【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习：2.3.1 离散型随机变量的均值]

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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习：2.2.1 椭圆及其标准方程]

第二章 2.2 第1课时一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段[答案] D[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20[答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝5或m ＝3，故选C.3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( ) A ．(±a －b ，0) B ．(±b －a ，0) C ．(0，±a －b ) D ．(0，±b －a )[答案] D[解析] ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ， ∴焦点坐标为(0，±b －a )．4．(2014·长春市高二期末调研)中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )A.x 281＋y 245＝1 B ．x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 272＝1 D ．x 281＋y 236＝1[答案] C[解析] 由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C.5．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．94[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．且b ＝3>7＝c . ∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点， ∴点P 的横坐标为±7，设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.6．(2014·洛阳市期末)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1 D ．x 25＋y 220＝1[答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C. 二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.8．如图所示，F1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________________.[答案] 2 3[解析] 由题意S △POF 2＝34c 2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋4.∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝2 3. 三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1. 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.10．已知点A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |， ∴动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆， ∴a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1.一、选择题11．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <32[答案] D[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D.[点评] 解答本题应注意，方程表示椭圆，分母应取正值，焦点在y 轴上，含y 2项的分母较大，二者缺一不可．12．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[答案] D[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.13．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ，又∵F 1、P 、Q 三点共线， ∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a . 即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值是( )A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4[答案] A[解析] 由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43，又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A.二、填空题15．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 由题意得2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|， ∴4c ＝2a ，∵c ＝1，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.16．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.[点评] 对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决与焦点有关的问题时，要结合图形看能否运用定义．三、解答题17．(2013·四川省绵阳中学月考)求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)a c ＝，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[解析] (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又a c ＝135，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.[点评] 用待定系数法求椭圆的标准方程时，要首先进行“定位”，即确定焦点的位置；其次是进行“定量”，即求a 、b 的大小，a 、b 、c 满足的关系有：①a 2＝b 2＋c 2；②a >b >0；③a >c >0.若不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)的形式． 18．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.。

【成才之路】2014-2015高中数学人教A版选修2-3配套课件：1.2.2 第3课时排列与组合习题课[来源

第一章 1.2 1.2.2 第3课时
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[解析] (1)先安排 4 个小品节目，有 A44种排法，4 个小品节目中和两头共 5 个空，将 3 个舞蹈节目插入这 5 个空中，共有 A35种排法．
第一章 1.2 1.2.2 第3课时
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2．(2013·吉林白山一中高二期末)某公司新招聘8名员工，
平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不
能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部
门，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ同的分配方案共有( )
第一章 1.2 1.2.2 第3课时
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牛刀小试
1．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志
愿者，则不同的分派方法共有( )
A．150种
B．180种
C．200种
D．280种
[答案] A
[解析] 人数分配上有 1、1、3 与 1、2、2 两种方式，若是 1,1,3，则有C35AC1222C11×A33＝60(种)，若是 1、2、2，则有C15AC2422C22 ×A33＝90(种)，所以共有 150 种，选 A.
第一章 1.2 1.2.2 第3课时
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[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①题目中涉及3个舞蹈、4个小品共7个节目； ②是同类节目互不相邻的问题．解答本题的第(1)问可以先安排4个小品，然后让3个舞蹈 “插空”；第(2)问彼此相间时安排方式只能是小品占1,3,5,7，舞蹈占2,4,6.故分两步，先安排小品，再安排舞蹈，或先安排舞蹈再安排小品．

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习：综合检测]

选修2－2综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·山东鱼台一中高二期中)复平面内，复数(2－i)2对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴此复数在复平面内的对应点为(3，－4)，故选D. 2．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2 D ．y ＝x －2 [答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ；又f (x )的顶点在第四象限， ∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．(2013·山东嘉祥一中高二期中)曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成图形的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]dx ＝2⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B. 5．(2013·浙江余姚中学高二期中)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2013，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1＝f n ′(x )，则f 2014(x )＝( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x[答案] C[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2013x 2012，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2013×2012x 2011，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2013×2012×2011x 2010，……，∴f 2014(x )＝－sin x ＋e x .6．(2014·贵州湄潭中学高二期中)函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A.12 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x ∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i.∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.8．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋k D ．f (k )＋k －2[答案] A[解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的k －2条侧棱形成k －2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k －1个对角面，∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1.故选A.9．(2014·揭阳一中高二期中)函数y ＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有极值，则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－2D ．2[答案] D[解析] y ′＝a cos x ＋cos3x ，由条件知，a cos π3＋cosπ＝0，∴a ＝2，故选D.10．(2014·淄博市临淄区检测)下列求导运算正确的是( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x 2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )2[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x )′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.11．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ (1)2n －1<f (n ) (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k－1项D ．2k 项[答案] D[解析] n ＝k ＋1时，左边为： 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＋⎝⎛⎭⎫12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋2k －1，故共增加了2k 项，故选D.12．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1][答案] A[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x，由f ′(x )≤0及x >0得，0<x ≤1，故选A. [点评] 利用导数判断函数单调性的一般步骤①求导数f ′(x )；②在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0； ③根据②的结果确定函数f (x )的单调区间．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．(2013·山东嘉祥一中高二期中)在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n ＝(T 2nT n)3.那么在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是________． [答案] S 3n ＝3(S 2n －S n )[解析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2nT n )3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n －S n )．14．已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,7)[解析] f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，其图象开口向上，由条件知f ′(－1)·f ′(1)<0，∴(－1－a )(7－a )<0，∴－1<a <7，当a ＝－1时，f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝0，在(－1,1)上恰有一根x ＝－13，当a ＝7时，f ′(x )＝0在(－1,1)上无实根，∴－1≤a <7.15．(2014·天门市调研)若复数z ＝21＋3i ，其中i 是虚数单位，则|z －|＝________.[答案] 1[解析] 因为z ＝21＋3i ＝2(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝2(1－3i )4＝12－32i ，所以|z －|＝(12)2＋(－32)2＝1. 16．(2013·玉溪一中高三月考)已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1,2)，则⎠⎛02(1－3x ＋a )dx＝________.[答案] 2－3ln3[解析] 由条件知方程1－3x ＋a ＝0的根为－1或2，∴a ＝1.∴⎠⎛02(1－3x ＋a )dx ＝⎠⎛02(1－3x ＋1)dx ＝ |[x －3ln (x ＋1)]20＝2－3ln3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2014·洛阳市高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．[解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．[点评] 第(3)问要求“写出线段PQ 长的取值范围”可以不写解答过程．18．(本题满分12分)(2014·四川文，21)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a 、b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，证明：e －2<a <1. [解析] (1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增．因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)．所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2，所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2<a <1.所以，函数f (x )在区间(0,1)内有零点时，e －2<a <1.19．(本题满分12分)先观察不等式(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(a 1、a 2、b 1、b 2∈R )的证明过程：设平面向量α＝(a 1，b 1)，β＝(a 2，b 2)，则|α|＝a 21＋b 21，|β|＝a 22＋b 22，α·β＝a 1a 2＋b 1b 2. ∵|α·β|≤|α|·|β|，∴|a 1a 2＋b 1b 2|≤a 21＋b 21·a 22＋b 22， ∴(a 1a 2＋b 1b 2)2≤(a 21＋b 21)(a 22＋b 22)，再类比证明：(a 21＋b 21＋c 21)(a 22＋b 22＋c 22)≥(a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2)2.[分析] 把平面向量类比推广到空间向量可以证明．[解析] 设空间向量α＝(a 1，b 1，c 1)，β＝(a 2，b 2，c 2)，则|α|＝a 21＋b 21＋c 21，|β|＝a 22＋b 22＋c 22，α·β＝a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2， ∵|α·β|≤|α|·|β|， ∴|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|≤a 21＋b 21＋c 21·a 22＋b 22＋c 22，∴(a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2)2≤(a 21＋b 21＋c 21)(a 22＋b 22＋c 22)．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．[解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝32π.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(32π，2π)，单调减区间为(π，32π)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (32π)＝3π2.21．(本题满分12分)(2013·海淀区高二期中)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立．由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22．(本题满分14分)(2014·贵州湄潭中学高二期中)设函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．[解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12， f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e，又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e.一、选择题1．i 是虚数单位，复数z ＝2＋3i－3＋2i 的虚部是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] z ＝2＋3i －3＋2i ＝(2＋3i )(－3－2i )(－3＋2i )(－3－2i )＝－6－9i －4i ＋613＝－i ，∴z 的虚部是－1.2．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2[答案] A[解析] y ′＝－2(x －1)2，y ′|x ＝3＝－12， ∵(－12)·(－a )＝－1，∴a ＝－2.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.4．(2013·辽宁实验中学高二期中)三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x[答案] B[解析] 由条件设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)，∴b ＝－6a ，c ＝9a ，∴f (x )＝ax 3－6ax 2＋9ax ，∵f (1)＝4，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故选B.5．在复平面内，点A 对应的复数为1＋2i ，AB →＝(－2,1)，则点B 对应的复数的共轭复数为( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i[答案] D[解析] 由条件知A (1,2)，又AB →＝(－2,1)， ∴B (－1,3)，∴点B 对应复数z ＝－1＋3i ，故z －＝－1－3i.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2013的值为( )A.20122013 B ．20112012C ．20092010D ．20102011[答案] A[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1. 则f (x )＝x 2＋x .于是1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S 2013＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (2013)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12012－12013)＝1－12013＝20122013.7．(2014·淄博市临淄区检测)已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <1[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )<0⇒－2<x <2，所以函数f (x )＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，m ＋1>2m .从中解得－1≤m <1，选D.8．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 …… A ．1111110 B ．1111111 C ．1111112 D ．1111113[答案] B[解析] 可利用归纳推理，由已知可猜测123456×9＋7＝1111111.9．(2012·江西文，5)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4 , |x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8, |x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92 [答案] B[解析] 本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x |＋|y |＝n 的不同整数解(x ，y )个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20不同整数解(x ，y )的个数为4×20＝80.10．(2012·大纲全国理，1)复数－1＋3i1＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i [答案] C[解析] 本小题主要考查了复数四则运算法则，可利用除法运算求解．因为－1＋3i1＋i＝(－1＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋4i2＝1＋2i ，所以选C.11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.12．(2014·辽宁理，11)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3][答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ，当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1. ∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数，∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6；当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2. 综上知－6≤a ≤－2. 二、填空题13．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .14．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．[答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0，又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.15．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x|π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.16．(2013·天津红桥区高二质检)已知结论“a 1、a 2∈R ＋，且1a 1＋1a 2≥4：若a 1、a 2、a 3∈R ＋，且a 1＋a 2＋a 3＝1，则1a 1＋1a 2＋1a 3≥9”，请猜想若a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥________.[答案] n 2[解析] 结论左端各项分别是和为1的各数a i 的倒数(i ＝1,2，…，n )，右端n ＝2时为4＝22，n ＝3时为9＝32，故a i ∈R ＋，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1时，结论为1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2(n ≥2)．三、解答题17．已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不可能构成等差数列．[解析] 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则得2b ＝1a ＋1c ，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a ，b ，c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a ，1b ，1c不能构成等差数列．18．已知函数f (x )＝(2－a )x －2ln x ，(a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．[解析] (1)由题可知f ′(x )＝2－a －2x(x >0)，令f ′(x )＝0得2－a －2x ＝0，∴x ＝22－a ，又因为函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝0.(2)①若a ＝2，f ′(x )＝－2x <0(x >0)，f (x )＝－2ln x 的单调递减区间为(0，＋∞)；②若2－a <0，即a >2时，f ′(x )＝2－a －2x 在(0，＋∞)上小于0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减；③若2－a >0，即a <2时，当x >22－a 时f ′(x )>0，f (x )单调递增，0<x <22－a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上：a ≥2时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；a <2时，f (x )的单调递增区间为(22－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，22－a)．19．设函数f (x )＝ax ＋xx －1(x >1)，若a 是从1、2、3三个数中任取的一个数，b 是从2、3、4、5四个数中任取的一个数，求f (x )>b 恒成立的概率．[解析] 若使f (x )>b 恒成立，只需使ax ＋xx －1－b >0在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝ax ＋x x －1－b ，则g ′(x )＝a －1(x －1)2＝a (x －1)2－1(x －1)2，令g ′(x )＝0，则a (x －1)2－1＝0，解得：x ＝±aa ＋1，∴x ∈(1，aa＋1)时，g ′(x )<0， x ∈(aa＋1，＋∞)时，g ′(x )>0. ∴x ＝aa＋1时，函数g (x )取得最小值为 g (aa＋1)＝2a ＋a ＋1－b ， ∴2a ＋a ＋1－b >0，∴当a ＝1时，b 的值可以是2或3，当a ＝2时，b 的值可以是2或3或4或5，当a ＝3时，b 的值可以是2或3或4或5.∴使f (x )>b 恒成立的取法共有10种，而数对(a ，b )的所有可能取法共有12种，∴使f (x )>b 恒成立的概率为P ＝1012＝56.20．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .[解析] 要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ac >0，且上述三式中的等号不同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc . ∴lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c . 21．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x .(1)若a >2，讨论函数f (x )的单调性；(2)已知a ＝1，g (x )＝2f (x )＋x 3，若数列{a n }的前n 项和为S n ＝g (n )，证明：1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13(n ≥2，n ∈N ＋)． [解析] (1)可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．有 f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x＝(x －1)[x －(a －1)]x，因为a >2，所以a －1>1.故当1<x <a －1时f ′(x )<0；当0<x <1或x >a －1时f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(1，a －1)上单调递减，在区间(0,1)和(a －1，＋∞)上单调增加． (2)由a ＝1知g (x )＝x 3＋x 2－2x ，所以S n ＝n 3＋n 2－2n .可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 2－n －2，(n ≥2)，0，(n ＝1).∴a n ＝3n 2－n －2(n ≥2)．所以1a n ＝1(3n ＋2)(n －1)(n ≥2)．因为1(3n ＋2)(n －1)<13n (n －1)＝13(1n －1－1n)，所以1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝13(1－1n )＝13－13n <13，综上，不等式得证．22．(2014·揭阳一中高二期中)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a <0)．(1)若函数f (x )在定义域内单调递增，求a 的取值范围；(2)若a ＝－12且关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；(3)设各项为正的数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝ln a n ＋a n ＋2，n ∈N *，求证：a n ≤2n －1. [解析] (1)f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)．依题意f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝(1x －1)2－1在x >0时恒成立，即a ≤((1x －1)2－1)min (x >0)，当x ＝1时，(1x －1)2－1取最小值－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)a ＝－12，f (x )＝－12x ＋b ⇔14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)，则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x.g (x )，g ′(x )随x 的变化如下表：∴g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2，g (x )极大值＝g (1)＝－b －54，又g (4)＝2ln2－b －2，∵方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0.得ln2－2<b ≤－54.(3)设h (x )＝ln x －x ＋1，x ∈[1，＋∞)，则h ′(x )＝1x －1≤0，∴h (x )在[1，＋∞)上为减函数．∴h (x )max ＝h (1)＝0，故当x ≥1时有ln x ≤x －1. ①当n ＝1时，a 1＝1≤1成立；②假设n ＝k 时，a k ≤2k －1，则当n ＝k ＋1时， ∵2k －1≥1，∴ln(2k －1)≤(2k －1)－1＝2k －2， ∴a k ＋1＝ln a k ＋a k ＋2≤ln(2k －1)＋(2k －1)＋2 ≤(2k －2)＋(2k －1)＋2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时结论也成立，由①②得，对∀n ∈N *有a n ≤2n －1成立．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-3)练习：2.3.1 离散型随机变量的均值]

选修2-3 第二章 2.3 2.3.1一、选择题1．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无法求 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X )[答案] B[解析] 只要认识到E (X )是一个常数，则可直接运用均值的性质求解． ∵E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，而E (X )为常数， ∴E (X －E (X ))＝E (X )－E (X )＝0.2．(2013·湖北理，9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A ．126125B ．65C ．168125D ．75[答案] B[解析] 题意知X ＝0、1、2、3，P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，∴E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.3．(2013·北师大附中高二期中)已知离散型随机变量X 的分布列如下：A ．1B ．0.6C ．2＋3mD ．2.4[答案] D[解析] 由0.5＋m ＋0.2＝1得，m ＝0.3，∴E (x )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4. 4．甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数ξ的期望是( )A ．43B ．119C ．1D ．89[答案] A[解析] 依题意，ξ的取值为0、1、2. 且P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－23)＝19，P (ξ＝1)＝23×(1－13)＋(1－23)×13＝49，P (ξ＝2)＝23×23＝49.故ξ的期望E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43.5．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )＝( )A ．0.765B ．1.75C ．1.765D ．0.22 [答案] B[解析] 设A 、B 分别为每台雷达发现飞行目标的事件，X 的可能取值为0、1、2， P (X ＝0)＝P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.P (X ＝1)＝P (A ·B ＋A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22. P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.9×0.85 ＝0.765.∴E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )A ．35B ．815C ．1415D ．1[答案] A[解析] X ＝1时，P ＝C 17C 13C 210；X ＝2时，P ＝C 23C 210.∴E (X )＝1×C 17C 13C 210＋2×C 23C 210＝7×3＋2×3C 210＝35，故选A. 二、填空题7．(2014·浙北名校联盟联考)一袋中装有分别标记着1、2、3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X 、Y ，设ξ＝Y －X ，则E (ξ)＝__________________.[答案] 43[解析] 由题意知ξ的取值为0、1、2，ξ＝0，表示X ＝Y ，ξ＝1表示X ＝1，Y ＝2；或X ＝2，Y ＝3；ξ＝2表示X ＝1，Y ＝3.∴P (ξ＝0)＝333＝19，P (ξ＝1)＝2×2×333＝49，P (ξ＝2)＝2×3＋A 3333＝49， ∴E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝43.8．设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：则E (X )[答案] 32[解析] 由表可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤12－p ≤1，0≤p ≤1，从而得P ∈[0，12]，期望值E (X )＝0×(12－p )＋1×p＋2×12＝p ＋1，当且仅当p ＝12时，E (X )最大值＝32.9．(2014·哈师大附中高二期中)一批型号相同的产品，其中有2件次品、5件正品，每次抽一件测试，直到将两件次品全部区分为止．假设抽后不放回，则第5次测试后停止的概率是________．[答案]421[解析] “第五次测试后停止”的含义是：在前四次测试中有一件次品，第五次测试结果为次品，故所求概率为P ＝C 12·C 35C 47·1C 13＝421.三、解答题10．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问题：(1)若直到取到好电池为止，求抽取次数ξ的分布列及均值；(2)若将题设中的无放回改为有放回，求检验5次取到好电池个数X 的数学期望． [解析] (1)ξ可取的值为1、2、3，则P (ξ＝1)＝35，P (ξ＝2)＝25×34＝310，P (ξ＝3)＝25×14×1＝110，抽取次数ξ的分布列为：E (ξ)＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.(2)每次检验取到好电池的概率均为35，故X ～B (n ，p )，即X ～B (5，35)，则E (X )＝5×35＝3.一、选择题11．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的均值为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1000,0.1)，所以E (ξ)＝1000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故EX ＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的数学期望E (ξ)为( )A ．89B ．35C ．25D ．13[答案] A[解析] ∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧， ∴－b 2a <0，即ba >0，∴a 与b 同号．∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.[点评] 基本事件只与a 、b 的取值有关，故可不必考虑c 的取值；a 、b 同号的所有可能取法有2×(3×3)＝18种，由于ξ＝|a －b |，∴a 、b 同正和a 、b 同负时，ξ的取值只有0、1、2三种．13．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0、1、2，P (ξ＝0)＝C 27－x C 27＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝C 1x ·C 17－xC 27＝x (7－x )21， P (ξ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3. 二、填空题14．设离散型随机变量X 可能取的值为1、2、3、4.P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1、2、3、4)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.[答案]110[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋b )×1＋(2a ＋b )×2＋(3a ＋b )×3＋(4a ＋b )×4＝3，(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧30a ＋10b ＝3，10a ＋4b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝110b ＝0，∴a ＋b ＝110.15．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E (η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n 的值为________.[答案] 13[分析] 由分布列的性质可得m 与n 的一个方程，由期望的定义与性质可得m 与n 的另一个方程，两方程联立可解得m 、n .[解析] η＝4ξ－2⇒E (η)＝4E (ξ)－2⇒7＝4·E (ξ)－2⇒E (ξ)＝94⇒94＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112，又14＋m ＋n ＋112＝1，联立求解可得n ＝13. [点评] 这一部分内容公式较多，熟记离散型随机变量的期望、方差的定义式及其性质，熟记各种概率分布的期望、方差公式是正确解答概率分布问题的先决条件．三、解答题16．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0.999104.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p ；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000 元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．[解析] 各投保人是否出险相互独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B (104，p )．(1)记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当ξ＝0，P (A )＝1－P (A )＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )104，又P (A )＝1－0.999104，故p ＝0.001.(2)该险种总收入为10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出：10 000ξ＋50 000，盈利：η＝10 000a －(10 000ξ＋50 000)，盈利的期望为：E (η)＝10 000a －10 000E (ξ)－50 000，由ξ～B (104,10－3)知，E (ξ)＝10 000×10－3，E (η)＝104a －104E (ξ)－5×104 ＝104a －104×104×10－3－5×104.E (η)≥0⇔104a －104×10－5×104≥0⇔a －10－5≥0⇔a ≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．17．(2014·深圳市二调)某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏，规则如下：每人连续投掷5支飞镖，累积3支飞镖掷中目标即可获奖；否则不获奖．同时要求在以下两种情况下中止投掷：①累积3支飞镖掷中目标；②累积3支飞镖没有掷中目标．已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数p (p >0.5)，且掷完3支飞镖就中止投掷的概率为13.(1)求p 的值；(2)记小明结束游戏时，投掷的飞镖支数为X ，求X 的分布列和数学期望． [解析] (1)由已知P (X ＝3)＝p 3＋(1－p )3＝13，解得p ＝13或p ＝23.∵p >0.5，∴p ＝23.(2)X 的所有可能取值为3,4,5. P (X ＝3)＝13，P (X ＝4)＝[C 23×(23)2×13]×23＋[C 23×(13)2×23]×13＝1027， P (X ＝5)＝C 24×(23)2×(13)2＝827(或P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝827)． X 的分布列为∴X 的数学期望为E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.。

成才之路·人教A版数学选修课件2-3 2.3.3

2.3.3
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
4．一个口袋中有6只球，编号为1、2、3、4、5、6，在袋中同时取出3只，则所取的3只球中的最大编号X的均值为 ________． [答案] 5.25
第二章
2.3
2.3.3
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第二章
2.3
2.3.3
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
1 1 2 4 (2)V 的所有可能取值为 0、6、3、3、3，因此 V 的分布列为 V P 0 3 5 1 6 1 20 1 3 3 20 2 3 3 20 4 3 1 20
由 V 的分布列得 3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 E(V)＝0×5＋6×20＋3×20＋3×20＋3×20＝40.
3．已知随机变量，其中 Y＝12X＋7，且 E(Y)＝34.若 X 的分布列如下表，则 m 的值为( X p 1 A.3 1 C．6 1 1 4 2 m 1 B．4 1 D．8 ) 3 n 4 1 12
[答案] A
第二章
2.3
2.3.3
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则 C＝A－ B ∪－ A B，A、B 独立． 3 2 根据投篮统计数据，P(A)＝5，P(B)＝5， P(C)＝P(A－ B )＋P(－ A B) 3 3 2 2 13 ＝5×5＋5×5＝25. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮 13 命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为25. (3)E(X)＝－ x.
第二章

【成才之路】高中数学人教A版选修2-3练习：模块综合检测(能力卷)(含答案解析)

模块综合检测(能力卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·福州高二检测)某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ＝45x ＋a ，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力为导学号 03960726( )A ．9.2B ．9.8C ．9.5D ．10[答案] C[解析] ∵x －＝14(4＋6＋8＋10)＝7；y －＝14(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴样本的中心点坐标为(7,5.5)，代入回归方程得：5.5＝45×7＋a ^，∴a ^＝－0.1. ∴y ^＝0.8x －0.1，当x ＝12时，y ^＝0.8×12－0.1＝9.5，故选C ．2．(2016·四川理，2)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为导学号 03960753( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4[答案] A[解析] (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x6－r i r (r ＝0,1,2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A ．3．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率导学号 03960727( )A ．(2,4]B ．(0,2]C ．[－2,0)D ．(－4,4][解析]此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．4．设A＝37＋C27·35＋C47·33＋C67·3，B＝C17·36＋C37·34＋C57·32＋1，则A－B的值为导学号03960728()A．128 B．129C．47D．0[答案] A[解析]A－B＝37－C17·36＋C27·35－C37·34＋C47·33－C57·32＋C67·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A．5．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(k2≥6.635)＝0.010表示的意义是导学号03960729()A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%[答案] D[解析]由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量X与Y有关系的概率为99%.6．(2016·四川理，4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为导学号03960730()A．24 B．48C．60 D．72[答案] D[解析]由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72，故选D．7．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为导学号03960731()A．360 B．520C．600 D．720[解析] 当甲、乙两人中只有一人参加时，有C 12·C 35·A 44＝480种方法；当甲、乙两人都参加时，有C 22·C 25(A 44－A 22A 23)＝120种方法．由分类加法计数原理知，不同的发言顺序共有480＋120＝600种，故选C ．8．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为导学号 03960732( )A ．0.9B ．0.8C ．1.2D ．1.1[答案] A[解析] X 的取值为0、1、2， P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. 9．(2016·长沙二模)二项式(x －1x)6的展开式中常数项为导学号 03960733( ) A ．－15 B ．15 C ．－20 D ．20[答案] B [解析] 二项式(x －1x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·(－1x )r ＝C r 6·(－1)r·x 6－32r ，令6－32r ＝0，得r ＝4.因此，二项式(x －1x)6的展开式中的常数项是C 46·(－1)4＝15，故选B ． 10．某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中x 4的系数为导学号 03960734( )A ．50000B ．52000C ．54000D ．56000[答案] C[解析] A 、B 均未被选中的种数有C 23C 25＝30，∴k ＝C 24C 26－30＝60.在(1＋60x 2)6展开式中，T r ＋1＝C r 6(60x 2)r ，令r ＝2，得T 3＝C 26602x 4＝54000x 4.故选C ．11．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是导学号 03960735( )A ．18125B ．36125C ．44125D ．81125[答案] B[解析] 每次取到红球的概率为35，所求概率为C 12×35×25×35＝36125.故选B ． 12．已知0<a <1，方程a |x |＝|log a x |的实根个数为n ，且(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10＋a 11(x ＋2)11，则a 1等于导学号 03960736( )A ．－10B ．9C ．11D ．－12 [答案] B[解析] 作出y ＝a |x |(0<a <1)与y ＝|log a x |的大致图象如图所示，所以n ＝2.故(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝(x ＋2－1)2＋(x ＋2－1)11，所以a 1＝－2＋C 1011＝－2＋11＝9.故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．某校1000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是________.导学号 03960737[答案] 682[解析] 由题图知X ～N (μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝8，∴P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝P (52<X ≤68)＝0.6826. ∴人数为0.6826×1000≈682.14．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.1，则D (X )＝________.导学号 03960738[答案] 0.49[解析] p ＝1－⎝⎛⎭⎫15＋310＝12，E (X )＝1.1＝0×15＋1×12＋310x ，解得x ＝2，所以D (X )＝15×(0－1.1)2＋12×(1－1.1)2＋310×(2－1.1)2＝0.49.15．(2016·临沂高二检测)如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________.导学号 03960739[答案] 45[解析] 由已知X 的取值为7,8,9,10.∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25， P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110.∴X 的概率分布列为∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝310＋25＋110＝45.16．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O (0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m ，n )，(m ，n ∈N *)，记可能的爬行方法总数为f (m ，n )，则f (m ，n )＝________.导学号 03960740[答案] C m m ＋n[解析] 从原点O 出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m ，n )需m 个0和n 个1.这样爬行方法总数f (m ，n )是m 个0和n 个1的不同排列方法数．m 个0和n 个1共占m ＋n 个位置，只要从中选取m 个放0即可．∴f (m ，n )＝C m m ＋n .(例如f (3,4)＝C 37其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．) 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(列出算式即可)导学号 03960741(1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88)种排法．方法二：甲在首位的共有A 99种，乙在末位的共有A 99种，甲在首位且乙在末位的有A 88种，因此共有(A 1010－2A 99＋A 88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有A 1010A 33种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010种排法．18．(本题满分12分)已知(x －12x )n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.导学号 03960742(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中所有整式项．[解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·(12x )r ·(－1)r ， ∴前三项系数的绝对值分别为C 0n，12C 1n ，14C 2n ，由题意知C 1n ＝C 0n＋14C 2n ， ∴n ＝1＋18n (n －1)，n ∈N *，解得n ＝8或n ＝1(舍去)， ∴T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·(－12x)k＝C k 8·(－12)k ·x 4－k,0≤k ≤8，令4－k ＝0得k ＝4，∴展开式中的常数项为T 5＝C 48(－12)4＝358. (2)要使T k ＋1为整式项，需4－k 为非负数，且0≤k ≤8，∴k ＝0,1,2,3,4. ∴展开式中的整式项为：x 4，－4x 3,7x 2，－7x ，358.19．(本题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.导学号 03960743(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.)(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？[解析] (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50， P (700<X ≤900)＝0.9544. 由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900) ＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.9772. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1600x ＋2400y 依题意，x 、y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900. 于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N.且使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．20．(本题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ文，15)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值导学号 039607448i ＝1(x i －x )28i ＝1(w i －w )28i ＝1(x i －x )(y i －y ) 8i ＝1(w i －w )(y i －y )表中w i ＝x i ，w ＝18i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝ni ＝1 u i －uv i －vn i ＝1u i －u2，α^＝v －β^u .[解析] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2) 令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18w i －wy i －y∑i ＝18w i －w2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)(ⅰ)由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝0.2×576.6－49＝66.32. (ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．21．(本题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.导学号 03960745(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解析] (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，因为P (X ＝0)＝(1－23)×(1－25)＝15，P (X ＝2)＝23×(1－25)＝25，P (X ＝3)＝(1－23)×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1、X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．22．(本题满分12分)(2016·山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：导学号 03960746(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．[解析] (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －.由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A －)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B －)P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C －)P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D －) ＝34×23×34×23＋2×(14×23×34×23＋34×13×34×23) ＝23. 所以“星队”至少猜对2个成语的概率为23. (2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144， P (X ＝1)＝2×(34×13×14×13＋14×23×14×13)＝10144＝572， P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112， P (X ＝4)＝2×(34×23×34×13＋34×23×14×23)＝60144＝512， P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14. 可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.。

成才之路·人教A版数学选修2-3-2

第三步，规范解答．
[解析] (1)X 的所有可能取值为 0、1、2、3. (2)X＝2 表示的事件为：“第一、二次取到次品，第三次取到正品”． (3)P(X＝2)＝123××121××910＝2920
巩固提升学案
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审结论，拟定解题目旳，①求X旳全部可能取值，即求取到正品前取到次品旳次数；②写出X＝2表达旳事件，并求其概率，X＝2表白取球3次前两次取到次品，第3次取到正品．
第二步，建联络，拟定解题环节，因为共有3件次品，∴X 旳取值不可能超出3，(1)(2)问比较轻易获解；第(3)问在第(2)问题旳基础上，只需把每次取出时总产品数与次品数搞清即可获解．
(2)一个袋中装有 10 个红球，5 个白球，从中任取 4 个球，其中所含红球的个数为 X；
(3)投掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为 X，所得点数之和是偶数为 Y.
[分析] (1)所取球旳编号X是离散型随机变量，X可能取 1、2、…、10，如X＝1表达取出旳是1号球；(2)从中任取4个球，所含红球旳个数X也为离散型随机变量，X可能旳取值为 0、1、2、3、4，如X＝2表达取出2个红球2个白球；(3)X和Y都是离散型随机变量，X旳可能取值为2、3、4、5、…、12，Y旳可能取值为2、4、6、8、10、12.如X＝3表达两种情况，甲掷出1点，乙掷出2点，记为(1,2)，或甲掷出2点，乙掷出1点，记为(2,1)；Y＝2表达(1,1)等．
3．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则要求：每题回答正确得2分，回答不正确倒扣1分，记选手甲回答这三个问题旳总得分为ξ，则ξ旳全部可能取值构成旳集合是 __________________________．
[答案] {6,3,0，－3} [解析] 三个问题回答完，其回答可能成果有：三个全对，两对一错，两错一对，三个全错，故得分可能情况是6 分，3分，0分，－3分，∴ξ旳全部可能取值构成旳集合为 {6,3,0，－3}．

《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习3章反馈练习

反馈练习一、选择题1．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255[答案] C[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝2－λ＋4λ2＋5×9＝89，所以λ＝－2或255． 2．若a 、b 、c 是非零空间向量，则下列命题中的真命题是( ) A ．(a·b )c ＝(b·c )a B ．若a·b ＝－|a |·|b |，则a ∥b C ．若a·c ＝b·c ，则a ∥b D ．若a·a ＝b·b ，则a ＝b[答案] B[解析] (a ·b )c 是与c 共线的向量，(b ·c )a 是与a 共线的向量，a 与c 不一定共线，故A 假；若a ·b ＝－|a |·|b |，则a 与b 方向相反， ∴a ∥b ，故B 真；若a ·c ＝b ·c ，则(a －b )·c ＝0，即(a －b )⊥c ，不能得出a ∥b ，故C 假；若a ·a ＝b ·b ，则|a |＝|b |，方向不确定，故得不出a ＝b ，∴D 假．3．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2[答案] A[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数k ，使b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝(kλ＋k,0,2k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ kλ＋k ＝6，2μ－1＝0，2λ＝2k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ μ＝12，λ＝2，k ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝－3，k ＝－3.故选A ．4．同时垂直于a ＝(2,2,1)，b ＝(4,5,3)的单位向量是( ) A ．⎝⎛⎭⎫13，－23，23 B ．⎝⎛⎭⎫－13，23，－23 C ．⎝⎛⎭⎫13，－13，23 D ．⎝⎛⎭⎫13，－23，23或⎝⎛⎭⎫－13，23，－23 [答案] D[解析] 设所求向量为c ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝1，检验知选D ．[点评] 检验时，先检验A(或B)，若A 不满足，则排除A 、D ；再检验B ，若A 满足，则排除B ，C ，只要看D 是否成立．5．已知矩形ABCD ，P A ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是( ) A ．DA →·PB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PD →·AB →＝0 D ．P A →·CD →＝0[答案] B[解析] ①⎭⎪⎬⎪⎫DA ⊥AB DA ⊥P A ⇒DA ⊥平面P AB ⇒DA ⊥PB ⇒DA →·PB →＝0；②同①知AB →·PD →＝0；③P A ⊥平面ABCD ⇒P A ⊥CD ⇒P A →·CD →＝0； ④若BD →·PC →＝0，则BD ⊥PC ，又BD ⊥P A ，∴BD ⊥平面P AC ，故BD ⊥AC ，但在矩形ABCD 中不一定有BD ⊥AC ，故选B ．6．已知ABCD 是四面体，O 是△BCD 内一点，则AO →＝13(AB →＋AC →＋AD →)是O 为△BCD重心的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] C[解析] 设E 为CD 中点，AO →＝13(AB →＋AC →＋AD →)＝13AB →＋13(BC →－BA →＋BD →－BA →)＝13AB →＋13(BC →＋BD →)－23BA →＝AB →＋23BE →， ∴BO →＝23BE →．即O 为△BCD 的重心．反之也成立．7．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)[答案] B[解析] 设平面AEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，E (1,1，12)，F (12，0,1)．故AE →＝(0,1，12)，AF →＝(－12，0,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧AE →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎨⎧y ＋12z ＝0，－12x ＋z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12z ，x ＝2z .当z ＝－2时，n ＝(－4,1，－2)，故选B ．8．a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( ) A ．55B ．555C ．355D ．115[答案] C[解析] b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∵|b －a |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5t 2－2t ＋2 ＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95≥95，∴|b －a |min ＝355． 9．如图ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°[答案] D[解析] 正方体中，BD ∥B 1D 1，且BD ⊄面CB 1D 1，知BD ∥平面CB 1D 1，A 正确；AC 1在面ABCD 内的射影为AC ，又AC ⊥BD ，由三垂线定理知AC 1⊥BD ．故B 正确；同理可得AC 1⊥B 1D 1，AC 1⊥CD 1，且B 1D 1∩CD 1＝D 1，∴AC 1⊥平面CB 1D 1，故C 正确；由AD ∥BC 知，∠B 1CB 为AD 与CB 1所成的角，应为45°，故D 错误．10．已知△ABC 的顶点A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 解法一：设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －1，y ＋1，z －2)，BD →＝(x －5，y ＋6，z －2)，AC →＝(0,4，－3)，∵AD →∥AC →，且BD →⊥AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，4y ＋1＝－3z －2，4(y ＋6)－3(z －2)＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－215，z ＝225.∴|BD →|＝5．解法二：设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ． ∴BD →＝(－4,4λ＋5，－3λ)，又AC →＝(0,4，－3)，AC →⊥BD →，∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， ∴λ＝－45，∴BD →＝⎝⎛⎭⎫－4，95，125， ∴|BD →|＝(－4)2＋⎝⎛⎭⎫952＋⎝⎛⎭⎫1252＝5．11．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点F 是侧面CDD ′C ′的中心，若AF →＝AD →＋xAB →＋yAA ′→，则x －y 等于( )A ．0B ．1C ．12D ．－12[答案] A[解析] 如图所示，AF →＝AD →＋DF →， ∴DF →＝xAB →＋yAA ′→， ∴12DC ′→＝xAB →＋yAA ′→， ∵12AB ′→＝12AB →＋12AA ′→ AB ′→＝DC ′→， ∴x ＝y ＝12，x －y ＝0．12．(2014·开滦二中期中)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] A[解析] 取AC 中点F ，则DF 綊BE ，∴DE ∥BF ，∴BF 与平面BB 1C 1C 所成的角为所求， ∵AB ＝1，BC ＝3，AC ＝2，∴AB ⊥BC ，又AB ⊥BB 1，∴AB ⊥平面BCC 1B 1，作GF ∥AB 交BC 于G ，则GF ⊥平面BCC 1B 1，∴∠FBG 为直线BF 与平面BCC 1B 1所成的角，由条件知BG ＝12BC ＝32，GF ＝12AB ＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6．二、填空题13．|a |＝|b |＝|c |＝1，a ＋b ＋c ＝0，则a ·c ＋b·c ＋a·b ＝__________． [答案] －32[解析] 设a ·c ＋b ·c ＋a ·b ＝x ，则2x ＝(a ＋b )·c ＋(b ＋c )·a ＋(c ＋a )·b ＝－|c |2－|a |2－|b |2＝－3，∴x ＝－32．14．给出命题：①在▱ABCD 中，AB →＋AD →＝AC →；②在△ABC 中，若AB →·AC →>0，则△ABC 是锐角三角形；③在梯形ABCD 中，E 、F 分别是两腰BC 、DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)；④在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)．以上命题中，正确命题的序号是______________．[答案] ①③④[解析] 本题考查向量的有关运算．①满足向量运算的平行四边形法则，①正确；AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A >0⇒∠A <90°，但∠B 、∠C 无法确定，△ABC 是否是锐角三角形无法确定，②错误；③符合梯形中位线，正确；④如图：DC →＝DA →＋AC →；DC →＋AB →＝DA →＋AB →＋AC →＝DA →＋2AE →＝2(F A →＋AE →)＝2FE →，则FE →＝12(AB →＋DC →)．15．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1的中点，则异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值是__________．[答案]105[解析] 如图，建立空间直角坐标系，则A (4,0,0)，C (0,4,0)，D 1(0,0,4)，E (0,4,2)，AC →＝(－4,4,0)，D 1E →＝(0,4，－2)．cos 〈AC →，D 1E →〉＝1632×20＝105．∴异面直线D 1E 与AC 所成角的余弦值为105． 16．若△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝8，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一点，则PM 的最小值为__________．[答案] 27[解析] 由条件知PC 、AC 、BC 两两垂直，设CA →＝a ，CB →＝b ，CP →＝c ，则a ·b ＝b ·c ＝c ·a＝0，∵∠BAC ＝60°，AB ＝8，∴|a |＝CA ＝8cos60°＝4，|b |＝CB ＝8sin60°＝43．|c |＝PC ＝4，设AM →＝xAB →＝x (b －a )，则PM →＝PC →＋CA →＋AM →＝－c ＋a ＋x (b －a )＝(1－x )a ＋x b －c ，|PM →|2＝(1－x )2|a |2＋x 2|b |2＋|c |2＋2(1－x )x a ·b －2x b ·c －2(1－x )a ·c ＝16(1－x )2＋48x 2＋16＝32(2x 2－x ＋1)＝64⎝⎛⎭⎫x －142＋28， ∴当x ＝14时，|PM →|2取最小值28，∴|PM →|min ＝27．三、解答题17．如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，用DA →，DC →，DD ′→表示向量BD ′→，AE →．[解析] (1)BD ′→＝DD ′→－DB →＝－DA →－DC →＋DD ′→． (2)AE →＝AA ′→＋A ′E →＝DD ′→＋12A ′C ′→＝DD ′→＋12AC →＝DD ′→＋12(DC →－DA →)＝－12DA →＋12DC →＋DD ′→．18．如图所示，已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心．求证：PQ ∥平面ACD ．[证明] ∵P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心． ∴PQ →＝EQ →－EP →＝13ED →－13EA →＝13(ED →－EA →)＝13AD →． ∴PQ →∥AD →，即PQ ∥AD ，又PQ ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴PQ ∥平面ACD ．19．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥BC 1； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1； (3)求AC 1与CB 1所成角的余弦值．[解析] ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直．如图所示，以C 为坐标原点，直线CA 、CB 、CC 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)． ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1．(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，则E (0,2,2)． ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)．∴DE →＝12AC 1→，∴DE ∥AC 1．∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1．(3)∵AC 1→＝(－3,0,4)，CB 1→＝(0,4,4)， ∴cos 〈AC 1→·CB 1→〉＝AC 1→·CB 1→|AC 1→|·|CB 1→|＝225．∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225．20．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝6，AA 1＝4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且CP ＝2，Q 是DD 1的中点，求：(1)M 到直线PQ 的距离； (2)M 到平面AB 1P 的距离．[解析] 如图，建立空间直角坐标系B －xyz ，则A (4,0,0)，M (2,3,4)，P (0,4,0)，Q (4,6,2)．(1)∵QM →＝(－2，－3,2)，QP →＝(－4，－2，－2)， ∴QM →在QP →上的射影为QM →·QP →|QP →|＝(－2)×(－4)＋(－3)×(－2)＋2×(－2)(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＝566，故M 到PQ 的距离为 |QM →|2－⎝⎛⎭⎫5662＝17－256＝4626．(2)设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1P 的法向量，则n ⊥AB 1→，n ⊥AP →， ∵AB 1→＝(－4,0,4)，AP →＝(－4,4,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋4z ＝0，－4x ＋4y ＝0.因此可取n ＝(1,1,1)，由于MA →＝(2，－3，－4)，那么点M 到平面AB 1P 的距离为d ＝|MA →·n ||n |＝|2×1＋(－3)×1＋(－4)×1|3＝533，故M 到平面AB 1P 的距离为533． [点评] 求点P 到直线l 的距离时，在直线l 上任取一点Q ，则QP →在l 上射影的长度为m ＝|QP →|·|cos 〈QP →，n 〉|(n 为直线l 的一个方向向量)，即m ＝|QP →·n ||n |，于是P 到l 的距离d ＝|QP ―→|2－m 2．21．(2014·浙江理，20)如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝2．(1)证明：DE ⊥平面ACD ；(2)求二面角B －AD －E 的大小．[解析] (1)在直角梯形BCDE 中，∵DE ＝BE ＝1，CD ＝2，∴BD ＝BC ＝2，在三角形ABC 中，AB ＝2，BC ＝2，AC ＝2，∴AC ⊥BC ．∵平面ABC ⊥平面BCOE ，而平面ABC ∩平面BCDE ＝BCAC ⊥BC ，∴AC ⊥平面BCDE ，∴AC ⊥DE ，又∵DE ⊥DC ，∴DE ⊥平面ACD ．(2)由(1)知分别以CD →、CA →为x 轴、z 轴正方向．过C 作CM ∥DE ，以CM 为y 轴建立空间直角坐标系．则B (1,1,0)，A (0,0，2)，D (2,0,0)，E (2,1,0)∴AB →＝(1,1，－2)，AD →＝(2,0，－2)，DE →＝(0,1,0)设平面ABD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·AB →＝n 1·AD →＝0，解得n 1＝(1,1，2)．设平面ADE 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2·AE →＝n 2·AD →＝0，解得：n 2＝(1,0，2)设二面角B －AD －E 的大小为θ，易知θ为锐角，cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝1＋0＋26×3＝32， ∴二面角B －AD －E 的平面角为π6． 22．(2014·浙北名校联盟联考)已知在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 为棱CC ′上任意一点，AB ＝BC ＝2，CC ′＝1．(1)求证：平面ACC ′A ′⊥平面BDE ；(2)若点P 为棱C ′D ′的中点，点E 为棱CC ′的中点，求二面角P －BD －E 的余弦值．[解析] (1)∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∵CC ′⊥平面ABCD ，∴BD ⊥CC ′，又CC ′∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面ACC ′A ′，∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ACC ′A ′．(2)以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以DD ′为z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，E (0,2，12)，P (0,1,1)，设平面BDE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，∵DB →＝(2,2,0)，DE →＝(0,2，12)， ∴⎩⎨⎧ m ·DB →＝2x ＋2y ＝0，m ·DE →＝2y ＋12z ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝4，∴m ＝(1，－1,4)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵DP →＝(0,1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，n ·DP →＝y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，∴n ＝(1，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝63， ∴二面角P －BD －E 的余弦值为63．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-3)练习：综合素质测试]

选修2－3综合素质测试时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·四川理，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种[答案] B[解析] 分两类：最左端排甲有A 55＝20种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有C 14A 44＝96种不同的排法，由加法原理可得满足条件的排法共有216种．2．有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下：A ．期望与方差B ．正态分布C ．卡方χ2D ．概率[答案] A[解析] 检验钢材的抗拉强度，若平均抗拉强度相同，再比较没动情况．故选A. 3．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20[答案] C[解析] 本小题考查二项展开式的指定项的求法．T r ＋1＝C r 6(4x )6－r ·(－2－x )r ＝C r 6(－1)r 2(12－3r )x，令12－3r ＝0，∴r ＝4，∴T 5＝C 46＝15.4．设随机变量X 服从二项分布X ～B (n ，p )，则(D (X ))2(E (X ))2等于( )A ．p 2B ．(1－p )2C ．1－pD ．以上都不对[答案] B[解析] 因为X ～B (n ，p )，(D (X ))2＝[np (1－p )]2，(E (X ))2＝(np )2，所以(D (X ))2(E (X ))2＝[np (1－p )]2(np )2＝(1－p )2.故选B.5．(2014·新课标Ⅱ理，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45[答案] A[解析] 本题考查条件概率的求法．设A ＝“某一天的空气质量为优良”，B ＝“随后一天的空气质量为优良”，则 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝0.60.75＝0.8，故选A. 6．某小组有8名学生，从中选出2名男生，1名女生，分别参加数、理、化单科竞赛，每人参加一科，共有90种不同的参赛方案，则男女生的人数应是( )A ．男生6名，女生2名B ．男生5名，女生3名C ．男生3名，女生5名D ．男生2名，女生5名 [答案] C[解析] 设男生有n 人，则女生有(8－n )人，所以C 2n C 18－n A 33＝90，得n (n －1)(8－n )＝30.所以n ＝3.故选C.7．某校高三年级举行一次演讲比赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采用抽签方式确定他们的演讲顺序，则一班3位同学恰好被排在一起，而二班2位同学没有被排在一起的概率为( )A.110 B ．120C.140 D ．1120[答案] B[解析] 基本事件总数为A 1010，而事件A 包括的基本事件可按“捆绑法”与“插空法”求解．10个人的演讲顺序有A 1010种可能，即基本事件总数为A 1010，一班同学被排在一起，二班的同学没有被排在一起这样来考虑：先将一班的3位同学当作一个元素与其他班的5位同学一起排列有A 66种，二班的2位同学插入到上述6个元素所留7个空当中，有A 27种方法．依分步计数原理得不同的排法有A 66·A 33·A 27种．∴所求概率为A 66·A 33·A 27A 1010＝120.故选B.8．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点随机抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2的观测值χ2＝99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )A ．有99%的人认为该栏目优秀B ．有99%的人认为栏目是否优秀与改革有关C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D ．以上说法都不对 [答案] C[解析] 当χ2＞6.635时有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．故选C. 9．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34 [答案] D[解析] 考查互斥事件的概率加法公式．甲获得冠军包括两种情况：在接下来的比赛中，第一局甲赢和第一局甲没赢，第二局甲赢．∴P ＝12＋12×(1－12)＝34，选D.10．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫23，1 B ．⎝⎛⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫0，23 D ．⎝⎛⎭⎫0，13 [答案] B[解析] 4引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4,2引擎飞机成功飞行的概率为p 2，要使C 34(1－p )＋p 4＞p 2，必有13＜p ＜1.故选B. 11．如图，已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为X (三点共线时，规定X ＝0)，则E (x )＝( )A.1140 B ．1340C.720 D ．920[答案] B[解析] 由题意知X 可取0，14，12，1，P (X ＝0)＝3C 36＝320，P (X ＝14)＝1020＝12，P (X ＝12)＝620＝310，P (X ＝1)＝120.则E (X )＝14×12＋12×310＋120＝1340.12．已知(1－2x )n 的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64，则(1－2x )n (1＋x )的展开式中，x 4的系数为( )A ．－672B ．672C ．－280D ．280 [答案] D[解析] 由2n －1＝64，所以n －1＝6，n ＝7.则(1－2x )7(1＋x )的展开式中含x 4的项为：C 47(－2x )4＋C 37(－2x )3x ＝(24C 47－23C 37)x 4＝280x 4，所以x 4的系数为280.故选D.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． [答案] 35[解析] 设“每次罚球命中”为事件A ，由题意P (A )·P (A )＋2P (A )·P (A )＝1625即[1－P (A )]2＋2P (A )·[1－P (A )]＝1625，即得P (A )＝35.14．如下图，A 、B 、C 、D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有______种．[答案] 16[解析] 一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥．共有C 14＝4种；二类：一个岛最多建两座桥如A —B —C —D 与D —C —B —A 这样两个排列对应一种建桥方法，因此共有A 442＝12种，据分类计数原理共有16种．15．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22、－3、－52、0、52、3、22，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝____________. [答案] 47[解析] 求数学期望，关键是求出其分布列．根据题意，先确定ξ的所有可能的取值，再计算概率，从而列出分布列．当l 的斜率k 为±22时，直线方程为±22x －y ＋1＝0，此时d 1＝13；k ＝±3时，d 2＝12；k ＝±52时，d 3＝23；k ＝0时，d 4＝1.由等可能事件的概率可得分布列如下：∴E (ξ)＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47.16．若⎝⎛⎭⎫x －ax 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. [答案] 1[解析] 由T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 9x 9－2r得9－2r ＝3，得r ＝3，x 3的系数为(－a )3C 39＝－84，解得a ＝1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)若在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．[解析] ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中前三项是：T 1＝C 0n ·(x )n ，T 2＝C 1n (x )n －1·124x，T 3＝C 2n(x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫124x 2，其系数分别是：C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，且2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，解之得n ＝1或n ＝8，n ＝1不符合题意应舍去，故n ＝8.当n ＝8时，T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝C r 8·12r ·x 16－3r 4 ，T r ＋1为有理项的充要条件是16－3r4∈Z ，所以r 应是4的倍数，故r 可为0,4,8，故所有有理项为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2.[说明] 求展开式中特定项或特定项的系数，利用二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n a n－r b r.18．(本题满分12分)在一次合唱中有6个女生(其中有1个领唱)和2个男生分成两排表演．(1)每排4人，问共有多少种不同的排法？(2)领唱站在前排，男生站在后排，还是每排4人，问有多少种不同的排法？[解析] (1)要完成这件事，必须分三步：第一步，先从8人中选4人站在前面，另4人站在后面，共有C 48·C 44＝C 48种不同的排法；第二步，前面4人进行排列，有A 44种排法；第三步，后面4人也进行排列，有A 44种排法．三步依次完成，才算这件事完成，故由分步乘法计数原理有N ＝C 48A 44A 44＝403 20种不同的排法．(2)同理有N ＝C 35A 44A 44＝5 760种不同的排法．19．(本题满分12分)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)；若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)求这箱产品被用户接收的概率； (2)记抽检的产品件数为ξ，求ξ的分布列． [解析] (1)设“这箱产品被用户接收”为事件A ，则P (A )＝8×7×610×9×8＝715.即这箱产品被用户接收的概率为715.(2)ξ的可能取值为1,2,3. P (ξ＝1)＝210＝15.P (ξ＝2)＝810×29＝845.P (ξ＝3)＝810×79＝2845.∴ξ的分布列为：20.(本小题共12分上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A 、B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．[解析] (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)，则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)，则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3，由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3) ＝12×15＋15×16＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3) ＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：所以，数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.21．(本题满分12分)某城市一个交通路口原来只设有红绿灯，平均每年发生交通事故80起，案件的破获率为70%，为了加强该路口的管理，第二年在该路口设置了电子摄像头，该年发生交通事故70起，共破获56起，第三年白天安排了交警执勤，该年发生交通事故60起，共破获了54起．(1)根据以上材料分析，加强管理后的两年该路口的交通状况发生了怎样的变化？ (2)试采用独立性检验进行分析，设置电子摄像头对该路口交通肇事案件的破获产生了什么样的影响？设置电子摄像头和交警白天执勤的共同作用对该路口交通肇事案件的破获产生了什么样的影响？[解析] (1)由统计数据可知，没有采取措施之前，案件的发生较多，并且破获率只有70%，安装电子摄像头之后，案件的发生次数有所减少，并且破获率提高到了80%，白天安排交警执勤后，案件的发生次数进一步减少，并且破获率提高到了90%.由此可知，电子摄像头对遏制交通案件的发生起到了一定作用，并且给破案带了一定的帮助，而安排交警执勤对这些的影响更大．(2)根据所提供的数据可以绘制对应的2×2列联表如下：案件的破获率有了明显提高，这说明两种措施对案件的破获都起到了一定的积极作用．先分析电子摄像头对破案的影响可信度，令a ＝56，b ＝24，c ＝56，d ＝14，构造随机变量χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝150×(56×14－24×56)280×70×112×38≈1.974.其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .而查表可知，P (χ2≥1.323)＝0.25.且1－0.25＝0.75＝75%，因此约有75%的把握认为，安装电子摄像头对案件的破获起到了作用．再分析安装电子摄像头及交警执勤的情况，同样令a ＝56，b ＝24，c ＝54，d ＝6，则 χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝140×(56×6－24×54)280×60×110×30≈8.145，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .而查表可知，P (χ2≥6.635)＝0.01，且1－0.01＝0.99＝99%，因此约有99%的把握认为安装电子摄像头及交警执勤对案件的破获起到了作用．22．(本题满分14分)袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量ξ的概率分布列和数学期望； (3)取球一次计分介于20分到40分之间的概率．[解析] (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35·(C 12)3C 310＝23. (2)由题意，ξ的可能取值为：2,3,4,5，P (ξ＝2)＝C 22·C 12＋C 12·C 22C 310＝130，P (ξ＝3)＝C 24·C 12＋C 14·C 22C 310＝215，P (ξ＝4)＝C 26·C 12＋C 16·C 22C 310＝310，P (ξ＝5)＝C 28·C 12＋C 18·C 22C 310＝815，所以ξ的分布列如下表：因此ξ的数学期望为E (ξ)＝2×130＋3×215＋4×310＋5×815＝133.(3)“取球一次计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则P (C )＝P (ξ＝3或ξ＝4)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝215＋310＝1330.。

【成才之路】高中数学 2.3数学归纳法同步测试新人教A版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.3数学归纳法同步测试新人教A 版选修2-2一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜3[答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A ．12n ＋1 B ．12n ＋2 C ．12n ＋1＋12n ＋2 D ．12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋＋1＋1n ＋＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋1n ＋－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋1n ＋－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立[答案] C[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N *)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C ．假设n ＝k (k 是正奇数)时命题成立，证明n ＝k ＋2时命题也成立 D ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N )时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立 [答案] C[解析] ∵n 为正奇数，当n ＝k 时，k 下面第一个正奇数应为k ＋2，而非k ＋1.故应选C.6．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1 D ．f (n )＋n －2[答案] C[解析] 增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.二、填空题7．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3…(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k·1·3·…·(2k －1)，n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)，右边为2k ＋1·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.8．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n n ＋，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案]nn ＋1[解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn ＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 9．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，第一步应验证的等式是________．[答案] 1－12＝12[解析] 当n ＝1时，等式的左边为1－12＝12，右边＝12，∴左边＝右边．三、解答题10．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1、a 2、a 3，并猜想a n 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立，即a k ＝2k－12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k， ∴当n ＝k ＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n ∈N *，a n ＝2n－12n －1成立．一、选择题11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C ．k ＋4＋k ＋22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2[答案] D[解析] n ＝k 时，左边＝1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故选D.12．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________.( )A ．2πB ．πC ．π2D ．π3[答案] B[解析] 将k ＋1边形A 1A 2…A k A k ＋1的顶点A 1与A k 相连，则原多边形被分割为k 边形A 1A 2…A k 与三角形A 1A k A k ＋1，其内角和f (k ＋1)是k 边形的内角和f (k )与△A 1A k A k ＋1的内角和π的和，故选B.13．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋1)3，减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，证明余下的项9k 2＋27k ＋27能被9整除．14．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则归纳猜测a 7＋b 7＝( )A ．26B ．27C ．28D ．29[答案] D[解析] 观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a 7＋b 7＝29.二、填空题15．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立 [解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形． 16．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a2n ＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.三、解答题17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立．当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝k ＋2＋k ＋＋22块区域．所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论． [分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n ＋2与n 2的大小关系； ②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想． [解析] 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。

【成才之路】14-2015学年高中数学 2.2.2 对数函数及其性质第2课时对数函数性质的应用课件新人教A版必修1

对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求f(x)的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
【思维拓展】讨论．
(1) 若对数函数的底数是含字母的代数式
(或单独一个字母 )，要考虑其单调性，就必须对底数进行分类
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
1 1 ③因为 0＞log0.23＞log0.24，所以log 3＜log 4，即 log30.2 0.2 0.2 ＜log40.2. ④因为函数 y＝log3x 是增函数，且 π＞3，所以 log3π＞log33 ＝1. 同理，1＝logππ＞logπ3，所以 log3π＞logπ3.
(0，＋∞) R 增函数
(0，＋∞) R
减函数图象过点(1,0)，即loga1＝0.
x∈(0,1)⇒y∈________； x∈(0,1)⇒y∈________； (－∞，0) (0，＋∞) 函数值 x∈[1，＋∞) x∈[1，＋∞) 特点 ⇒y∈__________ ⇒y∈__________ (－∞，0] [0，＋∞)
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝log1 (3＋2x－x2)．
2
[解析] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R. ∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.
∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设 u＝3＋2x－x2，则 u＝－(x－1)2＋4≤4. ∵u>0，∴0<u≤4. 又 y＝log1 u 在(0，＋∞)上是减函数，

《成才之路》2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习3章综合素质检测

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列说法中不正确的是( )A ．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量 [答案] D[解析] 只有当a 、b 不共线且a ∥α，b ∥α时，D 才正确．2．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α) ，且a ∥ b 则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°[答案] A[解析] ∵|a |2＝2，|b |2＝2， (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )．3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14 [答案] D[解析] AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1,6，λ－3)， ∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14，故选D ．4．(2013·北师大附中月考)若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋b[答案] C[解析] 因为a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D ；故选C ．5．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)[答案] D[解析] ∵l ∥α，∴a ·n ＝0，经检验知选D ．6．(2013·清华附中月考)已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°[答案] B[解析] 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →＝AC →＋CD →＋DB →， ∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1．cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12⇒〈AB →，CD →〉＝60°，故选B ．7．(2013·安徽省合肥一中期末)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( )A ．12，－12B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12[答案] A[解析] 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A ．8．已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且AD →＝2DB →，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A ．116B ．－116C ．12D ．13[答案] B[解析] 设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x ＋1，y －1，z －2)，AB →＝(2，－1，－3)，DB →＝(1－x ，－y ，－1－z )，∵AD →＝2DB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2(1－x )，y －1＝－2y ，z －2＝－2－2z .∴⎩⎨⎧x ＝13，y ＝13，z ＝0.∴D (13，13，0)，CD →＝(13－λ，－λ，－1－λ)，∵CD →⊥AB →，∴CD →·AB →＝2(13－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－116．9．(2013·河南省开封月考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为()A ．1B ．52C ．62D ．32[答案] C[解析] 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (1,1，2)，F (2,1，22)，所以|EF |＝(1－2)2＋(1－1)2＋(2－22)2＝62，故选C ．10． (2013·陕西省高新一中期末)如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，则点B 到直线A 1C 的距离为()A ．27B ．2357C ．357D ．1[答案] B[解析] 过点B 作BE 垂直A 1C ，垂足为E ，设点E 的坐标为(x ，y ，z )，则A 1(0,0,3)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，A 1C →＝(1,2，－3)，A 1E →＝(x ，y ，z －3)，BE →＝(x －1，y ，z )．因为⎩⎪⎨⎪⎧A 1E →∥A 1C →BE →·A 1C →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 2＝z －3－3x －1＋2y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝57y ＝107z ＝67，所以BE →＝(－27，107，67)，所以点B 到直线A 1C 的距离|BE →|＝2357，故选B ．11．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B ．22C ．13D ．16[答案] C[解析] 如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，A (1,0,0)，C (0,2,0)．从而D 1E →＝(1,1，－1)，AC →＝(－1,2,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝0，－a ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，a ＝c .令a ＝2，则n ＝(2,1,2)．所以点E 到平面ACD 1的距离为 h ＝|D 1E →·n ||n |＝2＋1－23＝13．12．如图所示，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°[答案] D[解析] 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B (2,0,0)，A (2,2,0)，G (0,0,1)，F (1,1,0)，C 1(0,0,2)，E (1,2,1)．则BA →＝(0,2,0)，GF →＝(1,1，－1)，C 1E →＝(1,2，－1)，∴cos 〈BA →，GF →〉＝|BA →·GF →||BA →|·|GF →|＝13，cos 〈BA →，C 1E →〉＝|BA →·C 1E →||BA →|·|C 1E →|＝23，∴cos α＝13，sin α＝23，cos β＝23，sin β＝13，cos(α＋β)＝0，∴α＋β＝90°．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当AP →·BP →取最小值时，点P 的坐标为__________．[答案] (12，0,0)[解析] 设P (x,0,0)，则AP →＝(x －1，－2,0)，BP →＝(x ，－1,1)， AP →·BP →＝x (x －1)＋2＝(x －12)2＋74，∴当x ＝12时，AP →·BP →取最小值74，此时点P 的坐标为(12，0,0)．14．已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为__________．[答案] 14[解析] 设上、下底面中心分别为O 1、O ，则OO 1⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、OO 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，A 1B 1＝1，∴AC ＝BD ＝22，A 1C 1＝B 1D 1＝2，∵平面BDD 1B 1⊥平面ABCD ，∴∠B 1BO 为侧棱与底面所成的角，∴∠B 1BO ＝60°，设棱台高为h ，则tan60°＝h 2－22，∴h ＝62， ∴A (0，－2，0)，D 1(－22，0，62)，B 1(22，0，62)，C (0，2，0)，∴AD 1→＝(－22，2，62)，B 1C →＝(－22，2，－62)，∴cos 〈AD 1→，B 1C →〉＝AD 1→·B 1C →|AD 1→|·|B 1C →|＝14，故异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为14．15．三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线P A 与底面ABC 所成角的大小为________________．[答案] 45°[解析] 由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴BC ＝2，∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°，取BC 边中点E ，则 PE ＝22，AE ＝22，又P A ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠P AE ＝45°， ∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ， ∴BC ⊥平面P AE ， ∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴∠P AE 为直线P A 与平面ABC 所成角．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________．[答案]102[解析] 过B ，D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M ，N ．则可求得AM ＝12，BM ＝32，CN ＝12，DN ＝32，MN ＝1．由于BD →＝BM →＋MN →＋ND →，∴|BD →|2＝(BM →＋MN →＋ND →)2＝|BM →|2＋|MN →|2＋|ND →|2＋2(BM →·MN →＋MN →·ND →＋BM →·ND →)＝(32)2＋12＋(32)2＋2(0＋0＋0)＝52，∴|BD →|＝102．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．[解析] 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3λ1－λ2＝22λ1＋λ2＝－1λ1＋3λ2＝－4⇒λ1＝15，λ2＝－75．即c ＝15a －75b ．∴a 、b 、c 共面．18．(本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG→．[解析] ∵BG ＝2GD ， ∴BG →＝23BD →．又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ， ∴PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b )＝23a －13b ＋23c ． 19．(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两互相垂直，且BC ＝CD＝1．(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)求二面角C －AB －D 的大小；(3)若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度． [解析] 解法一：(1)∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴CD ⊥平面ABC ．又∵CD ⊂平面ACD ， ∴平面ACD ⊥平面ABC ．(2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥BD ．∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°． ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．(3)过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面ACD ⊥平面ABC ， ∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°．在Rt △BHD 中，BD ＝2， ∴BH ＝22．又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1， ∴∠BCH ＝45°，∴在Rt △ABC 中，AB ＝1．解法二：(1)同解法一．(2)设AB ＝a ，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则B (0,0,0)，A (0,0，a )，C (0,1,0)，D (1,1,0)，BD →＝(1,1,0)，BA →＝(0,0，a )．平面ABC 的法向量CD →＝(1,0,0)，设平面ABD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有BD →·n ＝x ＋y ＝0，BA →·n ＝az ＝0，∴z ＝0，取y ＝1，则x ＝－1， ∴n ＝(－1,1,0)．∴cos 〈CD →，n 〉＝CD →·n |CD →||n |＝－22，由图可知二面角C －AB －D 为锐角，∴二面角C －AB －D 的大小为45°．(3)AC →＝(0,1，－a )，CD →＝(1,0,0)，BD →＝(1,1,0)．设平面ACD 的一个法向量是m ＝(x ′，y ′，z ′)，则AC →·m ＝y ′－az ′＝0，CD →·m ＝x ′＝0，令z ′＝1，∴y ′＝a ，则m ＝(0，a,1)． ∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°， ∴cos 〈BD →，m 〉＝BD →·m |BD →||m |＝a a 2＋1·2＝cos60°，解得a ＝1，∴AB ＝1．20．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝5，E 、F 分别为D 1D 、B 1B 上的点，且DE ＝B 1F ＝1．(1)求证：BE ⊥平面ACF ； (2)求点E 到平面ACF 的距离．[解析] (1)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,5)，E (0,0,1)，F (2,2,4)．∴AC →＝(－2,2,0)，AF →＝(0,2,4)，BE →＝(－2，－2,1)，AE →＝(－2，0,1)． ∵BE →·AC →＝0，BE →·AF →＝0，∴BE ⊥AC ，BE ⊥AF ，且AC ∩AF ＝A ．∴BE ⊥平面ACF ．(2)解：由(1)知，BE →为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离d ＝|AE →·BE →||BE →|＝53．故点E 到平面ACF 的距离为53． 21．(本小题满分12分)(2014·浙江文，20)如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝2．(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．[解析] (1)取CD 中点G ，连结BG ．∵∠CDE ＝∠BED ＝90°，∴BE ∥CD ．又CD ＝2，BE ＝1，∵BE 綊DG ，∴四边形DEBG 为矩形，∴BG ＝DE ＝1，∠BGC ＝90°又GC ＝12CD ＝1，∴BC ＝2．又AC ＝2，AB ＝2，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC ．又∵平面ABC ⊥平面BCDE 且交线为BC ，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面BCDE ．(2)解法1：过点E 作EF ⊥BC 交BC 延长线于F ，由(1)知EF ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ，∴EF ⊥平面ABC ，连结AF ，则∠EAF 即为AE 与平面ABC 所成的角．由已知得∠GBC ＝45°，∴∠EBF ＝45°∴BF ＝EF ，又BE ＝1∴BF ＝EF ＝22，在Rt △AFC 中，AC ＝2，CF ＝BC ＋BF ＝2＋22＝322， ∴AF ＝2＋184＝262， ∴tan ∠EAF ＝EF AF ＝22262＝1313， ∴直线AE 与平面ABC 所成角的正切值为1313．解法2：过C 作DE 的平行线CG ，以C 为原点，CD 、CG、CA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．则C (0,0,0)，A (0,0，2)，B (1,1,0)，E (2,1,0)，∴AE →＝(2,1，－2)，AB →＝(1,1，－2)，CA →＝(0,0，2)，设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·CA →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2z ＝0，令x ＝1得n ＝(1，－1,0)．设AE 与平面ABC 所成的角为α，则sin α＝cos 〈n ，AE →〉＝|n ·AE →||n |·|AE →|＝114，∴tan α＝1313． 22．(本小题满分14分) (2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，设AC 与BD 相交于点O ，若∠DAB ＝∠DBF ＝60°，且F A ＝FC ．(1)求证：FC ∥平面EAD ；(2)求二面角A －FC －B 的余弦值．[解析] (1)证明：∵四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∴AD ∥BC ，DE ∥BF ．∵AD ⊄平面FBC ，DE ⊄平面FBC ，∴AD ∥平面FBC ，DE ∥平面FBC ，又AD ∩DE ＝D ，AD ⊂平面EAD ，DE ⊂平面EAD ，∴平面FBC ∥平面EAD ，又FC ⊂平面FBC ，∴FC ∥平面EAD ．(2)连接FO 、FD ，∵四边形BDEF 为菱形，且∠DBF ＝60°，∴△DBF 为等边三角形， ∵O 为BD 中点．所以FO ⊥BD ，O 为AC 中点，且F A ＝FC ，∴AC ⊥FO ，又AC ∩BD ＝O ，∴FO ⊥平面ABCD ，∴OA 、OB 、OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，设AB ＝2，因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，则BD ＝2，OB ＝1，OA ＝OF ＝3，∴O (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0,1,0)，C (－3，0,0)，F (0,0，3)，∴CF →＝(3，0，3)，CB →＝(3，1,0)，设平面BFC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CF →＝0，n ·CB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3z ＝0，3x ＋y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－3，－1)，∵BD ⊥平面AFC ，∴平面AFC 的一个法向量为OB →＝(0,1,0)．∵二面角A －FC －B 为锐二面角，设二面角的平面角为θ，∴cos θ＝|cos 〈n ，OB →〉|＝|n ·OB →||n |·|OB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－35＝155， ∴二面角A －FC －B 的余弦值为155．。

【成才之路】14-2015学年高中数学 3.2.2(整数值)随机数(random numbers)随的产生课件新人教A版必修3

用随机模拟法估计概率
种植某种树苗，成活率为0.9，请采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率．写出模拟试验的过程，并求出所求概率．
[ 解析 ] (1) 先由计算机随机函数 RANDBETWEEN(0,9) ，或计算器的随机函数RANDI(0,9)产生0到9之间取整数值的随机
数，指定1至9的数字代表成活，0代表不成活，再以每5个随机
2 ．抛掷一枚骰子 5 次，若正面向上用随机数 0 表示，反面向上用随机数 1表示，下面表示 5次抛掷恰有 3次正面向上的是 ( ) A．1 0 0 1 1 B．1 1 0 0 1
C．0 0 1 1 0
[答案] C
D．1 0 1 1 1
3．在两个袋子中，分别装有4个编号为1、2、3、4的白球和黑球，从每个袋子中取出一球，则两个球的编号之和为4的概率为( 1 A．16 5 C．16
[特别提醒]
应用计算器或计算机要特别注意遵照产生随
机数的方法来进行，切记不可随意改变其步骤顺序和操作程序，否则会出现错误．
用随机模拟方法抛掷一枚均匀的硬币 100 次，产生计算机
统计这100次试验中“出现正面朝上”随机数． [解析] 利用计算机统计频数和频率，用Excel演示． (1) 选定 Cl 格，键入频数函数 “ ＝ FREQUENCY(A1 ： A100,0.5)” ，按 Enter 键，则此格中的数是统计 A1 至 A100 中比 0.5小的数的个数，即0出现的频数，也就是反面朝上的频数． (2) 选定 D1 格，键入 “ ＝ 1 － Cl/100” ，按 Enter 键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率，即正面朝上的频率．
新知导学 1．整数随机数的产生计算器或计算机产生的整数随机数是依照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质，伪随机数．即使是这样，由于计算不是真正的随机数，称为__________ 器或计算机省时省力，并且速度非常快，我们还是把计算器或计算机产生的伪随机数近似地看成随机数．

【成才之路】2014-2015年度学年高级中学数学(人教A版,选择进修2-2)理解练习-2章末综合检测]

第二章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为( )A．10 B．14C．13 D．100[答案]　B[解析]　设n∈N*，则数字n共有n个，所以≤100即n(n＋1)≤200，又因为n∈N*，所以n＝13，到第13个13时共有＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.2．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．不是以上错误[答案]　C[解析]　大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4[答案]　D[解析]　当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4，故应选D.4．(2012·福建南安高二期末)下列说法正确的是( )A．“a<b”是“am2<bm2”的充要条件B．命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2－1≤0”C．“若a、b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“若a＋b不是偶数，则a、b不都是奇数”D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题[答案]　C[解析]　A中“a<b”是“am2<bm2”的必要不充分条件，故A错；B中“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2－1>0”，故B错；C正确；D中p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，故D错．5．(2014·东北三校模拟) 下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)[答案]　D[解析]　特值法：当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除，故选D.证明如下：当k＝1时，已验证结论成立，假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.∵3(2＋7n)能被9整除，36能被9整除，∴21(2＋7n)－36能被9整除，这就是说，k＝n＋1时命题也成立．故命题对任何k∈N*都成立．6．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋[答案]　D[解析]　项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故应选D.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0[答案]　D[解析]　解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－≤0.解法2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab ＋bc＋ac＝ab＜0，排除A、B、C，选D.8．已知c＞1，a＝－，b＝－，则正确的结论是( )A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a、b大小不定[答案]　B[解析]　a＝－＝，b＝－＝，因为>>0，>>0，所以＋>＋>0，所以a<b.9．定义一种运算“*”；对于自然数n满足以下运算性质：( )(i)1]B.n＋1C．n－1 D．n2[答案]　A[解析]　令a n＝n*1，则由(ii)得，a n＋1＝a n＋1，由(i)得，a1＝1，∴{a n}是首项a1＝1，公差为1的等差数列，∴a n＝n，即n*1＝n，故选A.10．(2013·济宁梁山一中高二期中)已知函数f(x)满足f(0)＝0，导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为( )A． B．C．2 D．[答案]　B[解析]　由f′(x)的图象知，f′(x)＝2x＋2，设f(x)＝x2＋2x＋c，由f(0)＝0知，c＝0，∴f(x)＝x2＋2x，由x2＋2x＝0得x＝0或－2.故所求面积S＝－－2(x2＋2x)dx＝＝.11．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a、b、c的值为( )A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c[答案]　A[解析]　令n＝1、2、3，得所以a＝，b＝c＝.12．设函数f(x)定义如下表，数列{x n}满足x0＝5，且对任意的自然数均有x n＋1＝f(x n)，则x2011＝( )x12345f(x)41352A.1 B．2C．4 D．5[答案]　C[解析]　x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{x n}是周期为4的数列，所以x2011＝x3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．在△ABC中，D为边BC的中点，则＝(＋)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_____________________________________________________.[答案]　在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)14．(2013·安阳中学高二期末)设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.[答案]　[解析]　观察f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表达式可见，f n(x)的分子为x，分母中x的系数比常数项小1，常数项依次为2,4,8,16……2n.故f n(x)＝.14．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是________．[答案]　S2＝S＋S＋S[解析]　类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S＋S＋S.证明如下：如图，作OE⊥平面LMN，垂足为E，连接LE并延长交MN于F，∵LO⊥OM，LO⊥ON，∴LO⊥平面MON，∵MN⊂平面MON，∴LO⊥MN，∵OE⊥MN，∴MN⊥平面OFL，∴S△OMN＝MN·OF，S△MNE＝MN·FE，S△MNL＝MN·LF，OF2＝FE·FL，∴S＝(MN·OF)2＝(MN·FE)·(MN·FL)＝S△MNE·S△MNL，同理S＝S△MLE·S△MNL，S＝S△NLE·S△MNL，∴S＋S＋S＝(S△MNE＋S△MLE＋S△NLE)·S△MNL＝S，即S＋S＋S＝S2.16．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝________.[答案]　1－[解析]　由已知中的等式：×＝1－×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，所以对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝1－.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.求证：a2＋b2＋c2≥.[证明]　由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥.18．(本题满分12分)设n∈N＋，用归纳推理猜想的值．[解析]　记f(n)＝，则f(1)＝＝3，f(2)＝＝＝33，f(3)＝＝＝333.猜想f(n)＝333….[点评]　f(n)＝333…可证明如下：∵111…＝(102n－1)，222…＝(10n－1)，令10n＝x>1，则f(n)＝＝＝(x－1)＝(10n－1)，即f(n)＝33….19．(本题满分12分)(2013·华池一中高二期中)在圆x2＋y2＝r2(r>0)中，AB为直径，C为圆上异于A、B的任意一点，则有k AC·k BC＝－1.你能用类比的方法得出椭圆＋＝1(a>b>0)中有什么样的结论？并加以证明．[解析]　类比得到的结论是：在椭圆＋＝1(a>b>0)中，A、B分别是椭圆长轴的左右端点，点C(x，y)是椭圆上不同于A、B的任意一点，则k AC·k BC＝－证明如下：设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A关于中心的对称点B的坐标为B(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则k AP·k BP＝·＝.由于A、B、P三点在椭圆上，∴两式相减得，＋＝0，∴＝－，即k AP·k BP＝－.故在椭圆＋＝1(a>b>0)中，长轴两个端点为A、B、P为异于A、B的椭圆上的任意一点，则有k AB·k BP＝－.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝a x＋(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．[解析]　(1)证法1：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，ax2－x1>1且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴－＝＝>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f′(x)＝a x ln a＋＝a x ln a＋∵a>1，∴ln a>0，∴a x ln a＋>0，f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－，且0<ax0<1.∴0<－<1，即<x0<2，与假设x0<0矛盾．故方程f(x)＝0没有负数根．解法2：设x0<0(x0≠－1)，①若－1<x0<0，则<－2，ax0<1，∴f(x0)<－1.②若x0<－1则>0，ax0>0，∴f(x0)>0.综上，x<0(x≠－1)时，f(x)<－1或f(x)>0，即方程f(x)＝0无负数根．21．(本题满分12分)(2014·哈六中期中)已知函数f(x)＝(x－2)e x－x2＋x＋2.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)证明：当x≥1时，f(x)>x3－x.[解析]　(1)f′(x)＝(x－1)(e x－1)，当x＜0或x＞1时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝0，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－e.(2)设g(x)＝f(x)－x3＋x，则g′(x)＝(x－1)(e x－－)，令u(x)＝e x－－，则u′(x)＝e x－，当x≥1时，u′(x)＝e x－>0，u(x)在[1，＋∞)上单调递增，u(x)≥u(1)＝e－2>0，所以g′(x)＝(x－1)(e x－－)≥0，g(x)＝f(x)－x3＋x在[1，＋∞)上单调递增．g(x)＝f(x)－x3＋x≥g(1)＝－e>0，所以f(x)>x3－x.22．(本题满分14分)设数列a1，a2，…a n，…中的每一项都不为0.证明{a n}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N＋，都有＋＋…＋＝.[分析]　本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明]　先证必要性．设数列{a n}的公差为d.若d＝0，则所述等式显然成立．若d≠0，则＋＋…＋＝＝＝＝＝.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N＋都成立．首先，在等式＋＝两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设a k＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式＋＋…＋＝，①＋＋…＋＋＝②将①代入②，得＋＝，在该式两端同乘a1a k a k＋1，得(k－1)a k＋1＋a1＝ka k.将a k＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得a k＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈N，都有a n＝a1＋(n－1)d，所以{a n}是公差为d的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有＋＋…＋＝，①＋＋…＋＋＝. ②②－①得＝－，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2. ③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2) ④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．1．已知数列，，2，，…，则2是这个数列的( )A．第6项 B．第7项C．第19项 D．第11项[答案]　B[解析]　，，，，…，而2＝，可见各根号内被开方数构成首项为2，公差为3的等差数列，由20＝2＋(n－1)×3得n＝7.2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是__________________．[答案]　丙[解析]　若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．3．(1)由“若a、b、c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；(2)在数列{a n}中，a1＝0，a n＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；(3)“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中结论正确的序号为________．[答案]　②③[解析]　(a·b)c＝a(b·c)不一定成立，其左边为平行于c的向量，右边为平行于a的向量，即命题(1)不正确；由a1＝0，a n＋1＝2a n＋2可得a n＋1＋2＝2(a n＋2)，则数列{a n＋2}是首项为2，公比为2的等比数列，a n＋2＝2n，即a n＝2n－2，命题(2)正确；(3)正确，可结合三个侧面在底面上的射影去证明；综上可得正确的结论为(2)(3)．4．若x>0，y>0，用分析法证明：(x2＋y2)>(x3＋y3).[证明]　要证(x2＋y2)>(x3＋y3)，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3y4x2>2x3y3.又因为x>0，y>0，所以x2y2>0，故只需证3x2＋3y2>2xy.而3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy成立，所以(x2＋y2)>(x3＋y3)成立．5．已知a是正整数，且a3是偶数，求证：a也是偶数．[分析]　已知a3的奇偶性研究a的奇偶性，不易直接证明，但如果已知a的奇偶性研究a3的奇偶性则较容易证明，故可用反证法．[证明]　假设a不是偶数，则a必为奇数，设a＝2k＋1(k∈N)，则a3＝(2k＋1)3＝8k3＋12k2＋6k＋1＝2(4k3＋6k2＋3k)＋1，由于k∈N，所以4k2＋6k2＋3k∈N，故2(4k3＋6k2＋3k)是偶数，2(4k3＋6k2＋3k)＋1为奇数，即a3为奇数，这与a3是偶数相矛盾．故假设不正确，即a也是偶数．6．我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若c n＝a n＋b n(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？[解析]　锐角三角形　∵c n＝a n＋b n(n＞2)，∴c＞a, c＞b，由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cos C＞0.∵cos C＝，∴要证cos C＞0，只要证a2＋b2＞c2，①注意到条件：a n＋b n＝c n，于是将①等价变形为：(a2＋b2)c n－2＞c n. ②∵c＞a，c＞b，n＞2，∴c n－2＞a n－2，c n－2＞b n－2，即c n－2－a n－2＞0，c n－2－b n－2＞0，从而(a2＋b2)c n－2－c n＝(a2＋b2)c n－2－a n－b n＝a2(c n－2－a n－2)＋b2(c n－2－b n－2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习题：2章-反馈练习题]

反馈练习一、选择题1．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 应满足的条件是( )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <2[答案] C [解析] k >0，c ＝9－k 2＝k ＋3，∴k ＝2.2．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝16外切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．线段B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] 设动圆P 和定圆B 外切于M ，则动圆的圆心P 到两点A (－3,0)和B (3,0)的距离之差恰好等于定圆半径，即|PB |－|P A |＝4，∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的左支，故选B.[点评] 求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．||PF 1|－|PF 2||＝2a <|F 1F 2|(a >0)，即|PF 1|－|PF 2|＝±2a (0<2a <|F 1F 2|)时，P 点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．3．与抛物线x 2＝4y 关于直线x ＋y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( ) A ．(1,0) B ．(116，0)C ．(－1,0)D ．(0，－116)[答案] C[解析] x 2＝4y 关于x ＋y ＝0，对称的曲线为y 2＝－4x ，其焦点为(－1,0)．4．已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋y －10＝0的距离是d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A. 3 B ．2 3 C ．6 2 D ．3 [答案] C[解析] 抛物线y 2＝－8x 的焦点F (－2,0)，根据抛物线的定义知，d 1＋d 2＝|PF |＋d 2，显然当由点F 向直线x ＋y －10＝0作垂线与抛物线的交点为P 时，d 1＋d 2取到最小值，即|－2＋0－10|2＝6 2. 5．(2014·吉林省实验中学一模)如图，F 1、F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1、C 2在第一象限的公共点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是()A.13 B ．23C.23或25 D ．25[答案] B[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得，|AF 1|＝|F 1F 2|＝2c ＝21＋3＝4，∴c ＝2，|AF 1|－|AF 2|＝2，∴|AF 2|＝2，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝6，∴a ＝3，∴e ＝c a ＝23.6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B ．22C ．14D ．12[答案] D[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝m 2＋n 2，c 2＝am ，2n 2＝2m 2＋c 2.解得c 2a 2＝14，∴e ＝c a ＝12.7．(2014·山东省烟台市期末)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2相切，则此双曲线的离心率等于( )A ．2B ．3 C. 6 D ．9[答案] B[解析] 由题意双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝ba x ，代入抛物线方程y ＝x 2＋2整理得x 2－bax ＋2＝0，因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－ba )2－8＝0，即(b a )2＝8，∴此双曲线的离心率e ＝c a＝1＋(ba)2＝1＋8＝3.故选B.8．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋(y －1)2＝4[答案] A[解析] 椭圆的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，短轴的一个端点为B (1,0)，可知BF 1⊥BF 2，于是△F 1BF 2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋y 2＝1.9．双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．8[答案] A[解析] ∵c a ＝62，2b ＝4，∴a 2＝8，a ＝22，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝42， |BF 2|－|BF 1|＝2a ＝42，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝82，又∵|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |，|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |， ∴|AB |＝8 2.10. (2014·武汉市调研)如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上．若双曲线以A ，B 为焦点，且过C 、D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为( )A.3＋1 B ．23＋2 C.3－1 D ．23－2[答案] D[解析] 连接AC 、OC ，过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，由题意知，梯形ABCD 为等腰梯形．设∠CAB ＝α，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝4，∴∠ACB 为直角，∴AC ＝4cos α，BC ＝4sin α，AE ＝AD cos ∠DAE ＝BC cos ∠CBA ＝4sin α·sin ∠CAB ＝4sin 2α，∴CD ＝2(AO －AE )＝4(1－2sin 2α)，∴梯形的周长l ＝AB ＋2BC ＋CD ＝4＋8sin α＋4(1－2sin 2α)＝－8sin 2α＋8sin α＋8＝－8(sin α－12)2＋10，显然当sin α＝12时，周长l 取最大值，∵α为锐角，∴cos α＝32，此时2a ＝CA －CB ＝4cos α－4sin α＝23－2，故选D.11．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )[答案] D[解析] 解法一：将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0转化为标准方程x 21a 2＋y 21b 2＝1，y 2＝－a b x .因为a >b >0，因此1b >1a>0. 所以有椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax ＋by 2＝0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明ax ＋by 2＝0的图象关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴，排除A.12．B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地运转货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是( )A ．(7＋1)a 万元B ．(27－2)a 万元C ．27a 万元D ．(7－1)a 万元[答案] B[解析] 设总费用为y 万元，则y ＝a ·(MB ＋MC )∵河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ， ∴曲线PQ 是双曲线的一支，B 为焦点，且a ＝1，c ＝2. 由双曲线定义，得MA －MB ＝2a ，即MB ＝MA －2， ∴y ＝a ·(MA ＋MC －2)≥a ·(AC －2)．以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A (－2,0)，C (3，3)． ∴AC ＝(3＋2)2＋(3)2＝27，故y ≥(27－2)a (万元)．二、填空题13．直线y ＝kx ＋1(k ∈R )与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围为________．[答案] m ≥1且m ≠5[解析] 将y ＝kx ＋1代入椭圆方程，消去y 并整理，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5－5m ＝0. 由m >0,5k 2≥0，知m ＋5k 2>0，故△＝100k 2－4(m ＋5k 2)(5－5m )≥0对k ∈R 恒成立．即5k 2≥1－m 对k ∈R 恒成立，故 1－m ≤0，∴m ≥1.又∵m ≠5，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.14．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的双曲线的离心率为________．[答案] 2[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2.∵AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴AC ＝5， ∴2a ＝CA －CB ＝2，∴a ＝1，∴e ＝ca＝2.15．(2014·长春市调研)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，设|F A |>|FB |，则|F A ||FB |＝________. [答案] 3＋2 2[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，过F 斜率为1的直线方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，求得x 1＝3＋22，x 2＝3－22，故由抛物线的定义可得|F A ||FB |＝x 1＋1x 2＋1＝3＋2 2.16．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线l ：x ＋y ＝1交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为22，则mn＝________. [答案]22[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴mx 21＋ny 21＝1 ① mx 22＋ny 22＝1②又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴①－②得：m －n ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， ∵y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝22，∴m ＝22n ，∴m n ＝22.三、解答题17．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P (32，6)，求抛物线方程和双曲线方程．[解析] 依题意，设抛物线方程为y 2＝2px ，(p >0)， ∵点(32，6)在抛物线上，∴6＝2p ×32，∴p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x . ∵双曲线左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点(32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1.解得a 2＝14，b 2＝34.∴所求双曲线方程为4x 2－43y 2＝1.18．已知抛物线y 2＝4x ，椭圆x 29＋y 2m＝1，它们有共同的焦点F 2，并且相交于P 、Q 两点，F 1是椭圆的另一个焦点，试求：(1)m 的值； (2)P 、Q 两点的坐标； (3)△PF 1F 2的面积．[解析] (1)∵抛物线方程为y 2＝4x ，∴2p ＝4， ∴p2＝1， ∴抛物线焦点F 2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c ＝1，a 2＝9＝b 2＋c 2，∴9＝m ＋1，∴m ＝8.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，x 29＋y 28＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－ 6.∴点P 、Q 的坐标为(32，6)、(32，－6)．(3)点P 的纵坐标6就是△PF 1F 2的边F 1F 2上的高， ∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y p |＝12×2×6＝ 6.19．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，求双曲线C 的离心率的取值范围．[解析] 由C 与l 相交于两个不同点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实根，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2，且a ≠1.双曲线的离心率e ＝1＋a 2a＝1a 2＋1，因为0<a <2且a ≠1. 所以e>62，且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． 20．(2014·浙北名校联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点P (1，32)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，问在椭圆C 上是否存在一点M ，使四边形AMBF 2为平行四边形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵c ＝1，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在符合条件的点M (x 0，y 0)，设直线l 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，3x 2＋4y 2＝12，消去x 得：(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，由条件知Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m3m 2＋4，∴AB 的中点为(－43m 2＋4，3m 3m 2＋4)， ∵四边形AMBF 2为平行四边形， ∴AB 的中点与MF 2的中点重合，即⎩⎨⎧x 0＋12＝－43m 2＋4，y 02＝3m3m 2＋4.∴M (－3m 2＋123m 2＋4，6m3m 2＋4)，把点M 的坐标代入椭圆C 的方程得：27m 4－24m 2－80＝0，解得m 2＝209，∴存在符合条件的直线l ，其方程为：y ＝±3510(x ＋1)．21．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18m ，拱顶离水面的距离为8m ，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若矩形的长|CD |＝9m ，那么矩形的高|DE |不能超过多少m 才能使船通过拱桥？[解析] 如图，以O 点为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．则B (9，－8)，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．∵点B 在抛物线上，∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y ，∴当x ＝92时，y ＝－2，∴|DE |＝6，∴当矩形的高|DE |不超过6m 时，才能使船通过拱桥．22．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.∵直线l 与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A 版)选修2-1练习题：2章-反馈练习题] 11 / 11 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2. 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k 2. 又A (2，0)，B (0,1)，∴AB →＝(－2，1)．∵OP →＋OQ →与AB →共线，∴x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， ∴－42k 1＋2k 2＝－2×221＋2k 2，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k .。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程.

令 m＝a12，n＝b12，则方程组化为：3225mm－－981n16＝n＝1， 1.
解这个方程组得mn＝＝1911.6，
第二章 2.3 第1课时
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即 a2＝16，b2＝9，所以所求双曲线的标准方程为 1y62 －x92＝1．若焦点在 x 轴上，设所求双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0， b>0)，
[方法规律总结] 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：
(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，不能确定时应分类讨论．
(2)设方程：根据焦点位置，设方程为ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝ 1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)；
所以令 c2－a2＝b2(b>0) ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1 (a>0，b>0，a 不一定大于 b)
第二章 2.3 第1课时
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6.在椭圆的标准方程中，判断焦点在哪个轴上是看x2、y2 项__分__母______的大小，而在双曲线标准方程中，判断焦点在哪个轴上，是看x2、y2____系__数____的符号．
第二章 2.3 第1课时
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待定系数法求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于 8； (2)焦点在 x 轴上，经过点 P(4，－2)和点 Q(2 6，2 2)．

【成才之路】高中数学综合检测新人教A版选修2-3

【成才之路】2014-2015学年高中数学综合检测新人教A 版选修2-3时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列四个命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；③用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好；④在推断H ：“X 与Y 有关系”的论述中，用三维柱形图，只要主对角线上两个柱形高度的比值与副对角线上的两个柱形高度的比值相差越大，H 成立的可能性就越大．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] ①r 有正负，应为|r |越大，相关性越强，②正确，③R 2越大，拟合效果越好，④应为高度积的差的绝对值越大，H 成立的可能性就越大，故选A.2．(2014·四川理，2)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10[答案] C[解析] x 3的系数就是(1＋x )6中的第三项的系数，即C 26＝15.3．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A ．827B ．6481 C ．49 D ．89[答案] A[解析] 设甲胜为事件A ，则P (A )＝23，P (A )＝13，∵甲以3∶1的比分获胜，∴甲前三局比赛中胜2局，第四局胜，故所求概率为P ＝C 23·(23)2·13·23＝827.4．随机变量ξ的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋(n ＝1、2、3、4)，其中a 为常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫94<X <134的值为( )A ．23 B ．34 C ．45 D ．516[答案] D[解析] 因为P (X ＝n )＝a n n ＋(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54.因为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫94<X <134＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝54×16＋54×112＝516，故选D.5．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率( )A ．(2,4]B ．(0,2]C ．[－2,0)D ．(－4,4][答案] C[解析] 此正态曲线关于直线x ＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．6．有6张卡片分别标有1、2、3、4、5、6，将其排成3行2列，要求每一行的两张卡片上的数字之和均不等于7，则不同的排法种数是( )A ．192B ．384C ．432D ．448 [答案] B[解析] 将1、2、3、4、5、6中数字之和等于7的两个数字分成一组，记A ＝{1,6}，B ＝{2,5}，C ＝{3,4}．依题意进行分步计数．第一步，排第一行的两个数字，先从A 、B 、C 三组中选取2组(有C 23种选法)，再从每组中选取一个数(有C 12·C 12种选法)，最后将这两个数排在第一行(有A 22种排法)，故第一行的排法种数为C 23C 12C 12A 22＝24种．第二步，排第2行，从A 、B 、C 中第一次未选到的那一组中选取1数(有C 12种选法)，从第一次选取的两组中剩余的两数中选取一数(有C 12种选法)，将此二数排在第二行(有A 22种排法)，故第二行共有排法C 12C 12A 22＝8种．第三步，将余下两数排在第三行，有A 22＝2种排法，由分步计数原理知，共有不同排法24×8×2＝384种．7．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2<r 1<0B ．0<r 2<r 1C ．r 2<0<r 1D ．r 2＝r 1[答案] C[解析] 画散点图，由散点图可知X 与Y 是正相关，则相关系数r 1>0，U 与V 是负相关，相关系数r 2<0，故选C.8．设随机变量X 服从二项分布X ～B (n ，p )，则D X 2E X2等于( )A ．p 2B ．(1－p )2C ．1－pD ．以上都不对[答案] B[解析] 因为X ～B (n ，p )，(D (X ))2＝[np (1－p )]2，(E (X ))2＝(np )2，所以D X2E X2＝[np －p2np2＝(1－p )2.故选B.9．(2013·大庆实验中学高二期中)把15个相同的小球放入编号为1、2、3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数大于它的编号数，则不同的放法种数是( )A ．56B ．72C ．28D ．63[答案] C[解析] 先给1号盒子放入1球，2号盒子放入2球，3号盒子放入3球，再将剩余9个小球排成一列，之间形成8个空档，从中任意选取2个空档用插板隔开，依次对应放入1、2、3号盒子中，则不同放法种数为C 28＝28种．10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：性别与读营养说明列联表A ．99%的可能性B ．99.75%的可能性C ．99.5%的可能性D ．97.5%的可能性[答案] C[解析] 由题意可知a ＝16，b ＝28，c ＝20，d ＝8，a ＋b ＝44，c ＋d ＝28，a ＋c ＝36，b ＋d ＝36，n ＝a ＋b ＋c ＋d ＝72，代入公式K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d得K 2＝－244×28×36×36≈8.42，由于K 2≈8.42>7.879，我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 [答案] B[解析] 4个引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4,2个引擎飞机成功飞行的概率为p 2，要使C 34p 3(1－p )＋p 4>p 2，必有13<p <1.12．如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )A ．400种B ．460种C ．480种D ．496种[答案] C[解析] 涂A 有6种涂法，B 有5种，C 有4种，因为D 可与A 同色，故D 有4种，∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有6×5×4×4＝480种，故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.1，则D (X )＝________.[答案] 0.49[解析] p ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋310＝12，E (X )＝1.1＝0×15＋1×12＋310x ，解得x ＝2，所以D (X )＝15×(0－1.1)2＋12×(1－1.1)2＋310×(2－1.1)2＝0.49.14．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组4人，分别进行单循环赛，每组决定前两名，再由每一组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，大师赛共有________场比赛．[答案] 16[解析] 分四类：第一类，进行单循环赛要2C 24＝2×4×32＝12场；第二类，进行淘汰赛需要2场；第三类，角逐冠、亚军需要比赛1场；第四类，角逐第三、四名需要比赛1场，所以大师赛共有2C 24＋2＋1＋1＝16场比赛．15．设随机变量ξ～N (1,4)，若P (ξ≥a ＋b )＝P (ξ≤a －b )，则实数a 的值为________________．[答案] 1[解析] ∵P (ξ≥a ＋b )＝P (ξ≤a －b )， ∴a ＋b ＋a －b2＝1，∴a ＝1.16．(2014·山东青岛质检)平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定________________条直线；共可确定________个三角形．[答案] 36；110[解析] 设10个点分别为A 1、A 2、…、A 10，其中A 1、A 2、…、A 5共线，A i (i ＝1,2，…，5)与A 6、A 7、…、A 10分别确定5条直线，共25条；A 1、A 2、…、A 5确定1条； A 6、A 7、…、A 10确定C 25＝10条，故共可确定36条直线．在A 1、A 2、…、A 5中任取两点，在A 6、A 7、…、A 10中任取一点可构成C 25C 15＝50个三角形；在A 1、A 2、…、A 5中任取一点，在A 7、A 7、…、A 10中任取两点可构成C 15C 25＝50个三角形；在A 6、A 7、…、A 10中任取3点构成C 35＝10个三角形，故共可确定50＋50＋10＝110个三角形．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人． (1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？ (2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？[解析] (1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．18．(本题满分12分)已知(x －12x )n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有整式项． [解析] (1)T r ＋1＝C rn ·(x )n －r·(12x)r ·(－1)r，∴前三项系数的绝对值分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，由题意知C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，∴n ＝1＋18n (n －1)，n ∈N *，解得n ＝8或n ＝1(舍去)， ∴T k ＋1＝C k8·(x )8－k·(－12x)k＝C k8·(－12)k ·x 4－k,0≤k ≤8，令4－k ＝0得k ＝4，∴展开式中的常数项为T 5＝C 48(－12)4＝358.(2)要使T k ＋1为整式项，需4－k 为非负数，且0≤k ≤8，∴k ＝0,1,2,3,4. ∴展开式中的整式项为：x 4，－4x 3,7x 2，－7x ，358.19．(本题满分12分)(2013·湖北理，20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.)(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？[解析] (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.9544.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.9772. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1600x ＋2400y 依题意，x 、y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .且使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．20．(本题满分12分)(2014·沈阳市质检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.(参考公式：K2＝a ＋b c＋d a＋c b＋d)[解析] (1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C25＝10个，“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有C13C12＋C22＝7个，所以P＝710.(2)K2＝－20×20×20×20＝6.4>5.024，因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．21．(本题满分12分)(2013·福建理，16)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解析] (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，因为P (X ＝0)＝(1－23)×(1－25)＝15，P (X ＝2)＝23×(1－25)＝25， P (X ＝3)＝(1－23)×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1、X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×9＝3，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望较大．22．(本题满分14分)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.[分析] (1)体育迷人数25人，即可完成2×2列联表，再求出K 2即可．(2)由(1)知体育迷有25人，则被抽到的概率为14，从观众中随机抽出3名是3次独立重复试验，X 服从二项分布，则可以求出分布列，期望，方差．[解析] (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：将2×2K 2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝－275×25×45×55＝10033≈3.030. 因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率14.由题意知X ～B (3，14)，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝3×14＝34.D (X )＝np (1－p )＝3×14×34＝916.1．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．2[答案] A[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4.所以，(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(2＋3)4(－2＋3)4＝1.2．一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582[答案] D[解析] “X＝12”表示第12次取到的球为红球，前11次中有9次取到红球，2次取到白球，∴P(X＝12)＝C911(38)9·(58)2·38＝C911(38)10·(58)2，故选D.3．如图，将1、2、3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有( )A.6种C．24种D．48种[答案] B[解析] 第一步，将1、2、3排在第一行，共A33＝6种排法，对于每一种排法，第二行，都对应2种排法，第三行，有唯一一种排法，∴共有12种．4．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中抽出500件，量其内径尺寸的结果如下表：甲厂(2)由于以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，[解析] (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)K 2＝500×500×680×320≈7.35>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．5．某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．(1)求该学生考上大学的概率．(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．[解析] (1)记“该学生考上大学”为事件A ，其对立事件为A ，则P (A )＝C 14(13)(23)3(23)＋(23)4＝64243＋1681＝112243. ∴P (A )＝1－P (A )＝1－112243＝131243.(2)该生参加测试次数ξ的可能取值为2、3、4、5.P (ξ＝2)＝(13)2＝19，P (ξ＝3)＝C 12·13·23·13＝427， P (ξ＝4)＝C 13·13·(23)2·13＋(23)4＝427＋1681＝2881， P (ξ＝5)＝C 14·13·(23)3＝3281. 故ξ的分布列为E (ξ)＝2×19＋3×427＋4×81＋5×81＝81.。

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