝2xx －1在点P (2,4)处的切线与直线l 平行且距离为25，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．2x ＋y ＋2＝0或2x ＋y －18＝0C ．2x －y －18＝0D ．2x －y ＋2＝0或2x －y －18＝0 答案 B解析 y ′＝2(x －1)－2x (x －1)2＝－2(x －1)2，y ′|x ＝2＝－2(2－1)2＝－2，因此k 1＝－2，设直线l 方程为y ＝－2x ＋b ，即2x ＋y －b ＝0，由题意得|2×2＋4－b |5＝25，解得b ＝18或b ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －18＝0或2x ＋y ＋2＝0.故选B.2．2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案－3解析 ∵y ＝ax 2＋b x ，∴y ′＝2ax －b x 2，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴a ＋b ＝－3.考点利用导数研究函数的单调性典例示法题型1 利用导数研究函数的单调性(单调区间)典例2 2015·重庆高考]已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，讨论g (x )的单调性．解] (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12. (2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数；当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数．综上知g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．题型2 根据函数的单调性求参数的范围典例3 2016·西安质检]已知函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x . (1)若在函数f (x )的定义域内存在区间D ，使得该函数在区间D 上为减函数，求实数m 的取值范围；(2)当0<m ≤12时，若曲线C ：y ＝f (x )在点x ＝1处的切线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求m 的值或取值范围．解] (1)f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x，即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0，故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故0<m <18.综上所述，m <18，故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，18. (2)∵f (1)＝m －1，f ′(1)＝2m ，故切线方程为y －m ＋1＝2m (x －1)，即y ＝2mx －m －1.从而方程mx 2－x ＋ln x ＝2mx －m －1在(0，＋∞)上有且只有一解．设g (x )＝mx 2－x ＋ln x －(2mx －m －1)，则g (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点．又g (1)＝0，故函数g (x )有零点x ＝1.则g ′(x )＝2mx －1＋1x －2m ＝2mx 2－(2m ＋1)x ＋1x ＝ (2mx －1)(x －1)x. 当m ＝12时，g ′(x )≥0，又g (x )不是常数函数，故g (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴函数g (x )有且只有一个零点x ＝1，满足题意．当0<m <12时，由g ′(x )＝0，得x ＝12m 或x ＝1. 且12m >1，由g ′(x )>0，得0<x <1或x >12m ；由g ′(x )<0，得1<x <12m .故当x 在(0，＋∞)上变化时，g ′(x )、g (x )的变化情况如下表：根据上表知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0.又g (x )＝mx ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝⎛⎭⎪⎫2＋1m ＋m ＋ln x ＋1. ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m >0，故在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上，函数g (x )又有一个零点，不符合题意．综上所述，m ＝12.1．导数与单调性之间的关系(1)导数大(小)于0的区间是函数的单调递增(减)区间． (2)函数f (x )在D 上单调递增⇔∀x ∈D ，f ′(x )≥0且f ′(x )在区间D 的任何子区间内都不恒为零；函数f (x )在D 上单调递减⇔∀x ∈D ，f ′(x )≤0且f ′(x )在区间D 的任何子区间内都不恒为零．2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路 (1)求f ′(x )．(2)将单调性转化为导数f ′(x )在该区间上满足的不等式恒成立问题求解．考点利用导数研究函数的极值与最值典例示法题型1 求函数的极值(最值)典例4 2016·合肥质检]已知函数f (x )＝e 1－x (2ax －a 2)(其中a ≠0)．(1)若函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)设函数f (x )的最大值为g (a )，当a >0时，求g (a )的最大值．解] (1)由f (x )＝e 1－x (2ax －a 2)，得f ′(x )＝(e1－x)′(2ax －a 2)＋2a e1－x＝e·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′·(2ax －a 2)＋2a e 1－x ＝－e 1－x (2ax －a 2)＋2a e 1－x ＝－e 1－x ·(2ax －a 2－2a )＝0，又a ≠0，故x ＝1＋a 2，当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋a 2上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2，＋∞上为减函数，∴1＋a2≤2，即a ≤2，∴0<a ≤2；当a <0时，不合题意，故a 的取值范围为(0,2]．(2)由(1)得，当a>0时，f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2＝2a·e － a2即g(a)＝2a e－a 2. 则g ′(a)＝(2－a)e －a 2＝0，得a ＝2，∴g(a)在(0,2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数，∴g(a)max ＝g(2)＝4e .题型2 知极值的个数求参数范围典例5 2016·沈阳质检]已知函数f (x )＝x ln x －a2x 2－x ＋a (a ∈R )在其定义域内有两个不同的极值点．(1)求a 的取值范围；(2)记两个极值点为x 1，x 2，且x 1<x 2.已知λ>0，若不等式e 1＋λ<x 1·x λ2恒成立，求λ的取值范围．解] (1)依题，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以方程f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不同的根，即方程ln x －ax ＝0在(0，＋∞)上有两个不同的根．解法一：可以转化为函数y ＝ln x 与函数y ＝ax 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，如图．可见，若令过原点且与函数y ＝ln x 图象相切的直线斜率为k ，只需0<a <k .令切点A (x 0，ln x 0)，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，又k ＝ln x 0x 0，所以1x 0＝ln x 0x 0，解得x 0＝e ，于是k ＝1e ，所以0<a <1e .解法二：可以转化为函数g (x )＝ln xx 与函数y ＝a 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点．又g ′(x )＝1－ln xx 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．从而g (x )极大值＝g (e)＝1e .又g (x )有且只有一个零点是1，且在x →0时，g (x )→－∞，在x →＋∞时，g (x )→0，所以g (x )的草图如图所示，可见，要想函数g (x )＝ln xx 与函数y ＝a 的图象在(0，＋∞)上有两个不同交点，只需0<a <1e .解法三：令g (x )＝ln x －ax ，从而可以转化为函数g (x )有两个不同的零点，而g ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，若a ≤0，可见g ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时g (x )不可能有两个不同零点．若a >0，当0<x <1a 时，g ′(x )>0，当x >1a 时，g ′(x )<0，所以g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，从而g (x )极大值＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1.又因为在x →0时，g (x )→－∞，在x →＋∞时，g (x )→－∞，于是只需：g (x )极大值>0，即ln 1a －1>0，所以0<a <1e . 综上所述，0<a <1e .(2)e 1＋λ<x 1·x λ2等价于1＋λ<ln x 1＋λln x 2.由(1)可知x 1，x 2分别是方程ln x －ax ＝0的两个根，即ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2，所以原式等价于1＋λ<ax 1＋λax 2＝a (x 1＋λx 2)，因为λ>0,0<x 1<x 2，所以原式等价于a >1＋λx 1＋λx 2.又由ln x 1＝ax 1，ln x 2＝ax 2作差得，ln x 1x 2＝a (x 1－x 2)，即a ＝ln x 1x2x 1－x 2.所以原式等价于ln x 1x2x 1－x 2>1＋λx 1＋λx 2，因为0<x 1<x 2且原不等式恒成立，所以ln x 1x 2<(1＋λ)(x 1－x 2)x 1＋λx 2恒成立．令t ＝x 1x 2，t ∈(0,1)，则不等式ln t <(1＋λ)(t －1)t ＋λ在t ∈(0,1)上恒成立．令h (t )＝ln t －(1＋λ)(t －1)t ＋λ，又h ′(t )＝1t －(1＋λ)2(t ＋λ)2＝(t －1)(t －λ2)t (t ＋λ)2，当λ2≥1时，可见t ∈(0,1)时，h ′(t )>0，所以h (t )在(0,1)上单调递增，又h (1)＝0，h (t )<0在(0,1)上恒成立，符合题意．当λ2<1时，可见t ∈(0，λ2)时，h ′(t )>0，t ∈(λ2,1)时，h ′(t )<0，所以h (t )在(0，λ2)上单调递增，在(λ2,1)上单调递减，又h (1)＝0，所以h (t )在(0,1)上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式e 1＋λ<x 1·x λ2恒成立，只需λ2≥1，又λ>0，所以λ≥1.利用导数研究函数极值与最值的步骤(1)利用导数求函数极值的一般思路和步骤 ①求定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，研究极值情况； ④确定f ′(x 0)＝0时x 0左右的符号，定极值．(2)若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来讨论求解．(3)求函数y ＝f (x )在a ，b ]上最大值与最小值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．提醒：(1)求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；(2)求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值； (3)对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论．全国卷高考真题调研]1．2015·全国卷Ⅱ]设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 A解析令F (x )＝f (x )x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数，由于F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以F (x )＝f (x )x在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F (x )＝f (x )x 在(－∞，0)上单调递增，又f (－1)＝0，f (1)＝0，数形结合可知，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.2．2016·全国卷Ⅲ]已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．答案 y ＝2x解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝e x －1＋x ，而f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝e x －1＋x (x >0)，点(1,2)在曲线y ＝f (x )上，易知f ′(1)＝2，故曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是y －2＝f ′(1)·(x －1)，即y ＝2x .其它省市高考题借鉴]3．2016·四川高考]已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．4D ．2答案 D解析由题意可得f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2，则f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：4．2016·北京高考]设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )·e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．一、选择题1．2016·郑州质检]函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0答案 C解析依题意，f (0)＝e 0cos0＝1，因为f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C.2．2016·山西忻州四校联考]设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为k ，则函数k ＝g (t )的部分图象为( )答案 B解析 f ′(x )＝(x sin x ＋cos x )′＝x cos x ，则k ＝g (t )＝t ·cos t ，易知函数g (t )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A 、C.当0<t <π2时，g (t )>0，所以排除D ，故选B.3．2016·广西质检]若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]D ．－2,4]答案 B解析 f ′(x )＝x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x ，因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，等价于x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5，c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.4．2016·沈阳质检]已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12 B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3答案 D解析由题令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0,1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎨⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2 <0，g (2)＝1－ln 2 2<0，g (3)＝2－ln 23>0，从而2<x 0<3，选D.5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c (x ∈R )，则下列结论错误的是( )A ．函数f (x )一定存在极大值和极小值B ．若函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是增函数，则x 2－x 1≥233 C ．函数f (x )的图象是中心对称图形D ．函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))(x 0∈R )处的切线与f (x )的图象必有两个不同的公共点答案 D解析对于选项A ，f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，方程3x 2＋2ax －1＝0的根的判别式Δ＝4a 2＋12>0恒成立，故f ′(x )＝0必有两个不等实根，不妨设为x 1，x 2，且x 1<x 2，令f ′(x )>0，得x <x 1或x >x 2，令f ′(x )<0，得x 1<x <x 2，所以函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 1时，函数f (x )取得极大值，当x ＝x 2时，函数f (x )取得极小值，故A 选项的结论正确；对于选项B ，令f ′(x )＝3x 2＋2ax －1＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2a 3，x 1x 2＝－13，易知x 1<x 2，所以x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 29＋43≥233，故B选项的结论正确；对于选项C ，易知两极值点的中点坐标为⎝⎛－a3，⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 23x ＋x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 23x －x 3＋f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＋f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，所以函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3成中心对称，故C 选项的结论正确；对于D 选项，令a ＝c ＝0得f (x )＝x 3－x ，f (x )在(0,0)处切线方程为y ＝－x ，且⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－xy ＝x 3－x 有唯一实数解，即f (x )在(0,0)处切线与f (x )图象有唯一公共点，所以D 不正确，选D.6．已知函数f (x )＝(a －2)x －ax 3在区间－1,1]上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A ．2,10]B ．－1,8]C ．－2,2]D ．0,9]答案 B解析 f ′(x )＝－3ax 2＋a －2.(1)当a ＝0时，f ′(x )＝－2<0，f (x )在－1,1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (－1)＝2，符合题意．(2)当0<a ≤2时，f ′(x )≤0恒成立，所以函数f (x )在定义域内为减函数，所以f (x )max ＝f (－1)＝2，符合题意．(3)当a <0或a >2时，由f ′(x )＝0，解得x ＝±a －23a .①当－a －23a ≤－1，即 a －23a ≥1，即－1≤a <0时，函数f (x )在－1,1]上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f (－1)＝2，满足条件；②当－a －23a >－1，即a －23a <1，即a <－1或a >2时，若a <－1，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－a －23a 与⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －23a ，1上单调递增，在⎣⎢⎡ － a －23a ，⎦⎥⎤a －23a 上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f (1)＝－2或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －23a ，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －23a >f (－1)＝2，不满足条件，若a >2，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－ a －23a 与⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －23a ，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ a －23a ，a －23a 上单调递增，所以此时函数在定义域内的最大值为f (－1)＝2或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a ，则必有f ⎝⎛⎭⎪⎫a －23a ≤2，即(a －2) a －23a －a ⎝⎛⎭⎪⎫ a －23a 3≤2，整理并因式分解得(a －8)(a ＋1)2≤0，所以由a >2可得2<a ≤8.综上可得－1≤a ≤8，故选B.二、填空题7．2016·九江一模]已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.答案 e 2解析设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.8．2016·广东肇庆模拟]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.答案 5解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知x ＝－3为方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根，所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.9．2016·石家庄一模]设过曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案－1≤a ≤2解析函数f (x )＝－e x －x 的导数为f ′(x )＝－e x －1，设曲线f (x )＝－e x －x 上的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设曲线g (x )＝ax ＋2cos x 上的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x 1＋1，对∀x 1，∃x 2使得等式成立，则有y 1＝1e x 1＋1的值域是y 2＝a －2sin x 2值域的子集，即(0,1)⊆a －2，a ＋2]，⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2.三、解答题10．2016·石景山区高三统测]已知函数f (x )＝x －a ln x ，g (x )＝－1＋ax (a >0)．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，求函数h (x )的单调区间；(3)若存在x 0∈1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)．当a ＝1时，f ′(x )＝x －1x . 由f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，极小值为f (1)＝1－ln 1＝1；(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝x －a ln x ＋1＋ax ，其定义域为(0，＋∞)．又h ′(x )＝x 2－ax －(1＋a )x 2＝(x ＋1)[x －(1＋a )]x 2. 由a >0可得1＋a >0，在x ∈(0,1＋a )上h ′(x )<0，在x ∈(1＋a ，＋∞)上h ′(x )>0，所以h (x )的递减区间为(0,1＋a )；递增区间为(1＋a ，＋∞)． (3)若在1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<g (x 0)成立，即在1，e]上存在一点x 0，使得h (x 0)<0. 即h (x )在1，e]上的最小值小于零．①当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，由(2)可知h (x )在1，e]上单调递减．故h (x )在1，e]上的最小值为h (e)，由h (e)＝e ＋1＋a e －a <0，可得a >e 2＋1e －1.因为e 2＋1e －1>e －1，所以a >e 2＋1e －1；②当1<1＋a <e ，即0<a <e －1时，由(2)可知h (x )在(1,1＋a )上单调递减，在(1＋a ，e)上单调递增． h (x )在1，e]上最小值为h (1＋a )＝2＋a －a ln (1＋a )．因为0<ln (1＋a )<1，所以0<a ln (1＋a )<a .∴2＋a －a ln (1＋a )>2，即h (1＋a )>2不满足题意，舍去．综上所述：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞. 11．已知函数f (x )＝ln x ＋ax －a 2x 2(a ≥0)． (1)若x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，求a 的值； (2)若f (x )<0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，解得a ＝－12(舍去)或a ＝1.经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1. (2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )<0；当a >0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x ＝0，得 x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a ，所以f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a <0，所以a >1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．12．2016·广西质检]已知函数f (x )＝1x ＋a ln x (a ≠0，a ∈R )． (1)若a ＝1，求函数f (x )的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )<0得0<x <1，由f ′(x )>0得x >1，所以当x ＝1时，f (x )有极小值1.f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． (2)f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x 2，且a ≠0，令f ′(x )＝0，得到x ＝1a ，若在区间(0，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，即f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0.当1a <0，即a <0时，f ′(x )<0在(0，e]上恒成立，即f (x )在区间(0，e]上单调递减，故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a ，由1e ＋a <0，得a <－1e ，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e .当1a >0，即a >0时，①若e ≤1a ，则f ′(x )≤0对x ∈(0，e]成立，所以f (x )在区间(0，e]上单调递减，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a >0，显然，f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0不成立． ②若0<1a <e ，即a >1e 时，则有所以f (x )在区间(0，e]上的最小值为f ⎝ ⎭⎪a ＝a ＋a ln 1a ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋a ln 1a ＝a (1－ln a )<0，得1－ln a <0，解得a >e ，即a ∈(e ，＋∞)．综上，由①②可知：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪(e ，＋∞)符合题意．。

《金版学案》高考数学总复习(人教新课标,文科)配套精讲课件第二章函数、导数及其应用第七节

1x 解析：(1)y＝＋1图象过点(0,2)，且单调递减，故它关
2
于直线y＝x对称的图象过点(2,0)且单调递减．故选A. (2)分别将方程 x＋lg x＝3，x＋10x＝3变形为lg x＝3－x,10x
＝3－x，依题意可知，x1，x2分别是函数y＝lg x与y＝10x的图象
与直线y＝3－x的交点的横坐标，而y＝lg x与y＝10x的图象关于直线y＝x对称，且直线y＝3－x 与直线y＝x垂直，交点坐标
则g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
定点(3,1)，再将y＝ax－3的图象向上平移4个单位长度得到函数 y＝ax－3＋4的图象，则定点(3,1)平移到了定点(3,5)．故选B. 答案：B 点评：随着图象的平移，定点也跟着平移，在平移过程中，注意不要把平移方向和平移距离弄错．
变式探究
2．不论a(a>0且a≠1)取何实数，函数y＝p＋loga(x－q)的图象都
，所以x ＋x ＝3. 为 , 1 2 2 2 3 3
答案：(1)A (2)3
变式探究
1．(1)(2011· 惠州市一模)当0<a<1时，在同一坐标系中，函数
y＝a－x与y＝logax的图象是
(
)
(2)(2012· 浏阳一中月考)若lg a＋lg b＝0(a≠1)，则函数f(x)
经过的定点(2,3)，则p＝________，q＝________.
解析：依题意，即将y＝logax图象经过定点(1,0)平移到点 (2,3)，∴只需将y＝logax的图象向右平移1个单位长度，再
向上平移3个单位长度即可．∴p＝3，q＝1.
答案：3 1
考点三
对数函数与其他知识的综合

导数的概念及其应用

抓住4个必备考点突破3个热点考向破译5类高考密码迎战2年高考模拟限时规范特训
1＋ x＋1－ x 2 4 () y＝＝， 1－ x1＋ x 1－x 0－21－x′ 2 2 ∴y′＝( )′＝＝ 2 2. 1－x 1－x 1－x
第二章第10讲
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考点2
基本初等函数的导数公式原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx 导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝nxn
－1
f′(x)＝cosx f′(x)＝－sinx
第二章第10讲
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考向一例1
导数的基本运算
求下列函数的导数．
1 () y＝exlnx； 2 () y＝(x＋1 ( ) x＋2 ( ) x＋3)； x＋x5＋s n i x 3 () y＝； x2 1 1 4 () y＝＋ . 1－ x 1＋ x
第二章第10讲
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抓住4个必备考点突破3个热点考向破译5类高考密码迎战2年高考模拟限时规范特训
f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝o lg ax f(x)＝lnx
f′(x)＝axlna(a>0且a≠1) f′(x)＝ex 1 f′(x)＝xlna(a>0且a≠1) 1 f′(x)＝ x
第二章第10讲
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方程为________．
第二章第10讲
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2017年高考真题分类汇编(理数)专题2导数(解析版)

2017年高考真题分类汇编(理数)专题2导数(解析版)D答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】函数的图象，函数的单调性与导数的关系【解析】【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选D【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能2、【答案】A【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）=（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，=（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选：A．【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．3、【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，函数的零点与方程根的关系，函数的零点【解析】【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1+ ）=0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a （e x﹣1+ ）有唯一解，等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+ ）的图象只有一个交点．①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y=a（e x﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（e x﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a （e x﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y=a（e x﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（e x﹣1+ ）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件；综上所述，a= ，故选：C．【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+ ）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．二、解答题4、【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣）e﹣x （x≥ ），导数f′（x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+ ）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（Ⅱ）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥ ⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）= e ，f（1）=0，f（）= e ，即有f（x）的最大值为 e ，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围是[0， e ]．【考点】简单复合函数的导数，利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；（Ⅱ）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当＜x ＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（），f（1），f（），即可得到所求取值范围．5、【答案】解：（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x ﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x ﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（i）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（ii）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h （x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h （x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h （x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h （x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h （x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．【考点】导数的加法与减法法则，导数的乘法与除法法则，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x ﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x ﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．6、【答案】（1）解：函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）解：函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x （cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f（）=e cos ﹣=﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1.）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2.）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．7、【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x= ．当x变化时，g′（x），g （x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣（﹣1，）（，+∞）1）g′（x）+ ﹣+g（x）↗↘↗所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0， 2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0， 2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0， 2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0， 2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m= ，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0， 2]时，h（x）在区间（x0， m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是| ﹣x0|= ≥ = ．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以| ﹣x0|≥ ．所以，只要取A=g（2），就有| ﹣x0|≥ ．【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，不等式的证明，函数的零点【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m= ，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0， 2]时，通过h（x）的零点．转化推出| ﹣x0|= ≥ =．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．8、【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+ ﹣+1=0，所以b= + （a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+ ＞0，解得a＞3，所以b= + （a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a= ﹣+ = （4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1， x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2= ，x1x2= ，所以f（x 1）+f（x2）= + +a（+ ）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2= ﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+ ﹣+2= ﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b= +（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a= ﹣+ = （4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+ ﹣+2= ﹣≥﹣，因式分解即得结论．9、【答案】（1）解：由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+ ）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln ，当f′（x）＞0，解得：x＞ln ，当f′（x）＜0，解得：x＜ln ，∴x∈（﹣∞，ln ）时，f（x）单调递减，x∈（ln ，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+ ）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln ）是减函数，在（ln ，+∞）是增函数；（2）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x=0，有两个零点，由（1）可知：当a＞0时，f（x）=0，有两个零点，则f（x）min=a +（a﹣2）﹣ln ，=a（）+（a﹣2）× ﹣ln ，=1﹣﹣ln ，由f（x）min＜0，则1﹣﹣ln ＜0，整理得：a﹣1+alna＜0，设g（a）=alna+a﹣1，a＞0，g′（a）=lna+1+1=lna+2，令g′（a）=0，解得：a=e﹣2，当a∈（0，e﹣2），g′（a）＜0，g（a）单调递减，当a∈（e﹣2，+∞），g′（a）＞0，g（a）单调递增，g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，由g（1）=1﹣1﹣ln1=0，∴0＜a＜1，a的取值范围（0，1）．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理【解析】【分析】（1.）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2.）由（1）可知：当a＞0时才有个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne ﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．10、【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x （ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（Ⅱ）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x= ，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0， x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0， x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x 0）= ﹣x0﹣x0lnx0= ﹣x0+2x0﹣2 =x0﹣，由x 0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+ = ；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x 0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=﹣+ = ＞；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值，导数在最大值、最小值问题中的应用，不等式的综合【解析】【分析】（Ⅰ）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣可得h（x）min=h（），从而可得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0＜可知f（x0）＜，另一方面可知f（x0）＞f（）=﹣+ = ＞．11、【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，所以f′（x）=1﹣= ，且f（1）=0．所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)<0,这与f（x）≥0矛盾；当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a），又因为f（x）min=f（a）≥0，所以a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+ ）＜，k∈N*,所以，k∈N*．一方面，因为+ +…+ =1﹣＜1，所以，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；另一方面，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞（1+ ）（1+ ）（1+ ）= ＞2，同时当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．因为m为整数，且对于任意正整数n（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，所以m的最小值为3．【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，等比数列的前n项和，反证法与放缩法【解析】【分析】（Ⅰ）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx （x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+ ）＜，k∈N*．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；另一方面可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞2，且当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．。

2017版高考数学二轮突破：专题二-函数与导数-课件(227页,含答案)

＝0，则 a＝________．
考点考向探究
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第5讲函数﹑基本初等函数I的图像与性质
[答案]
（1）D （2）－1－e
[解析] （1）1－1x>0，即x－x 1>0，解得 x<0 或 x>1，故所
求的定义域为（－∞，0）∪（1，＋∞）.
考
（2）因为 f（－e）＝g（－e）＋e＝e ，所以 f（e）＝－e
－f(x2)<x1－x2，且 f(－3)＝－4，则不等式 f log13x－1 >log1
2
2
考
3x－1－1 的解集为(
)
点
A.2，＋∞ B.－∞，2
考
向
C.0，1∪1，2 D.－∞，0∪0，2
探
究
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第5讲函数﹑基本初等函数I的图像与性质
[答案] D
[解析] 已知条件可以化为 f（x1）－x1<f（x2）－x2 对任意 x1<x2 成立，令 g（x）＝f（x）－x，故 g（x）为 R 上的增函数，且 g（－3）＝f（－3）－（－3）＝－1.
知识
y2)，…，(xm，ym)，则 m(xi＋yi)＝________． i＝1
聚焦
测试要点：函数图像对称性的应用
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第5讲函数﹑基本初等函数I的图像与性质
核
[答案] m
心
知
识
[解析] 由 f（－x）＝2－f（x）得 f（x）的图像关于（0，
聚焦
1）对称，∵y＝x＋ x 1＝1＋1x的图像也关于（0，1）对称，
的函数值转化为求已知区间上的函数值；(2)函数的奇偶
性、函数图像的对称性、函数的周期性之间有密切的关

金版教程高考数学文二轮复习讲义：第二编专题整合突破专题二函数与导数第一讲函数的图象与性质含解析

专题二函数与导数第一讲函数的图象与性质必记公式及概念]1．指数与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0且a ≠1，M >0，N >0); (4)log a MN ＝log a M －log a N (a >0且a ≠1，M >0，N >0); (5)log a M n ＝n log a M (a >0且a ≠1，M >0)； (6)a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)；(7)log a N ＝log b Nlog b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0)．2．单调性定义如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，且x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)成立，则f (x )在D 上是增函数(都有f (x 1)>f (x 2)成立，则f (x )在D 上是减函数)．3．奇偶性定义对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．4．周期性定义周期函数f (x )的最小正周期T 必须满足下列两个条件： (1)当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )； (2)T 是不为零的最小正数．5．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对数函数1．函数的周期性(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．(2)设f(x)是R上的偶函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．(3)设f(x)是R上的奇函数，且图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期．2．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．3．函数图象的变换规则 (1)平移变换将y ＝f (x )的图象向左(a >0)或向右(a <0)平移|a |个单位得到y ＝f (x ＋a )的图象；将y ＝f (x )的图象向上(a >0)或向下(a <0)平移|a |个单位得到y ＝f (x )＋a 的图象．(2)对称变换①作y ＝f (x )关于y 轴的对称图象得到y ＝f (－x )的图象； ②作y ＝f (x )关于x 轴的对称图象得到y ＝－f (x )的图象； ③作y ＝f (x )关于原点的对称图象得到y ＝－f (－x )的图象； ④将y ＝f (x )在x 轴下方的图象翻折到上方，与y ＝f (x )在x 轴上方的图象合起来得到y ＝|f (x )|的图象；⑤将y ＝f (x )在y 轴左侧部分去掉，再作右侧关于y 轴的对称图象合起来得到y ＝f (|x |)的图象．4．函数的周期性与对称性的关系(1)若f (x )的图象有两条对称轴x ＝a 和x ＝b (a ≠b )，则f (x )必为周期函数，且它的一个周期是2|b －a |；(2)若f (x )的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a ≠b )，则f (x )必为周期函数，且它的一个周期是2|b －a |；(3)若f (x )的图象有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心(b,0)(a ≠b )，则f (x )必为周期函数，且它的一个周期是4|b －a |.失分警示]1．函数具有奇偶性时，定义域关于原点对称，但定义域关于原点对称时，函数不一定具有奇偶性．2．求单调区间易忽略函数的定义域，切记单调区间必须是定义域的子集且当同增(减)区间不连续时，不能用并集符号连接．3．忽略函数的单调性、奇偶性、周期性的定义中变量取值的任意性．4．画图时容易忽略函数的性质，图象左右平移时平移距离的确定易出错．考点函数的概念及其表示典例示法典例1 (1)2014·山东高考]函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪2，＋∞) 解析] 要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1，解之得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．答案] C(2)2016·西安质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．解析] 本题主要考查函数求值．由题意可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.答案] 1091．求函数定义域的类型和相应的方法(1)若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可．(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解．(3)在实际问题或几何问题中除要考虑解析式有意义外，还要使实际问题有意义．2．求函数值的三个关注点(1)形如f (g (x ))的函数求值，要遵循先内后外的原则．(2)对于分段函数求值，应注意依据条件准确地找出利用哪一段求解．(3)对于周期函数要充分利用好周期性． 3．函数值域的求法求解函数值域的方法有：公式法、图象法、分离常数法、判别式法、换元法、数形结合法、有界性法等，要根据问题具体分析，确定求解的方法．针对训练1．2016·贵阳监测]函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]答案 C 解析依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x >2且x ≠3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．2．2014·浙江高考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞， 2 ]解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )<0，f 2(a )＋f (a )≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f (a )≥0，－f 2(a )≤2，解得f (a )≥－2.由⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.考点函数的图象及应用典例示法典例2 (1)2015·北京高考]如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}解析] 在平面直角坐标系中作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象如图所示．所以f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是{x |－1<x ≤1}，所以选C. 答案] C(2)2015·安徽高考]函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0解析] ∵f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象与x ，y 轴分别交于N ，M ，且点M的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴x ＝－b a >0，y ＝bc 2>0，故a <0，b >0，又函数图象间断点的横坐标为正，∴－c >0，故c <0，故选C.答案] C1．作函数图象的方法及注意点常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．2．辨识函数图象的两种方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象；(2)利用间接法排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反；④从函数的周期性，判断图象的循环往复； ⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项．灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象． 3．函数图象在方程、不等式中的应用策略(1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；(2)确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )图象与x 轴的交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标；(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．针对训练1．2016·贵州七校联考]已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xx C ．f (x )＝1x 2－1 D ．f (x )＝x －1x 答案 A解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.2．2016·江西南昌二模]现有四个函数：①y ＝x sin x ，②y ＝x cos x ，③y ＝x |cos x |，④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．④①②③B ．①④③②C ．③④②①D ．①④②③答案 D解析由于函数y ＝x sin x 是偶函数，由图象知，函数①对应第一个图象；函数y ＝x cos x 为奇函数，且当x ＝π时，y ＝－π<0，故函数②对应第三个图象；函数y ＝x |cos x |为奇函数，故函数③与第四个图象对应；函数y ＝x ·2x 为非奇非偶函数，与第二个图象对应．综上可知，选D.考点函数的性质及应用典例示法题型1 函数性质的判定典例3 2015·广东高考]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x解析] 选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．答案] D题型2 函数性质的应用典例4 2015·天津高考]已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析] 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数得m ＝0，则f (x )＝2|x |－1.当x ∈0，＋∞)时，f (x )＝2x －1递增，又a ＝f (log 0.53)＝f (|log 0.53|)＝f (log 23)，c ＝f (0)，且0<log 23<log 25，则f (0)<f (log 23)<f (log 25)，即c <a <b . 答案] C1．判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(增＋增得增、减＋减得减及复合函数的同增异减)、定义法和导数法．2．判断函数是奇(偶)函数的关注点必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，(f (－x )＝f (x ))，而不能举特例．3．判断函数周期性的方法定义法和结论法． 4．函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．全国卷高考真题调研]1．2016·全国卷Ⅰ]函数y ＝2x 2－e |x |在－2,2]的图象大致为( )答案 D解析当x ≥0时，令函数f (x )＝2x 2－e x ，则f ′(x )＝4x －e x ，易知f ′(x )在0，ln 4)上单调递增，在ln 4，2]上单调递减，又f ′(0)＝－1<0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－e>0，f ′(1)＝4－e>0，f ′(2)＝8－e 2>0，所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12是函数f (x )的极小值点，即函数f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0,2)上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图象为D.2．2016·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x 的图象都关于点(0,1)对称，所以∑mi ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m2×2＝m ，故选B.3．2015·全国卷Ⅰ]若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.答案 1解析解法一：由题意得f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln (a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1. 解法二：由f (x )为偶函数有ln (x ＋a ＋x 2)为奇函数，令g (x )＝ln (x ＋a ＋x 2)，有g (－x )＝－g (x )，以下同解法一．其它省市高考题借鉴]4．2016·山东高考]已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 D解析由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.5．2015·浙江高考]存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|答案 D解析通过举反例排除．本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x 有唯一的y 与之相对应．对于A 、B ，当x ＝π4或5π4时，sin2x 均为1，而sin x 与x 2＋x 此时均有两个值，故A ，B 错误；对于C ，当x ＝1或－1时，x 2＋1＝2，而|x ＋1|有两个值，故C 错误，故选D.6．2015·湖南高考]设函数f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案 A解析由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (x )＝ln1＋x 1－x＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数，又f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数，选A.一、选择题1．2016·山东莱芜模拟]已知函数f (x )的定义域为3,6]，则函数y＝f(2x)log12(2－x)的定义域为()A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2答案 B解析要使函数y＝f(2x)log12(2－x)有意义，需满足⎩⎨⎧3≤2x≤6，log12(2－x)>0⇒⎩⎨⎧32≤x≤3，0<2－x<1⇒32≤x<2.故选B. 2．2014·湖南高考]已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝() A．－3 B．－1C．1 D．3答案 C解析令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f(x)，g(x)分别是偶函数和奇函数，∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(1)＋g(1)＝1.故选C.3．2014·全国卷Ⅰ]设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案 C解析由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.4．2016·辽宁实验中学月考]函数y ＝f (x )在0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 答案 B解析 ∵f (x ＋2)是偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (x )＝f (4－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 又0<12<1<32<2，f (x )在0,2]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 5．2016·山西四校联考(三)]函数y ＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1的图象大致为( )答案 D 解析 y ＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1＝2x cos6x 22x －1＝cos6x2x －2－x，由此容易判断函数为奇函数，可以排除A ；又函数有无数个零点，可排除C ；当x 取一个较小的正数时，y >0，由此可排除B ，故选D.6．2016·湖北黄冈一模]已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )．若f (x )在区间m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为( )A.12，2 B.12，4 C.22， 2 D.14，4答案 A解析 (数形结合求解)f (x )＝|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1，根据f (m )＝f (n )(m <n )及f (x )的单调性，知mn ＝1且0<m <1，n >1. 又f (x )在m 2，n ]上的最大值为2，由图象知：f (m 2)>f (m )＝f (n )， ∴f (x )max ＝f (m 2)，x ∈m 2，n ]．故f (m 2)＝2，易得n ＝2，m ＝12.7．如图，过单位圆O 上一点P 作圆O 的切线MN ，点Q 为圆O 上一动点，当点Q 由点P 逆时针方向运动时，设∠POQ ＝x ，弓形PRQ 的面积为S ，则S ＝f (x )在x ∈0,2π]上的大致图象是( )答案 B解析 S ＝f (x )＝S 扇形PRQ ＋S △POQ ＝12(2π－x )·12＋12sin x ＝π－12x ＋12sin x ，则f ′(x )＝12(cos x －1)≤0，所以函数S ＝f (x )在0,2π]上为减函数，当x ＝0和x ＝2π时，分别取得最大值与最小值．又当x 从0逐渐增大到π时，cos x 逐渐减小，切线斜率逐渐减小，曲线越来越陡；当x 从π逐渐增大到2π时，cos x 逐渐增大，切线斜率逐渐增大，曲线越来越平缓．结合选项可知，B 正确．8．2016·辽宁五校第二次联考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )>0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞) 答案 C解析由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，∴f (log 18 x )>0等价于f (|log 18x |)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.又f (x )在0，＋∞)上为增函数， ∴|log 18x |>13，即log 18x >13或log 18x <－13，解得0<x <12或x >2，故选C. 二、填空题9．2015·山东高考]已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是－1,0]，则a ＋b ＝________.答案－32解析 ①当0<a <1时，函数f (x )在－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0，f (0)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，，此时a ＋b ＝－32.②当a >1时，函数f (x )在－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－1，f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－32.10．2016·浙江杭州模拟]已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f (x )；②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈0,1]，且x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)．则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2)，f (3)从小到大排列是________．答案 f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2)解析由①得f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2.因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位即得y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，根据③可知函数f (x )在0,1]上为减函数，又结合②知，函数f (x )在1,2]上为增函数．因为f (3)＝f (2＋1)＝f (1)，在区间1,2]上，1<32<2，所以f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2)，即f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2)．三、解答题11．2015·安徽淮北质检]定义在(－1,1)上的函数f (x )，对任意x ，y ∈(－1,1)都有：f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，且当x ∈(－1,0)时，f (x )>0.回答下列问题：(1)判断f (x )在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f (x )在(0,1)上的单调性，并说明理由；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝12，试求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫119的值．解 (1)令x ＝y ＝0⇒f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0⇒f (－x )＝－f (x )⇒f (x )在(－1,1)上是奇函数．(2)设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2，而x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1⇒x 1－x 21－x 1x 2<0.又x 1－x 21－x 1x 2－(－1)＝(1＋x 1)(1－x 2)1－x 1x 2>0，故－1<x 1－x 21－x 1x 2<0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0，即当0<x 1<x 2<1时，f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(0,1)上单调递减．(3)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－151－12×5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13. 同理，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫119＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫119＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝2×12＝1. 12．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有f (x ＋1)＝f (x －1)成立，已知当x ∈1,2]时，f (x )＝log a x .(1)求x ∈－1,1]时，函数f (x )的表达式；(2)求x ∈2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时，函数f (x )的表达式；(3)若函数f (x )的最大值为12，在区间－1,3]上，解关于x 的不等式f (x )>14.解 (1)因为f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (2＋x )，x ∈[－1，0]，log a (2－x )，x ∈(0，1]. (2)当x ∈2k －1,2k ]时，f (x )＝f (x －2k )＝log a (2＋x －2k )，同理，当x ∈(2k,2k ＋1]时，f (x )＝f (x －2k )＝log a (2－x ＋2k )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a (2＋x －2k )，x ∈[2k －1，2k ]，log a (2－x ＋2k )，x ∈(2k ，2k ＋1]. (3)由于函数是以2为周期的周期函数，故只需要考查区间－1,1]，当a >1时，由函数f (x )的最大值为12，知f (0)＝f (x )max ＝log a 2＝12，即a ＝4，当0<a <1时，则当x ＝±1时，函数f (x )取最大值为12，即log a (2－1)＝12，无解．综上所述a ＝4.当x ∈－1,1]时，若x ∈－1,0]，则log 4(2＋x )>14，所以2－2<x ≤0；若x ∈(0,1]，则log 4(2－x )>14，所以0<x <2－2，所以此时满足不等式的解集为(2－2,2－2)，因为函数是以2为周期的周期函数，所以在区间－1,3]上，f (x )>14的解集为(2，4－2)，综上所述不等式的解集为(2－2,2－2)∪(2，4－2)．。

创新设计江苏专用2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式教书用书文

上篇专题整合突破专题一函数与导数、不等式教书用书文第1讲函数、函数与方程及函数的应用高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B 级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B 级；(3)函数与方程是B 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(4)函数模型及其应用是考查热点，要求是B 级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.真题感悟1.(2016²江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________.解析要使函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3，1]. 答案 [－3，1]2.(2016²江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________. 解析由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35，∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案－253.(2014²江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________.解析作出函数y ＝f (x )在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0＜a ＜12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，124.(2015²江苏卷)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________.解析令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示.由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4. 答案 4考点整合1.函数的性质 (1)单调性(ⅰ)用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.(ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；④导数法.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；(3)周期性：常见结论有①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数.2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. 3.求函数值域有以下几种常用方法：(1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)分离变量法.除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等. 4.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.5.应用函数模型解决实际问题的一般程序读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.热点一函数性质的应用【例1】 (1)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为________(从小到大排序).(2)(2016²全国Ⅱ卷改编)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析 (1)由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .(2)由题设得12(f (x )＋f (－x ))＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))关于点(0，1)对称，则y＝f (x )的图象关于点(0，1)对称. 又y ＝x ＋1x ＝1＋1x，x ≠0的图象也关于点(0，1)对称. 则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对关于点(0，1)对称. 则∑i ＝1m ()i i x y +＝∑i ＝1m i x +∑i ＝1mi y =0＋m2³2＝m .答案 (1)c ＜a ＜b (2)m探究提高 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴).【训练1】 (1)(2015²全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. (2)(2016²四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析 (1)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1. (2)因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (1)＝f (－1)＝－f (1)，即f (1)＝0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.答案 (1)1 (2)－2 热点二函数图象的应用【例2】 (1)(2016²苏北四市调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________.(2)(2015²全国Ⅰ卷改编)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图.y ＝ax 为过原点的一条直线，当a ＞0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意；当a ＝0时成立；当a ＜0时，找与y ＝|－x 2＋2x |(x ≤0)相切的情况，即y ′＝2x －2，切线方程为y ＝(2x 0－2)(x －x 0)，由分析可知x 0＝0，所以a ＝－2，综上，a ∈[－2，0].(2)设g (x )＝e x(2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)＜ax 0－a ，因为g ′(x )＝e x(2x ＋1)，可知g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎪⎨⎪⎧h （0）＞g （0），h （－1）≤g （－1），即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，－2a ≤－3e ，所以32e ≤a <1.答案 (1)[－2，0] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1探究提高 (1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围. (2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】 (2016²苏、锡、常、镇调研)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为________.解析由奇函数的定义和f (2)＝0得出函数在(－∞，0)上也为增函数.画出函数草图(如图)，可得在(－2，0)和(2，＋∞)上f (x )>0，在(－∞，－2)和(0，2)上f (x )<0.当x >0时，由f （x ）－f （－x ）x<0，可得f (x )－f (－x )＝2f (x )<0，结合图象可知(0，2)符合；当x <0时，由f （x ）－f （－x ）x<0，可得f (x )－f (－x )＝2f (x )>0，结合图象可知(－2，0)符合. 答案 (－2，0)∪(0，2) 热点三函数与方程问题 [微题型1] 函数零点个数的求解【例3－1】 (2016²南京、盐城模拟)函数f (x )＝4cos 2x 2²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ²⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 答案 2探究提高解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.[微题型2] 由函数的零点(或方程的根)求参数【例3－2】 (1)(2016²南京三模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1e x ，x ≥a ，－x －1，x ＜a ，g (x )＝f (x )－b .若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)当f (x )＝x －1e x时，f ′(x )＝2－xex ，由f ′(x )＝0得x ＝2，且当x ＜2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ＞2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，则当x ＝2时，f (x )有极大值f (2)＝1e 2.当－x －1＝1e 2时，x ＝－1－1e2.结合图象可得当存在实数b 使得g (x )＝f (x )－b 恰有3个零点时，－1－1e 2＜a ＜2.(2)函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，又y ＝f (x )＋f (2－x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函数的图象如图所示，由图可知，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1e 2，2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 探究提高利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【训练3】 (2016²泰州调研)设函数f (x )＝x 2＋3x ＋3－a ²e x(a 为非零实数)，若f (x )有且仅有一个零点，则a 的取值范围为________.解析令f (x )＝0，可得x 2＋3x ＋3ex＝a ，令g (x )＝x 2＋3x ＋3ex，则g ′(x )＝（2x ＋3）²e x －e x²（x 2＋3x ＋3）（e x ）2＝－x （x ＋1）e x，令g ′(x )＞0，可得x ∈(－1，0)，令g ′(x )＜0，可得x ∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以g (x )在(－1，0)上单调递增，在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递减.由题意知函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝a 有且仅有一个交点，结合y ＝g (x )及y ＝a 的图象可得a ∈(0，e )∪(3，＋∞).答案 (0，e )∪(3，＋∞) 热点四函数的实际应用问题【例4】 (2016²江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍.(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？解 (1)V ＝13³62³2＋62³2³4＝312(m 3).(2)设PO 1＝x ，则O 1B 1＝62－x 2，B 1C 1＝2²62－x 2， ∴S 正方形A 1B 1C 1D 1＝2(62－x 2). 又由题意可得下面正四棱柱的高为4x ，则仓库容积V ＝13x ²2(62－x 2)＋2(62－x 2)²4x ＝263x (36－x 2).由V ′＝0得x ＝23或x ＝－23(舍去). 由实际意义知V 在x ＝23(m)时取到最大值，故当PO 1＝23(m)时，仓库容积最大.探究提高 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.(2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 (2016²南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n ＝ax ＋5.已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y (万元)与x 的函数关系式；(2)设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3.问：P 能否大于120，说明理由.解 (1)依题意得y ＝mkn ＝mk (ax ＋5)，x ∈N *. (2)法一依题意x ＝0.2a ，所以P ＝mx y ＝x k （ax ＋5）＝0.2a k （0.2a 2＋5）＝ak （a 2＋25）≤a3（a 2＋25）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋25a≤13³⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ³25a ＝130＜120.P 不可能大于120.法二依题意x ＝0.2a ，所以P ＝mx y ＝x k （ax ＋5）＝0.2a k （0.2a ＋5）＝ak （a ＋25）. 假设P ＞120，则ka 2－20a ＋25k ＜0.因为k ≥3，所以Δ＝100(4－k 2)＜0，不等式ka 2－20a ＋25k ＜0无解，假设不成立.P 不可能大于120.1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x的定义域时，只考虑x ＞0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、填空题1.(2016²南通调研)函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为________.解析要使函数f (x )＝ln x ＋1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－x ≥0，解得0＜x ≤1，即函数定义域是(0，1]. 答案 (0，1]2.(2011²江苏卷)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________.解析函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t ＞0).因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞3.(2016²苏州调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________.解析当x ≤0时，y ＝2x∈(0，1]；当x ＞0时，y ＝－x 2＋1∈(－∞，1). 综上，该函数的值域为(－∞，1]. 答案 (－∞，1]4.(2016²江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________.解析在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.答案 75.(2012²江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________. 解析因为函数f (x )是周期为2的函数，所以f (－1)＝f (1)⇒－a ＋1＝b ＋22，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⇒12b ＋232＝－12a ＋1，联立列成方程组解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝2－12＝－10.答案－106.已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上为增函数.又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x ).∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2，2]知g (m )<0恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＝－x －2<0，g （2）＝3x －2<0，∴－2<x <23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，237.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y ＝k (x ＋1)(k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是________. 解析根据[x ]表示的意义可知，当0≤x ＜1时，f (x )＝x ，当1≤x ＜2时，f (x )＝x －1，当2≤x ＜3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x ＜k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13 8.(2016²北京海淀区二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x－1∈(－1，1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论：当f (x )＝2x－a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点；当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.答案 (1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) 二、解答题9.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)，所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )＞0，得x ＞2，所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值，k (2)＝2－2ln 2－a ，因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点.即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧k （1）≥0，k （2）＜0，k （3）≥0，即有⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a ＜0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2＜a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].10.(2012²江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标.11.(2016²苏北四市调研)如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C .为方便游客观光，拟过曲线C 上某点P 分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则曲线C 符合函数模型y ＝x ＋42x2(1≤x ≤9)，设PM ＝x ，修建两条道路PM ，PN 的总造价为f (x )万元.题中所涉及长度单位均为百米.(1)求f (x )的解析式；(2)当x 为多少时，总造价f (x )最低？并求出最低造价.解 (1)在如题图所示的直角坐标系中，因为曲线C 的方程为y ＝x ＋42x2(1≤x ≤9)，PM ＝x ，所以点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋42x 2，直线OB 的方程为x －y ＝0，则点P 到直线x －y ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －⎝⎛⎭⎪⎫x ＋42x 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42x 22＝4x2，又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米. 则两条道路总造价为f (x )＝5x ＋40²4x2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2(1≤x ≤9).(2)因为f (x )＝5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2，所以f ′(x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－64x 3＝5（x 3－64）x 3，令f ′(x )＝0，解得x ＝4，列表如下：所以当x ＝4时，函数f (x )有最小值，且最小值为f (4)＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋42＝30，即当x ＝4时，总造价最低，最低造价为30万元.(注：利用三次均值不等式得f (x )＝5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋32x 2≥5³338＝30，当且仅当x ＝4时，等号成立，同样正确.)第2讲不等式问题高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用.真题感悟1.(2015²江苏卷)不等式2x 2－x＜4的解集为________.解析 ∵2x 2－x＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.答案 {x |－1＜x ＜2}2.(2014²江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________.解析二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－22，0 3.(2016²江苏卷)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥02x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0则x 2＋y 2的取值范围是________.解析已知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，则(x ，y )为阴影部分内的动点：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2，3).由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，134.(2016²江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.解析由sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B sin C 得sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，两边同时除以cos B cos C 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .令tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ＝m ，因为△ABC 是锐角三角形，所以2tan B tan C ＞2tan B ²tan C ，则tan B tan C ＞1，m ＞2.又在三角形中有tan A tan B tan C ＝－tan(B ＋C )tan B tan C ＝－m1－12m ²12m ＝m 2m －2＝m －2＋4m －2＋4≥2（m －2）²4m －2＋4＝8，当且仅当m －2 ＝4m －2，即m ＝4时取等号，故tan A tan B tan C 的最小值为8.答案 8考点整合1.(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：①对二次项系数与0的大小进行讨论；②在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；③当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论；④讨论根与定义域的关系.(2)四个常用结论①ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.②ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.③a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max . ④a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . 2.利用基本不等式求最值已知x ，y ＞0，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24⎝⎛⎭⎪⎫xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝S 24；(2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P (x ＋y ≥2xy ＝2P ).3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等. (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值.热点一一元二次不等式的解法及应用【例1】 (1)(2013²江苏卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)(2012²江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________. 解析 (1)由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0－x 2－4x ，x <0不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－4x >x ，解得：x >5或－5<x <0.(2)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.由f (x )<c ，得－a 2－c <x <－a2＋c ，又f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6， ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9. 答案 (1)(－5，0)∪(5，＋∞) (2)9探究提高解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解.【训练1】已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1，或x >12，则f (10x)>0的解集为______.解析依题意知f (x )>0的解为－1<x <12，故0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.答案 {x |x ＜－lg 2}热点二利用基本不等式求最值 [微题型1] 基本不等式的简单应用【例2－1】 (1)(2016²南师附中模拟)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为________.(2)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________.解析 (1)由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*) 则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1.所以当y ＝1时，2x ＋1y －2z的最大值为1. (2)设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)， ∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去). ∴a m ²a n ＝a 1²2m －1²a 1²2n －1＝4a 1，平方得2m ＋n －2＝16＝24，∴m ＋n ＝6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n (m ＋n )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16(5＋4)＝32，当且仅当n m＝4mn，即n ＝2m ，亦即m ＝2，n ＝4时取等号.答案 (1)1 (2)32探究提高在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得. [微题型2] 基本不等式在实际问题中的应用【例2－2】 (2016²南通调研)如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇.已知OC ＝(2＋6)km ，∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过C 城.设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2)试确定点A ，B 的位置，使△OAB 的面积最小.解 (1)因为△AOC 的面积与△BOC 的面积之和等于△AOB 的面积，所以12x (2＋6)sin 45°＋12y (2＋6)²sin 30°＝12xy sin 75 °，即22x (2＋6)＋12y (2＋6)＝6＋24xy ，所以y ＝22x x －2(x ＞2).(2)△AOB 的面积S ＝12xy sin 75°＝6＋28xy ＝3＋12³x 2x －2＝3＋12(x －2＋4x －2＋4)≥3＋12³8＝4(3＋1). 当且仅当x ＝4时取等号，此时y ＝4 2.故OA ＝4 km ，OB ＝4 2 km 时，△OAB 面积的最小值为4(3＋1) km 2.探究提高在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.【训练2】 (1)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是________.(2)若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是________.解析 (1)∵a ∥b ，∴3(y －1)＋2x ＝0，即2x ＋3y ＝3.∵x ＞0，y ＞0， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ²13(2x ＋3y ) ＝13⎝⎛⎭⎪⎫6＋6＋9y x ＋4x y ≥13(12＋2³6)＝8.当且仅当3y ＝2x 时取等号.(2)易知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的半径为2，圆心为(－1，2)，因为直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)过圆心，把圆心坐标代入得a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥4，当且仅当b a ＝a b ，a ＋b ＝1，即a ＝b ＝12时等号成立. 答案 (1)8 (2)4热点三含参不等式恒成立问题 [微题型1] 分离参数法解决恒成立问题【例3－1】 (1)关于x 的不等式x ＋4x－1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围为________.(2)已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)设f (x )＝x ＋4x ，因为x ＞0，所以f (x )＝x ＋4x≥2x ²4x＝4.又关于x 的不等式x ＋4x－1－a 2＋2a ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，所以a 2－2a ＋1＜4，解得－1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围为(－1，3).(2)要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立.由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去).设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t .设f (t )＝t ＋1t ，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，376.答案 (1)(－1，3) (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，376探究提高对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围化归为求函数的最值问题，a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min . [微题型2] 函数法解决恒成立问题【例3－2】 (1)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围为________.(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ＋1对x ∈[0，2]恒有f (x )＞0.则实数a 的取值范围为________.解析 (1)法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a ， ①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1.∴－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围为[－3，1].法二设g (x )＝f (x )－a ，则g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g （－1）≥0，解得[－3，1].(2)法一函数法.若a ＞0，则对称轴x ＝－12a＜0，故f (x )在[0，2]上为增函数，且f (0)＝1，因此在x ∈[0，2]上恒有f (x )＞0成立.若a ＜0，则应有f (2)＞0，即4a ＋3＞0，∴a ＞－34.∴－34＜a ＜0.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞). 法二分离参数法.当x ＝0时，f (x )＝1＞0成立.当x ≠0时，ax 2＋x ＋1＞0变为a ＞－1x 2－1x，令g (x )＝－1x 2－1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≥12.∴当1x ≥12时，g (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34. ∵a ＞－1x 2－1x ，∴a ＞－34.又∵a ≠0，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞).答案 (1)[－3，1] (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0∪(0，＋∞) 探究提高参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.【训练3】 (1)若不等式x 2－ax ＋1≥0对于一切a ∈[－2，2]恒成立，则x 的取值范围是________. (2)已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立，则a 的取值范围是________. 解析 (1)因为a ∈[－2，2]，可把原式看作关于a 的一次函数，即g (a )＝－xa ＋x 2＋1≥0，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＝x 2＋2x ＋1≥0，g （2）＝x 2－2x ＋1≥0，解之得x ∈R . (2)设y ＝2x －1，y ′＝－2（x －1）＜0，故y ＝2x －1在x ∈[2，6]上单调递减，即y min ＝26－1＝25，故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈[2，6]恒成立等价于 15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是[－1，2]. 答案 (1)R (2)[－1，2] 热点四简单的线性规划问题【例4】 (1)(2016²北京卷改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________.(2)(2016²苏北四市调研)设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4，2]都成立，则m 4－n 4m 3n的最小值为________.解析 (1)不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1，2)，可得2x ＋y 的最大值为2³1＋2＝4.(2)因为不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0即为(2m －n )x ≥8－2n ，对任意x ∈[－4，2]都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2（2m －n ）≥8－2n ，－4（2m －n ）≥8－2n ，所以m ，n 满足的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，4m －3n ＋4≤0，n ≤6，所以点(m ，n )对应的平面区域如图，n m的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，所以n m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3，而目标函数m 4－n 4m 3n ＝m n －⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 3，令n m ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3，则目标函数即为y ＝1t －t 3，其导数y ′＝－1t 2－3t 2＜0，所以函数y ＝1t －t 3在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤127，3上递减，故t ＝3时取得最小值－803. 答案 (1)4 (2)－803探究提高线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【训练4】 (2016²苏、锡、常、镇调研)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤－x ＋2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y的最小值为1，则实数a 的值是________.解析依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点B (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ；因为目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，所以3a＝1，解得a ＝13.答案131.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在填空题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、填空题1.(2015²苏州调研)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x ≥0），－x 2＋x （x ＜0），则不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是________.解析依题意得，函数f (x )是R 上的增函数且f (3)＝12，因此不等式f (x 2－x ＋1)＜12等价于x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，由此解得－1＜x ＜2. 因此，不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是(－1，2). 答案 (－1，2)2.若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是________.解析因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n 4＝1，所以m 3²n4≤2342m n ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3²n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3.答案 33.(2016²苏北四市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是________.解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，（－a ）2－2³（－a ）＋a 2＋2a ≤2³3或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，（－a ）2＋2³（－a ）＋a 2－2a ≤2³3 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2＋2a －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2－2a －3≤0，。

【新步步高】2017版高考数学(文江苏专用)大二轮总复习与增分策略专题二函数与导数第4讲导数的热点问题

专题二
函数与导数
第4讲导数的热点问题
栏目索引
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高考真题体验
(2016· 课标全国乙)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点． (1)求a的取值范围；
解析答案
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2. 证明不妨设 x1<x2 ，由 (1) 知， x1∈( － ∞ ， 1) ， x2∈(1 ，＋ ∞) ， 2 －
解根据题意，得f′(x)＝ex－2x，则f′(0)＝1＝b.
由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入y＝f(x)，
得a＝－1，故f(x)＝ex－x2－1.
解析答案
(2)当x∈R时，求证：f(x)≥－x2＋x；
证明令g(x)＝f(x)＋x2－x＝ex－x－1.
由g′(x)＝ex－1＝0，得x＝0，
1 ， e (2)若函数 g(x)＝f(x)－ax＋m 在e 上有两个零点，求实数 m 的取值范围．
解析答案
热点三
利用导数解决生活中的优化问题
生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就
是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函
数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以
解析答案
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
π 解因为 V(r)＝5(300r－4r3)， π 故 V′(r)＝5(300－12r2)，
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；

二次函数与幂函数课件

由于函数f(x)＝x
1 2
在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当
x1<x2时，必有f(x1)<f(x2)，从而有x1f(x1)<x2f(x2)，故②正确；又因 fx1 fx2 为，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，容 x1 x2 fx1 fx2 易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故 > ，所以 x1 x2 ③正确．故选D.
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b 提示：(1)当－在定义区间上时是函数的最值，否则就不 2a 是． (2)①ax
2
a>0 ＋bx＋c>0恒成立的充要条件是 Δ<0
，其几何意义
第二章第4讲
第25页
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幂函数y＝xα图象的特征 (1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． (2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
第二章第4讲
第 6页
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抓住2个必备考点突破3个热点考向破译5类高考密码迎战2年高考模拟限时规范特训
3种必会方法——二次函数对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y＝f(x)定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么 x1＋x2 函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝ 2 . (2)对于二次函数y＝f(x)定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)． (3)对于二次函数y＝f(x)定义域内所有x，都有f(x＋2a)＝f(－x)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．

金版教程2017高考数学文二轮复习讲义：第三编考前冲刺攻略第一步考前必看八大提分笔记含解析

第一步考前必看八大提分笔记一、集合与常用逻辑用语1描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义，抓住集合的代表元素．如:｛x｜y＝lg x｝——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；｛(x,y）|y＝lg x｝——函数图象上的点集．2集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．3遇到A∩B＝∅时,你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A ＝∅的情况．4对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1,2n－1,2n－2。

5注重数形结合在集合问题中的应用,列举法常借助Ve nn图解题，描述法常借助数轴来运算,求解时要特别注意端点值的取舍．6“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论;而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．在否定条件或求结论时,应把“且”改成“或"，“或”改成“且”．7要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件"则是指A能推出B,且B不能推出A。

8要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题),特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a,b都是偶数"的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a,b都是奇数”．忽视互异性致误错误!已知1∈{a＋2，（a＋1）2,a2＋3a＋3｝，求实数a的值．［错解] 由题意，得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1，∴a＝－1或a＝－2或a＝0。

[错因分析］当a＝－2时，（a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合集合元素的互异性；同理a＝－1时，也不符合要求．［正解] 由题意得a＋2＝1或（a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1.解得a＝－1或a＝－2或a＝0.又当a＝－2时，（a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1不符合集合中元素互异性这一特点．故a≠－2，同理a≠－1，故只有a＝0。

【金版学案】高考数学二轮复习第四讲导数及其应用

【金版学案】2015届高考数学二轮复习第四讲导数及其应用一、选择题1．函数y ＝12x2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：∵y＝12x2－ln x ，∴y ′＝x －1x，由y′≤0，解得－1≤x ≤1，又x ＞0，∴0＜x≤1.故选B.答案：B2．设P 为曲线C ：y ＝x2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B ．[－1，0] C ．[0，1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：设P(x0，y0)，∵y ′＝2x ＋2，∴曲线C 在点P 处的切线斜率为2x0＋2.又切线倾斜角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4， ∴斜率范围是[0，1]．即2x0＋2∈[0，1]，∴x0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 答案：A3．若f(x)＝－12x2＋bln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)解析：∵f′(x)＝－x2－2x ＋b x ＋2＝－（x ＋1）2＋b ＋1x ＋2. 则由已知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∴1＋b≤0.∴b ≤－1.答案：C4．(2014·湖南卷)若0＜x1＜x2＜1，则( )A ．ex2－ex1＞ln x2－ln x1B ．ex1－ex2＜ln x2－ln x1C ．x2ex1＞x1ex2D ．x2ex1＜x1ex2解析：设函数f(x)＝ex －ln x 且g(x)＝ex x ，对函数求导可得f′(x)＝ex －1x，g ′(x)＝（x －1）ex x2，因为x∈(0，1)，所以f′(x)符号不确定且g′(x)＜0，所以函数f(x)单调性不确定，函数g(x)在(0，1)上单调递减，则g(x1)＞g(x2)⇒ex1x1＞ex2x2⇒x2ex1＞x1ex2，所以选项C 是正确的．故选C.答案：C5．(2014·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax2－x ＋a 2与y ＝a2x3－2ax2＋x ＋a(a∈R)的图象不可能的是( )解析：当a ＝0时，两函数图象为D 所示，当a≠0时，对函数y ＝a2x3－2ax2＋x ＋a ，令y′＝3a2x2－4ax ＋1＝0得：x ＝1a 或x ＝13a ，y ＝ax2－x ＋a 2的对称轴为x ＝12a.当a ＜0时，由1a ＜12a ＜13a 知B 不对，当a ＞0时，由1a ＞12a ＞13a知A ，C 正确．答案：B6．设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π) 且x≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x)＞0，则函数y ＝f(x)－sin x 在[－2π，2π] 上的零点个数为( )A ．2个B ．4个C ．5个D ．8个解析：由当x∈(0，π) 且x≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x)＞0，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x)＜0，f(x)为减函数；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f ′(x)＞0，f(x)为增函数．又x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1，在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f(x)草图(如下图)，由图知y ＝f(x)－sin x 在[－2π，2π] 上的零点个数为4个．答案：B7．函数y ＝f(x)在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 内可导，其图象如图所示，记y ＝f(x)的导函数为y ＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2，3)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12∪[1，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43答案：A二、填空题8．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k)处的切线平行于x 轴，则k ＝________．答案：－19．曲线y ＝x3＋3x2＋6x －1的切线中，斜率最小的切线方程为______________________．解析：y′＝3x2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3.当x ＝－1时，y ′min ＝3；当x ＝－1时，y ＝－5.∴切线方程为y ＋5＝3(x ＋1)，即3x －y －2＝0.答案：3x －y －2＝0三、解答题10．已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2，0)，且在点P 处有相同的切线．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设函数F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间，并指出函数F(x)在该区间上的单调性．解析：(1)因为函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×23＋2a ＝0，4b ＋c ＝0.得a ＝－8，4b ＋c ＝0. 故f(x)＝2x3－8x ，f ′(x)＝6x2－8.又当x ＝2时，f ′(x)＝16，又g′(x)＝2bx ，所以2b×2＝16，得b ＝4，c ＝－16.所以a ＝－8，b ＝4，c ＝－16.(2)因为F(x)＝2x3＋4x2－8x －16，所以F′(x)＝6x2＋8x －8.由F′(x)＞0，得x ＜－2或x ＞23；由F′(x)＜0，得－2＜x ＜23. 所以，当x∈(－∞，－2)时，F(x)是增函数；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，F(x)也是增函数；当x∈⎝⎛⎭⎪⎫－2，23时，F(x)是减函数．11．(2014·广东卷)已知函数f(x)＝13x3＋x2＋ax ＋1(a ∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f(x0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解析：(1)f′(x)＝x2＋2x ＋a ，方程x2＋2x ＋a ＝0的判别式为Δ＝4－4a ， ①当a≥1时，Δ≤0，则f′(x)≥0，此时f(x)在R 上是增函数；②当a ＜1时，方程x2＋2x ＋a ＝0两根分别为x1＝－1－1－a ，x2＝－1＋1－a ，解不等式x2＋2x ＋a ＞0，解得x ＜－1－1－a 或x ＞－1＋1－a ，解不等式x2＋2x ＋a ＜0，解得－1－1－a ＜x ＜－1＋1－a ，此时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a ，＋∞)，单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a)；综上所述，当a≥1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a ＜1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－1－a)和(－1＋1－a ，＋∞)，单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a)．(2)f(x0)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13x30＋x20＋ax0＋1－13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫123－⎝ ⎛⎭⎪⎫122－a·12－1 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x30－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x20－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋a ⎝⎛⎭⎪⎫x0－12 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x0－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x20＋x02＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x0－12· (x0＋12)＋a ⎝⎛⎭⎪⎫x0－12 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x0－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x203＋x06＋112＋x0＋12＋a＝112⎝⎛⎭⎪⎫x0－12(4x20＋14x0＋7＋12a)，若存在x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得f(x0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，必须4x20＋14x0＋7＋12a ＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上有解． ∵a ＜0，∴Δ＝142－16(7＋12a)＝4(21－48a)＞0，方程的两根为x1′＝－14－221－48a 8＝－7－21－48a 4， x2′＝－14＋221－48a 8＝－7＋21－48a 4， ∵x0＞0，∴x0＝x2′＝－7＋21－48a 4，依题意，0＜－7＋21－48a 4＜1，即7＜21－48a ＜11， ∴49＜21－48a ＜121，即－2512＜a ＜－712，又由－7＋21－48a 4＝12得a ＝－54，故欲使满足题意的x0存在，则a≠－54，所以，当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2512，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－712时，存在唯一x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1满足f(x0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－712，0时，不存在x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1满足f(x0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.。

高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数、不等式第2讲不等式问题练习理(20

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专题一函数与导数、不等式第2讲不等式问题练习理一、填空题1。

（2015·苏州调研)已知f(x)＝错误!则不等式f（x2－x＋1）＜12的解集是________。

解析依题意得,函数f(x)是R上的增函数，且f(3)＝12,因此不等式f（x2－x＋1）＜12等价于x2－x＋1＜3，即x2－x－2＜0，由此解得－1＜x＜2.因此，不等式f(x2－x＋1）＜12的解集是(－1,2）.答案（－1，2)2。

若点A（m，n)在第一象限,且在直线错误!＋错误!＝1上，则mn的最大值是________.解析因为点A(m，n）在第一象限,且在直线错误!＋错误!＝1上,所以m，n＞0，且错误!＋错误!＝1，所以错误!·错误!≤2342m n⎛⎫+⎪⎪⎪⎝⎭错误!，所以错误!·错误!≤错误!错误!＝错误!，即mn≤3，所以mn的最大值为3.答案33.(2016·苏北四市模拟）已知函数f(x）＝错误!若f(－a）＋f（a)≤2f（1)，则实数a的取值范围是________.解析f（－a）＋f（a)≤2f(1）⇔{a≥0，，（－a2－2×（－a）＋a2＋2a≤2×3)或错误!即错误!或错误!解得0≤a≤1,或－1≤a＜0.故－1≤a≤1.答案［－1，1]4.已知函数f(x）＝错误!那么不等式f(x)≥1的解集为________.解析当x＞0时，由log3x≥1可得x≥3，当x≤0时,由错误!错误!≥1可得x≤0，∴不等式f（x)≥1的解集为(－∞，0］∪[3,＋∞)。

导数

0
第二章第13讲
第18页
金版教程 · 高三一轮总复习 · 新课标 · 数学（理）
抓住3个必备考点突破4个热点考向破译5类高考密码迎战2年高考模拟限时规范特训
02突破4个热点考向
第二章第13讲
第19页
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抓住3个必备考点突破4个热点考向破译5类高考密码迎战2年高考模拟限时规范特训
[想一想]
当微积分基本定理中的F(x)不易求出时怎么办？
提示：考虑用定积分的几何意义求解.
第二章第13讲
第14页
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考向二用定积分的几何意义求定积分
例2 ( )
(1)若定积分
，则m等于
2．定积分的几何意义
b (1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分 f(x)dx的几
a
何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．
第二章第13讲
第 8页
金版教程 · 高三一轮总9页
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抓住3个必备考点突破4个热点考向破译5类高考密码迎战2年高考模拟限时规范特训
3．定积分的基本性质 b k f(x)dx b a (1) kf(x) d x ＝
a
.
b a b f1(x)dx± f2(x)dx a

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，e ，
∴当 g′(x)＝0 时，x＝1. 1 当e<x<1 时，g′(x)>0；当 1<x<e 时，g′(x)<0. 故 g(x)在 x＝1 处取得极大值 g(1)＝m－1. 又
1 1 ge＝m－2－e2，
2 [解] (1)当 a＝2 时，f(x)＝2ln x－x ＋2x，f′(x)＝x －
2
2x＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率 k＝f′(1)＝2，则切线方程为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1.
(2)g(x)＝2ln x－x2＋m，－2x＋1x－1 2 则 g′(x)＝x －2x＝ . x
3．证明不等式问题不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值，再由单调性或最值来证明不等式，其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．
热点考向探究
考点典例示法
利用导数研究函数的零点(或方程的根)
题型 1 利用导数判断零点(或根)的个数问题典例 1 R. (1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； x (2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－3零点的个数； fb－fa (3)若对任意 b>a>0， <1 恒成立，求 m 的取值 b－a 范围． m [2014· 陕西高考]设函数 f(x)＝ln x＋ x ，m∈
∴m
1 ，＋ ∞ 的取值范围是4 .
题型 2 利用零点(或根)的存在情况求参数的取值范围典例 2 已知函数 f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R)．
1 在，e上有两个零点，求 e
(1)当 a＝2 时，求 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程； (2)若函数 g(x)＝f(x)－ax＋m 实数 m 的取值范围．
∴x＝1 是 φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，∴x＝1 是 φ(x)的最大值点， 2 ∴φ(x)的最大值为 φ(1)＝3. 又 φ(0)＝0，结合 y＝φ(x)的图象(如图)，可知
2 ①当 m>3时，函数 g(x)无零点； 2 ②当 m＝3时，函数 g(x)有且只有一个零点； 2 ③当 0<m<3时，函数 g(x)有两个零点； ④当 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点． 2 综上所述，当 m>3时，函数 g(x)无零点；
第二编专题整合突破
专题二函数与导数
第四讲导数的综合应用
主干知识整合
1.利用导数求函数最值的几种情况 (1)若连续函数 f(x)在(a，b)内有唯一的极大值点 x0，则 f(x0)是函数 f(x)在[a，b]上的最大值，{f(a)，f(b)}min 是函数 f(x)在[a，b]上的最小值；若函数 f(x)在(a，b)内有唯一的极小值点 x0，则 f(x0)是函数 f(x)在[a， b]上的最小值， {f(a)， f(b)}max 是函数 f(x)在[a，b]上的最大值．
(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a) 是函数 f(x) 在[a， b]上的最小值， f(b) 是函数 f(x)在[a， b]上的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a) 是函数 f(x)在[a，b] 上的最大值， f(b) 是函数 f(x)在[a，b]上的最小值． (3)若函数 f(x)在[a， b]上有极值点 x1，x2，…，xn(n∈N*， n≥2)，则将 f(x1)，f(x2)，…，f(xn)与 f(a)，f(b)作比较，其中最大的一个是函数 f(x)在[a，b]上的最大值，最小的一个是函数 f(x)在[a，b]上的最小值．
2．不等式的恒成立与能成立问题 (1)f(x)>g(x)对一切 x∈I 恒成立⇔I 是 f(x)>g(x)的解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min>0(x∈I)． (2)f(x)>g(x)对 x∈I 能成立⇔I 与 f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max>0(x∈I)． (3)对∀x1，x2∈D 使得 f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min. (4) 对 ∀ x1 ∈ D1 ， ∃ x2 ∈ D2 使得 f(x1)≥g(x2) ⇔ f(x)min≥g(x)min，f(x)定义域为 D1，g(x)定义域为 D2.
2 当 m＝3或 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 2 当 0<m<3时，函数 g(x)有两个零点． fb－fa (3)对任意的 b>a>0， <1 恒成立， b－a 等价于 f(b)－b<f(a)－a 恒成立．(*) m 设 h(x)＝f(x)－x＝ln x＋ x －x(x>0)，
∴(*)等价于 h(x)在(0，＋∞)上单调递减． 1 m 由 h′(x)＝x －x2－1≤0 在(0，＋∞)上恒成立，得 m≥
1 1 2 2 －x ＋x＝－x－2 ＋4(x>0)恒成立， 1 1 1 ∴m≥4对m＝4，h′x＝0仅在x＝2时成立，
e [解] (1)由题设，当 m＝e 时，f(x)＝ln x＋x，则 f′(x) x－e ＝ x2 ， ∴当 x∈(0，e)，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减，当 x∈(e，＋∞)， f′(x)>0， f(x)在(e，＋∞)上单调递增， e ∴当 x＝e 时，f(x)取得极小值 f(e)＝ln e＋e＝2， ∴f(x)的极小值为 2.
x 1 m x (2)由题设 g(x)＝f′(x)－3＝x －x2－3(x>0)， 1 3 令 g(x)＝0，得 m＝－3x ＋x(x>0)． 1 3 设 φ(x)＝－3x ＋x(x>0)，则 φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当 x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．