第4讲抽样误差与t分布
标准误、t 分布
II类错误：H0不正确，但由于抽样的偶然性得到 t<tα， P>α的检验结果，接受了H0 (即“存伪”) ，拒绝了H1， 这种错误称I类错误(“弃真”错误)，其概率大小为 。
2021/5/9
11
教学内容 标准误 t分布
二、 t 分布：
三)、应用： 2、t 检验：
配对(对子)：将条件一致的 两个个体配成一对，所获得 的两个数据即为一个对子。
P > 0.1
4、判断结果： P > 0.05 (α康成年男子的脉搏数相同。
教学内容 标准误 t分布
P 值含义与两类错误：
P 值含义：由H0所规定的总体做随机抽样，获得等于及大
于(或等于及小于)依据现有样本信息所计算得到的检验统 计量的概率。
I类错误：H0正确，但由于抽样的偶然性得到 t>=tα， P<=α的检验结果，拒绝了H0 (即“弃真”) ，接受了H1， 这种错误称I类错误(“弃真”错误)，其概率大小为α；
《医学统计学》------
标准误、t-分布及其应用
湖州师范学院医学院临床医学教研室
王春生
2021/5/9
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教学要求
理解并计算标准误；熟识t-分布规律；正确进行 均数的区间估计与t检验；正确理解假设检验注意事项 ；掌握t检验的条件。
2021/5/9
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均数的抽样误差：
教育与心理统计学 第四章 抽样理论与参数估计考研笔记-精品
第四章抽样理论与参数估计第一节抽样理论的基本知识分层抽样，又叫分层随机抽样，这种抽样方法是按照总体已有的某些特征，承认总体中已有的差异，按差异将总体分为几个不同的部分，每一部分称为一个层，在每一个层中实行简单随机抽样。
它充分利用了总体的已知信息，因而是一种非常适用的抽样方法，其样本代表性及推论的精确性一般优于简单随机抽样。
分层的原则是层与层之间的变异越大越好，各层内的变异要小。
试述分层抽样的原则和方法？分层抽样是按照总体上已有的某些特征，将总体分成几个不同部分，在分别在每一部分中随机抽样。
分层的总的原则是：各层内的变异要小，而层与层之间的变异越大越好。
在具体操作中，没有一成不变的标准，研究人员可根据研究需要依照多个分层标准，视具体情况而定。
⑷两阶段随机抽样两阶段随机抽样首先将总体分成M个部分，每一部分叫做一个"集团"（或"群"），第一步从M个集团中随机抽取m个"集团”作为第一阶段样本，第二步是分别从所选取的m个"集团”中抽取个体（g构成第二阶段样本。
一般而言，两阶段抽样相对于简单随机抽样，标准误要大些，但是，两阶段抽样简便易行，节省经草贼，因而它是大规模调查研究中常被使用的抽样方法。
例如，如果我们要了解全国城市初中二年级学生的身高，第一步我们可以从全国几百个城市中随机抽取几十个城市作为第一阶段的样本。
第二步，在第一阶段随机抽取出来的城市中再随机抽取初中二年级的学生。
（二）非旃抽样非概率抽样不是完全按随机原则选取样本，有方便抽样、判断抽样。
方便抽样是由调查人员自由、方便地选择被调查者的非随机选样。
判断抽样是通过某些条件过滤，然后选择某些被调查者参与调查的抽样法。
当采取非概率抽样的方法选取样本时，研究者要说明采用此种方取样的原因以及对研究结果可能造成的影响。
第二节抽样分布［统计量分布、基本随机变量函数的分布］总体：又称母全体、全域，指具有某种特征的一类事物的全体。
数理统计中的随机抽样和抽样分布——概率论知识要点
数理统计中的随机抽样和抽样分布——概率论知识要点概率论作为数理统计的基础，是研究随机现象及其规律的数学分支。
在数理统计中，随机抽样和抽样分布是非常重要的概念，本文将对这两个概念进行详细介绍和解释。
一、随机抽样随机抽样是指从总体中以随机的方式选择样本的过程。
在进行随机抽样时，每个个体被选中的概率应该是相等的，这样才能保证样本的代表性和可靠性。
随机抽样的方法有很多种，常用的包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等。
1. 简单随机抽样简单随机抽样是最基本的抽样方法，它的特点是每个个体被选中的概率相等且相互独立。
简单随机抽样可以通过随机数表、随机数发生器等工具来实现。
在实际应用中，简单随机抽样常用于总体规模较小的情况。
2. 分层抽样分层抽样是将总体划分为若干个层次，然后从每个层次中随机选择样本。
这种抽样方法可以保证不同层次的个体在样本中的比例与总体中的比例相同，从而提高样本的代表性。
3. 系统抽样系统抽样是按照一定的规则从总体中选取样本的方法。
例如，可以按照一定的间隔从总体中选择样本，这个间隔称为抽样间隔。
系统抽样的优点是操作简便，但也存在可能引入系统误差的风险。
二、抽样分布抽样分布是指在随机抽样的基础上，通过大量重复抽样得到的统计量的分布情况。
在数理统计中，常用的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布等。
1. 正态分布正态分布是一种重要的抽样分布，它具有对称、单峰和钟形曲线的特点。
在大样本情况下，根据中心极限定理，样本均值的分布接近于正态分布。
正态分布在数理统计中的应用非常广泛，例如用于估计总体均值和总体方差等。
2. t分布t分布是用于小样本情况下的抽样分布。
它相比于正态分布来说，具有更宽的尾部和更矮的峰值。
t分布的形状取决于自由度，自由度越大，t分布越接近于正态分布。
t分布在小样本情况下的参数估计和假设检验中经常被使用。
3. F分布F分布是用于比较两个样本方差是否显著不同的抽样分布。
F分布的形状取决于两个样本的自由度，它具有右偏和非对称的特点。
正态分布及其应用、抽样误差
置信区间是一种表示抽样误差的方法，它表示总体参数的可能取值范围。置信区间越窄，说明样本统计量与总体 参数的偏差越小，即抽样误差越小。
减少抽样误差的方法
增加样本量
增加样本量可以减小每个样本的代表性误差，从而减 小抽样误差。
改进抽样方法
采用更科学的抽样方法，如分层抽样、系统抽样等， 可以提高样本的代表性，从而减小抽样误差。
重复抽样
通过多次抽取样本并计算其统计量，可以减小抽样误 差。
05
抽样误差的影响因素
总体与样本的差异程度
总体与样本的差异程度越大，抽样误 差越大。
当总体分布与样本分布差异较大时， 需要采取更严格的抽样方法来减小误 差。
样本容量大小
样本容量越大，抽样误差越小。
在实际应用中，需要根据研究目的和资源情况合理确定样本容量，以减小误差。
在市场调查中，抽样误差可能导致对市场趋势的误判。例如，如果某品牌在目标消费群体中的实际市场份 额为30%，而由于抽样误差，调查结果显示其市场份额为25%，那么该品牌可能会错过扩大市场份额的机 会。因此，市场调查需要综合考虑抽样误差和其他不确定性因素，以做出明智的决策。
质量控制
在质量控制中，抽样误差可能导致对 产品质量的误判。如果某批次产品的 不合格率高于标准，但实际是由于抽 样误差造成的，那么这可能导致不必 要的生产成本和产品退货。因此，质 量控制需要采用合适的抽样方案和统 计分析方法，以减小抽样误差的影响。
04
抽样误差的概念
定义与产生原因
定义
抽样误差是由于从总体中随机抽取样本而产生的误差，它反映了样本统计量与总体参数之间的偏差。
产生原因
由于每个样本都是随机抽取的，因此每个样本的统计量都可能不同，从而导致抽样误差的产生。
第04章.抽样误差
100次抽样，可以求得100个t值，100个t
值编成频数表，可以绘制成频数分布图。
由于sx受 n的影响, 严格讲，受(n-1)的影响，
(n-1) 称为自由度。
= n-1 如下图。
◆
t分布的图形
2. 分布的特征(与正态分布比较)
① 单峰分布，以t=0为中点，两侧对称(高峰
位置）
②样本(自由度)越小，t分布曲线峰值越低，t
的概率。
精确度：由区间的宽度反映，越窄越好。
在n确定的时，二者无法兼顾，一般95%CI更
为常用，可信度确定的情况下，增加n可减小区 间宽度，即提高精确度。
思考！
均数置信区间与参考值范围的区别
意义：95%的参考值范围指同质的总体内包括
95%的个体值范围，对于正态分பைடு நூலகம்总体，按
X±1.96S计算。
95%的CI指按95%的可信度估计总体均数
x1 x2 x3 x4 x100
映个体变异的标准差相区别)
标准误用 表示，它是说明均数抽样误差的大小
x
◆
3.抽样误差的分布
理论上可以证明：若从正态总体 N( , 2 ) 中，反 复多次随机抽取样本含量固定为n 的样本，那么 这些样本均数 X 也服从正态分布，即 X 的总体均 数仍为，样本均数的标准差为 / n 。
2.均数的抽样误差与标准误的概念
从N(,2)的总体中做随机抽样，每次抽样样本含 量为n,样本均数为x，标准差为s。如下: 1 n x1 s1 s t1 可知：每一个样本均数与 2 n x2 s2 s t2 不一定相等，它们之差别是 3 n x3 s3 s t3 由抽样所造成的；另外，这 4 n x4 s4 s t4 100个样本均数大小也不尽 相同，它们之间的变异程度 … … … … … … 可以用样本均数的标准差来 100 n x100 s100 s t100 表示，即标准误(为了与反
04抽样误差及可信区间
818 East Tianyuan Rd. Nanjing, PR China, 211166 |
13
样本均数是总体均数的无偏估计；
样本均数的标准差是抽样误差的度量；
X
X
k i 1
i
2
k
X
n
818 East Tianyuan Rd. Nanjing, PR China, 211166 |
反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的 离散程度，体现了抽样误差的大小。 标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样本 率）的离散程度越大，即用样本统计量来直接估 计总体参数越不可靠。反之亦然。 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时，从 标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总体 一定时，样本例数越多，标准误越小。说明我们 可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。
t 分布的性质
t分布为一簇单峰分布曲线，高峰在0的位置上，说明从正 态总体中随机抽样所得样本计算出的t值接近0的可能性较 大。 t分布以0为中心，左右对称。 分布的高峰位置比 u 分布低，尾部高。 t分布与自由度有关，自由度越小，t分布的峰越低，而两 侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近标 准正态分布；当自由度为无穷大时，t分布就是标准正态 分布。 每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t界值表 。
Medical Statistics
医学统计学 第四讲
抽样误差及可信区间 Sampling Error & Confidence Interval
南京医科大学公共卫生学院 赵杨 zhaoyang@
818 East Tianyuan Rd. Nanjing, PR China, 211166 |
标准误t分布参数估计研课件
250
200
200
150
0.1
150
100
100
50
0.0
50
0 -4
-3
-2
-1
0
10 2
t~分布：
Xm =
SX
X m
Sn
标准误t分布参数估计研
n = n 1
故：
X m
u=
X
u分布
t 分布
0.4
f( t)
0.3
0.2
n →∞（Z 分布） n ＝5 n ＝1
0.1
t
=
X m
S
=
X S
m
,
=
n 1
-4
-3
X
n 标准误t分布参数估计研
-2
0.0 -1 0
t
1
2
3
4
【实验】：从前述13岁女学生身高这个正态总体
方法二： 随机抽样 （50人）
13
参数估计
风险
A= 4.66µmmol/L
（样本统计量）
标准误t分布参数估计研
怎么样由 X 估计μ？ 利用了一个规律，“抽样分布”的规律
标准误t分布参数估计研
教学内容
均数的抽样误差与标准误
t 分布
.
总体参数的估计 .
标准误t分布参数估计研
一、均数的抽样误差 与标准误
样本均数的标准误证明*
Qx= x,Var n
x
=Var
x n
=Var
1 n
(x1
x2
K
xn)
=
1 K
xn
)
=
1 n2
Var(x1)
第四章spss均数的抽样误差
x ± t 0.01(ν ) S x
�
实际中以S x 估计σ x,简记为: x ± 1.96 S x
:指这个范围内包括总体均数μ的可能性有95%. 指这个范围内包括总体均数μ的可能性有95%. 用各样本计算得到的可信区间并不是固定不变. 若仅知样本均数及标准误的估计值,且样本较小 时,用标准误的估计值来代替标准误,误差较大, 需要改用t 需要改用t值来推算可信区间.
均数标准误的计算:
σx = σ
n 实际应用中,总体标准差未知,常用样本标准差来估计均数抽样误差的估计值为: SX = S n
为了说误的数值(常为标准误的估计值),表示为:
x ± Sx
第2节 总体均数的可信区间 与t分布
一,大样本资料均数的可信区间 从均数为μ 标准差为σ 从均数为μ,标准差为σ的正态总体中,随机抽取 许多个样本量为n 许多个样本量为n的样本,则这样本均数近似地以 总体均数为中心呈正态分布.故95%的样本均数在 总体均数为中心呈正态分布.故95%的样本均数在 的范围内.
第四章 均数的抽样误差 与t分布
第1节 均数的抽样误差
一,抽样与抽样误差 抽样:从总体中随机抽取样本进行研究来 推论总体. 抽样误差sampling error: 抽样误差sampling error:由个体变异产生的,
抽样造成的样本统计量与总体参数间差异,称～. 抽样研究中不可避免,但可估计其大小.而系统 误差可以避免.
degree of freedom: ν=n-1 (读:nu) =n- (读:nu)
t分布曲线不是一条曲线而是一簇曲线 t 分布曲线与横轴间的面积有规律: 两侧外部面积为5%及1%的界限的t值常用t 两侧外部面积为5%及1%的界限的t值常用t0.05(ν), t0.01(ν)表示 自由度趋于∞时,t分布趋向于均数为0 自由度趋于∞时,t分布趋向于均数为0,标准差为 1的标准正态分布.一般情况下t分布曲线较正态 的标准正态分布.一般情况下t 分布低平,因而t 分布低平,因而t0.05(ν)≥1.96, t0.01(ν)≥2.58 1.96, t值与P值呈反向关系:t越大,则P越小;反之亦 值与P值呈反向关系:t越大,则P 然.|t|≥ 然.|t|≥ t0.05(ν),P≤0.05
卫生统计学名词解释
脉搏（次/分）、血压（KPa）等。
（2）计数资料：将观察单位按某种属性或类别分组，所得的观察单位数称为计数资料
（count data）。计数资料亦称定性资料或分类资料。其观察值是定性的，表现为互不相容的
值，记为P（A），P（A）越大，说明A事件发生的可能性越大。0﹤P（A）﹤1。
频率：在相同的条件下，独立重复做n次试验，事件A出现了m次，则比值m/n称为随
机事件A在n次试验中出现的频率(freqency)。当试验重复很多次时P（A）= m/n。
6.随机误差：随机误差（random error）又称偶然误差，是指排除了系统误差后尚存的
3、生存时间：是任何两个有联系事件之间的时间间隔。
4、截尾值：指在随访过程中，由于某种原因未能观察到病人的明确结局（即终止事件），所以不知道该病人的确切生存时间，它提供的生存时间的信息是不完全的。
5、生存函数：又称为累积生存率，简称生存率。表示具有协变量X的观察对象其生存时间T大于时间t的概率，常用S（t，X）=P（T>t，X）表示。
3均方：每种来源的离均差平方和用相应的自由度去除，可得到平均的离均差平方和，简称均方（mean square，MS）
4、LSD-t检验：即最小显著性差异t检验，适用于一对或几对在专业上有特殊意义的样本均数间的比较。
5、SNK（student-Newman-Keuls）法：又称q检验，是根据q值的抽样分布作出统计推论，适用于多个样本均数两两之间的全面比较。
3、Q型聚类：又称样品聚类，是指将n个样品归类的方法，其目的是找出样品间的共性。
1、潜在变量(latent variable)：不能或不易直接观测得到的变量。这种变量往往是根据某种理论假设的。如：交感神经等。
均数的抽样误差与t检验
（一）点估计：以样本统计量估计对应的总体参数。
（二）区间估计
按一定的概率1- 确定的包含总体参数的一个范围，这 个范围称作可信度为1- 的可信区间(confidence interval, CI )
2
（n1 1) s1 (n 2 1) s 2 n1 n 2 2
（三）两小样本均数的t检验
例10-12 为研究某种蛋白与系统性红斑狼疮的关系，测试了 某医院中15名狼疮患者和12名正常人血清中该蛋白 的含量(g/dl)，结果见下表。问患者和正常人的蛋 白含量是否有差异?
为识别原因，我们对其做假设检验。
一是检验假设(hypothesis to be tested)，亦称原 假设或无效假设(null hypothesis)，记为H0 ；
二是与H0相对立的备择假设(alternative hypothesis)，记为H1 。
两者是互斥的，非此即彼。 H1：≠ 0。H0： = 0，
一、抽样误差与标准误 • 抽样误差的特点 1.不可避免
2.有一定的规律
产生抽样误差的根本原因：
个体差异
一、抽样误差与标准误 • 标准误（standard error）：衡量抽样误差 的大小，即样本均数的标准差。 标准差（standard deviation）： 指总体中 每一个变量与均值的差的平方和（又称为 离均差平方和）的均数的平方根。记为σ 公式：
假设检验时应该注意的问题一可比性二选用合适的t检验方法三结论不能绝对化四结合专业知识五报告结论应有样本统计量单侧检验和双侧检验一样本均数与总体均数比较的t检验二配对设计计量资料的t检验三两小样本均数的t检验四两大样本资料均数的z检验五i型错误和型错误六假设检验时应该注意的问题一样本均数与总体均数比较的t检验样本均数与已知总体均数比较的目的是推断该样本是否来自某已知总体
5、t分布及应用
Pα
,按检验水准 拒绝H0。
P 值越小，越有理由拒绝H0，认为总体之间有差
别的统计学证据越充分。
t / 2 近似计算。
( X u / 2 S X , X u / 2 S X )
95％CI ( X - 1.96S X , X + 1.96S X )
99％CI ( X - 2.58S X , X + 2.58S X )
例4.2
某医生测得25名动脉粥样硬化患者血浆纤
维蛋白原含量的均数为 3.32 g/L ，标准差为 0.57
例4.3 试计算例4.1中该地成年男子红细胞总体均 数的95%可信区间。
X 4.77，S 0.38，n 140
12 下限： X－u / 2 .S X 4.77 1.96 0.38 / 140 4.71(10 / L)
上限： X u . S 4.77 1.96 0.38 / 140 4.83(1012 / L) /2 X
总体假定某年某地所有13岁女学生身高服从n155453在该总体中作100次随机抽样n3015361531抽样得到的100个样本均数的频数分布组段cm频数频率1526101532401538401544222201550252501556212101562171701568301574201580158610合计1001000二抽样误差的分布理论上可以证明
g/L ，试计算该种病人血浆纤维蛋白原含量总体均
数的95%可信区间。
下限： 上限：
统计学第四章的教材
几个直观的结论
1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值（式中：M为样本 n 数目）； xi 22 23 28 i 1 25 X M 16 2. 抽样误差是随样本不同而不同的随机变量。抽样误差均值 等于0； xX 0
3. 样本均值的方差等于总体方差的1/n。
3
（二）抽样估计的一般步骤 1、设计抽样方案 2、 随机抽取样本（从总体随机抽取部分单位构成样本） 3、搜集样本资料（对样本单位进行调查登记） 4、整理样本资料（审查、分组汇总、计算样本指标的
数值，即计算估计量的具体数值）
5、估计总体指标（即估计总体参数）
总体参数与样本估计量的关系——对于特定的目 的，总体是惟一的，所以参数也是惟一的；而由 于样本是随机的，所以样本估计量是随机变量。
（3）抽样方法。相同条件下，重复抽样的抽样平均误 差大比不重复抽样的抽样平均误差大。
（4）抽样组织方式。由于不同抽样组织方式有不同的 抽样误差，所以，在误差要求相同的情况下，不同抽 样组织方式所必需的抽样数目也不同。
21
不知道总体方差时如何计算
用样本方差代替计算 用过去（总体或样本）方差代替计算 用同类现象（当前 或过去、总体或样本） 方 代替计算 有若干个方差可选择时，选方差最大者 （注意：对比率，即选择最接近0.5的值所 得的方差最大）
进无偏估计量。
29
二、区间估计
（一）区间估计的原理 区间估计就是根据样本估计量以一定 可靠程度推断总体参数所在的区间范围。 特点：考虑了估计量的分布，所以它能 给出估计精度，也能说明估计结果的把握 程度（置信度）。
30
（一）总体均值的置信区间
（1）假定条件
总体服从正态分布,且总体方差（２）已知
统计推断抽样误差大小评估及控制方法
统计推断抽样误差大小评估及控制方法一、引言统计推断是基于样本数据对总体进行推断的一种方法。
在进行统计推断时，我们常常需要评估抽样误差的大小，以确定推断的准确性和可靠性。
本文将介绍统计推断中抽样误差的概念、评估方法以及控制方法。
二、抽样误差的概念抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
由于我们无法对整个总体进行调查，只能通过抽样得到样本数据，因此样本统计量与总体参数之间必然存在差异。
这种差异即为抽样误差，是统计推断中不可避免的一种误差。
三、抽样误差的评估方法评估抽样误差的大小对于统计推断的结果具有重要意义。
下面介绍几种常见的评估方法：1. 标准误差（Standard Error）：标准误差是评估样本统计量与总体参数之间差异的一种方法。
它表示样本统计量的变异程度，标准误差越小，则样本统计量与总体参数越接近。
2. 置信区间（Confidence Interval）：置信区间是估计总体参数的一种方法，它能够提供总体参数的一个范围。
置信区间的宽度反映了抽样误差的大小，置信区间越窄，则抽样误差越小。
3. 抽样分布（Sampling Distribution）：抽样分布是样本统计量的分布情况。
通过研究抽样分布的形态和性质，可以评估抽样误差的大小。
常用的抽样分布包括正态分布、t分布等。
四、控制抽样误差的方法为了控制抽样误差，提高统计推断的准确性和可靠性，可以采取以下方法：1. 增加样本容量：样本容量是评估抽样误差的重要因素。
当样本容量增大时，抽样误差会减小，从而提高推断的准确性。
因此，在设计样本调查时，应该尽量增加样本容量。
2. 优化抽样方法：合理选择抽样方法可以减小抽样误差。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等，根据具体情况选择最适合的抽样方法。
3. 控制实验条件：在实验和调查中，控制好实验条件可以减小误差的来源，从而控制抽样误差。
例如，在实验设计上做好随机分组、随机化处理等措施，可以减小实验结果的误差。
抽样误差与抽样分布
1 10
(72.8
71.6
73.9) 71.92
10
sx
(xi x )2
i 1
(72.8 71.92)2
(73.9 71.92)2 1.20 6.3 1.26
10 1
10 1
25
7
抽样误差
结果：
各样本均数不一定等于总体均数 样本均数间存在差异 样本均数的分布规律：围绕总体均数上下波动 样本均数的变异：由样本均数的标准差描述,样
7 74 67 71 77 70 61 66 70 73 69.9 4.8 61 77 -2.60
8 62 73 80 64 84 66 74 69 76 72.0 7.4 62 84 -0.50
9 73 68 62 73 73 69 76 71 68 70.3 4.1 62 76 -2.20
10 79 82 75 64 77 74 73 67 67 73.1 6.0 64 82 0.60 3
样本均数的总体标准差
x
资料的总体标准差
n
若 X ~ N(, 2) ，则其中任意一个随机样本Xn
的均数 X ~ N (, x 2 )
15
正态总体样本均数的分布
样本均数的标准差 X ，称为样本均数的标 准误(standard error of mean ,SE)，简称均 数标准误 X
19
样本含量n=4
x 的平均数 = 1.0111 x 的标准差 = 0.7084
2 0.7071 4
x 的中位数 =0.8531
20
样本含量n=9
x 的平均数 =1.0078 x 的标准差 =0.4771
概率与统计中的抽样误差与置信区间
概率与统计中的抽样误差与置信区间概率与统计是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而在这一过程中，抽样误差与置信区间是非常重要的概念。
抽样误差是指通过抽取样本来估计总体参数时所引入的误差，而置信区间则是用于表示抽样误差的范围。
本文将深入探讨概率与统计中的抽样误差与置信区间的概念、计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、抽样误差的概念抽样误差是指由于样本的有限性所引起的估计误差。
在概率与统计中，我们通常无法对整个总体进行调查，而是通过从总体中抽取一部分样本来对总体进行推断。
由于样本的有限性，样本所估计的参数值往往会与总体真值存在一定的差距，这种差距就是抽样误差。
二、置信区间的概念置信区间是用于表示样本所估计的参数值的范围。
在概率与统计中，我们通常会计算出一个置信区间，该区间给出了参数是落在其中的概率。
常用的置信水平有95%和99%等。
置信区间的计算是基于抽样误差的大小和样本统计量的分布情况来进行的。
三、抽样误差的计算方法抽样误差的计算方法主要有两种：标准误差和大样本抽样误差公式。
1. 标准误差：标准误差是指样本统计量的标准差。
对于均值来说，标准误差的计算公式如下：标准误差 = 样本标准差/ √n其中，n为样本的容量。
而对于比例来说，标准误差的计算公式如下：标准误差= √(比例估计值 * (1-比例估计值) / n)2. 大样本抽样误差公式：当样本容量足够大时，我们可以使用大样本抽样误差公式来计算抽样误差。
对于均值来说，大样本抽样误差公式如下：抽样误差 = 1.96 * (标准误差)其中，1.96是95%置信水平对应的z值。
而对于比例来说，大样本抽样误差公式如下：抽样误差= 1.96 * √(比例估计值 * (1-比例估计值) / n)四、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：Z分数法和t分数法。
Z分数法适用于样本容量较大（大于30）且总体标准差已知的情况，而t分数法适用于样本容量小于30或总体标准差未知的情况。
第四章抽样误差与假设检验
分布的界值
t分布的界值
t分布界值示意图，表示阴影的面积
习题
一、名词解释
1.抽样误差 2.均数标准误 3.置信区间
习题
3.σ未知且n较小时，按t分布计算总 体均数的可信区间
双侧 1 可信区间为：
X t 2， SX
思考
总体均数可信区间与 参考值范围的区别和联系？
第三节 t 分布
X ~ N,(标,准正2 )态分布与U统计量
U X ~ N (0,1) n
实际研究中未知，用样本的标准差S作为
的一个近似值(估计值)代替，得到变换后的 统计量并记为
4.30
154.1-
94
9.40
13.70
154.7-
191
19.10
32.80
155.3-
255
25.50
58.30
155.9-
216
21.60
79.90
156.5-
116
11.60
91.50
157.1-
63
6.30
97.80
157.7-
20
2.00
99.80
158.3-158.9
2
0.20
100.00
注意区别：
SX
SX n
S 和S X
和 X
第二节 总体均数的估计
参数的估计
点估计：将样本统计量作为 总体参数的估计
区间估计：按预先给定的概率确定 一个包含未知总体参数的范围，称 为参数的可信区间或置信区间 (confidence interval,CI)
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• 图中非阴影部分面积的概率为，
P(-t/2,<t<t/2,)=1-
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第4讲抽样误差与t分布
•t分布的界值
•t,
•自由度
•检验水准 •(尾端概率)
• 在t 检验中很重要
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第4讲抽样误差与t分布
n=10 5.00 0.50 5.00
n=30 5.00 0.50 5.00
均数标准差
0.2212 0.1580 0.0920
0.2236 0.1581 0.0913
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第4讲抽样误差与t分布
3个抽样实验结果图示
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第4讲抽样误差与t分布
非正态分布抽样
• 分别从各总体中抽取10000个样本含量为 n的样本，计算每个样本的均数，并绘制 频数分布图。
•从均数为 ，标准差为s的正态总体中随
机抽取例数为n的样本，样本均数的总体均
数为 ，标准差为sx
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第4讲抽样误差与t分布
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•中心极限定理
第4讲抽样误差与t分布
标准误的定义
•样本统计量（如均数）也服从一定的分布。
•与描述观测值离散趋势的指标类似，样本 统计量的标准差就反映了从某个总体中随机 抽样所得样本之均数分布的离散程度。
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第4讲抽样误差与t分布
•抽样误差的规律 性—正态分布抽样
• 从正态分布总体N（5.00,0.502）中，每 次随机抽取样本含量n＝5，并计算其均数与
标准差；重复抽取1000次，获得1000份样本 ；计算1000份样本的均数与标准差，并对 1000份样本的均数作直方图。
• 按上述方法再做样本含量n＝10、样本 含量n＝30的抽样实验；比较计算结果。
•t 界值表
• 横标目：自由度， υ • 纵标目：尾端概率， p, 即曲线下阴影部分的面积; • 表中的数字：相应的 |t | 界值。
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第4讲抽样误差与t分布
附表2，t分布表的特点
• 附表2的横标目为自由度，纵标目为概率P，表
中数值为其相应的t界值，记作t, 。
• 附表2只列出正值，若计算的t值为负值时，可用 其绝对值查表 。
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第4讲抽样误差与t分布
•图中非阴影部分面积的概率为：
•
P(-α/2,ν<t< tα/2,ν)=1-α
•从附表2中还可以看出，双侧概率P为单侧 概率的两倍，如双侧t0.10/2,30=单侧 t0.05,30=1.697
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第4讲抽样误差与t分布
•标准误与标准差的关系
•区别 标准差 s •意义 个体变异
•用样本的信息去推断总体特征，这种分析方法 称为统计推断。
•基本手段
•直接推断（参数估计） •间接推断（假设检验）
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第4讲抽样误差与t分布
总体参数的估计
• 均数的抽样误差 • t分布 • 总体均数的估计
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第4讲抽样误差与t分布
抽样误差的定义
• 假如事先知道某地七岁男童的平均身高为119.41cm。为了 估计七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所有符 合要求的七岁男童中每次抽取100人，共计抽取了三次。
•如果没有抽样研究…… •No Random sampling!
•No Sampling Error!
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第4讲抽样误差与t分布
• 三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
•不同男童 的身高不同
•每次抽到 的人几乎不
同
•个体变异
•随机抽样
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•抽样误差
第4讲抽样误差与t分布
•【定义】由于个体变异的存在，在抽 样研究中产生样本统计量和总体参数 之间的差异，称为抽样误差 （sampling error）。
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第4讲抽样误差与t分布
抽样试验（n=5）
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第4讲抽样误差与t分布
抽样试验（n=10）
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第4讲抽样误差与t分布
抽样试验（n=30）
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第4讲抽样误差与t分布
1000份样本抽样计算结果
总体的 总体标 均数的 均数 准差s 均数
n=5 5.00 0.50 4.99
•各种参数估计都有抽样误差，这里我们以 均数为研究对象
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第4讲抽样误差与t分布
抽样误差产生的条件
• 抽样研究 • 个体变异
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第4讲抽样误差与t分布
•
•样本均数和
抽
总体均数间
样
的差别
误
差
的
表
•样本均数和
现
样本均数间
的差别
•抽样误差是不可避免的，可以通过保证总体 的同质性及增大样本含量来缩小抽样误差。
•标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样本 率）的离散程度越大，即用样本统计量来直接估计 总体参数越不可靠。反之亦然。
•标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时，从 标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总体一 定时，样本例数越多，标准误越小。说明我们可以 通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。
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•μ＝119.41cm •σ= 4.38cm
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第4讲抽样误差与t分布
三次抽样得到了不同的结果！！！！ 原因何在？？？？
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第4讲抽样误差与t分布
•No Variation! •No Sampling Error!
如果没有个体变异……
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第4讲抽样误差与t分布
第4讲抽样误差与t分布
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2020/11/26
第4讲抽样误差与t分布
•统计推断
•总体
•抽取部分观察单位
•样本
•参 数
•统计推断
•统计量
•如：总体均数 • 总体标准差 •
•如：样本均数 • 样本标准差S •
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第4讲抽样误差与t分布
•在医疗卫生实践和医学研究中，往往难以对所 要研究的总体进行全部观察，通常从总体中随机 抽取样本进行观察，然后由样本的信息去推断总 体特征，这种研究方法叫做抽样研究方法。
• 从任意总体中随机抽样，当样本含量足够大 时，其样本均数的分布逐渐逼近正态分布；
• 样本均数之均数的位置始终在总体均数的附 近；
• 随着样本含量的增加，样本均数的离散程度 越来越小，表现为样本均数的分布范围越来 越窄，其高峰越来越尖。
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第4讲抽样误差与t分布
•中心极限定理
•从正态总体中随机抽取例数为n的样本， 样本均数x也服从正态分布，即使从偏态总 体中抽样，只要样本例数足够大，如n>50， 样本均数x也近似正态分布。
布
•自由度ν=n-1
第4讲抽样误差与t分布
•由W.S. Gosset提出
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第4讲抽样误差与t分布
•
•x-
t=
•s/
n
•对于不同的n,有不同的t分布曲线。
•（n-1）称为 •t分布的自由度
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第4讲抽样误差与t分布
•自由度分别为1、5、 ∞时的 t 分布
• f(t)
•0.3
第4讲抽样误差与t分布
•用途：
•(1)衡量样本均值的可靠性 •(2)估计总体均值的可信区间 •(3)用于均数的假设检验
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第4讲抽样误差与t分布
t分布
•随机变量X
•N（，s2
•u变
） •均数
换
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•t变换
•标准正态分 布
•N（0，12）
•标准正态分 布
••NS（tu0d，en1t2）t分
标准误 sx 统计量的抽样误差
•用途 正常值范围 总体均数的可信区间
•
（x±1.96s） （ x±t , s x）
•与n关系 n s趋于稳定 n sx趋于 0
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第4讲抽样误差与t分布
3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
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2020/11/26
第4讲抽样误差与t分布
•用样本统计量的标准差来反映抽样误差的大 小。又称标准误(standard error)。
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第4讲抽样误差与t分布
•sx •标准误 •sx•= s/ n •sx•= s / n
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第4讲抽样误差与t分布
标准误的意义
•反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的 离散程度，体现了抽样误差的大小。
• n分别取2、4、10、25。
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第4讲抽样误差与t分布
偏三角分布抽样
•
•
•
•
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第4讲抽样误差与t分布
均匀分布
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第4讲抽样误差与t分布
指数分布
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第4讲抽样误差与t分布
双峰分布
PPT文档演模随机抽样，其样本均数服从正 态分布；
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第4讲抽样误差与t分布
t分布曲线下面积规律
• t分布曲线下总面积仍为1或100% • t分布曲线下面积以0为中心左右对称 • 由于t分布是一簇曲线，故t分布曲线下面积固定
面积(如95%或99%)的界值不是一个常量，而是 随自由度的大小而变化
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