高考数学必考点解题方法秘籍 离心率 理(1)

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：离心率

离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a ，b ，c ，e 的一个方程，就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！ 【例1】

12212(05,,221A.

B. C. 2 2 D. 2122

F F F P F PF ∆全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）－－－

[解法一]（大多数学生的解法） 解：由于

12F PF ∆为等腰直角三角形，故有

122F F PF =，而122F F c =，2

2b PF a = 所以

2

2b c a =

，整理得2222ac b a c ==- 等式两边同时除以2

a ，得2

21e e =-，即2

210e e +-=，

解得

28

122e -±=

=-±，舍去12e =--

因此12e =-+，选D

[解法二]（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）

解：如右图所示，有

12222||||

21

21

22221

c c c e

a a PF PF c c c =

==+=

==-++离心率的定义

椭圆的定义

故选D

[评]

以上两种方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，灵活运用了“通径”这个二级结论，使题目迎刃而解，但计算量偏大，耗时较长；而解法二则是老手，整个过程没有任何高级结论，只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义”，通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无法胜有法！

一、用定义求离心率问题

1. 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）D

（A

（B

（C

）2（D

1

2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A

A ．33

B ．32

C ．22

D ．23

3.在ABC △中，AB BC =，

7

cos 18B =-

．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆

的离心率e = ．3

8

4、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________；

解析：设c=1，则1

21212122222-=+==⇒+=⇒=-⇒=a c e a a c a a b

5、已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率

为 。

解析：由已知C=2，2142,43433222=

===⇒=-⇒=⇒=a c e a a a a b a

b 6．过椭圆22

221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若

1260F PF ∠=o

，则椭圆的离心率为B

A

B

C ．12

D ．1

3

7.已知F1、F2是双曲线)0,0(122

2

2>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形

MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）D

A ．324+

B ．13-

C ．21

3+ D ．13+

8.双曲线22

221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o 的

直线交双曲线右支于M 点，若

2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）B

A ．6

B ．3

C ．2

D 33

9、设F1，F2分别是双曲线22

221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F1AF2=90º，

且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为

5

2 (B)

102 (C)

152

(D) 5

解．设F1，F2分别是双曲线22

221x y a b -=的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使∠F1AF2=90º，

且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中

122||||2a AF AF =-=，

22

122||||10

c AF AF =+=，∴ 离心率

10

2e =

，选B 。

10、如图，1F 和2F 分别是双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的两个

焦点，A 和B 是以O 为圆心，以

1

F O 为半径的圆与该双曲线左支

的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为

（A ）3

（B ）5

（C ）25

（D ）31+

解析：如图，1F 和2F 分别是双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为

圆心，以

1

F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB

F 2是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c ，|AF2|=3c ，∴ 2(31)a c =-，双曲线的离心率为31+，选D 。

11.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r 上存在点P 满1122

::PF F F PF =4:3:2，

则曲线r 的离心率等于A

A.1322或

B.23或2

C.12或2

D.

23

32或